文档内容
专题 01 全等三角形的九大模型及两大构造方法（举一反三专项训
练）
【人教版2024】
【模型1 平移模型】..................................................................................................................................................4
【模型2 翻折(轴对称)模型】...................................................................................................................................6
【模型3 手拉手模型】..............................................................................................................................................7
【模型4 半角模型】..................................................................................................................................................8
【模型5 一线三等角模型】....................................................................................................................................10
【模型6 雨伞模型】................................................................................................................................................12
【模型7 角平分线模型】........................................................................................................................................13
【模型8 平行线中点模型】....................................................................................................................................15
【模型9 婆罗摩笈多模型】....................................................................................................................................18
【构造方法1 截长补短法】....................................................................................................................................19
【构造方法2 倍长中线法】....................................................................................................................................21
知识点 1 全等三角形的常用模型
模型一：平移模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
①加(减)共线部分，得到一组对
沿同一直线平移的两个三
平移模型
应边相等；
角形重合
②利用平行线性质找对应角相等
模型二：翻折(轴对称)模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路①通过公共角、垂直、对顶角、
两个三角形过公共点所在的 等腰三角形等条件得对应角相
翻折(轴对称) 直线或公共边折叠，两个三 等；
模型 角形重合 ②通过公共边、中点、等边等条
件得对应边相等
模型三：手拉手模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
两个顶角相等的等腰三角形顶角顶
加(减)共顶点的角的共角部
手拉手模型 点重合，左底角顶点互连，右底角
分，得到一组对应角相等
顶点互连所组成的图形
模型四：半角模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
有公共顶点，锐角等于较大角的
一半，且组成这个较大角的两边 延长一边，构造全等三角
半角模型 相等.通过作辅助线将角的倍分关 形，从而得到线段之间的数
系 转化为角的相等关系，并进一 量关系
步构成全等三角形
模型五：一线三等角模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
利用三角形内角和为180°和
左图，两个三角形有一条边共
内、外角关系，通过等角代
一线三等角 线 ；
换得到一组相等的角，利用
模型 右图，同一直线上有三个相等
AAS 或ASA证明三角形全
的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3
等
模型六：雨伞模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂
通过延长线段与直线相交，从而
足为点D，延长BD交AC于点
雨伞模型 构造一对全等三角形，并将已知
C，证明△ABD≌△ACD，得到
条件中的线段和角进行转移
AB＝AC，BD＝CD
模型七：角平分线模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
角平分线＋对称型 角平分线＋垂直两边型
角
平
分
利用角平分线图形的对称性， 有角平分线时, 常通过
线
在角的两边构造对称等腰三角 角平分线构造等腰三角
＋
形或全等三角形，可以得到对 形或构造全等三角形，
角平分线模型 垂直平分型 角平分线＋平行线型
应边、对应角相等。利用对称 利用等腰三角形的三线
性把一些线段或角进行转移， 合一或全等三角形的判
这是经常使用的一种解题技巧 定和性质进行解题
模型八：平行线中点模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
如图，已知AB∥CD，点E，F分
平行线之间夹中点，通过延长过
别在直线AB、CD上，点O为线
平行线中点 中点的线段与平行线相交，从而
段EF的中点，延长PO交CD于
模型 构造一对全等三角形，并将已知
点Q，证明△POE≌△QOF
条件中的线段和角进行转移
模型九：婆罗摩笈多模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路向外作双等腰
条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB
直角三角形 方法：倍长中线AF
＝AD，AC＝AE，F是BC的中
（知中点，证 结论：AF⊥DE，DE＝2AF
点
垂直）
向外作双等腰
条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF
直角三角形
＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 结论：G是DE的中点，BC
（知垂直，证
＝2AG
中点）
向内作双等腰 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB
直角三角形 ＝AD，AC＝AE，F是BC的中 方法：倍长中线AF
（知中点，证 点 结论：AF⊥DE，DE＝2AF
垂）
向内作双等腰
条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF
直角三角形
＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 结论：G是DE的中点，BC
（知垂直，证
＝2AG
中点）
知识点 2 全等三角形构造方法
构造方法一：截长补短法
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
截长，指在长线段中截取一段 该类题目中常出现等腰三角形、
截长法： 补短法：
等于已知线段；补短，指将短 角平分线等关键词，通过截长补短
