专题02 与三角形的角有关的必考六类大题（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 与三角形的角有关的挖空题】................................................................................................................1
【题型2 与三角形的角有关的计算】..................................................................................................................11
【题型3 探究与三角形有关的角之间的关系】..................................................................................................24
【题型4 探究与三角形有关的线段之间的位置关系】......................................................................................40
【题型5 与三角形的角有关的证明】..................................................................................................................53
【题型6 与三角形的角有关的折叠问题】..........................................................................................................63
【题型1 与三角形的角有关的挖空题】
1．（25-26 八年级上·广西南宁·阶段检测）将下列推理过程补充完整．
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐴𝐸，𝐵𝐹是角平分线，它们相交于点𝑂，∠𝐵𝐴𝐶= 50°，∠𝐶= 70°．求∠𝐷𝐴𝐶和
∠𝐵𝑂𝐴的度数．
解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ，
∵∠𝐶= 70°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= −∠𝐶= ，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 50°，
∴∠𝐵𝐴𝑂=
1
2 = ，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 180°−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶= 60°（ ），𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝑂=
1
2 = ，
题型归纳
∴∠𝐵𝑂𝐴= −∠𝐵𝐴𝑂−∠𝐴𝐵𝑂= ．
【答案】90°；90°，20°；∠𝐵𝐴𝐶，25°；三角形内角和定理；∠𝐴𝐵𝐶，30°；180°，125°．
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，高线、角平分线的定义，根据三角形的内
角和定理，直角三角形的性质，高线、角平分线的定义进行解答即可，熟记定义并准确识图，理清图中各
角度之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∵∠𝐶= 70°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 90°−∠𝐶= 20°，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 50°，
∴∠𝐵𝐴𝑂=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 25°，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 180°−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶= 60°（三角形内角和定理），𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝑂=
1
2∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∴∠𝐵𝑂𝐴= 180°−∠𝐵𝐴𝑂−∠𝐴𝐵𝑂= 125°，
故答案为：90°；90°，20°；∠𝐵𝐴𝐶，25°；三角形内角和定理；∠𝐴𝐵𝐶，30°；180°，125°．
2．（25-26 七年级下·全国·周测）如下图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐴平分∠𝐵𝐶𝐷．试说明：𝐴𝐶⊥𝐵𝐷．
下面是小明的解答过程，请补充完整．
解：因为𝐴𝐵∥𝐶𝐷（已知），
所以∠𝐴𝐵𝐶+ ____________ = 180°（________________________）．
因为𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐴平分∠𝐵𝐶𝐷（已知），
所以∠𝐷𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=
1
2∠𝐵𝐶𝐷（角平分线的定义），
所以∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵=
1
2（____________）（等式性质），
即∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= ____________．
因为∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐸𝐶= 180°（________________________），
所以∠𝐵𝐸𝐶= ____________（等式性质），
所以𝐴𝐶⊥𝐵𝐷（____________）．
【答案】∠𝐵𝐶𝐷；两直线平行，同旁内角互补 ；∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷 ；90° ； 三角形三个内角的和等于180°；
90°； 垂直的定义
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直的定义，掌握利用平行线
性质和角平分线定义推导角的关系，结合三角形内角和定理证明垂直是解题的关键．
先由𝐴𝐵∥𝐶𝐷得到同旁内角互补，再利用角平分线定义将两个角的和转化为∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵，结合三角形内角
和定理求出∠𝐵𝐸𝐶= 90°，最后根据垂直定义得出结论．
【详解】解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷 (已知)，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180∘ (两直线平行，同旁内角互补)．
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶 , 𝐶𝐴平分 ∠𝐵𝐶𝐷(已知)，
∴∠𝐷𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶 , ∠𝐴𝐶𝐵=
1
2∠𝐵𝐶𝐷，
∴∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷)（等式性质），
即∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°．
∵ ∠𝐵𝐸𝐶+ ∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180∘（三角形三个内角的和等于180°
∴∠𝐵𝐸𝐶= 90∘（等式性质），
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 (垂直的定义)．
3．将下面求解的过程补充完整：
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 25°，∠𝐵𝐴𝐶= 31°，过点𝐴作𝐵𝐶边上的高，交𝐵𝐶的延长线于点𝐷，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷
交𝐴𝐷于点𝐸，求∠𝐴𝐸𝐶的度数．
解：∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的一个外角，且∠𝐵= 25°，∠𝐵𝐴𝐶= 31°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠ +∠ = ．
(三角形的外角等于与它 的和) 又∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷= °，
又∵∠𝐴𝐸𝐶是△𝐶𝐷𝐸的一个外角，且𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠ +∠ = ．
【答案】𝐵，𝐵𝐴𝐶，56°，不相邻的两个内角，
1
2，28，𝐸𝐶𝐷，𝐷，118°
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题关键是熟知基础
知识能根据图形选择合适的性质进行角的计算和转化．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的一个外角，且∠𝐵= 25°，∠𝐵𝐴𝐶= 31°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= 56°(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
又∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐸𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐷= 28°，
又∵∠𝐴𝐸𝐶是△𝐶𝐷𝐸的一个外角，且𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐸𝐶𝐷+ ∠𝐷= 118°．
4．（25-26 七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形𝐴𝐵𝐶，点𝐷在𝐵𝐴的延长线上，𝐴𝐸是∠𝐷𝐴𝐶的平分线，
若∠𝐵= ∠𝐶，求证：𝐴𝐸∥𝐵𝐶
（请把证明过程补充完整）
∵点𝐷在𝐵𝐴延长线上
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠___________ = 180°
∵∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°（ ）
∴∠𝐵+ ∠𝐶= ___________
∵___________ = ___________
∴∠𝐵=
1
2∠___________
∵𝐴𝐸是∠𝐷𝐴𝐶的平分线
∴___________
∴___________
∴𝐴𝐸∥𝐵𝐶（ ）
【答案】见解析
【详解】证明：∵点𝐷在𝐵𝐴延长线上
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐶= 180°
∵∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°（三角形内角和定理）
∴∠𝐵+ ∠𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶
∵ ∠𝐵= ∠𝐶
∴∠𝐵= 1
2 ∠𝐷𝐴𝐶
∵𝐴𝐸是∠𝐷𝐴𝐶的平分线
∴ ∠𝐷𝐴𝐸=
1
2∠𝐷𝐴𝐶
∴ ∠𝐵= ∠𝐷𝐴𝐸
∴𝐴𝐸∥𝐵𝐶（同位角相等，两直线平行）
5．（24-25 八年级上·浙江金华·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶的两条高线𝐵𝐸，𝐶𝐹相交于点O．将下面证明
∠𝐵𝑂𝐶= 180°−∠𝐴的过程补充完整．
证明：∵𝐵𝐸，𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的两条高线（已知）
∴∠𝑂𝐸𝐶= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°（高线的意义）
∴∠𝐴𝐶𝐹+ （ ）= 90°（ ）
∴∠𝐴𝐶𝐹= 90°−∠𝐴
∴∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝑂𝐸𝐶+ （ ）= 90° + 90°−∠𝐴= 180°−∠𝐴
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形的高，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质等知识点，熟练掌
握直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质是解题的关键．
根据已有的过程并结合图形进行补充，即可作答．
【详解】证明：∵𝐵𝐸，𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的两条高线（已知），
∴∠𝑂𝐸𝐶= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°（高线的意义），
∴∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐴= 90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠𝐴𝐶𝐹= 90°−∠𝐴，
∴∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝑂𝐸𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐹= 90° + 90°−∠𝐴= 180°−∠𝐴．
6．（24-25 七年级下·上海闵行·期中）如图，已知在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐵𝐶上，连接𝐴𝐷，点𝐸、𝐹分别在𝐴𝐷、𝐴𝐵
上，连接𝐷𝐹、𝐸𝐹，∠1 + ∠2 = 180°．
(1)求证：∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐹𝐷𝐵．把以下证明过程补充完整：证明：
∵∠1 + ∠2 = 180°（已知），
又∵∠𝐷𝐸𝐹+ ∠2 = 180°（___________），
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠1（___________）．
∴𝐸𝐹∥𝐶𝐷（___________）．
∴∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐹𝐷𝐵（___________）
(2)如果∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶，𝐷𝐹平分∠𝐴𝐷𝐵，求证：∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐶．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，能运用平行线的性质和
判定进行推理是解此题的关键．
（1）根据推理过程结合图形解答即可；
（2）根据角平分线的定义结合三角形外角的性质，推出∠𝐶= ∠𝐹𝐷𝐵，由（1）知∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐹𝐷𝐵，即可证明．
【详解】（1）证明：∵∠1 + ∠2 = 180°（已知），
又∵∠𝐷𝐸𝐹+ ∠2 = 180°（平角的定义），
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠1（同角的补角相等）．
∴𝐸𝐹∥𝐶𝐷（内错角相等，两直线平行）．
∴∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐹𝐷𝐵（两直线平行，内错角相等）
（2）证明：∵𝐷𝐹平分∠𝐴𝐷𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐵𝐷𝐹=
1
2∠𝐴𝐷𝐵，
∵∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶=
1
2∠𝐴𝐷𝐵，
∴∠𝐶= ∠𝐹𝐷𝐵，
∵∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐹𝐷𝐵，
∴∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐶．
7．（24-25 八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，∠𝐵𝐶𝐷= 50°，∠𝐴= 30°．
求：
(1)∠𝐸𝐵𝐶的度数（填空，把解答过程补充完整）；
(2)∠𝐴𝐶𝐵的度数（写出解答过程）．
解：（1）∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵（已知），
∴∠𝐶𝐷𝐵= ________（垂直的定义）．
∵∠𝐸𝐵𝐶= ∠________ +∠________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和），
∴∠𝐸𝐵𝐶= ________ +50° = ________．
答：∠𝐸𝐵𝐶的度数为________．
【答案】(1)见解析
(2)110°
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质：
（1）先由垂线的定义得到∠𝐶𝐷𝐵= 90°，再由三角形外角的性质得到∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷，据此可得答
案；
（2）根据三角形外角的性质可得∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，据此代值计算即可．
【详解】（1）解：（1）∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵（已知），
∴∠𝐶𝐷𝐵= 90°（垂直的定义）．
∵∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和），
∴∠𝐸𝐵𝐶= 90° + 50° = 140°．
答：∠𝐸𝐵𝐶的度数为140°．
（2）解：∵∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴= 30°，∠𝐸𝐵𝐶= 140°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐵𝐶−∠𝐴= 110°．
8．（24-25 八年级上·河南新乡·阶段检测）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将解题过程补充完整．
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，点𝐷、𝐸分别在边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐸，
∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐶𝐵𝐷，𝐵𝐸与𝐶𝐷交于点𝐹，判断∠𝐵𝐷𝐹与∠𝐵𝐹𝐷的数量关系．
解：∠𝐵𝐷𝐹与∠𝐵𝐹𝐷的数量关系是：______；
理由：设∠𝐴= 𝛼，∠𝐴𝐵𝐶= 𝛽
∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵
∴𝛼+ 2𝛽= ______°
又∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐸= 𝛼
∴∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶−∠______ = ______
∵∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐶𝐵𝐷= 𝛽
∴∠𝐷𝐶𝐵= 180°−∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐶𝐷𝐵= ______
∵∠𝐵𝐹𝐷是△𝐵𝐶𝐹的外角，
∴∠𝐵𝐹𝐷= ∠______ +∠______ = ______，
∴∠𝐵𝐷𝐹与∠𝐵𝐹𝐷的数量关系是______．
【答案】∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐵𝐹𝐷；180；𝐴𝐵𝐸；𝛽−𝛼；180°−2𝛽；𝐶𝐵𝐹；𝐷𝐶𝐵；𝛽；∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐵𝐹𝐷
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题
意和三角形内角和定理得到𝛼+ 2𝛽= 180°，∠𝐷𝐶𝐵= 180°−2𝛽，再利用角的和差得到∠𝐶𝐵𝐹= 𝛽−𝛼，最后根
据三角形外角的性质得到∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐵= 𝛽，即可得到∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐵𝐹𝐷．
【详解】解：∠𝐵𝐷𝐹与∠𝐵𝐹𝐷的数量关系是：∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐵𝐹𝐷
理由：设∠𝐴= 𝛼，∠𝐴𝐵𝐶= 𝛽
∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵
∴𝛼+ 2𝛽= 180°
又∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐸= 𝛼
∴∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐸= 𝛽−𝛼
∵∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐶𝐵𝐷= 𝛽
∴∠𝐷𝐶𝐵= 180°−∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐶𝐷𝐵= 180°−2𝛽
∵∠𝐵𝐹𝐷是△𝐵𝐶𝐹的外角
∴∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐵= 𝛽
∴∠𝐵𝐷𝐹与∠𝐵𝐹𝐷的数量关系是∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐵𝐹𝐷．
故答案为：∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐵𝐹𝐷；180；𝐴𝐵𝐸；𝛽−𝛼；180°−2𝛽；𝐶𝐵𝐹；𝐷𝐶𝐵；𝛽；∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐵𝐹𝐷．
9．（24-25 八年级上·河南安阳·阶段检测）下面是多媒体上的一道习题，请将过程补充完整．
如图，已知点D，E 分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐴和𝐵𝐶延长线上的点，两角（∠𝐷𝐴𝐶与∠𝐴𝐶𝐸）的平分线交于点P，
若∠𝑃= 70°，求∠𝐵的度数．
解：在△𝐴𝑃𝐶中，根据三角形内角和定理可知：
∠𝑃+ ∠𝑃𝐴𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐴= ______°
又∠𝑃= 70°，
∴经计算：∠𝑃𝐴𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐴= _______°
又𝑃𝐴平分∠𝐷𝐴𝐶，𝑃𝐶平分∠𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ______∠𝑃𝐴𝐶,∠𝐴𝐶𝐸= _______∠𝑃𝐶𝐴 （角平分线认识）
∴∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐸= ______°
又∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵+ ∠_______（三角形外角的性质）
且∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸= _______°（平角的性质）
∴∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸= _________°，
∴∠𝐵= ________°
【答案】180；110；2；2；220；ACB；180；220；40
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平线的定义，三角形外角等知识点，熟练掌握其性质并
能灵活运用是解决此题的关键．先利用三角形的内角和定理推出∠𝑃𝐴𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐴度数，然后再利用角平线的
定义推出∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐸的度数，再利用三角形外角和平角的性质推出∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸的度数，进而即
可得解．
【详解】解：在△𝐴𝑃𝐶中，根据三角形内角和定理可知：
∠𝑃+ ∠𝑃𝐴𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐴= 180°，
又∠𝑃= 70°，
∴经计算：∠𝑃𝐴𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐴= 110°，
又𝑃𝐴平分∠𝐷𝐴𝐶，𝑃𝐶平分∠𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 2∠𝑃𝐴𝐶, ∠𝐴𝐶𝐸= 2∠𝑃𝐶𝐴（角平分线认识）
∴∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐸= 220°
又∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵（三角形外角的性质）
且∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸= 180°（平角的性质）
∴∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸= 220°，
∴∠𝐵= 40°，
故答案为：180；110；2；2；220；ACB；180；220；40．
10．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐺平分∠𝐴𝐵𝐶，点𝐷在射线𝐴𝐶上，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐵𝐺于点𝐻，交边𝐴𝐵于点𝐹；交边𝐵𝐶
于点𝐸，试说明：2∠𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴.请补充下面的说明过程，并在括号内写出相应的根据.
证明：∵ ∠3是△𝐴𝐷𝐹的外角（已知）
∴ ∠3 = ∠𝐷+ ∠____，（ ）
同理，∠____ = ∠5 + ∠𝐷，
∴ ∠5 = ∠____−∠𝐷，
又∵ 𝐷𝐹⊥𝐵𝐺于点𝐻，
∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 = 90°，（ ）
∵ 𝐵𝐺平分∠𝐴𝐵𝐶，（已知）
∴ ∠1 = ∠2，（角平分线定义）
∴________，（等角的余角相等）
而∠4 = ∠5（对顶角相等）
∴ ∠3 = ∠5，（等量代换）
即________ = ________，
∴ 2∠𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴.
