文档文本内容
专题14.3 三角形全等的判定（提高篇）（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 多次全等证明】........................................................................................................................................1
【题型2 平行线证全等】........................................................................................................................................3
【题型3 折叠全等综合】........................................................................................................................................4
【题型4 动点全等问题】........................................................................................................................................6
【题型5 线段和差证明】........................................................................................................................................8
【题型6 角平分线全等】........................................................................................................................................9
【题型7 等腰结合全等】......................................................................................................................................11
【题型8 垂直全等综合】......................................................................................................................................12
【题型9 旋转全等综合】......................................................................................................................................14
【题型10 实际生活中抽象出全等模型】..............................................................................................................15
【题型11 尺规作图与全等综合】..........................................................................................................................17
【题型12 构造辅助线证全等】..............................................................................................................................19
【题型1 多次全等证明】
【例1】（25-26 七年级下·上海崇明·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶的两条高𝐵𝐸、𝐶𝐷相交于点F，𝐶𝐹= 𝐴𝐵．
(1)求证：𝐴𝐸= 𝐸𝐹；
(2)连接𝐴𝐹，过点F 作𝐹𝐺∥𝐵𝐶，交𝐴𝐶边于点G，求证：𝐴𝐹= 𝐹𝐺．
【变式1-1】（25-26 七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：△𝐴𝐵𝐶、△𝐷𝐶𝐸都是等边三角形，连接𝐴𝐸、𝐵𝐷,𝑀
、𝑁分别是线段𝐴𝐸、𝐵𝐷的中点．
题型归纳
考点1
全等三角形的判定与性质
