专题03 二次函数图象与角度（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 二次函数中等角构等腰】........................................................................................................................1
【题型2 二次函数中等角构全等】........................................................................................................................3
【题型3 二次函数与倍角】..................................................................................................................................5
【题型4 二次函数与45°角】...............................................................................................................................7
【题型5 二次函数与直角】....................................................................................................................................9
【题型6 二次函数与角的和差倍分】..................................................................................................................11
【题型7 二次函数与60°角】.............................................................................................................................12
【题型8 二次函数与135°角】...........................................................................................................................14
【题型9 二次函数与15°角】.............................................................................................................................15
知识点1 等角构等腰
类型
等角构等腰
图示
条件
∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝑂
∠𝑃𝐶𝐴= ∠𝐶𝐴𝑂
∠𝑃𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵，作BD∥PC 交
CA 的延长线于点D
结论
𝐴𝑄= 𝐶𝑄
𝐴𝑄= 𝐶𝑄
𝐶𝐷= 𝐵𝐷
【题型1 二次函数中等角构等腰】
【例1】（2026·山东济南·二模）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +2𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象经过点𝐵(4,0)和点𝑀(1,4)，
与𝑥轴交于另一点𝐴．
题型归纳
(1)求二次函数的表达式；
(2)在𝑥轴上方的二次函数图象上有一动点𝐶．
①如图1，作射线𝐵𝐶，当𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝑀时，求点𝐶的坐标；
②如图2，连接𝐵𝐶，𝐴𝐶，设点𝐶的横坐标为𝑚，当△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形时，求出𝑚的取值范围．
【变式1-1】（24-25 九年级下·安徽淮南·期中）已知：如图，抛物线𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐内的△𝐴𝐶𝐷的三个顶
点都在抛物线上：其中点𝐷为抛物线的顶点，点𝐵的坐标为(5,0)，点𝐶的坐标为(4,3)．
