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专题26.2 二次函数的图象和性质（基础篇）（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 画二次函数𝑦=ax2的图象】..................................................................................................................2
【题型2 二次函数y =ax2的开口方向、对称轴、顶点】...................................................................................3
【题型3 二次函数y =ax2的增减性】...................................................................................................................4
【题型4 画二次函数y =ax2 +k的图象】.............................................................................................................6
【题型5 判断二次函数y =ax2 +k的图象及性质】.............................................................................................7
【题型6 由二次函数y =ax2 +k的性质求参数】.................................................................................................8
【题型7 二次函数y =a(x−h)2的图象】...............................................................................................................8
【题型8 二次函数y =a(x−h)2的性质】...............................................................................................................9
【题型9 二次函数y =a(x−h)2图象上点的坐标特征】.....................................................................................10
【题型10 二次函数y =a(x−h)2 +k的图象】.......................................................................................................10
【题型11 二次函数y =a(x−h)2 +k的性质】.......................................................................................................11
【题型12 二次函数y =a(x−h)2 +k图象上点的坐特征】...................................................................................12
知识点1 二次函数y＝ax2 的图象和性质
1．二次函数y＝ax2 的图象是一条开口向上或向下的抛物线．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象叫做
抛物线y＝ax2＋bx＋c.
2．一般地，抛物线y＝ax2 的对称轴是y 轴，顶点是(0，0)．当a＞0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线
的最低点，|a|越大，抛物线的开口越小；在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x
的增大而增大．当a＜0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，|a|越大，抛物线的开口越小；在
对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．
知识点2 二次函数 y＝ax2（a≠0）的图象的画法
（1）列表：以𝑥= 0为中心，对称选取x 值，求出对应的函数值．
（2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
考点1
二次函数y＝ax2 的图象和性质
题型归纳
（4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在
顶点的两侧各取2~4 个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各
