文档文本内容
专题03 判定两个三角形全等的十种常用思路（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 已知两边找第三边SSS】.........................................................................................................................1
【题型2 已知两边找夹角SAS】............................................................................................................................4
【题型3 已知一角与邻边找这边的另一个邻角ASA】.......................................................................................9
【题型4 已知一角与邻边找这个角的另一个邻边SAS】..................................................................................13
【题型5 已知一角与邻边找这边的对角AAS】.................................................................................................16
【题型6 已知一角与对边找一角AAS】.............................................................................................................19
【题型7 已知两角找夹边ASA】.........................................................................................................................22
【题型8 已知直角与邻边找对边HL】................................................................................................................25
【题型9 已知直角与对边找邻边HL】................................................................................................................29
【题型10 已知两边找直角HL】............................................................................................................................32
知识点 判定两个三角形全等的常用思路
已知两边
（1）找第三边——利用“SSS”；
（2）找夹角——利用“SAS”；
（3）找直角——利用“HL”
已知一角与
邻边
（1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”；
（2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”；
（3）找这边的对角——利用“AAS”；
（4）若是直角找对边——利用“HL”
已知一边一角
已知一角与
对边
（1）找一角——利用“AAS”；
（2）若是直角找一边——利用“HL”
已知两角
（1）找夹边——利用“ASA”；
（2）找夹边外任意一边——利用“AAS”
【题型1 已知两边找第三边SSS】
【例1】（2026·云南昆明·一模）如图，点𝐴，𝐸，𝐹，𝐷在同一直线上，𝐴𝐵= 𝐷𝐶，𝐵𝐹= 𝐶𝐸，𝐴𝐸= 𝐷𝐹．求
证：△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐶𝐸．
题型归纳
【答案】
证明：∵𝐴𝐸= 𝐷𝐹，
∴𝐴𝐸+ 𝐸𝐹= 𝐷𝐹+ 𝐸𝐹，
∴𝐴𝐹= 𝐷𝐸．
在△𝐴𝐵𝐹与△𝐷𝐶𝐸中
𝐴𝐵= 𝐷𝐶
𝐵𝐹= 𝐶𝐸
𝐴𝐹= 𝐷𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐶𝐸(SSS)．
【分析】根据𝐴𝐸= 𝐷𝐹得出𝐴𝐹= 𝐷𝐸，根据“SSS”即可证明△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐶𝐸．
【变式1-1】（25-26 八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）如图，𝐴𝐷= 𝐴𝐸,𝐵𝐸= 𝐶𝐷,𝐴𝐵= 𝐴𝐶．求证：
△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据全等三角形SSS判定定理即可证明．
【详解】证明：∵𝐵𝐸= 𝐶𝐷，
∴𝐵𝐸−𝐷𝐸= 𝐶𝐷−𝐷𝐸，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
𝐵𝐷= 𝐶𝐸
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SSS)．
【变式1-2】如图，在四边形ABCD 中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，E 为𝐶𝐷的中点，连接𝐴𝐸，𝐵𝐸，延长𝐴𝐸交𝐵𝐶的延长线于
点F．
(1) △𝐷𝐴𝐸和△𝐶𝐹𝐸全等吗？请说明理由．
(2)若𝐴𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐷，试说明：𝐵𝐸⊥𝐴𝐹
【答案】(1)解：△𝐷𝐴𝐸≌△𝐶𝐹𝐸，理由如下：
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷= ∠𝐹𝐶𝐸，
∵E 为𝐶𝐷的中点，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐸，
又∵∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐹，
∴△𝐷𝐴𝐸≌△𝐶𝐹𝐸(ASA)；
(2)由（1）可得，△𝐷𝐴𝐸≌△𝐶𝐹𝐸(ASA)，
∴𝐶𝐹= 𝐴𝐷，𝐴𝐸= 𝐸𝐹，
又∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐷，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐹= 𝐵𝐹，
又∵𝐵𝐸= 𝐵𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐵𝐸(SSS)，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐹𝐸𝐵，
又∵∠𝐴𝐸𝐵+ ∠𝐹𝐸𝐵= 180°，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐹𝐸𝐵= 90°，即𝐵𝐸⊥𝐴𝐹．
【分析】（1）根据𝐴𝐷∥𝐵𝐶可得∠𝐷= ∠𝐹𝐶𝐸，再根据E 为𝐶𝐷的中点可得𝐷𝐸= 𝐶𝐸，即可通过ASA判定两个
三角形全等；
（2）由（1）可得，𝐶𝐹= 𝐴𝐸，𝐴𝐸= 𝐸𝐹，再根据𝐴𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐷可以得到𝐴𝐵= 𝐵𝐹，利用SSS可以得到
△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐵𝐸，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关判定方法．
【变式1-3】（2026·江苏无锡·一模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸、𝐹分别是𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐴𝐶的中点．连接𝐷𝐸、
𝐸𝐹．
(1)求证：△𝐵𝐸𝐷≌△𝐸𝐶𝐹．
(2)若𝐴𝐵= 6，𝐴𝐶= 8，求四边形𝐴𝐷𝐸𝐹的周长．
【答案】(1)
证明：∵点𝐷、𝐸、𝐹分别是𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐴𝐶的中点，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸，𝐵𝐷=
1
2𝐴𝐵，𝐶𝐹=
1
2𝐴𝐶，𝐷𝐸、𝐸𝐹是△𝐴𝐵𝐶的中位线，
∴𝐷𝐸=
1
2𝐴𝐶，𝐸𝐹=
1
2𝐴𝐵，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐹，𝐸𝐹= 𝐵𝐷，
∴△𝐵𝐸𝐷≌△𝐸𝐶𝐹(SSS)．
(2)14
【分析】（1）根据线段的中点以及三角形中位线定理，得出𝐵𝐸= 𝐶𝐸，𝐷𝐸= 𝐶𝐹，𝐸𝐹= 𝐵𝐷，即可利用
“SSS”证明全等；
（2）由（1）可知，𝐷𝐸= 𝐶𝐹，𝐸𝐹= 𝐵𝐷，将四边形𝐴𝐷𝐸𝐹的周长转化为𝐴𝐵+ 𝐴𝐶，即可得解．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可知，𝐷𝐸= 𝐶𝐹，𝐸𝐹= 𝐵𝐷，
∵𝐴𝐵= 6，𝐴𝐶= 8，
∴四边形𝐴𝐷𝐸𝐹的周长= 𝐴𝐷+ 𝐸𝐹+ 𝐷𝐸+ 𝐴𝐹= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷+ 𝐶𝐹+ 𝐴𝐹= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 14．
【题型2 已知两边找夹角SAS】
【例2】（25-26 七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，E、F 是四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐵𝐷上的两点，𝐴𝐸∥
𝐶𝐹，𝐴𝐸= 𝐶𝐹，𝐵𝐸= 𝐷𝐹．求证：
