FY24暑假初二B11证明举例-辅助线添加教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_志高_教师版PDF

11B 证明举例—辅助线添加 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）构造全等三角形 （2）倍长中线 （3）截长补短 2. 考情分析 （1）添加辅助线是几何证明部分，属于图形与几何板块，占期末考分值约20%； （2）主要考察添加辅助线构造全等三角形，以解答题为主； （3）对应教材：八年级上册，第十九章：几何证明； （4）本节课需要运用七年级的全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题．通过 添加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大；通过这节课的学习 一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学 习直角三角形性质奠定基础。 环节 需要时间 自主任务讲解 10分钟 切片1：构造全等三角形 20分钟 切片2：倍长中线 35分钟 切片3：截长补短 35分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——构造全等三角形【建议时长：20分钟】 考点一：构造全等三角形 知识笔记1 常用辅助线 （1）____________________________________； （2）____________________________________； （3）____________________________________． 【填空答案】 （1）联结两个点得到线段； （2）过某一点做平行线或者垂线； （3）构造特殊的三角形. 例题1: （1）（★★★☆☆）如图，已知在ABC 中，AB= AC，D是AB上一点，延长AC 至点E， 使CE =BD．联结DE交BC于点F ，求证：DF =EF． （2）（★★★☆☆）如图，在ABC 中，A=90，AB= AC，BD平分ABC，交AC 于点 D，过C 作BD的垂线交BD的延长线于点E．求证：BD=2CE． 2（3）（★★★☆☆）已知：如图，在ABC 中，ABC =3C，1=2，BE⊥AE． 求证：AC− AB=2BE． 【常规讲解】 （1）【配题说明】添加平行线构造全等三角形 证明：如图， 过点D作DG//AC交BC于点G ， AB= AC ， B=ACB， DG//AC， ACB=DGB，DGF =ECF ， ACB=DGB=B， DG=DB， DGF =ECF  在DFG和△EF中，DFG=EFC ，  DG=EC DFGECF(AAS) DF=EF． （2）【配题说明】延长线段补全三角形 证明：如图所示，延长BA，CE 交于点F ， ABD+ADB=90，CDE+ACF =90， ABD=ACF， 又 AB= AC ， 在RtABD和RtACF中， 3DBA=ACF  AB= AC ，  BAD=CAF RtABDRtACF， BD=CF ， 在RtFBE和RtCBE中， BD平分ABC， EBF =EBC， BEC =90， BEF =BEC =90， BCF =F ， BE =BE， RtFBERtCBE， EF =EC， CF =2CE， 即BD=2CE． （3）【配题说明】延长线段构造特殊的全等三角形 证明：延长BE交AC于M BE⊥AE， AEB=AEM =90 在ABE中， 1+3+AEB=180， 3=90−1 同理，4=90−2 1=2，3=4， AB=AM BE⊥AE， BM =2BE， AC−AB= AC−AM =CM ， 4是BCM 的外角 4=5+C ABC =3C ，ABC =3+5=4+5 43C =4+5=25+C 5=C CM =BM AC− AB=BM =2BE 练习1: 【学习框8】 （1）（★★★☆☆）如图，ABC 中，D是BC边的中点，过点D的直线交AB于点E，交AC 的延长线于点F ，且BE =CF． 求证：AE = AF． （2）（★★★☆☆）已知BC = ED，AB = AE，B =E，F 是CD的中点，求证：AF ⊥CD． （3）（★★★☆☆）如图，在ABC 中，AD平分BAC，CE ⊥ AD于E． 求证：ACE =B+ECD． 【常规讲解】 （1）【配题说明】添加平行线构造全等三角形 证明：过点C 作CG//AB交EF于G ， AEF =CGF ，B=DCG， 在CDG和BDE中 5B=DCG  CD=BD  CDG=BDE CDGBDE(ASA)， CG=BE， BE=CF ， CF =CG， F =CGF， F =AEF， AE=AF． （2）【配题说明】联结线段，构造特殊的全等三角形 解：如图，连接AC 、AD， 在ABC和AED中， AB= AE  B=E ，  BC = ED  ABC AED(SAS)． AC = AD． ACD是等腰三角形． 