个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法
画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧．
【题型1 画二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐的图象】
【例1】（25-26 九年级上·甘肃武威·阶段检测）在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数𝑦= 2𝑥2
和𝑦= −
1
2𝑥2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)：
(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2)抛物线𝑦= 2𝑥2，当𝑥______时，抛物线上的点都在𝑥轴的上方，它的顶点是图象的最______点；
(3)函数𝑦= −
1
2𝑥2，对于一切𝑥的值，总有函数𝑦______0；当𝑥______时，𝑦有最______值是______．
【变式1-1】（25-26 九年级上·北京·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象．
（1）𝑦=
1
2𝑥2；
（2）𝑦= −
1
2𝑥2；
（3）𝑦= −𝑥2．
【变式1-2】 （25-26 九年级上·浙江·课后作业）如图为二次函数𝑦= 𝑥2的图象，请在同一坐标系中画出二
次函数𝑦= 2𝑥2和𝑦=
1
2𝑥2的图象，并回答下列问题．
x
…
−2
−1
0
1
2
…
𝑦= 𝑥2
…
4
1
0
1
4
…
𝑦= 2𝑥2
…
…
𝑦= 1
2 𝑥2
…
…
(1)二次函数𝑦= 2𝑥2和𝑦=
1
2𝑥2图象的形状是
．开口向
，对称轴是
，顶点坐标
是
．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而
；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而
．当x＝
时，y 有最
值为
．
(2)如果𝑎> 0，a 越大，即|𝑎|越大．抛物线𝑦= 𝑎𝑥2的开口越
（填“大”或“小”）．
【变式1-3】（2025 九年级·全国·专题练习）已知圆柱的高为
1
3，底面半径为𝑟，体积为𝑉（π取3）．
(1)𝑉与𝑟之间的函数关系式为______，并在图中画出图象．
(2)根据图象，当𝑟= 1时，圆柱的体积为______．
(3)根据图象，求出当𝑟为何值时，𝑉≥4．
【题型2 二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐的开口方向、对称轴、顶点】
【例2】（25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线𝑦= 𝑥2的顶点坐标是（ ）
A．（1，0）
B．（0，1）
C．（0，0）
D．（1，1）
【变式2-1】（25-26 九年级上·湖北武汉·期末）关于函数𝑦= −3𝑥2与𝑦=
1
2𝑥2的图象的共同点，下列说法正
确的是（ ）
A．开口向上
B．都有最低点
C．𝑦随𝑥增大而增大
D．对称轴是𝑦轴
【变式2-2】（25-26 九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空：
（1）抛物线𝑦= 3𝑥2的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x 轴
的上方；
（2）抛物线𝑦= −
1
3𝑥2的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x 轴的________方，它的顶点是抛
物线上的最________点．
【变式2-3】（25-26 九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么𝑎1，𝑎2，𝑎3的大小
关系是（ ）
A．𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3
B．𝑎3 < 𝑎1 < 𝑎2
C．𝑎1 < 𝑎3 < 𝑎2
D．𝑎3 < 𝑎2 < 𝑎1
【题型3 二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐的增减性】
【例3】（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)在对称轴的右侧部分下降，那么𝑎的取值范围是
___________．
【变式3-1】（2026·江西九江·一模）若二次函数𝑦= −2𝑥2的图象上有两点𝐴(−2,𝑦1)，𝐵(1,𝑦2)，则𝑦1，𝑦2的
大小关系是______．
【变式3-2】（25-26 九年级上·上海宝山·阶段检测）已知抛物线𝑦= (1−2𝑚)𝑥2在𝑦轴左侧的部分是下降的，
那么𝑚的取值范围是____________．
【变式3-3】（25-26 九年级上·浙江金华·期末）已知𝑃(𝑡,𝑦1)，𝑄(𝑡+ 6,𝑦2)两点在二次函数𝑦= 2𝑥2的图象上，
下列判断错误的是（）
A．若𝑡= −3，则𝑦1 = 𝑦2
B．若𝑦1 = 𝑦2，则𝑡= −3