(1) △𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹；
(2)𝐴𝐷= 𝐶𝐵．
【答案】(1)证明：∵𝐴𝐸∥𝐶𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐹𝐵．
∵𝐷𝐹= 𝐵𝐸，
∴𝐷𝐹+ 𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐹，即𝐷𝐸= 𝐵𝐹．
∵𝐴𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐹𝐵，𝐷𝐸= 𝐵𝐹，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹(SAS)．
(2)证明：∵△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐵．
【分析】（1）首先利用平行线的性质得出∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐹𝐵，然后由𝐵𝐸= 𝐷𝐹进而得出𝐷𝐸= 𝐵𝐹； 接下来根
据SAS即可判定△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹．
（2）根据△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹即可证明𝐴𝐷= 𝐶𝐵．
【变式2-1】（25-26 七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸中，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，点𝐶，𝐷，𝐸三点在同一直线上，连接𝐵𝐷．
(1) △𝐵𝐴𝐷与△𝐶𝐴𝐸全等吗？为什么？
(2)试猜想𝐵𝐷，𝐶𝐸有何关系？并说明理由．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)𝐵𝐷= 𝐶𝐸，𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，理由见解析
【分析】（1）已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，由∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°可得∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，利用“SAS”即可证明；
（2）由（1）知△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，可得𝐵𝐷= 𝐶𝐸，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐸，通过角之间的等量代换，得出∠𝐵𝐷𝐸= 90°
即可得到𝐵𝐷⊥𝐶𝐸．
【详解】（1）解：全等，理由见解析：
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐵𝐴𝐷与△𝐶𝐴𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(SAS)；
（2）解：𝐵𝐷= 𝐶𝐸，𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，理由如下：
由（1）知，△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
即∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐶= 45°，
∴∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐵𝐶= 45°，
∴∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
则𝐵𝐷⊥𝐶𝐸．
【变式2-2】（2026·陕西咸阳·三模）如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐷𝐸中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐵𝐶= 𝐵𝐷，点𝐸在𝐵𝐶的延
长线上，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸，请你添加一个条件，使得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐵，并写出证明过程．
【答案】
解：添加条件：∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐵𝐷，
证明过程如下：∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐸𝐵𝐷= 90° = ∠𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐷，
∴∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐷𝐵中，
∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶
𝐵𝐶= 𝐵𝐷
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐵𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐵(ASA)；
添加条件：∠𝐴= ∠𝐸 ，
证明过程如下：∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐸𝐵𝐷= 90° = ∠𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐷，
∴∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐷𝐵中，
∠𝐴= ∠𝐸
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷
𝐵𝐶= 𝐵𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐵(AAS)；
添加条件：𝐴𝐶= 𝐸𝐵，
证明过程如下：∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐸𝐵𝐷= 90° = ∠𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐷，
∴∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐸𝐷𝐵中，
𝐵𝐶= 𝐵𝐷
𝐴𝐶= 𝐸𝐵
，
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐸𝐷𝐵(HL)；
添加条件：𝐷𝐸= 𝐴𝐵，
证明过程如下：∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐸𝐵𝐷= 90° = ∠𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐷，
∴∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐷𝐵中，
𝐷𝐸= 𝐴𝐵
∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶
𝐵𝐶= 𝐵𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐵(SAS)．
【分析】先证明∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，再结合添加条件，根据ASA、AAS、HL、SAS证明即可．
【变式2-3】如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐷𝐶都是等边三角形，当点B，C，D 在一条直线上时，连接𝐴𝐷，𝐵𝐸交于
点M，连接𝐶𝑀，
(1)求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸．
(2)试探究线段𝐵𝑀与线段𝐴𝑀，𝐶𝑀之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)𝐵𝑀= 𝐴𝑀+ 𝐶𝑀，见解析
【分析】（1）利用SAS可证△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷即可；
（2）在𝐷𝐴上取点F，使𝐷𝐹= 𝑀𝐸，连接𝐶𝐹，由全等三角形的性质得𝐵𝐸= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，同理可证
△𝑀𝐸𝐶≌△𝐹𝐷𝐶，由全等三角形的性质得𝑀𝐶= 𝐹𝐶，∠𝑀𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐷，由等边三角形的判定得△𝑀𝐶𝐹是等
边三角形，结合等边三角形的性质，即可求解；
【详解】（1）证明：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐸𝐷𝐶都是等边三角形，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 𝐴𝐵，𝐶𝐸= 𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐸𝐶𝐷= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 180°−∠𝐵𝐶𝐴−∠𝐸𝐶𝐷 = 60°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷 = 60° + 60° = 120°，
在△𝐵𝐶𝐸和△𝐴𝐶𝐷中
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷
𝐶𝐸= 𝐶𝐷
