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专题14.2 三角形全等的判定（基础篇）（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 直接应用SAS 证明全等】.......................................................................................................................1
【题型2 添加条件利用SAS 使三角形全等】.......................................................................................................3
【题型3 利用SAS 解决线段或角的计算问题】...................................................................................................5
【题型4 挖掘隐含条件的SAS 证明】...................................................................................................................9
【题型5 直接应用ASA 或AAS 证明全等】......................................................................................................15
【题型6 辨析与选择ASA 与AAS 判定方法】..................................................................................................19
【题型7 利用平行线或角平分线构造角相等（ASA 与AAS）】......................................................................21
【题型8 利用ASA 或AAS 解决生活中的实际测量问题】..............................................................................27
【题型9 直接应用SSS 证明全等】......................................................................................................................30
【题型10 通过线段的和差计算得出边相等（SSS）】..........................................................................................33
【题型11 利用三角形的稳定性解决实际问题】..................................................................................................37
【题型12 直接应用HL 证明直角三角形全等】...................................................................................................40
【题型13 灵活选用方法判定直角三角形全等】..................................................................................................42
【题型14 尺规作图与全等的联系】......................................................................................................................46
【题型15 多次全等证明（二次证明）】................................................................................................................49
知识点1 基本事实“边角边”（SAS）
1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”．
2. 数学语言表达：如下图，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹中，
𝐴𝐵= 𝐷𝐸，
∠𝐴= ∠𝐷，
𝐴𝐶= 𝐷𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SAS)．
【题型1 直接应用SAS 证明全等】
【例1】（25-26 八年级上·河南周口·期末）如图，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶，则△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶的依据
考点1
边角边（SAS）判定三角形全等
题型归纳
是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是根据已知条件准确找出判定三角形全等所需的
边和角．
已知𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶，且𝐴𝐶为△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐶的公共边，因此满足两边及其夹角对应相等，可
依据SAS判定两三角形全等．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶（SAS）．
故选：𝐵．
【变式1-1】（25-26 八年级上·山西朔州·期末）几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所
示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
𝐴𝐶= 𝐴𝐸，则证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐵𝐶运用的三角形全等的判定方法是（ ）
A．HL
B．SAS
C．AAS
D．ASA
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据全等三角形SAS判定即可得出结论．
【详解】解：在△𝐴𝐷𝐸和△𝐴𝐵𝐶中，
𝐴𝐷= 𝐴𝐵
∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶
𝐴𝐸= 𝐴𝐶
，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐵𝐶(SAS)．
故选：B．
【变式1-2】（24-25 八年级上·湖北黄石·期中）在如图所示的正方形网格中，∠1 + ∠2 + ∠3 = ______．
【答案】135°/135 度
【分析】本题考查了全等三角形的证明及性质，以及等腰三角形的性质，能够证得三角形全等是解题关键；
先证得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐴𝐹，进而得到∠3 + ∠1 = 90°，然后再根据等腰三角形的性质得到∠2 = 45°，进而可求
解．
【详解】解：如图，可知𝐴𝐸= 𝐷𝐹，∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐹= 90°，𝐵𝐸= 𝐴𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐴𝐹，
∴∠1 = ∠𝐷𝐴𝐹，
∴∠3 + ∠1 = ∠3 + ∠𝐷𝐴𝐹= 90°，
∵𝐴𝐹= 𝐶𝐹，∠𝐹= 90°，
∴∠2 = 45°，
∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 135°．
故答案为：135°．
【变式1-3】（25-26 八年级上·江西新余·期中）滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，已
知𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐸．求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用“边角边”证明三角形全等是解题的关键．
直接运用“边角边”证明三角形全等即可．
【详解】证明：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐴= ∠𝐴
𝐴𝐶= 𝐴𝐸
，
所以△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(SAS)．
【题型2 添加条件利用SAS 使三角形全等】
【例2】（25-26 八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，已知𝐴𝐶= 𝐷𝐶，∠1 = ∠2，如果添加一个条件用“SAS”
使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，则添加的条件是（ ）
A．∠𝐴= ∠𝐷
B．∠𝐵= ∠𝐸
C．𝐵𝐶= 𝐸𝐶
D．𝐴𝐵= 𝐷𝐸
【答案】C
【分析】本题主要考查了用SAS证明三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据
∠1 = ∠2得出∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸，再根据𝐴𝐶= 𝐷𝐶，结合SAS逐项进行判断即可．
【详解】解：∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠𝐴𝐶𝐸= ∠2 + ∠𝐴𝐶𝐸，即∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸，
当∠𝐴= ∠𝐷时，不能用SAS可证△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，故A 不符合要求；
当∠𝐵= ∠𝐸时，不能用SAS可证△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，故B 不符合要求；
当𝐵𝐶= 𝐸𝐶时，由SAS可证△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，故C 符合要求；
当𝐴𝐵= 𝐷𝐸，无法使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，故D 不符合要求．
故选：C．
【变式2-1】如图，线段𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点O，且𝐴𝑂= 𝑂𝐶，请添加一个条件使△𝐴𝐵𝑂≌△𝐶𝐷𝑂，且以“SAS”
为依据，则应添加的条件为___________．
【答案】𝐵𝑂= 𝐷𝑂
【分析】根据已有条件𝐴𝑂= 𝐶𝑂，∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，结合SAS的含义可得添加条件．
【详解】解：∵𝐴𝑂= 𝐶𝑂，∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，
∴添加条件𝐵𝑂= 𝐷𝑂，利用SAS证明△𝐴𝐵𝑂≌△𝐶𝐷𝑂即可；
故答案为：𝐵𝑂= 𝐷𝑂．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握利用SAS判定三角形全等是解本题的关键．
【变式2-2】如图，平行四边形ABCD 中，E、F 是对角线BD 上的两点，在不添加任何辅助线的情况下，
如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件是 ______．
【答案】BE＝FD 或BF＝DE 或∠1＝∠2（答案不唯一）
【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可．
【详解】解：添加条件：BE=FD，理由如下：
∵平行四边形ABCD 中，
∴AB∥CD ，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE 和△CDF 中，
AB=CD，∠ABE=∠CDF，BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方
法是解题关键．
【变式2-3】如图，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐷，要使△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，可添加的条件是（ ）
A．∠𝐵= ∠𝐶
B．∠𝐷= ∠𝐸
C．∠𝐵= ∠𝐸
D．∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸
【答案】D
【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐷中，已知了
𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐷，因此只需添加两组对边的夹角或第三对边即可判定两三角形全等．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐷，
∴A、如添加∠𝐵= ∠𝐶，两三角形只有两边及一边的以角相等，不能判定两三角形全等，故此选项不符合题
意；
B、如添加∠𝐷= ∠𝐸，两三角形只有两边及一边的以角相等，不能判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
C、如添加∠𝐵= ∠𝐸，因为∠𝐵，∠𝐸只是△𝐴𝐵𝐸中的两个角，两三角形只有两边相等，不能判定两三角形全
等，故此选项不符合题意；
D、如添加∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，则∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐸，即∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，两三角形有两边及其角
相等，可根据SAS判定两三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、
AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，
若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【题型3 利用SAS 解决线段或角的计算问题】
【例3】（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）小明制作了一个跷跷板模型，如图是其几何示意图，支点𝑂是跷
跷板𝐶𝐷的中点（𝐶，𝑂，𝐷三点位于同一水平线上），已知点𝑂到水平地面的距离是50cm，当点𝐷到达点𝐺的
位置时，跷跷板在竖直方向下降了20cm，此时点𝐶到达点𝐹，则点𝐹到地面的距离为______cm．
【答案】70
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．解题的关键是根据SAS判定三角形全等，根据全等三角形的性
质得到对应高相等．
连接𝐶𝐹、𝐷𝐺，通过证明△𝐹𝑂𝐶≌△𝐺𝑂𝐷(SAS)，得到对应高相等，继而得到点𝐹到地面的距离．
【详解】解：如图，连接𝐶𝐹、𝐷𝐺，
由题意得：𝑂𝐶= 𝑂𝐷，𝑂𝐹= 𝑂𝐺，
在△𝐹𝑂𝐶和△𝐺𝑂𝐷中，
𝑂𝐶= 𝑂𝐷
∠𝐹𝑂𝐶= ∠𝐺𝑂𝐷
𝑂𝐹= 𝑂𝐺
，
∴△𝐹𝑂𝐶≌△𝐺𝑂𝐷(SAS)，
∵当点𝐷到达点𝐺的位置时，跷跷板在竖直方向下降了20cm，
∴△𝐺𝑂𝐷中，𝑂𝐷边上的高为20cm，
∴△𝐹𝑂𝐶中，𝑂𝐶边上的高为20cm，
即：当点𝐶到达点𝐹的位置时，跷跷板在竖直方向上升了20cm，
∵𝑂𝐻= 50cm，
∴当点𝐶到达点𝐹，则点𝐹到地面的距离为：20 + 50 = 70(cm)．
故答案为：70．
【变式3-1】（25-26 八年级上·江苏淮安·期末）如图，点A、D、C、F 在一条直线上，且𝐴𝐷= 𝐶𝐹，
𝐴𝐵= 𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹；
(2)若∠𝐴= 40°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，求∠𝐹的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70°
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知全等三角形的
性质与判定定理是解题的关键．
（1）先证明𝐴𝐶= 𝐷𝐹，再利用SAS即可证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹；
（2）由等边对等角和三角形内角和定理可得∠𝐴𝐶𝐵的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐷= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐶𝐹+ 𝐶𝐷，
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐹，
又∵𝐴𝐵= 𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SAS)；
（2）解：∵∠𝐴= 40°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵=
180°−∠𝐴
2
= 70°，
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 70°．
