文档内容
专题 01 全等三角形的九大模型及两大构造方法（举一反三专项训
练）
【人教版2024】
【模型1 平移模型】..................................................................................................................................................4
【模型2 翻折(轴对称)模型】...................................................................................................................................8
【模型3 手拉手模型】............................................................................................................................................13
【模型4 半角模型】................................................................................................................................................19
【模型5 一线三等角模型】....................................................................................................................................26
【模型6 雨伞模型】................................................................................................................................................33
【模型7 角平分线模型】........................................................................................................................................40
【模型8 平行线中点模型】....................................................................................................................................47
【模型9 婆罗摩笈多模型】....................................................................................................................................57
【构造方法1 截长补短法】....................................................................................................................................65
【构造方法2 倍长中线法】....................................................................................................................................74
知识点 1 全等三角形的常用模型
模型一：平移模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
①加(减)共线部分，得到一组对
沿同一直线平移的两个三
平移模型
应边相等；
角形重合
②利用平行线性质找对应角相等
模型二：翻折(轴对称)模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路①通过公共角、垂直、对顶角、
两个三角形过公共点所在的 等腰三角形等条件得对应角相
翻折(轴对称) 直线或公共边折叠，两个三 等；
模型 角形重合 ②通过公共边、中点、等边等条
件得对应边相等
模型三：手拉手模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
两个顶角相等的等腰三角形顶角顶
加(减)共顶点的角的共角部
手拉手模型 点重合，左底角顶点互连，右底角
分，得到一组对应角相等
顶点互连所组成的图形
模型四：半角模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
有公共顶点，锐角等于较大角的
一半，且组成这个较大角的两边 延长一边，构造全等三角
半角模型 相等.通过作辅助线将角的倍分关 形，从而得到线段之间的数
系 转化为角的相等关系，并进一 量关系
步构成全等三角形
模型五：一线三等角模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
利用三角形内角和为180°和
左图，两个三角形有一条边共
内、外角关系，通过等角代
一线三等角 线 ；
换得到一组相等的角，利用
模型 右图，同一直线上有三个相等
AAS 或ASA证明三角形全
的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3
等
模型六：雨伞模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂
通过延长线段与直线相交，从而
足为点D，延长BD交AC于点
雨伞模型 构造一对全等三角形，并将已知
C，证明△ABD≌△ACD，得到
条件中的线段和角进行转移
AB＝AC，BD＝CD
模型七：角平分线模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
角平分线＋对称型 角平分线＋垂直两边型
角
平
分
利用角平分线图形的对称性， 有角平分线时, 常通过
线
在角的两边构造对称等腰三角 角平分线构造等腰三角
＋
形或全等三角形，可以得到对 形或构造全等三角形，
角平分线模型 垂直平分型 角平分线＋平行线型
应边、对应角相等。利用对称 利用等腰三角形的三线
性把一些线段或角进行转移， 合一或全等三角形的判
这是经常使用的一种解题技巧 定和性质进行解题
模型八：平行线中点模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
如图，已知AB∥CD，点E，F分
平行线之间夹中点，通过延长过
别在直线AB、CD上，点O为线
平行线中点 中点的线段与平行线相交，从而
段EF的中点，延长PO交CD于
模型 构造一对全等三角形，并将已知
点Q，证明△POE≌△QOF
条件中的线段和角进行转移
模型九：婆罗摩笈多模型
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路向外作双等腰
条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB
直角三角形 方法：倍长中线AF
＝AD，AC＝AE，F是BC的中
（知中点，证 结论：AF⊥DE，DE＝2AF
点
垂直）
向外作双等腰
条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF
直角三角形
＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 结论：G是DE的中点，BC
（知垂直，证
＝2AG
中点）
向内作双等腰 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB
直角三角形 ＝AD，AC＝AE，F是BC的中 方法：倍长中线AF
（知中点，证 点 结论：AF⊥DE，DE＝2AF
垂）
向内作双等腰
条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF
直角三角形
＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 结论：G是DE的中点，BC
（知垂直，证
＝2AG
中点）
知识点 2 全等三角形构造方法
构造方法一：截长补短法
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
截长，指在长线段中截取一段 该类题目中常出现等腰三角形、
截长法： 补短法：
等于已知线段；补短，指将短 角平分线等关键词，通过截长补短
截长补短法
线段延长，延长后的线段等于 法构造全等三角形，再利用全等
已知线段 三角形的判定和性质进行解题
构造方法二：倍长中线法
全等模型 模型解读 常见模型 解题思路
给出中线，通过延长中
通过延长中线，构造全等三角形，得到
倍长中线法 线的方法构造全等三角
△ACD≌△EBD,△ABD≌△ECD
形，达到解题目的
【模型1 平移模型】
【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）（新课标 开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，AE=CF，AD∥CB，AD=CB，求证：△ADF≌△CBE．
（2）若将图1中的△BEC沿CA方向平移得到图2、图3，其他条件不变，△ADF≌△CBE还成立吗？为
什么？（选择一种情况说明理由）
【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析
【分析】（1）由AE=CF可得AE−FE=CF−EF，于是AF=CE；由平行线的性质可得∠A=∠C，再
根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明；
（2）如图3，由AE=CF可得AE−AC=CF−AC，于是CE=AF；由两直线平行内错角相等可得
∠ACB=∠CAD，于是可得两角的补角∠BCE=∠DAF，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角
形全等即可证明；
【详解】（1）证明：∵AE=CF，
∴AE−FE=CF−EF，
∴AF=CE，
∵AD∥CB，
∴∠A=∠C，
{
AF=CE
)
在△ADF和△CBE中， ∠A=∠C
AD=CB
∴△ADF≌△CBE(SAS)；
（2）解：△ADF≌△CBE仍成立．
理由如下（如题图3）：
∵AE=CF，
∴AE−AC=CF−AC，即CE=AF，
∵AD∥CB，
∴∠ACB=∠CAD，
∴180°−∠ACB=180°−∠CAD，
∴∠BCE=∠DAF，{
AF=CE
)
在△ADF和△CBE中， ∠DAF=∠BCE
AD=CB
∴△ADF≌△CBE(SAS)；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，掌握全等三角形“边角边”的判定
条件是解题关键．
【变式1-1】将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的
△A′BC′．
（1）在图2中，除△ADC与△C′BA′全等外，请写出其他2组全等三角形；① ；② ；
（2）请选择（1）中的一组全等三角形加以证明．
【答案】（1）△AA′E≌△ C′CF；△A′DF≌△CBE；（2）见解析.
