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专题02 添加辅助线构造全等八种方法（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 连接两点构造全等】................................................................................................................................2
【题型2 延长线段构造全等】................................................................................................................................3
【题型3 作垂线构造全等】....................................................................................................................................4
【题型4 作平行线构造全等】................................................................................................................................5
【题型5 倍长中线构造全等】................................................................................................................................6
【题型6 截长构造全等】........................................................................................................................................8
【题型7 补短构造全等】........................................................................................................................................9
【题型8 旋转构造全等】......................................................................................................................................10
找全等三角形的方法：
（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形．
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形；
②利用翻折，构造全等三角形；
③引平行线构造全等三角形；
④作连线构造等腰三角形．
常见辅助线的作法有以下几种：
1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对
折”．
2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等
变换中的“旋转”．
3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的
“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
题型归纳
4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转
折叠”．
5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之
与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分
等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点A 提取文字备更多点的线段连接起来，利用三
角形面积的知识解答．
【题型1 连接两点构造全等】
【例1】如图，已知：𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，∠𝐴= 60°，∠𝐷= 140°，则∠𝐵= （ ）
A．50∘
B．40∘
C．40∘或70∘
D．30∘
【变式1-1】如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只
要量出𝐶𝐷的长，就能求出工件内槽的宽𝐴𝐵的长，依据是____________．
【变式1-2】如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷，𝐵𝐶= 𝐸𝐷，点F 是𝐶𝐷的中点．求证：𝐴𝐹⊥𝐶𝐷
【变式1-3】（25-26 八年级上·北京·阶段检测）如图，D 为等腰三角形𝐴𝐵𝐶内一点，𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 𝐵𝑃，
𝐴𝐷= 𝐵𝐷，∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐶= 62°，则∠𝐵𝑃𝐷的度数为______°．
【题型2 延长线段构造全等】
【例2】如图，已知𝐴𝑃//𝐵𝐶，点𝐸是𝐷𝐶的中点，且𝐴𝐷+ 𝐵𝐶= 𝐴𝐵，求证：𝐴𝐸⊥𝐵𝐸．
【变式2-1】如图，四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，连接AE，AE 平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC
＝8，则线段AB 的长为__．
【变式2-2】如图，点E 是△ABC 内一点，∠AEB=90°，AE 平分∠BAC，D 是边AB 的中点，延长线段DE 交
边BC 于点F，若AB=6，EF=1，则线段AC 的长为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式2-3】已知，如图𝛥𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 90°，∠𝐴𝐶𝐵的平分线𝐶𝐷交𝐴𝐵于点𝐸，∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
求证：𝐶𝐸= 2𝐵𝐷.
【题型3 作垂线构造全等】
