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专题3.1 列代数式表示数量关系（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 用含字母的式子表示数】........................................................................................................................2
【题型2 识别代数式】............................................................................................................................................3
【题型3 代数式的书写方法】................................................................................................................................5
【题型4 代数式表示的实际意义】........................................................................................................................7
【题型5 列代数式】................................................................................................................................................9
【题型6 规律型：数字的变化类】......................................................................................................................10
【题型7 规律型：图形的变化类】......................................................................................................................12
【题型8 正比例关系】..........................................................................................................................................15
【题型9 反比例关系】..........................................................................................................................................17
知识点1 用含字母的式子表示数
用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，为我们今后的学习和研究带来了极大的方便．
用含字母的式子表示数的书写规则：
（1）字母与字母相乘时，“ × ”号通常省略不写或写成“ ⋅”；
（2）字母与数相乘时，数通常写在字母的前面；
（3）带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数；
（4）字母与字母相除时，要写成分数的形式．
（5）当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号．
知识点2 代数式的概念
用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式．单独的一个数或字母也是代数式．例如：0，
a 都是代数式．
知识点3 代数式的意义
考点1
代数式的相关概念
题型归纳
根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来，就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义．
知识点4 列代数式
把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式．例如：用代数式表示：a 与a 减去b 的差的商，
其中运算词“差”表示的数量关系是a 减去b，列成式子为a-b；运算词“商”表示的数量关系是a 除以
“差”，即
𝒂
𝒂−𝒃（填完整的代数式）．