【分析】（1）依据图形即可得到2组全等三角形：①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；
（2）依据平移的性质以及矩形的性质，即可得到判定全等三角形的条件．
【详解】解：（1）由图可得，①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；
故答案为△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；
（2）选△AA′E≌△C′CF，证明如下：
由平移性质，得AA′＝C′C，
由矩形性质，得∠A＝∠C′，∠AA′E＝∠C′CF＝90°，
∴△AA′E△C′CF（ASA）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定以及矩形的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质
证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了平移的性
质．
【变式1-2】如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，连接BD交AC于点F．(1)求证：△AFB≌ △CFD；
(2)若AB=9，BC=7，求BF的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)1BC，点D在边
BC上，CD=2BD，点E，F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC，若△BDE的面积为2，△ABC的面积
为21，则△CFD的面积为 ．
【答案】9
【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积．掌握三角形全等的判定
定理和性质定理是解题关键．根据三角形外角的性质结合题意可证△ABE≌△CAF(ASA)，得出
2 1
S =S ．根据CD=2BD可求出S = S =14，S = S =7，最后根据
△ABE △CAF △ACD 3 △ABC △ABD 3 △ABC
S =S =S −S ，S =S −S 求解即可．
△CAF △ABE △ABD △BDE △CFD △ACD △CAF
【详解】解：∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠ABE+∠BAE，∠2=∠ACF+∠FAC，
∠BAC=∠FAC+∠BAE，
∴∠ABE=∠FAC，∠BAE=∠ACF．
又∵AB=AC，
∴△ABE≌△CAF(ASA)，
∴S =S ．
△ABE △CAF
∵CD=2BD，
∴S =2S ，
△ACD △ABD
2 2 1 1
∴S = S = ×21=14，S = S = ×21=7，
△ACD 3 △ABC 3 △ABD 3 △ABC 3∴S =S =S −S =7−2=5，
△CAF △ABE △ABD △BDE
∴S =S −S =14−5=9．
△CFD △ACD △CAF
故答案为：9．
【变式5-2】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C
重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BDA=115°时，∠EDC= °，∠DEC= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变
（填“大”或“小”）；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不
可以，请说明理由．
【答案】(1)25；115；小
(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE
(3)可以；∠BDA的度数为110°或80°
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由已知平角的性质可得∠EDC=180°−∠ADB−∠ADE，再利用三角形内角和定理进而求得
∠DEC，即可判断点D从B向C运动过程中，∠BDA逐渐变小；
（2）当DC=2时，由已知和三角形内角和定理可得∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°
，等量代换得∠ADB=∠DEC，又由AB=AC=2，可得△ABD≌△DCE(AAS)；
（3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：∠EDC=180°−∠ADB−∠ADE=180°−115°−40°=25°，
∠DEC=180°−∠EDC−∠C=180°−25°−40°=115°，
点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小，
故答案为：25；115；小；
（2）解：当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵ ∠B=∠C，AB=DC=2，
∴ △ABD≌△DCE(AAS)；
（3）解：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形；
理由：∵∠BDA=110°时，
∴∠ADC=70°，∠EDC=70°−40°=30°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=70°，∠AED=∠C+∠EDC=30°+40°=70°，
∴∠DAC=∠AED，
∴ △ADE是等腰三角形；
∵∠BDA=80°时，
∴∠ADC=100°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=40°，
∴∠DAC=∠ADE，
∴ △ADE的形状是等腰三角形．
【变式5-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C
在△ABC外作直线l，AM⊥l于点M，BN⊥l于点N．
(1)试说明：MN=AM＋BN；
(2)如图②，将（1）中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=α（90°<α<180°），AC=BC，请问（1）
中的结论DE=AD＋BE是否还成立？请说明理由.
(3)如图③，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF，∠A=∠EDF=∠B，AE=3，BF=5，请直接
写出AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)DE=AD＋BE成立，见解析(3)8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是
熟悉一线三等角模型．
（1）先证明△ACM≌△CBN，再根据全等三角形的性质得出AM=CN，BN=CM，从而根据
MN=CM+CN，可得MN=AM＋BN；
（2）先判定DE=AD＋BE成立，再说理由，先证明△ACD≌△CBE，再根据全等三角形的性质得出
AD=CE，CD=BE，结合DE=DC+CE，可得DE=AD＋BE；
（3）先证明△AED≌△BDF，再根据全等三角形的性质得出AE=DB，AD=BF，根据AB=AD+DB
，AE=3，BF=5，可求得AB．
【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，∠ACM+∠ACB+∠BCN=180°，
∴∠ACM+∠BCN=90°，
∵AM⊥l，BN⊥l，
∴∠AMC=∠BNC=90°
∴∠MAC+∠ACM=90°
∴∠MAC=∠BCN，
又AC=BC，
∴△ACM≌△CBN(AAS)，
∴AM=CN，BN=CM，
∵MN=CM+CN，
∴MN=AM＋BN；
（2）DE=AD＋BE成立，
理由：∵∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°，∠ADC=∠ACB=α，∠ADC+∠DAC+∠ACD=180°
