专题2.1 有理数的加法与减法（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 有理数加法的基本运算】........................................................................................................................2
【题型2 有理数的加法中的符号判断】................................................................................................................3
【题型3 有理数的加法运算律的应用】................................................................................................................5
【题型4 有理数的加法在实际生活中的应用】....................................................................................................6
【题型5 有理数的加法与绝对值、数轴的综合】................................................................................................9
【题型6 有理数减法的基本运算】......................................................................................................................12
【题型7 有理数的减法概念的理解与辨析】......................................................................................................13
【题型8 有理数的减法在实际生活中的应用】..................................................................................................16
【题型9 有理数的减法与数轴的综合应用】......................................................................................................18
【题型10 有理数加减混合运算的基本计算】......................................................................................................21
【题型11 有理数加减混合运算中省略加号和括号的书写】..............................................................................23
【题型12 有理数加减混合运算中的简便计算】..................................................................................................24
【题型13 有理数加减混合运算的实际应用】......................................................................................................27
【题型14 有理数加减混合运算中的规律】..........................................................................................................29
【题型15 有理数加减混合运算中的新定义】......................................................................................................32
知识点1 有理数加法法则
同号两数相加
和取相同的符号，且和的绝对值等
于加数的绝对值的和
绝对值不相等的异号两数相加，和
取绝对值较大的加数的符号，且和
的绝对值等于加数的绝对值中较
大者与较小者的差
异号两数相加
互为相反数的两个数相加得0
a，b 互为相反数，则𝑎+ 𝑏=
𝟎
一个数与0 相加
仍得这个数
0 + 𝑎= 𝑎
考点1
有理数的加法
题型归纳
知识点2 有理数加法运算律
1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：𝒂+ 𝒃= 𝒃+ 𝒂．
2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：
(𝒂+ 𝒃) + 𝒄= 𝒂+ (𝒃+ 𝒄)．
【题型1 有理数加法的基本运算】
【例1】在−2，3，4，−5这四个数中，任取两个数相加，所得和最小的是（ ）
A．2
B．−2
C．−7
D．−1
【答案】C
【分析】先比较大小，选取最小的两个数相加即可．
【详解】解：∵−5 < −2 < 3 < 4，
∴在−2，3，4，−5这四个数中，任取两个数相加，所得和最小的是−5 + (−2) = −7．
【变式1-1】（25-26 七年级上·内蒙古赤峰·期末）计算(−10) + ( +6)的结果是（ ）
A．16
B．−16
C．−4
D．4
【答案】C
【分析】运用异号两数相加的法则即可计算出结果．
【详解】解：(−10) + ( + 6) = −(10−6) = −4．
【变式1-2】（25-26 七年级上·湖北孝感·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定
逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在6
进制中，数位上能显示的最大数字与最小数字之和为______．
【答案】5
【分析】本题考查了有理数的加法，在𝑛进制中，数位上能显示的数字从0 到𝑛−1，因此最大数字与最小数
字之和为𝑛−1，当𝑛= 6时，和为5，即可得出结果，熟练掌握在𝑛进制中，数位上能显示的数字从0 到𝑛−1
是解此题的关键．
【详解】解：∵在6 进制中，数位上能显示的最大数字是5，最小数字是0，
∴它们的和为5 + 0 = 5；
故答案为：5．
【变式1-3】（25-26 七年级上·安徽宿州·期末）如图所示的立方体的六个面分别标着连续的整数，则这六个
数的和为________．
【答案】27 或33 或39
【分析】本题主要考查有理数的加法，由已知可知这六个数中一定含有4、5、6、7，所以可得出这六个数
字的所有情况，可求得答案．
【详解】解：∵已知三个面上的数字为4、5、7，且六个面分别标着连续的整数，
∴这六个数中一定含有4、5、6、7，
∴这六个数字可能为2、3、4、5、6、7；或3、4、5、6、7、8；或4、5、6、7、8、9；
当这六个数为2、3、4、5、6、7 时，其和为2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27；
当这六个数为3、4、5、6、7、8 时，其和为3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33；
当这六个数为4、5、6、7、8、9 时，其和为4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 39；
故答案为：27 或33 或39．
【题型2 有理数的加法中的符号判断】
【例2】（25-26 七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（ ）
