文档文本内容
专题2.2 有理数的乘法与除法（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 有理数乘法的基本运算】........................................................................................................................2
【题型2 有理数的乘法中的符号判断】................................................................................................................4
【题型3 有理数的乘法的应用】............................................................................................................................6
【题型4 求一个数的倒数】....................................................................................................................................7
【题型5 根据倒数的性质求值】............................................................................................................................9
【题型6 有理数的乘法的简便计算】..................................................................................................................11
【题型7 有理数的乘法与绝对值、倒数的综合】..............................................................................................14
【题型8 有理数除法的基本运算】......................................................................................................................18
【题型9 有理数的除法在实际生活中的应用】..................................................................................................19
【题型10 有理数的乘除混合运算的基本计算】..................................................................................................21
【题型11 有理数的乘除混合运算的实际应用】..................................................................................................23
【题型12 有理数的加减乘除混合运算】..............................................................................................................24
【题型13 有理数的加减乘除混合运算中的简便计算】......................................................................................26
【题型14 有理数的加减乘除混合运算的实际应用】..........................................................................................31
知识点1 有理数乘法法则
1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积
的绝对值等于各乘数的绝对值的积．
2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0 相乘，都得0．
3. 有理数乘法法则也可以表示如下：
设a，b 为正有理数，c 为任意有理数，则
( + 𝑎) × ( + 𝑏) = 𝑎× 𝑏，(−𝑎) × (−𝑏) = 𝑎× 𝑏；
(−𝑎) × ( + 𝑏) = −(𝑎× 𝑏)，( + 𝑎) × (−𝑏) = −(𝑎× 𝑏)；
𝑐× 0 = 0，0 × 𝑐= 0．
知识点2 倒数的概念与求法
考点1
有理数的乘法
题型归纳
1. 倒数的概念：乘积是1 的两个数互为倒数．即若a 与b 互为倒数，则𝒂× 𝒃= 𝟏．
2. 倒数的求法
类型
方法
真、假分数的倒数
将分子分母交换位置
非0 整数的倒数
整数作分母，1 作分子
对于可以除尽的数的倒数，可以用1 除
以这个数求倒数
小数的倒数
对于除不尽的数，转换为分数，再按照
真、假分数求倒数的方法来进行
带分数的倒数
先把带分数化为假分数，然后将分子分
母调换位置
知识点3 有理数的乘法运算律
运算律
文字叙述
用字母表示
乘法交换律
两个数相乘，交换乘数的位置,积不变
𝑎𝑏= 𝑏𝑎
乘法结合律
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把
后两个数相乘，积不变
(𝑎𝑏)𝑐= 𝑎(𝑏𝑐)
乘法分配率
一个数与两个数的和相乘，等于把这个数
分别与这两个数相乘，再把积相加
𝑎(𝑏+ 𝑐) = 𝑎𝑏+ 𝑎𝑐
知识点4 多个有理数相乘的符号法则
1. 几个不为0 的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数，
奇数时，积为负数．
2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0．
【题型1 有理数乘法的基本运算】
【例1】（25-26 七年级上·福建漳州·期末）如图，小林有5 张标有数字的卡片，从中取出2 张，则卡片上两
数乘积的最大值为_____．
【答案】20
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，依题意，选取绝对值较大且符号相同的两数相乘，即可求解．
【详解】解：依题意，卡片上两数乘积的最大值为(−4) × (−5) = 20
故答案为：20．
【变式1-1】计算(−3) × (−4)的结果是（ ）
A．12
B．−12
C．−7
D．7
【答案】A
【分析】此题主要考查了有理数的乘法的运算，两个负数相乘，结果为正数．
【详解】解：∵(−3) × (−4) = 3 × 4 = 12，
∴ 结果为12．
故选：A．
【变式1-2】（25-26 七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示为一个正方体的侧面展开图，则原正方体相对
两个面的数字积最小的是（ ）
A．−5
B．−6
C．−9
D．−15
【答案】C
【分析】本题考查了有理数乘法，有理数大小比较，正方体相对两个面上的数字，注意正方体的空间图形，
根据相对的面之间一定相隔一个正方形，是解题的关键．
【详解】解：−1和5 是相对面，数字积为−1 × 5 = −5；1 和−6是相对面，数字积为1 × (−6) = −6；−3和3
是相对面，数字积为3 × (−3) = −9；
∵−9 < −6 < −5，
∴原正方体相对两个面的数字积最小的是−9．
故选：C．
【变式1-3】（25-26 七年级上·江苏常州·月考）若两个整数的乘积是6，则这两个整数的和的最小值是
___________．
【答案】−7
【分析】本题主要考查了有理数的运算，掌握有理数的乘法法则、加法法则是解决本题的关键．
利用有理数的乘法法则，先找出乘积为6 的两个整数，再比较它们的和并取最小值即可．
【详解】解：−1 × (−6) = 6，−1−6 = −7；−2 × (−3) = 6，−2−3 = −5；1 × 6 = 6，1 + 6 = 7；
2 × 3 = 6，2 + 3 = 5．
∵−7 < −5 < 5 < 7，