又 点F 是CD的中点， AF ⊥CD． （3）【配题说明】延长线段构造特殊的全等三角形 证明：延长CE 交AB于F ， CE ⊥ AD， AEC =AEF， AD平分BAC， FAE=CAE， 在FAE和CAE 中 FAE =CAE  AE = AE ，  AEF =AEC 6FAE CAE(ASA)， ACE =AFC ， AFC =B+ECD， ACE =B+ECD． 知识加油站 2——倍长中线【建议时长：35分钟】 考点二：构造倍长中线 知识笔记2 倍长中线 _______________________________________________________________ 【填空答案】 遇到中点，通过倍长过中点的线段构造全等的三角形 例题2: （1）（★★★☆☆）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围_______． A B D C （2）（★★★☆☆）如图， 四边形BEFC 中 D为BC 的中点，EDF =90 ，求证： BE+FC  EF ． 7（3）（★★★☆☆）（2022•杨浦区期末）已知，如图：ABC 中，BD=DC = AC，AE是ADC 的中线，求证：AB=2AE． （4）（★★★☆☆）已知：如图，点 M是△ABC 的边BC 的中点，射线 ME、MF 互相垂直， 且分别交AB、AC于E、F两点，连接EF． ①求证：线段BE、CF、EF能够成一个三角形； ②若∠A=120°，且BE=CF，试判断BE、CF、EF所构成三角形的形状，并证明． 【常规讲解】 （1）延长AD至点E，使得AD=ED，联结BE ∵AD=ED，ADC =EDB，BD = DC ∴△ADC ≌△EDB ∴AC =BE =3 ∵AB−BEAEAB+BE ∴2 AE 8 ∵AE=2AD ∴1AD4 （2）证明： 延长FD于点A，使AD= DF ，连接AB，EA，如图： 在BAD与CFD中， FD= DA  BDA=CDF，  BD=CD  BADCFD(SAS)， CF = BA， DF = DA，EDF =90， EA= EF， EB+BA EA， EB+CF  EF ． 8（3）证明：延长AE到点F ，使FE=AE，联结DF， AE是ADC的中线， DE =CE ， 在FDE和ACE 中， FE = AE  FED=AEC，  DE =CE FDE ACE(SAS)， FD= AC，EDF =C， BD=DC = AC， BD=FD，CDA=CAD， C+CAD=EDF +CDA， ADB=C+CAD，ADF =EDF +CDA， ADB=ADF ， 在ADB和ADF 中， AD= AD  ADB=ADF ，  BD=FD ADBADF(SAS)， AB=AF=2AE． （4）①延长FM至点G，使得MG=MF ，联结BG、GE． ∵MF =MG ，FMC =BMG，BM =MC ∴△BMG≌△CMF，∴CF =BG ∵MF =MG ，FME =EMG，MD=ME ∴△EMG≌△EMF ，∴EF =EG ∵EF =EG，CF =BG ∴线段BE、CF、EF能够成一个三角形； ②等边三角形． ∵∠A=120°， ∴ABC +C =60， ∵BE=CF，CF =BG， ∴BE =BG， 9由（1）可得：MBG =C． ∴EBG =ABC +MBG =ABC +C =60 ∵BE =BG， ∴BE、CF、EF所构成三角形的形状是等边三角形． A E F B M C G 10练习2: 【学习框10】 （1）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区南洋模范期中）在ABC 中，AB=4，AC =6，AD是BC 边上的中线，则AD的取值范围是( ) A．0 AD10 B．1 AD5 C．2 AD10 D．0 AD5 （2）（★★★☆☆）如图，已知ABC 中，D是BC的中点，ED⊥DF ．求证：BE+CF EF ． （3）（★★★★☆）如图，向ABC 外作正方形ABEF和ACGH ，点M 是BC边的中点，求 证：FH =2AM ． （4）（★★★★☆）如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，MF//DA 交BA的延长线于点E，交AC于点F，求证：BE=CF． E A F C D M B 11【常规讲解】 （1）解：延长AD至点E，使得DE=AD， 在ABD和CDE中， AD=DE  ADB=CDE，  BD=CD ABDECD(SAS)， AB=CE ，AD=DE ACE中，AC−AB AE AC+ AB， 2 AE10， 1 AD5． 