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专题13.3 三角形的中线、角平分线、高（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 利用中线求线段长度】............................................................................................................................1
【题型2 利用中线求三角形周长】........................................................................................................................3
【题型3 中线与三角形面积关系】........................................................................................................................6
【题型4 直接利用角平分线求度数】....................................................................................................................9
【题型5 角平分线结合平行线求度数】..............................................................................................................13
【题型6 利用角平分线证明】..............................................................................................................................18
【题型7 识别与画出三角形的高】......................................................................................................................23
【题型8 利用等积法求高或边长】......................................................................................................................25
【题型9 高线与三角形面积计算】......................................................................................................................27
【题型10 利用高线求角的度数】..........................................................................................................................30
【题型11 高线位置分类讨论问题】......................................................................................................................35
知识点1 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角
形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形内部.
【题型1 利用中线求线段长度】
【例1】（24-25 七年级下·河南新乡·期末）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是中线，△𝐴𝐶𝐷与△𝐴𝐵𝐷的周长差为7．若
𝐴𝐵= 5，则𝐴𝐶= （ ）
A．10
B．12
C．14
D．15
【答案】B
考点
三角形的中线
题型归纳
【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据
三角形的中线的概念得到𝐵𝐷= 𝐷𝐶，再根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶，
∵ △𝐴𝐶𝐷与△𝐴𝐵𝐷的周长差为7，
∴(𝐴𝐶+ 𝐷𝐶+ 𝐴𝐷)−(𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷) = 7，
∴𝐴𝐶−𝐴𝐵= 7，
∵𝐴𝐵= 5，
∴𝐴𝐶= 12，
故选：B．
【变式1-1】（25-26 八年级上·四川泸州·期中）𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐶= 12cm，𝐵𝐷= __________cm．
【答案】6
【分析】本题考查三角形中线的定义，掌握这个知识点是解题的关键．
根据三角形中线的定义，中线连接顶点和对边中点，因此点D 是𝐵𝐶的中点，𝐵𝐷等于𝐵𝐶的一半．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴点D 是边𝐵𝐶的中点．
∴𝐵𝐷=
1
2𝐵𝐶=
1
2 × 12 = 6(cm)．
故答案为6．
【变式1-2】已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，若△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长分别是17和15，△𝐴𝐵𝐶的周长是22，则𝐴𝐷
的长为______．
【答案】5
【分析】根据三角形中线的定义可得𝐵𝐷= 𝐶𝐷，分别列出三个三角形的周长等式，整理变形即可求出𝐴𝐷的
长．
【详解】解：根据题意得：
𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 17①
𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷= 15②
𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 22③
，
由①+ ②，得𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷+ 2𝐴𝐷= 32，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐶．
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶+ 2𝐴𝐷= 32．
又∵𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 22，
∴22 + 2𝐴𝐷= 32，解得𝐴𝐷= 5．
【变式1-3】已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3:2的两部分，则
这个等腰三角形的底长为___________．
【答案】9cm 或21cm
【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联
立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果
是否满足三角形的三边关系．
【详解】解：设该三角形的腰长是x cm，底边长是y cm．
根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27 cm 和18 cm 两部分，
∴
𝑥+ 1
2 𝑥= 27
1
2 𝑥+ 𝑦= 18
或
𝑥+ 1
2 𝑥= 18
1
2 𝑥+ 𝑦= 27
，
解得
𝑥= 18
𝑦= 9
或
𝑥= 12
𝑦= 21
，
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此这个等腰三角形的腰长为9cm 或21cm．
故答案为：9cm 或21cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确3∶2两部分是哪一部分含有底边，
所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，
也是解题的关键．
【题型2 利用中线求三角形周长】
【例2】（25-26 八年级上·贵州遵义·期中）如图，AD 是△𝐴𝐵𝐶的中线，已知△𝐴𝐵𝐷的周长为28cm，AB
比AC 长6cm，则△𝐴𝐶𝐷的周长为（ ）
A．34cm
B．31cm
C．22cm
D．20cm
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边的差是解题的关键．
根据三角形中线的定义可得𝐵𝐷= 𝐶𝐷，再表示出△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷周长的差就是𝐴𝐵、𝐴𝐶的差，然后计算即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷周长的差= (𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷)−(𝐴𝐶+ 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷) = 𝐴𝐵−𝐴𝐶，
∵△𝐴𝐵𝐷的周长为28cm，𝐴𝐵比𝐴𝐶长6cm，
∴△𝐴𝐶𝐷周长为：28−6 = 22cm．
故选：C．
【变式2-1】（25-26 八年级上·陕西榆林·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是中线，𝐵𝐶−𝐴𝐶= 5 cm，△𝐴𝐷𝐶
的周长是20cm，则△𝐷𝐵𝐶的周长是______cm．
【答案】25
【分析】本题考查了三角形中线的性质，直接根据△𝐷𝐵𝐶的周长− △𝐴𝐷𝐶的周长= 𝐵𝐶−𝐴𝐶求解，即可解
题．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是中线即𝐴𝐷= 𝐵𝐷，𝐵𝐶−𝐴𝐶= 5cm，
∴ △𝐷𝐵𝐶的周长− △𝐴𝐷𝐶的周长= (𝐵𝐶+ 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷)−(𝐴𝐶+ 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷) = 𝐵𝐶−𝐴𝐶= 5cm，
∵ △𝐴𝐷𝐶的周长为20cm，
∴ △𝐷𝐵𝐶的周长为20 + 5 = 25(cm)，
故答案为：25．
【变式2-2】如图，𝐵𝑂为△𝐴𝐵𝐶的中线，延长𝐵𝑂至D，使𝑂𝐷= 𝑂𝐵，连接𝐶𝐷，已知𝐵𝐶= 6，𝑂𝐶−𝑂𝐷= 2，
则△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝑂𝐶的周长差是________．
【答案】8
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题的关键．先证明
△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷，根据全等三角形的性质可得𝐴𝐵= 𝐶𝐷，再根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：∵ 𝐵𝑂为△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐶，
在△𝐴𝑂𝐵和△𝐶𝑂𝐷中，
𝑂𝐴= 𝑂𝐶
∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷
𝑂𝐵= 𝑂𝐷
，
∴△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷(SAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐷，
∵ 𝐵𝐶= 6，𝑂𝐶−𝑂𝐷= 2，
∴ △𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝑂𝐶的周长差是𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝑂𝐴+ 𝑂𝐴−(𝑂𝐶+ 𝑂𝐷+ 𝐶𝐷)
= 𝐴𝐵+ 6 + 𝑂𝐶+ 𝑂𝐶−𝑂𝐶−𝑂𝐷−𝐴𝐵
= 6 + 𝑂𝐶−𝑂𝐷
= 6 + 2
= 8，
故答案为：8．
【变式2-3】如图，已知AD、AE 分别是△ABC 的中线、高，且AB＝5cm ，AC＝3cm ，则△ABD 与△ADC 的
周长之差为_______.
【答案】2
【分析】△ABD 与△ACD 的周长的差=AB-AC，据此答题即可．
【详解】解：△ABD 的周长=AB+AD+BD，△ACD 的周长=AC+AD+CD，
∵AD 是BC 的中线，
∴BD=CD，
∵AB=5cm，AC=3cm，
∴△ABD 的周长-△ACD 的周长=AB+AD+BD-AC-AD-CD=AB-AC=2（cm），
故答案为：2．
【点睛】考查了三角形的中线概念和性质，掌握三角形的中线的概念是解题的关键.
