专题26.5 实际问题与二次函数（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 投球问题】................................................................................................................................................2
【题型2 拱桥问题】................................................................................................................................................8
【题型3 拱门问题】..............................................................................................................................................15
【题型4 喷水问题】..............................................................................................................................................21
【题型5 隧道问题】..............................................................................................................................................26
【题型6 跳跃问题】..............................................................................................................................................32
【题型7 销售问题】..............................................................................................................................................39
【题型8 几何图形问题】......................................................................................................................................43
【题型9 表格问题】..............................................................................................................................................47
【题型10 新情境问题】..........................................................................................................................................55
【题型11 实物抽象出二次函数模型】..................................................................................................................62
知识点 利用二次函数解决实际问题
1. 一般步骤
(1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证
结果是否符合实际．
2. 求二次函数最值
将解析式写成𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘(𝑎≠0)的形式，当𝑥= 𝒉时，y 有最大（小）值k；若对二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐
使用配方法，则当𝑥= −
𝑏
2𝑎时，y 有最大（小）值
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
．
3. 实际问题与二次函数的联系转化
考点1
实际问题与二次函数
题型归纳
【题型1 投球问题】
【例1】（2026·广东惠州·二模）粤BA正在广东全省21 个市火热进行，惠州主场气氛爆棚，全民观赛氛围
十分浓厚，如图是篮球运动员小帅在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为x 轴，出
手点竖直方向为y 轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，小帅投出的篮球在距原点水平
距离2.5 米处时，达到最大高度3.5 米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05 米，离原点的水平距离为
4 米，求此抛物线的解析式．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计）．
【答案】抛物线解析式为𝑦= −0.2(𝑥−2.5)2 +3.5．
【分析】设抛物线解析式为𝑦= 𝑎(𝑥−2.5)2 +3.5，把(4,3.05)代入解析式即可得解．
【详解】解：由题意得抛物线图象的顶点坐标为(2.5,3.5)，且过点(4,3.05)，
设抛物线解析式为𝑦= 𝑎(𝑥−2.5)2 +3.5，
把(4,3.05)代入解析式得𝑎(4−2.5)2 +3.5 = 3.05，
解得𝑎= −0.2．
答：抛物线解析式为𝑦= −0.2(𝑥−2.5)2 +3.5．
【变式1-1】（2026·宁夏银川·三模）2026 年美加墨世界杯开幕式于当地时间6 月11 日在墨西哥墨西哥城体
育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为
二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x 轴正方向建立平面直角坐标
系（单位：米），已知：
①传球瞬间，足球高度为1 米，即坐标为：(0,1)；
②足球飞行水平距离20 米时，达到最高点，高度为5 米；
③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点38m～42m，球门高度0m～2.44m．
(1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式；
(2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2 米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离
是多少米？（结果保留根号）
(3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离38 ≤𝑥≤42的范围内，能否飞
入球门？
【答案】(1)𝑦= −
1
100(𝑥−20)2 +5
(2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是(20 + 10 3)米．
(3)能
【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为𝑦= 𝑎(𝑥−20)2 +5，代入(0,1)即可求解；
（2）令𝑦= 2，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论．
（3）分别计算𝑥= 38，𝑥= 42的函数值，进一步判断即可．
【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为𝑦= 𝑎(𝑥−20)2 +5，
把(0,1)代入得，1 = 400𝑎+ 5，
解得𝑎= −
1
100，
∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为𝑦= −
1
100(𝑥−20)2 +5．
（2）解：令𝑦= 2，则2 = −
1
100(𝑥−20)2 +5，
解得𝑥1 = 20 + 10 3，𝑥2 = 20−10 3，
根据图象，头球点在最高点右侧，即𝑥> 20，𝑥2 = 20−10 3舍去，
∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是(20 + 10 3)米．
（3）解：当𝑥= 38时，则𝑦= −
1
100(38−20)2 +5 = 5−3.24 = 1.76 < 2.44，
当𝑥= 42时，则𝑦= −
1
100(42−20)2 +5 = 5−4.84 = 0.16 > 0，
∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离38 ≤𝑥≤42的范围内，能飞入球门．
【变式1-2】（2026·山西朔州·三模）根据以下素材，探索完成任务．
羽毛球发球机的运动路线
素材一
如图1，某羽毛球场地的中线长为640cm，球网设置在中线中
点处，球网高度为155cm．羽毛球训练机的出球口在中线端点𝑂
正上方55cm的点𝑃处，以𝑂为原点、中线所在直线为𝑥轴建立平
面直角坐标系．
素材二
假设发出的羽毛球沿中线飞行，其运动高度𝑦(cm)关于水平距
离𝑥(cm)的函数图象为抛物线，该抛物线在与𝑃水平距离为250
cm的点𝑄处达到最高，此时距地面高度为180cm，羽毛球最终
落在地面的点𝑀处．
素材三
如图3，若羽毛球落地弹起后，且在与𝑂水平距离为650cm的点𝑅
处达到最高，弹起后最高高度为ℎ(cm)．
问题解决：
(1)任务一：求训练机发球后到落地前，羽毛球运动轨迹的函数表达式（不要求写自变量取值范围）
(2)任务二：小明在球网的另一侧接球，若羽毛球在离地面距离不少于100cm时为最佳击球高度，求最佳击
球点与训练机的水平距离𝑥的取值范围
(3)任务三：当ℎ= 50时，运动员在点𝑅处沿直线击球，想让球从网下穿过后落到𝑂点右侧150cm的点
𝑁(150,0)，且球网下端离地面高度不低于20cm，该操作能否实现？请说明理由．
【答案】(1)羽毛球运动轨迹的函数表达式𝑦= −
1
500(𝑥−250)2 +180
(2)320 < 𝑥≤450
(3)该操作能实现，理由：
如图，若羽毛球落地弹起后，且在与𝑂水平距离为650cm的点𝑅处达到最高，弹起后最高高度为50cm，
则点𝑅的坐标为(650,50)，
设直线𝑅𝑁函数表达式𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛，
将点𝑅(650,50)，𝑁(150,0)代入𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛中，得
50 = 650𝑘+ 𝑏
0 = 150𝑘+ 𝑏
，
解得
𝑘= 1
10
𝑏= −15
，
则直线𝑅𝑁函数表达式𝑦=
1
10𝑥−15，
当𝑥= 320时，𝑦=
1
10 × 320−15 = 17，
17 < 20，
故该操作能实现．
【分析】（1）根据题意可知抛物线顶点，然后设顶点式，代入𝑃(0,55)求出𝑎，得到函数解析式；
（2）令𝑦= 100解方程得到两个临界𝑥，结合球网在𝑥= 320处和抛物线图象的性质，确定𝑥的范围；
（3）由𝑅、𝑁两点坐标求直线解析式，然后把𝑥= 320代入算高度，对比20cm判断能否实现．
【详解】（1）解：根据题意可知，顶点𝑄的坐标为(250,180)，
设羽毛球运动轨迹的函数表达式𝑦= 𝑎(𝑥−250)2 +180，
将点𝑃(0,55)代入𝑦= 𝑎(𝑥−250)2 +180中，得55 = 𝑎(0−250)2 +180，
则𝑎= −
1
500，
故羽毛球运动轨迹的函数表达式𝑦= −
1
500(𝑥−250)2 +180．
（2）解：由题意可得100 = −
1
500(𝑥−250)2 +180，
解得𝑥1 = 450，𝑥2 = 50，
∵−
1
500 < 0，
∴当𝑥> 250时，𝑦的值随𝑥值的增大而减小，
∵需要𝑦≥100，
∴250 < 𝑥≤450，
∵小明在球网的另一侧接球，且球网的位置位于中线中点，即距离𝑂点
640
2 = 320cm处，
∴最佳击球点与训练机的水平距离𝑥的取值范围为320 < 𝑥≤450．
（3）略
【变式1-3】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图1，弹球从原点O 以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是
抛物线L 的一部分，若弹球到达最高点的坐标为(6,6)．弹球遇到挡板后会反弹，反弹后弹球的运动轨迹仍
是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L 相同．
(1)求抛物线L 的解析式；
(2)如图1，弹球在x 轴的落点为A，在A 处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度为
25
6 ．
①求点A 的横坐标；
②反弹后的小球是否经过点(14,1)？请说明理由；
(3)如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数𝑦=
1
3𝑥(𝑥> 0)刻画，弹球落到挡板上的点D 处
后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是
28
3 ．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点E
的横坐标𝑥𝐸的取值范围是______________．
【答案】(1)
𝑦= −1
6(𝑥−6)2 +6
(2)①点A 的横坐标为12；
②反弹后的小球不经过点(14,1)，理由如下：
由题意得，反弹后抛物线顶点的纵坐标为
25
6 ，二次项系数不变，
∴设反弹后抛物线的解析式为𝑦= −
1
6(𝑥−ℎ)2 +
25
6 ，
∵过点(12,0)，
∴−
1
6(12−ℎ)2 +
25
6 = 0，
(12−ℎ)2 = 25，
12−ℎ=± 5，
解得ℎ1 = 7（不合题意，舍去），ℎ2 = 17，
∴𝑦= −
1
6(𝑥−17)2 +
25
6 ，
当𝑥= 14时，𝑦=
8
3 ≠1，
∴反弹后的小球不经过点(14,1)．
(3)𝑥𝐸≥20
【分析】（1）设抛物线顶点式，代入原点坐标求解系数，即可得到抛物线L 的解析式；
（2）① 令抛物线L 解析式中𝑦= 0，解一元二次方程，舍去零解得到点A 的横坐标；
② 反弹后抛物线开口方向和大小与L 相同，故二次项系数相同，已知反弹后最大高度即顶点纵坐标，结合
过点A，设反弹后抛物线顶点式，联立顶点纵坐标条件与过点A 的条件求出解析式，代入点(14,1)验证是否
成立；
（3）𝑦=
1
3𝑥的交点得到点D 坐标，利用反弹的对称性确定反弹后抛物线的开口方向、二次项系数，结合最
大高度设出反弹后抛物线的解析式，联立挡板方程求出反弹后抛物线与挡板的交点，根据反弹后仍落在挡
板上的条件确定𝑥𝐸的范围．
【详解】（1）解：设抛物线L 的解析式为𝑦= 𝑎(𝑥−6)2 +6，
∵经过点(0,0)，
∴𝑎(0−6)2 +6 = 0，
解得𝑎= −
1
6，
∴抛物线L 的解析式为𝑦= −
1
6(𝑥−6)2 +6；
（2）①当𝑦= 0时，−
1
6(𝑥−6)2 +6 = 0，
即(𝑥−6)2 = 36，
∴𝑥−6 =± 6，
解得𝑥1 = 0（舍去），𝑥2 = 12，
∴点A 的横坐标为12；
②略
（3）由题意，联立得
𝑦= −1
6 (𝑥−6)2 + 6
𝑦= 1
3 𝑥
解得𝑥1 = 0（不合题意，舍去），𝑥2 = 10，
∴点D 的坐标为10,
10
3 ，
设反弹后的抛物线解析式为𝑦= −
1
6(𝑥−𝑚)2 +
28
3 ，
∵经过点𝐷10,
10
3 ，
∴−
1
6(10−𝑚)2 +
28
3 =
10
3 ，
解得𝑚1 = 4（不合题意，舍去），𝑚2 = 16，
∴𝑦= −
1
6(𝑥−16)2 +
28
3 ，
联立
𝑦= −1
6 (𝑥−16)2 + 28
3
𝑦= 1
3 𝑥