A．两个加数都是正数
B．两个加数中至少一个是正数
C．一个加数为正数，另一个加数为零
D．两个加数同为负数
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．
根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题．
【详解】解：设两个有理数为a 和b，且𝑎+ 𝑏> 0．
因为若𝑎≤0且𝑏≤0，则𝑎+ 𝑏≤0，与𝑎+ 𝑏> 0矛盾，
所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数．
故选：B．
【变式2-1】+4 与－9 的和取______号,－8 与+12 的和取______号.（填“正”，“负”）
【答案】
负，
正
【分析】利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．
【详解】解：+4 与－9 的和取负号；－8 与+12 的和取正号；
故答案为：负；正.
【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2-2】m 是有理数，则𝑚+ |𝑚|（ ）
A．可以是负数
B．不可能是负数
C．一定是正数
D．可是正数也可是负数
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加法法则和绝对值的概念，需要分情况讨论．采用分类讨论时，要把所有情
况分析清楚．故考虑𝑚> 0,𝑚< 0,𝑚= 0三种情况，化简原式后判断即可．
【详解】解：当𝑚> 0时，𝑚+ |𝑚| = 𝑚+ 𝑚= 2𝑚> 0；
当𝑚≤0时，𝑚+ |𝑚| = 𝑚−𝑚= 0；
∴𝑚+ |𝑚| ≥0，
即：𝑚+ |𝑚|可能是正数，也可能是0，但不可能是负数．
A．不可以是负数，此选项错误；
B．不可能是负数，此选项正确；
C．可能是正数，也可能是0，此选项错误；
D．可能是正数，但绝不可能是负数，此选项错误；
故选B．
【变式2-3】（24-25 七年级上·云南昭通·期中）如果𝑝+ 𝑞< 0，且𝑞> 0，那么p，q，−𝑝，−𝑞的大小关系
是（ ）
A．−𝑞< 𝑝< −𝑝< 𝑞
B．−𝑝< 𝑞< −𝑞< 𝑝
C．𝑝< 𝑞< −𝑝< −𝑞
D．𝑝< −𝑞< 𝑞< −𝑝
【答案】D
【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，绝对值的含义，解题的关键是掌握有理数
的加法运算法则．根据题目条件分析出𝑝< 0，−𝑞< 0，且|𝑝| > |𝑞|，再进一步即可比较大小．
【详解】解：∵𝑝+ 𝑞< 0，且𝑞> 0，
∴𝑝< 0，−𝑞< 0，且|𝑝| > |𝑞|，
∴−𝑝> 𝑞，𝑝< −𝑞，
∴𝑝< −𝑞< 𝑞< −𝑝．
故选：D．
【题型3 有理数的加法运算律的应用】
【例3】（25-26 七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子−
1
5 +4 + −
4
5 变成4 +
−
1
5 + −
4
5
，再计算结果，则小慧同学运用了（ ）
A．加法交换律
B．加法结合律
C．加法交换律与结合律
D．分配律
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计
算．
小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律．
【详解】原式为−
1
5 +4 + −
4
5 ，小慧将其变为4 +
−
1
5 + −
4
5
，
∵交换了加数4 的位置，
∴使用了加法交换律；
∵将−
1
5 和−
4
5 结合，
∴使用了加法结合律，
综上，运用了加法交换律与结合律．
故选：C．
【变式3-1】运用加法交换律和加法结合律填空：−1
1
4−3
1
3 +2
1
3−
3
4 = （___________）+（___________）．
【答案】
−1
1
4−
3
4
−3
1
3 +2
1
3
【分析】本题考查了有理数的加法交换律和结合律，解题的关键是掌握常见简便计算的方法与技巧．根据
有理数的加法交换律和结合律求解即可．
【详解】解：−1
1
4−3
1
3 +2
1
3−
3
4 = −1
1
4 −
3
4 + −3
1
3 + 2
1
3 ，
故答案为：−1
1
4−
3
4，−3
1
3 +2
1
3．
【变式3-2】（25-26 七年级上·广东江门·期中）计算：1 + (−2) +3 + (−4) + ⋅⋅⋅+2011 + (−2012) +2013 +
(−2014) +2015 = _______．
【答案】1008
【分析】本题考查有理数加法的简便运算，从左边第一个数开始，相邻的两个数为一组，每组的值为−1，
共有
2014
2
= 1007组还剩余2015，由此可解，正确分组是解题的关键．
【详解】解：1 + (−2) +3 + (−4) + ⋅⋅⋅+2011 + (−2012) +2013 + (−2014) +2015
= 1 +(−2) + 3 +(−4) + ⋅⋅⋅+ 2011 +(−2012) + 2013 +(−2014) +2015
= (−1) + (−1) + (−1) + ⋅⋅⋅+ (−1) + (−1) +2015
= −1007 + 2015
= 1008．
故答案为：1008．
【变式3-3】计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2015﹣2016 的结果是___________
【答案】-1008
【分析】先运用加法结合律，然后再进行计算即可．
【详解】解：1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2015﹣2016
=（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+…+（2015﹣2016）
=（-1）+（-1）+（-1）+…+（-1）
=-1008．
故答案为-1008．
【点睛】本题考查了有理数加减法的简便运算，正确运用加法结合律是解答本题的关键．
【题型4 有理数的加法在实际生活中的应用】
【例4】（25-26 八年级上·福建三明·期末）某科技馆的数学史展厅内，当日WiFi 密码是一个动态8 位数，
它由当天的月份和日期通过特定规则编制而成．如：3 月14 日，将月份和日期均处理为两位数（即1 月至9
前补0），记为0314，然后再通过数位的四则运算编制成密码，以下是一些日期所对的密码：
日期
1 月5 日
3 月14 日
5 月17 日
10 月1 日
12 月27 日
记为
0105
0314
0517
1001
1227
密码
06010506
17031408
22051713
11100102
39122712
2025 年7 月21 日，小星在数学史展厅参观时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了网络，那么他输
入的密码是（ ）
A．28072121
B．28072110
C．28072128
D．07210721
【答案】B
【分析】本题考查了数字规律的探索，以及有理数的加法的应用，解决本题的关键是分析已知日期与对应
密码的数位关系．
通过分析已知日期与对应密码的数位关系，总结出密码编制规则，再代入7 月21 日的信息计算出密码．
【详解】解：观察已知示例可总结密码编制规则：8 位密码分为三部分，
前两位为两位数形式的月份+ 两位数形式的日期，
中间四位为两位数月份与两位数日期的组合，
最后两位为组合后四位数的四个数位数字之和，
∴7 月21 日处理为两位数组合是0721，
前两位：07 + 21 = 28，
中间四位：0721
最后两位：0 + 7 + 2 + 1 = 10
∴密码为28072110．
故选：B．
【变式4-1】下列是我校初一年级5 名学生的体重情况，
姓名
小颖
小明
小刚
小京
小宁
体重（千克）
34
45
与平均体重
的差
−7
+3
−4
0
最重的与最轻的相差_________千克．
【答案】11
【分析】先根据小颖的体重和与平均体重的差求出平均体重，再得到所有学生的体重，找出最重体重和最