，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷（SAS），
（2）解：𝐵𝑀= 𝐴𝑀+ 𝐶𝑀；
理由如下：
如图，在𝐷𝐴上取点F，使𝐷𝐹= 𝑀𝐸，连接𝐶𝐹，
∵△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝑀𝐸𝐶= ∠𝐹𝐷𝐶，
同理可证：△𝑀𝐸𝐶≌△𝐹𝐷𝐶（SAS），
∴𝑀𝐶= 𝐹𝐶，∠𝑀𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐷，
∴∠𝑀𝐶𝐹= ∠𝑀𝐶𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐹 = ∠𝐹𝐶𝐷+ ∠𝐸𝐶𝐹 = ∠𝐸𝐶𝐷 = 60°，
∴△𝑀𝐶𝐹是等边三角形，
∴𝐶𝑀= 𝑀𝐹，
∴𝐵𝑀= 𝐵𝐸−𝑀𝐸 = 𝐴𝐷−𝐷𝐹 = 𝐴𝑀+ 𝑀𝐹 = 𝐴𝑀+ 𝐶𝑀．
【题型3 已知一角与邻边找这边的另一个邻角ASA】
【例3】（2026·河北张家口·二模）如图，已知△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，∠𝐵= ∠𝐷，𝐴𝐷
与𝐵𝐶交于点𝑃，点𝐶在𝐷𝐸上．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸；
(2)若∠𝐵𝐴𝐷= 40°，求∠𝐸的度数．
【答案】(1)证明：∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝑃𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵= ∠𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(ASA)．
(2)70°
【分析】（1）由题意易得∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，然后根据“ASA”证明全等即可；
（2）由（1）可知𝐴𝐶= 𝐴𝐸，则有∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
∴∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸．
∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 40°，
∴∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸=
1
2(180°−40°) = 70°．
【变式3-1】（25-26 九年级下·吉林辽源·期中）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸、𝐹在边𝐵𝐶上，连接𝐴𝐸、𝐷𝐹，
∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐹𝐶，求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹．
【答案】证明：∵矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵= ∠𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐷𝐶，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐷𝐹𝐶，
∵∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐹𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐴𝐷𝐹，
∴∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸，
又∵∠𝐵= ∠𝐶，𝐴𝐵= 𝐷𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹(ASA)．
【分析】根据矩形的性质得到∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵= ∠𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐷𝐶，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，由已知可得
∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐹𝐶，则∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸，即可证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹．
【变式3-2】（26-27 九年级·全国·暑假作业）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 120°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂
足为𝐺，且𝐴𝐷= 𝐴𝐵，∠𝐸𝐷𝐹= 60°，其两边分别交𝐴𝐵,𝐴𝐶于点𝐸,𝐹．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐷是等边三角形；
(2)若𝐷𝐺= 2，求𝐴𝐶的长；
(3)求证：𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐹．
【答案】(1)证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 120°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶=
1
2 × 120° = 60°，
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐵，
∴△𝐴𝐵𝐷是等边三角形．
(2)4
(3)证明：∵△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵= 60°，𝐵𝐷= 𝐴𝐷，
∵∠𝐸𝐷𝐹= 60°，
∴∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐸𝐷𝐹−∠𝐴𝐷𝐸，
即∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐹，
在△𝐵𝐷𝐸和△𝐴𝐷𝐹中，
∵∠𝐸𝐵𝐷= ∠𝐷𝐴𝐹= 60°,𝐵𝐷= 𝐴𝐷,∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐹，
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐴𝐷𝐹(ASA)，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐹．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶=
1
7 × 120° = 60°，再由𝐴𝐷= 𝐴𝐵，即可
得出结论；
（2）由等边三角形三线合一可得，𝐴𝐷= 4，再结合已知即可求解；
（3）由△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，得出𝐵𝐷= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵= 60°，证出∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐹，由ASA证明
△𝐵𝐷𝐸≌△𝐴𝐷𝐹，得出𝐴𝐹= 𝐵𝐸，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐵= 𝐵𝐷，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴𝐴𝐷= 2𝐷𝐺= 4，
又𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
𝐴𝐶= 4．
（3）略
【变式3-3】（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸，𝐹分别为𝐴𝐵，𝐵𝐶上的点，连接𝐸𝐶，
𝐷𝐹，若𝐸𝐶⊥𝐷𝐹于点𝐺，𝐵𝐸= 2，则𝐶𝐹的长为________．
【答案】2
【分析】根据正方形的性质可得𝐵𝐶= 𝐶𝐷，∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，根据垂直的定义及同角的余角相等可得
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹，利用ASA证明△𝐸𝐵𝐶≌△𝐹𝐶𝐷，根据全等三角形的对应边相等即可求解．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴𝐵𝐶= 𝐶𝐷，∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐸= 90°．
∵𝐸𝐶⊥𝐷𝐹，
∴∠𝐶𝐺𝐷= 90°，
∴∠𝐶𝐷𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹．
在△𝐸𝐵𝐶和△𝐹𝐶𝐷中，
∠𝐵= ∠𝐹𝐶𝐷
𝐵𝐶= 𝐶𝐷
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹
，
∴△𝐸𝐵𝐶≌△𝐹𝐶𝐷(ASA)，
∴𝐶𝐹= 𝐵𝐸．
∵𝐵𝐸= 2，
∴𝐶𝐹= 2．
【题型4 已知一角与邻边找这个角的另一个邻边SAS】
【例4】（2024·广东佛山·一模）如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，延长𝐵𝐶、𝐶𝐷分别至点𝐸、𝐹，使得𝐶𝐸= 𝐷𝐹．在
不增加字母和线段的情况下，写出三个不同类型的结论______．
