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专题05 二次函数图象与线段（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 二次函数与横竖线段】............................................................................................................................1
【题型2 二次函数与与斜线段】............................................................................................................................3
【题型3 二次函数与等线段】................................................................................................................................5
【题型4 二次函数与倍线段】................................................................................................................................7
【题型5 二次函数与平行】....................................................................................................................................9
【题型6 二次函数与垂直】..................................................................................................................................11
知识点1 横竖线段
类型
横线段
竖线段
图示
解题思路
AB∥x 轴⇒𝐴𝐵= |𝑥𝐴−𝑥𝐵|
AB∥y 轴⇒𝐴𝐵= |𝑦𝐴−𝑦𝐵|
【题型1 二次函数与横竖线段】
【例1】如图，二次函数𝑦= 𝑥2−4𝑥的图象与𝑥轴的正半轴交于点𝐴，经过点𝐴的直线与该函数图象交于点𝐵
(1,−3)，与𝑦轴交于点𝐶．
(1)求直线𝐴𝐵的函数表达式及点𝐶的坐标；
(2)点𝑃是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点𝑃作直线𝑃𝐸⊥𝑥轴于点𝐸，与直线𝐴𝐵交于点𝐷，设点𝑃
题型归纳
的横坐标为𝑚．当𝑃𝐷=
1
2𝑂𝐶时，求𝑚的值．
【变式1-1】已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑐经过点0，−1 和点1，0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，直线l 的解析式为𝑦= 𝑥+ 2，P 为抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线交直线l 于点Q，当𝑃𝑄= 3
时，求点P 的坐标．
【变式1-2】如图，抛物线𝑦=
1
2𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于C，直
线𝑦=
1
2𝑥−2经过B、C 两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是抛物线上的一动点，过点P 且垂直于x 轴的直线与直线𝐵𝐶及x 轴分别交于点D、M．设𝑀
𝑚，0 ，点P 在抛物线上运动，若P、D、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除
