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专题13.4 三角形的内角（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 三角形内角和定理的证明】....................................................................................................................2
【题型2 直接应用三角形内角和定理求角度】....................................................................................................5
【题型3 内角和与角平分线的综合应用】............................................................................................................7
【题型4 三角形内角和与平行线的综合应用】..................................................................................................10
【题型5 应用三角形内角和定理解决三角板问题】..........................................................................................17
【题型6 应用三角形内角和解决折叠中的角度问题】......................................................................................21
【题型7 三角形内角和的应用】..........................................................................................................................24
【题型8 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】..........................................................................................26
【题型9 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】......................................................29
知识点1 三角形内角和定理
定义：三角形三个内角的和等于180°.
如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°．
图 (1) 图 (2)
【拓展】三角形内角和的倒角模型：
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4．
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D．
考点1
三角形的内角
题型归纳
【题型1 三角形内角和定理的证明】
【例1】（25-26 九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次
标上∠1、∠2、∠3，如图1，再将∠1、∠2剪下，将它们与∠3拼在一起，如图2．
(1)在图2 中，通过∠1、∠2、∠3的拼接，你发现了什么？
(2)通过图2 中的发现，你能得出什么猜想？
(3)通过图2 的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想．
【答案】(1)∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
(2)三角形内角和为180°；
(3)见解析
【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键．
（1）根据图形直接写出结果即可；
（2）根据（1）写出猜想即可；
（3）根据题意，延长𝐵𝐶，过点C 作𝐶𝐸∥𝐴𝐵，然后利用平行线的性质即可证明．
【详解】（1）解：通过∠1、∠2、∠3的拼接，发现∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°；
（2）猜想：三角形内角和为180°；
（3）延长𝐵𝐶，过点C 作𝐶𝐸∥𝐴𝐵，如图所示：
∴∠1 = ∠𝐴𝐶𝐸,∠2 = ∠𝐸𝐶𝐷，
∵∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐷+ ∠3 = 180°，
∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°．
【变式1-1】（25-26 八年级上·安徽合肥·期中）证明：三角形的内角和等于180°．
已知：如图，△𝐴𝐵𝐶．
求证：___________．
证明：
【答案】∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶= 180°，证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明、平行线性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行线
是解题的关键．
根据图形以及三角形内角和定理写成求证；如图，过点𝐴作𝑀𝑁∥𝐵𝐶，根据平行线性质得出∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝐵，
∠𝑁𝐴𝐶= ∠𝐶，再根据平角的定义以及等量代换即可解答．
【详解】解：求证：∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶= 180°．
证明：如图，过点𝐴作𝑀𝑁∥𝐵𝐶，
∵𝑀𝑁∥𝐵𝐶，
∴∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝐵，∠𝑁𝐴𝐶= ∠𝐶（两直线平行，内错角相等），
∵∠𝑀𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝑁𝐴𝐶= 180°（平角的定义），
∴∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶= 180°（等量代换）．
【变式1-2】（24-25 八年级上·湖北宜昌·月考）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请
你帮他把探究过程补充完整．
在△𝐴𝐵𝐶边𝐵𝐶上任取一点E，作𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐶交𝐴𝐵于点D，作𝐸𝐹 ∥ 𝐴𝐵交𝐴𝐶于点F．
∵𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐶，𝐴𝐵 ∥ 𝐸𝐹
∴∠1 = _______，∠3 = _______．
∵𝐴𝐵∥𝐸𝐹，
∴∠4 = _______．
∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠4 = _______，
∴∠2 = _______．
∵∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= _______．
【答案】∠𝐶；∠𝐵；∠𝐴；∠2；∠𝐴；180°
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程进
行证明即可．
【详解】解；∵𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐶，𝐴𝐵 ∥ 𝐸𝐹
∴∠1 = ∠𝐶，∠3 = ∠𝐵．
∵𝐴𝐵∥𝐸𝐹，
∴∠4 = ∠𝐴．
∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠4 = ∠2，
∴∠2 = ∠𝐴．
∵∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°．
【变式1-3】（24-25 八年级上·山西大同·阶段检测）“三角形的内角和为180°”是《几何原本》中的第五公设
