专题02 与数轴有关的十七大压轴题型（举一反三专项训练）
【新教材人教版】
【题型1 求数轴上的两点距离】............................................................................................................................1
【题型2 借助数轴求两点中点】............................................................................................................................4
【题型3 与数轴有关的和差倍分的计算】............................................................................................................8
【题型4 数轴上点的平移】..................................................................................................................................11
【题型5 数轴上点的运动】..................................................................................................................................14
【题型6 数轴上点的相遇与追及问题】..............................................................................................................20
【题型7 数轴上点的和差问题】..........................................................................................................................25
【题型8 数轴上点的倍分问题】..........................................................................................................................31
【题型9 数轴上距离定值问题】..........................................................................................................................37
【题型10 数轴上和差定值问题】..........................................................................................................................42
【题型11 数轴上比为定值问题】..........................................................................................................................48
【题型12 数轴上定值求参问题】..........................................................................................................................53
【题型13 数轴上动线段问题】..............................................................................................................................60
【题型14 数轴上挡板与往返问题】......................................................................................................................68
【题型15 数轴上的折叠问题】..............................................................................................................................76
【题型16 数轴与有理数的多结论问题】..............................................................................................................84
【题型17 数轴上的新定义问题】..........................................................................................................................88
方法技巧1：数轴上的两点距离
两点距离
位置明确（右减左）：𝐴𝐵= 𝑎−𝑏
位置不明确（加绝对值）：𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|
【题型1 求数轴上的两点距离】
【例1】（25-26 七年级上·安徽亳州·月考）如图，在数轴上从左到右有A，B，C 三点，其中点𝐴到点𝐵的距
离为3，点𝐵到点𝐶的距离为8，设点A，B，C 所表示的数的和是𝑚．
（1）若点𝐴为原点，则点𝐵所表示的数是__________；
（2）若点𝐵到原点𝑂的距离为4，则𝑚的值是__________．
题型归纳
【答案】
3
−7或17
【分析】本题主要考查了数轴上点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算，掌握数轴上点与有理数的关
系，两点之间距离的计算方法是解题的关键．
（1）根据数轴特点进行计算即可求解；
（2）根据题意，分类讨论：当原点在点B 的左边时；当原点在点B 的右边时；结合数轴上两点之间距离的
计算即可求解．
【详解】解：（1）因为点𝐴为原点，且点𝐴到点𝐵的距离为3，点𝐵在点𝐴的右侧，
所以点𝐵表示的数为3；
故答案为：3；
（2）由题意知，①当原点𝑂在点𝐵左侧时，点𝐵表示的数为4，
则点𝐴表示的数为1，点𝐶表示的数为12，
所以𝑚= 1 + 4 + 12 = 17；
②当原点𝑂在点𝐵右侧时，点𝐵表示的数为−4，
则点𝐴表示的数为−7，点𝐶表示的数为4，
所以𝑚= −7 + (−4) + 4 = −7．
综上，𝑚的值为−7或17；
故答案为：−7或17．
【变式1-1】（25-26 七年级上·湖南永州·开学考试）数轴上，点A 到原点（表示数0 的点）的距离为4，点
B 到原点的距离为6，那么A 与B 的距离为___．
【答案】10 或2
【分析】本题考查数轴两点间的距离，根据两点间的距离公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，点𝐴表示的数为4 或−4，点𝐵表示的数为6或−6，
∴A 与B 的距离为6−4 = 2或4 + 6 = 10；
故答案为：10 或2．
【变式1-2】（24-25 七年级上·四川南充·月考）已知数轴上𝐴,𝐵两点对应的数分别为−3,−6，若在数轴上找
一点𝐶，使得点𝐴,𝐶的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D 的距离为1，则𝐶𝐷的距离为
____________________．
【答案】2或6或0或8
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可分别确定点C 与点D 表示的数，进而可确定这两
个点间的距离，即可解答．
【详解】解：∵数轴上𝐴对应的数为−3，点𝐴,𝐶的距离为4，
∴ 𝐶对应的数为−7或1，
∵数轴上𝐵对应的数为−6，点B,D 的距离为1，
∴ 𝐷对应的数为−5或−7，
∴ 𝐶𝐷的距离为2或6或0或8，
故答案为：2或6或0或8．
【变式1-3】（25-26 七年级上·河南安阳·期中）如图所示，在一条不完整的数轴（向右为正方向）上从左到
右有点𝐴、𝐵、𝐶，其中点𝐴到点𝐵的距离为3，点𝐵到点𝐶的距离为8，设点𝐴、𝐵、𝐶所对应的数的和是𝑚．若
原点𝑂在图中数轴上，且点𝐵到原点𝑂的距离为4，则𝑚= _____．
【答案】−7或17
【分析】本题考查了数轴的性质、有理数的加减法，熟练掌握数轴的性质是解题关键；
根据题意分情况讨论：①当原点𝑂在点𝐵右侧时，分析计算可得，点𝐴、𝐵、𝐶所对应的数分别为−7，−4，
4，即可求得𝑚；②当原点𝑂在点𝐵左侧时，分析计算可得，点𝐴、𝐵、𝐶所对应的数分别为1，4，12，即可
求得𝑚．
【详解】解：根据题意分情况讨论：
如图，当原点𝑂在点𝐵右侧时，
∵点𝐵到原点𝑂的距离为4，
∴点𝐵对应的数是−4，
∵点𝐴到点𝐵的距离为3，𝐵到点𝐶的距离为8，
∴点𝐴对应的数是−4−3 = −7,点𝐶对应的数是8−4 = 4，
∴𝑚= −7 + (−4) +4 = −7；
如图，当原点𝑂在点𝐵左侧时，
∵点𝐵到原点𝑂的距离为4，
∴点𝐵对应的数是4，
∵点𝐴到点𝐵的距离为3，𝐵到点𝐶的距离为8，
∴点𝐴对应的数是4−3 = 1,点𝐶对应的数是8 + 4 = 12，
∴𝑚= 1 + 4 + 12 = 17；
综上可知，𝑚= −7或17，
故答案为：−7或17．
两点中点
中点定义：线段上的一点把线段分成相等的两部分，这个
点叫作这条线段的中点；
中点公式：若A：a，B：b，则AB 的中点𝑀:
𝑎+𝑏
2
【题型2 借助数轴求两点中点】
【例2】（25-26 七年级上·江苏苏州·月考）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称
该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点A、B 表示的数分别为−1、5，点C 为数轴上
一动点，若A、B、C 三点满足“中点关系”，则点C 表示的数为_______．
【答案】2 或−7或11
【分析】本题主要考查了表示数轴上的点，解题的关键是理解中点关系，注意分情况讨论．
先设点𝐶表示的数是𝑥，再以点𝐴，点𝐵，点𝐶分别为中点，求出答案即可．
【详解】解：设点𝐶表示的数是𝑥，
当点𝐴是点𝐵和点𝐶的中点时，
𝑥+5
2 = −1，解得𝑥= −7；
当点𝐵是点𝐴和点𝐶的中点时，
𝑥+(−1)
2
= 5，解得𝑥= 11；
当点𝐶是点𝐴和点𝐵的中点时，𝑥=
−1+5
2
= 2．
所以点𝐶表示的数是2 或−7或11．
故答案为：2 或−7或11．
【变式2-1】如图，数轴上𝐴、𝐵两点表示的数分别为−6，2，将长为3的线段𝑃𝑄摆放在数轴上，使得点𝑃与𝐴𝐵
中点重合，则点𝑄表示的数________．
【答案】1 或−5
【分析】此题考查了数轴的应用，求得𝐴𝐵的中点表示的数，分两种情况，当𝑃在𝑄的左边或𝑃在𝑄的右边时，
求出点P 表示的数，即可求解．
【详解】解：由题意可得：𝑃𝑄= 3，𝐴𝐵的中点表示的数为
1
2(−6 + 2) = −2，
即点P 表示的数为−2，
当𝑃在𝑄的左边时，此时点Q 表示的数为−2 + 3 = 1，
当𝑃在𝑄的右边时，此时点Q 表示的数为−2−3 = −5，
故答案为：1或−5
【变式2-2】（24-25 七年级上·湖北武汉·月考）已知如图，数轴上点A，B 分别与刻度尺上2，18 对齐，点
A 在数轴上表示的数为−4．第一次取𝐴𝐵的中点𝑀1，第二次取𝐴𝑀1的中点𝑀2，第三次取𝐴𝑀2的中点𝑀3，按
此规律依次取得中点𝑀6，则点𝑀6在数轴上表示的数是________．
【答案】−3.75
【分析】本题考查了数轴上表示有理数，有理数的加法和乘法，数轴上两点间的距离，正确理解题意是解
题的关键．先求出点B 在数轴上表示的数为−4 + 16 = 12，分别计算每一次对应的点𝑀表示的数即可．
【详解】解：∵数轴上点A，B 分别与刻度尺上2，18 对齐，
∴𝐴𝐵= 18−2 = 16,
∵点A 在数轴上表示的数为−4，
∴点B 在数轴上表示的数为：−4 + 16 = 12，
第一次取𝐴𝐵的中点𝑀1，则𝐴𝑀1 =
1
2𝐴𝐵= 8，
∴点𝑀1在数轴上表示的数为−4 + 8 = 4，
第二次取𝐴𝑀1的中点𝑀2，则𝐴𝑀2 =
1
2𝐴𝑀1 = 4，
∴点𝑀2在数轴上表示的数为−4 + 4 = 0，
第三次取𝐴𝑀2的中点𝑀3，则𝐴𝑀3 =
1
2𝐴𝑀2 = 2，
∴点𝑀3在数轴上表示的数为−4 + 2 = −2，
第四次取𝐴𝑀3的中点𝑀4，则𝐴𝑀4 =
1
2𝐴𝑀3 = 1，
∴点𝑀4在数轴上表示的数为−4 + 1 = −3，
第五次取𝐴𝑀4的中点𝑀5，则𝐴𝑀5 =
1
2𝐴𝑀4 = 0.5，
∴点𝑀5在数轴上表示的数为−4 + 0.5 = −3.5，
第六次取𝐴𝑀5的中点𝑀6，则𝐴𝑀5 =
1
2𝐴𝑀4 = 0.25，
∴点𝑀6在数轴上表示的数为−4 + 0.25 = −3.75，
故答案为：−3.75．
【变式2-3】（24-25 七年级上·福建福州·期末）已知点𝐴,𝐵,𝐶,𝐷是同一数轴上的不同四点，且点𝑀为线段𝐴𝐵
的中点，点𝑁为线段𝐶𝐷的中点．如图，设数轴上点𝑂表示的数为0，点𝐷表示的数为1．
(1)若数轴上点𝐴,𝐵,𝐶表示的数分别是−4,−2,3，直接写出此时线段𝑀𝑁的长是_____________．
(2)若𝐴、𝐵、𝐶、𝐷四点从左到右依次在数轴上，𝐴𝐵+ 𝐶𝐷= 10,𝐴𝐶+ 𝐵𝐷=
3
2𝐴𝐷，请结合数轴，求𝐴点表示的
数．
(3)若点𝐴,𝐵,𝐶均在点𝑂的右侧，且始终满足𝑀𝑁=
𝑂𝐴+𝑂𝐵+𝑂𝐶
2
，求点𝑀在数轴上所表示的数．
【答案】(1)5
(2)−19
(3)
1
4
【分析】本题主要考查数轴上点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上中点的计算，掌握数轴的特
点是解题的关键．
（1）根据题意，由中点的计算可得点𝑀表示的数为−3，点𝑁表示的数为2，由两点之间距离的计算即可求
解；
（2）如图所示，点𝐷表示的数为1，设𝐴,𝐵,𝐶表示的数为𝑎,𝑏,𝑐，则
𝐴𝐵= 𝑏−𝑎,𝐶𝐷= 1−𝑐,𝐴𝐶= 𝑐−𝑎,𝐵𝐷= 1−𝑏,𝐴𝐷= 1−𝑎，所以𝑏−𝑎+ 1−𝑐= 10，𝑐−𝑎+ 1−𝑏=
3
2(1−𝑎)，由此
即可求解；
（3）设𝐴,𝐵,𝐶表示的数为𝑎,𝑏,𝑐，则
𝑂𝐴+𝑂𝐵+𝑂𝐶
2
=
𝑎+𝑏+𝑐
2
，点𝑀表示的数为
𝑎+𝑏
2 ，点𝑁表示的数为
𝑐+1
2 ，所以即
|𝑎+ 𝑏−𝑐−1| = 𝑎+ 𝑏+ 𝑐，根据绝对值的性质分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∵点𝑀为线段𝐴𝐵的中点，点𝑁为线段𝐶𝐷的中点，
∴点𝑀表示的数为
−4+(−2)
2
= −3，点𝑁表示的数为
1+3
2 = 2，
∴𝑀𝑁= 2−(−3) = 5，
故答案为：5；
（2）解：如图所示，点𝐷表示的数为1，设𝐴,𝐵,𝐶表示的数为𝑎,𝑏,𝑐，
∴𝐴𝐵= 𝑏−𝑎,𝐶𝐷= 1−𝑐,𝐴𝐶= 𝑐−𝑎,𝐵𝐷= 1−𝑏,𝐴𝐷= 1−𝑎，
∴𝑏−𝑎+ 1−𝑐= 10，𝑐−𝑎+ 1−𝑏=
3
2(1−𝑎)，
解得，𝑎= −19，
∴点𝐴表示的数为−19；
（3）解：设𝐴,𝐵,𝐶表示的数为𝑎,𝑏,𝑐，
∴𝑂𝐴= 𝑎,𝑂𝐵= 𝑏,𝑂𝐶= 𝑐，
∴
𝑂𝐴+𝑂𝐵+𝑂𝐶
2
=
𝑎+𝑏+𝑐
2
，
∵点𝑀为线段𝐴𝐵的中点，点𝑁为线段𝐶𝐷的中点，
∴点𝑀表示的数为
𝑎+𝑏
2 ，点𝑁表示的数为
𝑐+1
2 ，
∴𝑀𝑁= |
𝑎+𝑏−𝑐−1
2
| =
𝑎+𝑏+𝑐
2
，即|𝑎+ 𝑏−𝑐−1| = 𝑎+ 𝑏+ 𝑐，
当𝑎+ 𝑏−𝑐−1 = 𝑎+ 𝑏+ 𝑐时，则𝑐= −
1
2（不符合题意，舍去）；
当−(𝑎+ 𝑏−𝑐−1) = 𝑎+ 𝑏+ 𝑐时，则𝑎+ 𝑏=
1
2；
∴
𝑎+𝑏
2 =
1
4，
∴点𝑀在数轴上所表示的数为
1
4．
距离和差倍分
点P 在A，B 之间
点P 在B 右侧
点P 的位置不确定
𝑃𝐴= 𝑥−𝑎；𝑃𝐵= 𝑏−𝑥；
𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 𝑏−𝑎
𝑃𝐴= 𝑥−𝑎；𝑃𝐵= 𝑥−𝑏；
𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 2𝑥−𝑎−𝑏
𝑃𝐴= |𝑥−𝑎|；𝑃𝐵= |𝑥−𝑏|；
𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= |𝑥−𝑎| + |𝑥−𝑏|
【题型3 与数轴有关的和差倍分的计算】
【例3】（24-25 七年级上·宁夏银川·阶段检测）已知数轴上点𝐴在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，
点𝐵在原点的右边，从点𝐴走到点𝐵，要经过32个单位长度．
(1)𝐴，𝐵两点分别表示的数为_______．
(2)若点𝐶也是数轴上的点，点𝐶表示的数是正数，点𝐶到点𝐵的距离是点𝐶到原点的距离的3倍，则点𝐶表示的
数为_______．
【答案】(1)−8，24
(2)6
【分析】本题考查数轴上的点表示的数，一元一次方程的应用，
（1）根据题意列出算式，即可得出结论；
（2）根据题意并结合数轴上两点间距离列出方程，求解即可；
掌握分类讨论的思想以及数轴上的点表示的数是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意知：点𝐴表示的数为−8，
∵从点𝐴走到点𝐵，要经过32个单位长度
∴𝐵表示的数为−8 + 32 = 24，
即𝐴，𝐵两点分别表示的数为−8，24，
故答案为：−8，24；
（2）设𝐶表示的数为𝑥(𝑥> 0)，
依题意，得：|𝑥−24| = 3𝑥，
∴𝑥−24 = −3𝑥或𝑥−24 = 3𝑥，
解得：𝑥= 6或𝑥= −12（负值不符合题意，舍去），
∴点𝐶表示的数为6．
故答案为：6．
【变式3-1】（25-26 七年级上·安徽六安·期中）1．如图，数轴上点A，B 表示的数分别是−1，5，点C 是数
轴上一动点．在点C 移动的过程中：
（1）若点C 到A，B 两点的距离相等，则点C 表示的数是______；
（2）若点C 到点A 距离是它到点B 距离的2 倍，则点C 表示的数是______．
【答案】
2
3 或11
【分析】本题考查了数轴和两点间的距离，理解题意是解决本题的关键．
（1）根据点C 到A，B 两点的距离相等进行求解即可；
（2）设点C 表示的数为𝑥，则𝐶𝐴= |𝑥+ 1|，𝐶𝐵= |𝑥−5|，再根据点C 到点A 距离是它到点B 距离的2 倍，
进行分三种情况讨论即可．
【详解】解：（1）∵点C 到A，B 两点的距离相等，
∴点C 表示的数是
−1+5
2
= 2，
故答案为：2；
（2）设点C 表示的数为𝑥，则𝐶𝐴= |𝑥+ 1|，𝐶𝐵= |𝑥−5|，
根据题意|𝑥+ 1| = 2|𝑥−5|，分情况讨论：
当−1 ≤𝑥≤5时，𝑥+ 1 = 2(5−𝑥)
𝑥+ 1 = 10−2𝑥
3𝑥= 9
解得𝑥= 3（符合范围）；
当𝑥> 5时，𝑥+ 1 = 2(𝑥−5)
𝑥+ 1 = 2𝑥−10
−𝑥= −11
解得𝑥= 11（符合范围）；
当𝑥< −1时，−(𝑥+ 1) = 2(5−𝑥)
−𝑥−1 = 10−2𝑥，
解得𝑥= 11（与𝑥< −1矛盾，舍去），
综上所述，点C 表示的数是3 或11，
故答案为：3 或11．
【变式3-2】如图，在数轴上有A、B、C、D 四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D
两点表示的数分别为﹣5 和6，且AC 的中点为E，BD 的中点为M，BC 之间距点B 的距离为
1
3BC 的点N，则
该数轴的原点为（ ）
A．点E
B．点B
C．点M
D．点N
【答案】D
【详解】试题分析：根据A 为-5，D 为6，求得AD 的长，然后根据2AB=BC=3CD，求得AB、BC，CD 的长，
从而找到E，M，N 所表示的数，再判断哪个是原点．
解：∵2AB=BC=3CD，
∴设CD=x，则BC=3x，AB=1.5x，
∵A、D 两点表示的数分别为-5 和6，
∴AD=11，
∴x+3x+1.5x=11，解得x=2，
故CD=2，BC=6，AB=3，
∵AC 的中点为E，BD 的中点为M，
∴AE=EC=4.5，BM=MD=4，
则E 点对应的数是-0.5，M 点对应的数为2，
∵BC 之间距点B 的距离为
1
3BC 的为点N，
∴BN=
1
3BC=2，∴AN=5，
∴N 点对应的数为0，即为原点.
故选D．
【变式3-3】在一条不完整的数轴上从左到右有点𝐴，𝐵，𝐶，其中𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 1，如图所示，设点𝐴，𝐵，
𝐶所对应数的和是𝑝．
(1)若以𝐵为原点，写出点𝐴，𝐶所对应的数，并计算𝑝的值；若以𝐶为原点，𝑝又是多少？
(2)若原点𝑂在图中数轴上点𝐶的右边，且𝐶𝑂= 25，求𝑝．
【答案】(1)点𝐶所对应的数为1，点𝐴所对应的数为−2，𝑝= −1；𝑝= −4
(2)−79
【分析】（1）根据以𝐵为原点，则𝐶表示1，𝐴表示−2，进而得到𝑝的值；根据以𝐶为原点，则𝐴表示−3，B
表示−1，进而得到𝑝的值；
（2）根据原点𝑂在图中数轴上点𝐶的右边，且𝐶𝑂= 25，可得𝐶表示−25，𝐵表示−26，𝐴表示−28，据此可得
𝑝的值．
【详解】（1）解：若以𝐵为原点，
∴点𝐵表示的数为0，
∵𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 1，
∴𝐶表示1，𝐴表示−2，
∴𝑝= 1 + 0−2 = −1；
若以𝐶为原点，
∴点𝐶表示的数为0，
∵𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 1，
∴𝐴表示−3，𝐵表示−1，
∴𝑝= −3−1 + 0 = −4；
∴点𝐶所对应的数为1，点𝐴所对应的数为−2，𝑝= −1；𝑝= −4．
（2）∵原点𝑂在图中数轴上点𝐶的右边，且𝐶𝑂= 25，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 1，
∴点𝑂表示的数为0，
∴𝐶表示−25，𝐵表示−26，𝐴表示−28，
∴𝑝= (−28) + (−25) + (−26) = −79．
∴𝑝的值为−79．
【点睛】本题考查两点间的距离以及数轴的运用，有理数的加减运算，解题时注意：连接两点间的线段的
长度叫两点间的距离．掌握两点间的距离是解题的关键．
点的平移
点A 表示的数为a，将点A 向左平移n 个单
位长度得到点B，则点B 表示的数为a－n
点A 表示的数为a，将点A 向右平移n 个单
位长度得到点B，则点B 表示的数为a＋n
【题型4 数轴上点的平移】
【例4】（2026·山东济宁·一模）一个点从数轴上的原点出发，向负半轴移动2025 个单位长度，再向正方向
移动2026 个单位长度到达点P，则点P 表示的数是（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据数轴上点向负方向移动时数减小，向正方向移动时数增大，从原点出发逐步计算即可得到结
果．
【详解】∵数轴上原点表示的数为0，
先向负半轴移动2025 个单位长度，得到的数为0−2025 = −2025，
再向正方向移动2026 个单位长度，得到点P 表示的数为−2025 + 2026 = 1，
∴ 点P 表示的数是1．
【变式4-1】如图，点A、B、C 为数轴上的点，请回答下列问题：
（1）将点A 向右平移3 个单位长度后，点A，B，C 表示的数中，哪个数最小？
（2）将点C 向左平移6 个单位长度后，点A 表示的数比点C 表示的数小多少？
（3）将点B 经过怎样的平移后，点B 与点C 的距离是2？
【答案】（1）点B 表示的数；（2）1；（3）点B 向右平移3 个或7 个单位长度
【分析】（1）把点A 向右平移3 个单位长度即为原点，比较即可；
（2）将C 向左平移6 个单位长度，表示的数为-2，运算即可得出结果；
（3）点B 向右平移3 个或7 个单位长度后，表示的数为2 或6，点B 与点C 的距离是2．
【详解】（1）如图所示，
则点B 表示的数最小；
（2）如图所示：
﹣2﹣（﹣3）＝1．
故点A 表示的数比点C 表示的数小1；
（3）如图所示：
点B 向右平移3 个或7 个单位长度后，点B 与点C 的距离是2．
【点睛】本题考查了数轴以及数轴上两点之间的距离公式，根据题意画出相应的数轴是解本题的关键．
【变式4-2】（24-25 七年级上·陕西西安·期末） 已知𝑀，𝑁两点在数轴上所表示的数分别为𝑚和𝑛，其中𝑚
表示的数为10，𝑛表示的数为−2．有一个玩具火车𝐴𝐵放置在数轴上；将火车沿数轴左右水平移动，当点𝐴
移动到点𝐵时，点𝐵与点𝑀重合，当点𝐵移动到点𝐴时，点𝐴与点𝑁重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，
当𝑁𝐴:𝐵𝑀= 3:1时，点𝐴所表示的数为_____．
【答案】4 或10
【分析】本题考查数轴，用绝对值表示数轴上两点间的距离是本题的关键．
根据题意可知，𝑀𝑁的长度正好等于3 个玩具火车的长度，从而可求出玩具火车的长度，设点𝐴所表示的数
为𝑎，则点𝐵表示的数为(𝑎+ 4)，分别将𝑁𝐴和𝐵𝑀的长度用含𝑎的代数式的绝对值表示出来，根据𝑁𝐴和𝐵𝑀的
数量关系列绝对值方程并求解即可．
【详解】由题意可知，𝑀𝑁= 3𝐴𝐵．
∵𝑀𝑁= 𝑚−𝑛= 10−(−2) = 12
∴𝐴𝐵= 1
3 𝑀𝑁= 4
设点𝐴所表示的数为𝑎，则点𝐵表示的数为(𝑎+ 4)，
∴𝑁𝐴= |𝑎−(−2)| = |𝑎+ 2|, 𝐵𝑀= |𝑎+ 4−10| = |𝑎−6|,
已知𝑁𝐴:𝐵𝑀= 3:1
|𝑎+ 2| = 3|𝑎−6|.