【题型3 中线与三角形面积关系】
【例3】（25-26 七年级下·辽宁大连·期中）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线，若△𝐴𝐵𝐶的
面积是12，则△𝐴𝐷𝐸的面积是___．
【答案】3
【分析】根据中线与面积的关系可得𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶、𝑆△𝐴𝐷𝐸= 𝑆△𝐵𝐸𝐷=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐷即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵△𝐴𝐵𝐷, △𝐴𝐶𝐷的高相等，△𝐴𝐵𝐶的面积是12，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6，
∵𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
∵△𝐴𝐷𝐸, △𝐵𝐷𝐸的高相等，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐸= 𝑆△𝐵𝐸𝐷=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐷= 3．
【变式3-1】（25-26 七年级下·福建泉州·期中）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，若𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6，则𝑆△𝐴𝐶𝐷= _____．
【答案】3
【分析】根据三角形的中线的性质即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶= 3．
【变式3-2】（25-26 七年级下·上海浦东新·期中）如图，若△𝐴𝐵𝐶的面积为2，且点A，B，C 分别是EC、
AF、BD 的中点，那么阴影部分的面积为（ ）
A．12
B．10
C．8
D．6
【答案】A
【分析】利用中点性质得出线段倍数关系，进而得出相关三角形面积的倍数关系，最后将阴影部分面积转
化为几个已知面积三角形的和即可求解．
【详解】解：如图，连接𝐴𝐷、𝐵𝐹、𝐶𝐹，
∵ 点 𝐴是𝐸𝐶的中点
∴𝐸𝐴= 𝐴𝐶
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2
∵点𝐵是𝐴𝐹的中点
∴𝐹𝐵= 𝐵𝐴
∴𝑆△𝐶𝐵𝐹= 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2
∵点𝐶是𝐵𝐷的中点
∴𝐵𝐶= 𝐶𝐷
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2
∵点𝐵是𝐴𝐹的中点，即𝐴𝐹= 2𝐴𝐵
∴𝑆△𝐹𝐴𝐸= 2𝑆△𝐴𝐵𝐸= 2 × 2 = 4
∵点𝐶是𝐵𝐷的中点，即𝐵𝐷= 2𝐵𝐶
∴𝑆△𝐷𝐵𝐹= 2𝑆△𝐶𝐵𝐹= 2 × 2 = 4
∵点𝐴是𝐸𝐶的中点，即𝐸𝐶= 2𝐴𝐶
∴𝑆△𝐸𝐶𝐷= 2𝑆△𝐴𝐶𝐷= 2 × 2 = 4
由图可知，阴影部分的面积为𝑆△𝐹𝐴𝐸+ 𝑆△𝐷𝐵𝐹+ 𝑆△𝐸𝐶𝐷
∴阴影部分的面积为4 + 4 + 4 = 12
【变式3-3】（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷是𝐴𝐵边
上一点，连接𝐶𝐷交𝐵𝐸于点𝐹，∠𝐴𝐷𝐸= 2∠𝐸𝐵𝐶= 70°，𝐸𝐹=
1
3𝐵𝐹，连接𝐸𝐷．
(1)求∠𝐵𝐸𝐷的度数；
(2)若𝐵𝑀为△𝐵𝐹𝐶的中线，△𝐵𝐹𝑀的面积为𝑎，请用字母𝑎表示△𝐵𝐶𝐸的面积；
(3)如图2，过点𝐶作𝐵𝐸的垂线交直线𝐵𝐸于点𝐺，若𝐶𝐺= 5，𝐸𝐹= 2，求△𝐷𝐸𝐹的面积．
【答案】(1) 35°
(2)
8𝑎
3
(3)
5
3
【分析】（1）因为𝐵𝐸是角平分线，且∠𝐴𝐷𝐸= 2∠𝐸𝐵𝐶= 70°，所以可先求出∠𝐸𝐵𝐶和∠𝐴𝐵𝐸的度数；所以可
利用三角形外角定理，结合已求的∠𝐴𝐵𝐸的度数，求出∠𝐵𝐸𝐷的度数．
（2）因为𝐵𝑀是△𝐵𝐹𝐶的中线，所以△𝐵𝐹𝑀和△𝐶𝐹𝑀的面积相等；因为𝐸𝐹=
1
3𝐵𝐹，所以可利用三角形面
积与底的比例关系，结合△𝐵𝐹𝑀的面积为𝑎，逐步推导△𝐵𝐶𝐸的面积．
（3）先根据𝐶𝐺= 5，𝐸𝐹= 2，求出𝑆△𝐶𝐸𝐹=
1
2 ⋅𝐸𝐹⋅𝐶𝐺=
1
2 × 2 × 5 = 5 ，可得𝑆△𝐵𝐷𝐹= 𝑆△𝐶𝐸𝐹= 5 ，根据
𝐸𝐹=
1
3𝐵𝐹， 得𝑆△𝐷𝐸𝐹=
1
3𝑆△𝐵𝐷𝐹=
5
3．
【详解】（1）解：∵𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶．
∵∠𝐴𝐷𝐸= 2∠𝐸𝐵𝐶= 70°，
∴∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐸= 35°．
∵∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐸𝐷 ，
∴70° = 35° + ∠𝐵𝐸𝐷 ，
解得∠𝐵𝐸𝐷= 35°．
（2）解：∵𝐵𝑀是△𝐵𝐹𝐶的中线，
∴𝑆△𝐵𝐹𝐶= 2𝑆△𝐵𝐹𝑀= 2𝑎 ．
∵𝐹在𝐵𝐸上，𝐸𝐹=
1
3𝐵𝐹，△𝐶𝐹𝐵和△𝐶𝐹𝐸同高（以𝐶到𝐵𝐸的距离为高），
∴
𝑆△𝐶𝐹𝐸
𝑆△𝐶𝐹𝐵=
𝐸𝐹
𝐵𝐹=
1
3，
∴𝑆△𝐶𝐹𝐸=
1
3 × 2𝑎=
2𝑎
3 ．
∴𝑆△𝐵𝐶𝐸= 𝑆△𝐵𝐹𝐶+ 𝑆△𝐶𝐹𝐸= 2𝑎+
2𝑎
3 =
8𝑎
3 ．
（3）解：∵𝐶𝐺⊥𝐵𝐸，𝐶𝐺= 5，𝐸𝐹= 2，
∴𝑆△𝐶𝐸𝐹=
1
2 ⋅𝐸𝐹⋅𝐶𝐺=
1
2 × 2 × 5 = 5 ．
由（1）知𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸−𝑆△𝐷𝐸𝐹= 𝑆△𝐶𝐷𝐸−𝑆△𝐷𝐸𝐹，
即𝑆△𝐵𝐷𝐹= 𝑆△𝐶𝐸𝐹= 5 ，
∵𝐸𝐹=
1
3𝐵𝐹，
∴𝑆△𝐷𝐸𝐹=
1
3𝑆△𝐵𝐷𝐹=
5
3．
知识点2 三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任
意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部.