【变式3-2】（25-26 八年级上·河南周口·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，连接𝐵𝐷、𝐶𝐸交于点F．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸
(2)若∠𝐵𝐴𝐶= 60°，求∠𝐵𝐹𝐶的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)60°
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，
熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．
（1）先求出∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，再根据SAS定理即可得证；
（2）先证出△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，再根据全等三角形的
性质可得∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，然后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】（1）证明：∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)．
（2）解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
由（1）已证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐵𝐹𝐶= 180°−(∠𝐵𝐶𝐹+ ∠𝐶𝐵𝐹)
= 180°−(∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐹)
= 180°−(∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐹)
= 180°−(∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶)
= 180°−(60° + 60°)
= 60°．
【变式3-3】（25-26 八年级上·四川凉山·期末）如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 12cm，𝐵𝐶= 10cm，点D
为𝐴𝐵的中点，如果点P 在线段𝐵𝐶上以2cm/s的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段𝐴𝐶上由点A 向
点C 以4cm/s的速度运动．若点P、Q 两点分别从点B、A 同时出发．经过2 秒后，求证：
(1) △𝐵𝑃𝐷≌△𝐶𝑄𝑃；
(2)∠𝐷𝑃𝑄= ∠𝐵；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知全等三
角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）根据题意可求出线段𝐴𝑄，𝐵𝑃的长，则可求出线段𝐶𝑄，𝐶𝑃的长，可证明𝐶𝑄= 𝐵𝑃，∠𝐵= ∠𝐶，
𝐵𝐷= 𝐶𝑃，据此可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠𝐵𝐷𝑃= ∠𝐶𝑃𝑄，再由三角形外角的性质即可证明结论．
【详解】（1）解：当运动2 秒后，𝐴𝑄= 2 × 4 = 8(cm)，𝐵𝑃= 2 × 2 = 4(cm)，
∴𝐶𝑄= 𝐴𝐶−𝐴𝑄= 4cm，𝐶𝑃= 𝐵𝐶−𝐵𝑃= 6cm，
∴𝐶𝑄= 𝐵𝑃，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝐶；
∵点D 为𝐴𝐵的中点，
∴𝐵𝐷=
1
2𝐴𝐵= 6cm，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝑃，
∴△𝐵𝑃𝐷≌△𝐶𝑄𝑃(SAS)；
（2）证明：∵△𝐵𝑃𝐷≌△𝐶𝑄𝑃，
∴∠𝐵𝐷𝑃= ∠𝐶𝑃𝑄，
∵∠𝐶𝑃𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝑃= ∠𝐷𝑃𝑄+ ∠𝐶𝑃𝑄
∴∠𝐷𝑃𝑄= ∠𝐵．
【题型4 挖掘隐含条件的SAS 证明】
【例4】（25-26 七年级下·辽宁锦州·期中）如图，点E 在𝐶𝐷上，𝐵𝐶与𝐴𝐸交于点F，𝐴𝐵= 𝐶𝐵，𝐵𝐸= 𝐵𝐷，
∠1 = ∠2 = 50°．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷；
(2)求∠3的度数．
【答案】(1)见解析
(2)50°
【分析】（1）根据等角加同一个角仍相等得到∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷，利用𝑆𝐴𝑆证两三角形全等；
（2）由（1）知△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷，得到对应角相等，再利用三角形内角和为180°，有两组角相等，剩下的
角一定相等求出答案．
【详解】（1）证明：∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠𝐶𝐵𝐸= ∠2 + ∠𝐶𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷，
∵在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐵𝐷中，
𝐴𝐵= 𝐶𝐵
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷
𝐵𝐸= 𝐵𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷(SAS)．
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷，
∴∠𝐴= ∠𝐶，
∵∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐶𝐹𝐸，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐹𝐵+ ∠1 = ∠𝐶+ ∠𝐶𝐹𝐸+ ∠3，
∴∠3 = ∠1 = 50°．
【变式4-1】（25-26 七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上一点，且𝐴𝐷= 𝐴𝐵，在𝐴𝐶
上方作∠𝐶𝐷𝐸，满足∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐵= 180°，𝐷𝐸= 𝐵𝐶，连接𝐴𝐸．
(1)求证：△𝐸𝐷𝐴≌△𝐶𝐵𝐴．
(2)当𝐴𝐸= 6, 𝐴𝐵= 2，求𝐶𝐷的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）要证明△𝐸𝐷𝐴≌△𝐶𝐵𝐴，已经有两组边对应相等，不难发现，∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸，同角的补角相等，
由SAS可证得；
（2）由△𝐸𝐷𝐴≌△𝐶𝐵𝐴可知𝐴𝐸= 𝐴𝐶= 6，再计算𝐶𝐷的长．
【详解】（1）证明：∵∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐵= 180°，∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°,
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸，
在△𝐸𝐷𝐴与△𝐶𝐵𝐴中，
𝐴𝐷= 𝐴𝐵
∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵
𝐷𝐸= 𝐵𝐶
，
∴△𝐸𝐷𝐴≌△𝐶𝐵𝐴(SAS)．
（2）解：由（1）可知△𝐸𝐷𝐴≌△𝐶𝐵𝐴，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐶= 6，
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐵= 2，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐶−𝐴𝐷= 4．
【变式4-2】（25-26 八年级上·贵州黔东南·期中）如图，以△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵、𝐴𝐶分别向外作等腰直角△𝐴𝐵𝐷
与等腰直角△𝐴𝐶𝐸，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，连接𝐵𝐸和𝐶𝐷相交于点O，𝐴𝐵交𝐶𝐷于点F，𝐴𝐶交𝐵𝐸于点G．
(1)求证：△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸；
(2)试判断𝐷𝐶与𝐵𝐸的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)𝐵𝐸⊥𝐷𝐶，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是
解本题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，进一步利用SAS证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到𝐵𝐸= 𝐷𝐶，∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶，利用三角形内角和以及对顶角相等得到
∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐹𝑂= 90°，可得∠𝐵𝑂𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹= 90°，即可证明．
【详解】（1）证明：∵△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸都是等腰直角三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐸= 𝐴𝐶，
又∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐶，
即∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐷𝐶中，
𝐴𝐷= 𝐴𝐵
∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸
𝐴𝐶= 𝐴𝐸
，
∴△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸(SAS)；
（2）解：𝐵𝐸⊥𝐷𝐶
理由：
∵ △𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐶，∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶，
又∵∠𝐵𝐹𝑂= ∠𝐷𝐹𝐴，∠𝐴𝐷𝐹+ ∠𝐷𝐹𝐴= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐹𝑂= 90°，
∴∠𝐵𝑂𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹= 90°，
即𝐵𝐸⊥𝐷𝐶．
【变式4-3】（24-25 七年级下·江苏南京·期末）已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷．
(1)如图1，证明：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷；
(2)如图2，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，点𝐷，𝐸分别在𝐴𝐶，𝐴𝐵上，连接𝐵𝐷，过点𝐴作𝐴𝐹∥𝐵𝐶，连接𝐵𝐹，𝐸𝐹，恰好满足𝐵𝐴
平分∠𝐹𝐵𝐷．请猜想线段𝐵𝐹，𝐸𝐹，𝐵𝐷间的数量关系，并进行证明．
【答案】(1)证明见详解
(2)𝐵𝐷= 𝐵𝐹+ 𝐸𝐹，证明见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质知识点，熟练掌握以上知识
点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由题意可得∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，再利用SAS证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷即可；
（2）在𝐵𝐷上截取𝐵𝐺= 𝐵𝐹，连接𝐸𝐺、𝐴𝐺，由等腰直角三角形的性质可得∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= 45°，由平行线的
性质可得∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶= 45°，由角平分线的定义可得∠𝐹𝐵𝐸= ∠𝐺𝐵𝐸，证明△𝐵𝐹𝐸≌△𝐵𝐺𝐸(SAS)，出
𝐸𝐹= 𝐺𝐸，∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐵𝐸𝐺，证明△𝐴𝐹𝐸≌△𝐴𝐺𝐸(SAS)，得出∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸= 45°，从而求出
∠𝐷𝐴𝐺= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐸𝐴𝐺= 45° = ∠𝐸𝐴𝐺，再证明△𝐷𝐴𝐺≌△𝐸𝐴𝐺(SAS)，得出𝐸𝐺= 𝐷𝐺，即可推出𝐸𝐹= 𝐷𝐺，
即可得证；
【详解】（1）证明: ∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷−∠𝐸𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷(SAS)．
（2）解：𝐵𝐷= 𝐵𝐹+ 𝐸𝐹，证明如下：
在𝐵𝐷上截取𝐵𝐺= 𝐵𝐹，连接𝐸𝐺、𝐴𝐺，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= 45°，
∵𝐴𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶= 45°，
∵𝐵𝐴平分∠𝐹𝐵𝐷，
∴∠𝐹𝐵𝐸= ∠𝐺𝐵𝐸，
∵𝐵𝐹= 𝐵𝐺，𝐵𝐸= 𝐵𝐸，
∴△𝐵𝐹𝐸≌△𝐵𝐺𝐸(SAS)，
∴𝐸𝐹= 𝐺𝐸，∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐵𝐸𝐺，
∴180°−∠𝐵𝐸𝐹= 180°−∠𝐵𝐸𝐺，即∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐸𝐺，
∵𝐴𝐸= 𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐹𝐸≌△𝐴𝐺𝐸(SAS)，
∴∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸= 45°，
∴∠𝐷𝐴𝐺= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐸𝐴𝐺= 45° = ∠𝐸𝐴𝐺，
∵𝐴𝐸= 𝐴𝐷，𝐴𝐺= 𝐴𝐺，
∴△𝐷𝐴𝐺≌△𝐸𝐴𝐺(SAS)，
∴𝐸𝐺= 𝐷𝐺，
∴𝐸𝐹= 𝐷𝐺，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐺+ 𝐷𝐺= 𝐵𝐹+ 𝐸𝐹；
知识点2 基本事实“角边角”（ASA）
1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”．
2. 数学语言表达：如下图，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹中，
∠𝐴= ∠𝐷，
𝐴𝐵= 𝐷𝐸，
∠𝐵= ∠𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(ASA)．
知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS）
1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”．
2. 数学语言表达：如下图，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹中，
∠𝐴= ∠𝐷，
∠𝐵= ∠𝐸，
𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(AAS)．
【题型5 直接应用ASA 或AAS 证明全等】
【例5】（25-26 八年级上·天津滨海新区·期末）如图，点𝐻是△𝐴𝐵𝐶的高𝐴𝐷和𝐵𝐸所在直线的交点，且
𝐴𝐷= 𝐵𝐷，求证：𝐵𝐻= 𝐴𝐶．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．关键是通过高的性质得到直角，再利用同角的余角相等找到
相等的角，从而构造全等三角形．先根据高的定义得出∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，再由直角三角形两锐角互余
推出∠𝐻𝐵𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶，结合已知𝐴𝐷= 𝐵𝐷，证明△𝐵𝐷𝐻≅△𝐴𝐷𝐶，最后根据全等三角形对应边相等得到
考点2
角边角（ASA）与角角边（AAS）判定三角形全等
𝐵𝐻= 𝐴𝐶．
【详解】解：∵𝐴𝐷、𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶= 90°，
∵在Rt △𝐻𝐷𝐵中，∠𝐵𝐻𝐷+ ∠𝐻𝐵𝐷= 90°，
在Rt △𝐴𝐻𝐸中，∠𝐴𝐻𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐶= 90°，
∠𝐵𝐻𝐷= ∠𝐴𝐻𝐸，
∴∠𝐻𝐵𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶，
在△𝐵𝐷𝐻和△𝐴𝐷𝐶中，
∠𝐵𝐷𝐻= ∠𝐴𝐷𝐶
∠𝐻𝐵𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶
𝐵𝐷= 𝐴𝐷
∴△𝐵𝐷𝐻≅△𝐴𝐷𝐶(AAS)，
∴𝐵𝐻= 𝐴𝐶.