当𝑎< −2时，−(𝑎+ 2) = −3(𝑎−6)，解得𝑎= 10（不符合题意，舍去）；
当−2 ≤𝑎< 6时，𝑎+ 2 = −3(𝑎−6)，解得𝑎= 4；
当𝑎≥6时，𝑎+ 2 = 3(𝑎−6)，解得𝑎= 10．
综上，点𝐴所表示的数为4 或10．
故答案为：4 或10．
【变式4-3】（25-26 七年级上·河北张家口·阶段检测）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并
标出了表示−6的点𝐴．小明同学设计了一个电脑程序：点𝑀，𝑁分别从点𝐴同时出发，每按一次键盘，点𝑀
向右平移2 个单位长度，点𝑁向左平移1 个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点𝑀，𝑁的位置如图2．
(1)第_____次按键后，点𝑀正好到达原点；
(2)第6 次按键后，点𝑀到达的点表示的数与点𝑁到达的点表示的数的乘积是多少？
(3)第𝑛次按键后，点𝑀与点𝑁到原点的距离相等，求𝑛的值．
【答案】(1)3；
(2)−72；
(3)𝑛= 12．
【分析】本题考查了数轴，列代数式，解一元一次方程的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意可列式
0−(−6)
2
= 3，即可求解．
（2）根据题意可得第6次按键后，点𝑀表示的数为−6 + 6 × 2 = 6，点𝑁表示的数为−6−6 = −12，令两数
相乘即可．
（3）由题意得可得𝑀点表示的数是−6 + 2𝑛，𝑁点表示的数是−6−𝑛，令两数和为零求解即可．
【详解】（1）解：∵点𝐴为−6，点𝑀从点𝐴同时出发，每按一次键盘，点𝑀向右平移2 个单位长度，
∴
0−(−6)
2
= 3，
∴第3次按键后，点𝑀正好到达原点，
故答案为：3．
（2）解：根据题意可得：第6次按键后，点𝑀表示的数为−6 + 6 × 2 = 6，点𝑁表示的数为−6−6 = −12，
∵6 × (−12) = −72，
∴第6 次按键后，点𝑀到达的点表示的数与点𝑁到达的点表示的数的乘积为−72；
（3）解：由题意得，𝑀点表示的数是−6 + 2𝑛，𝑁点表示的数是−6−𝑛，
∵点𝑀与点𝑁到原点的距离相等，
∴由题意知，两数互为相反数，
∴−6 + 2𝑛+ (−6−𝑛) = 0，
解得：𝑛= 12．
点的运动
运动时间为t，运动速度为v，点A 表示的数为a
向左运动→B：a－vt
向右运动→B：a＋vt
两动点之间的距离表示
位置明确（右减左）：𝐴𝐵= 𝑎−𝑏
位置不明确（加绝对值）：𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|
【题型5 数轴上点的运动】
【例5】（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）已知数轴上有A，B 两点，分别代表−10,5，两只电子蚂蚁甲，
乙分别从𝐴、𝐵两点同时出发，甲沿线段𝐴𝐵以2 个单位长度／秒的速度向右运动，甲到达点𝐵处时运动停止，
乙沿𝐵𝐴方向以1 个单位长度／秒的速度向左运动．
（1）A，B 两点间的距离为__________个单位长度；
（2）__________秒时，甲、乙相距6 个单位长度．
【答案】
15
3 或7
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离及一元一次方程的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题
的关键．
（1）根据数轴上两点间的距离求解即可；
（2）设𝑚秒时，甲，乙相距6 个单位长度，分两种情况分别列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵数轴上有𝐴,𝐵两点，分别代表−10,5，
∴𝐴𝐵= 5−(−10) = 5 + 10 = 15，
故答案为：15；
（2）设m 秒时甲、乙相距6 个单位长度，甲的最长运动时间为
15
2 = 7.5．
分两种情况：
①相遇前，由题意，得(5−𝑚)−(−10 + 2𝑚) = 6，
解得：𝑚= 3；
②相遇后，由题意，得(−10 + 2𝑚)−(5−𝑚) = 6，
解得：𝑚= 7，
故3 秒或7 秒时，甲、乙相距6 个单位长度．
故答案为：3 或7
【变式5-1】（25-26 七年级上·福建漳州·期中）如图所示，已知数轴上点A 表示的数为8，点B 表示的数为
−6．动点P 从点A 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q 从点B 出发，以每秒1
个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t 秒(𝑡> 0)．若点P、Q 同时出发，当P、Q 两点相
距2 个单位长度时，t 的值为（ ）
A．3
B．4
C．3 或4
D．3 或5
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，绝对值的方程求两点之间的距离问题．根据数轴上点的平移
性质列出带有绝对值的方程，最后求解即可．
【详解】解：设运动时间为t 秒(𝑡> 0)，所以P 表示的数是8−3𝑡，Q 表示的数是𝑡−6，
由题意得|8−3𝑡−(𝑡−6)| = 2，即|14−4𝑡| = 2，
解得𝑡= 3或𝑡= 4，
故选：C．
【变式5-2】（2025 七年级下·全国·专题练习）数轴的再思考：
(1)在数轴上点A 表示数−4，点B 表示数8．若将数轴折叠，使得点A 与点B 重合，则折痕所表示的数为
________，原点与数________表示的点重合．
(2)动点P、Q 同时从原点出发，点P 向负半轴运动，点Q 向正半轴运动，点Q 的速度是点P 速度的2 倍，
运动到2s时，两点相距12 个单位长度．
①求P、Q 两点的运动速度，并在数轴上标出P、Q 两点的位置；
②若P、Q 两动点从①中的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限，问：几秒后，
P、Q 两点相距4 个单位长度？
【答案】(1)2，4
(2)①𝑃点的运动速度为每秒2 个单位长度，𝑄点的运动速度为每秒4 个单位长度，见解析；②
4
3秒或
8
3秒或4
秒或8 秒
【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离、解一元一次方程等知识点，掌握数形
结合以及分类讨论思想是解题关键．
（1）根据折叠的性质得出折痕所表示的数到A、B 两点的距离相等，求出A、B 表示的数的平均数可得折
痕表示的数，即可求出原点与折痕的距离，进而完成解答；
（2）①设点P 的速度为x，则点Q 的速度为2𝑥，利用距离、速度、时间的关系列方程求出x 的值即可得
P、Q 两点的速度，进而得出P、Q 表示的数，在数轴上表示即可；②分P、Q 两点相向运动和同向运动两
种情况，分别表示出P、Q 表示的数，根据P、Q 两点相距4 个单位长度列方程求出t 值即可．
【详解】（1）解：（1）∵点A 表示数−4，点B 表示数8．将数轴折叠，使得点A 与点B 重合，
∴折痕所表示的数到A、B 两点的距离相等，
∴折痕所表示的数为
−4+8
2
= 2，
∴原点到折痕所表示的数的距离为2−0 = 2，
∴与原点重合的点表示的数为2 + 2 = 4．
故答案为：2，4．
（2）解：①设点𝑃的速度为𝑥，
∴点𝑄的速度为2𝑥,
由题意可得：2𝑥+ 2 × 2𝑥= 12，解得𝑥= 2，
∴2𝑥= 4，
∴𝑃点的运动速度为每秒2 个单位长度，𝑄点的运动速度为每秒4 个单位长度，
∴2s时，点𝑃表示的数为−4，点𝑄表示的数为8，
∴点𝑃，点𝑄在数轴上的位置如图所示；
②当𝑃、𝑄两点相向运动时，设运动时间为𝑡，
∴点𝑃表示的数为−4 + 2𝑡，点𝑄表示的数为8−4𝑡，
∵𝑃、𝑄两点相距4 个单位长度，
∴|−4 + 2𝑡−(8−4𝑡)| = 4，即|6𝑡−12| = 4，
当6𝑡−12 = 4时，𝑡=
8
3；
当6𝑡−12 = −4时，𝑡=
4
3．
∵𝑃、𝑄两点的距离为8−(−4) = 12 > 4，点𝑄的速度是点𝑃速度的2 倍，
∴𝑃、𝑄两点同向运动时，点𝑃、𝑄应向左运动，
∴点𝑃表示的数为−4−2𝑡，点𝑄表示的数为8−4𝑡，
∵𝑃、𝑄两点相距4 个单位长度，
∴|−4−2𝑡−(8−4𝑡)| = 4，即|2𝑡−12| = 4，
当2𝑡−12 = 4时，𝑡= 8；
当2𝑡−12 = −4时，𝑡= 4．
综上所述，
4
3秒或
8
3秒或4 秒或8 秒后,𝑃、𝑄两点相距4 个单位长度．
【变式5-3】（25-26 七年级上·广东广州·期中）有理数a、b、c 在数轴上所对应的点分别为A、B、C，其中
点A 在原点的左边，与原点的距离为10 个单位长度，且a、b、c 满足|𝑐−18| + |𝑎+ 𝑏| = 0．
(1)则𝑎= ，𝑏= ，𝑐= ．
(2)在数轴上A、B 两点之间的距离𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|，B、C 两点之间的距离𝐵𝐶= |𝑏−𝑐|，若点A 以每秒1 个单位
长度的速度向左运动，同时点B 和点C 分别以每秒2 个单位长度和5 个单位长度的速度向右运动，设运动
时间为t 秒，请问：𝐵𝐶−𝐴𝐵的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
(3)如图，若将一条数轴在原点O 和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”、我们称A，C 两点在折线数轴
上的路程为𝐴𝑂、𝑂𝐵、𝑂𝐶三段的和、动点P 从点A 出发，以2 个单位长度每秒的速度沿着“折线数轴”向右运
动，在𝑂𝐵段运动期间速度变为原来的一半．点P 从点A 出发的同时，点Q 从点C 出发，以1 个单位长度每
秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P 到达点B 时，点P，Q 均停止运动．设运动的时间为t 秒．
①当𝑡= 3时，点P 和点Q 在折线数轴上相距 个单位长度；
②当𝑡= 7.5时，点P 和点Q 在折线数轴上相距 个单位长度；
③当𝑡= 9时，点P 和点Q 在折线数轴上相距 个单位长度．
【答案】(1)−10，10，18
(2)𝐵𝐶−𝐴𝐵的值不随时间t 的变化而变化，且𝐵𝐶−𝐴𝐵= −12
(3)①19；②8；③5
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，非负数的性质，整式的加减计算，熟知数轴上两点距离
计算公式是解题的关键．
（1）先根据题意求出点A 表示的数，即a 的值，再根据非负数的性质可求出b、c 的值；
（2）分别表示出点A，点B，点C 运动t 秒后表示的数，再根据两点之间的距离计算公式表示出𝐵𝐶，𝐴𝐵，
再计算𝐵𝐶−𝐴𝐵即可得到结论；
（3）①求出点P 到达点O 和到达点B 的时间，则可求出𝑡= 3时，点P 和点Q 表示的数，再根据两点之间
的距离计算公式求解即可；②同理求出𝑡= 7.5时，点P 和点Q 表示的数，再根据两点之间的距离计算公式
求解即可；③同理求出𝑡= 9时，点P 和点Q 表示的数，再根据两点之间的距离计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵点A 在原点的左边，与原点的距离为10 个单位长度，
∴点A 表示的数为−10，即𝑎= −10；
∵|𝑐−18| + |𝑎+ 𝑏| = 0，|𝑐−18| ≥0，|𝑎+ 𝑏| ≥0，
∴|𝑐−18| = |𝑎+ 𝑏| = 0，
∴𝑐−18 = 0，𝑎+ 𝑏= 0，
∴𝑏= −𝑎= 10，𝑐= 18；
（2）解：由题意得，运动t 秒后，点A 表示的数为−10−𝑡，点B 表示的数为10 + 2𝑡，点C 表示的数为18 + 5𝑡，
∴𝐵𝐶= |18 + 5𝑡−(10 + 2𝑡)| = |3𝑡+ 8| = 3𝑡+ 8，𝐴𝐵= |10 + 2𝑡−(−10−𝑡)| = |3𝑡+ 20| = 3𝑡+ 20，
∴𝐵𝐶−𝐴𝐵= 3𝑡+ 8−(3𝑡+ 20) = −12，
∴𝐵𝐶−𝐴𝐵的值不随时间t 的变化而变化，且𝐵𝐶−𝐴𝐵= −12；
（3）解：①由（1）可知，𝑂𝐴= 10，𝑂𝐵= 10，
∴点P 运动到点O 的时间为
10
2 = 5秒，点P 运动到点B 的时间为
10
2 +
10
2×
1
2
= 15秒，
∴当0 < 𝑡≤5时，点P 在𝑂𝐴上运动，
∴当𝑡= 3时，点P 表示的数为−10 + 3 × 2 = −4，点Q 表示的数为18−3 × 1 = 15，
∴点P 和点Q 在折线数轴上相距15−(−4) = 15 + 4 = 19个单位长度；
②由（3）①可知，当5 < 𝑡≤15时，点P 在𝑂𝐵上运动，
∴当𝑡= 7.5时，点P 表示的数为2 ×
1
2 × (7.5−5) = 2.5，点Q 表示的数为18−7.5 × 1 = 10.5，
∴点P 和点Q 在折线数轴上相距10.5−2.5 = 8个单位长度；
③由（3）①可知，当5 < 𝑡≤15时，点P 在𝑂𝐵上运动，
∴当𝑡= 9时，点P 表示的数为2 ×
1
2 × (9−5) = 4，点Q 表示的数为18−9 × 1 = 9，
∴点P 和点Q 在折线数轴上相距9−4 = 5个单位长度．
行程问题
运动时间为t，运动速度为v，A：a，B：b
相遇→A、B 重合→数相同→𝑎−𝑣𝐴𝑡= 𝑏+ 𝑣𝐵𝑡
相遇→A、B 重合→数相同→𝑎+ 𝑣𝐴𝑡= 𝑏+ 𝑣𝐵𝑡
【题型6 数轴上点的相遇与追及问题】
【例6】（25-26 七年级上·吉林白山·期中）如图，已知在数轴上有𝐴、𝐵两点，分别代表−40、20．两只电
子蚂蚁甲、乙分别从𝐴、𝐵两点同时出发，甲沿数轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，当甲到达点𝐵
处时运动停止，乙沿数轴负方向以每秒4 个单位长度的速度运动．设运动时间为𝑥（秒）．
(1)在运动过程中甲表示的数为________，乙表示的数为_______（用含𝑥的代数式表示）；
(2)求甲、乙相遇时在数轴上表示的数；
(3)当甲、乙相距10 个单位长度时，求𝑥的值；
(4)若乙到达𝐴点后立刻返回并保持原速度不变，则在乙返回𝐵点的过程中，甲、乙还能在数轴上相遇吗？若
能，直接写出相遇点表示的数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)−40 + 𝑥，20−4𝑥
(2)甲、乙在数轴上表示−28的数的位置相遇
(3)10 或14
(4)甲、乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是−20
【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离、数轴上动点问题、一元一次方程的应用等知识，读懂题意，
正确列出方程是解题的关键．
（1）根据甲、乙运动的速度，表示出甲、乙表示的数即可；
（2）根据甲，乙相遇时，甲、乙表示的数相同列出方程，解方程即可；
（3）分相遇前和相遇后两种情况进行列方程求解即可；
（4）根据乙到达A 点需要15 秒，求出甲位于−25，求出乙追上甲需要5秒，求出此时相遇点表示的数即可．
【详解】（1）解：∵甲沿数轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，乙沿数轴负方向以每秒4 个单位长
度的速度运动，
∴在运动过程中甲表示的数为−40 + 𝑥，乙表示的数为20−4𝑥；
（2）解：当甲、乙相遇时，−40 + 𝑥= 20−4𝑥，
解得：𝑥= 12，
20−4 × 12 = −28，
答：甲、乙在数轴上表示−28的数的位置相遇；
（3）解：设甲，乙经过x 秒后相距10 个单位，
相遇前：20−4𝑥−(−40 + 𝑥) = 10，
解得：𝑥= 10；
相遇后：−40 + 𝑥−(20−4𝑥) = 10，
解得：𝑥= 14．
答：10 秒或14 秒时，甲、乙相距10 个单位长度；
（4）解：乙到达A 点需要15 秒，甲位于−40 + 15 = −25，
乙追上甲需要15 ÷ (4−1) = 5（秒），
此时相遇点的数是−25 + 5 = −20，
答：甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是−20．
【变式6-1】（24-25 七年级上·贵州贵阳·期末）已知数轴上有𝐴,𝐵,𝐶三个点，点𝐴,𝐵从原点出发向右匀速运动，
已知点𝐴的速度是每秒4 个单位，点𝐵的速度是每秒6 个单位；点𝐴出发2 秒后，点𝐵才出发；此时点𝐶从−2
处向右出发，且在点𝐴,𝐵之间不间断的来回匀速运动，点𝐶的速度是每秒8 个单位．
(1)点𝐴出发2 秒时，它所对应的数是 ；
(2)点𝐵追上点𝐴用了多长时间？
(3)点𝐶出发追上点𝐴后返回，第一次遇到点𝐵，共用了多长时间？
【答案】(1)8
(2)点𝐵追上点𝐴用了4 秒
(3)点𝐶出发追上点𝐴后返回，第一次遇到点𝐵，共用了
19
7 秒
【分析】题目主要考查数轴上的动点问题及一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
（1）根据题意即可得出结果；
（2）设点𝐵追上点𝐴用了𝑥秒，依题意列出一元一次方程求解即可；
（3）设点𝐶追上点𝐴用了𝑦秒，依题意得出方程确定𝑦=
5
2，设𝐶点第一次返回，遇到点𝐵用了𝑡秒，依题意列
出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点𝐴从原点出发向右匀速运动，已知点𝐴的速度是每秒4 个单位，
∴点𝐴出发2 秒时，它所对应的数是4 × 2 = 8，
故答案为：8；
（2）设点𝐵追上点𝐴用了𝑥秒，依题意，得
4 × 2 + 4𝑥= 6𝑥
解得𝑥= 4
答：点𝐵追上点𝐴用了4 秒．
（3）设点𝐶追上点𝐴用了𝑦秒，
依题意，得2 + 4 × 2 + 4𝑦= 8𝑦
解得𝑦=
5
2
设𝐶点第一次返回，遇到点𝐵用了𝑡秒，依题意，得
8𝑡+ 6𝑡=
5
2 × 8−2−6 ×
5
2或8𝑡+ 6𝑡= 4 ×
5
2 + 2 −6 ×
5
2
解得𝑡=
3
14
5
2 +
3
14 =
19
7 （秒）
答：点𝐶出发追上点𝐴后返回，第一次遇到点𝐵，共用了
19
7 秒．
【变式6-2】（24-25 七年级上·湖南永州·月考）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B 表示的
数分别为a，b，则A、B 两点之间的距离表示为𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|．如：点A 表示的数为2，点B 表示的数为3，
则𝐴𝐵= |2−3| = 1．
(1)问题提出：如图，数轴上点A 表示的数为−2，点B 表示的数为13，A、B 两点之间的距离𝐴𝐵= ______．
(2)拓展探究：若点P 从点A 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q 从点B 出发．以
每秒2 个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t 秒（𝑡> 0）
①用含t 的式子表示：t 秒后，点Р 表示的数为______；点Q 表示的数为______；
②求当t 为何值时，P、Q 两点相遇，并求出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q 两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段𝐴𝐵的端
点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段𝐴𝐵上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q 两点第二次
相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
【答案】(1)15
(2)①−2 + 3𝑡,13−2𝑡；②当t 为3 时，P，Q 两点相遇，相遇点所表示的数是7
(3)所需要的时间为9 秒，相遇点所表示的数是1
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t 的代数式表示运动后的点所表示
的数．
（1）由A 表示的数为−2，点B 表示的数为13，即得𝐴𝐵= 15；
（2）①t 秒后，点P 表示的数为−2 + 3𝑡，点Q 表示的数为13−2𝑡；
②根据题意得：−2 + 3𝑡= 13−2𝑡，即可解得𝑡= 3，相遇点所表示的数为−2 + 3 × 3 = 7；
（3）由已知返回途中，P 表示的数是13−3(𝑡−5)，Q 表示的数是−2 + 2 𝑡−
15
2 ，即得： 13−3(𝑡−5) = −2 + 2
𝑡−
15
2 ，可解得𝑡= 9，第二次相遇点所表示的数为：13−3 × (9−5) = 1．
【详解】（1）解：∵A 表示的数为−2，点B 表示的数为13，
∴𝐴𝐵= |13−(−2)| = 15；
（2）①t 秒后，点P 表示的数为−2 + 3𝑡，点Q 表示的数为13−2𝑡；
②根据题意得：−2 + 3𝑡= 13−2𝑡，
解得𝑡= 3，
相遇点所表示的数为−2 + 3 × 3 = 7；
答：当t 为3 时，P，Q 两点相遇，相遇点所表示的数是7．
（3）由已知得：P 运动5 秒到B，Q 运动
15
2 秒到A，
返回途中，P 表示的数是13−3(𝑡−5)，Q 表示的数是−2 + 2 𝑡−
15
2 ，
根据题意得：13−3(𝑡−5) = −2 + 2 𝑡−
15
2 ，
解得𝑡= 9，
第二次相遇点所表示的数为：13−3 × (9−5) = 1，
答：所需要的时间为9 秒，相遇点所表示的数是1．
【变式6-3】（24-25 七年级上·重庆大足·期末）如图，数轴上有𝐴、𝐵两点，𝐴𝐵= 12cm，点O 是线段𝐴𝐵上
的一点，𝑂𝐴= 2𝐵𝑂．
(1)若点C 是线段𝐴𝐵上一点，且满足𝐴𝐶= 𝐶𝑂+ 𝐶𝐵，求𝐶𝑂的长；
(2)若动点𝑃,𝑄分别从𝐴,𝐵同时出发，向右运动，点P 的速度为1cm/s，点Q 的速度为2cm/s．设运动时间为t𝑠．
①当𝑡为何值时，2𝑄𝑂−𝑂𝑃= 5；
②当点Q 经过点O 时，动点M 从点O 出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M 追上点P 后立即返回，
以3cm/s的速度向点Q 运动，遇到点Q 后再立即返回，以3cm/s的速度向点P 运动，当点𝑀再次追上点𝑃时，
点𝑃、𝑄、𝑀停止运动．请直接写出运动时间𝑡的值．
【答案】(1)𝐶𝑂=
4
3
(2)①𝑡= 7，②𝑡= 10
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的几何应用，熟练运用分类
讨论思想以及正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先求出点A 表示的数是8，点B 表示的数是−4，因为C 是线段𝐴𝐵上一点，且满足𝐴𝐶= 𝐶𝑂+ 𝐶𝐵，故
8−𝑂𝐶= 𝐶𝑂+ 4 + 𝐶𝑂，解出𝐶𝑂=
4
3；
（2）①先分别表示𝑃𝐴= 𝑡,𝑄𝐵= 2𝑡，结合点A 表示的数是8，点B 表示的数是−4，则点𝑃表示的数为
8 + 𝑡，点Q 表示的数为−4 + 2𝑡，因为2𝑄𝑂−𝑂𝑃= 5，所以2|−4 + 2𝑡|−(8 + 𝑡) = 5，解得𝑡= 7
②先算出当点Q 经过点O 时，动点M 从点O 出发时，则𝑡=
4
2 = 2(s)，此时点𝑃表示的数为8 + 2 = 10，因
为当点M 追上点P 后立即返回，以3cm/s的速度向点Q 运动，遇到点Q 后再立即返回，以3cm/s的速度向
点P 运动，所以分别算出每个过程的时间，再运算加法，即可作答．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐵= 12cm，点O 是线段𝐴𝐵上的一点，𝑂𝐴= 2𝐵𝑂．
∴𝐴𝑂=
2
1+2 × 𝐴𝐵= 8(cm)，𝐵𝑂=
1
2 × 𝐴𝑂= 4(cm)，
∴点A 表示的数是8，点B 表示的数是−4，
∵点C 是线段𝐴𝐵上一点，且满足𝐴𝐶= 𝐶𝑂+ 𝐶𝐵，
∴𝐴𝑂−𝑂𝐶= 𝐶𝑂+ 𝐵𝑂+ 𝐶𝑂，
即8−𝑂𝐶= 𝐶𝑂+ 4 + 𝐶𝑂，
