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专题03 配方法的应用（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 利用配方法求值】....................................................................................................................................1
【题型2 单配方比较大小】....................................................................................................................................3
【题型3 双配方比较大小】....................................................................................................................................5
【题型4 单变量单配方求最值】............................................................................................................................6
【题型5 双变量双配方求最值】............................................................................................................................8
【题型6 双变量先消元再配方求最值】..............................................................................................................10
【题型7 利用配方法判断三角形形状】..............................................................................................................12
【题型8 利用配方法证明恒成立问题】..............................................................................................................15
【题型9 利用配方法在实数范围内分解因式】..................................................................................................19
【题型10 利用配方法解决新定义问题】..............................................................................................................21
【题型1 利用配方法求值】
【例1】（2025 九年级上·广东深圳·专题练习）若将一元二次方程𝑥2−6𝑥−2 = 0化成(𝑥+ 𝑚)2 +𝑛= 0的形式，
则2𝑚−𝑛的值为______．
【答案】5
【分析】本题考查配方法的应用，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．
通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，确定参数m 和n 的值，再代入计算即可．
【详解】解：原方程𝑥2−6𝑥−2 = 0，
配方得𝑥2−6𝑥+ 9−9−2 = 0，
即(𝑥−3)2−11 = 0，
与形式(𝑥+ 𝑚)2 +𝑛= 0对比，
得𝑚= −3，𝑛= −11，
∴2𝑚−𝑛= 2 × (−3)−(−11) = −6 + 11 = 5．
故答案为：5．
【变式1-1】（25-26 九年级上·江苏宿迁·月考）已知多项式𝐴= 𝑥2−𝑥+ (3−2𝑘)，若无论x 取何实数，A 的
值都不是负数，则k 的取值范围是______．
题型归纳
【答案】𝑘≤
11
8
【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解．
【详解】解：𝐴= 𝑥2−𝑥+ (3−2𝑘) = 𝑥−
1
2
2
+3−2𝑘−
1
4 = 𝑥−
1
2
2
+
11
4 −2𝑘，
∵无论x 取何实数，A 的值都不是负数，且𝑥−
1
2
2
≥0，
∴
11
4 −2𝑘≥0，
解得𝑘≤
11
8 ，
故答案为：𝑘≤
11
8 ．
【变式1-2】（24-25 九年级上·江苏泰州·期中）已知𝑚+ 𝑛= 4,𝑚𝑛−𝑝2 +8𝑝≥20，则𝑚𝑛𝑝的值为________．
【答案】16
【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，先由𝑚+ 𝑛= 4得𝑚= 4−𝑛，将其代入𝑚𝑛−𝑝2 +8𝑝≥20
后，将不等式整理并配方得(𝑛−2)2 + (𝑝−4)2 ≤0，根据非负数的性质可得𝑛= 2，𝑝= 4，进而可得𝑚= 2，
再将m、n、p 的值代入𝑚𝑛𝑝即可得答案．
【详解】解：∵𝑚+ 𝑛= 4，
∴𝑚= 4−𝑛，
将𝑚= 4−𝑛代入𝑚𝑛−𝑝2 +8𝑝≥20得：(4−𝑛)𝑛−𝑝2 +8𝑝≥20，
整理后配方可得：(𝑛−2)2 + (𝑝−4)2 ≤0，
∴𝑛−2 = 0，𝑝−4 = 0，
∴𝑛= 2，𝑝= 4，
∴𝑚= 4−2 = 2，
∴𝑚𝑛𝑝= 2 × 2 × 4 = 16，
故答案为：16．
【变式1-3】已知𝑥2 + 𝑦2−2𝑥−4𝑦+ 5 = 0，则
1
𝑥𝑦+
1
(𝑥+1)(𝑦+1) +
1
(𝑥+2)(𝑦+2) +⋯+
1
(𝑥+2023)(𝑦+2023)的值等于
_________．
【答案】
2024
2025
【分析】本题考查了裂项法求和、配方法的应用，学会利用配方法求出未知数的值是解题的关键．利用配
方法把方程𝑥2 + 𝑦2−2𝑥−4𝑦+ 5 = 0变形为(𝑥−1)2 + (𝑦−2)2 = 0，求出𝑥,𝑦的值，再代入到题目中的式子，
利用裂项法求和即可解答．
【详解】解：∵𝑥2 + 𝑦2−2𝑥−4𝑦+ 5 = 0，
∴𝑥2−2𝑥+ 1 + 𝑦2−4𝑦+ 4 = 0，
∴(𝑥−1)2 + (𝑦−2)2 = 0，
∴𝑥−1 = 0，𝑦−2 = 0，
∴𝑥= 1，𝑦= 2，
∴
1
𝑥𝑦+
1
(𝑥+1)(𝑦+1) +
1
(𝑥+2)(𝑦+2) +⋯+
1
(𝑥+2023)(𝑦+2023)，
=
1
1×2 +
1
2×3 +
1
3×4 +⋯+
1
2024×2025，
= 1−
1
2 +