【题型4 直接利用角平分线求度数】
【例4】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 67°，∠𝐶= 33°，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐶𝐴𝐷的度数为____________
考点2
三角形的角平分线
【答案】40°
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是掌握三角形内角和定理．先求出∠𝐵𝐴𝐶
的度数，再根据角平分线定义求解即可．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 67°，∠𝐶= 33°
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−(∠𝐵+ ∠𝐶) = 180°−(67° + 33°) = 80°，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∠𝐶𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 80° = 40°，
故答案为：40°
【变式4-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，若∠1 = 40°，∠2 = 20°，则∠𝐵= _____．
【答案】30°/30 度
【分析】由𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，可得角相等，由∠1 = 40°，∠2 = 20°，可求得∠𝐸𝐴𝐷的度数，在直角三角形𝐴𝐵𝐷
中利用两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，∠1 = 40°，∠2 = 20°，
∴∠1 = ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠2，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠1−∠2 = 40°−20° = 20°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠1 + ∠𝐸𝐴𝐷= 40° + 20° = 60°，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐷为直角三角形，
∴∠𝐵= 90°−∠𝐵𝐴𝐷= 90°−60° = 30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余等知识点．理解和掌握三角形的角平分
线和高的定义是解题的关键．
【变式4-2】（25-26 八年级上·北京海淀·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，交𝐵𝐶
于点𝐸，若∠𝐵= 30°，∠𝐴𝐶𝐷= 70°，求∠𝐷𝐴𝐸的大小．
【答案】∠𝐷𝐴𝐸= 40°
【分析】本题考查了三角形内角和性质，三角形外角性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质 是
解题的关键．先根据𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐵= 30°，算出∠𝐵𝐴𝐷= 60°，再根据三角形外角性质得
∠𝐵𝐴𝐶= 70°−30° = 40°，又因为𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，得∠𝐵𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 20°，再把数值代入
∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐸进行计算，即可作答．
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐷= 90°，
∵∠𝐵= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 180°−90°−30° = 60°，
∵∠𝐴𝐶𝐷= 70°，∠𝐵= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 70°−30° = 40°，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 40° = 20°，
则∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐸= 60°−20° = 40°
【变式4-3】（24-25 七年级下·吉林长春·期末）在∠𝑀𝐴𝑁中，点B，C 分别是𝐴𝑀，𝐴𝑁上一点，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵
的角平分线交于点𝑃．
(1)如图1，若∠𝑀𝐴𝑁= 90∘，求∠𝑃的度数；
(2)如图2，若∠𝑃= 2∠𝐴，求∠𝐴的度数；
(3)如图3，∠𝐶𝐵𝑀和∠𝐵𝐶𝑁的角平分线交于点Q，直接写出∠𝑃和∠𝑄之间的数量关系______．
【答案】(1)135∘
(2)60∘
(3)∠𝑃+ ∠𝑄= 180∘
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
(1)根据三角形内角和求出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，再根据角平分线的定义得到∠𝐶𝐵𝑃=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑃=
1
2
∠𝐴𝐶𝐵，继而利用三角形内角和代入计算即可；
(2)根据角平分线的定义得到∠𝐶𝐵𝑃=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑃=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，再利用三角形内角和得出∠𝑃= 90∘+
1
2∠𝐴，
结合∠𝐴=
1
2∠𝑃，代入求解即可；
(3)根据角平分线的定义得到∠𝐶𝐵𝑃=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑃=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐶𝐵𝑄=
1
2∠𝐶𝐵𝑀，∠𝐵𝐶𝑄=
1
2∠𝐵𝐶𝑁，继而
推出∠𝑃𝐵𝑄= ∠𝑃𝐶𝑄= 90∘，再利用四边形内角和计算即可得出关系．
【详解】(1) ∵∠𝑀𝐴𝑁= 90∘，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，
∵∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交于点P，
∴∠𝐶𝐵𝑃=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑃=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑃= 180∘−(∠𝐶𝐵𝑃+ ∠𝐵𝐶𝑃) = 180∘−
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180∘−45∘= 135∘；
(2) ∵∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交于点P，
∴∠𝐶𝐵𝑃=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑃=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑃= 180∘−(∠𝐶𝐵𝑃+ ∠𝐵𝐶𝑃)
= 180∘−1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)
= 180∘−1
2 (180∘−∠𝐴)
= 90∘+
1
2∠𝐴，
∵∠𝑃= 2∠𝐴，
∴∠𝐴=
1
2∠𝑃，
∴∠𝑃= 90∘+
1
2 ×
1
2∠𝑃= 90∘+
1
4∠𝑃，
解得：∠𝑃= 120∘，
∴∠𝐴=
1
2∠𝑃= 60∘；
(3) ∵∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交于点P，
∴∠𝐶𝐵𝑃=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑃=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠𝐶𝐵𝑀和∠𝐵𝐶𝑁的角平分线交于点Q，
∴∠𝐶𝐵𝑄=
1
2∠𝐶𝐵𝑀，∠𝐵𝐶𝑄=
1
2∠𝐵𝐶𝑁，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑀= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐶𝑁= 180∘，
∴∠𝑃𝐵𝑄= ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑄= 90∘，
同理：∠𝑃𝐶𝑄= 90∘，
∴∠𝑃+ ∠𝑄= 360∘−90∘× 2 = 180∘．
故答案为：∠𝑃+ ∠𝑄= 180∘．
【题型5 角平分线结合平行线求度数】
【例5】（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图，点D，E 分别在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐴𝐶上，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，点F