解得𝐶𝑂=
4
3，
（2）解：∵动点𝑃,𝑄分别从𝐴,𝐵同时出发，向右运动，点P 的速度为1cm/s，点Q 的速度为2cm/s．设运动时
间为𝑡s．
∴𝑃𝐴= 𝑡,𝑄𝐵= 2𝑡，
由（1）得点A 表示的数是8，点B 表示的数是−4，
∴点𝑃表示的数为8 + 𝑡，点Q 表示的数为−4 + 2𝑡，
∵2𝑄𝑂−𝑂𝑃= 5，
∴2|−4 + 2𝑡|−(8 + 𝑡) = 5，
当2(−4 + 2𝑡)−(8 + 𝑡) = 5，
解得𝑡= 7，
或当2(−2𝑡+ 4)−(8 + 𝑡) = 5，
解得𝑡= −1（舍去）
综上：𝑡= 7时，则2𝑄𝑂−𝑂𝑃= 5．
②由（1）得点A 表示的数是8，点B 表示的数是−4，
当点Q 经过点O 时，动点M 从点O 出发时，则𝑡=
4
2 = 2(s)，
此时点𝑃表示的数为8 + 2 = 10，
∵动点M 从点O 出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M 追上点P 时，
∴设这个过程需要时间为𝑎s，
则3𝑎= 10 + 𝑎，
解得𝑎= 5；
此时点𝑃表示的数为10 + 5 = 15，点Q 表示的数为0 + 2 × 5 = 10，
∵点M 追上点P 后立即返回，以3cm/s的速度向点Q 运动，遇到点Q 时，
设这个过程需要时间为𝑏s，
则15−3𝑏= 10 + 2𝑏，
解得𝑏= 1，
此时点Q 表示的数为10 + 1 × 2 = 12，点𝑃表示的数为15 + 1 × 1 = 16，
∵遇到点Q 后再立即返回，以3cm/s的速度向点P 运动，当点𝑀再次追上点𝑃时，点𝑃、𝑄、𝑀停止运动．
设这个过程需要时间为𝑐s，
则12 + 3𝑐= 16 + 𝑐，
解得𝑐= 2，
故𝑡= 2 + 5 + 1 + 2 = 10．
【题型7 数轴上点的和差问题】
【例7】（24-25 七年级上·广东广州·期中）已知数轴上点𝐴对应的数是−10，点𝐵对应的数是2．若点𝑃从点𝐴
出发以每秒2个单位的速度运动，与此同时，点𝑄从点𝐵出发以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为𝑡秒．
(1)若点𝑃与𝑄相向运动，当𝑃，𝑄相遇时，求运动时间；
(2)若点𝑃与𝑄同时向左运动，当𝑃与𝑄相距5个单位长度时，求运动时间；
(3)若点𝑃与𝑄相向运动，点𝐶对应的数是−5，当𝑃𝐶+ 𝑄𝐶= 3时，求𝑡的值．
【答案】(1)
12
5
(2)𝑡= 7或𝑡= 17
(3)𝑡=
9
5或𝑡= 3
【分析】（1）根据题意分别表示出点𝑃,𝑄所表示的数，根据题意，建立一元一次方程，解方程即可求解；
（2）根据题意，分类讨论，当𝑃在点𝑄的左边时，2−3𝑡−(−10−2𝑡) = 5，当𝑃在点𝑄的右边时，(−10−2𝑡)−
(2−3𝑡) = 5，分别解方程即可求解；
（3）分别表示出𝑃𝐶、𝐶𝑄的长，根据𝑃𝐶+ 𝑄𝐶= 3列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点𝐴对应的数是−10，点𝐵对应的数是2，点𝑃与𝑄相向运动，
依题意，𝑡秒后，点𝑃表示的数是−10 + 2𝑡，点𝑄表示是的数是2−3𝑡，
当𝑃，𝑄相遇时，−10 + 2𝑡= 2−3𝑡，
解得：𝑡=
12
5 ；
（2）解：依题意，点𝑃与𝑄同时向左运动，则点𝑃表示的数是−10−2𝑡，点𝑄表示是的数是2−3𝑡，
当𝑃在点𝑄的左边时，2−3𝑡−(−10−2𝑡) = 5，
解得：𝑡= 7；
当𝑃在点𝑄的右边时，(−10−2𝑡)−(2−3𝑡) = 5，
解得：𝑡= 17；
综上所述，当𝑡= 7或𝑡= 17时，𝑃与Q 相距5个单位长度；
（3）点𝑃表示的数为−10 + 2𝑡，𝑄点表示的数是2−3𝑡，𝐶点表示的数是−5，
∴𝑃𝐶= |−10 + 2𝑡+ 5| = |2𝑡−5|，𝐶𝑄= |2−3𝑡+ 5| = |7−3𝑡|
∵𝑃𝐶+ 𝑄𝐶= 3，
∴|2𝑡−5| + |7−3𝑡| = 3，
解得𝑡=
9
5或𝑡= 3．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解数轴上两点间的距离的表示方法并用含t 的式子表示，
根据题意列出方程是解题关键，解题时要注意多种情况分类讨论．
【变式7-1】（24-25 七年级上·陕西咸阳·期末）如图，数轴上点A 表示的数为−6．点B 表示的数为14，点
O 为原点，动点M、N 分别从点O、点B 同时出发，都沿数轴向左运动，点M 运动的速度是每秒1 个单位
长度，点N 运动的速度是每秒3 个单位长度，当点N 运动到点A 时，点M、N 同时停止运动，设运动时间
为t 秒．
(1)在点M、N 整个运动过程中，点M 表示的数为_______，点N 表示的数为_______；（用含t 的代数式表
示）
(2)若点M 位于点A 右侧，且𝐴𝑁= 5𝐴𝑀，求运动时间t 的值；
(3)在点M、N 整个运动过程中，当𝐴𝑁+ 4𝐴𝑀=
5
2时，求运动时间t 的值．
【答案】(1)−𝑡；14−3𝑡
(2)5
(3)
83
14或
13
2
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离．
（1）根据运动方向和运动速度可表示出M 与N 表示的数；
（2）分别用含t 的代数式表示出𝐴𝑁和𝐴𝑀，再列方程即可；
（3）分点𝑀在点𝐴右侧和左侧两种情况，再表示出𝐴𝑁和𝐴𝑀代入𝐴𝑁+ 4𝐴𝑀=
5
2，列方程可得答案．
【详解】（1）解：点M 从原点O 出发向左运动，速度是每秒1 个单位长度，运动时间为t 秒，因为向左运
动，所以点M 表示的数为0−1 × 𝑡= −𝑡；
点N 从点B（表示的数为14）出发向左运动，速度是每秒3 个单位长度，运动时间为t 秒，则点N 运动的
距离为3𝑡，所以点𝑁表示的数为14−3𝑡；
故答案为：−𝑡；14−3𝑡；
（2）解：∵点A 表示的数为−6，点M 表示的数为−𝑡，点N 表示的数为14−3𝑡，
又点M 位于点A 右侧，
∴𝐴𝑀= −𝑡−(−6) = 6−𝑡，𝐴𝑁= 14−3𝑡−(−6) = 20−3𝑡，
∵𝐴𝑁= 5𝐴𝑀，
∴20−3𝑡= 5(6−𝑡)，
解得：𝑡= 5；
（3）解：①当点𝑀在点𝐴右侧时，则有：𝐴𝑀= 6−𝑡，𝐴𝑁= 20−3𝑡，
∵𝐴𝑁+ 4𝐴𝑀=
5
2，
∴20−3𝑡+ 4(6−𝑡) =
5
2，
解得：𝑡=
83
14；
当点𝑀在点𝐴左侧时，则有：𝐴𝑀= −6 + 𝑡，𝐴𝑁= 20−3𝑡，
∵𝐴𝑁+ 4𝐴𝑀=
5
2，
∴20−3𝑡+ 4(−6 + 𝑡) =
5
2，
解得：𝑡=
13
2 ；
综上，𝑡的值为
83
14或
13
2 ．
【变式7-2】已知𝐴，𝐵两点在数轴上，点𝐴表示的数为−12，点𝐵在点𝐴的右侧，且距𝐴点20 个单位．
(1)点𝐵表示的数为__________；
(2)点𝑃，𝑄是数轴上的两个动点，点𝑃从点𝐴以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点𝑄从点𝐵以
每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为𝑡秒(𝑡> 0)．
①当原点𝑂为线段𝑃𝑄的中点时，求运动时间𝑡的值；
②当线段𝑃𝐵的长为5 时，求点𝑄表示的数；
③在运动过程中，当𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 21𝑃𝑄时，请直接写出运动时间𝑡的值．
【答案】(1)8
(2)①𝑡=
1
2；②17 或23；③
110
13 或
25
2
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离即可求解；
（2）①根据𝑂𝑃= 𝑂𝑄即可求解；
②分两种情况讨论：当点P 在点B 在左侧时，当点P 在点B 在右侧时，即可求解；
③分0 < 𝑡≤4、4 < 𝑡≤10、𝑡> 10三种情况求解即可．
【详解】（1）∵点𝐴表示的数为−12，点𝐵在点𝐴的右侧，且距𝐴点20 个单位，
∴点𝐵表示的数为−12 + 20 = 8．
故答案为：8；
（2）𝑡秒后点P 表示的数为−12 + 5𝑡，点Q 表示的数为8 + 3𝑡，
①当原点𝑂为线段𝑃𝑄的中点时，则0−(−12 + 5𝑡) = 8 + 3𝑡，
解得𝑡=
1
2；
②当线段𝑃𝐵的长为5 时，
8−(−12 + 5𝑡) = 5或(−12 + 5𝑡)−8 = 5，
解得𝑡= 3或𝑡= 5．
当𝑡= 3时，8 + 3𝑡= 8 + 9 = 17；
当𝑡= 5时，8 + 3𝑡= 8 + 15 = 23．
∴点𝑄表示的数17 或23；
③20 ÷ 5 = 4秒，
当−12 + 5𝑡= 8 + 3𝑡时，𝑡= 10．
当0 < 𝑡≤4时，
∵𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 21𝑃𝑄，即𝐴𝐵= 21𝑃𝑄，
∴21 8 + 3𝑡−(−12 + 5𝑡) = 20，
∴𝑡=
200
21 （舍去）；
当4 < 𝑡≤10时，
∵𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 21𝑃𝑄，
∴−12 + 5𝑡−(−12) + [(−12 + 5𝑡)−8] = 21 8 + 3𝑡−(−12 + 5𝑡) ，
∴𝑡=
110
13 ；
当𝑡> 10时，
∵𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 21𝑃𝑄，
∴−12 + 5𝑡−(−12) + [(−12 + 5𝑡)−8] = 21 −12 + 5𝑡−(8 + 3𝑡) ，
∴𝑡=
25
2 ．
综上可知，𝑡的值为
110
13 或
25
2 ．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是利用分类讨论思想解决问
题．
【变式7-3】（25-26 七年级上·陕西·期末）如图，数轴上点𝐴表示的数为−7，点𝐵表示的数为16，点𝑂为原
点，动点𝑀，𝑁分别从点𝑂，点𝐵同时出发，都沿数轴向左运动，点𝑀运动的速度是每秒1个单位长度，点𝑁
运动的速度是每秒3个单位长度，当点𝑁运动到点𝐴时，点𝑀,𝑁同时停止运动，设运动时间为𝑡秒．
(1)在点𝑀、𝑁整个运动过程中，点𝑀表示的数为_____，点𝑁表示的数为_____；（用含𝑡的代数式表示）
(2)若点𝑀位于点𝐴右侧，且𝐴𝑁= 5𝐴𝑀，求运动时间𝑡的值；
(3)在点𝑀、𝑁整个运动过程中，当𝐴𝑁+ 4𝐴𝑀=
5
2时，求运动时间𝑡的值．
【答案】(1)−𝑡，16−3𝑡
(2)𝑡= 6
(3)𝑡的值为
97
14或
15
2
【分析】本题考查数轴上的动点问题，包括数轴上两点间距离(线段的长)、绝对值的化简以及一元一次方程
的求解．
（1）直接根据“初始位置-速度×时间”即可写出表达式；
（2）先根据“点𝑀在𝐴右侧”确定𝑡< 7的范围，再用绝对值表示𝐴𝑁= |16−3𝑡−(−7)| = 23−3𝑡，
𝐴𝑀= |−𝑡−(−7)| = 7−𝑡，代入等式𝐴𝑁= 5𝐴𝑀得到23−3𝑡= 5(7−𝑡)，
解方程即可得到𝑡= 6，并验证其在范围内；
（3）先确定运动总时长0 ≤𝑡≤
23
3 ，再根据点𝑀与点𝐴的相对位置分两段讨论，最后验证两个解均在对应区
间内，从而得到最终结果．
【详解】（1）解：∵动点𝑀从原点𝑂出发，沿数轴向左运动，速度为每秒1 个单位长度，运动时间为𝑡秒，
∴点𝑀表示的数为−𝑡．
∵动点𝑁从点𝐵(16)出发，沿数轴向左运动，速度为每秒3 个单位长度，运动时间为𝑡秒，
∴点𝑁表示的数为16−3𝑡．
故答案为：−𝑡；16−3𝑡．
（2）解：∵点𝑀位于点𝐴右侧，点𝐴表示的数为−7，
∴−𝑡> −7，即𝑡< 7．
∵𝐴𝑁= |16−3𝑡−(−7)| = |23−3𝑡|，𝐴𝑀= |−𝑡−(−7)| = |7−𝑡|，且𝑡< 7，
∴23−3𝑡> 0，7−𝑡> 0，
∴𝐴𝑁= 23−3𝑡，𝐴𝑀= 7−𝑡．
∵𝐴𝑁= 5𝐴𝑀，
∴23−3𝑡= 5(7−𝑡)，
解得𝑡= 6．
∵6 < 7，符合条件，
∴运动时间𝑡= 6；
（3）解：先确定运动总时长，点𝑁从16到−7的距离为23，速度为3，故0 ≤𝑡≤
23
3 ．
分两种情况讨论：
①当0 ≤𝑡≤7时，𝐴𝑁= 23−3𝑡，𝐴𝑀= 7−𝑡，
代入𝐴𝑁+ 4𝐴𝑀=
5
2得23−3𝑡+ 4(7−𝑡) =
5
2，
化简得51−7𝑡=
5
2，
解得𝑡=
97
14，符合0 ≤𝑡≤7；
②当7 < 𝑡≤
23
3 时，𝐴𝑁= 23−3𝑡，𝐴𝑀= 𝑡−7，
代入𝐴𝑁+ 4𝐴𝑀=
5
2得23−3𝑡+ 4(𝑡−7) =
5
2，
化简得𝑡−5 =
5
2，
解得𝑡=
15
2 ，符合7 < 𝑡≤
23
3 ．
综上，运动时间𝑡的值为
97
14或
15
2 ．
【题型8 数轴上点的倍分问题】
【例8】（25-26 七年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知数轴上点𝐴表示的数为30，点𝐵表示的数为−10，
点𝑃从点𝐵出发，以每秒10个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点𝑄从点𝐴出发，以每秒5 个单位
长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为𝑡秒(𝑡≥0)．
(1)𝐴，𝐵两点间的距离为______，点𝑃表示的数是______，点𝑄表示的数是______；(用含𝑡的代数式表示)
(2)当点𝑃和𝑄相距5个单位长度时，求运动时间𝑡的值；
(3)若点𝑀为𝐴𝑃的中点，𝐵𝑃= 3𝐴𝑃，求此时点𝑀表示的数．
【答案】(1)40；10𝑡−10；30 + 5𝑡；
(2)𝑡= 7或𝑡= 9；
(3)25或40
【分析】（1）利用数轴上两点距离公式求𝐴𝐵距离，根据动点运动方向和速度，用初始位置加运动路程表示
动点对应的数；
（2）点𝑃和𝑄相距5 个单位分两种情况：𝑃在𝑄左侧、𝑃在𝑄右侧，分别根据两点距离列一元一次方程求解；
（3）先根据𝐵𝑃= 3𝐴𝑃列方程求出𝑡的值，再利用中点公式求点𝑀表示的数，注意分𝑃在𝐴左侧和右侧两种情
况讨论．
【详解】（1）解：∵数轴上点𝐴表示的数为30，点𝐵表示的数为−10，
∴𝐴、𝐵两点间的距离为30−(−10) = 40；
∵点𝑃从点𝐵出发，以每秒10个单位长度向右运动𝑡秒，点𝑄从点𝐴出发，以每秒5 个单位长度向右运动𝑡秒，
∴点𝑃表示的数是−10 + 10𝑡= 10𝑡−10；点𝑄表示的数是30 + 5𝑡．
（2）解：分两种情况讨论：
①当点𝑃在点𝑄左侧时，点𝑄表示的数减去点𝑃表示的数等于5，
则(30 + 5𝑡)−(10𝑡−10) = 5，
解得𝑡= 7；
②当点𝑃在点𝑄右侧时，点𝑃表示的数减去点𝑄表示的数等于5，
即(10𝑡−10)−(30 + 5𝑡) = 5，
解得𝑡= 9；
综上，运动时间𝑡的值为7 或9．
（3）解：∵点𝑃从点𝐵出发，以每秒10个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴𝐵𝑃= 10𝑡，点𝑃表示的数是10𝑡−10，
∴𝐴𝑃= |30−(10𝑡−10)| = |40−10𝑡|，
由𝐵𝑃= 3𝐴𝑃得10𝑡= 3|40−10𝑡|，分两种情况：
①当点𝑃在点𝐴左侧时，此时方程为10𝑡= 3(40−10𝑡)，
解得𝑡= 3，
此时点𝑃表示的数为10 × 3−10 = 20，
∵点𝑀为𝐴𝑃的中点，
∴点𝑀表示的数为
30+20
2
= 25；
②当点𝑃在点𝐴右侧时，此时方程为10𝑡= 3(10𝑡−40)，
解得𝑡= 6，
此时点𝑃表示的数为10 × 6−10 = 50，
∵点𝑀为𝐴𝑃的中点，
∴点𝑀表示的数为
30+50
2
= 40；
综上，此时点𝑀表示的数为25或40．
【变式8-1】（25-26 七年级上·江苏无锡·期末）如图，A，B 两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A 在
点B 的左边，且2𝑥2𝑦𝑏与3𝑥𝑎+12𝑦90的和是单项式．
(1)求出a，b 的值；
(2)现有一只电子蚂蚁P 从点A 出发，以3 个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q 从点B
出发，以2 个单位长度/秒的速度向左运动．
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C 相遇，求出点C 对应的数是多少？
②经过多长时间𝑃𝐴= 4𝑄𝐴，求运动时间t？
【答案】(1)𝑎= −10，𝑏= 90
(2)①50；②𝑡=
400
11 或𝑡= 80
【分析】本题考查合并同类项，一元一次方程的实际应用，数轴与有理数：
（1）易得2𝑥2𝑦𝑏与3𝑥𝑎+12𝑦90是同类项，进行求解即可；
（2）①根据相遇时，两只电子蚂蚁的路程之和为𝐴𝐵的距离，列出方程进行求解；②根据两点间的距离公
式，列出绝对值方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，2𝑥2𝑦𝑏与3𝑥𝑎+12𝑦90是同类项，
∴𝑎+ 12 = 2,𝑏= 90，
∴𝑎= −10，𝑏= 90；
（2）解：①由（1）可知：𝐴𝐵= 90−(−10) = 100；
设运动时间为t 秒，由题意，3𝑡+ 2𝑡= 100，
解得𝑡= 20；
点C 对应的数是：90−20 × 2 = 90−40 = 50；
②当运动时间为t 秒时，点P 表示的数为−10 + 3𝑡，点Q 表示的数为90−2𝑡，
由题意，|−10 + 3𝑡−(−10)| = 4|90−2𝑡−(−10)|，
解得𝑡=
400
11 或𝑡= 80．
【变式8-2】（25-26 七年级上·四川凉山·月考）如图1，已知数轴上点A 表示的数为a，点B 表示的数为b，
且满足|𝑎+ 5| + (𝑏−10)2 = 0．𝑃是数轴上的一个动点，点𝑃到点𝐴的距离表示为𝑃𝐴，点𝑃到点𝐵的距离表示
为𝑃𝐵．
(1)𝑎= ________，𝑏= ________；
(2)当|𝑃𝐴−𝑃𝐵| = 3时，求点𝑃所表示的数；
(3)如图2，动点𝑃从点𝐴出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点𝑄从点𝐵出发，以每秒2 个
单位长度的速度沿数轴向左运动．
①若运动时间均为𝑡(s)，用代数式表示𝑃，𝑄之间的距离；
②若点𝐵，𝑄之间的距离是点𝑃，𝑄之间距离的2 倍，求此时运动时间𝑡的值．
【答案】(1)−5，10
(2)点P 表示的数为1 或4
(3)①𝑃𝑄= |15−3𝑡|；②𝑡的值为
15
4 或
15
2
【分析】本题主要结合数轴考查动点问题，一元一次方程的应用，掌握数轴的知识和行程问题的解法是解
题的关键．
（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可．
（2）设点𝑃表示的数为𝑥，根据|𝑃𝐴−𝑃𝐵| = 3，得出点𝑃在𝐴，𝐵两点之间，则𝑃𝐴= 𝑥−(−5) = 𝑥+ 5，
𝑃𝐵= 10−𝑥．当𝑃𝐴−𝑃𝐵= 3时，列出方程𝑥+ 5−(10−𝑥) = 3，当𝑃𝐴−𝑃𝐵= −3时，列出方程𝑥+ 5−(10−𝑥)
= −3，求解即可．
（3）①点𝑃表示的数是−5 + 𝑡，点𝑄表示的数为10−2𝑡，即可得出𝑃𝑄= |10−2𝑡−(−5 + 𝑡)| = |15−3𝑡|．
②当𝑃在𝑄的左侧时，列出方程2(15−3𝑡) = 2𝑡，当𝑃在𝑄的右侧时，列出方程2(−15 + 3𝑡) = 2𝑡，求解即可．
【详解】（1）解：∵|𝑎+ 5| + (𝑏−10)2 = 0，
∴𝑎= −5,𝑏= 10，
故答案为：−5，10．
（2）解：设点𝑃表示的数为𝑥，
因|𝑃𝐴−𝑃𝐵| = 3，则点𝑃在𝐴，𝐵两点之间，
所以𝑃𝐴= 𝑥−(−5) = 𝑥+ 5，𝑃𝐵= 10−𝑥．
当𝑃𝐴−𝑃𝐵= 3时，𝑥+ 5−(10−𝑥) = 3，解得：𝑥= 4；
当𝑃𝐴−𝑃𝐵= −3时，𝑥+ 5−(10−𝑥) = −3，解得：𝑥= 1．
综上，点𝑃表示的数为1 或4．
（3）解：①点𝑃表示的数是−5 + 𝑡，点𝑄表示的数为10−2𝑡，
𝑃𝑄= |10−2𝑡−(−5 + 𝑡)| = |15−3𝑡|．
②∵点B，Q 之间的距离是点P，Q 之间距离的2 倍，
∴当𝑃在𝑄的左侧时，2(15−3𝑡) = 2𝑡，解得：𝑡=
15
4 ；
当𝑃在𝑄的右侧时，2(−15 + 3𝑡) = 2𝑡，解得：𝑡=
15
2 ．
即此时运动时间𝑡的值为
15
4 或
15
2 ．
【变式8-3】（25-26 七年级上·吉林·期末）如图，在数轴上，点𝐴表示最大的负整数，𝐴𝐵= 3，点𝐶在正半
轴上，且𝐴𝐶= 10．
(1)点𝐴表示的数是___________，点𝐵表示的数是___________，点𝐶表示的数是___________；
(2)若点𝑀在线段𝐵𝐶上，且满足𝐵𝑀:𝑀𝐶= 2:1，求点𝑀表示的有理数；
(3)点𝑃从点𝐴出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点𝑄从点𝐶出发，以每秒3个单位长度的
速度沿数轴向左运动，设运动时间是𝑡秒（𝑡> 0）．
①当𝑡= 1时，求𝑃𝑄的长；
②是否存在这样的𝑡值，使得𝑃𝑄= 2𝑃𝐵？若存在，请直接写出满足条件的所有𝑡值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)−1，2，9；
(2)
20
3 ；
(3)存在𝑡= 4或𝑡=
16
9 ，使得𝑃𝑄= 2𝑃𝐵．
【分析】本题主要考查了数轴上的点与有理数的对应关系、线段长度的计算、绝对值方程的求解，熟练掌
握数轴上点的位置表示及线段长度的计算方法是解题的关键．
（1）先确定最大负整数的点𝐴表示的数，再结合𝐴𝐵的长度求点𝐵，利用𝐴𝐶的长度求点𝐶．
（2）先算𝐵𝐶的长度，根据比例分𝐵𝐶，再求点𝑀表示的数．
（3）①分别求出𝑡= 1时𝑃、𝑄的位置，再算𝑃𝑄的长；②表示出𝑃、𝑄、𝐵的位置，列绝对值方程求解𝑡．
【详解】（1）解：∵最大的负整数是−1，
∴点𝐴表示的数是−1．
∵𝐴𝐵= 3，点𝐵在𝐴右侧，
∴点𝐵表示的数是−1 + 3 = 2．
∵𝐴𝐶= 10，点𝐶在正半轴，
∴点𝐶表示的数是−1 + 10 = 9．
故答案为：−1，2，9；
（2）解：∵点𝐵表示2，点𝐶表示9，
∴𝐵𝐶= 9−2 = 7．
∵𝐵𝑀:𝑀𝐶= 2:1，
∴𝐵𝑀=
2
3 × 7 =
14
3 ．
∴点𝑀表示的数是2 +
14
3 =
20
3 ．
（3）解：①当𝑡= 1时，
∵点𝑃从𝐴出发，速度为2单位/秒，
∴点𝑃表示的数是−1 + 2 × 1 = 1．
∵点𝑄从𝐶出发，速度为3单位/秒，
∴点𝑄表示的数是9−3 × 1 = 6．
∴𝑃𝑄= |6−1| = 5．
②运动𝑡秒时，点𝑃表示的数：−1 + 2𝑡，
点𝑄表示的数：9−3𝑡，
点𝐵表示的数：2．
∴𝑃𝑄= |(9−3𝑡)−(−1 + 2𝑡)| = |10−5𝑡|，
𝑃𝐵= |2−(−1 + 2𝑡)| = |3−2𝑡|．
由𝑃𝑄= 2𝑃𝐵，得：
|10−5𝑡| = 2|3−2𝑡|，
分情况讨论：
当10−5𝑡= 2(3−2𝑡)时，
10−5𝑡= 6−4𝑡，
解得𝑡= 4．
当10−5𝑡= −2(3−2𝑡)时，
10−5𝑡= −6 + 4𝑡，
解得𝑡=
16
9 ．
综上，存在𝑡= 4或𝑡=
16
9 ，使得𝑃𝑄= 2𝑃𝐵．
动点定值
一、动点距离为定值
二、动点距离差为定值
𝑃𝑄= 𝑥+ 𝑎
2
−𝑥+ 𝑏
2
= 1
2 (𝑎−𝑏) = 1
2 𝐴𝐵
𝐴𝐶= 4𝑎+ 5𝑡−(𝑎+ 2𝑡) = 3𝑎+ 3𝑡，
𝐴𝐵= 𝑎+ 2𝑡−(−𝑎−𝑡) = 2𝑎+ 3𝑡，
𝐴𝐶−𝐴𝐵= (3𝑎+ 3𝑡)−(2𝑎+ 3𝑡) = 𝑎
【题型9 数轴上距离定值问题】
【例9】如图，数轴上A、B 两点表示的数分别为a、b，且a、b 满足|a＋2|＋(b－8)2＝0，点P 从点A 出发，
以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度向左
匀速运动．设运动时间为t 秒（t＞0）
(1) ① 线段AB 的中点表示的数为___________
② 用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为___________
(2) 求当t 为何值时，PQ＝
1
2AB
(3) 若点M 为PA 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，
请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长.
