文档内容
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
夯实基础篇
一、单选题：（每题3分，共18分）
1．在△ABC中，画边BC上的高，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
解：A．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；
B．此图形中CE不是BC边上的高，不符合题意；
C．此图形中BE是AC边上的高，不符合题意；
D．此图形中BG是△BCG中BC边上的高，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形高的画法，解题关键在理解底与高的对应关系，作钝角三角形的高是易错点．
2．如图，在 中， 边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形高的定义是从一个顶点到它对边的垂线段即可判断．
【详解】
根据三角形的高的定义，在△ABC中，BC边上的高应是过点A垂直于BC的线段，
从图中可以看出，过点A垂直于BC的线段是AE，所以AE是BC边上的高．故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形高的定义，熟练掌握三角形的高概念，仔细观察图形中符合定义的线段即可．
3．下列叙述中错误的一项是（ ）．
A．三角形的中线、角平分线、高都是线段．
B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部．
C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形．
D．三角形的三条角平分线都在三角形内部．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的角平分线、中线、高的概念和性质进行一一判断．
【详解】
A：三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确；
B：锐角三角形三条高在三角形内部，直角三角形一条高在三角形内部，钝角三角形一条高在三角形内部，
正确；
C：只有一条高在三角形内部的三角形是钝角三角形或直角三角形，错误；
D：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确
故选：C
【点睛】
本题考查三角形的三线，掌握高、中线、角平分线的定义是解题关键．
4．已知，AE、BD是 的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，则AC的长度是（ ）
A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm
【答案】D
【解析】
【分析】根据等面积法即可求解．
【详解】
解：∵AE、BD是 的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，
∴ ，
即 cm．
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形高线的相关计算，理解三角形的高线的意义是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD=CD，进而得出△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD
的周长=AC+CD+AD，相减即可得到周长差．
【详解】
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差为：
（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）
=AB+BD+AD-AC-CD-AD
=AB-AC
=5-3
=2；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线、高和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键．
6．如图， ， ， 分别是 的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；
【详解】
解：A．∵ 是 的中线
∴ ，
故选项正确，不符合题意；
B．∵ 是 的角平分线
∴
故选项正确，不符合题意；
C．∵ 分别是 的高，
∴
故选项正确，不符合题意；
D． 不一定成立，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义进行判断即
可．
二、填空题：（每题3分，共15分）
7．如图， ，则线段______是 中 边上的高．【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形高线的定义判断即可；
【详解】
∵ ，
∴ 中BC边上的高是AE．
故答案是AE．
【点睛】
本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高线，准确分析判断是解题的关键．
8．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边的中线，若△ABC的面积是24，AE＝3，
则点B到直线AD的距离为________．
【答案】4
【解析】
【分析】
由三角形的中线平分三角形面积的性质可得△ABE的面积，再由三角形面积公式即可求得结果．
【详解】
∵AD是△ABC的BC边上的中线， ，
∴ ．
∵BE是△ABD中AD边上的中线，∴ ．
设点B到直线AD的距离为h，则 ，
即 ，
∴h=4．
即点B到直线AD的距离为4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了三角形一边上的中线平分三角形面积的性质、三角形面积等知识，掌握三角形一边上的中线平
分三角形面积的性质是本题解答的关键．
9．如图，在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的中线和高，AE＝6，S ABD＝15，则CD＝_____．
△
【答案】5
【解析】
【分析】
由利用三角形的面积公式可求得BD的长，再由中线的定义可得CD=BD，从而得解．
【详解】
解：∵S ABD=15，AE是BC边上的高，
△
∴ BD•AE=15，
则 ×6BD=15，
解得：BD=5，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD=5．
故答案为：5．【点睛】
本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD的长．
10．如图，在三角形 中， ， ，垂足为 ， ， ， ，则
______．
【答案】2.4
【解析】
【分析】
根据面积相等可列式 ，代入相关数据求解即可．
【详解】
解：∵ ， ，
∴
∵ ， ， ，
∴
故答案諀：2.4
【点睛】
此题主要考查了运用等积关系求线段的长，准确识图是解答本题的关键．
11．已知 中， ，中线 把 分成两个三角形，这两个三角形的周长差是 ，则
的长是__________．
【答案】42cm或18cm
【解析】
【分析】
先根据三角形中线的定义可得BD=CD，再求出AD把 ABC周长分为的两部分的差等于|AB-AC|，然后分
AB＞AC，AB＜AC两种情况分别列式计算即可得解．△【详解】
∵AD是 ABC中线，
△
∴BD=CD．
∵AD是两个三角形的公共边，两个三角形的周长差是12cm，
∴如果AB＞AC，那么AB-AC=12cm，即AB-30=12cm
∴AB=42cm；
