专题04 根的判别式的综合应用（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 判断不含参方程根的情况】....................................................................................................................1
【题型2 判断含参方程根的情况】........................................................................................................................2
【题型3 二次项系数为常数——知根的情况求参数的取值范围】....................................................................4
【题型4 二次项系数含参——知根的情况求参数的取值范围】........................................................................7
【题型5 根的判别式联系代数】............................................................................................................................9
【题型6 根的判别式融汇函数】..........................................................................................................................11
【题型7 根的判别式结合几何】..........................................................................................................................15
【题型1 判断不含参方程根的情况】
【例1】（2025·贵州贵阳·一模）一元二次方程𝑥2 +3𝑥+ 1 = 0________实数根（填“有”或“没有”）．
【答案】有
【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是先根据根的判别式的值得到Δ > 0，然后根据根的判别式的
意义进行判断．
【详解】解：𝑥2 +3𝑥+ 1 = 0，
∵𝑎= 1，𝑏= 3，𝑐= 1，
∴ Δ = 32−4 × 1 × 1 = 5 > 0，
∴方程有两个不相等的实数解．
故答案为：有．
【变式1-1】（25-26 九年级上·青海海东·期中）一元二次方程𝑥2 +𝑥−1 = 0的根的情况是______．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】求出一元二次方程根的判别式，根据判别式的范围即可得到答案，此题考查了根据一元二次方程
根的判别式判断方程根的情况，准确求出一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：对于一元二次方程𝑥2 +𝑥−1 = 0来说，
∵Δ = 12−4 × 1 × (−1) = 5 > 0，
∴一元二次方程𝑥2 +𝑥−1 = 0有两个不相等的实数根．
题型归纳
故答案为：有两个不相等的实数根
【变式1-2】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程𝑥2 +3𝑥= −
5
4的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个互为相反数的实数根
D．没有实数根
【答案】A
【分析】先将方程整理为一元二次方程一般形式为𝑥2 +3𝑥+
5
4 = 0，计算判别式的值Δ = 4 > 0，根据判别式
的符号判断根的情况即可．
【详解】解：∵原方程𝑥2 +3𝑥= −
5
4，整理为一般形式得𝑥2 +3𝑥+
5
4 = 0，
∴𝑎= 1，𝑏= 3，𝑐=
5
4，
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= 32−4 × 1 ×
5
4 = 9−5 = 4 > 0，
∴方程有两个不相等的实数根．
【变式1-3】关于x 的一元二次方程(𝑥−1)(𝑥−3) = −𝑥−2，下面说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无法确定是否有实数根
D．没有实数根
【答案】D
【详解】解：方程(𝑥−1)(𝑥−3) = −𝑥−2整理为一般形式得𝑥2−3𝑥+ 5 = 0
可得𝑎= 1，𝑏= −3，𝑐= 5
计算根的判别式𝛥= 𝑏2−4𝑎𝑐= (−3)2−4 × 1 × 5 = 9−20 = −11 < 0
∴原一元二次方程没有实数根．
【题型2 判断含参方程根的情况】
【例2】（25-26 八年级上·上海·期中）判断一元二次方程𝑥2−(𝑎+ 2)𝑥+ 2𝑎= 0的根的情况_____．
【答案】当 𝑎≠2 时，方程有两个不相等的实数根；当 𝑎= 2 时，方程有两个相等的实数根
【分析】本题考查根据一元二次方程根的判别式，计算判别式并判断其符号，从而确定根的情况．
【详解】解：𝑥2−(𝑎+ 2)𝑥+ 2𝑎= 0，
Δ = [−(𝑎+ 2)]2−4 × 1 × 2𝑎
= 𝑎2 + 4𝑎+ 4−8𝑎
= 𝑎2−4𝑎+ 4
= (𝑎−2)2，
∴当 𝑎≠2 时，Δ > 0，方程有两个不相等的实数根；
当 𝑎= 2 时，Δ = 0，方程有两个相等的实数根．
故答案为：当 𝑎≠2 时，方程有两个不相等的实数根；当 𝑎= 2 时，方程有两个相等的实数根．
【变式2-1】（25-26 八年级下·山东泰安·期中）若点(𝑚,𝑛)在第四象限，则关于x 的方程𝑚𝑥2−𝑥+ 𝑛= 0的根
的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
【答案】B
【分析】先根据点所在象限得到𝑚、𝑛的符号，再计算一元二次方程的根的判别式，通过判别式的符号即可
判断方程根的情况．
【详解】解：∵点(𝑚,𝑛)在第四象限，
∴𝑚> 0，𝑛< 0，
∵𝑚𝑥2−𝑥+ 𝑛= 0中𝑚≠0是一元二次方程，
∴Δ = (−1)2−4𝑚𝑛= 1−4𝑚𝑛，
∵𝑚> 0，𝑛< 0，
∴𝑚𝑛< 0，
∴−4𝑚𝑛> 0，
∴Δ = 1−4𝑚𝑛> 1 > 0，
∴方程有两个不相等的实数根．
【变式2-2】已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x 的方程𝑘𝑥2−(𝑘+ 2)𝑥+
1
4𝑘= 0进行了讨论：甲
说：这一定是关于x 的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x 的一元一次方程；丙说：只有当𝑘≥−1且𝑘≠0
时，该方程有实数根；丁说：当𝑘≥−1时，该方程有实数根（ ）
A．甲和丙说的对
B．甲和丁说的对
C．乙和丁说的对
D．乙和丙说的对
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的概念，可以判断甲、乙；分类讨论，即当𝑘= 0时，此时方程一定有实数根，
当𝑘≠0时，根据根的判别式，可以得到𝑘的取值范围，将取值范围合并即可得到方程有实数根时，𝑘的取值
范围．
【详解】解：当𝑘= 0时，𝑘𝑥2−(𝑘+ 2)𝑥+
1
4𝑘= 0为一元一次方程，故甲的说法错误，乙的说法正确；
①当𝑘= 0时，方程为−2𝑥= 0，此时方程的根为𝑥= 0，即k 可以取0；
②当𝑘≠0时，方程为一元二次方程，当Δ ≥0时，方程有实数根，即(𝑘+ 2)2−4 ×
1
4𝑘× 𝑘= (𝑘+ 2)2−𝑘2 ≥0，
解得𝑘≥−1，
∴𝑘≥−1且𝑘≠0，
综上所述：当𝑘≥−1时，方程有实数根，故丁的说法正确，丙的说法错误，
综上，乙和丁说的对．
【变式2-3】（25-26 九年级上·河南漯河·期末）关于𝑥的方程(𝑥−5)(𝑥−1)−𝑞2 = 0的根的情况，下列说法正
确的是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式，将方程化为一般式，计算判别式，根据判别式的值判断根的情况．
【详解】解：原方程化为一般形式：𝑥2−6𝑥+ (5−𝑞2) = 0.