解得𝑥1 = 10（不合题意，舍去），𝑥2 = 20，
∴反弹后弹球落点与挡板交点的横坐标为20，
∴挡板端点E 的横坐标𝑥𝐸的取值范围是𝑥𝐸≥20．
【题型2 拱桥问题】
【例2】（2026·广东河源·二模）某古镇有一座抛物线形的石拱桥，其示意图如图，桥洞的水面宽度𝐴𝐵为
16m，拱顶（点𝐶）与水面的距离为10m．以水面𝐴𝐵的中点𝑂为原点，𝐴𝐵所在的直线为𝑥轴，过点𝑂且垂直
于𝑥轴的直线为𝑦轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)今年元宵节，古镇居民计划在桥洞两侧对称地悬挂两个灯笼，以增添节日气氛．灯笼悬挂点距离水面7
m．请你计算这两个灯笼悬挂点之间的水平距离．（结果保留根号）
【答案】(1)𝑦= −
5
32𝑥2 +10
(2)
8 30
5 (m)
【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为𝐶(0,10)，设该抛物线的表达式为𝑦= 𝑎𝑥2 +10，将点B 的
坐标代入即可求出解析式；
（2）𝑦= 7代入（1）的解析式，求出x 的值，由此解答；
【详解】（1）解：根据题意，得𝐴(−8,0),𝐵(8,0)，拱顶（点𝐶）的坐标为(0,10)，
设该抛物线的表达式为𝑦= 𝑎𝑥2 +10，
把𝐵(8,0)代入，得64𝑎+ 10 = 0，
解得𝑎= −
5
32，
∴该抛物线的表达式为𝑦= −
5
32𝑥2 +10．
（2）解：把𝑦= 7代入𝑦= −
5
32𝑥2 +10，得−
5
32𝑥2 +10 = 7，
解得𝑥=
4 30
5 或𝑥= −
4 30
5 ，
∴两个灯笼悬挂点之间的水平距离为
4 30
5 −−
4 30
5
=
8 30
5 (m)．
【变式2-1】（2026·河南开封·模拟预测）开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方
抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面𝐶𝑃𝐷可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼．
现有以下三条素材：
素材1：整个图形是轴对称图形；
素材2：跨度𝐴𝐵= 24米，竖直支撑𝐴𝐶= 𝐵𝐷= 1米，最高点P 到𝐴𝐵的距离为5 米；
素材3：两灯笼𝑀𝐸，𝑁𝐹之间的水平距离为4 米，点M、N 均在抛物线上且关于抛物
线的对称轴对称．
现以𝐴𝐵所在直线为x 轴，𝐴𝐵的垂直平分线（直线𝑂𝑃）为y 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围）
(2)若𝑀𝐸= 𝑁𝐹=
25
18米，求灯笼底端（点E 或F）到𝐴𝐵的距离．
【答案】(1)𝑦= −
1
36𝑥2 +5
(2)3.5米
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）将𝑥= 2代入抛物线的解析式，求出y 的值，再根据𝑀𝐸= 𝑁𝐹=
25
18求出结果即可．
【详解】（1）解：由题意可知，点D 的坐标为(12,1)，P 的坐标为(0,5)．
设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：𝑦= 𝑎𝑥2 +5，
将点𝐷(12,1)代入得，1 = 144𝑎+ 5，
解得𝑎= −
1
36，
∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为𝑦= −
1
36𝑥2 +5；
（2）解：由题意知，𝑀𝑁= 4，M、N 关于抛物线的对称轴对称，
∴点N 的横坐标为2，
当𝑥= 2时，𝑦= −
1
36 × 22 +5 =
44
9 ，
∴
44
9 −
25
18 = 3.5，
∴灯笼底端（点E 或F）到𝐴𝐵的距离为3.5米．
【变式2-2】（2026·河北廊坊·二模）嘉嘉周末到公园游玩，路过一座石拱桥时发现拱桥外轮廓的形状为抛
物线的一部分，拱桥下有半圆形出水孔，他画出示意图如图1，在一个单位长度代表1 米长的平面直角坐标
系中，x 轴与地面平行，抛物线𝐴𝐶𝐵段为拱桥的外轮廓，与x 轴交于点A，B，与y 轴交于点C，半圆O 为
出水孔，D 为𝑂𝐶中点，𝑂𝐴= 𝑂𝐵= 6米，𝑂𝐶= 4米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，春节期间，为了装饰拱桥，在A 与D，B 与D 之间分别拉两根绳子，在绳子和拱桥之间安装灯
带，灯带都垂直于地面．在𝐵𝐷上方有两条长度相等的灯带𝐸𝐹，𝐺𝐻（E，G 在抛物线上，F，H 在线段𝐷𝐵上，
且F 在H 左侧），点E 比点G 高n 米．
①tan∠𝑂𝐵𝐷的值为________；
②𝐸𝐹，𝐺𝐻的水平距离为多少米（用含n 的代数式表示）；
③试用n 表示点E 的横坐标x．
【答案】(1)𝑦= −
1
9𝑥2 +4
(2)①
1
3；②3𝑛；③𝑥1 =
3−3𝑛
2
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）①先得到𝐷点坐标，再根据正切的定义求解；②先求出直线𝐵𝐷的解析式，设𝐹𝑥1,−
1
3 𝑥1 + 2 ,𝐻
𝑥2,−
1
3 𝑥2 + 2 ，根据题意列式得到𝑥2−𝑥1 = 3𝑛即可；③根据灯带都垂直于地面，可知𝐸𝑥1,−
1
9 𝑥2
1 + 4 ,𝐺
𝑥2,−
1
9 𝑥2
2 + 4 ，结合𝑥2−𝑥1 = 3𝑛得到𝑥2 = 𝑥1 +3𝑛，再根据点E 比点G 高n 米，作差求出𝑥1即可．
【详解】（1）解：由题可知抛物线对称轴为𝑥= 0，𝐴(−6,0),𝐵(6,0),𝐶(0,4)，
则可设抛物线的解析式为𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑐，
∴
𝑎⋅(−6)2 + 𝑐= 0
𝑐= 4
，解得
𝑎= −1
9
𝑐= 4
，
∴𝑦= −
1
9𝑥2 +4；
（2）解：①∵ D 为𝑂𝐶中点，
∴𝐷(0,2)，
∴tan∠𝑂𝐵𝐷=
𝑂𝐷
𝑂𝐵=
2
6 =
1
3；
②设直线𝐵𝐷的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，代入𝐵(6,0),𝐷(0,2)，
得
𝑏= 2
6𝑘+ 𝑏= 0
，解得
𝑘= −1
3
𝑏= 2
，
则直线𝐵𝐷的解析式为𝑦= −
1
3𝑥+ 2，
∵F，H 在线段𝐷𝐵上，且F 在H 左侧
∴设𝐹𝑥1,−
1
3 𝑥1 + 2 ,𝐻𝑥2,−
1
3 𝑥2 + 2 ，
又∵𝐸𝐹= 𝐺𝐻，𝐸𝐹∥𝐺𝐻，且点E 比点G 高n 米，
∴点𝐹比点𝐻高n 米，
∴−
1
3𝑥1 +2−−
1
3 𝑥2 + 2 =
1
3(𝑥2−𝑥1) = 𝑛，
∴𝑥2−𝑥1 = 3𝑛，即𝐸𝐹，𝐺𝐻的水平距离为3𝑛米；
③由②知𝑥2−𝑥1 = 3𝑛，即𝑥2 = 𝑥1 +3𝑛，
∵灯带都垂直于地面，E，G 在抛物线上，
∴𝐸𝑥1,−
1
9 𝑥2
1 + 4 ,𝐺𝑥2,−
1
9 𝑥2
2 + 4 ，
∵点E 比点G 高n 米，
∴−
1
9𝑥2
1 +4−−
1
9 𝑥2
2 + 4 =
1
9(𝑥2
2−𝑥2
1) =
1
9(𝑥2−𝑥1)(𝑥2 + 𝑥1) =
1
9 × 3𝑛× (2𝑥1 + 3𝑛) = 𝑛，
解得𝑥1 =
3−3𝑛
2 ，
即点E 的横坐标𝑥=
3−3𝑛
2 ．
【变式2-3】（2026·江苏盐城·二模）阅读下列素材，并完成任务：
背景
中国的石拱桥，是刻在大地上的诗行，每一道弧线都是古人写给山河的情诗．
素材1
已知河面上的拱桥形状为抛物线，在正常水位时，水位线𝑀𝑁与拱桥最高点的距
离为3 米，水位线𝑀𝑁宽为6 米．
素材2
如图1，现有一艘长为10 米，宽𝐵𝐶= 4米的货船（可近似看成长方体）正从拱
桥下方通过，露出水面的横截面为长方形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵= 1米．（假设船体货物
接触到拱桥时，可以通过拱桥）
素材3
船行走时一般不会导致水位的变化．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的函数表达式．
(2)如图2，如果𝐴𝐷上方的货物横截面为Rt △𝐴𝐷𝐸，∠𝐴𝐷𝐸= 90°，𝐷𝐸= 1米，请通过计算判断此时小船能
否通过拱桥？若不能，请说明理由，若能，求出水面上升高度最多不能超过多少米？
(3)船面𝐴𝐷上方装有如图3 所示的货物（可近似看成直五棱柱），横截面为五边形𝐴𝐷𝐹𝐺𝐸，其中𝐸𝐺= 𝐹𝐺，
𝐴𝐸= 𝐷𝐹，且E、A、B 共线，F、D、C 共线，已知当同一种货物的体积每增加50 立方米时，船会下沉0.1
米，请求出最多能装多少体积的货物？
【答案】(1)以𝑀𝑁的中点为原点建立平面直角坐标系：
∵水位线𝑀𝑁与拱桥最高点的距离为3 米，𝑀𝑁= 6米，
∴抛物线的顶点为(0,3)，𝑀(−3,0)，𝑁(3,0)，
设抛物线解析式为𝑦= 𝑎(𝑥+ 3)(𝑥−3)，
将(0,3)代入得：3 = −9𝑎，解得：𝑎= −
1
3，
∴抛物线解析式为𝑦= −
1
3(𝑥+ 3)(𝑥−3) = −
1
3𝑥2 +3．
(2)能通过拱桥，水面上升高度最多不能超过
23
192米
(3)
4000
69 m3
【分析】（1）根据题意作出对应的平面直角坐标系，再结合图象和已知条件利用待定系数法即可求出结果；
（2）根据已知条件结合图象作出船只通过拱桥的临界点，通过计算得出临界点的坐标，再与𝐶𝐸比较得出结
果；要使水面上升后船能正常通过拱桥，则点A 和点E 需恰好在抛物线上，设𝐴″ 𝑡,−
1
3 𝑡2 + 3 ，则𝐸″
𝑡+ 4,−
1
3 𝑡2 + 3 + 1 ，将点𝐸″代入抛物线解析式求出t 的值，从而得出最终结果；
（3）通过设未知数结合图象求出五边形的面积，再得出货物的体积，根据题意列出列出方程即可得出最终
结果．
【详解】（1）略
（2）解：由题意知，如图，
令𝑦= 1，则−
1
3𝑥2 +3 = 1，
解得：𝑥1 =
6，𝑥2 = −6，
∴𝐴′ −6,1 ，𝐵′ −6,0 ，
∵𝐵𝐶= 𝐵′𝐶′ = 4米，
∴𝐶′ 4−6,0 ，
令𝑥= 4−6，则𝑦= −
1
3 × (4−6)
2
+3 =
8 6−13
3
，
∴𝐾4−6,
8 6−13
3
,
∵𝐾𝐶′ =
8 6−13
3
> 𝐶𝐸= 2，
∴能通过拱桥，
要使水面上升后船能正常通过拱桥，则点A 和点E 需恰好在抛物线上，
如图，设𝐴″ 𝑡,−
1
3 𝑡2 + 3 ，则𝐸″ 𝑡+ 4,−
1
3 𝑡2 + 3 + 1 ，
将点𝐸″代入抛物线得：−
1
3𝑡2 +4 = −
1
3(𝑡+ 4)2 +3 ，
解得：𝑡= −
19
8 ，
∴𝐴″ −
19
8 ,
215
192 ，
∴水面上升高度最多不能超过
215
192−1 =
23
192（米）．
（3）解：如图，当船未装货物时，点G 位于抛物线的顶点，即𝐺(0,3)，设𝐴𝐷与y 轴交点H，
∵𝐵𝐶= 4米，
∴𝑥𝐵= −2，𝑥𝐶= 2，
令𝑥= 2，则𝑦= −
1
3 × (−2)2 +3 =
5
3，
∴𝐸−2,
5
3 ，
设船会下沉x 米，
∴𝐴𝐸=
5
3−(1−𝑥) =
2
3 +𝑥，𝐺𝐻= 3−(1−𝑥) = 𝑥+ 2，
∴𝑆五边形𝐴𝐷𝐹𝐺𝐸= 𝑆梯形𝐴𝐻𝐺𝐸+ 𝑆梯形𝐷𝐻𝐺𝐹
=
(𝐴𝐸+𝐺𝐻)⋅𝐴𝐻
2
+
(𝐷𝐹+𝐺𝐻)⋅𝐷𝐻
2
= 2 ×
(𝐴𝐸+𝐺𝐻)⋅𝐴𝐻
2
=
2
3 + 𝑥+ 𝑥+ 2 × 2 = 4𝑥+
16
3 (m2)，
∴𝑉货物= 10𝑆五边形𝐴𝐷𝐹𝐺𝐸= 40𝑥+
160
3 (m3)，
∵同一种货物的体积每增加50 立方米时，船会下沉0.1 米，
∴
40𝑥+
160
3
50
=
𝑥
0.1，
解得：𝑥=
8
69，
∴𝑉货物= 40𝑥+
160
3 = 40 ×
8
69 +
160
3 =
4000
69 (m3)．
【题型3 拱门问题】
【例3】（2026·山西阳泉·二模）综合与实践
问题情境：
为给九年级学子加油鼓劲，某学校举办了中考百日誓师活动，特意搭建了一座如图1 所示的充气“成功门”，
充气“成功门”的形状可近似看作抛物线，“成功门”内对称竖立着两根同样高的竖直充气红柱，上面分别写有
“全力以赴”“中考必胜”的励志标语．
数学建模：
如图2，已知充气“成功门”底部的宽度𝑂𝑀为10 m，最高点𝑁距地面5 m．以点𝑂为坐标原点，𝑂𝑀所在直线为𝑥
轴，过点𝑂与𝑂𝑀所在水平地面垂直的直线为𝑦轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式．
问题解决：
(2)若充气“成功门”内两立柱𝐴𝐵，𝐶𝐷间的水平距离为7m，求立柱的高度．
(3)活动最后一项为各班同学排成6列纵队依次通过“成功门”（纵队居中行走），且相邻两列纵队之间的水平
间距保持0.8 m，第一排靠近立柱𝐴𝐵的同学高举本班班旗．为了安全通过该“成功门”，请直接写出班旗旗顶
到地面垂直距离的最大值．
【答案】(1)𝑦= −
1
5(𝑥−5)2 +5
(2)2.55 m
(3)4.2 m
【分析】（1）根据题意得出顶点坐标为(5,5)，设该抛物线的函数表达式为𝑦= 𝑎(𝑥−5)2 +5，把(0,0)代入，
求出𝑎的值即可得答案；
（2）根据𝐴𝐵，𝐶𝐷间的水平距离为7m，得出点𝐴的横坐标为1.5，把𝑥= 1.5代入（1）中所求解析式，求出𝑦
的值即可；
（3）先求出6列纵队的宽度为4m，可得第一排靠近立柱𝐴𝐵的同学的位置与点𝑂的水平距离为3m，把𝑥= 3
代入（1）中所求解析式，求出𝑦的值即可．
【详解】（1）解：∵充气“成功门”底部的宽度𝑂𝑀为10 m，最高点𝑁距地面5 m，点𝑂为坐标原点，
∴抛物线顶点为𝑁，其坐标为(5,5)，
设该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式为𝑦= 𝑎(𝑥−5)2 +5．
把(0,0)代入，得𝑎(0−5)2 +5 = 0，
解得𝑎= −
1
5，
∴该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式为𝑦= −
1
5(𝑥−5)2 +5．
（2）解：∵两根同样高立柱𝐴𝐵，𝐶𝐷间的水平距离为7m，𝑂𝑀= 10m，
∴点𝐴的横坐标为
10−7
2
= 1.5，
当𝑥= 1.5时，𝑦= −
1
5(𝑥−5)2 +5 = −
1
5(1.5−5)2 +5 = 2.55．
答：立柱的高度为2.55 m．
（3）解：∵抛物线的顶点坐标为(5,5)，
∴该抛物线的对称轴为直线𝑥= 5，
∵各班同学排成6列纵队依次通过“成功门”，且相邻两列纵队之间的水平间距保持0.8 m，
∴6列纵队的宽度为0.8 × (6−1) = 4m，
∴通过“成功门”时，第一排靠近立柱𝐴𝐵的同学的位置与点𝑂的水平距离为5−
1
2 × 4 = 3m，
∵当𝑥= 3时，𝑦= −
1
5(𝑥−5)2 +5 = −
1
5(3−5)2 +5 = 4.2．
∴班旗旗顶到地面垂直距离的最大值为4.2 m．
【变式3-1】（24-25 九年级下·陕西西安·阶段检测）3 月12 日，某中学隆重举行了2025 届中考百日誓师大
会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6 米（即𝑂𝐴= 6
米），最高点𝐵距地面4.5 米．如图所示，以𝑂为原点，𝑂𝐴所在的直线为𝑥轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的表达式；
(2)拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带𝐶𝐸、𝐷𝐹的高为2 米，
求两条彩带之间的水平距离为多少米？
【答案】(1)𝑦= −
1
2(𝑥+ 3)2 +4.5
(2)2 5米
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）设𝑦= 𝑎(𝑥+ 3)2 +4.5，把点A 的坐标代入求解即可；
（2）把𝑦= 2代入（1）中所求表达式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：𝐴(−6,0)，𝐵(−3,4.5)，
设𝑦= 𝑎(𝑥+ 3)2 +4.5，
代入𝐴(−6,0) ，得9𝑎+ 4.5 = 0，
∴𝑎= −
1
2，
∴𝑦= −
1
2(𝑥+ 3)2 +4.5
（2）解：当𝑦= 2时，−
1
2(𝑥+ 3)2 +4.5 = 2，
解得𝑥1 = −3 +
5，𝑥2 = −3−5，
∴𝐸𝐹= −3 +
5−(−3−5) = 2 5，
答：两条彩带之间的水平距离为2 5米．
【变式3-2】（2026·山西太原·模拟预测）综合与实践
问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，
侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛
物线形．
