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专题01 三角形中角度计算十二大常见几何模型（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【模型1 8 字模型】...............................................................................................................................................1
【模型2 A 字模型】..............................................................................................................................................3
【模型3 老鹰抓小鸡模型】..................................................................................................................................4
【模型4 飞镖模型】..............................................................................................................................................6
【模型5 余角模模型】..........................................................................................................................................7
【模型6 补角模模型】..........................................................................................................................................9
【模型7 一线三等角模模型】............................................................................................................................10
【模型8 三角形双内角平分线夹角模模型】....................................................................................................12
【模型9 三角形双外角平分线夹角模模型】....................................................................................................13
【模型10 三角形一内一外角平分线夹角模模型】............................................................................................14
【模型11 8 字形双角平分线夹角模模型】.........................................................................................................15
【模型12 燕尾形双角平分线夹角模模型】........................................................................................................17
模型1：8 字模型
结论：①∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐷，
②∠𝐴= ∠𝐶⇔∠𝐵= ∠𝐷．
【模型1 8 字模型】
【例1】（24-25 八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，已知线段𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点O，连接𝐴𝐵、𝐶𝐷，我们
把形如这样的图形称为“八字图形”．
题型归纳
(1)求证：∠𝐴+ ∠𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷；
(2)利用八字图形解决问题：如图②，若∠𝐶𝐴𝐵和∠𝐵𝐷𝐶的平分线𝐴𝑃和𝐷𝑃相交于点P，与𝐶𝐷、𝐴𝐵分别交于点
M，N．
①若∠𝐵= 100°，∠𝐶= 120°，求∠𝑃的度数；
②根据①的结果直接写出∠𝐵，∠𝐶，∠𝑃之间的关系是__________________．
【变式1-1】如图，AB 和CD 相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D
B．∠1＝∠A＋∠D
C．∠2＞∠D
D．∠C＝∠D
【变式1-2】如图，将矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹折叠，点𝐶落在边𝐴𝐵上的点𝐻处，点𝐷落在点𝐺处，若
∠𝐺𝐸𝐹= 111°，则∠𝐴𝐻𝐺的度数为（ ）．
A．42°
B．69°
C．44°
D．32°
