专题26.2 二次函数的图象和性质（基础篇）（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 画二次函数y =ax2的图象】...................................................................................................................2
【题型2 二次函数y =ax2的开口方向、对称轴、顶点】...................................................................................7
【题型3 二次函数y =ax2的增减性】...................................................................................................................9
【题型4 画二次函数y =ax2 +k的图象】...........................................................................................................12
【题型5 判断二次函数y =ax2 +k的图象及性质】...........................................................................................17
【题型6 由二次函数y =ax2 +k的性质求参数】...............................................................................................19
【题型7 二次函数y =a(x−h)2的图象】.............................................................................................................21
【题型8 二次函数y =a(x−h)2的性质】.............................................................................................................24
【题型9 二次函数y =a(x−h)2图象上点的坐标特征】.....................................................................................26
【题型10 二次函数y =a(x−h)2 +k的图象】.......................................................................................................28
【题型11 二次函数y =a(x−h)2 +k的性质】.......................................................................................................31
【题型12 二次函数y =a(x−h)2 +k图象上点的坐特征】...................................................................................34
知识点1 二次函数y＝ax2 的图象和性质
1．二次函数y＝ax2 的图象是一条开口向上或向下的抛物线．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象叫做
抛物线y＝ax2＋bx＋c.
2．一般地，抛物线y＝ax2 的对称轴是y 轴，顶点是(0，0)．当a＞0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线
的最低点，|a|越大，抛物线的开口越小；在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x
的增大而增大．当a＜0 时，抛物线的开口向_下，顶点是抛物线的最高点，|a|越大，抛物线的开口越小；在
对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．
知识点2 二次函数 y＝ax2（a≠0）的图象的画法
（1）列表：以𝑥= 0为中心，对称选取x 值，求出对应的函数值．
（2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
考点1
二次函数y＝ax2 的图象和性质
题型归纳
（4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在
顶点的两侧各取2~4 个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各
个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法
画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧．
【题型1 画二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐的图象】
【例1】（25-26 九年级上·甘肃武威·阶段检测）在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数𝑦= 2𝑥2
和𝑦= −
1
2𝑥2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)：
(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2)抛物线𝑦= 2𝑥2，当𝑥______时，抛物线上的点都在𝑥轴的上方，它的顶点是图象的最______点；
(3)函数𝑦= −
1
2𝑥2，对于一切𝑥的值，总有函数𝑦______0；当𝑥______时，𝑦有最______值是______．
【答案】(1)图见解析；二次函数𝑦= 2𝑥2的图象开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,0)；二次函数
𝑦= −
1
2𝑥2的图象开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,0)．
(2) ≠，低．
(3) ≤，= ，大，0．
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键．
（1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）根据函数𝑦= 2𝑥2的图象解答即可；
（3）根据函数𝑦= −
1
2𝑥2的图象解答即可．
【详解】（1）解：图象如图：
由图可得：二次函数𝑦= 2𝑥2的图象开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,0)；二次函数𝑦= −
1
2𝑥2的图象
开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,0)．
（2）解：抛物线𝑦= 2𝑥2，当𝑥≠0时，抛物线上的点都在𝑥轴的上方，它的顶点是图象的最低点(0,0)．
故答案为：≠，低．
（3）解：函数𝑦= −
1
2𝑥2，对于一切𝑥的值，总有函数𝑦≤0；当𝑥= 0时，𝑦有最大值是0．
故答案为：≤，= ，大，0．
【变式1-1】（25-26 九年级上·北京·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象．
（1）𝑦=
1
2𝑥2；
（2）𝑦= −
1
2𝑥2；
（3）𝑦= −𝑥2．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了画二次函数图象，利用描点法画出这三个函数的图象即可，掌握知识点的应用是解题
的关键．
【详解】解：列表，
𝑥
⋯
−2
−1
0
1
2
⋯
𝑦= 1
2 𝑥2
⋯
2
1
2
0
1
2
2
⋯
𝑦= −1
2𝑥2
⋯
−2
−
1
2
0
−
1
2
−2
⋯
𝑦= −𝑥2
⋯
−4
−1
0
−1
−4
⋯
描点，连线画出函数图象如下：
．
【变式1-2】 （25-26 九年级上·浙江·课后作业）如图为二次函数𝑦= 𝑥2的图象，请在同一坐标系中画出二
次函数𝑦= 2𝑥2和𝑦=
1
2𝑥2的图象，并回答下列问题．
x
…
−2
−1
0
1
2
…
𝑦= 𝑥2
…
4
1
0
1
4
…
𝑦= 2𝑥2
…
…
𝑦= 1
2 𝑥2
…
…
(1)二次函数𝑦= 2𝑥2和𝑦=
1
2𝑥2图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y
随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ．当x＝ 时，y 有最 值为 ．
(2)如果𝑎> 0，a 越大，即|𝑎|越大．抛物线𝑦= 𝑎𝑥2的开口越 （填“大”或“小”）．
【答案】(1)抛物线，上，y 轴，(0,0)，减小，增大，0，小，0；
(2)小
【分析】本题结合图象考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性
与最值的问题．
先列表，描点、连线作出函数的图象．
（1）根据画出的函数图象并结合其性质即可求解；
（2）根据图象即可得到结论．
【详解】（1）列表：
x
…
−2
−1
0
1
2
…
𝑦= 𝑥2
…
4
1
0
1
4
…
𝑦= 2𝑥2
…
8
2
0
2
8
…
𝑦= 1
2 𝑥2
…
2
1
2
0
1
2
2
…
描点、连线画出函数的图象如图：
二次函数𝑦= 2𝑥2和𝑦=
1
2𝑥2图象的形状是抛物线．开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0,0)．在对称轴的
左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大．当𝑥= 0时，y 有最小值为0．
（2）解：由图象可知，如果𝑎> 0，a 越大，即|𝑎|越大．抛物线𝑦= 𝑎𝑥2的开口越小．
【变式1-3】（2025 九年级·全国·专题练习）已知圆柱的高为
1
3，底面半径为𝑟，体积为𝑉（π取3）．
(1)𝑉与𝑟之间的函数关系式为______，并在图中画出图象．
(2)根据图象，当𝑟= 1时，圆柱的体积为______．
(3)根据图象，求出当𝑟为何值时，𝑉≥4．
【答案】(1)
𝑉= 1
3 𝜋𝑟2 ≈𝑟2(𝑟> 0)
(2)1
(3)当𝑟≥2时，𝑉≥4
【分析】（1）由圆柱体积公式直接可得；
（2）将𝑟= 1代入（1）中公式即可；
（3）观察图像可知，在第一象限内𝑉随𝑟的增大而增大，当𝑟≥2时，𝑉≥4．
【详解】（1）解：由圆柱的体积公式可得，
𝑉= 1
3 𝜋𝑟2 ≈𝑟2(𝑟> 0)
画图如下：
（2）解：将𝑟= 1代入（1）中公式可得，
𝑉= 1
3 × 3 × 12 = 1
故答案为：1．
（3）解：由图像可知，当𝑟= 2时，𝑉= 4，在第一象限内𝑉随𝑟的增大而增大，
∴当𝑟≥2时，𝑉≥4．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解
答．
【题型2 二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐的开口方向、对称轴、顶点】
【例2】（25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线𝑦= 𝑥2的顶点坐标是（ ）
A．（1，0）
B．（0，1）
C．（0，0）
D．（1，1）
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键；
利用二次函数𝑦= 𝑎𝑥2的顶点坐标特征即可求解．
【详解】解：∵二次函数的形式为𝑦= 𝑎𝑥2时，其顶点坐标为(0,0)，
又∵抛物线𝑦= 𝑥2符合𝑦= 𝑎𝑥2（𝑎= 1）的形式，
∴抛物线𝑦= 𝑥2的顶点坐标是(0,0)，
故选：C．
【变式2-1】（25-26 九年级上·湖北武汉·期末）关于函数𝑦= −3𝑥2与𝑦=
1
2𝑥2的图象的共同点，下列说法正
确的是（ ）
A．开口向上
B．都有最低点
C．𝑦随𝑥增大而增大
D．对称轴是𝑦轴
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数𝑦= 𝑎𝑥2的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、最值、增减性与
系数𝑎的关系，以及对称轴的判定方法是解题的关键．先分别分析两个二次函数的开口方向、最值点、增减
性和对称轴，再对比各选项找出它们的共同点．
【详解】∵函数𝑦= −3𝑥2的𝑎= −3 < 0，开口向下，有最高点，当𝑥< 0时𝑦随𝑥增大而增大，当𝑥> 0时𝑦随𝑥
增大而减小；
函数𝑦=
1
2𝑥2的𝑎=
1
2 > 0，开口向上，有最低点，当𝑥< 0时𝑦随𝑥增大而减小，当𝑥> 0时𝑦随𝑥增大而增大；
∴A、B、C 均不是共同点；
∵两个函数均为𝑦= 𝑎𝑥2形式，
∴对称轴都是𝑦轴，故D 正确.