【题型1 用含字母的式子表示数】
【例1】（25-26 七年级上·全国·课后作业）仓库里存有货物180 吨，运走了12 车，每车x 吨．12𝑥表示
_________________ ，180−12𝑥表示___________ ，这里x 的最大值是_________ ．
【答案】
12 车运走货物的吨数
运走12 车后仓库剩余货物的吨数
15
【分析】本题考查用字母表示数的应用，掌握知识点是解题的关键．
12𝑥表示运走的总吨数，180−12𝑥表示剩余吨数，x 的最大值由运走总吨数不超过原有货物量决定．
【详解】解：运走了12 车，每车x 吨，因此12𝑥表示运走的货物总吨数．
仓库原有货物180 吨，运走12x 吨后，剩余货物为(180−12𝑥)吨．
由于运走的货物总吨数不能超过原有货物量，则运走的货物总吨数最大为180吨，
此时𝑥=
180
12 = 15（吨），
∴x 的最大值为15．
故答案为：12 车运走货物的吨数；运走12 车后仓库剩余货物的吨数；15．
【变式1-1】一天早晨的温度是b 摄氏度，中午比早晨高6 摄氏度，中午的温度是_____摄氏度．
【答案】(𝑏+ 6)
【分析】本题考查了用字母表示数，明确题目当中“早晨的温度”和“中午的温度”两个量之间的基本关系：中
午的温度= 早晨的温度+ 中午比早晨高的温度，是解答此题的关键．
本题根据：中午的温度= 早晨的温度+ 中午比早晨高的温度，进行作答，即可求解；
【详解】解：∵早晨的温度是b 摄氏度，中午比早晨高6 摄氏度，中午的温度= 早晨的温度+ 中午比早晨
高的温度，
∴中午的温度是(𝑏+ 6)摄氏度，
故答案为：(𝑏+ 6)；
【变式1-2】（25-26 七年级上·河北石家庄·期中）一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数
可表示为（ ）
A．𝑎𝑏
B．10𝑎+ 𝑏
C．𝑏𝑎
D．10𝑏+ 𝑎
【答案】D
【分析】本题考查用字母表示两位数，关键是掌握十进制中十位和个位的位值原理．
根据两位数的表示方法，十位数字乘以10 加上个位数字即可得到该数．
【详解】解：∵十位数字是𝑏，
∴表示10𝑏；
∵个位数字是𝑎，
∴表示𝑎；
∴这个两位数为10𝑏+ 𝑎．
故选：D．
【变式1-3】（25-26 七年级上·贵州铜仁·期中）万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20 立方米，现
打开进水管匀速进水，每小时进水𝑎立方米，𝑡小时后泳池中有水（ ）立方米．
A．20 + 𝑎𝑡
B．at
C．20−𝑎𝑡
D．(20 + 𝑎)𝑡
【答案】A
【分析】本题考查匀速进水问题．熟练掌握：总水量 = 原有水量 + 进水总量，进水总量 = 进水速度 ×
时间，是解题的关键．
泳池总水量由原有水量和进水量组成，进水量为进水速率乘以时间．
【详解】∵原有水量为20 立方米，进水速率为a 立方米/小时，时间为t 小时，
∴进水量为𝑎𝑡立方米，
∴总水量为20 + 𝑎𝑡立方米．
故选：A．
【题型2 识别代数式】
【例2】下列各式中，是代数式的有（ ）
𝑥+ 2 = 𝑦 ，0，
𝑥+3
𝑥，2(𝑏+ 𝑐)，𝑥+ 4 < 10 ，5𝑥2𝑦−6𝑥
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】B
【详解】解：根据定义，用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子是代数式，单独的一个数或字母
也是代数式，含等号，含不等号的都不是代数式．
逐个判断：
∵ 𝑥+ 2 = 𝑦 是等式，𝑥+ 4 < 10 是不等式，二者都不属于代数式，
∴ 符合代数式定义的式子为0，
𝑥+3
𝑥，2(𝑏+ 𝑐)，5𝑥2𝑦−6𝑥 ，共4个．
【变式2-1】（25-26 六年级上·上海静安·期末）下列各式中不是代数式的为（ ）
A．𝑥3−𝑥2−1
B．314
C．−
2
3𝑦
D．
𝑥−1
2 = 1
【答案】D
【分析】本题主要考查了代数式的识别，代数式是由运算符号连接数或字母的式子，不能包含等号或不等
号，据此逐项分析判断即可．
【详解】解：∵代数式定义为由运算符号连接数或字母的式子，不含等号或不等号，
选项A、B、C 均符合代数式定义，故均不符合题意，
选项D 含有等号“ = ”，为方程，不是代数式，符合题意．
故选：D．
【变式2-2】（24-25 七年级上·江苏宿迁·期中）下列各式中，是代数式的是 __________．（填序号）
①2𝑥−1；②𝑎= 1；③𝑆= 𝜋𝑅2；④π；⑤
7
2𝑚；⑥
1
2 >
1
3．
【答案】①④⑤
【分析】本题主要考查代数式，代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字
母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．根据代数式的概念求解即可．
