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第13 章 三角形·拔尖卷
【新教材人教版】
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（25-26 八年级上·重庆九龙坡·期末）把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的
重心位置在（ ）
A．点𝐴
B．点𝐵
C．直线𝐴𝐵上
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了不规则物体的重心，把不规则物体悬挂起来，重心一定在悬挂点与物体下端所连
的直线上．
【详解】解：不规则物体的重心一定在悬挂点𝐴与物体最下端𝐵所连接的直线上，
∴薄板状物体的重心位置在直线𝐴𝐵上．
故选：C．
2．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期中）在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑎= 5，𝑏= 4，则𝑐的值不可能为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【分析】先根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再结合选项
判断哪个数值不在该范围内．
【详解】解：∵在△ABC 中，𝑎= 5，𝑏= 4，
∴𝑎−𝑏< 𝑐< 𝑎+ 𝑏，
∴5−4 < 𝑐< 5 + 4，
∴1 < 𝑐< 9．
选项A：6在1 < 𝑐< 9的范围内，故该选项不符合题意；
选项B：7在1 < 𝑐< 9的范围内，故该选项不符合题意；
选项C：8在1 < 𝑐< 9的范围内，故该选项不符合题意；
选项D：9不在1 < 𝑐< 9的范围内，故该选项符合题意．
3．（25-26 八年级上·全国·单元复习）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠1 = ∠2，G 为𝐴𝐷的中点，延长𝐵𝐺交𝐴𝐶于点E，
F 为𝐴𝐵上的一点，𝐶𝐹⊥𝐴𝐷于点H．下列判断错误的有（ ）
A．𝐴𝐺是△𝐴𝐵𝐸的角平分线
B．𝐶𝐻为△𝐴𝐶𝐷边𝐴𝐷上的高
C．𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷边𝐴𝐷上的中线
D．𝐴𝐻为△𝐴𝐹𝐶的高线
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，熟记它们的定义是解题的关
键．根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．∵∠1 = ∠2，
∴𝐴𝐺是△𝐴𝐵𝐸的角平分线，故本选项结论正确，不符合题意；
B．∵𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，
∴𝐶𝐻为△𝐴𝐶𝐷边𝐴𝐷上的高，故本选项结论正确，不符合题意；
C．∵G 为𝐴𝐷的中点，
∴𝐵𝐺是△𝐴𝐵𝐷边𝐴𝐷上的中线，故原说法不正确，符合题意；
D．∵𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，
∴𝐴𝐻为△𝐴𝐹𝐶的高线，故本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
4．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，已知点A，B 在直线a 上，点C，D，E 在直线b 上．以点A，
B，C，D，E 中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．6 个
D．9 个
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握不在同一直线上的三点才能组成三角形是解题的关键．
三角形的三个顶点不能共线，因此从直线a 和直线b 中交叉选取三点，分①从𝑎选1个、𝑏选 2 个；②从𝑎
选2 个、𝑏选1个两种情况，计算可组成的三角形数量．
【详解】解：可以组成的三角形有:
△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐶𝐸，△𝐴𝐷𝐸，△𝐵𝐶𝐷，△𝐵𝐶𝐸，△𝐵𝐷𝐸，△𝐶𝐴𝐵，△𝐷𝐴𝐵，△𝐸𝐴𝐵，共9 个．
故选：D．
5．（25-26 七年级上·山东烟台·期中）在下列条件中：①∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶；②∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶；③∠𝐴=
1
2∠𝐵=
1
3∠𝐶；④∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶，其中能确定△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的条件有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】此题重点考查三角形内角和定理，正确地求出△𝐴𝐵𝐶的最大内角的度数是解题的关键．
通过三角形内角和为180°判断每个条件是否能推出一个角为90°，从而确定是否为直角三角形．
【详解】①∵∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴∠𝐶+ ∠𝐶= 180°，即∠𝐶= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶为直角三角形．
故①符合题意．
∵∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶= 60°．
∴△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形．
故②不符合题意．
∵∠𝐴=
1
2∠𝐵=
1
3∠𝐶，
∴∠𝐵= 2∠𝐴，∠𝐶= 3∠𝐴．
∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴∠𝐴+ 2∠𝐴+ 3∠𝐴= 180°，∴∠𝐴= 30°．
∴∠𝐵= 60°，∠𝐶= 90°．
∴△𝐴𝐵𝐶为直角三角形．
故③符合题意．
∵∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶，
∴∠𝐵=
1
2∠𝐴，∠𝐶=
1
3∠𝐴．
∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴∠𝐴+
1
2∠𝐴+
1
3∠𝐴= 180°，∴∠𝐴=
1080
11 °．
∴∠𝐵=
540
11 °，∠𝐶=
360
11 °．
∴△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形．
故④不符合题意．
综上，①和③能确定，共2 个．
故选：B
6．（25-26 七年级下·四川成都·期中）已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，∠𝐵𝐴𝐷= 60°，∠𝐶𝐴𝐷= 10°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数
为（ ）
A．70°
B．50°
C．70°或50°
D．70°或30°
【答案】C
【分析】分两种情况讨论，即高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶内部和外部，分别计算∠𝐵𝐴𝐶的度数．
【详解】解：情况一：当高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶内部时，
∵∠𝐵𝐴𝐷= 60°，∠𝐶𝐴𝐷= 10°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷= 60° + 10° = 70°．
情况二：当高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶外部时，
∵∠𝐵𝐴𝐷= 60°，∠𝐶𝐴𝐷= 10°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐷= 60°−10° = 50°．
综上，∠𝐵𝐴𝐶的度数为70°或50°.