故选：D．
【变式2-2】（25-26 九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空：
（1）抛物线𝑦= 3𝑥2的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x 轴
的上方；
（2）抛物线𝑦= −
1
3𝑥2的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x 轴的________方，它的顶点是抛
物线上的最________点．
【答案】
𝑦轴（或直线𝑥= 0）
(0,0)
≠0
下
下
高
【分析】本题考查形如𝑦= 𝑎𝑥2的二次函数的图象性质．根据二次项系数𝑎的符号判断开口方向．结合函数
性质即可求解各空．
【详解】（1）抛物线𝑦= 3𝑥2属于𝑦= 𝑎𝑥2型二次函数．
根据二次函数性质，其对称轴是𝑦轴，即直线𝑥= 0．顶点坐标是(0,0)．
∵𝑎= 3 > 0．则抛物线开口向上．且𝑦= 3𝑥2 ≥0．
仅当𝑥= 0时𝑦= 0．
∴当𝑥≠0时．𝑦> 0．抛物线上的点都在𝑥轴上方．
（2）抛物线𝑦= −
1
3𝑥2中．
𝑎= −
1
3 < 0．根据二次函数性质，抛物线开口向下．
∵𝑦= −
1
3𝑥2 ≤0．
仅当𝑥= 0，即顶点处时𝑦= 0．
∴除顶点外，抛物线上的点都满足𝑦< 0，都在𝑥轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点．
【变式2-3】（25-26 九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么𝑎1，𝑎2，𝑎3的大小
关系是（ ）
A．𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3
B．𝑎3 < 𝑎1 < 𝑎2
C．𝑎1 < 𝑎3 < 𝑎2
D．𝑎3 < 𝑎2 < 𝑎1
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆
开口方向和大小与a 的关系是解题关键．
直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a 的关系进而得出答案．
【详解】解：如图所示：𝑦= 𝑎1𝑥2的开口向上，𝑎1 > 0，
𝑦= 𝑎2𝑥2与𝑦= 𝑎3𝑥2开口向下，则𝑎2 < 0,𝑎3 < 0，
∵𝑦= 𝑎2𝑥2的开口大于𝑦= 𝑎3𝑥2开口，
∴|𝑎2| < |𝑎3|
∴𝑎2 > 𝑎3，
∴𝑎3 < 𝑎2 < 𝑎1
故选：D．
【题型3 二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐的增减性】
【例3】（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)在对称轴的右侧部分下降，那么𝑎的取值范围是
___________．
【答案】𝑎< 0
【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得𝑎的取值范
围．
【详解】解：∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)在对称轴的右侧部分下降，
∴抛物线开口向下，
∴𝑎< 0，
故答案为：𝑎< 0．
【变式3-1】（2026·江西九江·一模）若二次函数𝑦= −2𝑥2的图象上有两点𝐴(−2,𝑦1)，𝐵(1,𝑦2)，则𝑦1，𝑦2的
大小关系是______．
【答案】𝑦1 < 𝑦2
【分析】将𝐴、𝐵两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应函数值，再比较大小即可．
【详解】解：将𝑥= −2代入𝑦= −2𝑥2，得𝑦1 = −2 × (−2)2 = −2 × 4 = −8，
将𝑥= 1代入𝑦= −2𝑥2，得𝑦2 = −2 × 12 = −2 × 1 = −2，
∵−8 < −2，
∴𝑦1 < 𝑦2．
【变式3-2】（25-26 九年级上·上海宝山·阶段检测）已知抛物线𝑦= (1−2𝑚)𝑥2在𝑦轴左侧的部分是下降的，
那么𝑚的取值范围是____________．
【答案】𝑚<
1
2
【分析】本题考查了二次函数图像的性质，掌握𝑦= 𝑎𝑥2的性质是解题的关键．
由抛物线𝑦= (1−2𝑚)𝑥2在𝑦轴左侧的部分是下降的，则1−2𝑚> 0，然后解不等式即可解答．
【详解】解：∵抛物线𝑦= (1−2𝑚)𝑥2在对称轴左侧的部分是下降的，
∴抛物线开口向上，
∴1−2𝑚> 0，解得：𝑚<
1
2．
故答案为：𝑚<
1
2．
【变式3-3】（25-26 九年级上·浙江金华·期末）已知𝑃(𝑡,𝑦1)，𝑄(𝑡+ 6,𝑦2)两点在二次函数𝑦= 2𝑥2的图象上，
下列判断错误的是（）
A．若𝑡= −3，则𝑦1 = 𝑦2
B．若𝑦1 = 𝑦2，则𝑡= −3
C．若𝑡> 0，则𝑦1 < 𝑦2
D．若𝑦1 < 𝑦2，则𝑡> 0
【答案】D
【分析】本题考查二次函数𝑦= 2𝑥2的对称性与单调性，需结合函数性质逐一分析选项判断正误．
【详解】解：∵二次函数𝑦= 2𝑥2开口向上，对称轴为𝑥= 0（y 轴），在𝑥< 0时单调递减，𝑥> 0时单调递增，
且点到对称轴距离越远，函数值越大．
选项A：当𝑡= −3时，𝑃(−3,𝑦1)，𝑄(3,𝑦2)，两点关于y 轴对称，∴𝑦1 = 𝑦2，A 正确．
选项B：若𝑦1 = 𝑦2，则𝑃、𝑄关于y 轴对称，∴
𝑡+(𝑡+6)
2
= 0，解得𝑡= −3，B 正确．
选项C：若𝑡> 0，则0 < 𝑡< 𝑡+ 6，∵函数在𝑥> 0时单调递增，∴𝑦1 < 𝑦2，C 正确．
选项D：若𝑦1 < 𝑦2，则|𝑡| < |𝑡+ 6|，两边平方得𝑡2 < (𝑡+ 6)2，化简得12𝑡> −36，即𝑡> −3，并非𝑡> 0
（如𝑡= −2时，𝑦1 = 8，𝑦2 = 32，𝑦1 < 𝑦2但𝑡< 0），D 错误．
故选：D．
知识点3 二次函数几种特殊形式的图象和性质
1. 二次函数的图象和性质
函数形式
顶点坐标
对称轴
最值
开口、单调性
𝑦= 𝑎𝑥2
（0，0）
y 轴
𝑎> 0，𝑥= 0时，
𝑦最小值= 0；
𝑎< 0，𝑥= 0时，
𝑦最大值= 0
𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘
（0，𝑘）
𝑦轴
𝑎> 0，𝑥= 0时，
𝑦最小值= 𝑘；
𝑎< 0，𝑥= 0时，
𝑦最大值= 𝑘
𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2
（ℎ，0）
𝑥= ℎ
𝑎> 0，𝑥= ℎ时，
𝑦最小值= 0；
𝑎< 0，𝑥= ℎ时，
𝑦最大值= 0
𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘
（ℎ，𝑘）
𝑥= ℎ
𝑎> 0，𝑥= ℎ时，
𝑦最小值= 𝑘；
𝑎< 0，𝑥= ℎ时，
𝑦最大值= 𝑘
𝑎> 0时，抛物线开口向上；
在对称轴右侧时,y 随x 的增大
而增大；
在对称轴左侧时，y 随x 的增
大而减小；
𝑎< 0时，抛物线开口向下；
在对称轴左侧时，y 随x 的增
大而增大；
在对称轴侧右时，y 随x 的增
大而减小
2. 几种二次函数图象间的平移规律
考点2
二次函数y＝a（x-h）2+k 的图象和性质
例如：𝑦= 2(𝑥−5)2 +3的图象是由𝑦= 2𝑥2的图象先向上平移3 个单位长度得到𝑦= 2𝑥2 +3的图象，再向
右平移5 个单位长度得到的．反之，由𝑦= 2(𝑥−5)2 +3的图象先向下平移3 个单位长度得到𝑦= 2(𝑥−5)2
的图象，再向左平移5 个单位长度得到𝑦= 2𝑥2的图象．
【题型4 画二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐+𝒌的图象】