【详解】解：是代数式的是①2𝑥−1；④π；⑤
7
2𝑚．
故答案为：①④⑤．
【变式2-3】（25-26 九年级下·安徽淮北·期中）下列说法正确的是( )
A．𝑎是代数式，1不是代数式
B．表示𝑎，𝑏，2
1
2的积的代数式为2
1
2𝑎𝑏
C．代数式
𝑎−4
𝑏的意义是𝑎与4的差除𝑏的商
D．𝑎与−4的差是𝑎−(−4)
【答案】D
【详解】解：∵ 单独的一个数或单独的一个字母都是代数式，∴ 1是代数式，A 错误．
∵ 带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，∴ 2
1
2𝑎𝑏 的书写不符合规范，应写为
5
2𝑎𝑏，B 错误．
∵
𝑎−4
𝑏表示𝑎与4的差除以𝑏的商，“𝑎与4的差除𝑏”对应的代数式为
𝑏
𝑎−4，∴ C 错误．
∵ 𝑎与−4的差可表示为𝑎−(−4)，∴ D 正确．
【题型3 代数式的书写方法】
【例3】下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（ ）
2 × (𝑥+ 𝑦)，−1𝑎2𝑏 ，𝑎𝑏÷ 𝑐2，𝑥𝑦⋅3 ，1
2
3𝑥𝑦 ，
5(𝑎+𝑏)
7
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】根据代数式的书写规范，逐一判断每个式子，统计符合要求的个数即可．代数式书写规则为：乘
号通常省略不写或写为· ，数字需写在字母前方；除法运算写成分数形式；系数为± 1 时1省略不写；带分
数需化为假分数．
【详解】解：逐个判断式子：∵ 2 × (𝑥+ 𝑦) 保留乘号× ，不符合书写要求；
−1𝑎2𝑏 中系数−1的1未省略，不符合书写要求；
𝑎𝑏÷ 𝑐2未将除法写为分数形式，不符合书写要求；
𝑥𝑦·3 中数字3未写在字母前方，不符合书写要求；
1
2
3𝑥𝑦 未将带分数化为假分数，不符合书写要求；
只有
5(𝑎+𝑏)
7
符合所有书写要求，共1个符合要求．
【变式3-1】（2025 六年级上·上海·专题练习）下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法
填在横线处；
(1)𝑎× 20；
(2)1
1
3𝑥；
(3)−1𝑚𝑛；
(4)𝑠÷ 𝑡；
【答案】(1)20𝑎
(2)
4
3𝑥
(3)−𝑚𝑛或−𝑛𝑚
(4)
𝑠
𝑡
【分析】本题考查代数式的书写规范，包括乘号省略、数字与字母的位置、带分数化假分数、除法写成分
数等．
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“·”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（2）带分数要写成假分数的形式；
（3）1 通常省略不写；
（4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．
【详解】（1）解：𝑎× 20不规范，数字应写在字母前面，乘号省略，应写为20𝑎．
故答案为：20𝑎．
（2）解：1
1
3𝑥不规范，带分数应写成假分数，即
4
3𝑥．
故答案为：
4
3𝑥．
（3）解：−1𝑚𝑛不规范，1 应省略不写，应写为−𝑚𝑛或−𝑛𝑚．
故答案为：−𝑚𝑛或−𝑛𝑚．
（4）解：𝑠÷ 𝑡不规范，除法应写成分数形式，即
𝑠
𝑡．
故答案为：
𝑠
𝑡．
【变式3-2】（25-26 七年级上·江苏无锡·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的有（ ）个．
7
3𝑥2，𝑎×
1
4，2𝜋，30%，2
1
6𝑚，𝑎−𝑏÷ 𝑐，
3𝑥2−𝑦
2
，𝑚−2米
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】依据代数式书写规则，逐一判断每个式子是否符合规范．本题主要考查了代数式的书写规则，熟
练掌握“数字与字母相乘省略乘号、除法写成分数形式、带分数化为假分数”是解题的关键．
【详解】解：
7
3𝑥2：符合（数字在前，乘号省略）；
𝑎×
1
4：不符合（含乘号）；
2𝜋：符合（乘号省略）；
30%：符合（单独的数是代数式）；
2
1
6𝑚：不符合（带分数未化为假分数）；
𝑎−𝑏÷ 𝑐：不符合（含除号）；
3𝑥2−𝑦
2
：符合（除法写成分数形式）；
𝑚−2米：不符合（含单位）．
故符合规则的有4 个．
故选：C．
【变式3-3】（24-25 七年级上·吉林·期中）下列书写∶①−1𝑎；②2
2
3𝑎2𝑏；③
5𝑎2𝑏
3 ；④𝑏
2
3；⑤2024 × 𝑎× 𝑏；
⑥𝑎+ 3 千克中，正确的有__________．（填写序号即可）
【答案】③
【分析】本题考查代数式书写规范，根据数字与字母之间乘号省略不写，数字在前字母在后，分数写成假
分数，多项式与单位之间要加括号逐个判断即可得到答案；
【详解】解：−1𝑎应写成−𝑎，不符合题意，
2
2
3𝑎2𝑏应写成
8
3𝑎2𝑏，不符合题意，
5𝑎2𝑏
3 书写规范符合题意，
𝑏