【变式1-3】（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8 字形”，试说明：∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐷．
（2）如图（2），𝐴𝑃，𝐶𝑃分别平分∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐵𝐶𝐷，若∠𝐴𝐵𝐶= 36°，∠𝐴𝐷𝐶= 16°．求∠𝑃的度数．
（3）如图（3），直线𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝑃平分∠𝐵𝐶𝐷的外角∠𝐵𝐶𝐸，猜想∠𝑃与∠𝐵、∠𝐷的数量关系是______；
（4）如图（4），直线𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐷的外角∠𝐹𝐴𝐷，𝐶𝑃平分∠𝐵𝐶𝐷的外角∠𝐵𝐶𝐸，猜想∠𝑃与∠𝐵、∠𝐷的数量关
系是______．
模型2：A 字模型
结论：①∠1 + ∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐶，
②∠3 + ∠4 = 180° + ∠𝐴．
【模型2 A 字模型】
【例2】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 65°，直线𝐷𝐸交𝐴𝐵于点D，交𝐴𝐶于点E，则∠𝐵𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐷= （ ）．
A．180°
B．215°
C．235°
D．245°
【变式2-1】如图是某建筑工地上的人字架，若∠1 = 120°，那么∠3−∠2的度数为_________．
【变式2-2】将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1 = 125°，则∠2的度数为（
）
A．35°
B．40°
C．45°
D．55°
【变式2-3】探索归纳：
(1)如图1，已知△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，∠𝐴= 90°，若沿图中虚线剪去∠𝐴，则∠1 + ∠2 = ______；
(2)如图2，已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 30°，剪去∠𝐴后成四边形，则∠1 + ∠2 = ______；
(3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1 + ∠2与∠𝐴的关系是______；
(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3 形状，试探究∠1 + ∠2与∠𝐴的关系，并说明理由．
模型3：老鹰抓小鸡模型
结论：∠1 + ∠2 = ∠𝐴+ ∠𝐷．
【模型3 老鹰抓小鸡模型】
【例3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸分别是边𝐴𝐵，𝐴𝐶上一点，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠，使点𝐴的对称点𝐴′落在边
𝐵𝐶上，若∠𝐴= 50°，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = ______．
【变式3-1】（24-25 八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶≤𝐵𝐶，将△𝐴𝐵𝐶
沿𝐸𝐹折叠，使点A 落在直角边𝐵𝐶上的D 点处，设𝐸𝐹与𝐴𝐵，𝐴𝐶边分别交于点E、点F，如果折叠后△𝐶𝐷𝐹
与△𝐵𝐷𝐸均为等腰三角形，则∠𝐵的度数为（ ）度．
A．30
B．45
C．60
D．30 或45
【变式3-2】如图所示，把一个三角形纸片ABC 的三个顶角向内折叠（3 个顶点不重合），①若∠𝐴= 55°，
则∠𝐴′ = ______；②图中∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6的度数和是______．
【变式3-3】（1）如图1，把△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠，使点A 落在点𝐴′处，试探索∠1 + ∠2与∠𝐴的关系（不必证
明）
（2）如图2，𝐵𝐼平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐼平分∠𝐴𝐶𝐵，把△𝐴𝐵𝐶折叠，使点A 与点I 重合，若∠1 + ∠2 = 110°，求∠𝐵𝐼𝐶
的度数；
（3）如图3，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐹⊥𝐴𝐶于点F，𝐶𝐺⊥𝐴𝐵于点G，𝐵𝐹、𝐶𝐺交于点H，把△𝐴𝐵𝐶折叠使点A
和点H 重合，试探索∠𝐵𝐻𝐶与∠1 + ∠2的关系，并证明你的结论．
模型4：飞镖模型
结论：∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= ∠𝐷．
【模型4 飞镖模型】
【例4】（24-25 八年级上·湖北孝感·阶段检测）（1）如图①，求证：∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶；
（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，∠𝐴= 38°,∠𝐷= 12°,∠𝐴𝐵𝐶= 64°,∠𝐵𝐶𝐷= 46°，求椅面和椅
背的夹角∠𝐴𝐸𝐷的度数；
（3）如图③，∠𝐴𝐵𝐶= 100°,∠𝐷𝐸𝐹= 130°，则∠𝐴+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐹的度数为 ．