外），请直接写出符合条件的m 的值．
【变式1-3】如图，抛物线𝑦＝﹣𝑥2 +𝑏𝑥+ 3与x 轴交于点 𝐴，𝐵，与y 轴交于点C，点A 的坐标为﹣1，0 ．
(1)求b 的值和点B，C 的坐标；
(2)若点D 为𝑂𝐶的中点，点P 为第一象限内抛物线上的一点，过点P 作𝑃𝐻⊥𝑥轴，垂足为H，𝑃𝐻与𝐵𝐶，𝐵𝐷
分别交于点𝐸，𝐹，且𝑃𝐸= 𝐸𝐹= 𝐹𝐻，求点P 的坐标；
(3)若直线𝑦= 𝑛𝑥+ 𝑛（𝑛≠0）与抛物线交于𝑀𝑥1，𝑦1 ，𝑁𝑥2，𝑦2 两点，且有一个交点在第一象限，其中
𝑥1 < 𝑥2，若𝑥2−𝑥1 > 3，𝑦2 > 𝑦1，结合函数图象，探究n 的取值范围．
知识点2 斜线段
类型
勾股转化
特殊角转化
图示
解题思路
𝐴𝐵=
(𝑥𝐴−𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐴−𝑦𝐵)2
∠𝑂𝐵𝐶= 45°⇒𝑃𝐷=
2
2 𝑃𝐸=
2
2 |𝑦𝑃−𝑦𝐸|
【题型2 二次函数与斜线段】
【例2】（2025·湖北武汉·三模）已知，如图1，𝑂为平面直角坐标系的原点，过定点𝐶的直线𝑙:𝑦= 𝑘𝑥−
1
4𝑘+ 1
(𝑘≠0)与抛物线𝐿:𝑦= 2𝑥2交于点𝐴,𝐵（点𝐴在点𝐵左侧）．
(1)若𝐴−
1
2 ,
1
2 ，则求直线𝑙的解析式；
(2)若𝐴𝐶= 𝐵𝐶，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点𝐷，使以𝐴，𝐵，𝑂，𝐷为顶点的四边形是平行四边
形，若存在，求𝐷点的坐标，若不存在，请说明原因；
(3)如图2，分别过点𝐴,𝐵作与抛物线𝐿均有唯一公共点的直线𝑚,𝑛，直线𝑚,𝑛的交点为𝐸，若𝐸𝐶=
5
4，求𝑘的值．
【变式2-1】如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐过原点且交x 轴于点A，顶点B 的坐标为(2,−1)，抛物线的对称
轴上存在定点F，使得抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐上的任意一点到定点F 的距离与其到直线l：𝑦= −2的距离总
相等，过点F 的直线与抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐交于M，N 两点，MP，NQ 分别垂直直线l 于点P，Q，连接
FP，FQ．若𝐹𝑄=
5，则△FPQ 的面积为__________．
【变式2-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线𝐿:𝑦= 𝑎𝑥2−3𝑎𝑥+ 𝑐交𝑥轴于𝐴，𝐵(−1,0)
两点，交𝑦轴于点𝐶(0,−4)．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点𝐷为第四象限抛物线上一点，过点𝐷作𝑦轴平行线交直线𝐴𝐶于点𝐸，交𝑥轴于点𝐹．若𝐷𝐸= 𝐴𝐸，
求𝐷𝐸的长；
(3)将抛物线𝐿平移到顶点为坐标原点的抛物线𝐿1，直线𝑦= 𝑘𝑥−𝑘+ 2与抛物线𝐿1交于𝑀，𝑁两点（点𝑀始终
在点𝑁左侧），分别过点𝑀，𝑁与抛物线𝐿1均只存在唯一公共点的直线𝑚，𝑛与𝑥轴分别交于𝐺，𝐻．若𝐺𝐻=
2，求直线𝑚，𝑛的交点𝑃坐标．
【变式2-3】（2025·湖南益阳·模拟预测）如图1，已知抛物线𝐸:𝑦=
1
4𝑥2，将抛物线𝐸向下平移1个单位长度
后得到抛物线𝐹，记抛物线𝐹的顶点为𝑃，坐标原点𝑂关于𝑃点的对称点为𝑄，过点𝑄且平行于𝑥轴的直线记为𝑙，
抛物线𝐹上有一动点𝐴（𝐴位于𝑦轴的左边），连接𝐴𝑂并延长交抛物线𝐹于点𝐵，过点𝐵作𝐵𝐶平行𝑦轴交𝐴𝑃的延
长线于𝐶点．
(1)证明：𝐶点在直线𝑙上；
(2)过𝐴点作𝐴𝐷垂直𝑙，垂足为𝐷，证明：△𝐴𝑂𝐷是等腰三角形；
(3)如图2，已知线段𝑀𝑁的端点𝑀、𝑁均在抛物线𝐹上，且𝑀𝑁= 6，线段𝑀𝑁的中点为𝐺，当线段𝐺𝐶的长最小
时，求𝐴点的坐标．
知识点3 等线段
类型
等线段⟶勾股定理