2
3应写成
2
3𝑏，不符合题意，
2024 × 𝑎× 𝑏应写成2024𝑎𝑏，不符合题意，
𝑎+ 3千克应写成(𝑎+ 3)千克，不符合题意，
故答案为：③．
【题型4 代数式表示的实际意义】
【例4】（24-25 七年级上·湖南常德·期末）小明根据方程5𝑥+ 10(𝑥−5) = 400编写了一道应用题，请你把空
缺的部分补充完整．甲、乙两名工人生产零件，已知甲工人每天比乙工人多生产5 个零件，______，请问
甲工人每天生产多少个零件？（设甲工人每天生产𝑥个零件）
【答案】甲工人工作5 天，乙工人工作10 天，共生产了400 个零件
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．判断出相应的等量关系代表的实际意义是解决问题的关键．
分析方程各项的意义，即可解答．
【详解】解：因为设甲工人每天生产𝑥个零件，则乙工人每天生产(𝑥−5)个零件，
所以方程中5𝑥表示甲工人5 天共生产零件的数量，
10(𝑥−5)表示乙工人10 天共生产零件的数量，
故5𝑥+ 10(𝑥−5) = 400表示甲工人工作5 天，乙工人工作10 天，共生产了400 个零件．
故答案为：甲工人工作5 天，乙工人工作10 天，共生产了400 个零件
【变式4-1】（25-26 七年级上·河北邯郸·期末）代数式𝑥−𝑦2的意义为（ ）
A．𝑥与𝑦的差的平方
B．𝑥与𝑦的平方差
C．𝑥与𝑦的平方的差
D．𝑥的平方与𝑦的差
【答案】C
【分析】本题考查代数式表示的意义，𝑦2表示y 的平方，𝑥−𝑦2表示x 减去y 的平方，据此可得答案．
【详解】解：𝑦2表示y 的平方，𝑥−𝑦2表示x 减去y 的平方，即x 与y 的平方的差．
故选：C．
【变式4-2】（25-26 七年级上·江苏南通·期末）下列各项中，能用2𝑎+ 6𝑎表示的是（ ）
A．整条线段的长度：
B．整条线段的长度：
C．长方形的周长：
D．整个图形的面积 ：
【答案】D
【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握线段长度的和，长方形周长，面积计算是解题的关键．根据
线段的和，长方形的周长，长方形的面积的计算公式解答即可．
【详解】解：A、整条线段的长度：
，表示为2 + 𝑎+ 6 = 𝑎+ 8，不符合题意；
B、整条线段的长度：
，表示为2𝑎+ 3𝑎+ 4𝑎= 9𝑎，不符合题意；
C、这个长方形的周长：
，表示为2(3 + 𝑎) = 2𝑎+ 6，不符合题意；
D、这个图形的面积：
，表示为2𝑎+ 6𝑎，符合题意．
故选：D．
【变式4-3】在一项居民住房节能改造工程中，某社区计划用a 天完成建筑面积为1000 平方米的居民住房
节能改造任务，若实际比计划提前b 天完成改造任务，则代数式“
1000
𝑎−𝑏”表示的意义为_____．
【答案】实际每天完成的改造任务
【分析】根据计划完成建筑面积为1000 平方米的居民住房节能改造任务需要a 天，实际提前b 天，可知实
际完成需要（a﹣b）天，从而可以得到代数式“
1000
𝑎−𝑏”表示的意义．
【详解】解：∵计划完成建筑面积为1000 平方米的居民住房节能改造任务需要a 天，实际提前b 天，
∴实际完成需要（a﹣b）天，
∴代数式“
1000
𝑎−𝑏”表示的意义是实际每天完成的改造任务，
故答案为：实际每天完成的改造任务．
【点睛】本题考查代数式，解题的关键是明确代数式在原题中表示的实际含义．
【题型5 列代数式】
【例5】（25-26 七年级上·山东临沂·期末）2025年全国两会强调“加快新型基础设施建设”，某科创园区规划
用地为长方形，长为3𝑚米，宽为2𝑛米，则该园区的周长为________．
【答案】(6𝑚+ 4𝑛)米/(4𝑛+ 6𝑚)米
【分析】先根据长方形周长公式列出表达式，利用乘法分配律展开化简得到结果．
【详解】解：已知该科创园区的长为3𝑚米，宽为2𝑛米，
∴园区的周长为2 × (3𝑚+ 2𝑛) = (6𝑚+ 4𝑛)米．
【变式5-1】（25-26 七年级上·广西崇左·期末）若5 箱苹果的总质量为m 千克，则平均每箱苹果的质量为
（ ）千克
A．5𝑚
B．m
C．
𝑚
5
D．
5
𝑚
【答案】C
【分析】本题考查了列代数式．
根据“平均每箱质量=总质量÷箱数”的数量关系求解即可．
【详解】解：∵5 箱苹果的总质量为m 千克，
∴平均每箱苹果的质量为总质量除以箱数，即
𝑚
5千克．
故选：C．
【变式5-2】（25-26 七年级上·湖北荆州·期末）智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：
每小时上升2°C或下降1°C．若初始温度为10°C，经过𝑡小时后的温度可能表示为（ ）°C
A．(10 + 2𝑡)
B．(10−𝑡)
C．(10 + 2𝑡)或(10−𝑡) D．(10 + 2𝑡−1)
【答案】C
【分析】分两种情况：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升2°C，②若某日棚内温度变化规律为：