判别式Δ = (−6)2−4 × 1 × (5−𝑞2) = 36−20 + 4𝑞2 = 16 + 4𝑞2 = 4(4 + 𝑞2)，
∵𝑞2 ≥0，
∴4 + 𝑞2 ≥4 > 0，
∴Δ > 0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【题型3 二次项系数为常数——知根的情况求参数的取值范围】
【例3】（2026·河南许昌·一模）若关于x 的一元二次方程3𝑥2−6𝑥+ 𝑚= 0有两个相等的实数根，则实数m
的值为（ ）
A．−3
B．−1
C．0
D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，若Δ = 𝑏2
−4𝑎𝑐> 0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= 0，则方程有两个相等的实数根，若Δ = 𝑏2
−4𝑎𝑐< 0，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程3𝑥2−6𝑥+ 𝑚= 0有两个相等的实数根，
∴Δ = (−6)2−4 × 3𝑚= 0，
∴𝑚= 3．
【变式3-1】（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）关于一元二次方程𝑥2−2𝑥+ 𝑘= 0，下列说法正确的是（ ）
A．若方程有实数根，则𝑘≤1
B．若方程无实数根，则𝑘> 2
C．当𝑘= 1时，方程有两个不相等的实数根
D．当𝑘= 2时，方程的根为𝑥1 = 𝑥2 = 1
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，由一元二次方程的一般式可得Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= 4−4𝑘，
再根据判别式与根的关系逐一分析选项即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程𝑥2−2𝑥+ 𝑘= 0中，𝑎= 1，𝑏= −2，𝑐= 𝑘，
∴判别式Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= (−2)2−4 × 1 × 𝑘= 4−4𝑘，
A、若方程有实数根，则Δ ≥0，即4−4𝑘≥0，
解得𝑘≤1，故A正确，符合题意；
B、若方程无实数根，则Δ < 0，即4−4𝑘< 0，
解得𝑘> 1，故B错误，不符合题意；
C、当𝑘= 1时，Δ = 4−4 × 1 = 0，
∴方程有两个相等的实数根，故C错误，不符合题意；
D、当𝑘= 2时，Δ = 4−4 × 2 = −4 < 0，
∴方程无实数根，故D错误，不符合题意；
故选：A．
【变式3-2】（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x 的一元二次方程𝑥2−𝑥+
1
4𝑚= 0有两个实数根，
设此方程的一个实数根为b，令𝑦= −4𝑏2 +4𝑏−3𝑚+ 3 ，则y 的最小值为__________．
【答案】1
【分析】由一元二次方程根的判别式先求解𝑚≤1，根据一元二次方程的解的定义得出𝑏2−𝑏= −
1
4𝑚代入二
次函数，再由一次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵ 关于x 的一元二次方程𝑥2−𝑥+
1
4𝑚= 0有两个实数根，
∴Δ = (−1)2−4 × 1 ×
1
4𝑚≥0，
解得：𝑚≤1，
设此方程的一个实数根为b，
∴𝑏2−𝑏= −
1
4𝑚，
∴ 𝑦= −4𝑏2 +4𝑏−3𝑚+ 3 = −4(𝑏2−𝑏)−3𝑚+ 3 = −4 × −
1
4 𝑚−3𝑚+ 3 = −2𝑚+ 3
∵𝑚≤1，−2 < 0，
∴y 随m 的增大而减小，
当𝑚= 1时，y 取得最小值为−2 + 3 = 1．
【变式3-3】（25-26 八年级下·浙江丽水·期中）等腰△𝐴𝐵𝐶的一边长为5，另外两边的长恰好是方程2𝑥2
−12𝑥+ 𝑚= 0的两个根，则𝑚的值为______．
【答案】10或18
【分析】分两类讨论，当5是方程的根，则2 × 52−12 × 5 + 𝑚= 0，计算得𝑚= 10，经检验𝑚= 10符合题
意；当5不是方程的根，则原方程有两个相等的实根，即Δ = 144−8𝑚= 0，解得𝑚= 18，经检验𝑚= 18符
合题意．
【详解】解：设方程的两根为𝑥1和𝑥2，
∵△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，
∴𝑥1 = 5或𝑥2 = 5或𝑥1 = 𝑥2，
①当𝑥1 = 5或𝑥2 = 5时，
∵5为方程2𝑥2−12𝑥+ 𝑚= 0的根，
∴2 × 52−12 × 5 + 𝑚= 0，解得𝑚= 10，
∴原方程为2𝑥2−12𝑥+ 10 = 0，
解得𝑥= 1或5，
此时△𝐴𝐵𝐶的三边长为1，5，5，符合题意；
②当𝑥1 = 𝑥2时，
∴Δ = (−12)2−4 × 2 × 𝑚= 144−8𝑚= 0，
解得𝑚= 18，
∴原方程为2𝑥2−12𝑥+ 18 = 0，
解得𝑥1 = 𝑥2 = 3，
此时△𝐴𝐵𝐶的三边长为3，3，5，符合题意；
综上所述，𝑚的值为10或18．