截长补短法
线段延长，延长后的线段等于 法构造全等三角形，再利用全等
已知线段 三角形的判定和性质进行解题
构造方法二：倍长中线法
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
给出中线，通过延长中
通过延长中线，构造全等三角形，得到
倍长中线法 线的方法构造全等三角
△ACD≌△EBD,△ABD≌△ECD
形，达到解题目的
【模型1 平移模型】
【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）（新课标 开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，AE=CF，AD∥CB，AD=CB，求证：△ADF≌△CBE．
（2）若将图1中的△BEC沿CA方向平移得到图2、图3，其他条件不变，△ADF≌△CBE还成立吗？为
什么？（选择一种情况说明理由）
【变式1-1】将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的
△A′BC′．
（1）在图2中，除△ADC与△C′BA′全等外，请写出其他2组全等三角形；① ；② ；
（2）请选择（1）中的一组全等三角形加以证明．
【变式1-2】如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，连接BD交AC于点F．
(1)求证：△AFB≌ △CFD；
(2)若AB=9，BC=7，求BF的取值范围．
【变式1-3】如图，△ABC是等边三角形，边长为6厘米，将△ABC沿直线BC向右平移4.5厘米到△DEF
的位置．（1）求∠ADF的度数；
（2）求四边形ABFD的周长．
【模型2 翻折(轴对称)模型】
【例2】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，将△ABC沿着DF翻
折，使顶点B的对应点E刚好落在边AC上，AG平分∠BAC交DE于点G，连接FG．若CE=AG，则
∠EFG= ．
【变式2-1】如图，△ABC中，AF⊥BC于点F，将AF沿AC翻折至AE，连接EC并延长，在射线EC上
取点D，使得∠BAD=∠EAF，若CD=8,CE=3,AE=7，求△ABC的面积．
【变式2-2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，
AD=2，BC=5，M为CD的中点．将△ADM沿AM翻折，点D恰好落在AB上的点N处．求AB的长．【变式2-3】如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC．
(1)如图1，点D,E在BC边上，∠DAE=45°，判断线段BD,DE,EC组成的三角形的形状：
小明同学的探究思路是，利用轴对称的知识，把分散的条件进行转移，进而解决问题．他将△ABD沿直线
AD翻折，得到△ADF，连接EF，利用三角形全等把线段EC进行转移，如图2所示，从而解决了问题．
直接写出线段BD,DE,EC组成的三角形的形状；
(2)如图3，点D,E在直线BC上，∠DAE=135°，判断线段BD,DE,EC组成的三角形的形状，并证明．
【模型3 手拉手模型】
【例3】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC
kBC+EC
上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得 为定值a
DC
，则k和a分别是（ ）
1 1 3
A．k= ，a=1 B．k= ，a=1 C．k=1，a= D．k=2，a=3
2 3 2【变式3-1】（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板
抽象成如图2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，点B、C、E依次在同一条直线上，
连结CD．若BC=4，CE=2，则△DCE的面积是 ．
【变式3-2】（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在
同一直线上，连接BE．
(1)求证：AD=BE；
(2)求∠AEB的度数；
(3)如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线
上，CM⊥DE于点M，连接BE．试判断线段DM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
【变式3-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D为
三角形内部一点且∠BDC=140°，点E为BC中点，连接AD，DE，作∠FDC=∠EDC，且DF=2DE
，当∠ADB= 时，△DFC为直角三角形．
【模型4 半角模型】
【例4】如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且
∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S =15，则△ABD与△AEC的面积之和为（ ）
△ADEA．36 B．21 C．30 D．22
【变式4-1】如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的
1
点，且∠EAF= ∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．
2
【变式4-2】【问题情境】
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几
何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE，AF与BC，CD边分别交于E，F两点，
易证得EF=BE+FD．
证明思路：如图2，将延长CB至点H，使BH=DF，连接AH，可证△ADF≌△ABH，再证
△AEF≌△AEH，故EF=BE+DF．
【知识应用】
（1）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的
∠EAF=60°，AE，AF与BC，CD边分别交于E，F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论
EF=BE+DF是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．．
【拓展提升】
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，点E为CD中点且AE平分∠DAM，如图4，试判断AM，
AD和MC之间的数量关系并给出证明．【变式4-3】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以点D为顶点
作∠MDN=60°，点M、N分别在AB、AC上．
（1）如图①，当MN//BC时，则△AMN的周长为______；
（2）如图②，求证：BM+NC=MN．
【模型5 一线三等角模型】
【例5】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为射线BC上一
点（不与点B，C重合），连接AD并延长到点E，使得DE=AD，连接BE，过点B作BE的垂线交直线
AC于点F．
(1)如图1，点D在线段CB上，且DBBC，点D在边
BC上，CD=2BD，点E，F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC，若△BDE的面积为2，△ABC的面积为21，则△CFD的面积为 ．
【变式5-2】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C
重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BDA=115°时，∠EDC= °，∠DEC= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变
（填“大”或“小”）；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不
可以，请说明理由．
【变式5-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C
在△ABC外作直线l，AM⊥l于点M，BN⊥l于点N．
(1)试说明：MN=AM＋BN；
(2)如图②，将（1）中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=α（90°<α<180°），AC=BC，请问（1）
中的结论DE=AD＋BE是否还成立？请说明理由.