轻体重，计算二者的差值即可．
【详解】解：由题意得平均体重为34−(−7) = 41千克，
则小明体重为41 + 3 = 44千克，小京的体重为41 + (−4) = 37千克，小宁的体重为41 + 0 = 41千克，
∵34 < 37 < 41 < 44 < 45，
∴小颖的体重最轻，小刚的体重最重，
∴最重的与最轻的相差45−34 = 11千克．
【变式4-2】（25-26 七年级上·安徽安庆·期末）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收
支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是________．
微信红包—来
自王某某：+19.00
某平台商户：
−8.00
扫二维码付给
某店：−9.00
【答案】收入2元
【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减的应用，将所有收支数据相加，最后根据结果的符号和数
值确定最终结果，正确列式计算是解此题的关键．
【详解】解：( +19) + (−8) + (−9) = 19−8−9 = 2，
故王老师当天微信收支的最终结果是收入2元，
故答案为：收入2元．
【变式4-3】小丽和小彬按下列规则做游戏：在一副扑克牌（去掉大小王）中两人各抽取5 张，正面是红色
的牌面数字记为正数，正面是黑色的牌面数字记为负数，然后计算各自抽取的扑克牌数字和，结果大的为
获胜者．已知他们抽取的扑克牌如下表（红桃、方块为红色；黑桃、梅花为黑色）：
小丽抽取的扑克牌
红桃5
黑桃9
方块12
梅花11
红桃8
小彬抽取的扑克牌
黑桃6
红桃13
梅花12
方块10
黑桃2
请通过计算判断获胜的是谁？
【答案】小丽获胜
【分析】先用正、负数表示出个数，再相加，据此分别求出小丽、小彬抽取扑克牌的数字和，然后比较即可
解答．
【详解】解：由题意可得：
小丽抽到的数字之和为5 + (−9) +12 + (−11) +8 = 5，
小彬抽到的数字之和为−6 + 13 + (−12) +10 + (−2) = 3，
∵5 > 3，
∴小丽获胜．
【题型5 有理数的加法与绝对值、数轴的综合】
【例5】（25-26 七年级上·湖南衡阳·期中）我们知道，|𝑎|的几何意义是：数轴上表示数𝑎的点到原点的距离，
可以理解为|𝑎−0|，进一步地，数轴上，表示数𝑚的点到表示数𝑛的点的距离可以用|𝑚−𝑛|表示，例如：表示
2 和−3的两点之间的距离是|2−(−3)|．根据绝对值的几何意义，当|𝑎+ 4| + |𝑎−2|取最小值时，则所有满足
条件的整数𝑎的和为（ ）
A．−10
B．3
C．−7
D．−5
【答案】C
【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．
先根据绝对值的意义可得当|𝑎+ 4| + |𝑎−2|取最小值时，−4 ≤𝑎≤2，从而可得整数𝑎的值，再计算有理数
的加法即可得．
【详解】解：|𝑎+ 4| + |𝑎−2|指的是在数轴上，表示数𝑎的点到表示数−4和2的点的距离之和，由数轴可知，
当|𝑎+ 4| + |𝑎−2|取最小值时，−4 ≤𝑎≤2，
则所有满足条件的整数𝑎的和为：−4 + (−3) + (−2) + (−1) +0 + 1 + 2 = −7，
故选：C．
【变式5-1】如图，数轴上的点A 表示的数为有理数a，下列各数中在2，3 之间的是（ ）
A．|𝑎|
B．−𝑎+ 1
C．|𝑎|−1
D．𝑎+ 1
【答案】B
【分析】根据数轴可以得到−2 < 𝑎< −1，然后即可得到各个选项中的式子的取值范围，从而可以判断哪个
选项符合题意．
【详解】解：由数轴可得−2 < 𝑎< −1，
∴1 < −𝑎< 2，−1 < 𝑎+ 1 < 0
∴1 < |𝑎| = −𝑎< 2，2 < −𝑎+ 1 < 3，
∴0 < |𝑎|−1 < 1．
【变式5-2】（24-25 七年级上·江苏宿迁·月考）观察数轴，回答下列问题：
(1)数轴上点D、F 表示的数分别是______；
(2)数轴上距离原点1 个单位长度的点表示的数是______，表示数−(−2.5)的点是______，表示数−|−3|的点
是______；
(3)在数轴上分别画出表示+4.5和−4.5的点𝑀和点𝑁，它们与原点的位置关系是______．
(4)若整数𝑥满足|𝑥| ≤2，则满足条件的所有整数𝑥值的和为______．
【答案】(1)3，−2.5；
(2) ± 1，E，𝐶；
(3)数轴见详解，𝑀𝑂= 𝑁𝑂
(4)0
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数以及绝对值的意义，化简多重符号，有理数的加法运算，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合数轴进行作答即可．
（2）结合数轴，得出数轴上距离原点1 个单位长度的点表示的数是± 1，再化简−(−2.5)和−|−3|，然后进
行作答即可．
（3）先画出点𝑀和点𝑁，得出它们到原点的距离相等，且记原点为O 点，则𝑀𝑂= 𝑁𝑂；
（4）由整数𝑥满足|𝑥| ≤2，得出𝑥= −2，−1，0，1，2，再列式计算(−2) + (−1) +0 + 1 + 2 = 0，即可作
答．
【详解】（1）解：由数轴得出，数轴上点D、F 表示的数分别是3和−2.5；
故答案为：3，−2.5；
（2）解：由数轴得出：数轴上距离原点1 个单位长度的点表示的数是± 1；
∵−(−2.5) = 2.5，−|−3| = −3，
∴表示数−(−2.5)的点是E，表示数−|−3|的点是𝐶；
故答案为：± 1，E，𝐶；
（3）解：在数轴上分别画出表示+4.5和−4.5的点𝑀和点𝑁，如图所示：
即原点为点𝑂，则它们与原点的位置关系是𝑀𝑂= 𝑁𝑂．
（4）解：∵整数𝑥满足|𝑥| ≤2，
∴𝑥= −2，−1，0，1，2，
则(−2) + (−1) +0 + 1 + 2 = 0，
则满足条件的所有整数𝑥值的和为0，
故答案为：0．
【变式5-3】在数轴上，点M，N 分别表示数m，n，则点M，N 之间的距离为|𝑚−𝑛|．已知点A，B，C，D
在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|𝑎−𝑐| = |𝑏−𝑐| =
2
3|𝑑−𝑎| = 2(𝑎≠𝑏)，则线段BD 的长度为______．
【答案】1 或7/7 或1
【分析】根据|𝑎−𝑐| = |𝑏−𝑐| = 2(𝑎≠𝑏)，可得点C 在点A，B 之间，从而得到A，B 间的距离为4，再由
2
3|𝑑−𝑎|
= 2，可得A、D 两点间的距离为3，然后分两种情况讨论：当点D 在点A 的左侧时，当点D 在点A 的右侧
时，即可求解．
【详解】解：∵|𝑎−𝑐| = |𝑏−𝑐| = 2(𝑎≠𝑏)，
∴点C 在点A，B 之间，且点A，C 两点间的距离为2，B，C 两点间的距离为2，
∴A，B 间的距离为4，
∵
2
3|𝑑−𝑎| = 2，
∴|𝑑−𝑎| = 3，
即A、D 两点间的距离为3，
不妨设𝑎< 𝑏，
当点D 在点A 的左侧时，线段𝐵𝐷的长度为3 + 4 = 7；
当点D 在点A 的右侧时，线段𝐵𝐷的长度为4−3 = 1；
综上所述，线段𝐵𝐷的长度为1或7．
故答案为：1或7．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，有理数的加减运算，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
知识点3 有理数减法法则
1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 𝑎−𝑏= 𝑎+ (−𝑏)．
考点2
有理数的减法
2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算．
3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号．
【题型6 有理数减法的基本运算】
【例6】（25-26 七年级上·江苏扬州·期末）已知|𝑎| = 5，|𝑏| = 2，且𝑎𝑏< 0，𝑎+ 𝑏> 0，则𝑎−𝑏= ______．
【答案】7