如果AB＜AC，那么AC-AB=12cm，即30-AB=12cm
AB=18cm．
综上所述：AB的长为42cm或18cm．
故答案为：42cm或18cm．
【点睛】
考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
三、解答题：（每题8分，共40分）
12．如图，BD和CE是△ABC的中线，AE=3cm，CD=2cm，若△ABC周长为15cm，求BC边的长．
【答案】
【解析】
【分析】
根据中线定义可得AB，AC，根据△ABC周长公式即可求解．
【详解】
∵BD和CE是△ABC的中线，
∴ ， ，∵△ABC周长为15cm，即 ，
∴ ．
【点睛】
本题考查三角形中线定义、三角形周长公式，解题的关键是根据三角形中线求出AB和AC的长．
13．如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD
的周长大6cm，求AB，BC．
【答案】AB＝9cm，BC＝3cm．
【解析】
【分析】
由BD是中线，可得AD=CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，
AB=AC，可得AB-BC=6cm，2AB+BC=21cm，继而求得答案．
【详解】
解：∵BD是中线，
∴AD＝CD＝ AC，
∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，
∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，
∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC，
∴2AB+BC＝21cm②，
联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．
【点睛】
本题考查了三角形周长与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
14．如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形方格纸的格点上，将△ABC向上平移4格．(1)请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；
(2)在图中画出三角形△ABC的高CD、中线BE；
(3) ABC的面积是 ．
【答△案】(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【解析】
【分析】
（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；
（2）找出线段AC的中点E，然后连接B E，再过点C向AB所在的直线作垂线，垂足为D即可；
（3）直接根据三角形的面积公式即可得出结论．
(1)
如图所示，三角形A′B′C′就是所要求做的图形；
(2)
如图所示，三角形△ABC的高CD、中线BE；(3)
S ABC＝ ．
△
故△ABC的面积是8．
【点睛】
本题考查作图－平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
15．如图，已知 ， 分别是 的高和中线， ， ， ， ．
(1)求 的长度；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等面积法，根据 ，代值求解即可；
（2）根据已知条件和（1）中求出的 长，利用三角形面积公式得出 ，代值求解即可．(1)
解：在 中， ， 是边 上的高，
， ， ，
根据 可得
；
(2)
解：在 中， 是边 上的中线，且 ，
，
在 中， 是边 上的高，且由（1）知 ，
．
【点睛】
本题考查三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线与高线是解决问题的关键．
16．请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．
求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1= ∠AED，∠2= ∠ABC（______________）
∵BC∥ED（________）
∴∠AED=________（________________）
∴ ∠AED= ∠ABC
∴∠1=________∴BD∥EF（________________）．
【答案】角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义得出∠1= ∠AED，∠2= ∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED=∠ABC，求出
∠1=∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．
【详解】
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1= ∠AED，∠2= ∠ABC（角平分线的定义）
∵BC∥ED（已知）
∴∠AED= ∠ ABC （两直线平行，同位角相等）
∴ ∠AED= ∠ABC
∴∠1= ∠ 2
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定
理是解此题的关键．
能力提升篇
一、单选题：（每题3分，共9分）
1．在等腰 ABC 中，AB=AC，中线 BD将这个三角形的周长分为 15和12 两个部分，则这个等腰三角形
的底边长为△（ ）
A．7 B．10 C．7 或 11 D．7 或 10
【答案】C
【解析】
【分析】
题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方
程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．
【详解】
设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得① 或②
解方程组①得 ，
根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；
解方程组②得 ，
根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，
即等腰三角形的底边长是11或7；
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着
中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注
意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．
2．如图， ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE
的面积为（△ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接CP．设 CPE的面积是x， CDP的面积是y．根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得 BDP的面
积是2y， A△PE的面积是x，进而△得到 ABP的面积是4x．再根据 ABE的面积是 BCE的面积△相等，得
△ △ △ △
4x+x=2y+x+y，解得y= x，再根据 ABC的面积是3即可求得x、y的值，从而求解．
△【详解】
连接CP，
设 CPE的面积是x， CDP的面积是y．
∵△BD：DC=2：1，E为△AC的中点，
∴△BDP的面积是2y， APE的面积是x，