∴这两个整数的和的最小值是−7．
故答案为：−7．
【题型2 有理数的乘法中的符号判断】
【例2】下列说法正确的是（ ）
A．两数之积为正，这两数同为正
B．三数相乘，积为负，这三个数都是负数
C．两数之积为负，这两数为异号
D．几个数相乘，积的符号由因数的个数决定
【答案】C
【分析】利用有理数的乘法法则，①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相
乘． ②任何数同零相乘，都得0．③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0 的数相乘，积的符号由负
因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个
因数为0，积就为0．进行判定即可得出答案．
【详解】解：A．因为两数之积为正，这两数同为正或同为负，所以A 选项说法不正确，故A 选项不符合题
意；
B．因为三数相乘，积为负，这三个数中有一个负数或三个负数，所以B 选项说法不正确，故B 选项不符合
题意；
C．因为两数之积为负，这两数为异号，所以C 选项说法正确，故C 选项符合题意；
D．因为几个不为0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，所以D 选项说法不正确，故D 选项不符合题
意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数乘法，熟练掌握有理数乘法法则进行求解是解决本题的关键．
【变式2-1】下列乘积的结果，符号为正的是（ ）
A．0 × (−3) × (−4) × (−5)
B．(−6) × (−15) × −
1
2 ×
1
3
C．−2 × (−12) × ( +2)
D．−1 × (−5) × (−3)
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据同号得正，异号得负，0 乘以任何数为0；对各选项分析判断
即可求解．
【详解】解：A． 0 × (−3) × (−4) × (−5)结果为0，故该选项不正确，不符合题意；
B． (−6) × (−15) × −
1
2 ×
1
3结果是负数；故该选项不正确，不符合题意；
C． −2 × (−12) × ( +2)结果是正数，故该选项正确，符合题意；
D． −1 × (−5) × (−3)结果是负数，故该选项不正确，不符合题意；．
故选：C．
【变式2-2】（24-25 六年级上·山东烟台·期中）若有理数𝑎,𝑏,𝑐满足𝑎𝑏𝑐= 10，𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，则𝑎,𝑏,𝑐中负数
的个数是______．
【答案】2
【分析】本题考查利用有理数乘法和加法的符号，来判断有理数的符号．熟练掌握有理数的乘法运算法则：
“同号为正，异号为负．”加法法则：“同号相加，取相同的符号，异号相加，取绝对值大的符号．”是解题的
关键．
根据有理数的乘法法则：同号为正，异号为负，以及互为相反数的两数之和为0，进行判断即可．
【详解】解：∵𝑎𝑏𝑐= 10 > 0，
∴三数均为正，或两数为负，一数为正，
当三数均为正时：𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0，不符合题意；
∴三数中有两数为负，一数为正．
故答案为：2．
【变式2-3】（25-26 七年级上·江苏南京·期中）5 个非零有理数两两相乘，若所有乘积中恰好有4 个负数，
则这5 个数中负数的个数为___________．
【答案】1或4
【分析】本题考查了代数式两数之积的正负性，合理分类讨论是解题的关键．设这5非零有理数为𝑎，𝑏，𝑐，
𝑑，𝑒，分类讨论解答即可．
【详解】解：设这5非零有理数为𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，𝑒，
两两相乘一共有：𝑎𝑏，𝑎𝑐，𝑎𝑑，𝑎𝑒，𝑏𝑐，𝑏𝑑，𝑏𝑒，𝑐𝑑，𝑐𝑒，𝑑𝑒，十种情况，
当有一个负数时，令𝑎为负数，则负数的情况有：𝑎𝑏，𝑎𝑐，𝑎𝑑，𝑎𝑒，四种情况，符合题意；
当有两个负数时，令a，b 为负数，则负数的情况有：𝑎𝑐，𝑎𝑑，𝑎𝑒，𝑏𝑐，𝑏𝑑，𝑏𝑒，六种情况，不符合题意；
当有三个负数时，令a，b，𝑐为负数，则负数的情况有：𝑎𝑑，𝑎𝑒，𝑏𝑑，𝑏𝑒，𝑐𝑒，𝑑𝑒，六种情况，不符合题
意；
当有四个负数时，令a，b，𝑐，𝑑为负数，则负数的情况有：𝑎𝑒，𝑏𝑒，𝑐𝑒，𝑑𝑒，四种情况，符合题意；
当有五个负数时，令a，b，𝑐，𝑑，𝑒为负数，则没有负数的情况，不符合题意；
综上，当有一个负数或有四个负数时符合题意，
故答案为：1或4．
【题型3 有理数的乘法的应用】
【例3】（25-26 七年级上·河南平顶山·期末）人体的血液的质量约占人体的7%至8%之间．已知小红的体重
为35kg，则她体内的血液质量可能为（ ）
A．2kg
B．2.4kg
C．2.7kg
D．3.1kg
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用．分别计算35 × 7%与35 × 8%，即可知道小红体内血液质量
所处的范围，根据选项即可作出判断．
【详解】解：由题意知，小红体内血液质量位于35 × 7% = 2.45(kg)至35 × 8% = 2.8(kg)之间，
由四个选项知，小红体内的血液质量可能为2.7kg；
故选：C．
【变式3-1】（25-26 七年级上·北京海淀·期末）中央民族大学附属中学开展民族团结主题活动，七年级共有
320 名学生参与，其中少数民族学生人数占总人数的
3
8，则少数民族学生人数为（ ）
A．120
B．160
C．200
D．240
【答案】A
【分析】本题考查有理数乘法的实际应用，用总人数乘以少数民族学生所占的比例即可求出人数．
【详解】∵总人数为320 名，少数民族学生人数占总人数的
3
8，
∴少数民族学生人数为320 ×
3
8=120（名）．
∴故选：A．
【变式3-2】（25-26 七年级上·贵州黔东南·期末）某地居民电费根据年用电量实行阶梯式收费，收费标准如
下表：
年用电量（度）
对应电价（元/度）
3000 度及以下
0.46
超过3000 度但不超过4700 度的部分
0.5
超过4700 度的部分
0.76
若该地某家在2025 年累计年用电量为5000 度，则他家应缴电费__________元．
【答案】2458
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，读懂题目信息，理解阶梯电价的收费方法和电费的计算方法是解
题的关键．
根据阶梯电价标准，年用电量5000 度超过4700 度，需分三部分计算电费：3000 度及以下部分、超过3000
度但不超过4700 度部分、超过4700 度部分．
【详解】解：第一阶梯电费为3000 × 0.46 = 1380元；
第二阶梯电费为(4700−3000) × 0.5 = 1700 × 0.5 = 850元；
第三阶梯电费为(5000−4700) × 0.76 = 300 × 0.76 = 228元；
∴总电费为1380 + 850 + 228 = 2458元．
故答案为：2458
【变式3-3】（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一
道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一
个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅
织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？
A．45尺
B．88尺
C．90尺
D．98尺
【答案】C
【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和
1
2(1 + 5) × 30即可，
读懂题意，找出规律是解题的关键．
【详解】解：由题意得，第一天织布5尺，第30天织布1尺，
∴一共织布
1
2(1 + 5) × 30 = 90（尺），
故选：C．
【题型4 求一个数的倒数】
【例4】（25-26 九年级上·重庆·期中）2026 的倒数是（ ）
A．−2026
B．2026
C．−
1
2026
D．
1
2026
【答案】D
【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果.
【详解】∵ 乘积为1的两个数互为倒数，
设2026的倒数为𝑥，则 2026𝑥= 1，
∴ 𝑥=
1
2026，
故选D.