(1)求证：△𝐵𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐸；
(2)求证：△𝐶𝑀𝑁是等边三角形．
【变式1-2】（25-26 八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加
方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数
量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学
习．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐸，𝐹分别是直线𝐵𝐶，𝐶𝐷上的点．
(1)如图①，若∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，𝐸，𝐹分别在线段𝐵𝐶，𝐶𝐷上，且满足∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐷，试探究线段
𝐸𝐹，𝐵𝐸，𝐷𝐹之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长𝐶𝐵到点𝐺，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹，连接𝐴𝐺，请你
帮该数学小组完成解题过程；
(2)如图②，若∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，点𝐸在𝐶𝐵的延长线上，且𝐵𝐸> 𝐶𝐷，点𝐹在𝐶𝐷的延长线上，若
𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹，请探究∠𝐸𝐴𝐹与∠𝐵𝐴𝐷之间的数量关系，并说明理由．
【变式1-3】（25-26 七年级下·上海杨浦·期末）如图1，已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，D、
E 分别是边𝐵𝐶上的两点（点D 在点E 左侧），且∠𝐷𝐴𝐸= 45°，过点B 作𝐵𝐹⊥𝐵𝐶，交𝐴𝐷延长线于点F．
(1)求证：∠𝐵𝐹𝐴= ∠𝐶𝐴𝐸；
(2)如图2，连接𝐸𝐹，求证：𝐹𝐴平分∠𝐵𝐹𝐸．
【题型2 平行线证全等】
【例2】在等边三角形𝐴𝐵𝐶中，点E 在直线𝐴𝐵上，点D 在直线𝐵𝐶上，且𝐸𝐷= 𝐸𝐶，请根据下列题组情境进
行解答：
(1)如下图，当点E 为𝐴𝐵的中点时，下列结论中正确的是______；（填序号）
①𝐶𝐸⊥𝐴𝐵 ②𝐵𝐷= 𝐴𝐸 ③∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸 ④∠𝐴𝐸𝐷= 120°
(2)当点E 不为𝐴𝐵的中点时，（1）中哪个正确的结论仍成立？请结合下图进行证明；
(3)若△𝐴𝐵𝐶的边长为3，𝐴𝐸= 1，请直接写出𝐶𝐷的长．
【变式2-1】（2026·陕西西安·一模）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，点E 为对角线𝐵𝐷上一点，
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐸𝐷，且𝐴𝐵= 𝐶𝐸．求证：𝐵𝐷= 𝐵𝐶．
【变式2-2】（24-25 八年级下·江西赣州·期末）课本回归：如图1，人教版八年级上册数学教材第53面数学
活动：如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，𝐴𝐵= 𝐶𝐵．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【猜想证明】
(1)试猜想筝形的对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷有什么位置关系？并证明你的猜想；
【探究应用】
(2)过点𝐷作𝐷𝐸∥𝐴𝐵交𝐵𝐶于点𝐸，若∠𝐷𝐸𝐶= 40°，求∠𝐵𝐴𝐶的度数．
【变式2-3】如图，已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 4，∠𝐴𝐶𝐵= 120°，将一块足够大的直角三角尺𝑃𝑀𝑁
(∠𝑀= 90°,∠𝑀𝑃𝑁= 30°)按如图放置，顶点Р 在线段𝐴𝐵上滑动（且不与A、B 重合），三角尺的直角边𝑃𝑀
始终经过点C，并且与𝐶𝐵的夹角∠𝑃𝐶𝐵= 𝛼，斜边𝑃𝑁交𝐴𝐶于点D．
(1)当𝛼= ______°，𝑃𝑁∥𝐵𝐶，此时∠𝐴𝑃𝐷= ______°
(2)点Р 在滑动时，当𝐴𝑃长为多少时，△𝐴𝐷𝑃与△𝐵𝑃𝐶全等，为什么？
(3)点Р 在滑动时，△𝑃𝐶𝐷的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出夹角𝛼的大小；若不可以，请说
明理由．
【题型3 折叠全等综合】
【例3】（24-25 七年级下·山西晋中·期末）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∠𝐵= 40°，点𝐸是𝐴𝐵边上的一点，将△𝐶𝐴𝐸沿𝐶𝐸折叠，点𝐴恰好落在𝐴𝐵边上的点𝐷处．
