文档文本内容
专题25.1 一元二次方程的概念（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 一元二次方程的识别】............................................................................................................................1
【题型2 由一元二次方程的定义求参数】............................................................................................................3
【题型3 化成一元二次方程的一般形式】............................................................................................................5
【题型4 求一元二次方程的各项系数】................................................................................................................7
【题型5 由一元二次方程各项系数的值求参数】................................................................................................8
【题型6 判断是否是一元二次方程的解】..........................................................................................................10
【题型7 由一元二次方程的解求参数】..............................................................................................................11
【题型8 由一元二次方程的解求代数式的值】..................................................................................................13
【题型9 已知一元二次方程的解求另一个方程的解】......................................................................................16
【题型10 根据实际问题列一元二次方程】..........................................................................................................18
知识点1 一元二次方程的定义
1.定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方
程叫作一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.
例如：
1
𝑥2 +𝑥=2，𝑥2 + 1，𝑥2 + 𝑦−3 = 0，𝑥3−3𝑥+ 8 = 0，(𝑥−1)(𝑥−2) = 𝑥2−1均不是一元二次方程.
【题型1 一元二次方程的识别】
【例1】（25-26 八年级下·浙江宁波·期中）下列方程中，关于𝑥的一元二次方程是（ ）
A．3(𝑥+ 1)2 = 2(𝑥+ 1)
B．
1
2 +
1
𝑥−2 = 0
C．𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0
D．2𝑥−3 = 1
【答案】A
【分析】本题考查识别一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．
考点1
一元二次方程的定义
题型归纳
本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次
数为2，二次项系数不为0，据此逐一判断选项即可．
【详解】解：A、整理原方程3(𝑥+ 1)2 = 2(𝑥+ 1)，得3𝑥2 +4𝑥+ 1 = 0，满足一元二次方程的所有条件，
故此选项符合题意；
B、原方程分母含有未知数𝑥，不是整式方程，故此选项不符合题意；
C、原方程未说明𝑎≠0，当𝑎= 0时不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、原方程中未知数最高次数为1，是一元一次方程，故此选项不符合题意．
故选：A．
【变式1-1】（25-26 九年级上·四川成都·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2𝑥+ 1 = 0
B．𝑥2 +3𝑥= 1
C．
1
𝑥2 + 𝑥2 = 2
D．2𝑥+ 𝑦= 3
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程是
一元二次方程解答即可，掌握定义也是解题关键．
【详解】解：A．2𝑥+ 1 = 0，未知数最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；
B．𝑥2 +3𝑥= 1，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意；
C．
1
𝑥2 + 𝑥2 = 2，不是整式方程，即不是一元二次方程，不符合题意；
D．2𝑥+ 𝑦= 3，含有2 个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．
故选B．
【变式1-2】（25-26 九年级上·江苏徐州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．𝑥2 +3𝑥−
1
𝑥= 0
B．𝑥2 =
1
2𝑥
C．𝑥2 +𝑥−4 = 𝑥2
D．𝑦2−2𝑥−1 = 0
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式
方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、方程𝑥2 +3𝑥−
1
𝑥= 0不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
B、方程𝑥2 =
1
2𝑥是一元二次方程，该选项符合题意；
C、方程𝑥2 +𝑥−4 = 𝑥2整理得𝑥−4 = 0，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
D、方程𝑦2−2𝑥−1 = 0含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-3】（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，是关于𝑥的一元二次方程的是（ ）
A．𝑥2 = 0
B．
1
𝑥2 +
1
𝑥−2 = 0
C．𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0
D．𝑥2 +2𝑥= (𝑥+ 1)(𝑥−1)
【答案】A
【详解】解：选项A：𝑥2 = 0，满足所有条件，是关于𝑥的一元二次方程；
选项B：
1
𝑥2 +
1
𝑥−2 = 0是分式方程，不是整式方程，不符合定义，排除；
选项C：𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0中，未说明𝑎≠0，当𝑎= 0时不是二次方程，排除；
选项D：𝑥2 +2𝑥= (𝑥+ 1)(𝑥−1)
化简，得𝑥2 +2𝑥= 𝑥2−1，
整理得2𝑥+ 1 = 0，是一元一次方程，不符合定义，排除．
【题型2 由一元二次方程的定义求参数】
【例2】（25-26 九年级上·云南昭通·期末）方程(𝑛−3)𝑥|𝑛|−1 +3𝑥+ 3𝑛= 0是关于x 的一元二次方程，n 满
足的条件是（ ）
A．𝑛> 3
B．𝑛= 3
C．𝑛< 3
D．𝑛= −3
【答案】D
【详解】∵方程(𝑛−3)𝑥|𝑛|−1 +3𝑥+ 3𝑛= 0是关于x 的一元二次方程，
∴|𝑛|−1 = 2，即|𝑛| = 3，解得𝑛= 3或𝑛= −3.