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法、乘法法
则确定出a 与b 的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵|𝑎| = 5，|𝑏| = 2，
∴𝑎=± 5,𝑏=± 2
∵𝑎𝑏< 0，𝑎+ 𝑏> 0，
∴𝑎= 5,𝑏= −2，
∴𝑎−𝑏= 5−(−2) = 5 + 2 = 7，
故答案为：7．
【变式6-1】（25-26 九年级下·安徽芜湖·期中）计算：−5−(−4) = ______．
【答案】−1
【分析】本题根据有理数减法法则，将原式转化为有理数加法运算，计算得到结果即可．
【详解】解：−5−(−4) = −5 + 4 = −1．
【变式6-2】（25-26 七年级上·四川广元·期中）定义：对于若干个有理数，先将每两个数作差(大数减小数，
相等的数的差为0)，再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如：对于
1，2，3 进行“非负差值运算”，(2−1) + (3−2) + (3−1) = 4，则对于−2，3，5，9 进行“非负差值运算”的结
果是_______．
【答案】35
【分析】本题考查了新定义运算，有理数加减混合运算，理解新定义是解题的关键．
根据“非负差值运算”的定义，对于给定的四个有理数，需计算所有两数组合的差（大数减小数），再将这些
差进行求和．
【详解】解：由题意得，
3−(−2) = 5，5−(−2) = 7，9−(−2) = 11，5−3 = 2，9−3 = 6，9−5 = 4，
∴ 5 + 7 + 11 + 2 + 6 + 4 = 35，
故答案为：35．
【变式6-3】（25-26 七年级上·江苏南京·月考）已知|𝑎| = 4，|𝑏| = 6，且|𝑎−𝑏| = |𝑎| + |𝑏|，则𝑎−𝑏的值为______．
【答案】10或−10
【分析】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝
对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2 个，它们是互为相反数的关系．根据绝对值的意义求
出a，b 的值，然后代入𝑎−𝑏计算即可．
【详解】解∶∵|𝑎| = 4，|𝑏| = 6，
∴𝑎=± 4，𝑏=± 6，
∵|𝑎−𝑏| = |𝑎| + |𝑏|，
∴𝑎≥0，𝑏≤0或𝑎≤0，𝑏≥0，
∴𝑎= 4，𝑏= −6或𝑎= −4，𝑏= 6，
∴𝑎−𝑏= 4−(−6) = 4 + 6 = 10或𝑎−𝑏= −4−6 = −10，
故答案为：10或−10．
【题型7 有理数的减法概念的理解与辨析】
【例7】（25-26 七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对(−3)−(−4)的运算进行
转化，正确的是（ ）
A．(−3) + ( +4)
B．(−3) + (−4)
C．(−3)−( +4)
D．( +3) + (−4)
【答案】A
【分析】本题考查有理数减法法则的应用，减去一个数等于加上这个数的相反数，据此可得答案．
【详解】解：∵有理数减法法则为：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
∴(−3)−(−4) = (−3) + ( +4)．
故选：A．
【变式7-1】（24-25 六年级上·上海嘉定·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个有理数的和一定大于其中一个加数
B．两个有理数的和可能比这两个加数都小
C．两个有理数的差一定小于被减数
D．一个较大的数减去一个较小的数结果可能为负数
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的减法以及正数和负数，熟记运算法则是解题的关键．根据有理数的减法运算
法则对各小题分析判断即可得解．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：
𝑎−𝑏= 𝑎+ (−𝑏)．
【详解】A 选项：例如0 + (−1) = −1，和−1不大于加数0，所以该选项错误；
B 选项：例如(−2) + (−3) = −5，−5比−2和−3都小，该选项正确；
C 选项：例如5−(−2) = 7，差7 大于被减数5，所以该选项错误；
D 选项：较大数减较小数，结果一定是正数，所以该选项错误．
故选：B．
【变式7-2】（2025·河北·模拟预测）下面是小李计算
1
5−−
2
3 的过程：
1
5−−
2
3
=
3
15−−
10
15 第一步
=
3
15−
10
15第二步
=
3−10
15 第三步
= −
7
15第四步
下列说法不正确的是（ ）
A．第一步正确，这一步进行了分数的通分
B．第一步到第二步正确，这一步进行了去括号
C．第二步到第三步正确，这一步进行了同分母分数的减法
D．第三步到第四步正确，这一步运用了有理数的减法法则
【答案】B
【分析】本题考查了去括号以及有理数的减法，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
根据分数的加减运算法则以及去括号法则解答即可．
【详解】解：
1
5−−
2
5
=
3
15−−
10
15
=
3
15 +
10
15
=
3+10
15
=
13
15，
故第一步到第二步错误，如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
故选：B．
【变式7-3】（25-26 七年级上·重庆巫山·阶段检测）有4 个数：−6，−2，−1，3，任意取其中两个数求差
记为a，剩下的两个数求差记为b，再求a 与b 的差，这样的过程称之为“连差操作”．例如：(−6)−(−2)
= −4，3−(−1) = 4，(−4)−4 = −8即为一种“连差操作”．给出下列说法：
①不存在“连差操作”，使其结果为0
②至少存在一种“连差操作”，使其结果为10
③所有的“连差操作”，共有5 种不同的结果
以上说法正确的是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数减法，先确定所有可能的“连差操作”情况，计算每种情况的结果，再根据结果
判断三个说法的正确性．
【详解】解：四个数中任取两个数作为第一组，剩下的两个作为第二组，共有3 种分组方式（无序分组），
每种分组方式中，组内两数顺序不同会导致差值不同，需分别计算第一组差值a 和第二组差值b，再计算𝑎−𝑏．
分组方式1：组𝐴(−6,−2)，组𝐵(−1,3)或组𝐴(−1,3)，组𝐵(−6,−2)
情况1：𝑎= (−6)−(−2) = −4,𝑏= (−1)−3 = −4,𝑎−𝑏= (−4)−(−4) = 0；
情况2：𝑎= (−6)−(−2) = −4,𝑏= 3−(−1) = 4,𝑎−𝑏= (−4)−4 = −8；
情况3：𝑎= (−2)−(−6) = 4,𝑏= (−1)−3 = −4,𝑎−𝑏= 4−(−4) = 8；
情况4：𝑎= (−2)−(−6) = 4,𝑏= 3−(−1) = 4,𝑎−𝑏= 4−4 = 0；
情况5：𝑎= (−1)−3 = −4,𝑏= (−6)−(−2) = −4,𝑎−𝑏= (−4)−(−4) = 0；
情况6：𝑎= 3−(−1) = 4,𝑏= (−6)−(−2) = −4,𝑎−𝑏= 4−(−4) = 8；
情况7：𝑎= (−1)−3 = −4,𝑏= (−2)−(−6) = 4,𝑎−𝑏= (−4)−4 = −8；
情况8：𝑎= 3−(−1) = 4,𝑏= (−2)−(−6) = 4,𝑎−𝑏= 4−4 = 0；
分组方式2：组𝐴(−6,−1)，组𝐵(−2,3)或组𝐴(−2,3)，组𝐵(−6,−1)
情况1：𝑎= (−6)−(−1) = −5,𝑏= (−2)−3 = −5，𝑎−𝑏= (−5)−(−5) = 0；
情况2：𝑎= (−6)−(−1) = −5,𝑏= 3−(−2) = 5，𝑎−𝑏= (−5)−5 = −10；
情况3：𝑎= (−1)−(−6) = 5，𝑏= (−2)−3 = −5，𝑎−𝑏= 5−(−5) = 10；