初步探究：（1）请直接写出∠𝐵𝐶𝐷的度数为_________．；
深入探究：（2）“启明小组”将图1 中的∠𝐵变为30°，其它条件不变，过𝐷作𝐷𝐹⊥𝐶𝐵于点𝐹得到图2．试猜想
线段𝐶𝐸与𝐶𝐹的数量关系，并说明理由；
类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，△𝐴𝐵𝐶中，
∠𝐴= 48°，𝐷为𝐴𝐵边上一点，将△𝐵𝐶𝐷沿𝐶𝐷折叠，点𝐵落到点𝐸处，当𝐷𝐸∥𝐴𝐶时，请直接写出此时∠𝐶𝐷𝐵的
度数．
【变式3-1】（25-26 九年级上·河北唐山·开学考试）如图，将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷折叠，使顶点𝐴与𝐷𝐶边上的点𝐻重
合（𝐻不与端点𝐶, 𝐷重合），折痕交𝐴𝐷于点𝐸，交𝐵𝐶于点𝐹，边𝐴𝐵折叠后与边𝐵𝐶交于点𝐺，设正方形𝐴𝐵𝐶𝐷
的周长为𝑚，△𝐶𝐻𝐺的周长为𝑛，则
𝑛
𝑚的值为_______．
【变式3-2】如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，E 在𝐴𝐷上．𝐴𝐷= 10，𝐴𝐸= 4．将矩形沿𝐵𝐸折叠，
A 落在𝐴′处，𝐴′𝐸交𝐵𝐶于点G，再沿着𝐸𝐹折叠，点D 落在直线𝐴′𝐸上的𝐷′处，C 落在𝐶′处，F 在𝐵𝐶上，若
D、F、𝐷′三点共线，则𝐵𝐹= （ ）
A．4
B．6
C．7
D．5
【变式3-3】综合与实践
主题：特殊平行四边形的折叠．
素材：一张正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷．
步骤1：将如图1 所示的正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐴𝐸折叠（折痕经过顶点𝐴）得到图2；
步骤2：将点𝐴折叠到点𝐸，得到图3，展开得到𝐴𝐸，𝐹𝐺两条折痕，如图4 所示．
猜想与证明：
(1)请直接写出𝐴𝐸，𝐹𝐺的数量与位置关系；
(2)证明（1）中你发现的结论．
【题型4 动点全等问题】
【例4】（25-26 八年级上·广东广州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 10厘米，∠𝐵= ∠𝐶，𝐵𝐶= 12厘
米，点D 为𝐴𝐵的中点．点M 在线段𝐵𝐶上以3 厘米/秒的速度由点B 向点C 运动，同时，点N 在线段𝐴𝐶上
由点C 向点A 运动．当点M 运动到点C 或点N 运动到点A 时，另一个点也停止运动．若点N 的运动速度
为a 厘米/秒，则：
（1）运动2 秒时，𝐶𝑁= ______厘米（用含a 的式子表示）；
（2）当△𝐵𝐷𝑀与△𝐶𝑀𝑁全等时，a 的值为______．
【变式4-1】（25-26 八年级上·海南海口·期中）如图，𝐴𝐵∥𝐷𝐸，𝐴𝐸与𝐵𝐷相交于点𝐶．𝐴𝐶= 𝐸𝐶，𝐴𝐵= 8
cm．点𝑃从点𝐴出发，沿𝐴→𝐵→𝐴方向以3cm/s的速度运动，同时点𝑄从点𝐷出发，沿𝐷→𝐸方向以1cm/s的速
度运动，当点𝑃回到点𝐴时，𝑃，𝑄两点同时停止运动，连接𝑃𝑄，当线段𝑃𝑄经过点𝐶时，点𝑃的运动时间为______
s．（ ）
A．2
B．4
C．6
D．2 或4
【变式4-2】如图1，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 6cm，𝐵𝐶= 10cm，点P 从点B 出发，以2cm/s的速度
沿𝐵𝐶向点C 运动（点P 运动到点C 处时停止运动），设点P 的运动时间为t 秒．
(1)𝑃𝐶= _____________cm．（用含t 的式子表示）
(2)当t 为何值时，△𝐴𝐵𝑃≌△𝐷𝐶𝑃？
(3)如图2，当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以𝑣cm/s的速度沿𝐶𝐷向点D 运动（点Q 运
动到点D 处时停止运动，𝑃，𝑄两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v 值使得
△𝐴𝐵𝑃与△𝑃𝑄𝐶全等？若存在，请求出𝑣的值；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（24-25 七年级下·河北保定·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 6cm，𝐵𝐶= 8cm．点
𝑃从𝐴点出发沿𝐴−𝐶−𝐵路径向终点𝐵运动；点𝑄从𝐵点出发沿𝐵−𝐶−𝐴路径向终点𝐴运动．点𝑃和𝑄分别以2cm/s
和𝑥cm/s的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过𝑃和𝑄作𝑃𝐸⊥𝑙于
𝐸,𝑄𝐹⊥𝑙于𝐹．
(1)如图1，当𝑥= 3时，设点𝑃运动时间为𝑡s，当点𝑃在𝐴𝐶上，点𝑄在𝐵𝐶上时，
①用含𝑡的式子表示𝐶𝑃和𝐶𝑄，则𝐶𝑃= ____cm，𝐶𝑄= ______cm；
②当𝑡= 2时，△𝑃𝐸𝐶与△𝑄𝐹𝐶全等吗？并说明理由；