的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和
是180°”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本
题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可．
【详解】解：A．由𝐸𝐹∥𝐴𝐵，则∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐴，∠𝐹𝐶𝐵= ∠𝐵．由∠𝐸𝐶𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐹𝐶𝐵= 180°，得
∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 180°，故能证明“三角形内角和是180°”，不符合题意
B．由𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，则∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐶𝐷𝐵= 90°，无法证得“三角形内角和是180°”，符合题意．
C．由𝐷𝐹∥𝐴𝐶，得∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐴𝐸𝐷，∠𝐴= ∠𝐹𝐷𝐵．由𝐸𝐷∥𝐵𝐶，得∠𝐸𝐷𝐴= ∠𝐵，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶，所以
∠𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹．由∠𝐸𝐷𝐴+ ∠𝐸𝐷𝐹+ ∠𝐹𝐷𝐵= 180°，得：∠𝐴+ ∠𝐶+ ∠𝐵= 180°，故能证明“三角形内角和是
180°”，不符合题意
D．由𝐶𝐸∥𝐴𝐵，得∠𝐴= ∠𝐹𝐶𝐸，∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐸．由∠𝐹𝐶𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，得
∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，故能证明“三角形内角和是180°”，不符合题意．
故选B．
【题型2 直接应用三角形内角和定理求角度】
【例2】（25-26 七年级下·山东济南·期中）已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶= 2:3:4，则△𝐴𝐵𝐶为（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
【答案】C
【分析】根据三个内角的比例，利用三角形内角和定理求出最大内角的度数，即可判断三角形的类型．
【详解】解：∵∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶= 2:3:4，
∴△𝐴𝐵𝐶中最大角为∠𝐶，
∵三角形内角和为180°，
∴∠𝐶= 180° ×
4
2+3+4 = 180° ×
4
9 = 80° ，
∵最大角∠𝐶< 90°，
∴三个内角均为锐角，
∴△𝐴𝐵𝐶是锐角三角形．
【变式2-1】（25-26 七年级下·河南周口·期中）将一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1的度数为（ ）
A．15°
B．30°
C．45°
D．75°
【答案】D
【分析】根据三角尺的角度求出∠1所在三角形的另外两个角，再根据三角形的内角和为180°求出∠1．
【详解】解：如图，
由三角尺可知，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，∠𝐴𝐵𝐷= 45°，∠𝐶= 60°，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐷= 45°，
∴∠1 = 180°−∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐶= 75°．
【变式2-2】（25-26 七年级下·江苏扬州·期中）如图，将△𝐴𝐵𝐶平移到△𝐴′𝐵′𝐶′的位置．若
∠𝐵= 55°,∠𝐶= 100°，则∠𝐴𝐵′𝐴′的度数为__________．
【答案】25°/25度
【分析】根据三角形内角和定理求出∠𝐴，再根据平移的性质得到𝐴𝐵∥𝐴′𝐵′，即可求出答案．
【详解】解：∵∠𝐵= 55°,∠𝐶= 100°，
∴∠𝐴= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 25°，
∵将△𝐴𝐵𝐶平移到△𝐴′𝐵′𝐶′的位置．
∴𝐴𝐵∥𝐴′𝐵′，
∴∠𝐴𝐵′𝐴′ = ∠𝐴= 25°
【变式2-3】（25-26 八年级下·河北保定·阶段检测）在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐴+ ∠𝐵= 100°，∠𝐶= 2∠𝐵，求∠𝐴
的度数．
【答案】∠𝐴的度数为60°．
【分析】由三角形内角和定理可得∠𝐶= 180°−(∠𝐴+ ∠𝐵) = 80°，然后代入∠𝐶= 2∠𝐵得∠𝐵= 40°，从而求
得∠𝐴= 60°．
【详解】解：∵∠𝐴+ ∠𝐵= 100°，
∴∠𝐶= 180°−(∠𝐴+ ∠𝐵) = 80°，
∵∠𝐶= 2∠𝐵，
∴∠𝐵= 40°，
∴∠𝐴= 100°−∠𝐵= 60°，
∴∠𝐴的度数为60°．
【题型3 内角和与角平分线的综合应用】
【例3】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）如图，𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，若∠𝐵= 40°，
∠𝐶= 64°，则∠𝐷𝐴𝐸的度数是（ ）
A．10°
B．12°
C．15°
D．18°
【答案】B
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠𝐶𝐴𝐷，再根据角平分线定义求出∠𝐶𝐴𝐸，然后根据
∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷，代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶, ∠𝐶= 64°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90°−64° = 26°，
∵∠𝐵= 40°，∠𝐶= 64°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−40°−64° = 76°，
又∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 76° = 38°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 38°−26° = 12°．
【变式3-1】（25-26 九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 70°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，则∠𝐵𝐸𝐶的度数为（ ）
A．105°
B．115°
C．125°
D．135°
【答案】C
【分析】根据∠𝐵𝐴𝐶= 70°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，得出 ∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 35°，根据𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，得出∠𝐴𝐹𝐸= 90°，
再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 70°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 35°，
∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐹𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹+ ∠𝐴𝐹𝐸= 35° + 90° = 125°．
【变式3-2】（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 70°，点D、E 分别为𝐴𝐶、𝐴𝐵边