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形的外角性质，直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握
三角形的外角性质．根据三角形的外角性质可得∠3 = ∠𝐷+ ∠𝐴，∠𝐴𝐶𝐵= ∠5 + ∠𝐷，进而得到
∠5 = ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐷，由𝐷𝐹⊥𝐵𝐺于点𝐻，可得∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 = 90°，结合角平分线的定义可推出
∠3 = ∠4，进而得到∠3 = ∠5，即可求解．
【详解】证明∵ ∠3是△𝐴𝐷𝐹的外角（已知）
∴ ∠3 = ∠𝐷+ ∠𝐴，（三角形的外角性质）
同理，∠𝐴𝐶𝐵= ∠5 + ∠𝐷，
∴ ∠5 = ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐷，
又∵ 𝐷𝐹⊥𝐵𝐺于点𝐻，
∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 = 90°，（直角三角形两个锐角互余）
∵ 𝐵𝐺平分∠𝐴𝐵𝐶，（已知）
∴ ∠1 = ∠2，（角平分线定义）
∴ ∠3 = ∠4，（等角的余角相等）
而∠4 = ∠5（对顶角相等）
∴ ∠3 = ∠5，（等量代换）
即∠𝐷+ ∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐷，
∴ 2∠𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴．
【题型2 与三角形的角有关的计算】
11．（25-26 七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐸是𝐵𝐶延长线上一点，𝐸𝐹⊥𝐴𝐷
于点𝐹，若∠𝐵= 58°，∠𝐸= 6°，求∠𝐴𝐶𝐵的度数．
【答案】70°
【分析】由𝐸𝐹⊥𝐴𝐷，可得∠𝐸𝐹𝐷= 90°，可得∠𝐹𝐷𝐸= 84°，由三角形的外角可得∠𝐵𝐴𝐷= 26°，由𝐴𝐷平分
∠𝐵𝐴𝐶，可得∠𝐵𝐴𝐶= 52°，再利用三角形内角和，即可求解．
【详解】解：∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐸𝐹𝐷= 90°，
∵∠𝐸= 6°，
∴∠𝐹𝐷𝐸= 90°−∠𝐸= 84°，
∵∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐵= 84°−58° = 26°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐷= 2 × 26° = 52°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐵−∠𝐵𝐴𝐶= 180°−58°−52° = 70°．
12．（25-26 七年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图，𝐸𝐹∥𝐶𝐷，𝐺𝐷∥𝐶𝐴．
(1)求证：∠1 + ∠2 = 180°；
(2)若𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐺平分∠𝐶𝐷𝐵，且∠𝐴= 35°，求∠𝐴𝐵𝐶的度数．
【答案】(1)证明：∵𝐸𝐹∥𝐶𝐷，
∴∠1 + ∠𝐸𝐶𝐷= 180°，
∵𝐺𝐷∥𝐶𝐴，
∴∠2 = ∠𝐸𝐶𝐷，
∴∠1 + ∠2 = 180°；
(2)75°
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠1 + ∠𝐸𝐶𝐷= 180°，∠2 = ∠𝐸𝐶𝐷，据此可证明结论；
（2）根据平行线的性质得到∠𝐵𝐷𝐺= ∠𝐴= 35°，∠𝐸𝐶𝐷= ∠2，由角平分线的定义得到
∠2 = ∠𝐵𝐷𝐺= ∠𝐸𝐶𝐷= 35°，进而求出∠𝐴𝐶𝐵的度数，再由三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝐺𝐷∥𝐶𝐴，
∴∠𝐵𝐷𝐺= ∠𝐴= 35°，∠𝐸𝐶𝐷= ∠2，
∵𝐷𝐺平分∠𝐶𝐷𝐵，
∴∠2 = ∠𝐵𝐷𝐺= 35°，
∴∠𝐸𝐶𝐷= ∠2 = 35°，
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐸𝐶𝐷= 70°，
∴∠𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐴𝐶𝐵= 75°．
13．（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图，𝐴𝐸为△𝐴𝐵𝐶中的角平分线，∠𝐴𝐶𝐵= 3∠𝐵，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，延长𝐴𝐸
至F，连接𝐶𝐹．
(1)求∠𝐵𝐴𝐶的度数；
(2)若∠𝐸𝐶𝐹= 2∠𝐹，求证：𝐴𝐵= 𝐴𝐹．
【答案】(1)90°
(2)证明：∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐹+ ∠𝐸𝐶𝐹= 3∠𝐵= 67.5°，∠𝐸𝐶𝐹= 2∠𝐹，
∴∠𝐹= 22.5° = ∠𝐵，
∵𝐴𝐸为△𝐴𝐵𝐶中的角平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐶，
又∵𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐹𝐶(AAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐹．
【分析】（1）证明∠𝐵𝐴𝐸= 2∠𝐵，得到∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐸= 4∠𝐵，由三角形内角和定理得到
∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，则∠𝐵= 22.5°，即可得到答案；
（2）证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐹𝐶(AAS)，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 3∠𝐵，，
∴∠𝐴𝐸𝐶= 3∠𝐵，
∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐸= 2∠𝐵，
∵𝐴𝐸为△𝐴𝐵𝐶中的角平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐸= 4∠𝐵，
∵∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐵+ 4∠𝐵+ 3∠𝐵= 180°，
∴∠𝐵= 22.5°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90°；
（2）略
14．（25-26 七年级下·江苏南通·期末）如图，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐷的平分线，且𝐶𝐸交𝐵𝐴的延长线于点
E．
(1)若∠𝐴𝐶𝐷= 140°，∠𝐵= 40°，求∠𝐸的大小；
(2)求证：∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵+ 2∠𝐸．
【答案】(1)30°
(2)证明：∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸．
∵∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐸．
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐸+ ∠𝐸= ∠𝐵+ 2∠𝐸．
【分析】（1）先根据角平分线定义求出∠𝐷𝐶𝐸= 70°，再根据三角形外角性质求解即可；
（2）先根据角平分线定义得到∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸，再根据三角形外角性质进行角的代换即可证明结论．
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐶𝐷= 140°，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐷的角平分线，
∴∠𝐸𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐷= 70°，
又∠𝐵= 40°，
∴∠𝐸= ∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐵= 30°；
（2）略
15．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷交𝐴𝐵于点𝐷，且∠1 = ∠𝐵．
(1)判断𝐶𝐷与𝐴𝐵的位置关系，说明理由；
(2)若𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐵，且分别交𝐶𝐷，𝐵𝐶于点𝐹，𝐸．求证：∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐶𝐹𝐸．
【答案】(1)解：𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
理由：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠1 + ∠𝐷𝐶𝐵= 90°，
∵∠1 = ∠𝐵，
∴∠𝐵+ ∠𝐷𝐶𝐵= 90°，
∵∠𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐵= 180°，
∴∠𝐶𝐷𝐵= 180°−∠𝐵−∠𝐷𝐶𝐵= 180°−(∠𝐵+ ∠𝐷𝐶𝐵) = 90°，
∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐵；
(2)证明：∵𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸，
∵∠1 = ∠𝐵，∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸,∠𝐶𝐹𝐸= ∠1 + ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠1 + ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐶𝐹𝐸．
【分析】（1）根据∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠1 = ∠𝐵，结合∠𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐵= 180°，即可得出结论；
（2）由角平分线的定义可得∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸，结合∠1 = ∠𝐵，利用三角形外角的性质得到
∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸,∠𝐶𝐹𝐸= ∠1 + ∠𝐶𝐴𝐸，即可证明结论．
16．（25-26 七年级下·四川乐山·期末）解决下列问题：
(1)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°，∠𝐴𝐵𝐶的平分线与外角∠𝐴𝐶𝐷的平分线交于点𝐸，求∠𝐸的度数；
(2)如图2，已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= 230°，∠𝐵𝐶𝐷的平分线𝐶𝐹与四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的外角∠𝐴𝐵𝐸的
平分线𝐵𝐹相交于点𝐹，求∠𝐹的度数．
【答案】(1)∠𝐸= 30°
(2)∠𝐹= 25°
【分析】（1）根据角平分线得出∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸=
1
2∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐷，再由外角的定义得出
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= 60° + 2∠𝐶𝐵𝐸，∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐸，然后求解即可；
（2）根据四边形内角和为360 度推出∠𝐴𝐵𝐶= 130°−∠𝐵𝐶𝐷，由平角的定义和角平分线的性质得到
∠𝐸𝐵𝐹=
1
2∠𝐴𝐵𝐸= 25° +
1
2∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐹=
1
2∠𝐵𝐶𝐷，再根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐵𝐶的平分线与外角∠𝐴𝐶𝐷的平分线交于点𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸=
1
2∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐷，
∵∠𝐴= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= 60° + 2∠𝐶𝐵𝐸，∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐸，
∴∠𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐸=
1
2(60° + 2∠𝐶𝐵𝐸) = 30° + ∠𝐶𝐵𝐸，
∴∠𝐸= 30°；
（2）解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= 230°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷= 360°−(∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶) = 130°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 130°−∠𝐵𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 180°−∠𝐴𝐵𝐶= 180°−(130°−∠𝐵𝐶𝐷) = 50° + ∠𝐵𝐶𝐷；
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的内角∠𝐵𝐶𝐷的平分线与外角∠𝐴𝐵𝐸的平分线相交于点𝐹，
∴∠𝐸𝐵𝐹=
1
2∠𝐴𝐵𝐸= 25° +
1
2∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐹=
1
2∠𝐵𝐶𝐷，
∵∠𝐸𝐵𝐹= ∠𝐹+ ∠𝐵𝐶𝐹，
∴∠𝐹= 25°．
17．（25-26 八年级上·安徽淮北·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵> ∠𝐵，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝑃为线段𝐴𝐷上的
任意一点，𝐸𝑃⊥𝐴𝐷交直线𝐵𝐶于点𝐸．
(1)若∠𝐵= 40°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°，求∠𝐸的度数；
(2)求证：∠𝐸=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)．
【答案】(1)20°
(2)证明：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷
= ∠𝐵+ 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶
= ∠𝐵+ 1
2 (180°−∠𝐵−∠𝐴𝐶𝐵)
= ∠𝐵+ 90°−1
2 ∠𝐵−1
2 ∠𝐴𝐶𝐵
= 90° +
1
2∠𝐵−
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐷𝑃𝐸= 90°，
∴∠𝐸= 180°−∠𝐷𝑃𝐸−∠𝐴𝐷𝐶
= 180°−90°−90° +
1
2 ∠𝐵−
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵
= 180°−90°−90°−1
2 ∠𝐵+ 1
2 ∠𝐴𝐶𝐵
=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)．
【分析】（1）先利用三角形内角和与角平分线求出∠𝐵𝐴𝐷，再用外角性质求∠𝐴𝐷𝐶，最后在直角三角形中计
算∠𝐸；
（2）先利用外角和角平分线，把∠𝐴𝐷𝐶用∠𝐵、∠𝐴𝐶𝐵表示，再结合直角三角形内角和，化简得到∠𝐸与∠𝐵、∠𝐴𝐶𝐵
的关系．
【详解】（1）解：∵∠𝐵= 40°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐴𝐶𝐵= 180°−40°−80° = 60°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 30°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 40° + 30° = 70°，
∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐷𝑃𝐸= 90°，
∴∠𝐸= 180°−∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐷𝑃𝐸= 180°−70°−90° = 20°；
（2）略
18．如图，∠𝐶𝐴𝐷与∠𝐶𝐵𝐷的角平分线交于点P．
(1)若∠𝐶= 35°,∠𝐷= 29°，求∠𝑃的度数；
(2)探究 ∠𝐷,∠𝐶,∠𝑃的数量关系并说明理由．
【答案】(1)32°
(2)∠𝑃=
1
2(∠𝐶+ ∠𝐷)；理由见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的定义可得∠𝐶𝐴𝑃= ∠𝐷𝐴𝑃=
1
2∠𝐶𝐴𝐷,∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐷𝐵𝑃=
1
2∠𝐶𝐵𝐷，再由三角形内角和定理可
得∠𝐷𝐵𝐶−∠𝐶𝐴𝐷= 6°，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；
（2）由角平分线的定义可得∠𝐶𝐴𝑃= ∠𝐷𝐴𝑃=
1
2∠𝐶𝐴𝐷,∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐷𝐵𝑃=
1
2∠𝐶𝐵𝐷，再由三角形内角和定理可
得∠𝐷𝐵𝐶−∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶−∠𝐷，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解．
【详解】（1）解：如图，令𝐴𝐷,𝐵𝐶相交于点O，
∵∠𝐶𝐴𝐷与∠𝐶𝐵𝐷的角平分线交于点P，
∴∠𝐶𝐴𝑃= ∠𝐷𝐴𝑃=
1
2∠𝐶𝐴𝐷,∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐷𝐵𝑃=
1
2∠𝐶𝐵𝐷，
∵∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑂+ ∠𝐴𝑂𝐶= 180°，∠𝐷+ ∠𝐷𝐵𝑂+ ∠𝐵𝑂𝐷= 180°，∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷，
∴∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐶，
∵∠𝐶= 35°,∠𝐷= 29°，
∴∠𝐷𝐵𝐶−∠𝐶𝐴𝐷= 6°，
∵∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝑃+ ∠𝐶𝐵𝑃，∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑃，
∴∠𝑃+ ∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑃，
∴∠𝑃= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑃−∠𝐶𝐵𝑃 = ∠𝐶+
1
2(∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐶𝐵𝐷) = ∠𝐶−
1
2(∠𝐷𝐵𝐶−∠𝐶𝐴𝐷) = 35°−
1
2 × 6° = 32°．
（2）解：∠𝑃=
1
2(∠𝐶+ ∠𝐷)，理由如下，
∵∠𝐶𝐴𝐷与∠𝐶𝐵𝐷的角平分线交于点P，
∴∠𝐶𝐴𝑃= ∠𝐷𝐴𝑃=
1
