专题02 二次函数图象与各项系数符号（60 题）（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
1．（2026·山东·中考真题）如图，点𝑃是抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎≠0）的顶点．下列结论正确的是（ ）
A．2𝑎+ 𝑏= 0
B．−
3
4 < 𝑎< −
1
2
C．对任意实数𝑡，𝑎𝑡2 +𝑏𝑡< 4𝑎+ 2𝑏总成立
D．若点𝐴(1−𝑚,𝑦1)，𝐵(1 + 𝑚,𝑦2)在抛物线上，则𝑦1 < 𝑦2
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与𝑦轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断
选项．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则𝑎< 0.
∵ 顶点𝑃的坐标为(2,3)，
∴ 对称轴为直线𝑥= 2，即−
𝑏
2𝑎= 2，
∴𝑏= −4𝑎，即4𝑎+ 𝑏= 0，故A 错误；
设抛物线的解析式为𝑦= 𝑎(𝑥−2)2 +3 .
令𝑥= 0，得𝑦= 4𝑎+ 3，即抛物线与𝑦轴的交点坐标为(0,4𝑎+ 3).
由图象可知，抛物线与𝑦轴的交点在𝑥轴上方且在𝑦= 1的下方，
∴0 < 4𝑎+ 3 < 1， 解得−
3
4 < 𝑎< −
1
2，故B 正确；
根据图象得：当𝑥= 2时，𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐取得最大值为：𝑦= 4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐，
对任意实数𝑡，𝑎𝑡2 +𝑏𝑡+ 𝑐≤4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐，
∴𝑎𝑡2 +𝑏𝑡≤4𝑎+ 2𝑏，故C 错误；
∵对称轴为𝑥= 2，
∴|1−𝑚−2| = |𝑚+ 1|，|1 + 𝑚−2| = |𝑚−1|，
当𝑚= 0时，两点到对称轴的距离相等，𝑦1 = 𝑦2，故D 错误．
2．（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中
正确的是（ ）
A．𝑎𝑏𝑐> 0
B．𝑏+ 4𝑎= 0
C．5𝑎+ 𝑐>0
D．当𝑥< −5或𝑥> 1时，𝑦> 0
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对
称性的特点对选项逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴𝑎> 0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方，
∴𝑐< 0，
∵抛物线的对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎= −2 < 0，
∴𝑏= 4𝑎,𝑏> 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，选项A 错误；
𝑏+ 4𝑎= 4𝑎+ 4𝑎= 8𝑎> 0，选项B 错误；
∵抛物线关于对称轴𝑥= −2对称，
∴(−5,0)关于𝑥= −2的对称点为(1,0)，
将(1,0)代入抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，得𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，
∵𝑏= 4𝑎，
∴𝑎+ 4𝑎+ 𝑐= 0，即5𝑎+ 𝑐= 0，选项C 错误；
由图象可知，当𝑥< −5或𝑥> 1时，𝑦> 0，选项D 正确．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎、𝑏、𝑐为常数，且𝑎≠0）经过点(−1,0)、
(0,6)，其对称轴在𝑦轴右侧，下列结论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②𝑎> −6；③𝑏−𝑎= −6；④4𝑎𝑐−𝑏2 < 0．其中正
确的有（ ）
A．①②③
B．①④
C．①②④
D．②③④
【答案】C
【分析】先将已知点代入抛物线解析式，得到𝑐的值和𝑎与𝑏的关系，再结合对称轴在𝑦轴右侧的条件，逐一
判定每个结论的正确性即可.
【详解】解：将点(0,6)代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，得𝑐= 6，𝑐> 0，
将点(−1,0)代入抛物线解析式，得𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，整理得𝑏= 𝑎+ 6，即𝑏−𝑎= 6，故结论③错误；
∵抛物线对称轴在𝑦轴右侧，
∴对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎> 0，
∴𝑎与𝑏异号，
∴𝑎𝑏< 0，
∵𝑐= 6 > 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，故结论①正确.
将𝑏= 𝑎+ 6代入𝑎𝑏< 0，得𝑎(𝑎+ 6) < 0，解得−6 < 𝑎< 0，故结论②正确；
∵抛物线与𝑥轴已经有一个交点(−1,0)在𝑦轴的左侧，且对称轴在𝑦轴右侧，
∴顶点不可能在𝑥轴上，
∴抛物线与𝑥轴有两个不同的交点，
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐> 0，即4𝑎𝑐−𝑏2 < 0，故结论④正确；
综上，正确结论为①②④.
4．（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐经过点(−1,0)，与x 轴的另一个交点在点(2,0)
和点(3,0)之间，与y 轴相交于正半轴：①𝑏= 𝑎+ 𝑐；②𝑎+ 𝑏> 0；③2𝑎+ 𝑏> 0；④
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
+𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0
中，正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】根据题意，得𝑎× (−1)2 +𝑏× (−1) +𝑐= 0，计算得到
1
2<−
𝑏
2𝑎<1，结合顶点位置，抛物线与x 轴的
交点问题，抛物线的性质，解答即可；
【详解】解：抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐经过点(−1,0)，
∴𝑎× (−1)2 +𝑏× (−1) +𝑐= 0，
∴𝑏= 𝑎+ 𝑐，
故①正确；
设抛物线与x 轴的另一个交点为(𝑥0,0)，根据题意，与x 轴的另一个交点在点(2,0)和点(3,0)之间，
∴2<𝑥0<3，
∴1<𝑥0−1<2，
∴
1
2<
𝑥0+(−1)
2
<1，
∴
1
2<−
𝑏
2𝑎<1，
∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐开口向下，
∴𝑎<0，
∵
1
2<−
𝑏
2𝑎<1，
∴𝑏>0，𝑎>−𝑏，𝑏<−2𝑎，
∴𝑎+ 𝑏> 0，2𝑎+ 𝑏<0，
故②正确；③错误；
∵1<2<𝑥0<3，抛物线开口向下，
∴𝑥= 1时，其函数值大于0，
∴𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0，
∵抛物线的顶点在x 轴的上方，
∴
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
> 0，
∴
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
+𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0，
故④错误；
故正确的结论有2 个．
5．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐 与x 轴交于点𝐴(−1,0)，顶点坐标(1,𝑛)，与
y 轴的交点在(0,−2)，(0,−3)之间（包含端点），下列结论：①3𝑎+ 𝑏< 0 ；②
2
3 ≤𝑎≤1 ；③对于任意
实数m，𝑎+ 𝑏≤𝑚(𝑎𝑚+ 𝑏)总成立；④关于x 的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑛−1 有两个不相等的实数根．其中正
确结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点𝐴 坐标可得𝑏= −2𝑎,𝑐= −3𝑎 ，利用𝑐的范围求𝑎的
范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，𝑎> 0 ， 对称轴为直线𝑥= −
𝑏
2𝑎= 1 ，
∴𝑏= −2𝑎 ，
∴3𝑎+ 𝑏= 3𝑎−2𝑎= 𝑎> 0 ，
故①错误；
∵抛物线过点𝐴(−1,0) ，
∴𝑎−𝑏+ 𝑐= 0 ，即𝑎−(−2𝑎) + 𝑐= 0 ，
∴𝑐= −3𝑎 ，
∵−3 ≤𝑐≤−2 ，
∴−3 ≤−3𝑎≤−2 ，
∴
2
3 ≤𝑎≤1 ，
故②正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线𝑥= 1，
∴当𝑥= 1时，𝑦 有最小值𝑎+ 𝑏+ 𝑐 ，
∴对于任意实数𝑚，都有𝑎𝑚2 +𝑏𝑚+ 𝑐≥𝑎+ 𝑏+ 𝑐 ，
∴𝑎𝑚2 +𝑏𝑚≥𝑎+ 𝑏 ，即𝑎+ 𝑏≤𝑚(𝑎𝑚+ 𝑏) ，
故③正确；
抛物线顶点坐标为(1,𝑛) ，且开口向上，
∴𝑦 的最小值为𝑛，
∴直线𝑦= 𝑛−1 与抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐 没有交点，
∴关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑛−1 没有实数根，
故④错误．
综上所述，正确的结论有②，共2 个．
6．（25-26 九年级下·广东河源·阶段检测）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象与𝑥轴的一个交点𝐴位
于(−2, 0)和(−1, 0)之间，顶点𝑃的坐标为(1, 𝑛)．下列结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；②对于任意实数𝑚，都有𝑎𝑚2 +𝑏𝑚−𝑎−𝑏≥0；③3𝑏< 2𝑐；④若该二次函数的图象与𝑥轴的
另一个交点为𝐵，则点𝐵的横坐标位于3 和4 之间．其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】①③④
【分析】由二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐开口向下，对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎= 1 > 0，交y 轴于正半轴可得𝑎< 0，
𝑏> 0，𝑐> 0，从而𝑎𝑏𝑐< 0，故①正确；由顶点𝑃的坐标为(1, 𝑛)可得对于任意实数𝑚，都有𝑎𝑚2
+𝑏𝑚+ 𝑐≤𝑎+ 𝑏+ 𝑐，即𝑎𝑚2 +𝑏𝑚−𝑎−𝑏≤0，故②不正确；由二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象与𝑥
轴的一个交点𝐴位于(−2, 0)和(−1, 0)之间得𝑦= 𝑎−𝑏+ 𝑐> 0，又𝑏= −2𝑎，故−
𝑏
2−𝑏+ 𝑐> 0，即3𝑏< 2𝑐，
故③正确；由点𝐴和点𝐵关于𝑥= 1对称和点𝐴位于(−2, 0)和(−1, 0)之间可得点𝐵的横坐标位于3 和4 之间，
故④正确．
【详解】解：∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐开口向下，
∴𝑎< 0，
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎= 1 > 0，
∴𝑏> 0，
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐交y 轴于正半轴，
∴𝑐> 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，故①正确；
∵顶点𝑃的坐标为(1, 𝑛)，
∴当𝑥= 1时，y 最大为𝑎+ 𝑏+ 𝑐，
∴对于任意实数𝑚，都有𝑎𝑚2 +𝑏𝑚+ 𝑐≤𝑎+ 𝑏+ 𝑐，即𝑎𝑚2 +𝑏𝑚−𝑎−𝑏≤0，故②不正确；
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象与𝑥轴的一个交点𝐴位于(−2, 0)和(−1, 0)之间，
∴当𝑥= −1时，𝑦= 𝑎−𝑏+ 𝑐> 0，
∵𝑏= −2𝑎，即𝑎= −
𝑏
2，
∴−
𝑏
2−𝑏+ 𝑐> 0，即3𝑏< 2𝑐，故③正确；
若该二次函数的图象与𝑥轴的另一个交点为𝐵，则点𝐴和点𝐵关于𝑥= 1对称，
∵点𝐴位于(−2, 0)和(−1, 0)之间，1−(−2) = 3，1−(−1) = 2，
∴点𝐵的横坐标位于3 和4 之间，故④正确；
综上所述，①③④正确．
7．（2026·江苏徐州·一模）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与𝑥轴交于点𝐴(1,0)，点𝐵(3,0)，下列结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；②4𝑎+ 𝑏= 0；③𝑏2−4𝑎𝑐> 0；④𝑎−𝑏+ 𝑐> 0．正确的个数为________个．
【答案】4
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、抛物线与𝑥轴的交点等知识．
根据图象可得：抛物线的开口向上，与𝑦轴交于正半轴，即得𝑎> 0，𝑐> 0，进而根据抛物线与𝑥轴交于点
𝐴(1,0)，点𝐵(3,0)可得到对称轴−
𝑏
2𝑎= 2，即可判断𝑏< 0，𝑏+ 4𝑎= 0，𝑏2−4𝑎𝑐> 0，可得结论①②③正
确；当𝑥= −1时𝑦> 0，即𝑎−𝑏+ 𝑐> 0，可得结论④正确．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与𝑦轴交于正半轴，
∴𝑎> 0，𝑐> 0，
∵抛物线与𝑥轴交于点𝐴(1,0)，点𝐵(3,0)，当𝑥= −1时𝑦> 0，
∴抛物线的对称轴是直线𝑥= 2，𝑏2−4𝑎𝑐> 0，𝑎−𝑏+ 𝑐> 0，故结论③④正确，
∴−
𝑏
2𝑎= 2 > 0，即𝑏= −4𝑎< 0，𝑏+ 4𝑎= 0，故结论②正确，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，故结论①正确，
综上，说法正确的个数为4．
8．（25-26 九年级下·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象与𝑥轴交于𝐴，𝐵
两点，与𝑦轴交于点𝐶，且𝑂𝐴= 𝑂𝐶．则下列结论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
> 0；③𝑎𝑐−𝑏+ 1 = 0；④方程
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑐有两个不相等的实数根．其中正确结论是______．（填写序号）
【答案】①③④
【分析】由二次函数的图象得出𝑎< 0、𝑏> 0、𝑐> 0，即可判断①；由二次函数与𝑥轴有两个交点得出Δ =
𝑏2−4𝑎𝑐> 0，结合𝑎< 0，即可判断②；求出𝐴(−𝑐,0)，代入抛物线解析式得出𝑎𝑐2−𝑏𝑐+ 𝑐= 0，即可判断
③；解一元二次方程即可判断④，从而得到答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴𝑎< 0，
∵抛物线的对称轴在𝑦轴的右侧，
∴−
𝑏
2𝑎> 0，
∴𝑏> 0，
∵抛物线交𝑦轴于正半轴，
∴𝑐> 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，故①正确，符合题意；
∵抛物线与𝑥轴有两个交点，
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐> 0，
∵𝑎< 0，
∴
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
< 0，故②错误，不符合题意；
在𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)中，当𝑥= 0时，𝑦= 𝑐，
∴𝐶(0,𝑐)，
∵𝑂𝐴= 𝑂𝐶，
∴𝐴(−𝑐,0)，
把𝐴(−𝑐,0)代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)得：𝑎𝑐2−𝑏𝑐+ 𝑐= 0，
∴𝑎𝑐−𝑏+ 1 = 0，故③正确，符合题意；
∵𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑐，
∴𝑎𝑥2 +𝑏𝑥= 0，
∴𝑥(𝑎𝑥+ 𝑏) = 0，
∴𝑥1 = 0,𝑥2 = −
𝑏
𝑎，
∵𝑏≠0,𝑎≠0，
∴𝑥2 ≠0，
∴方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑐有两个不相等的实数根，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①③④．
9．（25-26 九年级上·山东烟台·期末）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图像与𝑥轴交于点𝐴，(3,0)、𝐵
(−1,0)，与𝑦轴交于点𝐶(0,𝑚)，其中−4 < 𝑚< −3．则下列结论：
①2𝑎+ 𝑏−𝑐> 0；②方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−5 = 0没有实数根；③−
8
3 < 𝑏< −2；④
𝑎+𝑏+𝑐
𝑏−𝑎> 0；
⑤若(−2,𝑦1)，(4,𝑦2)两点都在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图像上，则𝑦2 < 𝑦1．
其中正确的有____．（填写序号）
【答案】①③④
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键．
根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为−
𝑏
2𝑎=
3−1
2 = 1，𝑎> 0，则𝑏= −2𝑎，当𝑥= −1时，代入计算可
判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到𝑐=
3
2𝑏，可判定③；根据函数最小值的
大小可判定④；根据函数二次函数的对称性，增减性可判定⑤．
【详解】解：二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与x 轴交于点𝐴3，0 、𝐵−1，0 ，，图象开口向上，
∴对称轴直线为−
𝑏
2𝑎=
3−1
2 = 1，𝑎> 0．
∴𝑏= −2𝑎，
当𝑥= −1时，𝑦= 𝑎−𝑏+ 𝑐= 0．
∴𝑎−(−2𝑎) +𝑐= 0，即3𝑎+ 𝑐= 0．
∴𝑐= −3𝑎．
∴2𝑎+ 𝑏−𝑐= 2𝑎+ (−2𝑎)−(−3𝑎) = 3𝑎> 0，故①正确；
图象开口向上，对称轴直线为𝑥= 1，
∴当𝑥= 1时，函数有最小值，最小值在x 轴的下方．
∴抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与直线𝑦= 5有两个不同的交点．
∴方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−5 = 0有两个不相等的实数根，故②错误；
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与y 轴交于点𝐶(0,𝑚)，其中−4 < 𝑚< −3，
∴当𝑥= 0，𝑦= 𝑐= 𝑚．
∴−4 < 𝑐< −3．
∵𝑐= −3𝑎，𝑏= −2𝑎，
∴𝑐=
3
2𝑏，
∴−4 <
3
2𝑏< −3解得，−
8
3 < 𝑏< −2故③正确；
当𝑥= 1时，函数有最小值，最小值为𝑦= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0，𝑏= −2𝑎，
∴𝑏−𝑎= −2𝑎−𝑎= −3𝑎< 0．
∴
𝑎+𝑏+𝑐
𝑏−𝑎> 0，故④正确；
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
若(−2,𝑦1)，(4,𝑦2)两点都在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象上，
∵|−2−1| = |4−1|，
∴𝑦1 = 𝑦2，故⑤正确；；
综上所述，正确的有①③④；
故答案为：①③④．
10．（25-26 九年级上·山东威海·期末）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)图象上部分点的坐标满足下表：
𝑥
⋯
−3
−2
0
3
5
⋯
𝑦
⋯
24
10
−6
0
24
⋯
下面四个结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；②2𝑎+ 𝑏= 0；③𝑎𝑚2 +𝑏𝑚−𝑎−𝑏≥0；④当−1 < 𝑥< 3时，𝑦< 0；⑤8𝑎+ 𝑐< 0．
其中正确的是__________(填写序号)．
【答案】②③④
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，关键是利用表格中的点求出函数解析式或确定对称轴、开口
方向等，进而逐一判断各个结论的正确性．
【详解】解：由表格可知，当𝑥= 0时，𝑦= −6，∴𝑐= −6．
当𝑥= −2时，𝑦= 10；当𝑥= 3时，𝑦= 0，
∴
4𝑎−2𝑏−6 = 10
9𝑎+ 3𝑏−6 = 0
，解得
𝑎= 2
𝑏= −4
，
∴二次函数解析式为𝑦= 2𝑥2−4𝑥−6．
𝑎𝑏𝑐= 2 × (−4) × (−6) = 48 > 0，故①错误；
②∵2𝑎= 4，𝑏= −4，
∴2𝑎+ 𝑏= 4−4 = 0，故②正确；
③二次函数的图象对称轴为𝑥= −
𝑏
2𝑎= 1，开口向上，
∴当𝑥= 1时，函数取得最小值𝑎+ 𝑏+ 𝑐，
∴𝑎𝑚2 +𝑏𝑚+ 𝑐≥𝑎+ 𝑏+ 𝑐，
即𝑎𝑚2 +𝑏𝑚−𝑎−𝑏≥0，故③正确；
④由对称轴𝑥= 1及𝑥= 3时𝑦= 0，可知另一交点为𝑥= −1，结合函数图象开口向上，
∴当−1 < 𝑥< 3时，𝑦< 0，故④正确；
⑤∵8𝑎+ 𝑐= 8 × 2 + (−6) = 10 > 0，故⑤错误．
综上，正确的结论是②③④．
故答案为：②③④．
11．（2026·四川广元·三模）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象与𝑥轴交于两点(−1,0)，(𝑥1,0)，
且2 < 𝑥1 < 3．下列结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②2𝑎+ 𝑐< 0；③4𝑎−𝑏+ 2𝑐< 0；④若𝑚和𝑛是关于𝑥的一元二次
方程𝑎(𝑥+ 1)(𝑥−𝑥1) +𝑐= 0(𝑎≠0)的两根，且𝑚< 𝑛，则𝑚< −1，𝑛> 2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与𝑦轴的交点判断𝑎,𝑏,𝑐的符号；利用𝑥= −1、𝑥= 2时的函
数值推导2𝑎+ 𝑐的符号；结合对称轴范围推导4𝑎−𝑏+ 2𝑐的符号；再根据二次函数与一元二次方程的关系，
判断方程𝑎(𝑥+ 1)(𝑥−𝑥1) +𝑐= 0的根的分布情况．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴𝑎> 0，
∵对称轴在𝑦轴右侧，
∴𝑥= −
𝑏
2𝑎> 0，
∴𝑏< 0，
∵抛物线与𝑦轴交于负半轴，
∴𝑐< 0，
∴𝑎𝑏𝑐> 0，①正确；
