文档内容
21.1.2 多边形及其内角和 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生已经学习了三角形，四边形的有关概念和性质的基础上，利用学习三角形，四边形的
经验方法进一步研究多边形的有关概念和性质。
2. 内容分析
本节课是“三角形—四边形—多边形”几何知识体系的延伸，承接上一节课的类比方法与转化思想，
为后续学习特殊多边形（如平行四边形、正多边形）的性质奠定基础。
从知识逻辑来看，多边形的概念可通过类比三角形、四边形直接迁移得出；内角和公式的推导核心是
“化归思想”，即通过连接对角线将多边形转化为若干个三角形，再利用三角形内角和定理推导，这是对
四边形内角和推导方法的拓展与升华；外角和公式则借助“内角与相邻外角为邻补角”的关系，结合内角
和公式推导得出，体现了知识间的内在联系。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：多边形内角和公式的探索与证明。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）了解多边形的有关概念，感悟类比方法的价值。
（2）探索并证明多边形内角和、外角和公式，体会化归思想和从具体到抽象的研究问题方法，发展
推理能力。
（3）运用多边形内角和公式解决简单问题，发展应用意识。
2. 目标解析
（1）能准确表述多边形的定义、边、顶点、内角、外角、对角线的概念，能区分凸多边形与凹多边
形、正多边形与非正多边形，会用规范符号表示多边形，能独立画出多边形的对角线。
（2）能类比四边形内角和的推导思路，自主探索五边形、六边形的内角和，进而归纳出n边形内角和
公式；能通过“邻补角关系”或“行程转角”两种思路证明多边形外角和为 360°，深刻理解化归思想与抽
象思维的运用。
（3）能运用多边形内角和公式、外角和公式解决角度计算、边数判断等简单问题，能结合公式分析
正多边形的内角特征，提升知识应用能力。
三、教学问题诊断分析
学生可能出现的问题：
1.类比四边形概念时，对多边形“对角线”的定义理解不透彻，画图时易遗漏或重复，尤其在六边形
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学科网（北京）股份有限公司等多边形中无法准确画出全部对角线。
2.推导n边形内角和公式时，难以从五边形、六边形的具体情况抽象到 n边形，对 “从一个顶点出发
作(n−3)条对角线，分成(n−2)个三角形”的逻辑关系理解模糊。
应对策略：
1.借助四边形的对角线概念进行对比教学，通过“分步画图”示范（先找一个顶点的对角线，再拓展
到所有顶点），强调“不相邻顶点连接”的核心特征，让学生分组互查对角线画图结果。
2.推导公式时，先让学生动手操作：画五边形、六边形的对角线，记录“对角线条数”与“分成三角
形个数”，再通过表格归纳规律，逐步过渡到n边形的一般情况。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：多边形内角和公式的探索与证明。
四、教学过程设计
（一）情境引入
问题1 我们是怎样研究四边形的？学习了四边形的哪些知识？
四边形的定义及分类，四边形的组成元素和相关元素，四边形的内角和、外角和.
问题2 多边形在生活中也很常见，观察图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？
本节课我们继续类比三角形，学习多边形的一些概念和性质.
设计意图：通过回顾四边形的研究思路，搭建“类比迁移”的认知桥梁，让学生明确本节课的研究方
法；结合生活中的多边形实例，激发学生的学习兴趣，感受数学与生活的联系。
（二）合作探究
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学科网（北京）股份有限公司1.多边形的定义
在平面内，由n(n≥3)条线段AA，AA，…，A A，AA 首尾顺次相接 ，组成的图形叫作多边形.
1 2 2 3 n-1 n n 1
2.多边形的组成元素
组成多边形的各条线段叫作多边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作多边形的顶点.
多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角；
多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角.
3.多边形的相关元素
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线.
记作“ 六边形 ABCDEF ”
追问1 说一说六边形ABCDEF的边和顶点；
追问2 说一说六边形ABCDEF的内角；
追问3 画出六边形ABCDEF顶点A处的外角.
