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专题13.3 三角形的中线、角平分线、高（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 利用中线求线段长度】............................................................................................................................1
【题型2 利用中线求三角形周长】........................................................................................................................2
【题型3 中线与三角形面积关系】........................................................................................................................3
【题型4 直接利用角平分线求度数】....................................................................................................................4
【题型5 角平分线结合平行线求度数】................................................................................................................5
【题型6 利用角平分线证明】................................................................................................................................6
【题型7 识别与画出三角形的高】........................................................................................................................8
【题型8 利用等积法求高或边长】........................................................................................................................9
【题型9 高线与三角形面积计算】......................................................................................................................10
【题型10 利用高线求角的度数】..........................................................................................................................12
【题型11 高线位置分类讨论问题】......................................................................................................................13
知识点1 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角
形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形内部.
【题型1 利用中线求线段长度】
【例1】（24-25 七年级下·河南新乡·期末）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是中线，△𝐴𝐶𝐷与△𝐴𝐵𝐷的周长差为7．若
𝐴𝐵= 5，则𝐴𝐶= （ ）
A．10
B．12
C．14
D．15
【变式1-1】（25-26 八年级上·四川泸州·期中）𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐶= 12cm，𝐵𝐷= __________cm．
考点
三角形的中线
题型归纳
【变式1-2】已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，若△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长分别是17和15，△𝐴𝐵𝐶的周长是22，则𝐴𝐷
的长为______．
【变式1-3】已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3:2的两部分，则
这个等腰三角形的底长为___________．
【题型2 利用中线求三角形周长】
【例2】（25-26 八年级上·贵州遵义·期中）如图，AD 是△𝐴𝐵𝐶的中线，已知△𝐴𝐵𝐷的周长为28cm，AB
比AC 长6cm，则△𝐴𝐶𝐷的周长为（ ）
A．34cm
B．31cm
C．22cm
D．20cm
【变式2-1】（25-26 八年级上·陕西榆林·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是中线，𝐵𝐶−𝐴𝐶= 5 cm，△𝐴𝐷𝐶
的周长是20cm，则△𝐷𝐵𝐶的周长是______cm．
【变式2-2】如图，𝐵𝑂为△𝐴𝐵𝐶的中线，延长𝐵𝑂至D，使𝑂𝐷= 𝑂𝐵，连接𝐶𝐷，已知𝐵𝐶= 6，𝑂𝐶−𝑂𝐷= 2，
则△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝑂𝐶的周长差是________．
【变式2-3】如图，已知AD、AE 分别是△ABC 的中线、高，且AB＝5cm ，AC＝3cm ，则△ABD 与△ADC 的
周长之差为_______.
【题型3 中线与三角形面积关系】
【例3】（25-26 七年级下·辽宁大连·期中）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线，若△𝐴𝐵𝐶的
面积是12，则△𝐴𝐷𝐸的面积是___．
【变式3-1】（25-26 七年级下·福建泉州·期中）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，若𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6，则𝑆△𝐴𝐶𝐷= _____．
【变式3-2】（25-26 七年级下·上海浦东新·期中）如图，若△𝐴𝐵𝐶的面积为2，且点A，B，C 分别是EC、
AF、BD 的中点，那么阴影部分的面积为（ ）
A．12
B．10
C．8
D．6
【变式3-3】（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷是𝐴𝐵边
上一点，连接𝐶𝐷交𝐵𝐸于点𝐹，∠𝐴𝐷𝐸= 2∠𝐸𝐵𝐶= 70°，𝐸𝐹=
1
3𝐵𝐹，连接𝐸𝐷．
(1)求∠𝐵𝐸𝐷的度数；
(2)若𝐵𝑀为△𝐵𝐹𝐶的中线，△𝐵𝐹𝑀的面积为𝑎，请用字母𝑎表示△𝐵𝐶𝐸的面积；
(3)如图2，过点𝐶作𝐵𝐸的垂线交直线𝐵𝐸于点𝐺，若𝐶𝐺= 5，𝐸𝐹= 2，求△𝐷𝐸𝐹的面积．
知识点2 三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任
意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部.