【答案】𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 𝐴𝐷,∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，△𝐴𝐵𝐸≌△𝐵𝐶𝐹（答案不唯一）
【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定等知识，根据正方形的性质得到
𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 𝐴𝐷,∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，再证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐵𝐶𝐹(SAS)即可得到答案．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 𝐴𝐷,∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷= 90°,
∵𝐶𝐸= 𝐷𝐹，
∴𝐵𝐶+ 𝐶𝐸= 𝐶𝐷+ 𝐷𝐹，
即𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐵𝐶𝐹(SAS)，
故答案为：𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 𝐴𝐷,∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，△𝐴𝐵𝐸≌△𝐵𝐶𝐹（答案不唯一）
【变式4-1】如图，△ABC 中，BC=4，D 为AB 的中点，将△ADC 沿DC 折叠至△A'DC，边A'C 与BD 相交
于点E．若△CDE 面积是△ADC 面积的一半，则BE=______．
【答案】2
【分析】根据题意和翻折的性质，可以得到𝐷𝐸= 𝐵𝐸，然后可以求出结果．
【详解】解：∵D 为𝐴𝐵的中点，
∴△𝐴𝐷𝐶与△𝐵𝐶𝐷的面积相等，
∵△𝐶𝐷𝐸面积是△𝐴𝐷𝐶面积的一半，
∴△𝐶𝐷𝐸面积是△𝐵𝐶𝐷面积的一半，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐸，𝐶𝐸= 𝐴′𝐸，
又∵∠𝐴′𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐵
∴△𝐴′𝐸𝐷≌△𝐶𝐸𝐵
∴𝐵𝐶= 𝐷𝐴′
∵𝐵𝐶= 4，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐴′ = 4
∴𝐵𝐸= 2
故答案为：2．
【点睛】本题考查翻折变换，三角形全等，解答本题的关键是利用数形结合的思想解题．
【变式4-2】（25-26 七年级下·江苏淮安·期末）已知：如图，𝐴,𝐶,𝐹,𝐷在同一直线上，
𝐴𝐹= 𝐷𝐶，𝐴𝐵= 𝐷𝐸，∠𝐴= ∠𝐷．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹；
(2)判断线段𝐵𝐶与𝐸𝐹满足的数量关系和位置关系，并给出证明．
【答案】(1)证明：∵𝐴𝐹= 𝐷𝐶，
∴𝐴𝐹−𝐶𝐹= 𝐷𝐶−𝐶𝐹，
即𝐴𝐶= 𝐷𝐹．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中：
𝐴𝐶= 𝐷𝐹
∠𝐴= ∠𝐷
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SAS)．
(2)𝐵𝐶= 𝐸𝐹，且𝐵𝐶∥𝐸𝐹，证明如下：
由（1）得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴𝐵𝐶= 𝐸𝐹，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸．
∴∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐸𝐹𝐶，
∴𝐵𝐶∥𝐸𝐹．
综上，𝐵𝐶= 𝐸𝐹，且𝐵𝐶∥𝐸𝐹．
【分析】（1）因为已知𝐴𝐹= 𝐷𝐶，所以先对该等式同时减去公共线段𝐶𝐹，推导得到𝐴𝐶= 𝐷𝐹，结合已知的
𝐴𝐵= 𝐷𝐸、∠𝐴= ∠𝐷，用SAS全等判定定理证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
（2）𝐵𝐶和𝐸𝐹的关系，先根据全等三角形的性质得到对应边相等，直接确定数量关系；再由全等得到对应
角∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸，推导其补角∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐸𝐹𝐶，根据平行线的判定定理确定位置关系．
【变式4-3】（25-26 八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 2𝐶𝐷，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∠𝐶= 90°，𝐸是𝐵𝐶中点，𝐴𝐸与𝐵𝐷相交于点𝐹，连接𝐷𝐸．
(1)判断线段𝐴𝐸与𝐵𝐷关系，并说明理由；
(2)若𝐶𝐷= 1，求△𝐴𝐸𝐷面积．
【答案】(1)𝐴𝐸= 𝐵𝐷，𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，理由见解析
(2)1.5
【分析】此题考查是平行线的性质和全等三角形的判定，
（1）先根据已知条件和中点定义证出：𝐵𝐸= 𝐶𝐷，然后根据平行线的性质证出：∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶，最后利用SAS
即可证出：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐵𝐶𝐷，根据全等三角形的性质即可得𝐴𝐸= 𝐵𝐷，再由角的转化可得∠𝐴𝐹𝐵= 90°，即
可证明𝐴𝐸⊥𝐵𝐷；
（2）根据𝑆△𝐴𝐸𝐷= 𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐷－𝑆△𝐴𝐵𝐸－𝑆△𝐷𝐶𝐸计算即可．
【详解】（1）解：𝐴𝐸= 𝐵𝐷，𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，理由如下
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 2𝐶𝐷，𝐸是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸=
1
2𝐵𝐶，𝐶𝐷=
1
2𝐵𝐶，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐷，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 180°−∠𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐵𝐶𝐷中
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶
𝐵𝐸= 𝐶𝐷
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐵𝐶𝐷(SAS)；
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐷，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷
∵∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐶𝐵𝐷＝90°，
∴∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐴𝐸= 90°
∴∠𝐴𝐹𝐵= 90°，
∴𝐴𝐸⊥𝐵𝐷；
（2）解：∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 2𝐶𝐷，𝐶𝐷= 1，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 2，𝐵𝐸= 𝐶𝐸= 𝐶𝐷= 1
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐶= 90°，
∴ 𝑆△𝐴𝐸𝐷= 𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆△𝐴𝐵𝐸−𝑆△𝐷𝐶𝐸
= 1
2 𝐵𝐶·(𝐴𝐵+ 𝐶𝐷)−1
2 𝐵𝐸·𝐴𝐵−1
2 𝐶𝐸·𝐷𝐶
= 1
2 × 2 × (2 + 1)−1
2 × 1 × 2−1
2 × 1 × 1
= 1.5．
【题型5 已知一角与邻边找这边的对角AAS】
【例5】（25-26 七年级下·河南开封·期末）数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B 两点间的距
离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B 所在河岸同侧的平地上取点C 和点D，使得点A，
B，C 在一条直线上，且𝐶𝐷= 𝐵𝐶；②测得∠𝐶= 100°，∠𝐴𝐷𝐶= 65° ；③在𝐶𝐷的延长线上取点E，使得
∠𝐵𝐸𝐶= 15° ；④测得𝐷𝐸的长度为30m．则A，B 两点间的距离为（ ）
A．20m
B．25m
C．30m
D．35m
【答案】C
【分析】利用全等三角形的判定和性质并结合三角形内角和定理可得∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐸𝐶，可证明
△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐵(AAS)，从而得到𝐴𝐶= 𝐶𝐸，即可解答．
【详解】解：∵∠𝐶= 100°,∠𝐴𝐷𝐶= 65°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 180°−∠𝐶−∠𝐴𝐷𝐶= 15°，
∵∠𝐵𝐸𝐶= 15° ，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐸𝐶，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐸𝐶𝐵中，
