专题01 全等三角形的九大常见模型（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【模型1 平移模型】................................................................................................................................................1
【模型2 翻折(轴对称)模型】..................................................................................................................................5
【模型3 手拉手模型】............................................................................................................................................8
【模型4 半角模型】..............................................................................................................................................12
【模型5 一线三等角模型】..................................................................................................................................18
【模型6 雨伞模型】..............................................................................................................................................24
【模型7 角平分线模型】......................................................................................................................................32
【模型8 平行线中点模型】..................................................................................................................................39
【模型9 婆罗摩笈多模型】..................................................................................................................................52
模型一：平移模型
【模型1 平移模型】
【例1】（24-25 八年级上·重庆江津·期中）如图，将△𝐴𝐵𝐶沿射线𝐵𝐶方向平移得到△𝐷𝐶𝐸，连接𝐵𝐷交𝐴𝐶
于点𝐹．求证：△𝐴𝐹𝐵≌△𝐶𝐹𝐷．
【答案】见解析
【分析】本题考查平移变换、全等三角形的判定．根据∠𝐴= ∠𝐹𝐶𝐷，∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐶𝐹𝐷，利用AAS即可证明．
【详解】证明：由平移的性质得𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
平移模型
沿同一直线平移的两个三角
形重合
①加(减)共线部分，得到一组对
应边相等；
②利用平行线性质找对应角相
等
题型归纳
∴∠𝐴= ∠𝐹𝐶𝐷，
在△𝐴𝐹𝐵和△𝐶𝐹𝐷中，
∠𝐴= ∠𝐹𝐶𝐷
∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐶𝐹𝐷
𝐴𝐵= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐹𝐵≌△𝐶𝐹𝐷(AAS)．
【变式1-1】将Rt △𝐴𝐵𝐶沿直线𝐴𝐵向右平移2个单位得到Rt △𝐴′𝐵′𝐶′，若𝐴𝐵= 4，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，且𝑆△𝐴𝐵𝐶
= 6，求𝑆四边形𝐵𝐵′𝐶′𝐻．
【答案】4.5
【分析】首先根据平移的性质求得𝐴′𝐵的值，证明△𝐶𝐶′𝐻≌△𝐵𝐴′𝐻可求得𝐵𝐻的值，然后利用梯形面积即
可求解．
【详解】解：∵若𝐴𝐵= 4，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，且𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6，
∴𝐵𝐶= 3，
∵将Rt △𝐴𝐵𝐶沿直线𝐴𝐵向右平移2个单位得到Rt △𝐴′𝐵′𝐶′，
∴𝐴𝐴′ = 𝐴′𝐵= 2，𝐶𝐶′ = 𝐵𝐵′ = 2，𝐶𝐶′∥𝐴′𝐵
∴𝐶𝐶′ = 𝐴′𝐵，∠𝐶𝐶′𝐻= ∠𝐻𝐴′𝐵
又∵∠𝐶𝐻𝐶′ = ∠𝐴′𝐻𝐵，
∴△𝐶𝐶′𝐻≌△𝐵𝐴′𝐻
∴𝐻𝐵= 𝐶𝐻=
1
2𝐶𝐵= 1.5
∴𝑆四边形𝐵𝐵′𝐶′𝐻 =
1
2(𝐵𝐻+ 𝐶𝐵′) × 𝐵𝐵′ =
1
2 × (1.5 + 3) × 2 = 4.5
【点睛】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【变式1-2】如图，已知在Rt△ABC 中，∠𝐴= 90°，将Rt△ABC 沿AC 所在直线平移得到Rt△FDE，使平移
的距离𝐴𝐹= 𝐴𝐵，连接BF，过点C 作𝐶𝐺⊥𝐵𝐹于点G，连接DG，EG．
求证：△𝐷𝐹𝐺≌△𝐸𝐶𝐺．
【答案】见解析
【分析】根据题意可得𝐴𝐵= 𝐹𝐷，𝐸𝐹= 𝐴𝐶，结合𝐴𝐵= 𝐴𝐹，推出𝐷𝐹= 𝐴𝐹，再根据
𝐴𝐹= 𝐹𝐶+ 𝐴𝐶= 𝐹𝐶+ 𝐸𝐹= 𝐸𝐶，推出𝐷𝐹= 𝐸𝐶，由∠𝐵𝐴𝐹= 90°，𝐴𝐹= 𝐴𝐵，∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐴= 90°，𝐺𝐶⊥𝐵𝐹，
可推出𝐹𝐺= 𝐺𝐶，∠𝐷𝐹𝐺= ∠𝐺𝐶𝐹，即可证明△𝐷𝐹𝐺≌△𝐸𝐶𝐺．
【详解】证明：∵Rt△ABC 平移得到Rt△FDE，
∴𝐴𝐵= 𝐹𝐷，𝐸𝐹= 𝐴𝐶．
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐹，
∴𝐷𝐹= 𝐴𝐹．
∵𝐴𝐹= 𝐹𝐶+ 𝐴𝐶= 𝐹𝐶+ 𝐸𝐹= 𝐸𝐶，
∴𝐷𝐹= 𝐸𝐶．
∵∠𝐵𝐴𝐹= 90°，𝐴𝐹= 𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐹𝐶= 45°．
∵∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐴= 90°，𝐺𝐶⊥𝐵𝐹，
∴∠𝐷𝐹𝐺= 45°，∠𝐺𝐶𝐹= ∠𝐺𝐹𝐶= 45°．
∴𝐹𝐺= 𝐺𝐶，∠𝐷𝐹𝐺= ∠𝐺𝐶𝐹．
在△DFG 和△ECG 中，
{
𝐹𝐺= 𝐶𝐺，
∠𝐷𝐹𝐺= ∠𝐸𝐶𝐺，
𝐷𝐹= 𝐸𝐶,
∴△𝐷𝐹𝐺≌△𝐸𝐶𝐺（SAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握平移的性质以及全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式1-3】（1）如图1，点A，F，E，C 在同一条直线上，𝐴𝐸= 𝐶𝐹，𝐴𝐷∥𝐶𝐵，𝐴𝐷= 𝐶𝐵，求证：△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸．
（2）若将图1 中的△𝐵𝐸𝐶沿𝐶𝐴方向平移得到图2、图3，其他条件不变，△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸还成立吗？为什
么？（选择一种情况说明理由）
【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析
【分析】（1）由𝐴𝐸= 𝐶𝐹可得𝐴𝐸−𝐹𝐸= 𝐶𝐹−𝐸𝐹，于是𝐴𝐹= 𝐶𝐸；由平行线的性质可得∠𝐴= ∠𝐶，再根据两
边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明；
（2）如图3，由𝐴𝐸= 𝐶𝐹可得𝐴𝐸−𝐴𝐶= 𝐶𝐹−𝐴𝐶，于是𝐶𝐸= 𝐴𝐹；由两直线平行内错角相等可得
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐴𝐷，于是可得两角的补角∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐷𝐴𝐹，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
即可证明；
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐸−𝐹𝐸= 𝐶𝐹−𝐸𝐹，
∴𝐴𝐹= 𝐶𝐸，
∵𝐴𝐷∥𝐶𝐵，
∴∠𝐴= ∠𝐶，
在△𝐴𝐷𝐹和△𝐶𝐵𝐸中，
𝐴𝐹= 𝐶𝐸
∠𝐴= ∠𝐶
𝐴𝐷= 𝐶𝐵
∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸(SAS)；
（2）解：△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸仍成立．
理由如下（如题图3）：
∵𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐸−𝐴𝐶= 𝐶𝐹−𝐴𝐶，即𝐶𝐸= 𝐴𝐹，
∵𝐴𝐷∥𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐴𝐷，
∴180°−∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐷𝐴𝐹，
在△𝐴𝐷𝐹和△𝐶𝐵𝐸中，
𝐴𝐹= 𝐶𝐸
∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐵𝐶𝐸
𝐴𝐷= 𝐶𝐵
∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸(SAS)；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，掌握全等三角形“边角边”的判定条件
是解题关键．
模型二：翻折(轴对称)模型
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
翻折(轴对称)
模型
两个三角形过公共点所在的
直线或公共边折叠，两个三
角形重合
①通过公共角、垂直、对顶角、
等腰三角形等条件得对应角相
等；
②通过公共边、中点、等边等条
件得对应边相等
【模型2 翻折(轴对称)模型】
【例2】（2024·湖北武汉·二模）如图，将△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶沿𝐵𝐶边上的高𝐴𝐷折叠到𝐴𝐸．𝐸在边𝐵𝐶上，若
∠𝐵= 56°,∠𝐵𝐴𝐸= 22°，则∠𝐶的度数为（ ）
A．78°
B．56°
C．34°
D．22°
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质和折叠的性质，由三角形外角的性质得
∠𝐴𝐸𝐷= 78°，再由折叠的性质得∠𝐶的度数．
【详解】解：∵∠𝐵= 56°,∠𝐵𝐴𝐸= 22°，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸= 78°，
由折叠的性质可得𝐴𝐶= 𝐴𝐸，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
又∵𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴△𝐸𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐷(SAS)，
∴∠𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷= 78°，
故选：A．
【变式2-1】如图所示的图形是关于𝑀𝑁所在的直线为对称轴的轴对称图形，则图中全等的三角形共有（ ）
A．1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
【答案】C
【分析】根据全等三角形的概念以及轴对称的性质解答即可．
【详解】解：由题意得，△𝐴𝑀𝑁≌△𝐵𝑀𝑁，△𝐴𝐷𝑀≌△𝐵𝐶𝑀，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐵𝐴𝐶，
所以图中全等的三角形共有3 组．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的概念、轴对称图形．轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特
殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
【变式2-2】（24-25 八年级下·河北保定·期末）如图，将△𝐴𝐵𝐶折叠，使边𝐴𝐶落在边𝐴𝐵上，展开后得到折
痕𝑙．若𝑙⊥𝐵𝐶，则△𝐴𝐵𝐶一定是（ ）
A．锐角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，根据题意可得
∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，然后证明出△𝐶𝐴𝐷≌△𝐵𝐴𝐷(ASA)，即可得到𝐴𝐵= 𝐴𝐶，进而求解
即可．
【详解】解：如图所示，
由折叠得，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷
∵𝑙⊥𝐵𝐶
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐷
∴△𝐶𝐴𝐷≌△𝐵𝐴𝐷(ASA)
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∴△𝐴𝐵𝐶一定是等腰三角形．
故选：B．
【变式2-3】如图，△ABC，点D，E 在BC 边上，点F 在AC 边上．将△ABC 沿AD 折叠，恰好与△AED 重
合，将△CEF 沿EF 折叠，恰好与△AEF 重合．下列结论
①∠B=60°；②AB=EC；③AD=AF；④DE=EF；⑤∠B=2∠C，
正确的个数有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】A
【分析】将△ABD 沿着AD 翻折，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐷，将△CEF 沿着EF 翻折，则△AEF≌△CEF，即可判断求
解
【详解】解：∵将△ABD 沿着AD 翻折，使点B 和点E 重合，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐷
∴AB=AE，∠B=∠AEB，
∵将△CEF 沿着EF 翻折，点C 恰与点A 重合，
∴△AEF≌△CEF
∴AE=CE，∠C=∠CAE，
∴AB=EC，
∴②正确；
∵∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，
∴∠B=2∠C，故⑤正确；
在△𝐴𝐷𝐸与△𝐴𝐹𝐸中，
只有：∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐹𝐸= 90°,𝐴𝐸= 𝐴𝐸,
故不能判定△𝐴𝐷𝐸与△𝐴𝐹𝐸全等，
所以：①∠B=60°；③AD=AF；④DE=EF 都不一定成立，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．
模型三：手拉手模型
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
手拉手模型
两个顶角相等的等腰三角形顶角
顶点重合，左底角顶点互连，右底
角顶点互连所组成的图形
加(减)共顶点的角的共角部
分，得到一组对应角相等
【模型3 手拉手模型】
【例3】如图，△𝐴𝐵𝐶为任意三角形，以边𝐴𝐵，𝐴𝐶为边分别向外作等边三角形𝐴𝐵𝐷和等边三角形𝐴𝐶𝐸，连
接𝐶𝐷，𝐵𝐸并且相交于点𝑃．
求证：
(1)𝐶𝐷= 𝐵𝐸；
(2)∠𝐵𝑃𝐶= 120°．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸．
（1）根据等边三角形的性质得出𝐴𝐷= 𝐴𝐵，𝐴𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐶𝐸= 60°，求出
∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸，根据SAS推出△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐸𝐵，求出∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐸𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐸= ∠𝐴𝐸𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐸，代入求出