（1）∠𝐷𝐶𝐴= ___________．
（2）在𝑦轴上有一点𝑃，∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐶𝐴𝐷，则点𝑃的坐标为___________．
【变式1-2】（2026 九年级下·福建泉州·专题练习）如图1，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 3
的顶点为𝐷(1,4)且图象经过点𝐵(3,0)，与𝑦轴交于点𝐶．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，连接𝐶𝐵，𝐷𝐵，若抛物线上存在点𝐸，满足∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐵𝐷𝐸，求点𝐸的坐标．
【变式1-3】（25-26 九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数𝑦= −𝑥2 + (𝑚−1)𝑥+ 𝑚（m 是常数，
且𝑚> 0）的图象与𝑥轴交于A，B 两点（点𝐴在点𝐵的左侧），与𝑦轴交于点𝐶．
(1)求A，B，C 三点的坐标（用数字或含𝑚的式子表示），并求∠𝐴𝐵𝐶的度数；
(2)若𝑚= 4，点𝑃在抛物线上，且∠𝑃𝐴𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶，求点𝑃的坐标．
知识点2 等角构全等
类型
等角构全等
图示
条件
𝑂𝐵= 𝑂𝐶，∠𝑃𝐵𝐴= ∠𝐴𝐶𝑂
BC 平分∠𝑃𝐵𝐷，CD∥x 轴，𝑂𝐵= 𝑂𝐶
结论
△𝑂𝐵𝑄≌△𝑂𝐶𝐴
△𝐵𝐶𝐸≌△𝐵𝐷𝐶
【题型2 二次函数中等角构全等】
【例2】（25-26 九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 2与𝑥轴交于点𝐴(−4,0)，𝐵
(2,0)，与𝑦轴交于点𝐶．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，若点𝐷在抛物线的对称轴上，当𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝑂时，求点𝐷的坐标．
【变式2-1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，已知二次函数的图象经过点𝐴(−1,0)、𝐵(3,0)，与𝑦轴交于
点𝐶(0,−3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点𝐷为抛物线的顶点，连接𝐶𝐷、𝐵𝐷，求四边形𝑂𝐶𝐷𝐵的面积
(3)若点𝑃是抛物线图象上的一点，且满足∠𝑃𝐴𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶，请直接写出满足要求的所有点𝑃的坐标．
【变式2-2】抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 3过点𝐴(−1,0),𝐵(3,0)，与y 轴交于点C．对称轴与x 轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；
(2)如图，连接𝐶𝐷、𝐶𝐵，在直线𝐵𝐶上方的抛物线上找点P，使得∠𝑃𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐵，求出P 点的坐标．
【变式2-3】在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−4与x 轴交于𝐴(−1,0),𝐵(4,0)两点，
与y 轴交于点 C，连接𝐵𝐶．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 D 为抛物线上一点且在x 轴上方，满足∠𝐷𝐵𝐴= ∠𝐴𝐶𝑂，求D 点坐标；
(3)点 M 为线段𝐵𝐶上一动点（不与B，C 重合），过点M 作𝑀𝑃⊥𝑥轴于点 P，交抛物线于点N．如图2，
在抛物线上找一点Q，连接𝐴𝑀,𝑄𝑁,𝑄𝑃，使得△𝑃𝑄𝑁与△𝐴𝑃𝑀的面积相等，求线段𝑄𝑁长度的最小值，并写
出此时Q 点坐标．
知识点3 二倍角（一题多法）
类型
二倍角⟶加倍
图示
条件
∠𝑃𝐵𝐴= 2∠𝑂𝐴𝐵
解题思路
翻折△𝐵𝐴𝑂得△𝐷𝐴𝑂⇒∠𝑃𝐵𝐴= ∠𝐵𝐴𝐷⇒PB∥AD
类型
二倍角⟶减半
图示
条件
∠𝑃𝐵𝐴= 2∠𝑂𝐴𝐵
解题思路
延长PB 交x 轴于点D⇒∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐵𝐴𝐷⇒𝑂𝐴= 𝑂𝐷
类型
二倍角⟶减半
图示
条件
∠𝑃𝐵𝐴= 2∠𝑂𝐴𝐵
解题思路
