文档内容
21.1.1 四边形及其内角和 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生已经学习了三角形的有关概念和性质的基础上，利用学习三角形的经验方法进一步研
究四边形的有关概念和性质。
2. 内容分析
本节课是人教版八年级下册“四边形”章节的开篇课，承接三角形的概念、性质及研究方法，是后续
学习平行四边形、矩形、菱形等特殊四边形的基础，起到“承上启下”的关键作用。从知识逻辑来看，四
边形的定义、边、顶点、内角等概念可通过类比三角形推导得出，内角和与外角和的探索则运用“化未知
为已知”的转化思想，既巩固了三角形内角和定理，又拓展了多边形性质的研究思路。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并证明四边形的内角、外角的性质。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）类比三角形，理解四边形的定义、相关概念及符号表示。
（2）探索并证明四边形的内角、外角的性质，发展推理能力。
2. 目标解析
（1）能准确说出四边形的定义、边、顶点、内角、外角、对角线等相关概念，会用规范符号表示四
边形，能清晰区分凸四边形和凹四边形。
（2）会通过“连接对角线将四边形转化为三角形”的方法，独立推导四边形内角和与外角和性质，
能运用性质解决角度计算等问题，提升逻辑推理与知识迁移能力。
三、教学问题诊断分析
学生可能出现的问题：
1.推导内角和时，想不到 “连接对角线” 的转化方法，或对“两个三角形内角和叠加后与四边形内
角和的对应关系”理解不透彻。
2.运用内角和、外角和性质解题时，易忽略 “凸四边形” 的前提条件，或在复杂图形中找不准对应
角度关系。
应对策略：
1.推导内角和前，先回顾三角形内角和定理，再通过提问 “如何将四边形转化为学过的图形？” 引
导学生思考，必要时展示对角线连接示意图，搭建转化桥梁。
1 / 8
学科网（北京）股份有限公司2.解题前明确 “默认讨论凸四边形” 的规则，针对复杂题型，引导学生先标注已知角度，再根据性
质列等式计算，规范解题步骤。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：探索并证明四边形的内角、外角的性质。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 回忆一下，我们是怎样研究三角形的？学习了三角形的哪些知识？
三角形的定义及分类，三角形的组成元素和相关元素，三角形的边、角的性质.
问题2 我们该如何研究四边形呢？
与三角形一样，四边形也是一种基本的几何图形，本节课我们类比三角形，学习四边形的一些概念和
性质.
设计意图：通过回顾三角形的研究思路与知识体系，搭建“类比三角形研究四边形”的认知框架，让
学生明确本节课的研究方法与方向，激发学生运用已有知识探索新知的兴趣，降低学习陌生概念的难度。
（二）合作探究
1.四边形的定义
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
2.四边形的组成元素
组成四边形的各条线段叫作四边形的边，
每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.
四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；
四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.
问题3 如图：线段AB，BC，CD，DA 是四边形的边；点A，B，C，D 是四边形的顶点.
∠ A ， ∠ B ， ∠ C ， ∠ D 是四边形ABCD的内角.
追问 请在图中分别画出四边形ABCD顶点A，C处的外角.
2 / 8
学科网（北京）股份有限公司3.四边形的相关元素
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.
问题4 如图：线段AC，BD 是四边形ABCD 的两条对角线.
4.四边形的分类
画出四边形ABCD的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸
四边形.
画出四边形ABCD的某一条边所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凹
四边形.今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
思考 我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°.那么，任意一个四边形的内角和是
多少度？你能证明你的结论吗？
分析 由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形，所以四边形的有关问题就可以利用三
3 / 8
学科网（北京）股份有限公司角形的相关知识加以解决.下面按照上述思路解决这个问题.
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.
在△ABC中，由三角形内角和定理，得∠1+∠B+∠3=180°.
同理 ∠2+∠4+∠D=180°.
由此可得 ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)
=180°+180°=360°.
即四边形的内角和等于360°.
探究 在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其
中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？
如图，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如右图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的
形状还会改变吗？为什么？
可以发现，四边形木架的形状会改变．因为四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形
不具有稳定性．而再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性，这时四边
形木架的形状不会改变.
应用 在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如伸缩门、升降机等；有时又需要克服四边
形的不稳定性，如在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等.
追问 你还能举出其他例子吗？
设计意图：从定义到组成元素和相关元素，再到分类，层层递进构建四边形知识体系，让学生经历概
念的形成过程，培养严谨的数学思维。
内角和推导环节，引导学生自主探索转化方法，体会“化未知为已知”的数学思想；稳定性探究通过
4 / 8
学科网（北京）股份有限公司动手操作与生活实例结合，让抽象性质具象化，提升知识应用能力。
（三）典例分析
例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角
和等于多少?
分析 因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为
4×180°.根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和.
解：∵∠DAB与∠1是邻补角，∴∠DAB+∠1=180°.
同理∠ABC+∠2=180°，∠BCD+∠3=180°，∠CDA+∠4=180°，
∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+
A
∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°， 1 4
D
而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°,
3
∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
B
C
2
这样，我们就证明了：四边形的外角和等于360°.
设计意图：以“邻补角关系”为切入点，衔接四边形内角和性质，让学生感受知识的连贯性；通过规
范的证明过程，强化逻辑推理能力，为后续运用外角和性质解题奠定基础。
（四）巩固练习
1．求出下列图形中x的值：
解：（1）∵四边形的内角和是360°，
∴x+x+140+90=360，
解得：x=65.
（2）∵四边形的内角和是360°，
∴3x+3x+4x+2x=360，
解得：x=30.
（3）∵四边形的内角和是360°，
∴180−x+75+120+80=360，
解得：x=95.
2.一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系?
5 / 8
学科网（北京）股份有限公司解：它的另一组对角也互补.理由如下：
已知：∠A，∠B，∠C，∠D是四边形ABCD的四个内角，∠A+∠C=180°.
求证：∠B+∠D=180°.
A
证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A+∠C=180°，
D
∴∠B+∠D=360°−(∠A+∠C)
=360°−180°=180°.
3.下列图形中哪些具有稳定性? B C
具有稳定性 不具有稳定性 不具有稳定性 具有稳定性 不具有稳定性
设计意图：角度计算习题覆盖直接运用内角和、方程思想求解、结合邻补角转化等不同题型，梯度递
进，帮助学生熟练掌握内角和性质的应用方法。对角关系探究题，培养学生“已知—求证—证明”的逻辑
推理习惯；稳定性判断题，强化对四边形与三角形稳定性差异的认知，呼应前面的动手操作环节。
（五）归纳总结
6 / 8
学科网（北京）股份有限公司（六）感受中考
1．（2022年河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度
数分别为α，β，则正确的是（ A ）
A．α−β=0 B．α−β<0 C．α−β>0 D．无法比较α与β的大小
2．（2021年江苏扬州）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若
∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E=（ D ）
A．220° B．240° C．260° D．280°
3．（2023年辽宁盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，
点E在AB上，边GF、EF分别交CD于点H、K，若∠BEF=64°，则∠GHC等于（ B ）
7 / 8
学科网（北京）股份有限公司A．44° B．34° C．24° D．14°
4．（2020年山东泰安）将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2等
于（ C ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
设计意图：选取不同地区、不同年份的中考真题，让学生提前感知四边形知识在中考中的考查形式与
难度，增强学习的针对性；通过真题训练，检验本节课知识的掌握程度，查漏补缺，提升综合解题能力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题21.1 第1，5题.
2.探究性作业：习题21.1 第8题.
五、教学反思
8 / 8
学科网（北京）股份有限公司
