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第13 章 三角形·培优卷
【新教材人教版】
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（25-26 七年级下·广东深圳·期中）以下几组长度（单位：米）的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的
是（ ）
A．5，7，2
B．5，9，3
C．5，7，3
D．4，5，10
【答案】C
【分析】只需验证两条较短边的和大于最长边即可，满足条件即可围成，不满足则不能围成.
【详解】解：选项A 中，较短边为2，5，最长边为7，2 + 5 = 7，不满足两边之和大于第三边，故不能围成
三角形；
选项B 中，较短边为3，5，最长边为9，3 + 5 = 8 < 9，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形；
选项C 中，较短边为3，5，最长边为7，3 + 5 = 8 > 7，满足三角形三边关系，故能围成三角形；
选项D 中，较短边为4，5，最长边为10，4 + 5 = 9 < 10，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形.
2．（25-26 七年级下·吉林长春·期中）如图，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，𝐶𝐹⊥𝐴𝐵，𝐶𝐺⊥𝐶𝐵，垂足分别为点
𝐷、𝐸、𝐹、𝐶，△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的高是（ ）
A．𝐶𝐹
B．𝐵𝐸
C．𝐶𝐺
D．𝐴𝐷
【答案】D
【详解】解：△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的高是𝐴𝐷．
3．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线．若△𝐴𝐵𝐶的面积为
30，则△𝐵𝐷𝐸的面积是（ ）
A．15
B．10
C．7.5
D．5
【答案】C
【分析】利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，先由𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线
求出△𝐴𝐵𝐷的面积，再由𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线求出△𝐵𝐷𝐸的面积．
【详解】解：∵𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 30，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 30 = 15，
∵𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 15 = 7.5．
4．（25-26 七年级下·北京·期中）如图，直线𝑎∥𝑏，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，若∠1 = 130°，则∠2等于（ ）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
【答案】D
【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠𝐶𝐵𝐷的度数，再根据三角形的内角和为180 度，即可解
答．
【详解】解：∵直线𝑎∥𝑏，∠1 = 130°，
∴∠𝐶𝐵𝐷= 180°−∠1 = 50°，
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∴∠2 = 180°−∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐶𝐷𝐵= 180°−50°−90° = 40°．
5．下列图形不具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改
变．
【详解】解：根据三角形的稳定性可得B、C、D 都具有稳定性，不具有稳定性的是A 选项．
6．（25-26 八年级下·广东深圳·期中）如图，三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 65°，∠𝐵= 75°，将∠𝐶沿𝐷𝐸对折，
使点𝐶落在△𝐴𝐵𝐶外的点𝐶′处，若∠1 = 30°，则∠2的度数为（ ）
A．100°
B．110°
C．125°
D．130°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠𝐶，根据折叠的性质求出∠𝐶′，根据三角形的外角的性质计算，得到答
案．
【详解】解：如图：
∵∠𝐴= 65°，∠𝐵= 75°，
∴∠𝐶= 180°−65°−75° = 40°，
由折叠的性质可知，∠𝐶′ = ∠𝐶= 40°，
∴∠3 = ∠1 + ∠𝐶′ = 70°，
∴∠2 = ∠𝐶+ ∠3 = 110°．
7．（25-26 七年级下·福建宁德·期中）如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）
上，黑棋A，B，C 围成△𝐴𝐵𝐶，白棋D，E，F，G 在△𝐴𝐵𝐶中，则正好与△𝐴𝐵𝐶的重心位置重合的白棋
是（ ）
A．𝐷
B．𝐸
C．𝐹
D．𝐺
【答案】D
【分析】确定三边中线的交点即可得出答案．
【详解】解：由图可知△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐶、𝐵𝐶边上的中线交于点G，
即正好与△𝐴𝐵𝐶的重心位置重合的白棋是G．
8．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60∘，∠𝐶= 40∘，𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高线，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐷𝐵𝐸的
度数是（ ）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
【答案】A
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐶的度数，再利用角平分线的定义求出∠𝐴𝐵𝐸的度数，接着根据
高线的定义和直角三角形两锐角互余求出∠𝐴𝐵𝐷的度数，最后通过∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐸−∠𝐴𝐵𝐷计算出∠𝐷𝐵𝐸的度
数，从而确定正确选项．
【详解】解：∵∠𝐴= 60°，∠𝐶= 40°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180°−∠𝐴−∠𝐶= 180°−60°−40° = 80°．