故选：B． （2）解：延长ED，使DG = DE，连接CG、FG， D为BC的中点， BD=CD， 在BDE和CDG中， BD=CD  BDE=CDG，  ED=GD 12BDE CDG(SAS)， BE=CG， EF =FG， CG+CF FG， BE+CF EF． （3）证明：在AM 的延长线上取点N ，使AM =MN，连接BN 、CN M 是BC的中点，AM =MN， 四边形ABNC是平行四边形ABNC，（对角线互相平分） CN = AB，BAC+ACN =180， 四边形ABEF、ACGH 是正方形， AF=AB，AH = AC ，BAF =CAH =90， AF =CN，BAC+FAH =360−BAF −CAH =180， FAH =ACN ， 在ACN 和AHF 中， AF =CN  FAH =ACN ，  AH = AC ACN AHF (SAS) FH = AN ， AN = AM +MN =2AM ， FH =2AM ． （4）解：延长FM至点N，使得FM=MN，联结BN． 13E A F C D M B N ∵BM =CM ，BMN =CMF ，FM=MN， ∴△BMN≌△CMF ∴BN =CF ，MBN =C，∴CF//BN ∵MF∥DA， ∴AFE =DAC ，BAD=E ∵BAD =DAC ，∴AFE=E ∵CF//BN，∴AFE =N ∵AFE=E，∴N =E，∴BE =BN ∵BN =CF ， ∴BE=CF． 14知识加油站 3——截长补短【建议时长：35分钟】 考点三：截长补短 知识笔记3 截长补短 （1）截长法：过某一点作长边的垂线；在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩 下的线段与另一短边相等； （2）补短法：延长_____________；通过旋转等方式使两短边拼合到一起. 【填空答案】 短边 例题3: （1）（★★★☆☆）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC 中，AD平分BAC，B=2C．求 证：AB+BD= AC．” 李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD= AC，就是要证线段的和差问题，所以有两个 方法： 方法一：“截长法”．如图2，在AC上截取AE = AB，连接DE，只要证BD=________即可， 这就将证明线段和差问题________为证明线段相等问题，只要证出△________△________， 得出B=AED及BD=________，再证出________=________，进而得出ED=EC，则 结论成立．此种证法的基础是“已知AD平分BAC，将ABD沿直线AD对折，使点B落在 AC边上的点E处”成为可能． 方法二：“补短法”．如图3，延长AB至点F ，使BF =BD．只要证AF = AC即可，此时先 证________=C ，再证出△________△________，则结论成立． “截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法． 15（2）（★★★★☆）如图，在四边形ABCD中，AC 平分BAD，过点C 作CE ⊥ AB于点E， 1 并且AE= (AB+ AD)，求ABC+ADC 等于多少度？ 2 （3）（★★★★☆）如图，已知ABC 中，AB= AC，D是CB延长线上一点，ADB=60， E是AD上一点，且有DE=DB．求证：AE =BE+BC． 【常规讲解】 （1）解：方法一、在AC上截取AE = AB，连接DE，如图2: AD平分BAC， BAD=DAC， 在ABD和AED中， AE = AB  BAD=DAC，  AD= AD ABDAED(SAS)， B=AED，BD=DE， 又 B=2C， AED=2C， 而AED=C+EDC =2C ， C =EDC， 16DE =CE ， AB+BD= AE+CE = AC ， 故答案为：EC，转化，ABD，AED，DE，EDC，C； 方法二、如图3，延长AB至点F ，使BF =BD， F =BDF ， ABD=F+BDF=2F， ABD=2C， F =C， 在AFD和ACD中， FAD=CAD  F =C ，  AD= AD AFDACD(AAS)， AC = AF， AC = AB+BF = AB+BD， 故答案为F ，AFD，ACD． （2）法一：解：过C 作CF 垂直AD于F ， AC平分BAD，FAC =EAC ， CE ⊥ AB，CF ⊥ AF ， DFC =CEA=90， 在AFC 和AEC 中， DFC =AEC  FAC =EAC ，  AC = AC AFC AEC(AAS)， AF =AE，CF =CE， 1 AE= (AB+ AD)， 2 2AE=AB+AD， 又 AD=AF−DF，AB=AE+BE，AF = AE， 2AE=AE+BE+AE−DF， 17BE=DF， 在CDF和CEB中， DF =BE  DFC =CEB，  CF =CE CDF CEB(SAS)， ABC =CDF， ADC+CDF =180， ABC+ADC =180． 