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专题02 与三角形的角有关的必考六类大题（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 与三角形的角有关的挖空题】................................................................................................................1
【题型2 与三角形的角有关的计算】....................................................................................................................7
【题型3 探究与三角形有关的角之间的关系】..................................................................................................10
【题型4 探究与三角形有关的线段之间的位置关系】......................................................................................14
【题型5 与三角形的角有关的证明】..................................................................................................................17
【题型6 与三角形的角有关的折叠问题】..........................................................................................................20
【题型1 与三角形的角有关的挖空题】
1．（25-26 八年级上·广西南宁·阶段检测）将下列推理过程补充完整．
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐴𝐸，𝐵𝐹是角平分线，它们相交于点𝑂，∠𝐵𝐴𝐶= 50°，∠𝐶= 70°．求∠𝐷𝐴𝐶和
∠𝐵𝑂𝐴的度数．
解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ，
∵∠𝐶= 70°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= −∠𝐶= ，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 50°，
∴∠𝐵𝐴𝑂=
1
2 = ，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 180°−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶= 60°（ ），𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝑂=
1
2 = ，
题型归纳
∴∠𝐵𝑂𝐴= −∠𝐵𝐴𝑂−∠𝐴𝐵𝑂= ．
2．（25-26 七年级下·全国·周测）如下图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐴平分∠𝐵𝐶𝐷．试说明：𝐴𝐶⊥𝐵𝐷．
下面是小明的解答过程，请补充完整．
解：因为𝐴𝐵∥𝐶𝐷（已知），
所以∠𝐴𝐵𝐶+ ____________ = 180°（________________________）．
因为𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐴平分∠𝐵𝐶𝐷（已知），
所以∠𝐷𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=
1
2∠𝐵𝐶𝐷（角平分线的定义），
所以∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵=
1
2（____________）（等式性质），
即∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= ____________．
因为∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐸𝐶= 180°（________________________），
所以∠𝐵𝐸𝐶= ____________（等式性质），
所以𝐴𝐶⊥𝐵𝐷（____________）．
3．将下面求解的过程补充完整：
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 25°，∠𝐵𝐴𝐶= 31°，过点𝐴作𝐵𝐶边上的高，交𝐵𝐶的延长线于点𝐷，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷
交𝐴𝐷于点𝐸，求∠𝐴𝐸𝐶的度数．
解：∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的一个外角，且∠𝐵= 25°，∠𝐵𝐴𝐶= 31°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠ +∠ = ．
(三角形的外角等于与它 的和) 又∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷= °，
又∵∠𝐴𝐸𝐶是△𝐶𝐷𝐸的一个外角，且𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠ +∠ = ．
4．（25-26 七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形𝐴𝐵𝐶，点𝐷在𝐵𝐴的延长线上，𝐴𝐸是∠𝐷𝐴𝐶的平分线，
若∠𝐵= ∠𝐶，求证：𝐴𝐸∥𝐵𝐶
（请把证明过程补充完整）
∵点𝐷在𝐵𝐴延长线上
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠___________ = 180°
∵∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°（ ）
∴∠𝐵+ ∠𝐶= ___________
∵___________ = ___________
∴∠𝐵=
1
2∠___________
∵𝐴𝐸是∠𝐷𝐴𝐶的平分线
∴___________
∴___________
∴𝐴𝐸∥𝐵𝐶（ ）
5．（24-25 八年级上·浙江金华·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶的两条高线𝐵𝐸，𝐶𝐹相交于点O．将下面证明
∠𝐵𝑂𝐶= 180°−∠𝐴的过程补充完整．
证明：∵𝐵𝐸，𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的两条高线（已知）
