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专题05 根与系数的关系及其应用（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 利用根与系数的关系直接求值】............................................................................................................1
【题型2 利用根与系数的关系降次求值】............................................................................................................1
【题型3 利用根与系数的关系求参数】................................................................................................................2
【题型4 利用根与系数的关系分式化整求值】....................................................................................................2
【题型5 根与系数的关系关联根的判别式】........................................................................................................2
【题型6 利用根与系数的关系分类解析根分布】................................................................................................3
【题型7 利用方程的根和根与系数的关系构建方程】........................................................................................4
【题型1 利用根与系数的关系直接求值】
【例1】（25-26 八年级下·浙江温州·期中）已知𝑚，𝑛是方程𝑥2−4𝑥−5 = 0的两个根，则
1
𝑚+
1
𝑛= ________．
【变式1-1】（2026·山东淄博·一模）若a，b 是方程𝑥2−3𝑥+ 1 = 0的两个根，则𝑎+ 𝑏+ 𝑎𝑏的值为___．
【变式1-2】（2026·山东东营·一模）若𝑥1，𝑥2是方程𝑥2 +𝑥−1 = 0的两根，则(𝑥1−2)(𝑥2−2)的值为_____．
【变式1-3】（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一元二次方程𝑥2−2𝑥= 3的两个根分别是𝑥1，𝑥2，那么
代数式𝑥2
1 + 𝑥2
2的值为______．
【题型2 利用根与系数的关系降次求值】
【例2】（25-26 九年级上·湖北咸宁·月考）已知𝛼，𝛽是一元二次方程𝑥2−2𝑥−1 = 0的两根，则𝛼3−𝛼2−2𝛼+ 𝛽
的值为（ ）
A．1
B．3
C．-1
D．-3
【变式2-1】（25-26 九年级上·四川成都·期中）设𝛼、𝛽是方程𝑥2−𝑥−2025 = 0的两个实数根，则𝛼3
−2027𝛼−𝛽+ 1的值为_______．
【变式2-2】（25-26 九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程𝑥2 +𝑥−1 = 0的两根为𝛼、𝛽，则𝛼3 + 𝛼2
+𝛽+ 2026的值为______．
【变式2-3】（25-26 九年级上·江苏南京·月考）已知𝑥1、𝑥2是方程𝑥2−𝑥−2025 = 0的两个实数根，则代数式
𝑥3
1−2025𝑥1 + 𝑥2
2的值是_______
题型归纳
【题型3 利用根与系数的关系求参数】
【例3】（2026·安徽六安·一模）已知关于x 的一元二次方程𝑥2 +2𝑎𝑥= 2(𝑎−1)．若𝑥1，𝑥2是该方程不相等
的两个实数根，如果(𝑥1 + 𝑎)2 + (𝑥2 + 𝑎)2 = 12，那么a 的值为（ ）
A．2 或−4
B．−2或4
C．3 或−4
D．−3或4
【变式3-1】（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程𝑥2 +2𝑥+ 𝑝= 0两根为𝑥1、𝑥2，且
1
𝑥1 +
1
𝑥2
= 3，则p 的值为（ ）
A．−
2
3
B．
2
3
C．−6
D．6
【变式3-2】定义(𝑎,𝑏,𝑐)为方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0的特征数．若特征数为(1,2𝑘−2,𝑘2−𝑘)的方程的两实数根的
平方和为12，则𝑘的值为（ ）
A．−1或4
B．−4
C．−1
D．−4或1
【变式3-3】已知关于x 的一元二次方程𝑥2−6𝑥+ 𝑚+ 4 = 0有两个实数根𝑥1，𝑥2，若𝑥1，𝑥2满足3𝑥1 = |𝑥2|
+2，则m 的值为_____________
【题型4 利用根与系数的关系分式化整求值】
【例4】已知互不相等的三个实数a、b、c 满足
𝑐
𝑎= −𝑎−3，
𝑐
𝑏= −𝑏−3，求
𝑎2
𝑐+
𝑏2
𝑐−
9