1
2−
1
3 +
1
3−
1
4 +⋯+
1
2024−
1
2025，
= 1−
1
2025，
=
2024
2025．
故答案为：
2024
2025．
【题型2 单配方比较大小】
【例2】（24-25 九年级上·江苏徐州·期中）若m 为实数，𝑃= −𝑚2−𝑚+ 1，𝑄= 𝑚2−5𝑚+ 4，则比较P，Q
的大小可得：______．
【答案】𝑃< 𝑄
【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式，利用作差法和配方法求解即可．
【详解】解：𝑄−𝑃 = (𝑚2−5𝑚+ 4)−(−𝑚2−𝑚+ 1)
= 𝑚2−5𝑚+ 4 + 𝑚2 + 𝑚−1
= 2𝑚2−4𝑚+ 3
= 2(𝑚−1)2 +1，
∵(𝑚−1)2 ≥0，
∴2(𝑚−1)2 +1 > 0，
∴𝑄−𝑃> 0，
∴𝑃< 𝑄，
故答案为：𝑃< 𝑄．
【变式2-1】已知𝑃= 𝑥2−2𝑥，𝑄= 2𝑥−5（x 为任意实数），则关于P，Q 的大小关系判断正确的是（ ）
A．𝑃> 𝑄
B．𝑃= 𝑄
C．𝑃< 𝑄
D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将𝑃−𝑄变形为(𝑥−2)2 +1，再结合
非负性判断即可．
【详解】解：∵𝑃−𝑄= 𝑥2−2𝑥−(2𝑥−5) = 𝑥2−4𝑥+ 5 = (𝑥−2)2 +1 > 0，
∴𝑃> 𝑄，
故选：A．
【变式2-2】（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知𝐴= 2𝑥+ 𝑚，𝐵= 𝑥2 +𝑚+ 4，则比较代数式A 与B 的
值：A________B．（请用“ > ”、“ < ”、“ = ”表示）
【答案】<
【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的
符号，即可得到A 与B 的大小关系．
【详解】解：𝐵−𝐴
= 𝑥2 +𝑚+ 4−2𝑥−𝑚
= 𝑥2−2𝑥+ 4
= (𝑥−1)2 + 3
∵(𝑥−1)2 ≥0，
∴(𝑥−1)2 +3 > 0，即𝐵−𝐴> 0，
∴𝐴< 𝐵．
【变式2-3】（25-26 九年级上·江苏泰州·期中）已知，𝑀= 12𝑚−33，𝑁= 2𝑚2−4𝑚，则
M________N ．（填 “＞”，“ < ”或“ = ”）
【答案】<
【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
通过计算M 与N 的差值，得到−2(𝑚−4)2−1 < 0，从而判断M 恒小于N．
【详解】解：𝑀−𝑁= (12𝑚−33)−(2𝑚2−4𝑚)
= 12𝑚−33−2𝑚2 + 4𝑚
= −2𝑚2 + 16𝑚−33
= −2(𝑚−4)2−1，
∵(𝑚−4)2 ≥0,
∴−2(𝑚−4)2−1 < 0
∴𝑀< 𝑁．
故答案为：< ．
【题型3 双配方比较大小】
【例3】已知𝑥= 𝑎2 + 𝑏2 +18，𝑦= 8𝑏+ 4𝑎−3，则𝑥，𝑦的大小关系是________．
【答案】𝑥> 𝑦
【分析】首先用作差法计算x﹣y，得出的式子利用完全平方公式分类分解因式，进一步判定符号解决问题
即可．
【详解】x﹣y=a2+b2+18﹣（8b+4a﹣3）=a2+b2+18﹣8b﹣4a+3=（a﹣2）2+（b﹣4）2+1．
∵（a﹣2）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴（a﹣2）2+（b﹣4）2+1＞0，也就是x＞y．
故答案为x＞y．
【点睛】本题考查了利用作差法比较代数式的大小，以及配方法的运用，掌握完全平方公式是解决问题的
关键．
【变式3-1】已知𝑎、𝑏是实数，𝑥= 𝑎2 + 𝑏2 +20，𝑦= 4(2𝑏−𝑎)．则𝑥、𝑦的大小关系是（ ）
A．𝑥≤𝑦
B．𝑥≥𝑦
C．𝑥＜𝑦
D．𝑥＞𝑦
【答案】B
【分析】判断𝑥、𝑦的大小关系，把𝑥−𝑦进行整理，判断结果的符号可得𝑥、𝑦的大小关系．考查了配方法的
应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数
大．
【详解】解：𝑥−𝑦= 𝑎2 + 𝑏2 +20−8𝑏+ 4𝑎= (𝑎+ 2)2 + (𝑏−4)2，
∵(𝑎+ 2)2 ≥0，(𝑏−4)2 ≥0，
∴𝑥−𝑦≥0，
∴𝑥≥𝑦，
故选：B
【变式3-2】若𝐴＝𝑥2+2𝑥﹣6𝑦，𝐵＝﹣𝑦2+4𝑥﹣11，则A、B 的大小关系为（ ）
A．A＞B
B．A＜B
C．A≥B
D．A＝B
【答案】A
【分析】利用做差法求出𝐴−𝐵= (𝑥−1)2+(𝑦−3)2+1，然后利用偶数次幂的非负性即可得出(𝑥−1)2+(𝑦−3)2
+1≥1＞0，即可得出𝐴−𝐵＞0，从而得出正确选项．
【详解】解：𝐴−𝐵＝𝑥2+2𝑥﹣6𝑦−(−𝑦2+4𝑥−11)
=𝑥2+2𝑥−6𝑦+𝑦2−4𝑥+11=𝑥2−2𝑥+𝑦2−6𝑦+11
=(𝑥2−2𝑥+1)+(𝑦2−6𝑦+9)+1=(𝑥−1)2+(𝑦−3)2+1
∵(𝑥−1)2≥0，(𝑦−3)2≥0，
∴(𝑥−1)2+(𝑦−3)2+1≥1＞0，
∴𝐴−𝐵＞0，即𝐴＞𝐵，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法的应用，考查了通过做差法判断式子的大小，熟练掌握配方法是本题的关键所
在．
【变式3-3】已知a、b 满足x＝a2+b2+21，y＝4（2b﹣a），则x、y 的大小关系是（ ）
A．x≤y
B．x≥y
C．x＞y
D．x＜y
【答案】C
【分析】用x 减去y，对x 和y 分别配方，利用偶次方的非负性，可判断x-y 的正负，从而问题得解．
【详解】∵x＝a2+b2+21，y＝4（2b﹣a）
∴x﹣y＝a2+b2+21﹣4（2b﹣a）
＝a2+b2+21﹣8b+4a
＝（a+2）2+（b﹣4）2+1
∵（a+2）2≥0，（b﹣4）2≥0
∴x﹣y＞0
∴x＞y
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法在代数式比较大小中的应用，掌握求差法及配方法，是解答本题的关键．
【题型4 单变量单配方求最值】
【例4】代数式𝑥2 +4𝑥+ 5的最小值为________．
【答案】1
【分析】根据完全平方公式将原式变形为(𝑥+ 2)2 +1，然后利用完全平方式的非负性分析其最值．
【详解】解：𝑥2 +4𝑥+ 5 = (𝑥+ 2)2 +1
∵(𝑥+ 2)2 ≥0
∴(𝑥+ 2)2 +1 ≥1
∴代数式𝑥2 +4𝑥+ 5的最小值为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构及其非负性是解题关键．
【变式4-1】二次三项式𝑥2 +5𝑥+ 7的最小值为________．
【答案】
3
4
【分析】多项式常数项7 分为
25
4 +
3
4 ，前三项利用完全平方公式变形，根据完全平方式大于等于0，即可求
出多项式的最小值．
【详解】解：𝑥2 +5𝑥+ 7 = 𝑥2 +5𝑥+
25
4 +
3
4 = 𝑥+
5
2
2
+
3
4⩾
3
4；
则二次三项式x2+5x+7 的最小值是
3
4；
故答案为
3
4.