【题型4 二次项系数含参——知根的情况求参数的取值范围】
【例4】（2026·山东滨州·一模）若关于x 的一元二次方程 𝑎𝑥2−2𝑥−3 = 0有两个不相等的实数根，则实数
a 的取值范围为______．
【答案】𝑎> −
1
3且𝑎≠0
【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式𝛥> 0建立不等式，联立求
解即可得到𝑎的取值范围．
【详解】解：∵关于𝑥的方程𝑎𝑥2−2𝑥−3 = 0是一元二次方程，
∴ 𝑎≠0，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴根据一元二次方程根的判别式𝛥= 𝑏2−4𝑎𝑐> 0，
即：(−2)2−4 × 𝑎× (−3) > 0，
计算得4 + 12𝑎> 0，
解得：𝑎> −
1
3，
∴实数𝑎的取值范围是𝑎> −
1
3且𝑎≠0．
【变式4-1】（25-26 八年级下·山东淄博·期中）已知关于x 的方程(𝑚2−4)𝑥2 +2(𝑚+ 1)𝑥+ 1 = 0有实数根，
则m 的取值范围是（ ）
A．𝑚≥−
5
2且𝑚≠± 2
B．𝑚≠± 2
C．𝑚≥
5
2 D．𝑚≥−
5
2
【答案】D
【分析】分情况讨论，根据一元二次方程和一元一次方程的定义，以及根的判别式解答即可．
【详解】解：根据题意得，方程(𝑚2−4)𝑥2 +2(𝑚+ 1)𝑥+ 1 = 0有实数根
当𝑚2−4 ≠0时，该方程为一元二次方程，
∴判别式𝛥= 2(𝑚+ 1)
2
−4(𝑚2−4) × 1 ≥0，
解得：𝑚≥−
5
2，
∵𝑚2−4 ≠0，
∴𝑚≠± 2，
∴当方程为一元二次方程时，m 的取值范围是𝑚≥−
5
2且𝑚≠± 2；
当𝑚2−4 = 0时，该方程可化为为2(𝑚+ 1)𝑥+ 1 = 0，
∵𝑚2−4 = 0，
解得𝑚=± 2，
此时2(𝑚+ 1) ≠0，
∴当𝑚=± 2时，方程为一元一次方程，此时方程也有实数根，
综上所述，m 的取值范围是𝑚≥−
5
2．
【变式4-2】已知关于x 的一元二次方程(𝑚2−1)𝑥2 +2(𝑚−2)𝑥+ 1 = 0有实数根，当m 取最大整数值时，代
数式3𝑥2 +12𝑥+ 3的值为______．
【答案】6
【分析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于或等于0，且𝑚2−1 ≠0，进而求得𝑚的值，得到𝑥2
+4𝑥= 1，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程(𝑚2−1)𝑥2 +2(𝑚−2)𝑥+ 1 = 0有实数根，则𝑚2−1 ≠0，
∴Δ = 2(𝑚−2)
2
−4(𝑚2−1) ≥0，且𝑚≠± 1，
解得𝑚≤
5
4，且𝑚≠± 1，
∴m 取最大整数为0，此时原方程为−𝑥2−4𝑥+ 1 = 0，
即𝑥2 +4𝑥= 1，
∴代数式3𝑥2 +12𝑥+ 3 = 3(𝑥2 + 4𝑥) +3 = 3 + 3 = 6．
【变式4-3】（25-26 八年级下·安徽池州·期中）已知关于x 的一元二次方程(𝑚−1)𝑥2−2𝑥−1 = 0有两个不相
等的实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)如果方程的一个根为1，求另一个根和m 的值．
【答案】(1)𝑚> 0且𝑚≠1
(2)𝑚= 4，另一根为−
1
3
【分析】（1）根据一元二次方程定义得出：𝑚≠1，根据关于x 的一元二次方程(𝑚−1)𝑥2−2𝑥−1 = 0有两
个不相等的实数根，得出(−2)2−4(𝑚−1) × (−1) = 4𝑚> 0，即可得出答案；
（2）先将𝑥= 1代入方程，求出𝑚= 4，再𝑚= 4代入原方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵𝑚−1 ≠0，
∴𝑚≠1，
∵Δ = (−2)2−4(𝑚−1) × (−1) = 4𝑚> 0，
∴𝑚> 0，
故𝑚> 0且𝑚≠1．
（2）解：将𝑥= 1代入一元二次方程得：𝑚−1−2−1 = 0，
∴𝑚= 4，
∴原方程化为：3𝑥2−2𝑥−1 = 0．
解得：𝑥1 = 1，𝑥2 = −
1
3，
故𝑚= 4，另一根为−
1
3．
【题型5 根的判别式联系代数】
【例5】若实数a，b 满足𝑏2−𝑎𝑏+
1
4𝑎2−𝑎+ 2 = 0，则a 的取值范围是______．
【答案】𝑎≥2
【分析】根据题意得到其根的判别式为非负数，据此求得a 的取值范围即可．
【详解】解：因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程𝑏2−𝑎𝑏+
1
4𝑎2−𝑎+ 2 = 0，
△=(-a)2-4×1×(
1
4𝑎2−𝑎+ 2)≥0，解得a≥2．
故答案为：a≥2．
【点睛】本题考查根的判别式的应用，牢记根的判别式以及正确求解不等式成为解答本题的关键．
【变式5-1】（25-26 九年级上·江苏南通·阶段检测）已知实数𝑎,𝑏,𝑐满足：𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 2,𝑎𝑏𝑐= 4．求|𝑎| + |𝑏|
+ |𝑐|的最小值_______________
【答案】6
【分析】用分类讨论的思想，解决问题即可．