【变式5-1】（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶,𝐵𝐷相交于点
𝐸,∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶,𝐴𝐶= 𝐴𝐷，点F 在𝐸𝐷上，∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐹𝐷；
(2)若𝐵𝐸= 𝐹𝐸，求证：𝐴𝐹平分∠𝐸𝐴𝐷．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶，可得∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，即可求证；
（2）根据△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐹𝐷，可得𝐴𝐵= 𝐴𝐹，∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸，从而得到∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐹，即可求证．
【详解】（1）证明：∵∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐹，
∴∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐹，
∴∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐹𝐷中，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐹𝐴𝐷
𝐴𝐶= 𝐴𝐷
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐷𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐹𝐷(ASA)．
（2）证明：由（1）得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐹𝐷，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐹，∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸，
∵𝐵𝐸= 𝐹𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐹
∴∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐹，
∴𝐴𝐹平分∠𝐸𝐴𝐷．
【变式5-2】（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片𝐴𝐵𝐶，已知∠𝐵= ∠𝐶= 𝛼，按如下两种方案用剪刀沿
着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的
是（ ）
A．方案一：√、方案二：√
B．方案一：×、方案二：×
C．方案一：×、方案二：√
D．方案一：√、方案二：×
【答案】D
【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当
点N 是𝐵𝐶中点时，两个阴影部分的三角形才能全等．
【详解】解：如图，方案一：
∵∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝑀+ ∠𝐵𝑀𝐷= 180°，∠𝐵𝑀𝐷+ 𝛼+ ∠𝐶𝑀𝐸= 180°，∠𝐵= 𝛼，
∴∠𝐵𝐷𝑀= ∠𝐶𝑀𝐸．
又∵∠𝐵= ∠𝐶，𝐵𝐷= 𝑀𝐶= 3，
∴在△𝐵𝐷𝑀与△𝐶𝑀𝐸中，
∠𝐵= ∠𝐶
𝐵𝐷= 𝑀𝐶
∠𝐵𝐷𝑀= ∠𝐶𝑀𝐸
，
∴△𝐵𝐷𝑀≌△𝐶𝑀𝐸(ASA)，
即方案一正确；
方案二：
只有当点N 是𝐵𝐶中点时，两个阴影部分的三角形才能全等，
∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等．
【变式5-3】（25-26 八年级下·江苏苏州·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角
形面积公式的出入相补法，如图所示，在△𝐴𝐵𝐶、分别取𝐴𝐵、𝐴𝐶的中点D、E，连接𝐷𝐸，过点A 作
𝐴𝐹⊥𝐷𝐸，垂足为F，将△𝐴𝐵𝐶分割后拼接成矩形𝐵𝐶𝐻𝐺．若𝐷𝐸= 3，𝐴𝐹= 2，则图中梯形𝐵𝐶𝐸𝐷的面积是
________．
【答案】9
【分析】先证明△𝐴𝐷𝐹≌△𝐵𝐷𝐺(AAS)，△𝐴𝐸𝐹≌△𝐶𝐸𝐻(AAS)，求得𝐵𝐶的长度，进而利用梯形的面积公式
即可求解．
【详解】解：∵D 是𝐴𝐵的中点，四边形𝐵𝐶𝐻𝐺是矩形，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷，∠𝐺= ∠𝐴𝐹𝐷= 90°，
在△𝐴𝐷𝐹和△𝐵𝐷𝐺中，
∠𝐺= ∠𝐴𝐹𝐷= 90°
∠𝐺𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐹
𝐵𝐷= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐵𝐷𝐺(AAS)，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐺，𝐴𝐹= 𝐵𝐺= 2，
同理可证得：△𝐴𝐸𝐹≌△𝐶𝐸𝐻(AAS)，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐻，𝐴𝐹= 𝐶𝐻= 𝐺𝐵= 2，
∴𝐺𝐻= 2(𝐷𝐹+ 𝐸𝐹) = 2𝐷𝐸= 2 × 3 = 6，
∴𝐺𝐻= 𝐵𝐶= 6，
∴𝑆梯形𝐵𝐶𝐸𝐷=
1
2(𝐷𝐸+ 𝐵𝐶) ⋅𝐶𝐻=
1
2 × 9 × 2 = 9．
【题型6 辨析与选择ASA 与AAS 判定方法】
【例6】（25-26 七年级下·陕西西安·期中）如图，太阳光线𝐴𝐶与𝐴′𝐶′是平行的，在同一时刻将两根高度相同
的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，
其中判断△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′的依据是（ ）
A．SAS
B．SSA
C．SSS
D．AAS
【答案】D
【分析】根据全等三角形判定条件分析即可．
【详解】解：由题可得：∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴′𝐵′𝐶′，𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′，
∵ 𝐴𝐶∥𝐴′𝐶′，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴′𝐶′𝐵′，
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′(AAS)．
【变式6-1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书
上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
【答案】D
【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断．
【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即ASA．
【变式6-2】（25-26 八年级上·浙江台州·期末）如图，已知∠𝐶= ∠𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐷，增加一个条件______，使
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷．(不添加辅助线且仅用图中已有字母表示)
【答案】𝐵𝐶= 𝐸𝐷(或∠𝐵= ∠𝐸或∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷)
【分析】本题考查全等三角形的判定定理，已知一组角相等和一组边相等，需补充一个条件使
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，可依据SAS、AAS、ASA这三种全等判定定理来选取合适条件：
（1）若补充边相等的条件𝐵𝐶= 𝐸𝐷，结合已知的一组角和一组边，可通过SAS判定全等；
（2）若补充角相等的条件∠𝐵= ∠𝐸，结合已知的两组角和一组边，可通过AAS判定全等；
（3）若补充角相等的条件∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷，结合已知的一组边和两组角，可通过ASA判定全等．
【详解】解：若添加𝐵𝐶= 𝐸𝐷，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐷中，
𝐴𝐶= 𝐴𝐷
∠𝐶= ∠𝐷
𝐵𝐶= 𝐸𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷(SAS)；
若添加∠𝐵= ∠𝐸，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐷中，
∠𝐵= ∠𝐸
∠𝐶= ∠𝐷
𝐴𝐶= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷(AAS)；
若添加∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐷中，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷
𝐴𝐶= 𝐴𝐷
∠𝐶= ∠𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷(ASA)．
故答案为：𝐵𝐶= 𝐸𝐷(或∠𝐵= ∠𝐸或∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷)．
【变式6-3】（25-26 八年级上·广西崇左·期末）△𝐴𝐵𝐶如图所示，甲、乙两个三角形中能用“ASA”判定和△𝐴𝐵𝐶
全等的是（ ）
A．只有甲
B．只有乙
C．甲和乙
D．都不是
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答．
【详解】解：甲的边𝑎，𝑐的夹角和△𝐴𝐵𝐶的边𝑎，𝑐的夹角不对应，故甲三角形与△𝐴𝐵𝐶不全等；
乙的角50°，70°和边𝑏与△𝐴𝐵𝐶的角50°，70°和边𝑏对应，能用“ASA”证明乙三角形与△𝐴𝐵𝐶全等；
则甲、乙两个三角形中能用“ASA”判定和△𝐴𝐵𝐶全等的是乙．
故选：B．
【题型7 利用平行线或角平分线构造角相等（ASA 与AAS）】
【例7】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为𝐸．
(1)求证：𝐴𝐶= 𝐴𝐸；
(2)若△𝐵𝐷𝐸的周长为20，求𝐴𝐵的长．
【答案】(1)见解析
(2)20
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题
的关键．
(1)先证明∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐸𝐷(AAS)，根据全等三角形的性质即可得到𝐴𝐶= 𝐴𝐸；
(2)根据角平分线的性质可得𝐶𝐷= 𝐸𝐷，再根据等腰三角形的性质可得△𝐵𝐷𝐸的周长等于𝐴𝐵，即可求出𝐴𝐵
的长．
【详解】（1）证明：∵∠𝐶= 90°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐸𝐷，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐷，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐴𝐸𝐷中，
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐸𝐷
∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐷
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐸𝐷(AAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸；