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式4-2】（25-26 九年级上·全国·课后作业）当𝑥= __时，多项式−2𝑥2−4𝑥+ 3有最大值？求出这个最大
值是 __ ．
【答案】
−1
5
【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得−2𝑥2−4𝑥+ 3 = −2(𝑥+ 1)2 +5，再分析：因为(𝑥+ 1)2 ≥0，
所以−2(𝑥+ 1)2 +5 ≤5，即当𝑥= −1时，多项式−2𝑥2−4𝑥+ 3有最大值，且这个最大值为5，进行作答．
【详解】解：−2𝑥2−4𝑥+ 3
= −2(𝑥2 + 2𝑥) + 3
= −2(𝑥2 + 2𝑥+ 1−1) + 3
= −2(𝑥2 + 2𝑥+ 1) + 5
= −2(𝑥+ 1)2 +5，
∵(𝑥+ 1)2 ≥0，
∴−2(𝑥+ 1)2 ≤0，
则−2(𝑥+ 1)2 +5 ≤5，
即当𝑥= −1时，多项式−2𝑥2−4𝑥+ 3有最大值，且这个最大值为5，
故答案为：−1，5．
【变式4-3】已知x 为全体实数，则−4𝑥2 +7𝑥−2的最大值为_________．
【答案】
17
16
【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即
可．
【详解】解：−4𝑥2 +7𝑥−2 = −4 𝑥−
7
8
2
+
49×4
64 −2 = −4 𝑥−
7
8
2
+
17
16，
∵𝑥−
7
8
2
≥0，
∴−4 𝑥−
7
8
2
+
17
16 ≤
17
16；
∴−4𝑥2 +7𝑥−2的最大值为
17
16．
【题型5 双变量双配方求最值】
【例5】代数式−𝑎2−2𝑏2−2𝑎+ 8𝑏−5的最大值为______________．
【答案】4
【分析】本题考查了配方法，非负数的性质．利用配方法将原式配方成−(𝑎+ 1)2−2(𝑏−2)2 +4，再利用非
负数的性质解答即可．
【详解】解：−𝑎2−2𝑏2−2𝑎+ 8𝑏−5
= −(𝑎2 + 2𝑎+ 1)−2(𝑏2−4𝑏+ 4) + 4
= −(𝑎+ 1)2−2(𝑏−2)2 +4，
当𝑎= −1，𝑏= 2时，代数式−𝑎2−2𝑏2−2𝑎+ 8𝑏−5的最大值为4．
故答案为：4．
【变式5-1】已知𝑀= 8𝑥2−𝑦2 +6𝑥−2，𝑁= 9𝑥2 +4𝑦+ 13，则𝑀−𝑁的值 （ ）
A．为正数
B．为负数
C．为非正数
D．不能确定
【答案】B
【分析】将M-N 整理成-（x-3）2-（y+2）2-2，从而说明M-N 的值为负数．
【详解】∵M-N=8x2-y2+6x-2-（9x2+4y+13）
=-x2+6x-y2-4y-15
=-[（x2-6x+9）+（y2+4y+4）+2]
=-（x-3）2-（y+2）2-2，
∴M-N 的值为负数，
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质--偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过
程中不要改变式子的值．
【变式5-2】不论a，b 为何实数，𝑎2 + 𝑏2−2𝑎−4𝑏+ 8的值（ ）
A．总是正数
B．总是负数
C．可以是零
D．可以是正数也可以是负数
【答案】A
【分析】原式配方后，利用非负数的性质判断即可得到结果．
【详解】解：∵（a-1）2≥0，（b-2）2≥0，
∴原式=（a2-2a+1）+（b2-4b+4）+3=（a-1）2+（b-2）2+3≥3＞0，
则不论a，b 为何实数，a2+b2-2a-4b+8 的值总是正数，
故选：A．
【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式5-3】（24-25 九年级上·重庆丰都·月考）【项目学习】“我们把多项式𝑎2 +2𝑎𝑏+ 𝑏2及𝑎2−2𝑎𝑏+ 𝑏2叫
做完全平方式”．
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再
减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：
求当𝑎取何值，代数式𝑎2 +6𝑎+ 8有最小值？最小值是多少？
解：𝑎2 +6𝑎+ 8 = 𝑎2 +6𝑎+ 32−32 +8 = (𝑎+ 3)2−1
因为(𝑎+ 3)2 ≥0，所以𝑎2 +6𝑎+ 8 ≥−1，
因此，当𝑎= −3时，代数式𝑎2 +6𝑎+ 8有最小值，最小值是−1．
【问题解决】
利用配方法解决下列问题：
（1）当𝑥= ___________时，代数式𝑥2−2𝑥−1有最小值，最小值为___________．
（2）当𝑥取何值时，代数式2𝑥2 +8𝑥+ 12有最小值？最小值是多少？
【拓展提高】
（3）当𝑥，𝑦何值时，代数式5𝑥2−4𝑥𝑦+ 𝑦2 +6𝑥+ 25取得最小值，最小值为多少？
【答案】（1）1；−2；（2）当𝑥=−2时，代数式2𝑥2 +8𝑥+ 12有最小值，最小值是4；（3）当𝑥= −3，𝑦= −6
时，代数式5𝑥2−4𝑥𝑦+ 𝑦2 +6𝑥+ 25有最小值，最小值是16
【分析】本题考查完全平方公式的应用，将各小题中的多项式配方是求解本题的关键．
（1）仿照文中所给的配方法的思路解答即可；
（2）先提取公因数2，再利用文中所给的配方法的思路解答即可；
（3）将5𝑥2−4𝑥𝑦+ 𝑦2 +6𝑥+ 25配方成(2𝑥−𝑦)2 + (𝑥+ 3)2 +16，即可解答．
【详解】解：（1）𝑥2−2𝑥−1=𝑥2−2𝑥+ 1−1−1=(𝑥−1)2−2
因为(𝑥−1)2 ≥0，
所以𝑥2−2𝑥−1 ≥−2，
因此，当𝑥=1时，代数式𝑥2−2𝑥−1有最小值，最小值是−2．
故答案为：1；−2；