2∠𝐶𝐴𝐷,∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐷𝐵𝑃=
1
2∠𝐶𝐵𝐷，
∵∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑂+ ∠𝐴𝑂𝐶= 180°，∠𝐷+ ∠𝐷𝐵𝑂+ ∠𝐵𝑂𝐷= 180°，∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷，
∴∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐵𝐶−∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶−∠𝐷，
∵∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝑃+ ∠𝐶𝐵𝑃，∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑃，
∴∠𝑃+ ∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑃，
∴∠𝑃= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑃−∠𝐶𝐵𝑃 = ∠𝐶+
1
2(∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐶𝐵𝐷) = ∠𝐶−
1
2(∠𝐷𝐵𝐶−∠𝐶𝐴𝐷) = ∠𝐶−
1
2(∠𝐶−∠𝐷) =
1
2
(∠𝐶+ ∠𝐷)，即∠𝑃=
1
2(∠𝐶+ ∠𝐷)．
19．（24-25 七年级下·重庆沙坪坝·期末）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点𝐷是边𝐴𝐵上一点，将△𝐴𝐶𝐷沿直线
𝐶𝐷翻折得到△𝐸𝐶𝐷，𝐷𝐸与𝐶𝐵交于点𝐹．
(1)如图1，若𝐶𝐸∥𝐴𝐵，∠𝐵= 40°，求∠𝐸𝐷𝐶的度数；
(2)如图2，连接𝐵𝐸，∠𝐵𝐸𝐷的平分线交直线𝐶𝐷于点𝐺，且∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐺，若∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷，请说明∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐺；
(3)在（2）的条件下，若∠𝐺= 25°，在平面内将△𝐶𝐵𝐸绕点𝐶逆时针方向旋转一个角度𝛼(0 < 𝛼< 180°)得到
△𝐶𝐵1𝐸1．在旋转的过程中，直线𝐵1𝐸1与△𝐴𝐵𝐶的一边所在直线相交于点𝑀．当△𝐶𝑀𝐵1为直角三角形时，
请直接写出旋转角𝛼的度数．
【答案】(1)∠𝐸𝐷𝐶= 65°
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）根据三角和的内角等于180°可以得出∠𝐴= 50°，再根据平行线的性质即可得出答案．
（2）设∠𝐺= 𝑟，由∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐺得∠𝐴𝐷𝐶= 2𝑟，因∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷，结合三角形内角和得
∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷= 90°−𝑟，由折叠可知∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐴= 90°−𝑟，∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷= 90°−𝑟，∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 2𝑟，
进而得∠𝐸𝐶𝐵= 90 ∘−2𝑟，在△𝐷𝐹𝐺中利用内角和得∠𝐷𝐸𝐺= 𝑟，由角平分线知∠𝐵𝐸𝐷= 2𝑟，最后在△𝐶𝐵𝐸
中用内角和算出∠𝐶𝐵𝐸= 𝑟，故∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐺．
（3）已知∠𝐺= 25°，由（2）得∠𝐶𝐵𝐸= 25°、∠𝐸𝐶𝐵= 40°，旋转后利用对应角相等及三角形内角和、外角
性质，算出旋转角𝛼= 90°．
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐵= 40°，
∴∠𝐴= 180°−90°−40° = 50°，
∵△𝐸𝐶𝐷是由△𝐴𝐶𝐷沿直线𝐶𝐷翻折得到的，
∴△𝐸𝐶𝐷≅△𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐴= ∠𝐸= 50°，
∵𝐶𝐸∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 180°−∠𝐸= 180°−50° = 130°，
∵△𝐸𝐶𝐷≅△𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐸𝐷𝐶=
1
2∠𝐴𝐷𝐸=
1
2 × 130° = 65°．
（2）解：设∠𝐺= 𝑟，
∵∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐺，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 2𝑟，
∵∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷= (180°−2𝑟) ×
1
2 = 90°−𝑟，
∵折叠，
∴∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐴= 90°−𝑟,∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷= 90°−𝑟,∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 2𝑟，
则∠𝐸𝐷𝐺= 180°−2𝑟，∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐴𝐶𝐵= 90°−𝑟+ 90°−𝑟−90° = 90°−2𝑟，
∴∠𝐷𝐸𝐺= 180°−∠𝐺−∠𝐸𝐷𝐺= 180°−𝑟−(180°−2𝑟) = 𝑟，
∵∠𝐵𝐸𝐷的平分线交直线𝐶𝐷于点𝐺，
∴∠𝐵𝐸𝐷= 2∠𝐷𝐸𝐺= 2𝑟，
在Rt △△𝐶𝐵𝐸中，∠𝐶𝐵𝐸= 180°−∠𝐸𝐶𝐵−∠𝐶𝐸𝐷−∠𝐵𝐸𝐷，
= 180°−(90°−2𝑟)−(90°−𝑟)−2𝑟，
= 180°−90° + 2𝑟−90° + 𝑟−2𝑟，
= 𝑟，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐺．
（3）解：∵在（2）的条件下，∠𝐺= 25°，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐺= 25°，∠𝐸𝐶𝐵= 90°−2 × 25° = 40°，
∴∠𝐶𝐸𝐵= 180°−40°−25° = 115°，
∵旋转，
∴∠𝐵1 = ∠𝐶𝐵𝐸= 25°,∠𝐶𝐸1𝐵1 = ∠𝐶𝐸𝐵= 115°，
∴∠𝐶𝑀𝐵1 = 180°−∠𝐵1−∠𝐵1𝐶𝑀= 180°−25°−90° = 65°，
则∠𝐸1𝐶𝑀= ∠𝐵1𝐸1𝐶−∠𝐶𝑀𝐵1 = 115°−65° = 50°，
∴∠𝐸1𝐶𝐸= ∠𝐸1𝐶𝑀+ ∠𝐸𝐶𝑀= 50° + 40° = 90°，
即旋转角𝛼的度数为90°．
【点睛】题目主要考查三角形的内角和等于180°和平行线的性质，折叠的性质、角平分线的性质，旋转的
性质、三角形内角和定理及外角性质，熟练掌握旋转前后对应角相等的性质，以及灵活运用三角形内角和
与外角定理进行角度计算和转化是解题的关键．
20．（24-25 七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线𝑀𝑁，𝑃𝑄和一块含30°角的直角三角尺𝐴𝐵𝐶（其中
∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴𝐵𝐶= 30°）”为背景开展数学活动．将三角尺30°角的顶点B 放在直线𝑃𝑄上，直线𝐴𝐶与直
线𝑀𝑁相交于点E．
【操作探究】
（1）聪聪同学将三角尺𝐴𝐵𝐶按图1 所示放置，若∠𝐴𝐸𝑀= 30°，求∠𝐶𝐵𝑃的度数；
（2）明明同学将三角尺𝐴𝐵𝐶绕点B 旋转至图2 位置时，∠𝐴𝐸𝑀与∠𝐶𝐵𝑃有什么数量关系，猜想并证明；
【深入探究】
（3）如图3，如果直线𝑃𝑄不动，慧慧同学加大了平行线𝑀𝑁与𝑃𝑄之间的距离，使平行线之间的距离大于
𝐴𝐵．绕点B 旋转三角尺𝐴𝐵𝐶，点A 始终在平行线之间，请直接写出∠𝐴𝐸𝑀与∠𝐶𝐵𝑃所有可能的数量关系．
【答案】（1）60° ；（2） ∠𝐶𝐵𝑃−∠𝐴𝐸𝑀= 90°，证明见解析；（3）∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐶𝐵𝑃= 90°或∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐶𝐵𝑃= 270°
或∠𝐶𝐵𝑃−∠𝐴𝐸𝑀= 90°
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点
并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）延长𝐶𝐴交𝑃𝑄于𝐹，由平行线的性质可得∠𝐸𝐹𝐵= ∠𝐴𝐸𝑀= 30°，再由三角形内角和定理计算即可得解；
（2）延长𝐴𝐶交𝑃𝑄于𝐺，由平行线的性质结合对顶角相等可得∠𝐴𝐸𝑀= ∠𝐶𝐸𝑁= ∠𝐵𝐺𝐶，再由三角形外角的
定义及性质计算即可得解；
（3）分三种情况：根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图，延长𝐶𝐴交𝑃𝑄于𝐹，
∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄，
∴∠𝐸𝐹𝐵= ∠𝐴𝐸𝑀= 30°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝑃= 90°−∠𝐸𝐹𝐵= 60°；
（2）∠𝐶𝐵𝑃−∠𝐴𝐸𝑀= 90°，证明如下：
如图，延长𝐴𝐶交𝑃𝑄于𝐺，
∵∠𝐴𝐸𝑀= ∠𝐶𝐸𝑁，𝑀𝑁∥𝑃𝑄，
∴∠𝐴𝐸𝑀= ∠𝐶𝐸𝑁= ∠𝐵𝐺𝐶，
∵∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐵𝐶𝐺+ ∠𝐵𝐺𝐶，∠𝐵𝐶𝐺= 180°−∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝑃−∠𝐴𝐸𝑀= 90°；
（3）如图，当𝐴𝐶的延长线与𝑀𝑁交于点𝐸时，延长𝐶𝐴交𝑃𝑄于𝐹，
∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄，
∴∠𝐸𝐹𝐵= ∠𝐴𝐸𝑀，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝑃= 90°−∠𝐸𝐹𝐵= 90°−∠𝐴𝐸𝑀，
∴∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐶𝐵𝑃= 90°；
如图，当𝐶𝐴的延长线交𝑀𝑁于𝐸，点𝐶在𝑃𝑄上方时，延长𝐴𝐶交𝑃𝑄于𝐺，
∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄，
∴∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐵𝐺𝐶= 180°，
∵∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐵𝐶𝐺+ ∠𝐵𝐺𝐶，∠𝐵𝐶𝐺= 180°−∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐶𝐵𝑃= 270°；
如图：当𝐶𝐴的延长线交𝑀𝑁于𝐸，点𝐶在𝑃𝑄下方时，令𝐶𝐸交𝑃𝑄于𝐻，
∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄，
∴∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐵𝐻𝐸= 180°，
∵∠𝐵𝐻𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐶𝐵𝑄= 90° + ∠𝐶𝐵𝑄= 90° + 180°−∠𝐶𝐵𝑃= 270°−∠𝐶𝐵𝑃
∴∠𝐶𝐵𝑃−∠𝐴𝐸𝑀= 90°，
综上所述，∠𝐴𝐸𝑀与∠𝐶𝐵𝑃所有可能的数量关系为∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐶𝐵𝑃= 90°或∠𝐴𝐸𝑀+ ∠𝐶𝐵𝑃= 270°或
∠𝐶𝐵𝑃−∠𝐴𝐸𝑀= 90°．
【题型3 探究与三角形有关的角之间的关系】
21．𝐴𝐵和𝐴𝐶相交于点𝐴，𝐵𝐷和𝐶𝐷相交于点𝐷，探究∠𝐵𝐷𝐶与∠𝐵、∠𝐶、∠𝐵𝐴𝐶的关系．
小明是这样做的：
解：如图（2）以点𝐴为端点作射线𝐴𝐷，
∵∠1是△𝐴𝐵𝐷的外角，∴∠1 = ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷，
同理∠2 = ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠1 + ∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷，
即∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶，
小英的思路是：如图(3)延长𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐸．
(1)按小英的思路完成∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶这一结论．
(2)如图（4），△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑂、𝐶𝑂分别是∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，且𝐵𝑂、𝐶𝑂相交于点𝑂.猜想∠𝐵𝑂𝐶与∠𝐴
有怎样的关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)∠𝐵𝑂𝐶与∠𝐴的关系：∠𝐵𝑂𝐶= 90° +
1
2∠𝐴；证明见解析
【分析】本题考查了三角形外角性质的运用，三角形内角和定理应用，角平分线性质，解题时注意三角形
的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（1）依据三角形外角性质，即可得到∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐸𝐷，∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵，进而得出
∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶；
（2）依据𝐵𝑂、𝐶𝑂分别是∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，即可得出∠𝑂𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，再根据三
角形内角和定理，即可得到∠𝐵𝑂𝐶= 90° +
1
2∠𝐴．
【详解】（1）证明：如图（3），延长𝐵𝐷交𝐴𝐶于𝐸，
∵∠𝐵𝐷𝐶是△𝐶𝐷𝐸的外角，
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐸𝐷，
同理可得∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵，
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶；
（2）解：∠𝐵𝑂𝐶与∠𝐴的关系：∠𝐵𝑂𝐶= 90° +
1
2∠𝐴，
证明：∵𝐵𝑂、𝐶𝑂分别是∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，
∴∠𝑂𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180°−(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵)
= 180°−
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)
= 180°−
1
2(180°−∠𝐴)
= 90° +
1
2∠𝐴．
22．若∠A 与∠B 的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系．
（1）如图1，∠A 与∠B 的等量关系是 ；如图2，∠A 与∠B 的等量关系是 ；对于上面两种情况，请
用文字语言叙述： ．
（2）请选择图1 或图2 其中的一种进行证明．
【答案】（1）∠𝐴= ∠𝐵,∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐷= 180°，如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补；
（2）见解析
【分析】（1）根据对顶角相等∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷，等角的余角相等即可求得∠𝐴= ∠𝐵，连接𝐴𝐵，根据三角形
内角和定理即可证明∠𝐴+ ∠𝐵= 180°；根据结论即可用文字语言叙述；
（2）方法同（1）．
【详解】（1）如图1，
∵ 𝐵𝐶⊥𝐴𝐶,𝐵𝐷⊥𝐴𝐷
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐸𝐶𝐵= 90°
∵ ∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷
∴∠𝐴= 180°−∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐸𝐷= 90°−∠𝐴𝐸𝐷，∠𝐵= 180°−∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐵𝐸𝐶= 90°−∠𝐵𝐸𝐶
∴∠𝐴= ∠𝐵
如图2，连接𝐴𝐵
∵∠1 + ∠3 + ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，∠2 + ∠4 + ∠𝐴𝐷𝐵= 180°
∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐵= 360°
∵ 𝐵𝐶⊥𝐴𝐶,𝐵𝐷⊥𝐴𝐷
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐸𝐶𝐵= 90°
∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°
即∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐷= 180°
文字语言叙述：如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补；
故答案为：∠𝐴= ∠𝐵,∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐷= 180°，如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补；
（2）选择图1，证明如下，
∵ 𝐵𝐶⊥𝐴𝐶,𝐵𝐷⊥𝐴𝐷
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐸𝐶𝐵= 90°
∵ ∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷
∴∠𝐴= 180°−∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐸𝐷= 90°−∠𝐴𝐸𝐷，∠𝐵= 180°−∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐵𝐸𝐶= 90°−∠𝐵𝐸𝐶
∴∠𝐴= ∠𝐵．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同位角相等，等角的余角相等，掌握以上知识是解题的关键．
23．阅读并填空．将三角尺（△𝑀𝑃𝑁，∠𝑀𝑃𝑁= 90°）放置在△𝐴𝐵𝐶上（点P 在△𝐴𝐵𝐶内），如图①所示，
三角尺的两边𝑃𝑀、𝑃𝑁恰好经过点B 和点C．我们来探究：∠𝐴𝐵𝑃与∠𝐴𝐶𝑃是否存在某种数量关系．
(1)特例探索：若∠𝐴= 50°，则∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= ______度；∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃= ______度；
(2)类比探索：求∠𝐴𝐵𝑃，∠𝐴𝐶𝑃，∠𝐴的关系，并说明理由；
