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第 13 章 轴对称 章节整合练习（17 个知识点+40 题练习）
章节知识清单练习
知识点1．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的
距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距
离相等．
知识点2．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两
个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
知识点3．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
知识点4．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的
重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解
决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的
思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
知识点5．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶
角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线
是对称轴．
知识点6．等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三
个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
知识点7．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性
质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性
质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 30°角的直
角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一
般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个
60°的角判定．
知识点8．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三
角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
知识点9．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
知识点10．生活中的轴对称现象
（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图
形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．
（2）轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
知识点11．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这
两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
知识点12．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做
对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对
称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
知识点13．镜面对称
1、镜面对称：
有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里
所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．
2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一
对对应点的对称轴．
3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是
镜面反射的结果．
知识点14．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
知识点15．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b） P（2m﹣a，b）
⇒②关于直线y＝n对称，P（a，b） P（a，2n﹣b）
⇒
知识点16．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始
的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一
端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
④作出的垂线为最短路径．
知识点17．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确
定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况
要作点关于某直线的对称点．
章节题型整合练习
一．线段垂直平分线的性质
1．（2024•南安市模拟）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线分别交 、 于点
、 ，则 的周长为A．8 B．11 C．16 D．17
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解： 是线段 的垂直平分线，
，
的周长 ，