【变式4-1】（25-26 六年级上·上海·期末）−5
1
3的倒数是______．
【答案】−
3
16
【分析】本题主要考查了倒数．先将带分数转化为假分数，再依据倒数的定义求解即可．
【详解】解：−5
1
3 = −
16
3 的倒数是−
3
16．
故答案为−
3
16．
【变式4-2】（25-26 七年级上·河北邢台·期末）一个正方体的平面展开图如图所示，已知正方体相对两个面
上的数互为倒数，则𝑎𝑏= （ ）
A．−
1
6
B．−6
C．
3
2
D．
1
2
【答案】A
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数，倒数的定义，有理数的乘法．
根据正方体相对两个面上的数互为倒数求出𝑎=
1
3，𝑏= −
1
2，进而代入𝑎𝑏计算即可．
【详解】解：由正方体的平面展开图可知，a 相对面上的数是3，b 相对面上的数是−2，
∵正方体相对两个面上的数互为倒数，
∴𝑎=
1
3，𝑏= −
1
2，
∴𝑎𝑏=
1
3 × −
1
2 = −
1
6．
故选：A．
【变式4-3】（25-26 七年级上·河南开封·期中）𝑎是最大的负整数，𝑏的倒数是它本身，𝑐是绝对值最小的有
理数，则𝑎+ 𝑏−𝑐= （ ）
A．−1
B．1
C．0 或−1
D．0 或−2
【答案】D
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，求出各项的值．
根据定义，a 是最大的负整数即𝑎= −1，b 的倒数是它本身即𝑏= 1或−1，c 是绝对值最小的有理数即𝑐= 0，
代入计算𝑎+ 𝑏−𝑐，即可解答．
【详解】解：∵ a 是最大的负整数，
∴𝑎= −1；
∵b 的倒数是它本身，
∴𝑏= 1或𝑏= −1；
∵ c 是绝对值最小的有理数，
∴𝑐= 0；
当𝑏= 1时，𝑎+ 𝑏−𝑐= −1 + 1−0 = 0；
当𝑏= −1时，𝑎+ 𝑏−𝑐= −1 + (−1)−0 = −2；
∴𝑎+ 𝑏−𝑐= 0或−2，
故选D．
【题型5 根据倒数的性质求值】
【例5】（2025 七年级上·全国·专题练习）若a，b 互为倒数，则−2025 + 3𝑎𝑏的值为__________．
【答案】−2022
【分析】本道题主要考查了倒数的定义及性质，解题的关键是熟记倒数的定义与性质；
根据倒数的定义，a 与b 互为倒数则𝑎𝑏= 1，代入计算即可．
【详解】因为a，b 互为倒数，
所以𝑎𝑏= 1．
所以−2025 + 3𝑎𝑏= −2025 + 3 × 1 = −2025 + 3 = −2022．
故答案为：−2022．
【变式5-1】（25-26 七年级上·广东东莞·月考）已知𝑎, 𝑏互为相反数，𝑐, 𝑑互为倒数，则𝑐𝑑+ 5(𝑎+ 𝑏)的值为
___________．
【答案】1
【分析】本题主要考查了相反数，倒数，代数式求值，根据相反数和倒数的定义，得出𝑎+ 𝑏= 0和
𝑐𝑑= 1，然后代入计算即可．
【详解】解：∵a、b 互为相反数，
∴𝑎+ 𝑏= 0；
∵c、d 互为倒数，
∴𝑐𝑑= 1．
∴𝑐𝑑+ 5(𝑎+ 𝑏) = 1 + 5 × 0 = 1．
故答案为：1．
【变式5-2】（25-26 七年级上·山东临沂·期末）若𝑎与𝑏互为相反数，𝑐与𝑑互为倒数，则2025𝑎+ 2026𝑏+ 𝑐𝑑𝑎
的值是__________．
【答案】0
【分析】本题考查了相反数，倒数的定义，代数式求值，由a 与b 互为相反数，得𝑎+ 𝑏= 0，由c 与d 互
为倒数，得𝑐𝑑= 1．代入表达式计算即可．
【详解】解：∵𝑎与b 互为相反数，
∴𝑎+ 𝑏= 0．
∵𝑐与d 互为倒数，
∴𝑐𝑑= 1．
∴2025𝑎+ 2026𝑏+ 𝑐𝑑𝑎= 2025𝑎+ 2026𝑏+ 𝑎= 2026𝑎+ 2026𝑏= 2026(𝑎+ 𝑏) = 0．
故答案为：0
【变式5-3】（25-26 七年级上·全国·期末）已知𝑚和𝑛互为相反数，𝑝和
𝑞
2互为倒数，𝑎是绝对值最小的有理数，
𝑏是最小的正整数，求−
𝑚+𝑛+1
2
−𝑝𝑞−𝑎𝑏的值．
【答案】−
5
2
【分析】本题考查代数式求值，涉及相反数定义、倒数定义、绝对值等相关知识，掌握相关数学知识得到
式子与字母的值是解决问题的关键．
先由题意，得到𝑚+ 𝑛= 0，𝑝𝑞= 2，𝑎= 0，𝑏= 1，代入代数式计算即可得到答案．
【详解】解：∵𝑚和𝑛互为相反数，𝑝和
𝑞
2互为倒数，𝑎是绝对值最小的有理数，𝑏是最小的正整数，
∴𝑚+ 𝑛= 0，𝑝×
𝑞
2 = 1，𝑎= 0，𝑏= 1，
即𝑚+ 𝑛= 0，𝑝𝑞= 2，𝑎= 0，𝑏= 1，
∴−
𝑚+𝑛+1
2
−𝑝𝑞−𝑎𝑏
= −
0+1
2 −2−01
= −
1
2−2−0
= −
5
2．
【题型6 有理数的乘法的简便计算】
【例6】（2025 七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算：
(1) +2
8
31 × −1
2
7 ×
+2
1
15 × −4
1
2 ；
(2)
1
15 + −
5
6 −−
7
12
× (−60)；
(3)9
13
14 × (−7)．
【答案】(1)27
(2)11
(3)−69
1
2
【分析】本题考查了有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更简便，要注意对运算算式的整理．
（1）把带分数化为假分数，然后利用有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）利用乘法分配律进行计算即可得解；
（3）把9
13
14写成10−
1
14 ，然后利用乘法分配律进行计算即可得解．
【详解】（1）解：+2
8
31 × −1
2
7 ×
+2
1
15 × −4
1
2
= 70
31 × 9
7 × 31
15 × 9
2
= 27；
（2）解：
1
15 + −
5
6 −−
7
12
× (−60)
= 1
15 × (−60) + (−5
6 ) × (−60)−(−7
12 ) × (−60)
= −4 + 50−35
= −39 + 50
= 11；
（3）解：9
13
14 × (−7)，
= (10−
1
14) × (−7)，
= 10 × (−7)−
1
14 × (−7)，
= −70 +
1
2，
= −69
1
2．
【变式6-1】（25-26 六年级上·山东淄博·期末）计算(−4) × 8 × (−0.25)时，将式子变形为(−4)×(−0.25) × 8
进行简便运算，这样做的依据是运用了______．
【答案】乘法交换律和结合律
【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算、有理数的乘法运算律等知识点，掌握乘法运算律是解题的关
键．
通过改变乘数的顺序和分组，使计算简便，依据是乘法的交换律和结合律．
【详解】解：原式计算中，将式子变形为先计算(−4)与(−0.25)的乘积，再乘以8，应用了乘法的交换律改
变乘数的顺序，并结合结合律改变乘法的分组，从而使计算简便．
故答案为：乘法交换律和结合律．
【变式6-2】（25-26 七年级上·山西临汾·期末）在简便运算时，把21 × −9
6
7 变形成最合适的形式是（ ）
A．21 × −10 +
1
7
B．21 × −9−
1
7
C．21 × −10−
6
7
D．21 × −9 +
6
7
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的简便运算，将带分数变形成凑整的形式，便于计算，据此进行分析，即可作
答．
【详解】解：依题意，−9
6
7 = −10 +
1
7，
∴21 × −9
6
7 = 21 × −10 +
1
7 ，这样便于后面的运算，
故选：A