情况4：𝑎= (−1)−(−6) = 5,𝑏= 3−(−2) = 5，𝑎−𝑏= 5−5 = 0；
情况5：𝑎= (−2)−3 = −5，𝑏= (−6)−(−1) = −5,𝑎−𝑏= (−5)−(−5) = 0；
情况6：𝑎= 3−(−2) = 5，𝑏= (−6)−(−1) = −5,𝑎−𝑏= 5−(−5) = 10；
情况7：𝑎= (−2)−3 = −5，𝑏= (−1)−(−6) = 5，𝑎−𝑏= (−5)−5 = −10；
情况8：𝑎= 3−(−2) = 5，𝑏= (−1)−(−6) = 5,𝑎−𝑏= 5−5 = 0；
分组方式3：组𝐴(−6,3)，组𝐵(−2,−1)或组𝐴(−2,−1)，组𝐵(−6,3)
情况1：𝑎= (−6)−3 = −9，𝑏= (−2)−(−1) = −1，𝑎−𝑏= (−9)−(−1) = −8；
情况2：𝑎= (−6)−3 = −9,𝑏= (−1)−(−2) = 1,𝑎−𝑏= (−9)−1 = −10；
情况3：𝑎= 3−(−6) = 9,𝑏= (−2)−(−1) = −1,𝑎−𝑏= 9−(−1) = 10；
情况4：𝑎= 3−(−6) = 9，𝑏= (−1)−(−2) = 1，𝑎−𝑏= 9−1 = 8；
情况5：𝑎= (−2)−(−1) = −1，𝑏= (−6)−3 = −9，𝑎−𝑏= (−1)−(−9) = 8；
情况6：𝑎= (−1)−(−2) = 1,𝑏= (−6)−3 = −9,𝑎−𝑏= 1−(−9) = 10；
情况7：𝑎= (−2)−(−1) = −1,𝑏= 3−(−6) = 9,𝑎−𝑏= (−1)−9 = −10；
情况8：𝑎= (−1)−(−2) = 1，𝑏= 3−(−6) = 9，𝑎−𝑏= 1−9 = −8；
所有结果：−10,−8,0,8,10 (共5 种不同结果)，
存在结果为0 的情况，故说法①错误，
结果中包含10，故说法②正确，
不同结果为−10,−8,0,8,10，共5 种，故说法③正确，
所以说法正确的有2 个，
故选：C．
【题型8 有理数的减法在实际生活中的应用】
【例8】（25-26 七年级上·安徽亳州·期末）我县2026 年1 月19 日至22 日每天的最高气温与最低气温如下
表：
日期
1 月19 日
1 月20 日
1 月21 日
1 月22 日
最高气温
2℃
−2℃
−1℃
−1℃
最低气温
−7℃
−9℃
−10℃
−19℃
其中温差最大的一天是（ ）
A．1 月19 日
B．1 月20 日
C．1 月21 日
D．1 月22 日
【答案】D
【分析】本题考查有理数的减法，解题的关键是熟练掌握有理数减法中负号的运算．
根据温差= 最高气温−最低气温，分别计算四天的温差，再比较大小得出结果．用到有理数的减法运算与
大小比较的知识点．
【详解】解：∵1 月19 日温差：2−(−7) = 2 + 7 = 9(℃)
1 月20 日温差：−2−(−9) = −2 + 9 = 7(℃)
1 月21 日温差：−1−(−10) = −1 + 10 = 9(℃)
1 月22 日温差：−1−(−19) = −1 + 19 = 18(℃)
又∵18 > 9 > 7
∴温差最大的一天是1 月22 日
故选：D．
【变式8-1】（25-26 七年级上·浙江金华·期末）立定跳远测试中以2.2m为标准，若小明跳出了2.3m，记作
+0.1m；小红跳出了2.15m，应记作（ ）
A．−0.5m
B．−0.05m
C．−0.15m
D．+0.15m
【答案】B
【分析】本题考查正负数在实际生活中的应用，有理数的减法，通过计算实际成绩与标准成绩的差值来确
定正负记录．
【详解】解：∵以2.2m为标准，小红跳出了2.15m
2.15−2.2 = −0.05 m
故选：B．
【变式8-2】（25-26 七年级上·江苏宿迁·期末）课本第4章《阅读》中介绍了关于古希腊数学家丢番图年龄
的有趣数学问题，关于我国著名数学家华罗庚也有个有趣的题目：2026年是我国数学事业的奠基者和引领
者华罗庚诞辰116周年，他的出生年份（这里只取后两位）、月份、日期恰好是3个从小到大连续自然数，
请写出华罗庚的生日：______月______日．
【答案】
11
12
【分析】本题考查了有理数运算的应用，由诞辰116周年可知，出生年份为2026−116 = 1910，取后两位为
10，又因为他的出生年份（这里只取后两位）、月份、日期恰好是3个从小到大连续自然数，所以三个数
10、11、12满足年份后两位10、月份11、日期12数值从小到大递增，且月份和日期有效，从而求解，掌握
知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由诞辰116周年可知，出生年份为2026−116 = 1910，取后两位为10，
因为他的出生年份（这里只取后两位）、月份、日期恰好是3个从小到大连续自然数，
所以三个数10、11、12满足年份后两位10、月份11、日期12数值从小到大递增，且月份和日期有效，
故答案为：11，12．
【变式8-3】（25-26 六年级上·山东烟台·期末）某食品厂计划每天生产1000 袋食品，实际每天生产量与计
划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
+50
−30
−60
+110
−90
+80
+90
(1)这周产量最多的一天比最少的一天多生产_________袋食品；
(2)已知本周生产的食品全部在本周售出，生产这些食品的总成本为30000 元，食品售价为8 元/袋，且需缴
纳本周销售总额10%的交易税，求本周的收益总额．
【答案】(1)200
(2)本周的收益总额为21480 元
【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，找出这周产量最多的一天，这周产量最少的一天，再列式计算，即可作答．
（2）先求出本周总产量，再结合食品售价为8 元/袋，且需缴纳本周销售总额10%的交易税，进行列式计算，
即可作答．
【详解】（1）解：依题意，110−(−90) = 200（袋），
∴这周产量最多的一天比最少的一天多生产200 袋食品；
（2）解：本周总产量为：1000 × 7 + 50−30−60 + 110−90 + 80 + 90 = 7150（袋）．
∵食品售价为8 元/袋，且需缴纳本周销售总额10%的交易税，
则7150 × 8 × (1−10%)−30000 = 21480（元）．
因此本周的收益总额为21480 元．
【题型9 有理数的减法与数轴的综合应用】
【例9】（25-26 七年级上·甘肃兰州·期末）如图，将一把刻度尺放在数轴上，若刻度尺上4cm和7cm对应数
轴上的点表示的数分别为−2和1，则刻度尺上1cm对应数轴上的点表示的数是_____．
【答案】−5
【分析】本题考查有理数的混合运算及数轴，由题意求得数轴的单位长度代表刻度尺上的距离是解题的关
键．
根据题意先求得数轴的1 个单位长度代表刻度尺上的距离，然后列式计算即可．
【详解】解：∵1−(−2) = 3，7−4 = 3，3 ÷ 3 = 1，
∴数轴的1 个单位长度对应刻度尺上的1cm，
∴刻度尺上1cm对应数轴上的点表示的数是−2−3 = −5．
故答案为：−5．
【变式9-1】（24-25 七年级上·山东青岛·期末）数轴上表示−6和2 的两点之间的距离是（ ）
A．3
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数的减法，根据题意列式求解即可．
【详解】解：2−(−6) = 2 + 6 = 8．
∴数轴上表示−6和2 的两点之间的距离是8．
故选：D．
【变式9-2】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）已知𝑎，𝑏在数轴上表示的点的大致位置如图所示，则下列等
式成立的是（ ）
A．𝑎+ 𝑏= −|𝑎|−|𝑏|
B．𝑎+ 𝑏= |𝑎| + |𝑏|
C．𝑎+ 𝑏= −|𝑏|−|𝑎|
D．𝑎−𝑏= |𝑎|−|𝑏|
【答案】A
【分析】本题考查数轴上表示的数，有理数的加减法则的应用，根据数轴可得𝑎< 0 < 𝑏，|𝑎| > |𝑏|，进而
根据有理数的加减法则进行计算即可求解．
【详解】解：由数轴可得𝑎< 0 < 𝑏，|𝑎| > |𝑏|
因为𝑎是负数，𝑏是正数，且|𝑎| > |𝑏|，所以𝑎+ 𝑏= −(|𝑎|−|𝑏|)，故A 正确，B，C 错误；