即可．
【详解】（1）证明∵△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸均是等边三角形，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐵，𝐴𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐶𝐸= 60°，
∵∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸，
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐵，∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸，𝐴𝐸= 𝐴𝐶，
∴△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸(SAS)，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐸；
（2）∵△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐸𝐵
∵∠𝐵𝑃𝐶是△𝑃𝐶𝐸的外角
∴∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐸𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐸
∵∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐸𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐸𝐵，∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐶𝐸= 60°
∴∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝐴𝐸𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐸= 120°．
【变式3-1】（25-26 八年级上·四川资阳·期中）已知：如图，△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐸𝐶都是等腰直角三角形，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，连结𝐶𝐷，𝐵𝐸相交于点F，𝐴𝐷与𝐵𝐸相交于点M．求证：𝐵𝐸⊥𝐶𝐷．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证△𝐵𝐴𝐸≌△𝐷𝐴𝐶推出∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶，进而即可得证．
【详解】证明：∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐸，即∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶；
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
∴△𝐵𝐴𝐸≌△𝐷𝐴𝐶；
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶，
∵∠𝐵𝑀𝐴= ∠𝐷𝑀𝐹，
∴∠𝐷𝐹𝑀= ∠𝑀𝐴𝐵= 90°，
∴𝐵𝐸⊥𝐶𝐷．
【变式3-2】如图，△ABC 和△EBD 都是等边三角形，连接AE，CD．求证：AE＝CD．
【答案】见解析
【分析】证明△ABE≌△CBD 即可解决．
【详解】∵△ABC 和△EBD 都是等边三角形，
∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE 和△CBD 中，
𝐴𝐵= 𝐶𝐵
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷
𝐵𝐸= 𝐵𝐷
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握这两部分知识是关键．
【变式3-3】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点D 是直线𝐵𝐶上一点，连接𝐴𝐷，以𝐴𝐷为边向右作△𝐴𝐷𝐸，使得
𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，连接CE．
(1)①如图1，求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸；
②当点D 在𝐵𝐶边上时，请直接写出△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐶𝐸的面积（𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐴𝐶𝐷，𝑆△𝐴𝐶𝐸）所满足的
关系；
(2)当点D 在𝐵𝐶的延长线上时，试探究△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐶𝐸的面积（𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐴𝐶𝐷，𝑆△𝐴𝐶𝐸）所满足的
关系，并说明理由．
【答案】(1)①证明见解析；②𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐸，理由见解析
(2)𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷，理由见解析
【分析】（1）①先证明∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，再利用SAS证△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸即可；②利用全等三角形的性质得
到𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐸，再由𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐴𝐵𝐷即可得到结论；
（2）由已知条件可得证出，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，推出𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐸，再由𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷，即可得
到𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷．
【详解】（1）证明：①∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸．
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
。
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)．
②𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐸，理由如下：
∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐸，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐴𝐵𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐸；
（2）解：𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷，理由如下：
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠1 = ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠1，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸．
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐸，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理以及性质是解题的关键．
模型四：半角模型
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
半角模型
有公共顶点，锐角等于较大角的一
半，且组成这个较大角的两边相
等.通过作辅助线将角的倍分关
系 转化为角的相等关系，并进一
步构成全等三角形
延长一边，构造全等三角形，
从而得到线段之间的数量关
系
【模型4 半角模型】
【例4】（25-26 八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，M，N 分别在𝐶𝐷、𝐵𝐶上，连接
𝐴𝑀、𝐴𝑁、𝑀𝑁，∠𝑀𝐴𝑁= 45°．
(1)若将△𝐴𝐷𝑀绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到△𝐴𝐵𝐸；请你补全图形．
(2)直接写出线段𝐷𝑀、𝐵𝑁、𝑀𝑁之间的数量关系；
(3)根据（2）的结论，写出证明过程；
(4)如果正方形的边长是5，求△𝐶𝑀𝑁的周长．
【答案】(1)见解析
(2)𝑀𝑁= 𝐷𝑀+ 𝐵𝑁
(3)见解析
(4)10
【分析】本题考查了旋转的性质、半角模型以及正方形的性质，掌握半角模型的条件以及结论是解题关键．
（1）根据提示即可作图；
（2）根据图形可得结论；
（3）由旋转可知：△𝐴𝐷𝑀≌△𝐴𝐵𝐸，推出𝐴𝑀= 𝐴𝐸,∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐵𝐴𝐸,𝐷𝑀= 𝐵𝐸，进而得∠𝐸𝐴𝑁= ∠𝑀𝐴𝑁，
证△𝐸𝐴𝑁≌△𝑀𝐴𝑁即可；
（4）根据△𝐶𝑀𝑁的周长= 𝑀𝑁+ 𝐶𝑁+ 𝐶𝑀，𝑀𝑁= 𝐷𝑀+ 𝐵𝑁，推出△𝐶𝑀𝑁的周长= (𝐷𝑀+ 𝐶𝑀) +
(𝐵𝑁+ 𝐶𝑁) = 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 10，即可；
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：𝑀𝑁= 𝐷𝑀+ 𝐵𝑁；
（3）证明：由旋转可知：△𝐴𝐷𝑀≌△𝐴𝐵𝐸，
∴𝐴𝑀= 𝐴𝐸,∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐵𝐴𝐸,𝐷𝑀= 𝐵𝐸，
∵∠𝑀𝐴𝑁= 45°,∠𝐵𝐴𝐷= 90°，，
∴∠𝐷𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐴𝑁= 45° = ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝑁= ∠𝐸𝐴𝑁，
∴∠𝐸𝐴𝑁= ∠𝑀𝐴𝑁，
∴△𝐸𝐴𝑁≌△𝑀𝐴𝑁，
∴𝑀𝑁= 𝐸𝑁= 𝐵𝐸+ 𝐵𝑁= 𝐷𝑀+ 𝐵𝑁；
（4）解：∵△𝐶𝑀𝑁的周长= 𝑀𝑁+ 𝐶𝑁+ 𝐶𝑀，𝑀𝑁= 𝐷𝑀+ 𝐵𝑁，
∴△𝐶𝑀𝑁的周长= (𝐷𝑀+ 𝐶𝑀) + (𝐵𝑁+ 𝐶𝑁) = 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 10
【变式4-1】如图，在Rt△ABC 和Rt△BCD 中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N
分别在BD，CD 上，∠MAN＝45°，则△DMN 的周长为_____．
【答案】2 3+2
【分析】将△ACN 绕点A 顺时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝
∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根据SAS 推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN＝ME，求出MN＝CN＋BM，
解直角三角形求出DC，即可求出△DMN 的周长＝BD＋DC，代入求出答案即可．
【详解】将△ACN 绕点A 顺时针旋转，得到△ABE，如图：
由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，
∵∠BAC＝∠D＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABD+∠ABE＝180°，
∴E，B，M 三点共线，
∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAM＝∠MAN，
在△AEM 和△ANM 中，
𝐴𝐸＝𝐴𝑁
∠𝐸𝐴𝑀＝∠𝑁𝐴𝑀
𝐴𝑀＝𝐴𝑀
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴MN＝ME，
∴MN＝CN+BM，
∵在Rt△BCD 中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，
∴CD＝
1
2BC＝2，BD＝𝐵𝐶2−𝐶𝐷2＝42−22＝2 3，
∴△DMN 的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2 3+2，
故答案为：2 3+2．
【点睛】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此
题的关键．
【变式4-2】如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，D、E 是斜边𝐵𝐶上两点，且
∠𝐷𝐴𝐸= 45°，若𝐵𝐷= 3，𝐶𝐸= 4，𝑆△𝐴𝐷𝐸= 15，则△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐸𝐶的面积之和为（ ）
A．36
B．21
C．30
D．22
【答案】B
【分析】将△𝐴𝐷𝐸关于𝐴𝐸对称得到△𝐴𝐹𝐸，从而可得△𝐴𝐹𝐸的面积为15，再根据对称的性质可得
𝐴𝐹= 𝐴𝐷,∠𝐸𝐴𝐹= 45°，然后根据三角形全等的判定定理证出△𝐴𝐶𝐹≅△𝐴𝐵𝐷，从而可得
𝐶𝐹= 𝐵𝐷= 3,∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝐷= 45°,𝑆△𝐴𝐶𝐹= 𝑆△𝐴𝐵𝐷，最后根据△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐸𝐶的面积之和等于△𝐴𝐹𝐸与
△𝐶𝐸𝐹的面积之和即可得．
【详解】解：如图，将△𝐴𝐷𝐸关于AE 对称得到△𝐴𝐹𝐸，
则𝐴𝐹= 𝐴𝐷,∠𝐸𝐴𝐹= 45°，𝑆△𝐴𝐹𝐸= 𝑆△𝐴𝐷𝐸= 15，
∴∠𝐶𝐴𝐹+ ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐹= 45° + 45° = 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷，
在△𝐴𝐶𝐹和△𝐴𝐵𝐷中，
𝐴𝐶= 𝐴𝐵
∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷
𝐴𝐹= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐶𝐹≅△𝐴𝐵𝐷(𝑆𝐴𝑆)，
∴𝐶𝐹= 𝐵𝐷= 3,∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝐷= 45°,𝑆△𝐴𝐶𝐹= 𝑆△𝐴𝐵𝐷，
∴∠𝐸𝐶𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐹= 90°，即△𝐶𝐸𝐹是直角三角形，
∴𝑆△𝐶𝐸𝐹=
1
2𝐶𝐸⋅𝐶𝐹=
1
2 × 4 × 3 = 6，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐸𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐹+ 𝑆△𝐴𝐸𝐶= 𝑆△𝐴𝐹𝐸+ 𝑆△𝐶𝐸𝐹= 15 + 6 = 21，
即△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐸𝐶的面积之和为21，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三
角形和直角三角形是解题关键．
【变式4-3】如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F 分别在AD、AB 上，且∠𝐹𝐶𝐸=
1
2∠𝐵𝐶𝐷.
（1）求证：𝐵𝐹= 𝐸𝐹−𝐸𝐷；
（2）连结AC，若∠𝐵= 80°,∠𝐷𝐸𝐶= 70°，求∠𝐴𝐶𝐹的度数.