工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题．
方案分析：在图1 中，具体结构与数据如下：
①抛物线造型𝑤两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点𝐴，𝐵处，其跨度𝐴𝐵（即主门宽度）为16m，抛物线
造型最高点𝐶到水平线𝐴𝐵的距离为4m．
②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为4m，立柱宽𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 1m，侧门宽𝐷𝑃= 𝐸𝑄= 3m．
建立模型：以点𝐴，𝐵所在水平直线为𝑥轴，𝐴𝐵的中垂线为𝑦轴建立平面直角坐标系．
(1)求主门顶部抛物线造型𝑤对应的函数表达式；
问题解决：
(2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型𝑤外侧增加一条抛物线造型𝑔，它的两端落在门卫室顶
部的点𝑃，𝑄处，它的顶点为𝐹．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架𝐴𝑀，𝐵𝑁连
接．为节约建材，将现有的一根长为
20
3 m的钢筋全部用来制做支架𝐴𝑀，𝐵𝑁（损耗与接口忽略不计）．
①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以𝐶𝐹为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径；
②若要在抛物线造型𝑔上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过
4.24m，请直接写出两个摄像头之间水平距离𝑑的最小值（结果保留根号）．
【答案】(1)𝑦= −
1
16𝑥2 +4
(2)①圆形校徽的直径为2m；②
48
5
6m
【分析】（1）根据题意，先得出各点得坐标，结合抛物线的性质，假设𝑤对应的函数表达式为𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑐，
将点𝐶、𝐵代入求解即可；
（2）①令𝑔对应的函数表达式为𝑦1 = 𝑎1𝑥2 + 𝑐1，由𝐴𝑀+ 𝐵𝑁=
20
3 ，可得方程2 × (𝑎1 × 64 + 𝑐1) =
20
3 ，由
点𝑄坐标可得0 = 144𝑎1 + 𝑐1，结合求解出对应的𝑎1、𝑐1，即可得出这个校徽的直径；②结合题意，判断出
当𝑦1 = 0.24时，对应的𝑥值之间的距离即为两个摄像头之间水平距离𝑑的最小值，故求解𝑥值即可．
【详解】（1）解：根据题意，可知抛物线顶点恰好在𝑦轴上，
且点𝐴(−8,0)、𝐵(8,0)、𝐶(0,4)、𝑃(−12,0)、𝑄(12,0)，
故假设𝑤对应的函数表达式为𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑐，
将点𝐵(8,0)、𝐶(0,4)代入 𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑐，
得
0 = 64𝑎+ 𝑐
4 = 𝑐
，解得
𝑎= −1
16
𝑐= 4
，
故𝑤对应的函数表达式为𝑦= −
1
16𝑥2 +4．
（2）解：①令𝑔对应的函数表达式为𝑦1 = 𝑎1𝑥2 + 𝑐1，
当𝑥=± 8时，𝑔对应的函数值为𝑎1 × 64 + 𝑐1．
∴2 × (𝑎1 × 64 + 𝑐1) =
20
3 ，
结合点𝑄(12,0)，得0 = 144𝑎1 + 𝑐1，
故可得方程组
2 ×(𝑎1 × 64 + 𝑐1)= 20
3
0 = 144𝑎1 + 𝑐1
，解得𝑎1 = −1
24
𝑐1 = 6
，
∴𝑔对应的函数表达式为𝑦1 = −
1
24𝑥2 +6，
故点𝐹(0,6)，
∴𝐶𝐹= 6−4 = 2(m)．
②根据题意，要求摄像头离地面的高度不超过4.24m，
即𝑦1 = 4.24−4 = 0.24，
当𝑦1 = 0.24时，得−
1
24𝑥2 +6 = 0.24，
解得𝑥=±
24 6
5 ，
∴两个摄像头之间水平距离𝑑的最小值为2 ×
24 6
5
=
48
5
6(m)．
【变式3-3】（2025·河南新乡·二模）如图①，这是某地的一个拱形彩灯门，其横截面如图②所示，抽象为
数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段𝐴𝐵，𝐶𝐷构成的，以地面𝐵𝐶所在直线为𝑥轴，过抛物线
的最高点𝑀且垂直于𝐵𝐶的直线为𝑦轴，建立平面直角坐标系，其中𝐵𝐶= 12m，𝑂𝑀= 7m，𝐴𝐵= 3m，𝑂为𝐵𝐶
的中点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3 条支撑杆𝐸𝐹，𝐺𝐻，𝐹𝐺，其中𝐸𝐹和𝐺𝐻长度相等且垂直于
地面𝐵𝐶，求所需支撑杆长度和的最大值；
(3)如图③，为喜迎元宵佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后呈轴对称分布，且灯笼
到地面的垂直距离不低于4m，每两个相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔1m，若灯笼高度忽略不计，请
设计一种悬挂方案，使悬挂灯笼的数量最多．（参考数据：3 ≈1.73）
【答案】(1)𝑦= −
1
9𝑥2 +7
(2)18.5米
(3)以𝑂为中心，在𝑥= −5、−4、−3、−2、−1、0、1、2、3、4、5的位置悬挂灯笼
【分析】（1）根据拱形彩灯门的横截面各部分的长度，得到抛物线顶点𝑀的坐标是(0,7)，点𝐴的坐标是
(−6,3)，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）设点𝐺的坐标是𝑏，−
1
9 𝑏2 + 7 ，则有支撑杆的长度和是𝑙= 2 −
1
9 𝑏2 + 7 +2𝑏，整理成顶点坐标式为
𝑙= −
2
9 𝑏−
9
2
2
+
37
2 ，根据二次函数的性质可知所需支撑杆长度和的最大值为
37
2 m；
（3）因为灯笼到地面的垂直距离不低于4m，可得关于𝑥的一元二次方程𝑥2−27 = 0，解一元二次方程得到
𝑦= 4时，两点之间的水平距离为6 3 ≈10.392，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂11个灯
笼，据此写成方案，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，抛物线顶点𝑀的坐标是(0,7)，
∵𝑂为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐵= 3m，𝐵𝐶= 12m，
∴点𝐴的坐标是(−6,3)，
设抛物线的解析式为𝑦= 𝑎𝑥2 +7，
将(−6,3)代入解析式可得36𝑎+ 7 = 3，
解得𝑎= −
1
9，
∴抛物线的函数表达式是𝑦= −
1
9𝑥2 +7(−6 ≤𝑥≤6)；
（2）解：设点𝐺的坐标是𝑏，−
1
9 𝑏2 + 7 ，则由抛物线的对称性可得𝐹−𝑏，−
1
9 𝑏2 + 7 ，
则𝐸𝐹= 𝐺𝐻= −
1
9𝑏2 +7，𝐹𝐺= 2𝑏，
则支撑杆的长度和是𝑙= 2𝐸𝐹+ 𝐹𝐺= 2 −
1
9 𝑏2 + 7 +2𝑏，
整理得𝑙= −
2
9𝑏2 +2𝑏+ 14 = −
2
9 𝑏−
9
2
2
+
37
2 ，
∴当𝑏=
9
2时，所需支撑杆长度和的最大值为18.5米；
（3）解：由（1）知，抛物线的函数表达式是𝑦= −
1
9𝑥2 +7(−6 ≤𝑥≤6)，
令−
1
9𝑥2 +7 = 4，
整理得𝑥2−27 = 0，
解得𝑥𝐴= −3 3,𝑥𝐷= 3 3，
∴𝑦= 4时，两点之间的水平距离为6 3 ≈10.392，
要让数量最多，相邻间隔取1 米，最多可以悬挂灯笼的数量是10 + 1 = 11个．
悬挂方案：以O 为中心，在𝑥= −5、−4、−3、−2、−1、0、1、2、3、4、5 的位置悬挂灯笼．
【题型4 喷水问题】
【例4】（2026·广东清远·三模）某公园雕塑𝑂𝐴的顶端点A 处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得
雕塑𝑂𝐴的高度为2m，当喷出的水柱与𝑂𝐴的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m．以点O 为原点，𝑂𝐴所
在直线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)求水柱落地点与雕塑𝑂𝐴的水平距离．
【答案】(1)𝑦= −0.1𝑥2 + 0.8𝑥+ 2；
(2)10m．
【分析】（1）由题目所给条件可得点𝐴的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点𝐴代入求解即可得到
该抛物线的函数表达式；
（2）题意为求点𝐵的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为0求解即可．
【详解】（1）解：由题可得，点𝐴的坐标为(0,2)，该抛物线的顶点为(4,3.6)，
设该抛物线的顶点式为𝑦= 𝑎(𝑥−4)2 +3.6，
把点𝐴代入得2 = 16𝑎+ 3.6，解得𝑎= −
1
10，
∴该抛物线的函数表达式为𝑦= −
1
10(𝑥−4)2 +3.6 = −0.1𝑥2 + 0.8𝑥+ 2；
（2）解：令𝑦= 0得−0.1𝑥2 + 0.8𝑥+ 2 = 0，
两边同时乘以−10得𝑥2−8𝑥−20 = 0，
因式分解得(𝑥−10)(𝑥+ 2) = 0，
解得𝑥1 = 10，𝑥2 = −2，
∴点𝐵的坐标为(10,0)，
∴水柱落地点与雕塑𝑂𝐴的水平距离为10m．
【变式4-1】（2026·陕西咸阳·一模）将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效
率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形
状，而且左、右两条抛物线关于y 轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用𝑦= −𝑥2
−6𝑥+ 1表示．
(1)求水流的最高点到地面的距离；
(2)求左、右两条水流最高点之间的距离．
【答案】(1)水流的最高点到地面的距离为10 米
(2)左、右两条水流最高点之间的距离为6 米
【分析】（1）将二次函数转化为顶点式进行求解即可；
（2）根据点关于𝑦轴对称的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，𝑦= −𝑥2−6𝑥+ 1 = −(𝑥+ 3)2 +10，
∴抛物线的顶点坐标为(−3,10)，
∴水流最高点到地面的距离为10 米；
（2）解：∵左、右两条抛物线关于𝑦轴对称，
∴左边抛物线的顶点为(−3,10)，其关于𝑦轴的对称点即为右边抛物线的顶点(3,10)，
∴左、右两条水流最高点之间的距离为：|3−(−3)| = 6米．
【变式4-2】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图1，2 是水槽水龙头的侧面简易示意图，矩形𝐶𝐷𝐹𝐺为水槽
侧面，宽𝐷𝐹= 50cm，深𝐶𝐷= 10cm，排水口𝐸位于𝐷𝐹的中点．在水槽边𝐶𝐷正上方安装水管𝐵𝐶，水龙头
𝐵𝐴= 10cm，水管𝐵𝐶= 6cm，∠𝐴𝐵𝐶= 129°．按水龙头的安装要求，水流需直接对准排水口确保水快速排
入管道，水流的形状近似看作线段．（参考数据：sin51° ≈0.8，cos51° ≈0.6，tan51° ≈1.2）
(1)如图1 建立平面直角坐标系，求点𝐴和点𝐵的坐标；
(2)为方便儿童洗手，在点𝐴加装喷水装置如图2，从点𝐴喷出的水流形状近似可以看作抛物线．已知当水流
与水槽边𝐶𝐷的距离为38cm时，水流达到最高，最高高度为40cm，求出抛物线的表达式；
(3)加装喷水装置后，打开水龙头时水流是否会淋到水槽外，请说明理由．
【答案】(1)𝐴(0,22)，𝐵(−8,16)；
(2)𝑦= −0.02(𝑥−30)2 +40
(3)解：会淋到水槽外．
理由如下：
∵𝐷𝐹= 50cm,𝑂𝐷= 8cm，
∴𝑂𝐹= 50−8 = 42(cm)，
由（2）可知，𝑦= −0.02(𝑥−30)2 +40，
∴当𝑥= 42时，𝑦= −0.02 × (42−30)2 +40 = 37.12，
∵矩形𝐶𝐷𝐹𝐺，
∴𝐹𝐺= 𝐶𝐷= 10cm，
∵37.12 > 10，
∴会淋到水槽外．
【分析】（1）过点𝐴向𝐵𝐶作垂线交于点𝐻，解Rt △𝐴𝐵𝐻，求出𝐴𝐻,𝐵𝐻的长，进而求出点𝐴和点𝐵的坐标即可；
（2）求出顶点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）求出𝑥= 42时的函数值，进行判断即可.
【详解】（1）解：过点𝐴向𝐵𝐶作垂线交于点𝐻，如图，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 129°，
∴∠𝐴𝐵𝐻= 51°．
在Rt △𝐴𝐵𝐻中，∠𝐴𝐻𝐵= 90°，
∵𝐴𝐵= 10cm，sin51° ≈0.8，cos51° ≈0.6，
∴𝐴𝐻= 𝐴𝐵⋅sin∠𝐴𝐵𝐻= 10 × sin51° = 8(cm)，
𝐵𝐻= 𝐴𝐵⋅cos∠𝐴𝐵𝐻= 10 × cos51° = 6(cm)，
∴6 + 6 + 10 = 22(cm)，
∴𝐴(0,22)，
∴𝐵(−8,16)；
（2）解：由（1）可知：𝑂𝐷= 𝐴𝐻= 8，
∵当水流与水槽边𝐶𝐷的距离为38cm时，水流达到最高，最高高度为40cm，38−8 = 30，
∴抛物线的顶点坐标为(30,40)．
设抛物线的表达式为𝑦= 𝑎(𝑥−30)2 +40，
将𝐴(0,22)代入得22 = 𝑎× 302 +40，
解得𝑎= −0.02，
∴抛物线表达式为𝑦= −0.02(𝑥−30)2 +40；
（3）略
【变式4-3】（2026·广东河源·二模）综合与实践
主
喷泉设计
题
背
景
数学兴趣小组要设计一个类似图（1）的环形喷泉，喷头喷出的水柱形状为抛物线，且上面喷头喷出
的水柱会落入下面的喷头处．
素
材
1
如图（2）是喷头A 所在纵截面的示意图，建立平面直角坐标系，点A，B 在y 轴上，通过调节，喷
头A 喷出的水柱形状为抛物线𝐿1:𝑦= −𝑥2 +2𝑥+ 8
素
材
2
平台𝐵𝐶的高为5 米（即𝑂𝐵= 5米），𝐵𝐶∥𝑥轴，喷头A 喷出的水柱落入喷头C 处，喷头C 喷出的水
柱所在抛物线𝐿2的形状与𝐿1相同．
素
材
3
喷头C 喷出的水柱落入喷头E 处，平台𝐷𝐸的高为2 米（即𝐸𝐹= 2米），点F 在x 轴上，𝑂𝐹= 6米，
喷头 E 喷出的水柱形状为抛物线𝑦= −𝑥2 +
53
4 𝑥−
83
2 ，水最终落入圆柱形接水装置（纵截面为矩形
𝐺𝐻𝐼𝐽）中，接水装置高𝐺𝐻= 0.5米，底面直径𝐻𝐼= 0.4米，𝐻𝐼在x 轴上．
问题解决
(1)求点C 的坐标．
(2)求抛物线𝐿2的解析式．
(3)要使喷头E 喷出的水柱恰好从𝐺𝐽的中点处落入接水装置，求接水装置离𝐸𝐹的水平距离𝐹𝐻．
【答案】(1)点C 的坐标为(3,5)
(2)𝑦= −𝑥2 +8𝑥−10
(3)1.8 米
【分析】（1）先由𝐵𝐶∥𝑥轴，𝑂𝐵= 5确定C 的纵坐标为5，再代入𝐿1:𝑦= −𝑥2 +2𝑥+ 8可求出点C 的横坐
标，即可得出点C 的坐标；
（2）根据抛物线𝐿2的形状与𝐿1相同，可设抛物线𝐿2的解析式为 𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，再代入(3,5)，(6,2)求解
即可；
（3）对于𝑦= −𝑥2 +
53
4 𝑥−
83
2 ，令𝑦= 0.5，得−𝑥2 +
53
4 𝑥−
83
2 = 0.5，解得𝑥= 8或 𝑥=
21
4 (舍去)，进而可求出𝐹𝐻．
【详解】（1）解：∵𝐵𝐶∥𝑥轴，𝑂𝐵= 5，
∴点 C 的纵坐标为5；
由题意知抛物线 𝐿1:𝑦= −𝑥2 +2𝑥+ 8 经过点C，
∴令−𝑥2 +2𝑥+ 8 = 5，
解得𝑥= 3或𝑥= −1 (舍去)，
∴点C 的坐标为(3,5)；
（2）解：∵抛物线𝐿2的形状与𝐿1相同，
∴可设抛物线𝐿2的解析式为 𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，
由题意知𝐸(6,2)，抛物线𝐿2经过点 C，E，
∴将(3,5)，(6,2)分别代入 𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，得
−9 + 3𝑏+ 𝑐= 5
−36 + 6𝑏+ 𝑐= 2
，
解得
𝑏= 8
𝑐= −10
，
∴抛物线𝐿2的解析式为𝑦= −𝑥2 +8𝑥−10；
（3）解：令−𝑥2 +
53
4 𝑥−
83
2 = 0.5，
解得𝑥= 8或 𝑥=
21
4 (舍去).