∵∠𝐶= ∠𝐶 ，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐸𝐶，𝐶𝐷= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐵(AAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐶𝐸，
∵𝐶𝐷= 𝐵𝐶，
∴𝐴𝐶−𝐵𝐶= 𝐶𝐸−𝐶𝐷，即𝐴𝐵= 𝐷𝐸 ，
∵𝐷𝐸 的长度为30m，
∴𝐴𝐵= 𝐷𝐸= 30m，
即A、B 两点间的距离为30m．
【变式5-1】（25-26 八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，将一张长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷按如图方式折叠，
若𝐶𝐷= 6，𝐵𝐸= 7，则重叠部分的面积为________．
【答案】21
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握三角形全等的
判定方法，是解题的关键．证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶′𝐷𝐸(AAS)，得出𝐵𝐸= 𝐷𝐸= 7，根据三角形面积公式求出结果
即可．
【详解】解：根据题意知：𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 6，∠𝐴= ∠𝐶= 90°，
根据折叠可知：𝐶′𝐷= 𝐶𝐷，∠𝐶′ = ∠𝐶= 90°，
∴𝐴𝐵= 𝐶′𝐷，∠𝐴= ∠𝐶′，
∵∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐶′𝐸𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶′𝐷𝐸(AAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐸= 7，
∴重叠部分△𝐵𝐷𝐸的面积=
1
2𝐷𝐸× 𝐴𝐵=
1
2 × 7 × 6 = 21．
故答案为：21．
【变式5-2】（25-26 九年级上·陕西西安·期末）如图，点E、F 在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐷上，连接𝐵𝐸、𝐶𝐹，𝐵𝐸
与𝐶𝐹的延长线交于点P，𝑃𝐸= 𝑃𝐹．求证：𝐴𝐸= 𝐷𝐹．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可
得∠𝐴= ∠𝐷= 90°，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，由等边对等角结合对顶角相等即可得出∠𝐵𝐸𝐴= ∠𝐶𝐹𝐷，最后证明
△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，
∴∠𝐴= ∠𝐷= 90°，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，
∵𝑃𝐸= 𝑃𝐹，
∴∠𝑃𝐸𝐹= ∠𝑃𝐹𝐸，
∵∠𝑃𝐸𝐹= ∠𝐵𝐸𝐴，∠𝑃𝐹𝐸= ∠𝐶𝐹𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝐴= ∠𝐶𝐹𝐷．
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐷𝐶𝐹中，
∠𝐵𝐸𝐴= ∠𝐶𝐹𝐷
∠𝐴= ∠𝐷
𝐴𝐵= 𝐶𝐷
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹(AAS)，
∴𝐴𝐸= 𝐷𝐹．
【变式5-3】如图，已知在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点E 在𝐴𝐷上，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷，∠𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐶= 180°，𝐵𝐶= 𝐶𝐸．求
证：
(1) △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶；
(2)𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷．
【答案】(1)证明：∵∠𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐶= 180°，∠𝐷𝐸𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐶= 180°，
∴∠𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷，
又∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷，𝐵𝐶= 𝐶𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶(AAS)；
(2)证明：∵ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷．
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶，
∴𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷．
【分析】（1）首先得到∠𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷，然后证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶(AAS)；
（2）首先利用全等三角形的性质得到𝐴𝐶= 𝐷𝐶，得到∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷，等量代换得到∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶，即可得
到𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷．
【题型6 已知一角与对边找一角AAS】
【例6】（25-26 七年级下·重庆·期末）如图所示，在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐵𝐷𝐸中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 90°，点𝐵，
𝐷，𝐶在同一条直线上，且𝐴𝐶= 𝐵𝐸，𝐴𝐶⊥𝐵𝐸于点𝐹，若𝐴𝐵= 6，𝐷𝐸= 9，则𝐶𝐷= （ ）
A．3
B．6
C．7
D．9
【答案】A
【分析】根据同角的余角相等得出∠𝐴= ∠𝐸𝐵𝐷，利用AAS证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐷𝐸，得出𝐵𝐷= 𝐴𝐵，𝐵𝐶= 𝐷𝐸，
进而求出𝐶𝐷的长．
【详解】解：∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐹𝐵= 90°，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐹= 90°，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，即∠𝐸𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐹= 90°，
∴∠𝐴= ∠𝐸𝐵𝐷，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐷𝐸中，
∠𝐴= ∠𝐸𝐵𝐷
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 90°
𝐴𝐶= 𝐵𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐷𝐸(AAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 𝐷𝐸= 9，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐶−𝐵𝐷= 9−6 = 3.
【变式6-1】（24-25 七年级下·江苏淮安·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐵𝐶= 2，过A 点作
𝐴𝐷∥𝐵𝐶；𝐴𝐸⊥𝐴𝐶，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，𝐴𝐷= 3，连接𝐷𝐸，则△𝐴𝐷𝐸的面积为_____．
【答案】3
【分析】过点E 作𝐸𝐹⊥𝐷𝐴交𝐷𝐴延长线于点F，证明△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐶𝐵(AAS)，得到𝐸𝐹= 𝐵𝐶= 2，然后利用
三角形面积公式求解．
【详解】解：过点E 作𝐸𝐹⊥𝐷𝐴交𝐷𝐴延长线于点F，
∵𝐴𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐹+ ∠𝐹𝐴𝐶= 90°，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐹= 180°−∠𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐹𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶，
又∵∠𝐹= ∠𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐶𝐵(AAS)，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐶= 2，
∴△𝐴𝐷𝐸的面积为
1
2𝐴𝐷⋅𝐸𝐹=
1
2 × 3 × 2 = 3．
【变式6-2】（25-26 八年级上·湖北宜昌·期末）如图，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸于点𝐸，𝐴𝐷⊥𝐶𝐸于