(2)设点𝑃运动时间为𝑡s，请问：当𝑥= 4时，以点𝑃、𝐸、𝐶为顶点的三角形与以点𝑄、𝐹、𝐶为顶点的三角形，
有没有可能全等？若能，请求出符合条件的𝑡值；若不能，请说明理由．
【题型5 线段和差证明】
【例5】如图，在𝛥𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵= 2∠𝐴𝐷𝐵，𝐴𝐵= 4,𝐶𝐷= 7，则𝐴𝐶的长为（ ）
A．3
B．11
C．15
D．9
【变式5-1】（24-25 八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，∠𝐵𝐴𝐶
与∠𝐴𝐶𝐵的平分线𝐴𝐷，𝐶𝐸交于点𝑂．
(1)求∠𝐴𝑂𝐸的度数；
(2)求证：𝐴𝐶= 𝐴𝐸+ 𝐶𝐷．
【变式5-2】如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，直线𝑃𝑄是过𝐴点的任意一条直线，𝐵𝐷⊥𝑃𝑄于
点𝐷，𝐶𝐸⊥𝑃𝑄于点𝐸．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐷≅△𝐶𝐴𝐸．
(2)猜想𝐵𝐷，𝐷𝐸，𝐶𝐸三条线段之间的数量关系．（不写证明）
(3)在图②中，将图①中的直线𝑃𝑄绕点𝐴逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与𝐴𝐵，𝐴𝐶重合）
时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形．
【变式5-3】【基本模型】
（1）如图1，𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，∠𝐸𝐴𝐹= 45°，当𝐸在𝐵𝐶边上，𝐹在𝐶𝐷边上时，请你探究𝐵𝐸、𝐷𝐹与𝐸𝐹之间的
数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，∠𝐸𝐴𝐹= 45°，当𝐸在𝐵𝐶的延长线上，𝐹在𝐶𝐷的延长线上时，请你探究𝐵𝐸、𝐷𝐹
与𝐸𝐹之间的数量关系，并证明你的结论．
【题型6 角平分线全等】
【例6】（2026·山西朔州·模拟预测）如图，𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，垂足为F．若
∠𝐴𝐵𝐶= 30°，∠𝐶= 50°，则∠𝐶𝐷𝐸的度数为（ ）
A．45°
B．40°
C．55°
D．50°
【变式6-1】（25-26 九年级上·重庆·阶段检测）如图，𝐶𝐷是∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，垂足为D，若△𝐵𝐶𝐷
的面积为5，则△𝐴𝐵𝐶的面积为（ ）．
A．10
B．11
C．12
D．14
【变式6-2】（25-26 八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，且
𝐷𝐸= 2cm，𝐴𝐵= 4cm，𝐴𝐶= 3cm，则△𝐴𝐵𝐶的面积为______．
【变式6-3】（24-25 八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在轴对称这节课上，老师提出这样的一个问题：角是轴对
称图形，其对称轴为角平分线所在直线．那么三角形的任意角平分线所在直线是否为其对称轴呢？如何验
证呢？
具体操作如下：老师将同学们分成三组探究三角形顶点𝐵的对称点的位置．首先作出∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交𝐴𝐵
边于点𝐷，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐶𝐷折叠，观察点𝐵的对称点的位置．（其他角分线验证方法相同）
实践操作：
（1）小组一操作发现顶点𝐵的对称点𝐸与𝐴重合，则∠𝐴𝐶𝐵的角平分线所在直线是对称轴；
（2）小组二发现当顶点𝐵的对称点𝐸落在𝐴𝐶边上时，∠𝐴𝐶𝐵的角平分线所在直线不是对称轴．此时聪明的同
学们发现，连接𝐷𝐸时△𝐴𝐷𝐸的周长与△𝐴𝐵𝐶的三边存在一定的数量关系．若设三边长分别为𝐴𝐵= 𝑐，𝐴𝐶= 𝑏，
𝐵𝐶= 𝑎，△𝐴𝐷𝐸的周长为𝑚，请求出𝑚的值．（用𝑎、𝑏、𝑐表示）
（3）小组三发现当顶点𝐵的对称点𝐸落在𝐴𝐶边延长线上时，此时∠𝐴𝐶𝐵的角平分线所在直线不是对称轴．同
样连接𝐷𝐸，若设三边长分别为𝐴𝐵= 𝑐，𝐴𝐶= 𝑏，𝐵𝐶= 𝑎，△𝐴𝐷𝐸的周长为𝑚，小组二的结论还成立吗？请
说明理由并求出𝑚的值．（用𝑎、𝑏、𝑐表示）
（4）拓展探究：
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 45°，∠𝐶𝐴𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，𝐸𝐶⊥𝐴𝐸，𝐴𝐸交𝐵𝐶于点𝐷，请探究线段𝐸𝐶与𝐴𝐷的数量关系，
并说明理由．
【题型7 等腰结合全等】