上的点，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐷、𝐶𝐸相交于点O，若∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐹，则∠𝐵𝐷𝐹= ______．
【答案】125°/125 度
【分析】首先由三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 110°，然后结合角平分线求出∠𝐵𝑂𝐶= 125°，然后
证明𝑂𝐶∥𝐷𝐹，即可得到∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐵𝑂𝐶= 125°．
【详解】解：∵∠𝐴= 70°
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴= 110°
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵
∴∠𝑂𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵
∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 55°
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180°−(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 125°
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝑂𝐶𝐵
∵∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐹
∴∠𝐹= ∠𝑂𝐶𝐵
∴𝑂𝐶∥𝐷𝐹
∴∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐵𝑂𝐶= 125°．
【变式3-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝑃为线段𝐴𝐷上的一个动点，𝑃𝐸⊥𝐴𝐷交𝐵𝐶的延长线于点𝐸．
(1)若∠𝐵= 35°，∠𝐴𝐶𝐵= 85°，求∠𝐸的度数；
(2)当点𝑃在线段𝐴𝐷上运动时，猜想∠𝐸与∠𝐵，∠𝐴𝐶𝐵之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠𝐸= 25°
(2)∠𝐸=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵) ，见解析
【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠𝐵𝐴𝐶的度数，再根据角平分线的定义求得∠𝐷𝐴𝐶的度数，
从而根据三角形的内角和定理即可求出∠𝐴𝐷𝐶的度数，进一步求得∠𝐸的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【详解】（1）解：如图，记∠𝐴𝐷𝐸= ∠3，∠𝐷𝐴𝐶= ∠2，∠𝐵𝐴𝐷= ∠1．
∵∠𝐵= 35°，∠𝐴𝐶𝐵= 85°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 60°
又∵ 𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠1 = ∠2 =
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 30°，
∴∠3 = ∠𝐵+ ∠1 = 65°
∴𝑃𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐸= 25°
（2）∠𝐸=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)
理由如下：设∠𝐵= 𝑛°，∠𝐴𝐶𝐵= 𝑚°，
∵ 𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠1 = ∠2 =
1
2∠𝐵𝐴𝐶．
∵∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180∘，
∴∠𝐶𝐴𝐵= (180−𝑛−𝑚)°
∴ ∠1 =
1
2(180−𝑛−𝑚)°
∴ ∠3 = ∠𝐵+ ∠1 = 𝑛∘+
1
2(180−𝑛−𝑚)∘= 90° +
1
2𝑛°−
1
2𝑚°．
又∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐷𝑃𝐸= 90∘，
∴∠𝐸= 90°−∠3 = 90°−(90° +
1
2𝑛°−
1
2𝑚°)
=
1
2(𝑚−𝑛)°
=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)．
【题型4 三角形内角和与平行线的综合应用】
【例4】已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷= 60°，∠𝐵𝐴𝐸:∠𝐶𝐴𝐸= 2:3，∠𝐹𝐶𝐷= 4∠𝐹𝐶𝐸，若∠𝐴𝐸𝐶= 78°，则∠𝐴𝐹𝐶=
____________．
【答案】88°
【分析】根据平行线的性质、角的和差倍分、三角形的内角和定理、外角的性质即可求得答案．
【详解】解：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷= 60°，
∴∠𝐶𝐴𝐵= 180°−∠𝐴𝐶𝐷= 120°，
∵∠𝐵𝐴𝐸:∠𝐶𝐴𝐸= 2:3，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 180° ×
3
2+3 = 72° ，
∵∠𝐴𝐸𝐶= 78°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 180°−∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐴𝐸𝐶= 30°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐴𝐶𝐸= 30°，
∵∠𝐹𝐶𝐷= 4∠𝐹𝐶𝐸，
∴∠𝐹𝐶𝐸=
1
3∠𝐷𝐶𝐸= 10°，
∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐹𝐶𝐸+∠𝐴𝐸𝐶= 88° ．
故答案是：88°
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分、三角形内角和定理、外角的性质等知识点，熟练掌握
相关知识点是解题的关键．
【变式4-1】（25-26 七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线𝑎∥𝑏、∠1 = 50°，∠3 = 100°，则∠2的度数为
（ ）．
A．20°
B．30°
C．35°
D．40°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得∠4 = ∠1 = 50°，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图：∵直线𝑎∥𝑏、∠1 = 50°，
∴∠4 = ∠1 = 50°，
∵∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°，∠3 = 100°，
∴∠2 = 180°−∠3−∠4 = 30°．
【变式4-2】（25-26 七年级下·全国·单元测试）如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，定点𝐸，𝐹分别在定直线𝐴𝐵，𝐶𝐷上，动点𝑃
不在𝐴𝐵，𝐶𝐷，𝐸𝐹上．
(1)当动点𝑃位于𝐴𝐵，𝐶𝐷之间时，如图②、图③，连接𝑃𝐸，𝑃𝐹，𝐸𝐹，∠𝐴𝐸𝑃，∠𝐸𝑃𝐹，∠𝐶𝐹𝑃之间满足怎样
的数量关系？请说明理由；
(2)当点𝑃在不同的位置时，请画出当∠𝐴𝐸𝑃，∠𝐸𝑃𝐹，∠𝐶𝐹𝑃三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度
数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外．
【答案】(1)∠𝐸𝑃𝐹= ∠𝐴𝐸𝑃+ ∠𝐶𝐹𝑃或∠𝐴𝐸𝑃+ ∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝐶𝐹𝑃= 360°，理由见解析
(2)示意图有四种，见解析；图①和③关系式：∠𝐶𝐹𝑃= ∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝐴𝐸𝑃，