【答案】（1）①3；②-2+3t；（2）当t=1 或3 时，PQ=
1
2AB；（3）点P 在运动过程中，线段MN 的长度不
发生变化，线段MN 的长为5 个单位长度．
【分析】（1）①根据非负数的性质可求a、b，再根据中点坐标公式即可求解；
②根据题意，可以用含t 的代数式表示出点P；
（2）由t 秒后，点P 表示的数-2+3t，点Q 表示的数为8-2t，于是得到PQ=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，
列方程即可得到结论；
（3）根据题意可以表示出点M 表示的数为
−2+(−2+3𝑡)
2
=
3𝑡
2 −2，点N 表示的数为
8+(−2+3𝑡)
2
=
3𝑡
2 +3，即可得到
结论．
【详解】解：（1）∵|a＋2|＋(b－8)2＝0，
∴a+2=0，b-8=0，
解得a=-2、b=8，
线段AB 的中点表示的数为（-2+8）÷2=3；
②t 秒后，点P 表示的数为-2+3t；
（2）∵t 秒后，点P 表示的数-2+3t，点Q 表示的数为8-2t，
∴PQ=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，
又∵PQ=
1
2AB=
1
2×[8-（-2）]=
1
2×10=5，
∴|5t-10|=5，
解得：t=1 或3，
∴当t=1 或3 时，PQ=
1
2AB；
（3）点P 在运动过程中，线段MN 的长度不发生变化，
理由如下：∵点M 表示的数为：
−2+(−2+3𝑡)
2
=
3𝑡
2 −2，
点N 表示的数为：
8+(−2+3𝑡)
2
=
3𝑡
2 +3，
∴MN=|(
3𝑡
2 −2)−(
3𝑡
2 +3)| =5，
∴点P 在运动过程中，线段MN 的长度不发生变化，线段MN 的长为5 个单位长度．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用和数轴、两点间的距离、绝对值，解题的关键是明确题意，利用方
程和数形结合的思想解答．
【变式9-1】（24-25 七年级上·福建三明·期中）定义：在直线上点𝐴、𝐵之间的部分（含点𝐴、𝐵）叫线段
𝐴𝐵，在线段𝐴𝐵上到点𝐴、𝐵距离相等的点叫线段𝐴𝐵的中点．
(1)[操作·探索]
在数轴上点𝐴、𝐵分别表示的数是𝑎、𝑏，请完成下表：
𝑎
3
−5
5
−10
−5.5
…
𝑏
7
0
−1
2
−1.5
…
线段𝐴𝐵的中点对应的数
−2.5
−4
…
(2)[发现·证明]
我们经历操作、探索、观察、发现、归纳，获得猜想性结论：在数轴上，若点𝐴、𝐵表示的数是𝑎、𝑏，则线
段𝐴𝐵的中点对应的数是_______．为了证明该结论的正确性，不妨设点𝐴在点𝐵的右侧，请你通过运算证明
以上结论的正确性．
(3)[思考·应用]
已知在数轴上点𝐴、𝐵表示的数分别是6、−4，在数轴上的动点𝑃从点𝐴出发，以一定的速度向点𝐵匀速运动；
若𝑀为𝐴𝑃的中点，𝑁为𝑃𝐵的中点，问：在点𝑃的运动过程中，线段𝑀𝑁的长度是否会发生变化？如果会发生
变化，请说明理由；如果不会发生变化，请求出线段𝑀𝑁的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
𝑎+𝑏
2 ，证明见解析
(3)不会发生变化，线段𝑀𝑁的长度为5．
【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，中点的表示方法．
（1）根据数轴上中点的表示方法求解即可；
（2）根据数轴上中点的表示方法求解即可；
（3）设点P 表示的数为m，得到点M 表示的数为
6+𝑚
2 ，点N 表示的数为
−4+𝑚
2
，然后得到𝑀𝑁= |
6+𝑚
2 −
−4+𝑚
2 |
= 5即可求解．
【详解】（1）解：当𝑎= 3，𝑏= 7时，线段𝐴𝐵的中点对应的数为
3+7
2 = 5；
当𝑎= 5，𝑏= −1时，线段𝐴𝐵的中点对应的数为
5+(−1)
2
= 2；
当𝑎= −5.5，𝑏= −1.5时，线段𝐴𝐵的中点对应的数为
−5.5+(−1.5)
2
= −3.5；
填表如下：
𝑎
3
−5
5
−10
−5.5
…
𝑏
7
0
−1
2
−1.5
…
线段𝐴𝐵的
中点对应
的数
5
−2.5
2
−4
−3.5
…
（2）解：根据题意得，在数轴上，若点𝐴、𝐵表示的数是𝑎、𝑏，则线段𝐴𝐵的中点对应的数是
𝑎+𝑏
2 ．
证明：设点𝐴在点𝐵的右侧，
∴𝑎−
𝑎+𝑏
2 =
𝑎−𝑏
2 ，
𝑎+𝑏
2 −𝑏=
𝑎−𝑏
2 ，
∴
𝑎+𝑏
2 在a 和b 的中间．
（3）解：设点P 表示的数为m
∵在数轴上点𝐴、𝐵表示的数分别是6、−4，𝑀为𝐴𝑃的中点，𝑁为𝑃𝐵的中点
∴点M 表示的数为
6+𝑚
2 ，点N 表示的数为
−4+𝑚
2
，
∴𝑀𝑁= |
6+𝑚
2 −
−4+𝑚
2 | = 5．
∴在点𝑃的运动过程中，线段𝑀𝑁的长度不会发生变化，线段𝑀𝑁的长度为5．
【变式9-2】如图，数轴上点𝐴表示的数为−3，点𝐵表示的数为9，点𝑃从点𝐴出发，以每秒2 个单位长度的
速度沿数轴向右匀速运动，同时点𝑄从点𝐵出发，以每秒1 个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为𝑡
秒(𝑡> 0)．
(1)①线段𝐴𝐵的中点𝐶表示的数为______；
②用含𝑡的代数式表示：𝑡秒后，点𝑃表示的数为______；点𝑄表示的数为______；
(2)求当𝑡为何值时，𝑃𝑄=
1
2𝐴𝐵；
(3)若点𝑀为𝑃𝐴的中点，点𝑁为𝑃𝐵的中点，点𝑃在运动过程中，线段𝑀𝑁的长度是否发生变化？若不变，请求
出线段𝑀𝑁的长．
【答案】(1)①3，②2𝑡−3，9−𝑡
(2)2 或6
(3)不发生变化，𝑀𝑁= 6
【分析】本题主要考查数轴上点之间的距离、中点以及动点，
(1)利用中点公式和两点之间距离即可求得答案；
(2)根据两点之间距离求得𝑃𝑄和𝐴𝐵线段长，列出关系式解绝对值方程即可；
(3)利用中点的性质求得𝑀𝑃和𝑃𝑁，则𝑀𝑁= 𝑀𝑃+ 𝑃𝑁= 6．
【详解】（1）解：①中点C 为：
−3+9
2 =3；
②𝑡秒后，点𝑃表示的数为2𝑡−3，点𝑄表示的数为9−𝑡；
（2）∵𝑃𝑄=
1
2𝐴𝐵，𝑃𝑄= |2𝑡−3−(9−𝑡)| = |3𝑡−12|，𝐴𝐵= 9−(−3) = 12
∴|3𝑡−12| =
1
2 × 12，解得𝑡= 2或𝑡= 6．
（3）∵点𝑀为𝑃𝐴的中点，点𝑁为𝑃𝐵的中点，
∴𝑀𝑃=
1
2𝐴𝑃，𝑃𝑁=
1
2𝑃𝐵，
则𝑀𝑁= 𝑀𝑃+ 𝑃𝑁=
1
2𝐴𝑃+
1
2𝑃𝐵=
1
2𝐴𝐵= 6．
故线段𝑀𝑁的长度不发生变化，线段𝑀𝑁的长为6．
【变式9-3】如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上一点（B 在A 点左边），且𝐴𝐵= 10，动点P
从点A 出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（𝑡> 0）秒．
(1)写出数轴上点B 所表示的数______；
(2)点P 所表示的数______（用含t 的代数式表示）；
(3)C 是𝐴𝑃的中点，D 是𝑃𝐵的中点，点P 在运动的过程中，线段𝐶𝐷的长度是否发生变化？若变化，说明理由，
若不变，请你求出线段𝐶𝐷的长．
【答案】(1)−2
(2)8−6𝑡
(3)线段𝐶𝐷的长度不发生变化，为5
【分析】（1）根据题意及数轴可得B 点在原点的左侧，故可直接求解；
（2）根据题意可得P 所表示的数为：8−6𝑡；
（3）根据题意得到点P 可能在线段𝐴𝐵上，也有可能在线段𝐴𝐵外，故分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵数轴上点A 表示的数为8，
∴𝑂𝐴= 8，
∵𝐴𝐵= 10，
∴𝑂𝐵= 𝐴𝐵−𝑂𝐴= 2，
∵点B 在原点左边，
∴数轴上点B 所表示的数为−2，
故答案为：−2；
（2）解：根据题意得：𝐴𝑃= 6𝑡，
∵A 点表示的数是8，P 在A 的左边，
∴点P 表示的数为8−6𝑡，
故答案为：8−6𝑡；
（3）解：线段𝐶𝐷的长度不发生变化，
∵C 是𝐴𝑃的中点，D 是𝑃𝐵的中点，
∴𝑃𝐷=
1
2𝐵𝑃,𝐶𝑃=
1
2𝐴𝑃，
如图，当P 点在线段𝐴𝐵上运动时，
𝐶𝐷= 𝑃𝐷+ 𝑃𝐶=
1
2𝐵𝑃+
1
2𝐴𝑃=
1
2(𝐵𝑃+ 𝐴𝑃) =
1
2𝐴𝐵= 5；
如图，当P 点运动到点B 左侧时，
𝐶𝐷= 𝐶𝑃−𝑃𝐷=
1
2𝐴𝑃−
1
2𝑃𝐵=
1
2(𝐴𝑃−𝑃𝐵) =
1
2𝐴𝐵= 5，
综上所述，线段𝐶𝐷的长度不会发生变化，始终是5．
【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离及线段的和差关系，关键是根据动点的运动得到线段的长，然后
根据数轴上的两点距离列式求解即可．
【题型10 数轴上和差定值问题】
【例10】（24-25 七年级上·辽宁大连·期末）如图，已知数轴上依次有𝐴，𝐵，𝐶三点，若用𝐴𝐵表示𝐴、𝐵两点
的距离，𝐴𝐶表示𝐴、𝐶两点的距离，点𝐴对应的数是−20，点𝐶对应的数是20，且𝐴𝐵=
1
4𝐴𝐶．
(1)𝐴𝐶= ______，点𝐵对应的数为______；
(2)若点𝑃、𝑄分别从𝐴、𝐶两点同时出发，向左运动，速度分别为2 个单位长度每秒、5 个单位长度每秒，则
运动了多少秒时，𝑃到𝐵的距离与𝑄到𝐵的距离相等？
(3)若点𝑃、𝑄仍然以（2）中的速度分别从𝐴、𝐶两点出发，点𝑃仍向左运动，点𝑄向右运动，动点𝑅从𝐵点出发
也向左运动，点𝑅的速度为1 个单位长度每秒，三点同时出发，设运动时间为𝑡秒，试判断7𝑃𝑅−𝑃𝑄的值是否
会随𝑡的变化而变化？请说明理由．
【答案】(1)40，−10
(2)
20
7 秒或
40
3 秒
(3)7𝑃𝑅−𝑃𝑄不随𝑡的变化而变化，见解析
【分析】本题考查数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间距离的求法、解一元一次方程、整式加减运算
等知识，熟练掌握数轴上两点之间距离表示方法，数形结合列式求解是解决问题的关键．
（1）由题中条件，结合数轴上两点之间距离的求法列式求解即可得到答案；
（2）设运动了𝑡秒，则点𝑃表示的数为−20−2𝑡，点𝑄表示的数为20−5𝑡，由𝑃到𝐵的距离与𝑄到𝐵的距离相等，
分两种情况列方程求解即可得到答案；
（3）设运动时间为𝑡秒，则点𝑃表示的数为−20−2𝑡，点𝑄表示的数为20 + 5𝑡，点𝑅表示的数为−10−𝑡，由数
轴上两点之间距离求法得到𝑃𝑅、𝑃𝑄，代入7𝑃𝑅−𝑃𝑄化简即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点𝐴对应的数是−20，点𝐶对应的数是20，
∴𝐴𝐶= 20−(−20) = 40；
∵ 𝐴𝐵=
1
4𝐴𝐶，
∴𝐴𝐵=
1
4 × 40 = 10，
∵点𝐴对应的数是−20，
∴点𝐵对应的数为−10；
故答案为：40，−10；
（2）解：∵点𝐴表示的数为−20，点𝐵表示的数为−10，
设运动了𝑡秒，
则点𝑃表示的数为−20−2𝑡，点𝑄表示的数为20−5𝑡，
由𝑃到𝐵的距离与𝑄到𝐵的距离相等，分两种情况：
①当点𝑄在点𝐵右边时，−10−(−20−2𝑡) = 20−5𝑡−(−10)，
解得：𝑡=
20
7 ；.
②当点𝑄在点𝐵左边时，−10−(−20−2𝑡) = −10−(20−5𝑡)，
解得：𝑡=
40
3 ；
综上所述：运动了
20
7 秒或
40
3 秒时，𝑃到𝐵的距离与𝑄到𝐵的距离相等；
（3）解：7𝑃𝑅−𝑃𝑄不随𝑡的变化而变化，
理由如下：
设运动时间为𝑡秒，
则点𝑃表示的数为−20−2𝑡，点𝑄表示的数为20 + 5𝑡，点𝑅表示的数为−10−𝑡，
∴𝑃𝑅= (−10−𝑡)−(−20−2𝑡) = 𝑡+ 10；𝑃𝑄= (20 + 5𝑡)−(−20−2𝑡) = 7𝑡+ 40；
∴7𝑃𝑅−𝑃𝑄= 7(𝑡+ 10)−(7𝑡+ 40) = 30，
即7𝑃𝑅−𝑃𝑄的值与𝑡无关，不随𝑡的变化而变化．
【变式10-1】如图，在数轴上A 表示的数为a，点B 表示的数为b，且a，b 满足|𝑎+ 10| + (𝑏−5)2 = 0．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)点C 在线段𝑂𝐴上一个动点其对应的数为x，请化简式子：|𝑥+ 10|−|𝑥−1| + |𝑥−5|．（写出化简过程）
(3)点A、B 分别以2 个单位/秒和3 个单位/秒的速度同时向右运动，点M 从原点O 以5 个单位/秒的速度同
时向右运动，请问3𝐴𝑀+ 2𝑂𝐵−3𝑂𝑀的值是否随着运动时间t 的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，
请求其值．
【答案】(1)−10,5
(2)𝑥+ 14
(3)不变，值为40
【分析】（1）根据若几个非负数之和为0，则每一个加数为0 计算即可；
（2）由题意得出−10 ≤𝑥≤0，再根据绝对值的意义化简即可；
（3）设点A、B、M 运动t 秒时的距离分别是2t、3t、5t，分别用含t 的式子表示𝐴𝑀、𝑂𝐵、𝑂𝑀，然后计算
式子3𝐴𝑀+ 2𝑂𝐵−3𝑂𝑀的值，由此判断即可．
【详解】（1）解：∵|𝑎+ 10| + (𝑏−5)2 = 0，
又∵|𝑎+ 10| ≥0，(𝑏−5)2 ≥0，
∴𝑎+ 10 = 0，𝑏−5 = 0，
∴𝑎= −10，𝑏= 5，
故答案为：−10，5；
（2）由题意得，−10 ≤𝑥≤0，
∴𝑥+ 10 > 0，𝑥−1 < 0，𝑥−5 < 0，
∴||𝑥+ 10|−|𝑥−1| + |𝑥−5|
= (𝑥+ 10)−(1−𝑥) + (5−𝑥)
= 𝑥+ 10−1 + 𝑥+ 5−𝑥
= 𝑥+ 14；
（3）不变，值是40，理由：
由题意得点A、B、M 运动t 秒时的距离分别是2𝑡、3𝑡、5𝑡，此时点A、B、M 在数轴上的位置对应的数分别
是−10 + 2𝑡、5 + 3𝑡、5𝑡，
则𝐴𝑀= 5𝑡−(−10 + 2𝑡) = 10 + 3𝑡，𝑂𝐵= 5 + 3𝑡，𝑂𝑀= 5𝑡，
∴3𝐴𝑀+ 2𝑂𝐵−3𝑂𝑀
t = 3(10 + 3𝑡) +2(5 + 3𝑡)−3 × 5𝑡
t = 30 + 9𝑡+ 10 + 6𝑡−15𝑡
= 40，
即3𝐴𝑀+ 2𝑂𝐵−3𝑂𝑀的值不变，总等于40．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，非负数的性质，多项式的定值问题，熟练掌握这些知识点是解
题的关键．
【变式10-2】如图，在数轴上，点O 为原点，点A 表示的数为𝑎，点B 表示的数为b，且𝑎，b 满足|𝑎+ 8| +
(𝑏−6)2=0
（1）A，B 两点对应的数分别为a，b 的值．
（2）若点A，B 分别以4 个单位/秒和2 个单位/秒的速度相向面行，则几秒后A，B 两点相距2 个单位长度？
（3）若点A，B 以（2）中的速度同时向右运动，同时点P 从原点O 以7 个单位/秒的速度向右运动，设运
动时间为t 秒，请问：在运动过程中，AP+2OB−OP 的值是否会发生变化？若变化，请用t 表示这个值：若
不变．请求出这个定值．
【答案】（1）a=-8，b=6；（2）经过2 秒或
8
3秒后，A，B 两点相距2 个单位长度；（3）在运动过程中，
AP+2OB−OP 的值不会发生变化，这个定值是20
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性和为0 求出a、b；
（2）分类讨论，根据相遇问题列方程解题；
（3）设t 秒后AP+2OB-OP 为定值，分别表示出点A，B，P 对应的数，计算AP+2OB-OP，确定t 的值及定
值．
【详解】解：（1）∵|a+8|+（b-6）2=0，
∴|a+8|=0，（b-6）2=0，
即a=-8，b=6；
（2）分两种情况讨论：设x 秒后A，B 两点相距2 个单位长度．
①A，B 两点相遇前相距2 个单位长度，则4x+2x=6-（-8）-2
解得：x=2；
②A，B 两点相遇后相距2 个单位长度，则4x+2x=6-（-8）+2
解得：x=
8
3，
答：经过2 秒或
8
3秒后，A，B 两点相距2 个单位长度；
（3）在运动过程中，AP+2OB-OP 的值不会发生变化．
由题意可知：t 秒后，点A 对应的数为-8+4t，点B 对应的数为6+2t，点P 对应的数7t，则：AP=7t-（-8+4t）
=3t+8，OB=6+2t，OP=7t，
所以AP+2OB-OP=（3t+8）+2（6+2t）-7t=3t+8+12+4t-7t=20．
所以，在运动过程中，AP+2OB−OP 的值不会发生变化，这个定值是20．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质及数轴上两点间的距离．题目综合性较强，难度
较大．解决（1）需利用非负数的性质，解决（2）注意分类思想的运用，解决（3）利用数轴上两点间的距
离公式．
【变式10-3】（25-26 七年级上·湖南株洲·期末）利用有理数的减法，可以计算数轴上两点间的距离．如图，
点A 在数轴上对应的数为−3，点B 对应的数为2，点C 对应的数为−6，那么线段𝐴𝐶，𝐵𝐶的长度可表示为：
𝐴𝐶= −3−(−6) = 3， 𝐵𝐶= 2−(−6) = 8，于是可以发现这样的结论：在数轴上，如果点A，B 对应的数分
别为a，b，那么A，B 之间的距离就是它们分别对应的数a，b 中较大的数减去较小的数的差．
(1)试用“有理数的减法”求出图中A，B 两点间的距离；
(2)在图中的数轴上是否存在点M，使得𝑀𝐴+ 𝑀𝐵= 13，若存在，求出所有满足条件的点M 对应的数；若
不存在，请说明理由；
(3)若点N 是图中数轴上点A 左侧的一点，线段𝐵𝑁的中点为点Q，点P 为线段𝐴𝑁的三等分点且靠近于点N，
当点N 在A 点左侧运动时，请判断4𝑁𝑄−3𝐴𝑃的值是否会变化？如果不变，请直接写出它的值；如果变化，
请说明理由．
【答案】(1)5
(2)−7或6
(3)10
【分析】（1）直接利用数轴上两点间距离公式，用较大数减去较小数计算A、B 两点距离即可；
（2）先计算𝐴𝐵+ 𝐵𝐶的值，设点M 对应的数为m，根据𝑀𝐴+ 𝑀𝐵= 13列出方程，分情况讨论求解m 的值；
（3）设点N 对应的数为x，利用中点公式表示𝑁𝑄，根据三等分点定义表示𝐴𝑃，代入4𝑁𝑄−3𝐴𝑃计算并判断
其值是否发生变化．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐵= 2−(−3) = 5，
∴A，B 两点间的距离为5．
（2）解：存在点M，使得𝑀𝐴+ 𝑀𝐵= 13，
理由：由（1）知，𝐴𝐵= |−3−2| = 5，𝐵𝐶= |−6−2| = 8，
∴𝑀𝐴+ 𝑀𝐵= 13，
设点M 对应的数为m，
①当点M 在点A 左侧时，即𝑚< −3，𝑀𝐴= −3−𝑚，𝑀𝐵= 2−𝑚，
则2−𝑚+ (−3−𝑚) = 13，
解得𝑚= −7；
②当点M 在点A，B 之间时，−3 ≤𝑚≤2，此时𝑀𝐴+ 𝑀𝐵= 𝐴𝐵= 5，不合题意；
③当点M 在点B 右侧时，即𝑚> 2，此时𝑀𝐴= 𝑚−(−3) = 𝑚+ 3，𝑀𝐵= 𝑚−2，
则𝑚+ 3 + 𝑚−2 = 13，
解得：𝑚= 6，
综上所述，点M 对应数为−7或6．
（3）解：4𝑁𝑄−3𝐴𝑃的值不变，
理由：设N 点表示数x，则𝐴𝑁= −3−𝑥，𝐵𝑁= 2−𝑥，
∵线段𝐵𝑁的中点为点Q，点P 为线段𝐴𝑁的三等分点且靠近于点N，
∴𝑁𝑄=
2−𝑥
2 ，𝐴𝑃=
2
3(−3−𝑥)，
∴4𝑁𝑄−3𝐴𝑃= 2(2−𝑥)−2(−3−𝑥) = 10．
【题型11 数轴上比为定值问题】
【例11】（25-26 七年级上·湖北武汉·阶段检测）数轴上两个点𝐴、𝐵所对应的数为−8，4，𝐴、𝐵两点各自以
一定的速度同时运动，且𝐴点的运动速度为2个单位/秒．
(1)若𝐴、𝐵两点相向而行，在原点处相遇，求𝐵点运动的速度；
(2)若𝐴、𝐵两点从开始位置上同时按照（1）中的速度向数轴正方向运动，多少秒钟后， 𝐴、𝐵与原点距离相
等？
(3)𝐴、𝐵两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，𝐶点从原点出发也向数轴负方向运
动，点𝐴、𝐵、𝐶分别运动到𝐴1、𝐵1、𝐶1，且𝐶1点总在𝐴1、𝐵1两点之间，并在运动过程中始终有
𝐵𝐶
𝐴𝐶=
1
2（𝐵𝐶
表示𝐵点到𝐶点的距离），设运动𝑡秒钟后，下列两个结论：①𝐴𝐴1 +𝐵𝐵1的值不变；②
𝐶𝐶1
𝐴𝐴1的值不变，请选
择正确的结论，并求其值．
【答案】(1)1个单位/秒
(2)
4
3秒或12秒
(3)正确的结论是②，其值为
2
3
【分析】（1）设𝐵点的运动速度为𝑥个单位/秒，根据路程= 速度× 时间列出方程即可求解；
（2）设经过𝑡秒钟，𝐴、𝐵与原点等距离，分𝐴、𝐵分别在原点的两侧和𝐴、𝐵在原点的同侧两种情况，分别列
出方程解答即可求解；
（3）设点𝐶的速度为𝑦个单位/秒，由题意可得
𝑦−1
2−𝑦=
1
2，即得𝑦=
4
3，由𝐴𝐴1 +𝐵𝐵1 = 2𝑡+ 𝑡= 3𝑡可判断①；
由
𝐶𝐶1
𝐴𝐴1 =
4
3 𝑡