𝑐的值_____．
【变式4-1】已知𝛼、𝛽是方程𝑥2−7𝑥+ 8 = 0的两根，且𝛼> 𝛽，则
2
𝛼+3𝛽2的值为（ ）
A．
1
8(403−85 17)
B．
1
4(403−85 17)
C．95
D．17
【变式4-2】（2025·四川南充·一模）若m，n 是方程𝑥2 +𝑥−3 = 0的两个不相等的实数根，则2𝑚+ 𝑛+
3
𝑛的
值为（ ）
A．−1
B．1
C．−3
D．3
【变式4-3】（24-25 九年级上·湖北武汉·月考）如果m，n 是一元二次方程𝑥2 +𝑥−3 = 0的两个根，那么多
项式𝑚3 +3𝑛−𝑚𝑛+
3
𝑛+2032的值是_______．
【题型5 根与系数的关系关联根的判别式】
【例5】已知：关于𝑥的方程𝑥2−2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚2 +2 = 0．
(1)若方程有两个实数根，求𝑚的取值范围；
(2)若两实数根𝑥1、𝑥2满足𝑥1 + 𝑥2 = 𝑥1𝑥2，求𝑚的值．
【变式5-1】（25-26 九年级上·四川成都·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−3𝑥+ 𝑚+ 1 = 0．
(1)若该方程有实数根，求𝑚的取值范围；
(2)若该方程的一个根是−1，求它的另一个根及𝑚的值．
【变式5-2】（25-26 九年级上·四川宜宾·期末）关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(2𝑚−1)𝑥−2𝑚2 = 0．
(1)求证：无论𝑚为何值，方程总有实数根；
(2)若𝑥1,𝑥2是关于𝑥的方程𝑥2−(2𝑚−1)𝑥−2𝑚2 = 0的两个根，且|
𝑥1
𝑥2| = 2，求𝑚的值．
【变式5-3】（25-26 九年级上·山东枣庄·期末）【知识技能】
材料1：小明在学习一元二次方程解时，发现：若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0 (𝑎≠0)的两个实
数根为𝑥1，𝑥2和系数𝑎，𝑏，𝑐有如下关系：
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎．
材料2：已知一元二次方程𝑥2−𝑥−1 = 0的两个实数根分别为𝑚，𝑛，在不解方程的情况下，求𝑚2𝑛+ 𝑚𝑛2的
值．
解：∵一元二次方程𝑥2−𝑥−1 = 0的两个实数根分别为𝑚，𝑛，∴𝑚+ 𝑛= 1，𝑚𝑛= −1，则𝑚2𝑛+ 𝑚𝑛2 = 𝑚𝑛
(𝑚+ 𝑛) = −1 × 1 = −1．
【数学理解】
（1）若一元二次方程4𝑥2−𝑥−2 = 0的两个实数根为𝑥1，𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 = ___________，𝑥1𝑥2 = ____________．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程2𝑥2 +3𝑥−1 = 0的两个实数根分别为𝑠，𝑡，在不解方程的情况下，求𝑠2 + 𝑡2的值．
【题型6 利用根与系数的关系分类解析根分布】
【例6】（25-26 九年级上·湖北恩施·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(𝑚−2)𝑥−2𝑚= 0．
(1)判断此方程的根的情况；
(2)若该方程的两根异号，且负根的绝对值较大，求整数𝑚的值．
【变式6-1】关于𝑥的方程(𝑥−2)(𝑥+ 1) = 𝑝2（𝑝为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根
B．有两个相异负根
C．有一个正根和一个负根
D．无实数
根
【变式6-2】关于 𝑥 的一元二次方程 𝑥2−(𝑚−2)𝑥−
𝑚2
4 = 0 有一个正根、一个负根，且正根的绝对值不大
于负根的绝对值，则𝑚的取值范围是_____________
【变式6-3】关于𝑥的方程𝑥2−2(𝑘−1)𝑥+ 𝑘2 = 0有两个不相等的实数根𝑥1，𝑥2．
(1)求𝑘的取值范围．
(2)若𝑘≠0，试说明此方程有两个负根．
(3)在(2)的条件下，若|𝑥1|−|𝑥2| = 4，求𝑘的值．
【题型7 利用方程的根和根与系数的关系构建方程】
【例7】（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）思维拓展：已知实数s，t 分别满足19𝑠2 +99𝑠+ 1 = 0，𝑡2
+99𝑡+ 19 = 0,(𝑠𝑡≠0)则
𝑠𝑡+4𝑠+1
𝑡
= ____________
【变式7-1】（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b 满足𝑎2−8𝑎+ 5 = 0，𝑏2−8𝑏+ 5 = 0，则
𝑏−1
𝑎−1 +
𝑎−1
𝑏−1的
值为（ ）
A．
1
2
B．−2或20
C．2 或−20
D．−20
【变式7-2】（25-26 八年级下·山东淄博·期中）已知𝑎≠𝑏，且𝑎2−5𝑎−1 = 0，𝑏2−5𝑏−1 = 0，则
1
3𝑎+
1
3𝑏的
值为___________．
【变式7-3】（25-26 九年级上·江苏徐州·期中）已知实数𝑎、𝑏、𝑐满足𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 2，𝑏𝑐=
1
4𝑎2−1，则实数𝑎
的最大值为______．