7．（25-26 八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，𝐸是平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵上的点，连接𝐷𝐸、𝐶𝐸、Q 是
𝐶𝐸的中点，连接𝐵𝑄并延长交𝐶𝐷于点𝐹，连接𝐴𝐹与𝐷𝐸相交于点𝑃，若𝑆△𝐴𝑃𝐷= 3cm2,𝑆△𝐵𝑄𝐶= 5cm2，则阴影
部分的面积为（ ）
A．15cm2
B．14cm2
C．13cm2
D．11cm2
【答案】C
【分析】根据题意得到𝑆△𝐴𝑃𝐷= 𝑆△𝑃𝐸𝐹= 3，𝑆△𝐵𝑄𝐶= 𝑆△𝑄𝐸𝐹= 5，再根据等底等高得到𝑆△𝑄𝐸𝐹= 𝑆△𝑄𝐸𝐵= 5，
即可计算阴影部分的面积．
【详解】解：平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐴𝑃𝐷= 𝑆△𝑃𝐸𝐹= 3，𝑆△𝐵𝑄𝐶= 𝑆△𝑄𝐸𝐹= 5，
∵ Q 是𝐶𝐸的中点，
∴𝐵𝑄= 𝐹𝑄，
∵ 𝑆△𝑄𝐸𝐹=
1
2 × 𝐹𝑄× ℎ，𝑆△𝑄𝐸𝐵=
1
2 × 𝐵𝑄× ℎ，
∴ 𝑆△𝑄𝐸𝐹= 𝑆△𝑄𝐸𝐵= 5，
故阴影部分的面积为𝑆△𝑃𝐸𝐹+ 𝑆△𝑄𝐸𝐹+ 𝑆△𝑄𝐸𝐵= 3 + 5 + 5 = 13．
8．（25-26 七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点𝐺在直线𝐴𝐵上，点𝐻在直线𝐶𝐷上，点𝐾在𝐴𝐵、
𝐶𝐷之间且在𝐺𝐻所在直线的左侧，若∠𝐺𝐾𝐻= 60°，点𝑃为线段𝐾𝐻上一点（不与𝐾、𝐻重合），连接𝑃𝐺并延长
到𝑀，设∠𝐾𝐻𝐶= 𝑛∠𝐾𝐺𝑃，要使得
∠𝐴𝐺𝑀
∠𝐺𝑃𝐻为定值，则𝑛值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】延长𝑀𝑃交𝐶𝐷于点𝑂，设∠𝐾𝐺𝑃= 𝑥，则∠𝐾𝐻𝐶= 𝑛𝑥，利用平行线的性质以及三角形外角性质可得
∠𝐺𝑃𝐻= 60° + 𝑥，∠𝐴𝐺𝑀= ∠𝐶𝑂𝑀= ∠𝑂𝑃𝐻+ ∠𝐾𝐻𝐶= 120° + (𝑛−1)𝑥，即可得
∠𝐴𝐺𝑀
∠𝐺𝑃𝐻=
120°+(𝑛−1)𝑥
60°+𝑥
，再根据
∠𝐴𝐺𝑀
∠𝐺𝑃𝐻为定值求出𝑛的值即可．
【详解】解：如图，延长𝑀𝑃交𝐶𝐷于点𝑂，
设∠𝐾𝐺𝑃= 𝑥，则∠𝐾𝐻𝐶= 𝑛𝑥，
∵∠𝐺𝐾𝐻= 60°，
∴∠𝐺𝑃𝐻= 60° + 𝑥，
∴∠𝑂𝑃𝐻= 180°−(60° + 𝑥) = 120°−𝑥，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐺𝑀= ∠𝐶𝑂𝑀= ∠𝑂𝑃𝐻+ ∠𝐾𝐻𝐶= 120°−𝑥+ 𝑛𝑥= 120° + (𝑛−1)𝑥，
∴
∠𝐴𝐺𝑀
∠𝐺𝑃𝐻=
120°+(𝑛−1)𝑥
60°+𝑥
，
当𝑛−1 = 2时，
∠𝐴𝐺𝑀
∠𝐺𝑃𝐻=
120°+2𝑥
60°+𝑥= 2，为定值，
∴𝑛= 3．
9．（25-26 七年级下·广东深圳·期中）如图，将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹翻折，再沿𝐸𝐷翻折使𝐵最终落在𝐵𝐶边上，
若∠𝐹𝐸𝐴" = 108°，则∠𝐴″𝐵″𝐵的度数为（ ）
A．43∘
B．42°
C．41°
D．40°
【答案】B
【分析】设∠𝐷𝐸𝐹= 𝑥°，由折叠的性质可知∠𝐵′𝐹𝐸= ∠𝐵"𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹= 𝑥°，根据平行线的性质和三角形外
角的性质可得∠𝐵′𝐹𝐸= ∠𝐵"𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹= 24°，根据平行线的性质可知∠𝐵𝐵"𝑁= 132°，根据∠𝐴"𝐵"
𝑁= 90°，可知∠𝐴"𝐵"𝐵= 42°．
【详解】解：如下图所示，
由折叠可知∠𝐵′𝐹𝐸= ∠𝐵"𝐹𝐸，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是长方形，
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐵"，
设∠𝐷𝐸𝐹= 𝑥°，
则∠𝐵′𝐹𝐸= ∠𝐵"𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹= 𝑥°，
∵∠𝐹𝐸𝐴" = 108°，
∴∠𝐷𝐸𝐴" = 108° + 𝑥°，
∵𝐴"𝐸∥𝐵"𝑁，
∴∠𝐴𝑁𝐵" = 72°−𝑥°，