∵𝑂𝐹= 6，𝐻𝐼= 0.4，且喷头 E 喷出的水柱恰好从𝐺𝐽的中点处落入接水装置，
∴𝐹𝐻= 8−0.4 ÷ 2−6 = 1.8（米）．
【题型5 隧道问题】
【例5】（24-25 九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为
16m，宽为6m，，抛物线的最高点𝐸离路面𝐴𝐵的距离为8m．
(1)按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
(2)一大型货运汽车装载某大型设备后高为7m，宽为4m．若该隧道内设单向两车行车道，那么这辆货车能否
安全通过？请说明理由．
【答案】(1)𝑦= −
1
32𝑥2 +8
(2)解：这辆货车能安全通过，理由如下：
根据题意，把𝑥=± 4代入解析式，得𝑦= 7.5m．
∵7.5m > 7m，
∴这辆货车能安全通过．
【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数
法求解析式是解题的关键．
（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把𝑥=± 4代入求出函数值和车的高度作比较即可解题．
【详解】（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为𝑦= 𝑎𝑥2 +8，又知抛物线过点𝐶(8,6)，
所以6 = 64𝑎+ 8，
解得𝑎= −
1
32，
∴𝑦= −
1
32𝑥2 +8；
（2）略
【变式5-1】（2026·陕西宝鸡·一模）如图1 是某海洋馆的玻璃隧道，图2 是它的截面示意图，玻璃隧道截
面可近似看作抛物线和矩形𝐴𝑂𝐶𝐵构成．矩形的长𝑂𝐶= 6米，宽𝑂𝐴= 1米，小明以O 为原点，𝑂𝐶所在水平
线为x 轴、𝑂𝐴所在直线为y 轴建立如图2 的平面直角坐标系，在抛物线上点𝑀
3
5 ,
43
25 处贴有一张“小心碰头”
的温馨提示．
(1)求隧道截面所在抛物线的函数表达式；
(2)为保障游客观赏效果，清洁工人会对玻璃隧道进行定期清洁，某次清洁工人站在地面上清洁玻璃隧道时，
能刷到的最大高度是其站立位置地面的正上方
5
2米处（抛物线上的𝐸𝐹段清洁工未清洁，即点E、F 到x 轴的
距离均为
5
2米），此次清洁工人站在地面完成玻璃隧道清洁后，求未清洁部分最低两处的水平距离（即求E、
F 两点之间的距离）．
【答案】(1)𝑦= −
2
9𝑥2 +
4
3𝑥+ 1
(2)未清洁部分最低两处的水平距离为3米
【分析】（1）根据题意得到𝐴(0,1),𝐵(6,1)，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意令𝑦=
5
2代入抛物线求解，得到𝐸
3
2 ,
5
2 ,𝐹
9
2 ,
5
2 ，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形𝐴𝑂𝐶𝐵是矩形，
∴𝑂𝐴= 𝐵𝐶= 1,𝑂𝐶= 𝐴𝐵= 6，
∴𝐴(0,1),𝐵(6,1)，
设抛物线解析式为𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)，点𝑀
3
5 ,
43
25 在抛物线的图象上，
∴
𝑐= 1
36𝑎+ 6𝑏+ 𝑐= 1
9
25 𝑎+ 3
5 𝑏+ 𝑐= 43
25
，
解得，
𝑎= −2
9
𝑏= 4
3
𝑐= 1
，
∴𝑦= −
2
9𝑥2 +
4
3𝑥+ 1；
（2）解：点E、F 到x 轴的距离均为
5
2米，则令𝑦=
5
2，
∴−
2
9𝑥2 +
4
3𝑥+ 1 =
5
2，
整理得，4𝑥2−24𝑥+ 27 = 0，
∴𝑥=
24± (−24)2−4×4×27
8
=
24±12
8
，
解得，𝑥1 =
3
2,𝑥2 =
9
2，
∴𝐸
3
2 ,
5
2 ,𝐹
9
2 ,
5
2 ，
∴𝐸𝐹=
9
2−
3
2 = 3，
∴未清洁部分最低两处的水平距离为3米．
【变式5-2】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025 年建成通车，它将成为世界上最长的高速公
路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一
部分．若隧道底部宽12 米，高8 米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 米，当两辆车在隧道内并
排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 米（中心线宽度不计）．若宽3 米，高3.5 米的两辆车
并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
【答案】(1)𝑦= −
2
9(𝑥−6)2 +8(0 ≤𝑥≤12)
(2)能安全通过，
理由如下：如图，
由题意得：𝑥𝐴=
12
2 −
2
2−3 = 2，
将𝑥= 2代入𝑦= −
2
9(𝑥−6)2 +8，
则𝑦= −
2
9 × (2−6)2 +8 =
40
9 ，
∵
40
9 −3.5 =
17
18 > 0.5，
∴能安全通过．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入(12,0)即可求解𝑎，继而得到函数解析式；
（2）先求出点𝐴坐标，然后求出点𝐴距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与0.5比较即可．
【详解】（1）解：由题意得，顶点为
12
2 ,8 ，即(6,8)，
设抛物线的解析式为：𝑦= 𝑎(𝑥−6)2 +8(𝑎≠0)
代入点(12,0)得𝑎(12−6)2 +8 = 0，
解得：𝑎= −
2
9，
∴抛物线解析式为𝑦= −
2
9(𝑥−6)2 +8(0 ≤𝑥≤12)；
（2）略
【变式5-3】（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】
主题：隧道安全警示的数学探究
如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧
道进行考察，开展了以下探究：
素材1 如图2 为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27 米时（即积水达到涉水线处），车
辆应避免通行．
素材2 图3 为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分𝐴𝐶𝐵和矩形𝐴𝐷𝐸𝐵的三边构成．隧道的最高点𝐶到地面𝐷𝐸
距离为5.4 米，两侧墙面高𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 3米，地面跨度𝐷𝐸= 10米．
(1)【初步探究】如图2，过点𝑀作𝑀𝑃⊥𝑙，已知斜坡的坡角𝛼= 10∘，求涉水线离坡底的距离𝑀𝑁（精确到0.01
米，sin10∘≈0.174，cos10∘≈0.985，tan10∘≈0.176）．
(2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线𝐴𝐶𝐵的解析式．
(3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部𝐴𝐶𝐵
在竖直方向的空隙不小于0.3 米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1 米，
限高架上标有警示语“车辆限高ℎ米”（即最大安全限高），求ℎ的值（精确到0.1 米）．
【答案】(1)1.55 米
(2)以点C 为坐标原点，建立平面直角坐标系：𝑦= −
12
125𝑥2
(3)3.5 米
【分析】（1）过点M 作𝑀𝑃⊥𝑙，代入数值得sin10° =
𝑀𝑃
𝑀𝑁≈0.174，进行计算，即可作答．
（2）先以点C 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线𝐴𝐶𝐵的解析式为𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎< 0)，再把𝐵(5,−2.4)
代入进行计算，得𝑦= −
12
125𝑥2，即可作答．
（3）认真研读题干，得出10 ÷ 2−1 = 4，再算出当𝑥= 4时，𝑦= −1.536，则𝑂𝐺= 1.536，
𝐺𝐻= 𝐶𝐻−𝑂𝐺= 3.864，即可得出ℎ= 𝐺𝐻−0.3 = 3.564 ≈3.5（米)，即可作答．
【详解】（1）解：如图，过点M 作𝑀𝑃⊥𝑙，
∵斜坡的坡角α 为10°，隧道内积水的水深为0.27 米，
∴∠𝑀𝑁𝑃= 10°，𝑀𝑃= 0.27，
∵𝑀𝑃⊥𝑙，sin10° ≈0.174，
在Rt △𝑀𝑁𝑃中，sin10° =
𝑀𝑃
𝑀𝑁≈0.174，
∴
0.27
𝑀𝑁= 0.174，
∴𝑀𝑁=
0.27
0.174 = 1.55（米）．
（2）解：如图所示：以点C 为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线𝐴𝐶𝐵的解析式为𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎< 0)，
∵隧道的最高点C 到地面𝐷𝐸距离为5.4 米，两侧墙面高𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 3米，地面跨度𝐷𝐸= 10米．
∴𝐵(5,−2.4)，
把𝐵(5,−2.4)代入𝑦= 𝑎𝑥2，
得−2.4 = 25𝑎，
∴𝑎= −
12
125，
∴𝑦= −
12
125𝑥2．
（3）解：如图所示：
∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1 米，必须保证车辆顶部与隧道顶部𝐴𝐶𝐵在
竖直方向的空隙不小于0.3 米．
∴10 ÷ 2−1 = 4，
∴当𝑥= 4时，𝑦= −
12
125 × 42 = −1.536，
则𝑂𝐺= 1.536，
∴𝐺𝐻= 𝐶𝐻−𝑂𝐺= 5.4−1.536 = 3.864，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h 米”（即最大安全限高），
∴ℎ= 𝐺𝐻−0.3 = 3.864−0.3 = 3.564（米)，
∵涉及安全问题，
∴ℎ= 3.564 ≈3.5（米）．
【题型6 跳跃问题】
【例6】（2026·河南平顶山·二模）马年央视春晚上，一款表演机器人在舞台中央完成腾空跃起动作，其运
动轨迹可近似看作抛物线．机器人从地面起跳点腾空，最高点距地面3米，落地点与起跳点水平距离为6
米．如图，以起跳点为坐标原点𝑂，水平向右为𝑥轴正方向，竖直向上为𝑦轴正方向，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)若舞台上一处灯光装置的坐标为(4,1.5)，判断机器人在运动过程中是否会经过该灯光装置所在位置？
(3)若机器人在竖直高度不低于2米的区域完成旋转表演，求机器人进行旋转表演的水平距离．
【答案】(1)𝑦= −
1
3𝑥2 +2𝑥(0 ≤𝑥≤6)；
(2)不会；
(3)2 3．
【分析】(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(3,3)，且点(6,0)在抛物线上，设该抛物线的函数解析式为𝑦= 𝑎
(𝑥−3)2 +3，然后把(6,0)代入即可求解；
(2)将𝑥= 4代入抛物线解析式𝑦= −
1
3𝑥2 +2𝑥，然后比较即可；
(3)令𝑦≥2，则−
1
3𝑥2 +2𝑥≥2，解得3−3 ≤𝑥≤3 +
3，从而求出机器人进行旋转表演的水平距离．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为(3,3)，且点(6,0)在抛物线上，
设该抛物线的函数解析式为𝑦= 𝑎(𝑥−3)2 +3，
把点(6,0)代入得0 = (6−3)2𝑎+ 3，
解得𝑎= −
1
3，
∴抛物线的函数解析式为𝑦= −
1
3(𝑥−3)2 +3 = −
1
3𝑥2 +2𝑥(0 ≤𝑥≤6)；
（2）解：不会，
将𝑥= 4代入抛物线解析式，得𝑦= −
1
3 × 42 +2 × 4 =
8
3 ≠1.5，
∴机器人不会经过该灯光装置所在位置；
（3）解：令𝑦≥2，则−
1
3𝑥2 +2𝑥≥2，解得3−3 ≤𝑥≤3 +
3，
∴水平距离为3 +
3−(3−3) = 2 3（米），
∴机器人进行旋转表演的水平距离为2 3米．
【变式6-1】（25-26 九年级上·北京西城·期末）如图1，为了丰富学生的课余生活，某校九年级组织开展跳
长绳活动．如图2，假设两名摇绳的学生握绳的手A，B 之间的水平距离为10m，当手A，B 与地面的距离
均为1m时，绳子的最高点C 与地面的距离为2m，此时绳子的形状可以看作是抛物线的一部分．建立平面
直角坐标系𝑥𝑂𝑦，设该抛物线表示的二次函数为𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘(𝑎< 0)．当摇绳两端握绳的手同时向上平
移时，绳子整体也相应向上平移且形状不变．
(1)求该抛物线表示的二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘(𝑎< 0)；
(2)如果参加跳长绳活动的学生身高均为1.75m，且相邻学生站位间隔均为0.6m，除摇绳的学生外，求最多
有多少名学生能同时参加跳长绳活动；
(3)由于还有1 名学生没能同时参加跳长绳活动，在（2）的情况下，若加入这名学生，在不改变摇绳的学生
手A，B 之间的水平距离和绳长的情况下，只需将手A，B 同时向上平移ℎm，直接写出h 的最小值（精确到
0.01）．
【答案】(1)𝑦= −
1
25𝑥2 +2
(2)最多有9 名学生能同时参加跳长绳活动
(3)0.05
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）由题意并结合图象可得二次函数的顶点坐标为𝐶(0,2)，二次函数的解析式为𝑦= 𝑎𝑥2 +2，将𝐵(5,1)代
入𝑦= 𝑎𝑥2 +2可得25𝑎+ 2 = 1，计算即可得出结果；
（2）在𝑦= −
1
25𝑥2 +2中，当𝑦= 1.75时，−
1
25𝑥2 +2 = 1.75，求得𝑥= 2.5或𝑥= −2.5，从而可得与𝑥轴的两
交点间的水平距离为5m，再求出间隔数，即可得出结果；
（3）抛物线上移ℎm后，解析式为𝑦= −
1
25𝑥2 +2 + ℎ，求出总水平距离为5.4m，令𝑦= 1.75，则−
1
25𝑥2
+2 + ℎ= 1.75，求出水平距离为2 6.25 + 25ℎ，由题意可得2 6.25 + 25ℎ≥5.4，求解即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意可得：𝐴(−5,1)，𝐵(5,1)，𝐶(0,2)，
由图象可得：二次函数的顶点坐标为𝐶(0,2)，
∴二次函数的解析式为𝑦= 𝑎𝑥2 +2，
将𝐵(5,1)代入𝑦= 𝑎𝑥2 +2可得25𝑎+ 2 = 1，
解得：𝑎= −
1
25，
∴该抛物线表示的二次函数为𝑦= −
1
25𝑥2 +2；
（2）解：在𝑦= −
1
25𝑥2 +2中，当𝑦= 1.75时，−
1
25𝑥2 +2 = 1.75，
解得：𝑥= 2.5或𝑥= −2.5，
∴与𝑥轴的两交点间的水平距离为2.5−(−2.5) = 5m，
∵相邻学生站位间隔均为0.6m，
∴间隔数为5 ÷ 0.6 ≈8.33，取整数部分8，
∴人数为8 + 1 = 9（人），
故最多有9 名学生能同时参加跳长绳活动；
（3）解：抛物线上移ℎm后，解析式为𝑦= −
1
25𝑥2 +2 + ℎ，
∵需要容纳10人，
∴总水平距离为(10−1) × 0.6 = 5.4m，
令𝑦= 1.75，则−
1
25𝑥2 +2 + ℎ= 1.75，
解得：𝑥=
6.25 + 25ℎ或𝑥= −6.25 + 25ℎ，
∴水平距离为2 6.25 + 25ℎ，
由题意可得：2 6.25 + 25ℎ≥5.4，
解得：ℎ≥
1.04
25 = 0.0416，
∴h 的最小值为0.05．
【变式6-2】（2026·内蒙古包头·二模）2024 年8 月6 日，在巴黎奥运会女子10 米跳台跳水决赛中，中国选
手全红婵勇夺金牌．已知跳水运动员起跳后的运动轨迹可近似看作抛物线，建立如图所示的平面直角坐标
系．
(1)某位运动员在第一次跳水中，从点A(3,10)处起跳（如图），她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x
（单位：m）近似满足函数关系式𝑦= 𝑎(𝑥−3.5)2 +11.25(𝑎< 0)，测得几组数据如表：
水平距离𝑥/m
3
3.5
4
竖直高度𝑦/m
10
11.25
k
则k，a 的值各为多少；
(2)若该运动员在跳水中，记她第一次跳水的入水点的水平距离为𝑑，求𝑑的值；
(3)若该运动员在第二次跳水中，她的竖直高度𝑦（单位：m）与水平距离𝑥（单位：m）近似满足函数关系式
𝑦= −5𝑥2 +40𝑥−68，从该运动员起跳后到达最高点𝐵处时开始计时，已知点𝐵到水平面的距离为𝑐，竖直高
度𝑦（单位：m）与时间𝑡（单位：s）之间近似满足函数关系式𝑦= −5𝑡2 +𝑐．若该运动员在达到最高点后需
要1.5s才能完成某个极具难度的动作，请通过计算说明，该运动员能否在落水前完成此动作．
【答案】(1)𝑎= −5，𝑘= 10；
(2)𝑑= 5米；
(3)该运动员能在落水前完成此动作．
【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再将(4,𝑘)代入计算即可．
（2）求出当𝑦= 0时，𝑥的值即可；
（3）先求出𝑐的值，再求出𝑡= 1.5时的𝑦值，进行判断即可．
【详解】（1）解：将(3,10)代入𝑦= 𝑎(𝑥−3.5)2 +11.25得：10 = 𝑎(3−3.5)2 +11.25，
解得：𝑎= −5，
∴𝑦= −5(𝑥−3.5)2 +11.25，
将(4,𝑘)代入得𝑘= −5 × (4−3.5)2 +11.25 = 10；
（2）解：∵𝑦= −5(𝑥−3.5)2 +11.25，