图②和④关系式：∠𝐴𝐸𝑃= ∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝐶𝐹𝑃 ．
【分析】（1）①如题图②中，结论：∠𝐸𝑃𝐹= ∠𝐴𝐸𝑃+ ∠𝐶𝐹𝑃．利用平行线的性质得到
∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐶𝐹𝐸= 180°，利用三角形的内角和定理得到∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝑃𝐸𝐹+ ∠𝑃𝐹𝐸= 180°，再根据角度的和差关
系解决问题即可．②如题图③中，结论：∠𝐴𝐸𝑃+ ∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝐶𝐹𝑃= 360°．利用平行线的性质
∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐶𝐹𝐸= 180°，利用三角形的内角和定理得到∠𝑃𝐸𝐹+ ∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝑃𝐹𝐸= 180°，再根据角度的和差关
系解决问题即可．
（2）有四种情形，分别画出图形写出结论即可．
【详解】（1）解：第一种情况：如题图②，∠𝐸𝑃𝐹= ∠𝐴𝐸𝑃+ ∠𝐶𝐹𝑃．
理由：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐶𝐹𝐸= 180°，
即∠𝐴𝐸𝑃+ ∠𝑃𝐸𝐹+ ∠𝐶𝐹𝑃+ ∠𝑃𝐹𝐸= 180°．
∵∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝑃𝐸𝐹+ ∠𝑃𝐹𝐸= 180°，
∴∠𝐸𝑃𝐹= ∠𝐴𝐸𝑃+ ∠𝐶𝐹𝑃．
第二种情况：如题图③，∠𝐴𝐸𝑃+ ∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝐶𝐹𝑃= 360°．
理由：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐶𝐹𝐸= 180°．
∵∠𝑃𝐸𝐹+ ∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝑃𝐹𝐸= 180°，
∴∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝑃𝐸𝐹+ ∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝐶𝐹𝐸+ ∠𝑃𝐹𝐸= 360°，
即∠𝐴𝐸𝑃+ ∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝐶𝐹𝑃= 360°．
（2）解：如图2−1，∠𝐶𝐹𝑃= ∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝐴𝐸𝑃；
如图2−2，∠𝐴𝐸𝑃= ∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝐶𝐹𝑃；
如图2−3，∠𝐶𝐹𝑃= ∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝐴𝐸𝑃；
如图2−1，∠𝐴𝐸𝑃= ∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝐶𝐹𝑃．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
【变式4-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐴𝐵上，过点𝐷作𝐷𝐸∥𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点𝐸，𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐸，交∠𝐴𝐶𝐵的平
分线于点𝑃，𝐶𝑃与𝐷𝐸相交于点𝐺，∠𝐴𝐶𝐹的平分线𝐶𝑄与𝐷𝑃相交于点𝑄．
(1)若∠𝐴= 50°，∠𝐵= 60°，则∠𝐷𝑃𝐶= ______°，∠𝑄______°；
(2)若∠𝐴= 50°，当∠𝐵的度数发生变化时，∠𝐷𝑃𝐶、∠𝑄的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若△𝑃𝐶𝑄中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠𝐴的度数______．
【答案】(1)115，25
(2)不会发生变化，理由见解析
(3)∠𝐴= 45°或60°或120°或135°
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）设∠𝐴= 𝑥，则∠𝑄=
1
2𝑥，再由∠𝑃𝐶𝑄= 90°不变，即可分类讨论：①当∠𝑄= 3∠𝑄𝑃𝐶时，②当∠𝑄𝑃𝐶= 3∠𝑄
时，③当∠𝑃𝐶𝑄= 3∠𝑄时，④当∠𝑃𝐶𝑄= 3∠𝑄𝑃𝐶时，分别列出关于𝑥的等式，解出𝑥即可．
【详解】（1）解：∵∠𝐴= 50°，∠𝐵= 60°，
∴ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 70°．
∵ 𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴ ∠𝐵𝐶𝑃= ∠𝐴𝐶𝑃=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 35°．
∵ 𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴ ∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵= 60°，∠𝑃𝐺𝐷= ∠𝐵𝐶𝑃= 35°．
∵ 𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐸，
∴ ∠𝑃𝐷𝐺=
1
2∠𝐴𝐷𝐸= 30°．
∴ ∠𝐷𝑃𝐶= 180°−∠𝑃𝐷𝐺−∠𝑃𝐺𝐷= 115°；
∵ ∠𝐷𝑃𝐶= 115°，
∴ ∠𝑄𝑃𝐶= 180°−115° = 65°．
∵ 𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐶𝑄平分∠𝐴𝐶𝐹，
∴ ∠𝐴𝐶𝑃=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝑄=
1
2∠𝐴𝐶𝐹．
∵ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐹= 180°，
∴ ∠𝐴𝐶𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑄= 90°，即∠𝑃𝐶𝑄= 90°，
∴ ∠𝑄= 90°−∠𝑄𝑃𝐶= 25°．
故答案为：115，25；
（2）解：不会发生变化，理由如下：
∵ ∠𝐴= 50°，
∴ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 130°．
∵ 𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴ ∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵，∠𝑃𝐺𝐷= ∠𝑃𝐶𝐵．
∵ 𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐸，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴ ∠𝑃𝐷𝐸=
1
2∠𝐴𝐷𝐸=
1
2∠𝐵，∠𝑃𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝑃𝐺𝐷．
∴ ∠𝐷𝑃𝐶= 180°−(∠𝑃𝐷𝐸+ ∠𝑃𝐺𝐷)
= 180°−
1
2(∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵)
= 180°−
1
2 × 130°
= 115°．
∴ ∠𝑄𝑃𝐶= 65°，
∵ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐹= 180°，
∴ ∠𝑃𝐶𝑄=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐹) = 90°，
∴ ∠𝑄= 90°−∠𝑄𝑃𝐶= 25°．