等线段⟶等腰三角形
图示
解题思路
𝑃𝐴= 𝑃𝐵⇒𝑃𝐴2 = 𝑃𝐵2
𝑃𝐴= 𝑃𝐵⇒𝐴𝐷= 𝐵𝐷
【题型3 二次函数与等线段】
【例3】（24-25 九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，抛物线𝑦= −
1
2𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴交于𝐴、𝐵两点（𝐴
左𝐵右），交𝑦轴于点𝐶，直线𝑦= 𝑥分别交抛物线于𝐷、𝐸，连接𝐵𝐷，且𝑂𝐷= 4 2，𝑂𝐵= 4．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点𝑃为第二象限抛物线上一点，过点𝑃作𝑦轴的平行线交直线𝐷𝐸于𝑁．设𝑃点的横坐标为𝑚，线段𝑃𝑁的长力
𝑑；求𝑑与𝑚的函数关系式；（不要求写出自变量取值范围）．
(3)在（2）的条件下，过点𝐵作𝐵𝐺⊥𝐷𝐸，垂足为𝐺，过点𝑃作𝑃𝐻⊥𝐵𝐷，垂足为𝐻，若𝐺𝐻= 𝐺𝑃．求点𝑃的坐
标．
【变式3-1】（25-26 九年级上·全国·课后作业）如图，以A 为顶点的抛物线交y 轴于点B，已知A，B 两点
的坐标分别为(3,0),(0,4)，连接𝐴𝐵．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)若将y 轴向右平移6 个单位长度，请直接写出此时抛物线对应的函数解析式．
(3)抛物线上是否存在一点P，使得𝐴𝐵= 𝐴𝑃？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】已知抛物线𝑦= −𝑥2 +2𝑥+ 3与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧）．
(1)求点A，点B 的坐标；
(2)如图，过点A 的直线l：𝑦＝−𝑥−1与抛物线的另一个交点为C，点P 为抛物线对称轴上的一点，连接𝑃𝐴，
𝑃𝐶，设点P 的纵坐标为m，当𝑃𝐴＝𝑃𝐶时，求m 的值．
【变式3-3】抛物线y＝（x+m）2+m，抛物线与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点
C，D 是抛物线的顶点．
（1）如图1，若m＝﹣2 时，求C，D 的坐标；
（2）如图2，直线OD 交抛物线于E，P 是对称轴上一点，若PB＝PD＝
3
2DE，求m 的值．
（3）如图3，当m＝﹣1 时，Q 是抛物线对称轴上的定点，若Q 到抛物线上的任意一点的距离的最小值为
1，求Q 的坐标．
知识点4 倍线段
类型
倍线段
图示
条件
𝑃𝐴= 𝑛𝑃𝐵
结论
𝐴𝐸= 𝑛𝐵𝐹，即|𝑥𝑃−𝑥𝐴| = 𝑛|𝑥𝐵−𝑥𝑃|
解题思路
作如图辅助线，则
𝑃𝐴
𝑃𝐵= 𝑆△𝑃𝐴𝐸
𝑆△𝑃𝐵𝐸= 𝐴𝐸
𝐵𝐹= 𝑛，即|𝑥𝑃−𝑥𝐴| = 𝑛|𝑥𝐵−𝑥𝑃|
【题型4 二次函数与倍线段】
【例4】如图，抛物线𝑦= −𝑥2−2𝑥+ 3的图象与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点
C，点D 为抛物线的顶点
（1）直接写出点A、B、C 的坐标；
（2）点𝑀(𝑚,0)为线段AB 上一点（点M 不与点AB 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E，
与抛物线交于点P，过点P 作𝑃𝑄∥𝐴𝐵交抛物线于点Q，过点Q 作𝑄𝑁⊥𝑥轴于点N，可得矩形PQNM．如图，
点P 在点Q 左边，当矩形PQNM 的周长最大时，m 的值是多少？并求出此时的△𝐴𝐸𝑀的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与
直线AC 交于点G（点G 在点F 的上方）．若𝐹𝐺= 2 2𝐷𝑄，求点F 的坐标．
【变式4-1】如图1，抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴交于点𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)，与𝑦轴交于点𝐶．