2𝑡=
2
3可判断②，进而即可求解；
本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：设𝐵点的运动速度为𝑥个单位/秒，
由题意得，(8 ÷ 2)𝑥= 4，
解得𝑥= 1，
∴𝐵点的运动速度为1个单位/秒；
（2）解：设经过𝑡秒钟，𝐴、𝐵与原点等距离，有两种情况：
① 当𝐴、𝐵分别在原点的两侧时，
由题意得， 8−2𝑡= 4 + 𝑡，
解得𝑡=
4
3；
②当𝐴、𝐵在原点的同侧时，
由题意得，2𝑡−8 = 𝑡+ 4，
解得𝑡= 12；
综上，经过
4
3秒或12秒，𝐴、𝐵与原点等距离；
（3）解：设点𝐶的速度为𝑦个单位/秒，
∵始终有
𝐵𝐶
𝐴𝐶=
1
2，
∴
𝑦−1
2−𝑦=
1
2，
解得𝑦=
4
3，
①∵𝐴𝐴1 +𝐵𝐵1 = 2𝑡+ 𝑡= 3𝑡，
∴𝐴𝐴1 +𝐵𝐵1的值会随着𝑡的改变而改变；
②∵
𝐶𝐶1
𝐴𝐴1 =
4
3 𝑡
2𝑡=
2
3
∴
𝐶𝐶1
𝐴𝐴1的值不变，其值为
2
3；
综上，正确的结论是②，其值为
2
3．
【变式11-1】如图，已知数轴上点A 表示的数为8，点B 数轴上位于A 点左侧一点，且𝐴𝐵= 14．动点P
从点A 出发，以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t 秒．
(1)写出数轴上点B 表示的数____，点P 表示的数____（用含t 的式子表示）；
(2)动点Q 从点B 出发，以每秒3 个单位长度的速度向左匀速运动，且点P，Q 同时出发．
①问点P 运动多少秒时，𝐵𝑄= 𝐵𝑃？
②若M 为𝐴𝑃的中点，在点P，Q 运动的过程中，
𝑄𝑃+𝑄𝐴
𝑄𝑀的值在某一个时间段t 内为定值．求出这个定值，并
直接写出在哪一个时间段内．
【答案】(1)−6,8−5𝑡
(2)①点P 运动
7
4秒或7 秒时，𝐵𝑄= 𝐵𝑃 ②当0 ≤𝑡≤7时，
𝑄𝑃+𝑄𝐴
𝑄𝑀为定值，该定值为2
【分析】本题考查一元一次方程的应用，含绝对值的方程，绝对值的意义，解题的关键是用含t 的代数式表
示运动后点表示的数．
（1）由点A 表示的数为8，𝐴𝐵= 14，即得点B 表示的数是8−14 = −6，根据点P 从点A 出发，以每秒5
个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t 秒，可得点P 表示的数是8−5𝑡；
（2）①设运动时间为t 秒，可得𝐵𝑃= |14−5𝑡|，𝐵𝑄= 3𝑡，即有3𝑡= |14−5𝑡|，从而解得𝑡=
7
4或𝑡= 7，得
到答案；
②运动时间为t 秒时，点P 表示的数为8−5𝑡，点Q 表示的数为−6−3𝑡，则𝐴𝑃中点M 表示的数为8−
5
2𝑡，当
0 ≤𝑡≤7时；当𝑡> 7时；分别求出答案即可．
【详解】（1）解：∵点A 表示的数为8，𝐴𝐵= 14，
∴点B 表示的数是8−14 = −6，
∵点P 从点A 出发，以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t 秒，
∴点P 表示的数是8−5𝑡；
（2）解：①设运动时间为t 秒，则运动后Q 表示的数是−6−3𝑡，由（1）知点P 表示的数是8−5𝑡，
∴𝐵𝑃= |8−5𝑡−(−6)| = |14−5𝑡|，𝐵𝑄= 3𝑡，
∵𝐵𝑄= 𝐵𝑃，
∴3𝑡= |14−5𝑡|，
解得𝑡=
7
4或𝑡= 7，
答：点P 运动
7
4秒或7 秒时，𝐵𝑄= 𝐵𝑃；
②运动时间为t 秒时，点P 表示的数为8−5𝑡，点Q 表示的数为−6−3𝑡，
则𝐴𝑃的中点M 表示的数为8−
5
2𝑡，
∴
𝑄𝑃+𝑄𝐴
𝑄𝑀
=
|8−5𝑡−(−6−3𝑡)|+8−(−6−3𝑡)
|8−
5
2 𝑡−(−6−3𝑡)|
=
|14−2𝑡|+14+3𝑡
14+
1
2 𝑡
，
∴当0 ≤𝑡≤7时，
𝑄𝑃+𝑄𝐴
𝑄𝑀
=
|14−2𝑡|+14+3𝑡
14+
1
2 𝑡
=
14−2𝑡+14+3𝑡
14+
1
2 𝑡
=
28+𝑡
14+
1
2 𝑡= 2，
当𝑡> 7时，
𝑄𝑃+𝑄𝐴
𝑄𝑀
=
|14−2𝑡|+14+3𝑡
14+
1
2 𝑡
=
−14+2𝑡+14+3𝑡
14+
1
2 𝑡
=
10𝑡
28+𝑡，
∴当0 ≤𝑡≤7时，
𝑄𝑃+𝑄𝐴
𝑄𝑀为定值，该定值为2．
【变式11-2】（24-25 七年级上·全国·期中）已知数轴上A、B 两点对应的数分别为−1和−5，点P 为数轴上
一动点，其对应的数为x．
(1)若点P 到点A、点B 的距离相等，写出点P 对应的数；
(2)数轴上是否存在点P，使点P 到点A、点B 的距离之和是8？若存在，直接写出x 的值；若不存在，请说
明理由；
(3)若数轴上点M、N 所对应的数为m、n，其中A 为𝑃𝑀的中点，B 为𝑃𝑁的中点，⽆论点P 在何处，
𝑀𝑁
𝐴𝐵是否
为一个定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)点P 对应的数是−3
(2)存在点P，使点P 到点A、点B 的距离之和是8，x 的值是1 或−7
(3)
𝑀𝑁
𝐴𝐵为一个定值，定值是2
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴上两点的距离公式和中点表示的数与两个
端点表示的数的关系．
（1）由“点𝑃到点𝐴、点𝐵的距离相等“列方程可解得答案；
（2）分两种情况列方程可解得答案；
（3）表示除𝑚，𝑛，从而表示出𝑀𝑁，再代入计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得：−1−𝑥= 𝑥−(−5)，
解得𝑥= −3，
∴点𝑃对应的数是−3；
（2）解：存在点𝑃，使点𝑃到点𝐴、点𝐵的距离之和是8，理由如下：
当𝑃在𝐴右侧时，𝑥−(−1) + 𝑥−(−5) = 8，
解得𝑥= 1，
当𝑃在𝐵左侧时，−1−𝑥+ (−5−𝑥) = 8，
解得𝑥= −7，
∴𝑥的值是1 或−7；
（3）解：
𝑀𝑁
𝐴𝐵为一个定值，理由如下：
∵𝐴为𝑃𝑀的中点，𝐵为𝑃𝑁的中点，
∴
𝑥+𝑚
2
= −1，
𝑥+𝑛
2 = −5，
∴𝑚= −2−𝑥，𝑛= −10−𝑥，
∴𝑀𝑁= (−2−𝑥)−(−10−𝑥) = 8，
∵𝐴𝐵= −1−(−5) = 4，
∴
𝑀𝑁
𝐴𝐵=
8
4 = 2；
∴
𝑀𝑁
𝐴𝐵为一个定值，定值是2．
【变式11-3】（24-25 七年级上·广东惠州·期中）如图，在数轴上点A，B 表示的数分别为a，b，且|𝑎+ 3| +
(𝑏−9)2 = 0，点𝑂为原点．
(1)请直接写出𝑎= ______，𝑏= _____，A，B 两点之间的距离为_____；
(2)一动点P 从A 出发，以每秒2 个单位长度向左运动，一动点Q 从B 出发，以每秒3 个单位长度向左运动，
设运动时间为t（秒）．
①试探究：P，Q 两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由；
②若动点Q 从点B 出发后，到达原点O 后保持原来的速度向右运动，当点Q 在线段𝑂𝐵上运动时，分别取𝑂𝐵
和𝐴𝑄的中点E，F，试判断
𝐴𝐵−𝑂𝑄
𝐸𝐹
的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)−3，9，12
(2)①𝑡=
6
5或12；②
𝐴𝐵−𝑂𝑄
𝐸𝐹
的值是一个定值，为2
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离公式．解题关键是要读懂
题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
（1）根据非负数的性质即可求出a、b 的值，然后利用数轴上两点之间的距离求解即可；
（2）①先表示出运动t 秒后P 点对应的数为−3−2𝑡，Q 点对应的数为9−3𝑡，再根据两点间的距离公式得
出𝑃𝑂= |−3−2𝑡|，𝑂𝑄= |9−3𝑡|，利用建立方程，求解即可；
②先分别表示出点E 表示的数，点F 表示的数，再计算
𝐴𝐵−𝑂𝑄
𝐸𝐹
即可；
【详解】（1）解：∵|𝑎+ 3| + (𝑏−9)2 = 0，
∴𝑎+ 3 = 0，𝑏−9 = 0，
∴𝑎= −3，𝑏= 9，
∴A，B 两点之间的距离为9−(−3) = 12；
（2）解：①∵若动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点𝑄从𝐵出发，
以每秒3 个单位长度向左运动，
∵点A 表示的数为−3，点B 表示的数为9，
∴运动t 秒后P 点对应的数为−3−2𝑡，Q 点对应的数为9−3𝑡，
∴𝑃𝑂= |−3−2𝑡|，𝑂𝑄= |9−3𝑡|，
当𝑂𝑃= 𝑂𝑄时，|−3−2𝑡| = |9−3𝑡|，
解得𝑡=
6
5或12，
答：点P 的运动时间t 为
6
5或12 秒；
②
𝐴𝐵−𝑂𝑄
𝐸𝐹
的值是一个定值，理由如下：
当点Q 运动到线段𝑂𝐵上时，𝑂𝐵中点E 表示的数是
9
2 ，
当Q 从B 向O 运动时，𝐴𝑄中点F 表示的数是−3 +
9−3𝑡−(−3)
2
= 3−
3
2𝑡，
则𝐸𝐹=
9
2−3−
3
2 𝑡=
3
2 +
3
2𝑡，
所以
𝐴𝐵−𝑂𝑄
𝐸𝐹
=
(9+3)−(9−3𝑡)
3
2+
3
2 𝑡
= 2；
当Q 从O 向B 运动时，Q 点对应数为3𝑡−9，
𝐴𝑄中点F 表示的数是−3 +
3𝑡−9−(−3)
2
=
3
2𝑡−6，
则𝐸𝐹=
9
2−
3
2 𝑡−6 =
21
2 −
3
2𝑡，
所以
𝐴𝐵−𝑂𝑄
𝐸𝐹
=
(9+3)−(3𝑡−9)
21
2 −
3
2 𝑡
= 2；
故
𝐴𝐵−𝑂𝑄
𝐸𝐹
的值是一个定值，为2．
【题型12 数轴上定值求参问题】
【例12】（25-26 七年级上·福建莆田·期中）如图，在数轴上点A 表示的数为a、点B 表示的数为b，且a，b
满足|𝑎+ 20| + (𝑏−30)2 = 0，𝐴𝐵表示点A 与点B 之间的距离．
(1)求a，b 的值；
(2)动点P 从数1 对应的点开始向右运动，速度为每秒1 个单位长度．同时点A，B 在数轴上运动，点A，B
的速度分别为每秒2 个单位长度，每秒3 个单位长度，运动时间为t 秒．
①若点A 向右运动，点B 向左运动，𝐴𝑃= 𝑃𝐵，求t 的值；
②若点A 向左运动，点B 向右运动，问是否存在常数m，使得2𝐴𝑃−𝑚⋅𝑃𝐵的值为定值？若存在，求出m
的值，且定值为多少？若不存在，说明理由．
【答案】(1)𝑎= −20,𝑏= 30
(2)①𝑡=
8
3或10；②存在，定值为−45
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及整式加减的应用，根据绝对值及平方的非负性求出a，b
的值以及找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）根据绝对值及平方的非负性求出结论即可；
（2）①运动t 秒时，A 点表示的数为−20 + 2𝑡，B 点表示的数为30−3𝑡，P 点表示的数为1 + 𝑡，再分三种
情况：点A、B 在相遇前时或点A、B 在相遇时或点A、B 在相遇后，分别求出即可；②当运动t 秒时，A
点表示的数为−20−2𝑡，B 点表示的数为30 + 3𝑡，P 点表示的数为1 + 𝑡，求出2𝐴𝑃−𝑚⋅𝑃𝐵 = (6−2𝑚)𝑡+
(42−29𝑚)，依题意求出结论即可．
【详解】（1）解：∵|𝑎+ 20| + (𝑏−30)2 = 0，
∴𝑎+ 20 = 0,𝑏−30 = 0，
∴𝑎= −20,𝑏= 30；
（2）解：①如图所示：
当𝑡= 0时，𝐴𝑃= 21,𝐵𝑃= 29，
若点A 向右运动，点B 向左运动，则运动t 秒时，A 点表示的数为−20 + 2𝑡，B 点表示的数为30−3𝑡．
∵动点P 从数1 对应的点开始向右运动，速度为每秒1 个单位长度，
∴运动t 秒时，P 点表示的数为1 + 𝑡；
下面分两类情况来讨论：点A、B 在相遇前时，
∵𝐴𝑃= 𝑃𝐵，
∴1 + 𝑡−(−20 + 2𝑡) = 30−3𝑡−(1 + 𝑡)，
解得𝑡=
8
3；
点A、B 在相遇时，𝐴𝑃= 𝑃𝐵，此时A 与B 重合，
则−20 + 2𝑡= 30−3𝑡，
解得𝑡= 10；
显然，点A，B 在相遇后，𝐵𝑃大于𝐴𝑃，不符合条件．
综上所述，𝑡=
8
3或10；
②当运动t 秒时，A 点表示的数为−20−2𝑡，B 点表示的数为30 + 3𝑡，P 点表示的数为1 + 𝑡，
2𝐴𝑃−𝑚⋅𝑃𝐵
= 2[(1 + 𝑡)−(−20−2𝑡)]−𝑚[(30 + 3𝑡)−(1 + 𝑡)]
= (6−2𝑚)𝑡+ (42−29𝑚)，
当6−2𝑚= 0时，上式的值不随时间t 的变化而改变．
∴存在常数𝑚= 3，使得2𝐴𝑃−𝑚⋅𝑃𝐵的值为定值，
此时2𝐴𝑃−𝑚⋅𝑃𝐵= 42−29 × 3 = −45．
【变式12-1】（25-26 七年级上·吉林松原·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴
可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现：若数轴上点A、点B 表示的数分别为a、b，则A、B 两点
之间的距离可用AB 表示，𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|，若已知𝑎> 𝑏，则𝐴𝐵= 𝑎−𝑏．如图，已知数轴上有A、B、C 三个
点，它们表示的数分别是−18、−8、8．
（1）填空：𝐴𝐵= ______，𝐵𝐶= ______；
【构建联系】
（2）现有动点P 从B 点出发，以每秒1 个单位长度的速度向右运动，同时点Q 从A 点出发，以每秒3 个
单位长度的速度向右运动．设点P 运动的时间为t 秒．
①填空：运动过程中点P 表示的数是________，点Q 表示的数是________（用含t 的代数式表示）；
②若𝑃𝑄= 6，求t 的值；
【深入探究】
（3）若点A 以每秒3 个单位长度的速度向左运动，同时点C 以每秒2 个单位长度的速度向右运动，动点D
从原点开始以每秒m 个单位长度的速度向左运动，运动时间为t 秒，运动过程中，点D 始终在A、C 两点
之间，且𝐶𝐷−3𝐴𝐷的值始终是一个定值，直接写出m 的值．
【答案】（1）10，16；（2）①−8 + 𝑡，−18 + 3𝑡；②8 或2；（3）
7
4
【分析】本题考查有理数与数轴，列代数式，一元一次方程的实际应用，熟练掌握两点间的距离公式，是
解题的关键：
（1）根据两点间的距离公式进行求解即可；
（2）①根据两点间的距离公式列出代数式即可；②分两种情况进行讨论求解即可；
（3）根据两点间的距离公式表示出𝐶𝐷和𝐴𝐷，根据整式加减中的无关型问题即可得出结果．
【详解】解：（1）𝐴𝐵= −8−(−18) = 10,𝐵𝐶= 8−(−8) = 16；
故答案为：10，16；
（2）①由题意，点P 表示的数是−8 + 𝑡，点Q 表示的数是−18 + 3𝑡；
故答案为：−8 + 𝑡或−18 + 3𝑡；
②由题意，−8 + 𝑡−(−18 + 3𝑡) = 6或−18 + 3𝑡−(−8 + 𝑡) = 6，
解得𝑡= 2或𝑡= 8；
（3）由题意，点𝐴表示的数为−18−3𝑡，点𝐶表示的数为8 + 2𝑡，点𝐷表示的数为−𝑚𝑡，
∵点D 始终在A、C 两点之间，
∴𝐶𝐷= 8 + 2𝑡−(−𝑚𝑡) = 8 + (2 + 𝑚)𝑡，𝐴𝐷= −𝑚𝑡−(−18−3𝑡) = 18 + (3−𝑚)𝑡，
∴𝐶𝐷−3𝐴𝐷= 8 + (2 + 𝑚)𝑡−3[18 +(3−𝑚)𝑡]
= 8 + (2 + 𝑚)𝑡−54−(9−3𝑚)𝑡
= (4𝑚−7)𝑡−46，
∵𝐶𝐷−3𝐴𝐷的值始终是一个定值，
∴4𝑚−7 = 0，
∴𝑚=
7
4．
【变式12-2】（25-26 七年级上·重庆·期中）如图，在数轴上有A，B，C 三个点，所表示的数分别是a，b，
−10，原点O 是线段𝐴𝐵上一点．已知𝐴𝐶= 4，且𝑂𝐴= 3𝑂𝐵，有两条动线段𝑃𝑄和𝑀𝑁满足𝑃𝑄= 2，
𝑀𝑁= 4．初始状态点P 与点C 重合，点N 与点B 重合，若线段𝑃𝑄以每秒2 个单位的速度从点C 开始沿数
轴向右匀速运动，同时线段𝑀𝑁以每秒1 个单位的速度从点B 开始沿数轴向左匀速运动．
(1)直接写出a，b 的值；𝑎= ，𝑏= ；
(2)设运动时间为t 秒，当点M 运动到点C 时，线段𝑃𝑄，𝑀𝑁同时停止运动，当C，P，M 中某一点为另外两
点构成线段的中点时，求时间t 的值；
(3)当点Q 运动到点B 时，线段𝑃𝑄立即以相同的速度返回，直到点M 运动到点C 时，线段𝑃𝑄，𝑀𝑁同时停
止运动，设运动时间为t 秒，当𝑡> 5时，存在两个常数m，n 使得𝑚⋅𝑄𝐶−𝑛⋅𝑁𝐶的值与t 无关，请直接写出
m 与n 的数量关系．
【答案】(1)−6；2
(2)
8
5或4
(3)𝑛= 2𝑚
【分析】（1）先根据𝐴𝐶= 4，点C 表示的数为−10，求出点A 表示的数𝑎= −10 + 4 = −6，再根据
𝑂𝐴= 3𝑂𝐵，求出𝑂𝐵= 2，即可得出答案；
（2）分两种情况：当点P 为𝐶𝑀的中点时𝐶𝑃= 𝑀𝑃，当点M 为𝐶𝑃的中点时𝐶𝑀= 𝑀𝑃，分别列出方程，解方
程即可；
（3）先求出𝑄𝐶= −2𝑡+ 12−(−10) = −2𝑡+ 22，𝑁𝐶= 2−𝑡−(−10) = 12−𝑡，得出𝑚⋅𝑄𝐶−𝑛⋅𝑁𝐶= (𝑛−2𝑚)
𝑡+ 22𝑚−12𝑛，根据常数m，n 使得𝑚⋅𝑄𝐶−𝑛⋅𝑁𝐶的值与t 无关，得出𝑛−2𝑚= 0，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐶= 4，点C 表示的数为−10，
∴点A 表示的数𝑎= −10 + 4 = −6，
∴𝑂𝐴= 6，
∵𝑂𝐴= 3𝑂𝐵，
∴𝑂𝐵= 2，
∴𝑏= 2；
（2）解：t 秒后点M 表示的数为2−4−𝑡= −2−𝑡，点P 表示的数为−10 + 2𝑡，
当点P 为𝐶𝑀的中点时𝐶𝑃= 𝑀𝑃，则：
−10 + 2𝑡−(−10) = −2−𝑡−(−10 + 2𝑡)，
解得：𝑡=
8
5；
当点M 为𝐶𝑃的中点时𝐶𝑀= 𝑀𝑃，则：
−2−𝑡−(−10) = −10 + 2𝑡−(−2−𝑡)，
解得：𝑡= 4；
综上分析可知：当C，P，M 中某一点为另外两点构成线段的中点时，时间t 的值为
8
5或4．
（3）解：点Q 运动到点B 需要的时间为：
2−(−10 + 2) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5（秒），
∴当𝑡> 5时，线段𝑃𝑄向左运动，点Q 表示的数为2−2(𝑡−5) = −2𝑡+ 12，
∴𝑄𝐶= −2𝑡+ 12−(−10) = −2𝑡+ 22，𝑁𝐶= 2−𝑡−(−10) = 12−𝑡，
∴𝑚⋅𝑄𝐶−𝑛⋅𝑁𝐶
= 𝑚(−2𝑡+ 22)−𝑛(12−𝑡)
= −2𝑚𝑡+ 22𝑚−12𝑛+ 𝑛𝑡
= (𝑛−2𝑚)𝑡+ 22𝑚−12𝑛，
∵常数m，n 使得𝑚⋅𝑄𝐶−𝑛⋅𝑁𝐶的值与t 无关，
∴𝑛−2𝑚= 0，
即𝑛= 2𝑚．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，整式加减的应用，熟练掌握数轴上两
点间距离公式，是解题的关键．
【变式12-3】（25-26 七年级上·重庆·期中）如图，点𝐴、𝐵、𝐶在数轴上表示的数分别为−24、8、12，点𝑂
是原点，点𝑃从点𝐴开始以每秒4 个单位的原始速度沿着数轴正方向运动，同时，点𝑄从𝐵点开始以每秒2 个
单位的原始速度沿着数轴负方向运动，设它们运动的时间为𝑡（𝑡> 0）．
(1)请用含𝑡的式子表示点𝑃、𝑄表示的数，𝑃表示为_____，𝑄表示为_____；
(2)当点𝑃、𝑄之间的距离是点𝑄、𝑂之间的距离的2 倍时，求𝑡的值；
(3)当点𝑃运动到点𝐶时立即以原始速度的
3
4沿着数轴的负方向运动，点𝑄到达𝐴时立即以原速的2 倍速度沿着
数轴正方向运动，点𝑃返回到𝐴点时以原始速度的2 倍再次沿着数轴的正方向朝点𝐵运动，当点𝑃运动到点𝐵
时，点𝑃、𝑄均停止运动．请问在𝑃、𝑄运动过程中是否存在某个时间𝑡，使得𝑃、𝑄两点之间的距离为10？如果存
在，请直接
．．写出𝑡的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)−24 + 4𝑡，8−2𝑡
(2)𝑡= 4.8或𝑡= 8
(3)存在，7 或
11
3 或
117
7 或
137
7 或23.5
【分析】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的
关键．
（1）数轴上动点所对应的数是：向右运动是起始点对应的数加上运动速度乘以运动时间，向左运动是起始
点对应的数减去运动速度乘以运动时间，据此解答即可；
（2）根据点𝑃、𝑄之间的距离是点𝑄、𝑂之间的距离的2 倍列方程求解即可；
（3）分四种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，运动t 秒后，点P 表示的数为−24 + 4𝑡，点Q 表示的数为8−2𝑡，
故答案为：−24 + 4𝑡，8−2𝑡；
（2）解：∵点𝑃、𝑄之间的距离是点𝑄、𝑂之间的距离的2 倍，