当𝑦= 0时：0 = −5(𝑥−3.5)2 +11.25，
解得：𝑥1 = 5，𝑥2 = 2（不合题意，舍去）；
∴𝑑= 5米；
（3）解：𝑦= −5𝑥2 +40𝑥−68 = −5(𝑥−4)2 +12，
∴𝐵(4,12)，
∴𝑐= 12，
∴𝑦= −5𝑡2 +12，
当𝑡= 1.5时，𝑦= −5 × 1.52 +12 = 0.75 > 0，
∴该运动员能在落水前完成此动作．
【变式6-3】（25-26 九年级下·河北衡水·期中）如图1，“跳一跳”曾是某社交软件上风靡一时的互动游戏，
该游戏要求操作者通过控制“i”形小人（看成点）起跳时的速度，使其能从一个平台跳到旁边同一水平面上
且等高的另一平台上，示意图如图2 所示．在平面直角坐标系中，矩形𝑂𝐴𝐵𝐶、矩形𝐷𝐸𝐹𝐺和矩形𝑀𝑁𝑃𝑄的
边𝑂𝐴，𝐷𝐸，𝑀𝑁均在x 轴上，𝑂𝐴= 𝐷𝐸= 𝑀𝑁= 2，𝑂𝐶= 𝐷𝐺= 𝑀𝑄= 1，𝐴𝐷= 3，𝐸𝑀= 4，“i”形小人从
点B 处起跳后沿抛物线𝐿1:𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +5运动，落在边𝐺𝐹的中点H 处．
(1)点B 的坐标为______________，点H 的坐标为______________；
(2)求抛物线𝐿1的解析式；
(3)“i”形小人从点H 处再次起跳后沿抛物线𝐿2运动，且𝐿2与𝐿1形状相同．
①若𝐿2与𝐿1的最大高度相同，判断“i”形小人会落在平台𝑃𝑄上还是落在x 轴上？说明理由，并求出落点的坐
标；
②若“i”形小人再次起跳后沿抛物线𝐿2落在平台𝑃𝑄上（包括边界），设𝐿2的最大高度为𝑛，直接
．．写出符合条
件的整数
．．𝑛的个数．
【答案】(1)(2,1)，(6,1)
(2)𝑦= −(𝑥−4)2 +5
(3)①“i”形小人会落在𝑥轴上，见解析；②6
【分析】（1）先根据矩形𝑂𝐴𝐵𝐶的边长𝑂𝐴= 2、𝑂𝐶= 1，直接得出点𝐵的坐标；再依次计算𝑂𝐷、𝑂𝐸，结合
矩形𝐷𝐸𝐹𝐺的高𝐷𝐺= 1，得到𝐺、𝐹坐标，最后利用中点坐标公式求出点𝐻的坐标即可；
（2）先由抛物线𝐿1经过纵坐标相同的𝐵(2,1)、𝐻(6,1)两点，得出其对称轴为直线𝑥= 4，即顶点式中ℎ= 4；
再将𝐵点坐标代入𝑦= 𝑎(𝑥−4)2 +5，解方程求出𝑎= −1，回代即得抛物线𝐿1的解析式；
（3）①先由𝐿2与𝐿1形状相同且最大高度相同，得出𝐿2是𝐿1向右平移4个单位得到的，进而得到𝐿2的顶点坐
标为(8,5)，解析式为𝑦= −(𝑥−8)2 +5；再令𝑦= 1求出等高落点的横坐标𝑥= 10，对比𝑃𝑄平台左端点
𝑥= 11，判断出小人会落在𝑥轴上；最后令𝑦= 0，解出符合条件的𝑥= 8 +
5，得到落点坐标；②先设𝐿2
的解析式为𝑦= −(𝑥−ℎ)² + 𝑛，代入起跳点𝐻(6,1)，得到𝑛= (ℎ−6)² + 1；再令𝑦= 1求出落点横坐标
𝑥= 2ℎ−6，结合𝑃𝑄平台的横坐标范围11 ≤𝑥≤13，解出ℎ的取值范围为8.5 ≤ℎ≤9.5；最后将ℎ的范围代入
𝑛的关系式，求出𝑛的取值范围为7.25 ≤𝑛≤13.25，统计其中的整数个数即可．
【详解】（1）解：∵矩形𝑂𝐴𝐵𝐶中，𝑂𝐴= 2，𝑂𝐶= 1，
∴点𝐵的坐标为(2,1)；
∵𝑂𝐴= 2，𝐴𝐷= 3，𝐷𝐸= 2，
∴𝑂𝐷= 𝑂𝐴+ 𝐴𝐷= 5，𝑂𝐸= 𝑂𝐴+ 𝐴𝐷+ 𝐷𝐸= 7，
∵矩形𝐷𝐸𝐹𝐺中，𝐷𝐺= 1，
∴𝐸𝐹= 𝐷𝐺= 1，
∴𝐺(5,1)，𝐹(7,1)，
∵𝐻是𝐺𝐹中点，
∴点𝐻的坐标为
5+7
2 ,
1+1
2
，即(6,1)；
（2）解：∵抛物线𝐿1经过𝐵(2,1)，𝐻(6,1)两点，
∴抛物线𝐿1的对称轴为直线𝑥=
2+6
2 = 4，
∴ℎ= 4，即𝑦= 𝑎(𝑥−4)2 +5，
把𝑥= 2，𝑦= 1代入解析式，得
1 = 𝑎(2−4)2 +5，
解得𝑎= −1，
∴抛物线𝐿1的解析式为𝑦= −(𝑥−4)2 +5；
（3）解：①“i”形小人会落在𝑥轴上，理由：
∵𝐿2与𝐿1形状相同，且最大高度相同，
∴𝐿2的二次项系数与𝐿1相同，顶点纵坐标也为5，即𝐿2可由𝐿1向右平移得到，
∵𝐿1的起跳点𝐵(2,1)平移后对应𝐿2的起跳点𝐻(6,1)，
∴平移的距离为6−2 = 4，
∴抛物线𝐿2的顶点坐标为(4 + 4,5)，即(8,5)，
∴抛物线𝐿2的解析式为𝑦= −(𝑥−8)2 +5，
∵𝑂𝑀= 𝑂𝐴+ 𝐴𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝑀= 11，𝑀𝑁= 2，𝑀𝑄= 1，
∴𝑄(11,1)，𝑃(13,1)，
即𝑃𝑄的横坐标范围为11 ≤𝑥≤13，
令𝐿2中𝑦= 1，得
1 = −(𝑥−8)2 +5，
解得𝑥1 = 10，𝑥2 = 6（起跳点，舍去），
∵等高落点横坐标𝑥= 10 < 11（𝑃𝑄左端点），
∴“i”形小人会落在𝑥轴上；
令𝐿2中𝑦= 0，得0 = −(𝑥−8)2 +5，
解得𝑥1 = 8 +
5，𝑥2 = 8−5（舍去，小于对称轴8），
∴“i”形小人落点的坐标为8 +
5,0 ；
②∵𝐿2与𝐿1形状相同，
∴可设𝐿2:𝑦= −(𝑥−ℎ)2 +𝑛（𝑛为最大高度），
∵𝐿2过起跳点𝐻(6,1)，
∴1 = −(6−ℎ)2 +𝑛，即𝑛= (ℎ−6)2 +1，
∵小人需落在平台𝑃𝑄上（含边界），平台𝑃𝑄的横坐标范围为11 ≤𝑥≤13，
∴落点横坐标𝑥= 2ℎ−6需满足11 ≤2ℎ−6 ≤13，解得8.5 ≤ℎ≤9.5，
当ℎ= 8.5时，𝑛= (8.5−6)2 +1 = 7.25；
当ℎ= 9.5时，𝑛= (9.5−6)2 +1 = 13.25，
∴𝑛的取值范围为7.25 ≤𝑛≤13.25，其中整数𝑛为8，9，10，11，12，13，共6个．
【题型7 销售问题】
【例7】（25-26 九年级上·江苏扬州·阶段检测）某超市销售一种玩具，每个进价为40 元．当每个售价为50
元时，日均销售量为200 个，经市场调查表明，售价每增加1 元，日均销售量减少10 个．
(1)当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000 元；
(2)当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
【答案】(1)50 元或60 元
(2)当每个售价为55 元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及一元二次函数的最值，解决本题的关键是根据题意建立等
式
（1）设每个售价为𝑥元，表示出日均销售量计算即可；
（2）设日均利润为𝑦元，将二次函数配方为顶点式求解最大值即可．
【详解】（1）解：设每个售价为𝑥元，
根据题意可得：(𝑥−40) 200−10(𝑥−50) = 2000，
整理得，𝑥2−110𝑥+ 3000 = 0
解得：𝑥1 = 50，𝑥2 = 60，
答：当每个售价为50 元或60 元时，所得日均总利润为2000 元；
（2）解：设日均利润为𝑦元，
则𝑦= (𝑥−40) 200−10(𝑥−50)
= −10𝑥2 + 1100𝑥−28000
= −10(𝑥−55)2 +2250，
∵−10 < 0，
当𝑥= 55时，𝑦取最大值，最大值为2250，
答：当每个售价为55 元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250 元．
【变式7-1】（25-26 九年级上·河北衡水·阶段检测）某商场试销一种成本为每件60 元的服装，规定试销期
间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于60％．经试销发现，销售量𝑦（件）与销售单价𝑥（元）符合
一次函数，它的图像如图所示．
(1)求𝑦与𝑥之间的函数关系式，并写出𝑥的取值范围；
(2)记商场销售该服装获得的利润为𝑤元，试写出利润𝑤与销售单价𝑥之间的函数关系式；
(3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？
【答案】(1)𝑦= −𝑥+ 120，60 ≤𝑥≤96
(2)𝑤= −𝑥2 +180𝑥−7200
(3)销售单价定为90 元时，商场可获得最大利润
【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，然后由图像可把点(65,55),(75,45)代入进行求解即可；
（2）根据（2）及利润=单个利润×总的销售量即可求解；
（3）由（2）结合二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，由题意，
得
65𝑘+ 𝑏= 55
75𝑘+ 𝑏= 45
，解得
𝑘= −1
𝑏= 120
，
∴𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦= −𝑥+ 120，
∵成本为60 元，获利不超60％，
∴𝑥≤60 × (1 + 60%) = 96
∴60 ≤𝑥≤96；
（2）解：由题意，得：
𝑤= (𝑥−60)𝑦= (𝑥−60)(−𝑥+ 120) = −𝑥2 +180𝑥−7200；
（3）解：由（2），得𝑤= −𝑥2 +180𝑥−7200 = −(𝑥−90)2 +900，
∵−1 < 0，
∴二次函数图像开口向下，对称轴为直线𝑥= 90，
∴当𝑥= 90时，𝑤有最大值900，
答：销售单价定为90 元时，商场可获得最大利润．
【变式7-2】（2026·四川成都·模拟预测）某村大力发展特色农产品产业，大量栽种甜橙，同时搭建电商运
营服务平台，开设网店销售农产品．甜橙丰收后，将一批甜橙采取现场销售和网络销售结合进行试销，统
计后发现：同样多的甜橙，现场销售可获利800 元，网络销售可获利1000 元，网络销售比现场销售每件多
获利5 元．
(1)现场销售和网络销售每件获利分别是多少元？
(2)根据甜橙试销情况分析，现场销售量𝑎（件）和网络销售量𝑏（件）满足如下关系式：𝑏= −
1
25𝑎2
+12𝑎−200，求当𝑎为何值时，农户销售甜橙获得的总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
现场销售每件获利20 元，网络销售每件获利25 元
(2)
当𝑎= 160时，总利润最大，最大利润是20600 元.
【分析】（1）设现场销售每件获利𝑥元，则网络销售每件获利(𝑥+ 5)元，结合题意的数量关系列分式方程
求解即可；
（2）设农户销售甜橙获得的总利润为𝑤元，结合题意得到𝑤= −(𝑎−160)2 +20600，根据二次函数图象的
性质即可求解．
【详解】（1）解：设现场销售每件获利𝑥元，则网络销售每件获利(𝑥+ 5)元，
∴
800
𝑥=
1000
𝑥+5 ，
整理得，2𝑥= 40，
解得，𝑥= 20，
经检验，当𝑥= 20时，原方程有意义，
∴𝑥+ 5 = 25，
∴现场销售每件获利20 元，网络销售每件获利25 元；
（2）解：设农户销售甜橙获得的总利润为𝑤元，
∴𝑤= 20𝑎+ 25𝑏，
∵𝑏= −
1
25𝑎2 +12𝑎−200，
∴𝑤= 20𝑎+ 25(−
1
25𝑎2 +12𝑎−200)，
化简得，𝑤= −𝑎2 +320𝑎−5000，
配方得：𝑤= −(𝑎−160)2 +20600，
∵ −1 < 0，抛物线开口向下，
∴当𝑎= 160时，𝑤取得最大值，最大值为20600，此时𝑏= −
1
25 × 1602 +12 × 160−200 = 696 > 0，符合实
际意义，
∴当𝑎为160 时，农户销售甜橙获得的总利润最大，最大利润是20600 元．
【变式7-3】（2026·广东深圳·三模）首届“粤超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，
带动了足球的畅销．
(1)某商店计划购进A，B 两种品牌的足球，已知A 品牌的单件进价比B 品牌的单件进价高20 元，且用6000
元购进的A 品牌足球与用4800 元购进的B 品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价；
(2)经调研发现，A 品牌足球的销售量m 与单件售价a 满足𝑚= −2𝑎+ 400关系，请你选择其中一种销售方
案为老板制定销售价格：
方案一：利润最大
方案二：固定利润率80%
该店销售A 品牌足球的利润最大，单件
售价a 为多少元，最大利润为多少？
尽量优惠顾客，该店销售A 品牌足球获得固定利
润率80%，单件售价a 为多少元，及进货量．
【答案】(1)A 品牌足球的单件进价为100 元，B 品牌足球的单件进价为80 元
(2)选方案一，当单件售价𝑎= 150元时，最大利润为5000 元；方案二，𝑎= 180，进货量为40
【分析】（1）设B 品牌足球的单件进价为x 元，根据题意列出分式方程进行求解即可；
（2）方案一，设销售A 品牌足球的利润为W 元，列出二次函数关系式，求最值即可；方案二，根据题意列
出方程进行求解即可.
【详解】（1）解：设B 品牌足球的单件进价为x 元，
6000
𝑥+20 =
4800
𝑥，解得𝑥= 80，
经检验，𝑥= 80是原方程的解．
∴𝑥+ 20 = 100．
答：A 品牌足球的单件进价为100 元，B 品牌足球的单件进价为80 元．
（2）解：方案一：A 品牌足球的销售量m 与单件售价a 成一次函数的关系，满足𝑚= −2𝑎+ 400，
设销售A 品牌足球的利润为W 元，
则𝑊= (𝑎−100)(−2𝑎+ 400) = −2𝑎2 +600𝑎−40000 = −2(𝑎2−300𝑎)−40000 = −2(𝑎−150)2 +5000，
因为二次项系数小于0，所以抛物线图象开口向下，当𝑎= 150元时，W 取得最大值．
答：当单件售价𝑎= 150元时，该店销售A 品牌足球的利润最大，且最大利润为5000 元．
方案二：由题意，𝑎−100 = 100 × 80%，
解得𝑎= 180，
∵A 品牌足球的销售量m 与单件售价a 成一次函数的关系，满足𝑚= −2𝑎+ 400，
∴𝑚= −2 × 180 + 400 = 40，
答：当单件售价𝑎= 180元时，该店销售A 品牌足球的利润率为80%，应进货40 个．
【题型8 几何图形问题】
【例8】（2026·内蒙古通辽·二模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园
𝐴𝐵𝐶𝐷，花园的一边靠墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长𝐴𝐵为𝑥米，面
积为𝑦平方米．
(1)求𝑦与𝑥之间的函数关系式，并写出自变量𝑥的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出𝑥的值；若不能，请说明理由；
(3)当𝑥是多少时，矩形花园面积𝑦最大？最大面积是多少？
【答案】(1)𝑦= −2𝑥2 +36𝑥；8 ≤𝑥< 18
(2)当𝑥= 17时，满足条件的花园面积能达到34平方米
(3)当𝑥= 9时，𝑦最大，最大面积是162平方米
【分析】（1）根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围；
（2）把𝑦= 34代入解方程并检验取值；
（3）配方法求二次函数在定义域内的最值．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐵= 𝑥米，三边栅栏总长为36米，
∴𝐵𝐶= (36−2𝑥)米．
∴𝑦= 𝑥(36−2𝑥)，即𝑦= −2𝑥2 +36𝑥．
∵墙长20米，
∴0 < 36−2𝑥≤20，
解得8 ≤𝑥< 18．
（2）解：令𝑦= 34，则−2𝑥2 +36𝑥= 34，
整理，得𝑥2−18𝑥+ 17 = 0，
解得𝑥= 17或𝑥= 1．
∵8 ≤𝑥< 18，
∴𝑥= 17，
当𝑥= 17时，满足条件的花园面积能达到34平方米．
（3）解：将𝑦= −2𝑥2 +36𝑥化为顶点式为𝑦= −2(𝑥−9)2 +162，
∵8 ≤𝑥< 18，
∴当𝑥= 9时，𝑦最大，最大面积是162平方米．
【变式8-1】在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要
使整个挂图的面积是𝑦cm2，设金色纸边的宽为𝑥cm，要求纸边的宽度不得少于1cm，同时不得超过2 cm．
(1)求出y 关于x 的函数解析式．
(2)当挂图面积为4264cm2，时，求金色纸边的宽．
(3)此时金色纸边的宽应为多少cm时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值．
【答案】(1)𝑦= 4𝑥2 + 260𝑥+ 4000
(2)1
(3)当𝑥= 2cm 时，最大值为4536cm2
【分析】（1）根据矩形的面积公式即可得出y 关于x 的函数解析式；
（2）当挂图面积𝑦为4264cm2时，即可求得宽；
（3）根据二次函数的性质，即可求得最值．
【详解】（1）解：镶金色纸边后风景画的长为(80 + 2𝑥)cm，宽为(50 + 2𝑥)cm，
∴𝑦= (80 + 2𝑥) ⋅(50 + 2𝑥) = 4𝑥2 +260𝑥+ 4000 (1 ≤𝑥≤2)．
（2）解：当𝑦= 4264cm 时，即4𝑥2 +260𝑥+ 4000 = 4264，
解得𝑥1 = 1,𝑥2 = −66
∵1 ≤𝑥≤2
∴𝑥= 1
答：当挂图面积为4264cm2时，金色纸边的宽为1cm．
（3）解：∵二次函数𝑦= 4𝑥2 +260𝑥+ 4000的对称轴为𝑥= −
260
8 = −
65
2 ，
∴在1 ≤𝑥≤2上，y 随x 的增大而增大，
∴当𝑥= 2cm 时，𝑦取最大值，最大值为4536cm2．
答：金色纸边的宽为2cm 时，这幅挂图的面积最大，最大面积的值为4536cm2．
【点睛】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的性质，掌握二次函数最值是解题的关键．
【变式8-2】用一块边长为60㎝的正方形薄钢片制作一个长方体盒子：如果要做成一个没有盖的长方体盒子,
可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，如图(1),然后把四边折合起来，如图(2)
（1）求做成的盒子底面积y(㎝2)与截去小正方形边长x(㎝)之间的函数关系式；
（2）当做成的盒子的底面积为900㎝2 时,试求该盒子的容积.