【答案】（1）见解析；（2）20°
【详解】（1）旋转△BCF 使BC 与CD 重合，
∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD 为等腰梯形，
∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，
∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，
∴A，D，F′共线，
∵∠𝐹𝐶𝐸=
1
2∠𝐵𝐶𝐷
∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=
1
2∠BCD，
∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，
∴△FCE≌△F′CE，
∴EF′=EF=DF′+ED，
∴BF=EF-ED；
（2）∵AB=BC，∠B=80°，
∴∠ACB=50°，
由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，
又∵AD//BC，
∴∠ECB=70°，
而∠B=∠BCD=80°，
∴∠DCE=10°，
∴∠BCF=30°，
∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方
法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须
有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
模型五：一线三等角模型
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
一线三等角
模型
左图，两个三角形有一条边共
线 ；
右图，同一直线上有三个相等的
角的顶点，∠1＝∠2＝∠3
利用三角形内角和为180°和
内、外角关系，通过等角代换
得到一组相等的角，利用
AAS 或ASA 证明三角形全
等
【模型5 一线三等角模型】
【例5】如图，在△ABC 中，AB＝AC＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D，若∠ADE＝∠B，CD
＝3BD，则CE 等于（ ）
A．3
B．2
C．
9
4
D．
9
2
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝
ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论．
【详解】解：∵AB＝AC＝9，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE 的中垂线交BC 于点D，
∴AD＝ED，
在△ABD 与△DCE 中，
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐶
𝐴𝐷= 𝐸𝐷
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝9，BD＝CE，
∵CD＝3BD，
∴CE＝BD＝3
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．
【变式5-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸，于点𝐸，𝐴𝐷⊥𝐶𝐸于点𝐷．△𝐵𝐸𝐶与△𝐶𝐷𝐴
全等吗？请说明理由．
【答案】全等，理由见解析
【分析】首先证明∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，即可证明△𝐶𝐷𝐴≌△𝐵𝐸𝐶，即可解题．
【详解】全等，理由如下：
∵ 𝐵𝐸⊥𝐶𝐸，𝐴𝐷⊥𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵= 90°
∴∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐴= 90°，∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐴= 90°．
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸；
在△𝐵𝐸𝐶和△𝐷𝐴𝐶中，
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶
∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐶𝐷𝐴= 90°
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
∴△𝐵𝐸𝐶≌△𝐷𝐴𝐶(AAS)．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，掌握证明全等三角形的方法是解题的关键．
【变式5-2】（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，𝐷是线段𝐴𝐶的中点，𝐶𝐹∥𝐴𝐵，过点𝐷作直线交𝐴𝐵、𝐶𝐹
于点𝐸、𝐹．
(1)证明：𝐷𝐸= 𝐷𝐹；
(2)若𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，𝐵𝐶的垂直平分线交线段𝐵𝐶、𝐸𝐷于点𝑁、𝑀，𝐵𝐶= 2𝑀𝑁，𝐴𝐵= 8，求线段𝐸𝐹的长．
【答案】(1)见解析
(2)𝐸𝐹= 8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，
正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）根据AAS证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹，进而可得𝐷𝐸= 𝐷𝐹；
（2）连接𝐵𝑀,𝐶𝑀，证明△𝐵𝑀𝑁, △𝐶𝑀𝑁都是等腰直角三角形，得出∠𝐵𝑀𝐶= 90°，证明△𝐵𝐸𝑀≌△𝑀𝐹𝐶
(AAS)，得出𝑀𝐸= 𝐶𝐹，𝑀𝐹= 𝐵𝐸．由（1）知，△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹，从而𝐴𝐸= 𝐶𝐹，可得𝐴𝐸= 𝑀𝐸，然后根
据𝐸𝐹= 𝑀𝐸+ 𝑀𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐴𝐸= 𝐴𝐵即可求解．
【详解】（1）证明：∵𝐶𝐹∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐷𝐹𝐶,∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐹．
∵𝐷是线段𝐴𝐶的中点，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(AAS)，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹；
（2）解：如图，连接𝐵𝑀,𝐶𝑀，
∵𝐵𝐶的垂直平分线交线段𝐵𝐶、𝐸𝐷于点𝑁、𝑀，
∴𝐵𝑀= 𝐶𝑀,𝐵𝑁= 𝐶𝑁=
1
2𝐵𝐶,∠𝐵𝑁𝑀= ∠𝐶𝑁𝑀= 90°．
∵𝐵𝐶= 2𝑀𝑁，
∴𝐵𝑁= 𝐶𝑁= 𝑀𝑁，
∴△𝐵𝑀𝑁, △𝐶𝑀𝑁都是等腰直角三角形，
∴∠𝐵𝑀𝑁= ∠𝐶𝑀𝑁= 45°，
∴∠𝐵𝑀𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝑀𝐸+ ∠𝐶𝑀𝐹= 90°．
∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐸𝑀= ∠𝑀𝐹𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝑀𝐸+ ∠𝐸𝐵𝑀= 90°，
∴∠𝐶𝑀𝐹= ∠𝐸𝐵𝑀，
∴△𝐵𝐸𝑀≌△𝑀𝐹𝐶(AAS)，
∴𝑀𝐸= 𝐶𝐹，𝑀𝐹= 𝐵𝐸．
由（1）知，△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹，
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐸= 𝑀𝐸，
∴𝐸𝐹= 𝑀𝐸+ 𝑀𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐴𝐸= 𝐴𝐵．
∵𝐴𝐵= 8，
∴𝐸𝐹= 8．
【变式5-3】（25-26 八年级上·云南昆明·期末）一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外
两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模
型．
(1)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐴在直线𝑀𝑁上，过点𝐵作𝐵𝐷⊥𝑀𝑁于点𝐷，过点𝐶作
𝐶𝐸⊥𝑀𝑁于点𝐸，由∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐵𝐴= 90∘，∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐴𝐸= 90∘得∠𝐷𝐵𝐴= ___________．又知道
∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，可以推理得到△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，进而得到𝐴𝐷= 𝐶𝐸，𝐴𝐸= ___________．
(2)当图1 中的直线𝑀𝑁绕点𝐴旋转到图2 的位置时，求证：𝐷𝐸= 𝐵𝐷−𝐶𝐸．
(3)当图1 中的直线𝑀𝑁绕点𝐴旋转到图3 的位置时，请直接写出𝐷𝐸，𝐵𝐷，𝐶𝐸．之间的数量关系：___________．
(4)如图4，若将（1）中的条件改为：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶， D，A，E 三点都在直线𝑀𝑁上，且满足
∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐸𝐶= 𝛼，其中𝛼为任意锐角或钝角，请问结论△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸是否成立？若成立，请
给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)∠𝐸𝐴𝐶，𝐵𝐷
(2)见解析
(3)𝐷𝐸= 𝐶𝐸−𝐵𝐷
(4)成立，理由见解析
【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形
的四种判定方法是关键，在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．
（1）由垂直得∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶= 90°，由同角的余角相等得∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐸，因此根据AAS可以证明
△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，结合全等三角形的对应边相等证得结论；
（2）根据全等三角形的判定定理AAS推知△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段
间的和差关系以及等量代换证得𝐷𝐸= 𝐵𝐷−𝐶𝐸；
（3）同理（2）可得𝐴𝐷= 𝐶𝐸，𝐴𝐸= 𝐵𝐷，进而即可得出𝐷𝐸= 𝐴𝐷−𝐴𝐸= 𝐶𝐸−𝐵𝐷；
（4）同理（1）可以证明∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，根据全等三角形的判定定理AAS推知△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸．
【详解】（1）证明：∵𝐵𝐷⊥𝑀𝑁，𝐶𝐸⊥𝑀𝑁，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐶𝐸𝐴= 90∘
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸= 90∘
∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐷= 90∘
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐴𝐸中
∵
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐸𝐴
𝐴𝐵= 𝐶𝐴
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐸𝐴(AAS)
∴ 𝐴𝐷= 𝐶𝐸，𝐴𝐸= 𝐵𝐷，
（2）证明：∵𝐵𝐷⊥𝑀𝑁，𝐶𝐸⊥𝑀𝑁，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐶𝐸𝐴= 90∘
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸= 90∘
∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐷= 90∘
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐴𝐸中
∵
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐸𝐴
𝐴𝐵= 𝐶𝐴
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐸𝐴(AAS)
∴ 𝐴𝐷= 𝐶𝐸，𝐴𝐸= 𝐵𝐷，
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐸−𝐴𝐷= 𝐵𝐷−𝐶𝐸
（3）𝐷𝐸= 𝐶𝐸−𝐵𝐷，
同理（2）可得： 𝐴𝐷= 𝐶𝐸，𝐴𝐸= 𝐵𝐷，
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐷−𝐴𝐸= 𝐶𝐸−𝐵𝐷．
（4）△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸成立，理由如下：
∵∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 180∘
∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 180∘
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐴𝐵
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐴𝐸中
∵
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐸𝐴
𝐴𝐵= 𝐶𝐴
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐸𝐴(AAS)
模型六：雨伞模型
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
雨伞模型
通过延长线段与直线相交，从而构
造一对全等三角形，并将已知条件
中的线段和角进行转移
AP 平分∠BAC，BD⊥AP，垂足
为点D，延长BD 交AC 于点
C，证明△ABD≌△ACD，得到
AB＝AC，BD＝CD
【模型6 雨伞模型】
【例6】（25-26 八年级上·江苏南通·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶
于点D，过点B 作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，交𝐴𝐷延长线于点E，F 为𝐴𝐵的中点，连接𝐶𝐹，交𝐴𝐷于点G，连接𝐵𝐺．
(1)求证：△𝐵𝐸𝐺是等腰直角三角形；
(2)线段𝐵𝐸与线段𝐴𝐷有何数量关系？并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)BE =
1
2AD，理由见解析
【分析】（1）先证明∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐶𝐵𝐴= 45°，再证明𝐶𝐹垂直平分𝐴𝐵，则𝐴𝐺= 𝐵𝐺，则
∠𝐺𝐴𝐵= ∠𝐺𝐵𝐴= 22.5°，于是∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐺𝐴𝐵+ ∠𝐺𝐵𝐴= 45°，可证明△𝐵𝐸𝐺是等腰直角三角形；
（2）延长𝐵𝐸、𝐴𝐶交于点H，先证明△𝐵𝐴𝐸≌△𝐻𝐴𝐸(ASA)，得𝐵𝐸= 𝐻𝐸=
1
2𝐵𝐻，再证明△𝐵𝐶𝐻≌△𝐴𝐶𝐷
(ASA)，得𝐵𝐻= 𝐴𝐷，则𝐵𝐸=
1
2𝐴𝐷．
【详解】（1）解：△𝐵𝐸𝐺是等腰直角三角形，理由如下：
∵△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐶𝐵𝐴= 45°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐺𝐴𝐵=
1
2∠𝐶𝐴𝐵= 22.5°，
∵F 为𝐴𝐵的中点，
∴𝐴𝐹= 𝐵𝐹，
∴𝐶𝐹⊥𝐴𝐵，
∴𝐴𝐺= 𝐵𝐺，
∴∠𝐺𝐴𝐵= ∠𝐺𝐵𝐴= 22.5°，
∴∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐺𝐴𝐵+ ∠𝐺𝐵𝐴= 45°，
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝐺= 90°，
∴∠𝐸𝐵𝐺= 90°−∠𝐸𝐺𝐵= 45°，
∴𝐸𝐺= 𝐸𝐵，
∴△𝐵𝐸𝐺是等腰直角三角形．
（2）解：如图，𝐵𝐸=
1
2𝐴𝐷，理由如下：
延长𝐵𝐸、𝐴𝐶交于点H，
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐸𝐻= 90°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐻𝐴𝐸，
在△𝐵𝐴𝐸和△𝐻𝐴𝐸中，
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐸𝐻
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐻𝐴𝐸
，
∴△𝐵𝐴𝐸≌△𝐻𝐴𝐸(ASA)，
∴𝐵𝐸= 𝐻𝐸=
1
2𝐵𝐻，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐻= 180°−∠𝐴𝐶𝐵= 90° = ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐵𝐻= 90°−∠𝐻= ∠𝐶𝐴𝐷，
在△𝐵𝐶𝐻和△𝐴𝐶𝐷中，
∠𝐵𝐶𝐻= ∠𝐴𝐶𝐷
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
∠𝐶𝐵𝐻= ∠𝐶𝐴𝐷
，
∴△𝐵𝐶𝐻≌△𝐴𝐶𝐷(ASA)，
∴𝐵𝐻= 𝐴𝐷，
∴𝐵𝐸=
1
2𝐴𝐷．
【点睛】本题考查等腰直角三角形和全等三角形，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的
判定与性质等，角平分线性质，三角形外角性质，全等三角形中常见辅助线的作法，是解题关键．
【变式6-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝑃⊥𝐶𝑃于点P，已知△𝐴𝐵𝐶的面积为2，则阴影部分的面积
为_____．
【答案】1
【分析】延长𝐴𝑃交𝐵𝐶于𝐷，证明△𝐴𝐶𝑃≌△𝐷𝐶𝑃，利用三角形的中线的性质即可得解．
【详解】解：延长𝐴𝑃交𝐵𝐶于𝐷，
∵𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐷𝐶𝑃，
∵𝐴𝑃⊥𝐶𝑃，
∴∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐷𝑃𝐶=90°，
在△𝐴𝐶𝑃与△𝐷𝐶𝑃中，
∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐷𝐶𝑃
𝐶𝑃=𝐶𝑃
∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐷𝑃𝐶
，
∴△𝐴𝐶𝑃≌△𝐷𝐶𝑃(ASA)，
∴𝐴𝑃=𝐷𝑃，
∴𝑆△𝐴𝐵𝑃=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐷， 𝑆△𝐴𝐶𝑃=
1
2𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∴阴影部分的面积=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2×2=1；
故答案为：1．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三
角形是解题的关键．
【变式6-2】如图，四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，连接AE，AE 平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC
＝8，则线段AB 的长为__．
【答案】10
【分析】延长AE、BC 交于点F，再根据ASA 证明△ADE≌△FEC，得CF＝AD＝8、∠DAE＝∠F，然后结合
角平分线的定义得∠BAE＝∠F，最后根据等角对等边即可解答．
【详解】解：如图，延长AE、BC 交于点F，
∵E 是DC 的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE 和△FEC 中，
∠𝐷= ∠𝐸𝐶𝐹
𝐷𝐸= 𝐶𝐸
∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐹𝐸𝐶
∴△ADE≌△FEC（ASA），
∴CF＝AD＝8，∠DAE＝∠F，
∵AD＝4BC＝8
∴BC=2
∴BF=BC+CF=2+8=10
∵AE 平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠F＝∠BAE，
∴AB＝BF，
∴BF＝AB＝10，
故填10．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造全
等三角形成为解答本题的关键．
【变式6-3】【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，𝑂𝑃平分∠𝑀𝑂𝑁，点A 为𝑂𝑀上一点，过点A 作
𝐴𝐶⊥𝑂𝑃，垂足为𝐶，延长𝐴𝐶交𝑂𝑁于点B，易证Δ𝐴𝑂𝐶≌Δ𝐵𝑂𝐶，则𝐴𝐶= 𝐵𝐶．其分析过程如下：
在Δ𝐴𝑂𝐶和Δ𝐵𝑂𝐶中，
𝑂𝑃平分∠𝑀𝑂𝑁⇒∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐶
𝑂𝐶= 𝑂𝐶，𝐴𝐶⊥𝑂𝑃⇒∠𝑂𝐶𝐴= ∠𝑂𝐶𝐵= 90°
⇒ Δ𝐴𝑂𝐶≌Δ𝐵𝑂𝐶（___________）
在括号内填写全等判定方法字母简称
⇒𝐴𝐶= 𝐵𝐶（___________）
在括号内填写理由依据
【问题探究】
如图2，Δ𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐸⊥𝐶𝐷，垂足𝐸在𝐶𝐷的延长线上．证明：
𝐶𝐷= 2𝐵𝐸；
【拓展延伸】
如图3，在Δ𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐷在线段𝐵𝐶上，向𝐵𝐶左侧作∠𝐵𝐷𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐸⊥𝐷𝐸于𝐸，
𝐷𝐸交𝐴𝐵于𝐹，试探究𝐵𝐸和𝐷𝐹之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】[问题情境]ASA ， 全等三角形对应边相等；[问题探究]见解析；[拓展延伸]𝐵𝐸=
1
2𝐷𝐹，见解析
【分析】[问题情境]利用全等三角形的性质证明即可；
[问题探究]延长𝐵𝐸交𝐶𝐴延长线于𝐹，证明Δ𝐶𝐸𝐹≌Δ𝐶𝐸𝐵（𝐴𝑆𝐴），推出𝐹𝐸= 𝐵𝐸，再证明Δ𝐴𝐶𝐷≌Δ𝐴𝐵𝐹（𝐴𝑆𝐴
），可得结论；
[拓展延伸]结论：𝐵𝐸=
1
2𝐷𝐹．过点𝐷作𝐷𝐺∥𝐴𝐶，交𝐵𝐸的延长线于点𝐺，与𝐴𝐹相交于𝐻，过点𝐷作𝐷𝐺∥𝐴𝐶，
交𝐵𝐸的延长线于点𝐺，与𝐴𝐸相交于𝐻，证明方法类似．
【详解】解：[问题情境]：在Δ𝐴𝑂𝐶和Δ𝐵𝑂𝐶中，
∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐶
𝑂𝐶= 𝑂𝐶
∠𝑂𝐶𝐴= ∠𝑂𝐶𝐵= 90°
，
∴Δ𝐴𝑂𝐶≌Δ𝐵𝑂𝐶（𝐴𝑆𝐴），
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶全等三角形的对应边相等）．
故答案为：𝐴𝑆𝐴，全等三角形对应边相等；
[问题探究]证明：延长𝐵𝐸交𝐶𝐴延长线于𝐹，
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐹𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸，
在Δ𝐶𝐸𝐹和Δ𝐶𝐸𝐵中，
∠𝐹𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸
𝐶𝐸= 𝐶𝐸
∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐶𝐸𝐵= 90°
，
∴Δ𝐶𝐸𝐹≌Δ𝐶𝐸𝐵（𝐴𝑆𝐴），
∴𝐹𝐸= 𝐵𝐸，
∵∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐶𝐸𝐹= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐹= ∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐹= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐵𝐹，
在Δ𝐴𝐶𝐷和Δ𝐴𝐵𝐹中，
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐵𝐹
𝐴𝐶= 𝐴𝐵
∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐹= 90°
，
∴Δ𝐴𝐶𝐷≌Δ𝐴𝐵𝐹（𝐴𝑆𝐴），
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐹，
∴𝐶𝐷= 2𝐵𝐸．
[拓展延伸]解：结论：𝐵𝐸=
1
2𝐷𝐹．理由如下：
过点𝐷作𝐷𝐺∥𝐴𝐶，交𝐵𝐸的延长线于点𝐺，与𝐴𝐹相交于𝐻，
∵𝐷𝐺∥𝐴𝐶，
∴∠𝐺𝐷𝐵= ∠𝐶，∠𝐵𝐻𝐷= ∠𝐴= 90°，
∵∠𝐸𝐷𝐵=
1
2∠𝐶，
∴∠𝐸𝐷𝐵= ∠𝐸𝐷𝐶=
1
2∠𝐶，
∵𝐵𝐸⊥𝐸𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐵𝐻𝐷，
∵∠𝐸𝐹𝐵= ∠𝐻𝐹𝐷，
∴∠𝐸𝐵𝐹= ∠𝐻𝐷𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶= 45°，
∵𝐷𝐺∥𝐴𝐶，
∴∠𝐺𝐷𝐵= ∠𝐶= 45°，
∴∠𝐺𝐷𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 45°，
∴𝐵𝐻= 𝐷𝐻，
在Δ𝐵𝐺𝐻和Δ𝐷𝐹𝐻中，
∠𝐻𝐵𝐺= ∠𝐻𝐷𝐹
𝐵𝐻= 𝐷𝐻
∠𝐵𝐻𝐺= ∠𝐷𝐻𝐹= 90°
，
∴Δ𝐵𝐺𝐻≌Δ𝐷𝐹𝐻（𝐴𝑆𝐴），
∴𝐵𝐺= 𝐷𝐹，
在Δ𝐵𝐷𝐸和Δ𝐺𝐷𝐸中，
∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐺𝐷𝐸
𝐷𝐸= 𝐷𝐸
∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐺𝐸𝐷= 90°
，
∴Δ𝐵𝐷𝐸≌Δ𝐺𝐷𝐸（𝐴𝑆𝐴），
∴𝐵𝐸= 𝐸𝐺，
∴𝐵𝐸=
1
2𝐵𝐺=
1
2𝐷𝐹．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【模型7 角平分线模型】
【例7】在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC，∠CED＝
35°，如图，则∠EAB 是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．
【答案】35°.
【分析】作EF⊥AD 于F，证△DCE≌△DFE（HL），再证△AFE≌△ABE（HL），可得∠FEB＝180°－70°＝110°，
∠AEB＝55°，∠EAB＝35°.
【详解】如图，过点E 作EF⊥AD 于F，
∵DE 平分∠ADC，EF⊥AD，EC⊥CD，
∴EF=EC,
又∵DE=DE, ∠𝐶= ∠𝐸𝐹𝐷,
∴△DCE≌△DFE（HL），
∴∠𝐹𝐸𝐷=∠CED＝35°,
∵CE=BE,CE=EF,
∴BE=EF,
又∵AE=AE, ∠𝐵= ∠𝐸𝐹𝐴,
∴△AFE≌△ABE（HL），
∴∠𝐹𝐸𝐴= ∠𝐵𝐸𝐴,
又∴∠𝐹𝐸𝐷=∠CED＝35°,
∴∠𝐹𝐸𝐴= ∠𝐵𝐸𝐴= 55°，
∴∠𝐸𝐴𝐵= 90°−55° = 35°．
故答案为：35°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定，熟练掌握角平分线的性质定理是解题
的关键.