在线段𝐶𝐷上，且∠1 = ∠𝐵
(1)求证：𝐴𝐵∥𝐸𝐹；
(2)若𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐵，求证：∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先根据平行线的性质可判定∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵，再结合已知条件可得出∠𝐴𝐷𝐸= ∠1，据此再根据
平行线的判定可得出结论；
（2）首先由（1）得到∠𝐴𝐷𝐸= ∠1 = ∠𝐵，结合角平分线的定义可得到∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸= ∠1 = ∠𝐵，再由𝐷𝐸∥𝐵𝐶
即可得出∠𝐵𝐶𝐷= ∠1 = ∠𝐵，结合∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐵即可得此∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵= ∠1，最后再由三角形的外角定理即
可得出结论．
【详解】（1）证明：∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵，
∵∠1 = ∠𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠1，
∴𝐴𝐵∥𝐸𝐹．
（2）证明：由（1）知：∠𝐴𝐷𝐸= ∠1 = ∠𝐵，
∵𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸= ∠1 = ∠𝐵，
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠1 = ∠𝐵，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 2∠𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠1，
∴∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐸𝐹= ∠1 + ∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐷𝐸𝐶．
【变式5-1】填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，已知：𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐶∥𝐷𝐸，𝐶𝐷∥𝐸𝐹，那么𝐸𝐹平分∠𝐷𝐸𝐵吗？
解：∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵（已知），
∴∠1 = ∠2（________________________），
∵𝐴𝐶∥𝐷𝐸（已知），
∴∠1 = ∠_________，
∴∠2 = ∠3（等量代换），
∵𝐶𝐷∥𝐸𝐹（已知），
∴∠4 = ∠3（________________________），
∠2 = ∠5（________________________），
∴________________________（等量代换）．
∴𝐸𝐹平分∠𝐷𝐸𝐵．
【答案】角平分线的定义；3；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠4 = ∠5
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质进行证明即可．
【详解】解：∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵（已知），
∴∠1 = ∠2（角平分线的定义），
∵𝐴𝐶∥𝐷𝐸（已知），
∴∠1 = ∠ 3 ，
∴∠2 = ∠3（等量代换），
∵𝐶𝐷∥𝐸𝐹（已知），
∴∠4 = ∠3（两直线平行，内错角相等），
∠2 = ∠5（两直线平行，同位角相等），
∴∠4 = ∠5 （等量代换）．
∴𝐸𝐹平分∠𝐷𝐸𝐵．
故答案为：角平分线的定义；3；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠4 = ∠5．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解
答本题的关键．
【变式5-2】（24-25 七年级下·全国·期中）如图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，P 为直线𝐴𝐵，𝐶𝐷外一点，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝑃，𝐷𝐸
平分∠𝐶𝐷𝑃，𝐵𝐹的反向延长线交𝐷𝐸于点E，若∠𝐹𝐸𝐷= 160°，则∠𝑃的度数为 _______．
【答案】40°/40 度
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，根据角平分线的定义得出
∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，平行线的性质得出∠1 = ∠5，∠6 = ∠𝑃𝐷𝐶= 2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、
∠𝐹𝐸𝐷，再得到∠𝑃和∠𝐹𝐸𝐷的关系即可得到答案．
【详解】解：延长𝐴𝐵交𝑃𝐷于点G，延长𝐹𝐸交𝐶𝐷于点H，如图所示：
∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝑃，𝐷𝐸平分∠𝐶𝐷𝑃，
∴∠1 = ∠2，∠3=∠4，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠1 = ∠5，∠6 = ∠𝑃𝐷𝐶= 2∠3，
∵∠𝑃𝐵𝐺= 180°−2∠1，
∴∠𝑃𝐵𝐺= 180°−2∠5，
∴∠5 = 90°−
1
2∠𝑃𝐵𝐺，
∵∠𝐹𝐸𝐷= 180°−∠𝐻𝐸𝐷，∠5 = 180°−∠𝐸𝐻𝐷，∠𝐸𝐻𝐷+ ∠𝐻𝐸𝐷+ ∠3 = 180°，
∴180°−∠5 + 180°−∠𝐹𝐸𝐷+ ∠3 = 180°，
∴∠𝐹𝐸𝐷= 180°−∠5 + ∠3，
∴∠𝐹𝐸𝐷= 180°−90°−
1
2 ∠𝑃𝐵𝐺+
1
2∠6
= 90° + 1
2 (∠𝑃𝐵𝐺+ ∠6)
= 90° + 1
2 (180°−∠𝑃)
= 180°−
1
2∠𝑃，
∵∠𝐹𝐸𝐷= 160°，
∴180°−
1
2∠𝑃= 160°
∴∠𝑃= 40°．
故答案为：40°．
【变式5-3】如图所示，直线𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝑁𝐸平分∠𝐹𝑁𝐷，𝑀𝐵平分∠𝐹𝑀𝐸，且2∠𝐸+ ∠𝐹= 171°，则∠𝐹𝑀𝐸的度
数是______．
【答案】114°/114度
【分析】设∠𝐹𝑀𝐵= 𝛼，∠𝐸𝑁𝐷= 𝛽，根据角平分线的定义得∠𝐹𝑀𝐵= ∠𝐵𝑀𝐸= 𝛼，∠𝐸𝑁𝐷= ∠𝐹𝑁𝐸= 𝛽，
∠𝐹𝑀𝐸= 2𝛼，∠𝐹𝑁𝐷= 2𝛽，再根据𝐸𝑃∥𝐴𝐵∥𝐶𝐷得∠𝐹𝐻𝐵= ∠𝐹𝑁𝐷= 2𝛽，∠𝑀𝐸𝑃= ∠𝐵𝑀𝐸= 𝛼，
∠𝑃𝐸𝑁= ∠𝐸𝑁𝐷= 𝛽，由此可得∠𝑀𝐸𝑁= 𝛼+ 𝛽，∠𝐹= 𝛼−2𝛽，然后根据2∠𝑀𝐸𝑁+ ∠𝐹= 171°可求出
𝛼= 58°，据此即可求出∠𝐹𝑀𝐸的度数．此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确
识图熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解答此题的关键．
【详解】解：设𝑁𝐹交𝐴𝐵于点𝐻，过𝐸作𝐸𝑃∥𝐴𝐵，如图：
设∠𝐹𝑀𝐵= 𝛼，∠𝐸𝑁𝐷= 𝛽，
∵𝑁𝐸平分∠𝐹𝑁𝐷，𝑀𝐵平分∠𝐹𝑀𝐸，
∴∠𝐹𝑀𝐵= ∠𝐵𝑀𝐸= 𝛼，∠𝐸𝑁𝐷= ∠𝐹𝑁𝐸= 𝛽，
∴∠𝐹𝑀𝐸= 2𝛼，∠𝐹𝑁𝐷= 2𝛽，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐸𝑃∥𝐴𝐵，
∴𝐸𝑃∥𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐹𝐻𝐵= ∠𝐹𝑁𝐷= 2𝛽，∠𝑀𝐸𝑃= ∠𝐵𝑀𝐸= 𝛼，∠𝑃𝐸𝑁= ∠𝐸𝑁𝐷= 𝛽，
∴∠𝑀𝐸𝑁= ∠𝑀𝐸𝑃+ ∠𝑃𝐸𝑁= 𝛼+ 𝛽，
又∵∠𝐹𝑀𝐵= ∠𝐹+ ∠𝐹𝐻𝐵，
∴∠𝐹= ∠𝐹𝑀𝐵−∠𝐹𝐻𝐵= 𝛼−2𝛽，
∵2∠𝑀𝐸𝑁+ ∠𝐹= 171°，
∴2(𝛼+ 𝛽) + 𝛼−2𝛽= 171°，
∴𝛼= 57°，
∴∠𝐹𝑀𝐸= 2𝛼= 114°．
故答案为：114°．
【题型6 利用角平分线证明】
【例6】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点E 在AB 上，EF∥AD，连接DE．
(1)求证：∠BEF＝∠CAD；
(2)若DE∥AC，求证：EF 平分∠BED．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可得∠BEF＝∠BAD，再根据角平分线得∠CAD＝∠BAD，等量
代换即可证明；
（2）由（1）知∠BEF＝∠CAD＝
1
2∠BAC，通过两直线平行，同位角相等，可得∠BED＝∠BAC，等量代换即
可证明．
【详解】（1）因为EF∥AD，
所以∠BEF＝∠BAD，
因为AD 平分∠BAC，
所以∠CAD＝∠BAD，
所以∠BEF＝∠CAD．
（2）由（1）知∠BEF＝∠CAD＝
1
2∠BAC
因为DE∥AC，
所以∠BED＝∠BAC，
所以∠BEF＝
1
2∠BED，