【详解】解：不妨设a 是a，b，c 中的最大者，即𝑎≥𝑏，𝑎≥𝑐，由题设知𝑎> 0，
且𝑏+ 𝑐= 2−𝑎，𝑏𝑐=
4
𝑎，
于是b，c 是一元二次方程𝑥2−(2−𝑎)𝑥+
4
𝑎= 0的两实根，
∴Δ = (2−𝑎)2−4 ×
4
𝑎≥0，即(𝑎2 + 4)(𝑎−4) ≥0，
所以𝑎≥4．
又当𝑎= 4，𝑏= 𝑐= −1时，满足题意．
故a，b，c 中最大者的最小值为4．
因为𝑎𝑏𝑐= 4 > 0，所以a，b，c 为全大于0 或一正二负．
①若a，b，c 均大于0，a，b，c 中的最大者不小于4，这与𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 2矛盾．
②若a，b，c 为或一正二负，
不妨设𝑎> 0，𝑏< 0，𝑐< 0，则|𝑎| + |𝑏| + |𝑐| = 𝑎−𝑏−𝑐= 𝑎−(2−𝑎) = 2𝑎−2，
∵𝑎≥4，
故2𝑎−2 ≥6，
当𝑎= 4，𝑏= 𝑐= −1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．
故|𝑎| + |𝑏| + |𝑐|的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查绝对值，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，题目比较难，
属于竞赛题目．
【变式5-2】已知实数x、y 满足4𝑥2 +2 = 𝑦2，则𝑥−𝑦的取值范围是_______．
【答案】𝑥−𝑦≥
6
2 或𝑥−𝑦≤−
6
2
【分析】设𝑤= 𝑥−𝑦，则𝑦= 𝑥−𝑤，代入4𝑥2 +2 = 𝑦2，得到关于x 的方程，根据题意此方程有解，利用根
的判别式即可求解．
【详解】解：设𝑤= 𝑥−𝑦，则𝑦= 𝑥−𝑤，
∵4𝑥2 +2 = 𝑦2，
∴4𝑥2 +2 = (𝑥−𝑤)2，整理得3𝑥2 +2𝑤𝑥+ 2−𝑤2 = 0，
由题意得，Δ = (2𝑤)2−4 × 3 × (2−𝑤2) ≥0，
整理得𝑤2 ≥
3
2，解得|𝑤| ≥
6
2 ，
∴
𝑤> 0
𝑤≥
6
2
或
𝑤≤0
𝑤≤−
6
2
，即𝑤≥
6
2 或𝑤≤−
6
2 ，
∴𝑥−𝑦的取值范围是𝑥−𝑦≥
6
2 或𝑥−𝑦≤−
6
2 ，
故答案为：𝑥−𝑦≥
6
2 或𝑥−𝑦≤−
6
2 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是消去y 得到关于x 的方程，利用根的判别式求
解．
【变式5-3】设a，b，c 为互不相等的实数，且满足关系式：b2+c2＝2a2+16a+14①bc＝a2﹣4a﹣5②．求a
的取值范围．
【答案】a 的取值范围为a＞﹣1 且𝑎≠−
5
6且𝑎≠
1± 21
4
．
【分析】先通过代数式变形得（b+c）2=2a2+16a+14+2（a2-4a-5）=4a2+8a+4=4（a+1）2，即有b+c=±2
（a+1）．有了b+c 与bc，就可以把b，c 可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2-4a-5=0③的两个不相等实数
根，由△=4（a+1）2-4（a2-4a-5）=24a+24＞0，得到a＞-1．再排除a=b 和a=c 时的a 的值．先设a=b 和
a=c，分别代入方程③，求得a 的值，则题目要求的a 的取值范围应该是在a＞-1 的前提下排除求得的a 值．
【详解】∵b2+c2＝2a2+16a+14，bc＝a2﹣4a﹣5，
∴（b+c）2＝2a2+16a+14+2（a2﹣4a﹣5）＝4a2+8a+4＝4（a+1）2，
即有b+c＝±2（a+1）．
又bc＝a2﹣4a﹣5，
所以b，c 可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2﹣4a﹣5＝0③的两个不相等实数根，
故△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣4a﹣5）＝24a+24＞0，
解得a＞﹣1．
若当a＝b 时，那么a 也是方程③的解，
∴a2±2（a+1）a+a2﹣4a﹣5＝0，
即4a2﹣2a﹣5＝0 或﹣6a﹣5＝0，
解得，a =
1± 21
4
或𝑎= −
5
6．
当a＝c 时，同理可得a =
1± 21
4
或𝑎= −
5
6．
所以a 的取值范围为a＞﹣1 且𝑎≠−
5
6且a ≠
1± 21
4
．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的求根公式：𝑥=
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
(𝑏2−4𝑎𝑐⩾0)，
同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的根的判别式b2-4ac 和根与系数的关系．
【题型6 根的判别式融汇函数】
【例6】（25-26 九年级上·江西景德镇·期中）若一元二次方程2𝑥2−3𝑥+ 𝑘= 0没有实数根，则直线𝑦= 𝑘𝑥−2
不经过第________象限．
【答案】二
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一次函数图象与系数的关系．由一元二次方程没有实数根