∴∠𝑂𝐸𝐶= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°（高线的意义）
∴∠𝐴𝐶𝐹+ （ ）= 90°（ ）
∴∠𝐴𝐶𝐹= 90°−∠𝐴
∴∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝑂𝐸𝐶+ （ ）= 90° + 90°−∠𝐴= 180°−∠𝐴
6．（24-25 七年级下·上海闵行·期中）如图，已知在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐵𝐶上，连接𝐴𝐷，点𝐸、𝐹分别在𝐴𝐷、𝐴𝐵
上，连接𝐷𝐹、𝐸𝐹，∠1 + ∠2 = 180°．
(1)求证：∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐹𝐷𝐵．把以下证明过程补充完整：证明：
∵∠1 + ∠2 = 180°（已知），
又∵∠𝐷𝐸𝐹+ ∠2 = 180°（___________），
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠1（___________）．
∴𝐸𝐹∥𝐶𝐷（___________）．
∴∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐹𝐷𝐵（___________）
(2)如果∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶，𝐷𝐹平分∠𝐴𝐷𝐵，求证：∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐶．
7．（24-25 八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，∠𝐵𝐶𝐷= 50°，∠𝐴= 30°．
求：
(1)∠𝐸𝐵𝐶的度数（填空，把解答过程补充完整）；
(2)∠𝐴𝐶𝐵的度数（写出解答过程）．
解：（1）∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵（已知），
∴∠𝐶𝐷𝐵= ________（垂直的定义）．
∵∠𝐸𝐵𝐶= ∠________ +∠________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和），
∴∠𝐸𝐵𝐶= ________ +50° = ________．
答：∠𝐸𝐵𝐶的度数为________．
8．（24-25 八年级上·河南新乡·阶段检测）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将解题过程补充完整．
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，点𝐷、𝐸分别在边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐸，
∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐶𝐵𝐷，𝐵𝐸与𝐶𝐷交于点𝐹，判断∠𝐵𝐷𝐹与∠𝐵𝐹𝐷的数量关系．
解：∠𝐵𝐷𝐹与∠𝐵𝐹𝐷的数量关系是：______；
理由：设∠𝐴= 𝛼，∠𝐴𝐵𝐶= 𝛽
∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵
∴𝛼+ 2𝛽= ______°
又∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐸= 𝛼
∴∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶−∠______ = ______
∵∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐶𝐵𝐷= 𝛽
∴∠𝐷𝐶𝐵= 180°−∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐶𝐷𝐵= ______
∵∠𝐵𝐹𝐷是△𝐵𝐶𝐹的外角，
∴∠𝐵𝐹𝐷= ∠______ +∠______ = ______，
∴∠𝐵𝐷𝐹与∠𝐵𝐹𝐷的数量关系是______．
9．（24-25 八年级上·河南安阳·阶段检测）下面是多媒体上的一道习题，请将过程补充完整．
如图，已知点D，E 分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐴和𝐵𝐶延长线上的点，两角（∠𝐷𝐴𝐶与∠𝐴𝐶𝐸）的平分线交于点P，
若∠𝑃= 70°，求∠𝐵的度数．
解：在△𝐴𝑃𝐶中，根据三角形内角和定理可知：
∠𝑃+ ∠𝑃𝐴𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐴= ______°
又∠𝑃= 70°，
∴经计算：∠𝑃𝐴𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐴= _______°
又𝑃𝐴平分∠𝐷𝐴𝐶，𝑃𝐶平分∠𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ______∠𝑃𝐴𝐶,∠𝐴𝐶𝐸= _______∠𝑃𝐶𝐴 （角平分线认识）
∴∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐸= ______°
又∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵+ ∠_______（三角形外角的性质）
且∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸= _______°（平角的性质）
∴∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸= _________°，
∴∠𝐵= ________°
10．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐺平分∠𝐴𝐵𝐶，点𝐷在射线𝐴𝐶上，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐵𝐺于点𝐻，交边𝐴𝐵于点𝐹；交边𝐵𝐶
于点𝐸，试说明：2∠𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴.请补充下面的说明过程，并在括号内写出相应的根据.
证明：∵ ∠3是△𝐴𝐷𝐹的外角（已知）
∴ ∠3 = ∠𝐷+ ∠____，（ ）
同理，∠____ = ∠5 + ∠𝐷，
∴ ∠5 = ∠____−∠𝐷，
又∵ 𝐷𝐹⊥𝐵𝐺于点𝐻，
∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 = 90°，（ ）
∵ 𝐵𝐺平分∠𝐴𝐵𝐶，（已知）
∴ ∠1 = ∠2，（角平分线定义）
∴________，（等角的余角相等）
而∠4 = ∠5（对顶角相等）
∴ ∠3 = ∠5，（等量代换）
即________ = ________，
∴ 2∠𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴.