因为𝑎< 0 < 𝑏，|𝑎| > |𝑏|，所以𝑎−𝑏= 𝑎+ (−𝑏) = −(|𝑏| + |𝑎|)，故D 错误；
故选：A．
【变式9-3】（25-26 七年级上·陕西西安·期末）如图所示，数轴上有四个点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷，相邻两点之间的
距离均为𝑚（𝑚为正整数），点𝐵表示的数为−8．
(1)若𝑚= 4，则表示原点的是点_____，点𝐴表示的数是_____；
(2)若点𝐷表示的数是12，求𝑚的值．
【答案】(1)𝐷，−12；
(2)𝑚的值为10．
【分析】本题考查了有理数的运算，数轴上点之间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）根据点𝐵表示的数和𝑚的值，根据𝐴在点𝐵左侧即可求出点𝐴表示的数，进而求得原点的位置；
（2）根据𝐵𝐷的长度即可求出𝑚的值．
【详解】（1）解：∵点𝐵表示的数为−8，𝑚= 4，
∴点𝐴表示的数是：−8−4 = −12，−8 + 4 + 4 = 0，
∴表示原点的是点𝐷，点𝐴表示的数是−12，
故答案为：𝐷，−12；
（2）解：∵点𝐵表示的数为−8，点𝐷表示的数是12，
∴𝐵𝐷= 12−(−8) = 20，
∴𝑚=
20
2 = 10，
∴𝑚的值为10．
知识点4 有理数加减混合运算
1. 有理数加减混合运算
（1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算．
（2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．
2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式
一般有两种读法．例如：−2−3 + 27−24，可读作负2、负3、正27、负24 的和，也可以读作负2 减3 加
27 减24．
3. 有理数加减混合运算的一般步骤
方法一：减法转化成加法
方法二：省略括号法
（1）减法变加法:𝑎+ 𝑏−𝑐= 𝑎+ 𝑏+ (−𝑐)
（1）省略括号
（2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加
（2）同号的数相结合
考点3
有理数的加减混合运算
（3）按有理数加法法则计算
（3）进行加减运算
【题型10 有理数加减混合运算的基本计算】
【例10】如图，方格表中每一行、每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x 的值为______．
1
x
−4
0
−3
【答案】−6
【分析】先根据第一列的三个数求出和，由第二行即可求出最中间的数，再根据−3所在的对角线及和即可
求出右上角的数，最后由第一行的数及和即可求出x 的值．
【详解】解：由图可得，和为1 + (−4) + (−3) = −6，
则最中间的数是−6−(−4)−0 = −2，
则右上角的数是−6−(−3)−(−2) = −1，
所以𝑥= −6−1−(−1) = −6．
【变式10-1】（25-26 七年级上·全国·期中）小明在做课外习题时遇到如下所示一道题：计算：−3 +
−(−8)，其中
是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则
表
示的数是（ ）
A．10
B．−4
C．−10
D．10 或−4
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．
用结果减去加数，加上减数即可．
【详解】解：∵计算结果为15，
∴−3 +
−(−8) = 15，即−3 +
+8 = 15，
∴
= 15−(−3) +8 = 15 + 3−8 = 10．
故选：A．
【变式10-2】（25-26 七年级上·天津河北·期末）按图中程序运算，如果输入−1，则输出的结果是（ ）
A．4
B．3
C．0
D．－2
【答案】B
【分析】本题考查了程序框图和有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键．
把𝑥= −1代入程序中计算，判断结果小于2，然后继续代入求解即可．
【详解】解：将𝑥= −1代入，得−1 + 4−(−3)−5 = 1 < 2，不满足大于2 的要求，
∴1 + 4−(−3)−5 = 3 > 2，满足大于2 的要求，
∴输出结果为3．
故选：B．
【变式10-3】（25-26 七年级上·广西崇左·期末）解答题：
(1)27−15−(−23) + (−35)．
(2)(−0.25) + (−3)−|−1
3
4|．
(3)
1
2 + −
3
4 +
5
6 + −
1
2 −
1
4．
(4)−
2
3−−
3
2 +
1
6 + −
1
2 ．
【答案】(1)0；
(2)−5；
(3)−
1
6；
(4)
1
2
【分析】（1）先去括号将减法转化为加法，再利用加法结合律把正数与正数、负数与负数分别结合，简化
计算；
（2）先计算绝对值，再将小数化为分数，利用加法结合律把同分母分数结合，快速计算；
（3）利用加法交换律和结合律，将互为相反数的项、同分母的项分别结合，通过抵消或合并简化运算；
（4）先去括号转化为加法，再利用加法结合律把同分母的项分别结合，或通分后计算，简化运算过程．
【详解】（1）解：原式= 27−15 + 23−35
= (27 + 23) + (−15−35)
= 50−50
= 0．
（2）解：原式= −0.25−3−1
3
4
= −
1
4−3−
7
4
= −
1
4 −
7
4 −3
= −2−3
= −5．
（3）解：原式=
1
2 −
1
2 + −
3
4 −
1
4 +
5
6
= 0 + (−1) +
5
6
= −
1
6．
（4）解：原式= −
2
3 +
3
2 +
1
6−
1
2
= −
2
3 +
1
6 +
3
2 −
1
2
= −
4
6 +
1
6 +1
= −
3
6 +1
= −
1
2 +1
=
1
2．
【题型11 有理数加减混合运算中省略加号和括号的书写】
【例11】把−(−3)−4 + (−5)写成省略加号和括号的形式，正确的是（ ）
A．3−4−5
B．−3−4−5
C．3−4 + 5
D．−3−4 + 5
【答案】A
【分析】本题考查有理数的加减混合运算和去括号法则“如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项
的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反”，掌
握以上知识是解答本题的关键．
本题需要将原式按照有理数的加减混合运算法则和去括号法则进行化简，即可得到答案．
【详解】解：−(−3)−4 + (−5)
= 3−4−5．
故选：A
【变式11-1】（24-25 七年级上·吉林长春·阶段检测）把9 + (−5)−(−7) + (−3)写成省略加号和括号的形式
______．
【答案】9−5 + 7−3
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先根据减去一个数等于加上这个数的相反数转化为加法，再
省略括号和加号即可．
【详解】解：9 + (−5)−(−7) + (−3)
= 9 + (−5) + (+7) + (−3)
= 9−5 + 7−3．
故答案为：9−5 + 7−3．
【变式11-2】将式子−( +
3
2)−(−5）+（−
2
3）−（−6）+（−10）写成省略加号的形式，正确的是（ ）
A．−
3
2 +5−
2
3 +6−10
B．−
3
2−5−
2
3 +6−10
C．
3
2−5−
2
3 +6−10 D．
3
2 +5−
2
3 +6−10
【答案】A
【分析】根据去括号法则，括号前面是正号的去掉括号和它前面的正号，括号里面的各数都不变号，括号
前面是负号的去掉括号和它前面的负号，括号里面的各数都要变号的法则去掉括号就可以了．
【详解】原式=-
3
2+5-
2
3+6-10.
故答案选A.
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练的掌握有理数的加减混合运算法则.