∴当∠𝐵的度数发生变化时，∠𝐷𝑃𝐶、∠𝑄的度数不发生变化；
（3）解：设∠𝐴= 𝑥，
∴ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 180°−𝑥．
∵ 𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴ ∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵，∠𝑃𝐺𝐷= ∠𝑃𝐶𝐵，
∵ 𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐸，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴ ∠𝑃𝐷𝐸=
1
2∠𝐴𝐷𝐸=
1
2∠𝐵，∠𝑃𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝑃𝐺𝐷，
∴ ∠𝐷𝑃𝐶= 180°−(∠𝑃𝐷𝐸+ ∠𝑃𝐺𝐷)
= 180°−
1
2(∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵)
= 180°−
1
2 × (180°−𝑥)
= 90° +
1
2𝑥．
∴ ∠𝑄𝑃𝐶= 180°−90° +
1
2 𝑥= 90°−
1
2𝑥．
∵ 𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐶𝑄平分∠𝐴𝐶𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝑃=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝑄=
1
2∠𝐴𝐶𝐹，
∴ ∠𝑃𝐶𝑄=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐹) = 90°，
∴∠𝑄= 90°−∠𝑄𝑃𝐶= 90°−90°−
1
2 𝑥=
1
2𝑥，
∵ △𝑃𝐶𝑄中存在一个内角等于另一个内角的三倍，
∴①当∠𝑄= 3∠𝑄𝑃𝐶时，
1
2𝑥= 3 90°−
1
2 𝑥，
解得：𝑥= 135°
②当∠𝑄𝑃𝐶= 3∠𝑄时，90°−
1
2𝑥= 3 ×
1
2𝑥，
解得：𝑥= 45°
③当∠𝑃𝐶𝑄= 3∠𝑄时，90° = 3 ×
1
2𝑥，
解得：𝑥= 60°
④当∠𝑃𝐶𝑄= 3∠𝑄𝑃𝐶时，90° = 3 × 90°−
1
2 𝑥，
解得：𝑥= 120°
综上可知，∠𝐴= 45°或60°或120°或135°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类
讨论的思想是解题关键．
【题型5 应用三角形内角和定理解决三角板问题】
【例5】（2026·山西长治·一模）将一副三角板𝐴𝐵𝐶和𝐷𝐸𝐹按照如图所示的方式放置，𝐷𝐸与𝐵𝐶交于点G．已
知∠𝐵= ∠𝐹= 90°，∠𝐴= 60°，∠𝐸= 45°．若𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，则∠𝐷𝐺𝐶的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
【答案】C
【分析】延长𝐸𝐹交𝐵𝐶于点𝐻，由𝐸𝐹⊥𝐴𝐶得∠𝐶𝐾𝐻= 90°，在Rt △𝐶𝐾𝐻中求出∠𝐶𝐻𝐾= 60°，再在△𝐸𝐺𝐻中
利用内角和求出∠𝐸𝐺𝐻= 75∘，最后由对顶角相等得∠𝐶𝐺𝐷= 75°．
【详解】解：如图，延长𝐸𝐹交𝐵𝐶于点𝐻，设𝐸𝐹与𝐴𝐶交于点𝐾，
∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐾𝐻= 90°，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∵∠𝐵= 90°,∠𝐴= 60°，
∴∠𝐶= 30°，
在Rt △𝐶𝐾𝐻中，∵∠𝐶𝐾𝐻= 90°,∠𝐶= 30°，
∴∠𝐶𝐻𝐾= 90°−30° = 60°，
在△𝐺𝐸𝐻中，∵∠𝐸= 45°,∠𝐸𝐻𝐺= 60°，
∴∠𝐸𝐺𝐻= 180°−45°−60° = 75°，
∵∠𝐶𝐺𝐷与∠𝐸𝐺𝐻是对顶角，
∴∠𝐶𝐺𝐷= ∠𝐸𝐺𝐻= 75°．
【变式5-1】（25-26 七年级下·天津·阶段检测）将一副三角板按如图放置，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
∠𝐵= 45°，∠𝐸= 60°，则
①∠1 = ∠3；②∠𝐶𝐴𝐷+ ∠2 = 180°；③如果∠2 = 30°，则有𝐴𝐶∥𝐷𝐸；
④如果∠2 = 45°，则有∠4 = 45°．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】由∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2 = 90°即可判断①；由∠𝐶𝐴𝐷= ∠1 + ∠2 + ∠3即可判断②；求出
∠1 = 90°−∠2 = 60° = ∠𝐸即可判断③；求出∠3 = 90°−∠2 = 45° = ∠𝐵得到𝐵𝐶∥𝐴𝐷，则∠4 = ∠𝐷，进而可
判断④．
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
∴∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2 = 90°，
∴∠1 = ∠3，故①正确；
∵∠𝐶𝐴𝐷= ∠1 + ∠2 + ∠3，
∴∠𝐶𝐴𝐷+ ∠2 = ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠2 = ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐸= 180°，故②正确；
如果∠2 = 30°，则∠1 = 90°−∠2 = 60° = ∠𝐸，故𝐴𝐶∥𝐷𝐸，故③正确；
如果∠2 = 45°，则∠3 = 90°−∠2 = 45° = ∠𝐵，故𝐵𝐶∥𝐴𝐷，
∴∠4 = ∠𝐷，
∵∠𝐷𝐴𝐸= 90°，∠𝐸= 60°，
∴∠𝐷= 90°−∠𝐸= 90°−60° = 30°，
∴∠4 = 30°，故④错误，
综上所述，正确的有①②③，共3 个．
【变式5-2】将一副直角三角板如图放置，已知∠𝐶= 60°，∠𝐹= 45°，当𝐷𝐹⊥𝐵𝐶时，∠𝐸𝐺𝐵= ______．
【答案】75°
【分析】根据三角形内角和定理、平行线的性质和判定及三角形外角的性质计算即可.
【详解】如图：
∵∠𝐶= 60°，∠𝐹= 45°，
∴∠𝐵= 30°，∠𝐸= 45°，
∵𝐷𝐹⊥𝐵𝐶
∴∠𝐷𝐻𝐵= 90°
∵∠𝐸𝐷𝐻= 90°
∴∠𝐷𝐻𝐵+ ∠𝐸𝐷𝐻= 180°
∴𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐸= ∠𝐺𝑀𝐵= 45°
∴∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐺𝑀𝐵+ ∠𝐵= 75°
故答案为：75°
【点睛】此题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和判定及三角形外角的性质掌握相应的定理和性质
是解答此题的关键.
【变式5-3】小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知𝑀𝑁∥𝑃𝑄．
(1)如图①，小明将含45°角的直角三角板𝐴𝐵𝐶中的点A 落在直线𝑃𝑄上，若∠𝐵𝐴𝑄= 25°，则∠𝐴𝐷𝑀的度数为
______；
(2)如图②，小明将含30°角的直角三角板𝐷𝐸𝐹中的点D，F 分别落在直线𝑀𝑁,𝑃𝑄上，若𝐷𝐸平分∠𝑀𝐷𝐹，则𝐸𝐹
是否平分∠𝐷𝐹𝑃？请说明理由．
(3)小明将三角板𝐴𝐵𝐶与三角板𝐷𝐸𝐹按如图③所示方式摆放，点B 与点F 重合，求∠𝐵𝐶𝑁的度数．
【答案】(1)115°
(2)𝐸𝐹平分∠𝐷𝐹𝑃，理由见解析
(3)∠𝐵𝐶𝑁= 15°
【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线性质、三角形内角和定理：
（1）先根据角度求出角度和，然后根据两直线平行，内错角相等即可得到结果；
（2）先根据角平分线的性质得到∠𝑀𝐷𝐹= 2∠𝐸𝐷𝐹= 60°，再根据两直线平行，内错角相等，可得到
∠𝑀𝐷𝐹= ∠𝐷𝐹𝑄= 60°，即可求得∠𝐸𝐹𝑃= ∠𝐸𝐹𝐷；
（3）先作辅助线，根据三角尺得到角度，根据两直线平行，同旁内角互补可得到
∠𝑀𝐺𝐸= 180°−∠𝐷𝐸𝐵= 90°，再根据三角形内角和可求得结果；
准确找到各个角度是解题的关键．
【详解】（1）解：∵∠𝐵𝐴𝑄= 25°，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝑄𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝑄+ ∠𝐵𝐴𝐶= 25° + 90° = 115°，
∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄，
∴∠𝐴𝐷𝑀= ∠𝑄𝐴𝐶= 115°
故答案为：115°；
（2）解：𝐸𝐹平分∠𝐷𝐹𝑃，理由如下：
∵𝐷𝐸平分∠𝑀𝐷𝐹，∠𝐸𝐷𝐹= 30°，
∴∠𝑀𝐷𝐹= 2∠𝐸𝐷𝐹= 60°，
∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄，
∴∠𝑀𝐷𝐹= ∠𝐷𝐹𝑄= 60°，
∵∠𝐸𝐹𝐷= 60°，
∴∠𝐸𝐹𝑃= 180°−60°−60° = 60°，
∴∠𝐸𝐹𝑃= ∠𝐸𝐹𝐷，
即𝐸𝐹平分∠𝐷𝐹𝑃；
（3）解：延长𝐸𝐵交𝑀𝑁于点G，如图所示：
，
由题可得：∠𝐷𝐵𝐸= 60°，∠𝐴𝐵𝐶= 45°,∠𝐷𝐸𝐺= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐵𝐸= 105°，
∴∠𝐶𝐵𝐺= 180°−105° = 75°，
∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄，
∴∠𝑀𝐺𝐸+ ∠𝐷𝐸𝐺= 180°，
∴∠𝑀𝐺𝐸= 180°−∠𝐷𝐸𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐺= 180°−∠𝐶𝐵𝐺−∠𝑀𝐺𝐸= 180°−75°−90° = 15°，
即∠𝐵𝐶𝑁= 15°．
【题型6 应用三角形内角和解决折叠中的角度问题】
【例6】（25-26 七年级下·广东深圳·期中）在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，将∠𝐵,∠𝐶按如图方式折叠，点𝐵,𝐶
均落在𝐵𝐶边上的点𝐺处，线段𝑀𝑁,𝐸𝐹为折痕．若∠𝐴= 85°，则∠𝑀𝐺𝐸的度数为___________°．
【答案】85
【分析】由折叠的性质可得∠𝑀𝐺𝐵= ∠𝐵，∠𝐸𝐺𝐶= ∠𝐶，再由三角形内角和定理和平角的定义可推出
∠𝑀𝐺𝐸= ∠𝐴= 85°．
【详解】解：由折叠的性质可得∠𝑀𝐺𝐵= ∠𝐵，∠𝐸𝐺𝐶= ∠𝐶，
∵∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐴= 180°，∠𝑀𝐺𝐵+ ∠𝐸𝐺𝐶+ ∠𝑀𝐺𝐸= 180°，
∴∠𝑀𝐺𝐸= ∠𝐴= 85°．
【变式6-1】（25-26 八年级上·安徽安庆·期中）如图，将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，使点𝐴落在点𝐴′处，且𝐴′𝐵
平分∠𝐴𝐵𝐶,𝐴′𝐶平分∠𝐴𝐶𝐵，若∠𝐵𝐴′𝐶= 115°，则∠1 + ∠2的度数为_____．
【答案】100°/100 度
【分析】利用三角形内角和为180 度得出∠𝐴′𝐵𝐶+ ∠𝐴′𝐶𝐵= 65°，再根据角平分线的定义得出∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴′
𝐵𝐶,∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴′𝐶𝐵，最后根据∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 180°−∠𝐴和
∠1 + ∠2 = 180°−∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐷𝐸+ 180°−∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐴′𝐸𝐷求解即可．
【详解】解：∵∠𝐵𝐴′𝐶= 115°，
∴∠𝐴′𝐵𝐶+ ∠𝐴′𝐶𝐵= 180°−∠𝐵𝐴′𝐶= 65°，
∵𝐴′𝐵平分∠𝐴𝐵𝐶,𝐴′𝐶平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴′𝐵𝐶,∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴′𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴′𝐵𝐶+ 2∠𝐴′𝐶𝐵= 130°，
∴∠𝐴= 180°−(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 50°，
∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 180°−∠𝐴= 130°，
∵将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，使点𝐴落在点𝐴′处，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸,∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴′𝐸𝐷，
∴∠1 + ∠2 = (180°−∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐷𝐸) + (180°−∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐴′𝐸𝐷) = 360°−2(∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷) = 100°．
【变式6-2】（25-26 八年级下·河南郑州·阶段检测）已知一张三角形纸片△𝐴𝐵𝐶（如图甲），其中
𝐴𝐵= 𝐴𝐶．将纸片沿过点𝐵的直线折叠，使点𝐶落到𝐴𝐵边上的𝐸点处，折痕为𝐵𝐷（如图乙）．再将纸片沿过
点𝐸的直线折叠，点𝐴恰好与点𝐷重合，折痕为𝐸𝐹（如图丙）．原三角形纸片△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴的大小为（ ）
A．36°
B．45°
C．60°
D．72°
【答案】A
【分析】设∠𝐴= 𝑥，由折叠的性质得到∠𝐸𝐷𝐴= ∠𝐴= 𝑥，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= 2𝑥，再利用三角形内角和定理求出𝑥，即可求出答案．
【详解】解：设∠𝐴= 𝑥，
由折叠得：∠𝐸𝐷𝐴= ∠𝐴= 𝑥，∠𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐸𝐷𝐴= 2𝑥，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= 2𝑥，
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= 180°，
∴𝑥+ 2𝑥+ 2𝑥= 180°，
∴𝑥= 36°，
∴∠𝐴= 36°．
【变式6-3】（24-25 八年级上·北京·期中）把三角形纸片𝐴′𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠．
(1)如图1，点𝐴′落在四边形𝐵𝐶𝐷𝐸内部点A 处时，∠𝐴与∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐴𝐸𝐵之间有一种数量关系始终保持不变，
写出这种关系并证明；
(2)如图2，点𝐴′落在四边形𝐵𝐶𝐷𝐸外部点A 处时，直接写出∠𝐴与∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐴𝐸𝐵之间的数量关系．
【答案】(1)2∠𝐴= ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐵，见解析
(2)2∠𝐴= ∠𝐴𝐸𝐵−∠𝐴𝐷𝐶
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质．
（1）由折叠得到∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴′𝐸𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴′𝐷𝐸，根据平角得到∠𝐴𝐸𝐵+ 2∠𝐴𝐸𝐷= 180°，
∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐴𝐷𝐸= 180°，再结合三角形内角和得到∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°，即可解决问题；