（2）2𝑥2 +8𝑥+ 12=2(𝑥2 + 4𝑥+ 6)=2(𝑥2 + 4𝑥+ 4 + 2)=2(𝑥+ 2)2 +4，
因为(𝑥+ 2)2 ≥0，
所以2𝑥2 +8𝑥+ 12 ≥4，
因此，当𝑥=−2时，代数式2𝑥2 +8𝑥+ 12有最小值，最小值是4；
（3）5𝑥2−4𝑥𝑦+ 𝑦2 +6𝑥+ 25=4𝑥2−4𝑥𝑦+ 𝑦2 + 𝑥2 +6𝑥+ 9 + 16=(2𝑥−𝑦)2 + (𝑥+ 3)2 +16
因为(2𝑥−𝑦)2 ≥0，(𝑥+ 3)2 ≥0，
所以5𝑥2−4𝑥𝑦+ 𝑦2 +6𝑥+ 25 ≥16，
因此，当2𝑥−𝑦= 0，𝑥+ 3 = 0，即𝑥= −3，𝑦= −6时，代数式5𝑥2−4𝑥𝑦+ 𝑦2 +6𝑥+ 25有最小值，最小值
是16．
【题型6 双变量先消元再配方求最值】
【例6】已知实数x，y 满足2𝑥+ 𝑦= 4，则代数式𝑥𝑦−2𝑥+ 2𝑦−4的最大值为______．
【答案】
9
2
【分析】将𝑦= 4−2𝑥代入代数式，利用配方法可得−2(𝑥−
1
2 )
2
+
9
2，利用平方的非负性及不等式的基本性质
即可求解．
【详解】解：由题意得：𝑦= 4−2𝑥，
将𝑦= 4−2𝑥代入代数式得：
𝑥𝑦−2𝑥+ 2𝑦−4
= 𝑥(4−2𝑥)−2𝑥+ 2(4−2𝑥)−4
= −2𝑥2−2𝑥+ 4
= −2 𝑥2−𝑥+ (
1
2 )
2
−(
1
2 )
2
+ 4
= −2(𝑥−
1
2 )
2
+
9
2，
∵2(𝑥−
1
2 )
2
≥0，
∴−2(𝑥−
1
2 )
2
≤0，
∴−2(𝑥−
1
2 )
2
+
9
2 ≤
9
2，
∴原代数式的最大值为：
9
2，
故答案为：
9
2．
【点睛】本题考查了配方法的应用、不等式的性质及平方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．
【变式6-1】（24-25 九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数𝑎，𝑏满足𝑎+ 𝑏2 = 1，则代数式𝑎2−4𝑏2 +12的最小
值是______．
【答案】4
【分析】此题考查了配方法的应用与平方式的非负性，解题的关键是熟练掌握配方法．由题意得𝑏2 = 1−𝑎，
代入代数式𝑎2−4𝑏2 +12可得(𝑎+ 2)2 +4，由此可知代数式𝑎2−4𝑏2 +12的最小值是4．
【详解】解：∵𝑎+ 𝑏2 = 1，
∴𝑏2 = 1−𝑎≥0，则𝑎≤1，
∴𝑎2−4𝑏2 + 12
= 𝑎2−4(1−𝑎) + 12
= 𝑎2 + 4𝑎−4 + 12
= 𝑎2 + 4𝑎+ 8
= (𝑎+ 2)2 +4，
∵𝑎≤1，
∴(𝑎+ 2)2 ≥0（当𝑎= −2时取等号），
则(𝑎+ 2)2 +4 ≥4，
∴当𝑎= −2时，代数式𝑎2−4𝑏2 +12有最小值等于4，
故答案为：4．
【变式6-2】已知实数𝑥，𝑦满足𝑥2 +3𝑥+ 𝑦−3 = 0，则𝑥+ 𝑦的最大值为______.
【答案】4
【分析】根据已知等式，可用𝑥表示出𝑥+ 𝑦．再利用二次函数的性质可求得其最大值．
【详解】解：∵𝑥2 +3𝑥+ 𝑦−3 = 0，
∴𝑦= −𝑥2−3𝑥+ 3，
∴𝑥+ 𝑦= −𝑥2−2𝑥+ 3 = −(𝑥+ 1)2 +4，
∴当𝑥= −1时，𝑥+ 𝑦有最大值4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查二次函数的最值，用𝑥表示出𝑥+ 𝑦是解题的关键，注意函数性质的应用．
【变式6-3】已知实数m，n 满足𝑚−𝑛2 = 2，则代数式𝑚2 +2𝑛2 +4𝑚−3的最小值等于（ ）
A．9
B．6
C．−8
D．−16
【答案】A
【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，把𝑚−𝑛2 = 2变形为𝑛2 = 𝑚−2 ≥0，代入所求式子，
根据配方法进行变形，利用偶次方的非负性解答即可．
【详解】解：∵𝑚−𝑛2 = 2，
∴𝑛2 = 𝑚−2 ≥0，𝑚≥2，
∴𝑚2 +2𝑛2 +4𝑚−3
= 𝑚2 + 2𝑚−4 + 4𝑚−3
= 𝑚2 + 6𝑚+ 9−16
= (𝑚+ 3)2−16，
则代数式𝑚2 +2𝑛2 +4𝑚−3的最小值等于(2 + 3)2−16 = 9．
故选：A．
【题型7 利用配方法判断三角形形状】
【例7】已知三角形三边长为a、b、c，且满足𝑎2−4𝑏= 7， 𝑏2−4𝑐= −6， 𝑐2−6𝑎= −18，则此三角形的
形状是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．无法确定
【答案】A
【详解】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：
a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等
腰三角形．故选A．
点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．
【变式7-1】先阅读，再解决问题，例题：若𝑚2+2𝑚𝑛+2𝑛2−6𝑛+9=0，求𝑚和𝑛的值．
解：∵𝑚2+2𝑚𝑛+2𝑛2−6𝑛+9=0，
∴(𝑚+𝑛)2+(𝑛−3)2=0，
∴𝑚+𝑛=0，𝑛−3=0，
∴𝑛=3，𝑚=−3．
(1)若𝑥2+2𝑦2−2𝑥𝑦+4𝑦+4=0，求𝑥𝑦的值；
(2)已知Δ𝐴𝐵𝐶的三边长𝑎，𝑏，𝑐都是正整数，且满足𝑎2+𝑏2−6𝑎−6𝑏+18+|3−𝑐|=0，请问Δ𝐴𝐵𝐶是怎样形状的
三角形？
(3)根据以上的方法是说明代数式：𝑥2+4𝑥+𝑦2−8𝑦+21的值一定是一个正数．
【答案】(1)
1
4；
(2)△ABC 是等边三角形；
(3)答案见解析．
【分析】（1）将原式配方得(𝑥−𝑦)2+(𝑦+2)2=0，求出𝑥，𝑦的值，进而求解．
（2）将原式配方得(𝑎−3)2+(𝑏−3)2+|3−𝑐|=0，求出𝑎，𝑏，𝑐的值进而求解．