法二：在AB上截取一点F，使得AF =AD，联结CF ∵AD=AF，DAC =FAC ，AC = AC ∴△DAC ≌△FAC ，∴CD = FC，ADC =AFC 1 1 ∵AE= （AB+AD），∴AF +EF = （AF +EF +EB+AF） D 2 2 ∴EF=FB A C ∵EF=FB，CEF =CEB，CE =CE，∴△CEF ≌△CEB ∴ABC =CFB F ∵CFB +AFC =180，ADC =AFC ，ABC =CFB E B ∴ABC +ADC =180． （3）证明：延长DC到F ，使CF =BD，连接AF ， AB= AC ， ABC =ACB， ABD=ACF， 在ABD和ACF 中， AB= AC  ABD=ACF，  BD=CF ABDACF(SAS)， AD=AF ， 又 ADB=60， ADF是等边三角形， AD=DF， 18AD=AE+DE，DF =DB+BC+CF ， 又 DE=DB，且ADB=60 DEB是等边三角形． DE =BE =DB=CF ， AE+DE =BE+BC+DE， AE =BE+BC． 练习3: 【学习框12】 （1）（★★★★☆）探索与证明： 如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC上的中点，EF ⊥AE于点E，且EF交正方形外 角的平分线CF 于点F ． ①求证：AE =EF ； ②如果点E是BC边上异于B、C 的任意一点，其他条件不变，AE =EF 吗？并证明． （2）（★★★★☆）如图，BAD=CAE =90，AB= AD，AE = AC ，AF ⊥CB，垂足为 F ． ①求证：ABC ADE； ②求FAE 的度数； ③求证：CD=2BF +DE ． 19【常规讲解】 （1）①证明：取AB的中点H ，连接EH ；如图1所示： 1 则AH =BH = AB， 2 四边形ABCD是正方形， B=BCD=90，AB=BC， 点E是BC上的中点， 1 BE=CE= BC， 2 AH =BH =BE =CE ， BEH是等腰直角三角形， BHE =BEH =45， AHE =135， CF是正方形外角的平分线， DCF =45， ECF =90+45=135， AHE =ECF ， AE⊥EF， 2+AEB=90， 1+AEB=90， 1=2， 1=2  在AHE和ECF 中，AH =CE ，  AHE=ECF AHE ECF(ASA)， AE=EF； ②解：AE =EF ；理由如下： 在AB上截取BH =BE，连接HE，如图2所示： 则BHE是等腰直角三角形，AH =CE， BHE=BEH =45， AHE =135， 1+HEA=45， 20由（1）得：ECF =135， AHE =ECF ， AE⊥EF， AEF =90， 1+CEF =45， 1=2， 1=2  在AHE和ECF 中，AH =CE ，  AHE=ECF AHE ECF(ASA)， AE=EF． 证明：（2）① BAD=CAE =90， BAC+CAD=90，CAD+DAE=90， BAC =DAE， 在BAC和DAE中， AB= AD  BAC =DAE，  AC = AE BAC DAE(SAS)； ② CAE =90，AC = AE， E=45， 由（1）知BACDAE， BCA=E=45， AF ⊥BC， CFA=90， CAF =45， FAE =FAC+CAE =45+90=135； ③延长BF到G ，使得FG =FB， AF ⊥BG， AFG=AFB=90， 21在AFB和AFG中， BF =GF  AFB=AFG，  AF = AF AFBAFG(SAS)， AB= AG，ABF =G， BAC DAE， AB=AD，CBA=EDA，CB= ED， AG= AD，ABF =CDA， G=CDA， GCA=DCA=45， 在CGA和CDA中， GCA=DCA  CGA=CDA，  AG= AD CGACDA(AAS)， CG=CD， CG=CB+BF +FG=CB+2BF =DE+2BF ， CD=2BF+DE． 22全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （★★☆☆☆）已知：如图，AM 是ABC的中线，DAM =BAM ，CD//AB． 求证：AB= AD+CD． 【常规讲解】 证明：延长AM ，与CD的延长线相交于点N ． CD//AB， BAM =N． 又 BMA=CMN ，BM =CM ， ABM NCM ． AB=CN ． BAM =N，DAM =BAM ， DAM =N ． AD=ND． AB=CN = AD+CD． 23练习2: （★★★☆☆）已知：如图所示，AB=BC，AD为ABC中BC边的中线，延长BC至E 点， 使CE =BC ，连接AE．求证：DAC =CAE． 【常规讲解】 解：延长AD到F ，使得DF = AD，连接CF． AD=DF，ADB=FDC，BD = DC ， ADBFDC(SAS)， AB=CF ，B=DCF ， BA=BC，CE =CB BAC =BCA，CE =CF， ACE =B+BAC，ACF =DCF +ACB， ACF =ACE， AC= AC ， ACF ACE(SAS)， CAD=CAE． 