所以EF 平分∠BED．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式6-1】（25-26 七年级上·江西上饶·期末）已知：如图，在三角形𝐷𝐵𝐹中，𝐷𝐸⊥𝐵𝐹，𝐷𝐸平分∠𝐵𝐷𝐹，
点𝐴是线段𝐵𝐷延长线上一点，点𝐶在线段𝐸𝐹上，连接𝐴𝐶交𝐷𝐹于点𝑀，∠𝐴=
1
2∠𝐵𝐷𝐹．求证：𝐴𝐶⊥𝐵𝐹．
请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据．
证明：∵𝐷𝐸平分∠𝐵𝐷𝐹，
∴∠𝐵𝐷𝐸=
1
2∠𝐵𝐷𝐹（① ），
∵∠𝐴=
1
2∠𝐵𝐷𝐹，
∴∠𝐴= ∠𝐵𝐷𝐸（② ），
∴𝐴𝐶∥ ③ （④ ），
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐸𝐵（⑤ ），
∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐹，
∴∠𝐷𝐸𝐵= 90°（⑥ ），
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐹．
【答案】
①角平分线的定义；②等量代换；③ 𝐷𝐸；④同位角相等，两直线平行；⑤两直线平行，同位角相等；⑥
垂直的定义
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，垂直的定义．
根据角平分线的定义，平行线的性质与判定以及垂直的定义，即可求解．
【详解】证明：∵𝐷𝐸平分∠𝐵𝐷𝐹，
∴∠𝐵𝐷𝐸=
1
2∠𝐵𝐷𝐹（角平分线的定义），
∵∠𝐴=
1
2∠𝐵𝐷𝐹，
∴∠𝐴= ∠𝐵𝐷𝐸（等量代换），
∴𝐴𝐶∥𝐷𝐸（同位角相等，两直线平行），
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐸𝐵（两直线平行，同位角相等），
∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐹，
∴∠𝐷𝐸𝐵= 90°（垂直的定义），
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐹．
【变式6-2】如图，点O，P，Q 分别在𝐴𝐵，𝐴𝐶，𝐵𝐶上，𝑂𝑄与𝐵𝑃交于M 点，连接𝑂𝑃，已知
∠𝑂𝑀𝐵+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°，∠𝐶= ∠𝑃𝑂𝑄．
(1)求证：𝑂𝑃∥𝐵𝐶；
(2)若𝑃𝑂是∠𝐴𝑃𝐵的平分线，∠𝐵𝑃𝐶= 2∠𝐶，请判断𝐵𝑃与𝑂𝑄的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)𝐵𝑃⊥𝑂𝑄，理由见详解
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质，三角形内角和性质，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据邻补角的性质，得出∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑂𝑀𝑃，证明𝑄𝑂∥𝐴𝐶，结合∠𝐶= ∠𝑃𝑂𝑄，即可作答．
（2）由角平分线的定义得出∠𝐴𝑃𝑂= ∠𝐵𝑃𝑂=
1
2∠𝐴𝑃𝐵，再进行角的等量代换，得出∠𝐵𝑃𝐶= 2∠𝐶，且
∠𝐴𝑃𝐵+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°，得出∠𝐶= 45°，再根据三角形的内角性质，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵∠𝑂𝑀𝐵+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°，∠𝑂𝑀𝐵+ ∠𝑂𝑀𝑃= 180°，
∴∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑂𝑀𝑃，
∴𝑄𝑂∥𝐴𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝑂𝑄𝐵，
∵∠𝐶= ∠𝑃𝑂𝑄，
∴∠𝑂𝑄𝐵= ∠𝑃𝑂𝑄，
∴𝑂𝑃∥𝐵𝐶；
（2）解：𝐵𝑃⊥𝑂𝑄，理由如下：
∵𝑃𝑂是∠𝐴𝑃𝐵的平分线，
∴∠𝐴𝑃𝑂= ∠𝐵𝑃𝑂=
1
2∠𝐴𝑃𝐵，
∵𝑂𝑃∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝑃𝑂= ∠𝐶，
∵∠𝐵𝑃𝐶= 2∠𝐶，且∠𝐴𝑃𝐵+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°，
∴4∠𝐶= 180°，
∴∠𝐶= 45°，
∴∠𝐴𝑃𝑂= ∠𝐵𝑃𝑂= ∠𝐶= 45°
∵𝑂𝑃∥𝐵𝐶
∴∠𝑃𝐵𝑄= ∠𝐵𝑃𝑂= 45°，
∵𝑄𝑂∥𝐴𝐶，
∴∠𝑂𝑄𝐵= ∠𝐶= 45°，
∴在△𝐵𝑀𝑄中，∠𝐵𝑀𝑄= 180°−45°−45° = 90°，
∴𝐵𝑃⊥𝑂𝑄．
【变式6-3】如图，△ABC 中，∠BAC 的角平分线交BC 于D，点F 在BA 的延长线上，点E 在线段CD 上，
EF 与AC 相交于点G，且∠𝐵𝐷𝐴+∠𝐶𝐸𝐺=180°．
(1)求证：𝐴𝐷∥𝐸𝐹；
(2)若点H 在FE 的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F 与∠H 相等吗？请说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)∠𝐹=∠𝐻，说明见详解
【分析】（1）根据∠𝐵𝐷𝐴+∠𝐶𝐸𝐺=180°，∠𝐷𝐸𝐹+∠𝐶𝐸𝐺=180°，可得∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐷𝐸𝐹，根据同位角相等，两直
线平行可判定𝐴𝐷∥𝐸𝐹；
（2）根据∠𝐸𝐷𝐻=∠𝐶，可得𝐷𝐻∥𝐴𝐶，继而得到∠𝐻=∠𝐸𝐺𝐶，由对顶角∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐸𝐺𝐶，可得∠𝐻=∠𝐴𝐺𝐹，由
（1）𝐴𝐷∥𝐸𝐹可得∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐴𝐺𝐹，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐹，再因为AD 是∠BAC 的角平分线，有∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐵𝐴𝐷，即可证
明∠𝐹=∠𝐻．
【详解】（1）证明：∵∠𝐵𝐷𝐴+∠𝐶𝐸𝐺=180°，∠𝐷𝐸𝐹+∠𝐶𝐸𝐺=180°，
∴∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐷𝐸𝐹，
∴𝐴𝐷∥𝐸𝐹．
（2）解：∠𝐹=∠𝐻，理由如下：
∵∠𝐸𝐷𝐻=∠𝐶，
∴𝐷𝐻∥𝐴𝐶，
∴∠𝐻=∠𝐸𝐺𝐶，
∵∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐸𝐺𝐶，
∴∠𝐻=∠𝐴𝐺𝐹，
∵𝐴𝐷∥𝐸𝐹，
∴∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐴𝐺𝐹，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐹，
又∵AD 是∠BAC 的角平分线，
∴∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐹=∠𝐻．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握并应用平行线的判定与性质是解答
本题的关键．
知识点3 三角形的高
1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
2.三角形的三条高的特性
名称
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
考点3
三角形的高
【题型7 识别与
画出三角形的高】
【例7】（25-26 九年级下·河北衡水·期中）如图，老师将直角三角尺𝐷𝐸𝐹的一条直角边摆放在△𝐴𝐵𝐶的𝐴𝐵
边上，另一条直角边经过顶点C，则𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的（ ）
A．中线
B．高线
C．角平分线
D．中位线
【答案】B
【详解】解：根据题意得：𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高线．
【变式7-1】（25-26 七年级下·山西临汾·期中）下列四个图中，线段𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高，利用三角形高
图示
高在三角形内部的数量
3
1
1
高之间是否相交
相交
相交
不相交
高所在的直线是否相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形内部
直角顶点
三角形外部
的定义线段𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高的是：
．
【变式7-2】（25-26 七年级下·上海闵行·期中）如图，以下是一位同学将△𝐴𝐵𝐶翻折至阴影处的三种不同折
纸示意图，则图（1）、图（2）、图（3）的𝐴𝐷分别是△𝐴𝐵𝐶的（ ）
A．角平分线、高、中线
B．高、中线、角平分线
C．角平分线、中线、高
D．中线、角平分线、高
【答案】A
【分析】根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案．
【详解】解：由图（1）中的折叠方式可知，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵′𝐴𝐷，