【例4】已知二次函数𝑦= 𝑥2−4的图象与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点（𝐴在𝐵的左侧），与𝑦轴交于点𝐶．
(1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出𝐴，𝐵，𝐶；
𝑥
…
…
𝑦
…
…
(2)任意写出两条该函数图象具有的特征．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可；
（2）根据（1）所画函数图象，写出两条该函数的性质即可．
【详解】（1）解：列表如下：
𝑥
…
−2
−1
0
1
2
…
𝑦
…
0
−3
−4
−3
0
…
函数图象如下所示：
（2）解：由函数图象可知，该函数在𝑥= 0时，有最小值−4；该函数在𝑥> 0时，y 随x 增大而增大等等．
【变式4-1】（25-26 九年级上·北京通州·阶段检测）已知二次函数𝑦= 2𝑥2−2．
(1)在下列坐标系中画出它的图象；
(2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴．
【答案】(1)见解析
(2)抛物线的开口向上，顶点坐标是(0,−2)，对称轴是直线𝑥= 0
【分析】此题考查的是二次函数的性质、抛物线与𝑥轴的交点等知识，掌握二次函数的性质是解决此题的关
键．
（1）利用描点法画出函数图象；
（2）利用配方法将函数解析式化为顶点式，由𝑎的符号及配方结果直接确定抛物线的开口方向、顶点坐标
与对称轴．
【详解】（1）解：作图如下：
；
（2）∵二次函数的解析式为𝑦= 2𝑥2−2，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标是(0,−2)，对称轴是直线𝑥= 0．
【变式4-2】在同一直角坐标系中画出二次函数𝑦=
1
3𝑥2 +1与二次函数𝑦= −
1
3𝑥2−1的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；
（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.
【详解】（1）解：如图：
，
𝑦=
1
3𝑥2 +1与𝑦= −
1
3𝑥2−1图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y 轴，
𝑦=
1
3𝑥2 +1与𝑦= −
1
3𝑥2−1图象的不同点是：𝑦=
1
3𝑥2 +1开口向上，顶点坐标是（0，1），𝑦= −
1
3𝑥2−1开口
向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；
不同点：𝑦=
1
3𝑥2 +1，当x＜0 时，y 随x 的增大而减小，当x＞0 时，y 随x 的增大而增大；𝑦= −
1
3𝑥2−1，
当x＜0 时，y 随x 的增大而增大，当x＞0 时，y 随x 的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键.
【变式4-3】在同一直角坐标系中，画出𝑦= −𝑥2和𝑦= −𝑥2 +1的图象，并根据图象回答下列问题．
（1）抛物线𝑦= −𝑥2 +1向________平移________个单位得到抛物线𝑦= −𝑥2；
（2）抛物线𝑦= −𝑥2 +1开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；
（3）抛物线𝑦= −𝑥2 +1，当x________时，函数𝑦随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________
值，其最________值是________．
【答案】图象见解析；（1）下，l ；（2）向下，𝑦轴，(0,1)；（3）> 0，= 0，大，大，1．
【分析】（1）先利用描点法画出两个函数的图象即可；根据两个函数图象即可得平移方式；
（2）根据函数图象即可得出抛物线的开口方向、对称轴、以及顶点坐标；
（3）根据函数图象即可得出函数的增减性和最值．
【详解】解：函数𝑦= −𝑥2与𝑦= −𝑥2 +1的图象如图所示：
（1）抛物线𝑦= −𝑥2 +1向下平移1 个单位得到抛物线𝑦= −𝑥2，
故答案为：下，1；
（2）抛物线𝑦= −𝑥2 +1开口方向是向下，对称轴为𝑦轴，顶点坐标为(0,1)，
故答案为：向下，𝑦轴，(0,1)；
（3）抛物线𝑦= −𝑥2 +1，当𝑥> 0时，函数𝑦随x 的增大而减小；当𝑥= 0时，函数𝑦有最大值，其最大值是
1，
故答案为：> 0，= 0，大，大，1．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解
题关键．
【题型5 判断二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐+𝒌的图象及性质】
【例5】（25-26 九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数𝑦=
1
2𝑥2和𝑦=
1
2𝑥2−2的图象，下列结论不正确的是
（ ）
A．开口方向相同
B．形状相同
C．顶点坐标相同
D．当𝑥< 0时，𝑦随着𝑥的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，需根据二次函数的开口方向、形状、顶点坐标及增减性的相关
知识逐一分析选项．
【详解】∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎≠0）中，𝑎决定开口方向和形状，两个函数的𝑎=
1
2相同
∴开口方向相同，形状相同，故A、B 选项结论正确．
∵𝑦=
1
2𝑥2的顶点坐标为(0,0)，𝑦=
1
2𝑥2−2的顶点坐标为(0,−2)，
∴两个函数顶点坐标不同，故C 选项结论不正确．
∵两个函数的对称轴均为𝑦轴，且开口向上
∴当𝑥< 0时，𝑦随着𝑥的增大而减小，故D 选项结论正确．
故选：C．
【变式5-1】（25-26 九年级上·重庆开州·期末）关于二次函数𝑦= −𝑥2 +4，以下说法正确的是（ ）
A．函数图像开口向上
B．𝑦的最大值为4
C．图像的对称轴为直线𝑦= 0
D．𝑦随𝑥的增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查二次函数性质以及图象相关知识，属于基础题．根据二次函数性质，通过系数判断开口
方向、最值、对称轴及单调性．
【详解】解：∵二次函数为𝑦= −𝑥2 +4，其中𝑎= −1，𝑏= 0，𝑐= 4，
∴对于A：∵𝑎= −1 < 0，∴开口向下，A 错误；
对于B：∵开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标𝑥= −𝑏/(2𝑎) = 0，代入得𝑦= 4，∴y 的最大值为4，B
正确；
对于C：对称轴为直线𝑥= −
𝑏
2𝑎= 0，即𝑥= 0，而非𝑦= 0，C 错误；
对于D：∵开口向下，对称轴𝑥= 0，∴当𝑥< 0时，y 随x 增大而增大；当𝑥> 0时，y 随x 增大而减小，D 错
误．
故选：B．
【变式5-2】（25-26 九年级上·山西大同·期中）已知点(−4,𝑦1)、(−1,𝑦2)、(2,𝑦3)都在函数𝑦= −𝑥2 +𝑘的图
象上，则𝑦1、𝑦2、𝑦3的大小关系为_____．（用“ < ”连接）
【答案】𝑦1 < 𝑦3 < 𝑦2
【分析】本题考查了二次函数的性质．
分别计算各点的函数值，进而比较即可．
【详解】解：𝑦1 = −(−4)2 +𝑘= −16 + 𝑘，𝑦2 = −(−1)2 +𝑘= −1 + 𝑘，𝑦3 = −22 +𝑘= −4 + 𝑘，
由于𝑘为常数，比较𝑦1,𝑦2,𝑦3的大小即比较−16,−4,−1的大小．