(3)如图③，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF，∠A=∠EDF=∠B，AE=3，BF=5，请直接
写出AB的长．【模型6 雨伞模型】
【例6】如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交
AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
【变式6-1】如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，
CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF=2CD．
【变式6-2】求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的斜边AC，使
得∠A=30°，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【变式6-3】如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在 CD的1
延长线上． 求证∶ BE= CD．
2
（1）观察分析∶延长 BE，CA，交于点 F．可证明△ ≌△ ，依据是
1 1
； 从而得到 ；再证BE=FE= BF= CD．
2 2
（2）类比探究∶如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D在线段 BC上，
1
∠BDE= ∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F． 试探究BE与DF的数量关系，并证明你
2
的结论．
【模型7 角平分线模型】
【例7】（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线
BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC=7，
AE:AD=4:3，则AE长为（ ）
18 24 26
A． B． C． D．4
7 7 7
【变式7-1】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点M
，N分别是AD和AB上的动点，当S =12，AC=8时，BM+MN的最小值等于 ．
△ABC【变式7-2】已知：AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC
(1)如图1，求证：AB=AC；
(2)如图2，∠ABC=30°，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且
∠ABG=∠ACF，连接FG．
①求证：∠AFG=∠AFC；
②若S ：S =2:3，且AG=2，求AC的长．
△ABG △ACF
【变式7-3】（22-23七年级下·山西运城·期末）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目
中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三
角形的性质解决问题．
例：如图1，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连接BD，若△ABD的面积为10，求
△ABC的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点B作BH⊥CD交CD延长线于点H，CH、AB交于点E，∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC．
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ADE=90°．
{∠DAE=∠DAC
)
在△ADE和△ADC中， AD=AD ，
∠ADE=∠ADC
∴△ADE≌△ADC（依据1）
∴ED=CD（依据2），S =S ，
△ADE △ADC
1 1
∵S = DE⋅BH，S = CD⋅BH．
△BDE 2 △BDC 2
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠CBA交AC于点D，过点C作
CE⊥BD交BD延长线于点E．若CE=6，求BD的长．
【模型8 平行线中点模型】
【例8】如图，在△ABC中，BD 是边AC上的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD=DE，AO是
△ABC的中线，延长AO到点F，使得BF∥AC，连接EF，EF交BC于点G，AF交BE于点H，交BD
于点M．(1)试说明：BF=CD+DE；
(2)若∠C=45°，试说明：EF⊥BC．
【变式8-1】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在
AD上，且满足AF=DE．
(1)求证BE=CF；
(2)若AE=OF，直接写出面积为△COD面积一半的所有三角形．
【变式8-2】如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN//PQ．∠NAB和∠ABQ的平
分线交于点C．
（1）求证：BC⊥AC；
（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合），交PQ于点E,
①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+BE=AB；
②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．
【变式8-3】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】
（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点F是AC上一点，点E
是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED=DF，求证：BE=CF．①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM=BD，连接
FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M，
利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】
（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出
了新的问题，请你解答，
如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若
∠EAD+∠ANC=180°，求证：AB=CN；【学以致用】
（3）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上
运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD=CD，请直接写出线段AE，CN和BC之
间的数量关系．
【模型9 婆罗摩笈多模型】
【例9】（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在△ABC中，分别以AB和AC为边作△ABE和
△ACD，AB=AE，AC=AD，连接DE，延长CA交DE于F．若∠ACB=∠BAE=∠CAD=90°，求
AF
的值 ．
BC
【变式9-1】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，
分别以AC、BC为一直角边作等腰直角△ACE、△BCD，连接DE交BC的延长线于F，则△CEF的面积
为 ．【变式9-2】已知如图，AC=AE，AD=AB，∠ACB=∠DAB=90°，AE∥CB，AC、DE交于点F．
(1)求证：∠DAC=∠B；
(2)猜想线段AF、BC的数量关系并证明．
【变式9-3】（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作
Rt△ABE和Rt△ACD，AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，则有下列结论：
①图1中S =S ；
△ABC △ADE
②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED=2AM；
③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．
(1)上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；
(2)能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直
角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF=CE．【构造方法1 截长补短法】
【例10】（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互
1
补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF= ∠BAD，当BC=4，DC=7，CF=1时，△CEF的
2
周长等于 ．
【变式10-1】如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B=∠1+∠2，
4
AE=CD， BF= ，则AD的长为 ．
3
【变式10-2】把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交
边AC、BC于M、N．
(1)若∠ACD=30°，∠MDN=60°，当∠MDN绕点D旋转时， AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
(2)当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM
、MN、BN之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明)
【变式10-3】如图，在锐角ΔABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB,AC上一动点，连接BE交直
线CD于点F．
(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；
(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接
MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关
系，并证明你的猜想．
【构造方法2 倍长中线法】
【例11】如图，△ABC中，D为BC的中点，点E为BA延长线上一点，DF⊥DE交射线AC于点F，连接
EF，则BE+CF与EF的大小关系为( )
A．BE+CFEF D．以上都有可能
【变式11-1】（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）在△ABC中，AC=6，中线AD=10，则AB边的取
值范围是（ ）
A．16