∵BD：DC=2：1 △
∴△ABD的面积是4x+2y
∴△ABP的面积是4x．
∴4x+x=2y+x+y，
解得y= x．
又∵ ABC的面积为3
△
∴4x+x= ，
x= ．
则四边形PDCE的面积为x+y= ．
故选B．
【点睛】
此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比等于它们的底
的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比．
3．如图，△ABC的面积是24，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（
）A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据点E是AD的中点，可知 ， ，再根据点D是BC的中点，可得
，即可得
，然后根据点F，G是BE，CE的中点，得
， ，可知FG是△CBE的中位线，可得 ，即
可得出答案．
【详解】
∵点E是AD的中点，
∴ ， ．
∵点D是BC的中点，
∴ ，
∴ ．
∵点F，G是BE，CE的中点，
∴ ， ，
∴FG是△CBE的中位线，
∴ ，∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形的面积和中线的关系，三角形中位线的定义和性质等，将一个三角形的面积转化为
求三个小三角形的面积是解题的关键．
二、填空题：（每题3分，共9分）
4．如图，在 中， ，P是 边上的任意一点， 于点E， 于点F.若
，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据 ，结合已知条件，即可求得 的值．
【详解】
解：如图，连接
于点E， 于点F
，故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．
5．如图，在 ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且 ABC的面积等于24cm2，则
阴影部分图形面积等于_____cm2
【答案】6
【解析】
【分析】
因为点F是CE的中点，所以 BEF的底是 BEC的底的一半， BEF高等于 BEC的高；同理，D、E、
分别是BC、AD的中点，可得△ EBC的面积△是 ABC面积的一半△；利用三角形△的等积变换可解答．
【详解】 △ △
解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF， BEC的底是EC，即EF= EC，而高相等，
△
∴S = S ，
BEF BEC
△ △
∵E是AD的中点，
∴S = S ，S = S ，
BDE ABD CDE ACD
△ △ △ △
∴S = S ，
EBC ABC
△ △
∴S = S ，且S =24cm2，
BEF ABC ABC
△ △ △
∴S =6cm2，
BEF
即阴△影部分的面积为6cm2．
故答案为6．【点睛】
本题考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，面积之比等于底边（高）之比．
6．在 中， ， cm， cm，点 是 的中点，点 从 点出发，沿线段 以
每秒2cm的速度运动到 ．当点 的运动时间 ____________秒时， 的面积为 ．
【答案】1或3
【解析】
【分析】
分为两种情况讨论：当点P在AD上时，当点P在DB上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即
可．
【详解】
∵ ，点 是 的中点，
∴AD=BD=4cm，
当点P在AD上时，AP=2t，
∴PD=4-2t
∵ 的面积为 ，
∴ PD×BC=6，即
解得t=1s，
当点P在BD上时，AP=2t，
∴DP=2t-4，
∵ 的面积为 ，
∴ DP×BC=6，即 ，
解得t=3s，
综上，当点 运动时间 1或3秒时， 的面积为 ．故答案为：1或3．
【点睛】
本题考查了三角形的中线，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．
三、解答题：（9分）
7．如图，在 中， 、 分别是 的高和角平分线， ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)试用 、 的代数式表示 的度数_________．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出
∠DCE．
（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．
(1)
解： ，
，
是 的平分线，
．
是高线，
，，
．
(2)
解： ，
，
是 的平分线，
．
是高线，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．
思维拓展篇
1.阅读下列材料：
阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在 中 ， 是 的高， 是 边上一点， 、
分别与直线 ， 垂直，垂足分别为点 、 ．
求证： ．
阳阳发现，连接 ，有 ，即 ．由 ，可得
．
他又画出了当点 在 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时 、
、 之间的数量关系是： ．
请回答：（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；
证明：连接 ． ________，
________ ________．
， ．
（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：
在 中， ， 是 的高． 是 所在平面上一点， 、 、 分别与直
线 、 、 垂直，垂足分别为点 、 、 ．
①如图3，若点 在 的内部，猜想 、 、 、 之间的数量关系并写出推理过程．
②若点 在如图4所示的位置，利用图4探究得此时 、 、 、 之间的数量关系是：_______．
（直接写出结论即可）
【答案】（1）S APB；PN；PM；（2）①BD＝PM＋PN＋PQ，证明见解析②BD＝PM＋PQ−PN．
△
【解析】
【分析】
（1）根据图形，结合阅读材料填写即可；
（2）①连接AP、BP、CP，根据S ABC＝S APC＋S APB＋S BPC得出 AC•BD＝ AC•PN＋ AB•PM＋
△ △ △ △
BC•PQ，由AB＝AC＝BC，即可得出BD＝PM＋PN＋PQ；
②连接AP、BP、CP，根据S ABC＝S APB＋S BPC−S APC，得出 AC•BD＝ AB•PM＋ BC•PQ−
△ △ △ △
AC•PN，由于AB＝AC＝BC，即可证得BD＝PM＋PQ−PN．
【详解】
解：（1）证明：连接AP．
∵S ABC＝S APC−S APB，
△ △ △
∴ AC•BD＝ AC•PN− AB•PM．
∵AB＝AC，
∴BD＝PN−PM．
故答案为：S APB；PN；PM；
△
（2）①BD＝PM＋PN＋PQ；如图3，连接AP、BP、CP，
∵S ABC＝S APC＋S APB＋S BPC
△ △ △ △
∴ AC•BD＝ AC•PN＋ AB•PM＋ BC•PQ，
∵AB＝AC＝BC，
∴BD＝PM＋PN＋PQ；
②BD＝PM＋PQ−PN；
如图4，连接AP、BP、CP，
∵S ABC＝S APB＋S BPC−S APC．
△ △ △ △
∴ AC•BD＝ AB•PM＋ BC•PQ− AC•PN，
∵AB＝AC＝BC，
∴BD＝PM＋PQ−PN．【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线构建三个三角形是解题的关键．