每小时下降1°C，分别列出代数式即可得．
【详解】解：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升2°C，
则经过𝑡小时后的温度可能表示为(10 + 2𝑡)°C；
②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降1°C，
则经过𝑡小时后的温度可能表示为(10−𝑡)°C；
综上，经过𝑡小时后的温度可能表示为(10 + 2𝑡)°C或(10−𝑡)°C．
【变式5-3】（25-26 七年级上·山西晋中·期末）采摘机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌
苹果采摘机器人搭载了10 个机械手，它的一个机械手8 秒可以采摘一个苹果．𝑛小时该机器人可以采摘
________个苹果．
【答案】4500𝑛
【分析】本题考查了列代数式．
先将𝑛小时转化为秒，再求出一个机械手的采摘量，乘以10 即可．
【详解】解：𝑛小时= 𝑛× 60 × 60 = 3600𝑛秒，
∵一个机械手8 秒可以采摘一个苹果，
∴一个机械手𝑛小时可以采摘
3600𝑛
8
= 450𝑛个苹果，
∴10 个机械手𝑛小时可以采摘450𝑛× 10 = 4500𝑛个苹果，
即𝑛小时该机器人可以采摘4500𝑛个苹果．
故答案为：4500𝑛．
【题型6 规律型：数字的变化类】
【例6】（25-26 七年级上·上海·期末）一组数∶1，−2，3，−4，5，−6，…，第n 个数是____________(用含
n 的代数式表示)．
【答案】(−1)𝑛+1𝑛
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．
序列的绝对值是连续正整数，符号交替变化，利用(−1)的幂次表示符号规律．
【详解】解：序列的绝对值依次为1，2，3，…，n，
因此第n 个数的绝对值为n．
符号规律：当n 为奇数时为正，当n 为偶数时为负，
因此第n 个数为(−1)𝑛+1𝑛．
故答案为：(−1)𝑛+1𝑛．
【变式6-1】（25-26 七年级下·云南玉溪·期末）按一定规律排列的代数式：3𝑎，5𝑎，7𝑎，9𝑎，…，第𝑛个代
数式是（ ）
A．(2𝑛−1)𝑎
B．(2𝑛+ 1)𝑎
C．(𝑛+ 1)𝑎
D．(𝑛+ 2)𝑎
【答案】B
【分析】所有代数式都含字母𝑎，找出系数的变化规律，即可推出第𝑛个代数式．
【详解】解：∵第1个代数式为3𝑎，系数3 = 2 × 1 + 1，
第2个代数式为5𝑎，系数5 = 2 × 2 + 1，
第3个代数式为7𝑎，系数7 = 2 × 3 + 1，
第4个代数式为9𝑎，系数9 = 2 × 4 + 1，
……，
∴以此类推，第𝑛个代数式的系数为2𝑛+ 1，即第𝑛个代数式是(2𝑛+ 1)𝑎．
【变式6-2】（25-26 九年级上·云南昭通·期末）按某种规律排列的代数式：−
𝑦
𝑥，
𝑦
𝑥2，−
𝑦
𝑥3，
𝑦
𝑥4，⋯⋯，第𝑛个
代数式是（ ）
A．(−1)𝑛𝑦
𝑥𝑛
B．(−1)𝑛+1 𝑦
𝑥𝑛
C．(−1)𝑛
𝑦
𝑥𝑛+1
D．(−1)𝑛+1
𝑦
𝑥𝑛+1
【答案】A
【分析】观察代数式的符号、分子、分母的变化规律，分别总结后组合得到第𝑛个代数式的表达式．
【详解】解：∵−
𝑦
𝑥，
𝑦
𝑥2，−
𝑦
𝑥3，
𝑦
𝑥4，⋯⋯
∴观察符号规律：第1 个为负，第2 个为正，第3 个为负……，符号可表示为(−1)𝑛，
分子均为𝑦，保持不变，
∵分母依次为𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4……，∴分母可表示为𝑥𝑛，
∴第𝑛个代数式是(−1)𝑛𝑦
𝑥𝑛，
故选A．
【变式6-3】（25-26 七年级上·湖北武汉·期末）有一数列，前五个数依次为
1
2、−
2
3、
3
4、−
4
5、
5
6，…，则这个
数列的第n 项是（ ）
A．
𝑛
𝑛+1
B．−
𝑛
𝑛+1
C．(−1)𝑛𝑛
𝑛+1
D．(−1)𝑛+1 𝑛
𝑛+1
【答案】D
【分析】本题考查了代数式相关规律的探索．观察数列的分子、分母和符号规律，分子为n，分母为𝑛+ 1，
符号规律：n 为奇数时为正，n 为偶数时为负，用(−1)𝑛+1 表示符号．
【详解】解：∵ 数列前五项：𝑎1 =
1
2，𝑎2 = −
2
3，𝑎3 =
3
4，𝑎4 = −
4
5，𝑎5 =
5
6 ，
∴分子为n，分母为𝑛+ 1，符号规律：n 为奇数时为正，n 为偶数时为负，
∵(−1)𝑛+1，当n 为奇数时，𝑛+ 1为偶数，(−1)𝑛+1 = 1；
当n 为偶数时，𝑛+ 1为奇数，(−1)𝑛+1 = −1，
∴ 第n 项为(−1)𝑛+1 𝑛
𝑛+1，
故选：D．
【题型7 规律型：图形的变化类】
【例7】（25-26 七年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，用棋子摆出一组形如平行四边形的图形，按照这种方法