【例7】（25-26 八年级上·广西防城港·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 𝐵𝐶，𝐴𝐶= 𝐵𝐷，𝐴𝐶与𝐵𝐷相交
于点𝐸．求证：
(1) △𝐴𝐷𝐶≌△𝐵𝐶𝐷 ；
(2)𝐴𝐸= 𝐵𝐸．
【变式7-1】（2026·上海杨浦·二模）在△𝐴𝐶𝐵中，∠𝐶= 90°，tan∠𝐴𝐵𝐶= 1，点𝐷为线段𝐴𝐵的中点，连接𝐷𝐶
并延长至点𝐸使得∠𝐴𝐸𝐵= 45°，则
𝐴𝐶
𝐶𝐸= ___________．
【变式7-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷，𝐵𝐸分别为𝐵𝐶，𝐴𝐶边上的高，𝐴𝐷，𝐵𝐸相交于点F，𝐴𝐷= 𝐵𝐷，连接
CF，则下列结论：①𝐵𝐹= 𝐴𝐶；②𝐶𝐹⊥𝐴𝐵；③若𝐵𝐹= 2𝐸𝐶，则△𝐹𝐷𝐶周长等于𝐴𝐵的长；
④∠𝐹𝐶𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶．其中正确的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【变式7-3】（25-26 八年级下·山东青岛·阶段检测）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两
个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究．
(1)【发现】如图1，在△𝐴𝐵𝐸和△𝐷𝐶𝐸中，点E 为𝐴𝐶与𝐵𝐷的交点．
①若∠𝐴+ ∠𝐵= 100°，则∠𝐶+ ∠𝐷= ______；
②若∠𝐵= ∠𝐶，则∠𝐴与∠𝐷之间的数量关系是______；
(2)【应用】如图2，B、A、E 在同一直线上，𝐷𝐴⊥𝐵𝐸，𝐵𝐹⊥𝐷𝐸交𝐴𝐷于点C，𝐵𝐶= 𝐷𝐸．求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸；
(3)如图3，在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= 30°，D 是𝐵𝐶边上一点，将△𝐴𝐵𝐷沿𝐴𝐷折叠至△𝐴𝐷𝐸，𝐴𝐵
的对应边𝐴𝐸与𝐵𝐶交于点F，当△𝐴𝐷𝐹为等腰三角形时，直接写出∠𝐵𝐴𝐷的度数为______．
【题型8 垂直全等综合】
【例8】（24-25 八年级上·重庆·阶段检测）如图，线段𝐴𝐵= 6，𝐴𝐶= 4，射线𝐴𝑁⊥𝐴𝐵于点A，C 是射线𝐴𝑁
上一动点，分别以𝐴𝐶，𝐵𝐶为直角边作等腰Rt △𝐴𝐶𝐷与等腰Rt △𝐵𝐶𝐸，连接𝐷𝐸交射线𝐴𝑁于点M，则△𝐶𝑀𝐸
的面积为_________．
【变式8-1】（25-26 七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，点E 为正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内一点，连接𝐴𝐸，𝐵𝐸，𝐷𝐸，
若𝐴𝐸⊥𝐷𝐸，𝐴𝐸= 12，则𝑆△𝐴𝐵𝐸为（ ）
A．12
B．36
C．72
D．144
【变式8-2】（25-26 八年级上·重庆·开学考试）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，𝐷是线段𝐵𝐶
上一点，连接𝐴𝐷，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐴𝐷，且𝐴𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐸𝐶交𝐴𝐵于点𝐹，若𝐵𝐷= 3.3，𝐵𝐹= 2.5，则𝐴𝐵的长
度为（ ）
A．8.3
B．8.5
C．8.7
D．9.1
【变式8-3】（25-26 七年级下·四川达州·阶段检测）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般
称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．
【模型呈现】
(1)如图①，在等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，过点C 作直线𝐷𝐸，过点A 作𝐴𝐷⊥𝐷𝐸于点
D，过点B 作𝐵𝐸⊥𝐷𝐸于点E，猜想𝐴𝐷，𝐵𝐸与𝐷𝐸之间满足的数量关系，并说明理由；
(2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，过点C 作直线𝐶𝐸，过点A
作𝐴𝐷⊥𝐶𝐸于点D，过点B 作𝐵𝐸⊥𝐶𝐸于点E，𝐴𝐷= 12，𝐵𝐸= 4，则𝐷𝐸的长为________；
(3)【深入探究】如图③，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸都是等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
𝐴𝐸= 𝐷𝐸，且点E 在𝐵𝐶上，连接𝐵𝐷，试猜想线段𝐴𝐵与线段𝐵𝐷的位置关系，并说明理由．
【题型9 旋转全等综合】
