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专题04 根的判别式的综合应用（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 判断不含参方程根的情况】....................................................................................................................1
【题型2 判断含参方程根的情况】........................................................................................................................1
【题型3 二次项系数为常数——知根的情况求参数的取值范围】....................................................................2
【题型4 二次项系数含参——知根的情况求参数的取值范围】........................................................................2
【题型5 根的判别式联系代数】............................................................................................................................3
【题型6 根的判别式融汇函数】............................................................................................................................3
【题型7 根的判别式结合几何】............................................................................................................................4
【题型1 判断不含参方程根的情况】
【例1】（2025·贵州贵阳·一模）一元二次方程𝑥2 +3𝑥+ 1 = 0________实数根（填“有”或“没有”）．
【变式1-1】（25-26 九年级上·青海海东·期中）一元二次方程𝑥2 +𝑥−1 = 0的根的情况是______．
【变式1-2】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程𝑥2 +3𝑥= −
5
4的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个互为相反数的实数根
D．没有实数根
【变式1-3】关于x 的一元二次方程(𝑥−1)(𝑥−3) = −𝑥−2，下面说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无法确定是否有实数根
D．没有实数根
【题型2 判断含参方程根的情况】
【例2】（25-26 八年级上·上海·期中）判断一元二次方程𝑥2−(𝑎+ 2)𝑥+ 2𝑎= 0的根的情况_____．
【变式2-1】（25-26 八年级下·山东泰安·期中）若点(𝑚,𝑛)在第四象限，则关于x 的方程𝑚𝑥2−𝑥+ 𝑛= 0的根
的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
【变式2-2】已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x 的方程𝑘𝑥2−(𝑘+ 2)𝑥+
1
4𝑘= 0进行了讨论：甲
题型归纳
说：这一定是关于x 的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x 的一元一次方程；丙说：只有当𝑘≥−1且𝑘≠0
时，该方程有实数根；丁说：当𝑘≥−1时，该方程有实数根（ ）
A．甲和丙说的对
B．甲和丁说的对
C．乙和丁说的对
D．乙和丙说的对
【变式2-3】（25-26 九年级上·河南漯河·期末）关于𝑥的方程(𝑥−5)(𝑥−1)−𝑞2 = 0的根的情况，下列说法正
确的是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
【题型3 二次项系数为常数——知根的情况求参数的取值范围】
【例3】（2026·河南许昌·一模）若关于x 的一元二次方程3𝑥2−6𝑥+ 𝑚= 0有两个相等的实数根，则实数m
的值为（ ）
A．−3
B．−1
C．0
D．3
【变式3-1】（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）关于一元二次方程𝑥2−2𝑥+ 𝑘= 0，下列说法正确的是（ ）
A．若方程有实数根，则𝑘≤1
B．若方程无实数根，则𝑘> 2
C．当𝑘= 1时，方程有两个不相等的实数根
D．当𝑘= 2时，方程的根为𝑥1 = 𝑥2 = 1
【变式3-2】（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x 的一元二次方程𝑥2−𝑥+
1
4𝑚= 0有两个实数根，
设此方程的一个实数根为b，令𝑦= −4𝑏2 +4𝑏−3𝑚+ 3 ，则y 的最小值为__________．
【变式3-3】（25-26 八年级下·浙江丽水·期中）等腰△𝐴𝐵𝐶的一边长为5，另外两边的长恰好是方程2𝑥2
−12𝑥+ 𝑚= 0的两个根，则𝑚的值为______．
【题型4 二次项系数含参——知根的情况求参数的取值范围】
【例4】（2026·山东滨州·一模）若关于x 的一元二次方程 𝑎𝑥2−2𝑥−3 = 0有两个不相等的实数根，则实数
a 的取值范围为______．
【变式4-1】（25-26 八年级下·山东淄博·期中）已知关于x 的方程(𝑚2−4)𝑥2 +2(𝑚+ 1)𝑥+ 1 = 0有实数根，