−16 < −4 < −1，
因此𝑦1 < 𝑦3 < 𝑦2．
故答案为：𝑦1 < 𝑦3 < 𝑦2．
【变式5-3】（2025·上海静安·一模）如果一次函数𝑦1 = 𝑚𝑥−6(𝑚≠0)、𝑦2 = 𝑛𝑥−2(𝑛≠0)的图象都经过𝐶
(1,−3)，那么函数𝑦= 𝑦1 ⋅𝑦2的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数𝑦1 = 𝑚𝑥−6
(𝑚≠0)、𝑦2 = 𝑛𝑥−2(𝑛≠0)的图象都经过𝐶(1,−3)，求出𝑦1 = 3𝑥−6 、𝑦2 = −𝑥−2，求出𝑦= 𝑦1 ⋅𝑦2 = −3𝑥2
+12，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数𝑦1 = 𝑚𝑥−6(𝑚≠0)、𝑦2 = 𝑛𝑥−2(𝑛≠0)的图象都经过𝐶(1,−3)，
∴−3 = 𝑚−6 ，−3 = 𝑛−2 ，
解得𝑚= 3，𝑛= −1，
∴𝑦1 = 3𝑥−6 、𝑦2 = −𝑥−2，
∴𝑦= 𝑦1 ⋅𝑦2 = (3𝑥−6)(−𝑥−2) = −3𝑥2 +12，
抛物线𝑦= −3𝑥2 +12对称轴为y 轴，开口向下，顶点为(0,12)；
故选：B．
【题型6 由二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐+𝒌的性质求参数】
【例6】（2026·上海长宁·一模）已知𝑚是常数，它满足以下要求：
（1）抛物线𝑦= (𝑚+ 1)𝑥2的最高点就是它的顶点．
（2）抛物线𝑦= (𝑥+ 𝑚)2 +𝑚+ 1的对称轴在𝑦轴的右侧．
（3）从左往右看，抛物线𝑦= (𝑚+ 3)𝑥2 +1在𝑦轴左侧部分是下降的．
那么常数𝑚可以取的值是（ ）．
A．−3
B．−2
C．−1
D．0
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
根据三个条件分别求m 的取值范围：条件（1）要求抛物线开口向下，得𝑚< −1；条件（2）要求对称轴在
𝑦轴右侧，得𝑚< 0；条件（3）要求抛物线在𝑦轴左侧下降，得𝑚> −3，综合判断选项即可．
【详解】解：对于（1），抛物线𝑦= (𝑚+ 1)𝑥2的最高点就是它的顶点，则图象开口向下，
∴𝑚+ 1 < 0，即𝑚< −1；
对于（2），抛物线𝑦= (𝑥+ 𝑚)2 +𝑚+ 1的对称轴为直线𝑥= −𝑚，
∵𝑦= (𝑥+ 𝑚)2 +𝑚+ 1的对称轴在𝑦轴的右侧，
∴−𝑚> 0，即𝑚< 0；
对于（3），抛物线𝑦= (𝑚+ 3)𝑥2 +1在𝑦轴左侧是下降的，则图象开口向上，
∴𝑚+ 3 > 0，即𝑚> −3；
综上所述，−3 < 𝑚< −1，选项中只有−2符合．
故选：B．
【变式6-1】（25-26 九年级上·全国·课后作业）已知抛物线𝑦= 𝑚𝑥2 +𝑚−2的顶点在y 轴的负半轴上，且开
口向上，则m 的取值范围是_________．
【答案】0 < 𝑚< 2
【分析】本题考查了一元二次方程的顶点坐标，解题的关键是抛物线的顶点在y 轴的负半轴上，即横坐标
为0，纵坐标小于0．
因为抛物线的顶点在y 轴的负半轴上，所以可得𝑚−2 < 0，即可得到𝑚< 2，又因为抛物线开口向上，所以
𝑚> 0，从而得解．
【详解】解：∵抛物线𝑦= 𝑚𝑥2 +𝑚−2的顶点在y 轴的负半轴上，
∴𝑚−2 < 0，解得𝑚< 2．
∵抛物线𝑦= 𝑚𝑥2 +𝑚−2开口向上，
∴𝑚> 0，
∴𝑚的取值范围是0 < 𝑚< 2．
故答案为：0 < 𝑚< 2．
【变式6-2】如果一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 4与二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑐的图像的一个交点坐标是(1,2)，另一个交点是
该二次函数图像的顶点，则𝑎= ______．
【答案】−2
【分析】把(1,2)代入𝑦= 𝑘𝑥+ 4求得𝑘= −2，根据二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑐的顶点坐标为(0,𝑐)，把(0,𝑐)代入
𝑦= −2𝑥+ 4求得𝑐= 4，把(1,2)，𝑐= 4代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑐，即可求得a 值．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 4过点(1,2)，
∴2 = 𝑘+ 4，
解得𝑘= −2，
∴𝑦= −2𝑥+ 4，
∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 4与二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑐的图象的一个交点坐标为(1,2)，另一个交点是该二次函数图象
的顶点，
∴另一个交点为(0,𝑐)，
把(0,𝑐)代入𝑦= −2𝑥+ 4，得𝑐= 4，
把(1,2)，𝑐= 4代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑐，得
2 = 𝑎+ 4
∴𝑎= −2，
故答案为：−2．
【点睛】本题考查二次函数的图象性质、一次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函
数的图象性质和二次函数的图象性质解答．
【变式6-3】已知二次函数𝑦= 2𝑥2 +2020，当𝑥分别取𝑥1,𝑥2(𝑥1 ≠𝑥2)时，函数值相等，则当𝑥取2𝑥1 +2𝑥2时，
函数值为______．
【答案】2020
【分析】根据二次函数y=2x2+2020，当x 分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，可以得到x1 和x2 的关系，
从而可以得到2x1+2x2 的值，进而可以求得当x 取2x1+2x2 时，函数的值．
【详解】解：∵二次函数y=2x2+2020，当x 分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，
∴2x12+2020=2x22+2020，
∴x1=-x2，
∴2x1+2x2=2（x1+x2）=0，
∴当x=2x1+2x2 时，y=2×0+2020=0+2020=2020，
故答案为：2020．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质解答．
【题型7 二次函数𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐的图象】
【例7】已知函数𝑦= 4𝑥2，𝑦= 4(𝑥+ 1)2和𝑦= 4(𝑥−1)2．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数𝑦= 4𝑥2的图象得到函数𝑦= 4(𝑥+ 1)2和函数𝑦= 4(𝑥−1)2的
图象；
(4)分别说出各个函数的性质．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)𝑦= 4(𝑥+ 1)2由抛物线𝑦= 4𝑥2向左平移1 个单位，𝑦= 4(𝑥−1)2由抛物线𝑦= 4𝑥2向右平移1 个单位；
(4)见解析
【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象；
（2）根据二次函数的性质可进行求解；
（3）根据二次函数的平移可进行求解；
（4）根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：𝑦= 4𝑥2开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,0)，