作𝐴𝐷⊥𝑥作轴，交BP 的延长线于点D，𝐵𝐻⊥𝐴𝐷于点H⇒∠𝐷𝐵𝐻= ∠𝐴𝐵𝐻⇒𝐴𝐷= 2𝑂𝐵
【题型3 二次函数与倍角】
【例3】（25-26 九年级上·湖南常德·期末）已知二次函数𝑦=
1
2𝑥2−𝑎𝑥+ 𝑎，其图象过点−1,
7
2 ．
(1)求二次函数的解析式 ；
(2)当−2 ≤𝑥≤1时，求二次函数𝑦=
1
2𝑥2−𝑎𝑥+ 𝑎的最大值；
(3)将抛物线𝑦=
1
2𝑥2−𝑎𝑥+ 𝑎向下平移
7
2个单位后，如图所示与x 轴交于A、B 两点（点A 位于点B 的左侧），
与y 轴交于点C，连接𝐴𝐶，抛物线上存在点Q，使得∠𝐴𝐵𝑄= 2∠𝐴𝐵𝐶．请求出直线𝐵𝑄的解析式．
【变式3-1】（24-25 九年级下·福建莆田·开学考试）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 4与x 轴交于点A，𝐵(4,0)（点A
在点 B 左侧），与y 轴交于点C，𝐴𝐵= 5．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)点P 是𝐵𝐶上方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的垂线交线段𝐵𝐶于点Q，连接𝑂𝑄，𝐶𝑃，求线段𝑃𝑄的长
度最大值．
(3)在（2）的条件下，在y 轴的正半轴上有一点D，且𝐷𝑂=
1
2𝐶𝑂，过点P 的直线与抛物线交于点E(点E 在
点P 右侧)，且∠𝐷𝑃𝐸= 2∠𝐶𝐷𝑃，连接𝐵𝐸，点F 是y 轴上一点，若𝐵𝐸= 𝐵𝐹，求点F 的坐标
【变式3-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦= 𝑘𝑥+ 4与𝑥轴交于点𝐴(−4,0)，与𝑦轴交于点𝐶，抛物线𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐
经过𝐴,𝐶两点且与𝑥轴的正半轴交于点𝐵．
(1)求𝑘的值及抛物线的解析式．
(2)如图①，若点𝐷为直线AC 上方抛物线上一动点，当∠𝐴𝐶𝐷= 2∠𝐵𝐴𝐶时，𝐷点的坐标为______;
(3)如图②，若𝐹是线段OA 的上一个动点，过点𝐹作直线EF 垂直于𝑥轴交直线AC 和抛物线分别于点G、E，
连接CE．设点𝐹的横坐标为𝑚．当𝑚为何值时，线段EG 有最大值，并写出最大值为多少；
(4)在（2）条件下，点N 为抛物线在第四象限上的一点，其横坐标为2，若动点𝑃(𝑚,4)在直线𝑙:𝑦= 4上，动
点𝑄(𝑚,0)在x 轴上，连接𝑃𝐷,𝑃𝑄,𝑁𝑄，请直接写出𝑃𝑀+ 𝑃𝑄+ 𝑄𝑁的最小值．
【变式3-3】（24-25 九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐经过点(−1,12)和(4,−3)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴交于点𝐴，𝐵（点𝐴在点𝐵的左侧），与𝑦轴交于点𝐶，如图．
①求△𝐴𝐵𝐶的面积；
②点𝐷(2,𝑚)在抛物线上，点𝐸在线段𝐵𝐶上（不与端点𝐵，𝐶重合），若∠𝐷𝐸𝐵= 2∠𝐷𝐶𝐵，求点𝐸的坐标．
知识点4 特殊角
类型
特殊角
图示
条件
∠𝑃𝐴𝐵= 45°
解题思路
构等腰Rt △𝐴𝐵𝑄，得△𝐴𝐵𝑂≌△𝐵𝑄𝐻⇒点Q 坐标⇒直线AQ 解析式⇒与抛物线联立⇒点P
坐标
【题型4 二次函数与45°角】
【例4】（2025·江苏扬州·二模）已知，二次函数𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐．
(1)如图，该二次函数图象交𝑥轴于点𝐴(−4,0)、𝐵，交𝑦轴于点𝐶(0,4)，点𝑃是函数图象上一动点．
①求该二次函数表达式；
②当∠𝑃𝐵𝐴= 45∘时，求点𝑃的坐标；
(2)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3 倍，则称这个点为“三倍点”．在−3 ≤𝑥≤1的范围内，若该二次
函数的对称轴为直线𝑥= −
1
2，且图象上有且只有1 个“三倍点”，直接写出𝑐的取值范围．
【变式4-1】（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 3的图象与𝑥轴
相交于点𝐴(−1,0)、点𝐵(3,0)，与𝑦轴相交于点𝐶，连接𝐴𝐶、𝐵𝐶．
(1)求：𝑎，𝑏的值；
(2)当𝑡≤𝑥≤1时，函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 3的最小值是2，求出𝑡的值；
(3)在抛物线上是否存在点𝑃，使得∠𝐶𝐵𝑃+ ∠𝐴𝐶𝑂= 45∘？若存在，请求出点𝑃的坐标；若不存在，请说明理
由．
【变式4-2】（25-26 九年级上·福建泉州·期末）已知：如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2−4𝑎𝑥−12𝑎(𝑎< 0)与x 轴交