【例3】（24-25 八年级上·重庆·阶段检测）如图，线段𝐴𝐵= 6，𝐴𝐶= 4，射线𝐴𝑁⊥𝐴𝐵于点A，C 是射线𝐴𝑁
上一动点，分别以𝐴𝐶，𝐵𝐶为直角边作等腰Rt △𝐴𝐶𝐷与等腰Rt △𝐵𝐶𝐸，连接𝐷𝐸交射线𝐴𝑁于点M，则△𝐶𝑀𝐸
的面积为_________．
【变式3-1】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐴𝐶⊥𝐶𝐷，𝐴𝐶= 𝐶𝐷，若𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 1，则点𝐷到𝐴𝐵的
距离是______．
【变式3-2】（24-25 八年级下·辽宁辽阳·期末）已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶顺
时针旋转得到△𝐷𝐸𝐶，连接𝐴𝐷,𝐵𝐸，延长𝐵𝐸交𝐴𝐷于点𝐹．求证：𝐹为𝐴𝐷的中点．
【变式3-3】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A 在直线l 上，∠𝐵𝐴𝐷= 90°,𝐴𝐵= 𝐴𝐷，过点B 作𝐵𝐶⊥𝑙于点C，过点D 作𝐷𝐸⊥𝑙交于点E．得
∠1 = ∠𝐷．又∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，可以推理得到△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸(𝐴𝐴𝑆)．进而得到结论：𝐴𝐶= _____，
𝐵𝐶= _____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，∠∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝑀𝐴𝑁= 90°,𝐴𝐵= 𝐴𝐷,𝐴𝑀= 𝐴𝑁,𝐵𝑀⊥𝑙于点C，𝐷𝐸⊥𝑙于点E，𝑁𝐷与直线𝑙交于点𝑃，
求证：𝑁𝑃= 𝐷𝑃．
【题型4 作平行线构造全等】
【例4】（24-25 八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n 相交于点B，点A，C 分别为直线m，n 上的点，
𝐴𝐵= 𝐵𝐶，且∠𝐴𝐵𝐶= 60°，点E 是直线m 上的一个动点，点D 是直线n 上的一个动点，运动过程中始终满
足𝐷𝐸= 𝐶𝐸．如图当点E 在线段𝐴𝐵上运动，点D 在线段𝐶𝐵的延长线上时，试确定线段𝐵𝐷与𝐴𝐸的数量关系，
并说明理由．
【变式4-1】如图所示：△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐷、𝐸分别是𝐴𝐵及𝐴𝐶延长线上的一点，且𝐵𝐷= 𝐶𝐸，连接𝐷𝐸
交𝐵𝐶于点𝑀．
求证：𝑀𝐷= 𝑀𝐸
【变式4-2】如图，过边长为1 的等边△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上一点P，作𝑃𝐸⊥𝐴𝐶于E，Q 为𝐵𝐶延长线上一点，当
𝑃𝐴= 𝐶𝑄时，连𝑃𝑄交𝐴𝐶边于D，则𝐷𝐸的长为（ ）
A．
1
3
B．
1
2
C．
2
3
D．
2
2
【变式4-3】已知在等腰△ABC 中，AB=AC，在射线CA 上截取线段CE，在射线AB 上截取线段BD，连接
DE，DE 所在直线交直线BC 与点M．请探究：
(1)如图1，当点E 在线段AC 上，点D 在AB 延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD 和线段ME 的数量
关系，并证明你的结论．
(2)如图2，当点E 在CA 的延长线上，点D 在AB 的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？
如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
【题型5 倍长中线构造全等】
【例5】（25-26 八年级上·全国·周测）如图，AD 是△𝐴𝐵𝐶的中线，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于
点F．若𝐸𝐹= 𝐴𝐹，𝐵𝐸= 9，𝐶𝐹= 6，则EF 的长度为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式5-1】（25-26 八年级上·江苏镇江·阶段检测）已知△𝐴𝐵𝐶的𝐴𝐵边长为4，𝐴𝐶边长为8，则𝐵𝐶边上的
中线𝐴𝐷的长度的取值范围（ ）
A．1 < 𝐴𝐷< 5
B．2 < 𝐴𝐷< 6
C．3 < 𝐴𝐷< 7
D．4 < 𝐴𝐷< 8
【变式5-2】（24-25 八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是边𝐴𝐶的中点，∠𝐸𝐷𝐹= 90°，𝐴𝐹= 5
，𝐶𝐸= 2，则𝐸𝐹的取值范围是___________
【变式5-3】（25-26 八年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 4，𝐴𝐶= 3，求𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷
的取值范围．
【方法探索】
如图1，小潘通过倍长中线法解决了这个问题：延长𝐴𝐷到点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸．
（1）求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐵𝐷；
（2）由全等知𝐵𝐸= 𝐴𝐶= 3．在△𝐴𝐵𝐸中，根据三角形的三边关系，得___________ < 𝐴𝐸< ___________，
从而得到𝐴𝐷的取值范围是___________．
【方法应用】
（3）如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶边的中点，点𝐸在𝐴𝐵边上，𝐴𝐷与𝐶𝐸相交于点𝐹，且𝐸𝐴= 𝐸𝐹，求证：𝐴𝐵= 𝐶𝐹．
【能力提升】
（4）如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐸为𝐵𝐶边的中点，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐷，交𝐴𝐶于点𝐹，交𝐵𝐴的延长
线于点𝐺．
①判断𝐴𝐹与𝐴𝐺的数量关系，并说明理由；
②若𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 7，求𝐶𝐹的长．
【题型6 截长构造全等】
【例6】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，且𝐴𝐵= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷，若∠𝐵𝐴𝐶= 81°，则∠𝐴𝐵𝐶的大小为______．
