文档文本内容
专题13.4 三角形的内角（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 三角形内角和定理的证明】....................................................................................................................2
【题型2 直接应用三角形内角和定理求角度】....................................................................................................3
【题型3 内角和与角平分线的综合应用】............................................................................................................4
【题型4 三角形内角和与平行线的综合应用】....................................................................................................5
【题型5 应用三角形内角和定理解决三角板问题】............................................................................................6
【题型6 应用三角形内角和解决折叠中的角度问题】........................................................................................7
【题型7 三角形内角和的应用】............................................................................................................................9
【题型8 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】..........................................................................................10
【题型9 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】......................................................11
知识点1 三角形内角和定理
定义：三角形三个内角的和等于180°.
如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°．
图 (1) 图 (2)
【拓展】三角形内角和的倒角模型：
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4．
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D．
考点1
三角形的内角
题型归纳
【题型1 三角形内角和定理的证明】
【例1】（25-26 九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次
标上∠1、∠2、∠3，如图1，再将∠1、∠2剪下，将它们与∠3拼在一起，如图2．
(1)在图2 中，通过∠1、∠2、∠3的拼接，你发现了什么？
(2)通过图2 中的发现，你能得出什么猜想？
(3)通过图2 的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想．
【变式1-1】（25-26 八年级上·安徽合肥·期中）证明：三角形的内角和等于180°．
已知：如图，△𝐴𝐵𝐶．
求证：___________．
证明：
【变式1-2】（24-25 八年级上·湖北宜昌·月考）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请
你帮他把探究过程补充完整．
在△𝐴𝐵𝐶边𝐵𝐶上任取一点E，作𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐶交𝐴𝐵于点D，作𝐸𝐹 ∥ 𝐴𝐵交𝐴𝐶于点F．
∵𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐶，𝐴𝐵 ∥ 𝐸𝐹
∴∠1 = _______，∠3 = _______．
∵𝐴𝐵∥𝐸𝐹，
∴∠4 = _______．
∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠4 = _______，
∴∠2 = _______．
∵∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= _______．
【变式1-3】（24-25 八年级上·山西大同·阶段检测）“三角形的内角和为180°”是《几何原本》中的第五公设
的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和
是180°”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型2 直接应用三角形内角和定理求角度】
【例2】（25-26 七年级下·山东济南·期中）已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶= 2:3:4，则△𝐴𝐵𝐶为（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
【变式2-1】（25-26 七年级下·河南周口·期中）将一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1的度数为（ ）
A．15°
B．30°
C．45°
D．75°
【变式2-2】（25-26 七年级下·江苏扬州·期中）如图，将△𝐴𝐵𝐶平移到△𝐴′𝐵′𝐶′的位置．若
∠𝐵= 55°,∠𝐶= 100°，则∠𝐴𝐵′𝐴′的度数为__________．
【变式2-3】（25-26 八年级下·河北保定·阶段检测）在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐴+ ∠𝐵= 100°，∠𝐶= 2∠𝐵，求∠𝐴