∵𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐴𝐵𝐸=
1
2∠𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 80° = 40°．
∵𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高线，
∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，即∠𝐵𝐷𝐴= 90°．
∵在Rt △𝐴𝐵𝐷中，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 90°−∠𝐴= 90°−60° = 30°．
∴∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐸−∠𝐴𝐵𝐷= 40°−30° = 10°．
9．（25-26 七年级下·山西吕梁·期中）如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，
入射光线𝐷𝐸和反射光线𝐶𝐷分别位于法线𝐷𝐹的两侧，入射角∠𝐸𝐷𝐹等于反射角∠𝐶𝐷𝐹，𝐷𝐹⊥𝑂𝐴．若
∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐸𝐷𝐹= 60°，则∠𝐴𝑂𝐵的度数为（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】A
【分析】根据题意，结合垂线定义求出相关角度，再由三角形外角性质，数形结合即可求出∠𝐴𝑂𝐵的度数．
【详解】解：∵入射角∠𝐸𝐷𝐹等于反射角∠𝐶𝐷𝐹，
∴∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐸𝐷𝐹= 60°
∵ 𝐷𝐹⊥𝑂𝐴，
∴∠𝑂𝐷𝐸= 90°−∠𝐸𝐷𝐹= 30°，
∵∠𝐷𝐸𝐵= 60°，且它是△𝐷𝐸𝑂的一个外角，
∴∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐷𝐸𝐵−∠𝑂𝐷𝐸= 60°−30° = 30°．
10．（25-26 七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知𝐸𝐹∥𝐺𝐻，A、D 为𝐺𝐻上的两点，M、B 为𝐸𝐹上的两点，
延长𝐴𝑀至点C，𝐴𝐵平分∠𝐷𝐴𝐶，点N 在射线𝐷𝐵上，且𝐵𝑁平分∠𝐹𝐵𝐶，若∠𝐴𝐶𝐵= 110°．则下列结论：①
∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷；②∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐵𝐴𝑀；③∠𝑁𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐻；④若∠𝐶𝐵𝑀= 𝛼，则∠𝐵𝐴𝐷= 55°−
1
2𝛼；⑤
∠𝐷𝐵𝐴= 55°其中，正确的有（ ）个
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】由𝐴𝐵平分∠𝐷𝐴𝐶，得到∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷，平行线的性质得到∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐵𝐴𝐷，进而得到
∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐵𝐴𝑀，𝐵𝑁平分∠𝐹𝐵𝐶，结合平行线的性质，得到∠𝑁𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐻，三角形内角和求出∠𝐶𝑀𝐵，平
行线的性质，得到∠𝐶𝐴𝐷的度数，角平分线求出∠𝐵𝐴𝐷的度数，设∠𝐶𝐵𝑀= 𝛼，根据角的和差关系求出
∠𝐷𝐵𝐴= 55°．
【详解】解：∵𝐴𝐵平分∠𝐷𝐴𝐶，
∴∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷；故①正确；
∵𝐸𝐹∥𝐺𝐻，
∴∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐵𝐴𝑀；故②正确；
∵𝐸𝐹∥𝐺𝐻，
∴∠𝑁𝐵𝐹= ∠𝐵𝐷𝐻，
∵𝐵𝑁平分∠𝐹𝐵𝐶，
∴∠𝑁𝐵𝐶= ∠𝑁𝐵𝐹，
∴∠𝑁𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐻；故③正确；
∵∠𝐴𝐶𝐵= 110°，∠𝐶𝐵𝑀= 𝛼，
∴∠𝐶𝑀𝐵= 180−110°−𝛼= 70°−𝛼，
∵𝐸𝐹∥𝐺𝐻，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝑀𝐵= 70°−𝛼，
∵𝐴𝐵平分∠𝐷𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐶𝐴𝐷= 35°−
1
2𝛼；故④错误；
设∠𝐶𝐵𝑀= 𝛼，则：∠𝐶𝐵𝑁= ∠𝐹𝐵𝑁=
1
2(180°−∠𝐶𝐵𝑀) = 90°−
1
2𝛼，
由④可知：∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐶𝐴𝐷= 35°−
1
2𝛼，
∴∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐵𝐴𝐷= 35°−
1
2𝛼，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 𝛼+ 35°−
1
2𝛼= 35° +
1
2𝛼，
∴∠𝐴𝐵𝑁= 35° +
1
2𝛼+ 90°−
1
2𝛼= 125°，
∴∠𝐷𝐵𝐴= 180°−∠𝐴𝐵𝑁= 55°；故⑤正确．
综上，正确的有①②③⑤，共4 个．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 86°，△𝐴𝐵𝐶的两条内角平分线𝐵𝐸、𝐶𝐷交于点𝑃，则∠𝐵𝑃𝐶的度数为______°．
【答案】133
【分析】根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解
【详解】∵ 𝐵𝐸、𝐶𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐴𝐶𝐵,∠𝐴= 86°
∴∠𝑃𝐵𝐶= 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶,∠𝑃𝐶𝐵= 1
2 ∠𝐴𝐶𝐵
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵
= 1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)
= 1
2 (180°−∠𝐴)
= 1
2 × (180°−86°)
= 47°