C．若𝑡> 0，则𝑦1 < 𝑦2
D．若𝑦1 < 𝑦2，则𝑡> 0
知识点3 二次函数几种特殊形式的图象和性质
1. 二次函数的图象和性质
函数形式
顶点坐标
对称轴
最值
开口、单调性
𝑦= 𝑎𝑥2
（0，0）
y 轴
𝑎> 0，𝑥= 0时，
𝑦最小值= 0；
𝑎< 0，𝑥= 0时，
𝑦最大值= 0
𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘
（0，𝑘）
𝑦轴
𝑎> 0，𝑥= 0时，
𝑦最小值= 𝑘；
𝑎< 0，𝑥= 0时，
𝑦最大值= 𝑘
𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2
（ℎ，0）
𝑥= ℎ
𝑎> 0，𝑥= ℎ时，
𝑦最小值= 0；
𝑎< 0，𝑥= ℎ时，
𝑦最大值= 0
𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘
（ℎ，𝑘）
𝑥= ℎ
𝑎> 0，𝑥= ℎ时，
𝑦最小值= 𝑘；
𝑎< 0，𝑥= ℎ时，
𝑦最大值= 𝑘
𝑎> 0时，抛物线开口向上；
在对称轴右侧时,y 随x 的增大
而增大；
在对称轴左侧时，y 随x 的增
大而减小；
𝑎< 0时，抛物线开口向下；
在对称轴左侧时，y 随x 的增
大而增大；
在对称轴侧右时，y 随x 的增
大而减小
2. 几种二次函数图象间的平移规律
例如：𝑦= 2(𝑥−5)2 +3的图象是由𝑦= 2𝑥2的图象先向上平移3 个单位长度得到𝑦= 2𝑥2 +3的图象，再向
考点2
二次函数y＝a（x-h）2+k 的图象和性质
右平移5 个单位长度得到的．反之，由𝑦= 2(𝑥−5)2 +3的图象先向下平移3 个单位长度得到𝑦= 2(𝑥−5)2
的图象，再向左平移5 个单位长度得到𝑦= 2𝑥2的图象．
【题型4 画二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐+𝒌的图象】
【例4】已知二次函数𝑦= 𝑥2−4的图象与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点（𝐴在𝐵的左侧），与𝑦轴交于点𝐶．
(1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出𝐴，𝐵，𝐶；
𝑥
…
…
𝑦
…
…
(2)任意写出两条该函数图象具有的特征．
【变式4-1】（25-26 九年级上·北京通州·阶段检测）已知二次函数𝑦= 2𝑥2−2．
(1)在下列坐标系中画出它的图象；
(2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴．
【变式4-2】在同一直角坐标系中画出二次函数𝑦=
1
3𝑥2 +1与二次函数𝑦= −
1
3𝑥2−1的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
【变式4-3】在同一直角坐标系中，画出𝑦= −𝑥2和𝑦= −𝑥2 +1的图象，并根据图象回答下列问题．
（1）抛物线𝑦= −𝑥2 +1向________平移________个单位得到抛物线𝑦= −𝑥2；
（2）抛物线𝑦= −𝑥2 +1开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；
（3）抛物线𝑦= −𝑥2 +1，当x________时，函数𝑦随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________
值，其最________值是________．
【题型5 判断二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐+𝒌的图象及性质】
【例5】（25-26 九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数𝑦=
1
2𝑥2和𝑦=
1
2𝑥2−2的图象，下列结论不正确的是
（ ）
A．开口方向相同
B．形状相同
C．顶点坐标相同
D．当𝑥< 0时，𝑦随着𝑥的增大而减小
【变式5-1】（25-26 九年级上·重庆开州·期末）关于二次函数𝑦= −𝑥2 +4，以下说法正确的是（ ）
A．函数图像开口向上
B．𝑦的最大值为4
C．图像的对称轴为直线𝑦= 0
D．𝑦随𝑥的增大而减小
【变式5-2】（25-26 九年级上·山西大同·期中）已知点(−4,𝑦1)、(−1,𝑦2)、(2,𝑦3)都在函数𝑦= −𝑥2 +𝑘的图
象上，则𝑦1、𝑦2、𝑦3的大小关系为_____．（用“ < ”连接）
【变式5-3】（2025·上海静安·一模）如果一次函数𝑦1 = 𝑚𝑥−6(𝑚≠0)、𝑦2 = 𝑛𝑥−2(𝑛≠0)的图象都经过𝐶
(1,−3)，那么函数𝑦= 𝑦1 ⋅𝑦2的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【题型6 由二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐+𝒌的性质求参数】
【例6】（2026·上海长宁·一模）已知𝑚是常数，它满足以下要求：
（1）抛物线𝑦= (𝑚+ 1)𝑥2的最高点就是它的顶点．
（2）抛物线𝑦= (𝑥+ 𝑚)2 +𝑚+ 1的对称轴在𝑦轴的右侧．
（3）从左往右看，抛物线𝑦= (𝑚+ 3)𝑥2 +1在𝑦轴左侧部分是下降的．