【题型2 与三角形的角有关的计算】
11．（25-26 七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐸是𝐵𝐶延长线上一点，𝐸𝐹⊥𝐴𝐷
于点𝐹，若∠𝐵= 58°，∠𝐸= 6°，求∠𝐴𝐶𝐵的度数．
12．（25-26 七年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图，𝐸𝐹∥𝐶𝐷，𝐺𝐷∥𝐶𝐴．
(1)求证：∠1 + ∠2 = 180°；
(2)若𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐺平分∠𝐶𝐷𝐵，且∠𝐴= 35°，求∠𝐴𝐵𝐶的度数．
13．（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图，𝐴𝐸为△𝐴𝐵𝐶中的角平分线，∠𝐴𝐶𝐵= 3∠𝐵，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，延长𝐴𝐸
至F，连接𝐶𝐹．
(1)求∠𝐵𝐴𝐶的度数；
(2)若∠𝐸𝐶𝐹= 2∠𝐹，求证：𝐴𝐵= 𝐴𝐹．
14．（25-26 七年级下·江苏南通·期末）如图，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐷的平分线，且𝐶𝐸交𝐵𝐴的延长线于点
E．
(1)若∠𝐴𝐶𝐷= 140°，∠𝐵= 40°，求∠𝐸的大小；
(2)求证：∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵+ 2∠𝐸．
15．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷交𝐴𝐵于点𝐷，且∠1 = ∠𝐵．
(1)判断𝐶𝐷与𝐴𝐵的位置关系，说明理由；
(2)若𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐵，且分别交𝐶𝐷，𝐵𝐶于点𝐹，𝐸．求证：∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐶𝐹𝐸．
16．（25-26 七年级下·四川乐山·期末）解决下列问题：
(1)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°，∠𝐴𝐵𝐶的平分线与外角∠𝐴𝐶𝐷的平分线交于点𝐸，求∠𝐸的度数；
(2)如图2，已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= 230°，∠𝐵𝐶𝐷的平分线𝐶𝐹与四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的外角∠𝐴𝐵𝐸的
平分线𝐵𝐹相交于点𝐹，求∠𝐹的度数．
17．（25-26 八年级上·安徽淮北·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵> ∠𝐵，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝑃为线段𝐴𝐷上的
任意一点，𝐸𝑃⊥𝐴𝐷交直线𝐵𝐶于点𝐸．
(1)若∠𝐵= 40°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°，求∠𝐸的度数；
(2)求证：∠𝐸=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)．
18．如图，∠𝐶𝐴𝐷与∠𝐶𝐵𝐷的角平分线交于点P．
(1)若∠𝐶= 35°,∠𝐷= 29°，求∠𝑃的度数；
(2)探究 ∠𝐷,∠𝐶,∠𝑃的数量关系并说明理由．
19．（24-25 七年级下·重庆沙坪坝·期末）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点𝐷是边𝐴𝐵上一点，将△𝐴𝐶𝐷沿直线
𝐶𝐷翻折得到△𝐸𝐶𝐷，𝐷𝐸与𝐶𝐵交于点𝐹．
(1)如图1，若𝐶𝐸∥𝐴𝐵，∠𝐵= 40°，求∠𝐸𝐷𝐶的度数；
(2)如图2，连接𝐵𝐸，∠𝐵𝐸𝐷的平分线交直线𝐶𝐷于点𝐺，且∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐺，若∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷，请说明∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐺；
(3)在（2）的条件下，若∠𝐺= 25°，在平面内将△𝐶𝐵𝐸绕点𝐶逆时针方向旋转一个角度𝛼(0 < 𝛼< 180°)得到
△𝐶𝐵1𝐸1．在旋转的过程中，直线𝐵1𝐸1与△𝐴𝐵𝐶的一边所在直线相交于点𝑀．当△𝐶𝑀𝐵1为直角三角形时，
请直接写出旋转角𝛼的度数．
20．（24-25 七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线𝑀𝑁，𝑃𝑄和一块含30°角的直角三角尺𝐴𝐵𝐶（其中
∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴𝐵𝐶= 30°）”为背景开展数学活动．将三角尺30°角的顶点B 放在直线𝑃𝑄上，直线𝐴𝐶与直