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180°−(∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵)
= 180°−47°
= 133°
故答案为：133
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练以上知识是解题的关键．
12．（25-26 七年级下·陕西渭南·期中）如图所示，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵= 8,𝐴𝐶= 6, △𝐴𝐶𝐷的周长为
24，则△𝐴𝐵𝐷的周长为__________．
【答案】26
【分析】先计算𝐴𝐷+ 𝐶𝐷的长度，由中线的定义得𝐶𝐷= 𝐵𝐷，进而即可求解．
【详解】解：∵ △𝐴𝐶𝐷的周长为24，
∴ 𝐴𝐶+ 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 24，
∴ 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 24−𝐴𝐶= 24−6 = 18，
∵ 𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴ 𝐶𝐷= 𝐵𝐷，
∴ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 18，
∴ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐵= 18 + 8 = 26，
即△𝐴𝐵𝐷的周长为26．
13．（25-26 八年级上·湖南邵阳·期末）若三角形的三边分别是3，4，𝑥，且𝑥是整数，则满足条件的三角形
有___________个．
【答案】5
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用，熟练运用三角形三边关系确定第三边的取值范围，是做
题的关键．根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解𝑥的取值范围，再取整数
值即可．
【详解】解：由三角形三边关系，得：
3 + 4 > 𝑥，即𝑥< 7；
3 + 𝑥> 4，即𝑥> 1；
4 + 𝑥> 3，即𝑥> −1（恒成立），
所以𝑥的取值范围为1 < 𝑥< 7，
由于𝑥是整数，因此𝑥可取 2，3，4，5，6，共5 个值，
即满足条件的三角形有5 个．
故答案为：5．
14．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，我校建筑多为东西方向“坐北朝南”，初中部𝐴和初中食堂
𝐵在一条直线上，幼儿园𝐶与小学部𝐷在一条直线上，高中部𝐸在初中食堂的南偏东，∠𝐴𝐵𝐸= 110°，
∠𝐶𝐷𝐸= 140°，则∠𝐸为________°．
【答案】30
【分析】延长𝐶𝐷交𝐵𝐸于点𝐹，由题意可知𝐴𝐵∥𝐶𝐹，根据两直线平行，同位角相等，可知
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐹𝐸= 110°，根据三角形外角的性质即可求出∠𝐸的度数．
【详解】解：如下图所示，延长𝐶𝐷交𝐵𝐸于点𝐹，
由题意可知𝐴𝐵∥𝐶𝐹，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐹𝐸，
∵∠𝐴𝐵𝐸= 110°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐹𝐸= 110°，
∵∠𝐶𝐷𝐸= 140°且∠𝐶𝐷𝐸是△𝐷𝐸𝐹的外角，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐷𝐹𝐸+ ∠𝐸，
∴110° + ∠𝐸= 140°，
∴∠𝐸= 30°．
15．（25-26 九年级下·山东菏泽·期中）如图，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴逆时针旋转一定角度得到△𝐴𝐷𝐸，使点𝐵的对
应点𝐷落在𝐵𝐶上，𝐷𝐸与𝐴𝐶交于点𝐹．若∠𝐴𝐵𝐶= 55°, ∠𝐴𝐶𝐵= 35°，则∠𝐸𝐹𝐶的度数为__________．
【答案】105°
【分析】根据旋转的性质可得𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，利用三角形内角和定理求出∠𝐵𝐴𝐶
的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠𝐵𝐴𝐷的度数，进而求出∠𝐷𝐴𝐶的度数，最后在△𝐴𝐷𝐹中利用三角形
内角和定理求出∠𝐴𝐹𝐷的度数，根据对顶角相等即可求解．
【详解】解：由旋转的性质可得，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶= 55°，∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐶𝐵= 180°−55°−35° = 90°
∴∠𝐷𝐴𝐸= 90°
∵点𝐷落在𝐵𝐶上，𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 55°
在△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷= 180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐷𝐵= 180°−55°−55° = 70°
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐷= 90°−70° = 20°
在△𝐴𝐷𝐹中，∠𝐴𝐹𝐷= 180°−∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐴𝐷𝐸= 180°−20°−55° = 105°
∵∠𝐸𝐹𝐶与∠𝐴𝐹𝐷是对顶角
∴∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐴𝐹𝐷= 105°
16．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 𝛼，∠𝐴𝐵𝐶的平分线与∠𝐴𝐶𝐷的平分线交于点𝐴1得∠𝐴1，∠𝐴1𝐵𝐶的平分线与∠𝐴1
𝐶𝐷的平分线交于点𝐴2，得∠𝐴2，…，∠𝐴5𝐵𝐶的平分线与∠𝐴5𝐶𝐷的平分线交于点𝐴6，得∠𝐴6，则∠𝐴6 = ________．
【答案】
𝛼
26
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及角平分线找到规律：后一个角是前
一个角的一半，然后表示出∠𝐴6即可．
【详解】解；∵𝐴1𝐵平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴1𝐶平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴1𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴1𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐷，