【变式6-1】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷,𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，且𝐴𝐸⊥𝐶𝐸．若𝐴𝐶= 𝑎,𝐵𝐷= 𝑏，则四
边形𝐴𝐵𝐷𝐶的周长为（ ）
A．1.5(𝑎+ 𝑏)
B．2𝑎+ 𝑏
C．3𝑎−𝑏
D．𝑎+ 2𝑏
【变式6-2】如图，已知点I 是△ABC 的角平分线的交点．若AB＋BI＝AC，设∠BAC＝α，则∠AIB＝______
（用含α 的式子表示）
【变式6-3】（25-26 八年级上·河南洛阳·期末）转化和类比迁移是解决几何问题的重要思想方法，前者通过
构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适
当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中．
【等边三角形】（1）如图1，在等边△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷，𝐸，𝐹分别在边𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐴𝐶上，且△𝐷𝐸𝐹也为等边
三角形，求证：△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹．小洛仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，请你完成证明；
【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边△𝐴𝐵𝐶改成Rt △𝐴𝐵𝐶，且∠𝐴= 90°，∠𝐵=60°，其他条件
不变，试探究线段𝐵𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐸之间满足的数量关系，并说明理由；
【任意四边形】（3）如图3，在四边形𝐵𝐷𝐹𝐸中，∠𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸= 60°，𝐹𝐷= 𝐹𝐸，过点𝐹分别作𝐵𝐷，𝐵𝐸的垂
线，垂足分别为𝐴，𝑀，若𝑀𝐸= 2，𝐴𝐷= 3，请直接写出𝐵𝐸的值．
【题型7 补短构造全等】
【例7】如图，在边长为5 的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内作∠𝐸𝐴𝐹= 45°，𝐴𝐸交𝐵𝐶于点𝐸，𝐴𝐹交𝐶𝐷于点𝐹，连接𝐸𝐹．若
𝐷𝐹= 2，则𝐵𝐸的长为（ ）
A．
15
7
B．
4
3
C．
3
4
D．2
【变式7-1】如图，已知𝛥𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°，D 为𝐴𝐵上一点，且𝐴𝐶= 2𝐴𝐷+ 𝐵𝐷,∠𝐵= 4∠𝐴𝐶𝐷，则∠𝐷𝐶𝐵的
度数是_________．
【变式7-2】如图1，等腰△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴< 60°，𝐷为△𝐴𝐵𝐶外部一点，在𝐴𝐵的右侧作
∠𝐴𝐵𝐷= 60°，且∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵．
(1)探究线段𝐴𝐵、𝐶𝐷和𝐵𝐷的数量关系；
(2)若将“∠𝐴< 60°”改为“∠𝐴> 60°”，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，给出正确
的结论，并简要说明理由．
【变式7-3】（25-26 八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加
方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数
量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学
习．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐸，𝐹分别是直线𝐵𝐶，𝐶𝐷上的点．
(1)如图①，若∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，𝐸，𝐹分别在线段𝐵𝐶，𝐶𝐷上，且满足∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐷，试探究线段
𝐸𝐹，𝐵𝐸，𝐷𝐹之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长𝐶𝐵到点𝐺，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹，连接𝐴𝐺，请你
帮该数学小组完成解题过程；
(2)如图②，若∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，点𝐸在𝐶𝐵的延长线上，且𝐵𝐸> 𝐶𝐷，点𝐹在𝐶𝐷的延长线上，若
𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹，请探究∠𝐸𝐴𝐹与∠𝐵𝐴𝐷之间的数量关系，并说明理由．
【题型8 旋转构造全等】
【例8】点M、N 分别在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐶𝐷、𝐵𝐶上，已知△𝑀𝐶𝑁的周长等于正方形𝐴𝐵𝐶𝐷周长的一半，则
∠𝑀𝐴𝑁的度数为______．
【变式8-1】如图，在五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，∠𝐵= ∠𝐸= 90°，∠𝐶𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐸，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，且𝐶𝐷= 3，
𝐴𝐸= 4，则五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸的面积为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【变式8-2】如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐸∥𝐵𝐷，𝐵𝐸= 𝐵𝐷，则∠𝐶𝐷𝐸= ___．
【变式8-3】（24-25 八年级上·辽宁大连·阶段检测）△𝐴𝐵𝐶是边长为3 的等边三角形，△𝐵𝐷𝐶是等腰三角
形，且∠𝐵𝐷𝐶= 120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交𝐴𝐵于点M，交𝐴𝐶于点N，连接𝑀𝑁，则△𝐴𝑀𝑁
的周长为（ ）
A．6
B．5.5
C．6.5
D．5.9