的度数．
【题型3 内角和与角平分线的综合应用】
【例3】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）如图，𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，若∠𝐵= 40°，
∠𝐶= 64°，则∠𝐷𝐴𝐸的度数是（ ）
A．10°
B．12°
C．15°
D．18°
【变式3-1】（25-26 九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 70°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，则∠𝐵𝐸𝐶的度数为（ ）
A．105°
B．115°
C．125°
D．135°
【变式3-2】（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 70°，点D、E 分别为𝐴𝐶、𝐴𝐵边
上的点，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐷、𝐶𝐸相交于点O，若∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐹，则∠𝐵𝐷𝐹= ______．
【变式3-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝑃为线段𝐴𝐷上的一个动点，𝑃𝐸⊥𝐴𝐷交𝐵𝐶的延长线于点𝐸．
(1)若∠𝐵= 35°，∠𝐴𝐶𝐵= 85°，求∠𝐸的度数；
(2)当点𝑃在线段𝐴𝐷上运动时，猜想∠𝐸与∠𝐵，∠𝐴𝐶𝐵之间的数量关系，并说明理由．
【题型4 三角形内角和与平行线的综合应用】
【例4】已知AB∥𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷= 60°，∠𝐵𝐴𝐸:∠𝐶𝐴𝐸= 2:3，∠𝐹𝐶𝐷= 4∠𝐹𝐶𝐸，若∠𝐴𝐸𝐶= 78°，则∠𝐴𝐹𝐶=
____________．
【变式4-1】（25-26 七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线𝑎∥𝑏、∠1 = 50°，∠3 = 100°，则∠2的度数为
（ ）．
A．20°
B．30°
C．35°
D．40°
【变式4-2】（25-26 七年级下·全国·单元测试）如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，定点𝐸，𝐹分别在定直线𝐴𝐵，𝐶𝐷上，动点𝑃
不在𝐴𝐵，𝐶𝐷，𝐸𝐹上．
(1)当动点𝑃位于𝐴𝐵，𝐶𝐷之间时，如图②、图③，连接𝑃𝐸，𝑃𝐹，𝐸𝐹，∠𝐴𝐸𝑃，∠𝐸𝑃𝐹，∠𝐶𝐹𝑃之间满足怎样
的数量关系？请说明理由；
(2)当点𝑃在不同的位置时，请画出当∠𝐴𝐸𝑃，∠𝐸𝑃𝐹，∠𝐶𝐹𝑃三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度
数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外．
【变式4-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐴𝐵上，过点𝐷作𝐷𝐸∥𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点𝐸，𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐸，交∠𝐴𝐶𝐵的平
分线于点𝑃，𝐶𝑃与𝐷𝐸相交于点𝐺，∠𝐴𝐶𝐹的平分线𝐶𝑄与𝐷𝑃相交于点𝑄．
(1)若∠𝐴= 50°，∠𝐵= 60°，则∠𝐷𝑃𝐶= ______°，∠𝑄______°；
(2)若∠𝐴= 50°，当∠𝐵的度数发生变化时，∠𝐷𝑃𝐶、∠𝑄的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若△𝑃𝐶𝑄中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠𝐴的度数______．
【题型5 应用三角形内角和定理解决三角板问题】
【例5】（2026·山西长治·一模）将一副三角板𝐴𝐵𝐶和𝐷𝐸𝐹按照如图所示的方式放置，𝐷𝐸与𝐵𝐶交于点G．已
知∠𝐵= ∠𝐹= 90°，∠𝐴= 60°，∠𝐸= 45°．若𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，则∠𝐷𝐺𝐶的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
【变式5-1】（25-26 七年级下·天津·阶段检测）将一副三角板按如图放置，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
∠𝐵= 45°，∠𝐸= 60°，则
①∠1 = ∠3；②∠𝐶𝐴𝐷+ ∠2 = 180°；③如果∠2 = 30°，则有𝐴𝐶∥𝐷𝐸；
④如果∠2 = 45°，则有∠4 = 45°．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式5-2】将一副直角三角板如图放置，已知∠𝐶= 60°，∠𝐹= 45°，当𝐷𝐹⊥𝐵𝐶时，∠𝐸𝐺𝐵= ______．
【变式5-3】小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知𝑀𝑁∥𝑃𝑄．
(1)如图①，小明将含45°角的直角三角板𝐴𝐵𝐶中的点A 落在直线𝑃𝑄上，若∠𝐵𝐴𝑄= 25°，则∠𝐴𝐷𝑀的度数为
______；
(2)如图②，小明将含30°角的直角三角板𝐷𝐸𝐹中的点D，F 分别落在直线𝑀𝑁,𝑃𝑄上，若𝐷𝐸平分∠𝑀𝐷𝐹，则𝐸𝐹
是否平分∠𝐷𝐹𝑃？请说明理由．
(3)小明将三角板𝐴𝐵𝐶与三角板𝐷𝐸𝐹按如图③所示方式摆放，点B 与点F 重合，求∠𝐵𝐶𝑁的度数．
【题型6 应用三角形内角和解决折叠中的角度问题】
【例6】（25-26 七年级下·广东深圳·期中）在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，将∠𝐵,∠𝐶按如图方式折叠，点𝐵,𝐶
均落在𝐵𝐶边上的点𝐺处，线段𝑀𝑁,𝐸𝐹为折痕．若∠𝐴= 85°，则∠𝑀𝐺𝐸的度数为___________°．
【变式6-1】（25-26 八年级上·安徽安庆·期中）如图，将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，使点𝐴落在点𝐴′处，且𝐴′𝐵