【变式6-3】学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算71
15
16 × (−8)，看谁算得又对又
快．
下面是两位同学给出的不同解法．
小强：原式= −
1151
16 × 8 = −
9208
16 = −575
1
2
小莉：原式= 71 +
15
16 × (−8) = 71 × (−8) +
15
16 × (−8) = −568−
15
2 = −575
1
2．
(1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？
(2)你还有其他解法吗？如果有，请你写出解答过程；
(3)你能用简便方法计算−99
98
99 × 198吗？如果能，请你写出解答过程．
【答案】(1)小莉
(2)有，见解析
(3)−19798
【分析】（1）对比二者的运算过程的繁简程度即可判断；
（2）将原数化为(72−
1
16) × (−8)，用乘法分配律即可求解；
（3）将原数化为−100−
1
99 × 198，用乘法分配律即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
小强没有进行约分计算，导致数字偏大，运算量大；小莉将原数拆分后利用乘法分配律进行运算，简化了
运算；
故小莉的解法比较简便；
（2）解：还有其他的解法；
原式= (72−
1
16) × (−8)
= 72 × (−8)−
1
16 × (−8)
= −576 +
1
2 = −575
1
2；
（3）解：能；
原式= −100 × 198 +
1
99 × 198
= −19800 + 2 = −19798．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，会利用运算律进行简便运算是解题的关键．
【题型7 有理数的乘法与绝对值、倒数的综合】
【例7】（24-25 七年级上·河北廊坊·月考）已知𝑎与𝑏互为倒数，𝑚与𝑛互为相反数，𝑥的绝对值等于1，则
2022(𝑚+ 𝑛)−2023|𝑥| +2024𝑎𝑏的值为__________．
【答案】1
【分析】根据𝑎与𝑏互为倒数，𝑚与𝑛互为相反数，𝑥的绝对值等于1．可以得到𝑎𝑏= 1，𝑚+ 𝑛= 0，|𝑥| = 1，
然后代入所求式子计算即可．本题考查有理数的混合运算，相反数的定义，倒数的定义，解答本题的关键
是求出𝑎𝑏= 1，𝑚+ 𝑛= 0，|𝑥| = 1．
【详解】解：∵𝑎与𝑏互为倒数，𝑚与𝑛互为相反数，𝑥的绝对值等于1，
∴𝑎𝑏= 1，𝑚+ 𝑛= 0，|𝑥| = 1，
∴2022(𝑚+ 𝑛)−2023|𝑥| +2024𝑎𝑏
= 2022 × 0−2023 × 1 + 2024 × 1
= 0−2023 + 2024
= 1，
故答案为：1．
【变式7-1】下列说法：
①2018 个有理数相乘，其中负数有2005 个，那么所得的积为负数
②若m 满足|m|＋m＝0 则m<0
③有理数
𝑏
𝑎的倒数是
𝑎
𝑏
④若三个有理数a，b，c 满足
|𝑎𝑏|
𝑎𝑏+
|𝑎𝑐|
𝑎𝑐+
|𝑏𝑐|
𝑏𝑐=-1，则
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏+
|𝑐|
𝑐= −1
其中正确的是有（ ）个
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】利用有理数的乘除法法则，绝对值，以及倒数定义判断即可．
【详解】解：①中当有理数中有0 时，结果为0，故①错误；
②中若m 满足|m|＋m＝0 则m≤0，故②错误；
③中有理数
𝑏
𝑎当分子b=0 时，它没有倒数，故③错误；
④中若三个有理数a，b，c 满足
|𝑎𝑏|
𝑎𝑏+
|𝑎𝑐|
𝑎𝑐+
|𝑏𝑐|
𝑏𝑐=-1，可得ab，ac，bc 中有两个为负的，
∴a，b，c 中负数有2 个正数1 个或者负数有1 个正数2 个，
∴
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏+
|𝑐|
𝑐= −1或1，故④错误，
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的乘除法法则，绝对值以及倒数的概念等，有理数中0 常常作为一个特例需要
特别注意，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-2】（24-25 七年级上·河北石家庄·月考）解答下列问题：
(1)已知|𝑎| = 7,|𝑏| = 3，
①若𝑎𝑏> 0，求𝑎+ 𝑏的值．
②若|𝑎+ 𝑏| = 𝑎+ 𝑏，求𝑎−𝑏的值．
(2)已知𝑎,𝑏互为倒数，𝑐,𝑑互为相反数（𝑐,𝑑不为0），|𝑚| = 3，根据已知条件请回答：
①𝑎𝑏= _______，𝑐+ 𝑑= _______，𝑚= _______，
𝑐
𝑑= _______．
②求|
𝑚
3| +𝑎𝑏+
𝑐+𝑑
4|𝑚| +
𝑐
𝑑的值．
【答案】(1)①± 10；②4或10；
(2)①1，0，± 3，−1；②1
【分析】本题主要考查了绝对值的定义，倒数定义以及相反数的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）①首先利用绝对值的定义求出𝑎、𝑏的值，根据𝑎𝑏> 0确定值代入即可；
②根据绝对值的定义得到𝑎+ 𝑏≥0，确定值代入即可；
（2）①根据倒数、相反数、绝对值的定义求解即可；
②将①所得值，代入求值即可．
【详解】（1）解：①∵ |𝑎| = 7,|𝑏| = 3，
∴𝑎=± 7，𝑏=± 3，
∵𝑎𝑏> 0，
∴当𝑎= 7,𝑏= 3时，𝑎+ 𝑏= 7 + 3 = 10；
当𝑎= −7,𝑏= −3时，𝑎+ 𝑏= −7−3 = −10；
∴𝑎+ 𝑏的值为± 10；
②∵ |𝑎| = 7,|𝑏| = 3，
∴𝑎=± 7，𝑏=± 3，
∵ |𝑎+ 𝑏| = 𝑎+ 𝑏，
∴𝑎+ 𝑏≥0，
当𝑎= 7,𝑏= 3时，𝑎−𝑏= 7−3 = 4；
当𝑎= 7,𝑏= −3时，𝑎−𝑏= 7−(−3) = 10；
故𝑎−𝑏的值为4或10；
（2）解：①∵ 𝑎,𝑏互为倒数，𝑐,𝑑互为相反数（𝑐,𝑑不为0），|𝑚| = 3，
∴ 𝑎𝑏= 1,𝑐+ 𝑑= 0，𝑚=± 3，
∵𝑐+ 𝑑= 0，
∴𝑐= −𝑑，
∴
𝑐
𝑑=
−𝑑
𝑑= −1，
故答案为：1，0，± 3，−1；
②将𝑎𝑏= 1,𝑐+ 𝑑= 0，𝑚=± 3，
𝑐
𝑑= −1代入，
原式= 1 + 1 + 0−1 = 1．
【变式7-3】（25-26 七年级上·河南许昌·期中）（1）若a 与b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 是最大的负
整数，数轴上n 对应的点到−3对应的点的距离是7，求4(𝑎+ 𝑏−2) +5𝑐𝑑−𝑚𝑛的值；
（2）已知|𝑥| = 4，|𝑦| = 9，且𝑥𝑦< 0，求2𝑥−𝑦的值．
【答案】
（1）1 或−13
（2）17 或−17
【分析】本题考查了相反数、倒数、负整数的定义，数轴上两点间的距离，绝对值的性质及代数式求值，
解题的关键是根据定义和性质确定各字母的取值；易错点在于数轴上到某点距离为定值的点有两个，以及
绝对值化简时忽略符号的多种情况，易漏解．
（1）由相反数得𝑎+ 𝑏= 0，倒数得𝑐𝑑= 1，最大负整数得𝑚= −1，由数轴上两点间距离公式得|𝑛−(−3)|
= 7，分情况代入代数式计算；
（2）由绝对值得𝑥=± 4、𝑦=± 9，结合𝑥𝑦< 0分异号情况计算2𝑥−𝑦．
【详解】（1）解∵𝑎与𝑏互为相反数，
∴𝑎+ 𝑏= 0；
∵𝑐和𝑑互为倒数，
∴𝑐𝑑= 1；
∵𝑚是最大的负整数，
∴𝑚= −1；
∵|𝑛−(−3)| = 7，
∴𝑛= 4或𝑛= −10