由折叠可知∠𝐵′𝑁𝐸= ∠𝐴𝑁𝐵" = 72°−𝑥°，
又∵∠𝐵′𝑁𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝑁𝐹𝐸= 2𝑥°，
∴72°−𝑥° = 2𝑥°，
解得：𝑥= 24°，
∴∠𝐵′𝐹𝐸= ∠𝐵"𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹= 24°，
∵∠𝐹𝐸𝐴" = 108°，𝐴"𝐸∥𝐵"𝑁，
∴∠𝐹𝑀𝐵" = ∠𝐹𝐸𝐴" = 108°，
∴∠𝐵𝐵"𝑁= ∠𝐸𝐹𝐵" +∠𝐵"𝑀𝐹= 108° + 24° = 132°，
∵∠𝐴"𝐵"𝑁= 90°，
∴∠𝐴"𝐵"𝐵= 132°−90° = 42°．
10．（25-26 七年级下·重庆·期中）如图，直线𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐸、𝐹分别为直线𝐴𝐵、𝐶𝐷上的点，𝑃为直线𝐴𝐵上方
一点．若∠𝐵𝐸𝑃的角平分线与∠𝐷𝐹𝑃的角平分线交于点𝐻，∠𝐸𝑃𝐹的角平分线与∠𝑃𝐹𝐶的角平分线交于点𝐺，𝑃𝐺
交𝐸𝐻于点𝑀，∠𝐺𝐹𝑃= 55°, ∠𝑃𝑀𝐻−∠𝐸𝐻𝐹= 20°，则下列结论：
①∠𝐺𝐹𝐻= 90°；②∠𝑃𝐹𝐻−∠𝑃𝐸𝐻= ∠𝐸𝐻𝐹；③∠𝑃𝐺𝐹= 110°；④∠𝑃𝐸𝑀= ∠𝐸𝑃𝑀．正确的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角定理逐一进行判断即可．
【详解】解：∵∠𝐺𝐹𝑃= 55°，𝐺𝐹平分∠𝑃𝐹𝐶，
∴∠𝑃𝐹𝐺= ∠𝐺𝐹𝐶= 55°
∴∠𝑃𝐹𝐷= 180°−∠𝑃𝐹𝐶= 70°
∵𝐻𝐹平分∠𝑃𝐹𝐷，
∴∠𝑃𝐹𝐻= ∠𝐻𝐹𝐷= 35°，
∴∠𝐺𝐹𝐻= ∠𝐺𝐹𝑃+ ∠𝑃𝐹𝐻= 90°，①正确；
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐻𝐹𝐷= ∠𝐻𝑁𝐵
∴∠𝑃𝐹𝐻= ∠𝐻𝑁𝐵
∵𝐸𝐻是∠𝑃𝐸𝐵的角平分线，
∴∠𝑃𝐸𝐻= ∠𝐻𝐸𝑁
∴∠𝑃𝐸𝐻+ ∠𝐸𝐻𝑁= ∠𝐻𝑀𝐵，
∴∠𝑃𝐹𝐻−∠𝑃𝐸𝐻= ∠𝐸𝐻𝐹；②正确；
∵𝐸𝐻是∠𝑃𝐸𝐵的角平分线，𝑃𝐺平分∠𝐸𝐹𝑃，
∠𝑃𝐸𝑁+ ∠𝐸𝑃𝐹= 70°，
∴∠𝑃𝐸𝐻+ ∠𝐸𝑃𝑀= ∠𝑃𝑀𝐻= 35°，
∵ ∠𝑃𝑀𝐻−∠𝐸𝐻𝐹= 20°
∴∠𝐸𝐻𝐹= 15°，
∴∠𝐻𝐸𝐵= 35°−∠𝐸𝐻𝐹= 20°，
∴∠𝐸𝑃𝐺= ∠𝐺𝑃𝐹= 15°
∴ ∠𝑃𝐺𝐹= 180°−∠𝑃𝐹𝐺−∠𝐺𝑃𝐹= 110°，③正确；
∵∠𝑃𝐸𝑀= 20°,∠𝐸𝑃𝑀= 15°，故④错误；
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．（25-26 七年级下·重庆·期中）已知𝑎、𝑏、𝑐分别为△𝐴𝐵𝐶的三边长，化简：2 (𝑎−𝑏−𝑐)2−
3 (𝑏−𝑐−𝑎)3 =
_________．
【答案】−𝑎+ 𝑏+ 3𝑐
【分析】根据三角形三边关系判断出相关式子的正负，再利用二次根式和立方根的性质化简，去括号后合
并同类项即可得到结果．
【详解】解：∵a、b、c 分别为△𝐴𝐵𝐶的三边长，
∴ 𝑏+ 𝑐> 𝑎，𝑎+ 𝑐> 𝑏，
∴ 𝑎−𝑏−𝑐< 0，
∴ 2 (𝑎−𝑏−𝑐)2−
3 (𝑏−𝑐−𝑎)3
= 2|𝑎−𝑏−𝑐|−(𝑏−𝑐−𝑎)
= 2(−𝑎+ 𝑏+ 𝑐)−𝑏+ 𝑐+ 𝑎
= −2𝑎+ 2𝑏+ 2𝑐−𝑏+ 𝑐+ 𝑎
= −𝑎+ 𝑏+ 3𝑐．
12．（2026·河北秦皇岛·一模）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知∠1 = 30°，∠2 = 45°，则∠3 = _____．
【答案】75 度/75°
【详解】解：由题意得，∠𝐺𝐸𝐴= 180°−∠𝐺𝐸𝐵= 180°−90° = 90°，
∴∠𝐻𝐺𝐹= ∠𝐸𝐺𝐴= 90°−∠1 = 60°，
∠3 = ∠𝐹𝐻𝐺= 180°−∠2−∠𝐻𝐺𝐹= 180°−45°−60° = 75°．
13．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期中）如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少
要钉上_______根木条．
【答案】3
【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木框稳定，需利用木条将其分割成三角形，从六边形的一个
顶点出发引对角线即可确定所需木条数量.