又∵二次项系数𝑛−3 ≠0，
∴𝑛≠3，
∴𝑛= −3．
故选：D．
【变式2-1】（25-26 九年级上·云南保山·期末）若关于x 的方程(𝑚−3)𝑥2−4𝑥+ 1 = 0是一元二次方程，则m
的取值范围是（ ）
A．𝑚≠3
B．𝑚= 3
C．𝑚≥3
D．𝑚≤3
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2 的整式方程叫一
元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于x 的方程(𝑚−3)𝑥2−4𝑥+ 1 = 0是一元二次方程，
∴二次项系数𝑚−3 ≠0，
∴𝑚≠3，
故选：A．
【变式2-2】（25-26 九年级上·全国·期中）已知(𝑚−1)𝑥𝑚2+1 +4𝑥+ 2 = 0是关于𝑥的一元二次方程，则𝑚的
值为___．
【答案】−1
【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键．
根据一元二次方程的定义，方程中𝑥的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数𝑚2 +1 = 2
且系数𝑚−1 ≠0．
【详解】解：由方程是关于𝑥的一元二次方程，得𝑥的最高次数为2，即𝑚2 +1 = 2，
解得𝑚=± 1．
又因为二次项系数𝑚−1 ≠0，即𝑚≠1，
所以𝑚= −1，
当𝑚= −1时，方程为−2𝑥2 +4𝑥+ 2 = 0，满足一元二次方程的定义．
故答案为：−1．
【变式2-3】关于𝑥的方程(𝑚−3)𝑥𝑚2−7−𝑥= 5是一元二次方程，则𝑚的值为______．
【答案】−3
【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到𝑚−3 ≠0，𝑚2−7 = 2求解，
即可解题．
【详解】解：∵关于𝑥的方程(𝑚−3)𝑥𝑚2−7−𝑥= 5是一元二次方程，
∴ 𝑚−3 ≠0，𝑚2−7 = 2，
解得𝑚≠3，𝑚=± 3，
综上，𝑚= −3，
故答案为：−3．
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，其中𝒂𝒙𝟐是二次项，𝒂是二次项系数;𝒃𝒙是一次项，𝒃
是一次项系数；𝒄是常数项.
2.（1）𝐚≠𝟎是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c 可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可
以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0 时，得𝒂𝒙𝟐+𝒄= 𝟎(𝒂≠𝟎)；
（2)当c=0 时，得𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙= 𝟎(𝒂≠𝟎)；
（3)当b=0 且c=0 时,得𝒂𝒙𝟐= 𝟎(𝒂≠𝟎).
【题型3 化成一元二次方程的一般形式】
【例3】（25-26 九年级上·甘肃庆阳·期末）一元二次方程𝑥(2𝑥−1) = 3𝑥+ 4化成一般形式为________．
【答案】𝑥2−2𝑥−2 = 0或2𝑥2−4𝑥−4 = 0
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)．其中a 是二次项系数，b 是一
次项系数，c 是常数项．
先将方程左边展开，然后移项使所有项位于左边，右边为0，最后合并同类项得到一般形式．
【详解】解：𝑥(2𝑥−1) = 3𝑥+ 4，
去括号：2𝑥2−𝑥= 3𝑥+ 4，
移项：2𝑥2−𝑥−3𝑥−4 = 0，
合并同类项：2𝑥2−4𝑥−4 = 0，
方程两边同除以2，得 𝑥2−2𝑥−2 = 0，
故答案为：𝑥2−2𝑥−2 = 0或2𝑥2−4𝑥−4 = 0．
【变式3-1】（25-26 九年级上·山西临汾·期末）将一元二次方程𝑥−2𝑥(𝑥−3) = 1化为一般形式，正确的是
（ ）
A．−2𝑥2 +7𝑥−1 = 0
B．2𝑥2−7𝑥= −1
C．7𝑥+ 2𝑥2−1 = 0
D．7𝑥−2𝑥2 = 1
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需通过去括号、合并同类项、移项将方程化为𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0
考点2
一元二次方程的一般形式
（𝑎≠0）的标准形式．
【详解】解：𝑥−2𝑥(𝑥−3) = 1
𝑥−2𝑥2 +6𝑥= 1，
−2𝑥2 +7𝑥= 1，
−2𝑥2 +7𝑥−1 = 0，
∴该方程的一般形式为−2𝑥2 +7𝑥−1 = 0，
故选A
【变式3-2】（25-26 九年级上·陕西渭南·期末）将一元二次方程(𝑥+ 𝑎)2 = 𝑏，化成𝑥2−8𝑥−5 = 0的形式，
则𝑎,𝑏的值分别是（ ）
A．−4,21
B．−4,11
C．4,21
D．−8,69