(1)求𝑏与𝑐的值．
(2)观察图象，直接写出不等式𝑥2−2𝑥−3 < 𝑥−3的解集是______．
(3)如图2，点𝑀在抛物线上，且点𝑀在第四象限，𝑀𝑁∥𝑦轴，交𝑥轴于点𝑁，若𝑀𝑁= 3𝐵𝑁，求点𝑀的坐标．
【变式4-2】综合与探究：如图，二次函数𝑦= −
1
2𝑥2 +𝑥+ 4的图象与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左
侧），与y 轴交于点C，连接𝐴𝐶，点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接𝐴𝑃，交直线𝐵𝐶于点Q．
(1)求A，B，C 三点的坐标，并直接写出直线𝐵𝐶的函数表达式；
(2)在点P 运动的过程中，若𝐴𝑄= 3𝑃𝑄，求点P 的坐标；
(3)在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，
直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（25-26 九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知拋物线𝐿:𝑦= 𝑥2−2．
(1)如图1，直线𝑦= −2𝑥+ 1交抛物线L 于M、N 两点（M 在N 的左边）．
①求M，N 两点的坐标；
②若点P 为直线𝑀𝑁下方抛物线上的点，过点P 作𝑦轴的平行线交线段𝑀𝑁于点G，过点P 作𝑥轴的平行线交
抛物线L 于点H，满足
𝑃𝐺
𝑃𝐻=
3
2，求点P 的横坐标；
(2)如图2，直线𝑦= 𝑘1𝑥(𝑘1 > 0)交抛物线L 于A、B 两点（点A 在B 的右边），直线𝑦= 𝑘2𝑥(𝑘2 < 0)交抛
物线L 于C、D 两点（点C 在D 的左边），𝐵𝐷、𝐴𝐶分别交𝑦轴于E、F 两点，试问
1
𝑂𝐸−
1
𝑂𝐹的值是否为定值，
说明你的理由．
知识点5 线平行
类型
线平行⟺k 相等
图示
条件
𝐴𝐵:𝑦= 𝑘1𝑥+ 𝑏1，𝐶𝐷:𝑦= 𝑘2𝑥+ 𝑏2
结论
①若AB∥CD，则𝑘1 = 𝑘2
②若𝑘1 = 𝑘2，则AB∥CD
【题型5 二次函数与平行】
【例5】如图1，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥(𝑎≠0)经过点𝐴(−4,0)，点𝐵(4,8)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接𝑂𝐵，点𝑃为𝑥轴下方抛物线上一动点，过点𝑃作𝑂𝐵的平行线交直线𝐴𝐵于点𝑄，当𝑆Δ𝑃𝑂𝑄:𝑆Δ𝐵𝑂𝑄= 1:2时，
求出点𝑃的坐标；
(3)如图2，若经过点𝐷(−2,0)的直线与抛物线交于𝐸、𝐹两点，点𝐸在点𝐹右边，经过点𝐾的两直线𝐾𝐸、𝐾𝐹与
抛物线均有唯一公共点，且𝐾𝐸、𝐾𝐹与𝑦轴不平行，试说明点𝐾在某条定直线上运动，并求出这条定直线．
【变式5-1】（第二十二章二次函数突破20 二次函数与线段（三）平行线）如图，抛物线𝑦= −𝑥2 +2𝑥+ 3
与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，E，F 为线段𝑂𝐶上两点，𝐴𝐸,𝐴𝐹分别交抛物线于另一点M，N．若
𝑂𝐸+ 𝑂𝐹= 𝑂𝐶，求证：𝑀𝑁∥𝐵𝐶．
【变式5-2】（25-26 九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，抛物线𝑦＝𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+ 𝑐与x 轴分别交于点A、B
（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C，点
1
2 ,−
3
4 𝑎−3 在抛物线上．
(1)求c 的值；
(2)若点D 与C 关于原点O 对称，作射线𝐵𝐷交抛物线于点E，若𝐵𝐷= 𝐷𝐸．
①如图1，在直线𝐵𝐸下方的抛物线上有一点 P，若𝑃𝐵平分∠𝐴𝐵𝐸，求P 点的横坐标；