故选： ．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离
相等是解题的关键．
2．（2024秋•江宁区校级月考）如图，△ 中， ， 的垂直平分线分别交 、 于点 、
， 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ．则△ 的周长为 7 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得出 ， ，则可求出△ 的周长等于 ，从而
可求出△ 的周长．
【解答】解： 垂直平分 ，
，
同理 ，
△ 的周长 ，
故答案为：7．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得出 、 是解
题的关键．
3．（2024•城关区校级模拟）电信部门要修建一座电视信号发射塔 ，按照设计要求，发射塔 到两城镇
、 的距离必须相等，到两条高速公路 和 的距离也必须相等．请在图中作出发射塔 的位置．
（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【分析】根据题意， 点既在线段 的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即
为发射塔 的位置．
【解答】解：设两条公路相交于 点． 为线段 的垂直平分线与 的平分线交点或是与
的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即 、 ．
【点评】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，属基本作图题．
二．等腰三角形的性质
4．（2023秋•铁西区期末）等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为 1 5 ．
【分析】分两种情况：当3是腰长时，当6是腰长时，利用三角形的三边关系判断能否构成三角形，再根
据三角形的周长公式进行计算即可．
【解答】解：当3是腰长时，三角形的三边长分别为3，3，6，
，
不能构成三角形；
当6是腰长时，三角形的三边长分别为3，6，6，
，
能构成三角形，
周长为： ，
综上所述，三角形的周长为：15，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系及等腰三角
形的性质，采用分类讨论的思想解题，是解本题的关键．
5．（2024秋•鲤城区校级月考）如图，在 中， ，点 是 上一点，过点 作交 于点 ，交 的延长线于点 ．
（1）试判断 的形状，并说明理由；
（2）若 ， ，求 的周长．
【分析】（1）由 ，可知 ，再由 ，可知 ， ，然
后余角的性质可推出 ，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出 ，于是得到结论；
（2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到．
【解答】解：（1） ，
，
，
， ，
，
而 ，
，
，
是等腰三角形；
（2） ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
的周长为18．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，关键根据相关的
性质定理，通过等量代换推出 ，即可推出结论．
三．等腰三角形的判定
6．（2024秋•新吴区校级月考）已知：如图，△ 中 ， ，在直线 上找一点 ，
使△ 或△ 为等腰三角形，则符合条件的点 的个数有
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
【分析】根据题意，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可．
【解答】解：以 为圆心， 的长为半径画圆，得到△ ，△ 为等腰三角形，
以 为圆心， 的长为半径画圆，得到△ 为等腰三角形，
作 的中垂线，得到△ 为等腰三角形，即，以 为边的等腰三角形有4个，
同理：以 为边的等腰三角形也有4个；
故总共有8个等腰三角形；
故选： ．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．根据题意，画出图
形，利用数形结合的思想进行求解即可．
7．（2023秋•东莞市期末）已知在 中， ， 平分 交 于 ．（1）如图1．若 于 ， ，求 的度数；
（2）如图2，若 交 于 ，求证： ．
【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义解答即可；
（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的判定解答即可．
【解答】（1）解： ， ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
（2）证明：设 ，则 ， ，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据角平分线的定义和垂直的定义解答．
四．等腰三角形的判定与性质
8．（2023 秋•凉州区校级期末）如图，在 中， ， 的平分线交于点 ，过点 作
交 于点 ，交 于点 ．若 ， ， ，则 的周长是A．15 B．18 C．20 D．22
【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义可得到 ，所以可得 ，同理可得
，所以 的周长即为 ，可得出答案．
【解答】解： ，
，
平分 ，
，
，
，
同理可证得 ，
，
即 的周长为20，
故选： ．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由条件得到 ， 是解题的关键．
9．（2023秋•凉州区期末）如图， 中， ， ， ， 与 的平分线相交
于点 ，过 点作 ，则 的周长为 1 4 ．
【分析】根据角平分线的性质，可得 与 的关系， 与 的关系，根据平行线的性
质，可得 与 的关系， 与 的关系，根据等腰三角形的判定，可得 与 的关