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式的形式及计算方法是解题的关键．
运用完全平方公式展开，再化成一元二次方程的一般式进行比较即可求解．
【详解】解：(𝑥+ 𝑎)2 = 𝑏，
∴𝑥2 +2𝑎𝑥+ 𝑎2−𝑏= 0，
∴2𝑎= −8,𝑎2−𝑏= −5，
解得，𝑎= −4,𝑏= 21，
故选：A．
【变式3-3】（25-26 九年级上·山东临沂·月考）学校的劳动实践基地是一块长30m、宽16m的矩形土地．为
便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到400m2，若
设小道的宽为𝑥m，则根据题意，列方程，并化为一般形式是________．
【答案】𝑥2−31𝑥+ 40 = 0
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得除小路的其余部分可合成长为(30−2𝑥)m，宽为
(16−𝑥)m的矩形，再根据“种植面积达到400m2”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列
出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：∵学校的劳动实践基地是一块长30m、宽16m的矩形土地，小道的宽为𝑥m，
∴除小路的其余部分可合成长为(30−2𝑥)m，宽为(16−𝑥)m的矩形，
由题意可得：(30−2𝑥)(16−𝑥) = 400，
化为一般式为：𝑥2−31𝑥+ 40 = 0，
故答案为：𝑥2−31𝑥+ 40 = 0．
【题型4 求一元二次方程的各项系数】
【例4】（25-26 九年级上·陕西咸阳·月考）将一元二次方程𝑥2−4 = 9𝑥化为一般形式后，常数项为−4，则一
次项的系数为______．
【答案】−9
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可．
【详解】解：𝑥2−4 = 9𝑥，
𝑥2−9𝑥−4 = 0，
所以，一次项系数为−9．
故答案为：−9．
【变式4-1】（25-26 九年级上·新疆塔城·月考）将一元二次方程
1
3𝑥(𝑥−2) = 5化为二次项系数为“1”的一般
形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________．
【答案】
1
−2
−15
【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)
是解题的关键．
先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1 的一元二次方程，再
确定二次项系数、一次项系数、常数项即可．
【详解】解：
1
3𝑥(𝑥−2) = 5，
1
3𝑥2−
2
3𝑥−5 = 0，
𝑥2−2𝑥−15 = 0，
所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是−2，常数项是−15．
故答案为：1；−2；−15．
【变式4-2】（25-26 九年级上·广西钦州·期中）一元二次方程4𝑥2 +5𝑥= 81的常数项为_________．
【答案】−81
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0，（a，b，c
是常数且𝑎≠0）．根据一元二次方程的一般形式的定义可得答案．
【详解】解：一元二次方程4𝑥2 +5𝑥= 81 化成一般式为4𝑥2 +5𝑥−81 = 0，常数项为−81，
故答案是：−81．
【变式4-3】（25-26 九年级上·江西·期中）将一元二次方程𝑥(−𝑥+ 1) = 3化成一般形式后，若二次项的系数
为1，则一次项系数是（ ）
A．1
B．−1
C．3
D．−3
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，通过乘以−1使二次项系数为1，再
确定一次项系数．
【详解】解：∵ 原方程：𝑥(−𝑥+ 1) = 3，
展开：−𝑥2 +𝑥= 3，
移项：−𝑥2 +𝑥−3 = 0，
为使二次项系数为1，乘以−1：𝑥2−𝑥+ 3 = 0，
∴ 一次项系数为−1．
故选：B．
【题型5 由一元二次方程各项系数的值求参数】
【例5】（25-26 九年级上·河北廊坊·期中）关于𝑥的一元二次方程𝑥(𝑥+ □) = 0化成一般形式，其二次项系
数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则□表示的数为（ ）
A．−4
B．4
C．2
D．−2
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0 （𝑎，
𝑏，𝑐是常数且𝑎≠0）特别要注意𝑎≠0的条件．在一般形式中𝑎𝑥2叫二次项，𝑏𝑥叫一次项，𝑐是常数项．其