于点A，B，点A 在点B 左侧，交y 轴于点𝐶(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第一象限的抛物线上有一点D，连接𝐴𝐷，若∠𝐷𝐴𝐵= 45°，求点D 坐标．
【变式4-3】（24-25 九年级上·湖北恩施·期中）如图，抛物线𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 4交𝑥轴于𝐴(−1,0)，𝐵两点，与
𝑦轴交于点𝐶，𝑃为抛物线上的一个动点，且点𝑃的横坐标为𝑚−
3
2．
(1)直接写出抛物线的解析式及顶点𝐷的坐标；
(2)若𝑚> 3，当抛物线在点𝑃和点𝐴之间的部分（包括𝑃、𝐴两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为𝑚+ 1时，
求𝑚的值；
(3)在第一象限的抛物线上是否存在点𝑃，使∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝑂= 45°，若存在，请求出点𝑃的坐标；若不存在，
说明理由．
【题型5 二次函数与直角】
【例5】如图，已知抛物线𝑦= −𝑥2 +2𝑥+ 3与𝑥轴交于𝐴、𝐵两点(点𝐴在点𝐵的左边)，与𝑦轴交于点𝐶，连接𝐵𝐶．
(1)求𝐴、𝐵、𝐶三点的坐标；
(2)若点𝑃为线段𝐵𝐶上的一点(不与𝐵、𝐶重合)，𝑃𝑀∥𝑦轴，且𝑃𝑀交抛物线于点𝑀，交𝑥轴于点𝑁，当线段𝑃𝑀的
长度最大时，求点𝑀的坐标；
(3)在（2）的条件下，当线段𝑃𝑀的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点𝑄，使得△𝐶𝑁𝑄为直角三角形，
直接写出点𝑄的坐标．
【变式5-1】已知抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴交于𝐴、𝐵两点，点𝐴在点𝐵左边，点𝐵的坐标为(3,0)，且抛物
线的对称轴是直线𝑥=
3
2，
(1)求此抛物线的表达式．
(2)在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形𝐴𝑀𝐵的面积等于3．若存在，请求出点M
的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）（2）条件下，若P 点是抛物线上的一点，且∠𝑃𝐴𝑀= 90°，求△𝐴𝑃𝑀的面积．
【变式5-2】（2024·安徽淮北·三模）如图1，已知抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与x 轴交于点𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)，
与y 轴交于点C，点P 为对称轴l 上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若∠𝑂𝑃𝐵= 90°，求点P 的坐标；
(3)如图2，点Q 为抛物线上一点，若以O，P，B，Q 四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q 的
坐标．
【变式5-3】如图，抛物线与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点，与𝑦轴交于点𝐶，𝑂𝐴= 𝑂𝐶= 6，对称轴是𝑥= −2，点𝐹在
对称轴上运动．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在一点𝐹，使得∠𝐵𝐹𝐶为直角？若存在，求点𝐹的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)将线段𝐵𝐶绕着点𝐹逆时针方向旋转90°后得到线段𝐵1𝐶1，当点𝐵1与𝐶1恰有一点落在抛物线上时，求点𝐹的
坐标．
【题型6 二次函数与角的和差倍分】
【例6】（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M 过点𝐸(−2,3)，与x 轴交于点A 和点B（点A 在点B 左
侧），与y 轴交于点C，顶点D 的坐标为(−1,4)．
(1)求抛物线M 的表达式和点A 的坐标；
(2)点F 是线段𝐴𝐶上一动点，求△𝐷𝐸𝐹周长的最小值；
(3)平移抛物线M 得到抛物线N，已知抛物线N 过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M 交于点Q，若
∠𝑃𝐷𝑄= 4∠𝐷𝑃𝑄，直接写出点P 的坐标．
【变式6-1】如图，抛物线𝑦=
1
3𝑥2 +
8
3𝑥−3与𝑥轴交于点𝐴和点𝐵两点，与𝑦轴交于点𝐶，𝐷点为抛物线上第三