∴∠BCE=∠DAC，
又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=α，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
又DE=DC+CE，
∴DE=AD＋BE；
（3）∵∠A=∠EDF，∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°，
∴∠AED=∠BDF，
又DE=DF，∠A=∠B，∴△AED≌△BDF(AAS)，
∴AE=DB，AD=BF，
∵AB=AD+DB，AE=3，BF=5，
∴AB=BF+AE=5+3=8．
【模型6 雨伞模型】
【例6】如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交
AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
1
【答案】（1）BE＝ AD，见解析；（2）△BEG是等腰直角三角形，见解析
2
1
【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明 BAE≌△HAE，得BE＝HE＝ BH，再证明 BCH≌△ACD，
2
△ △
1
得BH＝AD，则BE＝ AD；
2
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于
是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明 BEG是等腰直角三角形．
1 △
【详解】证：（1）BE＝ AD，理由如下：
2
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在 BAE和 HAE中，
△ △{∠AEB=∠AEH
)
AE=AE ，
∠BAE=∠HAE
∴△BAE≌△HAE（ASA），
1
∴BE＝HE＝ BH，
2
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在 BCH和 ACD中，
{∠△BCH=∠△ACD
)
BC=AC ，
∠CBH=∠CAD
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
1
∴BE＝ AD．
2
（2） BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝△BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
1
∴∠GAB＝ ∠CAB＝22.5°，
2
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基
本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．
【变式6-1】如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，
CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF=2CD．
【答案】证明见解析
【分析】延长AB、CD相交于点E，根据角平分线性质得到∠CBD=∠ABF，证明
1
△BDC≌△BDE(ASA)，得到CD= CE，再证明△ABF≌△ACE(ASA)，得到BF=CE，即可证
2
明BF=2CD；
【详解】解：延长AB、CD相交于点E，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABF，
∵CD⊥BD，
∴∠CDB=∠EDB=90°，
在△BDC和△BDE中，
{∠CBD=∠ABF
)
BD=BD ，
∠CDB=∠EDB
∴△BDC≌△BDE(ASA)，
∴BC=AE，CD=DE，
1
∴CD= CE，
2∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AFB=∠CFD，
∴∠ABF=∠ACD，
在△ABF和△ACE中，
{∠ABF=∠ACD
)
AB=AC ，
∠BAC=∠CAE
∴△ABF≌△ACE(ASA)，
∴BF=CE，
1
∴CD= BF，
2
∴BF=2CD；
【变式6-2】求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的斜边AC，使
得∠A=30°，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可．【详解】（1）解：如图所示，线段AC为所求作的线段；
（2）已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠A=30°．
1
求证：BC= AC．
2
解法一：如图，在AC上截取一点D，使得CD=CB，连接DB．
∵∠ABC=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°．
∵CD=CB，∴△BCD是等边三角形．
∴BC=CD=BD，∠CBD=60°．
∵∠ABC=90°，∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=30°．
∴∠ABD=∠A．∴DA=DB．
1
∵BC=CD=DB，∴BC= AC．
2
解法二：如图，延长CB至点D，使CB=BD，连接AD．
∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABD=90°，∠ACB=60°，
∵AB=AB，BC=BD，∠ABC=∠ABD，
∴△ABC≌△ABD(SAS)．∴AC=AD．∴△ACD是等边三角形．
∴AC=CD．
1 1
∵BC= CD，∴BC= AC．
2 2
【点睛】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解题
的关键．
【变式6-3】如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在 CD的
1
延长线上． 求证∶ BE= CD．
2
（1）观察分析∶延长 BE，CA，交于点 F．可证明△ ≌△ ，依据是
1 1
； 从而得到 ；再证BE=FE= BF= CD．
2 2
（2）类比探究∶如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D在线段 BC上，
1
∠BDE= ∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F． 试探究BE与DF的数量关系，并证明你
2
的结论．
1
【答案】（1）ABF，ACD，ASA，BF＝CD；（2）BE＝ FD，证明见解析
2
【分析】（1）延长BE交AC的延长线与点F，结合已知可证△BCF为等腰三角形，利用等腰三角形的性
质，再根据全等三角形的判定定理证明线段的相等即可得到答案，
（2）过点D作DG//CA，交BE的延长线与点G，与AE交于点H，证明∠DHF=∠A=90°，
1
BH=DH，∠BDE=∠EDG= ∠BDG，结合题意可证△BDG为等腰三角形，于是与（1）同理可证
2
1
BE＝ FD
2
【详解】（1）延长BE交AC的延长线与点F，∵ CE⊥BF,CD平分∠ACB
∴△BCF为等腰三角形，
∴BF=2BE
∵∠BAC=∠BAF=90°
∴∠F+∠ABF=∠F+∠ACD
∴∠ABF=∠ACD
∴在△ABF和△ACD中
{∠ABF=∠ACD
)
AB=AC
∠BAF=∠CAD
∴ △ABF ≌ △ACD
∴CD=BF=2BE
1
∴BE= CD
2
1
（2）BE＝ FD，证明如下：过点D作DG∥CA，与BE的延长线交于点G，与AB交于点H
2
则∠BDG＝∠C，∠DHF=∠A=90°
∵AB=AC
∴∠BDG=∠C=∠ABD
∴BH=DH
1
∵∠BDE= ∠C
21
∴∠BDE= ∠BDG
2
∴DE平分∠BDG
∵DE⊥BG
∴△BDG为等腰三角形
1
∴BE＝ BG，
2
结合（1）的证明方法，可证△BHG≌△DHF
∴BG＝FD ．
1
∵BE＝ BG，
2
1
∴BE＝ FD ．