当𝑛= 4时，4(𝑎+ 𝑏−2) + 5𝑐𝑑−𝑚𝑛= 4 × (0−2) + 5 × 1−(−1) × 4 = −8 + 5 + 4 = 1；
当𝑛= −10时，
4(𝑎+ 𝑏−2) +5𝑐𝑑−𝑚𝑛= 4 × (0−2) +5 × 1−(−1) × (−10) = −8 + 5−10 = −13．
∴4(𝑎+ 𝑏−2) +5𝑐𝑑−𝑚𝑛的值为1 或−13．
（2）解∵|𝑥| = 4，
∴𝑥= 4或𝑥= −4；
∵|𝑦| = 9，
∴𝑦= 9或𝑦= −9；
∵𝑥𝑦< 0，
∴𝑥、𝑦异号．
当𝑥= 4，𝑦= −9时，2𝑥−𝑦= 2 × 4−(−9) = 17；
当𝑥= −4，𝑦= 9时，2𝑥−𝑦= 2 × (−4)−9 = −17，
∴2𝑥−𝑦的值为17 或−17．
知识点5 有理数的除法
1. 有理数除法法则
（1）除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数．即𝑎÷ 𝑏= 𝑎⋅1
𝑏(𝑏≠0)．
（2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 𝑎𝑏>
0，则
𝒂
𝒃> 𝟎；若𝑎𝑏< 0,则
𝒂
𝒃< 𝟎．
（3）0 除以任何一个不等于0 的数，都得0．
2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用
（1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较
考点2
有理数的除法
简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便．
（2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则
（1)进行计算．
知识点6 有理数乘除混合运算
有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果．
【题型8 有理数除法的基本运算】
【例8】（25-26 六年级下·黑龙江绥化·月考）小溪在计算𝑎÷ (−9)时，除号变乘号时，忘记把−9改成它的
倒数，结果是54，则𝑎÷ (−9)的正确结果是______．
【答案】
2
3
【分析】先根据错误的计算过程列出关于𝑎的等式，求出𝑎的值，再代入正确的算式，根据有理数除法法则
计算即可得到结果．
【详解】根据题意，可得错误的计算算式为：𝑎× (−9) = 54，
解得 𝑎= 54 ÷ (−9) = −6，
将𝑎= −6代入正确算式𝑎÷ (−9)，
得(−6) ÷ (−9) =
6
9 =
2
3．
【变式8-1】（25-26 七年级上·河北邢台·期末）计算(−7) ÷ 14的结果是（ ）
A．−2
B．2
C．−
1
2
D．
1
2
【答案】C
【分析】本题考查有理数的除法运算，先把除法变成乘法，再计算乘法即可得到答案．
【详解】解：(−7) ÷ 14 = (−7) ×
1
14 = −
1
2，
故选：C．
【变式8-2】（25-26 六年级上·上海·期末）乐乐在计算(−15) ÷ 𝑚时，误将“ ÷ ”看成“ + ”，所得的结果是
−12，那么(−15) ÷ 𝑚的正确结果应是______．
【答案】−5
【分析】本题考查了有理数的减法和除法，根据题意求出𝑚的值，再代入算式计算即可求解，掌握有理数的
运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得，(−15) +𝑚= −12，
∴𝑚= −12−(−15) = −12 + 15 = 3，
∴正确结果为(−15) ÷ 𝑚= (−15) ÷ 3 = −5，
故答案为：−5．
【变式8-3】（25-26 七年级上·河北衡水·期末）如图1，点A，B，C 是数轴上从左到右排列的三点，分别对
应的数为−2，m，4．某同学将刻度尺如图2 放置，使刻度尺上的1.2cm对齐数轴上的点A，发现点B 对齐
刻度尺2.6cm处，点C 对齐刻度尺5.4cm处．那么，数轴上点B 所对应的数m 为______．
【答案】0
【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离、有理数的加减运算、有理数的除法运算，根据已知条件算
出数轴上1 个单位长度表示实际长度0.7cm是解题的关键．先算出数轴上1 个单位长度表示实际长度0.7cm，
然后根据𝐴𝐵间的实际长度，求出数轴上点𝐵所对应的数𝑚即可．
【详解】解：根据题意知，数轴上1 个单位长度表示实际长度
5.4−1.2
4−(−2) = 0.7(cm)，
∵𝐴𝐵间的实际距离为2.6−1.2 = 1.4(cm)，
∴𝐴𝐵在数轴上表示的单位长度为：
1.4
0.7 = 2，
∴数轴上点𝐵所对应的数𝑚为−2 + 2 = 0．
故答案为：0 ．
【题型9 有理数的除法在实际生活中的应用】
【例9】（25-26 六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）
4
3升的牛奶能平均装在4个瓶子里，则每个瓶子装_____升．
【答案】
1
3
【分析】本题主要考查有理数的除法，根据有理数除法的运算法则计算即可．
【详解】解：
4
3 ÷ 4 =
4
3 ×
1
4 =
4×1
3×4 =
4
12 =
1
3.
故答案为 ：
1
3
【变式9-1】（25-26 七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）将2025 转换为八进制数为__________．
【答案】(3751)8
【分析】本题考查进制的转换，将十进制数2025 转换为八进制数，通过不断除以8 并取余数，直到商为0，
然后将余数从下往上排列得到八进制数．
【详解】解：2025 ÷ 8 = 253余1
253 ÷ 8 = 31余5
31 ÷ 8 = 3余7
3 ÷ 8 = 0余3
将余数从下往上排列为3751，故2025 的八进制数为3751；
故答案为：(3751)8．
【变式9-2】（24-25 七年级上·浙江金华·月考）一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80
米与100 米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6
秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（ ）
A．7.5秒
B．4.8秒
C．5 秒
D．4 秒
【答案】B
【分析】两车相向行驶，相对速度保持不变，旅客看见对方列车驶过窗口时，行驶路程等于对方列车的车
身长，先根据已知条件求出相对速度，再计算所求时间．
【详解】解：∵两车相向行驶，相对速度不变，坐在高速列车上的旅客观察普通列车时，行驶路程为普通列
车车身长100 米，时间为6 秒，
∴两车的相对速度为100 ÷ 6 =
50
3 （米/秒）．
∵坐在普通列车上的旅客观察高速列车时，行驶路程为高速列车车身长80 米，
∴坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间为80 ÷
50
3 = 4.8（秒）．
【变式9-3】（25-26 七年级下·山东泰安·期中）我国古代人们根据《孙子算经》“物不知数”问题改编的灯谜：
大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺
三、大体意思是：大年三十挂彩灯，彩灯数量满足以下条件：
3 个3 个地数，正好数完（没有剩余）；
5 个5 个地数，最后剩1 盏；
7 个7 个地数，正好数完；
8 个8 个地数，还差3 盏（也就是数到最后一组差3 盏不到8 盏）
请问：这些彩灯最少有_____盏?