平分∠𝐴𝐵𝐶,𝐴′𝐶平分∠𝐴𝐶𝐵，若∠𝐵𝐴′𝐶= 115°，则∠1 + ∠2的度数为_____．
【变式6-2】（25-26 八年级下·河南郑州·阶段检测）已知一张三角形纸片△𝐴𝐵𝐶（如图甲），其中
𝐴𝐵= 𝐴𝐶．将纸片沿过点𝐵的直线折叠，使点𝐶落到𝐴𝐵边上的𝐸点处，折痕为𝐵𝐷（如图乙）．再将纸片沿过
点𝐸的直线折叠，点𝐴恰好与点𝐷重合，折痕为𝐸𝐹（如图丙）．原三角形纸片△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴的大小为（ ）
A．36°
B．45°
C．60°
D．72°
【变式6-3】（24-25 八年级上·北京·期中）把三角形纸片𝐴′𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠．
(1)如图1，点𝐴′落在四边形𝐵𝐶𝐷𝐸内部点A 处时，∠𝐴与∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐴𝐸𝐵之间有一种数量关系始终保持不变，
写出这种关系并证明；
(2)如图2，点𝐴′落在四边形𝐵𝐶𝐷𝐸外部点A 处时，直接写出∠𝐴与∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐴𝐸𝐵之间的数量关系．
【题型7 三角形内角和的应用】
【例7】（25-26 八年级下·广东清远·期中）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O 旋转了66°，小孩的
位置从点A 运动到了点𝐴′，则∠𝑂𝐴′𝐴的度数为（ ）
A．33°
B．57°
C．60°
D．114°
【变式7-1】（25-26 七年级下·广东深圳·期中）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体
旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb 角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb 角> 10°为脊柱侧弯．如图是脊柱
侧弯Cobb 角(∠𝑂)的检测示意图，𝐷𝐴⊥𝑂𝐶于𝐴，𝐶𝐵⊥𝑂𝐷于𝐵，𝐵𝐶与𝐴𝐷交于点𝐸，已知Cobb 角为35°，则∠𝐴𝐸𝐶
的大小是（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
【变式7-2】（2026·江苏扬州·一模）如图是一款手机支架，若张角∠𝐵𝐶𝐷= 75°，支撑杆𝐵𝐶与桌面夹角
∠𝐵= 65°，那么此时面板𝐶𝐷与水平方向夹角∠1的度数为（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
【变式7-3】（2026·广西桂林·一模）如图为某种可调节式露营椅的示意图．𝐴𝐸，𝐴𝐹分别与𝐶𝐷相交于点𝑂，
𝐹，当各个角度调节至如图所示的位置时，适合半躺放松、观景或小憩，体感最佳，若∠𝐴= 35°，
∠𝐷= 53°，∠𝐸= 49°，则∠𝐴𝐹𝐶的度数是（ ）
A．110°
B．111°
C．112°
D．113°
知识点2 直角三角形的性质及判定
1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°．
2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
在△ABC 中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC 是直角三角形 ．
【题型8 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】
【例8】（25-26 七年级下·浙江杭州·期中）如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，将一副直角三角板作如下摆放，
∠𝐸𝐺𝐹= ∠𝑀𝑃𝑁= 90∘，∠𝐺𝐸𝐹= 60∘，∠𝑃𝑁𝑀= 45∘，则∠𝐵𝐸𝐺= （ ）
A．130∘
B．135∘
C．140°
D．145°
【变式8-1】（25-26 七年级下·四川·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为
𝐷．∠𝐵𝐶𝐷= 25°，则∠𝐴= ________度．
考点2
直角三角形的性质及判定
【变式8-2】（2026·广东深圳·二模）如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点𝐴处滚向桌边𝑃𝑄，在𝑃𝑄
上的点𝐵处反弹后，滚向桌边𝑅𝑆上的点𝐶，再次反弹后滚入点𝑄，共反弹两次．若∠𝐴𝐵𝑃= 62°，则∠𝐶𝑄𝑅的
度数为（ ）
A．62°
B．38°
C．32°
D．28°
【变式8-3】（25-26 八年级上·陕西延安·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 32°，∠𝐴𝐶𝐵= 74°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶
交𝐵𝐶于点𝐷，𝑃为线段𝐴𝐷上的一点，过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐴𝐷交线段𝐵𝐶的延长线于点𝐸，求∠𝐸的度数．
【题型9 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】
【例9】如图，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐵= 60°，∠𝐵𝐷𝐶= 80°，∠𝐶= 70°，则△𝐴𝐵𝐷是____三角形．
【变式9-1】（25-26 八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的是（ ）
A．∠𝐴= 90°
B．∠𝐵+ ∠𝐶= 90°
C．∠𝐵= ∠𝐶= 45°
D．∠𝐵=60°
【变式9-2】（25-26 八年级上·福建福州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐷、𝐸分别在𝐴𝐵、𝐴𝐶上，连
接𝐷𝐸，若∠1 = ∠2，则△𝐴𝐷𝐸是________三角形．
【变式9-3】（25-26 八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°，
∠𝐷𝐶𝐸= 11°．求证：△𝐵𝐶𝐷是直角三角形．
