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专题13.5 三角形的外角（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 外角的定义与识别】................................................................................................................................1
【题型2 应用外角性质求角度】............................................................................................................................2
【题型3 外角性质与平行线的综合运用】............................................................................................................3
【题型4 外角性质与角平分线的综合运用】........................................................................................................4
【题型5 利用外角性质解决翻折中的问题】........................................................................................................6
【题型6 利用外角性质求三角板中角的度数】....................................................................................................7
【题型7 三角形外角的实际应用】........................................................................................................................8
【题型8 三角形的内角与外角的综合求角度】....................................................................................................9
【题型9 三角形的内角与外角的综合证明】......................................................................................................11
【题型10 利用方程思想解决内、外角计算】......................................................................................................12
【题型11 特定几何模型中的角度求和】..............................................................................................................14
【题型12 内外角性质的规律探究】......................................................................................................................15
知识点 三角形的外角
1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3.三角形的外角和等于360°．
在 △ABC 中，∠ACD 是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°．
【题型1 外角的定义与识别】
【例1】下列关于△ABC 的外角的说法正确的是（ ）
考点1
三角形的外角
题型归纳
A．∠AFC 是△ABC 的外角
B．∠HBG 是△ABC 的外角
C．∠DCE 是△ABC 的外角
D．∠GBA 是△ABC 的外角
【变式1-1】在三角形的所有外角（每个顶点处只取一个外角）中，锐角最多有（ ）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
【变式1-2】下列说法正确的是（ ）
A．三角形的外角和为内角和的2 倍
B．三角形的外角和为180°
C．三角形的外角中只有一个钝角
D．三角形的外角中可以有两个直角