点𝐷，若𝐴𝐷= 8，𝐷𝐸= 5，则△𝐵𝐶𝐷的面积为_________ ．
【答案】
9
2
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质．
通过全等三角形的判定定理证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸，从而证明𝐶𝐷= 𝐵𝐸，𝐴𝐷= 𝐶𝐸= 8，由𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2𝐶𝐷⋅𝐵𝐸
即可求解．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐴= 90°，
∵𝐴𝐷⊥𝐶𝐸于点𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐶𝐴= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸．
又∵∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐶𝐸𝐵= 90°,𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸(AAS)，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐸,𝐴𝐷= 𝐶𝐸= 8，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐷= 𝐶𝐸−𝐷𝐸= 8−5 = 3，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2𝐶𝐷⋅𝐵𝐸=
1
2 × 3 × 3 =
9
2．
故答案为：
9
2．
【变式6-3】（25-26 七年级下·全国·课后作业）如图，𝐴𝑀是一段斜坡，𝐴𝐵是水平线，欢欢为了测斜坡上一
点C 的竖直高度𝐶𝑁，他在点C 处立上一根竹竿𝐶𝐷，竹竿𝐶𝐷垂直于斜坡𝐴𝑀，在竿顶点D 处垂下一根绳子
𝐷𝐸，与斜坡𝐴𝑀的交点是E．当𝐷𝐸= 𝐴𝐶时，测得𝐶𝐸= 2m，则𝐶𝑁的长为__________m．
【答案】2
【分析】根据题意，得𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐶𝑁⊥𝐴𝐵，得到𝐶𝑁∥𝐷𝐸，于是得到∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐴𝐶𝑁，再证明
△𝐷𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝑁(AAS)，得到𝐶𝐸= 𝐶𝑁= 2m，解答即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，深刻理解垂下的意义，得到平行线成为解题的关键性突破口．
【详解】解：根据题意，得𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐶𝑁⊥𝐴𝐵，
∴𝐶𝑁∥𝐷𝐸，
∴∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐴𝐶𝑁，
∵∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐴𝑁𝐶= 90°，
∵
∠𝐴𝐶𝑁= ∠𝐷𝐸𝐶
∠𝐴𝑁𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸
𝐴𝐶= 𝐷𝐸
，
∴△𝐷𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝑁(AAS)，
∴𝐶𝐸= 𝐶𝑁= 2m，
故答案为：2．
【题型7 已知两角找夹边ASA】
【例7】（2025 八年级上·全国·专题练习）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 2𝐴𝐵，点𝐷为直线𝐵𝐶上一点，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，连接𝐷𝐸交𝐴𝐶于𝐹．∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐹为𝐴𝐶中点，求证：𝐸𝐹= 𝐵𝐷
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是他的关键．
证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐹𝐸，得到𝐸𝐹= 𝐵𝐷．
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐹𝐴𝐸，
∵𝐹为𝐴𝐶中点，
∴𝐴𝐶= 2𝐴𝐹，
∵𝐴𝐶= 2𝐴𝐵，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐹，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐹𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐹
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐹𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐹𝐸(SAS)，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐷．
【变式7-1】（25-26 七年级下·全国·课后作业）如图所示，点D，A，C 在同一直线上，𝐴𝐵∥𝐶𝐸，
𝐶𝐷= 𝐴𝐷+ 𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸，试说明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用ASA证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸即可．
【详解】解：因为𝐴𝐵∥𝐶𝐸，
所以∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸．
因为𝐶𝐷= 𝐴𝐷+ 𝐶𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐶，
所以𝐴𝐶= 𝐶𝐸．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐷𝐸中，
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸
𝐴𝐶= 𝐶𝐸
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸
，
所以△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸(ASA)．
【变式7-2】（2025 八年级上·全国·专题练习）已知：如图，点𝐸，𝐹在线段𝐵𝐶上，∠𝐴= ∠𝐷，∠𝐵= ∠𝐶，
𝐵𝐸= 𝐶𝐹，𝐴𝐹与𝐷𝐸交于点𝑀．求证：△𝐴𝐵𝐹≅△𝐷𝐶𝐸．
【答案】
证明：∵ 𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴ 𝐵𝐸+ 𝐸𝐹= 𝐶𝐹+ 𝐸𝐹，
即：𝐵𝐹= 𝐶𝐸．
∵ ∠𝐴= ∠𝐷，∠𝐵= ∠𝐶，
∴ △𝐴𝐵𝐹≅△𝐷𝐶𝐸(AAS)．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形的
判定进行证明即可．
【变式7-3】（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在7 × 7的网格中，点A，B，C 在格点上，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∠𝐴= 45°，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，𝐶𝑀平分∠𝐴𝐶𝐷，点N 是线段𝐴𝐶的中点，过点N 作𝐸𝐹⊥𝐴𝐶分别交𝐴𝐵，𝐶𝑀
于点E，F．求证：𝐹𝑁= 𝐸𝑁．
【答案】
证明：∵∠𝐴𝐶𝐷= 90°，∠𝐴= 45°，CM 平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝑁𝐶𝐹= 45° = ∠𝐴，
∵点N 是AC 中点，
∴𝐶𝑁= 𝐴𝑁．
∵∠𝐶𝑁𝐹= ∠𝐴𝑁𝐸，
∴△𝐶𝑁𝐹≌△𝐴𝑁𝐸（ASA）．
∴𝐹𝑁= 𝐸𝑁．
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键
是通过角和边的关系证明三角形全等．
先根据已知条件求出∠𝑁𝐶𝐹= 45° = ∠𝐴，再利用中点𝐶𝑁= 𝐴𝑁，最后通过对顶角相等∠𝐶𝑁𝐹= ∠𝐴𝑁𝐸证明
△𝐶𝑁𝐹≌△𝐴𝑁𝐸（ASA），从而得出𝐹𝑁= 𝐸𝑁．
【题型8 已知直角与邻边找对边HL】
【例8】（25-26 八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，∠𝐴= ∠𝐵=90°，E 是AB 上的一点，且𝐴𝐸= 𝐵𝐶，
∠1 = ∠2．求证：𝐴𝐷= 𝐵𝐸．
【答案】见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定及性质．由“等角对等边”得到𝐷𝐸= 𝐸𝐶，再由“HL”
证明Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐵𝐸𝐶，由全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵∠1 = ∠2，
∴𝐷𝐸= 𝐸𝐶，
∵∠𝐴= ∠𝐵= 90°，
∴在Rt △𝐴𝐷𝐸和Rt △𝐵𝐸𝐶中，
𝐷𝐸= 𝐸𝐶
𝐴𝐸= 𝐵𝐶
，
∴Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐵𝐸𝐶(HL)，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐸．