系， 与 的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．
【解答】解：由 与 的平分线相交于点 ，得
， ．
由 ，得
， ，， ，
， ．
．
故答案为14．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质是解题关键，又利用了角平
分线的性质，平行线的性质．
五．等边三角形的性质
10．（2024秋•宿豫区月考）如图，等边三角形 中， ， 为 边上一动点， ，
，垂足分别为 ， 则 的最小值为 ．
【分析】连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，过点 作 于 ，首先证明△ 是顶角
为 的等腰三角形，当 的值最小时， 的值最小，即可求出 的最小值．
【解答】解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，过点 作 于 ，
△ 是等边三角形，
， ，
， ，
，
，
，
、 、 、 四点共圆，
，
当 的值最小时， 的值最小，根据垂线段最短可得，当 时， ，此时 最小， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
的值最小为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含 角的直角三角形的性质、等腰直角三角
形的判定与性质等知识；正确判断当 时 最小是解题的关键．
11．（2023秋•夏邑县期末）如图，在等边三角形 中， 是 边上一点，以 为边作等腰三角形
，使 ， ， 交 于点 ， ．
（Ⅰ）求 的度数；
（Ⅱ）求 的度数．
【分析】（Ⅰ）根据等边三角形的性质可得 ，由于 ，求得 的度数，进而求
出 的度数；
（Ⅱ） 即 与 之差， 可用 减去 得到．
【解答】解：（Ⅰ） 三角形 为等边三角形，
，
，，
，
；
（Ⅱ） ， ，
，
，
又
．
【点评】本题考查了等边三角形的性质及三角形内角和定理；利用三角形内角和求角度是解题的关键．
六．等边三角形的判定
12．（2023秋•成华区期末） 的三边长 ， ， 满足 ，则
是
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【分析】由等式可分别得到关于 、 、 的等式，从而分别计算得到 、 、 的值，再由
的关系，可推导得到 为直角三角形．
【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
，且 ，
为等腰直角三角形，
故选： ．
【点评】本题考查了非负性和勾股定理的逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个
非负 数均为0，和勾股定理逆定理．13．（2022秋•藁城区期末）如图， 中， ， 是中线，延长 至 ，使 ，若
，求证： 是等边三角形．
【分析】因为在 中， ，所以欲证 是等边三角形，只需证明 ．
【解答】证明： 中， ， 是中线，
， ，
，
，
，
，
中， ，
，
即 ，
， ，
又 ，
是等边三角形．
【点评】本题考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为 等知识．此类已知三角形边之间
的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度
数．
七．等边三角形的判定与性质
14．（2023秋•太康县期末）下列说法中，正确的个数是
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角为 的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为 的三角形是等边三角形；
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．
②有一个角为 的等腰三角形是等边三角形；正确．
③有两个角为 的三角形是等边三角形；正确．
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．
故选： ．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟
练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（2023秋•方城县期末）如图，在 中， 是高，点 是 边的中点，点 在 边的延长线
上， 的延长线交 于点 ，且 ，若 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）请判断线段 与 的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出 ，根据直角三角形的性质求出 ，
根据“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”即可得解；
（2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出 ，根据等腰三角形的判定定理即可
得解．
【解答】（1）证明： ，点 是 边的中点，
垂直平分 ，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解： ，理由如下：
是等边三角形，
，
， ，，
，
点 是 边的中点，
，
．
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键．
八．含30度角的直角三角形
16．（2024秋•崇川区校级月考）在 △ 中， ， ， 是斜边 上的高，则下
列关系式不正确的是
A． B． C． D．
【 分 析 】 由 ， 得 ， 又 得 ， 从 而 有
，最后根据 角所对直角边是斜边的一半即可求解．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
， ， ，
，
选项 关系式不正确，
故选： ．
【点评】本题考查了 角所对直角边是斜边的一半，掌握知识点的应用是解题的关键．
17．（2023秋•金州区期末）在 中， ，有一个锐角为 ， ，若点 在直线