【详解】 解：从六边形的一个顶点出发，连接该顶点与不相邻的顶点，可以引6−3 = 3条对角线，这将把
六边形分割成4个三角形，从而使整个木框具有稳定性；
故至少要钉上3根木条.
14．（25-26 七年级下·江苏南京·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D 是𝐵𝐶边的中点，E 是𝐴𝐵边上一点，将△𝐵𝐷𝐸
沿𝐷𝐸折叠至△𝐵′𝐷𝐸，点B 的对应点为𝐵′，连接𝐶𝐸,𝐶𝐵′，若𝐵𝐶= 10，则△𝐵′𝐶𝐸面积的最大值为____．
【答案】
25
2
【分析】作𝐵′𝐻⊥𝐵𝐶，设𝐶𝐸，𝐵′𝐷交于点𝐹，根据三角形的中线平分面积得到𝑆△𝐵𝐷𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸，折叠得到
𝑆△𝐵′𝐷𝐸= 𝑆△𝐵𝐷𝐸，推出𝑆阴影= 𝑆△𝐶𝐷𝐵′，再根据𝑆阴影= 𝑆△𝐶𝐷𝐵′ =
1
2𝐶𝐷⋅𝐵′𝐻，以及斜边大于直角边，得到当𝐷,𝐻
重合时，𝐵′𝐻= 𝐵𝐷最大，进行求解即可．
【详解】解：作𝐵′𝐻⊥𝐵𝐶，设𝐶𝐸，𝐵′𝐷交于点𝐹，
∵𝐷为𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷=
1
2𝐵𝐶= 5，𝑆△𝐵𝐷𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸，
∵折叠，
∴𝐵′𝐷= 𝐵𝐷= 5，𝑆△𝐵′𝐷𝐸= 𝑆△𝐵𝐷𝐸，
∴𝑆△𝐵′𝐷𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸，
∴𝑆△𝐵′𝐷𝐸−𝑆△𝐷𝐸𝐹= 𝑆△𝐶𝐷𝐸−𝑆△𝐷𝐸𝐹，即𝑆△𝐵′𝐸𝐹= 𝑆△𝐶𝐷𝐹，
∴𝑆△𝐵′𝐸𝐹+ 𝑆△𝐵′𝐶𝐹= 𝑆△𝐶𝐷𝐹+ 𝑆△𝐵′𝐶𝐹，即𝑆阴影= 𝑆△𝐶𝐷𝐵′，
∵𝐵′𝐻⊥𝐵𝐶，
∴𝑆阴影= 𝑆△𝐶𝐷𝐵′ =
1
2𝐶𝐷⋅𝐵′𝐻，
∴当𝐵′𝐻最大时，𝑆阴影最大，
∵𝐵′𝐻≤𝐵′𝐷，
∴当𝐷,𝐻重合时，𝐵′𝐻= 𝐵𝐷最大，
此时𝑆阴影最大=
1
2𝐶𝐷⋅𝐵′𝐷=
1
2 × 5 × 5 =
25
2 ．
15．（25-26 七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段𝐴𝐷、𝐵𝐶相交于点𝑂，连接𝐴𝐵、𝐶𝐷，𝐴𝐸、𝐶𝐸分别是∠𝐵𝐴𝐷
和∠𝐵𝐶𝐷的三等分线，∠𝐵𝐴𝐷= 3∠𝐵𝐴𝐸、∠𝐵𝐶𝐷= 3∠𝐵𝐶𝐸．若∠𝐵= 47°，∠𝐷= 20°，则∠𝐸= ________．
【答案】38°
【分析】设𝐴𝐸、𝐵𝐶交于点𝐹，根据题意可得∠𝐵𝐴𝐸=
1
3∠𝐵𝐴𝐷=
1
3(180°−∠𝐴𝑂𝐵−∠𝐵) =
1
3(133°−∠𝐴𝑂𝐵)，
∠𝐵𝐶𝐸=
1
3∠𝐵𝐶𝐷=
1
3(180°−∠𝐶𝑂𝐷−∠𝐷) =
1
3(160°−∠𝐶𝑂𝐷)，再根据∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐶𝐹𝐸，得到
∠𝐸= 180°−∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐵−∠𝐵𝐶𝐸，即可求解．
【详解】解：如图，设𝐴𝐸、𝐵𝐶交于点𝐹，
∵ ∠𝐵𝐴𝐷= 3∠𝐵𝐴𝐸、∠𝐵𝐶𝐷= 3∠𝐵𝐶𝐸，∠𝐵𝐴𝐷= 180°−∠𝐴𝑂𝐵−∠𝐵，∠𝐵𝐶𝐷= 180°−∠𝐶𝑂𝐷−∠𝐷，
∠𝐵= 47°，∠𝐷= 20°，
∴ ∠𝐵𝐴𝐸=
1
3∠𝐵𝐴𝐷=
1
3(180°−∠𝐴𝑂𝐵−∠𝐵) =
1
3(133°−∠𝐴𝑂𝐵)，∠𝐵𝐶𝐸=
1
3∠𝐵𝐶𝐷=
1
3(180°−∠𝐶𝑂𝐷−∠𝐷) =
1
3
(160°−∠𝐶𝑂𝐷)，
∵ ∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐶𝐹𝐸，
∴ ∠𝐸= 180°−∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐶𝐹𝐸
= 180°−∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐴𝐹𝐵
= 180°−∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐴𝐹𝐵
= 180°−∠𝐵𝐶𝐸−(180°−∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐵)
= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐵−∠𝐵𝐶𝐸
= 1
3 (133°−∠𝐴𝑂𝐵) + ∠𝐵−1
3 (160°−∠𝐶𝑂𝐷)
= 133°
3
−160°
3
+ ∠𝐵−1
3 ∠𝐴𝑂𝐵+ 1
3 ∠𝐶𝑂𝐷
= 133°
3
−160°
3
+ 47°
= 38°，
故答案为：38°．
16．（25-26 七年级下·河北石家庄·期中）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°，∠𝐴𝐶𝐵= 34°，𝐷为𝐵𝐶边延长线上一点，
𝐵𝑀平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐸为射线𝐵𝑀上一点，若直线𝐶𝐸垂直于△𝐴𝐵𝐶的一边，写出∠𝐵𝐸𝐶的度数________．
【答案】13°或47°或133°