(3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P 在△𝐴𝐵𝐶外，三角尺的两边𝑃𝑀、𝑃𝑁仍恰好经过点B
和点C，求∠𝐴𝐵𝑃，∠𝐴𝐶𝑃，∠𝐴的关系，并说明理由．
【答案】(1)90；40
(2)∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃= 90°−∠𝐴，理由见解析
(3)∠𝐴𝐶𝑃−∠𝐴𝐵𝑃= 90°−∠𝐴，理由见解析
【分析】本题考查三角形内角和定理的应用．
（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．
（2）结论：∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃= 90°−∠𝐴．利用三角形内角和定理即可证明．
（3）结论：∠𝐴𝐶𝑃−∠𝐴𝐵𝑃= 90°−∠𝐴．利用三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】（1）解：∵∠𝐴= 50°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 130°，
∵∠𝑃= 90°，
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃= 130°−90° = 40°，
故答案为：90，40；
（2）解：结论：∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃= 90°−∠𝐴，
证明：∵(∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵) + (∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃) + ∠𝐴= 180°，
∴90° + (∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃) + ∠𝐴= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃+ ∠𝐴= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃= 90°−∠𝐴．
故答案为：∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑃= 90°−∠𝐴；
（3）解：结论：∠𝐴𝐶𝑃−∠𝐴𝐵𝑃= 90°−∠𝐴，
理由是：设𝐴𝐵交𝑃𝐶于𝑂，如图2:
∵∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝑃𝑂𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝑂+ ∠𝐴= ∠𝑃+ ∠𝑃𝐵𝑂，即∠𝐴𝐶𝑃+ ∠𝐴= 90° + ∠𝐴𝐵𝑃，
∴∠𝐴𝐶𝑃−∠𝐴𝐵𝑃= 90°−∠𝐴，
故答案为：∠𝐴𝐶𝑃−∠𝐴𝐵𝑃= 90°−∠𝐴．
24．综合与实践：
问题情境：数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点E 是边AC 上一点，
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶．
特例分析：
(1)如图1，作∠𝐵𝐴𝐶的平分线交CB、BE 于D、F 两点．若∠𝐴𝐵𝐶= 70°，∠𝐶= 30°，求∠𝐸𝐹𝐷和∠𝐴𝐷𝐶．
类比猜想：
(2)奋斗小组在（1）的基础上，改变∠𝐵的大小，经过探究，他们发现∠𝐸𝐹𝐷与∠𝐴𝐷𝐶之间存在特定的等量关
系，请直接写出这一等量关系．
拓展探究：
(3)如图2，作△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐵𝐴𝐺的平分线，交CB 的延长线于点D，延长BE、DA 交于点F，请在图2 中
画出符合题意的图形，并探究（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出结论并说
明理由．
【答案】(1)∠𝐸𝐹𝐷= 110°，∠𝐴𝐷𝐶= 110°
(2)∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶
(3)成立，理由见解析
【分析】（1）利用三角形内角和定理先求得∠𝐵𝐴𝐶，利用角平分线的定义求得∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶= 40°，再利
用三角形的外角性质即可求解；
（2）同（1）的方法即可求解；
（3）根据角平分线的定义推出∠𝐺𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐵，再根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 70°，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 70°，
∵∠𝐶= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−70°−30° = 80°，
∵𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 40°，
∴∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐴𝐸𝐵= 110°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐷= 110°；
（2）解：∵𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶，
∵∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐵，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐶，
又∵∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶；
（3）解：成立．
理由如下：画出符合题意的图形，如图，
∵𝐴𝐷是∠𝐺𝐴𝐵的角平分线，
∴∠𝐺𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐵，
∵∠𝐴𝐵𝐶是△𝐴𝐵𝐷的外角，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐵，
∵∠𝐴𝐸𝐵是△𝐴𝐸𝐹的外角，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐸𝐹𝐷+ ∠𝐹𝐴𝐸，
∵∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐺𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐸𝐹𝐷+ ∠𝐺𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐸𝐹𝐷+ ∠𝐺𝐴𝐷，
∴∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
25．已知，𝛥𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶> ∠𝐵，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，𝑀是𝐴𝐸上一点，𝑀𝑁⊥𝐵𝐶于𝑁，
（1）当𝑀与𝐴重合时，如图1，
①若∠𝐵= 40°，∠𝐶= 80°，求∠𝐸𝑀𝑁的度数；
②问∠𝐸𝑀𝑁与∠𝐵，∠𝐶之间有何关系？请证明你的结论；
（2）如图2，𝐷是𝐵𝐶延长线上一点，若∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷，𝑀𝐶⊥𝐴𝐷于点𝐹，试探究∠𝐶𝑀𝑁与∠𝐴𝐶𝐵的关系．
【答案】（1）①∠𝐸𝑀𝑁= 20°；②∠𝐸𝑀𝑁=
1
2(∠𝐶−∠𝐵)，证明见解析；（2）∠𝐶𝑀𝑁=
1
2∠𝐴𝐶𝐵
【分析】（1）①首先根据三角形内角和求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠CAE 的度数，
然后根据直角三角形中两锐角互余求出∠CAN 的度数，即可求出∠EAN 的度数；②首先根据角平分线的性
质得到∠BAE=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，然后根据三角形内角和得到∠BAC=180°-∠B-∠C，然后根据∠AEC=∠B+∠BAE，最后根
据∠CMN+∠AEN=90°通过角度之间的等量代换即可表示出∠𝐸𝑀𝑁与∠𝐵，∠𝐶之间的关键．
（2）根据直角三角形CMN 和CDF 得到∠CMN=∠D，然后根据外角的性质和∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷即可得出∠𝐶𝑀𝑁与
∠𝐴𝐶𝐵的关系．
【详解】解：（1）①∵∠𝐵= 40°，∠𝐶= 80°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−40°−80° = 60°，
又∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐸= 30°，
∵∠𝐶= 80°，∠𝑀𝑁𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝑀𝑁= 10°，
∴∠𝐸𝑀𝑁= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝑀𝑁= 30°−10° = 20°；
②∠𝐸𝑀𝑁=
1
2(∠𝐶−∠𝐵)．
证明：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∴∠𝐵𝑀𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，
∵𝑀𝑁⊥𝐵𝐶
∴∠𝑀𝑁𝐸= 90°
∴∠𝐸𝑀𝑁= 90°−∠𝑀𝐸𝑁= 90°−(∠𝐸𝑀𝐵+ ∠𝐵)
= 90°−
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵
= 90°−
1
2 (∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵) +
1
2 ∠𝐵
= 90°−
1
2(180°−∠𝐶)+
1
2 ∠𝐵 =
1
2(∠𝐶−∠𝐵)；
（2）∵𝑀𝐶⊥𝐴𝐷于点𝐹，
∴∠CFD=90°，
又∵∠MNC=90°，∠MCN=∠DCF，
∴∠CMN=∠D，
又∵∠ACB=∠D+∠CAD，∠D=∠CAD，
∴∠ACB=2∠D，
∴∠ACB=2∠CMN，即∠CMN=
1
2∠ACB．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，角
平分线的性质．
26．（25-26 八年级上·江西宜春·期中）△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 80°，点𝐷，𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶，𝐵𝐶上的两个
定点，点𝑃是平面内一动点，令∠𝑃𝐷𝐴= ∠1，∠𝑃𝐸𝐵= ∠2，∠𝐷𝑃𝐸= ∠𝛼．
(1)如图（1），若点𝑃在线段𝐴𝐵上运动，
①当∠𝛼= 50°时，∠1 + ∠2 = ___________．
②写出∠𝛼，∠1，∠2之间的关系：___________．
(2)若点𝑃运动到边𝐴𝐵的延长线上，𝐷𝑃交𝐶𝐵于𝐹，如图（2），则∠𝛼，∠1，∠2之间有何关系？并说明理由．
【答案】(1)130°，∠1 + ∠2 = 80° + ∠𝛼
(2)结论：∠1 = 80° + ∠2 + ∠𝛼，理由见解析
【分析】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）①如图1 中，连接𝑃𝐶．证明∠1 + ∠2 = ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐷𝑃𝐸即可．
②利用①中结论解决问题．
（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：①如图1 中，连接𝑃𝐶．
∵∠1 = ∠𝐷𝐶𝑃+ ∠𝐷𝑃𝐶，∠2 = ∠𝐸𝐶𝑃+ ∠𝐶𝑃𝐸，
∴∠1 + ∠2 = ∠𝐷𝐶𝑃+ ∠𝐷𝑃𝐶+ ∠𝐸𝐶𝑃+ ∠𝐸𝑃𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐷𝑃𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝛼，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 80°，∠𝛼= 50°，
∴∠1 + ∠2 = 80° + 50° = 130°．
②由①可知，∠1 + ∠2 = ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝛼= 80° + ∠𝛼，
故答案为：130°，∠1 + ∠2 = 80° + ∠𝛼．
（2）解：结论：∠1 = 80° + ∠2 + ∠𝛼．
理由：如图2 中，
∵∠1 = ∠𝐶+ ∠𝐶𝐹𝐷，∠𝐶𝐹𝐷= ∠2 + ∠𝛼，
∴∠1 = 80° + ∠2 + ∠𝛼．
27．（24-25 七年级下·西藏·期中）已知直线𝑙1 ∥𝑙2，𝑙3和𝑙1，𝑙2分别交于C，D 两点，点A，B 分别在线𝑙1，𝑙2
上，且位于𝑙3的右侧，点P 在直线𝑙3上，且不和点C，D 重合．
(1)如图1，有一动点P 在线段𝐶𝐷之间运动时，试确定∠1、∠2、∠3之间的关系，并给出证明．
(2)如图2，当动点P 在射线𝐷𝐶上运动时，上述的结论是否成立？若不成立，请写出图2 中∠1、∠2、∠3的关
系并证明．
【答案】(1)∠2 = ∠1 + ∠3，证明见解析
(2)不成立；∠3 = ∠1 + ∠2，证明见解析
【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
（1）过点P 作𝑃𝐸∥𝑙1，根据𝑙1∥𝑙2可知𝑃𝐸∥𝑙2，故可得出∠1 = ∠𝐴𝑃𝐸，∠3 = ∠𝐵𝑃𝐸．再由∠2 = ∠𝐴𝑃𝐸+ ∠𝐵𝑃𝐸
即可得出结论；
（2）设𝑃𝐵与𝑙1交于点F，根据𝑙1∥𝑙2可知∠3 = ∠𝑃𝐹𝐶．在△𝐴𝑃𝐹中，根据∠𝑃𝐹𝐶是△𝐴𝑃𝐹的一个外角即可得
出结论．
【详解】（1）解：∠2 = ∠1 + ∠3．证明如下：
如图，过点P 作𝑃𝐸∥𝑙1．
∵𝑙1∥𝑙2，
∴𝑃𝐸∥𝑙2，
∴∠1 = ∠𝐴𝑃𝐸，∠3 = ∠𝐵𝑃𝐸，
又∵∠2 = ∠𝐴𝑃𝐸+ ∠𝐵𝑃𝐸，
∴∠2 = ∠1 + ∠3；
（2）解：上述结论不成立，新的结论：∠3 = ∠1 + ∠2．证明如下：
如图，设𝑃𝐵与𝑙1交于点F，
∵𝑙1∥𝑙2，
∴∠3 = ∠𝑃𝐹𝐶．
在△𝐴𝑃𝐹中，∵∠𝑃𝐹𝐶是△𝐴𝑃𝐹的一个外角，
∴∠𝑃𝐹𝐶= ∠1 + ∠2，
∴∠3 = ∠1 + ∠2．
28．已知𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐷的平分线，𝐶𝐸是∠𝐵𝐶𝐷的平分线，且𝐴𝐸与𝐶𝐸相交于点E．请你利用所学知识成下列问
题：
(1)如图①，若∠𝐷= 30°，∠𝐵= 40°，求∠𝐸的大小：
(2)如图②，求证： ∠𝐸=
1
2(∠𝐵−∠𝐷)；
(3)如图③，请直接写出∠𝐸与∠𝐷、∠𝐵之间等量关系．
【答案】(1)∠𝐸= 35°
(2)见解析
(3)∠𝐸=
1
2(∠𝐷−∠𝐵)
【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质：
（1）先利用外角说明∠𝐷、∠𝐷𝐶𝐸、∠𝐸、∠𝐷𝐴𝐵、∠𝐵、∠𝐵𝐴𝐸、∠𝐸𝐶𝐵之间关系，再利用等式的性质求出∠𝐸
的度数；
（2）先利用外角说明
1
2∠𝐷𝐶𝐵=
1
2∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐷+ ∠𝐸，
1
2∠𝐷𝐶𝐵+ ∠𝐸=
1
2∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐵，再代入即可求解；
（3）仿（2）的过程即可求解；
熟练掌握：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”是解题的关键．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐷的平分线，𝐶𝐸是∠𝐵𝐶𝐷的平分线，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸=
1
2∠𝐷𝐶𝐵，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐷，
∵∠𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐵，∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐵，
∴∠𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐵，
即∠𝐷+ ∠𝐵= 2∠𝐸，
∴∠𝐸=
1
2(∠𝐷+ ∠𝐵) = 35°．
（2）证明：延长𝐸𝐶交𝐴𝐷于点𝐹，如图：
∵∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐸𝐹𝐷+ ∠𝐷，∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐸，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐸，
即：
1
2∠𝐷𝐶𝐵=
1
2∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐷+ ∠𝐸①，
∵∠𝐸𝐶𝐵+ ∠𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸，
即：
1
2∠𝐷𝐶𝐵+ ∠𝐸=
1
2∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐵②，
把①代入②,得：
1
2∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐸=
1
2∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐵，
∴2∠𝐸= ∠𝐵−∠𝐷，
即：∠𝐸=
1
2(∠𝐵−∠𝐷)．
（3）∠𝐸与∠𝐷、∠𝐵之间等量关系：∠𝐸=
1
2(∠𝐷−∠𝐵)，
延长𝐸𝐶交𝐴𝐵于点𝐹，如图：
∵∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐸𝐹𝐵+ ∠𝐵，∠𝐸𝐹𝐵= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐸，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐸，
即
1
2∠𝐷𝐶𝐵=
1
2∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐵+ ∠𝐸①，
∵∠𝐸𝐶𝐷+ ∠𝐸= ∠𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐸，
即：
1
2∠𝐷𝐶𝐵+ ∠𝐸=
1
2∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐷②，
把①代入②, 得：
1
2∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐵+ ∠𝐸+ ∠𝐸=
1
2∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐷，
∴2∠𝐸= ∠𝐷−∠𝐵，
即：∠𝐸=
1
2(∠𝐷−∠𝐵)．
29．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°，点𝐷，𝐸分别是边𝐴𝐶，𝐴𝐵上的点（不与𝐴，𝐵，𝐶重合），点𝑃是平面内一动点
（𝑃与𝐷，𝐸不在同一直线上），设∠𝑃𝐷𝐶= ∠1，∠𝑃𝐸𝐵= ∠2，∠𝐷𝑃𝐸= ∠𝛼．
(1)若点𝑃在边𝐵𝐶上运动（不与点𝐵和点𝐶重合），且∠𝛼= 50°，如图（1）所示，则∠1 + ∠2 = ；
(2)若点𝑃在△𝐴𝐵𝐶的外部，如图（2）所示，则∠𝛼，∠1，∠2之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．
(3)当点𝑃在边𝐶𝐵的延长线上运动时，请你通过画出图形进行探究，然后直接写出∠𝛼，∠1，∠2之间的关系．
【答案】(1)110°
(2)∠𝛼+ ∠1−∠2 = ∠𝐴= 60°
(3)∠𝛼+ ∠2 = ∠1−60°或∠1−60° + ∠𝛼= ∠2
【分析】本题考查三角形的外角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的外角性质，三角形的
内角和定理，四边形内角和，即可．
（1）根据∠𝐵+ ∠2 = ∠𝑎+ ∠𝐷𝑃𝐶，∠𝐶+ ∠1 = ∠𝛼+ ∠𝐴𝐶𝐵，即可得到∠1 + ∠2的角度；