∵由三角形外角的性质可得∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐴1 +∠𝐴1𝐵𝐶= ∠𝐴1𝐶𝐷，
∴∠𝐴1 = ∠𝐴1𝐶𝐷−∠𝐴1𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐶𝐷−
1
2∠𝐴𝐵𝐶=
1
2∠𝐴=
𝛼
2，
以此类推∠𝐴2 =
1
2∠𝐴1 =
1
2
2
∠𝐴=
1
2
2
𝛼=
𝛼
22，
∠𝐴3 =
1
2∠𝐴2=
1
2
3
∠𝐴=
1
2
3
𝛼=
𝛼
23，
……
∴∠𝐴6 =
1
2∠𝐴5=
1
2
6
∠𝐴=
1
2
6
𝛼=
𝛼
26，
故答案为：
𝛼
26．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角
平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．
三、解答题（本大题共9 小题，满分72 分）
17．（6 分）（25-26 七年级下·吉林长春·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵> ∠𝐵，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝑃为线段
𝐴𝐷上的任意一点，𝐸𝑃⊥𝐴𝐷交直线𝐵𝐶于点𝐸．
(1)若∠𝐵= 40°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°，求∠𝐸的度数；
(2)求证：∠𝐸=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)．
【答案】(1)20°
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定
理和三角形外角的性质是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和定理可求出∠𝐵𝐴𝐶的度数，由角平分线的定义可得∠𝐵𝐴𝐷的度数，然后根据三角形
外角的性质可求出∠𝐴𝐷𝐶的度数，最后根据垂线的定义和三角形内角和定理可得答案；
（2）根据角平分线的定义可得∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，然后根据三角形外角的性质和内角和定理可证∠𝐴𝐷𝐶
= 90° +
1
2∠𝐵−
1
2∠𝐴𝐶𝐵，最后根据垂线的定义和三角形内角和定理可证明结论．
【详解】（1）解：∵∠𝐵= 40°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 30°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 70°，
∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐷𝑃𝐸= 90°，
∴∠𝐸= 180°−∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐷𝑃𝐸= 20°；
（2）证明：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷
= ∠𝐵+ 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶
= ∠𝐵+ 1
2 (180°−∠𝐵−∠𝐴𝐶𝐵)
= ∠𝐵+ 90°−
1
2∠𝐵−
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐷𝑃𝐸= 90°
∴∠𝐸= 180°−∠𝐷𝑃𝐸−∠𝐴𝐷𝐶
= 180°−90°−90° +
1
2 ∠𝐵−
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵
= 180°−90°−90°−1
2 ∠𝐵+ 1
2 ∠𝐴𝐶𝐵
=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)．
18．（6 分）（25-26 八年级上·重庆江津·期末）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵> 𝐴𝐶，𝐷𝐸、𝐷𝐹分别是△𝐴𝐶𝐷
的高与角平分线．
(1)若△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长差为2，𝐴𝐵= 7，求𝐴𝐶的长；
(2)若∠𝐴𝐶𝐵= 62°，∠𝐷𝐴𝐶= 40°，求∠𝐸𝐷𝐹的度数．
【答案】(1)5
(2)11°
【分析】本题主要考查了三角形的中线，高线和角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知相关知识是解
题的关键．
（1）根据三角形的中线的定义可得𝐵𝐷= 𝐶𝐷，再由三角形的周长公式推出𝐴𝐵−𝐴𝐶= 2，据此可得答案；
（2）由三角形内角和定理求出∠𝐴𝐷𝐶的度数，由高线和角平分线的定义求出∠𝐷𝐸𝐴，∠𝐴𝐷𝐹，再求出∠𝐴𝐷𝐸的
度数即可得到答案．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长差为2，
∴(𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐴)−(𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐷𝐴) = 𝐴𝐵−𝐴𝐶= 2，
∵𝐴𝐵= 7，
∴𝐴𝐶= 5；
（2）解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 62°，∠𝐷𝐴𝐶= 40°
∴∠𝐴𝐷𝐶= 180°−∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐴𝐶𝐷= 180°−40°−62° = 78°，
∵𝐷𝐸、𝐷𝐹分别是△𝐴𝐶𝐷的高与角平分线，
∴∠𝐷𝐸𝐴= 90°，∠𝐴𝐷𝐹=
1
2∠𝐴𝐷𝐶=
1
2 × 78° = 39°，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 90°−∠𝐷𝐴𝐶= 90°−40° = 50°，
∴∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐷𝐹= 50°−39° = 11°．
19．（6 分）（25-26 八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，𝐷是△𝐴𝐵𝐶中 𝐴𝐵边上一点，连接𝐶𝐷，且
∠𝐴𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐵．
(1)图中共有几个三角形，分别是哪些?