【分析】分三种情况讨论：①当𝐶𝐸⊥𝐵𝐶时，②当𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐹时，③当𝐶𝐸⊥𝐴𝐶时，根据垂直的定义和三
角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：①如图1，当𝐶𝐸⊥𝐵𝐶时，
∵∠𝐴= 60°，∠𝐴𝐶𝐵= 34°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 86°，
∵𝐵𝑀平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐵𝐸=
1
2∠𝐴𝐵𝐶= 43°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 90°−43° = 47°；
②如图2，当𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐹时，
∵∠𝐴𝐵𝐸=
1
2∠𝐴𝐵𝐶= 43°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 90° + 43° = 133°；
③如图3，当𝐶𝐸⊥𝐴𝐶时，
∵∠𝐶𝐵𝐸= 43°，∠𝐴𝐶𝐵= 34°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 180°−43°−34°−90° = 13°．
综上所述，∠𝐵𝐸𝐶的度数为13°或47°或133°．
三、解答题（本大题共7 小题，满分72 分）
17．（6 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝑃为线段𝐴𝐷上的一个动点，𝑃𝐸⊥𝐴𝐷交𝐵𝐶的延长线于点𝐸．
(1)若∠𝐵= 35°，∠𝐴𝐶𝐵= 85°，求∠𝐸的度数；
(2)当点𝑃在线段𝐴𝐷上运动时，猜想∠𝐸与∠𝐵，∠𝐴𝐶𝐵之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠𝐸= 25°
(2)∠𝐸=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵) ，见解析
【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠𝐵𝐴𝐶的度数，再根据角平分线的定义求得∠𝐷𝐴𝐶的度数，
从而根据三角形的内角和定理即可求出∠𝐴𝐷𝐶的度数，进一步求得∠𝐸的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【详解】（1）解：如图，记∠𝐴𝐷𝐸= ∠3，∠𝐷𝐴𝐶= ∠2，∠𝐵𝐴𝐷= ∠1．
∵∠𝐵= 35°，∠𝐴𝐶𝐵= 85°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 60°
又∵ 𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠1 = ∠2 =
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 30°，
∴∠3 = ∠𝐵+ ∠1 = 65°
∴𝑃𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐸= 25°
（2）∠𝐸=
1
2(∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)
理由如下：设∠𝐵= 𝑛°，∠𝐴𝐶𝐵= 𝑚°，
∵ 𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠1 = ∠2 =
1
2∠𝐵𝐴𝐶．
∵∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180∘，
∴∠𝐶𝐴𝐵= (180−𝑛−𝑚)°
∴ ∠1 =
1
2(180−𝑛−𝑚)°
∴ ∠3 = ∠𝐵+ ∠1 = 𝑛∘+
1
2(180−𝑛−𝑚)∘= 90° +
1
2𝑛°−
1
2𝑚°．
又∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐷𝑃𝐸= 90∘，
∴∠𝐸= 90°−∠3 = 90°−(90° + 1
2 𝑛°−1
2 𝑚°)
= 1
2 (𝑚−𝑛)°
= 1
2 (∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)．
18．（8 分）（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐．
(1)若𝑎，𝑏满足(𝑎−3)2 + |𝑏−5| = 0，求整数𝑐的最小值．
(2)化简：|𝑏+ 𝑐−𝑎| + |𝑐−𝑎−𝑏|−|𝑎−𝑏+ 𝑐|．
【答案】(1)3
(2)3𝑏−𝑎−𝑐
【分析】本题主要考查三角形的三边关系：
（1）根据题意可得𝑎−3 = 0，𝑏−5 = 0，求得𝑎= 3，𝑏= 5，根据三角形三边关系，可得5−3 < 𝑐< 5 + 3；
（2）根据三角形三边关系，可得𝑏+ 𝑐> 𝑎，𝑎+ 𝑐> 𝑏，𝑎+ 𝑏> 𝑐，据此即可求得答案．
【详解】（1）解：∵(𝑎−3)2 + |𝑏−5| = 0，
∴𝑎−3 = 0，𝑏−5 = 0．
∴𝑎= 3，𝑏= 5．
根据三角形三边关系，可得5−3 < 𝑐< 5 + 3，即2 < 𝑐< 8．
∵𝑐为整数，