2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定定
理和性质是解题关键．
【模型7 角平分线模型】
【例7】（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线
BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC=7，
AE:AD=4:3，则AE长为（ ）
18 24 26
A． B． C． D．4
7 7 7
【答案】B
【分析】在BC上截取BH=BE，连接OH，由SAS可证得△EBO≌△HBO，于是可得
∠BOH=∠BOE=60°，由ASA可证得△COD≌△COH，于是可得CD=CH，进而可求得AE的长．
【详解】解：如图，在BC上截取BH=BE，连接OH，∵BD ∠ABC CE ∠ACB
平分 ， 平分 ，
1 1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC，∠ACE=∠BCE= ∠ACB，
2 2
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°，
1 1
∴∠CBD+∠BCE= (∠ABC+∠ACB)= ×120°=60°，
2 2
∴∠BOC=180°−(∠CBD+∠BCE)=180°−60°=120°，
∴∠BOE=180°−∠BOC=180°−120°=60°，
∠COD=180°−∠BOC=180°−120°=60°，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠EBO=∠HBO，
在△EBO和△HBO中，
{
BE=BH
)
∠EBO=∠HBO ，
BO=BO
∴△EBO≌△HBO(SAS)，
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠COH=∠BOC−∠BOH=120°−60°=60°，
∴∠COD=∠COH，
∵∠ACE=∠BCE，
∴∠DCO=∠HCO，
在△COD和△COH中，
{∠COD=∠COH
)
OC=OC ，
∠DCO=∠HCO
∴△COD≌△COH(ASA)，∴CD=CH，
∴BE+CD=BH+CH=BC=7，
∵△ABC周长为20，
∴AB+AC+BC=20，
∴AB+AC=20−BC，
∴AE+AD
=AB−BE+AC−CD
=(AB+AC)−(BE+CD)
=(20−BC)−BC
=(20−7)−7
=6，
∵AE:AD=4:3，
3
∴AD= AE，
4
3
∴AE+ AE=6，
4
24
解得：AE= ，
7
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度，全等三角形的
判定与性质，等式的性质，解一元一次方程等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式7-1】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点M
，N分别是AD和AB上的动点，当S =12，AC=8时，BM+MN的最小值等于 ．
△ABC【答案】3
【分析】本题考查了垂线段最短的性质，角平分线全等模型，熟练掌握各性质并准确确定
BM+MN=BM+M N′≥BE是解题的关键．
在AC上取一点N′，使AN′=AN，连接M N′， 过点B作BE⊥AC于E，易得BM+MN=BM+M N′，
根据垂线段最短可知BM+M N′≥BE，利用三角形的面积求出BE，从而得解．
【详解】解：如图，在AC上取一点N′，使AN′=AN，连接M N′， 过点B作BE⊥AC于E，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AM=AM，
∴△ANM≌△AN′M(ASA)，
∴MN=M N′，
∴BM+MN=BM+M N′≥BE，
∵AC=8，S =12，
△ABC
1
∴ ×8⋅BE=12，
2
解得BE=3，
∴BM+MN的最小值是3．
故答案为：3．
【变式7-2】已知：AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC(1)如图1，求证：AB=AC；
(2)如图2，∠ABC=30°，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且
∠ABG=∠ACF，连接FG．
①求证：∠AFG=∠AFC；
②若S ：S =2:3，且AG=2，求AC的长．
△ABG △ACF
【答案】(1)见解析
(2)①证明见解析②6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义.
（1）用ASA证明△ABD≌△ACD，即得AB=AC；
（2）①证明△BAG≌△CAE可得AG=AE，再用ASA证明△FAG≌△FAE，即得∠AFG=∠AFC；②
过F作FK⊥AG于K，由S :S =2:3，可得S :S =2:3，S :S =1:3，而
△ABG △ACF △CAE △ACF △FAE △ACF
△FAG≌△FAE，S :S =1:3，即得AG:AC=1:3，根据AG=2，可求AC=6．
△FAG △ACF
【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC，
在△ABD和△ACD中，
{∠BAD=∠CAD
)
AD=AD ，
∠ADB=∠ADC
∴△ABD≌△ACD(ASA)，
∴AB=AC；
（2）①∵AB=AC，∠ABC=30°，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠BAG=60°=∠CAD，
在△BAG和△CAE中，{∠BAG=∠CAE
)
AB=AC ，
∠ABG=∠ACE
∴△BAG≌△CAE(ASA)，
∴AG=AE，
在△FAG和△FAE中，
{
AG=AE
)
∠GAF=∠EAF ，
AF=AF
∴△FAG≌△FAE(ASA)，
∴∠AFG=∠AFC；
②过F作FK⊥AG于K，如图：
由①知：△BAG≌△CAE，
∵S :S =2:3，
△ABG △ACF
∴S :S =2:3，
△CAE △ACF
∴S :S =1:3，
△FAE △ACF
由①知：△FAG≌△FAE，
∴S :S =1:3，
△FAG △ACF
(1 ) (1 )
∴ AG⋅FK : AC⋅FK =1:3，
2 2
∴AG:AC=1:3，
∵AG=2，
∴AC=6．
【变式7-3】（22-23七年级下·山西运城·期末）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目
中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三
角形的性质解决问题．例：如图1，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连接BD，若△ABD的面积为10，求
△ABC的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点B作BH⊥CD交CD延长线于点H，CH、AB交于点E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC．
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ADE=90°．
{∠DAE=∠DAC
)
在△ADE和△ADC中， AD=AD ，
∠ADE=∠ADC
∴△ADE≌△ADC（依据1）
∴ED=CD（依据2），S =S ，
△ADE △ADC
1 1
∵S = DE⋅BH，S = CD⋅BH．
△BDE 2 △BDC 2
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠CBA交AC于点D，过点C作
CE⊥BD交BD延长线于点E．若CE=6，求BD的长．【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相
等；任务二：见解析；应用：12
【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案；