由图象可得，当𝑥= 2时，𝑦= 4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐< 0，
又∵当𝑥= −1时，𝑦= 𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，
∴𝑏= 𝑎+ 𝑐，
∴4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 4𝑎+ 2𝑎+ 2𝑐+ 𝑐= 6𝑎+ 3𝑐< 0，
∴2𝑎+ 𝑐< 0，②正确；
∵二次函数的图象与𝑥轴交于两点(−1,0)，(𝑥1,0)，且2 < 𝑥1 < 3．
∴
−1+2
2
<
−1+𝑥1
2
<
−1+3
2 ，且对称轴𝑥=
−1+𝑥1
2
= −
𝑏
2𝑎> 0，
∴
1
2 < −
𝑏
2𝑎< 1，
∵𝑎> 0，
∴𝑎< −𝑏< 2𝑎，
∴2𝑎+ 𝑏> 0，即2𝑎+ 𝑎+ 𝑐> 0，即3𝑎+ 𝑐> 0，
∴4𝑎−𝑏+ 2𝑐= 4𝑎−𝑎−𝑐+ 2𝑐= 3𝑎+ 𝑐> 0，③错误；
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象与𝑥轴交于两点(−1,0)，(𝑥1,0)，
∴𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥−𝑥1)，
∵当𝑥= 0时，𝑦= 𝑐，
∴𝑦= −𝑐与𝑦= 𝑐关于𝑥轴对称，如图所示，
∴𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥−𝑥1) = −𝑐时，即𝑎(𝑥+ 1)(𝑥−𝑥1) +𝑐= 0，
又∵𝑚< 𝑛，
结合图像可得，𝑚< −1，𝑛> 2，④正确；
综上所述，正确的有①②④三个．
12．（2026·安徽淮南·三模）如图，二次函数𝑦1 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与𝑥轴，𝑦轴分别交于𝐴，𝐵两点，对称
轴为直线𝑥= 2，一次函数𝑦2 = −2𝑥+ 𝑚的图象也经过𝐴，𝐵两点，则下列结论错误的是( )
A．𝑎𝑏𝑐< 0
B．当0 < 𝑥<
𝑚
2时，𝑦2 > 𝑦1
C．方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−
𝑚
2 = 0有两个不相等的实数根
D．二次函数𝑦1 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象的最低点的坐标为(2,−3𝑏+ 𝑐)
【答案】D
【分析】由抛物线开口向上，与y 轴交于正半轴，得到𝑎> 0，𝑐> 0，由抛物线的对称轴为直线𝑥= 2得到
𝑏= −4𝑎< 0，即可判断A 选项；求出A，B 的坐标，结合图象即可判断B 选项；根据抛物线𝑦1 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐
(𝑎≠0)与直线𝑦2 = −2𝑥+ 𝑚有两个交点即可判断C 选项；由𝑏= −4𝑎得到二次函数𝑦1 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= −
1
4𝑏
𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，进而求出图象的最低点的坐标，即可判断D 选项．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y 轴交于正半轴，
∴𝑎> 0，𝑐> 0，
∵抛物线的对称轴为直线𝑥= 2，
∴−
𝑏
2𝑎= 2，
∴𝑏= −4𝑎< 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0．故A 选项正确．
∵𝑦2 = −2𝑥+ 𝑚与y 轴交于点A，与x 轴交于点B
∴令𝑥= 0，则𝑦2 = 𝑚，
令𝑦2 = 0，则−2𝑥+ 𝑚= 0，解得𝑥=
𝑚
2，
∴𝐴(0,𝑚)，𝐵
𝑚
2 ,0 ，
∴由图象可得，当0 < 𝑥<
𝑚
2时，𝑦2 > 𝑦1．故B 选项正确．
∵抛物线𝑦1 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与直线𝑦2 = −2𝑥+ 𝑚有两个交点，
∴方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐=
𝑚
2，即𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−
𝑚
2 = 0有两个不相等的实数根．故C 选项正确．
∵𝑏= −4𝑎，
∴𝑎= −
1
4𝑏，
∴二次函数𝑦1 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= −
1
4𝑏𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，
当𝑥= 2时，𝑦1 = −
1
4𝑏× 22 +2𝑏+ 𝑐= 𝑏+ 𝑐，
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线𝑥= 2，
∴二次函数𝑦1 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象的最低点的坐标为(2,𝑏+ 𝑐)．故D 选项错误．
13．（25-26 九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴交于点𝐴(−1,0)，与𝑦轴
的交点𝐵在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点），对称轴为直线𝑥= 2，下列结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；②9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐< 0；③−
3
5 < 𝑎< −
2
5；④若𝑎= −
1
2且1 ≤𝑥≤4时，则
5
2 ≤𝑦≤4．
正确的有几个（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】根据开口方向，对称轴以及抛物线与𝑦轴的交点𝐵在(0,2)与(0,3)之间得到𝑎< 0，𝑏> 0，𝑐> 0，即
可判断①；根据对称轴为直线𝑥= 2，故另一个与𝑥轴的交点为(5,0)，当𝑥= 3时，𝑦= 𝑎× 32
+3𝑏+ 𝑐= 9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐> 0，故②错误；将𝐴(−1,0)代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐可得𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，求出𝑐= −5𝑎，
再根据2 < 𝑐< 3，故−
3
5 < 𝑎< −
2
5，③正确；根据𝑎= −
1
2，求出𝑏= −4𝑎= 2，𝑐= −5𝑎=
5
2，得到函数解
析式，求出当1 ≤𝑥≤4时，则
5
2 ≤𝑦≤
9
2，④错误．
【详解】解：开口向下故𝑎< 0，
对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎> 0，故𝑏> 0，
抛物线与𝑦轴的交点𝐵在(0,2)与(0,3)之间，故𝑐> 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，①正确；
抛物线与𝑥轴交于点𝐴(−1,0)，对称轴为直线𝑥= 2，故另一个交点为(5,0)，
当𝑥= 3时，𝑦= 𝑎× 32 +3𝑏+ 𝑐= 9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐> 0，故②错误；
将𝐴(−1,0)代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐可得𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，
∵𝑥= −
𝑏
2𝑎= 2，
∴𝑏= −4𝑎，
∴𝑎−(−4𝑎) + 𝑐= 0，
∴𝑐= −5𝑎，
∵2 < 𝑐< 3，
∴2 < −5𝑎< 3，故−
3
5 < 𝑎< −
2
5，③正确；
若𝑎= −
1
2，则𝑏= −4𝑎= 2，𝑐= −5𝑎=
5
2，
故抛物线解析式为𝑦= −
1
2𝑥2 +2𝑥+
5
2，
当𝑥= 2时，𝑦= −
1
2 × 22 +2 × 2 +
5
2 =
9
2，
当𝑥= 1时，𝑦= −
1
2 × 12 +2 × 1 +
5
2 = 4，
当𝑥= 4时，𝑦= −
1
2 × 42 +2 × 4 +
5
2 =
5
2，
故当1 ≤𝑥≤4时，则
5
2 ≤𝑦≤
9
2，④错误；
14．（25-26 九年级下·陕西西安·期中）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图像与x 轴交于点𝐴(3,0)，
与y 轴交于点B，对称轴为直线𝑥= 1，有下列四个结论：①4𝑎−2𝑏+ 𝑐> 0；②3𝑎+ 2𝑐> 0；③𝑎𝑥2
+𝑏𝑥≥𝑎+ 𝑏；④若−3 < 𝑐< −2，则−4 < 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< −
8
3；下列选项正确的是（ ）
A．②④
B．①③
C．①③④
D．①②③
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一进行判断即可.
【详解】解：∵图像与𝑥轴交于点𝐴(3,0)，对称轴为直线𝑥= 1，
∴图像与𝑥轴的另一个交点为(−1,0)，
∴当𝑥= −2时，𝑦= 4𝑎−2𝑏+ 𝑐> 0，故①正确；
由图像与𝑥轴交另一个点为(−1,0)，
∴𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，
∵抛物线对称轴为直线𝑥= −
𝑏
2𝑎= 1，
∴𝑏= −2𝑎，
∴𝑎+ 2𝑎+ 𝑐= 0，
∴3𝑎+ 𝑐= 0，
∵抛物线与𝑦轴交于负半轴，
∴𝑐< 0，
∴3𝑎+ 2𝑐= 3𝑎+ 𝑐+ 𝑐= 𝑐< 0，故②错误；
∵𝑎> 0，对称轴为直线𝑥= 1，
∴当𝑥= 1时，函数的最小值为：𝑎+ 𝑏+ 𝑐，
∴𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐≥𝑎+ 𝑏+ 𝑐，
∴𝑎𝑥2 +𝑏𝑥≥𝑎+ 𝑏，故③正确；
由②得𝑏= −2𝑎，3𝑎+ 𝑐= 0，
∴𝑎= −
1
3𝑐，𝑏=
2
3𝑐，
∴𝑎+ 𝑏+ 𝑐= −
1
3𝑐+
2
3𝑐+ 𝑐=
4
3𝑐，
∵−3 < 𝑐< −2，
∴−3 ×
4
3 < 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< −2 ×
4
3，
∴−4 < 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< −
8
3，故④正确，
综上可得：①③④正确．
15．（2026·贵州·模拟预测）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象与x 轴交于点𝐴(3,0)，对称轴为
直线𝑥= 1，下列四个结论：
①𝑎𝑏𝑐> 0；
②当𝑥> 1时，y 随x 的增大而增大；
③二次函数图形与x 轴的另一个交点的横坐标为−1；
④4𝑎−2𝑏+ 𝑐< 0；
其中正确结论的个数为（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】根据开口向上，可得𝑎> 0，根据对称轴计算公式可得𝑏= −2𝑎< 0，根据抛物线与y 轴的交点位置
可得𝑐< 0，据此可判断①②；根据对称性可得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(−1,0)，则当𝑥= −2
时，𝑦> 0，据此可判断③④．
【详解】解：∵函数图象开口方向向上，与𝑦轴交于负半轴，
∴𝑎> 0，𝑐< 0，
∵对称轴为直线𝑥= 1，
∴−
𝑏
2𝑎= 1，当𝑥> 1时，y 随x 的增大而增大；故②正确，
∴𝑏= −2𝑎< 0，
∴𝑎𝑏𝑐> 0，故①正确，
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与x 轴交于点𝐴(3,0)，对称轴为直线𝑥= 1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(−1,0)，
即二次函数图形与x 轴的另一个交点的横坐标为−1，故③正确，
∴由函数图象可知，当𝑥= −2时，𝑦> 0，
∴4𝑎−2𝑏+ 𝑐> 0，故④错误；
综上所述，正确的有①②③．
16．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎<0)与x 轴交于A，B 两点，与y 轴正半
轴交于点C，它的对称轴为直线𝑥= 2，则下列说法中正确的有（ ）
①𝑎𝑏𝑐< 0；②
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
>0；③16𝑎+ 4𝑏+ 𝑐>0；④5𝑎+ 𝑐>0；
⑤方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)其中一个解的取值范围为−2 < 𝑥< −1．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点位置判断①；根据顶点的纵坐标判断②；根据对
称轴及点C 的坐标判断③；根据抛物线与x 轴的交点情况判断④⑤．
【详解】解：∵该抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，
∴𝑎< 0，𝑐> 0，
∵它的对称轴为直线𝑥= 2，
∴−
𝑏
2𝑎= 2，𝑏= −4𝑎，
∴𝑏> 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，故①正确；
∵该抛物线的顶点在x 轴的上方，
∴它的顶点的纵坐标
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
>0，故②正确；
∵它的对称轴为直线𝑥= 2，与点C 关于直线𝑥= 2对称的点的横坐标为4，
∴当𝑥= 4时，𝑦= 16𝑎+ 4𝑏+ 𝑐> 0，故③正确；
由③知点B 的横坐标在4 与5 之间，
∵它的对称轴为直线𝑥= 2，
∴点A 的横坐标在0 与−1之间，
∴方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)其中一个解的取值范围为−1 < 𝑥< 0，故⑤错误；
故当𝑥= −1时，𝑎−𝑏+ 𝑐<0，
∵𝑏= −4𝑎，
∴𝑎−𝑏+ 𝑐= 𝑎−(−4𝑎)+𝑐<0，
即5𝑎+ 𝑐< 0，故④错误，
故正确的有①②③，共3 个．
17．（25-26 九年级下·黑龙江·期中）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象的对称轴为直线𝑥= −1，
部分图象如图所示．下列结论中：①𝑎𝑏𝑐> 0；②𝑏−2𝑎= 0；③3𝑎+ 𝑐> 0；④若𝑚为任意实数，则有𝑎𝑚2
+𝑏𝑚≤𝑎−𝑏；⑤当图象经过点
1
2 ,2 时，方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 2的两根为𝑥1，𝑥2(𝑥1 < 𝑥2)，𝑥1 +3𝑥2
= −1．其中正确的结论有（ ）
A．①②③
B．②③⑤
C．②③④⑤
D．②③④
【答案】B
【分析】先根据函数图象判断出𝑎> 0,𝑐< 0，由对称轴判断出𝑏= 2𝑎> 0，即可判断①②；由图象得当𝑥= 1
时，有𝑦= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0，即可判断③；再利用二次函数与一元二次方程的关系即可判断④⑤．
【详解】解：由图象可知：𝑎> 0,𝑐< 0，对称轴为直线𝑥= −
𝑏
2𝑎= −1，
∴𝑏= 2𝑎> 0，即𝑏−2𝑎= 0，故②正确；
∴𝑎𝑏𝑐< 0，故①错误；
由图象可知：当𝑥= 1时，则有𝑦= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 𝑎+ 2𝑎+ 𝑐= 3𝑎+ 𝑐> 0，故③正确；
若m 为任意值，当𝑥= 𝑚时，则𝑦= 𝑎𝑚2 +𝑏𝑚+ 𝑐，
当𝑥= −1时，y 有最小值，最小值为𝑦= 𝑎−𝑏+ 𝑐，
∴𝑎𝑚2 +𝑏𝑚+ 𝑐≥𝑎−𝑏+ 𝑐，
∴𝑎𝑚2 +𝑏𝑚≥𝑎−𝑏，故④错误；
方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 2的两根可看作是直线𝑦= 2与二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的交点的横坐标，如图，
∵二次函数的图象经过点
1
2 ,2 ，对称轴为直线𝑥= −1，
∴二次函数也过点−
5
2 ,2 ，
∴方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 2的两个根分别为𝑥1 = −
5
2,𝑥2 =
1
2，
∴𝑥1 +3𝑥2 = −
5
2 +3 ×
1
2 = −1；故⑤正确；
综上所述：正确的有②③⑤．
18．（2026·安徽合肥·一模）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)图象的顶点为𝐷，其图象与𝑥轴的交点
𝐴、𝐵的横坐标分别为−1, 3．与𝑦轴负半轴交于点𝐶，在下列结论中：①2𝑎−𝑏= 0；②𝑐= −3𝑎；③当𝑚≠1
时，𝑎+ 𝑏< 𝑎𝑚2 +𝑏𝑚；④𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 1有两个不相等的实数根，其中正确的结论个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)的图象与𝑥轴的交点𝐴、𝐵的横坐标分别为−1，3，得出对称
轴为𝑥= 1，判断①，结合图象过点𝐴(−1,0)，判断②，根据开口方向顶点的纵坐标为最小值即可判断③，
方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 1的解即为函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑦= 1交点的横坐标即可判断④．
【详解】解：①∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)的图象与𝑥轴的交点𝐴、𝐵的横坐标分别为−1，3，
∴该二次函数图象对称轴为：直线𝑥= −
𝑏
2𝑎=
−1+3
2
= 1，
∴ 𝑏= −2𝑎，即2𝑎+ 𝑏= 0，故①错误；
②由题意可知：𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)图象过点𝐴(−1,0)，
∴ 𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，
又∵ 𝑏= −2𝑎，
∴ 𝑎−(−2𝑎) + 𝑐= 0，即𝑐= −3𝑎，故②正确；
③∵由①可知，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)图象的顶点为𝐷 (1,𝑎+ 𝑏+ 𝑐)，
∴ 𝑦最小值= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐，
又∵在二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)中，当𝑥= 𝑚≠1时，𝑦= 𝑎𝑚2 +𝑏𝑚+ 𝑐
∴ 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 𝑎𝑚2 +𝑏𝑚+ 𝑐，
∴ 𝑎+ 𝑏< 𝑎𝑚2 +𝑏𝑚，故③正确；
④由上知𝑦最小值= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐，𝑏= −2𝑎，𝑐= −3𝑎，
∴𝑦最小值= 𝑎−2𝑎−3𝑎= −4𝑎，而𝑎> 0
∴𝑦最小值= −4𝑎< 0，
∴函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑦= 1有两个不同的交点，
∵方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 1的解即为函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑦= 1交点的横坐标，
∴𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 1有两个不相等的实数根，故④正确，
∴正确的有3 个．
19．（25-26 九年级上·湖南株洲·期末）如图是二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐图象的一部分，其对称轴为直线
𝑥= −1，且过点(−3,0)，下列说法：①𝑎𝑐< 0；②2𝑎−𝑏= 0；③4𝑎−2𝑏+ 𝑐> 0；④若(−2,𝑦1)，(0,𝑦2)是
抛物线上两点，则𝑦1 = 𝑦2；⑤关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= −2，有两个相等的实数根；其中说法正确的是
（ ）
A．①②③
B．①②④⑤
C．①②④
D．①②③④
【答案】B
【分析】①利用抛物线判定二次函数的参数取值；
②根据对称轴确定参数的关系；
③根据函数特殊值进行判断；
④根据对称点进行判断；
⑤根据图象和一元二次方程的关系，结合数形结合的思想进行判断．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，
∴𝑎> 0；
∵抛物线与𝑦轴交于负半轴，
∴𝑐< 0；
∴𝑎𝑐< 0，故①正确；
②∵对称轴为直线𝑥= −1，
∴−
𝑏
2𝑎= −1,
∴𝑏= 2𝑎，
∴2𝑎−𝑏= 0，故②正确；
③由图象可知，当𝑥= −2时，𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐< 0，
即4𝑎−2𝑏+ 𝑐< 0，故③错误；
④∵对称轴为直线𝑥= −1，
∴点(−2,𝑦1)，(0,𝑦2)关于直线𝑥= −1对称，
∴𝑦1 = 𝑦2，故④正确；
⑤由图象可知，抛物线的顶点坐标为(−1,−2)，
∴抛物线与直线𝑦= −2有一个交点，
∴方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= −2，有两个相等的实数根，故⑤正确；
综上，正确选项为①②④⑤．
20．（25-26 九年级上·北京平谷·期末）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的顶点为𝑃(2,𝑘)，且经过点𝐴(5,0)，其部分
图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①𝑏< 0；②𝑘+ 9𝑎= 0；③若点(𝑥1,𝑚)，(𝑥2,𝑛)在抛物线
𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐上，当−1 < 𝑥1 < 0，5 < 𝑥2 < 6时，则有𝑚< 𝑛；④若此抛物线过点𝐶(𝑡,𝑚)，则−𝑡+ 4一
定是方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑚的一个根．其中正确结论的序号是_______ ．
【答案】②④
【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线开口向下得出𝑎< 0，再结合抛物线对称轴得出 𝑏> 0，即
可判断①错误；由题意可得对称轴为直线𝑥= 2，结合抛物线过点𝐴(5,0)，得出抛物线经过点(−1,0)，则
𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，再结合𝑏= −4𝑎，求出𝑐= −5𝑎，由二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的顶点为𝑃(2,𝑘)，得出