∴|(−24 + 4𝑡)−(8−2𝑡)| = 2|8−2𝑡|，
解得𝑡= 4.8或𝑡= 8；
（3）解：存在．由题意，𝐴𝐵= 8−(−24) = 32，𝐴𝐶= 12−(−24) = 36，
点P 由𝐴−𝐶：速度为每秒4 个单位，用时36 ÷ 4 = 9秒，由𝐶−𝐴：速度为每秒4 ×
3
4 = 3个单位，用时36 ÷ 3 = 12
秒，由𝐴−𝐵：速度为每秒4 × 2 = 8个单位，用时32 ÷ 8 = 4秒；
点Q 由𝐵−𝐴：速度为每秒2 个单位，用时32 ÷ 2 = 16秒，由𝐴返回：速度为每秒2 × 2 = 4个单位，
分四种情况：
当0 < 𝑡≤9时，点P 表示的数为−24 + 4𝑡，点Q 表示的数为8−2𝑡，
由𝑃𝑄= 10得|(−24 + 4𝑡)−(8−2𝑡)| = 10，
解得𝑡= 7或𝑡=
11
3 ；
当9 < 𝑡≤16时，点P 表示的数为12−3(𝑡−9) = 39−3𝑡，点Q 表示的数为8−2𝑡，
由𝑃𝑄= 10得|(39−3𝑡)−(8−2𝑡)| = 10，
解得𝑡= 21或𝑡= 41，都不符合题意，舍去；
当16 < 𝑡≤21时，点P 表示的数为39−3𝑡，点Q 表示的数为−24 + 4(𝑡−16) = 4𝑡−88，
由𝑃𝑄= 10得|(39−3𝑡)−(4𝑡−88)| = 10，
解得𝑡=
117
7 或𝑡=
137
7 ；
当21 < 𝑡≤25时，点P 表示的数为−24 + 8(𝑡−21) = 8𝑡−192，点Q 表示的数为4𝑡−88，
由𝑃𝑄= 10得|(8𝑡−192)−(4𝑡−88)| = 10，
解得𝑡= 23.5或𝑡= 28.5（舍去），
综上，满足条件的t 值为7 或
11
3 或
117
7 或
137
7 或23.5．
【题型13 数轴上动线段问题】
【例13】（25-26 七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴上点A 表示的数是−12，点A 的右侧顺次有B，M
两点，线段𝐴𝐵= 8，点D 位于原点的右侧且𝑂𝐷= 8，𝐷𝑀= 30，点C 恰好为线段𝐵𝐷的中点．
(1)数轴上点C，点M 表示的数分别是多少？
(2)若线段𝐶𝐷以每秒1 个单位长度的速度向右运动，当点D 到达点M 时线段𝐶𝐷停止运动；同时线段𝐴𝐵以每
秒3 个单位长度的速度向右运动，当点B 到达点M 时线段𝐴𝐵停止运动．设线段𝐶𝐷的运动时间为t 秒．
①当点A 与点D 到原点的距离相等时，求t 的值；
②当点D 为线段𝐶𝐵的中点时，直接写出t 的值．
【答案】(1)点C 表示的数为2，点M 表示的数为38
(2)①1 或10；②9
【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识点，解
题的关键是读懂题意，用含𝑡的代数式表示各个点运动后表示的数．
（1）根据数轴上两点之间的距离的求法，进行计算即可得出答案；
（2）先用含𝑡的代数式表示各个点运动后表示的数，再根据题意列方程求解即可；根据线段中点的计算公式，
列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点A 表示的数是−12，𝐴𝐵= 8，且点A 的右侧顺次有B，M 两点，
∴点𝐵表示的数是−12 + 8 = −4．
∵点D 位于原点的右侧且𝑂𝐷= 8，
∴点𝐷表示的数是8，
∴𝐵𝐷= 8−(−4) = 12．
∵点C 为线段𝐵𝐷的中点，
∴𝐵𝐶= 𝐶𝐷=
1
2𝐵𝐷= 6，
∴点𝐶表示的数是−4 + 6 = 2．
∵ 𝐷𝑀= 30，
∴点𝑀表示的数是8 + 30 = 38．
答：点C 表示的数为2，点M 表示的数为38．
（2）解：由题意得，
运动后，点𝐶表示的数为2 + 𝑡，点𝐷表示的数为8 + 𝑡，点𝐴表示的数为−12 + 3𝑡，点𝐵表示的数为−4 + 3𝑡，
①当点A 与点D 到原点的距离相等时，
则|−12 + 3𝑡| = |8 + 𝑡|，
即−12 + 3𝑡= 8 + 𝑡或−12 + 3𝑡= −(8 + 𝑡)，
解得，𝑡= 10或𝑡= 1．
答：t 的值为10 或1；
②当点D 为线段𝐶𝐵的中点时，
则8 + 𝑡=
(2+𝑡)+(−4+3𝑡)
2
，
解得，𝑡= 9．
答：t 的值为9．
【变式13-1】（25-26 七年级上·湖北武汉·月考）A，B 在数轴上，分别表示数𝑚，𝑛，且|𝑚+ 3| + (𝑛−21)2 = 0．
(1)直接写出𝑚的值是 ，𝑛的值是 ，线段𝐴𝐵的长度是 ；
(2)如图1，𝑃𝑄是一条定长的线段（点𝑃在点𝑄的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线
段𝑃𝑄完全经过点𝐴（即点𝐴在线段𝑃𝑄上的这段过程）所需的时间为3 秒，线段𝑃𝑄完全经过线段𝐴𝐵（即线段
𝑃𝑄与线段𝐴𝐵有公共点的这段过程）所需的时间为15 秒．
①求线段𝑃𝑄的长；
②直接写出线段𝑃𝑄运动的速度为 个单位长度/秒；
③如图2，当动线段𝑃𝑄运动到𝑄点与𝐴点重合时，与此同时，点𝐶从𝑃点出发，在动线段𝑃𝑄上，以1 个单位
长度/秒的速度向𝑄点运动，遇到𝑄点后，点𝐶立即原速返回，向𝑃点运动，遇到𝑃点后也立即原速返回，向𝑄
点运动．设动线段𝑃𝑄，以及点𝐶同时运动的时间为𝑡秒（0 ≤𝑡≤23），当3𝑃𝐶−𝑄𝐵= 6时，求𝑡的值．
【答案】(1)−3，21，24
(2)①𝑃𝑄= 6；②2；③𝑡的值是6或18
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴动点问题．
（1）根据题意，可知𝑚+ 3 = 0，𝑛−21 = 0，即可算出m 与n 的值，线段𝐴𝐵用两点间的距离公式即可解出；
（2）①设𝑃𝑄的长度为m，根据题目，我们知道
𝑚
3 =
24+𝑚
15 ，解这个方程即可；
②根据题目直接计算即可；
③当𝑡= 0时，点P 对应的数是−3−6 = −9，点C 从P 到点Q 需要6 ÷ 1 = 6秒，由此开始𝑡秒后，点P 对
应的数是−9 + 2𝑡，点Q 表示的数是−9 + 2𝑡+ 6 = −3 + 2𝑡，再根据0 ≤𝑡≤6，6 < 𝑡≤12，12 < 𝑡≤18，
18 < 𝑡≤23分四种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵|𝑚+ 3| + (𝑛−21)2 = 0，
∴𝑚+ 3 = 0，𝑛−21 = 0，
解得𝑚= −3，𝑛= 21，
∴𝐴𝐵= 21−(−3) = 24，
故答案为：−3，21，24；
（2）解：①设𝑃𝑄的长度为m，
则
𝑚
3 =
24+𝑚
15 ，
解得𝑚= 6，
∴线段𝑃𝑄= 6；
②∵线段𝑃𝑄完全经过点A 所需的时间为3 秒，
∴6 ÷ 3 = 2，
即𝑃𝑄运动的速度为2 个单位长度/秒，
故答案为：2；
③当𝑡= 0时，点P 对应的数是−3−6 = −9，点C 从P 到点Q 需要6 ÷ 1 = 6秒，
由此开始𝑡秒后，点P 对应的数是−9 + 2𝑡，点Q 表示的数是−9 + 2𝑡+ 6 = −3 + 2𝑡，
当点Q 到达点𝐵时，−3 + 2𝑡= 21，解得𝑡= 12，
分三种情况讨论：
阶段1：当0 ≤𝑡≤6时，点𝑄未到达点𝐵，点𝐶从𝑃点出发，未到达点𝑄，此时点C 对应的数是−9 + 𝑡，
∴𝑃𝐶= 𝑡，𝐵𝑄= 21−(−3 + 2𝑡) = 24−2𝑡，
∵3𝑃𝐶−𝑄𝐵= 6，
∴3𝑡−24 + 2𝑡= 6，
解得𝑡= 6；
阶段2：当6 < 𝑡≤12时，点𝑄未到达点𝐵，点𝐶到达点𝑄，开始返回点𝑃，此时点C 对应的数是−3 + 2𝑡−(𝑡−6)
= 3 + 𝑡，
当𝑡= 6时，点C 对应的数是9，
∴𝑃𝐶= (3 + 𝑡)−(−9 + 2𝑡) = 12−𝑡，𝐵𝑄= 24−2𝑡，
∵3𝑃𝐶−𝑄𝐵= 6，
∴3(12−𝑡)−24 + 2𝑡= 6，
解得𝑡= 6（舍去）；
阶段3：当12 < 𝑡≤18时，点𝑄已经超过点𝐵，点𝐶到达点𝑃，又返回向点𝑄运动，此时点C 对应的数是
−9 + 2𝑡+ (𝑡−12) = 3𝑡−21，
∴𝑃𝐶= (3𝑡−21)−(−9 + 2𝑡) = 𝑡−12，𝐵𝑄= (−3 + 2𝑡)−21 = 2𝑡−24，
∵3𝑃𝐶−𝑄𝐵= 6，
∴3(𝑡−12)−(2𝑡−24) = 6，
解得𝑡= 18；
阶段4：当18 < 𝑡≤23时，点𝑄已经超过点𝐵，点𝐶到达点𝑄，又返回向点𝑃运动，此时点C 对应的数是
−3 + 2𝑡−(𝑡−18) = 15 + 𝑡，
∴𝑃𝐶= (15 + 𝑡)−(−9 + 2𝑡) = 24−𝑡，𝐵𝑄= (−3 + 2𝑡)−21 = 2𝑡−24，
∵3𝑃𝐶−𝑄𝐵= 6，
∴3(24−𝑡)−(2𝑡−24) = 6，
解得𝑡= 18（舍去）；
综上，𝑡的值是6或18．
【变式13-2】（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）点A，B 在数轴上，分别表示数𝑎，𝑏，|𝑎+ 25| + (𝑏−15)2
= 0．
(1)a 的值是___________，b 的值是___________，线段𝐴𝐵的长度是___________；
(2)如图1，线段𝑃𝑄的长为定值（点P 在点Q 的左侧），它在数轴上始终从左向右匀速运动，在运动过程中，
线段𝑃𝑄完全经过点A（即点A 在线段𝑃𝑄上的这段过程）所需的时间为2 秒，线段𝑃𝑄完全经过线段𝐴𝐵（即
线段𝑃𝑄与线段𝐴𝐵有公共点的这段过程）所需的时间为12秒．
①求线段𝑃𝑄的长；
②线段𝑃𝑄运动的速度为___________个单位长度/秒；
③如图2，当线段𝑃𝑄运动到点Q 与点A 重合时，点C 从点P 的位置开始也沿数轴向右运动，速度为6 个
单位长度/秒，当点C 和点𝑄相遇时，点C 立刻以原速度沿数轴向左运动．直接写出点C 再次与点𝑃相遇时，
点C 在数轴上表示的数．
【答案】(1)−25，15，40
(2)①线段𝑃𝑄的长度是8 个单位长度；②4；③−13.8
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴动点问题，掌握数轴上点运动时所表示的数的变化规律是
解题的关键．
（1）由|𝑎+ 25| + (𝑏−15)2 = 0，得到𝑎+ 25 = 0，𝑏−15 = 0，求出a、b 的值，再根据∴𝐴𝐵= 𝑏−𝑎，即可
求解；
（2）①设𝑃𝑄的长度为m，根据题意列方程
𝑚
2 =
40+𝑚
12 ，解方程即可；②根据线段𝑃𝑄完全经过点A 所需的时
间为2 秒，直接计算，即可求解；③先求出点C 初始位置在数轴上表示的数，再通过方程求出点C 和点𝑄
相遇时，点C 在数轴上表示的数，最后通过方程求出点C 和点𝑃相遇时，点C 在数轴上表示的数．
【详解】（1）解：∵|𝑎+ 25| + (𝑏−15)2 = 0，
∴𝑎+ 25 = 0，𝑏−15 = 0，
∴𝑎= −25，𝑏= 15，
∴𝐴𝐵= 𝑏−𝑎= 15−(−25) = 40．
（2）解：①设𝑃𝑄的长度为m，
根据题意，可得
𝑚
2 =
40+𝑚
12 ，
解得𝑚= 8，
∴线段𝑃𝑄的长度是8 个单位长度；
②∵线段𝑃𝑄完全经过点A 所需的时间为2 秒，
∴线段𝑃𝑄运动的速度为8 ÷ 2 = 4个单位长度/秒；
③∵𝑎= −25，𝑃𝑄= 8，
∴点C 初始位置在数轴上表示的数为−25−8 = −33，
设点C 和点𝑄相遇时，点C 在数轴上表示的数为x，
根据题意可得
𝑥−(−33)
6
=
𝑥−(−25)
4
，
解得𝑥= −9，
此时点P 在数轴上表示的数为−9−8 = −17，
设点C 和点𝑃相遇时，点C 在数轴上表示的数为y，
根据题意可得
−9−𝑦
6
=
𝑦−(−17)
4
，
解得𝑦= −13.8，
∴点C 再次与点𝑃相遇时，点C 在数轴上表示的数．
【变式13-3】（25-26 七年级上·辽宁·期末）已知|𝑎+ 16| + (𝑏−20)2 = 0．如图1，在数轴上有A、B、C 三
个点，且A、B、C 三点所表示的数分别是a、b、-21．有两条动线段𝑃𝑄和𝑀𝑁（点Q 与点A 重合，点N 与
点B 重合，且点P 在点Q 的左边，点M 在点N 的左边），𝑃𝑄= 4，𝑀𝑁= 8，若线段𝑀𝑁以每秒1 个单位
的速度从点B 开始沿数轴向左匀速运动，同时线段𝑃𝑄以每秒3 个单位的速度从点A 开始沿数轴向右匀速运
动，设运动时间为t 秒（整个运动过程中，线段𝑃𝑄和𝑀𝑁长度保持不变）．
(1)直接依次写出a、b 的值：𝑎= _____，𝑏= _____；
(2)如图2，当点Q 运动到点B 时，线段𝑃𝑄立即以相同的速度返回，当点P 运动到点C 时，线段𝑃𝑄、𝑀𝑁同
时停止运动，t 为何值时点Q 与点M 之间的距离为3 个单位长度；
(3)如图3，当两条线段有重合部分时，线段𝑃𝑄的速度变为原来的
4
3倍，线段𝑀𝑁的速度变为原来的2 倍，当
重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段𝑃𝑄和𝑀𝑁重合部分长度为1 时所对应的t 的值．
【答案】(1)−16，20
(2)点Q 与点M 之间的距离为3 个单位长度时，t 的值为
31
4 或
25
4 或
41
2 或
47
2
(3)t 为
43
6 或
53
6 或
33
2 或22
【分析】（1）根据等式|𝑎+ 16| + (𝑏−20)2 = 0，即可得到a、b 的值；
（2）首先分析可知，在点Q 到达点B 之前是相遇问题，利用代数式表示点的位置，结合点Q 与点M 之间
的距离为3 个单位长度利用含绝对值的一元一次方程进行求解，并判断此时t 是否符合题意即可；在点Q
从点B 返回是追及问题，同样的利用代数式表示点的位置，结合点Q 与点M 之间的距离为3 个单位长度利
用含绝对值的一元一次方程进行求解，并判断此时t 是否符合题意即可；
（3）首先利用相遇问题求解相遇的时间，再根据速度变化后重合长度为1 时计算这部分需要的时间，即为
总时间，注意会有两种情况重合长度为1；之后发现追及问题也满足，即求解追及的时间，再根据速度变化
后重合长度为1 时计算这部分需要的时间，即为总时间，注意会有两种情况重合长度为1．
【详解】（1）解：∵|𝑎+ 16| + (𝑏−20)2 = 0，
∴|𝑎+ 16| = 0，(𝑏−20)2 = 0，即𝑎+ 16 = 0，𝑏−20 = 0，
∴𝑎= −16，𝑏= 20，
故答案为：−16，20；
（2）解：当点Q 从点A 出发到达点B 时，即0 ≤𝑡≤12，
∵点Q 与点A 重合，
∴点Q 运动过程中的位置为−16 + 3𝑡，
∵点N 与点B 重合，𝑀𝑁= 8，
∴点M 运动过程中的位置为12−𝑡，
∵点Q 与点M 之间的距离为3 个单位长度，
∴|−16 + 3𝑡−(12−𝑡)| = 3，解得：𝑡=
31
4 或𝑡=
25
4 ，
∵0 ≤𝑡≤12，
∴𝑡=
31
4 或𝑡=
25
4 ；
当点Q 从点B 出发返回，点P 到达点C 停止时，即12＜𝑡≤
20−(−17)
3
+12 =
73
3 ，
∵点Q 到达点B 需要的时间为：
20−(−16)
3
= 12，此时点M 的位置所表示的数为0，
∴点Q 从点B 出发返回，点M 进入负半轴，
∴点Q 返回过程中的位置为20−3(𝑡−12)，点M 运动过程中的位置为−(𝑡−12)，
∵点Q 与点M 之间的距离为3 个单位长度，
∴|20−3(𝑡−12)−−(𝑡−12) | = 3，解得：𝑡=
41
2 或𝑡=
47
2 ，
∵12 ≤𝑡≤
73
3 ，
∴𝑡=
41
2 或𝑡=
47
2 ；
故：点Q 与点M 之间的距离为3 个单位长度时，t 的值为
31
4 或
25
4 或
41
2 或
47
2 ；
（3）解：当点Q 与点M 相遇时，如图，
∴相遇时间为：[20−(−16)−8] ÷ (3 + 1) = 7，
此时点Q 与点M 位于：−16 + 7 × 3 = 5，
∴点P 位于1，点N 位于13，
当点Q 位于点M 右侧一个单位长度时，如图，
∴用时为：1 ÷ 3 ×
4
3 + 1 × 2 =
1
6，
∴共用时：7 +
1
6 =
43
6 ；
当点P 位于点N 左侧一个单位长度时，如图，
∴用时为：(13−1−1) ÷ 3 ×
4
3 + 1 × 2 =
11
6 ，
∴共用时：7 +
11
6 =
53
6 ；
当点P 与点N 相遇时，如图，
∴用时为：12 ÷ 3 ×
4
3 + 1 × 2 = 2，
∴共用时：7 + 2 = 9，
此时点Q 位于：3 × 7 + 4 × 2−16 = 13，
∴点P、N 位于：9，点M 位于：1，
当点Q 到达点B 时，用时为：(20−13) ÷ 3 =
7
3，
此时点N 位于：9−1 ×
7
3 =
20
3 ，点P 位于：16，
∴共用时：9 +
7
3 =
34
3 ，
当点P 追上点N 时，如图，
∴用时为：16−
20
3
÷ (3−1) =
14
3 ，
∴共用时：
34
3 +
14
3 = 16，
当点P 位于点N 左侧一个单位长度时，如图，
∴用时为：1 ÷ 3 ×
4
3 −1 × 2 =
1
2，
∴共用时：16 +
1
2 =
33
2 ；
当点M 位于点Q 左侧一个单位长度时，如图，
∴用时为：(12−1) ÷ 3 ×
4
3 −1 × 2 =
11
2 ，
∴共用时：
33
2 +
11
2 = 22；
综上所述：时间t 为
43
6 或
53
6 或
33
2 或22．
【点睛】本题主要考查相遇、追及问题，一元一次方程的应用，运用数轴表示点代表的数，再结合相遇、
追及问题解答是解题的关键．
方法技巧2：数轴上挡板与往返问题
一个较高速度的动点不断在两低速动点间往返运动，两低速动点相遇时，高速度动点随之停止，在这个运
动过程中，虽然不能清晰的分析出这里的运动状态，但是我们可以通过两低速动点相遇时所花费的时间来
得到高速动点的运动时间，结合其速度求出它的运动路程。
【题型14 数轴上挡板与往返问题】
【例14】如图在数轴上A 点表示数a，B 点表示数b，𝑎、𝑏满足|𝑎+ 3| + |𝑏−7| = 0．
(1)点A 表示的数为______；点B 表示的数为______；
(2)若在原点O 处放一挡板，一小球甲从点A 处以1 个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处
以2 个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方
向运动，设运动的时间为t（秒）．
①当𝑡= 1时，甲小球到原点的距离= ______，乙小球到原点的距离= ______；当𝑡= 4时，甲小球到原点
的距离= ______；乙小球到原点的距离= ______；
②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小
球到原点的距离相等时经历的时间．
【答案】(1)−3，7
(2)①4，5；7，1；②能，𝑡=
4
3或10 秒时，甲，乙两球到原点的距离相等
【分析】本题主要考查了数轴，一元一次方程的应用，绝对值的非负性．
（1）根据非负数的性质列方程求出a、b 的值，从而得解；
（2）①根据运动时间确定出运动的单位数，即可得出结论；②根据0 < 𝑡≤
7
2，𝑡>
7
2，根据甲、乙两小球
到原点的距离相等列出关于t 的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：（1）∵|𝑎+ 3| + |𝑏−7| = 0．
∴𝑎+ 3 = 0,𝑏−7 = 0，
解得：𝑎= −3,𝑏= 7，
∴点A 表示的数为−3，点B 表示的数为7，
故答案为：−3，7；
（2）解：①当𝑡= 1时，
∵小球甲从点A 处以1 个单位/秒的速度向左运动，
∴甲小球1 秒钟向左运动1 个单位，此时，甲小球到原点的距离= |−3−1| = 4，
∵小球乙从点B 处以2 个单位/秒的速度也向左运动，
∴乙小球1 秒钟向左运动2 个单位，此时，乙小球到原点的距离= |7−2| = 5，
当𝑡= 4时，
∵小球甲从点A 处以1 个单位/秒的速度向左运动，
∴甲小球4 秒钟向左运动4 个单位，此时，甲小球到原点的距离= |−3−4| = 7，
∵小球乙从点B 处以2 个单位/秒的速度也向左运动，
∴乙小球4 秒钟向左运动7个单位，运动了7 ÷ 2 =
7
2秒，此时，碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动
4−
7
2 =
1
2秒钟，运动
1
2 × 2 = 1个单位，
∴乙小球到原点的距离= 1．
故答案为：4，5；7，1；
②当0 < 𝑡≤
7
2，时，小球甲和小球乙都是在向左运动，小球甲与原点的距离为：|−3−𝑡| = 3 + 𝑡，
小球乙与原点的距离为：7−2𝑡，得：3 + 𝑡= 7−2𝑡，
解得：𝑡=
4
3；
当𝑡>
7
2时，小球甲然是在向左运动，小球乙向右运动，小球甲与原点的距离为：|−3−𝑡| = 3 + 𝑡，
小球乙与原点的距离为：2 𝑡−
7
2 = 2𝑡−7，得：3 + 𝑡= 2𝑡−7，
解得：𝑡= 10．
故当𝑡=
4
3或10 秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．