(2)𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的 ．（填“高线”“中线”或“角平分线”）
(3)若∠𝐴𝐶𝐷= 45°，∠𝐵= 35°，求∠𝐴 的度数．
【答案】(1)图中共有3个三角形，分别是△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐵𝐶，△𝐵𝐶𝐷
(2)角平分线
(3)55°
【分析】（1）根据三角形的定义解答 即可；
（2）根据角平分线的定义即可求解；
（3）由∠𝐴𝐶𝐷= 45°可得∠𝐴𝐶𝐵= 90°，再根据三角形内角和定理即可求解；
本题考查了三角形的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：图中共有3个三角形，分别是△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐵𝐶，△𝐵𝐶𝐷；
（2）解：∵∠𝐴𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
故答案为：角平分线；
（3）解：∵∠𝐴𝐶𝐷= 45°，∠𝐴𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐶𝐷= 90°，
∵∠𝐵= 35°，
∴∠𝐴= 180°−∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵= 180°−90°−35° = 55°．
20．（8 分）（24-25 八年级上·贵州遵义·阶段检测）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论．
如图，已知∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶是△𝐴𝐵𝐶的内角，求证：∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°．
小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法：
小颖作的辅助线如图①，过点𝐶作𝐷𝐸∥𝐴𝐵；小星作的辅助线如图②，作𝐴𝐵的延长线𝐴𝐹，作𝐵𝐸∥𝐴𝐶；小红
作的辅助线如图③，作𝐶𝐺∥𝐴𝐵；
请你认真阅读思考并完成如下问题：
(1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程．
(2)在图2 中，求证：∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐴+ ∠𝐶．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明：
（1）利用平行线的性质即可证明；
（2）利用平行线的性质即可证明．
【详解】（1）解：选择小星的作图进行证明
∵𝐵𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠𝐴= ∠𝐸𝐵𝐹,∠𝐶= ∠𝐶𝐵𝐸，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐹= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= 180°；
选择小颖的作图进行证明：
∵𝐷𝐸∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷,∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐸，
∵∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°；
选择小红的作图进行证明：
∵𝐶𝐺∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐺= 180°,∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐺，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐺= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°；
（2）证明：∵𝐵𝐸∥𝐴𝐶
∴∠𝐴= ∠𝐸𝐵𝐹,∠𝐶= ∠𝐶𝐵𝐸，
∴∠𝐴+ ∠𝐶= ∠𝐸𝐵𝐹+ ∠𝐶𝐵𝐸，
即∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐴+ ∠𝐶．
21．（8 分）（25-26 七年级下·吉林长春·期中）已知𝐴𝐵,𝐶𝐷相交于点𝑂,∠𝐴= 50°,∠𝐷= 40°．
(1)如图1，若𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐷交𝐶𝐷于点𝐹，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷交𝐴𝐵于点𝐺，求∠𝐵𝐸𝐶的度数；
(2)如图2，延长𝐴𝐶至点𝐻，若直线𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐷交𝐶𝐷于点𝐹，𝐶𝑀平分∠𝐷𝐶𝐻交直线𝐵𝐹于点𝑀，求∠𝐵𝑀𝐶的度
数．
【答案】(1)45°
(2)45°
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出∠𝑂𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷+ 10°，由平分线的定义可得出
∠𝐷𝐵𝐹=
1
2∠𝐴𝐶𝐷+ 5°、∠𝑂𝐶𝐺=
1
2∠𝐴𝐶𝑂，再结合三角形内角和定理即可得出∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐷+ 5°，代入∠𝐷度数
即可得出结论；
（2）由邻补角互补结合角平分线可得出∠𝐷𝐶𝑀= 90°−
1
2∠𝐴𝐶𝐷，根据三角形外角性质结合（1）中∠𝐷𝐵𝐹=
1
2
∠𝐴𝐶𝐷+ 5°即可得出∠𝑀𝐹𝐶= ∠𝐷+
1
2∠𝐴𝐶𝐷+ 5°，再根据三角形内角和定理即可得出∠𝐵𝑀𝐶= 85°−∠𝐷，代
入∠𝐷度数即可得出结论．
【详解】（1）解：∵∠𝐷+ ∠𝑂𝐵𝐷+ ∠𝐵𝑂𝐷= 180°，∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝑂+ ∠𝐴𝑂𝐶= 180°，∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐶，