4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 𝑘，即可判断②正确；由函数图象可知，当−1 < 𝑥1 < 0时，𝑚> 0，当5 < 𝑥2 < 6时，
𝑛< 0，即可判断③错误；点C 关于对称轴对称点(4−𝑡,𝑚)在抛物线上，即可判断④正确；熟练掌握二次函
数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴𝑎< 0，
∵𝑥= −
𝑏
2𝑎> 0，
∴𝑏> 0，故①错误；
∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的顶点为𝑃(2,𝑘)，
∴对称轴为直线𝑥= 2，
∵抛物线过点𝐴(5,0)，
∴由对称性可得抛物线经过点(−1,0)，
∴𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，
∵−
𝑏
2𝑎= 2，
∴𝑏= −4𝑎，
∴5𝑎+ 𝑐= 0，
∴𝑐= −5𝑎，
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的顶点为𝑃(2,𝑘)，
∴4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 𝑘，
∴4𝑎−8𝑎−5𝑎= 𝑘，即𝑘+ 9𝑎= 0，故②正确；
∵抛物线与x 轴交点为(5,0)和(−1,0)，
由函数图象可知，当−1 < 𝑥1 < 0时，𝑚> 0，当5 < 𝑥2 < 6时，𝑛< 0，
∴𝑚> 𝑛，故③错误；
∵点𝐶(𝑡,𝑚)在抛物线上，
∴点C 关于对称轴对称点(4−𝑡,𝑚)在抛物线上，
∴4−𝑡为𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑚的一个根，故④正确．
故答案为：②④．
21．（2026·陕西·一模）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴交于点𝐴(3,0)、𝐵(−1,0)，与𝑦轴交于点𝐶
(0,𝑚)，其中−4 < 𝑚< −3．则下列结论：
①𝑎−𝑐> 0；
②方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−5 = 0没有实数根；
③−
8
3 < 𝑏< −2；
④
𝑎+𝑏+𝑐
𝑏−𝑎> 0．
其中错误的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键．
根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为−
𝑏
2𝑎=
3−1
2 = 1，𝑎> 0，则𝑏= −2𝑎，当𝑥= −1时，代入计算可
判定①；根据二次函数与直线𝑦= 5的位置关系可判定②；根据题意得到𝑐=
3
2𝑏，可判定③；根据函数最
小值的大小可判定④；由此即可求解．
【详解】解：二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴交于点𝐴(3,0)、𝐵(−1,0)，图象开口向上，
∴对称轴为直线𝑥=
3−1
2 = 1，𝑎> 0，
∴−
𝑏
2𝑎= 1，
∴𝑏= −2𝑎，
当𝑥= −1时，𝑦= 𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，
∴𝑎−(−2𝑎) +𝑐= 0，即3𝑎+ 𝑐= 0，
∴𝑐= −3𝑎，
∴𝑎−𝑐= 𝑎−(−3𝑎) = 4𝑎> 0，故①正确；
∵图象开口向上，对称轴直线为𝑥= 1，
∴当𝑥= 1时，函数有最小值，最小值在𝑥轴的下方，
∴抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与直线𝑦= 5有两个不同的交点，
∴方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−5 = 0有两个不相等的实数根，故②错误；
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑦轴交于点𝐶(0,𝑚)，其中−4 < 𝑚< −3，
∴当𝑥= 0，𝑦= 𝑐= 𝑚，
∴−4 < 𝑐< −3，
∵𝑐= −3𝑎,𝑏= −2𝑎，
∴𝑐=
3
2𝑏，
∴−4 <
3
2𝑏< −3，
解得，−
8
3 < 𝑏< −2，故③正确；
当𝑥= 1时，函数有最小值，最小值为𝑦= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0，𝑏= −2𝑎，
∴𝑏−𝑎= −2𝑎−𝑎= −3𝑎< 0，
∴
𝑎+𝑏+𝑐
𝑏−𝑎> 0，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
∴错误的有1 个，
故选：A ．
22．（25-26 九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴交于(−3,0)，顶点
是(−1,𝑚)，则以下结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐> 0；③若𝑦≥𝑐，则𝑥≤−2或𝑥≥0；④𝑏+ 𝑐=
1
2
𝑚．其中正确的是（ ）
A．①②③④
B．②③④
C．②③
D．①④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与x 轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点，
①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y 轴的交点，可得a、b、c 的符号，进而可得𝑎𝑏𝑐的符号，结论①
错误；②由抛物线与x 轴交于(−3,0)，顶点是(−1,𝑚)，可判断出抛物线与x 轴的另一个交点为(1,0)，当𝑥= 2
时，𝑦= 4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐> 0，结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线𝑥= −1，即−
𝑏
2𝑎= −1，得𝑏= 2𝑎，
把𝑦= 𝑐，𝑏= 2𝑎代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐并化简得：𝑥2 +2𝑥= 0，解得𝑥= 0或−2，可判断出结论③正确；④
把(−1,𝑚),(1,0)代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐并计算可得𝑏= −
1
2𝑚，由对称轴可得𝑏= 2𝑎，所以𝑎= −
1
4𝑚，由
𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0可得𝑐=
3
4𝑚，再计算𝑏+ 𝑐的值，可判断④错误．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴左边，与y 轴交于负半轴，
∴𝑎> 0，𝑏> 0，𝑐< 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，故结论①错误；
②∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与x 轴交于(−3,0)，顶点是(−1,𝑚)，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为(1,0)，
∵抛物线开口向上，
∴当𝑥= 2时，𝑦= 4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐> 0，故结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线𝑥= −1，
∴𝑥= −
𝑏
2𝑎= −1，
∴𝑏= 2𝑎,
把𝑦= 𝑐，𝑏= 2𝑎代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐得：𝑎𝑥2 +2𝑎𝑥+ 𝑐= 𝑐，
∴𝑥2 +2𝑥= 0，
解得𝑥= 0或−2，
∴当𝑦≥𝑐，则𝑥≤−2或𝑥≥0，故结论③正确；
④把(−1,𝑚)，(1,0)代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐得：𝑎−𝑏+ 𝑐= 𝑚,𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，
∴𝑏= −
1
2𝑚，
∵𝑏= 2𝑎,
∴𝑎= −
1
4𝑚，
∵抛物线与x 轴的另一个交点为(1,0)，
∴𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，
∴𝑐=
3
4𝑚，
∴𝑏+ 𝑐= −
1
2𝑚+
3
4𝑚=
1
4𝑚，故④错误．
故选：C．
23．（24-25 九年级上·山东青岛·期末）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与一次函数𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛的图
象相交于𝐴，𝐵两点，已知点𝐴的横坐标为−3，点𝐵的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线𝑥= −1．下
列结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②当−3 ≤𝑥≤2时，𝑚𝑥+ 𝑛≥𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐；③𝑎−𝑏+ 𝑐< 0；④3𝑎+ 𝑐> 0．其中
正确的是__________．（只填写序号）
【答案】②③
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解
题的关键；
先利用抛物线开口方向得到𝑎> 0，利用抛物线的对称性方程得到𝑏= 2𝑎> 0，利用抛物线与𝑦轴的交点位置
得到𝑐< 0，则可对①进行判断；利用一次函数图象不在二次函数图象的下方所对应的自变量的范围可对②
进行判断；由于𝑥= −1时，𝑦< 0，则可对③进行判断；由于𝑥= −3时，𝑦< 0，则9𝑎−3𝑏+ 𝑐< 0，然后把
𝑏= 2𝑎代入可对④进行判断；
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴𝑎> 0，
∵抛物线的对称轴为直线𝑥= −1，
∴−
𝑏
2𝑎= −1，
∴𝑏= 2𝑎> 0，
∵抛物线与𝑦轴的交点在𝑦轴的负半轴，
∴𝑐< 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，所以①错误；
∵抛物线与一次函数𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛的图象相交于𝐴，𝐵两点，
点𝐴的横坐标为−3，点𝐵的横坐标为2，
∴当−3 ≤𝑥≤2时，𝑚𝑥+ 𝑛≥𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，
所以②正确；
∵𝑥= −1时，𝑦< 0，
∴𝑎−𝑏+ 𝑐< 0，所以③正确；
∴𝑥= −3时，𝑦< 0，
∴9𝑎−3𝑏+ 𝑐< 0，
∵𝑏= 2𝑎，
∴9𝑎−6𝑎+ 𝑐< 0，
即3𝑎+ 𝑐< 0，所以④错误；
故答案为：②③
24．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴交于点(−1,0)，对称轴为
直线𝑥= 1，其中结论正确的序号为________
①2𝑎+ 𝑏= 0；
②函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的最小值为−4𝑎；
③若关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑎−1无实数根，则0 < 𝑎<
1
5；
④代数式(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐)(𝑐−𝑎) < 0
【答案】①②③④
【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由
对称轴为𝑥= 1，得则2𝑎+ 𝑏= 0可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为𝑦= 𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎，故求得
函数的最小值为−4𝑎，可判断②；将𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑎−1变形为：𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑎+ 1 = 0，利用根的判别式
可判断③；将𝑐= −3𝑎，𝑏= −2𝑎代入(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐)(𝑐−𝑎)可判断④，结合以上结论可判断正确的项．
【详解】解：由图象可知，图象开口向上，𝑎> 0，
对称轴为𝑥= 1，故−
𝑏
2𝑎= 1，即𝑏= −2𝑎，则2𝑎+ 𝑏= 0，故①正确；
由图象可知当𝑥= 1时，函数取最小值，
将𝑥= 1，代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，中得：𝑦= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐，
由图象可知函数与x 轴交点为(−1,0)，对称轴为直线𝑥= 1，故函数图象与x 轴的另一交点为(3,0)，
设函数解析式为：𝑦= 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥−3)，
故化简得：𝑦= 𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎，
将𝑥= 1，代入可得：𝑦= 𝑎−2𝑎−3𝑎= −4𝑎，故函数的最小值为−4𝑎，故②正确；
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑎−1变形为：𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑎+ 1 = 0，
要使方程无实数根，则𝑏2−4𝑎(𝑐−𝑎+ 1) < 0，
将𝑐= −3𝑎，𝑏= −2𝑎，代入得：20𝑎2−4𝑎< 0，
因为𝑎> 0，则20𝑎−4 < 0，则𝑎<
1
5，
综上所述0 < 𝑎<
1
5，故③正确；
因为𝑐= −3𝑎，𝑏= −2𝑎，
所以(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐)(𝑐−𝑎) = (𝑎+ 2𝑎)(−2𝑎+ 3𝑎)(−3𝑎−𝑎)
= 3𝑎⋅𝑎⋅(−4𝑎) = −12𝑎3，
因为𝑎> 0，
所以−12𝑎3 < 0，即(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐)(𝑐−𝑎) < 0，故④正确；
故答案为：①②③④．
25．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线 𝑦= 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥+ 𝑐（a，b，c 是常数，且𝑐> 0）经过点(−1,0)和(𝑡,0)
两点，其中𝑡> 2，下列结论：①𝑎𝑏< 0；②𝑐𝑡−𝑏𝑡= 𝑐；③2𝑎+ 𝑐< 0；④
𝑏2−9𝑎2
𝑎𝑐
< 4．其中正确的结论是
____________．（填写序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．根据二次函数
图象上点的坐标特征得到抛物线的开口方向和对称轴位置可判断①；再根据抛物线经过点(−1,0)得到
𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，进而可判断②③；判断出𝑏2−9𝑎2−4𝑎𝑐> 0可判断④．
【详解】解：∵抛物线 𝑦= 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥+ 𝑐（a，b，c 是常数，且𝑐> 0）经过点(−1,0)和(𝑡,0)两点，其中𝑡> 2，
∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线−
𝑏
2𝑎>
−1+2
2
=
1
2，即对称轴在y 轴的右边，
∴𝑎< 0，𝑏> 0， 𝑏> −𝑎，
∴𝑎𝑏< 0，故①正确；
∵抛物线经过点(−1,0)，(𝑡,0),
∴𝑎−𝑏+ 𝑐= 0①，𝑎𝑡2 +𝑏𝑡+ 𝑐= 0②，
由①得：𝑐= 𝑏−𝑎，𝑏= 𝑎+ 𝑐，
由②−①得𝑎(𝑡+ 1)(𝑡−1) +𝑏(𝑡+ 1) = 0，
∵𝑡+ 1 ≠0，
∴𝑎(𝑡−1) +𝑏= 0，即−𝑎𝑡= 𝑏−𝑎= 𝑐，
∴𝑐𝑡−𝑏𝑡= (𝑏−𝑎)𝑡−𝑏𝑡= −𝑎𝑡= 𝑐，故②正确；
由𝑏> −𝑎得𝑎+ 𝑐> −𝑎，即2𝑎+ 𝑐> 0，故③错误；
由于𝑏2−9𝑎2−4𝑎𝑐
= 𝑏2−9𝑎2−4𝑎(𝑏−𝑎)
= 𝑏2−9𝑎2−4𝑎𝑏+ 4𝑎2
= (𝑏−2𝑎)2−9𝑎2
= (𝑏−2𝑎+ 3𝑎) (𝑏−2𝑎−3𝑎)
= (𝑏+ 𝑎)(𝑏−5𝑎)，
∵𝑏> −𝑎，𝑎< 0，𝑏> 0，𝑐> 0，
∴𝑏+ 𝑎> 0，𝑏−5𝑎> 0，𝑎𝑐< 0，
∴(𝑏+ 𝑎)(𝑏−5𝑎) > 0，即𝑏2−9𝑎2−4𝑎𝑐> 0，
∴𝑏2−9𝑎2 > 4𝑎𝑐，
∴
𝑏2−9𝑎2
𝑎𝑐
< 4，故④正确，
综上，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
26．如图，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐为常数，𝑎≠0）经过点2，0 ，且对称轴为直线𝑥=
1
2，
有下列结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②𝑎+ 𝑏> 0；③4𝑎+ 2𝑏+ 3𝑐< 0；④无论𝑎，𝑏，𝑐取何值，抛物线一定经过
𝑐
2𝑎,0 ；⑤4𝑎𝑚2 +4𝑏𝑚−𝑏≥0，其中正确结论是______．
【答案】①③④⑤
【分析】根据抛物线与𝑦轴交在负半轴上可知①正确，再根据抛物线的对称轴为直线𝑥=
1
2可知②不正确，
利用抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐为常数，𝑎≠0）经过点2，0 可知③正确，根据二次函数的图象及
性质可知④⑤正确．
【详解】解：①∵抛物线的对称轴为直线𝑥=
1
2，即对称轴在𝑦轴的右侧，
∴𝑎𝑏< 0，
∵抛物线与𝑦轴交在负半轴上，𝑐< 0，
∴𝑎𝑏𝑐> 0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线𝑥=
1
2，
∴−
𝑏
2𝑎=
1
2，
∴−2𝑏= 2𝑎，
∴𝑎+ 𝑏= 0，
故②不正确；
③∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐为常数，𝑎≠0）经过点2，0 ，
∴4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 0，
∵抛物线的对称轴为直线𝑥=
1
2，
∴−
𝑏
2𝑎=
1
2，
∴𝑎+ 𝑏=0，
∴𝑎= −𝑏，
∴−4𝑏+ 2𝑏+ 𝑐= 0，
∴−2𝑏= −𝑐，
∴4𝑎+ 2𝑏+ 3𝑐= −4𝑏+ 2𝑏+ 3𝑐= −2𝑏+ 3𝑐= −𝑐+ 3𝑐= 2𝑐，
∵𝑐< 0，
∴2𝑐< 0，
∴4𝑎+ 2𝑏+ 3𝑐< 0，
故③正确；
④∵𝑎+ 𝑏= 0，4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 0，
∴𝑐= −2𝑎，
∴
𝑐
2𝑎= −1，
∴当𝑎≠0，无论𝑏，𝑐取何值，抛物线一定经过
𝑐
2𝑎,0 ，
故④正确；
⑤∵𝑏= −𝑎，
∴4𝑎𝑚2 +4𝑏𝑚−𝑏= 4𝑎𝑚2−4𝑎𝑚+ 𝑎= 𝑎(4𝑚2−4𝑚+ 1) = 𝑎(2𝑚−1)2，
∵𝑎> 0，
∴𝑎(2𝑚−1)2 ≥0，
即4𝑎𝑚2 +4𝑏𝑚−𝑏≥0，
故⑤正确：
本题正确的有：①③④⑤,
故答案为①③④⑤；
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称轴，二次函数与𝑥、𝑦轴的交点，掌握二次函
数的图象与性质是解题的关键．
27．已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐开口向下，与𝑥轴交于点𝐴(−1,0)，顶点坐标为(1,𝑛)，与𝑦轴的交点在(0,2)，(0,3)
之间(包含端点)，则下列结论：①2𝑎+𝑏=0；②−1≤𝑎≤−
2
3；③对于任意实数𝑚，𝑎(𝑚2−1)+𝑏(𝑚−1)≤0总
成立；④关于𝑥的方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−𝑛+1=0有两个不相等的实数根，其中结论正确的是_______（填序号）
【答案】①②③④
【分析】由抛物线开口方向判断𝑎与0的关系，由抛物线与𝑥轴交点坐标判断𝑎、𝑏、𝑐的关系，由顶点坐标及
顶点坐标公式推断𝑎、𝑏的关系及𝑛与𝑎、𝑏、𝑐的关系，由抛物线与𝑦轴的交点坐标判断𝑐的取值范围，进而对
所得结论进行推断．
【详解】解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的顶点坐标为(1,𝑛)，
∴−
𝑏
2𝑎=1,
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
=𝑛，
∴2𝑎+𝑏=0，
故①正确．
∵抛物线与𝑥轴交于点(−1,0)，
∴𝑎−𝑏+𝑐=0，
∴𝑐=𝑏−𝑎，
由①知：2𝑎+𝑏=0，即𝑏=−2𝑎，
∴𝑐=−2𝑎−𝑎=−3𝑎，
又∵抛物线与𝑦轴的交点(0,𝑐)在(0,2)，(0,3)之间(含端点)，
∴2≤𝑐≤3，
∴2≤−3𝑎≤3，
∴−1≤𝑎≤−
2
3，
故②正确．
∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐开口向下
∴𝑎<0，
又∵𝑎(𝑚2−1)+𝑏(𝑚−1)=𝑎𝑚2+𝑏𝑚−𝑎−𝑏(𝑎≠0) ，
令𝑔=𝑎𝑚2+𝑏𝑚−𝑎−𝑏，
∴关于𝑚的二次函数𝑔=𝑎𝑚2+𝑏𝑚−𝑎−𝑏开口向下
若对于任意实数𝑚，𝑎(𝑚2−1)+𝑏(𝑚−1)≤0总成立
故需判断△=𝑏2−4𝑎(−𝑎−𝑏)与0的数量关系，
由以上分析知：𝑏=−2𝑎 ，
∴Δ=(−2𝑎)2−4𝑎(−𝑎+2𝑎)=0 ，
故③正确．
由以上分析知：𝑎<0,𝑏=−2𝑎,𝑐=−3𝑎,𝑛=
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
，
∴𝑛=
4𝑎⋅(−3𝑎)−(−2𝑎)2
4𝑎
=−4𝑎，
∴△=𝑏2−4𝑎(𝑐−𝑛+1)=(−2𝑎)2−4𝑎(−3𝑎+4𝑎+1)=−4𝑎>0，
∴关于𝑥的方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−𝑛+1=0有两个不相等的实数根
故④正确
故答案为：①②③④．
【点睛】主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟知顶点坐标以及根的判别式的特点与运用．
28．（2026·湖北武汉·一模）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐是常数，其中𝑎> 0）与𝑥轴交于𝐴(𝑥1,0)和𝐵(𝑥2,0)
两点，对称轴为𝑥= 1．下列五个结论：
①𝑐< 0；
②2𝑎+ 𝑏= 0；
③若−2 < 𝑥1 < −1，则3 < 𝑥2 < 4；
④𝑥2
1 + 𝑥2
2 =
2𝑏+2𝑐
𝑎
；
⑤对于任意实数𝑡，不等式𝑎𝑡2 +𝑏𝑡≥𝑎+ 𝑏总成立．
其中正确结论的序号是________．
【答案】
②③⑤
【分析】根据对称轴公式判断②，利用抛物线对称性判断③，利用根与系数的关系化简判断④，利用二
次函数的最值性质判断⑤，逐一验证各结论即可.