【答案】21
【分析】彩灯数量需同时满足：是3 的倍数、除以5 余1、是7 的倍数、除以8 余5．通过寻找3 和7 的公
倍数，并结合其他条件求解．
【详解】解：由题知彩灯数量需同时满足：是3 的倍数、除以5 余1、是7 的倍数、除以8 余5．
∵彩灯数量是3 和7 的公倍数，即21 的倍数．
∴设数量为21𝑘，k 为正整数．
当𝑘= 1时，21𝑘= 21，
21 ÷ 5 = 4余1，满足题意，
21 ÷ 8 = 2余5，即缺3，满足题意，
∴这些彩灯最少有21 盏．
【题型10 有理数的乘除混合运算的基本计算】
【例10】（25-26 七年级上·山东日照·期中）已知：𝑎×
2
3 = 𝑏× 1
3
5 = 𝑐÷
2
3，且a，b，c 都均为正数，则a，
b，c 中最小的数是（ ）
A．a
B．b
C．c
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数乘除的应用．
根据题意可得𝑎= 𝑏×
12
5 ，𝑐= 𝑏×
16
15，即可求解．
【详解】解：∵𝑎×
2
3 = 𝑏× 1
3
5 = 𝑐÷
2
3，
∴𝑎= 𝑏×
8
5 ÷
2
3 = 𝑏×
12
5 ，𝑐= 𝑏×
8
5 ×
2
3 = 𝑏×
16
15，
∵
12
5 >
16
15 > 1，
∴𝑎> 𝑐> 𝑏，
∴a，b，c 中最小的数是b．
故选：B．
【变式10-1】（25-26 七年级上·山西长治·期末）−
1
2 × 2 ÷ −
1
2 × 2 = ( )
A．2
B．−1
C．1
D．4
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是掌握同级运算从左到右依次进行，或把除法转化为乘
法后再计算，注意符号的处理．
【详解】解：−
1
2 × 2 ÷ −
1
2 × 2
= −1
2 × 2 × (−2) × 2
= −1 × (−2) × 2
= 2 × 2
= 4．
故选：D．
【变式10-2】（25-26 七年级上·山西太原·阶段检测）已知𝑎是有理数，[𝑎]表示不超过𝑎的最大整数，如：
[3.2] = 3，[−1.5] = −2，则[5.4] ÷ [−3] × [−5.2] = ______．
【答案】10
【分析】本题考查的是有理数的大小比较，有理数的乘除混合运算，理解[𝑎]表示不超过𝑎的最大整数的意义
是解题的关键．
根据题意求出[5.4]、[−3]、[−5.2]的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵[𝑎]表示不超过𝑎的最大整数，
∴[5.4] = 5，[−3] = −3，[−5.2] = −6，
∴[5.4] ÷ [−3] × [−5.2] = 5 ÷ (−3) × (−6) = −
5
3 × (−6) = 10．
故答案为：10．
【变式10-3】（24-25 七年级上·河南南阳·月考）下列各式中，与5 ÷
4
7 ÷
8
7的运算结果相同的是（ ）
A．5 ÷
4
7 ÷
8
7
B．5 ÷
4
7 ×
8
7
C．5 ÷
8
7 ÷
4
7
D．5 ×
7
4 ×
8
7
【答案】B
【分析】利用有理数的乘除混合运算法则逐一计算，并与题中的计算结果比较即可．
本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：5 ÷
4
7 ÷
8
7 = 5 ×
7
4 ×
7
8 =
245
32
A 中、5 ÷
4
7 ÷
8
7 = 5 ÷
4
7 ×
7
8 = 5 ÷
1
2 = 10，不相同，故选项不符合题意；
B 中、5 ÷
4
7 ×
8
7 = 5 ÷
32
49 = 5 ×
49
32 =
245
32 相同，故选项符合题意：
C 中、5 ÷
8
7 ÷
4
7 = 5 ÷
8
7 ×
7
4 = 5 ÷ 2 =
5
2，不相同，故选项不符合题意；
D 中、5 ×
7
4 ×
8
7 = 10，不相同，故选项不符合题意；
故选：B．
【题型11 有理数的乘除混合运算的实际应用】
【例11】（25-26 六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知平均每个水龙头一天漏水约0.06t，如果1 个人1 年用
30t水，那么按照这个漏水速度，100 个水龙头1 年（365 天）的漏水量可供______人用1 年．
【答案】73
【分析】本题考查了有理数的乘除法的应用，根据题意，先计算100 个水龙头一年的总漏水量，再除以一
个人一年的用水量，得到可供的人数．
【详解】解：平均每个水龙头一天漏水0.06t，100 个水龙头一天漏水0.06 × 100 = 6(t)，
100 个水龙头一年漏水6 × 365 = 2190(t)．
因为一个人一年用水30t，所以2190 ÷ 30 = 73（人）．
故答案为73．
【变式11-1】（24-25 七年级上·湖南怀化·开学考试）买2千克葡萄和3千克芒果，共付款40元．已知2千克
葡萄的价钱等于1千克芒果的价钱，那么葡萄每千克(
)元，芒果每千克(
)元．
【答案】
5
10
【分析】本题考查了有理数的应用，由2千克葡萄的价钱等于1千克芒果的价钱，可得葡萄每千克5（元），
从而可求芒果每千克得价钱，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：因为2千克葡萄的价钱等于1千克芒果的价钱，
所以葡萄每千克40 ÷ (2 + 3 × 2) = 5（元），
所以芒果每千克2 × 5 = 10（元），
故答案为：5，10．
【变式11-2】（24-25 六年级下·黑龙江绥化·期中）一根木头，锯成3段需要6分钟，照这样计算，锯成6段要
(
)分钟．
【答案】15
【分析】本题考查了有理数的除法运算，理解数量关系是关键．
根据锯成3段需要锯两次，需要6分钟，则每次的用时为3分钟，由此即可求解．
【详解】解：锯成3段需要锯两次，需要6分钟，
∴每锯一次的用时为3分钟，
∵锯成6段，需要锯5次，
∴需要时间为3 × 5 = 15（分钟），
故答案为：15 ．
【变式11-3】（24-25 六年级下·上海·期中）在长16 厘米，宽10 厘米的长方形上剪半径为2 厘米的小圆，
最多可以剪______个圆．
【答案】8
【分析】本题考查了有理数的乘除法的实际应用，圆的周长问题，理解题意是解题的关键．
算出每行和每列最多可剪几个圆，即可得到长方形上可以最多剪几个圆．
【详解】解：由题意得，直径为4 厘米，
那么每一行最多剪16 ÷ 4 = 4个圆，每列最多剪10 ÷ 4 ≈2个圆，
则最多剪4 × 2 = 8个圆，
故答案为：8．
知识点7 有理数的四则运算
有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），
同级运算，按照从左往右的顺序进行计算．
【题型12 有理数的加减乘除混合运算】
【例12】（25-26 七年级下·河南新乡·期末）若要使16□(5−8) × 4的结果为负整数，则“□”里应填（ ）
A．+
B．-
C．×
D．÷
【答案】C
【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算分别计算表达式的值，即可求解．
【详解】解：A、16 + (5−8) × 4 = 16−12 = 4 > 0，不是负整数；
B、16−(5−8) × 4 = 16 + 12 = 28 > 0，不是负整数；
C、16 × (5−8) × 4 = 16 × (−12) = −192 < 0，是负整数；
D、16 ÷ (5−8) × 4 = 16 × −
1
3 × 4 = −
64
3 < 0，不是负整数．
考点3
有理数的加减乘除混合运算
故选：C．
【变式12-1】（25-26 七年级上·福建漳州·期末）要使算式2 + |−5□3|的结果最大，则“□”内应填入的运算符