【变式7-1】（25-26 八年级上·福建南平·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点D，
𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，垂足为E，𝐵𝐷= 𝐸𝐷，求证：𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐸．
【答案】见解析
【分析】本题考查角平分线性质定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．
过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点F，根据𝐷𝐵⊥𝐴𝐵证得𝐵𝐷= 𝐹𝐷，进而证得𝐸𝐷= 𝐹𝐷，根据角平分线定理证明即可．
【详解】证明：如图，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点F，
∵∠𝐵= 90°，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∴𝐵𝐷= 𝐹𝐷，
∵𝐵𝐷= 𝐸𝐷，
∴𝐸𝐷= 𝐹𝐷，
∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐸．
【变式7-2】（24-25 九年级上·重庆巴南·期末）在学习了四边形的相关知识后，奋进组进行了更深入的思考：
在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被对角线平分所得的两个小角所对的边存在一定
的数量关系？通过讨论，奋进组的解决思路是利用构造三角形全等得出结论，根据他们的想法和思路，完
成以下作图和填空
．．．．．：
（1）如图，用尺规过点C 作𝐴𝐷的垂线，交𝐴𝐷于点F．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知：在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵的延长线于点E，
𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，求证：𝐶𝐵= 𝐶𝐷．
证明：∵𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，
∴①，∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐶𝐹𝐷= 90°．
∵∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°．
又∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐵𝐶= 180°，
∴②．
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐹（③）．
∴𝐶𝐵= 𝐶𝐷．
通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则
被该对角线平分所得的两个相等小角④．
【答案】（1）作答如图；（2）①𝐶𝐸= 𝐶𝐹；②∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐹𝐷𝐶；③AAS；④所对的两条边相等．
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，四边形内角和定
理：
（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可；
（2）先由角平分线的性质得到𝐶𝐸= 𝐶𝐹，再证明∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐹𝐷𝐶，进而证明△𝐵𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐹，则可得到
𝐶𝐵= 𝐶𝐷，据此可得结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐶𝐹𝐷= 90°．
∵∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°．
又∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐵𝐶= 180°，
∴∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐹𝐷𝐶．
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐹（AAS）．
∴𝐶𝐵= 𝐶𝐷．
通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则
被该对角线平分所得的两个相等小角所对的两条边相等．
【变式7-3】（25-26 八年级上·山东潍坊·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图 1 ，∠𝐴𝑂𝐵
是一个任意角，在边𝑂𝐴， 𝑂𝐵上分别取𝑂𝑀= 𝑂𝑁，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M ， N 重合，
即𝑃𝑀= 𝑃𝑁．过角尺顶点 P 的射线𝑂𝑃便是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，已知角尺的夹角𝑀𝑃𝑁= 90°．
(1)请解释工人师傅这样做能得到角平分线的原因；
(2)小明认为，当上𝐴𝑂𝐵= 90°时，工人师傅就不需要先在边𝑂𝐴,𝑂𝐵 上分别取𝑂𝑀= 𝑂𝑁，如图 2，直接移动
角尺，使角尺的两边分别与𝑂𝐴,𝑂𝐵相交于点M ，N ，且满足𝑃𝑀= 𝑃𝑁，便可以得到𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵．你觉得
小明的观点对吗？并说明理由；
(3)如图 3 ， ∠𝐴𝑂𝐵= 90°， 𝑂𝑄平分∠𝐴𝑂𝐵．P 是射线𝑂𝑄上的一点，过点 P 作𝑃𝐸⊥𝑂𝐵于点 E ，
𝑂𝐸= 5．点 C 在射线𝑂𝐴上运动，过点 P 作𝑃𝐷⊥𝑃𝐶，与直线𝑂𝐵交于点 D．若𝑂𝐷= 2，请直接写出𝑂𝐶的
长．
【答案】(1)见解析
(2)正确，理由见解析
(3)8 或 12
【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等
三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键．
（1）根据SSS证明△𝑂𝑃𝑀≌△𝑂𝑃𝑁即可；
（2）过点𝑃作𝑃𝐷⊥𝑂𝐴于点𝐷，作𝑃𝐸⊥𝑂𝐵于点𝐸，证明△𝑃𝐷𝑀≌△𝑃𝐸𝑁(AAS)，则𝑃𝐷= 𝑃𝐸，再根据角平分
线的判定即可说理；
（3）当点D 在点O 右侧时，过点P 作𝑃𝐹⊥𝑂𝐴于点F， 证明△𝐹𝑃𝐶≌△𝐸𝑃𝐷(ASA)，则
𝐶𝐹= 𝐷𝐸= 𝑂𝐸−𝑂𝐷= 3，再证明△𝑃𝐹𝑂≌△𝑃𝐸𝑂(AAS)，则𝑂𝐹= 𝑂𝐸= 5，那么𝑂𝐶= 𝑂𝐹+ 𝐹𝐶= 8；当点D
在点O 左侧时，过点P 作𝑃𝐹⊥𝑂𝐴于点F， 同理可求𝐶𝐹= 𝐷𝐸= 𝑂𝐸+ 𝑂𝐷= 7，𝑂𝐹= 𝑂𝐸= 5，故
𝑂𝐶= 𝑂𝐹+ 𝐹𝐶= 12．
【详解】（1）解：在△𝑂𝑃𝑀和△𝑂𝑃𝑁中，
𝑂𝑀= 𝑂𝑁
𝑂𝑃= 𝑂𝑃
𝑃𝑀= 𝑃𝑁
，
∴△𝑂𝑃𝑀≌△𝑂𝑃𝑁，
∴∠𝑃𝑂𝑀= ∠𝑃𝑂𝑁，
即𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵；
（2）解：小明的观点正确，理由如下，
过点𝑃作𝑃𝐷⊥𝑂𝐴于点𝐷，作𝑃𝐸⊥𝑂𝐵于点𝐸，
∴∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝑃𝐷𝑂= ∠𝑃𝐸𝑂= 90°，
∴∠𝐷𝑃𝐸= 90°，
∵∠𝑀𝑃𝑁= 90°，
∴∠𝐷𝑃𝑀= ∠𝐸𝑃𝑁= 90°−∠𝑀𝑃𝐸，
∵𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，
∴∠𝑃𝐷𝑀= ∠𝑃𝐸𝑁= 90°，
∵𝑃𝑀= 𝑃𝑁，
∴△𝑃𝐷𝑀≌△𝑃𝐸𝑁(AAS)，
∴𝑃𝐷= 𝑃𝐸，
∵𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，
∴𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，
∴小明的观点正确；
（3）解：当点D 在点O 右侧时，过点P 作𝑃𝐹⊥𝑂𝐴于点F，如图，
∵𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，𝑂𝑄平分∠𝐴𝑂𝐵，
∴𝑃𝐹= 𝑃𝐸，∠𝑃𝐹𝐶= ∠𝑃𝐸𝐷= ∠𝑃𝐹𝑂= 90°，
同上可得，∠𝐶𝑃𝐷= ∠𝐹𝑃𝐸= 90°，
∴∠𝐹𝑃𝐶= ∠𝐸𝑃𝐷= 90°−∠𝐹𝑃𝐷，
∴△𝐹𝑃𝐶≌△𝐸𝑃𝐷(ASA)，
∴𝐶𝐹= 𝐷𝐸= 𝑂𝐸−𝑂𝐷= 3，
∵𝑂𝑄平分∠𝐴𝑂𝐵，
∴∠𝐹𝑂𝑃= ∠𝐸𝑂𝑃，
∵𝑃𝑂= 𝑃𝑂,∠𝑃𝐹𝑂= ∠𝑃𝐸𝑂= 90°，
∴△𝑃𝐹𝑂≌△𝑃𝐸𝑂(AAS)，
∴𝑂𝐹= 𝑂𝐸= 5，
∴𝑂𝐶= 𝑂𝐹+ 𝐹𝐶= 8；
当点D 在点O 左侧时，过点P 作𝑃𝐹⊥𝑂𝐴于点F，如图
∵𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，𝑂𝑄平分∠𝐴𝑂𝐵，
∴𝑃𝐹= 𝑃𝐸，∠𝑃𝐹𝐶= ∠𝑃𝐸𝐷= ∠𝑃𝐹𝑂= 90°，
同上可得，∠𝐶𝑃𝐷= ∠𝐹𝑃𝐸= 90°，
∴∠𝐹𝑃𝐶= ∠𝐸𝑃𝐷= 90°−∠𝐹𝑃𝐷，
∴△𝐹𝑃𝐶≌△𝐸𝑃𝐷(ASA)，
∴𝐶𝐹= 𝐷𝐸= 𝑂𝐸+ 𝑂𝐷= 7，
∵𝑂𝑄平分∠𝐴𝑂𝐵，
∴∠𝐹𝑂𝑃= ∠𝐸𝑂𝑃，
∵𝑃𝑂= 𝑃𝑂,∠𝑃𝐹𝑂= ∠𝑃𝐸𝑂= 90°，
∴△𝑃𝐹𝑂≌△𝑃𝐸𝑂(AAS)，
∴𝑂𝐹= 𝑂𝐸= 5，
∴𝑂𝐶= 𝑂𝐹+ 𝐹𝐶= 12，
综上：𝑂𝐶长为8 或12．
模型八：平行线中点模型
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
平行线中点
模型
平行线之间夹中点，通过延长过中
点的线段与平行线相交，从而构造
一对全等三角形，并将已知条件中
的线段和角进行转移
如图，已知AB∥CD，点E，F 分
别在直线AB、CD 上，点O 为线
段EF 的中点，延长PO 交CD 于
点Q，证明△POE≌△QOF
【模型8 平行线中点模型】
【例8】（2026·江苏扬州·一模）综合与探究
学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助
线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的
有关知识来解决问题的方法．
如图1，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，取𝐵𝐶的中点O，连接𝐴𝑂并延长，使得𝐴𝑂= 𝑂𝐷，连接𝐵𝐷、𝐶𝐷，四边形𝐴𝐵𝐷𝐶为平
行四边形．
初步探究：
(1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将Rt △𝐴𝐵𝐶保持固
定，Rt △𝐴𝐷𝐸绕点A 按逆时针方向旋转，其中∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，若∠𝐴𝐵𝐶= 30°，当点E 落在AB 边上
时，连接𝐴𝐸并延长，使得𝐶𝐸= 𝐸𝐹，连接𝐴𝐹、𝐵𝐹，判断四边形𝐴𝐶𝐵𝐹的形状，并说明理由．
深入探究：
(2)如图3，当Rt △𝐴𝐷𝐸绕点A 按逆时针方向旋转90°时，连接𝐶𝐷、𝐵𝐸，取𝐵𝐸的中点P，连接𝐴𝑃交𝐶𝐷于点
Q，试判断𝐴𝑃和𝐶𝐷的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】(1)解：矩形，理由如下：
∵Rt △𝐴𝐵𝐶≅Rt △𝐴𝐷𝐸，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 60°，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
∵ 点 𝐸 落在 𝐴𝐵 边上，
∴△𝐴𝐶𝐸 中，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，∠𝐶𝐴𝐸= 60°，
∴△𝐴𝐶𝐸 是等边三角形，
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐸𝐶= 60°，
∵𝐶𝐸= 𝐸𝐹，
∴△𝐴𝐸𝐹 是等腰三角形，
∵∠𝐴𝐸𝐹= 180°−∠𝐴𝐸𝐶= 120°，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐸𝐹𝐴= 30°，