【变式8-1】（24-25 八年级上·四川泸州·期中）如图，已知点𝐵、𝐸、𝐶、𝐹在一条直线上，𝐴𝐵= 𝐷𝐹，
𝐵𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐴= ∠𝐷= 90°．
(1)求证：𝐴𝐶∥𝐷𝐸；
(2)若𝐵𝐶= 11，𝐸𝐶= 6，求𝐵𝐹的长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】（1）证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐹𝐸(𝐻𝐿)，可得∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹，即可证明；
（2）根据△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐹𝐸(𝐻𝐿)，可得𝐵𝐶= 𝐹𝐸，根据𝐵𝐹= 𝐵𝐶+ 𝐹𝐸−𝐸𝐶即可解答．
【详解】（1）证明：∵𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐵𝐸+ 𝐸𝐶= 𝐶𝐹+ 𝐸𝐶，
即𝐵𝐶= 𝐹𝐸，
在Rt △𝐴𝐵𝐶与Rt △𝐹𝐷𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐷𝐹
𝐵𝐶= 𝐹𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐹𝐸(𝐻𝐿)，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹，
∴𝐴𝐶∥𝐷𝐸；
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐹𝐸(𝐻𝐿)，
∴𝐵𝐶= 𝐹𝐸= 11，
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐶+ 𝐹𝐸−𝐸𝐶= 11 + 11−6 = 16．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练运用上述概念的论述过程是解题的关
键．
【变式8-2】（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点
𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，已知𝐵𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐶𝐷𝐹= 30°，求证：△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等角对等边，先
证明Rt △𝐵𝐸𝐷≌Rt △𝐶𝐹𝐷(HL)，则∠𝐵= ∠𝐶，所以𝐴𝐵= 𝐴𝐶，从而得到△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，再通过三角
形内角和定理得∠𝐶= 60∘，最后由等边三角形判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】证明：∵𝐷是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴△𝐵𝐸𝐷和△𝐶𝐹𝐷都是直角三角形，
在Rt △𝐵𝐸𝐷和Rt △𝐶𝐹𝐷中，
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
𝐵𝐸= 𝐶𝐹
，
∴Rt △𝐵𝐸𝐷≌Rt △𝐶𝐹𝐷(HL)，
∴∠𝐵= ∠𝐶，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，
∵𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐹𝐶= 90°，
∵∠𝐶𝐷𝐹= 30°，
∴∠𝐶= 60∘，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
【变式8-3】（25-26 八年级下·河南平顶山·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶的外角∠𝐵𝐴𝐷，
𝑃𝐺⊥𝐴𝐷，垂足为点G，𝑃𝐻⊥𝐴𝐵，垂足为点H，𝑃𝐸垂直平分𝐵𝐶于点E．
(1)求证：∠𝑃𝐵𝐻= ∠𝑃𝐶𝐺；
(2)若∠𝐵𝐴𝐶= 90°，求证：𝐵𝐶= 2𝑃𝐸．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）通过HL证明△𝑃𝐻𝐵≌△𝑃𝐺𝐶，即可求证；
（2）证明△𝐵𝑃𝐶为等腰直角三角形，进而得到△𝐵𝐸𝑃为等腰直角三角形，得到𝑃𝐸= 𝐵𝐸=
1
2𝐵𝐶即可得证．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶的外角∠𝐵𝐴𝐷，𝑃𝐺⊥𝐴𝐷，𝑃𝐻⊥𝐴𝐵，
∴𝑃𝐻= 𝑃𝐺，∠𝑃𝐻𝐵= ∠𝑃𝐺𝐶= 90°，
∵𝑃𝐸垂直平分𝐵𝐶，
∴𝐵𝑃= 𝑃𝐶，
∴△𝑃𝐻𝐵≌△𝑃𝐺𝐶(HL)，
∴∠𝑃𝐵𝐻= ∠𝑃𝐶𝐺；
（2）证明：如图，
∵∠𝑃𝐵𝐻= ∠𝑃𝐶𝐺，∠1 = ∠𝑃𝐵𝐻+ ∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐶𝐺+ ∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
由（1）知𝑃𝐵= 𝑃𝐶，
∴∠𝑃𝐵𝐶= ∠𝑃𝐶𝐸= 45°，
∵𝑃𝐸垂直平分𝐵𝐶，
∴𝑃𝐸⊥𝐵𝐶，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸=
1
2𝐵𝐶，∠𝑃𝐸𝐵= 90°，
∴△𝐵𝐸𝑃为等腰直角三角形，
∴𝑃𝐸= 𝐵𝐸=
1
2𝐵𝐶，
∴𝐵𝐶= 2𝑃𝐸．
【题型9 已知直角与对边找邻边HL】
【例9】（26-27 八年级·江苏·暑假作业）如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸在𝐷𝐶边上，𝐴𝐸= 𝐴𝐵，过点𝐵作
𝐵𝐻⊥𝐴𝐸，垂足为𝐻，连接𝐵𝐸．
(1)求证：△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐻𝐴；
(2)求证：𝐵𝐸平分∠𝐻𝐵𝐶．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用矩形的性质和AAS，即可得证；
（2）证明Rt △𝐵𝐻𝐸≌Rt △𝐵𝐶𝐸(HL)，得到∠𝐻𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸，即可.
【详解】（1）证明：∵矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，
∴∠𝐷= ∠𝐶= 90°，𝐴𝐵∥𝐷𝐶，
∴∠𝐷𝐸𝐴= ∠𝐻𝐴𝐵，
∵𝐻𝐵⊥𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐻𝐵= ∠𝐵𝐻𝐸= 90°，
∴∠𝐷= ∠𝐴𝐻𝐵，
在△𝐴𝐷𝐸和△𝐵𝐻𝐴中
∠𝐷= ∠𝐴𝐻𝐵
∠𝐷𝐸𝐴= ∠𝐻𝐴𝐵
𝐴𝐸= 𝐵𝐴
，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐻𝐴(AAS)；
（2）证明：∵△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐻𝐴，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐻，
∵矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐶，
∴𝐵𝐻= 𝐵𝐶，
在Rt △𝐵𝐻𝐸和Rt △𝐵𝐶𝐸中
𝐵𝐻= 𝐵𝐶
𝐵𝐸= 𝐵𝐸
，
∴Rt △𝐵𝐻𝐸≌Rt △𝐵𝐶𝐸(HL)，
∴∠𝐻𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸，
∴ 𝐵𝐸平分∠𝐻𝐵𝐶．
【变式9-1】（25-26 八年级下·江西鹰潭·期中）如图，点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷在同一直线上，且𝐸𝐴⊥𝐴𝐷，
𝐹𝐷⊥𝐴𝐷，𝐸𝐶与𝐹𝐵相交点𝑂，𝐴𝐵= 𝐷𝐶，𝐸𝐶= 𝐹𝐵．求证：𝐴𝐸= 𝐷𝐹．
【答案】证明见解析
【分析】利用“HL”证明Rt △𝐴𝐶𝐸≌Rt △𝐷𝐵𝐹，由全等三角形的性质可得结论.
【详解】证明：∵𝐸𝐴⊥𝐴𝐷, 𝐹𝐷⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐴= ∠𝐷= 90°，
∵𝐴𝐵= 𝐷𝐶，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷，即𝐴𝐶= 𝐷𝐵，
在Rt △𝐴𝐶𝐸和Rt △𝐷𝐵𝐹中，
𝐴𝐶= 𝐷𝐵
𝐸𝐶= 𝐹𝐵
，
∴Rt △𝐴𝐶𝐸≌Rt △𝐷𝐵𝐹(HL)，
∴𝐴𝐸= 𝐷𝐹．
【变式9-2】（25-26 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐴𝐹= 𝐶𝐸，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于点E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点
F．求证：∠𝐴= ∠𝐶．
【答案】见解析
【分析】先证明𝐴𝐸= 𝐶𝐹，结合𝐴𝐵= 𝐶𝐷，进一步证明Rt △𝐴𝐵𝐸≌Rt △𝐶𝐷𝐹(HL)即可得到结论．
【详解】证明：∵𝐴𝐹= 𝐶𝐸，
∴𝐴𝐹−𝐸𝐹= 𝐶𝐸−𝐸𝐹．
即𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐷𝐹是直角三角形，
∵𝐴𝐵= 𝐶𝐷，
∴Rt △𝐴𝐵𝐸≌Rt △𝐶𝐷𝐹(HL)，
∴∠𝐴= ∠𝐶．
【变式9-3】（26-27 八年级·浙江·暑假作业）如图，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°,𝐵𝐶= 𝐴𝐶,𝐸𝐶= 𝐷𝐶 ，直线𝐴𝐷与𝐵𝐸
交于点𝐹，连接𝐶𝐹．
(1)求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸；