上（不与点 ， 重合），且 ，则 的长为 ， 9 或 3 ．【分析】题中 的锐角，可能是 也可能是 ； 可以分为点 在线段 上和 在线段
的延长线上两种情况；直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得
的长度．
【解答】解：当 时，
， ，
， ，
由勾股定理得， ，
①点 在线段 上，
，
，
，
在 中， ，
．
在 中，由勾股定理得 ．
②点 在线段 的延长线上，
，
，
，
．
，
，
，
．
当 时，， ，
， ，
由勾股定理得， ，
①点 在线段 上，
，
，
是等边三角形
．
②点 在线段 的延长线上，
， ，
这与 与 交于点 矛盾，舍去．
综上所得， 的长为 ，9或3．
故答案为： ，9或3．
【点评】本题的考点是直角三角形，本题中涉及到勾股定理、含 角的直角三角形的三边关系、等边三
角形的判定，用分类讨论思想考虑所有可能的情况．
18．（2023秋•璧山区期末）上午8时，一条船从海岛 出发，以15海里 时的速度向正北航行，10时到
达海岛 处，从 ， 望灯塔 ，测得 ， ．
（1）求从海岛 到灯塔 的距离；
（2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔 的距离最短？【分析】（1）根据已知条件得到 ，
根据等腰三角形的性质得到结论；
（2）过 作 于 ，则线段 即为小船与灯塔 的最短距离，根据直角三角形的性质即可得到
结论．
【解答】解：（1） ， ，
，
，
海里，
从海岛 到灯塔 的距离为30海里；
（2）过 作 于 ，
则线段 即为小船与灯塔 的最短距离，
， ，
，
海里，
小时，
这条船继续向正北航行，在上午的11时时间小船与灯塔 的距离最短．
【点评】本题考查了含 直角三角形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练正确直角三角形
的性质是解题的关键．
九．作图—基本作图
19．（2024秋•阳谷县校级月考）如图，小明在学习用尺规作一个角等于已知角时，作了 ，
在作图痕迹中弧 是A．以点 为圆心， 长为半径的弧
B．以点 为圆心， 长为半径的弧
C．以点 为圆心， 长为半径的弧
D．以点 为圆心， 长为半径的弧
【分析】根据作图步骤即可得到答案．
【解答】解：如图，小明在学习用尺规作一个角等于已知角时，作了 ，在作图痕迹中弧
是以点 为圆心， 长为半径的弧，
故选： ．
【点评】此题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握基本作图是解题的关键．
20．（2024秋•西青区校级月考）如图，画出△ 的三条高．
【分析】根据三角形的高的定义，过三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段
就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高．
【解答】解：如图，线段 ， ， 分别是 ， ， 边上的高．
【点评】本题考查作图 基本作图，三角形的高，正确理解并作出三角形的高是解题的关键．
一十．生活中的轴对称现象（共3小题）
21．（2022秋•道里区期末）视力表中的字母“ ”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母
“ ”不能关于某条直线成轴对称的是A． B．
C． D．
【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直
线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．
【解答】解： ， ， 选项中，两个字母“ ”关于某条直线成轴对称，而 选项中，两个字母“
”不能沿着直线翻折互相重合．
故选： ．
【点评】本题主要考查了轴对称的图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
22．（2022秋•开封期末）如图， ， ，击打白球，反弹后将黑球撞入袋中， ．
【分析】由 ， ，可推出 的度数．
【解答】解： ， ，
．
，
．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了垂线及生活中的轴对称现象，以及等量代换的思想．
23．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个
球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入哪一个球袋？说明理由．
【分析】由已知条件，按照反射的原理画图即可得出结论．
【解答】解：该球最后将落入2号球袋．
理由：球击到边框上一点，过这点和边框垂直的直线就是球击中边框前后路径的对称轴，
如图所示，球击中边框反弹后的路径为虚线，最后指向2号袋．【点评】本题考查了轴对称的知识；按要求画出图形是正确解答本题的关键．
一十一．轴对称的性质（共2小题）
24．（2024秋•江宁区校级月考）如图，△ 与△ 关于直线 对称，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据题意，△ 与△ 关于直线 对称，则 ，进而根据三角形内角和求得
即可．
【解答】解： △ 与△ 关于直线 对称，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，求得 是解题的关键．
25．（2024秋•鼓楼区校级月考）如图所示，已知 是 内的一点，点 、 分别是 点关于 、
的对称点， 与 、 分别相交于点 、 ，已知 ．
（1）求△ 的周长；
（2）若 ，求 （用含 的代数式表示）．【分析】（1）根据轴对称的性质可得 ， ，再结合三角形的周长公式可得答案；
（2）根据轴对称的性质可得 ， ，再结合角的和差运算可得答案．
【解答】解：（1） ， 分别是点 关于 、 的对称点，
， ，
△ 的周长
；
（2）如图，连接 ， ， ，
， 分别是点 关于 、 的对称点，
， ，
．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，列代数式，熟记轴对称的性质是解本题的关键．
一十二．轴对称图形