【变式1-3】如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠ADC 是△ABD 的一个外角，也是△ADC 的一个内角；
B．∠AEB 是△AEB 的一个内角，也是△AEF 的一个内角；
C．∠ABF 是△ABF 的一个内角，也是△AEF 的一个外角；
D．∠C 是△ABC 的一个内角，也是△ADC 的一个内角；
【题型2 应用外角性质求角度】
【例2】如图，∠1 = 70°，直线a 平移后得到直线b，则∠2的度数比∠3的度数大（ ）
A．50°
B．70°
C．110°
D．180°
【变式2-1】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，且外角∠𝐴𝐵𝐷= 130°，则外角∠𝐴𝐶𝐸的度数是（ ）
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
【变式2-2】（25-26 八年级上·广东珠海·阶段检测）如图，两根竹竿𝐴𝐵和𝐵𝐷斜靠在墙𝐶𝐸上，量得∠𝐶𝐷𝐵,∠𝐶𝐴𝐵
的度数分别为57°,38°，则这两根竹竿的夹角∠𝐴𝐵𝐷的度数是_______ °．
【变式2-3】（25-26 八年级上·广西柳州·期中）如图，已知∠𝐵𝐷𝐶= 98°，∠𝐶= 38°，∠𝐵= 23°，则∠𝐴的度
数为_____．
【题型3 外角性质与平行线的综合运用】
【例3】（24-25 七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点𝐸是𝐴𝐵上方一点，点𝑀、𝑁分别在直线
𝐴𝐵、𝐶𝐷上，连结𝐸𝑀、𝐸𝑁，𝑀𝐹平分∠𝐴𝑀𝐸，𝐺是𝑀𝐹的反向延长线上一点，𝐸𝑁平分∠𝐶𝑁𝐺，若∠𝐸𝑁𝐶= 80°，
∠𝐺= 45°，则①∠𝐺𝑁𝐷的度数为_____；②∠𝐸的度数为_____．
【变式3-1】（25-26 九年级下·四川南充·期中）在如图的“标准的箭头”中，𝐴𝐵∥
𝐶𝐷,∠𝐵= ∠𝐷= 80°,∠𝐺= 66°，则∠𝐸与∠𝐹的度数都是（ ）
A．43°
B．44°
C．46°
D．47°
【变式3-2】（2026·安徽宿州·一模）如图，𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶内部的一条射线，已知𝐶𝐷∥𝐵𝐸，则∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐸
的度数为（ ）
A．180°
B．160°
C．150°
D．140°
【变式3-3】将北斗七星的大致位置画到纸上，分别标为𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸，𝐹，𝐺，然后将𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸，𝐹
，𝐴顺次连接（如图所示），设𝐴𝐹恰好经过点𝐺，且𝐵，𝐺，𝐶在一条直线上，已知𝐴𝐹∥𝐷𝐸，∠𝐶𝐷𝐸= 105°，
∠𝐸= 114°，∠𝐵𝐶𝐷= 120°．
（1）∠𝐹的度数为________；
（2）连接𝐴𝐷，若𝐴𝐷∥𝐵𝐶，则∠𝐷𝐴𝐹的度数为________．
【题型4 外角性质与角平分线的综合运用】
【例4】（24-25 七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐹= 18°，𝐵𝐷、𝐶𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝐶、
∠𝐴𝐶𝐵，M、N、Q 分别在𝐷𝐵、𝐷𝐶、𝐵𝐶的延长线上，𝐵𝐸、𝐶𝐸分别平分∠𝑀𝐵𝐶、∠𝐵𝐶𝑁，𝐵𝐹、𝐶𝐹分别平分
∠𝐸𝐵𝐶、∠𝐸𝐶𝑄，则∠𝐴等于（
）
A．36°
B．48°
C．52°
D．60°
【变式4-1】（25-26 八年级下·山东烟台·期中）如图，在三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，点E 在𝐴𝐶边上，𝐸𝐹⊥𝐵𝐶
于点F．𝐸𝑀平分∠𝐴𝐸𝐹交𝐴𝐵的延长线于点M．若∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝑀，∠𝐴𝐷𝐵= 65°，则∠𝐶的度数为（ ）
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
【变式4-2】（25-26 八年级上·甘肃平凉·期末）如图，𝐴1是△𝐴𝐵𝐶的内角∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐷的平分线的交点，𝐴2
是△𝐴1𝐵𝐶的内角∠𝐴1𝐵𝐶和∠𝐴1𝐶𝐷的平分线的交点，同样点𝐴𝑛+1是△𝐴𝑛𝐵𝐶的内角∠𝐴𝑛𝐵𝐶和∠𝐴𝑛𝐶𝐷的平分线
的交点，若∠𝐴= 𝛼，则∠𝐴2026 = ________．
【变式4-3】（24-25 七年级下·山东潍坊·期末）如图1，△𝑃𝑀𝑁为直角三角形，∠𝑀𝑃𝑁= 90°．△𝐴𝐵𝐶的两
顶点B，C 分别在直角边𝑃𝑀，𝑃𝑁上，且P 点在△𝐴𝐵𝐶内．