可得判别式小于零，从而求出𝑘的取值范围，再根据一次函数的斜率与截距判断直线所经过的象限．
【详解】解：∵ 一元二次方程 2𝑥2−3𝑥+ 𝑘= 0 没有实数根，
∴ 判别式 Δ = (−3)2−4 × 2 × 𝑘= 9−8𝑘< 0，
解得 𝑘>
9
8，
∵ 𝑘>
9
8 > 0，
∴ 一次函数𝑦= 𝑘𝑥−2 中，斜率𝑘> 0，截距−2 < 0，
∴直线𝑦= 𝑘𝑥−2经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．
【变式6-1】一元二次方程𝑥2−4𝑥+ 𝑚= 0有两个相等的实数根，点𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(𝑥2,𝑦2)是一次函数
𝑦= −𝑚𝑥+ 𝑚上的两个点，若𝑥1 < 𝑥2 < 0，则𝑦1______𝑦2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【答案】＞
【分析】首先根据题意和一元二次方程根的判别式，即可求得m 的值，再根据一次函数的性质，即可解答．
【详解】解：∵一元二次方程𝑥2−4𝑥+ 𝑚= 0有两个相等的实数根，
∴Δ = (−4)2−4𝑚= 0，
解得m=4，
∴一次函数的解析式为𝑦= −4𝑥+ 4，
∵−4<0，
∴一次函数𝑦= −4𝑥+ 4的图象中，y 随x 的增大而减小，
∵点𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(𝑥2,𝑦2)是一次函数𝑦= −𝑚𝑥+ 𝑚上的两个点，且𝑥1 < 𝑥2 < 0，
∴𝑦1>𝑦2，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象和性质，熟练掌握和运用一元二次方程根
的判别式及一次函数的性质是解决本题的关键．
【变式6-2】（25-26 九年级上·安徽芜湖·期中）若关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两个实
数根为𝑥1,𝑥2(𝑥1 ≥𝑥2)，分别以𝑥1,𝑥2为横坐标和纵坐标得到点𝑄(𝑥1,𝑥2)，则称𝑄(𝑥1,𝑥2)为该一元二次方程的衍
生点．
(1)方程𝑥2 +3𝑥+ 2 = 0的衍生点坐标为______．
(2)若关于x 的一元二次方程𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0的衍生点坐标为(3,1)，求b 和c 的值．
(3)若关于x 的一元二次方程𝑥2−2𝑥+ 2𝑚+ 3 = 0的衍生点为M，且点M 在直线𝑦= 𝑥上，求m 的值．
【答案】(1)(−1,−2)
(2)𝑏= −4,𝑐= 3
(3)𝑚= −1
【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式以及根与系数的关系，解题关键是理解题意并正确计算．
（1）根据题意解出方程的两个根，再根据衍生点的定义即可求出M 点坐标．
（2）根据衍生点的定义可得到方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系，解答即可；
（3）根据点M 在直线𝑦= 𝑥上，可得𝑥1 = 𝑥2，再利用根的判别式即可解出答案．
【详解】（1）解：𝑥2 +3𝑥+ 2 = 0，
解得：𝑥1 = −1,𝑥2 = −2，
∴方程𝑥2 +3𝑥+ 2 = 0的衍生点坐标为(−1,−2)．
故答案为：(−1,−2)
（2）解：∵方程𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0的衍生点坐标为(3,1)，
∴方程的两根为𝑥1 = 3,𝑥2 = 1．
∴𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎= −𝑏= 4，𝑥1 ⋅𝑥2 =
𝑐
𝑎= 𝑐= 3，
∴𝑏= −4,𝑐= 3；
（3）解：∵方程𝑥2−2𝑥+ 2𝑚+ 3 = 0的衍生点为M，且点M 在直线𝑦= 𝑥上，
∴𝑥1 = 𝑥2，即该方程有两个相等的实数根，
∴Δ = (−2)2−4 × (2𝑚+ 3) = 0，
解得：𝑚= −1．
【变式6-3】（24-25 九年级上·山东青岛·期中）如图，直线𝐴𝐵交𝑥轴于点𝐴
3
2 ,0 ，交𝑦轴于点𝐵(0,3)，点𝑃在
线段𝐴𝐵上（不与点𝐴，𝐵重合），过点𝑃作𝑂𝐴的垂线，垂足为𝐶．
(1)求直线𝐴𝐵的函数关系式；
(2)当△𝑃𝑂𝐶的面积为
1
2时，求𝑃点的坐标；
(3) △𝑃𝑂𝐶的面积能达到1吗？请说明理由．
【答案】(1)直线𝐴𝐵的函数关系式为𝑦= −2𝑥+ 3；
(2)𝑃(1,1)或
1
2 ,2 ；
(3) △𝑃𝑂𝐶的面积不能达到1，理由见解析．
【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，一元二次方
程根的情况，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
（1）设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，把𝐴