中𝑎，𝑏，𝑐分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：设□表示的数为𝑚，
化成一元二次方程一般形式是𝑥(𝑥+ □) = 𝑥(𝑥+ 𝑚) = 𝑥2 +𝑚𝑥= 0，
∵二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，
∴𝑚= 4，
∴□表示的数为4，
故选：B．
【变式5-1】（25-26 九年级上·广东深圳·期末）若关于𝑥的一元二次方程(𝑥+ 2)2 = 𝑚(2𝑥+ 1)中不含𝑥的一
次项，则𝑚的值是___________．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键．
将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解𝑚即可．
【详解】解：原方程化为：𝑥2 +4𝑥+ 4 = 2𝑚𝑥+ 𝑚，
移项得：𝑥2 + (4−2𝑚)𝑥+ (4−𝑚) = 0，
由不含𝑥的一次项，得一次项系数4−2𝑚= 0，
解得 𝑚= 2，
故答案为：2．
【变式5-2】若关于𝑥的一元二次方程(𝑚−1)𝑥2 +5𝑥+ 𝑚2−3𝑚+ 2 = 0的常数项为0，则𝑚的值等于（ ）
A．1
B．0
C．1 或2
D．2
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，熟
练掌握各自的定义是解本题的关键．
根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m 的值即可．
【详解】解：∵关于𝑥的一元二次方程(𝑚−1)𝑥2 +5𝑥+ 𝑚2−3𝑚+ 2 = 0的常数项为0，
∴𝑚−1 ≠0，𝑚2−3𝑚+ 2 = 0，
∴(𝑚−2)(𝑚−1) = 0，
解得𝑚= 1（舍去）或𝑚= 2．
故选：D．
【变式5-3】（25-26 九年级上·河南南阳·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是−2，则
这个一元二次方程可能是（ ）
A．3𝑥−2 = 0
B．𝑥2 +2 = 0
C．3𝑥2−1 = 0
D．3𝑥2−𝑥= 2
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A 选项：3𝑥−2 = 0是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意；
B 选项：𝑥2 +2 = 0的二次项系数为1，常数项为2，故本选项不符合题意；
C 选项：3𝑥2−1 = 0的常数项为−1，故本选项不符合题意；
D 选项：将3𝑥2−𝑥= 2移项得3𝑥2−𝑥−2 = 0，其中二次项系数为3，常数项为−2，故本选项符合题意；
故选D
知识点3 一元二次方程的解（根）
1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次
方程的根.
2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若𝑥1，𝑥2是一
元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参
数：𝑎𝑥12 +𝑏𝑥1 +𝑐= 0(𝑎≠0)，𝑎𝑥22 +𝑏𝑥2 +𝑐= 0(𝑎≠0).
【题型6 判断是否是一元二次方程的解】
【例6】（25-26 九年级上·山西运城·期末）下列各数：−4，−3，−2，4，6，其中是一元二次方程𝑥2 +𝑥−12 = 0
的解是（ ）
A．−3
B．4
C．6
D．−4
【答案】D
【分析】本题可通过因式分解法求解一元二次方程，再从给定的数中匹配出方程的解，也可将选项代入方
程验证是否成立．
【详解】解：∵𝑥2 +𝑥−12 = 0
∴对左边因式分解得(𝑥+ 4)(𝑥−3) = 0
则𝑥+ 4 = 0或𝑥−3 = 0
解得𝑥= −4或𝑥= 3
根据题干所给的数中，观察选项可知，选项D 符合，
故选：D．
【变式6-1】下列一元二次方程中，有一个根为1 的方程是（ ）
A．𝑥2−2𝑥+ 3 = 0B．𝑥2−3𝑥+ 2 = 0
C．𝑥2−2𝑥−3 = 0 D．𝑥2 +3𝑥−2 = 0
【答案】B
【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键．
考点3
一元二次方程的解
将𝑥= 1代入各方程，验证方程是否成立．
【详解】解：A、当𝑥= 1时，𝑥2−2𝑥+ 3 = 1−2 + 3 = 2 ≠0，该选项不符合题意；
B、当𝑥= 1时，𝑥2−3𝑥+ 2 = 1−3 + 2 = 0，该选项符合题意；
C、当𝑥= 1时，𝑥2−2𝑥−3 = 1−2−3 = −4 ≠0，该选项不符合题意；
D、当𝑥= 1时，𝑥2 +3𝑥−2 = 1 + 3−2 = 2 ≠0，该选项不符合题意．
故选：B．