𝑦= 4(𝑥+ 1)2开口向上，对称轴为𝑥= −1，顶点坐标为(−1,0)，
𝑦= 4(𝑥−1)2开口向上，对称轴为𝑥= 1，顶点坐标为(1,0)；
（3）解：𝑦= 4(𝑥+ 1)2由抛物线𝑦= 4𝑥2向左平移1 个单位，𝑦= 4(𝑥−1)2由抛物线𝑦= 4𝑥2向右平移1 个
单位；
（4）解：𝑦= 4𝑥2当𝑥< 0时y 随着x 的增大而减小，当𝑥> 0时y 随着x 的增大而增大，
𝑦= 4(𝑥+ 1)2当𝑥< −1时y 随着x 的增大而减小，当𝑥> −1时y 随着x 的增大而增大，
𝑦= 4(𝑥−1)2当𝑥< 1时y 随着x 的增大而减小，当𝑥> 1时y 随着x 的增大而增大．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式7-1】若小明将如图所示的两条水平线𝐴𝐵，𝐶𝐷中的一条当成𝑥轴，且向右为正方向；两条铅垂线𝐴𝐶，𝐵𝐷
中的一条当成𝑦轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数𝑦= 2(𝑥−1)2的图象，则坐标原点
可能是（ ）
A．点A
B．点𝐵
C．点𝐶
D．点𝐷
【答案】C
【分析】根据𝑦= 2(𝑥−1)2得到顶点是(1,0)，结合图像即可得到坐标原点；
【详解】解：∵𝑦= 2(𝑥−1)2，
∴二次函数顶点是(1,0)，
由图像可得，顶点在𝐶𝐷上，
∴点𝐶是标原点，
故选C；
【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标及图像，解题的关键是熟练掌握𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘的顶点是(ℎ,𝑘)．
【变式7-2】二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2的图象如图，则下列正确的是（ ）
A．𝑎> 0，ℎ> 0
B．𝑎> 0，ℎ< 0
C．𝑎< 0，ℎ> 0
D．𝑎< 0，ℎ< 0
【答案】D
【分析】利用图象，抛物线开口向下，得𝑎< 0；利用对称轴在y 轴左侧，得ℎ< 0，即可解答.
【详解】由图象可知，抛物线开口向下，𝑎< 0；对称轴在y 轴左侧，ℎ< 0；
故选D
【点睛】本题考查根据二次函数图象分析a 和对称轴，属于基础题，难度低，熟练掌握二次函数相关知识
点是解题关键.
【变式7-3】老师让写出一个二次函数，满足以下3 个性质．
1：函数图象的顶点在𝑥轴上；2：当𝑥< 1时，𝑦随𝑥的增大而减小；
3：该函数的形状与函数𝑦= 𝑥2的图象相同
甲同学写出几个二次函数表达式：
①𝑦= −(𝑥−1)2②𝑦= (𝑥−1)2③𝑦= (𝑥+ 1)2④𝑦= (𝑥−2)2
请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3 个性质___________．
【答案】②④/④②
【分析】根据二次函数的图象和性质解答即可．
【详解】解：①𝑦= −(𝑥−1)2，顶点为(1,0)，在𝑥轴上；𝑎= −1 < 0，开口向下，当𝑥< 1时，𝑦随𝑥的增大
而增大；
𝑦= 𝑥2开口向上，但与𝑦= −(𝑥−1)2的图象形状相同；
②𝑦= (𝑥−1)2，顶点为(1,0)，在𝑥轴上；𝑎= 1 > 0，开口向上，当𝑥< 1时，𝑦随𝑥的增大而减小；
𝑦= 𝑥2开口向上，与𝑦= (𝑥−1)2的图象形状相同；
③𝑦= (𝑥+ 1)2，顶点为(−1,0)，在𝑥轴上；𝑎= 1 > 0，开口向上，当𝑥< −1时，𝑦随𝑥的增大而减小；
𝑦= 𝑥2开口向上，与𝑦= (𝑥+ 1)2的图象形状相同；
④𝑦= (𝑥−2)2，顶点为(2,0)，在𝑥轴上；𝑎= 1 > 0，开口向上，当𝑥< 1时，𝑦随𝑥的增大而减小；
𝑦= 𝑥2开口向上，与𝑦= (𝑥−2)2的图象的形状相同；
所以，符合上述3 个性质的是②④，
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟记二次函数的图象和性质．
【题型8 二次函数𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐的性质】
【例8】（2026·福建三明·二模）在函数𝑦= (𝑥−𝑚)2中，当𝑥> 1时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的值可
以是______．（写出一个满足条件的m 值）
【答案】1（答案不唯一，满足𝑚≤1即可）
【分析】根据二次函数的性质得到m 的取值范围，任取一个范围内的值即可．
【详解】解：函数𝑦= (𝑥−𝑚)2是开口向上的二次函数，其对称轴为直线𝑥= 𝑚，
∵开口向上的二次函数，在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，且当𝑥> 1时，y 随x 的增大而增大，
∴𝑚≤1，
∴m 的值可以是1．
【变式8-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）点𝐴(𝑠,𝑡)在二次函数𝑦= 2(𝑥−𝑚)2（m 为常数）的图象上，
𝑠−𝑚= 𝑡≠0．当𝑠−1 ≤𝑥≤𝑠+ 2时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
A．
9
4
B．
9
2
C．12
D．
25
2
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t 的
值，即可得到𝑠= 𝑚+
1
2，然后根据m 的取值范围得到最值求差解题即可．
【详解】解：∵𝑠−𝑚= 𝑡，
∴𝑡= 2𝑡2，
解得：𝑡=
1
2或 𝑡= 0(舍去)，
∴𝑠= 𝑚+
1
2，
∴𝐴𝑚+
1
2, 1
2 ，
∴抛物线的对称轴为直线：𝑥= 𝑚，
∵𝑠−1 ≤𝑥≤𝑠+ 2，
∴𝑚−
1
2 ≤𝑥≤𝑚+
5
2，
当𝑥= 𝑚+
5
2时，𝑦有最大值，𝑦= 2 ×
5
2
2
=
25
2 ，
当𝑥= 𝑚时，𝑦有最小值， 𝑦= 0，
∴函数的最大值与最小值的差为
25
2 ，
故选：D．
【变式8-2】（24-25 八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知直线𝑥= 𝑐交抛物线𝑦1 = −(𝑥−𝑎)2于点𝐴(𝑐,𝑚)，
交抛物线𝑦2 = −(𝑥−𝑏)2于点𝐵(𝑐,𝑛)，下列结论：①若𝑎> 𝑏> 𝑐，则𝑚< 𝑛，②若𝑏> 𝑎> 𝑐，则𝑚< 𝑛，③
若𝑐> 𝑏> 𝑎，则𝑚< 𝑛，④若𝑎> 𝑐> 𝑏，则𝑚< 𝑛；其中正确的是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、因式分解、不等式的性质，利用作差法比较𝑚,𝑛的大小关系是
解题的关键．由抛物线𝑦1 = −(𝑥−𝑎)2经过点𝐴(𝑐,𝑚)可得𝑚= −(𝑐−𝑎)2，同理可得𝑛= −(𝑐−𝑏)2，利用因式分
解的知识得到𝑚−𝑛= (𝑎−𝑏)(2𝑐−𝑎−𝑏)，再利用不等式的性质逐个分析判断即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线𝑦1 = −(𝑥−𝑎)2经过点𝐴(𝑐,𝑚)，
∴𝑚= −(𝑐−𝑎)2，
同理可得：𝑛= −(𝑐−𝑏)2，
∴𝑚−𝑛= −(𝑐−𝑎)2 + (𝑐−𝑏)2 = (𝑎−𝑏)(2𝑐−𝑎−𝑏)，
若𝑎> 𝑏> 𝑐，则𝑎−𝑏> 0，2𝑐−𝑎−𝑏< 0，
∴𝑚−𝑛< 0，即𝑚< 𝑛，故①正确；
若𝑏> 𝑎> 𝑐，则𝑎−𝑏< 0，2𝑐−𝑎−𝑏< 0，
∴𝑚−𝑛> 0，即𝑚> 𝑛，故②不正确；
若𝑐> 𝑏> 𝑎，则𝑎−𝑏< 0，2𝑐−𝑎−𝑏> 0，
∴𝑚−𝑛< 0，即𝑚< 𝑛，故③正确；
若𝑎> 𝑐> 𝑏，则𝑎−𝑏> 0，而无法判断2𝑐−𝑎−𝑏的正负性，故无法判断𝑚与𝑛的大小关系，故④不正确；