∴∠𝐷+ ∠𝑂𝐵𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝑂，
∵∠𝐴= 50°，∠𝐷= 40°，
∴∠𝑂𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷+ 10°．
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐷交𝐶𝐷于𝐹，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷交𝐴𝐵于𝐺，
∴∠𝐷𝐵𝐹=
1
2∠𝑂𝐵𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐷+ 5°，∠𝑂𝐶𝐺=
1
2∠𝐴𝐶𝑂．
∵∠𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐹𝐷= 180° = ∠𝐵𝐸𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐺+ ∠𝐶𝐹𝐸，∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐸𝐹𝐶，
∴∠𝐷+
1
2∠𝐴𝐶𝐷+ 5° = ∠𝐵𝐸𝐶+
1
2∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐷+ 5° = 45°．
（2）解：∵∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐻= 180°，𝐶𝑀平分∠𝐷𝐶𝐻交直线𝐵𝐹于𝑀，
∴∠𝐷𝐶𝑀=
1
2∠𝐷𝐶𝐻=
1
2(180°−∠𝐴𝐶𝐷) = 90°−
1
2∠𝐴𝐶𝐷，
∵∠𝑀𝐹𝐶= ∠𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐷+
1
2∠𝐴𝐶𝐷+ 5°，∠𝑀𝐹𝐶+ ∠𝐷𝐶𝑀+ ∠𝐵𝑀𝐶= 180°，
∴∠𝐵𝑀𝐶= 180°−∠𝑀𝐹𝐶−∠𝐷𝐶𝑀= 180°−∠𝐷+
1
2 ∠𝐴𝐶𝐷+ 5° −90°−
1
2 ∠𝐴𝐶𝐷= 85°−∠𝐷= 45°．
22．（9 分）（25-26 七年级下·广东湛江·期中）我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4 倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个
内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，∠𝑀𝑂𝑁= 60°，点𝐴在边𝑂𝑀上，过点𝐴作𝐴𝐵⊥𝑂𝑀交𝑂𝑁于点𝐵，以𝐴为端点作射线𝐴𝐷，交线段𝑂𝐵于
点𝐶（点𝐶不与𝑂，𝐵重合）
（1）∠𝐴𝐵𝑂的度数为 ，△𝐴𝑂𝐵 （填“是”或“不是” ) “和谐三角形”；
（2）若∠𝐴𝐶𝐵= 84°，试说明：△𝐴𝑂𝐶是“和谐三角形”．
【应用拓展】
（3）如图2，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上，连结𝐷𝐶，作∠𝐴𝐷𝐶的平分线交𝐴𝐶于点𝐸，在𝐷𝐶上取点𝐹，使
∠𝐸𝐹𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵．若△𝐵𝐶𝐷是“和谐三角形”，请直接写出∠𝐵的度数．
【答案】（1）30°，不是（2）见解析（3）∠𝐵＝30°或者∠𝐵＝80°
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形
的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
（1）根据𝐴𝐵⊥𝑂𝑀，得到∠𝑂𝐴𝐵= 90°，求得∠𝐴𝐵𝑂= 90°−∠𝑀𝑂𝑁= 30°，得到∠𝑂𝐴𝐵= 3∠𝐴𝐵𝑂，所以△𝐴𝑂𝐵
不是“和谐三角形”；
（2）因为∠𝐴𝐶𝐵是△𝐴𝑂𝐶的一个外角，得到∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝑂+ ∠𝑂𝐴𝐶，求出∠𝑂𝐴𝐶= 24°，∠𝐴𝐶𝑂= 96°，所以
∠𝐴𝐶𝑂= 4∠𝑂𝐴𝐶，所以得到△𝐴𝑂𝐶是“和谐三角形”；
（3）由∠𝐸𝐹𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，得到∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，可以证明𝐴𝐷∥𝐸𝐹，得到
∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸，而∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵，得到∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸，由𝐷𝐸∥𝐵𝐶，得到∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，根据△𝐵𝐶𝐷是“和谐
三角形”，即可求解．
【详解】解：（1）∵𝐴𝐵⊥𝑂𝑀，
∴∠𝑂𝐴𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝑂= 90°−∠𝑀𝑂𝑁= 30°，
∴∠𝑂𝐴𝐵= 3∠𝐴𝐵𝑂，
∴ △𝐴𝑂𝐵不是“和谐三角形”；
故答案为：30°，不是；
（2）∵∠𝐴𝐶𝐵是△𝐴𝑂𝐶的一个外角，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝑂+ ∠𝑂𝐴𝐶，
又∠𝑂= 60°，∠𝐴𝐶𝐵= 84°
∴∠𝑂𝐴𝐶= 24°，
∠𝐴𝐶𝑂= 180°−84° = 96°，
∴∠𝐴𝐶𝑂= 4∠𝑂𝐴𝐶，
∴ △𝐴𝑂𝐶是“和谐三角形”；
（3）∵∠𝐸𝐹𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，
∴∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，
∴𝐴𝐷∥𝐸𝐹，
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸，
而∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵，