【变式14-1】（25-26 七年级上·山东济南·期中）我们知道：如果A 、B 两点在数轴上对应的数分别为𝑥1、
𝑥2，C 为线段𝐴𝐵的中点，则点C 在数轴上对应的数x 可以表示为𝑥=
𝑥1+𝑥2
2
，已知M、N 两个点对应的数分
别为−1和2．
(1)如图1，两个点同时出发沿着数轴运动，点M 向左运动，点N 向右运动，M、N 的速度分别每秒4 个单
位长度和2 个单位长度，若t 秒后它们之间的距离为15 个单位长度，求t 的值；
(2)如图2，两个点出发沿着数轴运动，点M 比点N 晚出发1 秒，点M 向右运动，点N 向左运动，M、N 的
速度分别每秒1 个单位长度和2 个单位长度，求点N 出发几秒后“−3”为𝑀𝑁的中点；
(3)如图3，三个定点P 、Q、H 在数轴上对应的数分别为−8、8 和4，M、N 两个点同时出发沿着数轴运动，
点M 向左运动，点N 向右运动，速度分别每秒1 个单位长度和2 个单位长度．当M 到达点P 时返回，N 到
达点Q 时返回，直到M、N 相遇时停止运动，且 M 返回时速度变为每秒2 个单位长度，N 返回时速度变为
每秒1 个单位长度．在M、N 出发的同时，动点K 也从点P 出发沿着数轴以4 个单位每秒的速度向右运动，
到H 点时停止运动，求M、N 从开始出发到M、N 相遇的整个运动过程中，M、N、K 其中一个点分别为另
外两个点为端点的线段中点时对应的时间t（写出计算过程）．
【答案】(1)𝑡= 2
(2)𝑡= 6
(3)𝑡=
1
2或
17
7 或 10
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，采用分类讨
论的思想是解此题的关键．
（1）由题意可得：点 M，N 对应的数是−1−4𝑡，2 + 2𝑡，再根据t 秒后它们之间的距离为 15 个单位长度，
列出一元一次方程，解方程即可得解；
（2）由题意可得点 M，N 对应的数是−1 + (1−𝑡)，2−2𝑡，再根据“−3”为𝑀𝑁的中点列出一元一次方程，解
方程即可得解；
（3）当0 < 𝑡≤3时，点M，N，K 对应的数是−1−𝑡，2 + 2𝑡，−8 + 4𝑡，根据题意列出一元一次方程，解方
程即可；之后点K 在H 处，点N 返回，点M 继续向P 点运动，当点M 与点P 重合时，点N 返回并与点H
重合，点M，N 继续运动所对应的数是−8 + 2𝑡′，4−𝑡′，同理列出一元一次方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：点M，N 对应的数是−1−4𝑡，2 + 2𝑡，
则：2 + 2𝑡−(−1−4𝑡) = 15，
解得：𝑡= 2；
（2）解：由题意可得：点M，N 对应的数是−1 + (𝑡−1)(𝑡≥1)，2−2𝑡(𝑡≥0)，
当0 ≤𝑡< 1时，两点都在−3表示的点右边，此时不可能“−3”为𝑀𝑁的中点，故𝑡≥1，
则
−1+(𝑡−1)+2−2𝑡
2
= −3
∴𝑡= 6．
∴点N 出发6 秒后“−3”为𝑀𝑁的中点；
（3）解：当0 < 𝑡≤3时，点M，N，K 对应的数是−1−𝑡，2 + 2𝑡，−8 + 4𝑡，
当点M 是中点时，
2+2𝑡+(−8+4𝑡)
2
= −1−𝑡，
∴𝑡=
1
2；
当点K 时中点时，
−1−𝑡+2+2𝑡
2
= −8 + 𝑡，
∴𝑡=
17
7 ．
之后点K 在H 处，点N 返回，点M 继续向P 点运动，当点M 与点P 重合时，点N 返回并与点H 重合，
点M，N 继续运动所对应的数是−8 + 2𝑡′，4−𝑡′，
当点N 为中点时，
−8+2𝑡′+4
2
= 4−𝑡′，
∴𝑡′ = 3，
∴𝑡= −1−(−8) +3 = 10．
所以𝑡=
1
2或
17
7 或 10．
【变式14-2】（24-25 七年级上·江苏镇江·期中）如图已知数轴上点A、B 分别表示𝑎、𝑏，且|𝑏+ 6|与（𝑎−9
)2互为相反数，O 为原点． 若电子蚂蚁M、N 分别从点A、B 同时出发，点M 以每秒1 个单位长度的速度
沿数轴向左匀速运动，点N 以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
(1)𝑎= ，𝑏= ；
(2)若电子蚂蚁N 向右运动遇到电子蚂蚁M 就会按原速返回，返回至点B 后立刻原速向右运动，遇到电子蚂
蚁M 就会按原速返回，返回至点B 后立刻原速向右运动……，循环运动一直到电子蚂蚁M 运动到点B 处结
束，此时电子蚂蚁N 的运动路程为 ；
(3)电子蚂蚁N 到点A 后立刻按原来的速度改变方向向左运动，设运动时间为𝑡(𝑡>0)秒．
①求t 为何值时，电子蚂蚁M、N 与A 的距离相同；
②求t 为何值时，电子蚂蚁M 与N 相距4 个单位长度，直接写出答案．
【答案】(1)9；−6
(2)30
(3)①5 或15；②
11
3 或
19
3 或11 或19
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、数轴，解题关键是要读懂题目的意思，在解答第(3)问注意
分类思想的运用．
（1）根据非负数的性质即可求解；
（2） 根据路程= 速度× 时间可求点N 的运动路程；
（3）①先根据题意用含t 的式子把点M、点N 表示的数表示出来，分两种情况：Ⅰ蚂蚁N 向右运动时，Ⅱ
蚂蚁N 到点A 后按原来的速度改变方向向左运动时，再列方程求解即可；
②方法同①．
【详解】（1）解：依题意有|𝑏+ 6| + (𝑎−9)2 = 0，
∴𝑏+ 6 = 0，𝑎−9 = 0，
解得𝑎= 9，𝑏= −6；
故答案为：9；−6；
（2）解：∵点A、B 分别表示𝑎、𝑏，𝑎= 9，𝑏= −6，
∴𝐴𝐵= 9−(−6) = 15，
∴𝑁的运动路程为：2 × (15 ÷ 1) = 30，
故答案为：30；
（3）解：蚂蚁N 从点B 到点A 所需的时间为15 ÷ 2 = 7.5s，
①Ⅰ蚂蚁N 向右运动时，点N 表示的数为：−6 + 2𝑡，𝐴𝑁= 9−(−6 + 2𝑡) = 15−2𝑡，
点M 以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动时，点M 表示的数为：9−𝑡， 𝐴𝑀= 9−(9−𝑡) = 𝑡，
由题意得15−2𝑡= 𝑡，
解得𝑡= 5；
Ⅱ蚂蚁N 到点A 后按原来的速度改变方向向左运动时，
点N 表示的数为：9−2(𝑡−7.5) = 24−2𝑡，
由题意得24−2𝑡= 9−𝑡，
解得𝑡= 15；
综上所述，t 为5 或15 时，电子蚂蚁M、N 与A 的距离相同；
②Ⅰ蚂蚁N 向右运动时，点N 表示的数为：−6 + 2𝑡，
点M 以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动时，
点M 表示的数为：9−𝑡，
∴𝑀𝑁= |−6 + 2𝑡−(9−𝑡)| = |−15 + 3𝑡| = 4，
∴−15 + 3𝑡= 4或−15 + 3𝑡= −4，
解得𝑡=
19
3 或𝑡=
11
3 ；
Ⅱ蚂蚁N 到点A 后按原来的速度改变方向向左运动时，
点N 表示的数为：9−2(𝑡−7.5) = 24−2𝑡，
∴𝑀𝑁= |24−2𝑡−(9−𝑡)| = |15−𝑡| = 4，
∴15−𝑡= 4或15−𝑡= −4，
解得𝑡= 11或𝑡= 19；
综上所述，电子蚂蚁M 与N 相距4 个单位长度时，t 为
11
3 或
19
3 或11 或19．
【变式14-3】（24-25 七年级上·浙江金华·期中）如图，A、B 两点在数轴上对应的数分别为−20、40，C 点
在A、B 之间．在A、B、C 三点处各放一个挡板，M、N 两个小球都同时从C 处出发，M 向数轴负方向运
动，N 向数轴正方向运动，碰到挡板后则向反方向运动，一直如此下去（当N 小球第二次碰到B 挡板时，
两球均停止运动）．
(1)若两个小球的运动速度相同，当M 小球第一次碰到A 挡板时，N 小球也刚好第一次碰到B 挡板，求C 点
所对应的数；
(2)若点C 所表示的数为25，M、N 小球的运动速度分别为2 个单位/秒，3 个单位/秒，则N 小球前三次碰
到挡板的时间依次为a、b、c 秒钟，设两个球的运动时间为t 秒钟．
①请直接写出下列时间段内N 小球所对应的数（用含t 的代数式表示）：
当0 ≤𝑡≤𝑎时，N 小球对应的数为 ；当𝑎< 𝑡≤𝑏时，N 小球对应的数为 ；当𝑏< 𝑡≤𝑐时，N 小球对应的
数为 ；
②当M、N 两个小球的距离等于30 时，求t 的值．
(3)若点C 所表示的数为25，移走A、B、C 三处的挡板，点P 从A 点出发，以6 个单位/秒的速度沿数轴向
右运动，同时点Q 从B 点出发，以4 个单位/秒的速度沿数轴向左运动．已知E 为𝐴𝑃中点，点F 在线段BQ
上，且𝑄𝐹=
1
4𝐵𝑄，问出发多少秒后，点E 到点F 的距离是点E 到原点O 的距离的4 倍？
【答案】(1)C 点所对应的数为10
(2)①25 + 3𝑡；55−3𝑡；3𝑡−5；②𝑡= 12秒
(3)
10
3 或
70
9
【分析】本题考查了列代数式问题，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，有一定难度，运用数形
结合思想是解题的关键．
（1）设C 点表示的数为c，根据小球行驶的路程相等列出c 的方程进行解答便可；
（2）①根据某点表示的数加上从这点向右运动的路程，便为运动后的点表示的数；某点表示的数减去从这
点向左运动的路程，便为运动后的点表示的数进行计算便可得出结果；
②结合①中三种情况，根据题意分别列出方程求得符合条件的t 值便可；
（3）设P、Q 运动时间为t 秒，则P 点对应的数为：−20 + 6𝑡，Q 点对应的数为：40−4𝑡，点E 对应的数
为：−20 + 3𝑡，点F 对应的数为：40−3𝑡，根据两点间的距离公式和“点E 到点F 的距离是点E 到原点O 的
距离的4 倍”列出方程并解答．
【详解】（1）解：设C 点所对应的数为c，
根据题意，可知：𝑐−(−20) = 40−𝑐，
解得：𝑐= 10，
则点C 对应的数为10．
（2）解：①根据题意得：当0 < 𝑡≤𝑎时，N 小球对应的数为25 + 3𝑡，
当𝑎< 𝑡≤𝑏时，N 小球对应的数为40−3(𝑡−5) = 55−3𝑡，
当𝑏< 𝑡≤𝑐时，N 小球对应的数为25 + 3(𝑡−10) = 3𝑡−5．
故答案为：25 + 3𝑡；55−3𝑡；3𝑡−5；
②设M、N 运动时间为t 秒，由题意可知在15 秒内，𝑁先到挡板𝐵
若0 ≤𝑡≤5，则M 点对应的数为：25−2𝑡，N 点对应的数为：25 + 3𝑡
∴𝑀𝑁= (25 + 3𝑡)−(25−2𝑡) = 30,𝑡= 6 (不合题意舍去)
若5 < 𝑡≤10，则M 点对应的数为：25−2𝑡，N 点对应的数为：55−3𝑡，
𝑀𝑁= (55−3𝑡)−(25−2𝑡) = 30，
解得：𝑡= 0 (不合题意，舍去)．
若10 < 𝑡≤15，则M 点对应的数为：25−2𝑡，N 点对应的数为：3𝑡−5，
𝑀𝑁= (3𝑡−5)−(25−2𝑡) = 30，
解得：𝑡= 12．
综上：当M、N 两个小球的距离等于30 时，𝑡= 12秒．
（3）解：设P、Q 运动时间为t 秒，则P 点对应的数为：−20 + 6𝑡，Q 点对应的数为：40−4𝑡，
点E 对应的数为：
−20+(−20+6𝑡)
2
= −20 + 3𝑡，
点F 对应的数为：40−4𝑡+
1
4 × 4𝑡= 40−3𝑡，
∴𝐸𝐹= |−20 + 3𝑡−(40−3𝑡)| = |6𝑡−60|，𝐸𝑂= |−20 + 3𝑡|.
由题意可知：|6𝑡−60| = 4|−20 + 3𝑡|，
解得：𝑡=
10
3 或𝑡=
70
9 ，
故出发
10
3 或
70
9 秒后，𝐸𝐹= 4𝐸𝑂．
【题型15 数轴上的折叠问题】
【例15】（25-26 七年级上·海南海口·期中）数轴是数学中“数形结合”的核心工具，它将抽象的数与直观的
点一一对应．在折叠数轴的问题中，中点公式是解题的关键：若数轴上𝑎表示的点和𝑏表示的点重合，则这
两点的中点（折痕点）表示的数为
𝑎+𝑏
2 .我们可以把折叠想象成将数轴沿中点“对折”，此时重合的点到中点的
距离相等．下面请结合具体示例，深入理解这一工具的应用：
操作一：
（1）折叠纸面，若使1 表示的点与−1表示的点重合，则−3表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使2 表示的点与−6表示的点重合，回答以下问题：
①3 表示的点与 表示的点重合；
②若数轴上𝐴、𝐵两点之间距离为16（𝐴在𝐵的左侧），且𝐴、𝐵两点经折叠后重合，求𝐴、𝐵两点表示的数分
别是多少；
操作三：
（3）如图，在数轴上剪下9 个单位长度（从−3到6的）一条线段，并把这条线段沿某点折叠（如图①），
然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图②）．若这三条线段的长度之比从左到右依次为1:1:2（如
图③），请你求出折痕处对应的点所表示的数是多少．
【答案】（1）3；（2）①−7；②−10，6；（3）
3
8
【分析】本题考查了数轴、线段的和差、二元一次方程组和一元一次方程的应用等知识，熟练掌握数轴的
性质是解题关键．
（1）利用重合的数的平均数等于折痕数得出结果；
（2）根据2 表示的点与−6表示的点重合得出折痕处的数字是−2，依据折痕是−2，计算3 表示的点与−7重
合；
（3）利用三条线段的长度之比从左到右依次为1:1:2，设出每段的长，折痕表示的数，利用线段总长度的
9，求出未知量即可．
【详解】解：（1）∵折叠纸面，若使1 表示的点与−1表示的点重合，
∴折痕处表示的数是0，
∴−3表示的点与3 表示的点重合，
故答案为：3；
（2）∵使2 表示的点与−6表示的点重合，
∴折痕处表示的数是−2，
①∴折痕处表示的数是−2，
∴3表示的点与−7表示的点重合，
故答案为：−7，；
②设𝐴、𝐵两点表示的数分别是𝑥，𝑦，
∴
𝑦−𝑥= 16
𝑥+𝑦
2 = −2
，解得
𝑥= −10
𝑦= 6
，
∴𝐴、𝐵两点表示的数分别是−10，6；
（3）如图1，设折痕处对应的点所表示的数是𝑥，
∵𝐴𝐵:𝐵𝐶:𝐶𝐷= 1:1:2，
∵𝐴𝐷= 6−(−3) = 9，
设𝐴𝐵= 𝑎，𝐵𝐶= 𝑎，则𝐶𝐷= 2𝑎，
∴𝑎+ 𝑎+ 2𝑎= 9，
解得：𝑎=
9
4，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶=
9
4，
∴𝑥= −3 +
9
4 +
1
2 ×
9
4𝑥=
3
8，
∴折痕处对应的点所表示的数是
3
8．
【变式15-1】（24-25 七年级上·浙江金华·月考）数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条
数轴进行如下探究：
(1)折叠纸面，使数轴上表示3 的点与表示−3的点重合，则表示−1的点与表示 的点重合；
(2)折叠纸面，若使−2表示的点与4 表示的点重合：
①表示5 表示的点与 表示的点重合；
②若数轴上A，B 两点之间距离为6（点A 在B 的左侧），且A，B 两点经折叠后重合，则A，B 两点表示
的数是多少？
(3)如图2，在数轴上剪下表示−2和7 的两点间的一段纸带，并把纸带两端朝纸带的正中间处折叠，使表示−2
和7 的两点重合，则两条折痕处对应的点所表示的数是多少？
【答案】(1)1
(2)①−3；②−2，4；
(3)
1
4和
19
4 ．
【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确①数轴上折叠后重合的点到折
痕的距离相等，②数轴上任意两点的距离为两点对应的数的绝对值．
（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出−1与1重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为1，①设5 表示的点与数a 表示的点重合，根据对称性列式求出a 的值；②
根据数轴上A、B 两点之间距离为6 可得A 到折痕的点距离为3，由此得出A、B 两点表示的数；
（3）根据题意列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵数轴上表示3 的点与表示−3的点重合，
∴折痕为原点O，
∴−1表示的点与1表示的点重合，
故答案为：1；
（2）∵折叠纸面，若使−2表示的点与4 表示的点重合：
∴折痕表示的点为1，
①设5 表示的点与数a 表示的点重合，
则
𝑎+5
2 = 1，
解得：𝑎= −3；
故答案为：−3；
②∵数轴上A，B 两点之间距离为6（点A 在B 的左侧），且A，B 两点经折叠后重合，
则A、B 两点表示的数分别是1−3 = −2和1 + 3 = 4；
（3）由题意可得，−2 +
7−(−2)
4
=
1
4，7−
7−(−2)
4
=
19
4 ，
即两条折痕处对应的点所表示的数分别是
1
4和
19
4 ．
【变式15-2】（25-26 七年级上·浙江绍兴·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建
立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．某数学小组在一张白纸上画了一条数轴，点𝐴、𝐵、𝐶对应的
数分别为𝑎、𝑏、𝑐，且𝑎、𝑏满足|𝑎+ 6| + (𝑏−1)2 = 0，𝑐是16 的算术平方根．动点𝑃从点𝐴出发沿数轴以每
秒1 个单位长度的速度向右运动，设点𝑃运动的时间为𝑡秒(𝑡> 0)．
(1)填空：𝑎= ________，𝑏= ________，𝑐= ________，点𝑃在数轴上所表示的数为________（用含𝑡的代数
式表示）；
操作一：
(2)以点𝑃为折点，向右折叠数轴，使𝐴，𝐶两点重合，此时𝑃所表示的数为________，𝑡= ________；
操作二：
(3)以点𝑃为折点，向右折叠数轴，若折叠后𝐴，𝐶两点之间的距离为2，此时𝑡= ________；
操作三：
(4)以点P为折点，向右折叠数轴，再将第一次折叠后的数轴沿某点继续向右折叠一次，有没有这样的时间𝑡
使得𝐴，𝐶两点重合，且点𝐵与数轴上的数11 重合？若有，请求出符合条件的时间𝑡的最大值和最小值；若无，
请说明理由．
【答案】(1)−6；−1；4；−6 + 𝑡
(2)−1；5
(3)4 或6
(4)𝑡最小值为7，最大值为10
【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负性的性质，求一个数的算术平方
根，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据非负数的性质可求出a、b 的值，根据算术平方根的定义可得c 的值，再用点A 表示的数加上点P
运动的路程即可得到点P 表示的数；
（2）点P 为折叠前𝐴𝐶的中点，据此根据中点计算公式求解即可；
（3）分折叠后点A 在点C 左侧和折叠后点A 在点C 右侧两种情况，分别求出折叠后点C 表示的数，进而
根据中点计算公式求出点P 表示的数，则可得到答案；
（4）分P 在𝐴𝐵（不与点𝐵重合）上、P 在𝐵𝐶上、P 在点C 的右边三种情况，根据第二次折叠后C 与A 的
折痕，B 与11 的折痕是同一点列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵|𝑎+ 6| + (𝑏−1)2 = 0，|𝑎+ 6| ≥0，(𝑏−1)2 ≥0，
∴|𝑎+ 6| = (𝑏−1)2 = 0，
∴𝑎+ 6 = 0，𝑏−1 = 0，
∴𝑎= −6，𝑏= 1；
∵𝑐是16 的算术平方根，
∴𝑐= 4；
∵动点𝑃从点𝐴出发沿数轴以每秒1 个单位长度的速度向右运动，且点𝑃运动的时间为𝑡秒，
∴点P 表示的数为−6 + 𝑡；
（2）解：∵以点𝑃为折点，向右折叠数轴，使𝐴，𝐶两点重合，
∴点P 为折叠前𝐴𝐶的中点，
∴点P 表示的数为
−6+4
2
= −1，
∴−6 + 𝑡= −1，
∴𝑡= 5；
（3）解：当折叠后点A 在点C 左侧时，则折叠后点A 表示的数为4−2 = 2，
∴点P 表示的数为
−6+2
2
= −2，
∴−6 + 𝑡= −2，
解得𝑡= 4；
当折叠后点A 在点C 右侧时，则折叠后点A 表示的数为4 + 2 = 6，
∴点P 表示的数为
−6+6
2
= 0，
∴−6 + 𝑡= 0，
解得𝑡= 6；
综上所述，𝑡= 4或𝑡= 6；
（4）解：①当𝑃在线段𝐴𝐵上时（不与点𝐵重合），则第一次折叠后点A 的对应点𝐴′表示的数小于1 × 2−(−6)
= 8，若第二次折叠后𝐴′与点𝐶重合，折痕对应的数小于6，若点𝐵与11 重合，折痕为
1+11
2
= 6，故这种情
况不可能；
②当点𝑃在线段𝐵𝐶上时（包含𝐵，𝐶两点），如图，则1−(−6) = 7 ≤𝑡≤4−(−6) = 10，
∵点P 表示的数为−6 + 𝑡，
∴点𝐴′表示的数为2(−6 + 𝑡)−(−6) = −6 + 2𝑡