3
2 ,0 ，𝐵(0,3)代入𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏解方程组得到直线𝐴𝐵的函数关系
式为𝑦= −2𝑥+ 3；
（2）设𝑃(𝑎,−2𝑎+ 3)，求得𝑂𝐶= 𝑎,𝑃𝐶= −2𝑎+ 3，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（3）假如△𝑃𝑂𝐶的面积能达到1，得到
1
2 × 𝑎× (−2𝑎+ 3) = 1，整理得2𝑎2−3𝑎+ 2 = 0，由于Δ
= 9−16 = −7 < 0，于是得到方程
1
2 × 𝑎× (−2𝑎+ 3) = 1无实数根，即可得到结论．
【详解】（1）解：设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏．
把𝐴
3
2 ,0 ，𝐵(0,3)代入𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏得
3 = 𝑏
0 = 3
2 𝑘+ 𝑏
，
解得
𝑘= −2
𝑏= 3
∴直线𝐴𝐵的函数关系式为𝑦= −2𝑥+ 3；
（2）解：设𝑃(𝑎,−2𝑎+ 3)，
∵𝑃𝐶⊥𝑂𝐴．
∴𝑂𝐶= 𝑎,𝑃𝐶= −2𝑎+ 3．
∵△𝑃𝑂𝐶的面积为
1
2，
∴
1
2𝑂𝐶⋅𝑃𝐶=
1
2 × 𝑎× (−2𝑎+ 3) =
1
2，
∴𝑎= 1或𝑎=
1
2，
当𝑎= 1时，−2𝑎+ 3 = 1，当𝑎=
1
2时，−2𝑎+ 3 = 2，
∴𝑃(1,1)或
1
2 ,2 ；
（3）解：△𝑃𝑂𝐶的面积不能达到1．理由如下：
假如△𝑃𝑂𝐶的面积能达到1．则
1
2 × 𝑎× (−2𝑎+ 3) = 1，
整理得2𝑎2−3𝑎+ 2 = 0．
∴Δ = 9−16 = −7 < 0，
∴方程
1
2 × 𝑎× (−2𝑎+ 3) = 1无实数根，
故△𝑃𝑂𝐶的面积不能达到1．
【题型7 根的判别式结合几何】
【例7】（24-25 八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，点𝐸是𝐵𝐶上一
点，连接𝐴𝐸，𝐷𝐸，已知𝐴𝐸= 𝐷𝐸，∠𝐴𝐸𝐷= 90°．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐸𝐶𝐷；
(2)已知𝐴𝐵= 𝑚，𝐵𝐸= 𝑛，𝐴𝐸= 𝑞，以𝑚，2𝑞，𝑛为二次项系数、一次项系数和常数项构造关于𝑥的一元二
次方程𝑚𝑥2 +
2𝑞𝑥+ 𝑛= 0，称为勾股方程．
①若勾股方程𝑚𝑥2 +
2𝑞𝑥+ 𝑛= 0有两个相等的实数根，求证：𝑞=
2𝑚；
②若𝑥= −1是勾股方程𝑚𝑥2 +
2𝑞𝑥+ 𝑛= 0的一个根，且四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长是12 2，求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面
积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②16
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，一元二次方程的解的定义，根的判别式，
熟知相关知识是解题的关键。
（1）可证明∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐸𝐷，据此可利用AAS证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐸𝐶𝐷；
（2）①由根的判别式得到Δ =
2𝑞
2
−4𝑚𝑛= 2𝑞2−4𝑚𝑛= 0．由勾股定理可得𝑞2 = 𝑚2 + 𝑛2．则2
(𝑚2 + 𝑛2)−4𝑚𝑛= 2(𝑚−𝑛)2 = 0，据此得到𝑚= 𝑛，则可得𝑞=
2𝑚．
②由全等三角形的性质得到𝐶𝐸= 𝐴𝐵= 𝑚，𝐶𝐷= 𝐵𝐸= 𝑛，𝐷𝐸= 𝐴𝐸= 𝑞，则𝐴𝐷=
2𝑞．根据一元二次方
程的解的定义得到𝑚+ 𝑛=
2𝑞．根据四边形周长计算公式可得2(𝑚+ 𝑛) +
2𝑞= 12 2．则𝑚+ 𝑛= 4 2，
再根据梯形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐸𝐵+ ∠𝐶𝐸𝐷= 90°．
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐸𝐷．
又∵𝐴𝐸= 𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐸𝐶𝐷(AAS)．
（2）解：①∵方程𝑚𝑥2 +
2𝑞𝑥+ 𝑛= 0有两个相等的实数根，
∴Δ =
2𝑞
2
−4𝑚𝑛= 2𝑞2−4𝑚𝑛= 0．
∵𝐴𝐵= 𝑚，𝐵𝐸= 𝑛，𝐴𝐸= 𝑞，∠𝐴𝐵𝐸= 90°，
∴𝐴𝐸2 = 𝐴𝐵2 +𝐵𝐸2，即𝑞2 = 𝑚2 + 𝑛2．
把𝑞2 = 𝑚2 + 𝑛2代入2𝑞2−4𝑚𝑛= 0，得2(𝑚2 + 𝑛2)−4𝑚𝑛= 2(𝑚−𝑛)2 = 0．
∴𝑚= 𝑛．
∴𝑞2 = 𝑚2 + 𝑛2 = 2𝑚2，
∵𝑚> 0，𝑞> 0，
∴𝑞=
2𝑚．
②由（1）知△𝐴𝐵𝐸≌△𝐸𝐶𝐷，