那么常数𝑚可以取的值是（ ）．
A．−3
B．−2
C．−1
D．0
【变式6-1】（25-26 九年级上·全国·课后作业）已知抛物线𝑦= 𝑚𝑥2 +𝑚−2的顶点在y 轴的负半轴上，且开
口向上，则m 的取值范围是_________．
【变式6-2】如果一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 4与二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑐的图像的一个交点坐标是(1,2)，另一个交点是
该二次函数图像的顶点，则𝑎= ______．
【变式6-3】已知二次函数𝑦= 2𝑥2 +2020，当𝑥分别取𝑥1,𝑥2(𝑥1 ≠𝑥2)时，函数值相等，则当𝑥取2𝑥1 +2𝑥2时，
函数值为______．
【题型7 二次函数𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐的图象】
【例7】已知函数𝑦= 4𝑥2，𝑦= 4(𝑥+ 1)2和𝑦= 4(𝑥−1)2．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数𝑦= 4𝑥2的图象得到函数𝑦= 4(𝑥+ 1)2和函数𝑦= 4(𝑥−1)2的
图象；
(4)分别说出各个函数的性质．
【变式7-1】若小明将如图所示的两条水平线𝐴𝐵，𝐶𝐷中的一条当成𝑥轴，且向右为正方向；两条铅垂线𝐴𝐶，𝐵𝐷
中的一条当成𝑦轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数𝑦= 2(𝑥−1)2的图象，则坐标原点
可能是（ ）
A．点A
B．点𝐵
C．点𝐶
D．点𝐷
【变式7-2】二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2的图象如图，则下列正确的是（ ）
A．𝑎> 0，ℎ> 0
B．𝑎> 0，ℎ< 0
C．𝑎< 0，ℎ> 0
D．𝑎< 0，ℎ< 0
【变式7-3】老师让写出一个二次函数，满足以下3 个性质．
1：函数图象的顶点在𝑥轴上；2：当𝑥< 1时，𝑦随𝑥的增大而减小；
3：该函数的形状与函数𝑦= 𝑥2的图象相同
甲同学写出几个二次函数表达式：
①𝑦= −(𝑥−1)2②𝑦= (𝑥−1)2③𝑦= (𝑥+ 1)2④𝑦= (𝑥−2)2
请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3 个性质___________．
【题型8 二次函数𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐的性质】
【例8】（2026·福建三明·二模）在函数𝑦= (𝑥−𝑚)2中，当𝑥> 1时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的值可
以是______．（写出一个满足条件的m 值）
【变式8-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）点𝐴(𝑠,𝑡)在二次函数𝑦= 2(𝑥−𝑚)2（m 为常数）的图象上，
𝑠−𝑚= 𝑡≠0．当𝑠−1 ≤𝑥≤𝑠+ 2时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
A．
9
4
B．
9
2
C．12
D．
25
2
【变式8-2】（24-25 八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知直线𝑥= 𝑐交抛物线𝑦1 = −(𝑥−𝑎)2于点𝐴(𝑐,𝑚)，
交抛物线𝑦2 = −(𝑥−𝑏)2于点𝐵(𝑐,𝑛)，下列结论：①若𝑎> 𝑏> 𝑐，则𝑚< 𝑛，②若𝑏> 𝑎> 𝑐，则𝑚< 𝑛，③
若𝑐> 𝑏> 𝑎，则𝑚< 𝑛，④若𝑎> 𝑐> 𝑏，则𝑚< 𝑛；其中正确的是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式8-3】设函数𝑦1 = −(𝑥−𝑎1)2，𝑦2 = −(𝑥−𝑎2)2，直线𝑥= 1的图象与函数𝑦1，𝑦2的图象分别交于点
𝐴(1,𝑐1)，𝐵(1,𝑐2)，得（ ）
A．若1 < 𝑎1 < 𝑎2，则𝑐1 < 𝑐2
B．若𝑎1 < 1 < 𝑎2，则𝑐1 < 𝑐2
C．若𝑎1 < 𝑎2 < 1，则𝑐1 < 𝑐2
D．若𝑎1 < 𝑎2 < 1，则𝑐2 < 𝑐1
【题型9 二次函数𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐图象上点的坐标特征】
【例9】（24-25 九年级上·江苏盐城·期中）已知点𝐴(4,𝑦1),𝐵
2,𝑦2 ,𝐶(−2,𝑦3)都在二次函数𝑦= −2(𝑥−2)2−1
的图象上，则𝑦1、𝑦2、𝑦3的大小关系是_____________．
【变式9-1】（25-26 九年级上·上海·课后作业）若点𝐴(−2,𝑎)和点𝐵(4,𝑏)在抛物线𝑦= 2(𝑥−𝑚)2上，且关于它
的对称轴对称，则𝑚= ___．
【变式9-2】（2025·上海·模拟预测）若二次函数𝑦= 𝑥2−6𝑥+ 𝑐−4的顶点在𝑥轴上，则𝑐的值为_______．
【变式9-3】（24-25 九年级上·全国·期中）将抛物线𝑦= 𝑎𝑥2−1平移后与抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−1)2重合，抛物线