【变式4-1】在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中∠𝐴= 52°，∠𝐵= 25°，
∠𝐶= 30°，∠𝐸= 72°，∠𝐹= 65°，则∠D 的度数为（ ）
A．35°
B．45°
C．30°
D．24°
【变式4-2】如图，𝐵𝐺是∠𝐴𝐵𝐷的平分线，CH 是∠𝐴𝐶𝐷的平分线，𝐵𝐺与CH 交于点𝑂，若∠𝐵𝐷𝐶= 150°，
∠𝐵𝑂𝐶= 110°，求∠𝐴的度数.
【变式4-3】如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那
么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究∠𝐵𝐷𝐶与∠𝐴、∠𝐵、∠𝐶之间的关系，并说明理由．
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图（2），把一块三角尺𝑋𝑌𝑍放置在△𝐴𝐵𝐶上，使三角尺的两条直角边𝑋𝑌、𝑋𝑍恰好经过点𝐵、𝐶，若
∠𝐴= 40°，则∠𝐴𝐵𝑋+ ∠𝐴𝐶𝑋= °．
②如图（3），𝐷𝐶平分∠𝐴𝐷𝐵，𝐸𝐶平分∠𝐴𝐸𝐵，若∠𝐴= 40°，∠𝐷𝐵𝐸= 120°，求∠𝐷𝐶𝐸的度数．
③如图（4），∠𝐴𝐵𝐷，∠𝐴𝐶𝐷的10 等分线相交于点𝐺1、𝐺2…、𝐺9，若∠𝐵𝐷𝐶= 130°，∠𝐵𝐺1𝐶= 67°，请直
接写出∠𝐴的度数是 ．
模型5：余角模型
结论：①∠1 = ∠𝐵，
②∠2 = ∠𝐴．
结论：①∠𝐵= ∠𝐸，
②∠1 = ∠2 = ∠𝐴．
【模型5 余角模模型】
【例5】如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC
是______________．
【变式5-1】（25-26 七年级下·北京·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是斜边𝐴𝐵上的高，∠𝐵𝐶𝐷= 35°，则∠𝐴
为______°．
【变式5-2】（2026·河北秦皇岛·一模）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知∠1 = 30°，∠2 = 45°，则
∠3 = _____．
【变式5-3】（25-26 八年级上·上海·阶段检测）如图，△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于D，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于E，则∠1与∠2的
关系是________
模型6：补角模型
条件：∠𝐴+ ∠𝐶= 180°．
结论：∠1 = ∠𝐵．
【模型6 补角模模型】
【例6】（24-25 七年级下·江苏南京·期末）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷两组对边的延长线分别交于点E，F，
∠𝐸= 40°，∠𝐹= 60°，若∠𝐴与∠𝐵𝐶𝐷互补，则∠𝐴的度数为________．
【变式6-1】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴与∠𝐷𝐶𝐵互补，E 为𝐵𝐶延长线上的点，且
∠1 + ∠2 + ∠𝐷𝐶𝐸= 224°，则∠𝐴的度数是______．
【变式6-2】如图，𝐴𝐷与𝐵𝐸相交于𝐹，∠𝐴= ∠𝐶，∠1与∠2互补．
(1)说明𝐴𝐵∥𝐶𝐸的理由；
(2)若∠1 = 85°，∠𝐸= 26°，求∠𝐴的度数．
【变式6-3】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴与∠𝐶互补，𝐵𝐸、𝐷𝐹分别平分∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐷𝐶，𝐸𝐺∥𝐴𝐵与𝐵𝐶相交
于点G．
(1)∠1与∠2有怎样的数量关系？说明理由：
(2)若∠𝐴= 108°，∠1 = 46°，求∠𝐶𝐸𝐺的度数．
模型7：一线等三角模型
类型一 一线三垂直
类型二 同侧一线三等角
类型三 异侧一线三等角
条件：∠1 = ∠2 = ∠3．
结论：①∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐷，
②∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸．
【模型7 一线三等角模模型】
【例7】如图，P 是∠𝐵𝐴𝐶内一点，∠𝐴𝐵𝑃= 37°，∠𝐴𝐶𝑃= 25°，过点P 作直线𝐸𝐹，交𝐴𝐵，𝐴𝐶分别于E，
F．若∠𝐵𝐸𝑃= ∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐹𝐶，则∠𝐵𝐴𝐶= _________°．
【变式7-1】（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶边上一点，𝐸为𝐴𝐶边上一点，
且∠𝐴𝐷𝐸= 60°．求证：∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸𝐷𝐶．
【变式7-2】（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，直角顶点𝐴在直线𝑙上，过点𝐵、𝐶分别
作直线𝑙的垂线，垂足分别为𝐷、𝐸.求证：∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸．
【变式7-3】如图1，AB⊥BC 于点B，CD⊥BC 于点C，点E 在线段BC 上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF 分别平分∠BAE 和∠CDE，则∠F 的度数是 （直接写出答案即可）；