∴ 𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线；
由图（2）中的折叠方式可知，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵′，
∵ ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐵′ = 180°，
∴ ∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵′ = 90°，
∴ 𝐴𝐷⊥𝐵𝐵′
∴ 𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高线；
由图（3）中的折叠方式可知，𝐶𝐷= 𝐵𝐷，
∴ 𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线．
【变式7-3】如图，H 若是△ABC 三条高AD，BE，CF 的交点，则△BHA 中边BH 上的高是__________．
【答案】AE
【分析】根据三角形的高的概念即可得答案．
【详解】∵H 若是△ABC 三条高AD，BE，CF 的交点，
∴BE⊥AC，即AE⊥BH，
∴△BHA 中边BH 上的高是AE，
故答案为：AE
【点睛】本题考查三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形
的高．
【题型8 利用等积法求高或边长】
【例8】（25-26 七年级下·广东深圳·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶,𝐴𝐶边上的高𝐵𝐷= 4,𝑃为𝐵𝐶上一点，
𝑃𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸,𝑃𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，则𝑃𝐸+ 𝑃𝐹= __________．
【答案】4
【分析】连接𝐴𝑃，利用𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝑃+ 𝑆△𝐴𝐶𝑃=
1
2𝐴𝐵⋅𝑃𝐹+
1
2𝐴𝐶⋅𝑃𝐸=
1
2𝐴𝐶⋅𝐵𝐷，结合𝐴𝐵= 𝐴𝐶，即可解
答．
【详解】解：如图，连接𝐴𝑃，
则𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝑃+ 𝑆△𝐴𝐶𝑃=
1
2𝐴𝐵⋅𝑃𝐹+
1
2𝐴𝐶⋅𝑃𝐸，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴
1
2𝐴𝐵⋅𝑃𝐹+
1
2𝐴𝐶⋅𝑃𝐸=
1
2𝐴𝐶(𝑃𝐸+ 𝑃𝐹)，
又∵𝐵𝐷= 4，𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐴𝐶⋅𝐵𝐷，即
1
2𝐴𝐶⋅𝐵𝐷=
1
2𝐴𝐶(𝑃𝐸+ 𝑃𝐹)，
∴𝑃𝐸+ 𝑃𝐹= 𝐵𝐷= 4．
【变式8-1】（25-26 七年级下·山东济南·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶的两条高𝐴𝐷，𝐶𝐸相交于点𝐹．连接𝐵𝐹并延长
交𝐴𝐶于点𝐺，若𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 10，𝐶𝐸= 6，则𝐵𝐺= ______．
【答案】4.8
【分析】根据锐角三角形的三条高交于一点，判断出𝐵𝐺为𝐴𝐶边上的高，利用等面积法建立方程求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的两条高，且相交于点𝐹，
∴𝐵𝐺也是△𝐴𝐵𝐶的高 ，
∴𝐵𝐺⊥𝐴𝐶，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐴𝐵·𝐶𝐸=
1
2𝐴𝐶·𝐵𝐺 ，
∵𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 10，𝐶𝐸= 6 ，
∴
1
2 × 8 × 6 =
1
2 × 10 × 𝐵𝐺 ，
∴𝐵𝐺= 4.8．
【变式8-2】（25-26 七年级下·云南昭通·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，
𝐴𝐶= 4 cm，𝐵𝐶= 3cm，𝐴𝐵= 5cm．则点𝐶到𝐴𝐵的距离为（ ）cm．
A．3
B．4
C．5
D．
12
5
【答案】D
【详解】解：根据题意得：𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐴𝐶⋅𝐵𝐶=
1
2𝐴𝐵⋅𝐶𝐷，
∵𝐴𝐶= 4 cm，𝐵𝐶= 3cm，𝐴𝐵= 5cm，
∴
1
2 × 4 × 3 =
1
2 × 5 × 𝐶𝐷，
解得𝐶𝐷=
12
5 cm，
∴点𝐶到𝐴𝐵的距离为
12
5 cm．
【变式8-3】（25-26 七年级上·上海·期末）如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中．沿着过点𝐶的直线折叠这个三角形，使
顶点𝐴落在𝐵𝐶边上的点𝐸处，折痕为𝐶𝐷，并连接𝐷𝐸．如果𝐴𝐵= 𝑚，且满足
𝑆△𝐵𝐷𝐸
𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
4，边𝐵𝐷= ________．(用
含𝑚的代数式表示结果）
【答案】
5
8𝑚/0.625𝑎
【分析】本题考查三角形中的高线以及面积的计算，关键是利用折叠得到面积关系，再结合“同高三角形面
积比等于底边比”推导线段长度．
【详解】解：设𝑆△𝐵𝐷𝐸= 𝑆，由
𝑆△𝐵𝐷𝐸
𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
4，得𝑆△𝐴𝐵𝐶= 4𝑆．
∵△𝐴𝐶𝐷沿着𝐶𝐷折叠得到△𝐸𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐸𝐶𝐷，
则𝑆+ 2𝑆△𝐴𝐶𝐷= 4𝑆，解得𝑆△𝐴𝐶𝐷=
3
2𝑆，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐶= 𝑆△𝐵𝐷𝐸+ 𝑆△𝐸𝐶𝐷= 𝑆+
3
2𝑆=
5
2𝑆．
∵△𝐵𝐷𝐶与△𝐴𝐵𝐶同高(从点𝐶到𝐴𝐵的高)，
∴面积比等于底边比，即
𝑆△𝐵𝐷𝐶
𝑆△𝐴𝐵𝐶=
𝐵𝐷
𝐴𝐵，
即
5
2 𝑆
4𝑆=
𝐵𝐷
𝑚，
∴𝐵𝐷=
5
8𝑚．
故答案为：
5
8𝑚．
【题型9 高线与三角形面积计算】
【例9】如图，𝐷为△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐶边上的一点，𝐴𝐷= 1，𝐷𝐶= 2，𝐴𝐵= 4，𝐸是𝐴𝐵上的一点，且△𝐴𝐵𝐶的面
积等于△𝐷𝐸𝐶面积的2 倍，𝐵𝐸的长为（ ）
A．1
B．3
C．
1
4
D．不确定
【答案】A
【分析】本题考查三角形的面积（三角形的面积等于底与高乘积的一半），设𝑆△𝐴𝐷𝐸= 𝑆，根据三角形面积
公式，利用𝐷𝐶= 2𝐴𝐷得到𝑆△𝐶𝐷𝐸= 2𝑆，则𝑆△𝐴𝐵𝐶= 4𝑆，所以𝑆△𝐶𝐵𝐸= 𝑆=
1
4𝑆△𝐴𝐵𝐶，再根据三角形面积公式
即可求出𝐵𝐸的长．解题的关键是掌握三角形的面积公式及同高三角形的面积的转化．
【详解】解：设𝑆△𝐴𝐷𝐸= 𝑆，
∵𝐴𝐷= 1，𝐷𝐶= 2，即𝐷𝐶= 2𝐴𝐷，
∵△𝐶𝐷𝐸和△𝐴𝐷𝐸同高，设高为ℎ1，
∴𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2𝐶𝐷⋅ℎ1 =
1
2 × 2𝐴𝐷⋅ℎ1 = 2 ×
1
2𝐴𝐷⋅ℎ1 = 2𝑆△𝐴𝐷𝐸= 2𝑆，
∵△𝐴𝐵𝐶的面积等于△𝐷𝐸𝐶面积的2倍，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 4𝑆，
∵𝑆△𝐶𝐵𝐸+ 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐶𝐵𝐸+𝑆+ 2𝑆= 4𝑆，
∴𝑆△𝐶𝐵𝐸= 𝑆=
1
4 × 4𝑆=
1
4𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∵𝐴𝐵= 4，△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐶𝐸同高，设高为ℎ2，
∴
1
2𝐵𝐸⋅ℎ2 =
1
4 ×
1
2𝐴𝐵⋅ℎ2，
∴𝐵𝐸=
1
4𝐴𝐵=
1
4 × 4 = 1．
故选：A．
【变式9-1】如图所示的网格是正方形网格，△ABC 的面积__△DEF 的面积．（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【答案】=
【分析】根据三角形面积公式：S=
1
2ah，列出算式计算即可求解．
【详解】解：∵△ABC 的面积=
1
2 × 2×3＝3，
△DEF 的面积=
1
2 × 2×3＝3，
∴△ABC 的面积＝△DEF 的面积．
故答案为：＝．
【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是熟悉正方形网格特点以及三角形面积公式．
【变式9-2】（25-26 九年级上·河北石家庄·期末）如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为60cm2，那么三角形𝐴𝐵𝐸的
面积是（ ）cm2．
A．18
B．20
C．30
D．36
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质及三角形面积，熟练掌握矩形的性质是解题关键．连接𝐴𝐶，根据矩形的性质
得出𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝑆长方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 30cm2，由图可知