(1)若∠𝐴= 40°，则∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= ______度，∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃= ______度；
(2)如图2，连接𝐴𝑃，若∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃+ 2∠𝐵𝐴𝑃= 90°，试说明𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶；
(3)请判断点P 是否满足𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶且𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，并说明理由．
【题型5 利用外角性质解决翻折中的问题】
【例5】将图（1）中的长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹翻折得到图（2），再将图（2）中的四边形𝐶𝐷𝐺𝐹沿𝐹𝐺翻折得
到图（3）．在图（3）中，下列四个结论：①∠𝐸𝐺𝐵= 2∠𝐸𝐹𝐺；②𝐸𝐹∥𝐶𝐷；③∠𝐸𝐻𝐺= 3∠𝐸𝐹𝐵；④
∠𝐴𝐸𝐺−∠𝐹𝐸𝐺= ∠𝐸𝐹𝐶．
其中正确的结论是________（填写序号）．
【变式5-1】在△ABC 中，点E、F 分别为边AB、AC 上的点，把△ABC 沿EF 翻折，翻折后的图形如图所
示．若∠1+∠2 = 110°，则∠𝐴的度数为___________．
【变式5-2】（25-26 八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐵𝐸（点𝐸在边𝐴𝐶上）所在直线翻折，翻
折后𝐴𝐵的对应边𝐴′𝐵交𝐴𝐶于点𝐷，又将△𝐵𝐶𝐷沿𝐵𝐴′所在直线翻折，翻折后点𝐶的对应点𝐶′恰好落在𝐵𝐸上，
若∠𝐶= 79°，∠𝐶′𝐷𝐸= 32°，则原三角形中∠𝐴的度数为（ ）
A．16°
B．18°
C．20°
D．22°
【变式5-3】（24-25 八年级上·江苏镇江·期中）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵> 𝐴𝐶，点𝐸在𝐵𝐶边上，连接𝐴𝐸，将△𝐴𝐸𝐶
沿𝐴𝐸翻折使得点𝐷落在𝐴𝐵边上得△𝐴𝐸𝐷，连接𝐷𝐶．
(1)如图1，若∠𝐵𝐴𝐶= 52°，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，则∠𝐵𝐶𝐷= __________°；
(2)如图2，若𝐴𝐵= 𝐵𝐶，𝐵𝐷= 𝐷𝐸，求∠𝐵𝐶𝐷的度数．
【题型6 利用外角性质求三角板中角的度数】
【例6】如图，有一块直角三角板𝐷𝐸𝐹（足够大），其中∠𝐸𝐷𝐹= 90°，把直角三角板𝐷𝐸𝐹放在锐角△𝐴𝐵𝐶
上，三角板𝐷𝐸𝐹的两边𝐷𝐸，𝐷𝐹恰好分别经过点C，B，且点A 在直线𝐷𝐹的右侧．
(1)若∠𝐴= 51°，∠𝐴𝐶𝐷= 10°，求∠𝐴𝐵𝐷的度数；
(2)请直接写出∠𝐴𝐵𝐷，∠𝐴𝐶𝐷与∠𝐴之间存在的数量关系．
【变式6-1】（2025·河南信阳·三模）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含60°角的直角三角板的
斜边与含45°角的直角三角板的一直角边贴合，含45°角的直角三角板的另一条直角边过含60°角的直角三角
板的直角顶点，那么∠1的度数是（ ）
A．145°
B．150°
C．155°
D．165°
【变式6-2】（2024·山西·模拟预测）已知直线𝑚∥𝑛，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D 在
直线m 上，∠𝐹= 30°，另一直角三角板一直角边与直线n 重合，∠𝐶= 45°，若𝐵𝐶∥𝐸𝐹，则∠𝑀𝐷𝐸= ______．
【变式6-3】小明将一副直角三角板的直角顶点重合后按如图示摆放，其中∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，
∠𝐵𝐴𝐶= 60°，∠𝐵= 30°，∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸= 45°．他固定三角板𝐷𝐶𝐸，将三角板𝐴𝐶𝐵绕点C 顺时针以每秒6
度的速度旋转，设它的旋转时间为t 秒(0 ≤𝑡≤60)，则在旋转过程中，当边𝐴𝐵∥𝐷𝐸时，𝑡= ______秒．
【题型7 三角形外角的实际应用】
【例7】（25-26 七年级下·辽宁阜新·期中）为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级
非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1 是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如