则m 的取值范围是（ ）
A．𝑚≥−
5
2且𝑚≠± 2
B．𝑚≠± 2
C．𝑚≥
5
2 D．𝑚≥−
5
2
【变式4-2】已知关于x 的一元二次方程(𝑚2−1)𝑥2 +2(𝑚−2)𝑥+ 1 = 0有实数根，当m 取最大整数值时，代
数式3𝑥2 +12𝑥+ 3的值为______．
【变式4-3】（25-26 八年级下·安徽池州·期中）已知关于x 的一元二次方程(𝑚−1)𝑥2−2𝑥−1 = 0有两个不相
等的实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)如果方程的一个根为1，求另一个根和m 的值．
【题型5 根的判别式联系代数】
【例5】若实数a，b 满足𝑏2−𝑎𝑏+
1
4𝑎2−𝑎+ 2 = 0，则a 的取值范围是______．
【变式5-1】（25-26 九年级上·江苏南通·阶段检测）已知实数𝑎,𝑏,𝑐满足：𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 2,𝑎𝑏𝑐= 4．求|𝑎| + |𝑏|
+ |𝑐|的最小值_______________
【变式5-2】已知实数x、y 满足4𝑥2 +2 = 𝑦2，则𝑥−𝑦的取值范围是_______．
【变式5-3】设a，b，c 为互不相等的实数，且满足关系式：b2+c2＝2a2+16a+14①bc＝a2﹣4a﹣5②．求a
的取值范围．
【题型6 根的判别式融汇函数】
【例6】（25-26 九年级上·江西景德镇·期中）若一元二次方程2𝑥2−3𝑥+ 𝑘= 0没有实数根，则直线𝑦= 𝑘𝑥−2
不经过第________象限．
【变式6-1】一元二次方程𝑥2−4𝑥+ 𝑚= 0有两个相等的实数根，点𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(𝑥2,𝑦2)是一次函数
𝑦= −𝑚𝑥+ 𝑚上的两个点，若𝑥1 < 𝑥2 < 0，则𝑦1______𝑦2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【变式6-2】（25-26 九年级上·安徽芜湖·期中）若关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两个实
数根为𝑥1,𝑥2(𝑥1 ≥𝑥2)，分别以𝑥1,𝑥2为横坐标和纵坐标得到点𝑄(𝑥1,𝑥2)，则称𝑄(𝑥1,𝑥2)为该一元二次方程的衍
生点．
(1)方程𝑥2 +3𝑥+ 2 = 0的衍生点坐标为______．
(2)若关于x 的一元二次方程𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0的衍生点坐标为(3,1)，求b 和c 的值．
(3)若关于x 的一元二次方程𝑥2−2𝑥+ 2𝑚+ 3 = 0的衍生点为M，且点M 在直线𝑦= 𝑥上，求m 的值．
【变式6-3】（24-25 九年级上·山东青岛·期中）如图，直线𝐴𝐵交𝑥轴于点𝐴
3
2 ,0 ，交𝑦轴于点𝐵(0,3)，点𝑃在
线段𝐴𝐵上（不与点𝐴，𝐵重合），过点𝑃作𝑂𝐴的垂线，垂足为𝐶．
(1)求直线𝐴𝐵的函数关系式；
(2)当△𝑃𝑂𝐶的面积为
1
2时，求𝑃点的坐标；
(3) △𝑃𝑂𝐶的面积能达到1吗？请说明理由．
【题型7 根的判别式结合几何】
【例7】（24-25 八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，点𝐸是𝐵𝐶上一
点，连接𝐴𝐸，𝐷𝐸，已知𝐴𝐸= 𝐷𝐸，∠𝐴𝐸𝐷= 90°．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐸𝐶𝐷；
(2)已知𝐴𝐵= 𝑚，𝐵𝐸= 𝑛，𝐴𝐸= 𝑞，以𝑚，2𝑞，𝑛为二次项系数、一次项系数和常数项构造关于𝑥的一元二
次方程𝑚𝑥2 +
2𝑞𝑥+ 𝑛= 0，称为勾股方程．
①若勾股方程𝑚𝑥2 +
2𝑞𝑥+ 𝑛= 0有两个相等的实数根，求证：𝑞=
2𝑚；
②若𝑥= −1是勾股方程𝑚𝑥2 +
2𝑞𝑥+ 𝑛= 0的一个根，且四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长是12 2，求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面
积．
【变式7-1】定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB
＝2，BC＝1，将△ABC 沿∠ABC 的平分线BB'的方向平移，得到A'B'C'，连接AC'，CC'，若四边形ABCC'是
等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是_____．
【变式7-2】已知a、b 为实数，关于x 的方程|𝑥2 + 𝑎𝑥+ 𝑏| = 2恒有三个不等的实根．
（1）求b 的最小值；
（2）若该方程的三个不等实根，恰好是一个三角形内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°；
（3）若该方程的三个不等实根恰为一个直角三角形的三条边，求a 和b 的值．
【变式7-3】（2025 八年级下·浙江·专题练习）(1)试用一元二次方程的求根公式，探索方程𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根互为相反数的条件是 ．
(2)已知𝑥、𝑦为实数，3𝑥−2 + 𝑦2−4𝑦+ 4 = 0，则
𝑥
𝑦= ．
(3)在直角梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐶= 90度，𝐵𝐶= 16，𝐴𝐷= 21，𝐷𝐶= 12，动点𝑃从点𝐷出发，沿线段𝐷𝐴
方向以每秒2 个单位长度的速度运动，动点𝑄从点𝐶出发，在线段𝐶𝐵以每秒1 个单位长度的速度向点𝐵运
动．点𝑃、𝑄分别从点𝐷、𝐶同时出发，当点𝑃运动到点𝐴时，点𝑄随之停止运动，设运动时间为𝑡秒．
①设Δ𝐵𝑃𝑄的面积为𝑆，求𝑆和𝑡之间的函数关系式；
②当𝑡为何值时，以𝐵、𝑃、𝑄三点为顶点的三角形是等腰三角形？（分类讨论）