线𝑀𝑁相交于点E．
【操作探究】
（1）聪聪同学将三角尺𝐴𝐵𝐶按图1 所示放置，若∠𝐴𝐸𝑀= 30°，求∠𝐶𝐵𝑃的度数；
（2）明明同学将三角尺𝐴𝐵𝐶绕点B 旋转至图2 位置时，∠𝐴𝐸𝑀与∠𝐶𝐵𝑃有什么数量关系，猜想并证明；
【深入探究】
（3）如图3，如果直线𝑃𝑄不动，慧慧同学加大了平行线𝑀𝑁与𝑃𝑄之间的距离，使平行线之间的距离大于
𝐴𝐵．绕点B 旋转三角尺𝐴𝐵𝐶，点A 始终在平行线之间，请直接写出∠𝐴𝐸𝑀与∠𝐶𝐵𝑃所有可能的数量关系．
【题型3 探究与三角形有关的角之间的关系】
21．𝐴𝐵和𝐴𝐶相交于点𝐴，𝐵𝐷和𝐶𝐷相交于点𝐷，探究∠𝐵𝐷𝐶与∠𝐵、∠𝐶、∠𝐵𝐴𝐶的关系．
小明是这样做的：
解：如图（2）以点𝐴为端点作射线𝐴𝐷，
∵∠1是△𝐴𝐵𝐷的外角，∴∠1 = ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷，
同理∠2 = ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠1 + ∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷，
即∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶，
小英的思路是：如图(3)延长𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐸．
(1)按小英的思路完成∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶这一结论．
(2)如图（4），△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑂、𝐶𝑂分别是∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，且𝐵𝑂、𝐶𝑂相交于点𝑂.猜想∠𝐵𝑂𝐶与∠𝐴
有怎样的关系，并加以证明．
22．若∠A 与∠B 的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系．
（1）如图1，∠A 与∠B 的等量关系是 ；如图2，∠A 与∠B 的等量关系是 ；对于上面两种情况，请
用文字语言叙述： ．
（2）请选择图1 或图2 其中的一种进行证明．
23．阅读并填空．将三角尺（△𝑀𝑃𝑁，∠𝑀𝑃𝑁= 90°）放置在△𝐴𝐵𝐶上（点P 在△𝐴𝐵𝐶内），如图①所示，
三角尺的两边𝑃𝑀、𝑃𝑁恰好经过点B 和点C．我们来探究：∠𝐴𝐵𝑃与∠𝐴𝐶𝑃是否存在某种数量关系．
(1)特例探索：若∠𝐴= 50°，则∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= ______度；∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃= ______度；
(2)类比探索：求∠𝐴𝐵𝑃，∠𝐴𝐶𝑃，∠𝐴的关系，并说明理由；
(3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P 在△𝐴𝐵𝐶外，三角尺的两边𝑃𝑀、𝑃𝑁仍恰好经过点B
和点C，求∠𝐴𝐵𝑃，∠𝐴𝐶𝑃，∠𝐴的关系，并说明理由．
24．综合与实践：
问题情境：数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点E 是边AC 上一点，
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶．
特例分析：
(1)如图1，作∠𝐵𝐴𝐶的平分线交CB、BE 于D、F 两点．若∠𝐴𝐵𝐶= 70°，∠𝐶= 30°，求∠𝐸𝐹𝐷和∠𝐴𝐷𝐶．
类比猜想：
(2)奋斗小组在（1）的基础上，改变∠𝐵的大小，经过探究，他们发现∠𝐸𝐹𝐷与∠𝐴𝐷𝐶之间存在特定的等量关
系，请直接写出这一等量关系．
拓展探究：
(3)如图2，作△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐵𝐴𝐺的平分线，交CB 的延长线于点D，延长BE、DA 交于点F，请在图2 中
画出符合题意的图形，并探究（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出结论并说
明理由．
25．已知，𝛥𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶> ∠𝐵，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，𝑀是𝐴𝐸上一点，𝑀𝑁⊥𝐵𝐶于𝑁，
（1）当𝑀与𝐴重合时，如图1，
①若∠𝐵= 40°，∠𝐶= 80°，求∠𝐸𝑀𝑁的度数；
②问∠𝐸𝑀𝑁与∠𝐵，∠𝐶之间有何关系？请证明你的结论；
（2）如图2，𝐷是𝐵𝐶延长线上一点，若∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷，𝑀𝐶⊥𝐴𝐷于点𝐹，试探究∠𝐶𝑀𝑁与∠𝐴𝐶𝐵的关系．