象限内一动点，当∠𝐴𝐶𝐷+ 2∠𝐴𝐵𝐶= 180°时，点𝐷的坐标为（ ）
A．(−8,−3)
B．(−7,−
16
3 )
C．(−6,−7)
D．(−5,−8)
【变式6-2】（25-26 八年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−3(𝑎≠0)
与𝑥轴交于点𝐴(−3,0)、点𝐵(1,0)，与𝑦轴交于点𝐶，连接𝐴𝐶．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点𝑃是线段𝐴𝐶下方抛物线上一点，过点𝑃作𝑃𝑀∥𝑦轴交线段𝐴𝐶于点𝑀，过点𝑀作𝑀𝑁⊥𝑦轴交𝑦轴
于点𝑁，求出𝑃𝑀+ 𝑀𝑁的最大值，及此时𝑃点的坐标；
(3)如图2，将抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−3沿射线𝐴𝐶方向平移2 2个单位长度得到新抛物线𝑦′，点𝐾为新抛物线𝑦′
上一点，且满足∠𝐴𝐵𝐾+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°，请直接写出所有符合条件的点𝐾的坐标，并写出其中一种情况的求
解过程．
【变式6-3】（25-26 八年级下·重庆·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与𝑥轴交于𝐴(−3,0)、𝐵(1,0)
两点，与𝑦轴交于𝐶(0,3)，连接𝐴𝐶．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点𝑃是线段𝐴𝐶上方抛物线上的一动点，连接𝐴𝑃、𝐶𝑃．抛物线的对称轴为直线𝑙，点𝑄为𝑦轴上的动
点，𝑄𝐻⊥𝑙于点𝐻．当△𝐴𝑃𝐶面积取得最大值时，求点𝑃的坐标及𝑃𝑄+ 𝐻𝑄的最小值；
(3)如图2，将抛物线沿射线𝐶𝐴方向平移3 2个单位长度得到新抛物线𝑦1，点𝑀为抛物线𝑦1与𝑥轴的左侧交点，
点𝑁为抛物线𝑦1上的一动点．若∠𝑁𝑀𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝑀𝐶𝑂，请直接写出所有符合条件的点𝑁的横坐标．
【题型7 二次函数与60°角】
【例7】如图，拋物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴交于𝐴,𝐵两点，与𝑦轴交于点𝐶，抛物线的对称轴是直线𝑥= −
3
2，
已知点𝐵(1,0),𝐶(0,−2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)𝐸是线段𝐴𝐶上的一个动点，过点𝐸作𝐸𝐷⊥𝑥轴，延长𝐷𝐸交抛物线于点𝐹，求线段𝐸𝐹的最大值及此时点𝐸的
坐标；
(3)在𝑦轴上是否存在一点𝑃，使得∠𝑂𝐴𝑃+ ∠𝑂𝐴𝐶= 60°？若存在，求点𝑃的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式7-1】如图，已知抛物线𝑦=
1
4(𝑥+ ℎ)2 +𝑘．点𝐴(−1,2)在抛物线的对称轴上，𝐵0,
5
4 是抛物线与𝑦轴
的交点，𝐷为抛物线上一动点，过点𝐷作𝑥轴的垂线，垂足为点𝐶．
(1)直接写出ℎ，𝑘的值；
(2)如图，若点𝐷的坐标为(3,𝑚)，点𝑄为𝑦轴上一动点，直线𝑄𝐾与抛物线对称轴垂直，垂足为点𝐾．探求
𝐷𝐾+ 𝐾𝑄+ 𝑄𝐶的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点𝑄的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，连接𝐴𝐷，𝐴𝐶，若∠𝐷𝐴𝐶= 60°，求点𝐷的坐标．
【变式7-2】在平面直角坐标系中，抛物线𝑦= −
3
3 (𝑥+ 1)(𝑥−3)与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左
侧），与y 轴交于C 点.
(1)求点A，B，C 的坐标；
(2)判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由；
(3)若点P 在抛物线上，且∠𝑃𝐵𝐴= 60°，求点P 的坐标.
【变式7-3】（25-26 九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，抛物线𝐶:𝑦=
1
2(𝑥−1)2−1，顶点为𝐷，将抛物线𝐶
沿水平方向向右平移𝑚个单位长度，得到抛物线𝐶1，顶点为𝐷1，𝐶与𝐶1相交于点𝑄，若∠𝐷𝑄𝐷1 = 60°，则𝑚
的值为___________．
【题型8 二次函数与135°角】
【例8】如图，二次函数𝑦= −
1
3𝑥2 +
4
3𝑥−1的图象交𝑥轴于𝐴，𝐵两点，图象上的一点𝐶使∠𝐶𝐵𝐴= 135°，则点
𝐶的坐标是( )