【答案】（1）y=4x2-240x+3600；（2）该盒子的容积为13500cm3.
【分析】（1）先表示出盒子的正方形底面的边长，然后根据正方形的面积公式即可得出x，y 的函数关系式；
（2）可将底面积代入（1）的式子中，求出高，然后根据底面积×高=容积，即可得出容积是多少．
【详解】（1）由题意可得y=(60-2x)2=4x2-240x+3600；
（2）当y=900 时(60-2x)2 =900
∴60-2 x=±30
∴x1=15 x2=45
∵x2=45 不符合题意∴x=15，
∴该盒子的容积为900×15=13500 （cm3），
答：该盒子的容积为13500cm3.
故答案为（1）y=4x2-240x+3600；（2）该盒子的容积为13500cm3.
【点睛】本题考查正方形的面积公式的运用，一元二次方程的解法，长方体容器的容积的运用，解答时求
出容器的高是解题的关键．
【变式8-3】（2026·安徽·二模）为落实《中共中央 国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意
见》，某校成立了劳技兴趣小组，某次活动如下：用两块全等、周长均为40 cm的矩形材料拼成如图所示的
物件，其中矩形𝐴𝐵𝐶𝐷和矩形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的对角线交点重合，𝐴𝐷⊥𝐴1𝐷1，依次取𝐴𝐵，𝐶1𝐷1，𝐶𝐷，𝐴1𝐵1的中
点，然后沿图中虚线剪去八个全等的小直角三角形，得到一个星状图形．
(1)当两个矩形重叠部分的四边形𝐸𝐹𝐺𝐻面积为36 cm2时，求星状图形的面积；
(2)求星状图形周长的最小值．
【答案】(1)84cm2
(2)16 5
【分析】（1）由题意得：四边形𝐸𝐹𝐺𝐻为正方形，𝐸𝐹= 𝐸𝐻= 𝐴1𝐵1 = 6 cm，接着求得𝐴1𝐸的长度，接着利
用4𝑆△𝑀𝐸𝐻+ 𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻求得答案；
（2）设𝐴1𝐵1的中点为𝑀，𝐸𝐹= 𝐸𝐻= 𝐴1𝐵1 = 𝑥 cm，那么𝐴1𝐸= 𝐷1𝐹= 10−𝑥，通过勾股定理表示出𝑀𝐸2，
利用二次函数的性质，求得𝑀𝐸的最小值，从而求得答案．
【详解】（1）解：由题意得：四边形𝐸𝐹𝐺𝐻为正方形，
设图形的面积用𝑆表示，依题意，𝐸𝐹= 𝐸𝐻= 𝐴1𝐵1 = 6 cm，
∵矩形𝐴𝐵𝐶𝐷和矩形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，周长均为40 cm，
∴𝐴1𝐵1 + 𝐴1𝐷1 = 20cm，
∴𝐴1𝐸= 𝐷1𝐹=
1
2(𝐴1𝐵1 + 𝐴1𝐷1−𝐴1𝐵1−𝐸𝐹) =
1
2(20−6−6) = 4(cm)，
∵图中剪去八个全等的小直角三角形，
∴𝑆星状图形= 4𝑆△𝑀𝐸𝐻+ 𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻= 4 ×
1
2 × 6 × 4 + 36 = 84(cm2)．
（2）解：设𝐴1𝐵1的中点为𝑀，𝐸𝐹= 𝐸𝐻= 𝐴1𝐵1 = 𝑥 cm，
∵矩形𝐴𝐵𝐶𝐷和矩形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，周长均为40 cm，
∴𝐴1𝐵1 + 𝐴1𝐷1 = 20cm，∠𝐵1𝐴1𝐸= 90°，
∴𝐴1𝐸= 𝐷1𝐹=
1
2(𝐴1𝐵1 + 𝐴1𝐷1−𝐴1𝐵1−𝐸𝐹) =
1
2(20−𝑥−𝑥) = 10−𝑥，
∴𝑀𝐸2 = 𝐴1𝐸2 +𝑀𝐴2
1 = (10−𝑥)2 +
1
2 𝑥
2
=
5
4𝑥2−20𝑥+ 100 =
5
4(𝑥−8)2 +20，
∵
5
4 > 0，
∴当𝑥= 8时，𝑀𝐸2最小= 20，
∴𝑀𝐸最小= 2 5，
∵图中剪去八个全等的小直角三角形，
∴星状图形的周长最小值= 8𝑀𝐸最小= 16 5．
【题型9 表格问题】
【例9】（25-26 九年级下·浙江杭州·期中）某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水
火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离𝑥米和飞行高度𝑦米的数据，记
录数据如下表：
照相机
频闪时
间𝑡/s
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
…
水平距
离𝑥米
0
5
10
15
20
25
30
…
飞行高
度𝑦米
0
4.5
8
10.5
12
12.5
12
…
(1)根据表格中的数据描点，连线，发现𝑦与𝑥近似地满足二次函数关系，请写出𝑦与𝑥之间的函数表达式；
(2)根据表格数据，可知水平距离𝑥与时间𝑡满足关系式𝑥= 10𝑡．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，
飞行高度不低于8 米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8 米的持续时间；
(3)乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度𝑦（米）与水平距离𝑥（米）
满足函数关系𝑦= −
1
100𝑥2 +
3
5𝑥，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？
【答案】(1)𝑦= −
1
50𝑥2 +𝑥
(2)持续时间3秒
(3)当水平距离为20 米时，最大高度差为4 米
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）令𝑦= 8，解出x 的值求解即可；
（3）设高度差为h，ℎ= −
1
50𝑥2 +𝑥−−
1
100 𝑥2 +
3
5 𝑥，根据二次函数的性质判断即可．
【详解】（1）解：设𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，将(0,0)、(10,8)、(20,12)代入，得
𝑐= 0
100𝑎+ 10𝑏+ 𝑐= 8
400𝑎+ 20𝑏+ 𝑐= 12
，
∴
𝑎= −
1
50
𝑏= 1
𝑐= 0
∴𝑦= −
1
50𝑥2 +𝑥；
（2）解：令𝑦= 8，8 = −
1
50𝑥2 +𝑥，
∴𝑥1 = 10，𝑥2 = 40，
将𝑥1 = 10，𝑥2 = 40代入得𝑥= 10𝑡，
得𝑡1 = 1，𝑡2 = 4，
∴持续时间4−1 = 3秒．
（3）解：设高度差为ℎ，
ℎ= −1
50 𝑥2 + 𝑥−−
1
100 𝑥2 +
3
5 𝑥
= −1
100 𝑥2 + 2
5 𝑥
= −
1
100(𝑥−20)2 +4，
∴当水平距离为20 米时，最大高度差为4 米．
【变式9-1】（24-25 九年级上·河南·阶段检测）暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，强盛体育用
品店开展乒乓球拍促销活动．
(1)据市场调研发现，强盛体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6、7、8 三个月的销售情
况如下表：
销售时间
6 月
7 月
8 月
销售量
500 副
𝑚
720 副
每月的月销售增长率相同，求表格中的𝑚值．
(2)强盛体育用品店乒乓球拍的进价为40 元/副，每天的销售量𝑦（副）与销售单价𝑥（元）之间的关系为
𝑦= −2𝑥+ 240(90 ≤𝑥≤110)，请问该体育用品店的销售单价定为多少元可使每天的销售利润最大？
【答案】(1)600
(2)90元
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意列出函数式子是解题的关键．
（1）设平均每月增长率为𝑥，根据6 月和8 月的增长情况列出方程求出增长率即可解答；
（2）设每天销售利润为𝑤元，根据利润= 每一件利润× 数量列出函数式子，再根据取值范围分析求解即可．
【详解】（1）解：设平均每月增长率为𝑥，
根据题意得：500(1 + 𝑥)2 = 720，
解得：𝑥1 = 0.2 = 20%或𝑥2 = −2.2（不合题意舍去），
∴𝑚= 500(1 + 20%) = 600 ；
（2）设每天销售利润为𝑤元，
根据题意得：𝑤= (𝑥−40)(−2𝑥+ 240) = −2(𝑥−80)2 +3200，
∵−2 < 0，抛物线开口向下，
∴当𝑥> 80时，𝑤随𝑥的增大而减小，
又∵90 ≤𝑥≤110，
∴当𝑥= 90时，𝑤取最大值，
答：销售单价定为90 元时，每天的销售利润最大．
【变式9-2】（2026·广东·二模）综合与实践
数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的距离与时间
的关系进行了深入探究．该兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一
步应用，请完成下列任务．
【实验过程】
如图1 所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从小球运动到𝑂点处开始，用相关仪器
测量并记录小球在水平木板上的运动时间𝑡（单位：s），运动距离𝑦（单位：cm）的数据．
【收集数据】
记录的相关数据如下：
运动时间
t/s
0
3
6
9
12
15
…
运动距离
y/cm
0
27.75
51
69.75
84
93.75
…
【建立模型】
根据表格中的数值在图2 的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图象发现，我们可以用二次函数近似
的表示y 与t 的函数关系．
(1)观察发现y 关于t 的二次函数图象经过原点，设y 与t 的函数关系式为 𝑦= 𝑎𝑡2 +𝑏𝑡(𝑎≠0)， 请求出该
关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)若小球运动到 𝑂点处的同时，在其右侧 40cm处的水平木板上有一辆电动小车，以4 cm/s的速度匀速向
右直线运动，请研究小球能否追上该电动小车，并说明理由．
【答案】(1)𝑦= −
1
4𝑡2 +10𝑡
(2)小球不能追上该电动小车，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法，选取表格中两组(𝑡,𝑦)数据代入𝑦= 𝑎𝑡2 +𝑏𝑡，解方程组即可求得𝑎,𝑏的值；
（2）分别表示出小球和电动小车的位置坐标，令两者位置相等，判断方程是否有实数解，若无实数解，则
说明两者位置不会重合，小球无法撞上小车．
【详解】（1）解：依题意， 𝑦= 𝑎𝑡2 +𝑏𝑡(𝑎≠0)，且函数图象过(3,27.75)、(6,51)两点， 代入得：
27.75 = 9𝑎+ 3𝑏
51 = 36𝑎+ 6𝑏
，
将第一个方程乘以2，得：55.5 = 18𝑎+ 6𝑏，与第二个方程相减：
(36𝑎+ 6𝑏)−(18𝑎+ 6𝑏) = 51−55.5，
18𝑎= −4.5，解得𝑎= −
1
4，
将𝑎= −
1
4代入27.75 = 9𝑎+ 3𝑏：
27.75 = 9 × −
1
4 +3𝑏，
27.75 = −2.25 + 3𝑏，
3𝑏= 30，
𝑏= 10，
因此，函数关系式为：
𝑦= −1
4 𝑡2 + 10𝑡．
（2）解：设经过𝑡秒后，小球与电动小车的位置分别为𝑦1、𝑦2，
小球的位置：𝑦1 = −
1
4𝑡2 +10𝑡，
电动小车的位置：初始在40 cm处，以4 cm/s向右运动，故𝑦2 = 40 + 4𝑡，
若小球追上小车，则𝑦1 = 𝑦2，
即：−
1
4𝑡2 +10𝑡= 40 + 4𝑡，
整理得：
1
4𝑡2−6𝑡+ 40 = 0，
两边乘以4：𝑡2−24𝑡+ 160 = 0，
计算判别式：
𝛥= (−24)2−4 × 1 × 160 = 576−640 = −64 < 0，
由于方程无实数解，说明小球与电动小车的位置永远不会重合，因此小球不能追上该电动小车．
【变式9-3】（2026·广东深圳·三模）综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究
【设计实验方案】
某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究．
设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A 点时启动刹车，从汽车到达A 点开始，用测速仪、
计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间𝑡(s)、瞬时速度𝑣(m s)、刹车路程𝑦(m)的数据．
【收集整理数据】
运动时
间𝑡(s)
0
4
8
12
16
20
…
瞬时速
度𝑣(
m s)
12
10
8
6
4
2
…
刹车路
0
44
80
108
128
140
…
程𝑦(m)
【数学建模探究】
(1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3 的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：
①v 与t 之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v 与t 的函数关
系式为________．
②y 与t 之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y 与t 之间的函
数关系式为________．
(2)【拓展与运用】
①若某段水平测试路面的长度为150m，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范
围？
②当新能源汽车到达水平路面A 点时，前方B 点处有另一辆电动车以3m s的速度在匀速向前直线运动，
若新能源汽车不能追尾电动车，那么𝐴𝐵的最小值是多少？
【答案】(1)解：描点、连线，图象如图所示：
①一次；𝑣= −
1
2𝑡+ 12；②二次；𝑦= −
1
4𝑡2 +12𝑡
(2)①不会超出该路面范围；②81m
【分析】（1）①描点、连线，观察图象，可以发现v 与t 之间的函数图象可以近似地看为一条直线，为一
次函数，由待定系数法求解即可；
②描点、连线，观察图象，可以发现y 与t 之间的函数图象可以近似地看为一条抛物线，为二次函数，由
待定系数法求解即可；
（2）①计算出新能源汽车行走的最大距离与150m比较大小即可；
②根据题意，刹车距离需要大于𝐴𝐵的距离加上以3m s的速度行驶的电车行驶的距离，结合二次函数的最
值求解即可．
【详解】（1）解：①v 与t 之间的关系可以近似地用一次函数表示，
设𝑣= 𝑘𝑡+ 𝑏(𝑘≠0)，
将点(0,12)与点(4,10)代入函数关系式中，
可得
12 = 𝑏
10 = 4𝑘+ 𝑏
，解得
𝑘= −1
2
12 = 𝑏
，
∴𝑣= −
1
2𝑡+ 12，
∴v 与t 的函数关系式为𝑣= −
1
2𝑡+ 12(0 ≤𝑡≤24)．
②y 与t 之间的关系可以近似地用二次函数，
设𝑦= 𝑎𝑡2 +𝑏𝑡+ 𝑐(𝑎≠0)，