号为（ ）
A．+
B．−
C．×
D．÷
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算及绝对值的性质，通过计算填入不同运算符号后的算式结果，
比较大小即可得出使结果最大的运算符号，正确计算是解题的关键．
【详解】解：填入“ + ”时，2 + |−5 + 3| = 2 + |−2| = 2 + 2 = 4，
填入“−”时，2 + |−5−3| = 2 + |−8| = 2 + 8 = 10，
填入“ × ”时，2 + |−5 × 3| = 2 + |−15| = 2 + 15 = 17，
填入“ ÷ ”时，2 + |−5 ÷ 3| = 2 +
5
3 =
11
3 ，
∵
11
3 < 4 < 10 < 17，
∴要使算式结果最大，“□”内应填入的运算符号为× ，
故选：C．
【变式12-2】某学校把WIFI密码按照如下规律设置，根据提供的信息可以推断该校的WIFI密码是
_____________．
账号：xuexiao
1 ∗2 ⊕3 = 030609
4 ∗5 ⊕6 = 243054
9 ∗2 ⊕5 = 451055
4 ∗6 ⊕8 = 密码
【答案】324880
【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，根据前面三个等式，寻找规律解决问题即可，
由前面三个等式发现规律是解决问题的关键．
【详解】解：由三个等式，得到规律：
1 ∗2 ⊕3 = 030609可知：1 × 3 = 3，2 × 3 = 6，(1 + 2) × 3 = 9，
4 ∗5 ⊕6 = 243054可知：4 × 6 = 24，5 × 6 = 30，(4 + 5) × 6 = 54，
9 ∗2 ⊕5 = 451055可知：9 × 5 = 45，2 × 5 = 10，(9 + 2) × 5 = 55，
∴ 4 × 8 = 32，6 × 8 = 48，(4 + 6) × 8 = 80，
∴4 ∗6 ⊕8 = 324880，
故答案为：324880．
【变式12-3】（25-26 七年级上·河北衡水·期末）小华同学在黑板上列出了算式−12 × (
2
3−
)−2，其中
“
”是被擦去的部分．
(1)如果被擦去的部分是
1
2，求这个算式的结果；
(2)如果这个算式的结果是2，求被擦去部分的值．
【答案】(1)−4
(2)被擦去的部分的值是1
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的四则混合计算法则求解即可；
（2）设被擦去的部分是𝑚，由此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如果被擦去的部分是
1
2，则
原式 = −12 ×
2
3 −
1
2 −2
= −12 ×
1
6−2
= −2−2
= −4；
（2）解：设被擦去的部分是m，则有
−12 ×
2
3 −𝑚−2 = 2，
解得𝑚= 1．
∴被擦去的部分的值是1．
【题型13 有理数的加减乘除混合运算中的简便计算】
【例13】（25-26 六年级上·黑龙江绥化·期末）计算．
(1)
7
2 ÷
5
4 +
15
2 ÷
5
4
(2)
1
3 +
1
4 +
1
6 ÷
1
24
(3)137 ×
9
136（用简便算法）
(4)
2
9 × 0.375 ÷
6
7
【答案】(1)
44
5
(2)18
(3)9
9
136
(4)
7
72
【分析】该题考查了有理数的混合运算．
（1）先将除法转化为乘法，逆用乘法分配律求解即可．
（2）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律求解即可．
（3）将137 变为(136 + 1)，再根据乘法分配律求解即可．
（4）先将小数转化为分数、除法转化为乘法，再根据乘法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
7
2 ÷
5
4 +
15
2 ÷
5
4
= 7
2 × 4
5 + 15
2 × 4
5
=
7
2 +
15
2
× 4
5
= 11 ×
4
5
=
44
5 ．
（2）解：
1
3 +
1
4 +
1
6 ÷
1
24
=
1
3 +
1
4 +
1
6 × 24
=
1
3 × 24 +
1
4 × 24 +
1
6 × 24
= 8 + 6 + 4
= 18．
（3）解：137 ×
9
136
= (136 + 1) × 9
136
= 136 ×
9
136 +1 ×
9
136
= 9 + 9
136
= 9
9
136．
（4）解：
2
9 × 0.375 ÷
6
7
= 2
9 × 3
8 × 7
6
=
7
72．
【变式13-1】（25-26 七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算：
(1)(−7) × −
22
7
+19 ÷ −
7
22 −5 × −
22
7 ；
(2) −
7
6 × (−15) × −
6
7 ×
1
5．
【答案】(1)−22
(2)−3
【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算；
（1）运用乘法分配律计算即可；
（2）运用乘法结合律计算即可．
【详解】（1）解：(−7) × −
22
7
+19 ÷ −
7
22 −5 × −
22
7
= (−7) × −
22
7
+ 19 × −
22
7
−5 × −
22
7
= (−7 + 19−5) × −
22
7
= 7 × −
22
7
= −22．
（2）解：−
7
6 × (−15) × −
6
7 ×
1
5
=
−
7
6 × −
6
7
× (−15) ×
1
5
= 1 × (−3)
= −3；
【变式13-2】（25-26 六年级上·全国·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算．
(1)40 + 60 × 14 ÷ 21；
(2)16 × 1.5 ÷
3
14；
(3)32.6−
14
5 +17.4−
11
5
(4)12.5 × 2.4 × 25；
(5)43 × 75% +58 ×
3
4−0.75；
(6)16.4−
9
4 + 3.75 ÷ 37.5% ．
【答案】(1)80
(2)112
(3)45
(4)750
(5)75
(6)0.4
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则运算顺序．
（1）先计算乘除，再计算加法；
（2）将除法化为乘法，并利用结合律求解；
（3）利用交换律和结合律进行简便计算；
（4）先将原式变形，再利用结合律进行乘法计算；
（5）先将百分数和分数化为小数，再逆用乘法分配律计算；
（6）先计算小括号内加法，再计算中括号内除法，最后计算减法．
【详解】（1）解：40 + 60 × 14 ÷ 21
= 40 + 840 ÷ 21
= 40 + 40
= 80；
（2）解：16 × 1.5 ÷
3
14
= 16 × 1.5 ×
14
3
= 16 ×
3
2 ×
14
3
= 16 × 7
= 112
（3）解：32.6−
14
5 +17.4−
11
5
= (32.6 + 17.4)−
14
5 +
11
5
= 50−5
= 45
（4）解：12.5 × 2.4 × 25
= 12.5 × 0.8 × 3 × 25
= 12.5 × 0.8 × (3 × 25)
= 10 × 75
= 750；
（5）解：43 × 75% +58 ×
3
4−0.75
= 43 × 0.75 + 58 × 0.75−0.75
= (43 + 58−1) × 0.75
= 100 × 0.75
= 75
