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专题13.1 三角形的概念（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 三角形定义的辨析】................................................................................................................................2
【题型2 三角形的表示方法】................................................................................................................................3
【题型3 复杂图形中三角形的计数】....................................................................................................................6
【题型4 按边对三角形进行分类】........................................................................................................................7
【题型5 按角对三角形进行分类】......................................................................................................................10
【题型6 根据部分信息判断三角形类型】..........................................................................................................11
知识点1 三角形的有关概念
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三角形的三要素
3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC.
知识点2 三角形的分类
1.等腰三角形的定义
三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹
角叫做底角.
2.三角形的分类
(1) 按边分类
考点
三角形的概念
题型归纳
(2) 按角分类
【题型1 三角形定义的辨析】
【例1】（2026 七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三
角形”是解题关键．据此解答即可．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有C 选项的图形是三角形，
故选：C．
【变式1-1】（2026 七年级下·全国·专题练习）如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵与𝐵𝐶的夹角是____________，∠𝐴，∠𝐶
的公共边是____________．
【答案】
∠𝐵
𝐴𝐶
【分析】本题主要考查三角形的基本构成，掌握角、边的表示是关键，根据图示，写出角、边即可．
【详解】解：𝐴𝐵与𝐵𝐶的夹角是∠𝐵，
∠𝐴，∠𝐶的公共边是𝐴𝐶，
故答案为：①∠𝐵，②𝐴𝐶．
【变式1-2】（24-25 八年级上·四川德阳·月考）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐶边上一点，𝐸是𝐴𝐷边上一点．在
△𝐴𝐶𝐸中，∠𝐶𝐴𝐸的对边是__________．
【答案】𝐶𝐸/𝐸𝐶
【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系．利用三角形边、角间的关系可得答案．
【详解】解：在△𝐴𝐶𝐸中，∠𝐶𝐴𝐸的对边是𝐶𝐸．
故答案为：𝐶𝐸．
【变式1-3】（25-26 八年级上·云南曲靖·期中）如图，用数字标注了3 个三角形，其中△𝐴𝑃𝐶表示的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．以上都不对
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的概念，熟练掌握三角形的概念是解题的关键；根据题意及三角形的表示可
进行求解．
【详解】解：△𝐴𝑃𝐶表示的是①；
故选：A．
【题型2 三角形的表示方法】
【例2】（25-26 八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以∠𝐴为角的三角形是（ ）
A．△𝐴𝐵𝐸
B．△𝐵𝐶𝐷
C．△𝐵𝐶𝐸
D．△𝐶𝐷𝐸
【答案】A
【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可．
本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据定义，得以∠𝐴为角的三角形是△𝐴𝐵𝐸，△𝐴𝐵𝐶，
故选：A．
【变式2-1】（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图，图中共有 ____ 个三角形，其中以𝐴𝐵为一边的三角