(2)若∠𝐴𝐷𝐶= 90°，求证：𝐹𝐶平分∠𝐵𝐹𝐷．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，结合𝐴𝐶= 𝐵𝐶,𝐷𝐶= 𝐸𝐶 ，利用SAS即可证明结论；
（2）根据△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，结合已知易证Rt △𝐶𝐸𝐹≌Rt △𝐶𝐷𝐹(HL)，可得∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐷𝐹𝐶 ，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸= 90° ，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
又∵𝐴𝐶= 𝐵𝐶,𝐷𝐶= 𝐸𝐶，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)；
（2）证明：∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，𝐶𝐷= 𝐶𝐸，
∴∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐶𝐷𝐹= 90° ，
∵𝐶𝐹= 𝐶𝐹，
∴Rt △𝐶𝐸𝐹≌Rt △𝐶𝐷𝐹(HL)，
∴∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐷𝐹𝐶 ，
∴𝐹𝐶平分∠𝐵𝐹𝐷．
【题型10 已知两边找直角HL】
【例10】（26-27 八年级·全国·暑假作业）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷．
(1)用尺规完成以下基本作图：在线段𝐶𝐴上截取𝐶𝐸= 𝐶𝐵，作线段𝐸𝐹= 𝐴𝐵交射线𝐵𝐶于点𝐹，作
∠𝐸𝐶𝐻= ∠𝐵𝐶𝐷，交𝐸𝐹于点𝐻；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：𝐶𝐷= 𝐶𝐻．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字
母或者符号）
证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐸𝐶𝐹= 180°−∠𝐴𝐶𝐵= ①_________；
在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐹𝐸𝐶中，
∴𝐴𝐵= ②¯
𝐶𝐵= 𝐶𝐸
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐹𝐸𝐶(HL)，
∴∠𝐵= ③_________；
在△𝐶𝐵𝐷和△𝐶𝐸𝐻中，
∠𝐵= ∠𝐶𝐸𝐹
𝐶𝐵= 𝐶𝐸
∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐸𝐶𝐻
，
∴𝐶𝐵𝐷≌△𝐶𝐸𝐻(ASA)，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐻．
【答案】(1)
(2)①90°；②𝐹𝐸；③∠𝐶𝐸𝐹
【详解】（1）解：以点C 为圆心，𝐶𝐵长为半径画弧，交线段𝐶𝐴于点E，此时𝐶𝐸= 𝐶𝐵；以点E 为圆心，𝐴𝐵
长为半径画弧，交射线𝐵𝐶于点F，此时𝐸𝐹= 𝐴𝐵；以点C 为圆心，任意长为半径画弧，分别交𝐶𝐷、𝐶𝐵于两
点，保持半径不变，以点C 为圆心画弧交𝐶𝐸于一点，进一步作图即可；
（2）略
【变式10-1】（26-27 八年级·全国·暑假作业）如图，在△𝐴𝐵𝐸与△𝐶𝐵𝐷中，𝐴𝐸⊥𝐵𝐷于点
𝐸,𝐴𝐵= 𝐵𝐶,𝐵𝐸= 𝐶𝐷．若𝐶𝐷∥𝐴𝐸，求证：𝐴𝐸= 𝐵𝐷．
【答案】证明：∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐵= 90°
∵𝐶𝐷∥𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
在Rt △𝐴𝐵𝐸和Rt △𝐵𝐶𝐷中，
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
𝐵𝐸= 𝐶𝐷
，
∴Rt △𝐴𝐵𝐸≌Rt △𝐵𝐶𝐷(HL)；
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐷．
【分析】由𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，结合𝐶𝐷∥𝐴𝐸，推出𝐶𝐷⊥𝐵𝐷，得∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，确定两个三角形均为直角三
角形．利用HL定理证明Rt △𝐴𝐵𝐸≌Rt △𝐵𝐶𝐷．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答．
【变式10-2】（26-27 八年级·全国·暑假作业）如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐷𝐸中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐵𝐶= 𝐵𝐷，点𝐸
在𝐵𝐶的延长线上，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸，请你添加一个条件，使得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐵，并写出证明过程．
【答案】
解：添加条件：∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐵𝐷，
证明过程如下：∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐸𝐵𝐷= 90° = ∠𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐷，
∴∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐷𝐵中，
∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶
𝐵𝐶= 𝐵𝐷
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐵𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐵(ASA)；
添加条件：∠𝐴= ∠𝐸 ，
证明过程如下：∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐸𝐵𝐷= 90° = ∠𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐷，
∴∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐷𝐵中，
∠𝐴= ∠𝐸
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷
𝐵𝐶= 𝐵𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐵(AAS)；
添加条件：𝐴𝐶= 𝐸𝐵，
证明过程如下：∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐸𝐵𝐷= 90° = ∠𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐷，
∴∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐸𝐷𝐵中，
𝐵𝐶= 𝐵𝐷
𝐴𝐶= 𝐸𝐵
，
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐸𝐷𝐵(HL)；
添加条件：𝐷𝐸= 𝐴𝐵，
证明过程如下：∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐸𝐵𝐷= 90° = ∠𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐷，
∴∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐷𝐵中，
𝐷𝐸= 𝐴𝐵
∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶
𝐵𝐶= 𝐵𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐵(SAS)．
【分析】先证明∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，再结合添加条件，根据ASA、AAS、HL、SAS证明即可．
【变式10-3】（25-26 八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝑃为𝐵𝐶上任
意一点，𝑃𝐸⊥𝐶𝐷，𝑃𝐹⊥ 𝐴𝐵，𝐵𝐺⊥𝐶𝐷，垂足分别为𝐸、𝐹、𝐺，求证：𝑃𝐸+ 𝑃𝐹= 𝐵𝐺．
【答案】见解析
【分析】延长𝐵𝐴，𝐶𝐷，利用等腰梯形的性质，得到两个底角相等，从而得到一个等腰三角形，利用三角形
的面积关系推导即可．
【详解】证明：如图，延长𝐵𝐴，𝐶𝐷，交于点M，连接𝑀𝑃，
∵𝐴𝐵= 𝐷𝐶，
∴梯形𝐴𝐵𝐶𝐷是等腰梯形，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐶𝐵，
（因教材版本，无等腰梯形的性质，此处补充证明：
如图，作𝐴𝑁⊥𝐵𝐶，𝐷𝐻⊥𝐵𝐶，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴𝐴𝑁= 𝐷𝐻，
又𝐴𝐵= 𝐷𝐶，
∴Rt △𝐴𝐵𝑁≌Rt △𝐷𝐶𝐻(HL)，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐶𝐵，）
∴𝑀𝐵= 𝑀𝐶，
∵𝑃𝐸⊥𝐶𝐷，𝑃𝐹⊥𝐴𝐵，
∴𝑆△𝑀𝑃𝐵=
1
2𝑀𝐵·𝑃𝐹，𝑆△𝑀𝑃𝐶=
1
2𝑀𝐶·𝑃𝐸，
又𝑆△𝑀𝐵𝐶= 𝑆△𝑀𝑃𝐵+ 𝑆△𝑀𝑃𝐶=
1
2𝑀𝐶·𝐵𝐺，
∴
1
2𝑀𝐵·𝑃𝐹+
1
2𝑀𝐶·𝑃𝐸=
1
2𝑀𝐶·𝐵𝐺，
又𝑀𝐵= 𝑀𝐶，
∴𝑃𝐸+ 𝑃𝐹= 𝐵𝐺．