【变式6-2】（25-26 九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程𝑥2−4 = 0成立的x 的值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．16
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将各个选项的𝑥的值代入计算即可得解．
【详解】解：A、当𝑥= 1时，12−4 = 1−4 = −3 ≠0，故不符合题意；
B、当𝑥= 2时，22−4 = 4−4 = 0，故符合题意；
C、当𝑥= 4时，42−4 = 16−4 = 12 ≠0，故不符合题意；
D、当𝑥= 16时，162−4 = 256−4 = 252 ≠0，故不符合题意；
故选：B．
【变式6-3】（25-26 九年级上·贵州六盘水·期末）若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)满足
𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，则该一元二次方程的根是（ ）
A．1，2
B．1，0
C．−1，0
D．1，−1
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键
根据当𝑥= 1时，𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0；当𝑥= −1时，𝑎−𝑏+ 𝑐= 0作答即可．
【详解】解：∵𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，
∴当𝑥= 1时，𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0；当𝑥= −1时，𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，
∴方程的根是𝑥= 1或𝑥= −1，
故选：D．
【题型7 由一元二次方程的解求参数】
【例7】（25-26 九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x 的一元二次方程𝑥2 +3𝑥−𝑚= 0的一个根是−1，则m
的值是（ ）
A．−2
B．2
C．−4
D．4
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的定义．
将已知根代入方程即可求出m 的值．
【详解】解：∵𝑥= −1是方程𝑥2 +3𝑥−𝑚= 0的根，
∴将𝑥= −1代入方程得：(−1)2 +3 × (−1)−𝑚= 0，
即1−3−𝑚= 0，
∴−2−𝑚= 0，
解得𝑚= −2．
故选：A．
【变式7-1】（25-26 九年级上·福建泉州·期末）已知关于x 的方程𝑥+ 𝑚= (𝑥+ 1)(𝑚𝑥+ 1)有一个根是0，
则m 的值为____．
【答案】1
【分析】本题考查了方程的解的定义．将𝑥= 0代入方程，利用根的定义求解
【详解】解：将𝑥= 0代入方程 𝑥+ 𝑚= (𝑥+ 1)(𝑚𝑥+ 1)，得 𝑚= 1 × 1 = 1，
故答案为：1
【变式7-2】（25-26 九年级上·重庆綦江·期中）若关于x 的一元二次方程𝑥2 +2𝑥+ 𝑚−1 = 0有一个根为−2，
则m 的值为（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把𝑥= −2代入方程求出𝑚即可，解题的关键是理解方程解的定义．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程𝑥2 +2𝑥+ 𝑚−1 = 0有一个根为−2，
∴4−4 + 𝑚−1 = 0，
∴𝑚= 1，
故选：C．
【变式7-3】（25-26 九年级上·全国·期末）已知𝑥= −1是关于x 的方程𝑥2−8𝑥+ 2𝑚−1 = 0的解，则m 的值
为___________．
【答案】−4
【分析】本题考查了一元二次方程的知识，根据一元二次方程的性质，将𝑥= −1代入到原方程计算，即可
得到答案．
【详解】解：∵𝑥= −1是关于x 的方程𝑥2−8𝑥+ 2𝑚−1 = 0的解，
∴1−8 × (−1) + 2𝑚−1 = 0
∴𝑚= −4
故答案为：−4．
【题型8 由一元二次方程的解求代数式的值】
【例8-1】方程3𝑥2−5𝑥+ 2 = 0的一个根是𝑎，则10𝑎−6𝑎2 +2019＝_____．
【答案】2023
【分析】把𝑎代入方程，得到3𝑎2−5𝑎= −2，把3𝑎2−5𝑎看成是一个整体，代入代数式求值即可.
【详解】把𝑎代入方程得：3𝑎2−5𝑎+ 2 = 0
则：3𝑎2−5𝑎= −2
原式= −2(3𝑎2−5𝑎) + 2019 = (−2) × (−2) + 2019 = 2023
故填：2023.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解和代数式求值，采用整体代入法是解本题的关键.