图2 的数学问题：已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐸𝐴𝐵= 82°, ∠𝐸𝐶𝐷= 110°，则∠𝐸的度数为___________．
【变式7-1】（25-26 八年级下·福建厦门·期中）五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽
章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶，∠𝐷，
∠𝐸）的度数必须相等．设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为__________．
【变式7-2】（25-26 七年级下·辽宁鞍山·期中）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力𝐺的方
向竖直向下，支持力𝐹1的方向与斜面垂直，摩擦力𝐹2的方向与斜面平行．若斜面的坡角𝛼= 24°，则摩擦力
𝐹2与重力𝐺方向的夹角𝛽的度数为______．
【变式7-3】（25-26 七年级下·上海闵行·期中）如图，指甲剪利用杠杆原理操作，图1 是实物图，图2 是使
用指甲剪的侧面示意图，∠𝐶𝐸𝑂= 90°，未使用指甲剪时，杠杆𝐵𝐶与上臂𝑂𝐶重合；使用时，下压点𝐴至𝐴′时，
𝐵刚好至𝐵′点，当𝐴′𝐵′∥𝑂𝐸时，两刀片咬合，恰好𝐶𝐵′平分∠𝑂𝐶𝐸，若∠𝐶𝐵′𝐴′ = 128°，则∠𝐶𝑂𝐸的度数为______
度．
【题型8 三角形的内角与外角的综合求角度】
【例8】（25-26 七年级下·上海闵行·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐵= 36°，𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵，求∠𝐴𝐷𝐶
的度数．
解：在△𝐴𝐵𝐶中，∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°（①______）
又∵∠𝐶= 90°,∠𝐵= 36°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 180°−90°−36° = ②______度
∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵，
考点2
三角形的内角与外角的综合应用
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= ③______度．
∵∠𝐴𝐷𝐶= ④______＋⑤______（⑥______），
∴∠𝐴𝐷𝐶= ______度．
【变式8-1】（25-26 八年级上·天津西青·期末）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐶𝐹平分
∠𝐴𝐶𝐵，与𝐴𝐸相交于点F，已知∠𝐵𝐴𝐶= 80°，∠𝐶𝐹𝐸= 60°，求∠𝐵和∠𝐷𝐴𝐸的度数．
【变式8-2】（24-25 七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷为边𝐵𝐶延长线上一点，射线𝐵𝐸
平分∠𝐴𝐵𝐶，点𝑃为射线𝐵𝐸上一点．
(1)若∠𝐵𝐴𝐶= 50∘，
当𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵时，∠𝐵𝑃𝐶= ___________；
当𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷时，∠𝐵𝑃𝐶= ___________；
(2)当𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵时，𝐶𝑃⊥𝐴𝐵，𝐵𝑃⊥𝐴𝐶，则∠𝐵𝑃𝐶= ___________；
当𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷时，𝐶𝑃∥𝐴𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= 4∠𝐵𝐴𝐶，则∠𝐵𝑃𝐶= ___________；
(3)若∠𝐴𝐵𝐶= 40∘，∠𝐴= 60∘，当直线𝐶𝑃垂直于△𝐴𝐵𝐶的边时，∠𝐵𝑃𝐶的度数为___________．
【变式8-3】（24-25 七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线𝑀𝑁，𝑃𝑄和一块含30°角的直角三角尺𝐴𝐵𝐶（其中
∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴𝐵𝐶= 30°）”为背景开展数学活动．将三角尺30°角的顶点B 放在直线𝑃𝑄上，直线𝐴𝐶与直
线𝑀𝑁相交于点E．
【操作探究】
（1）聪聪同学将三角尺𝐴𝐵𝐶按图1 所示放置，若∠𝐴𝐸𝑀= 30°，求∠𝐶𝐵𝑃的度数；
（2）明明同学将三角尺𝐴𝐵𝐶绕点B 旋转至图2 位置时，∠𝐴𝐸𝑀与∠𝐶𝐵𝑃有什么数量关系，猜想并证明；