（2）解：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，∠𝐶= 90°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴𝐶𝐷= 𝐸𝐷，
∴𝐷𝐸+ 𝐷𝐵= 𝐵𝐶，
∵𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
∴𝐷𝐸+ 𝐷𝐵= 𝐴𝐸，
∴△𝐵𝐷𝐸的周长为𝐷𝐸+ 𝐷𝐵+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐵，
∵△𝐵𝐷𝐸的周长为20，
∴𝐴𝐵= 20．
【变式7-1】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐷．
(1)若∠𝐵𝐴𝐶= 48°，求∠𝐷𝐸𝐴的度数；
(2)求证：𝐴𝐸⊥𝐶𝐷．
【答案】(1)∠𝐷𝐸𝐴= 66°
(2)见详解
【分析】（1）在Rt △𝐴𝐷𝐸中，求出∠𝐸𝐴𝐷即可解决问题；
（2）利用等腰三角形的性质得出𝐴𝐷= 𝐴𝐶，𝐸𝐷= 𝐸𝐶，根据线段垂直平分线的判定即可证明．
本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性
质．
【详解】（1）解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 48°，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 24°，
∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 90°，
∴∠𝐷𝐸𝐴= 90°−24° = 66°；
（2）证明：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 90° = ∠𝐴𝐶𝐵，
又∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐴𝐷𝐸和△𝐴𝐶𝐸中，
∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵
∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐶𝐸(AAS)，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐶，𝐸𝐷= 𝐸𝐶，
∴点𝐸在𝐶𝐷的垂直平分线上，点𝐴在𝐶𝐷的垂直平分线上，（两点确定一条直线），
∴ 𝐴𝐸⊥𝐶𝐷．
【变式7-2】（25-26 七年级下·广东深圳·期中）如图，点E 在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上，且∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶．
(1)求证：∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶；
(2)若∠𝐵𝐴𝐸的平分线𝐴𝐹交𝐵𝐸于点F，𝐹𝐷∥𝐵𝐶交𝐴𝐶于点D，求证：△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐷𝐹；
(3)在（2）的条件下，若𝐴𝐵= 6，𝐴𝐶= 8，则𝐷𝐶的长为________．
【答案】(1)证明：∵∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶，且∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐶,∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐸，
∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐶= ∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶；
(2)证明：∵∠𝐵𝐴𝐸的平分线𝐴𝐹交𝐵𝐸于点F，
∴∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹，
∵𝐹𝐷∥𝐵𝐶交𝐴𝐶于点D，
∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐶，
∵∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐴𝐵𝐸，即∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐴𝐵𝐹，
在△𝐵𝐴𝐹和△𝐷𝐴𝐹中，
∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐴𝐵𝐹
∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹
𝐴𝐹= 𝐴𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐷𝐹(AAS)；
(3)2
【分析】（1）根据∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐶,∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐸和∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶，即可求证；
（2）易证∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹和∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐴𝐵𝐹，即可证明△𝐵𝐴𝐹≌△𝐷𝐴𝐹(AAS)；
（3）根据全等的性质可得𝐴𝐷= 𝐴𝐵，即可解题；
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：∵△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐷𝐹
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐵= 6，
∴𝐷𝐶= 𝐴𝐶−𝐴𝐷= 8−6 = 2．
【变式7-3】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）如图，△𝐷𝑂𝐸的角平分线𝐷𝐹、𝐸𝐹相交于点F，若
∠𝐷𝑂𝐸= 60°，𝐸𝐹交𝑂𝐷于A，𝐷𝐹交𝑂𝐸于B．
(1)若𝐴𝐷= 5，𝐷𝐸= 8，则𝐵𝐸= ______（直接写出答案）．
(2)线段𝐷𝐸与𝐴𝐷、𝐵𝐸有怎样的数量关系？写出说明理由．
【答案】(1)3
(2)𝐷𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐸．理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全
等三角形是解题关键．
（1）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐷= 60°，在𝐷𝐸上截取𝐷𝐻= 𝐷𝐴，连接
𝐹𝐻，先证明△𝐷𝐴𝐹≌△𝐷𝐻𝐹(SAS)，得到𝐷𝐻= 𝐴𝐷= 5，∠𝐸𝐹𝐻= ∠𝐸𝐹𝐵，再证明△𝐸𝐹𝐻≌△𝐸𝐹𝐵(ASA)，
得到𝐸𝐻= 𝐸𝐵，进而得出𝐵𝐸= 𝐷𝐸−𝐴𝐷，即可得解；
（2）同（1）理，先证明△𝐷𝐴𝐹≌△𝐷𝐻𝐹(SAS)，再证明△𝐸𝐹𝐻≌△𝐸𝐹𝐵(ASA)，即可得到结论；
【详解】（1）解：在△𝐷𝑂𝐸中，∠𝐷𝑂𝐸= 60°，
∴∠𝑂𝐷𝐸+ ∠𝑂𝐸𝐷= 180°−∠𝐷𝑂𝐸= 120°，
∵𝐷𝐹平分∠𝑂𝐷𝐸，𝐸𝐴平分∠𝑂𝐸𝐷，
∴∠𝐹𝐸𝐷=
1
2∠𝑂𝐸𝐷，∠𝐹𝐷𝐸=
1
2∠𝑂𝐷𝐸，
∴∠𝐹𝐸𝐷+ ∠𝐹𝐷𝐸=
1
2(∠𝑂𝐸𝐷+ ∠𝑂𝐷𝐸) = 60°，
∴∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐹𝐸𝐷+ ∠𝐹𝐷𝐸= 60°，
∴∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐷= 60°，
如图，在𝐷𝐸上截取𝐷𝐻= 𝐷𝐴，连接𝐹𝐻，
在△𝐷𝐴𝐹和△𝐷𝐻𝐹中，
𝐷𝐻= 𝐷𝐴
∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐻𝐷𝐹
𝐷𝐹= 𝐷𝐹
，
∴△𝐷𝐴𝐹≌△𝐷𝐻𝐹(SAS)，
∴∠𝐷𝐹𝐴= ∠𝐷𝐹𝐻= 60°，𝐷𝐻= 𝐴𝐷= 5，
∴∠𝐸𝐹𝐻= 180°−60°−60° = 60°，
∴∠𝐸𝐹𝐻= ∠𝐸𝐹𝐵，
在△𝐸𝐹𝐻和△𝐸𝐹𝐵中，
∠𝐸𝐹𝐻= ∠𝐸𝐹𝐵
𝐸𝐹= 𝐸𝐹
∠𝐹𝐸𝐻= ∠𝐹𝐸𝐵
，
∴△𝐸𝐹𝐻≌△𝐸𝐹𝐵(ASA)，
∴𝐸𝐻= 𝐸𝐵，
∵𝐷𝐸= 𝐷𝐻+ 𝐸𝐻，
∴𝐵𝐸= 𝐸𝐻= 𝐷𝐸−𝐷𝐻= 𝐷𝐸−𝐴𝐷= 3．
（2）解：𝐷𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐸．理由如下：
在△𝐷𝑂𝐸中，∠𝐷𝑂𝐸= 60°，
∴∠𝑂𝐷𝐸+ ∠𝑂𝐸𝐷= 180°−∠𝐷𝑂𝐸= 120°，
∵𝐷𝐵平分∠𝑂𝐷𝐸，𝐸𝐴平分∠𝑂𝐸𝐷，
∴∠𝐹𝐸𝐷=
1
2∠𝑂𝐸𝐷，∠𝐹𝐷𝐸=
1
2∠𝑂𝐷𝐸，
∴∠𝐹𝐸𝐷+ ∠𝐹𝐷𝐸=
1
2(∠𝑂𝐸𝐷+ ∠𝑂𝐷𝐸) = 60°，
∴∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐹𝐸𝐷+ ∠𝐹𝐷𝐸= 60°，
∴∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐷= 60°，
如图，在𝐷𝐸上截取𝐷𝐻= 𝐷𝐴，连接𝐹𝐻，
在△𝐷𝐴𝐹和△𝐷𝐻𝐹中，
𝐷𝐻= 𝐷𝐴
∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐻𝐷𝐹
𝐷𝐹= 𝐷𝐹
，
∴△𝐷𝐴𝐹≌△𝐷𝐻𝐹(SAS)，
∴∠𝐷𝐹𝐴= ∠𝐷𝐹𝐻= 60°，𝐷𝐻= 𝐴𝐷，
∴∠𝐸𝐹𝐻= 180°−60°−60° = 60°，
∴∠𝐸𝐹𝐻= ∠𝐸𝐹𝐵，
在△𝐸𝐹𝐻和△𝐸𝐹𝐵中，
∠𝐸𝐹𝐻= ∠𝐸𝐹𝐵
𝐸𝐹= 𝐸𝐹
∠𝐹𝐸𝐻= ∠𝐹𝐸𝐵
，
∴△𝐸𝐹𝐻≌△𝐸𝐹𝐵(ASA)，
∴𝐸𝐻= 𝐸𝐵，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐻+ 𝐸𝐻= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐸．
【题型8 利用ASA 或AAS 解决生活中的实际测量问题】
【例8】（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的
中点）到地面的距离是65cm，当淇淇从水平位置𝐶𝐷垂直上升20cm时，嘉嘉离地面的高度是（ ）
A．20cm
B．45cm
C．35cm
D．50cm
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定，可证明△𝐴𝑂𝐸≌△𝐵𝑂𝐹，可得𝐵𝐹= 𝐴𝐸= 20cm，即可求得答案．
【详解】解：∵𝐸𝐴⊥𝐶𝐷，𝐹𝐵⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐸𝐴𝑂= ∠𝐹𝐵𝑂= 90°，
∵∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝐵𝑂𝐹，𝑂𝐸= 𝑂𝐹，
∴△𝐴𝑂𝐸≌△𝐵𝑂𝐹(AAS)，
∴𝐵𝐹= 𝐴𝐸= 20cm，
∴嘉嘉离地面的高度是65−20 = 45cm．
【变式8-1】（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图，为测量信号塔𝐴𝐵（垂直于地面𝐵𝐷）的高度，小明首先
在信号塔𝐴𝐵前的地面𝐵𝐷上选一点𝑃，使𝐵𝑃= 2.5m，并测得∠𝐴𝑃𝐵= 70°，然后把竖直的竿子𝐶𝐷(𝐶𝐷= 2.5m)
在𝐵𝑃的延长线上移动，使∠𝐷𝑃𝐶= 20°时竿子停止移动，此时测得𝐵𝐷= 12m，则信号塔𝐴𝐵的高度为________
m．
【答案】9.5
【分析】先利用三角形内角和定理求出∠𝐴的度数，发现∠𝐴= ∠𝐷𝑃𝐶，结合已知直角和边长相等，利用AAS
证明△𝐴𝐵𝑃≌△𝑃𝐷𝐶 ，从而得出𝐴𝐵= 𝑃𝐷，最后利用线段的和差关系求解.