∴综上所述，其中正确的是①③，有2 个．
故选：B．
【变式8-3】设函数𝑦1 = −(𝑥−𝑎1)2，𝑦2 = −(𝑥−𝑎2)2，直线𝑥= 1的图象与函数𝑦1，𝑦2的图象分别交于点
𝐴(1,𝑐1)，𝐵(1,𝑐2)，得（ ）
A．若1 < 𝑎1 < 𝑎2，则𝑐1 < 𝑐2
B．若𝑎1 < 1 < 𝑎2，则𝑐1 < 𝑐2
C．若𝑎1 < 𝑎2 < 1，则𝑐1 < 𝑐2
D．若𝑎1 < 𝑎2 < 1，则𝑐2 < 𝑐1
【答案】C
【分析】将𝑥= 1代入两个函数得到𝑐1和𝑐2的表达式，再结合各选项中𝑎1，𝑎2的大小关系，比较𝑐1和𝑐2的大
小即可得到答案．
【详解】解：依题意，𝑐1 = −(1−𝑎1)2，𝑐2 = −(1−𝑎2)2，
∴𝑐1−𝑐2 = −(1−𝑎1)2 + (1−𝑎2)2 = (1−𝑎2)−(1−𝑎1) (1−𝑎2)+(1−𝑎1) = (𝑎1−𝑎2)(2−𝑎1−𝑎2).
若𝑎1 < 𝑎2 < 1，
∵𝑎1 < 𝑎2，∴𝑎1−𝑎2 < 0，
∵𝑎1 < 1，𝑎2 < 1，∴𝑎1 + 𝑎2 < 2，即2−𝑎1−𝑎2 > 0，
∴𝑐1−𝑐2 = (𝑎1−𝑎2)(2−𝑎1−𝑎2) < 0，即𝑐1 < 𝑐2，C 正确，D 错误．
若1 < 𝑎1 < 𝑎2，𝑎1−𝑎2 < 0，𝑎1 + 𝑎2 > 2，2−𝑎1−𝑎2 < 0，得𝑐1−𝑐2 > 0，𝑐1 > 𝑐2，A 错误．
若𝑎1 < 1 < 𝑎2，𝑎1−𝑎2 < 0，无法确定2−𝑎1−𝑎2的正负，无法得到𝑐1 < 𝑐2，B 错误．
【题型9 二次函数𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐图象上点的坐标特征】
【例9】（24-25 九年级上·江苏盐城·期中）已知点𝐴(4,𝑦1),𝐵
2,𝑦2 ,𝐶(−2,𝑦3)都在二次函数𝑦= −2(𝑥−2)2−1
的图象上，则𝑦1、𝑦2、𝑦3的大小关系是_____________．
【答案】𝑦3 < 𝑦1 < 𝑦2
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用
二次函数的性质进行推理是解答本题的关键．
根据二次函数的图象上点的坐标特征得出结果即可．
【详解】解：∵二次函数𝑦= −2(𝑥−2)2−1的对称轴为直线𝑥= 2，−2 < 0
∴抛物线开口向下，当𝑥≤2时，函数值𝑦随自变量𝑥的增大而增大，
∵𝐴(4,𝑦1)关于直线𝑥= 2的对称点为(0,𝑦1)，𝐵
2,𝑦2 ，𝐶(−2,𝑦3)，−2 < 0 <
2，
∴𝑦3 < 𝑦1 < 𝑦2，
故答案为：𝑦3 < 𝑦1 < 𝑦2．
【变式9-1】（25-26 九年级上·上海·课后作业）若点𝐴(−2,𝑎)和点𝐵(4,𝑏)在抛物线𝑦= 2(𝑥−𝑚)2上，且关于它
的对称轴对称，则𝑚= ___．
【答案】1
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，根据对称性求出对称轴，即可得出结果．
【详解】解：∵𝑦= 2(𝑥−𝑚)2，
∴抛物线的对称轴为直线𝑥= 𝑚，
∵点𝐴(−2,𝑎)和点𝐵(4,𝑏)在抛物线𝑦= 2(𝑥−𝑚)2上，且关于它的对称轴对称，
∴𝑚=
−2+4
2
= 1；
故答案为：1．
【变式9-2】（2025·上海·模拟预测）若二次函数𝑦= 𝑥2−6𝑥+ 𝑐−4的顶点在𝑥轴上，则𝑐的值为_______．
【答案】13
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，𝑥轴上点的坐标特征，先把二次函数的解析式转化为顶点式，求
出顶点坐标，再根据𝑥轴上点的坐标特征即可求解，利用配方法把二次函数的解析式转化为顶点式求出顶点
坐标是解题的关键．
【详解】解：∵𝑦= 𝑥2−6𝑥+ 𝑐−4 = (𝑥−3)2 +𝑐−13，
∴二次函数的顶点坐标为(3,𝑐−13)，
∵二次函数的顶点在x 轴上，
∴𝑐−13 = 0，
∴𝑐= 13．
故答案为：13．
【变式9-3】（24-25 九年级上·全国·期中）将抛物线𝑦= 𝑎𝑥2−1平移后与抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−1)2重合，抛物线
𝑦= 𝑎𝑥2−1上的点𝐴(2,3)同时平移到𝐴′，那么点𝐴′的坐标为______．
【答案】(3,4)
【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A 的平移规律，易得点𝐴′的坐标．此题主要考查了函数图象的
平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
【详解】解：依题意，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2−1的顶点坐标是(0,−1)，抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−1)2的顶点坐标是(1,0)，
∴将抛物线𝑦= 𝑎𝑥2−1向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位得到抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−1)2，
∴将点𝐴(2,3)向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位得到点𝐴′的坐标为(3,4)，
故答案为：(3,4)．
【题型10 二次函数𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌的图象】
【例10】（25-26 九年级上·上海·阶段检测）二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−2)2 +𝑐的部分图象如图所示，已知它与x 轴
的一个交点坐标是(6,0)．
(1)填空：
①抛物线的对称轴为直线______；
②图象与x 轴的另一个交点坐标为______．
(2)如果该函数图象经过点(0,−3)，求它的顶点坐标．
【答案】(1)①𝑥= 2；②(−2,0)
(2)(2,−4)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质，
对于（1），根据抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘中对称轴为𝑥= ℎ解答；再根据抛物线的对称性求出另一个交点；
对于（2），将两个点的坐标代入关系式，再根据顶点式求出顶点坐标．
【详解】（1）解：①∵𝑦= 𝑎(𝑥−2)2 +𝑐，
∴抛物线的对称轴为直线𝑥= 2．
故答案为：𝑥= 2．
②∵抛物线的对称轴为直线𝑥= 2，它与x 轴的一个交点坐标是(6,0)，
∴图象与x 轴的另一个交点坐标为(−2,0)．
故答案为：(−2,0)．
（2）解：将(6,0)，(0,−3)代入𝑦= 𝑎(𝑥−2)2 +𝑐，
得
16𝑎+ 𝑐= 0
4𝑎+ 𝑐= −3
，
解得
𝑎= 1
4
𝑐= −4
，
∴抛物线的解析式为𝑦=
1
4(𝑥−2)2−4，
∴它的顶点坐标为(2,−4)．
【变式10-1】（25-26 九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数𝑦= −(𝑥−1)2 +3，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上
B．图象对称轴为直线𝑥= −1
C．函数的最大值为3
D．图象与x 轴没有交点
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、最值及与x 轴的交点；通过解析式判断各选
项.