【变式11-3】（24-25 七年级上·广东肇庆·期中）把算式(−52)−( +37) + (−19)−(−24)写成省略括号和加号
的形式为_______．
【答案】−52−37−19 + 24
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，根据加减运算中的符号法则，进行化简即可．
【详解】解：原式(−52)−( +37) + (−19)−(−24) = −52−37−19 + 24；
故答案为：−52−37−19 + 24
【题型12 有理数加减混合运算中的简便计算】
【例12】式子1−2 + 3−4 + 5−6 + … + 2021−2022 + 2023的结果不可能是（ ）
A．奇数
B．正数
C．偶数
D．整数
【答案】A
【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，解答的关键是对从所给的数字中找到存在的规律，把两个
数看成一组，从而可求解．
【详解】解：1−2 + 3−4 + 5−6 + … + 2021−2022 + 2023
= (1−2) + (3−4) + (5−6) + … + (2021−2022) + 2023
= −1 + (−1) + (−1) + … + (−1) + 2023
= −1 × 1011 + 2023
= 1012．
则1012 不可能是奇数．
故选：A．
【变式12-1】（25-26 七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题．
（1）计算：−205 + 400
3
4 +(−204
2
3) + (−1
1
2)
解：原式= −205 + (400 +
3
4) + (−204−
2
3) + (−1−
1
2)
= −205 + 400 +
3
4 +(−204) + (−
2
3) + (−1) + (−
1
2)
= [−205 + 400 + (−204) + (−1)] +
3
4 + (−
2
3 ) + (−
1
2 )
= −10 + (−
5
12)
= −10
5
12
上面的计算方法叫做拆项法．
（2）请用拆项法计算：−1
5
6 + −5
2
3 +24
3
4 + −3
1
2 ．
【答案】13
3
4
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题．
【详解】解：−1
5
6 + −5
2
3 +24
3
4 + −3
1
2
= −1−
5
6 + −5−
2
3 + 24 +
3
4 + −3−
1
2
= (−1) + −
5
6 + (−5) + −
2
3 +24 +
3
4 + (−3) + −
1
2
= −1 +(−5)+ 24 +(−3) +
−
5
6 + −
2
3 +
3
4 + −
1
2
= 15 + −1
1
4
= 13
3
4．
【变式12-2】（25-26 七年级上·湖北荆门·期中）计算：
(1)12−(−5) + (−7)；
(2) −3
3
7 +12.5 + −16
4
7 −(−2.5)．
【答案】(1)10
(2)−5
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，需要根据运算法则，先处理括号和负号，然后进行计算．
（1）根据有理数的加减混合运算计算即可求解．
（2）通过组合带分数和小数部分简化计算．
【详解】（1）解：12−(−5) + (−7)
= 12 + 5−7
= 17−7
= 10；
（2）解：−3
3
7 +12.5 + −16
4
7 −(−2.5)
= −3
3
7 +12.5 + −16
4
7 +2.5
=
−3
3
7 + −16
4
7
+ (12.5 + 2.5)
= −3
3
7 + 16
4
7 +15
= −(19 + 1) +15
= −20 + 15
= −5．
【变式12-3】（25-26 七年级上·河南郑州·月考）计算：−4
1
3 −−2
1
6 + 1
2
3 + −
1
3 ．李华的做法如下：
解：原式= −4
1
3 +2
1
6 +1
2
3−
1
3（第一步）
= −4
1
3−
1
3 +2
1
6 +1
2
3（第二步）
= −4
2
3 +3
5
6（第三步）
= −1
1
6（第四步）
李华发现自己的答案和同学们的不一样
(1)请指出他从第_______步开始出现错误；
(2)写出正确的解题过程．
【答案】(1)四
(2)解题过程见解析
【分析】（1）根据计算过程逐步判断即可；
（2）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可．
本题考查了有理数的加减，熟练掌握有理数的加减的运算法则及运算顺序是解此题的关键．
【详解】（1）解：根据计算，判断第四步出现了错误，
故答案为：四．
（2）解：原式= −4
1
3 +2
1
6 +1
2
3−
1
3
= −4
1
3 −
1
3 + 2
1
6 + 1
2
3
= −4
2
3 +3
5
6
= −
28
6 +
23
6
= −
5
6．
【题型13 有理数加减混合运算的实际应用】
【例13】（25-26 七年级上·甘肃兰州·期末）某巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，某天他从岗亭出发，
晚上停留在A 处，规定向北方向为正，当天行驶情况记录如下（单位：千米）：+10，−8，+7，−15，
+6，−16，+4，−2
(1)A 处在岗亭何方？距离岗亭多远？
(2)若摩托车每行驶1 千米耗油0.2升，这一天共耗油多少升？
【答案】(1)A 处在岗亭南方，距离岗亭14 千米
(2)13.6升
【分析】（1）由已知，把所有数据相加，如果得数是正数，则A 处在岗亭北方，否则在南方．所得数的绝
对值就是离岗亭的距离．
（2）把所有数据的绝对值相加就是行驶的路程，已知摩托车每行驶1 千米耗油0.2升，那么乘以总路程就是
一天共耗油的量．
此题考查了有理数的加减混合运算的应用，有理数乘法的应用，正确列式计算是关键．
【详解】（1）解：根据题意：
10 + (−8) + ( +7) + (−15) + ( +6) + (−16) + ( +4) + (−2) = −14，
答：A 处在岗亭南方，距离岗亭14 千米；
（2）解：由已知，把记录的数据的绝对值相加，即10 + 8 + 7 + 15 + 6 + 16 + 4 + 2 = 68（千米），
已知摩托车每行驶1 千米耗油0.2升，
所以这一天共耗油68 × 0.2 = 13.6（升）．
答：这一天共耗油13.6升．
【变式13-1】（25-26 七年级上·广东珠海·期中）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的
刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方
向旋转5 个小格记为“ +5”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2 个小格记为“−2”，再逆时针旋转3
个小格记为“ +3”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“ +5，−2，+3”，如果一组开锁密码为“−15，
+8，−3”，要想打开锁，旋转转盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为_____．
【答案】30
【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算的实际应用，根据实际问题理解表示具有相反
意义的量是解题的关键．
首先列式得到−15 + 8−3 = −10，得到标记线按顺时针转了10格，进而求解即可．
【详解】解：∵一组开锁密码为“−15，+8，−3”
∴−15 + 8−3 = −10，
∴标记线按顺时针转了10格，
∵40−10 = 30
∴锁打开时标记线对准的刻度线表示为30，
故答案为：30．
【变式13-2】（25-26 七年级上·安徽安庆·阶段检测）某公交车上原坐有22人，经过4个站点时，上下车人数
的变化情况如下（上车为正，下车为负）；( +4,−8),( +6,−5),( +2,−3),(−7, + 1)，则车上还有__________
人．
【答案】12
【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，根据题意列出算式22 + 4−8 + 6−5 + 2−3−7 + 1，然后通
过加减运算法则进行计算即可，掌握有理数的加减运算的应用是解题的关键．
【详解】解：22 + 4−8 + 6−5 + 2−3−7 + 1 = 12（人），
故答案为：12．
【变式13-3】（25-26 七年级上·湖北武汉·阶段检测）测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测