追问4 请你画出六边形ABCDEF的全部对角线.
4.多边形的分类
与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多
边形都是凸多边形.
5.正多边形
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学科网（北京）股份有限公司各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.
探究1 类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述
推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗?
从五边形的一个顶点出发，可以作 2 条对角线，它们将五边形分为 3 个三角形，五边形的内角和等
于 3 ×180°；
从六边形的一个顶点出发，可以作 3 条对角线，它们将六边形分为 4 个三角形，六边形的内角和等
于 4 ×180°；
从n边形的一个顶点出发，可以作 ( n −3) 条对角线，它们将n边形分为 ( n −2) 个三角形，n边形的内
角和等于 ( n −2) ×180°.
探索发现 n边形的内角和等于(n −2)×180°.
探究2 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角
和，多边形的外角和等于多少度？请你说明理由.
分析 如左图，与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角.
∴n边形的内角和+n边形的外角和=n×180°，
∴n边形的外角和=n×180°−(n−2)×180°=360°.
于是得到：多边形的外角和等于360°.
如右图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A，然后转向出发
时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.由于走了一周，所转的各个角的和等于一个
周角，所以多边形的外角和等于360°.
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学科网（北京）股份有限公司设计意图：通过类比四边形的知识，层层递进构建多边形的概念体系，让学生经历“具体—抽象”的
概念形成过程；内角和公式的探究注重动手操作与规律归纳，强化化归思想的运用；外角和公式提供两种
证明思路，拓宽学生的思维视野，培养逻辑推理能力。
（三）典例分析
例2 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形?
解：设这个多边形的边数为n.因为它的内角和等于
(n−2)×180°，外角和等于360°，所以
(n−2)×180°=2×360°.
解得： n=6.
因此这个多边形是六边形.
设计意图：通过典型例题，巩固多边形内角和与外角和公式的应用，规范“设未知数—列方程—求
解” 的解题步骤，培养学生的方程思想与应用意识。
（四）巩固练习
1．求出下列图形中x的值：
解：（1）∵五边形的内角和是3×180°=540°，
∴x+2x+150+120+90=540，
解得：x=60.
（2）∵六边形的内角和是4×180°=720°，
∴4x+2×90=720，
解得：x=135.
（3）∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°.
∵五边形的内角和是3×180°=540°，
∴x+150+135+180=540，
解得：x=75.
2.(1)一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是几边形?
(2)一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？
(3)一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形?
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学科网（北京）股份有限公司解：(1)设这个多边形是n边形，由题意得：
(n −2)×180°=1080°，
解得： n=8，
答：这个多边形是八边形.
(2)设这个多边形是n边形，由题意得：
(n −2)×180°=n×120°，
解得： n=6，
答：这个多边形是六边形.
(3)设这个多边形是n边形，由题意得：
n×72°=360°，
解得： n=5，
答：这个多边形是五边形.
设计意图：练习题梯度分明，涵盖公式直接应用、方程思想求解、结合平行线性质计算等多种题型，
全面巩固本节课核心知识；通过不同设问方式，强化学生对内角和与外角和公式的区分与灵活运用。
（五）归纳总结
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学科网（北京）股份有限公司（六）感受中考
1．（2025年北京）若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（ C ）
A．60 B．90 C．120 D．150
2．（2025年四川遂宁）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（ A
）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．（2025年甘肃兰州）图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正
六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中∠ABC的大小是（ D ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
4．（2025年四川攀枝花）如图，在正五边形ABCDE中，∠CAD的大小为（ B ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
5．（2025年湖南）如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH
为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB= 45 °．
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学科网（北京）股份有限公司6．（2025年江苏淮安）如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若
∠1=40°，则∠2的度数是（ B ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
设计意图：选取最新中考真题，让学生感知多边形知识在中考中的考查形式与难度，增强学习的针对
性；通过真题训练，检验本节课知识的掌握程度，查漏补缺，提升综合解题能力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题21.1 第2，3，4题.
2.探究性作业：习题21.1 第6，7题.
五、教学反思
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