【详解】解：∵ 𝑦= −(𝑥−1)2 +3，
∴𝑎= −1 < 0，抛物线开口向下，故A 错误；
对称轴为直线 𝑥= 1，故B 错误；
∵开口向下，顶点坐标为 (1,3)，函数最大值为3，故C 正确；
令 𝑦= 0，得 −(𝑥−1)2 +3 = 0，即 (𝑥−1)2 = 3，解得 𝑥= 1 ±
3，
∴ 图象与x 轴有两个交点，故D 错误；
故选：C.
【变式10-2】如图，二次函数𝑦= 𝑎(𝑥+ 4)2 +𝑘的图象与𝑥轴交于两点，有下列结论：
①𝑎> 0 ；
②点𝐴的坐标为(−6,0)；
③图象的对称轴为直线𝑥= −4
④当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而减小
其中结论正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象判断𝑎，根据顶点式判断对称轴，增减性即可得出结果．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴𝑎> 0，故①正确；
无法确定𝐴、𝐵的坐标，故②错误；
∵𝑦= 𝑎(𝑥+ 4)2 +𝑘，
∴抛物线的对称轴为：直线𝑥= −4，故③正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线𝑥= −4，
∴当𝑥< −4时，𝑦随𝑥的增大而减小，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数顶点式，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式10-3】如图，已知抛物线𝑦1 = (𝑥+ 2)2−2与抛物线𝑦2 = (𝑥−
3
2 )
2
+𝑚的图象相交于点A，过A 作x 轴
的平行线分别交y1，y2 于点B、C，若AC＝
1
2AB，则m 的值是_______．
【答案】
25
12
【分析】解：设𝐴𝐶= 𝑎，则𝐴𝐵= 2𝑎，求出𝐴的横坐标为−2 + 𝑎，𝐵的横坐标为−2−𝑎，𝐶的横坐标为
−2 + 2𝑎，抛物线𝑦2 = (𝑥−
3
2 )
2
+𝑚的对称轴为𝑥=
3
2，建立等式求出𝑎=
7
3，
𝐴的横坐标为−2 + 𝑎= −2 +
7
3 =
1
3，把𝑥=
1
3代入𝑦1 = (𝑥+ 2)2−2得，𝑦=
31
9 ，
𝐴(
1
3，
31
9 )，代入𝑦2 = (𝑥−
3
2 )
2
+𝑚求解即可．
【详解】解：设𝐴𝐶= 𝑎，则𝐴𝐵= 2𝑎，
∴𝐴的横坐标为−2 + 𝑎，𝐵的横坐标为−2−𝑎，𝐶的横坐标为−2 + 2𝑎，
∵抛物线𝑦2 = (𝑥−
3
2 )
2
+𝑚的对称轴为𝑥=
3
2，
∴𝑥=
−2+𝑎−2+2𝑎
2
=
3
2，
解得𝑎=
7
3，
∴𝐴的横坐标为−2 + 𝑎= −2 +
7
3 =
1
3，
把𝑥=
1
3代入𝑦1 = (𝑥+ 2)2−2得，𝑦=
31
9 ，
∴𝐴(
1
3，
31
9 )，
代入𝑦2 = (𝑥−
3
2 )
2
+𝑚得，
31
9 = (
1
3 −
3
2 )
2
+𝑚，解得𝑚=
25
12，
故答案为：
25
12．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是根据题意得出表示出𝐴的坐标．
【题型11 二次函数𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌的性质】
【例11】已知抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−1)2 +3（a 是常数，且𝑎≠0）．当直线𝑦= 1与抛物线有两个交点A、B，且𝐴𝐵≥2
时，则a 的取值范围为______．
【答案】−2 ≤𝑎< 0
【分析】先根据函数解析式求出图象的顶点坐标，根据二次函数的性质，得到抛物线与𝑦轴的坐标不在(0,1)
的下方，得𝑎+ 3 ≥1，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−1)2 +3，
∴对称轴为直线𝑥= 1，顶点为(1,3)，
∵直线𝑦= 1与抛物线有两个交点A、B，
∴抛物线开口向下，故𝑎< 0，
∵对称轴为直线𝑥= 1，𝐴𝐵≥2，
∴抛物线与𝑦轴的交点不在(0,1)的下方，
令𝑥= 0，则𝑦= 𝑎(𝑥−1)2 +3 = 𝑎+ 3，
∴𝑎+ 3 ≥1，
解得𝑎≥−2，
∴𝑎的取值范围为−2 ≤𝑎< 0．
【变式11-1】（2026·宁夏银川·三模）二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−1)2 +ℎ（a、h 为常数，𝑎≠0）的部分𝑥与𝑦的对应
值如下表：
x
…
1
2
3
4
…
y
…
7
4
−5
−20
…
则关于该二次函数的说法不正确
．．．的是（ ）
A．其图象开口向下
B．其图象的对称轴为𝑥= 1
C．当𝑥< 2时，𝑦的值随𝑥值的增大而减小
D．当𝑥= −1时，𝑦< 0
【答案】C
【分析】根据表格给出的𝑥,𝑦值代入二次函数顶点式，求出𝑎和ℎ的值，得到完整解析式，再根据二次函数的
图象与性质逐一判断各选项，找出说法错误的选项．
【详解】解：已知二次函数解析式为𝑦= 𝑎(𝑥−1)2 +ℎ由表格可知，当𝑥= 1时，𝑦= 7；当𝑥= 2时，𝑦= 4，
将两组值代入解析式得
ℎ= 7
𝑎+ ℎ= 4
，
解得：
𝑎= −3
ℎ= 7
，
∴该二次函数解析式为𝑦= −3(𝑥−1)2 +7，
∵𝑎= −3 < 0，
∴图象开口向下，选项A 正确；
由顶点式可知，图象的对称轴为直线𝑥= 1，选项B 正确；
∵开口向下，对称轴为𝑥= 1，
∴当𝑥< 1时，𝑦随𝑥的增大而增大，当1 < 𝑥< 2时，𝑦随𝑥的增大而减小，因此“当𝑥< 2时，𝑦的值随𝑥值的增
大而减小”的说法错误，选项C 不正确；
当𝑥= −1时，𝑦= −3 × (−1−1)2 +7 = −5 < 0，选项D 正确．
【变式11-2】（2026 八年级下·陕西西安·学业考试）抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−2)2−1(𝑎> 0)，当0 ≤𝑥≤3时，𝑦的最
大值与最小值的差为5，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．当𝑥≥−1时，𝑦的值随𝑥值的增大而增大
C．𝑎的值为
4
3
D．当𝑥= 1时，𝑦=
1
4
【答案】D
【分析】根据抛物线顶点式的性质，先判断开口方向和对称轴，再根据给定x 的范围确定y 的最大值和最小
值的位置，结合二者差为5求出𝑎的值，再逐一判断选项即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为𝑦= 𝑎(𝑥−2)2−1，且𝑎> 0，
∴抛物线开口向上，故A 选项错误；
∴抛物线对称轴为直线𝑥= 2，
∴开口向上时，仅当𝑥≥2时，𝑦随𝑥的增大而增大，故B 选项错误；
∵ 0 ≤𝑥≤3，开口向上，