【例8-2】（25-26 九年级上·四川泸州·期末）若m 是方程𝑥2−𝑥−1 = 0的一个根，则𝑚3−3𝑚2 +𝑚+ 5的值为
______．
【答案】3
【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．
根据一元二次方程的解的意义可得𝑚2−𝑚−1 = 0，则𝑚2 = 𝑚+ 1，将原式变形后代入计算即可．
【详解】解：∵𝑚是方程𝑥2−𝑥−1 = 0的一个根，
∴𝑚2−𝑚−1 = 0，
即𝑚2 = 𝑚+ 1．
∴𝑚3−3𝑚2 +𝑚+ 5
= 𝑚⋅𝑚2−3𝑚2 +𝑚+ 5，
= 𝑚(𝑚+ 1)−3(𝑚+ 1) + 𝑚+ 5，
= 𝑚2 +𝑚−3𝑚−3 + 𝑚+ 5，
= 𝑚2−𝑚+ 2，
= (𝑚2−𝑚−1) + 3，
= 3．
故答案为：3．
【变式8-1】（25-26 九年级上·河南驻马店·期末）若𝑥= 𝑚是一元二次方程𝑥2−2𝑥−15 = 0的解，则代数式
2𝑚2−4𝑚的值为______．
【答案】30
【分析】根据方程的解的定义，将𝑥= 𝑚代入方程得到关于𝑚的等式，再对所求代数式进行变形，最后代入
计算．本题主要考查了一元二次方程的解的定义以及代数式求值，熟练掌握方程的解的定义并能对代数式
进行合理变形是解题的关键．
【详解】解：∵𝑥= 𝑚是一元二次方程𝑥2−2𝑥−15 = 0的解
∴𝑚2−2𝑚−15 = 0
∴𝑚2−2𝑚= 15
∵2𝑚2−4𝑚= 2(𝑚2−2𝑚)
∴2𝑚2−4𝑚= 2 × 15 = 30
故答案为：30．
【变式8-2】（25-26 八年级下·重庆·期末）若a 是方程𝑥2 +𝑥−4 = 0的一个根，则𝑎3 +2𝑎2−3𝑎+ 7的值为
_________
【答案】11
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解的定义把𝑥= 𝑎代入方程得到
𝑎2 +𝑎−4 = 0，然后根据等式的性质易得𝑎2 +𝑎= 4，代入原式即可解答．
【详解】解：∵a 是方程𝑥2 +𝑥−4 = 0的一个根，
∴𝑎2 +𝑎−4 = 0，
∴𝑎2 +𝑎= 4，
∴𝑎3 +2𝑎2−3𝑎+ 7
= 𝑎(𝑎2 + 𝑎) + 𝑎2−3𝑎+ 7，
= 4𝑎+ 𝑎2−3𝑎+ 7，
= 𝑎2 +𝑎+ 7，
= 4 + 7，
= 11，
故答案为：11．
【变式8-3】（2025·广东珠海·一模）设𝛼是方程𝑥2−2025𝑥+ 1 = 0的一个实根，则𝛼2−2024𝛼+
2025
𝛼2+1 = （ ）
A．2025
B．2024
C．2023
D．2022
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的
值，据此可得𝑎2−2025𝑎+ 1 = 0，则𝑎2 +1 = 2025𝑎，𝑎2−2024𝑎= 𝑎−1，再把𝑎2 +1 = 2025𝑎，𝑎2
−2024𝑎= 𝑎−1代入所求式子中计算求解即可．
【详解】解：∵𝛼是方程𝑥2−2025𝑥+ 1 = 0的一个实根，
∴𝑎2−2025𝑎+ 1 = 0，
∴𝑎2 +1 = 2025𝑎，𝑎2−2024𝑎= 𝑎−1，
∴𝛼2−2024𝛼+
2025
𝛼2+1
= 𝑎−1 +
2025
2025𝑎，
= 𝑎+
1
𝑎−1，
=
𝑎2+1
𝑎−1，
=
2025𝑎
𝑎
−1，
= 2025−1，
= 2024，
故选：B．
【变式8-4】（25-26 九年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知𝑚为方程𝑥2 +3𝑥−2023 = 0的根，那么𝑚3 +2𝑚2
−2026𝑚+ 2023的值为（ ）
A．-2022
B．2022
C．0
D．4044
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将方程的根代入方程，化简得𝑚2 +3𝑚= 2023，将代数式
变形，整体代入求值即可．
【详解】解：∵𝑚为方程𝑥2 +3𝑥−2023 = 0的根，
∴𝑚2 +3𝑚−2023 = 0，
∴𝑚2 +3𝑚= 2023，
∴原式= 𝑚3 +3𝑚2−𝑚2−3𝑚−2023𝑚+ 2023
= 𝑚(𝑚2 +3𝑚)−(𝑚2 +3𝑚)−2023𝑚+ 2023，
= 2023𝑚−2023−2023𝑚+ 2023，
= 0．
故选：C．
【题型9 已知一元二次方程的解求另一个方程的解】
【例9】（25-26 九年级上·吉林长春·月考）若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−8 = 0(𝑎≠0)有一个根为
𝑥= 2025，则一元二次方程𝑎(𝑥+ 3)2 +𝑏𝑥+ 3𝑏= 8(𝑎≠0)有一个根为（ ）
A．𝑥= 2022
B．𝑥= 2023
C．𝑥= 2025
D．𝑥= 2028