（3）利用配方法可以对式子𝑥2+4𝑥+𝑦2−8𝑦+21化简，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：𝑥2+2𝑦2−2𝑥𝑦+4𝑦+4=𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2+𝑦2+4𝑦+4=(𝑥−𝑦)2+(𝑦+2)2=0，
∴𝑥−𝑦=0，𝑦+2=0，
∴𝑥=𝑦=−2，
∴𝑥𝑦=(−2)−2=
1
4．
（2）解：𝑎2+𝑏2−6𝑎−6𝑏+18+|3−𝑐|
=(𝑎−3)2+(𝑏−3)2+|3−𝑐|
=0，
∴𝑎=𝑏=𝑐=3，
∴Δ𝐴𝐵𝐶是等边三角形；
（3）解：∵𝑥2+4𝑥+𝑦2−8𝑦+21
=𝑥2+4𝑥+4+𝑦2−8𝑦+16+1
=(𝑥+2)2+(𝑦−4)2+1⩾1，
故𝑥2+4𝑥+𝑦2−8𝑦+21的值一定是一个正数．
【点睛】本题考查配方法的应用、非负数的性质：绝对值、偶次方，解题的关键是明确如何运用配方法化
简题目中所求的问题，根据三角形的三边可以判断三角形的形状．
【变式7-2】已知a，b，c 是△ABC 的三边，若a，b，c 满足a2－6a＋b2－8b＋𝑐−5＋25＝0，则△ABC 是
_____________三角形；若a，b，c 满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC 是_________三角形．
【答案】
直角;
等边.
【分析】把25 分成9、16，利用配方法把a2－6a＋b2－8b＋c−5＋25＝0 改写为(a-3)2+(b-4)2+ c−5=0，利
用非负数的性质求出a、b、c 的值，根据勾股定理逆定理判断即可；利用配方法把a2＋b2＋c2－ab－bc－ac
＝0 改写为(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,再利用非负数的性质,可分别求出a、b、c 的关系.
【详解】∵a2－6a＋b2－8b＋c−5＋25＝0，
∴(a-3)2+(b-4)2+ c−5=0，
∴a=3，b=4，c=5，
∵32+42=52，
∴△ABC 是直角三角形；
∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，
∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,
∴a=b，b=c，a=c，
∴a=b=c，
∴△ABC 是等边三角形.
故答案为直角；等边.
【点睛】此题考查了配方法的应用、勾股定理逆定理、非负数的性质,解题的关键是注意配方法的步骤,在变
形的过程中不要改变式子的值.
【变式7-3】若△𝐴𝐵𝐶的三边𝑎、𝑏、𝑐满足条件：𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 +338 = 10𝑎+ 24𝑏+ 26𝑐，则这个三角形最
长边上的高为________．
【答案】
60
13
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长．
首先把已知条件写出三个完全平方公式的和的形式，再根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理
的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高．
【详解】解：∵𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 +338 = 10𝑎+ 24𝑏+ 26𝑐，
∴(𝑎−5)2 + (𝑏−12)2 + (𝑐−13)2 = 0，
∴𝑎−5 = 0,𝑏−12 = 0,𝑐−13 = 0，
∴𝑎= 5,𝑏= 12,𝑐= 13，
∵52 + 122 = 132，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
∴这个三角形最长边上的高为：5 × 12 ÷ 13 =
60
13．
故答案为：
60
13．
【题型8 利用配方法证明恒成立问题】
【例8】【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的多项式变形为𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑛的形
式，我们把这样的变形方法叫做多项式𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能
对一些多项式进行因式分解或有关运算．
例如：对于𝑎2 +6𝑎+ 8．（1）用配方法分解因式；（2）当𝑎取何值，代数式𝑎2 +6𝑎+ 8有最小值？最小值
是多少？
解：（1）原式= 𝑎2 +6𝑎+ 8 + 1−1
= 𝑎2 + 6𝑎+ 9−1
= (𝑎+ 3)2−1
= [(𝑎+ 3) + 1][(𝑎+ 3)−1]
= (𝑎+ 4)(𝑎+ 2)．
（2）由（1）得：𝑎2 +6𝑎+ 8 = (𝑎+ 3)2−1，
∵ (𝑎+ 3)2 ≥0，
∴(𝑎+ 3)2−1 ≥−1，
∴当𝑎= −3时，代数式𝑎2 +6𝑎+ 8有最小值，最小值是−1．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：𝑥2 +2𝑥−8；
(2)试说明不论𝑚为何值，代数式−𝑚2 +4𝑚−5恒为负数；
(3)若已知(𝑎+ 𝑐)(𝑏−𝑎) =
1
4(𝑏+ 𝑐)2且𝑎≠0，求
𝑏−𝑐
𝑎的值．
【答案】(1)(𝑥+ 4)(𝑥−2)
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）根据题干信息，利用配方法分解因式即可；