26．（2024秋•香坊区校级月考）下列图案中，不是轴对称的图形有
A． B．C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解： 、 、 选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以
不是轴对称图形；
故选： ．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
27．（2023秋•花垣县校级月考）阳阳同学发现了这样一个正多边形，它的每个外角都等于它每个内角的
，阳阳想知道它是一个正几边形，还想知道它每个内角和每个外角的度数，还想知道它是不是轴对称图
形，还想知道它的对称轴有多少条，还想知道 呃，想知道的还真有点多，也只有你能帮助阳阳同学了，
请把所有的答案都写下来告诉他吧！
【分析】设这个正多边形的每个外角度数为 ，则这个正多边形的每个内角度数为 ，根据每个内角和每
个外角的度数之和为180度建立方程求出每个内角和外角的度数，再根据正多边形外角和为360度求出正
多边形的边数，进而根据轴对称图形的定义进行求解即可．
【解答】解：设这个正多边形的每个外角度数为 ，则这个正多边形的每个内角度数为 ，
由题意得， ，
，
，
这个正多边形的一个外角的度数为 ，一个内角的度数为 ，
这个正多边形的边数为 ，
这个正多边形为正八边形，
这个正多边形是轴对称图形，且有8条对称轴．
【点评】本题主要考查了正多边形内角和外角综合，轴对称图形的定义，求对称轴条数问题，掌握正多边
形内角和定理是解题的关键．
一十三．镜面对称28．（2024•金平区二模）从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是
A． B． C． D．
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：由图分析可得题中所给的“ ”与“ ”成轴对称，这时的时间应是 ．
故选： ．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
29．（2024秋•南岗区校级月考）一个汽车牌照在水中的倒影为 ，则该汽车牌照号码为
．
【分析】根据所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解．
【解答】解：汽车牌照在水中的倒影，如图所示：
该汽车牌照号码为 ．
故答案是： ．
【点评】此题考查镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴．
一十四．关于x轴、y轴对称的点的坐标
30．（2024秋•南岗区校级月考）在平面直角坐标系中，则与点 关于 轴对称的点 的坐标为
A． B． C． D．
【分析】根据“关于 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解．
【解答】解： 点 与点 关于 轴对称，
的坐标为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了关于 轴对称的点的坐标规律，解题的关键是熟记，关于 轴对称的点，横坐标相同
纵坐标互为相反数；关于 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．31．（2024秋•望城区校级月考）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标为 ．
【分析】根据关于 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点 关于 轴对称的点的坐标为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了关于 轴对称的点的坐标，掌握关于 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，
纵坐标不变是关键．
32．（2023秋•沙河口区期末）点 是平面直角坐标系 内一点，点 的轴变换定义为：当
时，作点 关于 轴对称：当 时，作点 关于 轴对称．
根据定义，解决问题：
如图，平面直角坐标系中，点 坐标为 ，点 的坐标为 ，其中 ，点 ， 轴变换后的
对应点是点 ， ．
（1）分别求 ， 的坐标；
（2）若 ，求 的值．
【分析】（1）根据绝对值的定义以及关于 轴、 轴对称的点的坐标特征进行解答即可；
（2）根据两点间距离的计算公式列方程求解即可．【解答】解：（1）由于点 ，而 ，
所以点 关于 轴对称的点 ；
因为点 的坐标为 ，其中 ，即 ，
所以点 的坐标为 关于 轴对称的点 ；
答：点 ，点 ；
（2）如图，点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ，
延长 、 相交于点 ，
由对称可知， ，
又 ， ，
△ △ ，
，
， ， ，
△ △ ，
，
即 ，
解得 ．【点评】本题考查关于 轴、 轴对称的点的坐标特征，掌握关于 轴、 轴对称的点的坐标特征是正确
解答的关键．
一十五．坐标与图形变化-对称
33．（2023秋•平原县期末）与点 关于直线 对称的点为
A． B． C． D．
【分析】点 与关于直线 对称的点纵坐标不变，两点到 的距离相等，据此可得其横坐标．
【解答】解：点 关于直线 对称的点的坐标是 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查坐标与图形的变化，掌握①关于 轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数．②关
于 轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．③关于直线 对称， ， ， ，
④关于直线 对称， ， ，2 是解题的关键．
34．（2023秋•玉门市期末）如图是国庆阅兵时，战机在空中展示的轴对称队形．以飞机 ， 所在直线
为 轴、队形的对称轴为 轴，建立平面直角坐标系．若飞机 的坐标为 ，则飞机 的坐标为．
【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解： 飞机 与飞机 关于 轴对称，