∴𝑐的最小值为3．
（2）解：根据三角形三边关系，可得𝑏+ 𝑐> 𝑎，𝑎+ 𝑐> 𝑏，𝑎+ 𝑏> 𝑐，
∴|𝑏+ 𝑐−𝑎| + |𝑐−𝑎−𝑏|−|𝑎−𝑏+ 𝑐|
= 𝑏+ 𝑐−𝑎−(𝑐−𝑎−𝑏)−(𝑎+ 𝑐−𝑏)
= 𝑏+ 𝑐−𝑎−𝑐+ 𝑎+ 𝑏−𝑎−𝑐+ 𝑏
= 3𝑏−𝑎−𝑐．
19．（10 分）（24-25 七年级下·山东烟台·期中）如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐸= 120°．
(1)如图1，求∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐷的度数；
(2)如图2，∠𝐷𝐸𝐹= 2∠𝐵𝐸𝐹，∠𝐶𝐷𝐹=
1
3∠𝐶𝐷𝐸，𝐸𝐹与𝐷𝐹交于点F，求∠𝐸𝐹𝐷的度数．
【答案】(1)120°
(2)100°
【分析】（1）如图①，延长𝐴𝐵交𝐷𝐸于点𝐹，根据平行线的性质结合三角形的外角定理即可求解；
（2）设∠𝐵𝐸𝐹= 𝛼，∠𝐶𝐷𝐹= 𝛽，可得∠𝐷𝐸𝐹= 2𝛼，∠𝐷𝐸𝐵= 3𝛼，∠𝐶𝐷𝐸= 3𝛽，∠𝐸𝐷𝐹= 2𝛽，结合（1）可
知∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐸= 120°，进而根据三角形内角和求解即可．
【详解】（1）证明：如图①，延长𝐴𝐵交𝐷𝐸于点𝐹，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐷，
∵∠𝐴𝐵𝐸= 120°，
∴∠𝐵𝐹𝐸+ ∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐴𝐵𝐸= 120°，
∴∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐷= 120°；
（2）解：如图②，
∵∠𝐷𝐸𝐹= 2∠𝐵𝐸𝐹，∠𝐶𝐷𝐹=
1
3∠𝐶𝐷𝐸，
即∠𝐶𝐷𝐸= 3∠𝐶𝐷𝐹，
设∠𝐵𝐸𝐹= 𝛼，∠𝐶𝐷𝐹= 𝛽，
∴∠𝐷𝐸𝐹= 2𝛼，∠𝐷𝐸𝐵= 3𝛼，∠𝐶𝐷𝐸= 3𝛽，∠𝐸𝐷𝐹= 2𝛽，
由（1）知：∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐸= 120°，
∴3𝛼+ 3𝛽= 120°，
∴𝛼+ 𝛽= 40°，
∴2𝛼+ 2𝛽= 80°，
∴∠𝐸𝐹𝐷= 180°−∠𝐷𝐸𝐹−∠𝐸𝐷𝐹= 180°−(2𝛼+ 2𝛽) = 180°−80° = 100°．
20．（10 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶上的中线，点𝐸是𝐴𝐷的中点，连接𝐶𝐸，𝐸𝐹⊥𝐵𝐶．
(1)若∠𝐷𝐸𝐹= 20°，∠𝐵𝐴𝐷= 37°，求∠𝐵的度数；
(2)若△𝐴𝐵𝐶的面积为24，𝐶𝐷= 4，求线段𝐸𝐹的长度．
【答案】(1)73°
(2)3
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的
关键．
（1）先求出∠𝐸𝐷𝐹的度数，在△𝐴𝐵𝐷中，根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐸𝐷𝐹= 90°，
∵∠𝐷𝐸𝐹= 20°，
∴∠𝐸𝐷𝐹= 70°，
∵∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐷𝐹= 180°，∠𝐵𝐴𝐷= 37°，
∴∠𝐵= 180°−70°−37° = 73°；
（2）解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 24 = 12，
∵点𝐸是𝐴𝐷的中点，
∴𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 × 12 = 6，
∵
1
2 ⋅𝐶𝐷⋅𝐸𝐹= 𝑆△𝐶𝐷𝐸，
∴
1
2 × 4 ⋅𝐸𝐹= 6，
∴𝐸𝐹= 3．
21．（12 分）在△ABC 中，∠BAC＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED，边AE 交
BC 于点F．
(1)如图①，当AE⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角： ；所有与∠C 相等的角： ．
(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．
① 求∠B 的度数；
②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF； (2)①20°；②30
【分析】（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得∠𝐵+ ∠𝐶= 90°，再由∠𝐶−∠𝐵= 50°根据角的和差计算即可得∠C 的度数，
进而得∠B 的度数．
②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x 的代数式表示出∠FDE、∠DFE 的度数，分三
种情况讨论求出符合题意的x 值即可．
【详解】（1）由翻折的性质可得：∠E＝∠B，
∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°，
即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°，