练习3: （★★★★☆）如图，在四边形 ABCD中，AB= AD，B+D=180，E ，F 分别是边BC， 1 CD上的点，且EAF = BAD，求证：EF=BE+FD． 2 【常规讲解】 证明：延长CB至M ，使BM =FD，连接AM ，如图所示： ABC+D=180，ABM +ABC =180， 24ABM =D， 在ABM与ADF 中， AB= AD  ABM =D，  BM =DF ABM ADF(SAS)， AF=AM，BAM =DAF， 1 EAF = BAD， 2 1 DAF+BAE= BAD=FAE， 2 BAM +BAE=EAF， 即MAE=EAF， 在AME与AFE中， AM = AF  MAE =FAE，  AE = AE AMEAFE(SAS)， EF=ME， ME=BE+BM ， EF=BE+FD． 练习4: （★★★☆☆）已知，如图，BD是ABC的角平分线，AB= AC，若BC =BA+CD，求A的 度数． 【常规讲解】 解：如图，在BC上取一点E ，使BE= AB，连接DE， BC =BA+CD，BC =BE+CE， 25BA+CD=BE+CE， BE = AB， CD=CE， EDC=DEC， 180−C EDC= ， 2 在ABD和EBD中， AB=BE  ABD=EBD，  BD=BD ABDEBD(SAS)， A=DEB， 180−C 1 DEB=EDC+C= +C=90+ C， 2 2 1  A=90+ C， 2 A+ABC+C =180， 1 90+ C+C+C=180， 2 C=36， 1  A=90+ C=108． 2 26关卡二 练习5: （★★★★☆）如图，在四边形 ABCD中，AD/ /BC ．若DAB的角平分线AE交CD于E ， 连接BE，且BE边平分ABC ，得到如下结论：①AEB=90；②BC+ AD= AB ；③ 1 BE= CD；④BC =CE ；⑤若AB= x，则BE的取值范围为0 BE  x，那么以上结论正 2 确的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤ 【常规讲解】 解： AD//BC， ABC+BAD=180， AE、BE分别是BAD与ABC的平分线， 1 1 BAE= BAD，ABE= ABC ， 2 2 1 BAE+ABE= (BAD+ABC)=90， 2 AEB=180−(BAE+ABE)=180−90=90， 故①小题正确； 如图，延长AE交BC延长线于F ， AEB=90， BE⊥AF， BE平分ABC， ABE=FBE， 在ABE与FBE中， ABE=FBE  BE=BE ，  AEB=FEB=90 ABE FBE(ASA)， 27AB=BF，AE=FE， AD//BC， EAD=F， 在ADE与FCE中， EAD=F  AE =FE ，  AED=FEC ADEFCE(ASA)， AD=CF ， AB=BF =BC+CF =BC+ AD，故②小题正确； ADE FCE， CE=DE ，即点E 为CD的中点， BE与CE不一定相等 1 BE与 CD不一定相等，故③小题错误； 2 若AD=BC，则CE是RtBEF斜边上的中线，则BC =CE ， AD与BC 不一定相等， BC 与CE 不一定相等，故④小题错误； BF = AB=x，BE⊥EF， BE的取值范围为0 BE  x，故⑤小题正确． 综上所述，正确的有①②⑤． 故选：D ． 28练习6: （★★★★☆）在三角形ABC中，点D 在线段AC上，DE//BC交AB于点E ，点F 在线段AB 上（点F 不与点 A，E，B重合），连接DF，过点F 作FG ⊥ FD交射线CB于点G ． （1）如图1，点F 在线段BE 上． ①用等式表示EDF与BGF 的数量关系，并说明理由； ②如图，求证：ABC+BFG−EDF =90； （2）当点F 在线段 AE上时，依题意，在图 2 中补全图形，请直接用等式表示EDF与 BGF 的数量关系，不需证明． 【常规讲解】 （1）①解：结论：EDF +BGF =90． 理由：如图1中，过点F 作FH / /BC交AC于点H ． ED//BC， ED//FH ． EDF =1． FH //BC ， BGF =2． FG⊥FD， DFG=90． 1+2=90． EDF +BGF =90． 29②证明：过点F 作FH / /BC交AC于点H ．如图2， ABC =AFH ． ABC =1+3． 3=ABC−1． EDF =1， 3=ABC−EDF ． FG⊥FD， DFG=90． BFG+3=90． 3=90−BFG． 90−BFG=ABC−EDF． ABC+BFG−EDF =90． （2）解：结论：BGF −EDF =90． 理由：设DE交FG 于J．如图3， DE//BC， BGF =FJE， FJE =DEJ +EDF ，DEJ =90， BGF −EDF =90． 当点G 在CB的延长线上时，同法可证EDF +BGF =90，如图4， 30