【详解】解：∵∠𝐴𝑃𝐵= 70°，
在△𝐴𝐵𝑃中，∠𝑃𝐴𝐵= 180°−90°−70° = 20°，
即∠𝑃𝐴𝐵= ∠𝐷𝑃𝐶= 20°，
∵∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝑃𝐷𝐶= 90°，𝐵𝑃= 𝐶𝐷= 2.5m，
在△𝐴𝐵𝑃与△𝑃𝐷𝐶中，
∠𝑃𝐴𝐵= ∠𝐷𝑃𝐶
∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝑃𝐷𝐶= 90°
𝐵𝑃= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝑃𝐷𝐶(AAS)，
∴𝐴𝐵= 𝑃𝐷，
∵𝐵𝐷= 12m，
∴𝐴𝐵= 𝑃𝐷= 12−2.5 = 9.5m．
【变式8-2】（25-26 八年级上·河南许昌·期末）如图，一个正方体箱子卡在了两面墙之间，已知砌墙所用的
每块砖块的厚度（每块砖厚度相等）为5cm，则两面墙之间的距离𝐸𝐹的长为______cm．
【答案】45
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定．只需要利用AAS证明△𝐵𝐶𝐸≌△𝐶𝐷𝐹得到𝐶𝐹= 𝐵𝐸，
𝐶𝐸= 𝐷𝐹即可得到答案．
【详解】解：∵𝐵𝐸⊥𝐸𝐹，𝐷𝐹⊥𝐸𝐹，∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐷𝐹𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 90°−∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐶𝐷𝐹，
∵𝐵𝐶= 𝐶𝐷，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(AAS)，
∴𝐶𝐹= 𝐵𝐸= 3 × 5 = 15(cm)，𝐶𝐸= 𝐷𝐹= 6 × 5 = 30(cm)，
∴𝐸𝐹= 𝐶𝐹+ 𝐶𝐸= 45(cm)，
故答案为：45．
【变式8-3】（25-26 七年级下·陕西西安·期中）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的
相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷、∠𝐵= ∠𝐷、𝐵𝐶= 𝐷𝐸．则不一定能得到以下哪个结
论（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸
B．△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐷𝐺
C．𝐹𝐶= 𝐺𝐸
D．∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐺𝐴𝐹
【答案】D
【分析】根据已知条件利用SAS证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，可得∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，进而利用角的和差关系证得∠
𝐵𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐺，再利用ASA证明△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐷𝐺，利用全等三角形的性质逐一判断选项即可．
【详解】 解：A．在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵= ∠𝐷
𝐵𝐶= 𝐷𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(SAS)，
故选项A 不符合题意；
B．∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐸𝐴𝐶，
即∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐺，
在△𝐴𝐵𝐹和△𝐴𝐷𝐺中，
{
∠𝐵= ∠𝐷
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐺
，
∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐷𝐺(ASA)，
故选项B 不符合题意；
C．∴𝐵𝐹= 𝐷𝐺，
∵𝐵𝐶= 𝐷𝐸，
∴𝐵𝐶−𝐵𝐹= 𝐷𝐸−𝐷𝐺，
即𝐹𝐶= 𝐺𝐸，
故选项C 不符合题意；
D．∠𝐴𝐺𝐷与∠𝐺𝐴𝐹是不同位置的角度，无直接关系，故不一定相等，
∴选项D 符合题意．
知识点4 基本事实“边边边”（SSS）
1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”．
2. 数学语言表达：如下图，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹中，
𝐴𝐵= 𝐷𝐸，
𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
𝐴𝐶= 𝐷𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(AAS)．
知识点5 三角形的稳定性
生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形
的这个性质叫做三角形的稳定性．
三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，
利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用．
【题型9 直接应用SSS 证明全等】
【例9】（25-26 八年级下·全国·期中）如下图，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，𝐷𝐸垂直𝐴𝐵的延长线于点𝐸，𝐷𝐹垂
直𝐴𝐶的延长线于点𝐹．求证：𝐷𝐸= 𝐷𝐹．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点．
连接𝐴𝐷，证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷，得到∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，再利用角平分线的性质得到𝐷𝐸= 𝐷𝐹．
【详解】证明：如图，连接𝐴𝐷．
考点3
边边边（SSS）判定三角形全等
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶,
𝐵𝐷= 𝐶𝐷,
𝐴𝐷= 𝐴𝐷,
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(SSS)，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷．
又∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐹，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹
【变式9-1】（25-26 八年级上·西藏日喀则·期末）如图，点𝐶是𝐴𝐵的中点，𝐴𝐷= 𝐶𝐸，𝐶𝐷= 𝐵𝐸．
(1)求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸；
(2)求证：𝐵𝐸∥𝐶𝐷．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；
（1）根据SSS直接证明△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵(SSS)；
（2）根据全等三角形的性质可得∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸，根据同位角相等两直线平行，即可得证．
【详解】（1）证明：∵点𝐶是𝐴𝐵的中点，
∴ 𝐴𝐶= 𝐵𝐶．
在△𝐴𝐷𝐶与△𝐶𝐸𝐵中，
𝐴𝐷= 𝐶𝐸
𝐶𝐷= 𝐵𝐸
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵(SSS)．
（2）证明：∵△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸，
∴𝐵𝐸∥𝐶𝐷，
【变式9-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，点𝐸，𝐹在𝐵𝐶上，且𝐵𝐸= 𝐶𝐹，则图中共有________
对全等三角形．
【答案】4
【分析】本题考查全等三角形判定，涉及等腰三角形性质、垂直平分线的判定与性质能、全等三角形的判
定与性质，首先由等腰三角形性质得到𝐴𝐷是线段𝐵𝐶中垂线，利用中垂线性质，由三角形全等的判定定理可
得△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(SSS)；进而结合𝐵𝐸= 𝐶𝐹，利用三角形全等的判定定理可得△𝐴𝐸𝐷≌△𝐴𝐹𝐷(SAS)；借
助△𝐴𝐸𝐷≌△𝐴𝐹𝐷(SAS)全等性质得到𝐴𝐸= 𝐴𝐹，即可进一步得到△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(SSS)；借助
△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(SSS)全等性质得到𝐵𝐹= 𝐶𝐸，即可进一步得到△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(SSS)；数形结合，熟练掌握
三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴由等腰三角形“三线合一”性质可得𝐴𝐷是线段𝐵𝐶中垂线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷， ∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐹= 90°，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(SSS)；
∵ 𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐸𝐷= 𝐹𝐷，
在△𝐴𝐸𝐷和△𝐴𝐹𝐷中，
𝐸𝐷= 𝐹𝐷
∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐹= 90°
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐸𝐷≌△𝐴𝐹𝐷(SAS)；
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐹中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
𝐴𝐸= 𝐴𝐹
𝐵𝐸= 𝐶𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(SSS)；
∵𝐵𝐷= 𝐶𝐷,𝐸𝐷= 𝐹𝐷，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐸，
在△𝐴𝐵𝐹和△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
𝐴𝐸= 𝐴𝐹
𝐵𝐹= 𝐶𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐶𝐸(SSS)；
综上所述，图中共有4 对全等三角形，
故答案为：4．
【变式9-3】如图，在△ABC 中，已知AD＝DE，AB＝BE，∠A＝85°，∠C＝45°，则∠CDE＝_____度．
【答案】40
【分析】先证明△ADB≌△BDE，即得∠A=∠DEB，再利用三角形的外角的性质即可求出.
【详解】如图：在△ABC 中，已知
𝐴𝐷＝𝐷𝐸
𝐴𝐵＝𝐵𝐸
𝐵𝐷= 𝐵𝐷
，∴△ADB≌△BDE，∴∠A=∠DEB=85°，
∵∠CDE=∠DEB－∠C=85°－45°=40°.
故答案为40
【点睛】本题考查了三角形的全等的判定和性质，以及三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的
外角等于两个不相邻的内角的和.
【题型10 通过线段的和差计算得出边相等（SSS）】
【例10】（25-26 八年级上·江苏南京·期中）如图，𝐴𝐵= 𝐷𝐸,𝐴𝐶= 𝐷𝐹,𝐵𝐹= 𝐸𝐶，𝐴𝐶与𝐷𝐹相交于点O．求证：
(1) △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹；
(2)𝑂𝐹= 𝑂𝐶．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键：
（1）利用SSS证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹即可；
（2）根据全等三角形的性质，结合等角对等边即可得证．
【详解】（1）证明：∵𝐵𝐹= 𝐶𝐸，
∴𝐵𝐹+ 𝐶𝐹= 𝐶𝐸+ 𝐶𝐹，即𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
𝐴𝐵= 𝐷𝐸,𝐴𝐶= 𝐷𝐹,𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SSS)；
（2）证明：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝑂𝐶𝐹= ∠𝑂𝐹𝐶，
∴𝑂𝐹= 𝑂𝐶．
【变式10-1】（25-26 八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点A、C、D、B 在同一条直线上，点E、F 分别
在直线𝐴𝐵的两侧，𝐴𝐸= 𝐵𝐹，𝐶𝐸= 𝐷𝐹，𝐴𝐷= 𝐵𝐶．
(1)求证：△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐷𝐹．
(2)若∠𝐶𝐷𝐹= 50°，求∠𝐴𝐶𝐸的度数．
【答案】(1)见详解；
(2)130°
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）由“SSS”可证△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐷𝐹；
（2）由全等三角形的性质可得∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐷𝐹，再根据∠𝐶𝐷𝐹= 50°即可求解．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐷= 𝐵𝐶，
∴𝐴𝐷−𝐶𝐷= 𝐵𝐶−𝐶𝐷，
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐵，
在△𝐴𝐶𝐸和△𝐵𝐷𝐹中，
𝐴𝐸= 𝐵𝐹
𝐶𝐸= 𝐷𝐹
𝐴𝐶= 𝐷𝐵
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐷𝐹(SSS)；
