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第13 章 三角形·培优卷
【新教材人教版】
时间：120 分钟
满分：120 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25 题，单选10 题，填空6 题，解答9 题，满分120 分，限时120 分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（25-26 七年级下·广东深圳·期中）以下几组长度（单位：米）的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的
是（ ）
A．5，7，2
B．5，9，3
C．5，7，3
D．4，5，10
2．（25-26 七年级下·吉林长春·期中）如图，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，𝐶𝐹⊥𝐴𝐵，𝐶𝐺⊥𝐶𝐵，垂足分别为点
𝐷、𝐸、𝐹、𝐶，△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的高是（ ）
A．𝐶𝐹
B．𝐵𝐸
C．𝐶𝐺
D．𝐴𝐷
3．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线．若△𝐴𝐵𝐶的面积为
30，则△𝐵𝐷𝐸的面积是（ ）
A．15
B．10
C．7.5
D．5
4．（25-26 七年级下·北京·期中）如图，直线𝑎∥𝑏，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，若∠1 = 130°，则∠2等于（ ）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
5．下列图形不具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 八年级下·广东深圳·期中）如图，三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 65°，∠𝐵= 75°，将∠𝐶沿𝐷𝐸对折，
使点𝐶落在△𝐴𝐵𝐶外的点𝐶′处，若∠1 = 30°，则∠2的度数为（ ）
A．100°
B．110°
C．125°
D．130°
7．（25-26 七年级下·福建宁德·期中）如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）
上，黑棋A，B，C 围成△𝐴𝐵𝐶，白棋D，E，F，G 在△𝐴𝐵𝐶中，则正好与△𝐴𝐵𝐶的重心位置重合的白棋
是（ ）
A．𝐷
B．𝐸
C．𝐹
D．𝐺
8．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60∘，∠𝐶= 40∘，𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高线，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐷𝐵𝐸的
度数是（ ）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
9．（25-26 七年级下·山西吕梁·期中）如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，
入射光线𝐷𝐸和反射光线𝐶𝐷分别位于法线𝐷𝐹的两侧，入射角∠𝐸𝐷𝐹等于反射角∠𝐶𝐷𝐹，𝐷𝐹⊥𝑂𝐴．若
∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐸𝐷𝐹= 60°，则∠𝐴𝑂𝐵的度数为（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
10．（25-26 七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知𝐸𝐹∥𝐺𝐻，A、D 为𝐺𝐻上的两点，M、B 为𝐸𝐹上的两点，
延长𝐴𝑀至点C，𝐴𝐵平分∠𝐷𝐴𝐶，点N 在射线𝐷𝐵上，且𝐵𝑁平分∠𝐹𝐵𝐶，若∠𝐴𝐶𝐵= 110°．则下列结论：①
∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷；②∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐵𝐴𝑀；③∠𝑁𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐻；④若∠𝐶𝐵𝑀= 𝛼，则∠𝐵𝐴𝐷= 55°−
1
2𝛼；⑤
∠𝐷𝐵𝐴= 55°其中，正确的有（ ）个
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 86°，△𝐴𝐵𝐶的两条内角平分线𝐵𝐸、𝐶𝐷交于点𝑃，则∠𝐵𝑃𝐶的度数为______°．
12．（25-26 七年级下·陕西渭南·期中）如图所示，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵= 8,𝐴𝐶= 6, △𝐴𝐶𝐷的周长为
24，则△𝐴𝐵𝐷的周长为__________．
13．（25-26 八年级上·湖南邵阳·期末）若三角形的三边分别是3，4，𝑥，且𝑥是整数，则满足条件的三角形
有___________个．
14．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，我校建筑多为东西方向“坐北朝南”，初中部𝐴和初中食堂
𝐵在一条直线上，幼儿园𝐶与小学部𝐷在一条直线上，高中部𝐸在初中食堂的南偏东，∠𝐴𝐵𝐸= 110°，
∠𝐶𝐷𝐸= 140°，则∠𝐸为________°．
15．（25-26 九年级下·山东菏泽·期中）如图，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴逆时针旋转一定角度得到△𝐴𝐷𝐸，使点𝐵的对
应点𝐷落在𝐵𝐶上，𝐷𝐸与𝐴𝐶交于点𝐹．若∠𝐴𝐵𝐶= 55°, ∠𝐴𝐶𝐵= 35°，则∠𝐸𝐹𝐶的度数为__________．
16．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 𝛼，∠𝐴𝐵𝐶的平分线与∠𝐴𝐶𝐷的平分线交于点𝐴1得∠𝐴1，∠𝐴1𝐵𝐶的平分线与∠𝐴1
𝐶𝐷的平分线交于点𝐴2，得∠𝐴2，…，∠𝐴5𝐵𝐶的平分线与∠𝐴5𝐶𝐷的平分线交于点𝐴6，得∠𝐴6，则∠𝐴6 = ________．
三、解答题（本大题共9 小题，满分72 分）
17．（6 分）（25-26 七年级下·吉林长春·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵> ∠𝐵，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝑃为线段
𝐴𝐷上的任意一点，𝐸𝑃⊥𝐴𝐷交直线𝐵𝐶于点𝐸．
(1)若∠𝐵= 40°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°，求∠𝐸的度数；
(2)求证：∠𝐸=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)．
18．（6 分）（25-26 八年级上·重庆江津·期末）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵> 𝐴𝐶，𝐷𝐸、𝐷𝐹分别是△𝐴𝐶𝐷
的高与角平分线．
(1)若△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长差为2，𝐴𝐵= 7，求𝐴𝐶的长；
(2)若∠𝐴𝐶𝐵= 62°，∠𝐷𝐴𝐶= 40°，求∠𝐸𝐷𝐹的度数．
19．（6 分）（25-26 八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，𝐷是△𝐴𝐵𝐶中 𝐴𝐵边上一点，连接𝐶𝐷，且
∠𝐴𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐵．
(1)图中共有几个三角形，分别是哪些?