【题型4 直接利用角平分线求度数】
【例4】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 67°，∠𝐶= 33°，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐶𝐴𝐷的度数为____________
【变式4-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，若∠1 = 40°，∠2 = 20°，则∠𝐵= _____．
【变式4-2】（25-26 八年级上·北京海淀·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，交𝐵𝐶
于点𝐸，若∠𝐵= 30°，∠𝐴𝐶𝐷= 70°，求∠𝐷𝐴𝐸的大小．
【变式4-3】（24-25 七年级下·吉林长春·期末）在∠𝑀𝐴𝑁中，点B，C 分别是𝐴𝑀，𝐴𝑁上一点，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵
的角平分线交于点𝑃．
考点2
三角形的角平分线
(1)如图1，若∠𝑀𝐴𝑁= 90∘，求∠𝑃的度数；
(2)如图2，若∠𝑃= 2∠𝐴，求∠𝐴的度数；
(3)如图3，∠𝐶𝐵𝑀和∠𝐵𝐶𝑁的角平分线交于点Q，直接写出∠𝑃和∠𝑄之间的数量关系______．
【题型5 角平分线结合平行线求度数】
【例5】（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图，点D，E 分别在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐴𝐶上，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，点F
在线段𝐶𝐷上，且∠1 = ∠𝐵
(1)求证：𝐴𝐵∥𝐸𝐹；
(2)若𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐵，求证：∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶．
【变式5-1】填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，已知：𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐶∥𝐷𝐸，𝐶𝐷∥𝐸𝐹，那么𝐸𝐹平分∠𝐷𝐸𝐵吗？
解：∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵（已知），
∴∠1 = ∠2（________________________），
∵𝐴𝐶∥𝐷𝐸（已知），
∴∠1 = ∠_________，
∴∠2 = ∠3（等量代换），
∵𝐶𝐷∥𝐸𝐹（已知），
∴∠4 = ∠3（________________________），
∠2 = ∠5（________________________），
∴________________________（等量代换）．
∴𝐸𝐹平分∠𝐷𝐸𝐵．
【变式5-2】（24-25 七年级下·全国·期中）如图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，P 为直线𝐴𝐵，𝐶𝐷外一点，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝑃，𝐷𝐸
平分∠𝐶𝐷𝑃，𝐵𝐹的反向延长线交𝐷𝐸于点E，若∠𝐹𝐸𝐷= 160°，则∠𝑃的度数为 _______．
【变式5-3】如图所示，直线𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝑁𝐸平分∠𝐹𝑁𝐷，𝑀𝐵平分∠𝐹𝑀𝐸，且2∠𝐸+ ∠𝐹= 171°，则∠𝐹𝑀𝐸的度
数是______．
【题型6 利用角平分线证明】
【例6】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点E 在AB 上，EF∥AD，连接DE．
(1)求证：∠BEF＝∠CAD；
(2)若DE∥AC，求证：EF 平分∠BED．
【变式6-1】（25-26 七年级上·江西上饶·期末）已知：如图，在三角形𝐷𝐵𝐹中，𝐷𝐸⊥𝐵𝐹，𝐷𝐸平分∠𝐵𝐷𝐹，
点𝐴是线段𝐵𝐷延长线上一点，点𝐶在线段𝐸𝐹上，连接𝐴𝐶交𝐷𝐹于点𝑀，∠𝐴=
1
2∠𝐵𝐷𝐹．求证：𝐴𝐶⊥𝐵𝐹．
请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据．
证明：∵𝐷𝐸平分∠𝐵𝐷𝐹，
∴∠𝐵𝐷𝐸=
1
2∠𝐵𝐷𝐹（① ），
∵∠𝐴=
1
2∠𝐵𝐷𝐹，
∴∠𝐴= ∠𝐵𝐷𝐸（② ），
∴𝐴𝐶∥ ③ （④ ），
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐸𝐵（⑤ ），
∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐹，
∴∠𝐷𝐸𝐵= 90°（⑥ ），
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐹．
【变式6-2】如图，点O，P，Q 分别在𝐴𝐵，𝐴𝐶，𝐵𝐶上，𝑂𝑄与𝐵𝑃交于M 点，连接𝑂𝑃，已知
∠𝑂𝑀𝐵+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°，∠𝐶= ∠𝑃𝑂𝑄．
(1)求证：𝑂𝑃∥𝐵𝐶；
(2)若𝑃𝑂是∠𝐴𝑃𝐵的平分线，∠𝐵𝑃𝐶= 2∠𝐶，请判断𝐵𝑃与𝑂𝑄的位置关系，并说明理由．
【变式6-3】如图，△ABC 中，∠BAC 的角平分线交BC 于D，点F 在BA 的延长线上，点E 在线段CD 上，
EF 与AC 相交于点G，且∠𝐵𝐷𝐴+∠𝐶𝐸𝐺=180°．
(1)求证：𝐴𝐷∥𝐸𝐹；
(2)若点H 在FE 的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F 与∠H 相等吗？请说明理由．
知识点3 三角形的高
1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
2.三角形的三条高的特性
名称
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
图示
高在三角形内部的数量
3
1
1
高之间是否相交
相交
相交
不相交
高所在的直线是否相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形内部
直角顶点
三角形外部
【题型7 识别与画出三角形的高】
【例7】（25-26 九年级下·河北衡水·期中）如图，老师将直角三角尺𝐷𝐸𝐹的一条直角边摆放在△𝐴𝐵𝐶的𝐴𝐵
边上，另一条直角边经过顶点C，则𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的（ ）
考点3
三角形的高
A．中线
B．高线
C．角平分线
D．中位线