②如图2，直线𝐸𝐹：𝑦= 𝑘1𝑥+ 𝑏1交抛物线于另一点 F，直线𝐸𝐻：𝑦= 𝑘2𝑥+ 𝑏2交抛物线于另一点H，且
M，N 分别为线段𝐸𝐻，𝐸𝐹的中点，若𝑘1 + 𝑘2 = −3，求证：直线𝑀𝑁与经过原点的一条定直线平行．
【变式5-3】（2026·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶是平面内到定点𝐴−1，
15
4 的距离与
到定直线𝑙：𝑦=
17
4 的距离相等的点的轨迹．
(1)求曲线𝐶的方程；
(2)设直线𝑥= −1与𝐶交于点𝐷，𝑄为𝑥轴上一动点，将点𝐷绕点𝑄旋转90°后刚好落在曲线𝐶上，请直接写出所
有满足条件的点𝑄的坐标；
(3)已知𝑥轴上一定点𝐺−6，0 ，设曲线𝐶与𝑥轴交于点𝐴，𝐵(点𝐴在点𝐵的左侧)，过点𝐺作直线𝑀𝑁与𝐶交于点
𝑀，𝑁(不与点𝐴，𝐵重合)．设直线𝑀𝐵与直线𝑁𝐴交于点𝑊，求证：点𝑊在一条定直线上运动．
知识点6 垂直
类型
垂直⟺构三垂直全等（或勾股）
图示
条件
𝑃𝐶⊥𝐴𝐶
解题思路
截取等线段⇒构三垂直全等⇒点Q 坐标⇒直线CP⇒联立求点P
【题型6 二次函数与垂直】
【例6】在平面直角坐标系中，有一抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐．
(1)抛物线分别交x 轴于𝐴1，0 ，𝐵3，0 ，交y 轴于C，𝑂𝐵= 𝑂𝐶，连𝐵𝐶．
①直接写出抛物线和直线𝐵𝐶的解析式；
②如图1，D 为第四象限抛物线上的一动点，连𝐴𝐷交𝐵𝐶于E，若𝐷𝐸= 3𝐴𝐸，求D 点坐标．
(2)如图2，抛物线顶点为O 点(𝑎< 0)，A，B，C 分别为抛物线上一点，C 在第三象限，A，B 两点关于y 轴
对称，连𝐴𝐶并延长交y 轴于D，连𝐵𝐶交y 轴于E，设D 点的纵坐标为m，E 点的纵坐标为n，𝑚𝑛= −2，
当𝐴𝐶与𝐵𝐶垂直时，求𝑂𝐶的长．
【变式6-1】如图，对称轴为直线𝑥= −1的抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘(𝑎≠0)图象与x 轴交于点A、B（点A 在
点B 的左侧），与y 轴交于点C，其中点B 的坐标为2，0 ，点C 的坐标为0，4 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图，若点P 为抛物线在第二象限内线段𝐴𝐶上方的一个动点，过P 作𝑃𝑀垂直x 轴于M 交线段𝐴𝐶于点
N．若𝑃𝑁= 𝑀𝑁．求点P 的坐标．
【变式6-2】如图，抛物线经过点𝐴(−1，0)，𝐶(0，3)两点，对称轴为𝑥=
5
2．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若过点C 的直线l 的表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 3，当直线l 与抛物线有两个不同交点时，求k 的取值范围；
(3)在（2）条件下，当直线l 与BC 垂直时，与对称轴交于点E．此时抛物线上是否存在点P，使得𝑆△𝐴𝐵𝑃=
𝑆△𝐴𝐵𝐸，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐过𝐴，𝐵，三点，点𝐴的坐标是(3,0)，
点𝐶的坐标是(0,−3)，动点𝑃在抛物线上．
(1)𝑏= ，𝑐= ，点𝐵的坐标为 ；(直接填写结果)
(2)是否存在点𝑃，使得△𝐴𝐶𝑃是以𝐴𝐶为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点𝑃的坐标；若
不存在，说明理由；
(3)若动点𝑃在直线𝐴𝐶下方的抛物线上运动，求△𝐴𝐶𝑃的边𝐴𝐶上的高ℎ的最大值．
参考知识：①设𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(𝑥2,𝑦2)，则𝐴𝐵2 = (𝑥2−𝑥1)2 + (𝑦2−𝑦1)2；
②若直线𝑦= 𝑘1𝑥+ 𝑏1与直线𝑦= 𝑘2𝑥+ 𝑏2垂直，则𝑘1 ⋅𝑘2 = −1．