（3）如图3，EH 平分∠CED，EH 的反向延长线交∠BAE 的平分线AF 于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三
角形内角和等于180°）
模型8：三角形双内角平分线夹角模型
条件：BP 平分∠𝐴𝐵𝐶，CP 平分∠𝐴𝐶𝐵．
结论：∠𝑃= 90° + 1
2∠𝐴．
【模型8 三角形双内角平分线夹角模模型】
【例8】（24-25 八年级上·河南驻马店·期末）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的内角平分线交于点O．设
∠𝐵𝑂𝐶= 𝛽，则∠𝐴= （ ）
A．180°−𝛽
B．90°−
𝛽
2
C．2𝛽−180°
D．180°−
𝛽
2
【变式8-1】（24-25 八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知点𝑃为△𝐴𝐵𝐶三条内角平分线𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹
的交点，过𝐷作𝐷𝐺⊥𝑃𝐶于𝐺，则∠𝑃𝐷𝐺等于（ ）
A．∠𝐴𝐵𝐸
B．∠𝐷𝐴𝐶
C．∠𝐵𝐶𝐹
D．∠𝐶𝑃𝐸
【变式8-2】如图，若ΔABC 的三条内角平分线相交于点I，过I 作DE⊥AI 分别交AB、AC 于点D、E，则图
中与∠ICE 一定相等的角(不包括它本身)有____________________个．
【变式8-3】我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，
(1)如图1，若∠𝐴𝐵𝐶= 40°与∠𝐴𝐶𝐵= 60°，求∠𝐵𝐼𝐶的度数．
(2)如图2，若△𝐴𝐵𝐶的三条内角平分线相交于点I，过I 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐼分别交𝐴𝐵、𝐴𝐶于点D、E．试写出∠𝐵𝐼𝐶
与∠𝐵𝐷𝐼之间有何数量关系，并说明理由．
(3)定义：有两个角分别相等的两个三角形叫“孪生三角形”，
①图2 中“孪生三角形”共 对；
②图2 中当∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐵𝐴𝐶满足怎样的数量关系时，△𝐵𝐷𝐼与△𝐵𝐴𝐼也成为“孪生三角形”（直接写出结论）．
模型9：三角形双外角平分线夹角模型
条件：BP 平分∠𝐷𝐵𝐶，CP 平分∠𝐸𝐶𝐵．
结论：∠𝑃= 90°−1
2∠𝐴．
【模型9 三角形双外角平分线夹角模模型】
【例9】△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 100°，若𝐵𝑁、𝐶𝑁分别是∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的外角平分线，则∠𝑁= ________度．
【变式9-1】（24-25 八年级上·河南驻马店·期中）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的外角平分线交于点O．设
∠𝐵𝑂𝐶= 𝛽，则∠𝐴= （ ）
A．180°−𝛽
B．90°−
𝛽
2
C．180°−2𝛽
D．180°−
𝛽
2
【变式9-2】如图，𝐸𝐺，𝐹𝐺分别是∠𝑀𝐸𝐹和∠𝑁𝐹𝐸的角平分线，交点是𝐺，𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝑀𝐵𝐶和∠𝑁𝐶𝐵的
角平分线，交点是𝑃，𝐹，𝐶在𝐴𝑁上，𝐵，𝐸在𝐴𝑀上，若∠𝐺= 69°，那么∠𝑃= ______．
【变式9-3】如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A1，∠A1BC 的平分
线与∠A1CD 的平分线交于点 A2，…∠An-1BC 的平行线与∠An-1CD 的平分线交于点 An，设∠A=θ，则
∠An=_____．
模型10：三角形一内一外角平分线夹角模型
条件：BP 平分∠𝐴𝐵𝐶，CP 平分∠𝐴𝐶𝐷．
结论：∠𝑃= 1
2∠𝐴．
【模型10 三角形一内一外角平分线夹角模模型】
【例10】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐴延长线上一点，∠𝐶𝐴𝐷的平分线与∠𝐶𝐵𝐷的平分线相交于点𝐸．
(1)若∠𝐶𝐵𝐴= 44°，∠𝐶𝐴𝐷= 80°，则∠𝐶的度数是__________，∠𝐸的度数是__________．
(2)当∠𝐸+ ∠𝐶= 60°，∠𝐸𝐵𝐴= 25°时，求∠𝐶𝐴𝐷的度数．
【变式10-1】（24-25 七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，两条相交的直线𝑂𝑋、𝑂𝑌，∠𝑋𝑂𝑌= 56°，𝐴、𝐵
分别是直线𝑂𝑋、𝑂𝑌上的两个动点，作∠𝐴𝐵𝑌的平分线𝐵𝐷，直线𝐵𝐷交∠𝑂𝐴𝐵的平分线于点𝐶，则∠𝐴𝐶𝐵=
________．
【变式10-2】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷𝐴𝐵的角平分线与∠𝐴𝐵𝐶的外角平分线相交于点P，且
∠𝐷+ ∠𝐶= 210°，则∠𝑃= （ ）
A．10°
B．15°
C．30°
D．40°
【变式10-3】（25-26 八年级上·山东临沂·阶段检测）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点O，∠𝐴𝐶𝐵
的外角平分线所在直线与∠𝐴𝐵𝐶的平分线相交于点D，与∠𝐴𝐵𝐶的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正
确的是（ ）
①∠𝐵𝑂𝐶= 90° +
1
2∠𝐴；②∠𝐷=
1
2∠𝐴；③∠𝐸= ∠𝐴；④∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹= 90° + ∠𝐴𝐵𝐷．