将点(0,0)，点(4,44)，点(8,80)代入函数关系式中，
可得
0 = 𝑐
44 = 16𝑎+ 4𝑏+ 𝑐
80 = 64𝑎+ 8𝑏+ 𝑐
，解得
𝑎= −1
4
𝑏= 12
𝑐= 0
，
∴𝑦= −
1
4𝑡2 +12𝑡，
∴y 与t 之间的函数关系式为𝑦= −
1
4𝑡2 +12𝑡(0 ≤𝑡≤24)．
（2）解：①不会超出该路面范围，
∵当新能源汽车完全停车时𝑣= 0，
∴𝑣= −
1
2𝑡+ 12 = 0，即𝑡= 24s，
∴新能源汽车行走的最大距离为−
1
4 × 242 +12 × 24 = 144m，
∵144m < 150m，
∴不会超过路面范围；
②∵𝑦= −
1
4𝑡2 +12𝑡，设𝐴𝐵= 𝑑，
由题意，得：−
1
4𝑡2 +12𝑡≥𝑑+ 3𝑡，
∴𝑑≤−
1
4𝑡2 +9𝑡，
∴当𝑡= −
9
2× −
1
4
= 18时，d 最大为−
1
4 × 182 +9 × 18 = 81；
∴𝐴𝐵最小为81m．
【题型10 新情境问题】
【例10】（25-26 九年级上·山西忻州·期末）综合与实践
问题情境：科学探究实验小组阅读科普读物发现：竖直上抛的小球离地面的高度是它运动时间的二次函
数．周末，他们在保证安全的前提下，在综合实验楼前做了“从地面竖直向上发射小球”的实验；小球被发射
时的速度为定值．
实验数据：根据实验小组多次测量可得，小球离地面的高度ℎ(m)与小球运动的时间𝑡(s)的部分数据如下表：
𝑡s
0
1
2
6
ℎm
0
25
40
0
问题解决：
(1)求小球离地面的高度ℎ(m)与小球运动的时间𝑡(s)(0 ≤𝑡≤6)的函数解析式．
(2)求小球被发射后离地面的最大高度．
(3)小宇在实验楼十层的观察点观察小球运动，已知观察点离小球发射点的竖直高度为33.75m．小宇说：“两
次看到小球经过观察点的高度，并且这两次间隔的时间为3s．"请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】(1)ℎ= −5𝑡2 +30𝑡(0 ≤𝑡≤6)
(2)45m
(3)小宇的说法正确，理由见详解
【分析】本题考查了二次函数的表达式求解，二次函数的最值及一元二次方程的应用．
（1）由于h 是t 的二次函数，且𝑡= 0时，ℎ= 0，设二次函数为一般式，将表格中(1,25)，(2,40)代入，得
到二元一次方程组，解出a、b，即可得函数表达式；
（2）将二次函数一般式通过配方法转化为顶点式，从而得到顶点的纵坐标即为最大高度；
（3）小球经过观察点时，高度ℎ= 33.75，因此将ℎ= 33.75代入函数表达式，得到关于t 的一元二次方程，
求解方程得到t 的两个值，计算其差值，若差值为3，则小宇的说法正确．
【详解】（1）解：∵h 是t 的二次函数，且当𝑡= 0时，ℎ= 0，
∴设ℎ= 𝑎𝑡2 +𝑏𝑡(𝑎≠0)，
将(1,25)，(2,40)代入ℎ= 𝑎𝑡2 +𝑏𝑡中，
得
𝑎+ 𝑏= 25
4𝑎+ 2𝑏= 40
，解得
𝑎= −5
𝑏= 30
，
∴h 与t 的函数表达式为ℎ= −5𝑡2 +30𝑡(0 ≤𝑡≤6)．
（2）解：ℎ= −5𝑡2 +30𝑡= −5(𝑡−3)2 +45，
∵−5 < 0，
∴当𝑡= 3时，h 取得最大值，为45，
∴小球被发射后离地面的最大高度为45m．
（3）解：小宇的说法正确，
理由：当ℎ= 33.75时，−5𝑡2 +30𝑡= 33.75，
解得：𝑡1 = 1.5，𝑡2 = 4.5，
∵4.5−1.5 = 3，
∴小球两次经过观察点的高度，并且这两次间隔的时间为3s，
∴小宇的说法正确．
【变式10-1】（2026·山西太原·三模）综合与实践
问题情境：某游乐园想设计一款带喷泉的水上滑梯游乐设施，如图所示为设计示意图，𝐴𝐵为水上滑梯，滑
梯顶端𝐴点离地面4 米（即𝑂𝐴= 4米），水平长度𝑂𝐵= 10米，在滑梯上方设计喷泉，喷泉喷出的水柱呈抛
物线，为不淋湿游客，保证在滑梯两端𝐴，𝐵处喷泉离滑梯的距离为1.5米（即𝐴𝐶= 𝐵𝐹= 1.5米），如图所
示建立平面直角坐标系，喷泉最高点离𝑦轴3.5米．
(1)数学建模：请你结合已知安全间距与顶点位置条件，求出喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式．
(2)解决问题：根据施工要求喷泉落地处需要修建防水排水凹槽，防止积水漫延侵蚀滑梯地基．请求出喷泉
落地位置𝐷到滑梯立柱𝑂𝐴的水平距离，以此确定排水槽的位置．
(3)游乐园采购部门依据水柱与滑梯的最大间距选配喷泉出水压力（间距决定水压上限，间距过小需减小水
压防溅水），请写出全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离．
【答案】(1)水柱所在抛物线的表达式为𝑦= −
2
15𝑥2 +
14
15𝑥+
11
2
(2)喷泉落地位置D 到滑梯立柱OA 的水平距离为
7+ 214
2
米
(3)当𝑥= 5时，ℎ最大=
29
6
【分析】（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线𝑥= 3.5，𝐴(0,4)，得出抛物线与y 轴交点C 的坐标为(0,5.5
)，设抛物线的解析式为𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，然后利用待定系数法代入求解即可；
（2）当𝑦= 0时，求解方程，根据题意得出合适的解即可；
（3）设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑚，利用待定系数法得出𝑦= −
2
5𝑥+ 4，然后设喷泉水柱与滑梯滑道的
竖直距离为d，得出相应的函数关系式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线𝑥= 3.5，𝐴(0,4)，
∵𝐴𝐶= 1.5，
∴抛物线与y 轴交点C 的坐标为(0,5.5)，
∵𝐵(10,0),𝐵𝐹= 1.5，
∴抛物线经过点𝐹(10,1.5)；
设抛物线的解析式为𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，
将点𝐶(0,5.5)代入得𝑐= 5.5，
由对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎= 3.5得𝑏= −7𝑎，
将点𝐹(10,1.5)代入得100𝑎+ 10𝑏+ 𝑐= 1.5，
将𝑐= 5.5,𝑏= −7𝑎代入上式得：100𝑎+ 10 × (−7𝑎) + 5.5 = 1.5
解得𝑎= −
2
15，
∴𝑏= −7 × −
2
15 =
14
15，
∴喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式为𝑦= −
2
15𝑥2 +
14
15𝑥+ 5.5；
（2）解：当𝑦= 0时，−
2
15𝑥2 +
14
15𝑥+ 5.5 = 0，
整理得4𝑥2−28𝑥−165 = 0，
解得𝑥=
28± (−28)2−4×4×(−165)
2×4
=
28± 3424
8
=
28±4 214
8
=
7± 214
2
，
∵𝑥> 0且214 > 7
∴𝑥1 =
7+ 214
2
,𝑥2 =
7−214
2
(舍去)，
答：喷泉落地位置D 到滑梯立柱𝑂𝐴的水平距离为
7+ 214
2
米；
（3）解：设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑚，
将𝐴(0,4),𝐵(10,0)代入得：{
𝑚= 4
10𝑘+ 𝑚= 0
解得{
𝑘= −2
5
𝑚= 4 ，
∴直线𝐴𝐵的解析式为𝑦= −
2
5𝑥+ 4，
设喷泉水柱与滑梯滑道的竖直距离为d，则：
𝑑=
−
2
15 𝑥2 +
14
15 𝑥+ 5.5 −−
2
5 𝑥+ 4
= −2
15 𝑥2 + 14
15 𝑥+ 5.5 + 6
15 𝑥−4
= −2
15 𝑥2 + 4
3 𝑥+ 3
2
= −2
15 (𝑥−5)2 + 29
6
∵−
2
15 < 0，
∴当𝑥= 5时，d 有最大值，最大值为
29
6
答：全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离为
29
6 米．
【变式10-2】（2026·广东深圳·一模）【生活情境】
为美化校园环境，学校根据地形情况，要对景观带中一个长𝐴𝐷= 𝑛(m)，宽𝐴𝐵= 1m的矩形水池𝐴𝐵𝐶𝐷进行
加长改造（如图1，改造后的水池𝐴𝐵𝑁𝑀仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩
形水池𝐸𝐹𝐺𝐻（如图2，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池1 的边𝐴𝐷加长长度𝐷𝑀为𝑥（m）（𝑥> 0），加长后水池1 的总面积为𝑦1（m2），设水池2 的
边𝐸𝐹的长为𝑥（m）（0 < 𝑥< 6），面积为𝑦2（m2）．
【问题解决】
(1)当𝐴𝐷= 4m时，则𝑦1关于𝑥的函数关系式为______，𝑦2关于𝑥的函数关系式为______；
(2)在（1）的条件下，函数𝑦1、𝑦2在同一平面直角坐标系中的图象如图3，𝑦1与𝑦2相交于𝐶、𝐸两点，在1 < 𝑥< 4
范围内，求两个水池面积差的最大值和此时𝑥的值；
(3)当水池1 与水池2 的面积相差2 时，𝑥(m)有唯一值，求𝑛的值．
【答案】(1)𝑦1 = 𝑥+ 4(𝑥> 0)，𝑦2 = −𝑥2 +6𝑥(0 < 𝑥< 6)
(2)当𝑥=
5
2时，面积差的最大值为
9
4
(3)
33
4
【分析】（1）根据题意表示出𝐴𝑀，𝐹𝐺，然后利用矩形面积公式分别求解即可；
（2）根据二次函数性质，求出最值即可；
（3）根据面积相差2 列出方程，由𝑥(m)都有唯一值，Δ = 0求解即可．
【详解】（1）解：当𝐴𝐷= 4m时，𝐴𝑀= 𝐴𝐷+ 𝐷𝑀= 4 + 𝑥
∴𝑦1 = 𝐴𝐵⋅𝐴𝑀= 1 × (𝑥+ 4) = 𝑥+ 4(𝑥> 0)；
∵𝐸𝐹= 𝑥
∴𝐻𝐺= 𝐸𝐹= 𝑥
∴𝐸𝐻= 𝐹𝐺=
1
2(12−2𝑥) = 6−𝑥
∴𝑦2 = 𝐸𝐹⋅𝐹𝐺= 𝑥(6−𝑥) = −𝑥2 +6𝑥(0 < 𝑥< 6)；
（2）解：由图象得，在1 < 𝑥< 4范围内，𝑦2 > 𝑦1，
∴两个水池面积差𝑦2−𝑦1 = −𝑥2 +6𝑥−(𝑥+ 4) = −𝑥2 +5𝑥−4 = −𝑥−
5
2
2
+
9
4，
∵ −1 < 0，抛物线开口向下，
∴函数有最大值，
∵ 1 < 𝑥< 4，
∴当𝑥=
5
2时，函数有最大值
9
4，
答：当𝑥=
5
2时，面积差的最大值为
9
4；
（3）解：∵水池1 与水池2 的面积相差为2，𝑦2 = −𝑥2 +6𝑥(0 < 𝑥< 6)，𝑦1 = 𝑥+ 𝑛(𝑥> 0)
∴ 𝑥+ 𝑛−(−𝑥2 + 6𝑥) = 2或−𝑥2 +6𝑥−(𝑥+ 𝑛) = 2，
整理得，𝑥2−5𝑥+ 𝑛−2 = 0或𝑥2−5𝑥+ 𝑛+ 2 = 0，
∵ 𝑥(m)有唯一值，
∴上述两个方程中，必有一个方程方程有两个相等的实数根，另一个方程无实数根，
若𝑥2−5𝑥+ 𝑛−2 = 0有两个相等的实数根，
则Δ = (−5)2−4 × (𝑛−2) = 0，
解得𝑛=
33
4 ，
此时方程𝑥2−5𝑥+ 𝑛+ 2 = 0的判别式为Δ = (−5)2−4 × (𝑛+ 2) = −24 < 0，无实数根，符合题意；
若𝑥2−5𝑥+ 𝑛+ 2 = 0有两个相等的实数根，
则Δ = (−5)2−4 × (𝑛+ 2) = 0，
解得𝑛=
17
4 ，
此时方程𝑥2−5𝑥+ 𝑛−2 = 0的判别式为Δ = (−5)2−4 × (𝑛−2) = 16 > 0，有两个实数根，此时𝑥共有三个值，
不符合题意，舍去，
综上，𝑛=
33
4 ．
【变式10-3】（25-26 九年级上·山西长治·期末）综合与实践
问题情境：图1 是某个仓库，图2 是棱长为1 米的立方体仓储品，图3 是仓库横截面的示意图，已知墙体
𝑂𝐴= 2.6，𝐵𝐶= 5米，水平距离𝑂𝐶= 12米，仓库顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角
坐标系，它可以近似的用函数𝑦= −
1
15𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐表示．
问题解决：
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)将四件一样的图2 中的仓储品按如图3 所示的方式叠放在𝑀𝑁处，𝑂𝑀= 2.4米，𝑀𝑁= 1米．当叉车要搬
运货物时，需要将其向上抬升0.1 米．若利用叉车将仓储品沿x 轴正方向移动了0.6 米，求此时仓储品货物
顶端离仓库顶部的最小距离．（该距离包括搬运货物抬升的高度）
(3)如图4，在仓库中沿着x 轴的正方向摆放4 处图2 中的立方体仓储品，每处立方体仓储品按问题（2）中
的方式用叉车将货物抬升0.1 米来搬运并叠放，叠放数量不同，其中𝑂𝐸= 1.5米，𝐶𝐿= 0.5米，
𝐹𝐺= 𝐻𝐼= 𝐽𝐾，则叠放最多的一处可叠放______个立方体仓储品．
【答案】(1)𝑦= −
1
15𝑥2 +𝑥+ 2.6
(2)0.9 米
(3)6
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．
（1）根据题意写出A，B 点的坐标，代入解析式求出b，c 的值即可；
（2）将仓储品沿x 轴正方向移动0.6 米后，𝑥= 2.4 + 0.6 = 3，得抛物线的对称轴为直线𝑥= 7.5，货物始终
在对称轴的左侧，得出当𝑥= 3时，货物顶端离仓库顶部的距离最小，将𝑥= 3代入解析式求得对应的𝑦值，
再计算出货物的高度，两者相减即可得出答案；
（3）根据二次函数的性质得出𝐼𝐽处可叠放的立方体仓储品最多，𝑂𝐽= 8.5米，将𝑥= 8.5代入𝑦= −
1
15(𝑥−7.5)2
+6.35计算出对应的y 值，进而可得出𝐼𝐽处可叠放的立方体仓储品个数．
【详解】（1）解：由题意，可知点𝐴(0,2.6)，𝐵(12,5)在𝑦= −
1
15𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐上，
∴
𝑐= 2.6
−1
15 × 122 + 12𝑏+ 𝑐= 5
，
解得
𝑏= 1
𝑐= 2.6
，
∴抛物线的函数表达式为𝑦= −
1
15𝑥2 +𝑥+ 2.6；
（2）解：将仓储品沿x 轴正方向移动0.6 米后，𝑥= 2.4 + 0.6 = 3，
由题意，得抛物线的对称轴为直线𝑥= 7.5，
∴货物始终在对称轴的左侧，
∴当𝑥= 3时，货物顶端离仓库顶部的距离最小，
将𝑥= 3代入𝑦= −
1
15𝑥2 +𝑥+ 2.6中，
得𝑦= −
1
15 × 32 +3 + 2.6 = 5（米），
此时仓储品货物顶端距离地面的高度为1 × 4 + 0.1 = 4.1（米），
∴仓储品货物顶端离仓库顶部的最小距离为5−4.1 = 0.9（米）；
（3）解：∵𝑦= −
1
15𝑥2 +𝑥+ 2.6 = −
1
15(𝑥−7.5)2 +6.35，
∴抛物线的对称轴为直线𝑥= 7.5，
∵𝑂𝐸= 1.5米，𝐸𝐹= 1米，
∴𝑂𝐹= 2.5米，
同理，𝐶𝐾= 1.5米，
∴𝐹𝐾= 𝑂𝐶−𝑂𝐹−𝐶𝐾= 12−2.5−1.5 = 8（米），