∴∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐹𝐴𝐸= 60° + 30° = 90°，
∵𝐴𝐸= 𝐴𝐶=
1
2𝐴𝐵，
∴E 是 𝐴𝐵中点，𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
在 △𝐴𝐸𝐹 和 △𝐵𝐸𝐶 中：
𝐶𝐸= 𝐸𝐹，∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐵𝐸𝐶= 120°，
∴△𝐴𝐸𝐹≅△𝐵𝐸𝐶（SAS），
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐸𝐵𝐶= 30°，𝐴𝐹= 𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐹𝐴= ∠𝐸𝐶𝐵= 30°
∴𝐴𝐹∥𝐶𝐵，
∴ 四边形𝐴𝐶𝐵𝐹是平行四边形．
∵∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐹= 60° + 30° = 90°，
∴ 四边形𝐴𝐶𝐵𝐹是矩形．
(2)解：𝐴𝑃=
1
2𝐶𝐷，且 𝐴𝑃⊥𝐶𝐷，
理由：延长𝐴𝑃至点 𝐹，使 𝑃𝐹= 𝐴𝑃，
连接𝐵𝐹，
∵𝑃 是𝐵𝐸的中点，
∴𝐵𝑃= 𝑃𝐸，
在 △𝐴𝑃𝐸 和 △𝐹𝑃𝐵 中：
𝐴𝑃= 𝐹𝑃，
∠𝐴𝑃𝐸= ∠𝐹𝑃𝐵，
𝑃𝐸= 𝑃𝐵，
∴△𝐴𝑃𝐸≅△𝐹𝑃𝐵（SAS），
∴𝐴𝐸= 𝐹𝐵，∠𝑃𝐴𝐸= ∠𝑃𝐹𝐵，
∴𝐴𝐸∥𝐹𝐵，
∵Rt △𝐴𝐷𝐸 是绕点 𝐴 逆时针旋转 90°得到，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐵,∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，𝐴𝐷= 𝐴𝐵，
∴𝐴𝐸∥𝐶𝐵，
∴C、B、F 共线，
∵∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐴𝐵，
∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐶𝐴𝐵
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐹
在 △𝐴𝐵𝐹 和 △𝐷𝐴𝐶 中：
𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐶𝐴𝐷，
𝐵𝐹= 𝐴𝐸= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐹≅△𝐷𝐴𝐶，
∴𝐴𝐹= 𝐶𝐷，∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷，
∵𝐴𝐹= 2𝐴𝑃，
∴𝐶𝐷= 2𝐴𝑃，即 𝐴𝑃=
1
2𝐶𝐷，
∵∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝑄𝐶𝐵= ∠𝐵𝐹𝐴+ ∠𝑄𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝑄𝐶= 180°−90° + ∠𝐵𝐴𝐹−∠𝐵𝐴𝐹= 90°
∴𝐴𝑃⊥𝐶𝐷．
【分析】（1）由旋转证明△𝐴𝐶𝐸 是等边三角形，再证明∴∠𝐶𝐴𝐹= 90°，进而得到△𝐴𝐸𝐹≅△𝐵𝐸𝐶，证明
𝐴𝐹∥𝐶𝐵，则四边形𝐴𝐶𝐵𝐹是平行四边形．证明
∠𝐶𝐴𝐹= 90°，则问题可证；
（2）延长𝐴𝑃至点 𝐹，使 𝑃𝐹= 𝐴𝑃，连接𝐵𝐹，证明△𝐴𝑃𝐸≅△𝐹𝑃𝐵，从而证明𝐴𝐸∥𝐹𝐵，C、B、F 共线，
再证明△𝐴𝐵𝐹≅△𝐷𝐴𝐶，得到𝐶𝐷= 2𝐴𝑃，再由角度的互余关系证明∠𝐹𝑄𝐶= 90°，则问题可证
【变式8-1】如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点𝐷、𝐸分别是射线𝐴𝐶、射线𝐵𝐶上的动点，点𝐷从点𝐴出发沿射线𝐴𝐶
移动，点𝐸从点𝐶出发沿射线𝐵𝐶移动，点𝐷、点𝐸同时出发并且运动速度相同．连接𝐵𝐷、𝐷𝐸．
(1)如图①，当点𝐷移动到线段𝐴𝐶的中点时，求∠𝐷𝐸𝐶度数．
(2)如图②，当点𝐷在线段𝐴𝐶上移动但不是中点时，试探索𝐷𝐸与𝐵𝐷之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，当点𝐷移动到线段𝐴𝐶的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
【答案】(1)∠𝐷𝐸𝐶= 30°；
(2)𝐷𝐸= 𝐵𝐷，理由见解析；
(3)成立，理由见解析
【分析】（1）根据题意可知𝐴𝐷= 𝐶𝐸，又点𝐷为𝐴𝐶的中点，进而得到𝐶𝐷= 𝐶𝐸，再利用等角对等边得到
∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶，根据等边三角形性质得到∠𝐴𝐶𝐵= 60°，利用三角形外角的性质即可求出∠𝐷𝐸𝐶度数；
（2）过点𝐷作𝐷𝐹∥𝐵𝐶，根据等边三角形的性质和平行线的性质可知△𝐴𝐷𝐹是等边三角形，从而推出
𝐵𝐹= 𝐶𝐷，𝐷𝐹= 𝐶𝐸，利用“SAS”证明△𝐵𝐹𝐷≌△𝐷𝐶𝐸(SAS)，即可得出结论；
（3）过点𝐷作𝐷𝐹∥𝐵𝐶，同理可得△𝐴𝐹𝐷是等边三角形，进而推出𝐵𝐹= 𝐶𝐷，∠𝐹= ∠𝐷𝐶𝐸，利用“SAS”证明
△𝐵𝐹𝐷≌△𝐷𝐶𝐸(SAS)，即可证明结论成立．
【详解】（1）解：根据题意，点𝐷和点𝐸分别从点𝐴和点𝐶同时出发并且运动速度相同
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐸，
∵点𝐷为𝐴𝐶的中点，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐸，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐷𝐸𝐶= 60°，
∴∠𝐷𝐸𝐶= 30°；
（2）解：𝐷𝐸= 𝐵𝐷，理由如下：
如图②，过点𝐷作𝐷𝐹∥𝐵𝐶交𝐴𝐵于点𝐹，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸= 120°，
∵𝐷𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴△𝐴𝐷𝐹是等边三角形，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐷= 𝐷𝐹，
∴𝐴𝐵−𝐴𝐹= 𝐴𝐶−𝐴𝐷，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐷，
∵𝐴𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐷𝐹= 𝐶𝐸，
在△𝐵𝐹𝐷和△𝐷𝐶𝐸中，
𝐵𝐹= 𝐶𝐷
∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸
𝐷𝐹= 𝐶𝐸
，
∴△𝐵𝐹𝐷≌△𝐷𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐷；
（3）解：成立，理由如下：
如图③，过点𝐷作𝐷𝐹∥𝐵𝐶，交𝐴𝐵的延长线于点𝐹，
同理可得，△𝐴𝐹𝐷是等边三角形，
∴∠𝐹= 60°，𝐴𝐹= 𝐴𝐷= 𝐷𝐹，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 60°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐹−𝐴𝐵= 𝐴𝐷−𝐴𝐶，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐷，
∵∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴∠𝐹= ∠𝐷𝐶𝐸，
∵𝐴𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐹𝐷= 𝐶𝐸，
在△𝐵𝐹𝐷和△𝐷𝐶𝐸中，
𝐵𝐹= 𝐶𝐷
∠𝐹= ∠𝐷𝐶𝐸
𝐷𝐹= 𝐶𝐸
，
∴△𝐵𝐹𝐷≌△𝐷𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐷．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的
性质等知识，准确作辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式8-2】如图1，点𝐴是直线𝑀𝑁上一点，点𝐵是直线𝑃𝑄上一点，且MN//PQ．∠𝑁𝐴𝐵和∠𝐴𝐵𝑄的平分线交
于点𝐶．
（1）求证：𝐵𝐶⊥𝐴𝐶；
（2）过点𝐶作直线交𝑀𝑁于点𝐷（不与点𝐴重合），交𝑃𝑄于点E,
①若点𝐷在点𝐴的右侧，如图2，求证：𝐴𝐷+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐵；
②若点𝐷在点𝐴的左侧，则线段𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐴𝐵有何数量关系？直接写出结论，不说理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）𝐵𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐵
【分析】(1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得∠𝐵𝐴𝐶=
1
2∠𝑁𝐴𝐵,∠𝐶𝐵𝐴=
1
2∠𝐴𝐵𝑄,再
利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC⊥AC;
(2) ①延长AC 交PQ 点F，先证明AC=FC,再证明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB;
②方法与①相同．
【详解】解：（1）∵MN∥PQ
∴∠NAB+∠ABQ=180°
∵AC 平分∠NAB，BC 平分∠ABQ
∴∠𝐵𝐴𝐶=
1
2∠𝑁𝐴𝐵,∠𝐶𝐵𝐴=
1
2∠𝐴𝐵𝑄
∴∠BAC+∠ABC=
1
2 × 180°=90°
在△ABC 中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°
∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90°
∴BC⊥AC;
（2）①延长AC 交PQ 于点F
∵BC⊥AC
∴∠ACB=∠FCB=90°
∵BC 平分∠ABF
∴∠ABC=∠FBC
∴BC=BC
∴△ABC≌△FBC
∴AC=CF，AB=BF
∵MN∥BQ
∴∠DAC=∠EFC
∵∠ACD=∠FCE
∴△ACD≌△FCE
∴AD=EF
∴AB=BF=BE+EF=BE+AD
即：AB=AD+BE
②线段AD，BE，AB 数量关系是：AD+AB=BE
如图3，延长AC 交PQ 点F,
∵MN//PQ ．
∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC
∵AC 平分∠NAB
∴∠BAF=∠FAN
∴∠BAF=∠AFB
∴AB=FB
∵BC⊥AC
∴C 是AF 的中点
∴AC=FC
在△ACD 与△FCE 中
{
∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐸𝐹𝐶
𝐴𝐶= 𝐹𝐶
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐹𝐶𝐸
∴△𝐴𝐶𝐷≅△𝐹𝐶𝐸(𝐴𝑆𝐴)
∴AD=EF
∵AB=FB=BE-EF
∴AD+AB=BE
【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构
造全等三角形．
【变式8-3】【问题初探】
（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点F 是𝐴𝐶上一点，点E 是
𝐴𝐵延长线上的一点，连接𝐸𝐹，交𝐵𝐶于点D，若𝐸𝐷= 𝐷𝐹，求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段𝐷𝐶上截取𝐷𝑀，使𝐷𝑀= 𝐵𝐷，连接𝐹𝑀，
利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E 作𝐸𝑀∥𝐴𝐶交𝐶𝐵的延长线于点M，利
用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】
（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了
新的问题，请你解答，
如图4，在△𝐴𝐵𝐶中，点E 在线段𝐴𝐵上，D 是𝐵𝐶的中点，连接𝐶𝐸，𝐴𝐷，𝐶𝐸与𝐴𝐷相交于点N，若
∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐴𝑁𝐶= 180°，求证：𝐴𝐵= 𝐶𝑁；