飞机 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了坐标与图形变化 对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
35．（2023秋•南关区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 过点 ，且平行于 轴．
（1）如果 三个顶点的坐标分别是 ， ， ， 关于 轴的对称图形是△
，△ 关于直线 的对称图形是△ ，写出△ 的三个顶点的坐标；
（2）如果点 的坐标是 ，其中 ，点 关于 轴的对称点是 ，点 关于直线 的对称点是
，求 的长．【分析】（1）根据关于 轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△ 各点坐
标，又关于直线 的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△
的三个顶点的坐标；
（2） 与 关于 轴对称，利用关于 轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出 的坐
标，再由直线 的方程为直线 ，利用对称的性质求出 的坐标，即可得出 的长．
【解答】解：（1）△ 的三个顶点的坐标分别是 ， ， ；
（2）如图1，当 时， 与 关于 轴对称， ，
，
又 与 关于 ：直线 对称，
设 ，可得： ，即 ，
，
则 ．
【点评】本题考查学生“轴对称”与坐标的相关知识的试题，掌握轴对称的性质是解本题的关键．
一十六．作图-轴对称变换36．（2021秋•泰山区期末）如图，保持 的三个顶点的横坐标不变，纵坐标都乘 ，画出坐标变化
后的三角形，则所得三角形与原三角形的关系是
A．关于 轴对称
B．关于 轴对称
C．将原图形沿 轴的负方向平移了1个单位
D．将原图形沿 轴的负方向平移了1个单位
【分析】根据“关于 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，可知所得的三角形与原三角形关
于 轴对称．
【解答】解： 纵坐标乘以 ，
变化前后纵坐标互为相反数，
又 横坐标不变，
所得三角形与原三角形关于 轴对称．
故选： ．
【点评】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于 轴对称的点，纵坐标相同，横坐
标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
37．（2023秋•曹县期末）如图，在正方形网格中，与 成轴对称的三角形可以画出 3 个．
【分析】根据网格结构以及轴对称图形的性质作出对称三角形即可．
【解答】解：如图1，与△ 成轴对称图形；
如图2，
与 成轴对称图形， 与△ 成轴对称图形．
综上所述，与 成轴对称的格点三角形可以画出3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查了作图—轴对称变换，画出对应的图形是解此题的关键．
一十七．轴对称-最短路线问题
38．（2024•开州区开学）如图，直线 是一条河， ， 是两个村庄，欲在 上的某处修建一个水泵站，
向 ， 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是
A． B．
C． D．
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【解答】解：作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于 ．
根据两点之间，线段最短，可知选项 铺设的管道，则所需管道最短．
故选： ．【点评】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的
条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
39．（2024秋•香坊区校级月考）如图， ， 是 内的一个定点， ， ， 分
别是 ， 上的动点，连接 ， ， ，则△ 周长的最小值为 ．
【分析】分别作点 关于 ， 的对称点 ， ，连接 ， ， ， ， ，则有 ，
，要使△ 周长的最小值，即使 为最小值即可，然后问题可求
解．
【解答】解：分别作点 关于 ， 的对称点 ， ，连接 ， ， ， ， ，如图所示：
由轴对称可知： ， ， ， ， ，
，即 ，
，
，
△ 是等边三角形，
，
，
要使△ 周长的最小值，即使 为最小值，所以当点 、 、 、 四
点共线时，取得最小值，为 的值，△ 周长的最小值为 ；
故答案为： ．
【点评】本题主要考查轴对称的性质及最短路径问题，解题的关键是能正确画出辅助线；
40．（2023秋•雅安期末）如图， ， ， ， ， ， 是 上一动点，
设 ．
（1）用 表示 ；
（2）当 为何值时， ；
（3）代数式 是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）首先根据题意可得 ， ，然后由勾股定理可得 ，
当 ，可有 ，求解即可获得答案；
（3）作点 关于直线 的对称点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ，由对称的
性质可得， ，证明四边形 为矩形，由矩形的性质可得 ， ，
易得 ；结合（1）（2）可知 ，故当点 、 、 在同
一直线上时， 的值最小，即 的值最小，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1） ， ， ．
；
（2） ， ， ，
， ，
，
，，
解得 ，
当 为3时， ；
（3）如下图，作点 关于直线 的对称点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ，
由对称的性质可得， ，
， ，
，
四边形 为矩形，
， ，
，
，
当点 、 、 在同一直线上时， 的值最小，即 的值最小，
的最小值为 ，
即 的最小值为 ．
【点评】本题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、平行线的性质、轴对称的性质、线段最短等知识，
熟练运用勾股定理是解题关键．