（6）解：16.4−
9
4 + 3.75 ÷ 37.5%
= 16.4−[(2.25 + 3.75)÷ 37.5%]
= 16.4−(6 ÷ 37.5%)
= 16.4−16
= 0.4
【变式13-3】（25-26 七年级上·湖南湘潭·月考）计算下列各题，能简算的要简算．
(1)8.37−
7
4−
5
2 +1.63
(2)65 ×
4
5 +0.8 × 135
(3)
3
8 ÷
2
9 +
3
4 ×
9
5
【答案】(1)5.75
(2)160
(3)
3
14
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）将分母相同的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解；
（2）逆用乘法运算律简算即可；
（3）根据去括号法则先去掉括号，再计算即可．
【详解】（1）解：8.37−
7
4−
5
2 +1.63
= (8.37 + 1.63)−
7
4 +
5
2
= 10−4.25
= 5.75；
（2）解：65 ×
4
5 +0.8 × 135
= 65 × 0.8 + 0.8 × 135
= (65 + 135) × 0.8
= 200 × 0.8
= 160；
（3）解：
3
8 ÷
2
9 +
3
4 ×
9
5
=
3
8 ÷
35
36 ×
9
5
=
3
8 ÷
7
4
=
3
14．
【题型14 有理数的加减乘除混合运算的实际应用】
【例14】（25-26 七年级上·黑龙江大庆·期末）为节约用电，某市实行阶梯电价：每月用电不超过180 度，
每度0.5元；超过180 度，超出部分每度0.6 元．
(1)小明家12 月用电150 度，应交电费多少元？
(2)小红家12 月用电220 度，应交电费多少元？
【答案】(1)75 元
(2)114 元
【分析】（1）因为150 < 180，所以利用每度0.5元进行计算即可；
（2）因为220 > 180，所以先计算180 度电的费用，再计算超过180 度电的费用．
【详解】（1）解：因为150 < 180，
所以应交电费150 × 0.5 = 75（元），
答：应交电费75 元；
（2）解：因为220 > 180，
所以应交电费180 × 0.5 + (220−180) × 0.6 = 114（元），
答：应交电费114 元．
【变式14-1】（25-26 七年级上·河南洛阳·期末）最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其在我国、新
能源汽车产量都大幅增加．阳阳家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7 天记录了每天行
驶的路程如下表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零．
第n 天
1
2
3
4
5
6
7
路程/km
−12
−12
−16
−8
−22
−30
−33
(1)这7 天里第3 天走的路程是 km，路程最多的一天比最少的一天多走 km；
(2)请求出阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了多少km？
【答案】(1)34；25
(2)217km
【分析】（1）用表格中第3 天对应的数加上50，可求出第3 天走的路程；用表格中最大的数减去最小的数，
可求出路程最多的一天比最少的一天多走的路程；
（2）用表格中的数之和再加上50 × 7，可以求出这七天共行驶的路程．
【详解】（1）解：这7 天里第3 天走的路程是：
−16 + 50 = 34(km)；
最多的一天比最少的一天多走的路程为：
−8−(−33) = −8 + 33 = 25(km)；
（2）解：阳阳家的新能源汽车这七天共行驶的路程为：
50 × 7 + (−12)+(−12)+(−16)+(−8)+(−22)+(−30)+(−33)
= 350 + (−133)
= 217(km)．
答：阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了217km．
【变式14-2】王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作+1，向下一层记作−1，王先生从1
楼出发，要去不同楼层办理具体事务，电梯上下楼层依次记录为（单位：层）：+6，−3，+10，−8，+12，
−7，−10．
(1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1 楼；
(2)该电梯每向上或下一层平均需要15 秒（包含了开关门，上下客），求王先生乘坐电梯期间（不包括等待
电梯的时间）共用时多少分钟？
【答案】(1)王先生最后能回到出发点1 楼
(2)王先生乘坐电梯期间共用时14 分钟
【详解】（1）解： ( +6) + (−3) + ( +10) + (−8) + ( +12) + (−7) + (−10) = 0，
计算结果为0，表示王先生相对于出发点没有楼层变化，因此最后回到出发点1 楼，
所以王先生最后能回到出发点1 楼．
（2）解：15 × | +6|+|−3|+| +10|+|−8|+| +12|+|−7|+|−10| = 15 × 56 = 840（秒）．
840 ÷ 60 = 14（分钟）．
答：王先生乘坐电梯期间共用时14 分钟．
【变式14-3】（25-26 七年级上·河南许昌·期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了
一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过60 单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于60 单
的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量：
星期
一
二
三
四
五
六
日
送餐量
（单位：
单）
−3
+4
−5
+14
−8
+7
+12
(1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送_____单；
(2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？
(3)外卖小哥每天的工资由底薪60 元加上送单补贴构成．送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过60 单的
部分，每单补贴2 元；超过60 单但不超过70 单的部分，每单补贴4 元；超过70 单的部分，每单补贴6
元．该外卖小哥这一周工资收入多少元？
【答案】(1)22
(2)该外卖小哥这一周共送餐441 单
(3)该外卖小哥这一周的工资收入是1388 元
【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键：
（1）用表格中的最大数减去最小数即可；
（2）计算表格数据的和，再加上60 × 7，即可求解；
（3）根据工资方案，列出算式进行计算即可．
【详解】（1）解：14−(−8) = 22（单）；
故答案为：22．
（2）解：60 × 7 + (−3)+( +4)+(−5)+( +14)+(−8)+( +7)+( +12) = 441（单），
答：该外卖小哥这一周共送餐441 单．
（3）解：(60 × 7−3−5−8) × 2 + (4 + 7 + 10 × 2) × 4 + (4 + 2) × 6 + 60 × 7 = 808 + 124 + 36 + 420
= 1388（元），
答：该外卖小哥这一周的工资收入是1388 元．