【详解】解：∵𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，𝑎> 0，对称轴为直线𝑥= 1，
①𝑐是抛物线与𝑦轴交点的纵坐标，题目仅说明抛物线与𝑥轴有两个交点，无法确定𝑐的符号，当𝑐= 0时，抛
物线与𝑥轴也有2 个交点，故①错误；
②由对称轴公式𝑥= −
𝑏
2𝑎= 1，整理得𝑏= −2𝑎，即2𝑎+ 𝑏= 0，故②正确；
③根据抛物线对称性，抛物线与𝑥轴两个交点到对称轴的距离相等，因此
𝑥1+𝑥2
2
= 1，即𝑥2 = 2−𝑥1，
∵−2 < 𝑥1 < −1，
∴1 < −𝑥1 < 2，
∴3 < 2−𝑥1 < 4，即3 < 𝑥2 < 4，故③正确；
④ 由根与系数的关系得𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎，
则𝑥2
1 + 𝑥2
2
= (𝑥1 + 𝑥2)2−2𝑥1𝑥2 = (−
𝑏
𝑎)
2
−2𝑐
𝑎，
由②可知：𝑏= −2𝑎，
∴𝑥2
1 + 𝑥2
2
= (−
−2𝑎
𝑎)
2−2𝑐
𝑎= 4−2𝑐
𝑎= 4𝑎−2𝑐
𝑎
= −2𝑏−2𝑐
𝑎
≠2𝑏+2𝑐
𝑎
；故④错误；
⑤ ∵𝑎> 0，抛物线开口向上，对称轴为直线𝑥= 1，
∴顶点(1,𝑎+ 𝑏+ 𝑐)是抛物线的最小值点，
∴对任意实数𝑡，都有𝑎𝑡2 +𝑏𝑡+ 𝑐≥𝑎·12 +𝑏·1 + 𝑐，
𝑎𝑡2 +𝑏𝑡≥𝑎+ 𝑏，不等式对任意实数𝑡恒成立，故⑤正确；
综上：正确的是 ②③⑤.
29．（25-26 九年级下·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与x 轴交于点(−1,0)，对称轴为直
线𝑥= 1，且抛物线与y 轴的交点在x 轴上方．下列结论：①𝑎< 0；②𝑐= −3𝑎；③对于任意实数t，不等
式𝑎𝑡2 +𝑏𝑡+ 𝑎< 0恒成立；④𝑎+ 𝑏𝑥+ 𝑐𝑥2 = 0的两根分别为𝑥1 = −1，𝑥2 =
1
3；⑤若𝑀(𝑥1,𝑦1)、𝑁(𝑥2,𝑦2)
是抛物线上的两点，且𝑥1 < 𝑥2，当𝑥1 + 𝑥2 > 2𝑘时总有𝑦1 > 𝑦2，则𝑘> 1．其中正确的结论有_____（填序
号）．
【答案】①②④
【分析】先根据抛物线的对称轴和过定点的条件，推导𝑎,𝑏,𝑐的关系，再结合抛物线的性质，逐一判断每个
结论的正确性．
【详解】解：已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐过(−1,0)，对称轴为𝑥= 1．
由对称轴公式得−
𝑏
2𝑎= 1，整理得𝑏= −2𝑎．
将(−1,0)代入解析式得：𝑎× (−1)2−𝑏+ 𝑐= 0将𝑏= −2𝑎代入上式得：
𝑎+ 2𝑎+ 𝑐= 0，
整理得𝑐= −3𝑎，
故②正确．
∵抛物线与𝑦轴交点在𝑥轴上方，
∴𝑐> 0，即−3𝑎> 0，得𝑎< 0，
故①正确．
对于结论③，将𝑏= −2𝑎代入不等式左边得：𝑎𝑡2 +𝑏𝑡+ 𝑎= 𝑎𝑡2−2𝑎𝑡+ 𝑎= 𝑎(𝑡−1)2
∵𝑎< 0，(𝑡−1)2 ≥0，
∴𝑎(𝑡−1)2 ≤0，
当𝑡= 1时，𝑎𝑡2 +𝑏𝑡+ 𝑎= 0，不满足𝑎𝑡2 +𝑏𝑡+ 𝑎< 0恒成立，
故③错误．
对于结论④，整理方程𝑎+ 𝑏𝑥+ 𝑐𝑥2 = 0得𝑐𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑎= 0．
代入𝑐= −3𝑎，𝑏= −2𝑎得，
(−3𝑎)𝑥2 + (−2𝑎)𝑥+ 𝑎= 0，
解得：𝑥1 = −1，𝑥2 =
1
3，故④正确．
对于结论⑤，𝑦1−𝑦2 = (𝑎𝑥1
2 + 𝑏𝑥1 + 𝑐)−(𝑎𝑥2
2 + 𝑏𝑥2 + 𝑐) = 𝑎(𝑥1 + 𝑥2)(𝑥1−𝑥2) +𝑏(𝑥1−𝑥2)
= (𝑥1−𝑥2) [𝑎(𝑥1 + 𝑥2)−2𝑎]
= 𝑎(𝑥1−𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)−2]：
∵𝑎< 0，𝑥1 < 𝑥2，
∴𝑎(𝑥1−𝑥2) > 0，
∴𝑦1 > 𝑦2等价于𝑥1 + 𝑥2 > 2．
由题意，当𝑥1 + 𝑥2 > 2𝑘时总有𝑦1 > 𝑦2，
可得2𝑘≥2，即𝑘≥1，并非𝑘> 1，
故⑤错误．
30．（2026·湖北武汉·二模）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（a，b，c 是常数，𝑎> 0）经过(−1,𝑛)，(3,𝑛)两点，其
中𝑛> 0，下列五个结论：①𝑏< 0；②𝑐> 0；③关于x 的不等式𝑎𝑥2 + (𝑏−1)𝑥< 0解集为0 < 𝑥< 2 +
1
𝑎；
④若关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0有两个相等的实数根，则𝑛= 4𝑎；⑤若𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)为
抛物线上两点，且满足𝑥1 < 𝑥2和𝑦1 ≥𝑦2，则𝑥1 + 𝑥2 ≤2．其中正确的是____________（填写序号）．
【答案】①③④⑤
【分析】先根据抛物线上纵坐标相等的两点求出对称轴，得到𝑏= −2𝑎，再依次对五个结论逐一判断：根据
𝑎> 0判断①，根据𝑐的不确定性判断②，对不等式因式分解求根，结合开口方向得到解集判断③，利用判
别式为零结合𝑏= −2𝑎推导𝑛的值判断④，利用作差法结合已知条件推导𝑥1 + 𝑥2的范围判断⑤．
【详解】解：∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐经过(−1,𝑛)，(3,𝑛)两点，
∴抛物线的对称轴为𝑥=
−1+3
2
= 1，即−
𝑏
2𝑎= 1， 整理得𝑏= −2𝑎；
①∵𝑎> 0，
∴𝑏= −2𝑎< 0，故①正确；
②由𝑛= (−1)2𝑎+ (−1)𝑏+ 𝑐= 𝑎−𝑏+ 𝑐= 3𝑎+ 𝑐，仅知𝑛> 0，𝑎> 0，无法确定𝑐的正负，𝑐可以为负，故
②错误；
③将𝑏= −2𝑎代入不等式𝑎𝑥2 + (𝑏−1)𝑥< 0，得𝑎𝑥2−(2𝑎+ 1)𝑥< 0， 即𝑥𝑎𝑥−(2𝑎+ 1) < 0，
∵𝑎> 0，
∴方程𝑥𝑎𝑥−(2𝑎+ 1) = 0的两根为𝑥1 = 0，𝑥2 =
2𝑎+1
𝑎
= 2 +
1
𝑎，且0 < 2 +
1
𝑎，
∴不等式的解集为0 < 𝑥< 2 +
1
𝑎，故③正确；
④∵一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0有两个相等的实数根，
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= 0， 将𝑏= −2𝑎代入得(−2𝑎)2−4𝑎𝑐= 0，即4𝑎2 = 4𝑎𝑐，
∵𝑎> 0，
∴𝑐= 𝑎，
∴𝑛= 3𝑎+ 𝑐= 3𝑎+ 𝑎= 4𝑎，故④正确；
⑤设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，则 𝑦1−𝑦2 = 𝑎𝑥2
1 +𝑏𝑥1 +𝑐−(𝑎𝑥2
2 + 𝑏𝑥2 + 𝑐) = 𝑎(𝑥2
1−𝑥2
2) +𝑏(𝑥1−𝑥2) = (𝑥1−𝑥2)
[𝑎(𝑥1 + 𝑥2)+ 𝑏] ，
将𝑏= −2𝑎代入得 𝑦1−𝑦2 = (𝑥1−𝑥2)[𝑎(𝑥1 + 𝑥2)−2𝑎] = 𝑎(𝑥1−𝑥2)(𝑥1 + 𝑥2−2)，
∵𝑥1 < 𝑥2，𝑎> 0，𝑦1 ≥𝑦2，
∴𝑦1−𝑦2 ≥0，即𝑎(𝑥1−𝑥2)(𝑥1 + 𝑥2−2) ≥0，
∵𝑥1−𝑥2 < 0，𝑎> 0，
∴𝑥1 + 𝑥2−2 ≤0，即𝑥1 + 𝑥2 ≤2，故⑤正确．
综上，正确结论的序号是①③④⑤．
31．（25-26 九年级下·广东肇庆·期中）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与x 轴交于点−3，0 ，其对
称轴为直线𝑥= −
1
2，结合图象分析下列结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
<0；③当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而增大；
④3𝑎+ 𝑐> 0；其中正确的结论有________个．
【答案】3
【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而
可以解答本题．
【详解】解：∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与𝑥轴交于点(−3,0)，其对称轴为直线𝑥= −
1
2，
∴抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与𝑥轴交于点(−3,0)和(2,0)，且−
𝑏
2𝑎= −
1
2，
∴𝑎= 𝑏，
由图象知：𝑎< 0，𝑐> 0，𝑏< 0，
∴𝑎𝑏𝑐> 0，故结论①正确；
∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与𝑥轴交于点(−3,0)和(2,0)，
∴𝑏2−4𝑎𝑐> 0，
又因为𝑎< 0
∴
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
<0，故结论②正确；
当𝑥< −
1
2时，𝑦随𝑥的增大而增大，当−
1
2 < 𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而减小，故结论③错误；
∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与𝑥轴交于点(2,0)，
∴4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 0，
∵𝑎= 𝑏，
∴6𝑎+ 𝑐= 0，
∵𝑐> 0，
∴6𝑎+ 2𝑐> 0，
∴3𝑎+ 𝑐> 0，故结论④正确；
综上：正确的结论有①②④，
所以正确的结论有3 个．
32．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐为常数，𝑎≠0）图像的顶点坐标
是(−1,𝑛)，且经过(1,0)，(0,𝑚)两点，3 < 𝑚< 4．有下列结论：
①关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑛+ 1 = 0（𝑎≠0）有两个不相等的实数根；
②当𝑥> −1时，𝑦的值随𝑥值的增大而增大；
③−
4
3 < 𝑎< −1；
④4𝑎−2𝑏+ 𝑐< 0；
⑤对于任意实数𝑡，总有(𝑡+ 1)(𝑎𝑡−𝑎+ 𝑏) ≤0．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①③⑤
【分析】先根据顶点坐标得到对称轴，结合已知交点利用对称性得到抛物线与𝑥轴的另一个交点，判断开口
方向，再逐一验证各结论即可．
【详解】解：∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的顶点坐标为(−1,𝑛)，
∴抛物线对称轴为直线𝑥= −1，
∵抛物线经过点(1,0)，根据二次函数的对称性，可得抛物线与𝑥轴的另一个交点为(−3,0)，
又∵抛物线经过(0,𝑚)，且3 < 𝑚< 4，即点(0,𝑚)在𝑥轴上方，可得抛物线开口向下，即𝑎< 0，
① 关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑛+ 1 = 0可变形为𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑛−1，
∵抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标𝑛，
∴ 𝑛−1 < 𝑛，直线𝑦= 𝑛−1与抛物线有两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，故①正确；
②∵抛物线开口向下，对称轴为𝑥= −1，
∴当𝑥> −1时，𝑦的值随𝑥值的增大而减小，故②错误；
③设抛物线的交点式为𝑦= 𝑎(𝑥−1)(𝑥+ 3)，展开得：
𝑦= 𝑎(𝑥2 + 2𝑥−3) = 𝑎𝑥2 +2𝑎𝑥−3𝑎，
当𝑥= 0时，𝑦= −3𝑎= 𝑚，
即𝑚= −3𝑎，
∵3 < 𝑚< 4，
∴ 3 < −3𝑎< 4，
解得：−
4
3 < 𝑎< −1，故③正确；
④4𝑎−2𝑏+ 𝑐是𝑥= −2时的函数值，
∵−3 < −2 < 1，抛物线开口向下，且𝑥= −3和𝑥= 1处函数值为0，
∴当−3 < 𝑥< 1时，𝑦> 0，
∴ 𝑥= −2时，𝑦= 4𝑎−2𝑏+ 𝑐> 0，故④错误；
⑤ 由对称轴公式𝑥= −
𝑏
2𝑎= −1，可得𝑏= 2𝑎，
将𝑏= 2𝑎代入式子左边：
(𝑡+ 1) (𝑎𝑡−𝑎+ 𝑏)
= (𝑡+ 1) (𝑎𝑡−𝑎+ 2𝑎)
= (𝑡+ 1) (𝑎𝑡+ 𝑎)
= 𝑎(𝑡+ 1)2
∵𝑎< 0，(𝑡+ 1)2 ≥0，
∴ 𝑎(𝑡+ 1)2 ≤0，即对任意实数𝑡，总有(𝑡+ 1)(𝑎𝑡−𝑎+ 𝑏) ≤0，故⑤正确；
综上，正确结论的序号是①③⑤．
33．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐经过点(1,1)，(𝑚,0)，(3,0)，给出下列
四个结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②4𝑎𝑐−𝑏2 < 4𝑎；③5𝑎+ 2𝑏+ 𝑐< 0；④𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0．其中正确的结论是_____
（填序号）
【答案】①②④
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点及特殊点的函数值，结合二次函数的系数
与图象的关系，逐一分析四个结论的正误．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴𝑎< 0，
∵抛物线与𝑦轴交于负半轴，
∴𝑐< 0，
∵抛物线对称轴在𝑦轴右侧，对称轴为直线𝑥= −
𝑏
2𝑎，
∴−
𝑏
2𝑎> 0，
又∵𝑎< 0，
∴𝑏> 0，
∴𝑎𝑏𝑐> 0，故结论①正确，符合题意．
由图可得抛物线顶点的纵坐标大于1，
∴顶点纵坐标公式得
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
> 1，
又∵𝑎< 0，不等式两边同时乘4𝑎（负数），不等号方向改变，
∴4𝑎𝑐−𝑏2 < 4𝑎，故结论②正确，符合题意．
∵抛物线过点(1,1)、(3,0)
∴𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 1，9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= 0，
(𝑎+ 𝑏+ 𝑐) + (9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐) = 1即10𝑎+ 4𝑏+ 2𝑐= 1，
∴5𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 0.5 > 0，故结论③错误，不符合题意．
∵抛物线经过点(1,1)，
∴当𝑥= 1时，𝑦= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 1 > 0，故结论④正确，符合题意．
故正确的结论是①②④．
34．如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的对称轴是直线𝑥= −1．有下列结论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②4𝑎+ 𝑐< 2𝑏；③
若(𝑥1,𝑦1)和(𝑥2,𝑦2)是抛物线上的两点，则当|𝑥1 + 1| > |𝑥2 + 1|时，𝑦1 > 𝑦2；④抛物线的顶点为(−1,𝑚)，
则关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑚−1无实数根．其中正确结论是________．（只需填写序号）
【答案】①②③④
【分析】由图象可知a 与c 的正负，再根据对称轴可得b 的正负，由此可判断①；根据不等式的性质判断
②；根据抛物线上的点到对称轴的距离即可判断③；根据二次函数的最值可得最小值，由此可判断④．
【详解】解：由图象可知，图象开口向上，且与y 轴交于负半轴，
∴𝑎> 0，𝑐< 0，
∵对称轴为𝑥= −
𝑏
2𝑎= −1，
∴𝑏= 2𝑎> 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，故结论①正确；
∵𝑏= 2𝑎，
∴4𝑎= 2𝑏，
∵𝑐< 0，
∴4𝑎+ 𝑐< 4𝑎，
∴4𝑎+ 𝑐< 2𝑏，
故结论②正确；
∵|𝑥1 + 1| = |𝑥1−(−1)|，|𝑥2 + 1| = |𝑥2−(−1)|，
此时表示点(𝑥1,𝑦1)和(𝑥2,𝑦2)到对称轴𝑥= −1的距离，
当|𝑥1 + 1| > |𝑥2 + 1|时，
点(𝑥1,𝑦1)到对称轴的距离大于点(𝑥2,𝑦2)到对称轴的距离，
∵抛物线开口向上，
∴𝑦1 > 𝑦2，故结论③正确；
∵抛物线的顶点坐标为(−1,𝑚)，抛物线开口向上
则y 的最小值为m，
∴𝑦≥𝑚，
∴𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐≥𝑚，
∴𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑚≥0，
∴𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑚+ 1 ≥1
而方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑚−1变形为𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑚+ 1 = 0
∴关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑚−1无实数根，故结论④正确．
∴正确的结论是①②③④．