（2）由折叠得到∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴′𝐸𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴′𝐷𝐸，根据平角得到∠𝐴𝐸𝐵+ 2∠𝐴𝐸𝐷= 180°，
2∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐷𝐶= 180°，再结合三角形内角和得到∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°，即可解决问题．
【详解】（1）解：2∠𝐴= ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐵．
证明：∵三角形纸片𝐴′𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠得到△𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴′𝐸𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴′𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐵+ 2∠𝐴𝐸𝐷= 180°，∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐴𝐷𝐸= 180°，
又∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°，
∴∠𝐴𝐸𝐵+ 2∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐴𝐷𝐸= 360° = 2(∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸)，
∴2∠𝐴= ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐵；
（2）解：∵三角形纸片𝐴′𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠得到△𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴′𝐸𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴′𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐵+ 2∠𝐴𝐸𝐷= 180°，2∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐷𝐶= 180°，
又∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°，
∴∠𝐴𝐸𝐵+ 2∠𝐴𝐸𝐷+ 2∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐷𝐶= 360° = 2(∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸)，
∴2∠𝐴= ∠𝐴𝐸𝐵−∠𝐴𝐷𝐶．
【题型7 三角形内角和的应用】
【例7】（25-26 八年级下·广东清远·期中）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O 旋转了66°，小孩的
位置从点A 运动到了点𝐴′，则∠𝑂𝐴′𝐴的度数为（ ）
A．33°
B．57°
C．60°
D．114°
【答案】B
【分析】利用旋转的性质以及三角形内角和定理求解．
【详解】解：∵𝑂𝐴= 𝑂𝐴′，∠𝐴𝑂𝐴′ = 66°，
∴∠𝑂𝐴′𝐴=
1
2 × (180°−∠𝐴𝑂𝐴′) = 57°．
【变式7-1】（25-26 七年级下·广东深圳·期中）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体
旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb 角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb 角> 10°为脊柱侧弯．如图是脊柱
侧弯Cobb 角(∠𝑂)的检测示意图，𝐷𝐴⊥𝑂𝐶于𝐴，𝐶𝐵⊥𝑂𝐷于𝐵，𝐵𝐶与𝐴𝐷交于点𝐸，已知Cobb 角为35°，则∠𝐴𝐸𝐶
的大小是（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
【答案】A
【分析】由𝐷𝐴⊥𝑂𝐶得∠𝐷𝐴𝑂= 90°，则根据三角形内角和定理可求出∠𝐴𝐷𝑂= 55°，同理∠𝐷𝐸𝐵= 35°，最
后由对顶角相等即可求解．
【详解】解：∵𝐷𝐴⊥𝑂𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝑂= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝑂= 180°−90°−∠𝐷𝑂𝐴= 55°，
∵𝐶𝐵⊥𝑂𝐷，
∴∠𝐸𝐵𝐷= 90°，
∴∠𝐷𝐸𝐵= 180°−90°−∠𝐴𝐷𝑂= 35°，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐷𝐸𝐵= 35°．
【变式7-2】（2026·江苏扬州·一模）如图是一款手机支架，若张角∠𝐵𝐶𝐷= 75°，支撑杆𝐵𝐶与桌面夹角
∠𝐵= 65°，那么此时面板𝐶𝐷与水平方向夹角∠1的度数为（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
【答案】B
【分析】由题意可得：𝐷𝐸∥𝐴𝐵，则∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐵= 65°，然后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：如图，过点D 作𝐷𝐸∥𝐴𝐵，
∴∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐵= 65°，
∵∠𝐵𝐶𝐷= 75°，
∴∠1 = 180°−∠𝐵𝐶𝐷−∠𝐶𝐸𝐷= 40°．
【变式7-3】（2026·广西桂林·一模）如图为某种可调节式露营椅的示意图．𝐴𝐸，𝐴𝐹分别与𝐶𝐷相交于点𝑂，
𝐹，当各个角度调节至如图所示的位置时，适合半躺放松、观景或小憩，体感最佳，若∠𝐴= 35°，
∠𝐷= 53°，∠𝐸= 49°，则∠𝐴𝐹𝐶的度数是（ ）
A．110°
B．111°
C．112°
D．113°
【答案】D
【详解】解：依图得∠𝐴𝑂𝐹= ∠𝐷𝑂𝐸，
∵△𝐴𝑂𝐹中，∠𝐴𝑂𝐹+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐹𝑂= 180°，
△𝐷𝑂𝐸中，∠𝐷𝑂𝐸+ ∠𝐷+ ∠𝐸= 180°，
∠𝐴= 35°，∠𝐷= 53°，∠𝐸= 49°，
∴∠𝐴𝐹𝑂= ∠𝐷+ ∠𝐸−∠𝐴= 67°，
∵点𝐹在𝐶𝐷上，
∴∠𝐴𝐹𝐶= 180°−∠𝐴𝐹𝑂= 113°，D选项符合题意．
知识点2 直角三角形的性质及判定
1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°．
2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
在△ABC 中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC 是直角三角形 ．
【题型8 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】
【例8】（25-26 七年级下·浙江杭州·期中）如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，将一副直角三角板作如下摆放，
考点2
直角三角形的性质及判定
∠𝐸𝐺𝐹= ∠𝑀𝑃𝑁= 90∘，∠𝐺𝐸𝐹= 60∘，∠𝑃𝑁𝑀= 45∘，则∠𝐵𝐸𝐺= （ ）
A．130∘
B．135∘
C．140°
D．145°
【答案】B
【详解】解：如图，延长𝐹𝐺交𝐴𝐵于点𝐾，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐸𝐾𝐺= ∠𝑃𝑁𝑀= 45°，
∵∠𝐸𝐺𝐹= 90°，
∴∠𝐸𝐺𝐾= 90°，
在Rt △𝐸𝐾𝐺中，∠𝐾𝐸𝐺= 90°−∠𝐸𝐾𝐺= 90°−45° = 45°，
∴∠𝐵𝐸𝐺= 180°−∠𝐾𝐸𝐺= 180°−45° = 135°．
【变式8-1】（25-26 七年级下·四川·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为