∴∠C＝∠FDE，
∴AC∥DE，
∴∠CAF＝∠E，
∴∠CAF＝∠E＝∠B
故与∠B 相等的角有∠CAF 和∠E；
∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴∠BAF＋∠CAF＝90°, ∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90°
∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°
∴∠BAF＝∠C
又AC∥DE，
∴∠C＝∠CDE，
∴故与∠C 相等的角有∠CDE、∠BAF；
（2）①∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°
∴∠𝐵+ ∠𝐶= 90°
又∵∠𝐶−∠𝐵= 50°，
∴∠C＝70°，∠B＝20°;
②∵∠BAD＝x°, ∠B＝20°则∠𝐴𝐷𝐵= 160°−𝑥°,∠𝐴𝐷𝐹= 20° + 𝑥°,
由翻折可知：∵∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐵= 160°−𝑥°, ∠𝐸= ∠𝐵= 20°,
∴∠𝐹𝐷𝐸= 140°−2𝑥°, ∠𝐷𝐹𝐸= 20° + 2𝑥°,
当∠FDE＝∠DFE 时，140°−2𝑥° = 20° + 2𝑥°, 解得：𝑥° = 30°；
当∠FDE＝∠E 时，140°−2𝑥° = 20°，解得：𝑥° = 60°（因为0＜x≤45，故舍去）；
当∠DFE＝∠E 时，20° + 2𝑥° = 20°，解得：𝑥°＝0（因为0＜x≤45，故舍去）；
综上所述，存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．且𝑥= 30．
【点睛】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代
换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．
22．（12 分）（25-26 八年级上·福建漳州·期末）我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4 倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个
内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，∠𝑀𝑂𝑁= 60°，点𝐴在边𝑂𝑀上，过点𝐴作𝐴𝐵⊥𝑂𝑀交𝑂𝑁于点𝐵，以𝐴为端点作射线𝐴𝐷，交线段𝑂𝐵于
点𝐶（点𝐶不与𝑂，𝐵重合）
（1）∠𝐴𝐵𝑂的度数为 ，△𝐴𝑂𝐵 “和谐三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）若∠𝐴𝐶𝐵= 84°，试说明：△𝐴𝑂𝐶是“和谐三角形”；
【应用拓展】
（3）如图2，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上，连接𝐷𝐶，作∠𝐴𝐷𝐶的平分线交𝐴𝐶于点𝐸，在𝐷𝐶上取点𝐹，使
∠𝐸𝐹𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵．若△𝐵𝐶𝐷是“和谐三角形”，请直接写出∠𝐵的度数．
【答案】（1）30°，不是；（2）见解析；（3）∠𝐵= 30°或∠𝐵= 80°
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形
的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
（1）根据𝐴𝐵⊥𝑂𝑀，得到∠𝑂𝐴𝐵= 90°，求得∠𝐴𝐵𝑂= 90°−∠𝑀𝑂𝑁= 30°，得到∠𝑂𝐴𝐵= 3∠𝐴𝐵𝑂，所以△𝐴𝑂𝐵
不是“和谐三角形”；
（2）因为∠𝐴𝐶𝐵是△𝐴𝑂𝐶的一个外角，得到∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝑂+ ∠𝑂𝐴𝐶，求出∠𝑂𝐴𝐶= 24°，∠𝐴𝐶𝑂= 96°，所以
∠𝐴𝐶𝑂= 4∠𝑂𝐴𝐶，所以得到△𝐴𝑂𝐶是“和谐三角形”；
（3）由∠𝐸𝐹𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，得到∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，可以证明𝐴𝐷∥𝐸𝐹，得到
∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸，而∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵，得到∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸，由𝐷𝐸∥𝐵𝐶，得到∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，根据△𝐵𝐶𝐷是“和谐三
角形”，即可求解．
【详解】解：（1）∵𝐴𝐵⊥𝑂𝑀，
∴∠𝑂𝐴𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝑂= 90°−∠𝑀𝑂𝑁= 30°，
∴∠𝑂𝐴𝐵= 3∠𝐴𝐵𝑂，
∴ △𝐴𝑂𝐵不是“和谐三角形”；