（2）根据三角形的外角，则∠2−∠𝛼= ∠1−50°，即可；
（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质，即可．
【详解】（1）∵∠𝐴= 60°，
∴∠𝐵+ ∠𝐶= 120°，
∵∠𝐵+ ∠2 = ∠𝑎+ ∠𝐷𝑃𝐶，∠𝐶+ ∠1 = ∠𝛼+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝛼= 50°，
∴∠1 + ∠2 = 180° + 50°−∠𝐵−𝐶= 110°．
故答案为：110°．
（2）∠𝛼+ ∠1−∠2 = 60°，理由，如下：
∵∠𝐴+ ∠3 = ∠1，∠𝛼+ ∠4 = ∠2，
∵∠3 = ∠4，
∴∠𝛼−∠𝐴= ∠2−∠1，
∴∠𝛼+ ∠1−∠2 = ∠𝐴= 60°．
（3）∠𝛼+ ∠2 = ∠1−60°，
证明如下：
∵∠𝛼+ ∠2 = ∠3，∠𝐴+ ∠4 = ∠1，∠3 = ∠4，
∴∠𝛼+ ∠2 + 60° = ∠1，
∴∠𝛼+ ∠2 = ∠1−60°；
∠1−60° + ∠𝛼= ∠2，
证明如下：
∵∠4 + ∠𝐴= ∠1，∠𝛼+ ∠3 = ∠2，∠3 = ∠4，
∴∠𝐴−∠𝛼= ∠1−∠2，
∴∠1−60° + ∠𝛼= ∠2．
30．已知△𝐴𝐵𝐶，𝐷为△𝐴𝐵𝐶所在平面上一点，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐷，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷．
(1)若𝐷点是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上一点，如图1 所示，判断∠𝑃、∠𝐴之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
(2)若𝐷点是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上一点，如图2 所示，判断∠𝐵𝐷𝐶、∠𝐵𝑃𝐶、∠𝐴之间存在怎样的等量关系？并证明
你的结论．
(3)若𝐷点是△𝐴𝐵𝐶外任一点，如图3 所示，判断∠𝐷、∠𝑃、∠𝐴之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
【答案】(1)结论：∠𝑃= 90° +
1
2∠𝐴，证明见解析
(2)结论：∠𝐴+ ∠𝐵𝐷𝐶= 2∠𝐷𝑃𝐶，证明见解析
(3)结论：∠𝐷+ ∠𝐴= 2∠𝑃，证明见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上
知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的定义可得∠𝑃𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，∠𝑃𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，再由三角形内角和定理进行计算即可得出
答案；
（2）由角平分线的定义可得∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐷𝐶𝑃，由三角形外角的定义及性质可得∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐷𝑃𝐶−∠𝐴，
∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐷𝑃𝐶，即可得出∠𝐷𝐶𝑃−∠𝐴= ∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐷𝑃𝐶，从而得出答案；
（3）由角平分线的定义可得：∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐷𝐶𝑃，∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝐴𝐵𝑃，再由∠𝐷+ ∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝑃+ ∠𝐷𝐶𝑃，
∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝑃+ ∠𝐴𝐵𝑃即可得出答案．
【详解】（1）解：结论：∠𝑃= 90° +
1
2∠𝐴，
证明：∵ 𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐷，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝑃𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，∠𝑃𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝑃= 180°−(∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵)，
= 180°−1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)
= 180°−1
2 (180°−∠𝐴)
= 90° +
1
2∠𝐴；
（2）解：结论：∠𝐴+ ∠𝐵𝐷𝐶= 2∠𝐷𝑃𝐶，
证明：∵ 𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐷𝐶𝑃，
∵∠𝐵𝐷𝐶是△𝐴𝐶𝐷的外角，∠𝐷𝑃𝐶是△𝐴𝐶𝑃的外角，
∴∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐷𝑃𝐶−∠𝐴，∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐷𝑃𝐶，
∴∠𝐷𝐶𝑃−∠𝐴= ∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐷𝑃𝐶，
∴∠𝐴+ ∠𝐵𝐷𝐶= 2∠𝐷𝑃𝐶；
（3）解：结论：∠𝐷+ ∠𝐴= 2∠𝑃，
证明：∵ 𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐷，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐷𝐶𝑃，∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝐴𝐵𝑃，
∵∠𝐷+ ∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝑃+ ∠𝐷𝐶𝑃，∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝑃+ ∠𝐴𝐵𝑃，
∴∠𝐷+ ∠𝐴= 2∠𝑃．
【题型4 探究与三角形有关的线段之间的位置关系】
31．（24-25 八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠1 = ∠𝐹，∠2 = ∠𝐸，试猜想𝐴𝐹与𝐷𝐸的位置关
系，并证明你的结论．
【答案】𝐴𝐹⊥𝐷𝐸，证明见解析
【分析】由两直线平行内错角相等可得∠𝐴𝐻𝐷= ∠1，∠𝐴𝐺𝐷= ∠2，进而可得∠𝐹= ∠𝐴𝐻𝐷，∠𝐸= ∠𝐴𝐺𝐷，由
三角形外角的性质可得∠1 + ∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐸+ ∠𝐹= ∠𝐴𝑂𝐺，由三角形的内角和定理可得
∠1 + ∠𝐴𝐺𝐷+ ∠𝐴𝑂𝐺= 180°，于是可得∠𝐴𝑂𝐺= 90°，根据垂线的定义即可得出结论．
【详解】解：𝐴𝐹⊥𝐷𝐸，理由如下：
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐻𝐷= ∠1，∠𝐴𝐺𝐷= ∠2，
∵∠1 = ∠𝐹，∠2 = ∠𝐸，
∴∠𝐹= ∠𝐴𝐻𝐷，∠𝐸= ∠𝐴𝐺𝐷，
∴∠1 + ∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐸+ ∠𝐹= ∠𝐴𝑂𝐺，
又∵∠1 + ∠𝐴𝐺𝐷+ ∠𝐴𝑂𝐺= 180°，
∴∠𝐴𝑂𝐺= 90°，
∴𝐴𝐹⊥𝐷𝐸．
【点睛】本题主要考查了两直线平行内错角相等，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，垂线的定义
等知识点，利用各项已知条件推出∠1 + ∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐴𝑂𝐺是解题的关键．
32．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴= 𝑥°，∠𝐶= 𝑦°(0 < 𝑥< 180,0 < 𝑦< 180)．
(1)∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= ______度；（用含𝑥，𝑦的代数式表示）
(2)若𝑥= 𝑦= 90，𝐵𝐹平分与∠𝐴𝐵𝐶相邻的外角∠𝐶𝐵𝑀，𝐷𝐺平分∠𝐴𝐷𝐶交𝐵𝐶于点𝐸，交𝐵𝐹于点𝐺，判断𝐷𝐺与𝐵𝐹
的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)(360−𝑥−𝑦)；
(2)
解：𝐷𝐺⊥𝐵𝐹，理由如下：
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑀= 180°，
∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= (360−𝑥−𝑦)° = (360−90−90)° = 180°．
∴∠𝐶𝐵𝑀= ∠𝐴𝐷𝐶．
∵𝐵𝐹平分∠𝐶𝐵𝑀，𝐷𝐺平分∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐶𝐵𝐹=
1
2∠𝐶𝐵𝑀，∠𝐶𝐷𝐸=
1
2∠𝐴𝐷𝐶．
∴∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐶𝐷𝐸．
∵∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐺𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐶，
∴∠𝐵𝐺𝐸= ∠𝐶= 90°．
∴𝐷𝐺⊥𝐵𝐹．
【分析】本题主要考查了四边形内角和问题，角平分线的定义，三角形外角的定义以及性质等知识．
（1）由四边形内角和为360°即可解题．
（2）由平角的定义得出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑀= 180°，由（1）可得出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，可得出
∠𝐶𝐵𝑀= ∠𝐴𝐷𝐶，由角平分线的定义可得出∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐶𝐷𝐸，由三角形外角的定义以及性质可得出，
∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐺𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐶，即可得出∠𝐵𝐺𝐸= ∠𝐶= 90°，则𝐷𝐺⊥𝐵𝐹
【详解】（1）解：∵∠𝐴+ ∠𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 360°，∠𝐴= 𝑥°，∠𝐶= 𝑦°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 360°−𝑥°−𝑦°，
故答案为：(360−𝑥−𝑦)．
（2）略
33．如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐸，𝐶𝐹分别是∠𝐴𝐶𝐵及外角∠𝐴𝐶𝐷的平分线，且𝐶𝐸交𝐴𝐵于点E，𝐸𝐹∥𝐵𝐶交𝐴𝐶
于点M．
(1)判断𝐸𝐶与𝐶𝐹的位置关系，并说明理由；
(2)若∠𝐵= 40°，∠𝐴= 60°，求∠𝐹的度数．
【答案】(1)𝐸𝐶⊥𝐶𝐹，理由见解析
(2)∠𝐹= 50°
【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟记平行线的性质是解本
题的关键；
（1）先证明∠𝑀𝐶𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，∠𝑀𝐶𝐹=
1
2∠𝐴𝐶𝐷，结合邻补角的性质可得结论；
（2）先求解∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵= 100°，可得∠𝐹𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐷= 50°，再结合平行线的性质可得答案．
【详解】（1）解：𝐸𝐶⊥𝐶𝐹．理由如下：
∵𝐶𝐸，𝐶𝐹分别是∠𝐴𝐶𝐵及外角∠𝐴𝐶𝐷的平分线，
∴∠𝑀𝐶𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，∠𝑀𝐶𝐹=
1
2∠𝐴𝐶𝐷．
∵∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180°，
∴∠𝑀𝐶𝐸+ ∠𝑀𝐶𝐹= 90°，即∠𝐸𝐶𝐹= 90°，
∴𝐸𝐶⊥𝐶𝐹．
（2）∵∠𝐴= 60°，∠𝐵= 40°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵= 100°．
∵𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐹𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐷= 50°．
∵𝐸𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠𝐹= ∠𝐹𝐶𝐷= 50°．
34．如图1，线段𝐵𝐴⊥𝐴𝐶于点A，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，M 为射线𝐴𝐶上一点，𝑀𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为E，∠𝐴𝑀𝐸的平分
线交直线𝐴𝐵于点F．
(1)如图1，当M 为线段𝐴𝐶上一点，你能判断𝐵𝐷、𝑀𝐹的位置关系吗？请说明理由；
(2)如图2，M 为线段𝐴𝐶延长线上一点，你能判断𝐵𝐷、𝑀𝐹的位置关系吗？请说明理由．
【答案】(1)𝐵𝐷∥𝑀𝐹，见解析
(2)𝐵𝐷⊥𝑀𝐹，见解析
【分析】（1）利用平行线的判定即可证明；
（2）利用各角之间的关系，证明𝐵𝐷所在的直线与𝑀𝐹的夹角为90°即可．
【详解】（1）解：∵𝐵𝐴⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴= 90°，
∵𝑀𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴= ∠𝐶𝐸𝑀，
∴∠𝐶𝑀𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝑀𝐸= 180°，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝑀𝐹平分∠𝐴𝑀𝐸，
∴∠𝐴𝑀𝐹+ ∠𝐴𝐵𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐹𝑀= ∠𝐴𝐵𝐷，
∴𝐵𝐷∥𝑀𝐹；
（2）延长𝐵𝐷，交𝑀𝐹于点G，
∵在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐶𝑀𝐹中，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶𝐸𝑀，∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝑀𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝑀𝐸，
又∵𝐵𝐷、𝑀𝐹分别为∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐶𝑀𝐸的平分线，
∴∠𝐹𝐵𝐺= ∠𝐴𝑀𝐹，
又∵∠𝐴𝑀𝐹+ ∠𝐴𝐹𝑀= 90°，
∴∠𝐹𝐵𝐺+ ∠𝐴𝐹𝑀= 90°，
∴∠𝐵𝐺𝐹= 90°，
∴𝐵𝐷⊥𝑀𝐹．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定以及垂线的判定，角平分线的概念，熟练掌握平行
线的判定以及垂线的判定是解题的关键．
35．（25-26 七年级上·江苏扬州·期末）如图，点𝐹在线段𝐴𝐵上，点𝐸，𝐺在线段𝐶𝐷上，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠1 = ∠2．
(1)请判断𝐹𝐺与𝐴𝐸的位置关系，并说明理由；
(2)若𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐷，𝐹𝐺⊥𝐵𝐶，∠𝐷= 110°，求∠𝐴的度数．
【答案】(1)𝐹𝐺∥𝐴𝐸，见解析
(2)55°
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直定义，
对于（1），先根据“两直线平行，内错角相等”得∠1 = ∠𝐹𝐺𝐶，进而得出∠2 = ∠𝐹𝐺𝐶，再根据“同位角相等，
两直线平行”得出答案；
对于（2），先根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠𝐴𝐵𝐷= 70°，再根据角平分线定义得∠𝐴𝐵𝐶= 35°，然
后根据垂直定义得∠1 = 55°，最后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案．
【详解】（1）证明：𝐹𝐺∥𝐴𝐸，理由如下：
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠1 = ∠𝐹𝐺𝐶．
∵∠1 = ∠2，
∴∠2 = ∠𝐹𝐺𝐶，
∴𝐹𝐺∥𝐴𝐸；
（2）解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐷= 180°．
∵∠𝐷= 110°，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 180°−110° = 70°．
∵𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐷= 35°．
∵𝐹𝐺⊥𝐵𝐶，
∴∠1 = 55°．
∵𝐹𝐺∥𝐴𝐸，
∴∠1 = ∠𝐴= 55°．
36．（24-25 七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知点𝐸、𝐹在直线𝐴𝐵上，点𝐺在线段𝐶𝐷上，𝐸𝐷与𝐹𝐺交
于点𝐻， ∠𝐶= ∠𝐸𝐹𝐺，∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐺𝐻𝐷．
(1)𝐶𝐸与𝐹𝐺有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)若∠𝐸𝐻𝐹= 85°，∠𝐷= 25°，求∠𝐴𝐸𝑀的度数．
【答案】(1)平行，理由见解析；
(2)110°
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握以上知识点是解题
的关键．
（1）根据同位角相等，两直线平行，即可判定；
（2）由𝐶𝐸∥𝐹𝐺，可得∠𝐶= ∠𝐹𝐺𝐷，∠𝐶𝐸𝐵+ ∠𝐸𝐹𝐻= 180°，接着证明𝐴𝐵∥𝐶𝐷，得到∠𝐷= ∠𝐹𝐸𝐻，然后在
△𝐸𝐹𝐻中，求得∠𝐸𝐹𝐻，最后求得∠𝐶𝐸𝐵的度数，利用对顶角相等，即可得到答案．
【详解】（1）解：平行，理由如下：
∵∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐺𝐻𝐷，
∴𝐶𝐸∥𝐹𝐺；
（2）解：∵𝐶𝐸∥𝐹𝐺，
∴∠𝐶= ∠𝐹𝐺𝐷，∠𝐶𝐸𝐵+ ∠𝐸𝐹𝐻= 180°，
∵∠𝐶= ∠𝐸𝐹𝐺，
∴∠𝐸𝐹𝐺= ∠𝐹𝐺𝐷，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐷= ∠𝐹𝐸𝐻，
∵∠𝐷= 25°，
∴∠𝐹𝐸𝐻= 25°，
∵∠𝐸𝐻𝐹= 85°，
∴∠𝐸𝐹𝐻= 180°−∠𝐹𝐸𝐻−∠𝐸𝐻𝐹= 180°−25°−85° = 70°，
∴∠𝐶𝐸𝐵= 180°−∠𝐸𝐹𝐻= 180°−70° = 110°，
∴∠𝐴𝐸𝑀= ∠𝐶𝐸𝐵= 110°．
37．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐶，直线𝐸𝐹分别交𝐴𝐵、𝐴𝐶和𝐶𝐵的延
长线于点𝐷、𝐸、𝐹．
(1)若∠𝐹𝐸𝐶= 120°，∠𝐹= 20°，则∠𝐴= ________．
(2)猜想∠𝐹+ ∠𝐹𝐸𝐶与∠𝐴的关系，并说明理由．
(3)在线段𝐷𝐹上取一点𝑀，使得∠𝑀𝐵𝐶= ∠𝐹+ ∠𝐹𝐸𝐶，连接𝐵𝑀，判断𝐵𝑀与𝐴𝐶的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)70°
(2)∠𝐹+ ∠𝐹𝐸𝐶= 2∠𝐴
(3)𝐵𝑀∥𝐴𝐶
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的判定，