𝐷．∠𝐵𝐶𝐷= 25°，则∠𝐴= ________度．
【答案】25
【分析】由题意可得，∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 90°，则有∠𝐴= ∠𝐵𝐶𝐷．
【详解】解：∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 90°，
又有∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
∴∠𝐴= ∠𝐵𝐶𝐷= 25°．
【变式8-2】（2026·广东深圳·二模）如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点𝐴处滚向桌边𝑃𝑄，在𝑃𝑄
上的点𝐵处反弹后，滚向桌边𝑅𝑆上的点𝐶，再次反弹后滚入点𝑄，共反弹两次．若∠𝐴𝐵𝑃= 62°，则∠𝐶𝑄𝑅的
度数为（ ）
A．62°
B．38°
C．32°
D．28°
【答案】D
【分析】首先根据对称的性质求出∠𝐶𝐵𝑄= ∠𝐴𝐵𝑃= 62°，然后根据矩形的性质得到𝑃𝑄∥𝑆𝑅，∠𝑅= 90°，然
后根据直角三角形两锐角互余求解．
【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝑃= 62°
根据题意得，∠𝐶𝐵𝑄= ∠𝐴𝐵𝑃= 62°
∵四边形𝑃𝑆𝑅𝑄是矩形
∵𝑃𝑄∥𝑆𝑅，∠𝑅= 90°
∴∠𝑆𝐶𝐵= ∠𝐶𝐵𝑄= 62°
根据题意得，∠𝑅𝐶𝑄= ∠𝑆𝐶𝐵= 62°
∵∠𝑅= 90°
∴∠𝐶𝑄𝑅= 90°−∠𝑅𝐶𝑄= 28°．
【变式8-3】（25-26 八年级上·陕西延安·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 32°，∠𝐴𝐶𝐵= 74°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶
交𝐵𝐶于点𝐷，𝑃为线段𝐴𝐷上的一点，过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐴𝐷交线段𝐵𝐶的延长线于点𝐸，求∠𝐸的度数．
【答案】21°
【分析】根据三角形内角和为180°可以求出∠𝐵𝐴𝐶= 74°，根据角平分线定义可知∠𝐶𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 37°，
根据三角形内角和定理即可求出∠𝐴𝐷𝐶= 69°，再根据直角三角形的两个锐角互余求出∠𝐸的度数．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 32°，∠𝐴𝐶𝐵= 74°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐴𝐶𝐵= 180°−32°−74° = 74°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 37°，
在△𝐴𝐷𝐶中，∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷= 180°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 180°−∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐴𝐶𝐵= 180°−37°−74° = 69°，
∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐷𝑃𝐸= 90°，
∴∠𝐸= 90°−∠𝐴𝐷𝐶= 90°−69° = 21°．
【题型9 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】
【例9】如图，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐵= 60°，∠𝐵𝐷𝐶= 80°，∠𝐶= 70°，则△𝐴𝐵𝐷是____三角形．
【答案】直角
【分析】通过三角形的内角和等于180°，计算∠𝐷𝐵𝐶，再利用角平分线的定义得到∠𝐴𝐵𝐷，根据直角三角形
的判定定理即可得到答案．
【详解】解：∠𝐷𝐵𝐶= 180°−∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐶= 30°，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐶= 30°，
∵∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐷是直角三角形．
【变式9-1】（25-26 八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的是（ ）
A．∠𝐴= 90°
B．∠𝐵+ ∠𝐶= 90°
C．∠𝐵= ∠𝐶= 45°
D．∠𝐵=60°
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌
握上述知识点并能运用其来求解．
根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存
在90°的角．
【详解】解：∵∠𝐴= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
故A 不符合题意；
∵∠𝐵+ ∠𝐶= 90°，
∴∠𝐴= 180°−(∠𝐵+ ∠𝐶) = 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
故B 不符合题意；
∵∠𝐵= ∠𝐶= 45°，
∴∠𝐴= 180°−45°−45° = 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
故C 不符合题意；
∠𝐵= 60°，仅知道一个角为60°，无法确定是否存在90°的角（如等边三角形三个角均为60°），
不能判定△ABC 为直角三角形，
故D 符合题意；
故选：D．
【变式9-2】（25-26 八年级上·福建福州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐷、𝐸分别在𝐴𝐵、𝐴𝐶上，连
接𝐷𝐸，若∠1 = ∠2，则△𝐴𝐷𝐸是________三角形．
【答案】直角
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键．
根据三角形内角和定理得到∠2 + ∠𝐴= 90°，进而等量代换得到∠1 + ∠𝐴= 90°，进一步推出∠𝐴𝐷𝐸= 90°，
由此可得结论．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，
∴∠2 + ∠𝐴= 180°−∠𝐶= 90°，
∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠𝐴= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 180°−(∠1 + ∠𝐴) = 90°，
∴△𝐴𝐷𝐸是直角三角形．
故答案为：直角．
【变式9-3】（25-26 八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°，
∠𝐷𝐶𝐸= 11°．求证：△𝐵𝐶𝐷是直角三角形．
【答案】详见解析
【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关
键；
先通过三角形内角和定理求出∠𝐴𝐶𝐵= 82°，再通过角平分线求出∠𝐵𝐶𝐸，进而可求出∠𝐵𝐶𝐷，从而可得到
∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 90°，进而得证．
【详解】证明：∵∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 82°．
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐶𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 41°．
∵∠𝐷𝐶𝐸= 11°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐷𝐶𝐸= 30°，
∴∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 90°，
∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形．