𝑦= 𝑎𝑥2−1上的点𝐴(2,3)同时平移到𝐴′，那么点𝐴′的坐标为______．
【题型10 二次函数𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌的图象】
【例10】（25-26 九年级上·上海·阶段检测）二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−2)2 +𝑐的部分图象如图所示，已知它与x 轴
的一个交点坐标是(6,0)．
(1)填空：
①抛物线的对称轴为直线______；
②图象与x 轴的另一个交点坐标为______．
(2)如果该函数图象经过点(0,−3)，求它的顶点坐标．
【变式10-1】（25-26 九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数𝑦= −(𝑥−1)2 +3，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上
B．图象对称轴为直线𝑥= −1
C．函数的最大值为3
D．图象与x 轴没有交点
【变式10-2】如图，二次函数𝑦= 𝑎(𝑥+ 4)2 +𝑘的图象与𝑥轴交于两点，有下列结论：
①𝑎> 0 ；
②点𝐴的坐标为(−6,0)；
③图象的对称轴为直线𝑥= −4
④当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而减小
其中结论正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式10-3】如图，已知抛物线𝑦1 = (𝑥+ 2)2−2与抛物线𝑦2 = (𝑥−
3
2 )
2
+𝑚的图象相交于点A，过A 作x 轴
的平行线分别交y1，y2 于点B、C，若AC＝
1
2AB，则m 的值是_______．
【题型11 二次函数𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌的性质】
【例11】已知抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−1)2 +3（a 是常数，且𝑎≠0）．当直线𝑦= 1与抛物线有两个交点A、B，且𝐴𝐵≥2
时，则a 的取值范围为______．
【变式11-1】（2026·宁夏银川·三模）二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−1)2 +ℎ（a、h 为常数，𝑎≠0）的部分𝑥与𝑦的对应
值如下表：
x
…
1
2
3
4
…
y
…
7
4
−5
−20
…
则关于该二次函数的说法不正确
．．．的是（ ）
A．其图象开口向下
B．其图象的对称轴为𝑥= 1
C．当𝑥< 2时，𝑦的值随𝑥值的增大而减小
D．当𝑥= −1时，𝑦< 0
【变式11-2】（2026 八年级下·陕西西安·学业考试）抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−2)2−1(𝑎> 0)，当0 ≤𝑥≤3时，𝑦的最
大值与最小值的差为5，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．当𝑥≥−1时，𝑦的值随𝑥值的增大而增大
C．𝑎的值为
4
3
D．当𝑥= 1时，𝑦=
1
4
【变式11-3】（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−3)2 +𝑘交y 轴于点𝐸(0,4)．
（1）此抛物线的对称轴为直线______；
（2）已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷边𝐴𝐵与x 轴重合，点A 的坐标为(8,0)，𝐴𝐵= 2，若此抛物线与正方形的边𝐶𝐷有交
点，则a 的取值范围是______．
【题型12 二次函数𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌图象上点的坐特征】
【例12】（25-26 九年级上·海南省直辖县级单位·期中）若点𝐴(−1,𝑦1)，𝐵
1
2 ,𝑦2 ，𝐶(4,𝑦3)在抛物线𝑦= (𝑥−2)2
+𝑘上，则𝑦1，𝑦2，𝑦3从小到大的大小关系为___________．（用“ < ”连接）
【变式12-1】（25-26 九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线𝑦= (𝑥−𝑘)2−9的对称轴为直线𝑥= 3，则k 的值
为______．
【变式12-2】（25-26 九年级上·江苏南通·阶段检测）已知点𝐴(𝑚−1,𝑦1)，𝐵(𝑚,𝑦2)都在二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−1)2
+𝑛的图象上．若𝑦1 = 𝑦2，则m 的值为______．
【变式12-3】（24-25 九年级上·河北廊坊·阶段检测）对于题目：当−2 ≤𝑥≤1时，关于x 的二次函数
𝑦= −(𝑥−𝑚)2 + 𝑚2 +1有最大值4，求实数m 的值．
嘉嘉说：m 的值为2，淇淇说：m 的值为−3，笑笑说：m 的值为−
7
4．下列说法正确的是（ ）
A．笑笑的答案正确
B．嘉嘉与淇淇的答案合到一起才正确
C．笑笑与嘉嘉的答案合到一起才正确
D．他们三个的答案合到一起才正确