(2)𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的 ．（填“高线”“中线”或“角平分线”）
(3)若∠𝐴𝐶𝐷= 45°，∠𝐵= 35°，求∠𝐴 的度数．
20．（8 分）（24-25 八年级上·贵州遵义·阶段检测）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论．
如图，已知∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶是△𝐴𝐵𝐶的内角，求证：∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°．
小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法：
小颖作的辅助线如图①，过点𝐶作𝐷𝐸∥𝐴𝐵；小星作的辅助线如图②，作𝐴𝐵的延长线𝐴𝐹，作𝐵𝐸∥𝐴𝐶；小红
作的辅助线如图③，作𝐶𝐺∥𝐴𝐵；
请你认真阅读思考并完成如下问题：
(1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程．
(2)在图2 中，求证：∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐴+ ∠𝐶．
21．（8 分）（25-26 七年级下·吉林长春·期中）已知𝐴𝐵,𝐶𝐷相交于点𝑂,∠𝐴= 50°,∠𝐷= 40°．
(1)如图1，若𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐷交𝐶𝐷于点𝐹，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷交𝐴𝐵于点𝐺，求∠𝐵𝐸𝐶的度数；
(2)如图2，延长𝐴𝐶至点𝐻，若直线𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐷交𝐶𝐷于点𝐹，𝐶𝑀平分∠𝐷𝐶𝐻交直线𝐵𝐹于点𝑀，求∠𝐵𝑀𝐶的度
数．
22．（9 分）（25-26 七年级下·广东湛江·期中）我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4 倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个
内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，∠𝑀𝑂𝑁= 60°，点𝐴在边𝑂𝑀上，过点𝐴作𝐴𝐵⊥𝑂𝑀交𝑂𝑁于点𝐵，以𝐴为端点作射线𝐴𝐷，交线段𝑂𝐵于
点𝐶（点𝐶不与𝑂，𝐵重合）
（1）∠𝐴𝐵𝑂的度数为 ，△𝐴𝑂𝐵 （填“是”或“不是” ) “和谐三角形”；
（2）若∠𝐴𝐶𝐵= 84°，试说明：△𝐴𝑂𝐶是“和谐三角形”．
【应用拓展】
（3）如图2，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上，连结𝐷𝐶，作∠𝐴𝐷𝐶的平分线交𝐴𝐶于点𝐸，在𝐷𝐶上取点𝐹，使
∠𝐸𝐹𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵．若△𝐵𝐶𝐷是“和谐三角形”，请直接写出∠𝐵的度数．
23．（9 分）（25-26 八年级上·山东日照·期末）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷为直线𝐵𝐶上任意一点，连接𝐴𝐷，
𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，𝐵𝐺⊥𝐴𝐶于点𝐺．
(1)如图1，观察、测量、猜想、证明𝐷𝐸，𝐷𝐹，𝐵𝐺之间的数量关系，完善空格内容．
小明是这样证明的：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= __________ + 𝑆△𝐴𝐶𝐷．
∴
1
2𝐴𝐶⋅𝐵𝐺=
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐸+ __________．
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴__________．
(2)如图1，当点𝐷为𝐵𝐶中点时，试判断𝐵𝐺与𝐷𝐸的数量关系__________．
(3)如图2，当点𝐷在𝐵𝐶的延长线上时，请猜想𝐷𝐸，𝐷𝐹，𝐵𝐺之间的数量关系并证明．
24．（10 分）（25-26 八年级上·江西吉安·期末）【发现问题】
如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴𝑀𝑁的光线𝐴𝐵和𝐶𝐷经过凹透镜的折射后，折射
光线𝐵𝐸，𝐷𝐹的反向延长线交于主光轴𝑀𝑁上一点𝑃．
【提出问题】
小明提出：如图①∠𝐵𝑃𝐷，∠𝐴𝐵𝑃和∠𝐶𝐷𝑃三个角之间存在着怎样的数量关系？
【分析问题】
已知平行，可以利用平行线的性质，把∠𝐵𝑃𝐷分成两部分进行研究．
【解决问题】
(1)请你帮小明解决这个问题，并说明理由．
(2)如图②，求∠𝑃，∠𝐴𝑀𝑃，∠𝐶𝑁𝑃的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，已知∠𝐴𝐵𝐶= 25°，∠𝐶= 60°，𝐴𝐸∥𝐶𝐷，求∠𝐵𝐴𝐸的度数．
25．（10 分）（25-26 七年级下·吉林长春·期中）结合图形，解答下列各题：
【问题】
(1)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵．若∠𝐴= 80°，则∠𝐵𝐸𝐶= _____；
【探究】
(2)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵．试猜想∠𝐵𝐸𝐶和∠𝐴有怎样的关系，并说明理由；
【应用】
(3)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷，𝐵𝐸三等分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐶𝐸三等分∠𝐴𝐶𝐵，若∠𝐴= 𝑛°，则∠𝐵𝐸𝐶= _____．