对于（1），根据三角形内角和定理求出∠𝐶，再根据三角形内角和定理求出答案；
对于（2），根据三角形内角和定理可得答案；
对于（3），根据三角形内角和定理可得∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝐶= 180°，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案．
【详解】（1）解：在△𝐶𝐸𝐹中，∠𝐹𝐸𝐶= 120°,∠𝐹= 20°，
∴∠𝐶= 180°−∠𝐹𝐸𝐶−∠𝐹= 40°．
∵∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= 180°，
∴∠𝐴= 70°．
故答案为：70°；
（2）解：2∠𝐴= ∠𝐹𝐸𝐶+ ∠𝐹．
理由如下：
∵∠𝐶+ (∠𝐹𝐸𝐶+ ∠𝐹) = 180°，∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= 180°，
∴∠𝐶= 180°−(∠𝐹𝐸𝐶+ ∠𝐹),∠𝐶= 180°−2∠𝐴，
即2∠𝐴= ∠𝐹𝐸𝐶+ ∠𝐹；
（3）解：𝑀𝐵∥𝐴𝐶．
理由如下：
∵∠𝑀𝐵𝐶= ∠𝐹+ ∠𝐹𝐸𝐶,∠𝐶+ ∠𝐹+ ∠𝐹𝐸𝐶= 180°，
∴∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝐶= 180°，
∴𝑀𝐵∥𝐴𝐶．
38．如图，已知点O 在直线𝐴𝐵上，射线𝑂𝐷平分∠𝐵𝑂𝐶，过点O 作𝑂𝐸⊥𝑂𝐷，G 是射线𝑂𝐵上一点，连接𝐷𝐺，
满足∠𝑂𝐷𝐺+ ∠𝐷𝑂𝐺= 90°．
(1)求证：∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝑂𝐷𝐺；
(2)若∠𝑂𝐷𝐺= ∠𝐶，试判断𝐶𝐷与𝑂𝐸的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)𝐶𝐷∥𝑂𝐸，理由见详解
【分析】本题考查了余角，平行线的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题关键．
（1）根据同角的余角相等即可证明；
（2）由∠1 = ∠2，∠𝑂𝐷𝐺= ∠𝐶，∠𝑂𝐷𝐺+ ∠2 = 90°得到∠𝐶+ ∠1 = 90°，即𝐶𝐷⊥𝐷𝑂，而𝑂𝐸⊥𝑂𝐷，即可证
明．
【详解】（1）证明：∵𝑂𝐸⊥𝑂𝐷，
∴∠𝐸𝑂𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐷𝑂𝐺= 90°，
∵∠𝑂𝐷𝐺+ ∠𝐷𝑂𝐺= 90°，
∴∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝑂𝐷𝐺；
（2）解：𝐶𝐷∥𝑂𝐸，理由如下：
∵𝑂𝐷平分∠𝐵𝑂𝐶，
∴∠1 = ∠2，
∵∠𝑂𝐷𝐺= ∠𝐶，
又∵∠𝑂𝐷𝐺+ ∠2 = 90°，
∴∠𝐶+ ∠1 = 90°，
∴∠𝐶𝐷𝑂= 180°−90° = 90°，
即𝐶𝐷⊥𝐷𝑂，
∵𝑂𝐸⊥𝑂𝐷，
∴𝐶𝐷∥𝑂𝐸．
39．已知，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐵= 90°．
(1)如图1，若𝐷𝐹平分∠𝐴𝐷𝐶，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶的邻补角，判断𝐷𝐹与𝐵𝐸的位置关系；
(2)如图2，若𝐵𝐸、𝐷𝐹分别平分∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐷𝐶的邻补角，判断𝐷𝐹与𝐵𝐸的位置关系．
【答案】(1)𝐷𝐹⊥𝐵𝐸
(2)𝐷𝐹∥𝐵𝐸
【分析】（1）设𝐷𝐹,𝐵𝐸交于点𝐺，证明∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝑁𝐵𝐶．可得∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐸𝐵𝐶．即可得∠𝑂𝐺𝐵= ∠𝐷𝐶𝐵= 90°，
则可证得𝐷𝐸⊥𝐵𝐹；
（2）连接𝐵𝐷，证明∠𝑁𝐵𝐶+ ∠𝑀𝐷𝐶= 180°，得出∠𝐶𝐷𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐷= 90°，进而得出∠𝐸𝐷𝐵+ ∠𝐹𝐵𝐷= 180°，
即可得出结论．
【详解】（1）解：𝐷𝐸⊥𝐵𝐹．证明如下：设𝐷𝐹,𝐵𝐸交于点𝐺，
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= 360°，∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°．
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐵𝐶= 180°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝑁𝐵𝐶．
∵𝐷𝐸、𝐵𝐹分别平分∠𝐴𝐷𝐶、∠𝑁𝐵𝐶，
∴∠𝐹𝐷𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐸𝐵𝐶=
1
2 ∠𝑁𝐵𝐶，
∴∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐸𝐵𝐶．
∵∠𝐹𝐷𝐶+ ∠𝐷𝑂𝐶+ ∠𝐷𝐶𝑂= 180°，∠𝐸𝐵𝐺+ ∠𝐵𝐺𝑂+ ∠𝐵𝑂𝐺= 180°，∠𝐷𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐺，
∴∠𝑂𝐺𝐵= ∠𝐷𝐶𝐵= 90°，
∴𝐷𝐸⊥𝐵𝐹；
（2）𝐷𝐸∥𝐵𝐹．证明如下：
如图，连接𝐵𝐷，
∵𝐵𝐸、𝐷𝐹分别平分∠𝑁𝐵𝐶、∠𝐶𝐷𝑀
∴∠𝐹𝐷𝐶=
1
2 ∠𝑀𝐷𝐶，∠𝐸𝐵𝐶=
1
2 ∠𝑁𝐵𝐶，
∵∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝑀𝐷𝐶= 180°，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝑁𝐵𝐶，
∴∠𝑁𝐵𝐶+ ∠𝑀𝐷𝐶= 180°，
∴∠𝐹𝐷𝐶+ ∠𝐸𝐵𝐶= 90°．
∵∠𝐷𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐷𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐷= 90°，
∴∠𝐹𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐵+ ∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐷= 180°，
即∠𝐸𝐷𝐵+ ∠𝐹𝐵𝐷= 180°，
∴𝐷𝐸∥𝐵𝐹．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应
用是解题的关键．
40．△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐷是角平分线，F 是𝐴𝐵上的一个动点，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵交𝐵𝐶于点E，𝐸𝐺平分∠𝐶𝐸𝐹，
(1)如图1，当点E 在线段𝐵𝐷上时，𝐸𝐺交𝐴𝐵于点G，判断𝐸𝐺与𝐴𝐷的位置关系是 ；
(2)如图2，当点E 在线段 𝐶𝐷上时，𝐸𝐺交𝐴𝐶于点G，(1)中结论是否成立？请证明你的结论；
(3)如图3，当点E 在线段 𝐷𝐶延长线上时，𝐸𝐺交𝐴𝐶于点G，判断𝐸𝐺与𝐴𝐷的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)平行；
(2)成立，证明见解析；
(3)垂直，证明见解析．
【分析】（1）设∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷= 𝑥，根据条件可推出∠𝐴𝐷𝐶= 90°−𝑥= ∠𝐺𝐸𝐷，据此可求解；
（2）根据（1）的推理过程即可求证 ；
（3）延长𝐸𝐺交𝐴𝐷与点H，根据条件可推出∠𝐴𝐷𝐶= 90°−𝑥 ,∠𝐺𝐸𝐷= 𝑥，即可求解．
【详解】（1）解：∵∠𝐵+ ∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐸𝐹= 90°
∴ ∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐵𝐸𝐹
∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵
设∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷= 𝑥
则∠𝐵𝐸𝐹= 2𝑥,∠𝐶𝐸𝐹= 180°−2𝑥
∵𝐸𝐺平分∠𝐶𝐸𝐹
∴∠𝐺𝐸𝐷=
1
2∠𝐶𝐸𝐹= 90°−𝑥
∵∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= 90°
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°−𝑥= ∠𝐺𝐸𝐷
∴𝐸𝐺∥𝐴𝐷
故答案为：平行
（2）解：成立，理由如下：
∵∠𝐵+ ∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐸𝐹= 90°
∴ ∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐵𝐸𝐹
∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵
设∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷= 𝑥
则∠𝐵𝐸𝐹= 2𝑥,∠𝐶𝐸𝐹= 180°−2𝑥
∵𝐸𝐺平分∠𝐶𝐸𝐹
∴∠𝐺𝐸𝐶=
1
2∠𝐶𝐸𝐹= 90°−𝑥
∵∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= 90°
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°−𝑥= ∠𝐺𝐸𝐶
∴𝐸𝐺∥𝐴𝐷
（3）解：垂直，理由如下：
延长𝐸𝐺交𝐴𝐷与点H，如图所示：
∵∠𝐵+ ∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐸𝐹= 90°
∴ ∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐵𝐸𝐹
∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵
设∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷= 𝑥
则∠𝐵𝐸𝐹= 2𝑥
∵𝐸𝐺平分∠𝐶𝐸𝐹
∴∠𝐺𝐸𝐶=
1
2∠𝐶𝐸𝐹= 𝑥
∵∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= 90°
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°−𝑥
∴∠𝐻= 180°−∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐺𝐸𝐶= 90°
∴𝐸𝐺⊥𝐴𝐷
【点睛】本题以平面内两直线的位置关系为背景，考查了平行线的判定、角平分线的定义等相关知识点．明
确推理过程是解题关键．
【题型5 与三角形的角有关的证明】
41．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸．
(1)求证：𝐴𝐷⊥𝐵𝐶；
(2)求证：∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关
键．
（1）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质得到∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，然后用三角形内角和定理得到∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐸𝐴𝐹，
等量代换即可得到∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷．
【详解】（1）∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶；
（2）如图所示，设𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点F，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐵= 90°，
∵∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐴𝐹𝐸，
∴∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐸𝐴𝐹，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷．
42．如图，点D，E，F 分别是三角形𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶，𝐴𝐵上的点，𝐷𝐹∥𝐴𝐶且𝐷𝐸∥𝐴𝐵．
(1)求证：∠𝐴= ∠𝐹𝐷𝐸；
(2)若∠𝐴= 3∠𝐵，∠𝐶= ∠𝐵+ 30°，求证：𝐴𝐵⊥𝐴𝐶．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和，关键是根据平行线的性质和三角形的内角和定理进行解
答．
（1）由平行线的性质进行证明即可；
（2）由三角形内角和定理证明即可．
【详解】（1）证明：∵𝐷𝐸∥𝐵𝐴，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐷= 180°，
∵𝐷𝐹∥𝐶𝐴，
∴∠𝐹𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 180°，
∴∠𝐴= ∠𝐹𝐷𝐸；
（2）证明：∵∠𝐴= 3∠𝐵，∠𝐶= ∠𝐵+ 30°
∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
即3∠𝐵+ ∠𝐵+ ∠𝐵+ 30° = 180°，
解得：∠𝐵= 30°，
∴∠𝐴= 3∠𝐵= 90°，
∴𝐴𝐵⊥𝐴𝐶．
43．如图，已知：∠1 + ∠2 = 180°．
(1)求证：𝐴𝐵∥𝐸𝐹．
(2)若∠3 = ∠𝐵，
①求证：𝐷𝐸∥𝐵𝐶．
②若∠𝐴= 60°，∠𝐵= 40°，则∠𝐴𝐸𝐷的度数为_______．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②80°
【分析】（1）根据已知和邻补角得出∠1 + ∠2 = 180°，∠1 + ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，根据等量代换得出
∠𝐴𝐷𝐶= ∠2，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；
（2）①根据（1）可知𝐴𝐵∥𝐸𝐹，再根据两直线平行内错角相等得出∠3 = ∠𝐴𝐷𝐸，然后根据等量代换得出
∠3 = ∠𝐴𝐷𝐸，最后根据同位角相等，两直线平行即可得证；②根据三角形内角和得出∠𝐴𝐶𝐵= 80°，再根据
两直线平行，同位角相等即可得出答案．
【详解】（1）∵ ∠1 + ∠2 = 180°，∠1 + ∠𝐴𝐷𝐶= 180°
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠2
∴𝐴𝐵∥𝐸𝐹
（2）①由（1）可知，𝐴𝐵∥𝐸𝐹
∴∠3 = ∠𝐴𝐷𝐸
∵ ∠3 = ∠𝐵
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸
∴𝐷𝐸∥𝐵𝐶；
②在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°，∠𝐵= 40°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 80°
由①知，𝐷𝐸∥𝐵𝐶
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 80°．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、三角形内角和为180°，熟练掌握性质定理是解题的关键．
44．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，点D、E 分别在边𝐵𝐶、𝐴𝐶上．
(1)若∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵，求证：∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐸；
(2)若∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷，求证：∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐷𝐸．
【答案】(1)见解析
(2)见详解
【分析】本题考查了三角形的外角性质；熟练掌握三角形的外角性质是解决问题．
（1）先整理得∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶，根据三角形外角的性质得出∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐷，整理得
∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐷，即可得出结论；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐸𝐷𝐶，再根据
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶
∵∠𝐴𝐷𝐶是△𝐴𝐵𝐷的外角，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐷，
即：∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷
即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐸
（2）解：∵∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐶𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐶𝐷𝐸．
∵∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐷，
又∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐷𝐸
45．（24-25 八年级上·全国·暑假作业）（1）如图，𝐴𝐵和𝐶𝐷交于交于点O，求证：∠𝐴+ ∠𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷 ．
（2）如图，求证：∠𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐷．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了三角形外角和定理的综合运用．
根据三角形外角的性质，即可得到∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝐵+ ∠𝐷，∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐶，即可得到∠𝐴+ ∠𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷．
延长线段𝐵𝐷交线段与点E，求得∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵，∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶+ ∠𝐶，即可解答．
【详解】解：（1）如图，在△𝐴𝑂𝐶中，∠𝐶𝑂𝐵是一个外角，由外角的性质可得：∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐶，
同理，在△𝐵𝑂𝐷中，∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝐵+ ∠𝐷，
所以∠𝐴+ ∠𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷．
（2）如图，延长线段𝐵𝐷交线段与点E，
在△𝐴𝐵𝐸中，∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵①；
在△𝐷𝐶𝐸中，∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶+ ∠𝐶 ②，
将①代入②得，∠𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐷.