26．（25-26 八年级上·江西宜春·期中）△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 80°，点𝐷，𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶，𝐵𝐶上的两个
定点，点𝑃是平面内一动点，令∠𝑃𝐷𝐴= ∠1，∠𝑃𝐸𝐵= ∠2，∠𝐷𝑃𝐸= ∠𝛼．
(1)如图（1），若点𝑃在线段𝐴𝐵上运动，
①当∠𝛼= 50°时，∠1 + ∠2 = ___________．
②写出∠𝛼，∠1，∠2之间的关系：___________．
(2)若点𝑃运动到边𝐴𝐵的延长线上，𝐷𝑃交𝐶𝐵于𝐹，如图（2），则∠𝛼，∠1，∠2之间有何关系？并说明理由．
27．（24-25 七年级下·西藏·期中）已知直线𝑙1 ∥𝑙2，𝑙3和𝑙1，𝑙2分别交于C，D 两点，点A，B 分别在线𝑙1，𝑙2
上，且位于𝑙3的右侧，点P 在直线𝑙3上，且不和点C，D 重合．
(1)如图1，有一动点P 在线段𝐶𝐷之间运动时，试确定∠1、∠2、∠3之间的关系，并给出证明．
(2)如图2，当动点P 在射线𝐷𝐶上运动时，上述的结论是否成立？若不成立，请写出图2 中∠1、∠2、∠3的关
系并证明．
28．已知𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐷的平分线，𝐶𝐸是∠𝐵𝐶𝐷的平分线，且𝐴𝐸与𝐶𝐸相交于点E．请你利用所学知识成下列问
题：
(1)如图①，若∠𝐷= 30°，∠𝐵= 40°，求∠𝐸的大小：
(2)如图②，求证： ∠𝐸=
1
2(∠𝐵−∠𝐷)；
(3)如图③，请直接写出∠𝐸与∠𝐷、∠𝐵之间等量关系．
29．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°，点𝐷，𝐸分别是边𝐴𝐶，𝐴𝐵上的点（不与𝐴，𝐵，𝐶重合），点𝑃是平面内一动点
（𝑃与𝐷，𝐸不在同一直线上），设∠𝑃𝐷𝐶= ∠1，∠𝑃𝐸𝐵= ∠2，∠𝐷𝑃𝐸= ∠𝛼．
(1)若点𝑃在边𝐵𝐶上运动（不与点𝐵和点𝐶重合），且∠𝛼= 50°，如图（1）所示，则∠1 + ∠2 = ；
(2)若点𝑃在△𝐴𝐵𝐶的外部，如图（2）所示，则∠𝛼，∠1，∠2之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．
(3)当点𝑃在边𝐶𝐵的延长线上运动时，请你通过画出图形进行探究，然后直接写出∠𝛼，∠1，∠2之间的关系．
30．已知△𝐴𝐵𝐶，𝐷为△𝐴𝐵𝐶所在平面上一点，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐷，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷．
(1)若𝐷点是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上一点，如图1 所示，判断∠𝑃、∠𝐴之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
(2)若𝐷点是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上一点，如图2 所示，判断∠𝐵𝐷𝐶、∠𝐵𝑃𝐶、∠𝐴之间存在怎样的等量关系？并证明
你的结论．
(3)若𝐷点是△𝐴𝐵𝐶外任一点，如图3 所示，判断∠𝐷、∠𝑃、∠𝐴之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
【题型4 探究与三角形有关的线段之间的位置关系】
31．（24-25 八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠1 = ∠𝐹，∠2 = ∠𝐸，试猜想𝐴𝐹与𝐷𝐸的位置关
系，并证明你的结论．
32．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴= 𝑥°，∠𝐶= 𝑦°(0 < 𝑥< 180,0 < 𝑦< 180)．
(1)∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= ______度；（用含𝑥，𝑦的代数式表示）
(2)若𝑥= 𝑦= 90，𝐵𝐹平分与∠𝐴𝐵𝐶相邻的外角∠𝐶𝐵𝑀，𝐷𝐺平分∠𝐴𝐷𝐶交𝐵𝐶于点𝐸，交𝐵𝐹于点𝐺，判断𝐷𝐺与𝐵𝐹
的位置关系，并说明理由．
33．如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐸，𝐶𝐹分别是∠𝐴𝐶𝐵及外角∠𝐴𝐶𝐷的平分线，且𝐶𝐸交𝐴𝐵于点E，𝐸𝐹∥𝐵𝐶交𝐴𝐶
于点M．
(1)判断𝐸𝐶与𝐶𝐹的位置关系，并说明理由；
(2)若∠𝐵= 40°，∠𝐴= 60°，求∠𝐹的度数．
34．如图1，线段𝐵𝐴⊥𝐴𝐶于点A，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，M 为射线𝐴𝐶上一点，𝑀𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为E，∠𝐴𝑀𝐸的平分
线交直线𝐴𝐵于点F．
(1)如图1，当M 为线段𝐴𝐶上一点，你能判断𝐵𝐷、𝑀𝐹的位置关系吗？请说明理由；