形有 _______________________ ，以∠𝐶为一个内角的三角形有 __________________ ．
【答案】
5
△𝐴𝐵𝐸、△𝐴𝐵𝐷、△𝐴𝐵𝐶
△𝐴𝐵𝐶、△𝐸𝐵𝐶
【分析】本题考查了三角形，主要利用了三角形的定义，三角形的角的对边，边的对角，熟记概念并准确
识图是解题的关键．根据三角形的定义分别解答即可．
【详解】解：图中有：△𝐴𝐵𝐸、△𝐴𝐷𝐸、△𝐵𝐶𝐸、△𝐴𝐵𝐷、△𝐴𝐵𝐶共5 个；
以𝐴𝐵为一边的三角形有：△𝐴𝐵𝐸、△𝐴𝐵𝐷、△𝐴𝐵𝐶，
以∠𝐶为一内角的三角形是：△𝐴𝐵𝐶、△𝐸𝐵𝐶．
故答案为：5；△𝐴𝐵𝐸、△𝐴𝐵𝐷、△𝐴𝐵𝐶；△𝐴𝐵𝐶、△𝐸𝐵𝐶．
【变式2-2】如图所示．
（1）图中共有__________个三角形，它们是__________；
（2）线段𝐴𝐸是△__________，△__________，△__________的边；
（3）∠𝐵是△__________，△__________，△__________的角．
【答案】
6
△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐸，△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸，△𝐴𝐷𝐶，△𝐴𝐸𝐶
𝐴𝐸𝐵
𝐴𝐸𝐷
𝐴𝐸𝐶
𝐴𝐵𝐷
𝐴𝐵𝐸
𝐴𝐵𝐶
【分析】（1）首先根据给出的图形，写出所有的三角形，进而确定个数即可；
（2）根据三角形的边的定义作答即可；
（3）根据三角形的角的定义作答即可．
【详解】解：（1）由图可知，图中的三角形有：△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐸，△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸，△𝐴𝐷𝐶，△𝐴𝐸𝐶，
共6 个，
故答案为：6，△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐸，△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸，△𝐴𝐷𝐶，△𝐴𝐸𝐶；
（2）由图可知：
以𝐴𝐸为边的三角形有△𝐴𝐸𝐵、△𝐴𝐸𝐷、△𝐴𝐸𝐶，
故答案为：𝐴𝐸𝐵，𝐴𝐸𝐷，𝐴𝐸𝐶；
（3）由图可知：
∠𝐵是△𝐴𝐵𝐷、△𝐴𝐵𝐸、△𝐴𝐵𝐶的角，
故答案为：𝐴𝐵𝐷，𝐴𝐵𝐸，𝐴𝐵𝐶．
【点睛】本题主要考查三角形的概念及相关基础问题，熟练掌握三角形的相关概念是解题的关键．
【变式2-3】（24-25 八年级上·全国·随堂练习）如图所示，图中有____________个三角形；其中以AB 为边
的三角形有____________；含∠𝐴𝐶𝐵的三角形有____________；在△𝐵𝑂𝐶中，∠𝑂𝐶𝐵的对角是____________，
∠𝑂𝐶𝐵的对边是____________．
【答案】
8
△𝐴𝐵𝑂, △𝐴𝐵𝐶, △𝐴𝐵𝐷
△𝐵𝑂𝐶, △𝐴𝐵𝐶
∠𝑂𝐵𝐶
OB
【分析】根据三角形的定义和角的定义判断即可；
【详解】由题可得，图中的三角形有△AOD，△AOB，△BOC，△DOC，△BAD，△ABC，△BCD，△ADC，共8
个；
以AB 为边三角形有△𝐴𝐵𝑂, △𝐴𝐵𝐶, △𝐴𝐵𝐷；
含∠𝐴𝐶𝐵的三角形有△𝐵𝑂𝐶, △𝐴𝐵𝐶；
在△𝐵𝑂𝐶中，∠𝑂𝐶𝐵的对角是∠𝑂𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵的对边是OB；
故答案是：8；△𝐴𝐵𝑂, △𝐴𝐵𝐶, △𝐴𝐵𝐷；△𝐵𝑂𝐶, △𝐴𝐵𝐶；OB；
【点睛】本题主要考查了三角形的概念应用，准确理解是解题的关键．
【题型3 复杂图形中三角形的计数】
【例3】图中共有三角形______个．
【答案】8
【分析】此题主要考查了三角形定义，关键是要细心、仔细的数出三角形的个数．观察图形先找出图中基
本的三角形△𝐵𝐷𝑂，△𝐴𝐵𝑂，△𝐴𝑂𝐸，再找出复合组成的三角形即可．
【详解】解：①△𝐵𝐷𝑂，△𝐴𝐵𝑂，△𝐴𝑂𝐸，共3 个；
②△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐷𝐶，2 个；
③△𝐴𝐵𝐸，△𝐵𝐶𝐸，2 个；
④△𝐴𝐵𝐶，1 个；
综上，图中共有共8 个三角形．
故答案为：8．
【变式3-1】如图，以𝐴𝐵为边的三角形共有（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义．根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所
组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形．
【详解】解：以𝐴𝐵为边的三角形共有3 个，它们是△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐸．
故选：C
【变式3-2】（25-26 八年级上·河南许昌·期中）如图，以点A 为顶点的三角形有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的
定义即可解答．
【详解】解：以点A 为顶点的三角形有△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐸，△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐷𝐸，共4 个．