（2）解： 由（1)可知：△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐷𝐹，
∵∠𝐶𝐷𝐹= 50°，
∴∠𝐵𝐷𝐹= 180°−∠𝐶𝐷𝐹= 180°−50° = 130°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 130°．
【变式10-2】（25-26 八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，连接𝐵𝐷，点𝐸,𝐹是𝐵𝐷上的两
点，连接𝐴𝐸，𝐶𝐹，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐴𝐸= 𝐶𝐹，𝐵𝐹= 𝐷𝐸．
求证：
(1) △𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹；
(2)𝐴𝐷= 𝐵𝐶．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由𝐵𝐹= 𝐷𝐸，可得到𝐵𝐸= 𝐷𝐹，再利用SSS证明全等即可；
（2）由（1）可得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹，得到∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹，证出𝐴𝐵∥𝐶𝐷后，可推出四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边
形，即可求解．
【详解】（1）解：∵𝐵𝐹= 𝐷𝐸，
∴𝐵𝐹−𝐸𝐹= 𝐷𝐸−𝐸𝐹，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐹，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐷𝐹中，
𝐴𝐵= 𝐶𝐷
𝐴𝐸= 𝐶𝐹
𝐵𝐸= 𝐷𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(SSS)；
（2）由（1）可得：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∵𝐴𝐵= 𝐶𝐷，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐶．
【变式10-3】（25-26 八年级上·河南周口·期中）油布伞是中国传统手工艺的重要代表，融合了实用性与艺术
性，被多省列入非物质文化遗产名录．油布伞的截面如图所示，伞骨𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 60cm，支撑杆
𝑂𝐸= 𝑂𝐹,𝐴𝐸=
1
3𝐴𝐵,𝐴𝐹=
1
3𝐴𝐶．当点O 沿伞杆𝐴𝐷滑动时，可使雨伞开闭．
(1)问雨伞开闭过程中，∠𝐵𝐴𝐷与∠𝐶𝐴𝐷有何关系？说明理由．
(2)若𝑂𝐸= 𝐴𝐸,𝑂𝐹= 𝐴𝐹，当雨伞由闭合撑开到∠𝐵𝐴𝐶= 120°时，点O 沿𝐴𝐷滑动的距离是多少？
【答案】(1)∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，理由见解析
(2)点O 沿𝐴𝐷滑动的距离是20cm
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，等边三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法
是解题关键．
（1）∠𝐵𝐴𝐷与∠𝐶𝐴𝐷相等，证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题𝑂𝐴= 𝑂𝐴公共边，可
考虑SSS证明三角形全等，从而推出角相等；
（2）利用闭合时𝐴𝑂的长度减去当雨伞由闭合撑开到∠𝐵𝐴𝐶= 120°时𝐴𝑂的长度即可．
【详解】（1）解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
理由如下：
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸=
1
3𝐴𝐵，𝐴𝐹=
1
3𝐴𝐶，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
在△𝐴𝑂𝐸与△𝐴𝑂𝐹中，
𝐴𝐸= 𝐴𝐹
𝐴𝑂= 𝐴𝑂
𝑂𝐸= 𝑂𝐹
，
∴△𝐴𝑂𝐸≌△𝐴𝑂𝐹(SSS)，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷．
（2）解：∵伞骨𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 60cm，
∴𝐴𝐸=
1
3𝐴𝐵= 20cm,𝐴𝐹=
1
3𝐴𝐶= 20cm，
∴𝑂𝐸= 𝐴𝐸= 20cm,𝑂𝐹= 𝐴𝐹= 20cm，
当雨伞闭合时，𝐴𝑂= 𝐴𝐸+ 𝑂𝐸= 20 + 20 = 40cm，
当∠𝐵𝐴𝐶= 120°时，则∠𝐸𝐴𝑂= 60°，
∵𝑂𝐸= 𝐴𝐸，
∴𝐴𝑂𝐸为等边三角形，故𝐴𝑂= 20cm，
故O 沿𝐴𝐷滑动的距离是40−20 = 20cm．
【题型11 利用三角形的稳定性解决实际问题】
【例11】（25-26 七年级下·四川成都·阶段检测）如图，一扇窗户打开后，用窗钩𝐴𝐵可将其固定，其理论依
据是______．
【答案】
三角形具有稳定性
【分析】观察图形可知，窗钩𝐴𝐵与窗框、窗扇的边缘构成了一个三角形结构，利用三角形的性质即可解答．
【详解】解：窗钩𝐴𝐵与窗框、窗扇的边缘构成了一个三角形. 因为三角形具有稳定性， 所以用窗钩𝐴𝐵可将
窗户固定．
故答案为：三角形具有稳定性．
【变式11-1】下列图形中不具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性这一性质，观察各选项图形的构成即可得出结论．
【详解】解： A、图形中间部分为四边形，未被分割成三角形，故不具有稳定性；
B、图形被分割成了三个三角形，故具有稳定性；
C、图形被对角线分割成了两个三角形，故具有稳定性；
D、图形本身即为三角形，故具有稳定性．
【变式11-2】（25-26 八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过
增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条．
【答案】3
【详解】解：依据三角形的稳定性，六边形置物架钉上木条后分成三角形即可，故工人师傅至少需要加固
6−3 = 3根木条．
【变式11-3】（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图1，在四边形木条框架中，任意添加1 根对角线木条，
就能使框架的形状稳定.
判断下列说法是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在图2 中任意添加2 根对角线木条，都能使框架的形状稳定.(
)
(2)在图3 中任意添加3 根对角线木条，都能使框架的形状稳定.(
)
(3)图4 是一个用螺钉将木条链接成的框架，颇具美感，它的形状是稳定的.(
)
【答案】
√,
×,
√
【详解】试题分析：
根据所添加的对角线木条，结合“三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性”分析即可得出结论.
试题解析：
（1）在图2 中任意添加2 根对角线木条，都能使图形全部由三角形结构组成，所以（1）中说法正确；
（2）如下图，当按图中的方法，在图3 中添加3 根对角线木条后，图形中有四边形结构，图形结构不稳定，
所以（2）说法是错误的；
（3）当用螺钉将木条链接成如图4 的框架时，则图中的框架形状全是由三角形结构组成的，所以（3）中
的说法是正确的.
即：（1）√；（2）×；（3）√.
知识点6 斜边、直角边定理（HL）
1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2. 数学语言表达:如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶与Rt △𝐴′𝐵′𝐶′中（∠𝐶与∠𝐶′为直角），𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′，
𝐵𝐶= 𝐵′𝐶′，
考点4
直角三角形全等的判定（HL）
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐴′𝐵′𝐶′(HL)．
【题型12 直接应用HL 证明直角三角形全等】
【例12】（25-26 八年级下·陕西西安·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，若要根据“HL”直接判定Rt
△𝐴𝐵𝐷≌Rt △𝐴𝐶𝐷，还需要添加条件：_______________．
【答案】𝐴𝐵= 𝐴𝐶
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴当𝐴𝐵= 𝐴𝐶时，根据“HL”可判定Rt △𝐴𝐵𝐷≌Rt △𝐴𝐶𝐷.
【变式12-1】（25-26 八年级下·山西晋中·期中）在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：
在∠𝐴𝑂𝐵的两边上分别取点𝑀、𝑁，使𝑂𝑀= 𝑂𝑁；再分别过点𝑀，𝑁作𝑂𝐴，𝑂𝐵的垂线，交点为𝑃，连接
𝑂𝑃．通过证明△𝑂𝑀𝑃≌△𝑂𝑁𝑃得到𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，则证明△𝑂𝑀𝑃≌△𝑂𝑁𝑃最直接的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
【答案】D
【分析】根据作法可得到𝑂𝑀= 𝑂𝑁，𝑃𝑀⊥𝑂𝑀，𝑃𝑁⊥𝑂𝑁，再加上公共边𝑂𝑃，则可利用“HL”判断
△𝑂𝑀𝑃≌△𝑂𝑁𝑃．
【详解】解：由作法可得𝑂𝑀= 𝑂𝑁，𝑃𝑀⊥𝑂𝑀，𝑃𝑁⊥𝑂𝑁，
则∠𝑃𝑀𝑂= ∠𝑃𝑁𝑂= 90°，
在Rt △𝑂𝑀𝑃和Rt △𝑂𝑁𝑃中
𝑂𝑃= 𝑂𝑃
𝑂𝑀= 𝑂𝑁
，
∴△𝑂𝑀𝑃≌△𝑂𝑁𝑃(HL)．
【变式12-2】（25-26 八年级上·安徽滁州·期末）如图，已知，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 45∘，𝐷是𝐵𝐶上一点，
且𝐴𝐷= 𝐵𝐷，𝐸为𝐴𝐶上的一点，𝐵𝐸交𝐴𝐷于𝐹，𝐵𝐹= 𝐴𝐶．
(1)求证：△𝐴𝐷𝐶≌△𝐵𝐷𝐹；
(2)求证：𝐵𝐸⊥𝐴𝐶．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据全等三角形的判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质证明即可．
【详解】（1）证明：由题意可得：∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐷= 45∘，
在Rt △𝐴𝐷𝐶与Rt △𝐵𝐷𝐹中，
𝐴𝐶= 𝐵𝐹
𝐴𝐷= 𝐵𝐷
∴Rt △𝐴𝐷𝐶≌Rt △𝐵𝐷𝐹(HL)；
（2）证明：∵Rt △𝐴𝐷𝐶≌Rt △𝐵𝐷𝐹；
∴∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐷𝐴𝐶，
∵∠𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐷𝐵𝐹+ ∠𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 180°−90° = 90°，
即𝐵𝐸⊥𝐴𝐶．
【变式12-3】（25-26 八年级上·广东东莞·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，直线𝑙经过顶点𝐶，过𝐴，𝐵两
点分别作𝑙的垂线𝐴𝐸，𝐵𝐹，垂足分别为𝐸，𝐹，𝐴𝐸= 𝐶𝐹．求证：
(1) △𝐴𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐹；
(2)当直线𝑙不与底边𝐴𝐵相交时，试探索𝐸𝐹、𝐴𝐸、𝐵𝐹三条线段的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)𝐸𝐹= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐹，见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
（1）根据HL证明即可；
（2）由△𝐴𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐹得到𝐸𝐶= 𝐵𝐹,𝐴𝐸= 𝐶𝐹，那么𝐸𝐹= 𝐸𝐶+ 𝐶𝐹= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐹．
【详解】（1）证明：由题意得，∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶𝐹𝐵= 90°，
∵𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
∴Rt △𝐴𝐶𝐸≌Rt △𝐶𝐵𝐹(HL)，即△𝐴𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐹；
（2）解：𝐸𝐹= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐹，理由如下：
∵△𝐴𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐹
∴𝐸𝐶= 𝐵𝐹,𝐴𝐸= 𝐶𝐹
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐶+ 𝐶𝐹= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐹
【题型13 灵活选用方法判定直角三角形全等】
【例13】（25-26 八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐸是高，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐵所在直线翻转，
点C 与点D 重合，则图中有______组全等三角形．
【答案】3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据翻转的性质判断是解题的关键．
本题可根据翻转的性质，找出图中全等的三角形，再根据全等三角形的判定方法进行验证．
【详解】由题意可知，△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐵所在直线翻转，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，
∵𝐶𝐸是高，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
再根据△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，
可得∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸，
∵𝐴𝐸= 𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐴𝐷𝐸，