35．（2026·江西新余·一模）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示，顶点坐标为(1,𝑛)；与x 轴
的交点为𝐴(−1,0)和点B；与y 轴的交点在(0,2)与(0,3)之间（包括端点）．①𝑏2−4𝑎𝑐> 0；②3𝑎+ 𝑐< 0；
③点(−2,𝑦1)，
1
2 ,𝑦2 ，(5,𝑦3)都在抛物线上，则𝑦1 > 𝑦3 > 𝑦2；④方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑛−1 = 0无实根；⑤
8
3
≤𝑛≤4．其中正确结论是______．
【答案】①④⑤
【分析】根据二次函数的图象与𝑥轴有两个交点，得Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐> 0，可判断①；根据对称轴为−
𝑏
2𝑎= 1，
得𝑏= −2𝑎，根据二次函数图象交x 轴于点𝐴(−1,0)，得𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，得3𝑎+ 𝑐= 0，可判断②；根据点
(−2,𝑦1)，
1
2 ,𝑦2 ，(5,𝑦3)都在抛物线上，且(5,𝑦3)的对称点为(−3,𝑦3)，当𝑥< 1时，y 随x 的增大而增大，
−3 < −2 <
1
2，得𝑦3 < 𝑦1 < 𝑦2，可判断③；根据直线𝑦= 𝑛+ 1在二次函数的图象上方，与二次函数图象不
相交，和方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑛−1 = 0无实根，可判断④；根据二次函数的图象交y 轴于点(0,𝑐)，得
2 ≤𝑐≤3，由𝑐= −3𝑎，得−1 ≤𝑎≤−
2
3，由顶点(1,𝑛)，得𝑛= −4𝑎，得
8
3 ≤−4𝑎≤4， 即得
8
3 ≤𝑛≤4，可
判断⑤．
【详解】解：∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象与𝑥轴的交点为𝐴(−1,0)和点𝐵，
∴Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐> 0，
∴①正确；
∵顶点坐标为(1,𝑛)，
∴对称轴为直线𝑥= 1，
∵对称轴为𝑥= −
𝑏
2𝑎，
∴−
𝑏
2𝑎= 1，
∴𝑏= −2𝑎，
把𝐴(−1,0)代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)，
得𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，
∴3𝑎+ 𝑐= 0，
∴②不正确；
∵二次函数对称轴为𝑥= 1，开口向下，
∴当𝑥< 1时，y 随x 的增大而增大，
∵点(−2,𝑦1)，
1
2 ,𝑦2 ，(5,𝑦3)都在抛物线上，(5,𝑦3)的对称点为(−3,𝑦3)，且−3 < −2 <
1
2，
∴𝑦3 < 𝑦1 < 𝑦2，
∴③不正确；
∵直线𝑦= 𝑛+ 1在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，
∴方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑛−1 = 0无实根，
∴④正确；
对𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，令𝑥= 0，则𝑦= 𝑐，
∴二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象交y 轴于点(0,𝑐)，
∴2 ≤𝑐≤3，
∵3𝑎+ 𝑐= 0，
∴𝑐= −3𝑎
−1 ≤𝑎≤−2
3
把(1,𝑛)代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，
得𝑛= −4𝑎．
∴
8
3 ≤−4𝑎≤4，
即
8
3 ≤𝑛≤4．
∴⑤正确．
∴正确的有①④⑤．
36．（24-25 九年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的对称轴在𝑦轴右侧，抛物线
与𝑥轴交于点𝐴(−2,0)和点𝐵，与𝑦轴的负半轴交于点𝐶，且𝑂𝐵:𝑂𝐶= 2:1，则下列结论：①
𝑎−𝑏
𝑐
< 0；②
2𝑏−4𝑎𝑐= 1；③ 𝑎=
1
4；④当−1 < 𝑏< 0时，在𝑥轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点𝑀，𝑁
（点𝑀在点𝑁左边），使得𝐴𝑁⊥𝐵𝑀．其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】①②③
【分析】根据图像分别得出𝑎> 0，𝑏< 0，𝑐< 0，从而可判断①；由点𝐴(−2,0)和点𝐵，与𝑦轴的负半轴交
于点𝐶(0,𝑐)，且𝑂𝐵= 2𝑂𝐶，设𝐵(−2𝑐,0)，再代入解析式即可判断②；利用待定系数法即可判断③；设𝐴𝑁，
𝐵𝑀交点为𝑃，对称轴与𝑥轴交点为𝑄，顶点为𝐷，根据抛物线的对称性，△𝐴𝑃𝐵是等腰直角三角形，𝐴
(−2,0)，𝐵(−2𝑐,0)，得𝐴𝐵= 2−2𝑐，𝑃𝑄=
1
2𝐴𝐵= 1−𝑐 ，又对称轴𝑥=
−2+(−2𝑐)
2
= −𝑐−1 ，所以𝑃
(−𝑐−1,𝑐−1) ，由顶点坐标公式可知𝐷−𝑐−1,
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
，可得𝑏> 1或者𝑏< −1 ，再结合𝑏< 0即可判断④．
【详解】解：①从图像观察，开口朝上，所以𝑎> 0，
对称轴在𝑦轴右侧，所以𝑏< 0，
图像与𝑦轴交点在𝑥轴下方，所以𝑐< 0，
∴𝑎−𝑏> 0，
𝑎−𝑏
𝑐
< 0，所以①正确；
②点𝐴(−2,0)和点𝐵，与𝑦轴的负半轴交于点𝐶(0,𝑐)，且𝑂𝐵= 2𝑂𝐶，
设𝐵(−2𝑐,0)代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，得：4𝑎𝑐2−2𝑏𝑐+ 𝑐= 0，
∵𝑐≠0 ，
∴2𝑏−4𝑎𝑐= 1，所以②正确；
③∵𝐴(−2,0)，𝐵(−2𝑐,0)，
设抛物线解析式为：𝑦= 𝑎(𝑥+ 2)(𝑥+ 2𝑐)过𝐶(0,𝑐)，
∴𝑐= 4𝑎𝑐，
∴ 𝑎=
1
4，所以③正确；
④如图：设𝐴𝑁，𝐵𝑀交点为𝑃，对称轴与𝑥轴交点为𝑄，顶点为𝐷，
根据抛物线的对称性，△𝐴𝑃𝐵是等腰直角三角形，
∵𝐴(−2,0)，𝐵(−2𝑐,0)，
∴𝐴𝐵= 2−2𝑐，𝑃𝑄=
1
2𝐴𝐵= 1−𝑐 ，
又对称轴𝑥=
−2+(−2𝑐)
2
= −𝑐−1 ，
∴𝑃(−𝑐−1,𝑐−1) ，
由顶点坐标公式可知𝐷−𝑐−1,
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
，
∵𝑎=
1
4，
∴𝐷(−𝑐−1,𝑐−𝑏2) ，
由题意𝑐−𝑏2 < 𝑐−1，
解得𝑏> 1或者𝑏< −1，
由①知𝑏< 0，
∴𝑏< −1，所以④不正确．
综上所述：①②③正确．
37．（25-26 九年级下·山东青岛·开学考试）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的部分图象如图所示，与x 轴的
一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线𝑥= 1．下列结论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②4𝑎−2𝑏+ 𝑐= 0；③方程
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 2有两个不相等的实数根；④5𝑎+ 2𝑐> 0；⑤若(𝑥1,𝑦1)和(𝑥2,𝑦2)是抛物线上两点，则当
|𝑥1−1| > |𝑥2−1|时，𝑦1 > 𝑦2其中正确的是________．
【答案】①②③④
【分析】根据抛物线开口，对称轴判断𝑎,𝑏,𝑐的符号即可判断①，将(−2,0)代入解析式，结合函数图象即可
判断②，根据抛物线与𝑦= 2有交点判断③，将𝑏= −2𝑎代入4𝑎−2𝑏+ 𝑐= 0得出𝑐= −8𝑎，进而判断④，
根据抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大，即可判断⑤．
【详解】解：根据抛物线开口向下，可知𝑎< 0，
因为抛物线对称轴是直线𝑥= 1，
所以−
𝑏
2𝑎= 1，即𝑏= −2𝑎> 0，
抛物线与y 轴的交点在正半轴，
所以𝑐> 0，故𝑎𝑏𝑐< 0，①正确；
因为抛物线对称轴是直线𝑥= 1，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，
所以与x 轴的一个交点坐标为(−2,0)，代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)得，
4𝑎−2𝑏+ 𝑐= 0，②正确；
由图象可知，当𝑦= 2时，对应的自变量值有两个，即方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 2有两个不相等的实数根，③正确；
把𝑏= −2𝑎代入4𝑎−2𝑏+ 𝑐= 0得，𝑐= −8𝑎，则5𝑎+ 2𝑐= 5𝑎−16𝑎= −11𝑎> 0，④正确；
当|𝑥1−1| > |𝑥2−1|时，说明点(𝑥1,𝑦1)离对称轴远，
因为抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大，
所以𝑦1 < 𝑦2，⑤错误；
综上可知，正确的有①②③④．
38．（25-26 九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知抛物线 𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(a、b、c 为常数， 且
（𝑎≠0）的对称轴是直线𝑥= 1，且抛物线与x 轴的一个交点坐标是(4,0)，与y 轴交点坐标是(0,𝑚)且
2 < 𝑚< 3．有下列结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；
②9𝑎−3𝑏+ 𝑐> 0；
③
9
4 < 𝑦最大值<
27
8 ；
④关于x 的一元二次方程 𝑎𝑥2 + (𝑏−1)𝑥+ 𝑐−2 = 0必有两个不相等实根；
⑤若点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2) ，𝐶(𝑥3,𝑦3)在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐上，且 𝑛< 𝑥1 < 𝑛+ 1 < 𝑥2 < 𝑛+ 2 < 𝑥3
< 𝑛+ 3，当𝑦1 < 𝑦3 < 𝑦2时，则n 的取值范围为 −
3
2 < 𝑛< 0．其中正确的是________________．（只用填
序号即可）
【答案】①③④⑤
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关
键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断𝑎，𝑏，𝑐的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交
点坐标为(−2,0)，则当𝑥= −3时，𝑦= 9𝑎−3𝑏+ 𝑐< 0，即可判断②；根据𝑏= −2𝑎，2 < 𝑐< 3，结合抛物
线的顶点坐标，即可判断③；求得𝑎的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即
可判断④；根据𝑦1 < 𝑦3 < 𝑦2，结合函数图象分析，即可得出−
3
2 < 𝑛< 0，进而判断⑤，即可求解．
【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则𝑎< 0，对称轴为直线𝑥= 1，则−
𝑏
2𝑎= 1
∴𝑏= −2𝑎 > 0，
又∵抛物线与𝑦轴交点坐标是(0,𝑚)，即𝑐= 𝑚，
∵2 < 𝑚< 3，即𝑐> 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，故①正确；
∵抛物线与𝑥轴的一个交点坐标是(4,0)，对称轴为直线𝑥= 1，
∴另一个交点坐标为(−2,0)，
∴当𝑥= −3时，𝑦= 9𝑎−3𝑏+ 𝑐< 0，故②错误；
∵(−2,0)，(4,0)在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象上，
∴4𝑎−2𝑏+ 𝑐= 0，
又∵𝑏= −2𝑎，
∴4𝑎+ 4𝑎+ 𝑐= 0，
∴8𝑎+ 𝑐= 0即𝑐= −8𝑎，
∵2 < 𝑚< 3，即2 < 𝑐< 3，
∴2 < −8𝑎< 3，
∴2 ×
9
8 < −8𝑎×
9
8 < 3 ×
9
8即
9
4 < −9𝑎<
27
8 ，
当𝑥= 1时，𝑦取得最大值，最大值为𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 𝑎−2𝑎−8𝑎= −9𝑎，
∴𝑦最大值= −9𝑎，
∴
9
4 < 𝑦最大值<
27
8 ，故③正确；
∵𝑎𝑥2 + (𝑏−1)𝑥+ 𝑐−2 = 0，𝑏= −2𝑎，𝑐= −8𝑎，
即𝑎𝑥2 + (−2𝑎−1)𝑥−8𝑎−2 = 0，
∵Δ = (−2𝑎−1)2 +4𝑎(8𝑎+ 2) = 36𝑎2 +12𝑎+ 1
对称轴为直线𝑎= −
12
2×36 = −
1
6，当𝑎< −
1
6时，Δ的值随𝑎的增大而减小，
又∵2 < −8𝑎< 3，
∴−
3
8 < 𝑎< −
1
4，
∴当𝑎= −
1
4时，Δ = 36 × −
1
4
2
+12 × −
1
4 +1 =
1
4 > 0，
∴当−
3
8 < 𝑎< −
1
4时，Δ > 0恒成立，即𝑎𝑥2 + (𝑏−1)𝑥+ 𝑐−2 = 0必有两个不相等实根，故④正确；
∵若点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝐶(𝑥3,𝑦3)在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐上，且𝑛< 𝑥1 < 𝑛+ 1 < 𝑥2 < 𝑛+ 2 < 𝑥3
< 𝑛+ 3，
∴2𝑛+ 1 < 𝑥1 + 𝑥2 < 2𝑛+ 3，2𝑛+ 3 < 𝑥2 + 𝑥3 < 2𝑛+ 5，2𝑛+ 2 < 𝑥1 + 𝑥3 < 2𝑛+ 4，
∵存在𝑦1 < 𝑦3 < 𝑦2，
∴
𝑥1+𝑥2
2
< 1，
𝑥2+𝑥3
2
< 1，
𝑥1+𝑥3
2
< 1，
即
2𝑛+1
2
< 1，
2𝑛+5
2
> 1，
2𝑛+2
2
< 1，
解得：−
3
2 < 𝑛< 0，故⑤正确；
故正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
39．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎,𝑏,𝑐是常数，𝑎> 0)经过(−2,0),(𝑚,0)两点，且
2 < 𝑚< 3．
下列五个结论：
①𝑏< 0；
②𝑏2−4𝑎𝑐< 0；
③若抛物线经过点(−1,−1)，则
1
4 < 𝑎<
1
3；
④若关于𝑥的不等式2𝑎𝑥2 +2𝑏𝑥< −𝑐𝑥的解集为0 < 𝑥< 𝑡，则2 < 𝑡< 3；
⑤点𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)在抛物线上，若𝑥1 + 𝑥2 >
1
2,𝑥1 < 𝑥2，总有𝑦1 < 𝑦2，则2 < 𝑚≤
5
2．
其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】①③⑤
【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可.
【详解】解：∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎,𝑏,𝑐是常数，𝑎> 0)经过(−2,0),(𝑚,0)两点，且2 < 𝑚< 3．
∴𝑎>0，0 < 𝑚−2 < 1，0 <
𝑚−2
2
<
1
2，
∴−
𝑏
2𝑎>0，
∴𝑏< 0；
故①正确；
∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎,𝑏,𝑐是常数，𝑎> 0)经过(−2,0),(𝑚,0)两点，且2 < 𝑚< 3．
∴𝑥= −2，𝑥= 𝑚是方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个不相等的实数根，
∴𝑏2−4𝑎𝑐>0；
故②错误；
∵抛物线经过点(−1,−1)，
∴𝑎−𝑏+ 𝑐= −1，
∵4𝑎−2𝑏+ 𝑐= 0，
解得𝑏= 3𝑎−1，
∵0 <
𝑚−2
2
<
1
2，
∴0 < −
𝑏
2𝑎<
1
2，
∴0 < −𝑏< 𝑎；
∴0 < 1−3𝑎< 𝑎；
解得
1
4 < 𝑎<
1
3，
故③正确；
∵关于𝑥的不等式2𝑎𝑥2 +2𝑏𝑥< −𝑐𝑥的解集为0 < 𝑥< 𝑡，
∴2𝑎𝑥2 + (2𝑏+ 𝑐)𝑥< 0,
∴2𝑎𝑥2 + (2𝑏+ 𝑐)𝑥= 0的两个根为𝑥= 0,𝑥= −
2𝑏+𝑐
2𝑎，
∵关于𝑥的不等式2𝑎𝑥2 +2𝑏𝑥< −𝑐𝑥的解集为0 < 𝑥< 𝑡，
∴𝑡= −
2𝑏+𝑐
2𝑎，
∵−
𝑏
2𝑎=
𝑚−2
2 ，
∴𝑏= 𝑎(2−𝑚)，
∴𝑐= 2𝑏−4𝑎= −2𝑎𝑚，
∴𝑡= 2𝑚−2，
∴𝑚=
𝑡+2
2 ，
∵2 < 𝑚< 3，
∴2 <
𝑡+2
2 < 3,
∴2 < 𝑡< 4,
故④错误；
∵点𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)在抛物线上，抛物线的对称轴为−
𝑏
2𝑎=
𝑚−2
2 ，𝑥1 + 𝑥2 >
1
2,𝑥1 < 𝑥2，总有𝑦1 < 𝑦2，
∴
𝑥1+𝑥2
2
>
1
4，且
1
4 ≥
𝑚−2
2 ，
解得𝑚≤
5
2，
∵2 < 𝑚< 3
∴2 < 𝑚≤
5
2．
故⑤ 正确，
故答案为：①③⑤．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与不等式，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，熟练
掌握性质是解题的关键.