【例9】点M、N 分别在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐶𝐷、𝐵𝐶上，已知△𝑀𝐶𝑁的周长等于正方形𝐴𝐵𝐶𝐷周长的一半，则
∠𝑀𝐴𝑁的度数为______．
【变式9-1】如图，在五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，∠𝐵= ∠𝐸= 90°，∠𝐶𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐸，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，且𝐶𝐷= 3，
𝐴𝐸= 4，则五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸的面积为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【变式9-2】（第11 讲全等三角形的基本模型-【暑假自学课】2022 年新八年级数学暑假精品课（人教
版））如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
(1)当点D 在AC 上时，如图①，线段BD，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
(2)将图①中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE 有怎样的数量关系和位
置关系？请说明理由．
【变式9-3】已知△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△ABC 绕着点C 旋转，连
接BD，AE，M 是BD 的中点．
(1)如图①，当CA 与CD 重合，CB 与CE 重合时，线段AE，CM 的数量关系是 ；
(2)当△ABC 的位置如图②和图③时，线段AE，CM 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图②或
图③其中一种情况进行证明．
【题型10 实际生活中抽象出全等模型】
【例10】（25-26 七年级下·广东佛山·期中）如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位
置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O 到地面的距离𝑂𝐴= 3m；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到
最高点C 时，过点C 作𝐶𝐸⊥𝑂𝐴于点E，此时点C 到𝑂𝐴的距离𝐶𝐸= 2m；当乐乐从C 处摆到B 处时，则有
𝐵𝑂⊥𝐶𝑂，过点B 作𝐵𝐷⊥𝑂𝐴于点D．
(1)求证：∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝑂𝐶𝐸；
(2)求𝐴𝐷的长．
【变式10-1】生活中的数学：
(1)某中学计划为新生军训配备如图1 所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用
的数学原理是______；
(2)图2 是折叠凳撑开时的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿𝐴𝐵和𝐶𝐷的长相等，O 是它们的中
点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度𝐴𝐷设计为30cm，求撑开时的凳腿间距𝐶𝐵；
(3)为了节省空间，凳子不用时折叠起来摆放，如图3 是折叠凳折叠时的侧面示意图，在（2）的条件下，已
知撑开时凳面与凳腿的夹角∠𝐴为60°，求折叠时的凳子高度𝐴𝐵．
【变式10-2】（2025·广东茂名·一模）综合与实践
【主题】军事训练中的距离测量问题
【素材】在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点𝐴）与对岸
目标（点𝐵）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环
境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解
决这一难题：
【实践操作】如图所示：
步骤1：面向点𝐵站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点𝐵；
步骤2：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点𝐶；
步骤3：步测得𝐴𝐶= 28米．已知小王身高为𝐴𝑂，帽顶𝑂到眼睛𝐷的垂直距离为𝑂𝐷．
【问题解决】
(1)如何测得我方阵地与对岸目标之间的距离𝐴𝐵？请用你所学数学知识说明．
(2)若将本题中的测量方法应用到生活场景中，例如测量池塘对岸某一物体的距离，你认为该方法是否同样
适用？请举例说明在生活场景应用时可能会遇到的不同情况及相应的解决办法．