【深入探究】
（3）如图3，如果直线𝑃𝑄不动，慧慧同学加大了平行线𝑀𝑁与𝑃𝑄之间的距离，使平行线之间的距离大于
𝐴𝐵．绕点B 旋转三角尺𝐴𝐵𝐶，点A 始终在平行线之间，请直接写出∠𝐴𝐸𝑀与∠𝐶𝐵𝑃所有可能的数量关系．
【题型9 三角形的内角与外角的综合证明】
【例9】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是𝐵𝐶上一点，连接𝐴𝐷，∠𝐶𝐴𝐷的平分线交𝐵𝐶于点E，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐸𝐴．
(1)求证：∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶；
(2)若∠𝐶= 55°，∠𝐵= 3∠𝐷𝐴𝐸，求∠𝐵的度数．
【变式9-1】已知AD 和BE 相交于点C，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸．
(1)如图（1），求证：𝐴𝐵∥𝐷𝐸；
(2)如图（2），点P 是线段BC 上一点，连结AP．
①求证：∠𝐴𝑃𝐸= ∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐶𝐸𝐷；
②若∠𝐴𝑃𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐸𝐷，请直接写出∠𝐶𝐸𝐷的度数；
(3)如图（3），若点M 是射线BA 上一点，作𝑀𝐻⊥直线AD 于点H，∠𝐴𝐷𝐸与∠𝐴𝑀𝐻的角平分线相交于点
N，请直接写出∠𝐷𝑁𝑀的度数．
【变式9-2】如图，已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线（∠𝐴𝐶𝐵> ∠𝐵），𝐸𝐹⊥𝐴𝐷于点𝑃，交𝐵𝐶的延长线于点𝑀．
(1)如图1，若∠𝐴𝐶𝐵= 90°，求证：∠𝑀= ∠𝐵𝐴𝐷；
(2)如图2，求证：∠𝑀=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)．
【变式9-3】（25-26 八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图1，已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷是边𝐴𝐵上一
点，𝐶𝐷= 𝐶𝐵．
(1)求证：∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐵；
(2)如图2，𝐵𝐸交𝐶𝐷于𝐹且∠𝐶𝐹𝐵= 90°，求证：∠𝐴= 2∠𝐴𝐵𝐸；
(3)如图3，过点𝐵作𝐵𝐺⊥𝐴𝐶交𝐶𝐷于𝐻，若△𝐷𝐵𝐻为等腰三角形，求∠𝐴的度数．
【题型10 利用方程思想解决内、外角计算】
【例10】（25-26 七年级下·福建泉州·期中）【阅读材料】
如图1，点𝐵，𝐶分别在∠𝐸𝐴𝐹的两条边上，若∠𝐸𝐴𝐹和∠𝐶𝐵𝐹的角平分线交于点𝑃，则𝐶𝑃平分∠𝐸𝐶𝐵．
【数学思考】
利用上述材料的结论解决下列问题：
如图2，在等边△𝐴𝐵𝐶中，点𝑀在边𝐵𝐶的延长线上，𝐶𝑁∥𝐴𝐵，点𝐷在射线𝐶𝑁上（点𝐷不与点𝐶重合），𝐴𝐸
平分∠𝐶𝐴𝐷交射线𝐶𝑀于点𝐸．
(1)求∠𝑁𝐶𝑀；
(2)当点𝐷在射线𝐶𝑁上移动时，
①有同学猜想：在上述条件下，∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐴𝐸𝐶始终成立．该猜想是否成立？若成立，请写出推理过程，
若不成立，请举出反例；
②连接𝐷𝐸，若∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐴𝐸𝐷= 60∘，求∠𝐶𝐴𝐸的大小．
【变式10-1】（25-26 八年级上·安徽合肥·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐴𝐵上，过点𝐷作𝐷𝐸∥𝐵𝐶，交𝐴𝐶
于点𝐸，𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐸，交∠𝐴𝐶𝐵的平分线于点𝑃，𝐶𝑃与𝐷𝐸相交于点𝐺，∠𝐴𝐶𝐹的平分线𝐶𝑄与𝐷𝑃相交于点𝑄．
(1)若∠𝐴= 40∘，∠𝐵= 60∘，则∠𝐷𝑃𝐶= ______°，∠𝑄= _____°；
(2)求证：∠𝑄=
1
2∠𝐴；
(3)若△𝑃𝐶𝑄中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠𝐴的度数．
【变式10-2】（25-26 八年级上·湖北十堰·期末）如图1，已知∠𝑀𝑂𝑁= 60°，A、B 两点同时从点O 出发，
点A 沿射线𝑂𝑁运动，点B 沿射线𝑂𝑀运动．点C 为△𝐴𝐵𝑂三条内角平分线交点，连接𝐵𝐶、𝐴𝐶．
(1)如图2，当∠𝑂𝐴𝐵= 80°，求∠𝐴𝐶𝐵的大小．
(2)在点A、B 的运动过程中，∠𝐴𝐶𝐵的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理
由．