（2）先利用配方法将−𝑚2 +4𝑚−5变形为−(𝑚−2)2−1，根据二次方的非负性，求出−𝑚2 +4𝑚−5的值恒为
负数；
（3）先将(𝑎+ 𝑐)(𝑏−𝑎) =
1
4(𝑏+ 𝑐)2变形为(2𝑎−𝑏+ 𝑐)2 = 0，得出2𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，即可求出
𝑏−𝑐
𝑎= 2．
【详解】（1）解：𝑥2 +2𝑥−8
= 𝑥2 + 2𝑥+ 1−9
= (𝑥+ 1)2−9
= (𝑥+ 1 + 3)(𝑥+ 1−3)
= (𝑥+ 4)(𝑥−2)．
（2）解：∵−𝑚2 +4𝑚−5
= −(𝑚2−4𝑚+ 4)−1
= −(𝑚−2)2−1，
∵(𝑚−2)2 ≥0，
∴−(𝑚−2)2 ≤0，
∴−(𝑚−2)2−1 ≤−1 < 0
∴不论𝑚为何值，代数式−𝑚2 +4𝑚−5恒为负数．
（3）解：∵(𝑎+ 𝑐)(𝑏−𝑎) =
1
4(𝑏+ 𝑐)2，
∴𝑎𝑏−𝑎2 +𝑏𝑐−𝑎𝑐=
1
4(𝑏2 +2𝑏𝑐+ 𝑐2)，
∴4𝑎𝑏−4𝑎2 +4𝑏𝑐−4𝑎𝑐= 𝑏2 +2𝑏𝑐+ 𝑐2，
∴(4𝑎2−4𝑎𝑏+ 𝑏2) + 2(2𝑎−𝑏)𝑐+ 𝑐2 = 0，
∴(2𝑎−𝑏)2 +2(2𝑎−𝑏)𝑐+ 𝑐2 = 0，
∴ (2𝑎−𝑏+ 𝑐)2 = 0，
∴ 2𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，
∴ 2𝑎= 𝑏−𝑐，
∵𝑎≠0，
∴
𝑏−𝑐
𝑎= 2．
【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式𝑎2 ± 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎± 𝑏)2．
【变式8-1】（24-25 九年级上·甘肃·期中）用配方法求证：代数式4𝑥2−8𝑥+ 9的值恒为正数．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到4𝑥2−8𝑥+ 9 = 4(𝑥−1)2 +5，再根据偶次方的非负
性得到4(𝑥−1)2 +5 ≥5，据此可证明结论．
【详解】证明：4𝑥2−8𝑥+ 9
= (4𝑥2−8𝑥+ 4) + 5
= 4(𝑥2−2𝑥+ 1) + 5
= 4(𝑥−1)2 +5，
∵(𝑥−1)2 ≥0，
∴4(𝑥−1)2 ≥0，
∴4(𝑥−1)2 +5 ≥5，
∴代数式4𝑥2−8𝑥+ 9的值恒为正数．
【变式8-2】记𝑧= 3𝑥(3𝑦−𝑥)−(4𝑥−3𝑦)(𝑥+ 3𝑦)．
(1)若𝑥 , 𝑦均为整数，求证：当𝑥是3的倍数时，𝑧能被9整除；
(2)若𝑦= 𝑥+ 1，求𝑧的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)−
63
2
【分析】（1）化简得𝑧= −7𝑥2 +9𝑦2，设𝑥= 3𝑘（𝑘为整数），可得𝑧= −7(3𝑘)2 +9𝑦2 = 9(−7𝑘2 + 𝑦2)，
进而即可求证；
（2）将𝑦= 𝑥+ 1代入𝑧= −7𝑥2 +9𝑦2，可得𝑧= −7𝑥2 +9(𝑥+ 1)2 = 2 𝑥+
9
2
2
−
63
2 ≥−
63
2 ，即可求解；
本题考查了整式的乘法运算，配方法的应用，正确计算是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵𝑧= 3𝑥(3𝑦−𝑥)−(4𝑥−3𝑦)(𝑥+ 3𝑦)，
∴化简得，𝑧= −7𝑥2 +9𝑦2，
∵𝑥为整数，且是3的倍数，
∴可设𝑥= 3𝑘（𝑘为整数），
∴𝑧= −7(3𝑘)2 +9𝑦2 = 9(−7𝑘2 + 𝑦2)，
又∵𝑦为整数，
∴−7𝑘2 + 𝑦2也为整数，
∴𝑧能被9整除；
（2）解：将𝑦= 𝑥+ 1代入𝑧= −7𝑥2 +9𝑦2得，
𝑧= −7𝑥2 + 9(𝑥+ 1)2
= −7𝑥2 + 9𝑥2 + 18𝑥+ 9
= 2𝑥2 + 18𝑥+ 9
= 2 𝑥+
9
2
2
−
63
2 ≥−
63
2 ，
∴𝑧的最小值为−
63
2 ．
【变式8-3】（24-25 九年级上·河北沧州·月考）已知 𝑀= 𝑥2−𝑥+ 1．
(1)当𝑀= 3时，求x 的值；
(2)若𝑀= 3𝑥2 +1，求M 的值；
(3)求证：𝑀> 0．
【答案】(1)𝑥1 = 2，𝑥2 = −1
(2)1 或
7
4
(3)见解析
【分析】本题考查解一元二次方程，代数式求值，配方法的应用：
（1）将𝑀的值代入，解一元二次方程即可；
（2）令M 相等，解一元二次方程即可；
（3）将M 配方，即可得．
【详解】（1）解：当𝑀= 3时，𝑥2−𝑥+ 1 = 3
即𝑥2−𝑥−2 = 0，
(𝑥−2)(𝑥+ 1) = 0，
∴𝑥1 = 2，𝑥2 = −1；
（2）解：若𝑀= 3𝑥2 +1，则𝑥2−𝑥+ 1 = 3𝑥2 +1
即2𝑥2 +𝑥= 0，
解得𝑥1 = 0，𝑥2 = −
1
2，
当𝑥= 0时，𝑀= 1，
当𝑥= −
1
2时，𝑀= 3 × −
1
2
2
+1 =
3
4 +1 =
7
4，
综上可得，M 的值为1 或
7
4；
（3）证明：𝑀= 𝑥2−𝑥+ 1 = 𝑥−
1
2
2
+
3
4，
∵𝑥−
1
2
2
≥0，
∴𝑥−
1
2
2
+
3
4 ≥
3
4，
∴𝑀> 0．
【题型9 利用配方法在实数范围内分解因式】
【例9】在实数范围内分解因式：𝑥2−5𝑥+ 3 = ________．
【答案】𝑥−
5
2 +
13
2
𝑥−
5
2 −
13
2
【分析】本题考查因式分解，掌握配方法和平方差法因式分解是解题的关键．先配方再用平方差公式法，
进行因式分解即可．
【详解】解：𝑥2−5𝑥+ 3 = 𝑥2−5𝑥+
25
4 −
13
4 = 𝑥−
5
2
2
−
13
4 = 𝑥−
5
2 +
13
2
𝑥−
5
2 −
13
2
．
故答案为：𝑥−
5
2 +
13
2
𝑥−