【变式10-3】（24-25 八年级上·山西忻州·期末）[新考向] 为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学
之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动．
项目主题
依数学之托，解生活之谜
项目背景
测量分别位于河两岸的A，B 两栋建筑物之间的距离
项目工具
测角仪、皮尺
项目实施
1．先在点B 所在的河岸上取一点C，连接𝐵𝐶，并延长到点D，使𝐶𝐷= 𝐶𝐵；
2．利用测角仪测得∠𝐸𝐷𝐶等于∠𝐴𝐵𝐶，并保证A，C，E 三点在同一直线上；
3．用皮尺测出D，E 两点的距离．
项目结论
𝐴𝐵= ？
项目推广
用项目方法解决生活中的其他问题
(1)项目结论：你得出的结论是𝐴𝐵= ______；并写出证明过程；
(2)项目推广：如图①是一个青花瓷瓶，底部和瓶口皆为圆形，现在想知道它的底面圆内部的直径𝑀𝑁的长
度，请你设计一个测量方法，在图②中画出示意图并完成下表．
任务
测量青花瓷瓶内部底面圆的直径
测量工具
实施步骤
简要步骤：
【题型11 尺规作图与全等综合】
【例11】（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）．
（2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，∠𝐴𝑂𝐵是一个任意角，在边𝑂𝐴，𝑂𝐵上分别取
𝑂𝐷= 𝑂𝐸，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E 重合，这时过角尺顶点P 的射线𝑂𝑃就是∠𝐴𝑂𝐵的
平分线．
（3）如图③，小敏做了一个角平分仪𝐴𝐵𝐶𝐷，其中𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐵𝐶= 𝐷𝐶，将仪器上的点A 与∠𝑃𝑅𝑄的顶点R
重合，调整𝐴𝐵和𝐴𝐷，使它们分别落在角的两边上，过点A，C 画一条射线𝐴𝐸，𝐴𝐸就是∠𝑃𝑅𝑄的平分线．
（4）小颖在作业本上画的△𝐴𝐵𝐶被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的△𝐴𝐵𝐶．
以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（ ）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）
【变式11-1】（25-26 七年级下·广东深圳·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= ∠𝐶,𝐷是𝐵𝐴延长线上的一点，点𝐸
是𝐴𝐶的中点．
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母：（保留作图痕迹，不写作法）
①在𝐵𝐷右侧作∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐶；
②连接𝐵𝐸并延长交射线𝐴𝑀于点𝐹；
(2)求证：𝐴𝐹∥𝐵𝐶且𝐴𝐹= 𝐵𝐶．
【变式11-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°,𝐴𝐵= 𝐴𝐶，过点𝐵作𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，且满足𝐵𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷，连接𝐷𝐶．
(1)试说明𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐷．
(2)延长𝐵𝐶到𝐸，使𝐶𝐸= 𝐵𝐶，延长𝐷𝐶到𝐹，使𝐶𝐹= 𝐷𝐶，连接𝐸𝐹．求证：𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 ．
(3)在（2）的条件下，用尺规作∠𝐴𝐶𝐸的平分线，交𝐴𝐹于点𝐻，求证：𝐴𝐻= 𝐹𝐻 ．
【变式11-3】（2026·重庆渝中·三模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐶，点𝐸为𝐵𝐶边的中点．
(1)用尺规完成基本作图：作∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐴𝐶于点𝐹，连接𝐸𝐹，在𝐴𝐵边上截取𝐵𝐺= 𝐵𝐸，连接𝐹𝐺．（不
写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：𝐹𝐺⊥𝐴𝐵，请根据以下思路完成填空：
证明：∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐹𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐹𝐵𝐶．