46．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴= ∠𝐶，G 是𝐵𝐶上一点，𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐺交𝐶𝐵的延长线于点E．
(1)求证：𝐴𝐷∥𝐶𝐵
(2)求证：∠𝐷𝐺𝐶= 2∠𝐸
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角：
（1）𝐴𝐵∥𝐶𝐷，得到∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶，进而推出∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐸，即可得证；
（2）根据平行结合角平分线，得到∠𝐸= ∠𝐺𝐷𝐸，利用三角形的外角，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶，
∵∠𝐴= ∠𝐶，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐸，
∴𝐴𝐷∥𝐶𝐵；
（2）∵𝐴𝐷∥𝐶𝐵，
∴∠𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸，
∵𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐺，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐸𝐷𝐺，
∴∠𝐸= ∠𝐺𝐷𝐸，
∵∠𝐷𝐺𝐶是△𝐷𝐺𝐸的一个外角，
∴∠𝐷𝐺𝐶= ∠𝐸+ ∠𝐺𝐷𝐸= 2∠𝐸．
47．（25-26 七年级下·四川绵阳·期中） 如图①，点E 在直线𝐵𝐻，𝐷𝐶之间，点A 为𝐵𝐻上一点，且
𝐴𝐸⊥𝐶𝐸，∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐻𝐴𝐸= 90°．
(1)求证：𝐵𝐻∥𝐶𝐷；
(2)如图②，直线𝐴𝐹交𝐷𝐶于𝐹，𝐴𝑀平分∠𝐸𝐴𝐹，𝐴𝑁平分∠𝐵𝐴𝐸．求证：∠𝑀𝐴𝑁=
1
2∠𝐴𝐹𝐺
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长𝐴𝐸交𝐷𝐶于F，先证∠𝐻𝐴𝐸= ∠𝐴𝐹𝐷，再根据线线平行的判定证明即可；
（2）由角平分线的性质可得∠𝐸𝐴𝑀=
1
2∠𝐸𝐴𝐹，∠𝐸𝐴𝑁=
1
2∠𝐵𝐴𝐸=
1
2（∠𝐸𝐴𝐹+ ∠𝐵𝐴𝐹），再由𝐵𝐻∥𝐶𝐷可得
∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐴𝐹𝐺，进而得到∠𝑀𝐴𝑁=
1
2∠𝐴𝐹𝐺．
【详解】（1）证明：如图，延长𝐴𝐸交𝐷𝐶于F，
∵𝐴𝐸⊥𝐶𝐸，
∴∠𝐶𝐸𝐹= 90°，
根据三角形的外角性质，∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐶𝐸𝐹= 90°，
又∵∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐻𝐴𝐸= 90°，
∴∠𝐻𝐴𝐸= ∠𝐴𝐹𝐷，
∴𝐵𝐻∥𝐶𝐷；
（2）证明：∵𝐴𝑀平分∠𝐸𝐴𝐹，𝐴𝑁平分∠𝐵𝐴𝐸，
∴∠𝐸𝐴𝑀=
1
2∠𝐸𝐴𝐹，∠𝐸𝐴𝑁=
1
2∠𝐵𝐴𝐸=
1
2（∠𝐸𝐴𝐹+ ∠𝐵𝐴𝐹），
∴∠𝑀𝐴𝑁= ∠𝐸𝐴𝑁−∠𝐸𝐴𝑀=
1
2（∠𝐸𝐴𝐹+ ∠𝐵𝐴𝐹）−
1
2∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐹，
∵𝐵𝐻∥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐴𝐹𝐺，
∴∠𝑀𝐴𝑁=
1
2∠𝐴𝐹𝐺．
48．（25-26 八年级上·山东菏泽·期中）如图①，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐷是𝐴𝐵上一点，且∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵．
(1)求证：𝐶𝐷⊥𝐴𝐵．
(2)如图②，若∠𝐵𝐴𝐶的平分线分别交𝐵𝐶,𝐶𝐷于点𝐸,𝐹，求证：∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角的等量代换，以及三角形外角、等角的补角相等．
（1）先利用直角三角形∠𝐴𝐶𝐵= 90°，得到∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，再结合已知∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵，替换后得出
∠𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷= 90°；最后根据三角形内角和，推出∠𝐵𝐷𝐶= 90°，证明𝐶𝐷⊥𝐴𝐵；
（2）先根据角平分线定义，得到∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐷；再根据三角形外角性质，结合已知∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵，得
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶𝐹𝐸，根据等角的补角相等即可证明∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶．
【详解】（1）证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
又∵∠𝐶𝐷𝐵+ ∠𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，
∴∠𝐶𝐷𝐵= 90°，
∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐵；
（2）解：∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐷，
又∵∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐹𝐸，∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶，
∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶𝐹𝐸，
∴180°−∠𝐴𝐸𝐶= 180°−∠𝐶𝐹𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶．
49．（24-25 七年级下·上海·阶段检测）在△𝐴𝐵𝐶的𝐶𝐴、𝐵𝐴的延长线上任取两点D，E，连接𝐷𝐸．
(1)如图1，求证：∠𝐵+ ∠𝐶= ∠𝐷+ ∠𝐸；
(2)如图2，∠𝐴𝐸𝐷和∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点𝐹，求证，∠𝐹=
1
2(∠𝐵+ ∠𝐷)．（提示：可直接利用（1）的结论）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】题目主要考查了三角形内角和定理及对顶角相等，理解题意是解题关键．
（1）根据对顶角相等及三角形内角和定理即可证明；
（2）根据角平分线得出∠𝐴𝐸𝐻= ∠𝐷𝐸𝐻,∠𝐵𝐶𝐺= ∠𝐴𝐶𝐺，再由题意结合图形确定∠𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐻= ∠𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐺，
2∠𝐷𝐸𝐻+ ∠𝐷= 2∠𝐴𝐶𝐺+ ∠𝐵，求解即可．
【详解】（1）证明：根据题意得∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐸𝐴𝐷，
∵∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐵+ ∠𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐷+ ∠𝐸= 180°，
∴∠𝐵+ ∠𝐶= ∠𝐷+ ∠𝐸；
（2）∵∠𝐴𝐸𝐷和∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐻= ∠𝐷𝐸𝐻,∠𝐵𝐶𝐺= ∠𝐴𝐶𝐺，
∴∠𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐻= ∠𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐺①，
由（1）得∠𝐴𝐸𝐻+ ∠𝐷𝐸𝐻+ ∠𝐷= ∠𝐴𝐶𝐺+ ∠𝐵𝐶𝐺+ ∠𝐵，
即2∠𝐷𝐸𝐻+ ∠𝐷= 2∠𝐴𝐶𝐺+ ∠𝐵②，
①× 2−②得：∠𝐷= 2∠𝐹−∠𝐵，
∴∠𝐹=
1
2(∠𝐵+ ∠𝐷)．
50．（25-26 八年级上·安徽安庆·期中）在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点𝐷在边𝐶𝐴的延长线上，点𝐸在边𝐵𝐴
的延长线上．连接𝐷𝐸，使∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶．
(1)如图1，求证：𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
(2)如图2，𝐷𝐸、𝐵𝐶的延长线交于点𝐹，作∠𝐸𝐴𝐶的角平分线𝐴𝐺交𝐷𝐹于点𝐺，求证：∠𝐷+ 2∠𝐷𝐺𝐴= 90°
(3)如图3，在（2）的条件下，连接𝐵𝐺交𝐶𝐷于点𝐻，若∠𝐷𝐺𝐻= ∠𝐷𝐻𝐺，∠𝐴𝐺𝐵= 3∠𝐶𝐵𝐻，𝐺𝐵上有一点𝑀，
连接𝐴𝑀，∠𝐴𝐵𝐻+ 2∠𝐻𝐴𝑀= 45°，求证：∠𝐷= ∠𝐴𝐺𝐷．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查三角形内角和定理以及垂直的判定，角平分线的性质、三角形外角性质以及直角
三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是通过角度之间
的等量代换证明角度关系．
（1）根据角度相等，求解∠𝐴𝐸𝐷= 90°由此可证明垂直；
（2）由垂直可得∠𝐴𝐺𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐺= 90°，再由角平分线可得∠𝐸𝐴𝐺=
1
2∠𝐶𝐴𝐸= 45° +
1
2∠𝐷，根据角度的等量
代换证明即可；
（3）根据∠𝐶𝐵𝐻=
1
3∠𝐴𝐺𝐵与∠𝐷𝐻𝐺= 90°−
1
2∠𝐷，可得∠𝐴𝐺𝐵=
3
2∠𝐷，由此可得2∠𝐷+ ∠𝐷𝐺𝐴= 90°，由
（2）中结论可得∠𝐷= ∠𝐴𝐺𝐸．
【详解】（1）证明：∵∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 180°−∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
∴𝐷𝐸⊥𝐴𝐵；
（2）证明：由（1）可知：∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷+ ∠𝐴𝐸𝐷= 90° + ∠𝐷，且∠𝐴𝐸𝐺= 90°，
∴∠𝐴𝐺𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐺= 90°，
∵𝐴𝐺平分∠𝐸𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐺=
1
2∠𝐶𝐴𝐸= 45° +
1
2∠𝐷，
∴∠𝐴𝐺𝐸+
1
2∠𝐷+ 45° = 90°，
∴∠𝐴𝐺𝐸+
1
2∠𝐷= 45°，
∴2∠𝐴𝐺𝐸+ ∠𝐷= 90°；
（3）证明：∵∠𝐷𝐻𝐺= ∠𝐵𝐻𝐶= 90°−∠𝐶𝐵𝐻，∠𝐴𝐺𝐵= 3∠𝐶𝐵𝐻，
∴∠𝐶𝐵𝐻=
1
3∠𝐴𝐺𝐵，
∴∠𝐷𝐻𝐺= ∠𝐵𝐻𝐶= 90°−
1
3∠𝐴𝐺𝐵，
∵∠𝐷𝐺𝐻= ∠𝐷𝐻𝐺=
1
2(180°−∠𝐷) = 90°−
1
2∠𝐷，
∴90°−
1
2∠𝐷= 90°−
1
3∠𝐴𝐺𝐵，
∴∠𝐴𝐺𝐵=
3
2∠𝐷，
∵∠𝐷𝐺𝐻= ∠𝐴𝐺𝐷+ ∠𝐴𝐺𝐵= 90°−
1
2∠𝐷，
∴∠𝐴𝐺𝐷+
3
2∠𝐷= 90°−
1
2∠𝐷，
∴2∠𝐷+ ∠𝐴𝐺𝐷= 90°，
由（2）知：2∠𝐴𝐺𝐸+ ∠𝐷= 90°，
又∠𝐴𝐺𝐸= ∠𝐴𝐺𝐷，
∴∠𝐷= ∠𝐴𝐺𝐷．
【题型6 与三角形的角有关的折叠问题】
51．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E 分
别在边AB，AC 上．将△𝐴𝐵𝐶沿着DE 所在直线折叠并压平，使点A 与点N 重合．
(1)若∠𝐵= 35°,∠𝐶= 60°，求∠𝐴的度数．
(2)若∠𝐴= 70°，求∠1 + ∠2的度数．
【答案】(1)85°
(2)140°
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的
内角和180°是解决问题的关键．
（1）直接利用三角形的内角和求得答案即可；
（2）根据三角形的内角和等于180°求出∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷，再根据翻折变换的性质可得．
∠𝑁𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸，∠𝑁𝐸𝐷= ∠𝐴𝐸𝐷，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】（1）解：∵∠𝐵= 35°，∠𝐶= 60°，
∴∠𝐴= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 180°−35°−60° = 85°．
（2）解：∵∠𝐴= 70°，
∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 180°−70° = 110°．
由题意，得∠𝑁𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸，∠𝑁𝐸𝐷= ∠𝐴𝐸𝐷，
∴∠1 + ∠2 = 180°−(∠𝑁𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐸) +180°−(∠𝑁𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐸𝐷) = 360°−2 × 110° = 140°．
52．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段检测）在△𝐴𝐵𝐶中，将∠𝐵，∠𝐶按如图所示的方式折叠，点𝐵，𝐶均落
在边𝐵𝐶上的点𝐺处，线段𝑀𝑁，𝐸𝐹为折痕．若∠𝐴= 80°，求∠𝑀𝐺𝐸的度数．
【答案】80°
【分析】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题
关键．
根据折叠的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可；
【详解】解：由题意知：∠𝐵= ∠𝑀𝐺𝑁,∠𝐶= ∠𝐸𝐺𝐹，
∵∠𝐴= 180°−(∠𝐵+ ∠𝐶),∠𝑀𝐺𝐸= 180°−∠𝑀𝐺𝑁−∠𝐸𝐺𝐹，
∴∠𝑀𝐺𝐸= ∠𝐴，
∴∠𝑀𝐺𝐸= ∠𝐴= 80°．
53．（24-25 六年级下·山东济南·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 20°，∠𝐶= 60°，点D 为边𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐵𝐷
沿直线𝐴𝐷折叠后，点B 落到点𝐵′处，恰有𝐵′𝐷∥𝐴𝐶，求∠𝐴𝐷𝐶的度数．
【答案】∠𝐴𝐷𝐶= 60°．
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，根据三角形内角和定理得到
∠𝐵𝐴𝐶= 100°，由折叠的性质可得∠𝐵′ = ∠𝐵= 20°，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵′𝐴𝐷，则由平行线的性质得到∠𝐶𝐴𝐵′ = ∠𝐵′
= 20°，进而得到∠𝐵𝐴𝐵′ = ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐵′ = 80°，则∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐵′ = 40°，再由三角形的外角性质即可
求解．
【详解】解：∵∠𝐵= 20°，∠𝐶= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 100°，
由折叠的性质可得∠𝐵′ = ∠𝐵= 20°，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵′𝐴𝐷，
∵𝐵′𝐷∥𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐵′ = ∠𝐵′ = 20°，
∴∠𝐵𝐴𝐵′ = ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐵′ = 80°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵′𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐵′ = 40°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= 60°．
54．（24-25 七年级下·全国·课后作业）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵> 𝐴𝐶，说明∠𝐵< ∠𝐶．
(1)如图①，小明以“折叠”为思路说明∠𝐵< ∠𝐶：将△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐸折叠，使点𝐶落在𝐴𝐵边的点𝐷处，然后可以
说明∠𝐵< ∠𝐶，请尝试写出小明的思路；
(2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法
并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了翻折变换、三角形外角定义，解题的关键是熟练掌握翻折的性质．
（1）将△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐸折叠，使点𝐶落在𝐴𝐵边的点𝐷处，利用折叠得到对应角相等，利用三角形外角定义得出
∠𝐴𝐷𝐸> ∠𝐵，等量代换得出结论；
（2）将△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐸折叠，使点𝐵落在𝐴𝐶的延长线上的点𝐷处，利用折叠得到对应角相等，利用三角形外角
定义得出∠𝐴𝐶𝐵> ∠𝐷，等量代换得出结论．
【详解】（1）证明：由折叠的性质得：∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶，
∵ ∠𝐴𝐷𝐸为△𝐷𝐵𝐸的外角，
∴ ∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐷𝐸𝐵，
∴ ∠𝐴𝐷𝐸> ∠𝐵，
即∠𝐵< ∠𝐶．