量两个相邻可视观测点的相对高度，如“𝐴−𝐶= 90m”表示“观测点A 比观测点C 高90m”，再用这些相对高
度计算出山的总高度．如表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得𝐴−𝐵= （ ）
𝐴−𝐶
𝐶−𝐷
𝐷−𝐸
𝐸−𝐹
𝐹−𝐺
𝐺−𝐵
90m
75m
50m
−50m
70m
−60m
A． 150m
B． −150m
C． 175m
D． −175m
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，将表中有理数相加即可得到𝐴−𝐵的值．
【详解】解：𝐴−𝐵= (𝐴−𝐶) + (𝐶−𝐷) + (𝐷−𝐸) + (𝐸−𝐹) + (𝐹−𝐺) + (𝐺−𝐵)
= 90 + 75 + 50−50 + 70−60
= 175(m)，
故选：C．
【题型14 有理数加减混合运算中的规律】
【例14】（25-26 七年级上·湖南岳阳·月考）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）𝑓(1) = 0，𝑓(2) = 1，𝑓(3) = 2，𝑓(4) = 3，…
（2）𝑓
1
2 = 2，𝑓
1
3 = 3，𝑓
1
4 = 4，𝑓
1
5 = 5，…
利用以上规律计算𝑓
1
2024 +𝑓
1
2023 +𝑓
1
2022 +⋯+ 𝑓
1
2 −𝑓(1)−𝑓(2)−⋯−𝑓(2025)结果是（ ）．
A．−1
B．0
C．1
D．−2025
【答案】A
【分析】考查了数字变化规律，有理数的加减运算，解题关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，
并应用发现的规律解决问题．由（1）得到𝑓(𝑛) = 𝑛−1，由（2）得到𝑓
1
𝑛= 𝑛，可得𝑓
1
𝑛−𝑓(𝑛) = 1，再进
一步计算即可．
【详解】解：∵𝑓(1) = 0，𝑓(2) = 1，𝑓(3) = 2，𝑓(4) = 3，…；
𝑓
1
2 = 2，𝑓
1
3 = 3，𝑓
1
4 = 4，𝑓
1
5 = 5，…
∴𝑓(𝑛) = 𝑛−1，𝑓
1
𝑛= 𝑛，
∴𝑓
1
𝑛−𝑓(𝑛) = 1，
∴𝑓
1
2024 +𝑓
1
2023 +𝑓
1
2022 +⋯+ 𝑓
1
2 −𝑓(1)−𝑓(2)−⋯−𝑓(2025)
= 𝑓
1
2024 −𝑓(2024) +𝑓
1
2023 −𝑓(2023) +𝑓
1
2022 −𝑓(2022) +⋯+ 𝑓
1
2 −𝑓(2)−𝑓(1)−𝑓(2025)
= 2023−0−2024
= −1．
故选：A．
【变式14-1】观察图，找出规律
根据规律
（ ）
A．−6
B．−8
C．−7
D．−3
【答案】B
【分析】
本题考查了数字类规律探索，有理数的加减，由题意得出计算顺序与方法，列数式子
11−7 +
(−12)，根据有理数的加减运算法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：−5−3 + (−2) = −10，−6−(−4) +6 = 4，−7−(−18) + (−10) = 1，
∴
11−7 + (−12) = 4−12 = −8，
故选：B．
【变式14-2】（24-25 七年级上·江苏常州·期中）小明同学将2𝐵铅笔笔尖从原点𝑂开始沿数轴进行连续滑动，
先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿
正方向滑动3个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续
操作，经过第97次操作后笔尖停留在点𝑃处，则点𝑃对应的数是（ ）
A．−49
B．−10
C．50
D．49
【答案】D
【分析】本题主要考查了规律型∶数字的变化类，数轴和有理数的加减法，理解正负数的意义是解答此题的
关键．按照题意规定正负，运用有理数加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
1−2 + 3−4 + 5−6 + …−96 + 97
= (1−2) + (3−4) + (5−6) +… + (95−96) +97
= 48 × (−1) +97
= 49
故选：D．
【变式14-3】（25-26 七年级上·河南平顶山·月考）观察下列等式：
第1 个等式：
1
2−1 = −
1
2；第2 个等式
1
3−
1
2 = −
1
6；
第3 个等式：
1
4−
1
3 = −
1
12；……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第4 个等式：____________________；
(2)计算：−
1
2−
1
6−
1
12−⋯−
1
72
【答案】(1)
1
5−
1
4 = −
1
20
(2)−
8
9
【分析】本题主要考查有理数的加减运算、数字规律探究等知识点，根据已有等式发现规律是解题的关键．
（1）根据已有等式，列出第4 个等式即可；
（2）根据已有等式，裂项相加求解即可．
【详解】（1）解：由第1 个等式：
1
2−1 = −
1
2；
第2 个等式
1
3−
1
2 = −
1
6；
第3 个等式：
1
4−
1
3 = −
1
12；
第4 个等式：
1
5−
1
4 = −
1
20．
故答案为：
1
5−
1
4 = −
1
20．
（2）解：−
1
2−
1
6−
1
12−⋯−
1
72
=
1
2 −1 +
1
3 −
1
2 +
1
4 −
1
3 +⋯+
1
9 −
1
8
=
1
2−1 +
1
3−
1
2 +
1
3−
1
4 +⋯+
1
9−
1
8
= −1 +
1
9
= −
8
9．
【题型15 有理数加减混合运算中的新定义】
【例15】（24-25 七年级上·天津·期末）若𝑎为有理数，定义运算符号“※”：当𝑎> −2时，※𝑎= −𝑎；当𝑎< −2
时，※𝑎= 𝑎；当𝑎= −2时，※𝑎= 0．则根据定义，※ 5 + ※(2−5) 的值为（ ）
A．2
B．−2
C．0
D．−8
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的新定义，属于新定义题型，严格按照题目中定义求解，运算过程中细心即
可．根据新定义运算进行运算即可求解．
【详解】解：根据题中的新定义得：
※ 5 + ※(2−5) = ※ 5 + ※(−3) = ※ 5 +(−3) = ※2 = −2，
故选：B．
【变式15-1】高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，
已知[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，例如[−0.8] = −1．现定义{𝑥} = 𝑥+ [𝑥]，例如{1.5} = 1.5 + [1.5] = 2.5，
则{−3.7}−{2} = ______．
【答案】−11.7
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较以及有理数的加减混合运算，根据[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，
{𝑥} = 𝑥+ [𝑥]，据此列式计算即可．
【详解】解：由题意得：{−3.7}−{2} = −4 + (−3.7)−(2 + 2) = −4−3.7−4 = −11.7，
故答案为：−11.7．
【变式15-2】（25-26 七年级上·陕西西安·期中）定义一种新运算：𝑎※𝑏=
𝑎+ 𝑏(𝑎≥𝑏)
𝑎−𝑏(𝑎< 𝑏)
，则当𝑥= −2时，
3※𝑥+ −4※𝑥的结果为___________．
【答案】−1
【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的加减，掌握知识点是解题的关键．
根据新定义下的运算进行计算即可．
【详解】解：当𝑥= −2时，−4 < 𝑥< 3，
∴3※𝑥+ −4※𝑥
= 3 + (−2) + [−4−(−2)]
= 1 + (−2)
= −1．
故答案为：−1
【变式15-3】（25-26 七年级上·江苏扬州·月考）已知［𝑥］表示不超过x 的最大整数．如：[3.2] = 3,[−0.7]
= −1．现定义：{𝑥} = [𝑥]−𝑥，如{1.5} = [1.5]−1.5 = −0.5，则{−3.8}−
7
3 = ______．
【答案】
2
15
【分析】本题考查新定义运算与有理数的减法运算，需先根据给定定义分别求出{−3.8}和
7
3 的值，再利用
有理数减法法则计算最终结果．
【详解】解：∵｛𝑥｝= [𝑥]−𝑥，
{−3.8} = [−3.8]−(−3.8) = −4−(−3.8) = −4 + 3.8 = −
1
5；
∵{𝑥} = [𝑥]−𝑥，
∴
7
3 =
7
3 −
7
3 = 2−
7
3 = −
1
3；
∴{−3.8}−
7
3 = −
1
5−−
1
3 = −
1
5 +
1
3 =
−3+5
15
=
2
15，
故答案为：
2
15．