5
2 −
13
2
．
【变式9-1】在实数范围内分解因式：𝑥2 +6𝑥−5 = _________．
【答案】(𝑥+ 3 +
14)(𝑥+ 3−14)
【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。
【详解】解：𝑥2 +6𝑥−5 = 𝑥2 +6𝑥+ 9−9−5 = (𝑥+ 3)2−14，
根据平方差公式可得(𝑥+ 3)2−14 = (𝑥+ 3 +
14)(𝑥+ 3−14)，
故𝑥2 +6𝑥−5 = (𝑥+ 3 +
14)(𝑥+ 3−14)，
故答案为：(𝑥+ 3 +
14)(𝑥+ 3−14)．
【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现
无理数为止是解题的关键．
【变式9-2】在实数范围内分解因式2𝑥2−8𝑥𝑦+ 5𝑦2等于（）
A．2 𝑥−
4+ 6
2
𝑥−
4−6
2
B．𝑥−
4+ 6
2
𝑦
𝑥−
4−6
2
𝑦
C．2 𝑥−
4+ 6
2
𝑦
𝑥−
4−6
2
𝑦
D．2𝑥−4𝑦−6𝑦
2𝑥−4𝑦+
6𝑦
【答案】C
【分析】本题考查实数范围内分解因式即实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无
理数的形式来表示），注意配方．先提公因式得2 𝑥2−4𝑥𝑦+
5
2 𝑦2 ，再运用配方法变形得2
(𝑥−2𝑦)2−
3
2 𝑦2 ，最后运用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：2𝑥2−8𝑥𝑦+ 5𝑦2
= 2 𝑥2−4𝑥𝑦+
5
2 𝑦2
= 2 𝑥2−4𝑥𝑦+ 4𝑦2−
3
2 𝑦2
= 2 (𝑥−2𝑦)2−
3
2 𝑦2
= 2 (𝑥−2𝑦)2−
6
2 𝑦
2
= 2 𝑥−
4 +
6
2
𝑦
𝑥−
4−6
2
𝑦
故选：C
【变式9-3】【阅读材料】
利用完全平方公式，可以将多项式𝑎3𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐均为常数且𝑎≠0）变形为𝑎(𝑥+ 𝑚)2 +𝑛的形式，
如𝑥2−2𝑥−8 = 𝑥2−2𝑥+ 1−1−8 = (𝑥2−2𝑥+ 1)−9 = (𝑥−1)2−9．我们把这样的变形方法叫做多项式𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：𝑥2−2𝑥−8 =
(𝑥−1)2−9 = (𝑥−1 + 3)(𝑥−1−3) = (𝑥+ 2)(𝑥−4)．
【问题解决】
(1)用多项式的配方法将𝑥2 +6𝑥−1化成(𝑥+ 𝑚)2 +𝑛的形式是 ，当多项式𝑥2 +6𝑥−1的值为−10时，𝑥的值为 ．
(2)把多项式𝑥2−8𝑥+ 12进行分解因式．
【答案】(1)(𝑥+ 3)2−10，−3；
(2)(𝑥−2)(𝑥−6)．
【分析】（1）根据配方法即可将𝑥2 +6𝑥−1化成(𝑥+ 𝑚)2 +𝑛的形式，由(𝑥+ 3)2−10 = −10，解方程即可求
出𝑥的值；
（2）利用配方法把原式转化为(𝑥−4)2−4，再利用平方差公式因式分解即可；
本题考查了配方法，因式分解，掌握配方法是解题的关键．
【详解】（1）解：𝑥2 +6𝑥−1 = 𝑥2 +6𝑥+ 9−9−1 = (𝑥+ 3)2−10，
当𝑥2 +6𝑥−1的值为−10时，
则(𝑥+ 3)2−10 = −10，
∴(𝑥+ 3)2 = 0，
∴𝑥= −3，
故答案为：(𝑥+ 3)2−10，−3；
（2）解：𝑥2−8𝑥+ 12 = 𝑥2−8𝑥+ 16−16 + 12
= (𝑥−4)2−4，
= (𝑥−4 + 2)(𝑥−4−2)，
= (𝑥−2)(𝑥−6)．
【题型10 利用配方法解决新定义问题】
【例10】（24-25 九年级上·广东阳江·月考）小明在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x
的多项式𝑥2−4𝑥+ 7，由于𝑥2−4𝑥+ 7 = (𝑥−2)2 +3，所以当𝑥−2取任意一对互为相反数的数时，多项式𝑥2
−4𝑥+ 7的值是相等的，例如，当𝑥−2 =± 1，即𝑥= 3或1 时，𝑥2−4𝑥+ 7的值均为4：当𝑥−2 =± 2，即𝑥= 4
或0 时，𝑥2−4𝑥+ 7的值均为7，于是小明给出一个定义：关于x 的多项式，若当𝑥−𝑚取任意一对互为相反
数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于𝑥= 𝑚对称，例如𝑥2−4𝑥+ 7关于𝑥= 2对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式𝑥2−2𝑥+ 5关于𝑥= _______对称；若关于x 的多项式𝑥2 +2𝑛𝑥+ 3关于𝑥= 6对称，求n 的值；
(2)若整式(𝑥2 + 6𝑥+ 9)(𝑥2−4𝑥+ 4)关于𝑥= 𝑎对称，求实数a 的值．
【答案】(1)1；−6
(2)−
1
2
【分析】本题考查了配方法的应用．
（1）依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解；依据题意，由多项式𝑥2 +2𝑛𝑥+ 3 = (𝑥+ 𝑛)2−𝑛2 +3，又
多项式关于𝑥= 6对称，从而可以得解；
（2）将整式(𝑥2 + 6𝑥+ 9)(𝑥2−4𝑥+ 4)进行配方，然后根据定义可求解．
【详解】（1）解：∵𝑥2−2𝑥+ 5 = (𝑥−1)2 +4，
∴多项式𝑥2−2𝑥+ 5关于𝑥= 1对称；
由题意得多项式𝑥2 +2𝑛𝑥+ 3 = (𝑥+ 𝑛)2−𝑛2 +3，
∴多项式𝑥2 +2𝑛𝑥+ 3关于𝑥= −𝑛对称，
∵多项式𝑥2 +2𝑛𝑥+ 3关于𝑥= 6对称，
∴−𝑛= 6，
∴𝑛= −6；
故答案为：1，−6；
（2）解：(𝑥2 + 6𝑥+ 9)(𝑥2−4𝑥+ 4)