【变式7-1】（25-26 七年级下·山西临汾·期中）下列四个图中，线段𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】（25-26 七年级下·上海闵行·期中）如图，以下是一位同学将△𝐴𝐵𝐶翻折至阴影处的三种不同折
纸示意图，则图（1）、图（2）、图（3）的𝐴𝐷分别是△𝐴𝐵𝐶的（ ）
A．角平分线、高、中线
B．高、中线、角平分线
C．角平分线、中线、高
D．中线、角平分线、高
【变式7-3】如图，H 若是△ABC 三条高AD，BE，CF 的交点，则△BHA 中边BH 上的高是__________．
【题型8 利用等积法求高或边长】
【例8】（25-26 七年级下·广东深圳·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶,𝐴𝐶边上的高𝐵𝐷= 4,𝑃为𝐵𝐶上一点，
𝑃𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸,𝑃𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，则𝑃𝐸+ 𝑃𝐹= __________．
【变式8-1】（25-26 七年级下·山东济南·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶的两条高𝐴𝐷，𝐶𝐸相交于点𝐹．连接𝐵𝐹并延长
交𝐴𝐶于点𝐺，若𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 10，𝐶𝐸= 6，则𝐵𝐺= ______．
【变式8-2】（25-26 七年级下·云南昭通·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，
𝐴𝐶= 4 cm，𝐵𝐶= 3cm，𝐴𝐵= 5cm．则点𝐶到𝐴𝐵的距离为（ ）cm．
A．3
B．4
C．5
D．
12
5
【变式8-3】（25-26 七年级上·上海·期末）如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中．沿着过点𝐶的直线折叠这个三角形，使
顶点𝐴落在𝐵𝐶边上的点𝐸处，折痕为𝐶𝐷，并连接𝐷𝐸．如果𝐴𝐵= 𝑚，且满足
𝑆△𝐵𝐷𝐸
𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
4，边𝐵𝐷= ________．(用
含𝑚的代数式表示结果）
【题型9 高线与三角形面积计算】
【例9】如图，𝐷为△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐶边上的一点，𝐴𝐷= 1，𝐷𝐶= 2，𝐴𝐵= 4，𝐸是𝐴𝐵上的一点，且△𝐴𝐵𝐶的面
积等于△𝐷𝐸𝐶面积的2 倍，𝐵𝐸的长为（ ）
A．1
B．3
C．
1
4
D．不确定
【变式9-1】如图所示的网格是正方形网格，△ABC 的面积__△DEF 的面积．（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【变式9-2】（25-26 九年级上·河北石家庄·期末）如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为60cm2，那么三角形𝐴𝐵𝐸的
面积是（ ）cm2．
A．18
B．20
C．30
D．36
【变式9-3】（24-25 八年级上·河南三门峡·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三
角形面积公式的出入相补法．如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，分别取𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点𝐷，𝐸，连接𝐷𝐸，过点𝐴作
𝐴𝐹⊥𝐷𝐸，垂足为𝐹，将△𝐴𝐵𝐶沿虚线分割后拼接成长方形𝐵𝐶𝐻𝐺，如图2．若𝐷𝐸= 6，𝐴𝐹= 4，则△𝐴𝐵𝐶
的面积是______．
【题型10 利用高线求角的度数】
【例10】（25-26 七年级下·重庆·期中）如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐶𝐸是△𝐴𝐶𝐷的
高，∠𝐴𝐵𝐶= 42°，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷，则∠𝐷𝐶𝐸= _________°．
【变式10-1】（25-26 八年级上·云南昆明·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐶𝐸是角平分线，𝐴𝐷，𝐶𝐸相
交于点𝑂，且∠𝐵𝐴𝐶= 60°，∠𝐵= 70°．
(1)求∠𝐵𝐴𝐷的度数；
(2)求∠𝐴𝑂𝐶的度数．
【变式10-2】已知，如图所示，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐸是△𝐴𝐷𝐶的高，且∠𝐴𝐷𝐸= 68°，∠𝐵= 105°．
(1)求∠𝐷𝐴𝐸的度数；
(2)求∠𝐶的度数．
【变式10-3】（24-25 八年级上·安徽蚌埠·期末）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼，∠𝐵= 𝛽（𝛼> 𝛽），𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶
的高．
(1)如图1，若𝐶𝐸为△𝐴𝐵𝐶内角∠𝐵𝐶𝐴的平分线．
①当𝛼= 70°，𝛽= 50°，则∠𝐷𝐶𝐸的度数为_________°；
②用含𝛼，𝛽的代数式表示∠𝐷𝐶𝐸的度数，并说明理由；
(2)如图2，若𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶外角∠𝐴𝐶𝐹的平分线，𝐶𝐸交𝐵𝐴延长线于点𝐸，若𝛼−𝛽= 30°，则∠𝐷𝐶𝐸的度数为
_________°．
【题型11 高线位置分类讨论问题】
【例11】（25-26 七年级下·广东深圳·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是56°，那么这
个等腰三角形的顶角的度数是___________．
【变式11-1】（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 38°，𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的高，若
∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴，则∠𝐴𝐵𝐶= ________．
【变式11-2】（25-26 七年级下·河南平顶山·期中）已知𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐴𝐷= 5，𝐶𝐷= 1．若△𝐴𝐵𝐶的
面积为6，则𝐵𝐷的长为______．
【变式11-3】（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的高，若∠𝐴𝐵𝐷= 2∠𝐶,
∠𝐶= 36°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为________．