∵∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐶，
∴ ① ，
∴𝐹𝐵= 𝐹𝐶．
∵𝐸为𝐵𝐶的中点，
∴ ② ，
∴∠𝐵𝐸𝐹= 90°．
在△𝐵𝐹𝐺与△𝐵𝐹𝐸中，
𝐵𝐺= 𝐵𝐸
③
𝐵𝐹= 𝐵𝐹
，
∴△𝐵𝐹𝐺≌△𝐵𝐹𝐸(SAS)．
∴∠𝐵𝐺𝐹= ∠𝐵𝐸𝐹= 90°．
∴𝐹𝐺⊥𝐴𝐵．
【题型12 构造辅助线证全等】
【例12】（25-26 七年级下·贵州毕节·期末）【探究】
(1)如图1，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶 的中线，且𝐴𝐵> 𝐴𝐶，延长𝐴𝐷至点𝐸，使𝐸𝐷= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸 ，可证得
△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵，其中判定两个三角形全等的依据为 ．
A． SSS B． SAS C． AAS D． ASA
【应用】
(2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求
证的结论转化到同一个三角形中．如图2，𝐸𝑃是△𝐷𝐸𝐹 的中线，若𝐸𝐹= 8，𝐷𝐸= 6，求出2𝐸𝑃的取值范围．
【拓展】
(3)根据以上经验，如图3，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐶= 𝑂𝐷，∠𝐴𝑂𝐵+ ∠𝐶𝑂𝐷= 180°，连接𝐴𝐶 、 𝐵𝐷，𝐸是𝐴𝐶的中点，
证明：𝑂𝐸=
1
2𝐵𝐷．
【变式12-1】（24-25 八年级上·重庆大足·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，在Rt △𝐸𝐶𝐷中，
∠𝐸𝐶𝐷= 90°,𝐵𝐶= 𝐶𝐷,∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐸𝐶．
(1)求证：𝐴𝐵= 𝐷𝐸；
(2)连接𝐴𝐷，连接𝐵𝐸交𝐴𝐶于点𝐹，若点𝐹恰好是𝐵𝐸的中点，求证：𝐴𝐷= 2𝐶𝐹．
【变式12-2】（25-26 八年级上·广东广州·期中）已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 2𝛼，点𝑃是𝐴𝐵上的一
点，过点𝑃作𝑃𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻．
(1)如图1，∠𝐵𝑃𝐻= ______．（用含𝛼的式子表示）
(2)如图2，𝐶𝐷是𝐴𝐵边上的高，点𝑃为∠𝐴𝐶𝐷的角平分线与𝐴𝐵的交点，𝑃𝐻交𝐶𝐷于点𝑄．
①求证：𝑃𝐻= 𝐻𝐶；
②连接𝐷𝐻，求∠𝐻𝐷𝐶的度数．
【变式12-3】（25-26 七年级下·上海崇明·期末）数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，
大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题．
【探究初步】
探究1 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
(1)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 2，D 为𝐴𝐶边上的一点，若△𝐴𝐵𝐷与△𝐶𝐵𝐷为偏等积三
角形，则𝐶𝐷= ；
(2)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，𝐴𝐶= 4，D 为𝐵𝐶边上的一点，且满足△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷为偏等积三角形，
过点B 作𝐵𝐸∥𝐴𝐶，交𝐴𝐷的延长线于点E，如果线段𝐴𝐷的长度为正整数，那么𝐴𝐸= ．
探究2 如图3，∠𝐵𝐴𝐷= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，过点B 作𝐵𝐶⊥𝐴𝐶于点C，过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于点E．我们把这个
数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．
(3)探究图3 中线段𝐶𝐸、𝐵𝐶、𝐷𝐸之间的数量关系，可得 ．
【迁移应用】
(4)如图4，已知△𝐴𝐷𝐶与△𝐵𝐷𝐸是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中𝐷𝐴= 𝐷𝐶，𝐷𝐵= 𝐷𝐸，
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 90°，∠𝐴𝐷𝐵> ∠𝐶𝐷𝐸，过D 作𝐷𝑀⊥𝐴𝐵，垂足为点M，𝑀𝐷的延长线与𝐶𝐸交于点N，请写
出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明．