𝐵𝐸
𝐵𝐶=
3
5，利用三角形面积公式即可得答案．
【详解】解：如图，连接𝐴𝐶，
∵长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为60cm2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝑆长方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 30cm2，
由图可知
𝐵𝐸
𝐵𝐶=
3
5，
∴
𝑆△𝐴𝐵𝐸
𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐸·𝐴𝐵
1
2 𝐵𝐶·𝐴𝐵=
𝐵𝐸
𝐵𝐶=
3
5，即
𝑆△𝐴𝐵𝐸
30
=
3
5，
解得：𝑆△𝐴𝐵𝐸= 18．
故选：A．
【变式9-3】（24-25 八年级上·河南三门峡·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三
角形面积公式的出入相补法．如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，分别取𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点𝐷，𝐸，连接𝐷𝐸，过点𝐴作
𝐴𝐹⊥𝐷𝐸，垂足为𝐹，将△𝐴𝐵𝐶沿虚线分割后拼接成长方形𝐵𝐶𝐻𝐺，如图2．若𝐷𝐸= 6，𝐴𝐹= 4，则△𝐴𝐵𝐶
的面积是______．
【答案】48
【分析】本题考查图形的拼剪，长方形的性质，三角形的面积，根据图形的拼剪，求出𝐵𝐶以及𝐵𝐶边上的高
即可解决问题．
【详解】解： 由题意得：𝐵𝐺= 𝐴𝐹= 𝐶𝐻= 4，𝐺𝐷= 𝐷𝐹，𝐸𝐹= 𝐸𝐻，
∴ 𝐷𝐺+ 𝐸𝐻= 𝐷𝐸= 6，
∴ 𝐵𝐶的边上的高为𝐵𝐺+ 𝐴𝐹= 4 + 4 = 8，𝐵𝐶= 𝐺𝐻= 2𝐷𝐸= 8，
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 12 × 8 = 48，
故答案为：48．
【题型10 利用高线求角的度数】
【例10】（25-26 七年级下·重庆·期中）如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐶𝐸是△𝐴𝐶𝐷的
高，∠𝐴𝐵𝐶= 42°，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷，则∠𝐷𝐶𝐸= _________°．
【答案】16
【分析】设∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 𝛼，可得∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷=
1
2(180°−𝛼) = 90°−
1
2𝛼，结合
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 42° + 𝛼，再进一步求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴设∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 𝛼，
∵∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷=
1
2(180°−𝛼) = 90°−
1
2𝛼，
∵∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 42° + 𝛼，
∴90°−
1
2𝛼= 42° + 𝛼，
解得：𝛼= 32°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 42° + 32° = 74°，
∵𝐶𝐸是△𝐴𝐶𝐷的高，
∴∠𝐶𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= 90°−74° = 16°．
【变式10-1】（25-26 八年级上·云南昆明·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐶𝐸是角平分线，𝐴𝐷，𝐶𝐸相
交于点𝑂，且∠𝐵𝐴𝐶= 60°，∠𝐵= 70°．
(1)求∠𝐵𝐴𝐷的度数；
(2)求∠𝐴𝑂𝐶的度数．
【答案】(1)20°
(2)115°
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，理解三角形
的高与底边垂直是解题关键．
（1）利用高的定义得到直角，结合直角三角形两锐角互余求出∠𝐵𝐴𝐷；
（2）根据∠𝐵𝐴𝐷= 20°，∠𝐵𝐴𝐶= 60°求出∠𝐶𝐴𝑂，再结合直角三角形两锐角互余求出∠𝐴𝐶𝐷，然后利用角平
分线定义和三角形内角和定理，即可求出∠𝐴𝑂𝐶．
【详解】（1）解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，
∴ ∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∵ ∠𝐵= 70°，
∴ ∠𝐵𝐴𝐷= 90°−70° = 20°．
答：∠𝐵𝐴𝐷= 20°．
（2）解：由（1）知∠𝐵𝐴𝐷= 20°，∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∵ ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∴ ∠𝐶𝐴𝑂= 60°−20° = 40°，
∴ ∠𝐴𝐶𝐷= 90°−40° = 50°，
∵ 𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴ ∠𝐴𝐶𝑂=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 25°，
∴ ∠𝐴𝑂𝐶= 180°−∠𝐶𝐴𝑂−∠𝐴𝐶𝑂= 180°−40°−25° = 115°．
答：∠𝐴𝑂𝐶= 115°．
【变式10-2】已知，如图所示，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐸是△𝐴𝐷𝐶的高，且∠𝐴𝐷𝐸= 68°，∠𝐵= 105°．
(1)求∠𝐷𝐴𝐸的度数；
(2)求∠𝐶的度数．
【答案】(1)22°
(2)31°
【分析】本题考查三角形的高，三角形的内角和定理，角平分线，掌握知识点是解题的关键．
（1）先求出∠𝐴𝐸𝐷= 90°，再根据三角形的内角和为180°，即可解答；
（2）先求出∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐷𝐴𝐸= 2 × 22° = 44°，再根据三角形的内角和为180°，即可解答．
【详解】（1）解：∵𝐷𝐸是△𝐴𝐷𝐶的高，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 180°−∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐴𝐷𝐸= 180°−90°−68° = 22°．
（2）∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线．
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐷𝐴𝐸= 2 × 22° = 44°．
∴∠𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐵𝐴𝐶= 180°−105°−44° = 31°．
【变式10-3】（24-25 八年级上·安徽蚌埠·期末）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼，∠𝐵= 𝛽（𝛼> 𝛽），𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶
的高．
(1)如图1，若𝐶𝐸为△𝐴𝐵𝐶内角∠𝐵𝐶𝐴的平分线．
①当𝛼= 70°，𝛽= 50°，则∠𝐷𝐶𝐸的度数为_________°；
②用含𝛼，𝛽的代数式表示∠𝐷𝐶𝐸的度数，并说明理由；
(2)如图2，若𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶外角∠𝐴𝐶𝐹的平分线，𝐶𝐸交𝐵𝐴延长线于点𝐸，若𝛼−𝛽= 30°，则∠𝐷𝐶𝐸的度数为
_________°．
【答案】(1)①10；②∠𝐷𝐶𝐸=
1
2(𝛼−𝛽)，理由见解析
(2)75
【分析】（1）①由三角形内角和定理得∠𝐴𝐵𝐶= 60°，进而根据三角形角平分线的定义可得∠𝐴𝐶𝐸=
1
2
∠𝐴𝐶𝐵= 30°，又由三角形的高可得∠𝐴𝐶𝐷= 20°，最后根据角的和差即可求解；②同理①解答即可求解；
（2）作∠𝐴𝐶𝐵的内角平分线𝐶𝐸′，由（1）②得∠𝐷𝐶𝐸′ =
𝛼−𝛽
2
= 15°，再根据角平分线的性质可得∠𝐸𝐶𝐸′
= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸′ =
1
2∠𝐴𝐶𝐹+
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 90°，进而由角的和差即可求解；
本题考查了三角形的角平分线和高，三角形内角和定理，角的和差，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：①∵𝛼= 70°，𝛽= 50°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180°−70°−50° = 60°，
∵𝐶𝐸为∠𝐵𝐶𝐴的平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 30°，
∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 90°−70° = 20°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸−∠𝐴𝐶𝐷= 30°−20° = 10°，
故答案为：10；
②∠𝐷𝐶𝐸=
1
2(𝛼−𝛽)，理由如下：
∵∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼，∠𝐵= 𝛽，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180°−𝛼−𝛽，
∵𝐶𝐸为∠𝐵𝐶𝐴的平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵=
1
2(180°−𝛼−𝛽) = 90°−
1
2𝛼−
1
2𝛽，
∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 90°−𝛼，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸−∠𝐴𝐶𝐷= 90°−
1
2𝛼−
1
2𝛽−(90°−𝛼) =
1
2𝛼−
1
2𝛽=
1
2(𝛼−𝛽)；
（2）解：如图，作∠𝐴𝐶𝐵的内角平分线𝐶𝐸′，则∠𝐷𝐶𝐸′ =
𝛼−𝛽
2
= 15°，
∵𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐹的角平分线，𝐶𝐸′为∠𝐵𝐶𝐴的平分线，
∴∠𝐸𝐶𝐸′ = ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸′ =
1
2∠𝐴𝐶𝐹+
1
2∠𝐴𝐶𝐵=
1
2(∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐵) =
1
2 × 180° = 90°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐸𝐶𝐸′−∠𝐷𝐶𝐸′ = 90°−15° = 75°，
故答案为：75．
【题型11 高线位置分类讨论问题】
【例11】（25-26 七年级下·广东深圳·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是56°，那么这
个等腰三角形的顶角的度数是___________．
【答案】56°或124°
【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质
计算顶角的度数．
【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图，
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，𝐶𝐹⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐹𝐷= 90°，
∴∠𝐸𝐴𝐹= 360°−∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐴𝐹𝐷−∠𝐷= 124°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹= 124°；
②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图，
∵∠𝐵𝐷𝐸= 56°，
∴∠𝐸𝐷𝐹= 180°−∠𝐵𝐷𝐸= 124°，
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，𝐶𝐹⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐹𝐷= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 360°−∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐴𝐹𝐷−∠𝐸𝐷𝐹= 56°；
综上所述，这个等腰三角形的顶角为56°或124°．
【变式11-1】（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 38°，𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的高，若
∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴，则∠𝐴𝐵𝐶= ________．
【答案】14°或90°
【分析】本题考查三角形的高，三角形内角和定理；根据𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的高，得到∠𝐵𝐷𝐶= 90°，在△𝐶𝐵𝐷中，
利用三角形内角和定理求出∠𝐶，再在△𝐴𝐵𝐶中，利用三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐶有锐角和钝角两种情
况，需分类讨论.
【详解】解：∵𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的高，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
又∵∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴= 38°，
当∠𝐴𝐶𝐵为锐角时，如图所示，
∴在△𝐶𝐵𝐷中，∠𝐵𝐶𝐷= 180°−∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐵𝐷𝐶= 180°−38°−90° = 52°，
即∠𝐶= 52°，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 38°，∠𝐶= 52°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180°−∠𝐴−∠𝐶= 180°−38°−52° = 90°，
当∠𝐴𝐶𝐵为钝角时，如图所示，
∴在△𝐶𝐵𝐷中，∠𝐵𝐶𝐷= 180°−∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐵𝐷𝐶= 180°−38°−90° = 52°，
∴即∠𝐴𝐶𝐵= 180°−52° = 128°，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 38°，∠𝐴𝐶𝐵= 128°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180°−∠𝐴−∠𝐴𝐶𝐵= 180°−38°−128° = 14°.
故答案为：14°或90°.
【变式11-2】（25-26 七年级下·河南平顶山·期中）已知𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐴𝐷= 5，𝐶𝐷= 1．若△𝐴𝐵𝐶的
面积为6，则𝐵𝐷的长为______．
【答案】2 或3
【分析】分两种情况：当点D 在线段𝐴𝐶上时，或当点D 在线段𝐴𝐶的延长线上时，分别求出结论即可．
【详解】解：如图所示，当点D 在线段𝐴𝐶上时，
∵𝐴𝐷= 5，𝐶𝐷= 1，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 6，
∵𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，且△𝐴𝐵𝐶的面积为6，
∴
1
2𝐴𝐶⋅𝐵𝐷= 6，
即
1
2 × 6 ⋅𝐵𝐷= 6，
解得：𝐵𝐷= 2；
如图所示，当点D 在线段𝐴𝐶的延长线上时，
∵𝐴𝐷= 5，𝐶𝐷= 1，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐷−𝐶𝐷= 4，
∵𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，且△𝐴𝐵𝐶的面积为6，
∴
1
2𝐴𝐶⋅𝐵𝐷= 6，
即
1
2 × 4 ⋅𝐵𝐷= 6，
∴𝐵𝐷= 3；
综上，𝐵𝐷的长为2 或3．
【变式11-3】（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的高，若∠𝐴𝐵𝐷= 2∠𝐶,
∠𝐶= 36°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为________．
【答案】72°或36°
【分析】本题考查了三角形的高，三角形内角和，正确画出图形是解题的关键．
分高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶内部和外部两种情况讨论；利用三角形内角和定理及高的性质计算∠𝐵𝐴𝐶．
【详解】解：当高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶内部时，如图，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 2∠𝐶= 72°，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 180°−72°−36° = 72°；
当高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶外部时（点D 在𝐶𝐵延长线上），
∴∠𝐴𝐵𝐷= 2∠𝐶= 72°，则∠𝐴𝐵𝐶= 180°−72° = 108°，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 180°−108°−36° = 36°，
故答案为：72°或36°．