摆下去，摆第n 个图形需要棋子的个数为（ ）
A．3𝑛+ 3
B．
(𝑛+2)(𝑛+3)
2
C．4𝑛+ 2
D．5𝑛+ 1
【答案】C
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，发现规律是解答本题的关键．
观察前几个图形可知每个图形需要的棋子数为(4𝑛+ 2)，据此规律求解即可．
【详解】解：第1 个图形需要4 × 1 + 2 = 6枚棋子；
第2 个图形需要4 × 2 + 2 = 10枚棋子；
第3 个图形需要4 × 3 + 2 = 14枚棋子；
以此类推，
第n 个图形需要(4𝑛+ 2)枚棋子，
故选：C．
【变式7-1】（25-26 七年级上·河南安阳·期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组
成．依此规律，第n 个图案中共有_____个圆片（用含n 的代数式表示）．
【答案】3𝑛+ 2
【分析】此题主要考查学生对图形的变化类的知识点的理解和掌握，此题的关键是注意发现前后图形中的
数量之间的关系．
观察图形，发现：圆片在2 的基础上，依次多3 个；根据其中的规律，用字母表示即可．
【详解】解：第1 个图案中有圆片2 + 3 × 1 = 5个，
第2 个图案中有圆片2 + 3 × 2 = 8个，
第3 个图案中有圆片2 + 3 × 3 = 11个，
第n 个图案中有圆片个数是：3𝑛+ 2．
故答案为：3𝑛+ 2．
【变式7-2】（25-26 七年级上·甘肃甘南·期末）现用围棋中的黑子摆出如图所示的图案，则第𝑛个图案中黑
子的个数为（ ）
A．(3𝑛−1)个
B．4𝑛个
C．(3𝑛+ 1)个
D．(4 + 3𝑛)个
【答案】C
【分析】观察示例图形，探索规律是解题的关键．由所给图形，可推出第n 个图形黑子的个数即可．
【详解】解：依题意，观察图形，得第1 个图案，黑子有4 + 0 × 3 = 4个；
第2 个图案，黑子有4 + 1 × 3 = 7个；
第3 个图案，黑子有4 + 2 × 3 = 10个；
……
第n 个图案，黑子4 + (𝑛−1) × 3 = 4 + 3𝑛−3 = 3𝑛+ 1个，
【变式7-3】（25-26 七年级上·河南周口·期末）如图，是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块边长和内角
均相等的六边形的地板砖，周围是等边三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1 层包括6 个正方形和6
个等边三角形，第2 层包括6 个正方形和18 个等边三角形……依此类推．第𝑛层中包括____________个等边
三角形．
【答案】(12𝑛−6)
【分析】本题考查平面镶嵌，规律型：图形的变化类，多边形内角与外角，掌握探究的一般方法是解决此
类问题的关键．根据题意分析可得：从里向外的第1 层含有6 个正三角形；第2 层含有18个正三角形；根
据正三角形的规律此后每层都比前一层多12个，所以第3 层含有30个正三角形，第4 层含有42个正三角形，
从而写出第𝑛层中含有的正三角形个数．
【详解】解：第1 层中含有正三角形个数是6 + 12 × 0 = 6个，
第2 层中含有正三角形个数是6 + 12 × 1 = 18个，
第3 层中含有正三角形个数是6 + 12 × 2 = 30个，
第4 层中含有正三角形个数是6 + 12 × 3 = 42个，
⋯
第𝑛层中含有正三角形个数是6 + 12(𝑛−1) = (12𝑛−6)个．
故答案为：(12𝑛−6)．
知识点5 正比例关系和反比例关系
1. 正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定,，这两个
量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系．如果用字母x 和y 表示两个相关联的量，用k 表
示它们的比值（k 是一个确定的值，且k≠0），正比例关系可以用
𝒚
𝒙= 𝑘来表示，其中k 叫作比例系数．
2. 反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量
就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．如果用字母x 和y 表示两个相关联的量，用k 表示
它们的积（k 是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用𝒙𝒚= 𝑘或𝒚=
𝒌
𝒙来表示，其中k 叫作比例系数．
考点2
正比例关系和反比例关系
【题型8 正比例关系】
【例8】（25-26 七年级上·广东汕头·期中）一场电影的票价一定时，该场电影的票房收入与出售票数之间的
关系是（ ）
A．反比例
B．正比例
C．不成比例
D．不确定
【答案】B
【分析】本题考查了正比例关系．