故答案为：30°，不是；
（2）∵∠𝐴𝐶𝐵是△𝐴𝑂𝐶的一个外角，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝑂+ ∠𝑂𝐴𝐶，
又∠𝑂= 60°，∠𝐴𝐶𝐵= 84°
∴∠𝑂𝐴𝐶= 24°，
∠𝐴𝐶𝑂= 180°−84° = 96°，
∴∠𝐴𝐶𝑂= 4∠𝑂𝐴𝐶，
∴ △𝐴𝑂𝐶是“和谐三角形”；
（3）∵∠𝐸𝐹𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，
∴∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，
∴𝐴𝐷∥𝐸𝐹，
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸，
而∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵，
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸，
∴ 𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，
∵𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷，
∵ △𝐵𝐶𝐷是“和谐三角形”，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 4∠𝐵或∠𝐵= 4∠𝐵𝐷𝐶，
∵∠𝐵𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 180°
∴∠𝐵= 30°或∠𝐵= 80°．
23．（14 分）（25-26 七年级下·广东湛江·期中）综合与探究
问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有∠1 = ∠2．潜
望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．
(1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，𝐴𝐵、𝐶𝐷是两面互相平行的镜面，光线𝐸𝐹照射到镜面𝐴𝐵上，
反射光线为𝐹𝐺；𝐹𝐺照射到镜面𝐶𝐷上，反射光线为𝐺𝐻．试判断光线𝐸𝐹和𝐺𝐻的位置关系，并说明理由．
(2)类比探究：如图3，将两块平面镜𝐴𝐵、𝐵𝐶的一个端点重合于点𝐵，一束光线𝐸𝐹照射在镜面𝐴𝐵上，经过两
次反射后得到光线𝐺𝐻．若𝐸𝐹∥𝐺𝐻，∠𝐻𝐺𝐶= 45°，求∠𝐸𝐹𝐺及∠𝐴𝐵𝐶的度数．
(3)拓展探究：如图4，光线𝐸𝐹与光线𝐺𝐻交于点𝐻，设两面镜子的夹角∠𝐴𝐵𝐶= 80°，根据光的反射定律，求
∠𝐹𝐻𝐺．
【答案】(1)𝐸𝐹∥𝐺𝐻，理由见解析
(2)∠𝐸𝐹𝐺= 90°；∠𝐴𝐵𝐶= 90°
(3)20°
【分析】（1）利用光的反射定律，结合内错角相等得到反射角相关的角的关系，再依据平行线的判定定理
判断𝐸𝐹和𝐺𝐻的位置关系；
（2）利用平角的性质求出∠𝐹𝐺𝐻的度数，根据平行线的性质求出∠𝐸𝐹𝐺的度数，再利用三角形内角和定理求
出∠𝐴𝐵𝐶的度数；
（3）根据三角形内角和定理求出∠𝐵𝐹𝐺+ ∠𝐵𝐺𝐹，再根据反射定律推出∠𝐸𝐹𝐵+ ∠𝐶𝐺𝐵的度数，结合平角定
义、三角形内角和定理计算∠𝐹𝐻𝐺的度数．
【详解】（1）解：𝐸𝐹∥𝐺𝐻，理由如下：
由题意得：∠𝐸𝐹𝐴= ∠𝐵𝐹𝐺、∠𝐹𝐺𝐶= ∠𝐷𝐺𝐻，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐹𝐺= ∠𝐹𝐺𝐶，
∴∠𝐸𝐹𝐴= ∠𝐵𝐹𝐺= ∠𝐹𝐺𝐶= ∠𝐷𝐺𝐻，
∵∠𝐸𝐹𝐵= 180°−(∠𝐸𝐹𝐴+ ∠𝐵𝐹𝐺)、∠𝐹𝐺𝐻= 180°−(∠𝐹𝐺𝐶+ ∠𝐷𝐺𝐻)，
∴∠𝐸𝐹𝐵= ∠𝐹𝐺𝐻，
∴𝐸𝐹∥𝐺𝐻；
（2）解：由题意得：∠𝐸𝐹𝐴= ∠𝐵𝐹𝐺、∠𝐹𝐺𝐵= ∠𝐻𝐺𝐶= 45°，
∴∠𝐹𝐺𝐻= 180°−∠𝐹𝐺𝐵−∠𝐻𝐺𝐶= 180°−45°−45° = 90°，
∵𝐸𝐹∥𝐺𝐻，
∴∠𝐸𝐹𝐺= 180°−∠𝐹𝐺𝐻= 180°−90° = 90°，
∴∠𝐸𝐹𝐴= ∠𝐵𝐹𝐺=
180°−90°
2
= 45°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180°−∠𝐵𝐹𝐺−∠𝐵𝐺𝐹= 180°−45°−45° = 90°；
（3）解：由题意得：∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐵𝐹𝐺、∠𝐶𝐺𝐻= ∠𝐵𝐺𝐹，
∵∠𝐵𝐹𝐺+ ∠𝐵𝐺𝐹= 180°−∠𝐴𝐵𝐶= 100°，
∴∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐶𝐺𝐻= 100°，
∴∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐵𝐹𝐺+ ∠𝐶𝐺𝐻+ ∠𝐵𝐺𝐹= 200°，
∴∠𝐹𝐻𝐺= 180°−∠𝐻𝐹𝐺−∠𝐻𝐺𝐹
= 180°−(180°−∠𝐴𝐹𝐸−∠𝐵𝐹𝐺)−(180°−∠𝐵𝐺𝐹−∠𝐶𝐺𝐻)
= 180°−180° + ∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐵𝐹𝐺−180° + ∠𝐵𝐺𝐹+ ∠𝐶𝐺𝐻
= 200°−180°
= 20°．