(3)如图3，连接𝑂𝐶并延长，与∠𝐴𝐵𝑀的角平分线交于点P，与𝐴𝐵交于点Q．在△𝐵𝐶𝑃中，如果有一个角是
另一个角的2 倍，直接写出∠𝐵𝐴𝑂的度数．
【变式10-3】（25-26 八年级上·安徽合肥·期中）已知直线𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点O，点E，F 分别在射线𝑂𝐵和𝑂𝐷
上．
(1)如图1，∠𝐵𝑂𝐷= 60°，𝐸𝑃平分∠𝑂𝐸𝐹，𝐹𝑃平分∠𝑂𝐹𝐸，求∠𝐸𝑃𝐹的度数；
(2)如图2，𝐸𝑃平分∠𝑂𝐸𝐹，𝐹𝐺平分∠𝐷𝐹𝐸，𝐹𝐺的反向延长线交𝐸𝑃于点𝑃；
①若∠𝐵𝑂𝐷= 60°，则∠𝑃= __________度（直接写出结果，不需说理）；
②若∠𝐵𝑂𝐷= 𝛼°，求∠𝑃的度数（请写出完整的推理过程）．
(3)如图3，点𝐺在𝐹𝐸的延长线上，∠𝑂𝐸𝐹的角平分线𝐸𝑃，∠𝐴𝑂𝐹的角平分线𝑂𝑃与∠𝑂𝐸𝐺的角平分线所在的直
线分别相交于点P、Q，若△𝑃𝐸𝑄的某一个内角是∠𝑃的2 倍；请直接写出∠𝑂𝐹𝐸的度数．
【题型11 特定几何模型中的角度求和】
【例11】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠𝐴𝐸𝐶= ________．
【变式11-1】如图，已知在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 40°，现将一块直角三角板放在△𝐴𝐵𝐶上，使三角板的两条直
角边分别经过点𝐵,𝐶，直角顶点D 落在△𝐴𝐵𝐶的内部，则∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= （ ）．
A．90°
B．60°
C．50°
D．40°
【变式11-2】（25-26 八年级上·安徽马鞍山·期中）线段𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点𝑂，连接𝐴𝐷、𝐶𝐵，我们把如图1
的图形称之为“8 字形”，则∠𝐴+ ∠𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐶，如图2，在图1 的条件下，∠𝐷𝐴𝐵和∠𝐵𝐶𝐷的平分线𝐴𝑃和𝐶𝑃
相交于点𝑃，并且与𝐶𝐷、𝐴𝐵分别相交于𝑀、𝑁，若∠𝐵= 30°，∠𝐷= 40°，则∠𝑃的度数是______．
【变式11-3】（25-26 八年级上·吉林延边·期中）请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题．
【探究】
（1）如图①，点𝑃是△𝐴𝐵𝐶的内角∠𝐴𝐵𝐶与内角∠𝐴𝐶𝐵的平分线𝐵𝑃和𝐶𝑃的交点，若∠𝐴= 70°，则∠𝐵𝑃𝐶=
______°．
（2）如图②，点𝑃是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐷𝐵𝐶与外角∠𝐸𝐶𝐵的平分线𝐵𝑃和𝐶𝑃的交点．求证：∠𝐵𝑃𝐶= 90°−
1
2∠𝐴．
【拓展】
（3）如图③，点𝑃是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐷𝐵𝐶与外角∠𝐸𝐶𝐵的平分线𝐵𝑃和𝐶𝑃的交点，点𝑀、𝑁分别在边𝐴𝐵、𝐴𝐶
上，连接𝑀𝑁．设∠𝐵𝑀𝑁+ ∠𝐶𝑁𝑀= 𝑥．
①∠𝐵𝑃𝐶与𝑥的数量关系是______．
②当△𝐵𝑃𝐶为锐角三角形时，直接写出𝑥的取值范围．
【题型12 内外角性质的规律探究】
【例12】（25-26 八年级下·甘肃白银·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 64°，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐷的平分线交于点
𝐴1，∠𝐴1𝐵𝐶与∠𝐴1𝐶𝐷的平分线相交于点𝐴2，．．．；依此规律得∠𝐴2026，则∠𝐴2026 = _____．
【变式12-1】如图，𝑎∥𝑏，直线𝑎,𝑏被直线𝑐所截，𝐴𝐶1,𝐵𝐶1分别平分∠𝐸𝐴𝐵,∠𝐹𝐵𝐴,𝐴𝐶2,𝐵𝐶2分别平分∠𝐸𝐴𝐶1,∠𝐹𝐵
𝐶1,𝐴𝐶3,𝐵𝐶3分别平分∠𝐸𝐴𝐶2,∠𝐹𝐵𝐶2交于点𝐶3…依此规律，得角∠𝐶𝑛，则∠𝐶3 = __________度，∠𝐶𝑛= __________
度．
【变式12-2】如图，若∠𝐵= 40°,𝐴,𝐶分别为角两边上的任意一点，连接𝐴𝐶,∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点𝑃1
,𝐷、𝐹也为角两边上的任意一点，连接𝐷𝐹,∠𝐵𝐹𝐷与∠𝐹𝐷𝐵的平分线交于点𝑃2,…按这样规律，则∠𝑃2021 =
_____．
【变式12-3】（24-25 八年级上·山东德州·期中）如图，已知∠𝐴𝑂𝐵= 𝛼，在射线𝑂𝐴、𝑂𝐵上分别取点𝑂𝐴1 = 𝑂
𝐵1，连接𝐴1𝐵1，在𝐵1𝐴1、𝐵1𝐵上分别取点𝐴2、𝐵2，使𝐵1𝐵2 = 𝐵1𝐴2，连接𝐴2𝐵2，…，按此规律，记∠𝐴2𝐵1𝐵2
= 𝜃1，∠𝐴3𝐵2𝐵3 = 𝜃2，…，∠𝐴𝑛+1𝐵𝑛𝐵𝑛+1 = 𝜃𝑛，则𝜃2025−𝜃2024的值为______．