任务二：先推出△ADE≌△ADC(ASA)，得出S =S ，ED=CD，进而可得S =S ，即可
△ADE △ADC △BDE △BDC
得到答案；
应用：延长CE、BA交于点F，先推出△FBE≌△CBE(ASA)，得到EF=CE=6，进而可得
CF=EF+EC=12，再推出△ABD≌△ACF(ASA)，即可得出结论．
【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应
边相等；
任务二：……
∴S =S ，
△BDE △BDC
∴S +S =S +S ，
△ADE △BDE △ADC △BDC
∴S =2S =20；
△ABC △ABD
应用：延长CE、BA交于点F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF=∠BEC=90°，在△FBE和△CBE中，
{∠ABD=∠CBD
)
BE=BE
∠BEF=∠BEC
∴△FBE≌△CBE(ASA)，
∴EF=CE=6，
∴CF=EF+EC=12，
∵∠BEF=∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠F=∠ACF+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
{∠ABD=∠ACF
)
AB=AC
∠BAD=∠CAF
∴△ABD≌△ACF(ASA)，
∴BD=CF=12．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构
造全等三角形是解题的关键．
【模型8 平行线中点模型】
【例8】如图，在△ABC中，BD 是边AC上的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD=DE，AO是
△ABC的中线，延长AO到点F，使得BF∥AC，连接EF，EF交BC于点G，AF交BE于点H，交BD
于点M．
(1)试说明：BF=CD+DE；
(2)若∠C=45°，试说明：EF⊥BC．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）证明△BOF≌△COA(AAS)得到BF=CA=CD+AD，进而由AD=DE即可求证；（2）证明△FBE≌△CAB(SAS)得到∠BFE=∠C=45°，进而由平行线的性质得到∠CEG=45°，即可
由三角形内角和定理得到∠CGE=90°，即可求证；
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰
三角形的性质，垂直的定义，从图形中找到全等三角形是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵AO是△ABC的中线，
∴BO=CO，
∵BF∥AC
∴∠BFO=∠CAO，
又∵∠BOF=∠COA，
∴△BOF≌△COA(AAS)，
∴BF=CA=CD+AD，
∵AD=DE，
∴BF=CD+DE
（2）证明：∵BD 是边AC上的高，
∴BD⊥AE，
∵AD=DE，
∴BD是AE的垂直平分线，
∴BE=BA，
∴∠BEA=∠BAE，
∵BF∥AC，
∴∠FBE=∠BEA，∠BFE=∠CEG，
∴∠FBE=∠BAE，
即∠FBE=∠CAB，
∵BF=CA，
∴△FBE≌△CAB(SAS)，
∴∠BFE=∠C=45°，
∴∠CEG=45°，
∴∠CGE=180°−45°−45°=90°，
∴EF⊥BC．
【变式8-1】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在
AD上，且满足AF=DE．(1)求证BE=CF；
(2)若AE=OF，直接写出面积为△COD面积一半的所有三角形．
【答案】(1)见解析
(2)△ABE、△BOE、△CDF、△COF
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，中线与面积．熟练掌握平行线的性质，全
等三角形的判定与性质，中线与面积是解题的关键．
（1）由AB∥CD，可得∠A=∠D，∠ABO=∠DCO，证明△ABO≌△DCO(ASA)，则
AO=DO，BO=CO，证明△BOE≌△COF(SAS)，则BE=CF；
（2）由线段的数量关系可得AE=OE=OF=DF，即BE是△ABO的中线，CF是△CDO的中线，然后根
据中线的性质进行求解作答即可．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠ABO=∠DCO，
又∵AB=CD，
∴△ABO≌△DCO(ASA)，
∴AO=DO，BO=CO，
∵AF=DE，AF=AO+OF，DE=DO+OE，
∴OE=OF，
∵OE=OF，∠BOE=∠COF，BO=CO，
∴△BOE≌△COF(SAS)，
∴BE=CF；
（2）解：∵AE=OF，AE+OE=AO，DF+OF=DO，OE=OF，
∴AE=OE=OF=DF，
∴BE是△ABO的中线，CF是△CDO的中线，
1
∴S =S =S =S = S ，
△ABE △BOE △CDF △COF 2 △COD
∴△ABE、△BOE、△CDF、△COF的面积为△COD面积一半．
【变式8-2】如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN//PQ．∠NAB和∠ABQ的平分线交于点C．
（1）求证：BC⊥AC；
（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合），交PQ于点E,
①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+BE=AB；
②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BE=AD+AB
【分析】(1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得
1 1
∠BAC= ∠NAB,∠CBA= ∠ABQ,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC⊥AC;
2 2
(2) ①延长AC交PQ点F，先证明AC=FC,再证明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB;
②方法与①相同．
【详解】解：（1）∵MN∥PQ
∴∠NAB+∠ABQ=180°
∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ
1 1
∴∠BAC= ∠NAB,∠CBA= ∠ABQ
2 2
1
∴∠BAC+∠ABC= ×180°=90°
2
在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°
∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90°
∴BC⊥AC;
（2）①延长AC交PQ于点F
∵BC⊥AC
∴∠ACB=∠FCB=90°
∵BC平分∠ABF
∴∠ABC=∠FBC
∴BC=BC∴△ABC≌△FBC
∴AC=CF，AB=BF
∵MN∥BQ
∴∠DAC=∠EFC
∵∠ACD=∠FCE
∴△ACD≌△FCE
∴AD=EF
∴AB=BF=BE+EF=BE+AD
即：AB=AD+BE
②线段AD，BE，AB数量关系是：AD+AB=BE
如图3，延长AC交PQ点F,
∵MN//PQ ．
∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC
∵AC平分∠NAB
∴∠BAF=∠FAN
∴∠BAF=∠AFB
∴AB=FB
∵BC⊥AC
∴C是AF的中点
∴AC=FC
在△ACD与△FCE中∠DAC=∠EFC
{ AC=FC
∠ACD=∠FCE
∴△ACD≅△FCE(ASA)
∴AD=EF
∵AB=FB=BE-EF
∴AD+AB=BE
【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构
造全等三角形．
【变式8-3】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】