∵𝐹𝐺= 𝐻𝐼= 𝐽𝐾，𝐺𝐻= 𝐼𝐽= 1米，
∴𝐹𝐺= 𝐻𝐼= 𝐽𝐾= 2米，
∴𝑂𝐺= 4.5米，𝑂𝐽= 8.5米，
∵7.5−4.5 > 8.5−7.5，
∴𝐼𝐽处可叠放的立方体仓储品最多，
将𝑥= 8.5代入𝑦= −
1
15(𝑥−7.5)2 +6.35，
得𝑦≈6.28，
6.28−0.1 = 6.18，
即叠放最多的𝐼𝐽处可叠放6 个立方体仓储品．
故答案为：6．
【题型11 实物抽象出二次函数模型】
【例11】（2026·安徽合肥·三模）综合与实践
问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
实验数据：如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线𝐿1，中间的矩形𝐴𝐵𝐶𝐷和下方的抛物
线𝐿2组成．抛物线𝐿1的高度为8cm，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵= 8cm,𝐵𝐶= 6cm，抛物线𝐿2的高度为4cm．在装置
内部安装矩形电子显示屏𝐸𝐹𝐺𝐻，点𝐸,𝐹在抛物线𝐿2上，点𝐻，𝐺在抛物线𝐿1上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴为原点，以𝐴𝐵边所在的直线为𝑥轴，以𝐴𝐷边所在的直线为𝑦轴，建立平
面直角坐标系．请结合实验数据，完成以下任务：
(1)分别求出抛物线𝐿1和𝐿2的函数表达式；
(2)为满足矩形电子显示屏𝐸𝐹𝐺𝐻的空间要求，当高度𝐸𝐻的长为12cm，求此时宽度𝐸𝐹的长．
(3)若要求电子显示屏𝐸𝐹的宽度不小于4cm，问：它的高度𝐸𝐻的最大高度是多少？
【答案】(1)𝐿1的表达式为𝑦= −
1
2(𝑥−4)2 +14；𝐿2的表达式为𝑦=
1
4(𝑥−4)2−4
(2)𝐸𝐹= 4 2cm
(3)15cm
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）由题意可设𝐸𝑡,
1
4 (𝑡−4)2−4 ，则𝐻𝑡,−
1
2 (𝑡−4)2 + 14 ，根据对称轴为直线𝑥= 4，则𝐹的横坐标为
8−𝑡，得出𝐸𝐹= 8−2𝑡，𝐸𝐻= −
3
4(𝑡−4)2 +18，根据𝐸𝐻= 12列出方程，解方程，即可求解；
（3）由（2）可得𝐸𝐹= 8−2𝑡，根据题意得出𝑡≤2，𝐸𝐻= −
3
4(𝑡−4)2 +18，根据二次函数的性质，即可求
解．
【详解】（1）解：由题意得，𝐷(0,6)，𝐴(0,0)，𝐶(8,6)，𝐵(8,0)
由对称性可得，抛物线𝐿1的顶点为(4,6 + 8)，即(4,14)，
设𝐿1表达式为：𝑦= 𝑎(𝑥−4)2 +14，
代入𝐷(0,6)得，𝑎(0−4)2 +14 = 6，
解得𝑎= −
1
2
∴抛物线𝐿1的表达式为𝑦= −
1
2(𝑥−4)2 +14；
由对称性可得，抛物线𝐿2的顶点为(4,−4)，
设𝐿2表达式为：𝑦= 𝑎(𝑥−4)2−4，
代入𝐴(0,0)得，𝑎(0−4)2−4 = 0，
解得𝑎=
1
4
∴抛物线𝐿2的表达式为𝑦=
1
4(𝑥−4)2−4；
（2）解：抛物线𝐿1：𝑦= −
1
2(𝑥−4)2 +14；抛物线𝐿2：𝑦=
1
4(𝑥−4)2−4
由题意可设𝐸𝑡,
1
4 (𝑡−4)2−4 ，则𝐻𝑡,−
1
2 (𝑡−4)2 + 14 ，
∵对称轴为直线𝑥= 4，则𝐹的横坐标为8−𝑡
∴𝐸𝐹= 8−2𝑡，
∴𝐸𝐻= −
1
2(𝑡−4)2 +14−
1
4 (𝑡−4)2−4
= −3
4 (𝑡−4)2 + 18
当𝐸𝐻= 12时
−3
4 (𝑡−4)2 + 18 = 12
解得𝑡= 4−2 2或𝑡= 4 + 2 2（舍去）
∴𝐸𝐹= 8−2𝑡= 8−2(4−2 2) = 4 2cm，
（3）解：由（2）可得𝐸𝐹= 8−2𝑡
∵𝐸𝐹≥4，即8−2𝑡≥4
解得：𝑡≤2
∵𝐸𝐻= −
3
4(𝑡−4)2 +18，−
3
4 < 0，当𝑡< 4时，𝐸𝐻随𝑡的增大而增大，
∴当𝑡= 2时，𝐸𝐻的最大值为：−
3
4(2−4)2 +18 = −3 + 18 = 15cm
【变式11-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）图1 为某景区大门，其截面示意图如图2 所示，顶部外轮廓L 及
下方门洞𝐿′均呈抛物线型（厚度不计），大门宽度𝑂𝐴= 12m，其中𝐴𝐵、𝑂𝐶为两段垂直于水平地面𝑂𝐴的墙
体，且𝑂𝐶= 𝐴𝐵，点B、C 均在抛物线L、𝐿′上，分别以𝑂𝐴、𝑂𝐶所在直线为x 轴、y 轴建立图2 所示的平面
直角坐标系，已知抛物线L 的函数表达式为𝑦= −
1
9(𝑥−ℎ)2 +8（h 为常数），抛物线L、𝐿′的最高点在同一
竖直直线上，且它们的最高点之间的距离为2m．
(1)求𝐴𝐵的长及抛物线𝐿′的函数表达式；
(2)𝐸𝐹、𝑀𝑁为两条抛物线之间的连接支柱，两根支柱均与地面𝑂𝐴垂直，点F、N 均在抛物线L 上，点E、M
均在抛物线𝐿′上，已知支柱的长度𝐸𝐹= 𝑀𝑁=
3
2m，求这两根支柱之间的水平距离．（墙体、支柱的宽度均
忽略不计）
【答案】(1)𝐴𝐵的长为4m，𝐿′的函数表达式为𝑦= −
1
18(𝑥−6)2 +6
(2)两根支柱水平距离为6m
【分析】（1）根据𝐶、𝐵都在抛物线𝐿上且𝑂𝐶= 𝐴𝐵，𝑂𝐴= 12m，得出抛物线𝐿的对称轴为𝑥= ℎ=
0+12
2
= 6，即可得出抛物线𝐿的表达式，再令𝑥= 0，求出𝐴𝐵= 4m，根据𝐿′与𝐿最高点在同一条竖直线上，且最
高点距离为2m，求出𝐿′的顶点坐标为(6,6)，即可求解；
（2）设支柱的横坐标为𝑥，根据支柱的长度𝐸𝐹= 𝑀𝑁=
3
2m，点F、N 均在抛物线L 上，点E、M 均在抛物
线𝐿′上，支柱长度为上方抛物线𝐿的纵坐标减去下方抛物线𝐿′的纵坐标，得出𝑦𝐿−𝑦𝐿′ =
3
2，解方程求出两根
支柱的横坐标，即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线𝐿的顶点式为𝑦= −
1
9(𝑥−ℎ)2 +8，
由题意：𝐶、𝐵都在抛物线𝐿上且𝑂𝐶= 𝐴𝐵，即两点纵坐标相等，
∵𝑂𝐴= 12m，
∴抛物线𝐿的对称轴为𝑥= ℎ=
0+12
2
= 6，
∴抛物线𝐿的表达式为：𝑦= −
1
9(𝑥−6)2 +8，
将𝑥= 0代入，得：𝑦= −
1
9 × (−6)2 +8 = 4，
∴𝐴𝐵= 4m，
由题意，𝐿′与𝐿最高点在同一条竖直线上，即𝐿′对称轴也为𝑥= 6，且最高点距离为2m，
∴𝐿′的顶点坐标为(6,6)，
设𝐿′的表达式为𝑦= 𝑎(𝑥−6)2 +6，
将𝐶(0,4)代入得：4 = 𝑎(0−6)2 +6，解得：𝑎= −
1
18，
∴抛物线𝐿′的表达式为：𝑦= −
1
18(𝑥−6)2 +6（或整理为𝑦= −
1
18𝑥2 +
2
3𝑥+ 4）；
（2）解：设支柱的横坐标为𝑥，
∵支柱的长度𝐸𝐹= 𝑀𝑁=
3
2m，点F、N 均在抛物线L 上，点E、M 均在抛物线𝐿′上，
支柱长度为上方抛物线𝐿的纵坐标减去下方抛物线𝐿′的纵坐标，
∴𝑦𝐿−𝑦𝐿′ =
3
2，
∴[−
1
9(𝑥−6)2 +8]−[−
1
18(𝑥−6)2 +6] =
3
2，
化简得： −
1
18(𝑥−6)2 +2 =
3
2，
解得：𝑥1 = 3，𝑥2 = 9，即两根支柱的横坐标分别为3和9，
∴两根支柱的水平距离为：9−3 = 6m．
【变式11-2】（2026·山东济南·模拟预测）综合与实践
【问题情境】
厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合．某款锅的纵截面轮廓近似为两条
抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用与安全设计．
【素材一】
以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为𝑥轴，锅的竖直对称轴为𝑦轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛
物线𝐶1，开口向上，锅身的最低点离锅口是10 cm，锅口水平跨度为24 cm；锅盖曲线为抛物线𝐶2，可由基
础抛物线𝑦= −
1
36𝑥2上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口．
【素材二】
锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为𝑦=
1
6𝑥+ 50(−12 ≤𝑥≤12)．
【任务一】
如图1，建立基础模型
(1)求抛物线𝐶1
(2)初始状态下𝐶2的函数表达式为_______________________．
【任务二】
如图2，调整锅盖位置
在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高5.25 cm的蒸笼（支架纵截面为矩形），
需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼．
(3)平移后抛物线的函数表达式为_______________________．
【任务三】
安全空间评估
(4)在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图3，点𝑃是锅盖上任意一点，𝑃𝑄平行于𝑦轴交进风口于点𝑄，求线
段𝑃𝑄的最小值；若𝑃𝑄大于35 cm才能保证安全，根据计算结果，判断该距离是否满足安全要求？
【答案】(1)𝑦=
5
72𝑥2−10
(2)𝑦= −
1
36𝑥2 +4
(3)𝑦= −
1
36𝑥2 +9.25
(4)解：设𝑃𝑚,−
1
36 𝑚2 + 9.25 ,𝑄𝑚,
1
6 𝑚+ 50 ，
则𝑃𝑄=
1
6 𝑚+ 50 −−
1
36 𝑚2 + 9.25 =
1
36𝑚2 +
1
6𝑚+
163
4 ，
∴𝑃𝑄是m 的二次函数，
∵𝑎=
1
36 > 0，
∴开口向上，
∵对称轴为直线𝑚= −
1
6
2×
1
36
= −3,−12 ≤𝑚≤12，
∴当𝑚= −3时，𝑃𝑄min =
1
36 × (−3)2 +
1
6 × (−3) +
163
4 = 40.5，
∵40.5 > 35，
∴该距离满足安全要求．
【分析】（1）先求出顶点坐标，设顶点式，利用待定系数法求解；
（2）设初始状态下抛物线𝐶2的解析式为𝑦= −
1
36𝑥2 +𝑘，将B 点坐标代入即可求解；
（3）在锅口上放上高5.25 cm的蒸笼时，抛物线向上平移5.25 cm，由此可解；
（4）设出P，M 坐标，列出𝑃𝑄关于m 的二次函数，结合m 的取值范围求出𝑃𝑄min，即可判断．
【详解】（1）解：由题意知𝑂𝐶= 10cm，𝐴𝐵= 24cm，𝑂𝐵=
1
2𝐴𝐵= 12cm，
∴ 𝐶(0,−10)，𝐵(12,0)，
∵ 𝐶(0,−10)为抛物线𝐶1的顶点，
∴设抛物线𝐶1的解析式为𝑦= 𝑎𝑥2−10，
将𝐵(12,0)代入，得：0 = 122 ⋅𝑎−10，
解得𝑎=
5
72，
∴抛物线𝐶1的解析式为𝑦=
5
72𝑥2−10；
（2）解：∵抛物线𝐶2可由基础抛物线𝑦= −
1
36𝑥2上下平移得到，
∴设初始状态下抛物线𝐶2的解析式为𝑦= −
1
36𝑥2 +𝑘，
将𝐵(12,0)代入，得：0 = −
1
36 × 122 +𝑘，
解得𝑘= 4，
∴初始状态下𝐶2的函数表达式为𝑦= −
1
36𝑥2 +4；
（3）解：由题意知，平移后抛物线的函数表达式为：𝑦= −
1
36𝑥2 +4 + 5.25 = −
1
36𝑥2 +9.25．
【变式11-3】（2026·河南驻马店·三模）转枝是果树栽培中的核心技术之一，目的是调整枝条生长方向、抑
制顶端优势、促进花芽分化、平衡树势．某果农在进行枝条牵引定形时，将枝条弯成抛物线形状作为支撑
骨架（如图1），以垂直于地面的果树主干𝑂𝐷为𝑦轴，水平地面为𝑥轴建立平面直角坐标系如图2 所示．枝
条上的点𝐵，𝑀，𝐷在抛物线形骨架上，点𝐵到主干𝑂𝐷的水平距离为4m，点𝑃在枝条抛物线形骨架的外端处，
主干𝑂𝐷的高度为3m，已知抛物线形枝条的最高点到𝑂𝐷的水平距离为2m，离地面的高度为3.5m．
(1)设抛物线形枝条上某处离地面的高度为𝑦(m)，该处到主干𝑂𝐷的水平距离为𝑥(m)，求𝑦与𝑥之间的函数解
析式．
(2)若枝条外端𝑃到主干𝑂𝐷的水平距离（即枝条牵引深度）为4.6m，求点𝑃离地面的高度．
(3)为保证枝条弯枝之后不至于断枝（当𝑀𝑁的长度超过1.3m时枝条会被折断），需测量安全监测距离𝑀𝑁（𝑀𝑁
为枝条上某点到牵引绳𝐴𝐵的铅锤距离）．已知点𝐷，𝐴间的距离为1m，试判断该枝条会不会被折断，并说
明理由．
【答案】(1)𝑦= −
1
8𝑥2 +
1
2𝑥+ 3(𝑥≥0)
(2)点𝑃离地面的高度为2.655m
(3)该枝条不会被折断，理由如下：
∵𝐷(0,3)，𝐷𝐴= 1m，
∴𝐴(0,2)，
∵点𝐵到主干𝑂𝐷的水平距离为4m，
∴𝑦= −
1
8(4−2)2 +3.5 = 3，
∴𝐵(4,3)，
设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
把𝐴(0,2)，𝐵(4,3)代入得：
𝑏= 2
4𝑘+ 𝑏= 3
，
解得
𝑘= 1
4
𝑏= 2
，
∴直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=
1
4𝑥+ 2，
设𝑀𝑥,−
1
8 𝑥2 +
1
2 𝑥+ 3 ，则𝑁𝑥,
1
4 𝑥+ 2 ，
∴𝑀𝑁= −
1
8 𝑥2 +
1
2 𝑥+ 3 −
1
4 𝑥+ 2 = −
1
8𝑥2 +
1
4𝑥+ 1，
这是一个开口向下的二次函数，顶点在𝑥= −
𝑏
2𝑎= −
1
4
2× −
1
8
= 1处，
代入𝑥= 1得：𝑀𝑁的最大值为= −
1
8 × 12 +
1
4 × 1 + 1 =
9
8 = 1.125m，
∵1.125 < 1.3，
∴该枝条不会被折断．
【分析】（1）根据题意得抛物线顶点的坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）把𝑥= 4.6代入（1）中所求的解析式，求出点P 的纵坐标，即可判断．
（3）运用待定系数法求出直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=
1
4𝑥+ 2，设𝑀𝑥,−
1
8 𝑥2 +
1
2 𝑥+ 3 ，则𝑁𝑥,
1
4 𝑥+ 2 ，则
𝑀𝑁= −
1
8𝑥2 +
1
4𝑥+ 1，求出𝑀𝑁的最大值即可．
【详解】（1）解：根据题意得抛物线的顶点坐标为(2,3.5)，
设抛物线的解析式为𝑦= 𝑎(𝑥−2)2 +3.5，
由题意得，点𝐷(0,3)在抛物线上，代入得：3 = 𝑎(0−2)2 +3.5，
解得：𝑎= −
1
8，
所以，抛物线的解析式为𝑦= −
1
8(𝑥−2)2 +3.5，即：𝑦= −
1
8𝑥2 +
1
2𝑥+ 3(𝑥≥0)；
（2）解：∵枝条外端𝑃到主干𝑂𝐷的水平距离（即枝条牵引深度）为4.6m，
∴𝑥= 4.6，
∴𝑦= −
1
8(4.6−2)2 +3.5
= −1
8 × 2.62 + 3.5
= −6.76
8
+ 3.5
= −0.845 + 3.5
= 2.655m，
∴点𝑃离地面的高度为2.655m；
（3）略