A．(4,−1)
B．(4,−
3
2)
C．(4.5,−
3
2)
D．(4.5,−
7
4)
【变式8-1】（25-26 九年级上·重庆铜梁·期中）已知，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 3与x 轴
交于点B，C，与y 轴交于点A，其中𝐵(−3,0),𝐶(1,0)．
(1)求a，b 的值；
(2)如图1，连接𝐴𝐵，点P 是直线𝐴𝐵上方抛物线上一动点，过点P 作𝑃𝐾∥𝑦轴交𝐴𝐵于点K，过点K 作𝐾𝐸⊥𝑦
轴，垂足为点E，求𝑃𝐾+ 𝐾𝐸的最大值并求出此时点P 的坐标；
(3)如图2，点P 在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P 的坐标，连接𝑃𝐶，将该抛物线向右平移，使得新
抛物线𝑦′恰好经过原点，点C 的对应点是F，点M 是新抛物线𝑦′上一点，连接𝐶𝑀，当∠𝑀𝐶𝐹+ ∠𝑃𝐶𝐵= 135°
时，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．
【变式8-2】函数y＝
𝑎𝑥2−4𝑎𝑥−5,𝑥≥0
−𝑎𝑥2−4𝑎𝑥−5,𝑥< 0
，其中a 是常数且a≠0，该函数的图象记为G．
(1)图象G 经过3 个定点，分别为 ， ， ；
(2)图象G 与直线y＝a 有2 个交点时，结合函数图象，求a 的值；
(3)图象G 与直线x＝2 和直线x＝﹣2 分别相交于点P，Q，当∠POQ＝135°时，直接写出a 的值．
【变式8-3】（25-26 九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−2(𝑎≠0)
与𝑥轴交于点𝐴(−2,0)，𝐶(6,0)，交𝑦轴于点𝐵．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点𝐷为𝑙𝐵𝐶下方抛物线一动点，直线𝐵𝐶上有点𝐸、𝐹满足点𝐸在点𝐹的左侧且𝐸𝐹=
10，当𝑆△𝐶𝐵𝐷最
大时，求此时点𝐷的坐标与𝐴𝐹+ 𝐸𝐹+ 𝐷𝐸的最小值．
(3)将抛物线沿直线𝐴𝐵方向平移2 2个单位得到新抛物线𝑦′，在新抛物线𝑦′找一点𝑃使∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑃= 135°，
求符合条件的所有𝑃的坐标，并写出至少一个求解𝑃的坐标的过程．
【题型9 二次函数与15°角】
【例9】如图所示，抛物线𝑦=
1
3𝑥2−3与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，M 为第一象限抛物线上一
点，且∠𝑀𝐶𝐵= 15°，则点M 的坐标为________．
【变式9-1】（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)．
（1）如图1，当𝑎= 1,𝑏= 𝑐= 0时，点𝐸，𝐹的坐标分别为(0,1)，(0,2)，过点𝐸，𝐹分别作𝑦轴的垂线，交抛
物线于𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四点，连接𝐵𝐹，𝐵𝐷，则∠𝐵𝐷𝐹= ___________°；
（2）如图2，过点(0,5),(0,6)作𝑦轴的垂线，分别交抛物线于点𝐺，𝐻，𝑀，𝑁，𝑀𝑁与对称轴交于点𝑃，连接
𝑁𝐺，𝑃𝐺，已知点𝐺的横坐标为3 3,𝐺𝑃= 𝑀𝑃，且∠𝑀𝑁𝐺= 15°，则该抛物线的表达式为𝑦= ___________．
【变式9-2】（25-26 九年级上·河南南阳·期末）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴交于点𝐴(−1,0)，点𝐵
(3,0)，与𝑦轴交于点𝐶(0,3)．动点𝑀在线段𝑂𝐵上运动，过点𝑀作𝐸𝑀⊥𝑥轴，交抛物线于点𝐸，交直线𝐵𝐶于点
𝐹，设点𝑀的横坐标为𝑚．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点𝑀在线段𝑂𝐵上运动时，求线段𝐸𝐹的最大值；
(3)抛物线上有一点𝑃，当∠𝐵𝐶𝑃= 15°时，请直接写出直线𝑃𝐶的解析式．
【变式9-3】（2026·广东清远·二模）已知二次函数𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象交𝑥轴于𝐴,𝐵两点，交𝑦轴于点𝐶，点
𝐵坐标为(3,0)，对称轴是直线𝑥= 1，点𝑃是𝑥轴上一动点，𝑃𝑀⊥𝑥轴，交直线𝐵𝐶于𝑀，交抛物线于点𝑁．
(1)求二次函数解析式．
(2)若点𝑃在线段𝐵𝑂上运动（不与𝑂，𝐵重合），求四边形𝐴𝐵𝑁𝐶面积的最大值，并求此时点𝑃坐标．
(3)设点𝐷是抛物线上一动点，是否存在点𝐷，使得∠𝐵𝐶𝐷= 15°？若存在，请直接写出所有符合条件的点𝐷坐
标；若不存在，请说明理由．