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键．
通过换元法，将第二个方程转化为第一个方程的形式，然后利用已知根求解．
【详解】解：方程𝑎(𝑥+ 3)2 +𝑏𝑥+ 3𝑏= 8可变形为：𝑎(𝑥+ 3)2 +𝑏𝑥+ 3𝑏−8 = 0，
又∵𝑏𝑥+ 3𝑏= 𝑏(𝑥+ 3)，
∴方程化为𝑎(𝑥+ 3)2 +𝑏(𝑥+ 3)−8 = 0．
设𝑦= 𝑥+ 3，则方程化为𝑎𝑦2 +𝑏𝑦−8 = 0，
∵方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−8 = 0有一个根为𝑥= 2025，
∴方程𝑎𝑦2 +𝑏𝑦−8 = 0有一个根为𝑦= 2025，
即𝑥+ 3 = 2025，
∴ 𝑥= 2022．
故选A．
【变式9-1】（25-26 八年级下·浙江绍兴·期中）若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−1 = 0(𝑎≠0)有一根为
2022，则一元二次方程𝑎(1−𝑥)2−𝑏(𝑥−1) = 1必有一根为_____________．
【答案】𝑥= −2021/−2021
【分析】对所求一元二次方程整理变形后，利用换元法得到与已知方程形式一致的方程，结合已知方程的
根求出所求方程的根即可．
【详解】解：将方程𝑎(1−𝑥)2−𝑏(𝑥−1) = 1变形为𝑎(1−𝑥)2 +𝑏(1−𝑥)−1 = 0，
设𝑡= 1−𝑥，则可得𝑎𝑡2 +𝑏𝑡−1 = 0，
∵一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−1 = 0(𝑎≠0)有一根为2022，
∴𝑎𝑡2 +𝑏𝑡−1 = 0有一根为𝑡= 2022，
即1−𝑥= 2022，
解得𝑥= −2021，
∴一元二次方程𝑎(1−𝑥)2−𝑏(𝑥−1) = 1必有一根为𝑥= −2021．
【变式9-2】（25-26 八年级下·浙江温州·期中）若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎𝑐≠0)有一根为
𝑥= 𝑚，则关于𝑥的一元二次方程𝑐𝑥2−𝑏𝑥+ 𝑎= 0(𝑎𝑐≠0)必有一根为（ ）
A．−𝑚
B．
1
𝑚
C．𝑚
D．−
1
𝑚
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义；
根据𝑥= 𝑚满足方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎𝑐≠0)，得到𝑎𝑚2 +𝑏𝑚+ 𝑐= 0，两边同时除以−𝑚2可确定所求方程
的一个根．
【详解】解：𝑥= 𝑚把代入一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎𝑐≠0)，得，
𝑎𝑚2 +𝑏𝑚+ 𝑐= 0，
两边除以−𝑚2（𝑚≠0，若𝑚= 0，代入𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0得𝑐= 0，与𝑎𝑐≠0矛盾 ），得，
−𝑎−
𝑏
𝑚−
𝑐
𝑚2 = 0，
𝑐−
1
𝑚
2
−𝑏−
1
𝑚+𝑎= 0 ．
∴当𝑥= −
1
𝑚时，方程𝑐𝑥2−𝑏𝑥+ 𝑎= 0成立．
∴方程𝑐𝑥2−𝑏𝑥+ 𝑎= 0(𝑎𝑐≠0)必有一根为𝑥= −
1
𝑚 ，
故选：D．
【变式9-3】（25-26 八年级下·山东泰安·期末）若𝑥= 2025是关于x 的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 1 = 0的一个根，则关
于x 的方程𝑎(𝑥+ 1)2 +𝑏𝑥+ 𝑏= −1必有一个根为（ ）
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程𝑎(𝑥+ 1)2 +𝑏𝑥+ 𝑏= −1整理为：𝑎(𝑥+ 1)2 +𝑏(𝑥+ 1)
+1 = 0，通过变量替换𝑦= 𝑥+ 1，转化为原方程的形式，从而确定新方程的根．
【详解】解：将方程𝑎(𝑥+ 1)2 +𝑏𝑥+ 𝑏= −1整理为：𝑎(𝑥+ 1)2 +𝑏(𝑥+ 1) +1 = 0，
令𝑦= 𝑥+ 1，则方程变为𝑎𝑦2 +𝑏𝑦+ 1 = 0，与原方程形式相同，
∵𝑦= 2025是关于y 的方程𝑎𝑦2 +𝑏𝑦+ 1 = 0的一个根，
∴𝑦= 𝑥+ 1 = 2025，
∴𝑥= 2024，
∴关于x 的方程𝑎(𝑥+ 1)2 +𝑏𝑥+ 𝑏= −1必有一个根为2024，
故选：A．
【题型10 根据实际问题列一元二次方程】
【例10】（25-26 九年级上·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉
三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1 贯= 1000文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，
求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x 尺，则可列方程为（ ）
A．(𝑥−3)(𝑥+ 47) = 2975
B．(𝑥−3)(𝑥−47) = 2975
C．(𝑥+ 3)(𝑥−47) = 2975
D．(𝑥+ 3)(𝑥+ 47) = 2975
【答案】A
【分析】根据题意，用x 分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价= 长度× 单价”列方程
即可．
【详解】解：∵设这匹锦的长为𝑥尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，
∴每尺锦的价格为(𝑥+ 47)文；
∵先卖掉三尺，
∴剩下的锦长度为(𝑥−3)尺；
∵剩下的锦总售价为2975文，总售价= 长度× 单价，
∴列方程得(𝑥−3)(𝑥+ 47) = 2975．
【变式10-1】（25-26 九年级上·甘肃张掖·期末）中国首款“甘肃造”养老机器人将于今年四季度量产，填补
了甘肃在机器人制造领域的空白．某公司“养老机器人”在10 月份产值达到1500 万元，预计12 月份产值将
增至3000 万元，设该公司11，12 两个月的月平均增长率为𝑥，则列出的方程为（ ）
A．1500(1 + 𝑥)2 = 3000
B．1500(1−𝑥2) = 3000
C．1500(1 + 2𝑥) = 3000
D．1500(1 + 2𝑥)2 = 3000
【答案】A
【分析】初始量为𝑎，月平均增长率为𝑥，经过𝑛个月后的量为𝑎(1 + 𝑥)𝑛．从10月份到12月份经过2 个月，
初始产值为1500万元，12月份产值为3000万元，据此即可列出方程．
【详解】解：∵10月份产值为1500万元，月平均增长率为𝑥，
考点4
根据实际问题列一元二次方程
∴12月份的产值为1500(1 + 𝑥) × (1 + 𝑥) = 1500(1 + 𝑥)2万元，
∴可列方程为1500(1 + 𝑥)2 = 3000．
【变式10-2】（25-26 九年级上·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模
最大的省级足球赛事，于2025 年11 月29 日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其
他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120 场比赛．设有𝑥支球队参加比赛，可列方程为（ ）
A．𝑥(𝑥+ 1) = 120
B．𝑥(𝑥−1) = 120
C．
1
2𝑥(𝑥+ 1) = 120
D．
1
2𝑥(𝑥−1) = 120
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解单循环赛制的比赛场数计算方法，避免重复计数．
设有𝑥支球队参加比赛，根据单循环赛制可知实际总场次为
1
2𝑥(𝑥−1)场，据此得出方程．
【详解】解：∵有𝑥支球队参赛，每支球队需与其余(𝑥−1)支球队各赛一场，
∴若不考虑重复，总场次为𝑥(𝑥−1)场，
又∵单循环赛制中，A 与B 比赛和B 与A 比赛是同一场，存在重复计数，
∴实际总场次为
1
2𝑥(𝑥−1)场，
∴可列方程为
1
2𝑥(𝑥−1) = 120，
故选：D．
【变式10-3】（25-26 九年级上·陕西西安·期末）一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与
十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为𝑥，则根据题意可列方程为_____．
【答案】𝑥(9−𝑥) = 20（或𝑥2−9𝑥+ 20 = 0）
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系．
先利用个位数字与十位数字的和为9，用含𝑥的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20 的等量关系列
出方程．
【详解】解：设这个两位数的个位数字为𝑥，则十位数字为9−𝑥．
根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为𝑥(9−𝑥) = 20，
将其整理为一元二次方程的一般形式为𝑥2−9𝑥+ 20 = 0．
故答案为：𝑥(9−𝑥) = 20（或𝑥2−9𝑥+ 20 = 0）．