∴ 𝑥= 2时，𝑦取得最小值−1，
分别计算端点的函数值：
当𝑥= 0时，𝑦= 𝑎(0−2)2−1 = 4𝑎−1；
当𝑥= 3时，𝑦= 𝑎(3−2)2−1 = 𝑎−1；
∵ 𝑎> 0，
∴ 4𝑎−1 > 𝑎−1，
∴𝑦最大= 4𝑎−1，
由题意，最大值与最小值的差为5，
∴ (4𝑎−1)−(−1) = 5，解得𝑎=
5
4，故C 选项错误；
当𝑥= 1时，代入解析式得𝑦=
5
4(1−2)2−1 =
5
4−1 =
1
4，故D 选项正确．
【变式11-3】（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−3)2 +𝑘交y 轴于点𝐸(0,4)．
（1）此抛物线的对称轴为直线______；
（2）已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷边𝐴𝐵与x 轴重合，点A 的坐标为(8,0)，𝐴𝐵= 2，若此抛物线与正方形的边𝐶𝐷有交
点，则a 的取值范围是______．
【答案】
𝑥= 3
−
1
8 ≤𝑎≤−
1
20
【分析】本题考查了正方形的性质，求二次函数的对称轴，二次函数的图象与性质等知识，掌握这些知识
是关键；
（1）根据抛物线的顶点式即可得其对称轴；
（2）分别考虑抛物线过点D、C 时a 的值，即可确定a 的取值范围．
【详解】解：（1）∵𝑦= 𝑎(𝑥−3)2 +𝑘，
∴抛物线的对称轴为直线𝑥= 3，
故答案为：𝑥= 3；
（2）∵抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−3)2 +𝑘交y 轴于点𝐸(0,4)，
∴𝑎(0−3)2 +𝑘= 4，
即𝑘= 4−9𝑎，
∴𝑦= 𝑎(𝑥−3)2 +4−9𝑎= 𝑎𝑥2−6𝑎𝑥+ 4，
∵点A 的坐标为(8,0)，𝐴𝐵= 2，且四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，
∴𝐵(10,0)，𝐷(8,2)，𝐶(10,2)，
当抛物线𝑦= 𝑎𝑥2−6𝑎𝑥+ 4经过点D 时，则64𝑎−48𝑎+ 4 = 2，
解得：𝑎= −
1
8；
当抛物线𝑦= 𝑎𝑥2−6𝑎𝑥+ 4经过点C 时，则100𝑎−60𝑎+ 4 = 2，
解得：𝑎= −
1
20；
∴当抛物线与正方形的边𝐶𝐷有交点时，则a 的取值范围为−
1
8 ≤𝑎≤−
1
20；
故答案为：−
1
8 ≤𝑎≤−
1
20．
【题型12 二次函数𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌图象上点的坐特征】
【例12】（25-26 九年级上·海南省直辖县级单位·期中）若点𝐴(−1,𝑦1)，𝐵
1
2 ,𝑦2 ，𝐶(4,𝑦3)在抛物线𝑦= (𝑥−2)2
+𝑘上，则𝑦1，𝑦2，𝑦3从小到大的大小关系为___________．（用“ < ”连接）
【答案】𝑦2 < 𝑦3 < 𝑦1
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的
性质，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离后比较大小即可得出结
论．
【详解】解：由抛物线𝑦= (𝑥−2)2 +𝑘可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线𝑥= 2．
对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大，
计算各点到对称轴𝑥= 2的水平距离：
点𝐴(−1,𝑦1)到对称轴的距离为|−1−2| = 3，
点𝐵
1
2 ,𝑦2 到对称轴的距离为|
1
2 −2| =
3
2，
点𝐶(4,𝑦3)到对称轴的距离为|4−2| = 2，
∵
3
2 < 2 < 3，
∴𝑦2 < 𝑦3 < 𝑦1．
【变式12-1】（25-26 九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线𝑦= (𝑥−𝑘)2−9的对称轴为直线𝑥= 3，则k 的值
为______．
【答案】3
【分析】本题主要考查二次函数的性质，关键是二次函数性质的熟练掌握．根据抛物线顶点式，对称轴为
𝑥= 𝑘，结合给定条件求解．
【详解】解：抛物线𝑦= (𝑥−𝑘)2−9的对称轴为直线𝑥= 𝑘，
由题意得𝑥= 3，故𝑘= 3．
故答案为3．
【变式12-2】（25-26 九年级上·江苏南通·阶段检测）已知点𝐴(𝑚−1,𝑦1)，𝐵(𝑚,𝑦2)都在二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−1)2
+𝑛的图象上．若𝑦1 = 𝑦2，则m 的值为______．
【答案】
3
2
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据𝑦= 𝑎(𝑥−1)2 +𝑛得对称轴为直线𝑥= 1，结合𝑦1 = 𝑦2，则𝐴
(𝑚−1,𝑦1)与𝐵(𝑚,𝑦2)关于直线𝑥= 1对称，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵𝑦= 𝑎(𝑥−1)2 +𝑛，
∴对称轴为直线𝑥= 1，
∵点𝐴(𝑚−1,𝑦1)，𝐵(𝑚,𝑦2)都在二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−1)2 +𝑛的图象上，且𝑦1 = 𝑦2，
∴𝐴(𝑚−1,𝑦1)与𝐵(𝑚,𝑦2)关于直线𝑥= 1对称，
∴
𝑚−1+𝑚
2
= 1，
∴𝑚=
3
2．
故答案为：
3
2
【变式12-3】（24-25 九年级上·河北廊坊·阶段检测）对于题目：当−2 ≤𝑥≤1时，关于x 的二次函数
𝑦= −(𝑥−𝑚)2 + 𝑚2 +1有最大值4，求实数m 的值．
嘉嘉说：m 的值为2，淇淇说：m 的值为−3，笑笑说：m 的值为−
7
4．下列说法正确的是（ ）
A．笑笑的答案正确
B．嘉嘉与淇淇的答案合到一起才正确
C．笑笑与嘉嘉的答案合到一起才正确
D．他们三个的答案合到一起才正确
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键，注意分类讨论．
联系已知条件，根据对称轴的位置，需分情况讨论求解，可分𝑚< −2，−2 ≤𝑚≤1和𝑚> 1这三种情况，
分别进行讨论，求出相应的m 的值，问题就可得解．
【详解】解：∵𝑦= −(𝑥−𝑚)2 + 𝑚2 +1，
∴二次函数的对称轴为直线𝑥= 𝑚，
①𝑚< −2时，𝑥= −2时二次函数有最大值，此时−(−2−𝑚)2 + 𝑚2 +1 = 4，
解得𝑚= −
7
4，与𝑚< −2矛盾，故m 值不存在；
②当−2 ≤𝑚≤1时，𝑥= 𝑚时，二次函数有最大值，
此时，𝑚2 +1 = 4
解得𝑚= −3，𝑚=
3(舍去)；
③当𝑚> 1时，𝑥= 1时二次函数有最大值，此时，−(1−𝑚)2 + 𝑚2 +1 = 4，
解得𝑚= 2，
综上所述，m 的值为2 或−3，
故选：B．