票价固定时，票房收入和出售票数比值一定，两者满足正比例关系．
【详解】解：票房收入= 票价× 出售票数，
票价固定时，票房收入和出售票数比值一定，两者满足正比例关系．
故选：B．
【变式8-1】（24-25 七年级上·湖北十堰·开学考试）如表， x 与y 成正比例， “△”和“▲”的组合不可能是
（ ）．
x
2
△
y
▲
12
A．2:12
B．24:1
C．3:6
D．3:8
【答案】C
【分析】本题考查正比例，掌握相关知识是解决问题的关键．若x 与y 成正比例，则▲÷ 2 = 12 ÷ △，由
此解答问题即可．
【详解】解：若x 与y 成正比例，则▲÷ 2 = 12 ÷ △，
即▲× △= 24，
故C 选项不符合题意，
故选：C．
【变式8-2】（2025 七年级上·山西大同·专题练习）科技小组的同学制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8 厘
米．实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）：
弹簧伸长的长度/厘米
1
2
3
…
5
物体的质量/千克
2
4
6
…
10
在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成(
)比例．当弹簧的总长度是12.8 厘米时，所称物体的
质量是(
)千克．
【答案】
正
9.6
【分析】此题考查了正比例关系的认识及应用，要求学生掌握．
（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，
这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量
也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫
反比例关系．
（2）因为不挂重物时弹簧长8 厘米，所以弹簧伸长的长度是弹簧伸长后的总长度减去弹簧原来的长度；用
弹簧伸长的长度乘弹簧伸长每厘米所称物体的质量，就是所称物体的质量．
【详解】解：（1）2 ÷ 1 = 2（千克/厘米）
4 ÷ 2 = 2（千克/厘米）
6 ÷ 3 = 2（千克/厘米）
……
10 ÷ 5 = 2（千克/厘米）
2 是一定值，所以在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成正比例．
（2）因为不挂重物时弹簧长8 厘米，所以弹簧伸长的长度是：
12.8−8 = 4.8（厘米）
所挂物体的质量是：
4.8 × 2 = 9.6（千克）
答：当弹簧的长度是12.8 厘米时，所称物体的质量是9.6 千克．
故答案为：（1）正．（2）9.6．
【变式8-3】如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，动点𝑃沿着𝐴𝐵边从点𝐴移动到点𝐵，三角形𝑃𝐴𝐷的面积随动点𝑃的运动
在不断变化．当𝑃𝐴= 5cm时，三角形𝑃𝐴𝐷的面积是30cm2，当𝑃𝐴= 8cm时，三角形𝑃𝐴𝐷的面积是__________
cm2．在点𝑃的运动过程中，三角形𝑃𝐴𝐷的面积和线段𝐴𝑃的长度成__________比例关系．
【答案】
48
正
【分析】本题考查了正比例关系，理解题意，掌握正比例关系的含义是关键．
根据三角形面积为30cm2得到𝐴𝐷= 12cm，再代入三角形面积公式，结合正比例关系的概念判定即可．
【详解】解：在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝑃𝐴𝐷= 90°，
∴𝑆△𝐴𝑃𝐷=
1
2𝐴𝑃·𝐴𝐷，
当𝑃𝐴= 5cm时，三角形𝑃𝐴𝐷的面积是30cm2，
∴
1
2 × 5𝐴𝐷= 30，
解得，𝐴𝐷= 12cm，
∴当𝑃𝐴= 8cm时，𝑆△𝐴𝑃𝐷=
1
2𝐴𝑃·𝐴𝐷=
1
2 × 8 × 12 = 48(cm2)，
∵𝑆△𝐴𝑃𝐷=
1
2𝐴𝑃·𝐴𝐷，线段𝐴𝐷的长不变，三角形𝑃𝐴𝐷的面积随着𝑃𝐴的长度增大而增大，
∴三角形𝑃𝐴𝐷的面积和线段𝐴𝑃的长度成正比例关系，
故答案为：①48；② 正．
【题型9 反比例关系】
【例9】（24-25 七年级上·贵州黔东南·阶段检测）下列成反比例关系的两种量（ ）
A．圆柱底面积一定，体积和高
B．时间一定，路程和速度
C．长方形面积一定，长和宽
D．圆周长一定，直径和圆周率
【答案】C
【分析】本题考查了反比例关系，解题的关键是掌握反比例关系的概念．
反比例关系的概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量相对应的两个数的积
一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，进行判断即可．
【详解】
解：A．圆柱体的底面积一定，体积高× 底面积，体积和高是正比例关系，选项说法错误，不符合题意；
B． 路程公式𝑠= 𝑣𝑡（𝑡是时间，𝑣是速度 ），时间𝑡一定时，