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐵= 𝑚，𝐶𝐷= 𝐵𝐸= 𝑛，𝐷𝐸= 𝐴𝐸= 𝑞，
∴𝐴𝐷=
𝐷𝐸2 + 𝐴𝐸2 =
2𝑞．
当𝑥= −1时，𝑚−2𝑞+ 𝑛= 0，则𝑚+ 𝑛=
2𝑞．
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长是12 2，
∴2(𝑚+ 𝑛) +
2𝑞= 12 2．
∴2(𝑚+ 𝑛) + (𝑚+ 𝑛) = 12 2．
∴𝑚+ 𝑛= 4 2．
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=
1
2(𝑚+ 𝑛)2 =
1
2 × (4 2)
2
= 16．
【变式7-1】定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB
＝2，BC＝1，将△ABC 沿∠ABC 的平分线BB'的方向平移，得到A'B'C'，连接AC'，CC'，若四边形ABCC'是
等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是_____．
【答案】1 或
5
2 2．
【分析】由平移的性质得到𝐵𝐵′ = 𝐶𝐶′,𝐴′𝐵′//𝐴𝐵,𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵= 2,𝐵′𝐶′ = 𝐵𝐶= 1,𝐴′𝐶′ = 𝐴𝐶=
5，① 当𝐶𝐶′
= 𝐵𝐶时，𝐵𝐵′ = 𝐶𝐶′ = 𝐵𝐶= 1；② 如图1，当𝐴𝐶′ = 𝐴𝐵= 2时，③如图2，当𝐴𝐶′ = 𝐶𝐶′时，则𝐴𝐶′ = 𝐵
𝐵′，延长𝐶′𝐵′交AB 于H，设𝐵𝐻= 𝐵′𝐻= 𝑥，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵将Rt△ABC 平移得到△𝐴′𝐵′𝐶′，
∴𝐵𝐵′ = 𝐶𝐶′,𝐴′𝐵′//𝐴𝐵,𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵= 2,𝐵′𝐶′ = 𝐵𝐶= 1,𝐴′𝐶′ = 𝐴𝐶=
5,
① 当𝐶𝐶′ = 𝐵𝐶时，𝐵𝐵′ = 𝐶𝐶′ = 𝐵𝐶= 1；
②如图1，当𝐴𝐶′ = 𝐴𝐵= 2时，
∵∠ABC＝90°，𝐵𝐵′是∠ABC 的角平分线，
∴∠𝐵′𝐵𝐴= 45°，
延长𝐶′𝐵′交AB 于H，
∵𝐴′𝐵′//𝐴𝐵,∠𝐴′𝐵′𝐶′ = 90°，
∴∠𝐴𝐻𝐶′ = ∠𝐴′𝐵′𝐶′ = 90°，
∴∠𝐵𝐻𝐵′ = 90°，
设𝐵𝐻= 𝐵′𝐻= 𝑥，
∴𝐵𝐵′ =
2𝑥,𝐴𝐻= 2−𝑥,𝐶′𝐻= 1 + 𝑥，
∵𝐴𝐶′2 = 𝐴𝐻2 + 𝐶′𝐻2
∴22＝（2﹣x）2+（1+x）2，
整理方程为：2x2﹣2x+1＝0，
∵△＝4﹣8＝﹣4＜0，
∴此方程无实数根，故这种情况不存在；
③如图2，当当𝐴𝐶′ = 𝐶𝐶′时，则𝐴𝐶′ = 𝐵𝐵′，
延长𝐶′𝐵′交AB 于H，
∵𝐴′𝐵′//𝐴𝐵,∠𝐴′𝐵′𝐶′ = 90°，
∴∠𝐴𝐻𝐶′ = ∠𝐴′𝐵′𝐶′ = 90°，
∴∠𝐵𝐻𝐵′ = 90°，
设𝐵𝐻= 𝐵′𝐻= 𝑥，
∴𝐵𝐵′ = 𝐴𝐶′ =
2𝑥,𝐴𝐻= 2−𝑥,𝐶′𝐻= 1 + 𝑥，
∵𝐴𝐶′2 = 𝐴𝐻2 + 𝐶′𝐻2
∴（2x）2＝（2﹣x）2+（1+x）2，
解得：x＝
5
2，
∴BB′＝
5
2 2，
综上所述，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是1 或
5
2 2，
故答案为：1 或
5
2 2．
【点睛】此题主要考查勾股定理，平移的性质，理解“等邻边四边形”的定义是解本题的关键．
【变式7-2】已知a、b 为实数，关于x 的方程|𝑥2 + 𝑎𝑥+ 𝑏| = 2恒有三个不等的实根．
（1）求b 的最小值；
（2）若该方程的三个不等实根，恰好是一个三角形内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°；
（3）若该方程的三个不等实根恰为一个直角三角形的三条边，求a 和b 的值．
【答案】（1）-2；（2）见解析；（3）a=-16，b=62
【分析】（1）由绝对值的意义，原方程可以化为两个方程，又因为原方程有三个根，所以这两个方程中有
一个方程是有不等实数根，有一个方程有两相等实数根，用一元二次方程根的判别式确定答案；
（2）根据三角形三内角和为180°，以及一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和求出a 的值，然后确
定三角形的内角；
（3）根据根与系数的关系，利用勾股定理进行计算，求出a，b 的值．
【详解】解：（1）由原方程得：x2+ax+b-2=0①，x2+ax+b+2=0②，
两方程的判别式分别为：△1=a2-4b+8，△2=a2-4b-8，
∵原方程有三个根，
∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根，
即△1，△2 中必有一个大于0，一个等于0，比较△1，△2，显然△1＞△2，
∴△1＞0，△2=0，
即𝑎2−4𝑏−8 = 0
𝑎2−4𝑏+ 8 > 0
，得
𝑏= 1
4 𝑎2−2
𝑏< 1
4 𝑎2 + 2