（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点F是AC上一点，点E
是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED=DF，求证：BE=CF．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM=BD，连接
FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M，
利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；【类比分析】
（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出
了新的问题，请你解答，
如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若
∠EAD+∠ANC=180°，求证：AB=CN；
【学以致用】
（3）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上
运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD=CD，请直接写出线段AE，CN和BC之
间的数量关系．
【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见
1
解析；（3）CN−AE= BC
2
【分析】（1）①证明△BDE≌△MDF(SAS)，得出FM=BE，∠E=∠DFM，证明FM∥BE，得出
∠ABC=∠FMC，证明∠FMC=∠C，得出FM=FC，即可证明结论；②证明△MDE≌△CDF(AAS)，得出CF=EM，根据等腰三角形的判定证明BE=ME，即可证明结论；
（2）延长AD，取DM=AD，连接CM，证明△ADB≌△CDM(SAS)，得出AB=CM，∠M=∠BAD
，根据等腰三角形判定得出CM=CN，即可证明结论；
（3）延长ED，使DM=ED，连接CM，证明△CDM≌△BDE(SAS)，得出CM=BE，∠M=∠BED，
1 1
证明∠CNM=∠M，得出CN=CM，根据直角三角形性质得出AB= BC，根据BE−AE=AB= BC
2 2
，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵ED=DF，DM=BD，∠BDE=∠MDF，
∴△BDE≌△MDF(SAS)，
∴FM=BE，∠E=∠DFM，
∴FM∥BE，
∴∠ABC=∠FMC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠FMC=∠C，
∴FM=FC，
∴BE=CF；
②∵EM∥AC，
∴∠EMB=∠C，
∵DE=DF，∠MDE=∠CDF，
∴△MDE≌△CDF(AAS)，
∴CF=EM，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠MBE=∠ABC，
∴∠EMB=∠MBE，∴BE=ME，
∴BE=CF；
（2）延长AD，取DM=AD，连接CM，如图所示：
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵∠ADB=∠CDM，
∴△ADB≌△CDM(SAS)，
∴AB=CM，∠M=∠BAD，
∵∠EAD+∠ANC=180°，∠ANC+∠CNM=180°，
∴∠CNM=∠EAD，
∴∠CNM=∠M，
∴CM=CN，
∴AB=CN；
（3）延长ED，使DM=ED，连接CM，如图所示：∵BD=CD，∠CDM=∠BDE，
∴△CDM≌△BDE(SAS)，
∴CM=BE，∠M=∠BED，
∴CM∥BE，
∴∠ACM=180°−∠BAC=90°，
∵AF平分∠BAC，
1
∴∠CAF= ∠BAC=45°，
2
∵ED∥AF，
∴∠CNM=∠CAF=45°，
∴∠M=180°−∠CNM−∠ACM=45°，
∴∠CNM=∠M，
∴CN=CM，
∴CN=BE，
∵∠ACB=30°，∠BAC=90°，
1
∴AB= BC，
2
1
∵BE−AE=AB= BC，
2
1
∴CN−AE= BC．
2
【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平
行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
【模型9 婆罗摩笈多模型】
【例9】（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在△ABC中，分别以AB和AC为边作△ABE和
△ACD，AB=AE，AC=AD，连接DE，延长CA交DE于F．若∠ACB=∠BAE=∠CAD=90°，求
AF
的值 ．
BC1
【答案】
2
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．
过点E作EG⊥AF交AF延长线于点G，首先证明出△ABC≌△EAG(AAS)，得到EG=AC，AG=BC，
1 1
然后证明出△EFG≌△DFA(AAS)，得到GF=AF= AG= BC，进而求解即可．
2 2
【详解】如图所示，过点E作EG⊥AF交AF延长线于点G
∵∠ACB=∠BAE=90°
∴∠BAC+∠ABC=∠EAG+∠BAC=90°
∴∠ABC=∠EAG
又∵∠ACB=∠G=90°，AE=AB
∴△ABC≌△EAG(AAS)
∴EG=AC，AG=BC
∵AC=AD
∴EG=AD
∵∠CAD=90°
∴∠FAD=90°∴∠G=∠FAD=90°
又∵∠EFG=∠DFA
∴△EFG≌△DFA(AAS)
1 1
∴GF=AF= AG= BC
2 2
AF AF 1
∴ = = ．
BC AG 2
1
故答案为： ．
2
【变式9-1】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，
分别以AC、BC为一直角边作等腰直角△ACE、△BCD，连接DE交BC的延长线于F，则△CEF的面积
为 ．
9
【答案】
2
【分析】作EH⊥CF交CF的延长线于点H．先证ΔCEH≌ΔACB，推出EH=BC=3，CH=AB=6，
1 1
再证ΔEHF≌ΔDCF，推出CF=FH= CH= ×6=3，最后利用三角形面积公式即可求出△CEF的面
2 2
积．
【详解】解：如图，作EH⊥CF交CF的延长线于点H．则∠EHC=90°，
∴∠ECH+∠CEH=90°，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠ACE=90°，AC=CE，
∴∠ECH+∠ACB=90°，
∴∠CEH=∠ACB．
在ΔCEH和ΔACB中，
{∠CEH=∠ACB
)
∵ ∠EHC=∠CBA ，
CE=AC
∴ΔCEH≌ΔACB (AAS),
∴EH=BC=3，CH=AB=6．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BCD=∠DCF=90°，BC=DC，
∴EH=DC．
在ΔEHF和ΔDCF中，
{∠EHF=∠DCF
)
∵ ∠EFH=∠DFC ，
EH=DC
∴ΔEHF≌ΔDCF (AAS),
1 1
∴CF=FH= CH= ×6=3．
2 2
1 1 9
∴S = CF⋅EH= ×3×3= ．
ΔCEF 2 2 2
9
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
【变式9-2】已知如图，AC=AE，AD=AB，∠ACB=∠DAB=90°，AE∥CB，AC、DE交于点F．
(1)求证：∠DAC=∠B；
(2)猜想线段AF、BC的数量关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)BC=2AF，理由见解析
【分析】（1）利用平行线的性质和等角的余角相等即可得证；
（2）作DG⊥AC的延长线于G，分别证明△AGD≌△BCA，△AEF≌△GDF，即可得证．
【详解】（1）证明：
∵∠ACB=∠DAB=90°，AE∥BC，
∴∠CAE=180°−∠ACB=90°，∠B=∠BAE，
∴∠DAC=90°−∠BAC=∠BAE，
∴∠DAC=∠B；
（2）解：BC=2AF．