【学以致用】
（3）如图5，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，∠𝐶= 30°，𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐶，点E 在线段𝐵𝐴的延长线上运动，
过点E 作𝐸𝐷∥𝐴𝐹，交𝐴𝐶于点N，交𝐵𝐶于点D，且𝐵𝐷= 𝐶𝐷，请直接写出线段𝐴𝐸，𝐶𝑁和𝐵𝐶之间的数量关系．
【答案】
（1）证明：∵𝐸𝐷= 𝐷𝐹，𝐷𝑀= 𝐵𝐷，∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝑀𝐷𝐹，
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝑀𝐷𝐹(SAS)，
∴𝐹𝑀= 𝐵𝐸，∠𝐸= ∠𝐷𝐹𝑀，
∴𝐹𝑀∥𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐹𝑀𝐶，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶，
∴∠𝐹𝑀𝐶= ∠𝐶，
∴𝐹𝑀= 𝐹𝐶，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹；
②∵𝐸𝑀∥𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝑀𝐵= ∠𝐶，
∵𝐷𝐸= 𝐷𝐹，∠𝑀𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹，
∴△𝑀𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(AAS)，
∴𝐶𝐹= 𝐸𝑀，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶，
∵∠𝑀𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝑀𝐵= ∠𝑀𝐵𝐸，
∴𝐵𝐸= 𝑀𝐸，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹；
（2）延长𝐴𝐷，取𝐷𝑀= 𝐴𝐷，连接𝐶𝑀，如图所示：
∵D 是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝑀，
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐷𝑀(SAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝑀，∠𝑀= ∠𝐵𝐴𝐷，
∵∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐴𝑁𝐶= 180°，∠𝐴𝑁𝐶+ ∠𝐶𝑁𝑀= 180°，
∴∠𝐶𝑁𝑀= ∠𝐸𝐴𝐷，
∴∠𝐶𝑁𝑀= ∠𝑀，
∴𝐶𝑀= 𝐶𝑁，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝑁；
（3）𝐶𝑁−𝐴𝐸=
1
2𝐵𝐶
【分析】（1）①证明△𝐵𝐷𝐸≌△𝑀𝐷𝐹(SAS)，得出𝐹𝑀= 𝐵𝐸，∠𝐸= ∠𝐷𝐹𝑀，证明𝐹𝑀∥𝐵𝐸，得出
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐹𝑀𝐶，证明∠𝐹𝑀𝐶= ∠𝐶，得出𝐹𝑀= 𝐹𝐶，即可证明结论；
②证明△𝑀𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(AAS)，得出𝐶𝐹= 𝐸𝑀，根据等腰三角形的判定证明𝐵𝐸= 𝑀𝐸，即可证明结论；
（2）延长𝐴𝐷，取𝐷𝑀= 𝐴𝐷，连接𝐶𝑀，证明△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐷𝑀(SAS)，得出𝐴𝐵= 𝐶𝑀，∠𝑀= ∠𝐵𝐴𝐷，根据等
腰三角形判定得出𝐶𝑀= 𝐶𝑁，即可证明结论；
（3）延长𝐸𝐷，使𝐷𝑀= 𝐸𝐷，连接𝐶𝑀，证明△𝐶𝐷𝑀≌△𝐵𝐷𝐸(SAS)，得出𝐶𝑀= 𝐵𝐸，∠𝑀= ∠𝐵𝐸𝐷，证明
∠𝐶𝑁𝑀= ∠𝑀，得出𝐶𝑁= 𝐶𝑀，根据直角三角形性质得出𝐴𝐵=
1
2𝐵𝐶，根据𝐵𝐸−𝐴𝐸= 𝐴𝐵=
1
2𝐵𝐶，即可证明结
论．
【详解】（1）①略
②略
（2）略
（3）延长𝐸𝐷，使𝐷𝑀= 𝐸𝐷，连接𝐶𝑀，如图所示：
∵𝐵𝐷= 𝐶𝐷，∠𝐶𝐷𝑀= ∠𝐵𝐷𝐸，
∴△𝐶𝐷𝑀≌△𝐵𝐷𝐸(SAS)，
∴𝐶𝑀= 𝐵𝐸，∠𝑀= ∠𝐵𝐸𝐷，
∴𝐶𝑀∥𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝑀= 180°−∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∵𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 45°，
∵𝐸𝐷∥𝐴𝐹，
∴∠𝐶𝑁𝑀= ∠𝐶𝐴𝐹= 45°，
∴∠𝑀= 180°−∠𝐶𝑁𝑀−∠𝐴𝐶𝑀= 45°，
∴∠𝐶𝑁𝑀= ∠𝑀，
∴𝐶𝑁= 𝐶𝑀，
∴𝐶𝑁= 𝐵𝐸，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 30°，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴𝐴𝐵=
1
2𝐵𝐶，
∵𝐵𝐸−𝐴𝐸= 𝐴𝐵=
1
2𝐵𝐶，
∴𝐶𝑁−𝐴𝐸=
1
2𝐵𝐶．
【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平
行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
模型九：婆罗摩笈多模型
全等模型
模型解读
常见模型
解题思路
向外作双等腰
直角三角形（知
中点，证垂直）
条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝
AD，AC＝AE，F 是BC 的中点
方法：倍长中线AF
结论：AF⊥DE，DE＝2AF
向外作双等腰
直角三角形（知
垂直，证中点）
条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝
AD，AC＝AE，AF⊥BC
方法：作DM⊥AF，EN⊥AF
结论：G 是DE 的中点，BC＝
2AG
向内作双等腰
直角三角形（知
中点，证垂）
条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝
AD，AC＝AE，F 是BC 的中点
方法：倍长中线AF
结论：AF⊥DE，DE＝2AF
向内作双等腰
直角三角形（知
垂直，证中点）
条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝
AD，AC＝AE，AF⊥BC
方法：作DM⊥AF，EN⊥AF
结论：G 是DE 的中点，BC＝
2AG
【模型9 婆罗摩笈多模型】
【例9】婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598 年生，约660 年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗
摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界
数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC 中，分别以
AB，AC 为边作Rt△ABE 和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：
①图1 中S△ABC＝S△ADE；
②如图2 中，若AM 是边BC 上的中线，则ED＝2AM；
③如图3 中，若AM⊥BC，则MA 的延长线平分ED 于点N．
（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；
（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4 所示的位置：△ABC 与△ADE 均为等腰直
角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F 为BD 的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．
【答案】（1）①证明见详解；②证明见详解；③证明见详解；（2）证明见详解．
【分析】（1）①取DE 中点F，过E 作EG∥AD，交射线AF 于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出
S△EAD=S△GEA，再证△GEA≌△CAB（SAS）即可；
②取DE 中点F，过E 作EG∥AD，交射线AF 于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出∠BAC =∠GEA，再
证△GEA≌△CAB（SAS），得出∠EAG=∠ABC，AC=AG，由AM 是边BC 上的中线，得出BM=CM=𝐴𝐹，三证
△EAF≌△ABM（SAS）即可；
③过E 作EP⊥MN 交MN 延长线于O，过D 作DO⊥MN 于O，先证∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD，证明
△EAP≌△ABM（AAS），再证△CAM≌△ADO（AAS），三证△EPN≌△DON（AAS）即可．
（2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE 绕点A 逆时针旋转90°，得△ARD，由点F 为BD 中点，可
得DF=BF，先证△DQF≌△BAF（SAS），DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA，可证DQ∥BA，根据△ACE 绕点A 逆
时针旋转90°得△ARD，可得AR=AC=AB=QD，RD=CE，证明R、A、B 三点共线，再证△DQA≌△ARD
（SAS），即可．
【详解】（1）①图1 中S△ABC＝S△ADE；
证明：取DE 中点F，过E 作EG∥AD，交射线AF 于G，
∵点F 为DE 中点，
∴EF=DF，
∵EG∥AD，
∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°，
在△GEF 和△ADF 中，
∠𝐺𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐷
∠𝐺𝐸𝐹= ∠𝐴𝐷𝐹
𝐸𝐹= 𝐷𝐹
，
∴△GEF≌△ADF（AAS），
∴GE=AD，∠G=∠DAF，
∴S△GEF=S△ADF，
∴S△EAD=S△GEA，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180°
∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180°
∴∠BAC =∠GEA，
∴GE=AD=AC，
在△GEA 和△CAB 中，
𝐺𝐸= 𝐶𝐴
∠𝐺𝐸𝐴= ∠𝐶𝐴𝐵
𝐸𝐴= 𝐴𝐵
，
∴△GEA≌△CAB（SAS），
∴S△ABC＝S△GEA=S△ADE；
②如图2 中，若AM 是边BC 上的中线，则ED＝2AM；
证明：取DE 中点F，过E 作EG∥AD，交射线AF 于G，
∵点F 为DE 中点，
∴EF=DF，
∵EG∥AD，
∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°，
在△GEF 和△ADF 中，
∠𝐺𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐷
∠𝐺𝐸𝐹= ∠𝐴𝐷𝐹
𝐸𝐹= 𝐷𝐹
，
∴△GEF≌△ADF（AAS），
∴GE=AD，GF=AF=
1
2𝐴𝐺
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180°
∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180°
∴∠BAC =∠GEA，
∴GE=AD=AC，
在△GEA 和△CAB 中，
𝐺𝐸= 𝐶𝐴
∠𝐺𝐸𝐴= ∠𝐶𝐴𝐵
𝐸𝐴= 𝐴𝐵
，
∴△GEA≌△CAB（SAS），
∴∠EAG=∠ABC，AC=AG，
∵AM 是边BC 上的中线，
∴BM=CM=
1
2𝐵𝐶=
1
2𝐴𝐺= 𝐴𝐹，
在△EAF 和△ABM 中，
𝐸𝐴= 𝐴𝐵
∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐴𝐵𝑀
𝐴𝐹= 𝐵𝑀
，
∴△EAF≌△ABM（SAS），
∴EF=AM，
∵点F 为DE 中点，