，
由
1
4𝑎2−2 <
1
4𝑎2 +2，可知a 取任意实数，
∴当 a=0 时，b 的最小值是-2；
（2）由（1），设x2+ax+b=2 的根为x1，x2，x2+ax+b=-2 的根为x3
∴x1+x2=-a，x3＝−
𝑎
2，
由已知x1+x2+x3=180°，即−a−
𝑎
2＝180°，得a=-120
∴x3=60°即该三角形必有一个内角是60°
（3）由△2＝a2−4b−8=0，知a2-4b=8，得△1＝a2−4b+8＝16
所以x2+ax+b=2 的根为x1，2＝
−𝑎±4
2 ，
∵
−𝑎+4
2
>
−𝑎
2 >
−𝑎−4
2 ，
∴
−𝑎+4
2
2
=
−𝑎
2
2
+
−𝑎−4
2
2
，得a=-16，或a=0，
当a=0 时，x3＝−
𝑎
2＝0，不可能．
∴a=-16，b＝
𝑎2−8
4 =62．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，（1）题根据方程的根的情况，用一元二次方程根的
判别式进行求解．（2）题根据一元二次方程根与系数的关系以及三角形三内角和是180°进行证明．（3）
题根据一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理，并用（1）题中的结论进行计算求出a，b 的值．
【变式7-3】（2025 八年级下·浙江·专题练习）(1)试用一元二次方程的求根公式，探索方程𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根互为相反数的条件是 ．
(2)已知𝑥、𝑦为实数，3𝑥−2 + 𝑦2−4𝑦+ 4 = 0，则
𝑥
𝑦= ．
(3)在直角梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐶= 90度，𝐵𝐶= 16，𝐴𝐷= 21，𝐷𝐶= 12，动点𝑃从点𝐷出发，沿线段𝐷𝐴
方向以每秒2 个单位长度的速度运动，动点𝑄从点𝐶出发，在线段𝐶𝐵以每秒1 个单位长度的速度向点𝐵运
动．点𝑃、𝑄分别从点𝐷、𝐶同时出发，当点𝑃运动到点𝐴时，点𝑄随之停止运动，设运动时间为𝑡秒．
①设Δ𝐵𝑃𝑄的面积为𝑆，求𝑆和𝑡之间的函数关系式；
②当𝑡为何值时，以𝐵、𝑃、𝑄三点为顶点的三角形是等腰三角形？（分类讨论）
【答案】(1)𝑏= 0，且𝑎，𝑐异号
(2)
1
3
(3)①𝑆= 96−6𝑡；②𝑡=
7
2或𝑡=
16
3 ，𝐵、𝑃、𝑄三点为顶点三角形是等腰三角形
【分析】本题考查了根与系数的关系；根式和完全平方式的意义；三角形面积公式及勾股定理的应用．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于−
𝑏
𝑎= 0，可求出𝑏= 0；
（2）先将原式变形为3𝑥−2 + (𝑦−2)2 = 0，再根据二次根式与平方都是非负数，即可求得𝑥=
2
3，𝑦= 2，
即可求得
𝑥
𝑦=
1
3．
（3）①作𝑃𝑀⊥𝐵𝐶，则𝑃𝑀= 𝐷𝐶，根据三角形的面积公式𝑆=
1
2𝐵𝑀⋅𝑃𝑀即可求解．
②若以𝐵、𝑃、𝑄三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：第一种：𝑃𝑄= 𝐵𝑄；第二种：
𝐵𝑃= 𝐵𝑄；第三种：若𝑃𝐵= 𝑃𝑄．根据勾股定理可求得𝑡=
7
2或𝑡=
16
3 ，𝐵、𝑃、𝑄三点为顶点三角形是等腰三
角形．
【详解】（1）解：依题意可知：𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎= 0，
∵𝑎≠0
∴𝑏= 0．
并且判别式△= 𝑏2−4𝑎𝑐≥0，则𝑎，𝑐异号．
故方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根互为相反数的条件是：𝑏= 0，且𝑎，𝑐异号．
故答案为：𝑏= 0，且𝑎,𝑐异号；
（2）解：3𝑥−2 + 𝑦2−4𝑦+ 4 = 0，
即3𝑥−2 + (𝑦−2)2 = 0，
∴3𝑥−2 = 0，𝑦−2 = 0，
∴𝑥=
2
3，𝑦= 2，
∴
𝑥
𝑦=
1
3．
故答案为：
1
3；
（3）解：①作𝑃𝑀⊥𝐵𝐶，垂足为𝑀．则四边形𝑃𝐷𝐶𝑀为矩形．
∴𝑃𝑀= 𝐷𝐶= 12
∵𝑄𝐵= 16−𝑡，
∴𝑆=
1
2 × 12(16−𝑡) = 96−6𝑡．
②由①可知𝐶𝑀= 𝑃𝐷= 2𝑡，𝐶𝑄= 𝑡，
若以𝐵、𝑃、𝑄三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
第一种：𝑃𝑄= 𝐵𝑄，在Rt △𝑃𝑀𝑄中，𝑃𝑄2 = 𝑃𝑀2 +𝑄𝑀2
则(16−𝑡)2 = 122 + 𝑡2，解𝑡=
7
2．
第二种：𝐵𝑃= 𝐵𝑄，在Rt △𝑃𝑀𝐵中，𝐵𝑃2 = (16−2𝑡)2 + 122，
则(16−2𝑡)2 + 122 = (16−𝑡)2，
整理得3𝑡2−32𝑡+ 144 = 0，
∵(−32)2−4 × 3 × 144 = −704 < 0，
∴方程无实根，
∴𝑃𝐵≠𝐵𝑄．
第三种：若𝑃𝐵= 𝑃𝑄，由𝑃𝐵2 = 𝑃𝑄2得𝑡2 + 122 = (16−2𝑡)2 + 122，解得𝑡1 =
16
3 ，𝑡2 = 16（舍去）
综上可知：𝑡=
7
2或𝑡=
16
3 ，𝐵、𝑃、𝑄三点为顶点三角形是等腰三角形．