(2)如图2，M 为线段𝐴𝐶延长线上一点，你能判断𝐵𝐷、𝑀𝐹的位置关系吗？请说明理由．
35．（25-26 七年级上·江苏扬州·期末）如图，点𝐹在线段𝐴𝐵上，点𝐸，𝐺在线段𝐶𝐷上，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠1 = ∠2．
(1)请判断𝐹𝐺与𝐴𝐸的位置关系，并说明理由；
(2)若𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐷，𝐹𝐺⊥𝐵𝐶，∠𝐷= 110°，求∠𝐴的度数．
36．（24-25 七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知点𝐸、𝐹在直线𝐴𝐵上，点𝐺在线段𝐶𝐷上，𝐸𝐷与𝐹𝐺交
于点𝐻， ∠𝐶= ∠𝐸𝐹𝐺，∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐺𝐻𝐷．
(1)𝐶𝐸与𝐹𝐺有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)若∠𝐸𝐻𝐹= 85°，∠𝐷= 25°，求∠𝐴𝐸𝑀的度数．
37．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐶，直线𝐸𝐹分别交𝐴𝐵、𝐴𝐶和𝐶𝐵的延
长线于点𝐷、𝐸、𝐹．
(1)若∠𝐹𝐸𝐶= 120°，∠𝐹= 20°，则∠𝐴= ________．
(2)猜想∠𝐹+ ∠𝐹𝐸𝐶与∠𝐴的关系，并说明理由．
(3)在线段𝐷𝐹上取一点𝑀，使得∠𝑀𝐵𝐶= ∠𝐹+ ∠𝐹𝐸𝐶，连接𝐵𝑀，判断𝐵𝑀与𝐴𝐶的位置关系，并说明理由．
38．如图，已知点O 在直线𝐴𝐵上，射线𝑂𝐷平分∠𝐵𝑂𝐶，过点O 作𝑂𝐸⊥𝑂𝐷，G 是射线𝑂𝐵上一点，连接𝐷𝐺，
满足∠𝑂𝐷𝐺+ ∠𝐷𝑂𝐺= 90°．
(1)求证：∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝑂𝐷𝐺；
(2)若∠𝑂𝐷𝐺= ∠𝐶，试判断𝐶𝐷与𝑂𝐸的位置关系，并说明理由．
39．已知，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐵= 90°．
(1)如图1，若𝐷𝐹平分∠𝐴𝐷𝐶，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶的邻补角，判断𝐷𝐹与𝐵𝐸的位置关系；
(2)如图2，若𝐵𝐸、𝐷𝐹分别平分∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐷𝐶的邻补角，判断𝐷𝐹与𝐵𝐸的位置关系．
40．△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐷是角平分线，F 是𝐴𝐵上的一个动点，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵交𝐵𝐶于点E，𝐸𝐺平分∠𝐶𝐸𝐹，
(1)如图1，当点E 在线段𝐵𝐷上时，𝐸𝐺交𝐴𝐵于点G，判断𝐸𝐺与𝐴𝐷的位置关系是 ；
(2)如图2，当点E 在线段 𝐶𝐷上时，𝐸𝐺交𝐴𝐶于点G，(1)中结论是否成立？请证明你的结论；
(3)如图3，当点E 在线段 𝐷𝐶延长线上时，𝐸𝐺交𝐴𝐶于点G，判断𝐸𝐺与𝐴𝐷的位置关系，并说明理由．
【题型5 与三角形的角有关的证明】
41．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸．
(1)求证：𝐴𝐷⊥𝐵𝐶；
(2)求证：∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷．
42．如图，点D，E，F 分别是三角形𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶，𝐴𝐵上的点，𝐷𝐹∥𝐴𝐶且𝐷𝐸∥𝐴𝐵．
(1)求证：∠𝐴= ∠𝐹𝐷𝐸；
(2)若∠𝐴= 3∠𝐵，∠𝐶= ∠𝐵+ 30°，求证：𝐴𝐵⊥𝐴𝐶．
43．如图，已知：∠1 + ∠2 = 180°．
(1)求证：𝐴𝐵∥𝐸𝐹．
(2)若∠3 = ∠𝐵，
①求证：𝐷𝐸∥𝐵𝐶．
②若∠𝐴= 60°，∠𝐵= 40°，则∠𝐴𝐸𝐷的度数为_______．
44．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，点D、E 分别在边𝐵𝐶、𝐴𝐶上．
(1)若∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵，求证：∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐸；
(2)若∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷，求证：∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐷𝐸．
45．（24-25 八年级上·全国·暑假作业）（1）如图，𝐴𝐵和𝐶𝐷交于交于点O，求证：∠𝐴+ ∠𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷 ．
（2）如图，求证：∠𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐷．
46．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴= ∠𝐶，G 是𝐵𝐶上一点，𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐺交𝐶𝐵的延长线于点E．
(1)求证：𝐴𝐷∥𝐶𝐵
(2)求证：∠𝐷𝐺𝐶= 2∠𝐸
47．（25-26 七年级下·四川绵阳·期中） 如图①，点E 在直线𝐵𝐻，𝐷𝐶之间，点A 为𝐵𝐻上一点，且
𝐴𝐸⊥𝐶𝐸，∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐻𝐴𝐸= 90°．
(1)求证：𝐵𝐻∥𝐶𝐷；
(2)如图②，直线𝐴𝐹交𝐷𝐶于𝐹，𝐴𝑀平分∠𝐸𝐴𝐹，𝐴𝑁平分∠𝐵𝐴𝐸．求证：∠𝑀𝐴𝑁=
1
2∠𝐴𝐹𝐺
48．（25-26 八年级上·山东菏泽·期中）如图①，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐷是𝐴𝐵上一点，且∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵．
(1)求证：𝐶𝐷⊥𝐴𝐵．
(2)如图②，若∠𝐵𝐴𝐶的平分线分别交𝐵𝐶,𝐶𝐷于点𝐸,𝐹，求证：∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵．
49．（24-25 七年级下·上海·阶段检测）在△𝐴𝐵𝐶的𝐶𝐴、𝐵𝐴的延长线上任取两点D，E，连接𝐷𝐸．
(1)如图1，求证：∠𝐵+ ∠𝐶= ∠𝐷+ ∠𝐸；
(2)如图2，∠𝐴𝐸𝐷和∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点𝐹，求证，∠𝐹=
1
2(∠𝐵+ ∠𝐷)．（提示：可直接利用（1）的结论）
50．（25-26 八年级上·安徽安庆·期中）在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点𝐷在边𝐶𝐴的延长线上，点𝐸在边𝐵𝐴
的延长线上．连接𝐷𝐸，使∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶．
(1)如图1，求证：𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
(2)如图2，𝐷𝐸、𝐵𝐶的延长线交于点𝐹，作∠𝐸𝐴𝐶的角平分线𝐴𝐺交𝐷𝐹于点𝐺，求证：∠𝐷+ 2∠𝐷𝐺𝐴= 90°
(3)如图3，在（2）的条件下，连接𝐵𝐺交𝐶𝐷于点𝐻，若∠𝐷𝐺𝐻= ∠𝐷𝐻𝐺，∠𝐴𝐺𝐵= 3∠𝐶𝐵𝐻，𝐺𝐵上有一点𝑀，
连接𝐴𝑀，∠𝐴𝐵𝐻+ 2∠𝐻𝐴𝑀= 45°，求证：∠𝐷= ∠𝐴𝐺𝐷．
【题型6 与三角形的角有关的折叠问题】
51．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E 分
别在边AB，AC 上．将△𝐴𝐵𝐶沿着DE 所在直线折叠并压平，使点A 与点N 重合．
(1)若∠𝐵= 35°,∠𝐶= 60°，求∠𝐴的度数．
(2)若∠𝐴= 70°，求∠1 + ∠2的度数．
52．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段检测）在△𝐴𝐵𝐶中，将∠𝐵，∠𝐶按如图所示的方式折叠，点𝐵，𝐶均落
在边𝐵𝐶上的点𝐺处，线段𝑀𝑁，𝐸𝐹为折痕．若∠𝐴= 80°，求∠𝑀𝐺𝐸的度数．
53．（24-25 六年级下·山东济南·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 20°，∠𝐶= 60°，点D 为边𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐵𝐷
沿直线𝐴𝐷折叠后，点B 落到点𝐵′处，恰有𝐵′𝐷∥𝐴𝐶，求∠𝐴𝐷𝐶的度数．
54．（24-25 七年级下·全国·课后作业）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵> 𝐴𝐶，说明∠𝐵< ∠𝐶．
(1)如图①，小明以“折叠”为思路说明∠𝐵< ∠𝐶：将△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐸折叠，使点𝐶落在𝐴𝐵边的点𝐷处，然后可以
说明∠𝐵< ∠𝐶，请尝试写出小明的思路；
(2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法
并说明理由．
55．（24-25 八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠使点𝐴落在点𝐴′处，且𝐵𝐴′平分
∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐴′平分∠𝐴𝐶𝐵，若∠𝐵𝐴′𝐶= 112°，求∠1 + ∠2的度数．