∴DE=2EF=2AM，
③如图3 中，若AM⊥BC，则MA 的延长线平分ED 于点N．
证明：过E 作EP⊥MN 交MN 延长线于O，过D 作DO⊥MN 于O，
∵∠BAE=90°，∠DAC=90°，
∴∠BAM+∠EAP=90°，∠MAC+∠DAO=90°，
∵AM⊥BC，
∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MCA+∠MAC=90°
∴∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD，
∵EP⊥MN，
∴∠EPA=90°
在△EAP 和△ABM 中，
∠𝐸𝑃𝐴= ∠𝐴𝑀𝐵= 90°
∠𝐸𝐴𝑃= ∠𝐴𝐵𝑀
𝐸𝐴= 𝐴𝐵
，
∴△EAP≌△ABM（AAS），
∴EP=AM，
∵DO⊥MN，
∴∠AOD=90°，
在△CAM 和△ADO 中，
∠𝐶𝑀𝐴= ∠𝐴𝑂𝐷
∠𝑀𝐶𝐴= ∠𝑂𝐴𝐷
𝐴𝐶= 𝐷𝐴
，
∴△CAM≌△ADO（AAS）
∴AM=DO，
∴EP=DO=AM，
在△EPN 和△DON 中，
∠𝐸𝑃𝑁= ∠𝐷𝑂𝑁= 90°
∠𝐸𝑁𝑃= ∠𝐷𝑁𝑂
𝐸𝑃= 𝐷𝑂
∴△EPN≌△DON（AAS），
∴EN=DN，
∴MA 的延长线平分ED 于点N．
（2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE 绕点A 逆时针旋转90°，得△ARD
∵点F 为BD 中点，
∴DF=BF，
在△DQF 和△BAF 中，
𝑄𝐹= 𝐴𝐹
∠𝐷𝐹𝑄= ∠𝐵𝐹𝐴
𝐷𝐹= 𝐵𝐹
∴△DQF≌△BAF（SAS），
∴DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA，
∴DQ∥BA，
∵△ACE 绕点A 逆时针旋转90°得△ARD
∴△ACE≌△ARD，∠RAC=90°，
∴AR=AC=AB=QD，RD=CE，
∵∠CAB=90°，
∴∠RAB=∠RAC+∠CAB=90°+90°=180°，
∴R、A、B 三点共线，
∵DQ∥BA，
∴∠QDA=∠RAD，
在△DQA 和△ARD 中，
𝐷𝑄= 𝐴𝑅
∠𝑄𝐷𝐴= ∠𝑅𝐴𝐷
𝐷𝐴= 𝐴𝐷
∴△DQA≌△ARD（SAS），
∴AQ=DR，
∴2AF=AG=DR=CE，
∴2AF=CE．
【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，三角形面积，中线加倍，三角形中线性质，等腰直角三角形性
质，图形旋转变换性质，三点共线，掌握以上知识，尤其是利用辅助线作出准确图形是解题关键．
【变式9-1】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 3，分别以𝐴𝐶、𝐵𝐶为一直角边作等腰直角
△𝐴𝐶𝐸、△𝐵𝐶𝐷，连接𝐷𝐸交𝐵𝐶的延长线于F，则△𝐶𝐸𝐹的面积为___________．
【答案】
9
2
【分析】作𝐸𝐻⊥𝐶𝐹交𝐶𝐹的延长线于点H．先证Δ𝐶𝐸𝐻≌Δ𝐴𝐶𝐵，推出𝐸𝐻= 𝐵𝐶= 3，𝐶𝐻= 𝐴𝐵= 6，再证Δ𝐸𝐻𝐹
≌Δ𝐷𝐶𝐹，推出𝐶𝐹= 𝐹𝐻=
1
2𝐶𝐻=
1
2 × 6 = 3，最后利用三角形面积公式即可求出△𝐶𝐸𝐹的面积．
【详解】解：如图，作𝐸𝐻⊥𝐶𝐹交𝐶𝐹的延长线于点H．
则∠𝐸𝐻𝐶= 90°，
∴∠𝐸𝐶𝐻+ ∠𝐶𝐸𝐻= 90°，
∵△𝐴𝐶𝐸是等腰直角三角形，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 90°，𝐴𝐶= 𝐶𝐸，
∴∠𝐸𝐶𝐻+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐸𝐻= ∠𝐴𝐶𝐵．
在Δ𝐶𝐸𝐻和Δ𝐴𝐶𝐵中，
∵
∠𝐶𝐸𝐻= ∠𝐴𝐶𝐵
∠𝐸𝐻𝐶= ∠𝐶𝐵𝐴
𝐶𝐸= 𝐴𝐶
，
∴Δ𝐶𝐸𝐻≌Δ𝐴𝐶𝐵 (AAS),
∴𝐸𝐻= 𝐵𝐶= 3，𝐶𝐻= 𝐴𝐵= 6．
∵△𝐵𝐶𝐷是等腰直角三角形，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐹= 90°，𝐵𝐶= 𝐷𝐶，
∴𝐸𝐻= 𝐷𝐶．
在Δ𝐸𝐻𝐹和Δ𝐷𝐶𝐹中，
∵
∠𝐸𝐻𝐹= ∠𝐷𝐶𝐹
∠𝐸𝐹𝐻= ∠𝐷𝐹𝐶
𝐸𝐻= 𝐷𝐶
，
∴Δ𝐸𝐻𝐹≌Δ𝐷𝐶𝐹 (AAS),
∴𝐶𝐹= 𝐹𝐻=
1
2𝐶𝐻=
1
2 × 6 = 3．
∴𝑆Δ𝐶𝐸𝐹=
1
2𝐶𝐹⋅𝐸𝐻=
1
2 × 3 × 3 =
9
2．
故答案为：
9
2．
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等，解题的关键是作
辅助线构造全等三角形．
【变式9-2】已知如图，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐴𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵= 90°，𝐴𝐸∥𝐶𝐵，𝐴𝐶、𝐷𝐸交于点𝐹．
(1)求证：∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵；
(2)猜想线段𝐴𝐹、𝐵𝐶的关系．
【答案】(1)见解析
(2)𝐵𝐶= 2𝐴𝐹
【分析】（1）由题意可以作辅助线即作𝐷𝐺⊥𝐴𝐶的延长线于𝐺，然后根据平行线的性质可以推出结论；
（2）在第一问的基础上由三角形的全等可以得到关系．
【详解】（1）解：证明：如图所示：作𝐷𝐺⊥𝐴𝐶的延长线于𝐺，
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵= 90°，𝐴𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 180°−∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐵= ∠𝐵𝐴𝐸，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 90°−∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵；
（2）∵𝐴𝐺⊥𝐷𝐺，
∴∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
在△𝐴𝐷𝐺和△𝐵𝐴𝐶中，
∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵
∠𝐷𝐴𝐺= ∠𝐵
𝐴𝐷= 𝐴𝐵
，
∴△𝐴𝐷𝐺≌△𝐵𝐴𝐶(AAS)，
∴𝐷𝐺= 𝐴𝐶；𝐴𝐺= 𝐵𝐶，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
∴𝐷𝐺= 𝐴𝐸，
在△𝐴𝐸𝐹和△𝐺𝐷𝐹中，
∠𝐷𝐹𝐺= ∠𝐸𝐹𝐴
∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐷𝐺𝐶
𝐷𝐺= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐺𝐷𝐹(AAS)，
∴𝐴𝐹= 𝐺𝐹=
1
2𝐴𝐺=
1
2𝐵𝐶，
∴𝐵𝐶= 2𝐴𝐹．
【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质、平行线的性质，关键是构造全等的三角形．
【变式9-3】（25-26 八年级上·湖北武汉·阶段检测）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，∠𝐵𝐴𝐷= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，过点𝐵作𝐵𝐶⊥𝐴𝐶于点𝐶，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸．由
∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠𝐷= 90°，得∠1 = ∠𝐷．又∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，可以推理得到△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸．进而得
到𝐴𝐶= ，𝐵𝐶= ，𝐵𝐶+ 𝐷𝐸= ，我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；
(2)如图2，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，连接𝐵𝐶，𝐷𝐸，且𝐵𝐶⊥𝐴𝐹于点𝐹，𝐷𝐸与直线𝐴𝐹交
于点𝐺．求证：点𝐺是𝐷𝐸的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型．
(3)如图3，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹= 90°，𝐴𝐷= 𝐷𝐶，𝐷𝐸= 𝐷𝐹，连接𝐴𝐶，𝐸𝐹，△𝐴𝐹𝐷的面积为𝑆1，△𝐷𝐶𝐸的面积
为𝑆2，𝑆1 + 𝑆2 = 2025，求𝑆2的值．
【答案】(1)𝐷𝐸，𝐴𝐸，𝐶𝐸
(2)证明见解析
(3)1012.5
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、
证明过程及结论是解题关键．
（1）证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸(AAS)，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答；
（2）过𝐷作𝐷𝑀⊥𝐴𝐹于𝑀，过𝐸作𝐸𝑁⊥𝐴𝐹于𝑁，利用“K 字模型”的结论可得△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐴𝑀，故可推出
𝐴𝐹= 𝐷𝑀，同理可得𝐴𝐹= 𝐸𝑁，再证△𝐷𝑀𝐺≌△𝐸𝑁𝐺即可证明结论；
（3）过𝐷作𝑃𝑄⊥𝐶𝐸于𝑃，交𝐴𝐹于𝑄，过𝐴作𝐴𝑀⊥𝑃𝑄于𝑀，过𝐹作𝐹𝑁⊥𝑃𝑄于𝑁，利用“K 字模型”的结论可得
△𝐴𝐷𝑀≌△𝐷𝐶𝑃(AAS)，△𝐷𝐹𝑁≌△𝐸𝐷𝑃(AAS)，进一步可证△𝐴𝑀𝑄≌△𝐹𝑁𝑄(AAS)，再求解即可．
【详解】（1）解：∵𝐵𝐶⊥𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐸𝐴= 90° = ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠𝐷= 90°，
∴∠1 = ∠𝐷，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐴𝐸中，
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐸𝐴= 90°
∠1 = ∠𝐷
𝐴𝐵= 𝐷𝐴
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸(AAS)
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐸，𝐵𝐶= 𝐴𝐸，
∴𝐵𝐶+ 𝐷𝐸= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐶= 𝐶𝐸，
故答案为：𝐷𝐸，𝐴𝐸，𝐶𝐸；
（2）证明：如图2，过𝐷作𝐷𝑀⊥𝐴𝐹于𝑀，过𝐸作𝐸𝑁⊥𝐴𝐹于𝑁，
由“𝐾字”模型得：△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐴𝑀(AAS)，
∴𝐴𝐹= 𝐷𝑀，
同理：𝐴𝐹= 𝐸𝑁，
∴𝐸𝑁= 𝐷𝑀，
∵𝐷𝑀⊥𝐴𝐹，𝐸𝑁⊥𝐴𝐹，
∴∠𝐺𝑀𝐷= ∠𝐺𝑁𝐸= 90°，
在△𝐷𝑀𝐺与△𝐸𝑁𝐺中，
∠𝐷𝑀𝐺= ∠𝐸𝑁𝐺= 90°
∠𝐷𝐺𝑀= ∠𝐸𝐺𝑁
𝐷𝑀= 𝐸𝑁
，
∴△𝐷𝑀𝐺≌△𝐸𝑁𝐺(AAS)，
∴𝐷𝐺= 𝐸𝐺，
∴点𝐺是𝐷𝐸的中点；
（3）解：如图3，过𝐷作𝑃𝑄⊥𝐶𝐸于𝑃，交𝐴𝐹于𝑄，过𝐴作𝐴𝑀⊥𝑃𝑄于𝑀，过𝐹作𝐹𝑁⊥𝑃𝑄于𝑁，
∵ ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹= 90°，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
由“𝐾字”模型得：△𝐴𝐷𝑀≌△𝐷𝐶𝑃(AAS)，△𝐷𝐹𝑁≌△𝐸𝐷𝑃(AAS)，
∴𝑆△𝐴𝐷𝑀= 𝑆△𝐷𝐶𝑃，𝑆△𝐷𝐹𝑁= 𝑆△𝐸𝐷𝑃，𝐴𝑀= 𝐷𝑃,𝐹𝑁= 𝐷𝑃，
∴𝐴𝑀= 𝐹𝑁，
∵𝐴𝑀⊥𝑃𝑄，𝐹𝑁⊥𝑃𝑄，
∴∠𝐴𝑀𝑄= ∠𝐹𝑁𝑄= 90°，
在△𝐴𝑀𝑄与△𝐹𝑁𝑄中，
∠𝐴𝑀𝑄= ∠𝐹𝑁𝑄= 90°
∠𝐴𝑄𝑀= ∠𝐹𝑄𝑁
𝐴𝑀= 𝐹𝑁
，
∴△𝐴𝑀𝑄≌△𝐹𝑁𝑄(AAS)，
∴𝐴𝑄= 𝐹𝑄，且𝑆△𝐴𝑀𝑄= 𝑆△𝐹𝑁𝑄，
∴𝑆△𝐴𝐷𝑄+ 𝑆△𝐹𝑁𝑄+ 𝑆△𝐷𝐹𝑁
= 𝑆△𝐴𝐷𝑄+ 𝑆△𝐴𝑀𝑄+ 𝑆△𝐷𝐹𝑁
= 𝑆△𝐴𝐷𝑀+ 𝑆△𝐷𝐹𝑁
= 𝑆△𝐷𝐶𝑃+ 𝑆△𝐸𝐷𝑃，
即𝑆1 = 𝑆2，
∵𝑆1 + 𝑆2 = 2025，
∴𝑆2的值为1012.5．