故选：C ．
【变式3-3】（25-26 七年级下·安徽宿州·期中）如图，第①个图形中有1 个三角形，第②个图形中有3 个
三角形，第③个图形中有6 个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（ ）
A．36
B．37
C．38
D．39
【答案】A
【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答．
【详解】解：第①个图中三角形的个数为1；
第②个图中三角形的个数为3 = 1 + 2；
第③个图中三角形的个数为6 = 1 + 2 + 3；
…，
故第n 个图中三角形的个数为1 + 2 + 3 +⋅⋅⋅+𝑛=
𝑛(𝑛+1)
2
，
故第⑧个图形中三角形的个数为：
8×(8+1)
2
= 36．
【题型4 按边对三角形进行分类】
【例4】（25-26 八年级上·全国·课后作业）已知△𝐴𝐵𝐶的三边长为𝑎，𝑏，𝑐，且满足(𝑎−2)2 + |𝑏−2| + |𝑐−2|
= 0，则此三角形一定是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．三边都不相等的三角形
【答案】B
【分析】本题考查三角形的分类（按边分），平方式和绝对值的非负性等知识点，根据非负性求出三角形
的边长是解题关键．由非负数的性质可知，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零时，每个部分都
为零，从而求出各边的值，再根据三角形形状的判定条件得出结论．
【详解】解：由题意得，(𝑎−2)2 + |𝑏−2| + |𝑐−2| = 0，
因为平方项和绝对值项均非负，且它们的和为0，
所以𝑎−2 = 0，𝑏−2 = 0，𝑐−2 = 0，
解得𝑎= 2，𝑏= 2，𝑐= 2
因此，△𝐴𝐵𝐶的三边长均为2，满足等边三角形的定义．
故选：B．
【变式4-1】（25-26 八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，这个三角形是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．三边都不等的三角形
D．直角三角形
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的分类，根据已知三角形判断即可．
【详解】解：由图可知，这个三角形三边都不等的三角形，
故选：C．
【变式4-2】（24-25 七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰
三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案．
【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A 错误，不符合题意；
分类正确，故选项B 正确，符合题意；
等腰三角形包含等边三角形，故选项C 错误，不符合题意；
分类不完整，故选项D 错误，不符合题意；
故选：B
【变式4-3】（25-26 八年级上·云南红河·期中）已知a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边，且满足|𝑎−𝑐| + |𝑏−𝑐| = 0，
则△𝐴𝐵𝐶是________三角形．
【答案】等边
【分析】本题考查绝对值的非负性，三角形的分类，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个
数都为零，得到𝑎= 𝑏= 𝑐，进而得到△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
【详解】解：∵|𝑎−𝑐| + |𝑏−𝑐| = 0，
∴𝑎−𝑐= 0,𝑏−𝑐= 0，
∴𝑎= 𝑐,𝑏= 𝑐，
∴𝑎= 𝑏= 𝑐，
∵a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
故答案为：等边．
【题型5 按角对三角形进行分类】
【例5】将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A．都是直角三角形
B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形
D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
【答案】C
【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．
【详解】如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．
如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．
如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．
因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的
性质和基本作图的方法作图．
【变式5-1】试用学过的知识判断，下列说法正确的是（ ）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
【答案】D
【分析】本题考查三角形，掌握等腰三角形，锐角三角形，钝角三角形的定义是解题的关键．