𝑠
𝑣= 𝑡（比值一定），路程和速度成正比例，不
是反比例，故本选项不符合题意；
C． 长方形面积公式𝑆= 𝑎𝑏（𝑎是长，𝑏是宽 ），面积𝑆一定时，𝑎𝑏= 𝑆（乘积一定 ），长和宽成反比例，
故本选项符合题意；
D．圆周长公式𝐶= 𝜋𝑑（𝐶是周长，𝑑是直径 ），圆周率𝜋是定值，不是变量，所以直径和圆周率不成比例，
选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【变式9-1】（25-26 七年级上·湖北黄石·期末）某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天
数之间的关系如表：
每天运输的吨数
300
150
100
75
60
50
···
运输的天数
1
2
3
4
5
6
···
若每天运输a 吨，则运输天数是____（用含a 的代数式表示）．
【答案】
300
𝑎
【分析】本题考查了反比例关系的应用．
从表格数据可知，每天运输的吨数与运输天数的乘积恒为300 吨，因此货物总吨数为300 吨；每天运输a
吨时，运输天数为总吨数除以a．
【详解】解：由表可知，300 × 1 = 150 × 2 = 100 × 3 = 75 × 4 = 60 × 5 = 50 × 6 = 300，
故货物总吨数为300 吨，
若每天运输𝑎吨，则运输天数为
300
𝑎天．
故答案为：
300
𝑎．
【变式9-2】（24-25 七年级上·湖北荆州·期末）小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）
与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表：
完成录入的时间t（分）
75
60
50
30
…
录入文字的速度v（字/分）
40
50
60
100
…
(1)这篇社会调查报告共有多少字？
(2)完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？
(3)用t 表示完成录入的时间，用v 表示录入文字的速度，用代数式表示t 与v 之间的关系，t 与v 成什么比
例关系？
【答案】(1)3000 字
(2)完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小
(3)𝑣𝑡= 3000，t 与v 成反比例关系
【分析】本题考查成反比例关系的量，熟练掌握成反比例关系的量的特征是解题的关键．
（1）用录入文字的速度乘完成录入的时间即可得到答案；
（2）根据表格中的数据即可得到完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的；
（3）由于总字数一定，则完成录入的时间t 与录入文字的速度v 的乘积一定，为3000，则可知t 与v 成反
比例关系．
【详解】（1）解：75 × 40 = 3000，
即这篇社会调查报告共有3000 字；
（2）解：由表可知完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小；
（3）解：∵总字数一定，为3000，
∴𝑣𝑡= 3000，
∴t 与v 成反比例关系．
【变式9-3】（25-26 七年级上·安徽阜阳·期中）某工厂要加工600 件毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的
时间如表：
每小时加工件数（件）
60
50
40
𝑏
…
加工时间（小时）
10
12
𝑎
20
…
(1)填空：𝑎= _____，𝑏= _____；
(2)加工时间是怎样随着每小时加工件数的变化而变化的？
(3)用𝑥表示每小时加工毛绒玩具的件数，用𝑦表示加工时间，用式子表示𝑦与𝑥之间的关系，𝑦与𝑥成什么比例
关系？
【答案】(1)15，30
(2)加工时间随着每小时加工件数的增大而减小（或减小而增大）
(3)𝑥𝑦= 600，反比例关系
【分析】本题考查了乘法运算及应用，变量之间的变化关系以及反比例关系．
（1）通过每小时加工的件数与加工时间的乘积等于玩具的总件数计算即可；
（2）观察表格中每小时加工件数和加工时间的数据，可得出加工时间随着每小时加工件数的变化情况；
（3）由工作总量= 每小时加工件数× 加工时间可得𝑥与𝑦的乘积等于 600 ，即𝑥𝑦= 600，根据反比例关系
的定义，如果两个变量的乘积是一个定值，那么这两个变量成反比例关系，由于𝑥𝑦= 600，所以𝑥与𝑦成反
比例关系．
【详解】（1）解：∵这批毛绒玩具共 600 件，
∴60 × 10 = 50 × 12 = 40𝑎= 20𝑏= 600，
∴𝑎= 15,𝑏= 30．
（2）解：结合表格，得出加工时间随着每小时加工件数的增大而减小（或减小而增大）．
（3）解：∵工作总量不变，都是 600 件，
∴加工时间与每小时加工件数乘积都是 600 ，即乘积不变，
∴𝑥𝑦= 600，
故𝑥与𝑦成反比例关系．