= (𝑥+ 3)2(𝑥−2)2
= [(𝑥+ 3) (𝑥−2)]2
= (𝑥2 + 𝑥−6)2
=
𝑥+
1
2
2
−
25
4
2
，
∴(𝑥2 + 6𝑥+ 9)(𝑥2−4𝑥+ 4)关于𝑥= −
1
2对称，
又∵(𝑥2 + 6𝑥+ 9)(𝑥2−4𝑥+ 4)关于𝑥= 𝑎对称，
∴𝑎= −
1
2．
【变式10-1】（24-25 九年级上·四川内江·月考）对于有理数a，b，定义𝑚𝑖𝑛{𝑎,𝑏}的含义为：当𝑎≥𝑏时，
𝑚𝑖𝑛{𝑎,𝑏} = 𝑏；当𝑎≤𝑏时，𝑚𝑖𝑛{𝑎,𝑏} = 𝑎．若min{40,12𝑚−4𝑛−𝑚2−𝑛2} = 40，则𝑚𝑛的值等于________．
【答案】
1
36
【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
根据min{40,12𝑚−4𝑛−𝑚2−𝑛2} = 40，得出12𝑚−4𝑛−𝑚2−𝑛2与40 的大小关系，从而确定m，n 的值即可得
出𝑚𝑛的值．
【详解】解：∵min{40,12𝑚−4𝑛−𝑚2−𝑛2} = 40，
∴40 ≤12𝑚−4𝑛−𝑚2−𝑛2；
∴𝑚2 + 𝑛2 +4𝑛−12𝑚+ 40 ≤0
∴(𝑚−6)2 + (𝑛+ 2)2 ≤0，
∵(𝑚−6)2 + (𝑛+ 2)2 ≥0，
∴𝑚−6 = 0,𝑛+ 2 = 0，
∴𝑚= 6,𝑛= −2，
∴𝑚𝑛= 6−2 =
1
36
故答案为：
1
36．
【变式10-2】（24-25 九年级上·广西南宁·月考）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被
用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成𝑎2 + 𝑏2（a，b 为整数）的形式，则称这个数为“完美
数”．例如，5 是“完美数”，理由：因为5 = 12 + 22，所以5 是“完美数”．若𝑆= 𝑥2 +9𝑦2 +2𝑥−12𝑦+ 𝑘（x，
y 是整数，k 是常数），且为“完美数”，则k 的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】此题考查了配方法和完全平方公式的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．运用题中的新定
义结合配方的方法确定出所求即可．
【详解】解：∵𝑆= 𝑥2 +9𝑦2 +2𝑥−12𝑦+ 𝑘= (𝑥+ 1)2 + (3𝑦−2)2 +𝑘−5，且为“完美数”，
∴𝑘−5 = 0，
∴𝑘= 5；
故选：C．
【变式10-3】阅读材料：把形如𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方
法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即𝑎2 +2𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)2．配方法在代数式求值，解方程，
最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①我们可以将代数式𝑎2 +6𝑎+ 10进行变形，其过程如下：
𝑎2 + 6𝑎+ 10 = (𝑎2 + 6𝑎) + 10 = (𝑎2 + 6𝑎+ 9) + 10−9 = (𝑎+ 3)2 + 1
∵(𝑎+ 3)2 ≥0，
∴(𝑎+ 3)2 +1 ≥1，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A 与B 的差为常数，且这个常数为正数，则称A 是B 的“雅常式”，这
个常数称为A 关于B 的“雅常值”．如多项式𝐴= 𝑥2 +2𝑥+ 1，𝐵= (𝑥+ 4)(𝑥−2)，𝐴−𝐵= (𝑥2 + 2𝑥+ 1)−
(𝑥+ 4)(𝑥−2) = (𝑥2 + 2𝑥+ 1)−(𝑥2 + 2𝑥−8) = 9，
则A 是B 的“雅常式”，A 关于B 的“雅常值”为9．
(1)已知多项式𝐶= 𝑥2 +𝑥−1，𝐷= (𝑥+ 2)(𝑥−1)，判断C 是否为D 的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，
请证明并求出C 关于D 的“雅常值”；
(2)已知多项式𝑀= (𝑥−𝑎)2，𝑁= 𝑥2−2𝑥+ 𝑏（a，b 为常数），M 是N 的“雅常式”，且当x 为实数时，N 的
最小值为−2，求M 关于N 的“雅常值”．
【答案】(1)是，证明见解析
(2)M 关于N 的“雅常值”为2
【分析】（1）先计算𝐶−𝐷= 1，再根据“雅常式”的定义即可判断C 是D 的“雅常式”，并求出C 关于D 的“雅
常值”；
（2）先求出𝑀−𝑁= (−2𝑎+ 2)𝑥+ 𝑎2−𝑏，由M 是N 的“雅常式”，得出−2𝑎+ 2 = 0，得出𝑎= 1，由x 为实
数时，N 的最小值为−2，得出−1 + 𝑏= −2，求出𝑏= −1，进而求出𝑀−𝑁= 2．
【详解】（1）∵𝐶−𝐷= 𝑥2 +𝑥−1−(𝑥+ 2)(𝑥−1)
= (𝑥2 + 𝑥−1)−(𝑥2 + 𝑥−2)
= 1，
∴C 是D 的“雅常式”，“雅常值”为1；
（2）∵M 是N 的“雅常式”，
∴𝑀−𝑁= (𝑥−𝑎)2−𝑥2−2𝑥+ 𝑏
= (𝑥2−2𝑎𝑥+ 𝑎2)−(𝑥2 + 2𝑥−𝑏)
= (−2𝑎+ 2)𝑥+ 𝑎2−𝑏，
∴−2𝑎+ 2 = 0，
∴𝑎= 1，
∵𝑁= 𝑥2−2𝑥+ 𝑏= (𝑥−1)2−1 + 𝑏，且x 为实数时，N 的最小值为−2，
∴−1 + 𝑏= −2，
∴𝑏= −1，
∴𝑀−𝑁= 𝑎2−𝑏= 1−(−1) = 2，
∴M 关于N 的“雅常值”为2．
【点睛】本题考查了配方法的应用、整式的加减运算、新定义和因式分解，理解A 是B 的“雅常式”的定义
是解决本题的关键．