由等腰三角形，锐角三角形，钝角三角形的定义，即可判断．
【详解】解：A、一个直角三角形有可能是等腰三角形，故A 不符合题意；
B、一个等腰三角形有可能是锐角三角形，故B 不符合题意；
C、一个钝角三角形可能是等腰三角形，故C 不符合题意；
D、一个等边三角形一定不是钝角三角形，正确，故D 符合题意．
故选：D．
【变式5-2】（24-25 八年级上·吉林四平·期末）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．等腰三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理结合∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶计算得出
∠𝐶= 90°，即可得解，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键．
【详解】解：∵∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴∠𝐶= 90°，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：D．
【变式5-3】（24-25 八年级上·山东威海·期末）若干个三角形中，共有2 个钝角、4 个直角、21 个锐角，这
些三角形中锐角三角形的个数为_________个．
【答案】3
【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．先根据角的个数判断三角形的个数，再根
据三角形内角和定理，由于有4 个直角，2 个钝角，则有4 个直角三角形和2 个钝角三角形，则余下的三角
形为锐角三角形．
【详解】解：共有4 + 2 + 21 = 27个角，则共有27 ÷ 3 = 9（个）三角形，
而有4 个直角，2 个钝角，
所以有4 个直角三角形和2 个钝角三角形，
所以锐角三角形的个数= 9−4−2 = 3．
故答案为：3．
【题型6 根据部分信息判断三角形类型】
【例6】（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下．请你根据三
角形卡片露出的部分判断该三角形的形状，是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
【答案】D
【分析】本题考查了三角形，解题的关键是熟练掌握三角形的分类；根据三角形的分类即可得到正确的结
论
【详解】解：由图可知：三角尺露出的角是钝角，
故该三角形是钝角三角形，
故选D
【变式6-1】（25-26 八年级上·河北廊坊·期中）将三角形裁剪后，剩余部分如图所示，则这个三角形不可能
是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解
是解答的关键．根据三角形的内角和定理和三角形的分类逐项分析判断即可．
【详解】解：A． 由图可知该三角形有一个内角为45°，则另两个角的度数可以为55°,80°，为锐角三角形，
该项正确，不符合题意；
B． 由图可知该三角形有一个内角为45°，则另两个角的度数可以为35°,100°，为钝角三角形，该项正确，
不符合题意；
C．等边三角形的每一个内角均为60°，由图可知该三角形有一个内角为45°，故不可能为等边三角形，该项
错误，符合题意．
D． 由图可知该三角形有一个内角为45°，则另两个角的度数可以为45°,90°，为等腰直角三角形，该项正确，
不符合题意；
故选：C．
【变式6-2】如图，三角形有一部分被墨迹所遮挡，观察可判断三角形的形状为________三角形．（填“锐
角”、“直角”或“钝角”）
【答案】钝角
【分析】根据三角形的内角和定理可求出被遮住的角的度数，根据三角形的分类即可求解．
【详解】解：根据题意可知被遮住的角的度数为180°−20°−60° = 100°，
∵90° < 100° < 180°，
∴该三角形是钝角三角形，
故答案为：钝角．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握以上知识是解题的关键．
【变式6-3】（25-26 七年级上·河北邯郸·开学考试）如图，点B 在∠𝐴的一条边上固定不动，点C 在∠𝐴的另
一条边上可以任意移动，连接𝐵𝐶，三角形𝐴𝐵𝐶（ ）
①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形
A．只能是①
B．只能是④
C．可能是①②③
D．可能是①②③④
【答案】D
【分析】此题主要考查三角形的分类，分别画出图形判断即可．
【详解】解：如图，当∠𝐴𝐵𝐶< 90°,∠𝐴𝐶𝐵< 90°时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为锐角三角形；
如图，当∠𝐴𝐵𝐶= 90°或∠𝐴𝐶𝐵= 90°时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为直角三角形；
或
如图，当∠𝐴𝐵𝐶> 90°或∠𝐴𝐶𝐵> 90°时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为钝角三角形；
或
如图，当𝐴𝐵= 𝐴𝐶或𝐴𝐵= 𝐵𝐶或𝐴𝐶= 𝐵𝐶时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为等腰三角形；
或
或
综上，三角形𝐴𝐵𝐶可能是①②③④．
故选：D．