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸，
∴𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，
∵𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷，
∵ △𝐵𝐶𝐷是“和谐三角形”，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 4∠𝐵或者∠𝐵= 4∠𝐵𝐷𝐶
∵∠𝐵𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 180°
∴∠𝐵= 30°或者∠𝐵= 80°．
23．（9 分）（25-26 八年级上·山东日照·期末）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷为直线𝐵𝐶上任意一点，连接𝐴𝐷，
𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，𝐵𝐺⊥𝐴𝐶于点𝐺．
(1)如图1，观察、测量、猜想、证明𝐷𝐸，𝐷𝐹，𝐵𝐺之间的数量关系，完善空格内容．
小明是这样证明的：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= __________ + 𝑆△𝐴𝐶𝐷．
∴
1
2𝐴𝐶⋅𝐵𝐺=
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐸+ __________．
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴__________．
(2)如图1，当点𝐷为𝐵𝐶中点时，试判断𝐵𝐺与𝐷𝐸的数量关系__________．
(3)如图2，当点𝐷在𝐵𝐶的延长线上时，请猜想𝐷𝐸，𝐷𝐹，𝐵𝐺之间的数量关系并证明．
【答案】(1)𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹；𝑆△𝐴𝐵𝐷；
1
2𝐴𝐶⋅𝐷𝐹；𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹
(2)𝐵𝐺= 2𝐷𝐸
(3)𝐷𝐸= 𝐵𝐺+ 𝐷𝐹；证明见解析
【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答；
（2）由点D 为𝐵𝐶中点，得到
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=
1
2𝐴𝐶⋅𝐷𝐹，结合𝐴𝐵= 𝐴𝐶，推出𝐷𝐸= 𝐷𝐹，然后结合𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹
即可作答；
（3）同（1）的方法求解．
【详解】（1）解：𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹；
证明：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∴
1
2𝐴𝐶⋅𝐵𝐺=
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐸+
1
2𝐴𝐶⋅𝐷𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹；
（2）解：∵点𝐷为𝐵𝐶中点，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷
∴
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=
1
2𝐴𝐶⋅𝐷𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹；
∵𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹，
∴𝐵𝐺= 2𝐷𝐸；
（3）解：𝐷𝐸= 𝐵𝐺+ 𝐷𝐹，理由如下：
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∴
1
2𝐴𝐵× 𝐷𝐸=
1
2𝐴𝐶× 𝐵𝐺+
1
2𝐴𝐶× 𝐷𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐺+ 𝐷𝐹．
24．（10 分）（25-26 八年级上·江西吉安·期末）【发现问题】
如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴𝑀𝑁的光线𝐴𝐵和𝐶𝐷经过凹透镜的折射后，折射
光线𝐵𝐸，𝐷𝐹的反向延长线交于主光轴𝑀𝑁上一点𝑃．
【提出问题】
小明提出：如图①∠𝐵𝑃𝐷，∠𝐴𝐵𝑃和∠𝐶𝐷𝑃三个角之间存在着怎样的数量关系？
【分析问题】
已知平行，可以利用平行线的性质，把∠𝐵𝑃𝐷分成两部分进行研究．
【解决问题】
(1)请你帮小明解决这个问题，并说明理由．
(2)如图②，求∠𝑃，∠𝐴𝑀𝑃，∠𝐶𝑁𝑃的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，已知∠𝐴𝐵𝐶= 25°，∠𝐶= 60°，𝐴𝐸∥𝐶𝐷，求∠𝐵𝐴𝐸的度数．
【答案】(1)∠𝐵𝑃𝐷= ∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐶𝐷𝑃，理由见解析
(2)∠𝐴𝑀𝑃= ∠𝑃+ ∠𝐶𝑁𝑃，理由见解析
(3)145°
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，熟知平行线的性质与三角形外角的性质是解题的关
键．
（1）由平行线的性质推出∠𝐵𝑃𝑁= ∠𝐴𝐵𝑃，∠𝐷𝑃𝑁= ∠𝐶𝐷𝑃，得到∠𝐵𝑃𝑁+ ∠𝐷𝑃𝑁= ∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐶𝐷𝑃，即可解
决问题；
（2）由平行线的性质推出∠𝑀𝐾𝑃= ∠𝐶𝑁𝑃，由三角形外角的性质即可得到∠𝐴𝑀𝑃= ∠𝑃+ ∠𝐶𝑁𝑃；
（3）延长𝐸𝐴交𝐵𝐶于点L，由平行线的性质推出∠𝐴𝐿𝐶= ∠𝐶= 60°，求出∠𝐴𝐿𝐵= 180°−∠𝐴𝐿𝐶= 120°，由三
角形外角的性质得到∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐴𝐿𝐵= 145°．