（2）证明：作∠𝐵𝐴𝐶的角平分线𝐴𝐸，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐸折叠，使点𝐵落在𝐴𝐶的延长线上的点𝐷处，如图所示：
由折叠的性质得：∠𝐷= ∠𝐵，
∵ ∠𝐴𝐶𝐵为△𝐷𝐶𝐸的外角，
∴ ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷+ ∠𝐶𝐸𝐷，
∴ ∠𝐴𝐶𝐵> ∠𝐷，
即∠𝐵< ∠𝐶．
55．（24-25 八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠使点𝐴落在点𝐴′处，且𝐵𝐴′平分
∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐴′平分∠𝐴𝐶𝐵，若∠𝐵𝐴′𝐶= 112°，求∠1 + ∠2的度数．
【答案】∠1 + ∠2 = 88°．
【分析】本题考查三角形的内角和定理、折叠的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识．连
接𝐴𝐴′．首先求出∠𝐵𝐴𝐶，再证明∠1 + ∠2 = 2∠𝐵𝐴𝐶即可解决问题．
【详解】解：连接𝐴𝐴′，
∵𝐴′𝐵平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴′𝐶平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐴′𝐶= 112°，
∴∠𝐴′𝐵𝐶+ ∠𝐴′𝐶𝐵= 68°，∠𝐴′𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴′𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 136°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−136° = 44°，
∵∠1 = ∠𝐷𝐴𝐴′ +∠𝐷𝐴′𝐴，∠2 = ∠𝐸𝐴𝐴′ +∠𝐸𝐴′𝐴，
由折叠可知：∠𝐷𝐴𝐴′ = ∠𝐷𝐴′𝐴，∠𝐸𝐴𝐴′ = ∠𝐸𝐴′𝐴，
∴∠1 + ∠2 = 2(∠𝐷𝐴𝐴′ + 𝐸𝐴𝐴′) = 2∠𝐵𝐴𝐶= 88°．
56．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷是𝐵𝐶边上的一点，∠𝐵= 50∘，∠𝐵𝐴𝐷= 30∘，将△𝐴𝐵𝐷沿𝐴𝐷折叠得到
△𝐴𝐸𝐷，𝐴𝐸与𝐵𝐶相交于点𝐹．
(1)填空：∠𝐴𝐹𝐶= ________；
(2)求∠𝐸𝐷𝐹的度数．
【答案】(1)110∘
(2)∠𝐸𝐷𝐹= 20∘
【分析】（1）根据折叠的特点得出∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐹，再根据三角形一个外角等于它不相邻两个内角之和，
即可得出答案；
（2）根据已知求出∠𝐴𝐷𝐵的值，再根据△𝐴𝐵𝐷沿𝐴𝐷折叠得到△𝐴𝐸𝐷，得出∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐵，最后根据
∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐷𝐹，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐷沿𝐴𝐷折叠得到△𝐴𝐸𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐹，
∵∠𝐵= 50°，∠𝐵𝐴𝐷= 30°，
∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐹= 110°；
（2）解：∵∠𝐵= 50∘，∠𝐵𝐴𝐷= 30∘，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 180∘−50∘−30∘= 100∘．
∵△𝐴𝐵𝐷沿𝐴𝐷折叠得到△𝐴𝐸𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐵= 100∘，
∴∠𝐴𝐷𝐹= 80∘，
∴∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐷𝐹= 20∘．
57．（25-26 八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，△𝐴𝐵𝐶是一个三角形的纸片，点𝐷,𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐵,𝐴𝐶
上的两点．
(1)如图（1），如果沿直线𝐷𝐸折叠，且𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，若∠𝐴= 30°，求∠𝐵𝐷𝐴′ = ______．
(2)如图（2），如果沿直线𝐷𝐸折叠后𝐴落在四边形𝐵𝐶𝐸𝐷内部，探究∠𝐵𝐷𝐴′，∠𝐶𝐸𝐴′和∠𝐷𝐴𝐸的关系，并说明
理由．
(3)如果折成图（3）的形状，直接写出∠𝐵𝐷𝐴′，∠𝐶𝐸𝐴′和∠𝐴的关系．
【答案】(1)60°
(2)∠𝐵𝐷𝐴′ +∠𝐶𝐸𝐴′ = 2∠𝐷𝐴𝐸，理由见解析
(3)∠𝐵𝐷𝐴′−∠𝐶𝐸𝐴′ = 2∠𝐴
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键．
（1）先根据折叠性质得∠𝐴= ∠𝐴𝐴′𝐷，然后根据三角形外角性质易得∠𝐵𝐷𝐴′ = 2∠𝐴即可求得结果；
（2）连接𝐴𝐴′，先根据三角形外角性质得∠𝐵𝐷𝐴′ = ∠𝐷𝐴𝐴′ +∠𝐷𝐴′𝐴，∠𝐶𝐸𝐴′ = ∠𝐸𝐴𝐴′ +∠𝐸𝐴′𝐴，则∠𝐵𝐷𝐴′
+∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐴′𝐷，整理可得结论；
（3）由折叠性质得∠𝐴′ = ∠𝐴，∠𝐷𝐸𝐴′ = ∠𝐷𝐸𝐴，∠𝐴′𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸，再根据三角形内角和得(∠𝐴′ + ∠𝐴) +
(∠𝐷𝐸𝐴′ + ∠𝐷𝐸𝐴) + (∠𝐴′𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐸) = 360°，接着利用平角定理得到2∠𝐴+ (180° + ∠𝐶𝐸𝐴′) +
(180°−∠𝐵𝐷𝐴′) = 360°，然后整理即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ △𝐴𝐵𝐶沿直线𝐷𝐸折叠，且𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，
∴𝐴点落在𝐶𝐸上，如图（1），
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐴′𝐷，
∴∠𝐵𝐷𝐴′ = ∠𝐴+ ∠𝐴𝐴′𝐷= 2∠𝐴= 2 × 30° = 60°；
故答案为：60°；
（2）解：∠𝐵𝐷𝐴′ +∠𝐶𝐸𝐴′ = 2∠𝐷𝐴𝐸，
理由：连接𝐴𝐴′，如图，
∵∠𝐵𝐷𝐴′ = ∠𝐷𝐴𝐴′ +∠𝐷𝐴′𝐴，∠𝐶𝐸𝐴′ = ∠𝐸𝐴𝐴′ +∠𝐸𝐴′𝐴，
∴∠𝐵𝐷𝐴′ +∠𝐶𝐸𝐴′ = ∠𝐷𝐴𝐴′ +∠𝐸𝐴𝐴′ +∠𝐷𝐴′𝐴+ ∠𝐸𝐴′𝐴= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴′𝐷，
又∵∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴′𝐷，
∴∠𝐵𝐷𝐴′ +∠𝐶𝐸𝐴′ = 2∠𝐷𝐴𝐸；
（3）解：∠𝐵𝐷𝐴′−∠𝐶𝐸𝐴′ = 2∠𝐴．
理由：如图（3），由翻折可得：∠𝐴′ = ∠𝐴，∠𝐷𝐸𝐴′ = ∠𝐷𝐸𝐴，∠𝐴′𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸，
∵(∠𝐴′ + ∠𝐴) + (∠𝐷𝐸𝐴′ + ∠𝐷𝐸𝐴) + (∠𝐴′𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐸) = 180° + 180°，
∴2∠𝐴+ (180° + ∠𝐶𝐸𝐴′) + (180°−∠𝐵𝐷𝐴′) = 360°
∴2∠𝐴+ ∠𝐶𝐸𝐴′−∠𝐵𝐷𝐴′ = 0，
∴∠𝐵𝐷𝐴′−∠𝐶𝐸𝐴′ = 2∠𝐴．
58．已知点A，B 分别是锐角∠𝑀𝑃𝑁（∠𝑀𝑃𝑁< 45°）的边𝑃𝑀，𝑃𝑁上的点，先将∠𝑃沿着𝐴𝐵折叠，折叠后点
P 的对应点为Q，
(1)如图1，若折叠后点Q 落到∠𝑃的内部，且𝐴𝑄∥𝑃𝑁，∠𝑁𝐵𝑄与∠𝑃相等吗？若相等说明理由？
(2)如图2，若折叠后𝐴𝑄⊥𝑃𝑀，试说明∠𝑁𝐵𝑄= 90°−2∠𝑃；
(3)在（2）的条件下，过点Q 作𝑄𝐶∥𝑃𝑀交𝑃𝑁于点C，当∠𝑄𝐶𝑃= 2∠𝑁𝐵𝑄时，求∠𝐴𝐵𝑄度数？
【答案】(1)∠𝑁𝐵𝑄= ∠𝑃；理由见解析
(2)见解析
(3)∠𝐴𝐵𝑄= 99°
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠𝑁𝐵𝑄= ∠𝑄，根据折叠得出∠𝑃= ∠𝑄，即可得出结论；
（2）根据三角形内角和得出∠𝐴𝐷𝑃= 90°−∠𝑃，根据三角形外角的性质得出∠𝑁𝐵𝑄= ∠𝐴𝐷𝑃−∠𝑄，根据折叠
得出∠𝑃= ∠𝑄，即可得出结论；
（3）根据平行线的性质得出∠𝑄𝐶𝑃= ∠𝑃，根据∠𝑄𝐶𝑃= 2∠𝑁𝐵𝑄，得出∠𝑁𝐵𝑄=
1
2∠𝑃，根据
∠𝑁𝐵𝑄= 90°−2∠𝑃，求出∠𝑃= 36°，根据折叠得出∠𝐴𝐵𝑄= ∠𝐴𝐵𝑃，即可得出2∠𝐴𝐵𝑄= 198°，从而求出结
果．
【详解】（1）解：∠𝑁𝐵𝑄= ∠𝑃；理由如下：
∵𝐴𝑄∥𝑃𝑁，
∴∠𝑁𝐵𝑄= ∠𝑄，
根据折叠可知：∠𝑃= ∠𝑄，
∴∠𝑁𝐵𝑄= ∠𝑃；
（2）解：∵𝐴𝑄⊥𝑃𝑀，
∴∠𝑃𝐴𝑄= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝑃= 90°−∠𝑃，
∵∠𝐴𝐷𝑃= ∠𝑄+ ∠𝑁𝐵𝑄，
∴∠𝑁𝐵𝑄= ∠𝐴𝐷𝑃−∠𝑄，
根据折叠可知：∠𝑃= ∠𝑄，
∴∠𝑁𝐵𝑄= 90°−∠𝑃−∠𝑃= 90°−2∠𝑃；
（3）解：∵𝑄𝐶∥𝑃𝑀，
∴∠𝑄𝐶𝑃= ∠𝑃，
∵∠𝑄𝐶𝑃= 2∠𝑁𝐵𝑄，
∴∠𝑃= 2∠𝑁𝐵𝑄，
即∠𝑁𝐵𝑄=
1
2∠𝑃，
根据解析（2）可知：∠𝑁𝐵𝑄= 90°−2∠𝑃，
∴
1
2∠𝑃= 90°−2∠𝑃，
∴∠𝑃= 36°，
∴∠𝑁𝐵𝑄=
1
2∠𝑃= 18°，
根据折叠可知：∠𝐴𝐵𝑄= ∠𝐴𝐵𝑃，
∵∠𝐴𝐵𝑄+ ∠𝐴𝐵𝑃= 180° + ∠𝑁𝐵𝑄= 180° + 18° = 198°，
∴2∠𝐴𝐵𝑄= 198°，
∴∠𝐴𝐵𝑄= 99°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关
键是数形结合，熟练掌握折叠的性质．
59．（24-25 七年级下·河北保定·期末）发现与探索综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主
题开展数学活动．
(1)操作判断
如图：操作一：若折叠三角形纸片，使𝐵𝐶与𝐵𝐴边在一条直线上，得到折痕𝐵𝐷；操作二：若折叠三角形纸片，
得到折痕𝐴𝐸，使点𝐵、𝐶、𝐸在一条直线上．完成以上操作后把纸片展平，判断𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的______（从中
线、角平分线、高线中选填），∠𝐴𝐸𝐶= ______．
(2)深入探究
操作三：过点𝐷折叠三角形纸片，使点𝐴落在折痕𝐴𝐸上，得到折痕𝐷𝐹，把纸片展平．根据以上操作，如图，
判断∠𝐷𝐵𝐹和∠𝐵𝐷𝐹是否相等？并说明理由．
(3)结论应用
已知∠𝐵𝐷𝐶= 106°,∠𝐴𝐶𝐵= 54°，则∠𝐴𝐻𝐵= ______．
【答案】(1)角平分线，90°；
(2)相等，理由见解析；
(3)110°．
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，三角形外角的性质．
（1）根据折叠的性质作答即可；
（2）设𝐴𝐸与𝐹𝐷交于点G，由折叠的性质可知∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐸𝐺𝐷= 90°，即∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐴𝐸𝐶，得到𝐹𝐷∥𝐵𝐶，进
而得到∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐹，即可证明∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐵𝐷𝐹；
（3）由三角形内角和得到∠𝐷𝐵𝐶= 20°，再根据三角形外角的性质作答即可．
【详解】（1）解：∵折叠三角形纸片，使𝐵𝐶与𝐵𝐴边在一条直线上，得到折痕𝐵𝐷，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐴，即𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线；
∵折叠三角形纸片，得到折痕𝐴𝐸，使点𝐵、𝐶、𝐸在一条直线上，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵= 90°，
故答案为：角平分线，90°；
（2）相等，理由如下：
如图，设𝐴𝐸与𝐹𝐷交于点G，
∵过点𝐷折叠三角形纸片，使点𝐴落在折痕𝐴𝐸上，得到折痕𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐸𝐺𝐷= 90°，
∵∠𝐴𝐸𝐶= 90°
∴∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐴𝐸𝐶，
∴𝐹𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐹
∵∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐴
∴∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐵𝐷𝐹；
（3）∵∠𝐵𝐷𝐶= 106°,∠𝐴𝐶𝐵= 54°，
∴∠𝐷𝐵𝐶= 180°−∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐴𝐶𝐵= 180°−106°−54° = 20°，
∵∠𝐴𝐸𝐵= 90°
∴∠𝐴𝐻𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐵= 110°
故答案为：110°．
60．如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，沿∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐵1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠𝐵1𝐴1𝐶的平分线𝐴1𝐵2
折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿∠𝐵𝑛𝐴𝑛𝐶的平分线𝐴𝑛𝐵𝑛+1折叠，点𝐵𝑛与点C 重合，无论折叠多少次，
只要最后一次恰好重合，则称∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好玩角．
小马展示了确定∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好玩角的两种情形．
情形一：如图②，沿等腰三角形𝐴𝐵𝐶顶角∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐵1折叠，点B 与点C 重合；
情形二：如图③，沿∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐵1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠𝐵1𝐴1𝐶的平分线𝐴1𝐵2折叠，
此时点𝐵1与点C 重合．
探究发现：
(1)在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 66°，∠𝐵> ∠𝐶，经过两次折叠，∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好玩角，求∠𝐶的度数．
(2)小马经过三次折叠发现了∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好玩角，请探究∠𝐵与∠𝐶（不妨设∠𝐵> ∠𝐶）之间的等量关系
为________．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好玩角，则∠𝐵与∠𝐶（不妨设∠𝐵> ∠𝐶）
之间的等量关系为________．
应用提升：
(3)小马找到一个三角形，三个角分别为20°，60°，100°，发现60°和100°的两个角都是此三角形的好玩
角．请你完成，如果一个三角形的最小角是18°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均
是此三角形的好玩角．
【答案】(1)∠𝐶= 33°
(2)∠𝐵= 3∠𝐶；∠𝐵= 𝑛∠𝐶
(3)54°和108°或18°和144°
【分析】（1）设∠𝐶= 𝑥°，根据好玩角的定义可得∠𝐴1𝐵1𝐶= ∠𝐶= 𝑥°，再由三角形外角的性质，可得∠𝐴𝐴1
𝐵1 = ∠𝐴1𝐵1𝐶+ ∠𝐶= 2𝑥°，即可求解；
（2）根据好玩角的定义以及三角形外角的性质，即可求解；
（3）由题意可设另外两个的度数分别为(18𝑚)°和(18𝑚𝑛)°，其中m，n 为正整数，根据三角形内角和定理
可得𝑚=
9
𝑛+1，即可求解．
【详解】（1）解：如图③，设∠𝐶= 𝑥°，
∵经过两次折叠，∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好玩角，
∴∠𝐴1𝐵1𝐶= ∠𝐶= 𝑥°，
又∵∠𝐴𝐴1𝐵1是△𝐴1𝐵1𝐶的外角，
∴∠𝐴𝐴1𝐵1 = ∠𝐴1𝐵1𝐶+ ∠𝐶= 2𝑥°，
由题意∠𝐵= ∠𝐴𝐴1𝐵1 = 2𝑥°，
又∵∠𝐵= 66°，
∴2𝑥= 66，
∴𝑥= 33，
∴∠𝐶= 33°；
（2）解：如图，
∵经过三次折叠∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好玩角，
∴第三次折叠的∠𝐴2𝐵2𝐶= ∠𝐶，
∵∠𝐴𝐵𝐵1 = ∠𝐴𝐴1𝐵1,∠𝐴𝐴1𝐵1 = ∠𝐴1𝐵1𝐶+ ∠𝐶，∠𝐴1𝐵1𝐶= ∠𝐴1𝐴2𝐵2,∠𝐴1𝐴2𝐵2 = ∠𝐴2𝐵2𝐶+ ∠𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐵1 = ∠𝐴1𝐵1𝐶+ ∠𝐶= ∠𝐴2𝐵2𝐶+ ∠𝐶+ ∠𝐶= 3∠𝐶，
由此可猜想经过n 次折叠∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好玩角，则∠𝐵= 𝑛∠𝐶；
故答案为：∠𝐵= 3∠𝐶；∠𝐵= 𝑛∠𝐶；
（3）解：由题意可设另外两个的度数分别为(18𝑚)°和(18𝑚𝑛)°，其中m，n 为正整数，根据题意：
18 + 18𝑚+ 18𝑚𝑛= 180，
∴𝑚=
9
𝑛+1，
∴m，n 均为正整数，
∴有两种情况：
①𝑛= 2，𝑚= 3，
此时三角形的另外两个角的度数分别为：54°和108°；
②𝑛= 8，𝑚= 1，
此时三角形的另外两个角的度数分别为：18°和144°；
综上所述：三角形另外两个角的度数54°和108°或18°和144°．
【点睛】本题主要考查了折叠问题的综合题，涉及了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，
图形类规律题，根据题意得到规律是解题的关键．