40．已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象经过(1,0)，(−2,𝑡)两点，其中𝑡< 0，对称轴为𝑥= −1．下列四个
结论：①𝑏𝑐< 0；②𝑐= 𝑡；③点𝐴(𝑠,𝑦1)、𝐵𝑠＋1,𝑦2 在抛物线上，当𝑠< −1时，𝑦1 > 𝑦2；④已知关于𝑥的
方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑚= 0(𝑚> 0)有两个根，其中一个根是3，若关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑛= 0(0 < 𝑛< 𝑚)
有整数根，则其根为−4和2；其中正确的结论是____(填写序号)
【答案】①②④
【分析】利用二次函数的图象及性质，系数间的关系和一元二次方程的关系即可求解．
【详解】∵抛物线过(1,0)，对称轴为𝑥= −1，
∴图象必过(−3,0)，
又∵过点(−2,𝑡)(𝑡< 0)，
∴开口向上，与𝑦轴交于负半轴，
∴𝑎> 0，𝑏> 0，𝑐< 0，故①对；
∵(0,𝑐)与(−2,𝑡)到对称轴等距，
∴𝑐= 𝑡，故②对；
∵𝑠< −1，无法判断点𝐴(𝑠,𝑦1)、𝐵(𝑠+ 1,𝑦2)与对称轴是同侧还是异侧，
也就无法判断点𝐴、𝐵与对称轴𝑥= −1的距离的大小，故无法比较𝑦1与𝑦2的大小，故③错；
∵方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两根分别为1和−3，
又𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑚= 0(𝑚> 0)有两个根，其中一个根是3，而抛物线的对称轴为𝑥= −1，由对称性
得另一个根为−5，
观察图象，得关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑛= 0(0 < 𝑛< 𝑚)整数根为−4和2，故④对，
故答案为：①②④．
【点睛】此题考查了二次函数图象及其性质，数形结合法，二次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条
件画出函数的大致图象是解题的关键．
41．（2026·广东清远·一模）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象与𝑥轴交于两点(−1,0)，(𝑥1,0)，
且2 < 𝑥1 < 3．下列结论：
①𝑎𝑏𝑐> 0；
②2𝑎+ 𝑏> 0；
③4𝑎−2𝑏+ 𝑐< 0；
④若𝑚和𝑛是关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 2𝑐= 0的两根，且𝑚< 𝑛，则𝑚< −1，𝑛> 2．
其中包含所有正确结论的是（ ）
A．①②
B．①④
C．①②④
D．②③④
【答案】C
【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与𝑦轴的交点，确定𝑎,𝑏,𝑐的符号，即可判断①，根据二次函数
𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象过(−1,0)，得出𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，进而判断对称轴
1
2 < −
𝑏
2𝑎< 1，得出
𝑎< −𝑏< 2𝑎，进而判断②和③，根据函数图象判断④，即可求解．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴𝑎> 0，
∵对称轴在𝑦轴的右侧，
∴𝑥= −
𝑏
2𝑎> 0，
∴𝑏< 0，
∵抛物线与𝑦轴交于负半轴，
∴𝑐< 0，
∴𝑎𝑏𝑐> 0，故①正确，
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象过(−1,0)，(𝑥1,0)，2 < 𝑥1 < 3，
∴对称轴
−1+2
2
< 𝑥<
−1+3
2 ，即
1
2 < −
𝑏
2𝑎< 1，
∴2𝑎+ 𝑏> 0，故②正确；
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象与𝑥轴交于点(−1,0)，
∴𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，
∴𝑐= 𝑏−𝑎，
∴4𝑎−𝑏+ 2𝑐
= 4𝑎−𝑏+ 2(𝑏−𝑎)
= 2𝑎+ 𝑏> 0，
∴4𝑎−𝑏+ 2𝑐> 0，故③错误；
④如图，
关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 2𝑐= 0 (𝑎≠0)的两个根，即𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= −𝑐的两个根，相当于函数
𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与𝑦= −𝑐的交点的横坐标，
∵𝑐< 0，
∴−𝑐> 0，
∵𝑚< 𝑛
∴根据图象得𝑚< −1，𝑛> 2，故④正确；
故正确的有①②④．
42．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图是二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的部分图象，该函数图象的对
称轴是直线𝑥= 1，图象与𝑦轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①𝑏𝑐< 0；②2𝑎+ 𝑏= 0；③方程𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐= 0一定有一个根在2 和3 之间；④若𝑚为任意实数，则𝑎(𝑚−1)(𝑚+ 1) ≤𝑏(1−𝑚)；⑤𝑎< −
2
3．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】B
【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线𝑥= 1，
∴−
𝑏
2𝑎= 1，
∴𝑏= −2𝑎，
∴2𝑎+ 𝑏= 0，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴𝑎< 0，
又𝑏= −2𝑎，
∴𝑏> 0，
∵抛物线与𝑦轴的交点在正半轴，
∴𝑐> 0，
∴𝑏𝑐> 0，故①错误；
∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的对称轴为直线𝑥= 1，与x 轴的一个交点在−1和0 之间，
∴与x 轴的另一个交点在2 和3 之间，
∴方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0一定有一个根在2 和3 之间，故③正确；
∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线𝑥= 1，
∴当𝑥= 1时，𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的最大值为𝑎+ 𝑏+ 𝑐，
∴对于任意实数𝑚，都有𝑎𝑚2 +𝑏𝑚+ 𝑐≤𝑎+ 𝑏+ 𝑐，
∴对于任意实数𝑚，𝑎𝑚2−𝑎≤𝑏−𝑏𝑚，即𝑎(𝑚+ 1)(𝑚−1) ≤𝑏(1−𝑚)，故④正确；
∵抛物线与x 轴的另一个交点在−1，0 之间，
∴𝑎−𝑏+ 𝑐< 0，
∵图象与y 轴交点的纵坐标是2，
∴𝑐= 2，
∴𝑎−𝑏+ 2 < 0，
又𝑏= −2𝑎，
∴𝑎−(−2𝑎) +2 < 0，
∴𝑎< −
2
3,故⑤正确．
综上，②③④⑤正确，共4 个．
43．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象与𝑥轴交于点𝐴(1,0)，与𝑦轴的
交点𝐶位于点(0,−2)和点(0,−3)之间，顶点为点𝑃，对称轴为直线𝑥= 2．下列说法：①𝑎𝑏𝑐< 0；
②4𝑎+ 𝑏= 0；③−1 < 𝑎< −
2
3；④设抛物线与𝑥轴的另一交点为𝐵，当∠𝐶𝑃𝐵= 90°时，𝑎= −
2
2 ．其中正
确的是（ ）
A．②③④
B．②③
C．②④
D．①③④
【答案】A
【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与𝑦轴的交点分别判断𝑎、𝑏、𝑐的正负，进而判断𝑎𝑏𝑐的正负；
②用对称轴公式𝑥= −
𝑏
2𝑎= 2 > 0变形推导等式；③把𝑏= −4𝑎、𝐴(1,0)代入解析式得𝑐= 3𝑎，结合𝑐的范围
解不等式；④利用二次函数图象的对称性得𝐵点坐标，据𝑐= 3𝑎得𝐶点坐标，将𝑥= 2，𝑐= 3𝑎，𝑏= −4𝑎代
入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐得出点𝑃的坐标，根据勾股定理列方程求出𝑎．
【详解】解：∵二次函数图象开口向下，
∴ 𝑎< 0，
∵对称轴为𝑥= −
𝑏
2𝑎= 2 > 0，
∴ 𝑏> 0，
∵二次函数的图象与𝑦轴的交点𝐶位于(0,−2)和(0,−3)之间，
∴ 𝑐< 0，
∴ 𝑎𝑏𝑐> 0，①错；
∵对称轴为𝑥= −
𝑏
2𝑎= 2，
∴ 𝑏= −4𝑎，
∴ 4𝑎+ 𝑏= 0，②正确；
∵二次函数的图象与𝑥轴交于点𝐴(1,0)，
∴ 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，
∵ 𝑏= −4𝑎，
∴ 𝑎−4𝑎+ 𝑐= 0，
∴ 𝑐= 3𝑎，
∵二次函数图象与𝑦轴的交点𝐶位于(0,−2)和(0,−3)之间，
∴可得−3 < 𝑐= 3𝑎< −2，
∴ −1 < 𝑎< −
2
3，③正确；
∵二次函数的图象与𝑥轴交于点𝐴(1,0)，对称轴为𝑥= 2，
∴点𝐵的坐标为(3,0)，
∵ 𝑐= 3𝑎，
∴点𝐶的坐标为(0,3𝑎)，
当𝑥= 2，可得𝑦= 4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐，
将𝑐= 3𝑎，𝑏= −4𝑎代入，可得𝑦= −𝑎，
∴点𝑃的坐标为(2,−𝑎)，
∴ 𝑃𝐶2 = 4 + 16𝑎2，𝑃𝐵2 = 1 + 𝑎2，𝐵𝐶2 = 9 + 9𝑎2，
∵ ∠𝐶𝑃𝐵= 90°，
∴ 𝑃𝐶2 +𝑃𝐵2 = 𝐵𝐶2，
可得4 + 16𝑎2 +1 + 𝑎2 = 9 + 9𝑎2，
解得𝑎=
2
2 或𝑎= −
2
2 ，
∵ 𝑎< 0，
∴ 𝑎= −
2
2 ，④正确．
综上，正确的说法为②③④．
44．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，𝑂是坐标原点，已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎≠0）的图象与𝑥
轴交于𝐴，𝐶两点，与𝑦轴交于𝐵点，顶点为𝐷，对称轴为直线𝑥= −2，其中𝐴(2,0)，𝐵(0,𝑐)，且
−3 < 𝑐< −2．以下结论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②
2
3 < 𝑏< 1；③5𝑎+ 𝑐> 0；④若点(−1 + 𝑚,𝑛)在该函数图象上，
则点(−3−𝑚,𝑛)也在该函数图象上；以上结论正确的个数是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】①根据函数图象进行分析二次函数的参数取值即可；
②根据对称轴得出𝑏= 4𝑎，根据点的坐标得出参数之间的关系，即可求解；
③根据当𝑥= 1时，𝑦= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0，进行判断即可；
④根据抛物线的对称性进行判断即可；
【详解】解：①由抛物线图象可得，抛物线开口向上，
∴𝑎> 0；
对称轴位于𝑦轴左侧，
∴𝑎,𝑏符号相同，
∴𝑏> 0；
抛物线与𝑦轴交于负半轴，
∴𝑐< 0；
∴𝑎𝑏𝑐< 0，故①正确；
②∵对称轴为直线𝑥= −2，
∴−
𝑏
2𝑎= −2，
∴𝑏= 4𝑎，
将𝐴(2,0)代入解析式得，4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 0，
即𝑏+ 2𝑏+ 𝑐= 0，
∴𝑐= −3𝑏，
∵−3 < 𝑐< −2，
∴−3 < −3𝑏< −2，
∴
2
3 < 𝑏< 1，故②正确；
③由𝐴(2,0)可得，当𝑥= 1时，𝑦= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0，
由②得𝑏= 4𝑎，
∴5𝑎+ 𝑐< 0，故③错误；
④∵
−1+𝑚−3−𝑚
2
= −2，且两个点的纵坐标相等，
∴两个点关于直线𝑥= −2对称，
∵点(−1 + 𝑚,𝑛)在该函数图象上，
∴点(−3−𝑚,𝑛)也在该函数图象上，故④正确；
综上正确的有3 个.
45．（2026·山东青岛·三模）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象的一部分如图所示，已知图象经过点
(−1,0)，其对称轴为直线𝑥= 1．下列结论，其中正确的有（ ）
①𝑎𝑏𝑐< 0；②𝑏2−4𝑎𝑐< 0；③8𝑎+ 𝑐< 0；④9𝑎+ 3𝑏+ 2𝑐< 0；⑤点𝐶(𝑥1,𝑦1)、𝐷(𝑥2,𝑦2)是抛物线上的
两点，若𝑥1 < 𝑥2，则𝑦1 < 𝑦2；⑥若抛物线经过点(−3,𝑛)，则关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑛= 0(𝑎≠0)
的两根分别为−3，5．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0 的关系，然后根据对称
轴及抛物线与x 轴交点情况推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由图象可知：𝑎< 0，𝑐> 0，−
𝑏
2𝑎> 0，则𝑎𝑏𝑐<0，故①符合题意；
②根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x 轴有两个交点，则𝑏2−4𝑎𝑐> 0，故②不符合题意；
③∵对称轴为直线𝑥= −
𝑏
2𝑎= 1，
∴𝑏= −2𝑎
当𝑥= −2时，𝑦< 0，即4𝑎−2𝑏+ 𝑐< 0
∴4𝑎−2 × (−2𝑎) +𝑐< 0
即8𝑎+ 𝑐< 0，故③符合题意；
④由于图象经过(−1,0)，且对称轴为𝑥= 1，则图象也经过(3,0)，
∴当𝑥= 3时，𝑦= 0
即9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= 0
∵ 𝑐> 0
∴9𝑎+ 3𝑏+ 2𝑐> 0，故④不符合题意；
⑤点𝐶(𝑥1,𝑦1)，𝐷(𝑥2,𝑦2)是抛物线上的两点，若1 < 𝑥1 < 𝑥2，则𝑦1 > 𝑦2，故⑤不符合题意；
⑥由图象过(−3,𝑛)由对称性可知：图象也过点(5,𝑛)
令𝑦= 𝑛
∴ 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−𝑛= 0(𝑎≠0)有两个解，分别是−3，5，故⑥符合题意；
综上所述，①③⑥符合题意，共有3 个．
46．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)图象的对称轴为直线𝑥= −1，部
分图象如图所示，下列结论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②𝑏−2𝑎= 0；③3𝑎+ 𝑐< 0；④若𝑚为任意实数，则有
𝑎−𝑏𝑚≤𝑎𝑚2 +𝑏；⑤当图象经过点
1
2 ,2 时，方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 2的两根为𝑥1，𝑥2(𝑥1 < 𝑥2)，𝑥1 +3𝑥2
= 1，其中正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的最值，抛物线
与一元二次方程的关系等解答即可.