【详解】（1）解： ∠𝐵𝑃𝐷= ∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐶𝐷𝑃，理由如下：
∵𝐴𝐵∥𝑀𝑁∥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝑃𝑁= ∠𝐴𝐵𝑃，∠𝐷𝑃𝑁= ∠𝐶𝐷𝑃，
∴∠𝐵𝑃𝑁+ ∠𝐷𝑃𝑁= ∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐶𝐷𝑃，
∴∠𝐵𝑃𝐷= ∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐶𝐷𝑃．
（2）解：∠𝐴𝑀𝑃= ∠𝑃+ ∠𝐶𝑁𝑃，𝐴𝐵与𝑁𝑃相交于点𝐾理由如下：
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝑀𝐾𝑃= ∠𝐶𝑁𝑃，
∵∠𝐴𝑀𝑃= ∠𝑃+ ∠𝑀𝐾𝑃，
∴∠𝐴𝑀𝑃= ∠𝑃+ ∠𝐶𝑁𝑃．
（3）解：如图③，延长𝐸𝐴交𝐵𝐶于点L，
∵𝐴𝐸∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐿𝐶= ∠𝐶= 60°，
∴∠𝐴𝐿𝐵= 180°−∠𝐴𝐿𝐶= 120°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐴𝐿𝐵= 25° + 120° = 145°．
25．（10 分）（25-26 七年级下·吉林长春·期中）结合图形，解答下列各题：
【问题】
(1)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵．若∠𝐴= 80°，则∠𝐵𝐸𝐶= _____；
【探究】
(2)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵．试猜想∠𝐵𝐸𝐶和∠𝐴有怎样的关系，并说明理由；
【应用】
(3)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷，𝐵𝐸三等分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐶𝐸三等分∠𝐴𝐶𝐵，若∠𝐴= 𝑛°，则∠𝐵𝐸𝐶= _____．
【答案】(1)130°；
(2)∠𝐵𝐸𝐶= 90° +
1
2𝑛°，理由见解析；
(3)60° +
2
3𝑛°．
【分析】（1）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可；
（2）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可；
（3）根据三角形的内角和定理得∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−𝑛°，再由𝐵𝐷，𝐵𝐸三等分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐶𝐸三等分
∠𝐴𝐶𝐵，得到∠𝐸𝐵𝐶=
2
3∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐵=
2
3∠𝐴𝐶𝐵，于是∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵=
2
3(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)，再根据三角形的
内角和定理得到∠𝐵𝐸𝐶的大小．
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴= 180°，∠𝐴= 80°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 100°，
∵𝐵𝐸、𝐶𝐸分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 180°−(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵)
= 180°−1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)
= 180°−1
2 × 100°
= 130°，
故答案为：130°；
（2）解：∠𝐵𝐸𝐶= 90° +
1
2𝑛°，理由如下，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴= 180°，∠𝐴= 𝑛°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−𝑛°，
∵𝐵𝐸、𝐶𝐸分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 180°−(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵)
= 180°−1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)
= 180°−1
2 (180°−𝑛°)
= 180°−90° + 1
2 𝑛°
= 90° +
1
2𝑛°；
（3）解：如图2，
由三角形的内角和定理得∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−𝑛°，
∵𝐵𝐷，𝐵𝐸三等分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐶𝐸三等分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐵𝐶=
2
3∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐵=
2
3∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵=
2
3(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) =
2
3(180°−𝑛°) = 120°−
2
3𝑛°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 180°−(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵) = 180°−120°−
2
3 𝑛° = 60° +
2
3𝑛°．