同理：由△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，可得∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝐸，
∵𝐵𝐸= 𝐵𝐸，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐵𝐷𝐸，
综上所述：全等三角形有3 对．
故答案是3．
【变式13-1】（24-25 八年级下·陕西宝鸡·期末）如图．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 5，𝐴𝐶= 9，D 是𝐴𝐶上一点，连
接𝐵𝐷，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴，过点C 作𝐶𝐸⊥𝐵𝐷于点E，此时𝐶𝐸平分∠𝐵𝐶𝐷，则𝐷𝐸的长为________．
【答案】2
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关知识是解决此题的关键．由
𝐶𝐸⊥𝐵𝐷且𝐶𝐸平分∠𝐵𝐶𝐷，可推出△𝐵𝐶𝐸≅△𝐷𝐶𝐸，则可得𝐵𝐶= 𝐷𝐶，𝐷𝐸= 𝐵𝐸=
1
2𝐵𝐷，由等角对等边可知
𝐵𝐷= 𝐴𝐷，根据题目所给数据即可求得𝐷𝐸的长．
【详解】解：∵𝐶𝐸平分∠𝐵𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐵，
∵𝐶𝐸⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐷𝐸𝐶，
∵𝐶𝐸= 𝐶𝐸，
∴△𝐵𝐶𝐸≅△𝐷𝐶𝐸(ASA)，
∴𝐵𝐶= 𝐷𝐶，𝐷𝐸= 𝐵𝐸，
∵𝐵𝐶= 5，𝐴𝐶= 9，
∴𝐵𝐶= 𝐷𝐶= 5，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐶−𝐵𝐶= 9−5 = 4，
∵∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐷= 4，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐸=
1
2𝐵𝐷= 2．
故答案为：2．
【变式13-2】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，
𝐵𝐷和𝐶𝐸交于𝑂，𝐴𝑂的延长线交𝐵𝐶于𝐹，则图中全等的直角三角形有（ ）
A．5 对
B．6 对
C．7 对
D．8 对
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶，根据全等三角形的判定证明相关三角形全等进而可得
答案．
【详解】解：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶= 90°，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶，
①在△𝐴𝐸𝐶和△𝐴𝐷𝐵中
∵
∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵= 90°
𝐴𝐶= 𝐴𝐵
∴△𝐴𝐸𝐶≌△𝐴𝐷𝐵(AAS)
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐷，𝐴𝐸= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐵𝐷
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，
②在△𝐵𝐶𝐸和△𝐶𝐵𝐷中
∵
∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷
∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°
𝐵𝐶= 𝐵𝐶
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐷(AAS)
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐷，
③在Rt △𝐴𝑂𝐷和Rt △𝐴𝑂𝐸中
∵𝐴𝑂= 𝐴𝑂
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
∴Rt △𝐴𝑂𝐷≌Rt △𝐴𝑂𝐸(HL)
∴𝑂𝐷= 𝑂𝐸，∠𝐷𝐴𝑂= ∠𝐸𝐴𝑂
④在△𝐶𝑂𝐷和△𝐵𝑂𝐸中
∵
∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐸
∠𝐶𝐷𝑂= ∠𝐵𝐸𝑂= 90°
𝑂𝐷= 𝑂𝐸
∴△𝐶𝑂𝐷≌△𝐵𝑂𝐸(AAS)
⑤在△𝐶𝐴𝐹和△𝐵𝐴𝐹中
∵
𝐴𝐶= 𝐴𝐵
∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐹
𝐴𝐹= 𝐴𝐹
∴△𝐶𝐴𝐹≌△𝐵𝐴𝐹(AAS)
∴∠𝐶𝐹𝐴= ∠𝐵𝐹𝐴= 90°，
⑥在Rt △𝐶𝑂𝐹和Rt △𝐵𝑂𝐹中
∵𝐶𝑂= 𝐵𝑂
𝑂𝐹= 𝑂𝐹
∴Rt △𝐶𝑂𝐹≌Rt △𝐵𝑂𝐹(HL)
∴共有6 对全等的直角三角形．
【变式13-3】（25-26 八年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，𝐵𝑀⊥𝑂𝐴，𝐴𝑁⊥𝑂𝐵，垂足分别为𝑀、𝑁，
𝑂𝑀= 𝑂𝑁，𝐵𝑀与𝐴𝑁相交于点𝑃．求证：𝑃𝐴= 𝑃𝐵．
【答案】证明：如图，连接𝑂𝑃．
∵𝐵𝑀⊥𝑂𝐴，𝐴𝑁⊥𝑂𝐵，
∴∠𝐵𝑀𝑂= ∠𝐴𝑁𝑂= 90°，
∵𝑂𝑃= 𝑂𝑃，𝑂𝑀= 𝑂𝑁，
∴Rt △𝑂𝑀𝑃≌Rt △𝑂𝑁𝑃(HL)
∴𝑃𝑀= 𝑃𝑁，
又∵∠𝐴𝑀𝑃= ∠𝐵𝑁𝑃= 90°，∠𝐴𝑃𝑀= ∠𝐵𝑃𝑁，
∴△𝐴𝑀𝑃≌△𝐵𝑁𝑃(ASA)
∴𝑃𝐴= 𝑃𝐵．
【分析】连接𝑂𝑃．根据HL证明Rt △𝑂𝑀𝑃≌Rt △𝑂𝑁𝑃，得𝑃𝑀= 𝑃𝑁，再根据𝐴𝑆𝐴证明△𝐴𝑀𝑃≌△𝐵𝑁𝑃，可
得𝑃𝐴= 𝑃𝐵．
【题型14 尺规作图与全等的联系】
【例14】（24-25 七年级下·山西太原·阶段检测）如图，用尺规作出了∠𝑁𝐶𝐵= ∠𝐴𝑂𝐷，其作图依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．SAS
【答案】A
【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案．
【详解】解：由作法可知：𝑂𝑀= 𝑂𝐷= 𝐶𝐵= 𝐶𝑁，𝑀𝐷= 𝑁𝐵，
∴△𝐷𝑂𝑀≌△𝐸𝐶𝑁(SSS)，
∴∠𝑁𝐶𝐵= ∠𝐴𝑂𝐷．
故选：A．
【变式14-1】
（24-25 七年级下·山西太原·期末）课本第109 页有一道习题：“先画一个△𝐴𝐵𝐶，然后选择△𝐴𝐵𝐶
中适当的边和角，用尺规作出与△𝐴𝐵𝐶全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“ △𝐷𝐸𝐹≌△𝐴𝐵𝐶”
的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】B
【分析】本题考查尺规作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关
键．由作图过程可得𝐷𝐸= 𝐴𝐵，∠𝐵= ∠𝐸，𝐸𝐹= 𝐵𝐶，结合全等三角形的判定可得答案．
【详解】解：由作图可知，𝐷𝐸= 𝐴𝐵，∠𝐵= ∠𝐸，𝐸𝐹= 𝐵𝐶，
∴△𝐷𝐸𝐹≌△𝐴𝐵𝐶（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）．
故选：B．
【变式14-2】（24-25 八年级上·河北石家庄·期中）如图1 所示，已知线段𝑎，∠1，求作△𝐴𝐵𝐶，使𝐵𝐶= 𝑎，
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴= ∠1，小明的作法如图2 所示，下列说法中一定正确的是（ ）
A．作△𝐴𝐵𝐶的依据为ASA
B．弧𝐸𝐹是以𝐷𝐾长为半径画的
C．弧𝑀𝑁是以A 为圆心，𝑎为半径画的
D．弧𝐺𝐻是以𝑂𝐷长为半径画的
【答案】A
【分析】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键．
根据作图痕迹可得，先在射线上截取𝐵𝐶= 𝑎，再分别以B，C 为顶点，在线段𝐵𝐶的两端，利用作一个角等
于已知角的方法，作∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴= ∠1，从而可得出所要求的三角形，
【详解】A、根据作图知，𝐵𝐶= 𝑎，∠𝐴𝐵𝐶= ∠1，∠𝐵𝐶𝐴= ∠1，这里∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐴，及夹边𝐵𝐶来作△𝐴𝐵𝐶，
所以依据为ASA，故选项正确，符合题意；
B、弧𝐸𝐹是以点B 为圆心，𝑂𝐷长为半径画的，故选项错误，不符合题意；
C、弧𝑀𝑁是以B 为圆心，𝑎为半径画的，故选项错误，不符合题意；
D、弧𝐺𝐻是以𝑄𝐻长为半径画的，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【变式14-3】（25-26 七年级下·福建漳州·期中）中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节
日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰
收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（△𝐴𝐵𝐶）．
(1)小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台
（△𝐴𝐵𝐶）的形状和大小完全相同的新展台（△𝐴′𝐵′𝐶′），理由是____（填“SSS”或“AAS”或“ASA”或“SAS”）．
(2)求作△𝐴′𝐵′𝐶′，使得△𝐴′𝐵′𝐶′≌△𝐴𝐵𝐶（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)②；ASA
(2)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，可得只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA；
（2）分别作∠𝐵′ = ∠𝐵,𝐵𝐶= 𝐵′𝐶′,∠𝐶= ∠𝐶′，即可求解．
【详解】（1）解：因为只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
所以小张只要从两块碎片中选择第②块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台
（△𝐴𝐵𝐶）的形状和大小完全相同的新展台（△𝐴′𝐵′𝐶′），理由是ASA
（2）如图所示：△𝐴′𝐵′𝐶′为所求
【题型15 多次全等证明（二次证明）】
【例15】（25-26 七年级下·上海青浦·期中）如图，已知：在△𝑃𝐴𝐶中，点𝐷、𝐵分别在边𝑃𝐴、𝑃𝐶上，𝐴𝐵与𝐶𝐷
相交于点𝑂，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷= 𝐵𝐶．
(1)求证：𝑃𝐴= 𝑃𝐶；
(2)连接𝑃𝑂并延长交𝐴𝐶于点𝐸，求证：𝑃𝐸⊥𝐴𝐶．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【分析】
（1）由∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐶𝑂𝐵，∠𝐴𝐷𝑂= ∠𝐶𝐵𝑂，𝐴𝐷= 𝐶𝐵，根据“AAS”证明△𝐴𝑂𝐷≌△𝐶𝑂𝐵，得∠𝐷𝐴𝑂= ∠𝐵𝐶𝑂，
𝑂𝐴= 𝑂𝐶，所以∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝑂𝐶𝐴，推导出∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝑃𝐶𝐴，则𝑃𝐴= 𝑃𝐶；
（2）连接𝑃𝑂并延长交𝐴𝐶于点𝐸，由𝑃𝐴= 𝑃𝐶，𝐴𝐷= 𝐵𝐶，推导出𝑃𝐷= 𝑃𝐵，而𝑂𝐷= 𝑂𝐵，𝑂𝑃= 𝑂𝑃，可根
据“SSS”证明△𝑂𝑃𝐷≌△𝑂𝑃𝐵，得∠𝐷𝑃𝑂= ∠𝐵𝑃𝑂，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明𝑃𝐸⊥𝐴𝐶．
【详解】（1）∵点𝐷、𝐵分别在边𝑃𝐴、𝑃𝐶上，𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点𝑂，
∴∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐶𝑂𝐵，
∵∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝑂= ∠𝐶𝐵𝑂，
在△𝐴𝑂𝐷和△𝐶𝑂𝐵中，
∠𝐴𝐷𝑂= ∠𝐶𝐵𝑂
∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐶𝑂𝐵
𝐴𝐷= 𝐶𝐵
，
∴ △𝐴𝑂𝐷≌△𝐶𝑂𝐵(AAS)，
∴ ∠𝐷𝐴𝑂= ∠𝐵𝐶𝑂，𝑂𝐴= 𝑂𝐶，
∴∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝑂𝐶𝐴，
∴∠𝐷𝐴𝑂+ ∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝑂+ ∠𝑂𝐶𝐴，
∴∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝑃𝐶𝐴，
∴𝑃𝐴= 𝑃𝐶．
（2）连接𝑃𝑂并延长交𝐴𝐶于点𝐸，
∵ 𝑃𝐴= 𝑃𝐶，𝐴𝐷= 𝐵𝐶，
∴𝑃𝐴−𝐴𝐷= 𝑃𝐶−𝐵𝐶，
∴𝑃𝐷= 𝑃𝐵，
由（1）得△𝐴𝑂𝐷≌△𝐶𝑂𝐵，
∴𝑂𝐷= 𝑂𝐵，
在△𝑂𝑃𝐷和△𝑂𝑃𝐵中，
𝑃𝐷= 𝑃𝐵
𝑂𝐷= 𝑂𝐵
𝑂𝑃= 𝑂𝑃
，
∴ △𝑂𝑃𝐷≌△𝑂𝑃𝐵(SSS)，
∴∠𝐷𝑃𝑂= ∠𝐵𝑃𝑂，
∵𝑃𝐴= 𝑃𝐶，𝑃𝐸平分∠𝐴𝑃𝐶，
∴𝑃𝐸⊥𝐴𝐶．
【变式15-1】（25-26 七年级下·山东青岛·期中）按要求完成下列各题：
(1)如图1，△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸为等边三角形，连接𝐵𝐷，𝐶𝐸，求证：∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸．
探索思路如下：
∵△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸为等边三角形，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 60°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶，（①__________________）
即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸（②__________________），
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸（③__________________），
请在上面三个（ ）中填写适当的理由．
【模型应用】
(2)如图2，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，B，D，E 三点在一条直线
上，𝐴𝐶与𝐵𝐸交于点F，连接𝐸𝐶．