理由：如图所示：作DG⊥AC的延长线于G，
∵AG⊥DG，
∴∠AGD=∠ACB=90°，
在△AGD和△BCA中，
¿，
∴△AGD≌△BCA(AAS)，
∴DG=AC；AG=BC，
在△AEF和△GDF中，¿，
∴△AEF≌△GDF(AAS)，
1 1
∴AF=GF= AG= BC，
2 2
∴BC=2AF．
【点睛】本题考查平行线的性质，以及全等三角形的判定和性质．熟练掌握平行线的性质以及证明三角形
全等是解题的关键．
【变式9-3】（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作
Rt△ABE和Rt△ACD，AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，则有下列结论：
①图1中S =S ；
△ABC △ADE
②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED=2AM；
③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．
(1)上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；
(2)能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直
角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF=CE．
【答案】(1)见解析
(2)证明见详解
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识点，添加恰当辅助线构
造全等三角形是解此题的关键．
(1)①如图，由“AAS”可证△ADH≌△ACP，得CP=DH，由三角形的面积公式可求解，②如图，延长
AM至N，使得MN=AM，连接BN，由“SAS”可证△BMN≌△CMA，得BN=AC，
∠CAM=∠BNM，由“SAS”可证△ABN≌△EAD，可得AN=DE，进而可得结论；③如图，过点E
作EP⊥MN，交MN的延长线于P，过点D作DQ⊥MN于Q，先证AM=EP，AM=DQ，可得
EP=DQ，由“AAS”可证△EPN≌△DQN，进而即可得证；
(2)延长AF至K，使FK=AF，连接DK，由“SAS”可证△AFB≌△KFD，可得AB=KD，∠ABD=∠BDK，由“SAS”可证△ADK≌△EAC，CE=AK，进而可得结论．
【详解】（1）解：如图，过点D作DH⊥AE于H，过点C作CP⊥BA，交BA的延长线于P，
∵∠BAE=90°，
∴∠EAP=90°=∠DAC
∴∠DAH=∠CAP，
∵DH⊥AE，CP⊥BA，
∴∠DHA=∠CPA=90°，
∵AD=AC，
∴△ADH≌△ACP(AAS)，
∴CP=DH，
1 1
∴ ×AE×DH= ×AB×CP，
2 2
∴S =S ；
△ABC △ADE
如图，延长AM至N，使得MN=AM，连接BN，
∵AM是边BC上的中线，
∴BM=CM，
∵∠AMC=∠BMN，AM=MN，
∴△BMN≌△CMA(SAS)，∴BN=AC，∠CAM=∠BNM，
∴AC∥BN，
∴∠BAC+∠ABN=180°，
∵∠BAE=∠CAD=90°，
∴∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠ABN=∠EAD，
∵AC=AD，
∴BN=AD，
在△ABN和△EAD中，
{
AB=EA
)
∠ABN=∠EAD ，
BN=AD
∴△ABN≌△EAD(SAS)，
∴AN=DE，
∵MN=AM，
∴DE=AN=2AM，
如图，过点E作EP⊥MN，交MN的延长线于P，过点D作DQ⊥MN于Q，
∴∠EPA=∠DQA=90°=∠EAB=∠AMB，
∴∠BAM+∠EAP=90°=∠BAM+∠ABM，
∴∠EAP=∠ABM，
∵AB=AE，
∴△ABM≌△EAP(AAS)，
∴AM=EP，
同理可证AM=DQ，
∴EP=DQ，∵∠ENP=∠DNQ，∠EPN=∠DQN=90°，
∴△EPN≌△DQN(AAS)，
∴EN=DN，
∴ MA的延长线平分ED于点N；
（2）如图，延长AF至K，使FK=AF，连接DK，
∵F为BD的中点，
∴DF=BF，
∵AF=FK，∠AFB=∠DFK，
∴△AFB≌△KFD(SAS)，
∴AB=KD，∠ABD=∠BDK，
∴AB=AC=DK，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，
∴∠DAB+∠ADK=180°，
∵∠DAE=∠CAB=90°，
∴∠DAB+∠CAE=180°，
∴∠CAE=∠ADK，
∵AD=AE，DK=AC，
∴△ADK≌△EAC(SAS)，
∴CE=AK，
∴2AF=CE．
【构造方法1 截长补短法】
【例10】（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互
1
补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF= ∠BAD，当BC=4，DC=7，CF=1时，△CEF的
2
周长等于 ．【答案】13
【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
在DF上截取DG=BE，先证△ADG≌△ABE，再证△AFG≌△AEF，可得EF=FG，再由△CEF的周
长EF+CF+CE=FG+BE+BC+CF=DF+BC+CF即可解答．
【详解】解：在DF上取点G，使DG=BE，
∵∠ABE+∠ABC=180°，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠D=∠ABE，
在△ADG与△ABE中
{
AB=AD
)
∠ABE=∠D ，
BE=DG
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AG=AE，∠EAB=∠DAG，
∴∠EAB+∠GAB=∠DAG+∠GAB，即∠EAG=∠BAD，
1
∵∠EAF= ∠BAD，
2
1
∴∠EAF= ∠EAG，
2
∴∠FAE=∠GAF，
在△AFG与△AEF中{
AG=AE
)
∠FAG=∠EAF ，
AF=AF
∴△AFG≌△AEF（SAS）
∴EF=FG．
∴EF+BE=FG+DG=CD+CF
∴△CEF的周长等于EF+CF+CE=EF+BE+BC+CF=CD+CF+BC+CF，
∵BC=4，DC=7，CF=1，
∴△CEF的周长等于7+1+4+1=13
故答案：13．
【变式10-1】如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B=∠1+∠2，
4
AE=CD， BF= ，则AD的长为 ．
3
8
【答案】
3
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点，解
题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB
上取一点K，使得CK=ET，连接DK．证明AT=DK，DK=BD，推出BD=AT，推出BT=AD即可解
决问题．
【详解】解：在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．
∵EF⊥AB，FT=BF，
∴EB=ET，∴∠B=∠ETB，
∵∠ETB=∠1+∠AET，∠B=∠1+∠2，
∴∠AET=∠2，
∵AE=CD，ET=CK，
∴△AET≌△DCK(SAS)，
∴DK=AT，∠ATE=∠DKC，
∴∠ETB=∠DKB，
∴∠B=∠DKB，
∴DB=DK，
∴BD=AT，
∴AD=BT，
8
∵BT=2BF= ，
3
8
∴AD= ，
3
8
故答案为： ．
3
【变式10-2】把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交
边AC、BC于M、N．
(1)若∠ACD=30°，∠MDN=60°，当∠MDN绕点D旋转时， AM、MN、BN三条线段之间有何种
数量关系？证明你的结论；
(2)当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM
、MN、BN之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明)
【答案】(1)AM+BN=MN；证明见解析(2)AM+BN=MN，证明见解析
(3)BN−AM=MN
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类
比推理的方法．
（1）延长CB到E，使BE=AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证
△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；
（2）延长CB到E，使BE=AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证
△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；
（3）在CB上截取BE=AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证
△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；
【详解】（1）解：AM+BN=MN，
证明：延长CB到E，使BE=AM，
∵∠A=∠CBD=90°，
∴∠A=∠EBD=90°，
在△DAM和△DBE中，
{
AM=BE
)
∠A=∠DBE ，
AD=BD
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE=∠MDA，DM=DE，
∵∠MDN=∠ADC=60°，
∴∠ADM=∠NDC，
∴∠BDE=∠NDC，
∴∠MDN=∠NDE，
在△MDN和△EDN中，{
DM=DE
)
∠MDN=∠NDE ，
DN=DN
∴△MDN≌△EDN，
∴MN=NE，
∵NE=BE+BN=AM+BN，
∴AM+BN=MN；
（2）解：AM+BN=MN，
证明：延长CB到E，使BE=AM，连接DE，
∵∠A=∠CBD=90°，
∴∠A=∠DBE=90°，
∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，
∴∠MDN=∠CDA，
∵∠MDN=∠BDC，
∴∠MDA=∠CDN，∠CDM=∠NDB，
在△DAM和△DBE中，
{
AM=BE
)
∠A=∠DBE ，
AD=BD
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE=∠MDA=∠CDN，DM=DE，
∵∠MDN+∠ACD=90°，∠ACD+∠ADC=90°，
∴∠NDM=∠ADC=∠CDB，
∴∠ADM=∠CDN=∠BDE，
∵∠CDM=∠NDB，
∴∠MDN=∠NDE，
在△MDN和△EDN中，{
DM=DE
)
∠MDN=∠NDE ，
DN=DN
∴△MDN≌△EDN，
∴MN=NE，
∵NE=BE+BN=AM+BN，
∴AM+BN=MN；
（3）解：BN−AM=MN，
证明：在CB上截取BE=AM，连接DE，
∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，
∴∠MDN=∠CDA，
∵∠ADN=∠ADN，
∴∠MDA=∠CDN，
∵∠B=∠CAD=90°，
∴∠B=∠DAM=90°，
在△DAM和△DBE中，
{
AM=BE
)
∠DAM=∠DBE ，
AD=BD
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE=∠ADM=∠CDN，DM=DE，
∵∠ADC=∠BDC=∠MDN，
∴∠MDN=∠EDN，
在△MDN和△EDN中，{
DM=DE
)
∠MDN=∠NDE ，
DN=DN
∴△MDN≌△EDN，
∴MN=NE，
∵NE=BN−BE=BN−AM，
∴BN−AM=MN．
【变式10-3】如图，在锐角ΔABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB,AC上一动点，连接BE交直
线CD于点F．
(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；
(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接
MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关
系，并证明你的猜想．
【答案】(1)60°
(2)BF+CF=2CN，理由见解析
【分析】（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK=BE，证明ΔBCE≅ΔCBK(SAS)，推出
BK=CE,∠BEC=∠BKD，再证明∠ADF+∠AEF=180°，可得结论；
（2）结论：BF+CF=2CN．首先证明∠BFC=120°．如图2中，延长CN到Q，使得NQ=CN，连接
FQ，证明ΔCNM≅ΔQNF(SAS)，推出FQ=CM=BC，延长CF到P，使得PF=BF，则ΔPBF是
等边三角形，再证明ΔPFQ≅ΔPBC(SAS)，推出PQ=PC，∠CPB=∠QPF=60°，推出ΔPCQ
是等边三角形，可得结论
【详解】（1）解：如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK=BE，在ΔBCE和ΔCBK中，
{
BC=CB
)
∠BCE=∠CBE ，
BE=CK
∴ΔBCE≅ΔCBK(SAS)，
∴BK=CE,∠BEC=∠BKD，
∵CE=BD，
∴BD=BK，
∴∠BKD=∠BDK=∠ADC=∠CEB，
∵∠BEC+∠AEF=180°，
∴∠ADF+∠AEF=180°，
∴∠A+∠EFD=180°，
∵∠A=60°，
∴∠EFD=120°，
∴∠CFE=180°−120°=60°．
（2）结论：BF+CF=2CN．
理由：如图2中，∵AB=AC,∠A=60°，
∴ΔABC是等边三角形，
∴AB=CB,∠A=∠CBD=60°，
∵AE=BD，
∴ΔABE≅ΔBCD(SAS)，
∴∠BCF=∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF=60°，
∴∠BFC=120°，
如图2中，延长CN到Q，使得NQ=CN，连接FQ，∵NM=NF,∠CNM=∠FNQ,CN=NQ，
∴ΔCNM≅ΔQNF(SAS)，
∴FQ=CM=AC=BC，∠M=∠NFQ，
∴FQ ∥CM，
∴∠PFQ=∠FCM．
延长CF到P，使得PF＝BF，
∵∠BFP=180°−120°=60°，
∴ΔPBF是等边三角形，
∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°，
∴∠PFQ=∠FCM=∠PBC，
∵PB=PF，
∴ΔPFQ≅ΔPBC(SAS)，
∴PQ=PC,∠CPB=∠QPF=60°，
∴ΔPCQ是等边三角形，
∴BF+CF=PF+CF=PC=PQ=QC=2CN．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正
确寻找全等三角形解决问题．
【构造方法2 倍长中线法】
【例11】如图，△ABC中，D为BC的中点，点E为BA延长线上一点，DF⊥DE交射线AC于点F，连接
EF，则BE+CF与EF的大小关系为( )
A．BE+CFEF D．以上都有可能【答案】C
【分析】如图，延长ED到T，使得DT=DE，连接CT，TF，证明△EDB≌△TDC(SAS)，推出BE=CT
，由CT+CF>FT，可得BE+CF>EF．
【详解】解：如图，延长ED到T，使得DT=DE，连接CT，TF．
∵DE=DT，DF⊥ET，
∴EF=TF，
在△EDB和△TDC中，
{
DB=DC
)
∠EDB=∠TDC ，
DE=DT
∴△EDB≌△TDC(SAS)，
∴BE=CT，
∵CT+CF>FT，
∴BE+CF>EF，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造全等三角形解决问题．
【变式11-1】（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）在△ABC中，AC=6，中线AD=10，则AB边的取
值范围是（ ）
A．16