【详解】解：∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐开口向上，
∴𝑎>0，
∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与y 轴的交点在负半轴上，
∴𝑐<0；
∵对称轴为直线𝑥= −1，
∴𝑥= −
𝑏
2𝑎= −1,
∴𝑏= 2𝑎>0,𝑏−2𝑎= 0，
∴𝑎𝑏𝑐<0,
故①②正确；
∵3𝑎+ 𝑐= 𝑎+ 2𝑎+ 𝑐= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐，
根据图象，得𝑥= 1时，𝑦= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 3𝑎+ 𝑐>0，
故③错误；
∵对称轴是直线𝑥= −1，且抛物线开口向上，
∴当𝑥= −1时，𝑦取得最小值𝑎−𝑏+ 𝑐，
∴对于任意实数𝑚，当𝑥= 𝑚时，函数值𝑦= 𝑎𝑚2 +𝑏𝑚+ 𝑐≥𝑎−𝑏+ 𝑐，
∴𝑎𝑚2 +𝑏𝑚≥𝑎−𝑏，
∴𝑎−𝑏𝑚≤𝑎𝑚2 +𝑏，
故④正确；
二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象经过点
1
2 ,2 ，
设其对称点为(𝑚,2)，根据题意，得
1
2+𝑚
2
= −1，
解得𝑚= −
5
2，
方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 2的两根为−
5
2,
1
2，
又方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 2的两根为𝑥1，𝑥2(𝑥1 < 𝑥2)，
∴𝑥1 = −
5
2,𝑥2 =
1
2，
∴𝑥1 +3𝑥2 = −
5
2 +
3
2 = −1，
故⑤错误．
47．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（a，b，c 为常数，𝑎≠0）图象的顶点坐
标是(−2,𝑚)，且经过点(−1,−4)，0 < 𝑐< 2．有下列结论：①𝑏𝑐< 0；②关于x 的方程|𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐|
+1−𝑐= 0有两个不相等的实数根；③−
16
3 < 𝑚+ 𝑐< −4；④对于任意实数t，总有(𝑡+ 3)(𝑎𝑡−𝑎+ 𝑏)
≤0．⑤当𝑐= 1，𝑛≤𝑥≤𝑛+ 2时，y 的最小值是1，则𝑛= 0或6．其中正确的结论有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】先根据顶点坐标和已知点得到参数关系，再由𝑐 的范围得到𝑎 的取值范围，最后逐一判断各结论
即可．
【详解】解：∵二次函数顶点坐标为(−2,𝑚)，
∴对称轴为直线𝑥= −2，即−
𝑏
2𝑎= −2，得𝑏= 4𝑎，
设顶点式为𝑦= 𝑎(𝑥+ 2)2 +𝑚，
将(−1,−4)代入得𝑎(−1 + 2)2 +𝑚= −4，
即𝑎+ 𝑚= −4，得𝑚= −4−𝑎，
当𝑥= 0时，𝑐= 4𝑎+ 𝑚，代入𝑚= −4−𝑎得𝑐= 3𝑎−4，
∵0 < 𝑐< 2，
∴0 < 3𝑎−4 < 2，
解得
4
3 < 𝑎< 2，
∴𝑎> 0 ，𝑏= 4𝑎> 0，𝑐> 0，
∴𝑏𝑐> 0，故①错误；
②原方程整理得|𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐| = 𝑐−1，左边为非负数，
当0 < 𝑐< 1时，𝑐−1 < 0，方程无解，故②错误；
③𝑚+ 𝑐= (−4−𝑎) + (3𝑎−4) = 2𝑎−8，
∵
4
3 < 𝑎< 2，
∴
8
3 < 2𝑎< 4，
∴
8
3−8 < 2𝑎−8 < 4−8，即−
16
3 < 𝑚+ 𝑐< −4，故③正确；
④代入𝑏= 4𝑎得：(𝑡+ 3)(𝑎𝑡−𝑎+ 𝑏) = (𝑡+ 3)(𝑎𝑡+ 3𝑎) = 𝑎(𝑡+ 3)2，
∵𝑎> 0 ，
∴𝑎(𝑡+ 3)2 ≥0，不满足对任意𝑡 都有(𝑡+ 3)(𝑎𝑡−𝑎+ 𝑏) ≤0，故④错误；
⑤当𝑐= 1时，3𝑎−4 = 1得𝑎=
5
3，开口向上，对称轴𝑥= −2，
∴𝑏= 4𝑎=
20
3 ，
∴𝑦=
5
3𝑥2 +
20
3 𝑥+ 1，
区间𝑛≤𝑥≤𝑛+ 2中𝑦 最小值为1，
若𝑛+ 2 < −2，即𝑛< −4，最小值在𝑥= 𝑛+ 2处，
∴1 =
5
3 × (𝑛+ 2)2 +
20
3 × (𝑛+ 2) + 1，
解得𝑛= −6或𝑛= −2（舍）；
若𝑛≤−2 ≤𝑛+ 2，即−4 ≤𝑛≤−2时，当𝑥= −2时，取最小值𝑦=
5
3 × (−2)2 +
20
3 × (−2) + 1 = −
17
3 ≠1，
无解；
若𝑛> −2，最小值在𝑥= 𝑛处，
∴1 =
5
3 × 𝑛2 +
20
3 × 𝑛+ 1，
解得𝑛= 0或𝑛= −4（舍），
故𝑛= 0或𝑛= −6，结论⑤错误；
综上，只有1 个结论正确．
48．（25-26 九年级下·山东烟台·阶段检测）抛物线 𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的对称轴为直线𝑥= 1，与x 轴
的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②2𝑎+ 𝑏= 0；③当𝑦> 0时，
x 的取值范围是−1 ≤𝑥≤3；④
𝑏2+𝑐2
𝑎2
= 13； ⑤若二次函数顶点为(1,𝑛)，则有4𝑎𝑐−𝑏2 < 4𝑎𝑛，其中正确
的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当𝑎> 0时，抛物
线向上开口；当𝑎<0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b
同号时（即𝑎𝑏> 0），对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时（即𝑎𝑏< 0），对称轴在y 轴右侧；常数项c 决
定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于(0,𝑐)；运用数形结合思想得出𝑎<0，𝑏>0，𝑐> 0，以及对称
轴为直线𝑥= 1得出𝑏+ 2𝑎= 0，再结合二次函数的图象性质得出当𝑦> 0时，x 的取值范围是−1 < 𝑥< 3，
把𝑏= −2𝑎，𝑏= −2𝑎代入
𝑏2+𝑐2
𝑎2 计算，根据𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的顶点坐标为−
𝑏
2𝑎,
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
以及二次函数
顶点为(1,𝑛)，列式即可作答．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴𝑎< 0，
∵𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的对称轴为直线𝑥= 1
∴−𝑏
2𝑎= 1
∴𝑏= −2𝑎
∴2𝑎+ 𝑏= 0，
故②符合题意；
∵对称轴在y 轴的右侧，𝑎< 0
∴𝑏> 0，
∵抛物线交y 轴的正半轴，
∴𝑐> 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，故①符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线𝑥= 1，
而点(−1,0)关于直线𝑥= 1的对称点的坐标为(3,0)，
∴当𝑦> 0时，x 的取值范围是−1 < 𝑥< 3，
故③不符合题意；
∵𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与x 轴的一个交点坐标为(−1,0)，
∴𝑥=−1时，𝑦= 0，
即𝑎−𝑏+ 𝑐= 0
∵𝑏= −2𝑎
∴𝑎+ 2𝑎+ 𝑐= 0，
即𝑐= −3𝑎，
∴
𝑏2+𝑐2
𝑎2
=
(−2𝑎)2+(−3𝑎)2
𝑎2
= 13，
故④符合题意；
∵𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)
∴顶点坐标为−
𝑏
2𝑎,
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
∵二次函数顶点为(1,𝑛)，
∴
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
= 𝑛
∴4𝑎𝑐−𝑏2 = 4𝑎𝑛
故⑤不符合题意；
∴正确的个数是3个．
49．（25-26 九年级下·四川南充·阶段检测）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+ 𝑐（a，c 为常数且𝑎𝑐≠0）经过(−1,𝑦1)，
(2,𝑦2)，(𝑚,0)，(𝑛,0)，𝑦1 > 𝑦2且𝑚> 𝑛，以下结论：①𝑦2 = 𝑐；②𝑚> 2且𝑛< −1；③方程𝑎𝑥2−(2𝑎−1)
𝑥+ 𝑐−1 = 0一定有两个不等的实数根：④𝑎> 𝑐，其中正确的结论有（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．①③
【答案】B
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
将𝑥= 2代入抛物线解析式求出𝑦2，据此判断①；先求出抛物线的对称轴，分情况讨论：若𝑎< 0时，𝑦1 <
𝑦2，不符合题意，则𝑎> 0，利用抛物线与x 轴交点关于对称轴对称，结合已知点的函数值符号，判断两根
𝑚、𝑛的范围，据此判断②；由抛物线与x 轴两个交点可求出方程𝑦= 𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+ 𝑐的判别式大于0，进而
求出𝑎(𝑎−𝑐) > 0，计算方程𝑎𝑥2−(2𝑎−1)𝑥+ 𝑐−1 = 0的判别式，据此判断③；利用𝑎(𝑎−𝑐) > 0且𝑎> 0判断
④．
【详解】解：将𝑥= 2代入𝑦= 𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+ 𝑐得：𝑦2 = 4𝑎−4𝑎+ 𝑐= 𝑐，
故①正确；
抛物线𝑦= 𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+ 𝑐的对称轴为𝑥= −
−2𝑎
2𝑎= 1，
若𝑎< 0，则抛物线开口向下，
∴在−1 ≤𝑥≤2上，𝑦随𝑥的增大而增大，即𝑦1 < 𝑦2，不符合题意；
若𝑎> 0，抛物线开口向上，
∴在−1 ≤𝑥≤2上，𝑦随𝑥的增大而减小，即𝑦1 > 𝑦2，
∵抛物线经过(𝑚,0)，(𝑛,0)且𝑚> 𝑛，
∴𝑛< 1 < 𝑚，
当𝑥= 2时，𝑦= 𝑐，
当𝑥= 1时，𝑦= 𝑎−2𝑎+ 𝑐= 𝑐−𝑎< 0，
∴𝑐< 𝑎，
若𝑐≥0，则点(2,𝑐)在𝑥轴上方，
∴右交点𝑚必在2 的右侧，即𝑚> 2，
若𝑐< 0，则点(2,𝑐)在𝑥轴下方，
此时𝑚> 2，
将𝑥= −1代入𝑦= 𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+ 𝑐得：𝑦1 = 𝑎+ 2𝑎+ 𝑐= 3𝑎+ 𝑐，
根据题干条件无法判断3𝑎+ 𝑐的符号，则无法判断𝑛< −1，
故②错误；
方程𝑎𝑥2−(2𝑎−1)𝑥+ 𝑐−1 = 0的判别式为Δ = −(2𝑎−1)
2
−4𝑎× (𝑐−1) = 4𝑎(𝑎−𝑐) +1，
∵抛物线经过(𝑚,0)，(𝑛,0)且𝑚> 𝑛，
∴𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+ 𝑐= 0有两个不同的实数根m，n，
则其判别式为(−2𝑎)2−4𝑎𝑐= 4𝑎2−4𝑎𝑐> 0，
∴𝑎(𝑎−𝑐) > 0，
∴4𝑎(𝑎−𝑐) +1 > 0，
∴方程𝑎𝑥2−(2𝑎−1)𝑥+ 𝑐−1 = 0一定有两个不等的实数根，
故③正确；
∵4𝑎(𝑎−𝑐) > 0、𝑎> 0，
∴𝑎−𝑐> 0，
∴𝑎> 𝑐，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
50．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐为常数，且𝑎≠0）的对称轴为直
线𝑥= −1，其与𝑥轴的一个交点为𝐴(1,0)，与𝑦轴的交点𝐶在点(0,−2)，(0,−3)之间（不含端点），有下列结
论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②2𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0；③
2
3 < 𝑎< 1；④若方程𝑎𝑥2 + (𝑏−1)𝑥+ 𝑐−1 = 0的两根分别为𝑥1，𝑥2
（𝑥1 < 𝑥2），则−3 < 𝑥1 < 1 < 𝑥2．⑤抛物线上有𝑀(𝑚−2,𝑦1)，𝑁(𝑚+ 1,𝑦2)，当𝑦1 > 𝑦2时则𝑚的取值范
围是𝑚>
1
2，其中，正确结论的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，利用对称轴和交点坐标得到𝑎,𝑏,𝑐的关系，结合𝑐的取值范围得到𝑎
的范围，再利用二次函数的性质逐一判断每个结论即可.
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线𝑥= −1，与𝑥轴一个交点为𝐴(1,0) ，
∴由抛物线对称性得，抛物线与𝑥轴另一个交点为(−3,0)，且−
𝑏
2𝑎= −1，即𝑏= 2𝑎；
将𝐴(1,0)代入抛物线解析式得𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，把𝑏= 2𝑎代入得𝑐= −3𝑎，
∵抛物线与𝑦轴交点𝐶在(0,−2),(0,−3)之间，
∴−3 < 𝑐< −2，且抛物线开口向上，𝑎> 0，
∵𝑎> 0,𝑏= 2𝑎> 0,𝑐< 0，∴𝑎𝑏𝑐< 0，①错误；
∵2𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 2𝑎+ 2𝑎−3𝑎= 𝑎，𝑎> 0，∴2𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0，②正确；
∵−3 < −3𝑎< −2，不等式两边同除以−3得：
2
3 < 𝑎< 1，③正确；
∵方程𝑎𝑥2 +(𝑏−1)𝑥+ 𝑐−1 = 0变形为𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑥+ 1，根为抛物线与直线𝑦= 𝑥+ 1交点的横坐标，
∵𝑥= −3时抛物线𝑦= 0 > 直线𝑦= −2，𝑥= 1时抛物线𝑦= 0 < 直线𝑦= 2，抛物线开口向上，
∴−3 < 𝑥1 < 1 < 𝑥2，④正确；
∵开口向上，𝑦1 > 𝑦2，
∴点𝑀离对称轴比𝑁离对称轴更远，
即|(𝑚−2)−(−1)| > |(𝑚+ 1)−(−1)|，
化简得：|𝑚−1| > |𝑚+ 2|，
平方整理得：𝑚< −
1
2，与结论不符，⑤错误；
综上，正确结论共3个，
故选：B.
51．（2026·山东济南·二模）如图，已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴交于点(−3,0)，其顶点坐标
为(−1,𝑚)．有以下结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；②3𝑎+ 𝑐= 0；③若𝑦≥𝑐，则𝑥的取值范围为𝑥≤−2或𝑥≥0；
④𝑏+ 𝑐=
1
2𝑚；⑤若𝑦≥𝑥−4𝑎对任意实数𝑥恒成立，则𝑎的取值范围为𝑎≥
1
6．
其中正确的有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】A
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置确定𝑎，𝑏，𝑐的符号及数量关系，逐
一判断各结论即可．
【详解】解：由图象可知抛物线开口向上，
∴𝑎> 0，
∵其顶点坐标为(−1,𝑚)，
∴对称轴为直线𝑥= −1，
∴−
𝑏
2𝑎= −1，即𝑏= 2𝑎> 0，
∵抛物线与𝑦轴交点在𝑥轴下方，
∴𝑐< 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，故①错误；
∵抛物线过点(−3,0)，
∴9𝑎−3𝑏+ 𝑐= 0，
将𝑏= 2𝑎代入得9𝑎−6𝑎+ 𝑐= 0，即3𝑎+ 𝑐= 0，故②正确；
∵当𝑥= 0时，𝑦= 𝑐，且对称轴为𝑥= −1，
∴点(0,𝑐)关于对称轴的对称点(−2,𝑐)，
∵𝑎> 0，
∴当𝑦≥𝑐时，𝑥≤−2或𝑥≥0，故③正确；
∵3𝑎+ 𝑐= 0，
∴𝑐= −3𝑎，
∴𝑏+ 𝑐= 2𝑎−3𝑎= −𝑎，
∵顶点坐标为(−1,𝑚)，
∴𝑚= 𝑎−𝑏+ 𝑐= 𝑎−2𝑎−3𝑎= −4𝑎，
∴1
2𝑚= −2𝑎，
∵𝑎≠0，
∴𝑏+ 𝑐≠
1
2𝑚，故④错误；
若𝑦≥𝑥−4𝑎，对任意实数𝑥恒成立，则𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐≥𝑥−4𝑎恒成立，即𝑎𝑥2 +2𝑎𝑥−3𝑎−𝑥+ 4𝑎≥0，
整理得𝑎𝑥2 + (2𝑎−1)𝑥+ 𝑎≥0，
∵𝑎> 0，
∴需满足Δ ≤0，
∴(2𝑎−1)2−4𝑎2 ≤0，解得𝑎≥
1
4，故⑤错误；
综上所述，正确的结论有②③，共2个．
52．（2026·山东青岛·二模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象与x 轴交于点𝐴(1,0)，与y 轴的交
点B 在(0,−2)和(0,−1)之间（不包括这两点），对称轴为直线𝑥= −1．下列结论：①4𝑎−2𝑏+ 𝑐 < 0；②4𝑎𝑐−
𝑏2 < −4𝑎；③对于任意实数t，𝑎𝑡2 +𝑏𝑡> 𝑎−𝑏；④
1
3 < 𝑎<
2
3．其中，正确结论有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
【答案】B
【分析】根据二次函数图象的对称轴、与坐标轴交点、顶点性质等知识点，逐一判断各结论即可．
【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线𝑥= −1，与x 轴交于𝐴(1,0)，
∴二次函数图象与x 轴另一个交点为(−3,0)，且−
𝑏
2𝑎= −1，得𝑏= 2𝑎，
把(1,0)代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐，得𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，
将𝑏= 2𝑎代入得𝑐= −3𝑎，
∵与y 轴交点B 在(0,−2)和(0,−1)之间，
∴−2 < 𝑐< −1，即−2 < −3𝑎< −1，解得
1
3 < 𝑎<
2
3，故④正确；
判断①：当𝑥= −2时，𝑦= 4𝑎−2𝑏+ 𝑐，
∵−3 < −2 < 1，且
1
3 < 𝑎<
2
3，得𝑎> 0，开口向上，二次函数图象与x 轴的两个交点之间的函数值小于0，
∴4𝑎−2𝑏+ 𝑐< 0，故①正确；
判断②：当𝑥= −1时，函数取得最小值，即顶点纵坐标为𝑦= 𝑎(−1)2 +𝑏(−1) + 𝑐，
将𝑏= 2𝑎，𝑐= −3𝑎代入，得顶点纵坐标为𝑎−2𝑎−3𝑎= −4𝑎，
∵𝑎>
1
3，
∴−4𝑎< −
4
3 < −1，即
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
< −1，
两边同乘4𝑎（4𝑎> 0，不等号方向不变），得4𝑎𝑐−𝑏2 < −4𝑎，故②正确；
判断③：整理𝑎𝑡2 +𝑏𝑡得𝑎𝑡2 +𝑏𝑡= 𝑎𝑡2 +2𝑎𝑡= 𝑎(𝑡+ 1)2−𝑎，
∴𝑎𝑡2 +𝑏𝑡的最小值为−𝑎，
又∵𝑎−𝑏= 𝑎−2𝑎= −𝑎，
∴当𝑡= −1时，𝑎𝑡2 +𝑏𝑡= −𝑎= 𝑎−𝑏，不满足𝑎𝑡2 +𝑏𝑡> 𝑎−𝑏，故③错误，
综上所述，正确结论为①②④．
53．（2026·河北邯郸·三模）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与x 轴交于𝐴(−4,0),𝐵(2,0)，交y 轴负半轴于点
C，对称轴交抛物线于点D，交x 轴于点E，则下列结论∶①2𝑎−𝑏= 0；②𝑎𝑏𝑐> 0；③𝑎−𝑏≤𝑎𝑚2 +𝑏𝑚
（m 为任意实数）；④若点𝑄(𝑚,𝑛)是第三象限内抛物线上的动点，当△𝑄𝐴𝐶的面积最大时，𝑚= −2，其
中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象与性质，抛物线的对称轴、开口方向、与坐标轴的交点，即可判断①②，根
据当𝑥= −1时，取得最小值，即可判断③，先求得𝐴𝐶所在的直线方程为𝑦= −2𝑎𝑥−8𝑎，过𝑄作𝑥轴的垂线，
交𝐴𝐶于点𝑃，则𝑃点的坐标为(𝑚,−2𝑎𝑚−8𝑎)，进而根据三角形的面积公式得出△𝑄𝐴𝐶的面积，根据二次函
数的性质，即可判断④．
即可求解．
【详解】解：结论①：∵抛物线与x 轴交于𝐴(−4,0),𝐵(2,0)，
∴对称轴为直线𝑥=
−4+2
2
= −1，
又∵对称轴公式为𝑥= −
𝑏
2𝑎，
故−2𝑎= −𝑏，
∴2𝑎−𝑏= 0，因此①正确．
结论②：由于抛物线开口向上，故𝑎> 0，