56．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷是𝐵𝐶边上的一点，∠𝐵= 50∘，∠𝐵𝐴𝐷= 30∘，将△𝐴𝐵𝐷沿𝐴𝐷折叠得到
△𝐴𝐸𝐷，𝐴𝐸与𝐵𝐶相交于点𝐹．
(1)填空：∠𝐴𝐹𝐶= ________；
(2)求∠𝐸𝐷𝐹的度数．
57．（25-26 八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，△𝐴𝐵𝐶是一个三角形的纸片，点𝐷,𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐵,𝐴𝐶
上的两点．
(1)如图（1），如果沿直线𝐷𝐸折叠，且𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，若∠𝐴= 30°，求∠𝐵𝐷𝐴′ = ______．
(2)如图（2），如果沿直线𝐷𝐸折叠后𝐴落在四边形𝐵𝐶𝐸𝐷内部，探究∠𝐵𝐷𝐴′，∠𝐶𝐸𝐴′和∠𝐷𝐴𝐸的关系，并说明
理由．
(3)如果折成图（3）的形状，直接写出∠𝐵𝐷𝐴′，∠𝐶𝐸𝐴′和∠𝐴的关系．
58．已知点A，B 分别是锐角∠𝑀𝑃𝑁（∠𝑀𝑃𝑁< 45°）的边𝑃𝑀，𝑃𝑁上的点，先将∠𝑃沿着𝐴𝐵折叠，折叠后点
P 的对应点为Q，
(1)如图1，若折叠后点Q 落到∠𝑃的内部，且𝐴𝑄∥𝑃𝑁，∠𝑁𝐵𝑄与∠𝑃相等吗？若相等说明理由？
(2)如图2，若折叠后𝐴𝑄⊥𝑃𝑀，试说明∠𝑁𝐵𝑄= 90°−2∠𝑃；
(3)在（2）的条件下，过点Q 作𝑄𝐶∥𝑃𝑀交𝑃𝑁于点C，当∠𝑄𝐶𝑃= 2∠𝑁𝐵𝑄时，求∠𝐴𝐵𝑄度数？
59．（24-25 七年级下·河北保定·期末）发现与探索综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主
题开展数学活动．
(1)操作判断
如图：操作一：若折叠三角形纸片，使𝐵𝐶与𝐵𝐴边在一条直线上，得到折痕𝐵𝐷；操作二：若折叠三角形纸片，
得到折痕𝐴𝐸，使点𝐵、𝐶、𝐸在一条直线上．完成以上操作后把纸片展平，判断𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的______（从中
线、角平分线、高线中选填），∠𝐴𝐸𝐶= ______．
(2)深入探究
操作三：过点𝐷折叠三角形纸片，使点𝐴落在折痕𝐴𝐸上，得到折痕𝐷𝐹，把纸片展平．根据以上操作，如图，
判断∠𝐷𝐵𝐹和∠𝐵𝐷𝐹是否相等？并说明理由．
(3)结论应用
已知∠𝐵𝐷𝐶= 106°,∠𝐴𝐶𝐵= 54°，则∠𝐴𝐻𝐵= ______．
60．如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，沿∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐵1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠𝐵1𝐴1𝐶的平分线𝐴1𝐵2
折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿∠𝐵𝑛𝐴𝑛𝐶的平分线𝐴𝑛𝐵𝑛+1折叠，点𝐵𝑛与点C 重合，无论折叠多少次，
只要最后一次恰好重合，则称∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好玩角．
小马展示了确定∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好玩角的两种情形．
情形一：如图②，沿等腰三角形𝐴𝐵𝐶顶角∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐵1折叠，点B 与点C 重合；
情形二：如图③，沿∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐵1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠𝐵1𝐴1𝐶的平分线𝐴1𝐵2折叠，
此时点𝐵1与点C 重合．
探究发现：
(1)在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 66°，∠𝐵> ∠𝐶，经过两次折叠，∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好玩角，求∠𝐶的度数．
(2)小马经过三次折叠发现了∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好玩角，请探究∠𝐵与∠𝐶（不妨设∠𝐵> ∠𝐶）之间的等量关系
为________．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好玩角，则∠𝐵与∠𝐶（不妨设∠𝐵> ∠𝐶）
之间的等量关系为________．
应用提升：
(3)小马找到一个三角形，三个角分别为20°，60°，100°，发现60°和100°的两个角都是此三角形的好玩
角．请你完成，如果一个三角形的最小角是18°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均
是此三角形的好玩角．