①证明：∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸；
②求∠𝐹𝐸𝐶的度数．
【答案】(1)理由见详解
(2)①证明见详解；②90°
【分析】（1）由等边三角形的性质得到∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 60°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，则可证明
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，再利用SAS证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸即可证明∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸；
（2）①证明△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(SAS)，可得到∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸；
②利用①的结论和三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸为等边三角形，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 60°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶，（等式的性质）
即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸（SAS），
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸（全等三角形的对应角相等），
（2）解：①证明：∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(SAS)，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸；
②在△𝐴𝐵𝐹中，∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐴𝐹𝐵= 180°−∠𝐵𝐴𝐹= 90°，
∵∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐶𝐹𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐶𝐹𝐸= 90°，
∵∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐶𝐹𝐸= 90°，
在△𝐶𝐹𝐸中，∠𝐹𝐸𝐶+ ∠𝐶𝐹𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐹= 180°，
∴∠𝐹𝐸𝐶= 180°−(∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐶𝐹𝐸) = 90°．
【变式15-2】（25-26 八年级下·辽宁锦州·期中）按要求完成下面各题．
(1)如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐸是𝐴𝐶上一点，过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐵𝐸交𝐵𝐸延长线于点𝐷，连
接𝐴𝐷，求∠𝐴𝐷𝐵的度数；
小硕的解题思路是，从𝐶𝐷⊥𝐵𝐸出发，过点A 作𝐴𝐹⊥𝐴𝐷，通过构造全等三角形，证明等腰直角三角形求解，
请你根据小硕的思路或自己的想法，写出解题过程．
(2)如图②，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，且𝐴𝐷= 𝐶𝐷，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，连接对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐷
交𝐵𝐶于点𝐸，𝐹为𝐶𝐸上一点，且∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐶𝐴𝐸，求证：𝐶𝐹= 𝐸𝐹．
【答案】(1)45°
(2)证明见解析
【分析】（1）过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐴𝐷交𝐵𝐷于点𝐹，证明△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐶𝐷(ASA) 得到𝐴𝐹= 𝐴𝐷，然后利用等腰直角
三角形的判定与性质可得结论；
（2）过点𝐷作𝐷𝑀⊥𝐵𝐷交𝐵𝐶延长线于点𝑀，证明△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐷𝑀(ASA)得到𝐵𝐷= 𝑀𝐷，𝐴𝐵= 𝐶𝑀，
∠𝐷𝐵𝐴= ∠𝐷𝑀𝐶，进而可得△𝐵𝐷𝑀是等腰直角三角形，△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形，随后证明𝐴𝐵= 𝐵𝐸，𝐷𝐹
平分∠𝐵𝐷𝑀，再利用等腰三角形的三线合一得到𝐵𝐹= 𝐹𝑀，进而可得结论．
【详解】（1）证明：过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐴𝐷交𝐵𝐷于点𝐹，
∴∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐹+ ∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐷= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐷，
∵∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶= 90°，∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐴𝐶𝐷，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐶𝐷(ASA)，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐷𝐹是等腰直角三角形，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 45°；
（2）证明：过点𝐷作𝐷𝑀⊥𝐵𝐷交𝐵𝐶延长线于点𝑀，
∵𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，𝐷𝑀⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐷𝑀= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝑀，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，
∵∠𝐷𝐶𝑀+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐶𝑀
∵𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐷𝑀(ASA)，
∴𝐵𝐷= 𝑀𝐷，𝐴𝐵= 𝐶𝑀，∠𝐷𝐵𝐴= ∠𝐷𝑀𝐶，
∵𝐷𝑀⊥𝐵𝐷
∴∠𝐷𝐵𝑀= ∠𝑀= 45°，
∴△𝐵𝐷𝑀是等腰直角三角形，
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝐴= 90°−∠𝐷𝐵𝑀= 45°，∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形，∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐸，
∵∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐷𝐴𝐶= 45° =
1
2∠𝐵𝐷𝑀，
∴𝐷𝐹平分∠𝐵𝐷𝑀，
∴𝐵𝐹= 𝐹𝑀，
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐸= 𝐶𝑀，
∴𝐵𝐹−𝐵𝐸= 𝐹𝑀−𝐶𝑀即𝐶𝐹= 𝐸𝐹．
【变式15-3】（25-26 七年级下·辽宁丹东·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通
过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到
更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐹中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹= 30°，连接𝐵𝐸，𝐶𝐹，
延长𝐵𝐸交𝐶𝐹于点D．则𝐵𝐸与𝐶𝐹的数量关系：_______，∠𝐵𝐷𝐶= _______；
(2)类比探究：如图2，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐹中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹= 120°，连接𝐵𝐸，𝐶𝐹，延长𝐵𝐸，𝐹𝐶交于点D．请猜想𝐵𝐸与𝐶𝐹的数量关系及∠𝐵𝐷𝐶的度数，
并说明理由；
(3)拓展应用：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐹中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹= 90°，连接𝐵𝐸，𝐶𝐹，将△𝐴𝐸𝐹
绕它们共同的顶点A 旋转一定的角度后，若B，E，F 三点刚好在同一直线上，直接写出此时∠𝐴𝐹𝐶的度数．
【答案】(1)𝐵𝐸= 𝐶𝐹，30
(2)𝐵𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐵𝐷𝐶= 60°，理由见解析
(3)∠𝐴𝐹𝐶= 135°或45°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转模型及角度计算，解题的关键是
通过角的和差关系证明三角形全等，再利用全等三角形的性质推导线段关系与角度大小，结合特殊三角形
的角度特征进行分类讨论．
（1）通过证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹，直接得到线段相等关系，再利用对顶角与三角形内角和推导∠𝐵𝐷𝐶的度数；
（2）类比（1）的全等证明思路，结合等腰三角形的底角特征，通过角度转化推导∠𝐵𝐷𝐶的度数；
（3）分点𝐸在𝐵、𝐹之间和点𝐹在𝐵、𝐸之间两种情况，结合等腰直角三角形的性质与全等三角形的结论，计
算∠𝐴𝐹𝐶的度数．
【详解】（1）解：如图1，设𝐴𝐶交𝐵𝐷于点G，
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹= 30° + ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐹中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹
𝐴𝐸= 𝐴𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(SAS)，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐶𝐹，𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴𝐺𝐷−∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐺𝐷−∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶= 30° ．
故答案为：𝐵𝐸= 𝐶𝐹，30
（2）解：𝐵𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐵𝐷𝐶= 60°，理由如下：
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹= 120°，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹−∠𝐸𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐹中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹
𝐴𝐸= 𝐴𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(SAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹,∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶，
∵∠𝐸𝐴𝐹= 120°,𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐹𝐸= 30°，
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐸𝐹−∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐴𝐸𝐵+ 30°−(∠𝐴𝐹𝐶−30°) = 60°．
（3）解：如图所示：
∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐹都是等腰三角形，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐸𝐴𝐹= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∴∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐸，即：∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹，
∴△𝐵𝐴𝐸≌△𝐶𝐴𝐹(SAS)，
∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵， ，
∵∠𝐸𝐴𝐹= 90°，𝐴𝐸= 𝐴𝐹,
∴∠𝐴𝐸𝐹= 45°，
∴∠𝐴𝐸𝐵= 180°−∠𝐴𝐸𝐹= 135°，
∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵= 135°；
当F 点在线段𝐵𝐸上时，
同法可证得：△𝐵𝐴𝐸≌△𝐶𝐴𝐹，
∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵，
∵∠𝐸𝐴𝐹= 90°，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐹= 45°，
∴∠𝐴𝐹𝐶= 45°；
综上，∠𝐴𝐹𝐶= 135°或45°．