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④
模型11：8 字形双角平分线夹角模型
条件：AP 平分∠𝐵𝐴𝐷，CP 平分∠𝐵𝐶𝐷．
结论：∠𝑃= 1
2(∠𝐵+ ∠𝐷)．
【模型11 8 字形双角平分线夹角模模型】
【例11】如图1，已知线段𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点O，连接𝐴𝐶、𝐵𝐷，则我们把形如这样的图形称为“8 字型”．
(1)由图1 可知：∠𝐴+ ______ = ∠𝐵+ ∠𝐷；
(2)如图2，若∠𝐶𝐴𝐵和∠𝐵𝐷𝐶的平分线𝐴𝑃和𝐷𝑃相交于点P，与𝐶𝐷、𝐴𝐵分别相交于点M、N．
①以线段𝐴𝐶为边的“8 字型”有______个，以点𝑂为交点的“8 字型”有______个；
②若∠𝐵= 100°，∠𝐶= 120°，求∠𝑃的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠𝐶𝐴𝐵= 𝑛∠𝐶𝐴𝑃，∠𝐶𝐷𝐵= 𝑛∠𝐶𝐷𝑃”，试探究∠𝑃与∠𝐵、∠𝐶之间存在的数量
关系（用含n 的等式来表示），并证明理由．
(3)如图3，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，若点E 是𝐴𝐵延长线上的一点，𝐷𝐸交𝐶𝐵于点F，分别作
∠𝐹𝐷𝐶、∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，两条角平分线交于点G，直线𝐺𝐵交𝐶𝐷于点M，若∠𝐷𝐹𝐶= 110°，则∠𝐷𝐺𝐵= ______
°．
【变式11-1】如图，𝐴𝐵和𝐶𝐷相交于点O，∠𝐶= ∠𝐶𝑂𝐴,∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷,𝐴𝑃,𝐷𝑃分别平分∠𝐶𝐴𝑂和∠𝐵𝐷𝐶，若
∠𝐶+ ∠𝑃+ ∠𝐵= 165°，则∠𝐶= ____°．
【变式11-2】阅读材料：
如图1 所示，线段𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点𝑂，称△𝐴𝑂𝐶与△𝐷𝑂𝐵为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对
顶三角形”有如下性质：∠𝐴+ ∠𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷．
（图1） （图
2） （图3）
（1）如图2 所示，线段𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点𝑂，∠𝐶𝐴𝑂与∠𝐵𝐷𝑂的平分线𝐴𝑃和𝐷𝑃相交于点𝑃，𝐴𝑃交𝐶𝐷于点𝑀，𝐷𝑃
交𝐴𝐵于点𝑁，已知∠𝐵= 96°，∠𝐶= 98°，则∠𝑃的度数是__________．
（2）如图3 所示，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= __________．
【变式11-3】平面内，四条线段AB，BC，CD，DA 首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．
（1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC 的大小．
（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N（如图2），求∠ANC．
模型12：①燕尾形双角平分线夹角模型1
条件：BP 平分∠𝐴𝐵𝐷，CP 平分∠𝐴𝐶𝐷．
结论：∠𝑃= 1
2(∠𝐴+ ∠𝐷)．
②燕尾形双角平分线夹角模型2
条件：AP 平分∠𝐵𝐴𝐶，DP 平分∠𝐵𝐷𝐶(∠𝐶> ∠𝐵)．
结论：∠𝑃= 1
2(∠𝐶−∠𝐵)．
【模型12 燕尾形双角平分线夹角模模型】
【例12】如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，与∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐵𝐶相邻的两外角的平分线交于点𝐸，
若∠𝐴= 50°，则∠𝐸的度数为（ ）
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
【变式12-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°，𝐵𝐷、𝐶𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐸，𝐶𝐸分别平分∠𝐷𝐵𝐶和
∠𝐷𝐶𝐵，则∠𝐵𝐸𝐶等于（ ）
A．140°
B．150°
C．165°
D．170°
【变式12-2】如图，点B、C 在∠MAN 的两条边上运动，∠ABC 和∠ACB 的平分线的交于点O．
(1)如图1，若∠MAN=68°，点B、C 在运动过程中，∠BOC 的大小会改变吗？如果不会，请求出∠BOC 的度
数；如果会，请说明理由．
(2)如图2，若∠MAN=n，CH 是∠BCN 的平分线，CH 的反向延长线交BO 的延长线于点G，求∠G 的度数
（用含n 的式子表示）．
【变式12-3】在图a 中，应用三角形外角的性质不难得到下列结论：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．我们可以应
用这个结论解决同类图形的角度问题．
(1)在图a 中，若∠1=20°，∠2=30°，∠BEC=100°，则∠BDC= ；
(2)在图a 中，若BE 平分∠ABD，CE 平分∠ACD，BE 与CE 交于E 点，请写出∠BDC，∠BEC 和∠BAC 之间
的关系；并说明理由．
(3)如图b，若∠1 =
1
3∠𝐴𝐵𝐷，∠2 =
1
3∠𝐴𝐶𝐷试探索∠BDC，∠BEC 和∠BAC 之间的关系．（直接写出）