∵𝑏= 2𝑎，
∴𝑏> 0，
∵抛物线与y 轴交于负半轴，故𝑐< 0，
∴𝑎𝑏𝑐<0，②错误．
结论③：当𝑥= −1时，得最小值𝑦= 𝑎× (−1)2 +𝑏× (−1) + 𝑐= 𝑎−𝑏+ 𝑐，
∴对于m 为任意实数，都有𝑎−𝑏+ 𝑐≤𝑎𝑚2 +𝑏𝑚+ 𝑐，即𝑎−𝑏≤𝑎𝑚2 +𝑏𝑚，故③正确．
结论④：设抛物线解析式为𝑦= 𝑎(𝑥+ 4)(𝑥−2)，则𝐶(0,−8𝑎)，
∴𝐴𝐶所在的直线方程为𝑦= −2𝑎𝑥−8𝑎．
∵点𝑄(𝑚,𝑛)在抛物线上，故𝑛= 𝑎(𝑚+ 4)(𝑚−2)．
过𝑄作𝑥轴的垂线，交𝐴𝐶于点𝑃，
则𝑃点的坐标为(𝑚,−2𝑎𝑚−8𝑎)，
∴𝑆△𝑄𝐴𝐶= 𝑆△𝑂𝐴𝑃+ 𝑆△𝑂𝐶𝑃=
1
2 × 4 × (−2𝑎𝑚−8𝑎)−𝑎(𝑚+ 4)(𝑚−2) = −2𝑎(𝑚2 + 4𝑚) = −2𝑎(𝑚+ 2)2
+8𝑎．
∴当𝑚= −2时，𝑆△𝑄𝐴𝐶取得最大值．故④正确．
综上，①③④正确，共3 个．
54．（2026·湖北随州·一模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示，它与x 轴交于点𝐴
(𝑥1,0)，点𝐵(𝑥2,0)两点，其中−3 < 𝑥1 < −2，1 < 𝑥2 < 2，与y 轴交于点𝐶(0,2)．下列结论：①𝑎𝑏𝑐> 0；
②4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐< 0；③当𝑥1𝑥2 = −4时，△𝐴𝐵𝐶为直角三角形；④若方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 2的两个根是𝑥3，
𝑥4，则|𝑥3−𝑥4| =
𝑏
𝑎．其中正确的结论有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】A
【分析】根据二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理以及一元二次方程根与系数的关系，解答即可．
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，对称轴交x 轴负半轴，
∴𝑎< 0,𝑐= 2 > 0,−
𝑏
2𝑎< 0，
∴𝑏< 0，
∴𝑎𝑏𝑐> 0，故①正确；
当𝑥= 2时，𝑦< 0，
∴4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐< 0，故②正确；
如图，
∵抛物线与x 轴交于点𝐴(𝑥1,0)，点𝐵(𝑥2,0)两点，
∴𝐴𝐶2 = 𝑥2
1 +4,𝐵𝐶2 = 𝑥2
2 +4,𝐴𝐵2 = (𝑥2−𝑥1)2 = 𝑥2
1 + 𝑥2
2−2𝑥1𝑥2，
∴𝐴𝐶2 +𝐵𝐶2 = 𝑥2
1 + 𝑥2
2 +8，
∵𝑥1𝑥2 = −4，
∴𝐴𝐵2 = 𝑥2
1 + 𝑥2
2−2𝑥1𝑥2 = 𝑥2
1 + 𝑥2
2 +8，
∴𝐴𝐶2 +𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
∴△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，故③正确；
∵方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 2的两个根是𝑥3，𝑥4，即方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐−2 = 0的两个根是𝑥3，𝑥4，
∴𝑥3 + 𝑥4 = −
𝑏
𝑎,𝑥3𝑥4 =
𝑐−2
𝑎，
∴(𝑥3 + 𝑥4)2 = 𝑥2
3 + 𝑥2
4 +2𝑥3𝑥4 =
𝑏2
𝑎2，
∴𝑥2
3 + 𝑥2
4 +
2𝑐−4
𝑎
=
𝑏2
𝑎2，即𝑥2
3 + 𝑥2
4 =
𝑏2
𝑎2−
2𝑐−4
𝑎，
∴(𝑥3−𝑥4)2 = 𝑥2
3 + 𝑥2
4−2𝑥3𝑥4 =
𝑏2
𝑎2−
2𝑐−4
𝑎−
2𝑐−4
𝑎
=
𝑏2−4𝑎𝑐+8𝑎
𝑎2
，
∵𝑐= 2，
∴(𝑥3−𝑥4)2 =
𝑏2−8𝑎+8𝑎
𝑎2
=
𝑏2
𝑎2，
∴|𝑥3−𝑥4| =
𝑏
𝑎，故正确；
55．（2026·安徽铜陵·二模）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的顶点为(1,𝑛)，与𝑥轴其中一个交点𝐵的
坐标为(3,0)，与𝑦轴的交点在(0,−3)与(0,−2)之间（不含端点）．下列结论中：①𝑎𝑏𝑐> 0；②
2
3 < 𝑎< 1；
③(𝑎+ 𝑐)2 = 𝑏2；④2𝑐+ 𝑎< 2𝑛，正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐
标轴的交点等性质，结合数形结合的思想分析判断各结论是解题的关键．根据抛物线的开口方向判断𝑎的符
号，由对称轴公式判断𝑏的符号，由抛物线与𝑦轴的交点位置判断𝑐的符号，进而判断𝑎𝑏𝑐的符号；利用对称
轴与已知交点坐标求出抛物线与𝑥轴的另一个交点，代入解析式结合𝑐的取值范围求出𝑎的取值范围；利用因
式分解和特殊点的函数值判断(𝑎+ 𝑐)2 = 𝑏2是否成立；根据顶点坐标公式表示出𝑛，进而判断2𝑐+ 𝑎与2𝑛的
大小关系．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴𝑎> 0，
对称轴为𝑥= 1，则−
𝑏
2𝑎= 1，
∵𝑎> 0，
∴𝑏< 0，
∵抛物线与𝑦轴的交点在(0,−3)与(0,−2)之间，
∴−3 < 𝑐< −2 < 0，
∴𝑎𝑏𝑐> 0，①正确；
∵−
𝑏
2𝑎= 1，
∴𝑏= −2𝑎，
∵抛物线对称轴为𝑥= 1，与𝑥轴其中一个交点𝐵的坐标为(3,0)，
∴与𝑥轴另一个交点的坐标为(−1,0)，
将(−1,0)代入抛物线得，𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，
又∵𝑏= −2𝑎，
∴𝑎−(−2𝑎) +𝑐= 0，
解得𝑐= −3𝑎，
∴−3 < −3𝑎< −2，
∴
2
3 < 𝑎< 1，②正确；
原等式可化为(𝑎+ 𝑐)2−𝑏2 = 0，
(𝑎+ 𝑐)2−𝑏2 = (𝑎+ 𝑐−𝑏)(𝑎+ 𝑐+ 𝑏)，
当𝑥= −1时，𝑦= 𝑎+ 𝑐−𝑏= 0，
∴(𝑎+ 𝑐)2−𝑏2 = 0，即(𝑎+ 𝑐)2 = 𝑏2，③正确；
抛物线顶点为(1,𝑛)，
∴𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 𝑛，
又∵𝑏= −2𝑎，
∴𝑛= 𝑎−2𝑎+ 𝑐= −𝑎+ 𝑐，
则2𝑛= −2𝑎+ 2𝑐，
∴2𝑐+ 𝑎−2𝑛= 2𝑐+ 𝑎−(−2𝑎+ 2𝑐) = 3𝑎> 0，
∴2𝑐+ 𝑎> 2𝑛，④错误；
综上所述，正确的结论为①②③，共3个，
故选：C．
56．（25-26 九年级下·山东烟台·期中）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示，下列结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；②2𝑎+ 𝑏< 0；③3|𝑎| + |𝑐| < 2|𝑏|；④若−1 < 𝑚< 𝑛< 1，则𝑚+ 𝑛<
𝑏
𝑎．其中正确的结论有
（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与𝑦轴交点位置确定𝑎、𝑏、𝑐的符号及相互关系，再
结合特殊点的函数值及不等式性质逐一判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴𝑎> 0，
∵抛物线与𝑦轴交于正半轴，
∴𝑐> 0，
∵对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎> 1 > 0，
∴𝑏< 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，故①正确；
∵对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎> 1，𝑎> 0，
∴−𝑏> 2𝑎，
∴2𝑎+ 𝑏< 0，故②正确；
∵𝑎> 0，𝑏< 0，𝑐> 0，
∴3|𝑎| + |𝑐| = 3𝑎+ 𝑐，2|𝑏| = −2𝑏，
∵当𝑥= 1时，𝑦= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0，且2𝑎+ 𝑏< 0，
∴(𝑎+ 𝑏+ 𝑐) + (2𝑎+ 𝑏) < 0，即3𝑎+ 2𝑏+ 𝑐< 0，
∴3𝑎+ 𝑐< −2𝑏， 即3|𝑎| + |𝑐| < 2|𝑏|，故③正确；
∵对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎> 1，
∴
𝑏
2𝑎< −1，
∴
𝑏
𝑎< −2，
∵−1 < 𝑚< 𝑛< 1，
∴−2 < 𝑚+ 𝑛< 2，
∴𝑚+ 𝑛>
𝑏
𝑎，故④错误．
综上所述，正确的结论只有①②③，共3个．
57．（25-26 九年级下·四川南充·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎,𝑏,𝑐是常数，
𝑎≠0）经过点(3,𝑘)，当𝑥≤2时，𝑦≥𝑘+ 1；当𝑥> 2时，𝑦≥𝑘．下列结论：①𝑘= 9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐；
②𝑏< −4𝑎；③函数𝑦的最小值为𝑘+ 1；④𝑎的值为1．其中，正确结论的个数有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据点在抛物线上、二次函数的对称性和单调性判断各结论即可．
【详解】解：①∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐经过点(3,𝑘)，
∴将𝑥= 3,𝑦= 𝑘代入得𝑘= 9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐，故①正确．
②∵当𝑥≤2时，𝑦≥𝑘+ 1 > 𝑘，对任意𝑥> 2，𝑦≥𝑘，且𝑥= 3时，𝑦= 𝑘，说明抛物线开口向上，𝑎> 0，
顶点为(3,𝑘)，
∴对称轴为𝑥= 3，由对称轴公式𝑥= −
𝑏
2𝑎= 3，得
𝑏= −6𝑎，
∵𝑎> 0，
∴−6𝑎< −4𝑎，即𝑏< −4𝑎，故②正确．
③∵抛物线开口向上，顶点为(3,𝑘)，
∴函数𝑦的最小值为𝑘，不是𝑘+ 1，故③错误．
④∵抛物线开口向上，𝑎> 0，对称轴𝑥= 3，当𝑥< 3时，𝑦随𝑥增大而减小，
∴𝑥≤2时，𝑦的最小值在𝑥= 2处，
抛物线顶点式为𝑦= 𝑎(𝑥−3)2 +𝑘，代入𝑥= 2得𝑦(2) = 𝑎(2−3)2 +𝑘= 𝑎+ 𝑘，
∵𝑥≤2时，𝑦≥𝑘+ 1，
∴𝑦(2) = 𝑎+ 𝑘= 𝑘+ 1，得𝑎= 1，故④正确．
综上，正确的结论有①②④，共3 个．
58．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（a，b，c 为常数，且𝑎≠0）的对称
轴是𝑥= 1，且抛物线与x 轴的一个交点坐标是(4,0)，与y 轴的交点坐标是(0,𝑚)，且2 < 𝑚< 3．有下列结
论：①𝑎𝑏𝑐< 0；②9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐> 0；③
9
4 < 𝑦最大<
27
8 ；④关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 + (𝑏−1)𝑥+ 𝑐−2 = 0
必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断𝑎,𝑏,𝑐的符号即可判断①；当𝑥= 3时，
𝑦= 9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐> 0，即可判断②；根据𝑏= −2𝑎,2 < 𝑐< 3，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得
𝑎的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④，即可求解．
【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则𝑎< 0，对称轴为直线𝑥= 1，则−
𝑏
2𝑎= 1，
∴𝑏= −2𝑎> 0，
又 ∵抛物线与𝑦轴交点坐标是(0,𝑚)，即𝑐= 𝑚，
∵2 < 𝑚< 3，即𝑐> 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0，故①正确；
∴当𝑥= 3时，𝑦= 9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐> 0，故②正确；
∵抛物线与𝑥轴的一个交点坐标是(4,0)，对称轴为直线𝑥= 1，
∴另一个交点坐标为(−2,0)，
∵(−2,0),(4,0)在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象上，
∴4𝑎−2𝑏+ 𝑐= 0，
又 ∵𝑏= −2𝑎，
∴4𝑎+ 4𝑎+ 𝑐= 0，
∴8𝑎+ 𝑐= 0，即𝑐= −8𝑎，
∵2 < 𝑚< 3，即2 < 𝑐< 3，
∴2 < −8𝑎< 3，
∴2 ×
9
8 < −8𝑎×
9
8 < 3 ×
9
8，即
9
4 < −9𝑎<
27
8 ，
当𝑥= 1时，𝑦取得最大值，最大值为𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 𝑎−2𝑎−8𝑎= −9𝑎，
∴𝑦max = −9𝑎，
∴
9
4 < 𝑦max <
27
8 ，故③正确；
∵𝑎𝑥2 + (𝑏−1)𝑥+ 𝑐−2 = 0,𝑏= −2𝑎,𝑐= −8𝑎，
即𝑎𝑥2 + (−2𝑎−1)𝑥−8𝑎−2 = 0，
∵Δ = (−2𝑎−1)2 +4𝑎(8𝑎+ 2) = 36𝑎2 +12𝑎+ 1，
对称轴为直线𝑎= −
12
2×36 = −
1
6，当𝑎< −
1
6时，Δ的值随𝑎的增大而减小，
又 ∵2 < −8𝑎< 3，
∴−
3
8 < 𝑎< −
1
4，
∴当𝑎= −
1
4时，Δ = 36 × −
1
4
2
+12 × −
1
4 +1 =
1
4 > 0，
∴当−
3
8 < 𝑎< −
1
4时，Δ > 0恒成立，即𝑎𝑥2 +(𝑏−1)𝑥+ 𝑐−2 = 0必有两个不相等实根，故④正确；
结论正确的个数有4 个．
59．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图像的一部分如图所示，对称轴为
𝑥= 3，对于下列结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；
②多项式𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐可因式分解为(𝑥−1)(𝑥+ 5)；
③若点(𝑚,𝑦1)，(𝑚+ 4,𝑦2)在函数图像上，且𝑦1 > 𝑦2，则𝑚< 1；
④不等式𝑎𝑥2 + (𝑏+ 1)𝑥+ 𝑐> 5的解集为0 < 𝑥< 5．
其中正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与𝑥轴的交点坐标，二次函数图象与各项系数符号，观察函数性
质以及对称轴为直线𝑥= 3，得出𝑎𝑏𝑐< 0，结合对称性得二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)经过点(5,0)，故
多项式𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐可因式分解为𝑎(𝑥−1)(𝑥+ 5)；结合开口向上，对称轴为直线𝑥= 3，得越靠近对称轴𝑥= 3
的自变量所对应的函数值越小，即点(𝑚,𝑦1)，(𝑚+ 4,𝑦2)在函数图像上，且𝑦1 > 𝑦2，则𝑚< 1，以及数形结
合，即可作答．
【详解】解：观察函数图象，得出二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的开口向上，与y 轴交于正半轴，
∴𝑎> 0,𝑐> 0，
∵对称轴为直线𝑥= 3，
∴𝑏< 0，
∴𝑎𝑏𝑐< 0
故①是符合题意；
观察函数图象，得出二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)经过点(1,0)，
∵对称轴为𝑥= 3，
∴二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)经过点(5,0)，
即多项式𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐可因式分解为(𝑥−1)(𝑥−5)，
故②是不符合题意；
∵开口向上，对称轴为直线𝑥= 3，
∴越靠近对称轴𝑥= 3的自变量所对应的函数值越小
∵点(𝑚,𝑦1)，(𝑚+ 4,𝑦2)在函数图像上，且𝑦1 > 𝑦2，
∴|𝑚+ 4−3| < |𝑚−3|，
∴|𝑚+ 1| < |𝑚−3|，
当𝑚+ 1 < 0时，即𝑚< −1，则−𝑚−1 < −𝑚+ 3，即−1 < 3；
当𝑚+ 1 > 0，𝑚−3 < 0时，则𝑚+ 1 < −𝑚+ 3，即𝑚< 1；
∴−1 < 𝑚< 1，
当𝑚−3 > 0时，则𝑚+ 1 < 𝑚−3，则1 < −3不成立
综上：𝑚< 1
故③是符合题意；
∵二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)经过点(0,5)以及点(5,0)，
而一次函数𝑦= −𝑥+ 5也经过点(0,5)以及点(5,0)，如下图所示：
可得不等式𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐> −𝑥+ 5的解集为𝑥< 0或𝑥> 5，
∴可得不等式𝑎𝑥2 + (𝑏+ 1)𝑥+ 𝑐> 5的解集为𝑥< 0或𝑥> 5，
故④不符合题意；
60．（25-26 九年级上·四川绵阳·期末）函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图像与x 轴交于点2，0 ，顶点坐标
为−1，𝑛，其中𝑛> 0．以下结论正确的是（ ）．
①𝑎𝑏𝑐> 0；
②𝑡(𝑎𝑡+ 𝑏) ≤𝑎−𝑏（t 为任意实数）；
③函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)在𝑥= 1和x＝﹣2 处的函数值相等；
④函数𝑦= 𝑘𝑥+ 1的图像与𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的函数图像总有两个不同交点；
⑤函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)在−3 ≤𝑥≤3内既有最大值又有最小值．
A．①②⑤
B．①②③
C．①③⑤
D．②③④⑤
【答案】A
【分析】根据顶点坐标得到抛物线对称轴，结合与x 轴交点判断出a，b，c 的符号，再利用二次函数的图像
与性质逐一判断各结论即可解答．
【详解】解：∵顶点坐标为(−1,𝑛)，𝑛> 0，抛物线与𝑥轴交于点(2,0)，
∴抛物线开口向下，即𝑎< 0，对称轴为直线𝑥= −1，
∵对称轴公式为𝑥= −
𝑏
2𝑎= −1，
∴𝑏= 2𝑎，
∵𝑎< 0，
∴𝑏< 0，
把(2,0)代入𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐得4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 0，将𝑏= 2𝑎代入得8𝑎+ 𝑐= 0，
∴𝑐= −8𝑎，
∵𝑎< 0，
∴𝑐> 0；
①∵𝑎< 0，𝑏< 0，𝑐> 0，∴𝑎𝑏𝑐> 0，即①正确；
②∵抛物线开口向下，顶点(−1,𝑛)是最高点，即对任意实数𝑡，都有
𝑎𝑡2 +𝑏𝑡+ 𝑐≤𝑎⋅(−1)2 +𝑏⋅(−1) +𝑐，
两边减𝑐得𝑎𝑡2 +𝑏𝑡≤𝑎−𝑏，即𝑡(𝑎𝑡+ 𝑏) ≤𝑎−𝑏，即②正确．
③∵对称轴为𝑥= −1，𝑥= 1到对称轴的距离为|1−(−1)| = 2，𝑥= −2到对称轴的距离为|−2−(−1)| = 1，
距离不相等，
∴两处函数值不相等，即③错误；
④联立
𝑦= 𝑘𝑥+ 1
𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐
，整理得𝑎𝑥2 + (𝑏−𝑘)𝑥+ (𝑐−1) = 0，
判别式Δ = (𝑏−𝑘)2−4𝑎(𝑐−1)，代入𝑏= 2𝑎,𝑐= −8𝑎得
Δ = (2𝑎−𝑘)2−4𝑎(−8𝑎−1) = (𝑘−2𝑎)2 +32𝑎2 +4𝑎，
当Δ < 0时，没有两个交点，因此不是总有两个不同交点，
∴函数𝑦= 𝑘𝑥+ 1的图像与𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的函数图像不总有两个不同交点，即④错误；
⑤∵对称轴𝑥= −1在区间−3 ≤𝑥≤3内，抛物线开口向下，
∴𝑥= −1时函数取得最大值，
又∵𝑥= 3到对称轴的距离大于𝑥= −3到对称轴的距离，
∴当𝑥= 3时取得最小值，
∴在−3 ≤𝑥≤3区间内既有最大值又有最小值，即⑤正确．
综上，正确结论为①②⑤，即选项A 符合题意．