点𝐵′表示的数为2(−6 + 𝑡)−1 = 2𝑡−13
若点𝐶与点𝐴′重合，则第二次折痕表示的数为
−6+2𝑡+4
2
= 𝑡−1，
若点𝐵′与11 重合，则第二次折痕表示的数为
2𝑡−13+11
2
= 𝑡−1，折痕一致，
∴7 ≤𝑡≤10均符合题意；
③当点𝑃在点𝐶右侧时，如图，则𝑡> 10，
同理可得点𝐴′表示的数为−6 + 2𝑡，点𝐵′表示的数为2𝑡−13，点𝐶′表示的数为2(−6 + 𝑡)−4 = 2𝑡−16
若点𝐶′与点𝐴′重合，则第二次折痕表示的数为
−6+2𝑡+2𝑡−16
2
= 2𝑡−11，
若点𝐵′与11 重合，则第二次折痕表示的数为
2𝑡−13+11
2
= 𝑡−1，
则2𝑡−11 = 𝑡−1，
解得𝑡= 10（舍）
综上所述，符合条件的𝑡最小值为7，最大值为10．
【变式15-3】（25-26 七年级上·浙江宁波·期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），
操作一：
（1）折叠纸面，使表示的1 点与−1表示的点重合，则−3表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，使−1表示的点与3 表示的点重合，回答以下问题：
①6 表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B 两点之间距离为15，（A 在B 的左侧），且A、B 两点经折叠后重合，求A、B 两点表示
的数是多少？
操作三：
（3）在数轴上剪下9 个单位长度（从−1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某
处剪一刀得到三条线段（例如下图）．若这三条线段的长度之比为1:1:2，则折痕处对应的点所表示的数可
能是 ．（写出必要的分析过程或画出图形）
【答案】（1）3；（2）①−4；②𝐴点表示的数是−
13
2 ，𝐵点表示的数是
17
2 ；（3）
19
8 或
7
2或
37
8
【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、线段的和差、折叠的性质等知识，熟练掌握数轴的性质
是解题关键．
（1）设−3表示的点与𝑎表示的点重合，根据折痕点表示的数相同建立方程，解方程即可得；
（2）①设6 表示的点与数𝑏表示的点重合，根据折痕点表示的数相同建立方程，解方程即可得；
②设𝐴点表示的数是𝑚，则𝐵点表示的数是𝑚+ 15，根据折痕点表示的数相同建立方程，解方程可得𝑚的值，
由此即可得；
（3）如图（见解析），分三种情况：①𝐴𝐶:𝐶𝐷:𝐷𝐵= 1:1:2，②𝐴𝐶:𝐷𝐵:𝐶𝐷= 1:1:2和③𝐶𝐷:𝐷𝐵:𝐴𝐶= 1:1:2，
先求出𝐴𝐶,𝐶𝐷的长，再根据折叠的性质可得𝐶𝐸的长，然后根据数轴的性质列式计算即可得．
【详解】解：（1）设−3表示的点与𝑎表示的点重合，
由题意得：
−3+𝑎
2
=
−1+1
2 ，
解得𝑎= 3，
故答案为：3．
（2）①设6 表示的点与数𝑏表示的点重合，
由题意得：
6+𝑏
2 =
−1+3
2 ，
解得𝑏= −4，
故答案为：−4．
②设𝐴点表示的数是𝑚，则𝐵点表示的数是𝑚+ 15，
由题意得：
𝑚+𝑚+15
2
=
−1+3
2 ，
解得𝑚= −
13
2 ，
则𝑚+ 15 = −
13
2 +15 =
17
2 ，
综上，𝐴点表示的数是−
13
2 ，𝐵点表示的数是
17
2 ．
（3）①如图1，得到的三条线段𝐴𝐶:𝐶𝐷:𝐷𝐵= 1:1:2，
∵𝐴𝐵= 8−(−1) = 9，
∴𝐴𝐶= 𝐶𝐷=
1
1+1+2 × 9 =
9
4，
由折叠的性质得：𝐶𝐸=
1
2𝐶𝐷=
9
8，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐸=
27
8 ，
∴此时折痕处对应的点(𝐸)所表示的数为−1 +
27
8 =
19
8 ；
②如图2，得到的三条线段𝐴𝐶:𝐷𝐵:𝐶𝐷= 1:1:2，
∵𝐴𝐵= 8−(−1) = 9，
∴𝐴𝐶=
1
1+1+2 × 9 =
9
4，𝐶𝐷=
2
1+1+2 × 9 =
9
2，
由折叠的性质得：𝐶𝐸=
1
2𝐶𝐷=
9
4，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐸=
9
2，
∴此时折痕处对应的点(𝐸)所表示的数为−1 +
9
2 =
7
2；
③如图3，得到的三条线段𝐶𝐷:𝐷𝐵:𝐴𝐶= 1:1:2，
∵𝐴𝐵= 8−(−1) = 9，
∴𝐴𝐶=
2
1+1+2 × 9 =
9
2，𝐶𝐷=
1
1+1+2 × 9 =
9
4，
由折叠的性质得：𝐶𝐸=
1
2𝐶𝐷=
9
8，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐸=
45
8 ，
∴此时折痕处对应的点(𝐸)所表示的数为−1 +
45
8 =
37
8 ；
综上，折痕处对应的点所表示的数可能是
19
8 或
7
2或
37
8 ，
故答案为：
19
8 或
7
2或
37
8 ．
【题型16 数轴与有理数的多结论问题】
【例16】（25-26 七年级上·四川达州·期末）有理数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑在数轴上的对应点的位置如图所示．则在下
列选项中，正确个数是（ ）
①若𝑎𝑐= 0，则𝑏𝑑< 0
②若|𝑐| = 2，|𝑑| = 3，则𝑑−𝑐= 1或𝑑−𝑐= 5
③若𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0且𝑎𝑏𝑐≠0，则
𝑏+𝑐
|𝑎| +
2(𝑎+𝑐)
|𝑏|
+
3(𝑎+𝑏)
|𝑐|
= 0
④若𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒为一个五位自然数，则|𝑎−𝑏| + |𝑏−𝑐| + |𝑐−𝑑| + |𝑑−𝑒|的最大值是17
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减，正确通过数轴判断绝对值符号里式子的正负是解题的关
键．利用数轴可得𝑎< 𝑏< 𝑐< 𝑑，再根据每项的关键信息，逐一判断各项对错即可解答．
【详解】解：①若𝑎𝑐= 0，则𝑎= 0或𝑐= 0，
当𝑎= 0时，0 < 𝑏< 𝑑，则𝑏𝑑> 0，
当𝑐= 0时，𝑏< 0 < 𝑑，则𝑏𝑑< 0，故①不正确；
②若|𝑐| = 2，|𝑑| = 3，由图可知𝑐< 𝑑，则
𝑐= −2
𝑑= 3
或
𝑐= 2
𝑑= 3
，
当
𝑐= −2
𝑑= 3
时，𝑑−𝑐= 3−(−2) = 5，
当
𝑐= 2
𝑑= 3
时，𝑑−𝑐= 3−2 = 1，故②正确；
③∵𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，
∴𝑎+ 𝑏= −𝑐，𝑎+ 𝑐= −𝑏，𝑏+ 𝑐= −𝑎，
则
𝑏+𝑐
|𝑎| +
2(𝑎+𝑐)
|𝑏|
+
3(𝑎+𝑏)
|𝑐|
=
−𝑎
|𝑎| +
−2𝑏
|𝑏| +
−3𝑐
|𝑐| ，
∵𝑎𝑏𝑐≠0，
∴𝑎，𝑏，𝑐为一负二正或两负一正，
其中两种情况为𝑎< 0，0 < 𝑏< 𝑐或𝑎< 𝑏< 0，𝑐> 0，
当𝑎< 0，0 < 𝑏< 𝑐时
−𝑎
|𝑎| +
−2𝑏
|𝑏| +
−3𝑐
|𝑐| = 1−2−3 = −4，
当𝑎< 𝑏< 0，𝑐> 0时
−𝑎
|𝑎| +
−2𝑏
|𝑏| +
−3𝑐
|𝑐| = 1 + 2−3 = 0，故③不正确；
④∵𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒为一个五位自然数，由数轴可得𝑎< 𝑏< 𝑐< 𝑑，𝑒≥0，
则|𝑎−𝑏| + |𝑏−𝑐| + |𝑐−𝑑| + |𝑑−𝑒|
= 𝑏−𝑎+ 𝑐−𝑏+ 𝑑−𝑐+ |𝑑−𝑒|
= 𝑑−𝑎+ |𝑑−𝑒|
当𝑑= 9，𝑒= 0，𝑎= 1时𝑑−𝑎+ |𝑑−𝑒|取最大值为17，故④正确；
∴正确的有②④；
故选B．
【变式16-1】（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知A，B（𝐵在𝐴的左侧）是数轴上的两点，点𝐴
对应的数为4，且𝐴𝐵= 6，动点𝑃从点𝐴出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点𝑃的运动过
程中，M，N 始终为𝐴𝑃，𝐵𝑃的中点，设运动时间为𝑡(𝑡> 0)秒，则下列结论中正确个数是（ ）
①𝑡= 3时，点𝑃运动到点𝐵；②𝐵𝑃= 2时，𝑡= 2；③在点𝑃的运动过程中，线段𝑀𝑁的长度不变．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，两点之间的距离，线段中点，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关
键．
先求出点𝐵对应的数，再求出𝑡= 3时对应的点𝑃的位置即可判断①；②分两种情况，点𝑃在点𝐵的右侧，点𝑃
在点𝐵的左侧，由题意求出𝐴𝑃的长，再利用路程除以速度即可；③分两种情况，点𝑃在点𝐵的右侧，点𝑃在点
𝐵的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【详解】解：∵点A 对应的数为4，且𝐴𝐵= 6，𝐵在𝐴的左侧，
∴点𝐵对应的数是4−6 = −2，
由题意得：4−2 × 3 = −2，
∴𝑡= 3时，点𝑃到达点𝐵，故①正确；
②分两种情况：当点𝑃在点𝐵的右侧，
∵𝐴𝐵= 6,𝐵𝑃= 2，
∴𝐴𝑃= 𝐴𝐵−𝐵𝑃= 6−2 = 4，
∴4 ÷ 2 = 2，
∴𝐵𝑃= 2时，𝑡= 2；
当点𝑃在点𝐵的左侧，
∵𝐴𝐵= 6,𝐵𝑃= 2，
∴𝐴𝑃= 𝐴𝐵+ 𝐵𝑃= 6 + 2 = 8，
∴8 ÷ 2 = 4，
∴𝐵𝑃= 2时，𝑡= 4，
综上所述，𝐵𝑃= 2时，t = 2或4，故②错误；
③分两种情况：当点𝑃在点𝐵的右侧，
∵𝑀,𝑁分别为𝐴𝑃,𝐵𝑃的中点，
∴𝑀𝑃=
1
2𝐴𝑃,𝑁𝑃=
1
2𝐵𝑃，
∴𝑀𝑁= 𝑀𝑃+ 𝑁𝑃=
1
2𝐴𝑃+
1
2𝐵𝑃=
1
2(𝐴𝑃+ 𝐵𝑃) =
1
2𝐴𝐵= 3，
当点𝑃在点𝐵的左侧，
∵𝑀,𝑁分别为𝐴𝑃,𝐵𝑃的中点，
∴𝑀𝑃=
1
2𝐴𝑃,𝑁𝑃=
1
2𝐵𝑃，
∴𝑀𝑁= 𝑀𝑃−𝑁𝑃=
1
2𝐴𝑃−
1
2𝐵𝑃=
1
2(𝐴𝑃−𝐵𝑃) =
1
2𝐴𝐵= 3，
∴在点𝑃的运动过程中，线段𝑀𝑁的长度不变，故③正确．
所以，上述结论中正确的是①③．
故选：C．
【变式16-2】（24-25 七年级上·河南郑州·期中）有下列说法：
①已知a，b，c 是不为0 的有理数且𝑎𝑏𝑐> 0，则
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏+
|𝑐|
𝑐−3的值为−4或0．
②若P 和Q 都是关于x 的五次多项式，则𝑃+ 𝑄也是关于x 的五次多项式．
③如果定义{𝑎,𝑏} =
𝑎+ 𝑏(𝑎> 𝑏)
0(𝑎= 𝑏)
𝑏−𝑎(𝑎< 𝑏)
，当𝑎𝑏< 0，𝑎+ 𝑏< 0，|𝑎| > |𝑏|时，{𝑎,𝑏}的值为𝑏−𝑎．
④若有理数a，b，c 在数轴上对应的三点如图所示：则化简|𝑎−𝑏|−|𝑐+ 𝑏| + |𝑎−𝑐|的结果为−2𝑏．其中正确
的说法是（ ）
A．①②
B．②③
C．②③④
D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查有理数的运算，整式的加减，化简绝对值，根据有理数的乘法法则，得到𝑎,𝑏,𝑐均为正，
或𝑎,𝑏,𝑐的符号为两负一正，进行求解，判断①，根据整式的加减运算法则，判断②，根据有理数的运算法
则，判断𝑎,𝑏的大小关系，判断③，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简绝对值即可．
【详解】解：∵a，b，c 是不为0 的有理数且𝑎𝑏𝑐> 0，
∴𝑎,𝑏,𝑐均为正，或𝑎,𝑏,𝑐的符号为两负一正，
当𝑎,𝑏,𝑐均为正时，原式= 1 + 1 + 1−3 = 0；
当𝑎,𝑏,𝑐的符号为两负一正时，原式= −1−1 + 1−3 = −4；故①正确；
P 和Q 都是关于x 的五次多项式，则𝑃+ 𝑄不一定是关于x 的五次多项式，例如，𝑃:−𝑥5 +3，𝑄:𝑥5 +2，则：
𝑃+ 𝑄= 5，不是关于x 的五次多项式，故②错误；
∵𝑎𝑏< 0，𝑎+ 𝑏< 0，|𝑎| > |𝑏|，
∴𝑎< 0 < 𝑏，
∴{𝑎,𝑏} = 𝑏−𝑎；故③正确；
由数轴可知：𝑏< 0 < 𝑎< 𝑐，|𝑏| < 𝑐，
∴𝑎−𝑏> 0,𝑐+ 𝑏> 0,𝑎−𝑐< 0，
∴|𝑎−𝑏|−|𝑐+ 𝑏| + |𝑎−𝑐| = 𝑎−𝑏−𝑐−𝑏+ 𝑐−𝑎= −2𝑏；故④正确；
故选D．
【变式16-3】（24-25 七年级上·广东江门·月考）若点𝐴、𝐵在数轴上代表的数为𝑎、𝑏，则𝐴、𝐵两点之间的距
离𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|，则下列说法：
①数轴上表示𝑥和−1的两点之间的距离是|𝑥−1|；
②若𝐴𝐵= 3，点𝐵表示的数是2，则点𝐴表示的数是1；
③当𝑥= 3时，代数式|𝑥+ 1| + |𝑥−3| + |𝑥−5|有最小值为6；
④当代数式|𝑥+ 2| + |𝑥−2|取最小值时，𝑥的取值范围是−2 ≤𝑥≤2；
⑤三个不同的点𝐴，𝐵，𝐶在数轴上代表的数分别为𝑎，𝑏，𝑐，若|𝑎−𝑏| + |𝑐−𝑎| = |𝑏−𝑐|，则点𝐴位于𝐵，𝐶两
点之间．
其中说法正确的个数有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义的应用，根据绝对值的几何意义逐一判断每个说法的对错即
可，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键．
【详解】①数轴上表示𝑥和−1的两点之间的距离是|𝑥−(−1)| = |𝑥+ 1|，故①错误；
②设点𝐴表示数𝑎，
∵点𝐵表示的数是2，
∴𝐴𝐵= |𝑎−2|，
∵𝐴𝐵= 3，
∴|𝑎−2| = 3，
解得:𝑎= 5或−1，
∴点𝐴表示的数是5或−1，故②错误；
③代数式代数式|𝑥+ 1| + |𝑥−3| + |𝑥−5|表示数轴上数𝑥对应的点到−1、3、5三个数对应点的距离之和，
∴当𝑥= 3时，|𝑥+ 1| + |𝑥−3| + |𝑥−5| = |3 + 1| + |3−3| + |3−5| = 4 + 0 + 2 = 6为最小值，故③正确；
④代数式|𝑥+ 2| + |𝑥−2|表示数𝑥对应点到数−2，2对应点的距离之和，
当数𝑥对应点在−2和2对应点之间时，这个距离之和最小，
∴当代数式|𝑥+ 2| + |𝑥−2|取最小值时，𝑥的取值范围是−2 ≤𝑥≤2，故④正确；
⑤ |𝑎−𝑏| + |𝑐−𝑎|表示点𝐴到点𝐵、𝐶的距离之和，|𝑏−𝑐|表示点𝐵与点𝐶之间的距离，
若|𝑎−𝑏| + |𝑐−𝑎| = |𝑏−𝑐|，则点𝐴位于𝐵，𝐶两点之间，故⑤正确；
综上可知：③④⑤正确，共3个，
故选：C．
【题型17 数轴上的新定义问题】
【例17】（25-26 七年级上·河南洛阳·期末）对于数轴上的𝐴，𝐵，𝐶三点，给出如下定义：若其中一个点与
其它两个点的距离恰好满足2 倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友谊点”．例如：数轴上点𝐴，𝐵，𝐶
所表示的数分别为1，3，4，此时点𝐵是点𝐴，𝐶的“友谊点”．
(1)若点𝐴，𝐶所表示的数分别为1，4，点𝐷，𝐸所表示的数分别为−2，5，那么点𝐴，𝐶的“友谊点”的是点________；
(2)若点𝐴表示数−5，点𝐵表示数20，𝑃为线段𝐴𝐵上一点，且点𝑃是点𝐴，𝐵的“友谊点”，求点𝑃表示的数．
【答案】(1)𝐷
(2)点𝑃表示的数为
10
3 或
35
3 ．
【分析】本题考查数轴上两点间的距离计算及新定义“友谊点”的应用，核心是根据定义建立距离的等量关系
求解．
（1）根据“友谊点”的定义，分别计算点𝐷、𝐸到点𝐴、𝐶的距离，判断是否满足2 倍数量关系即可；
（2）先设点𝑃表示的数为𝑥，结合𝑃在线段𝐴𝐵上得到𝑃𝐴、𝑃𝐵的表达式，再分“𝑃𝐴= 2𝑃𝐵”和“𝑃𝐵= 2𝑃𝐴”两种
情况列方程求解．
【详解】（1）解：∵点𝐴表示的数为1，点𝐶表示的数为4，点𝐷表示的数为−2，
∴𝐷𝐴= |1−(−2)| = 3，𝐷𝐶= |4−(−2)| = 6，
∵𝐷𝐶= 2𝐷𝐴，满足“友谊点”的定义，
∴点𝐷是点𝐴，𝐶的“友谊点”；
又∵点𝐸表示的数为5，𝐸𝐴= |5−1| = 4，𝐸𝐶= |5−4| = 1，4与1不满足2 倍数量关系，
∴点𝐸不是点𝐴，𝐶的“友谊点”；
故答案为：𝐷；
（2）解：设点𝑃表示的数为𝑥，
∵𝑃为线段𝐴𝐵上一点，点𝐴表示的数为−5，点𝐵表示的数为20，
∴−5 ≤𝑥≤20，𝑃𝐴= 𝑥−(−5) = 𝑥+ 5，𝑃𝐵= 20−𝑥．
根据“友谊点”的定义，分两种情况：
①当𝑃𝐴= 2𝑃𝐵时，𝑥+ 5 = 2(20−𝑥)，解得𝑥=
35
3 ；
②当𝑃𝐵= 2𝑃𝐴时，20−𝑥= 2(𝑥+ 5)，解得𝑥=
10
3 ；
综上，点𝑃表示的数为
10
3 或
35
3 ．
【变式17-1】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）综合与探究：
在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究．定义：点
𝐶在线段𝐴𝐵上，若𝐵𝐶= 2𝐴𝐶或𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，则称点𝐶是线段𝐴𝐵的“优点”，线段𝐴𝐶，𝐵𝐶称作互为“优点”伴侣线
段．
(1)观察判断
如图1，点𝐶为线段𝐴𝐵的“优点”．
①若𝐴𝐶= 8,𝐴𝐶< 𝐵𝐶，则𝐴𝐵= _____；
②若点𝐷也是线段𝐴𝐵的“优点”（不同于点𝐶），则𝐴𝐶_____𝐵𝐷（填“＝”或“≠”）；
(2)性质探究
如图2，在原点为𝑂的数轴上有𝐸,𝐹两点，其中𝐸点表示的数为1，𝐹点表示的数为4．若点𝑀在点𝑁的左侧，
且𝑀,𝑁均为线段𝑂𝐹的“优点”，求线段𝑀𝑁的长；
(3)拓展应用
在（2）的探究中，若点𝐺在线段𝐸𝐹的延长线上，且线段𝐸𝐹与𝐺𝐹互为“优点”伴侣线段，求点𝐺表示的数．
【答案】(1)①24；②=
(2)
4
3
(3)5.5 或10
【分析】本题考查数轴相关知识点，线段之间的数量关系，用数轴上点表示有理数，解答本题需要分类讨
论多种情况，解题的关键是读懂题中“优点”，“优点”伴侣线段的定义．
（1）①由𝐵𝐶= 2𝐴𝐶即可求解；②利用“优点”定义求出𝐵𝐷，𝐴𝐶与𝐴𝐵的数量关系即可；
（2）根据点M 在N 左侧，再由“优点”定义求解即可；
（3）根据点G 在线段𝐸𝐹的延长线上，可得出𝐸𝐹= 2𝐺𝐹或𝐺𝐹= 2𝐸𝐹，求解即可．
【详解】（1）解：①∵点C 为线段𝐴𝐵的“优点”，𝐴𝐶< 𝐵𝐶,𝐴𝐶= 8，
∴𝐵𝐶= 2𝐴𝐶= 16，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 24，
故答案为：24；
②如图，
∵点D 是线段𝐴𝐵的“优点”（不同于点𝐶），
∴𝐴𝐷= 2𝐵𝐷，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 2𝐵𝐷+ 𝐵𝐷= 3𝐵𝐷，即𝐵𝐷=
1
3𝐴𝐵
由①得𝐵𝐶= 2𝐴𝐶，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 𝐴𝐶+ 2𝐴𝐶= 3𝐴𝐶，即𝐴𝐶=
1
3𝐴𝐵
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐷，
故答案为：= ；
（2）解：如图，
∵点𝐹表示的数为4，
∴𝑂𝐹= 4，
当点𝑀在点𝑁左侧时，则𝑀𝐹= 2𝑂𝑀，𝑂𝑁= 2𝑁𝐹，
∴𝑂𝑀=
1
3𝑂𝐹,𝑁𝐹=
1
3𝑂𝐹，
∴𝑂𝑀= 𝑁𝐹=
1
3𝑂𝐹，
∴𝑀𝑁=
1
3𝑂𝐹，
∴𝑀𝑁=
4
3；
（3）解：∵点E 表示的数为1，点F 表示的数为4，
∴𝐸𝐹= 4−1 = 3，
线段𝐸𝐹,𝐺𝐹互为“优点”伴侣线段时，有𝐸𝐹= 2𝐺𝐹或𝐺𝐹= 2𝐸𝐹，
当𝐸𝐹= 2𝐺𝐹时，𝐺𝐹= 1.5，
∴点𝐺表示的数为4 + 1.5 = 5.5，
当𝐺𝐹= 2𝐸𝐹时，𝐺𝐹= 6，
∴点𝐺表示的数为4 + 6 = 10，
综上，点𝐺表示的数为5.5或10．
【变式17-2】（25-26 七年级上·辽宁抚顺·期末）定义：如图1，点C 在线段𝐴𝐵上，若𝐴𝐶= 5𝐵𝐶或
𝐵𝐶= 5𝐴𝐶，则称点C 是线段𝐴𝐵的“五美分点”．
【理解定义】
（1）若线段𝐴𝐵= 6，点C 是线段𝐴𝐵的“五美分点”，求线段𝐴𝐶的长度；
【定义应用】
（2）如图2，点D 在射线𝑂𝑀上，𝑂𝐷= 12，若点E，F 均为线段𝑂𝐷的“五美分点”，且𝑂𝐸< 𝑂𝐹，点G 为线
段𝐷𝐸的中点，求线段𝐹𝐺的长度；
【定义拓展】
（3）如图3，点D 在射线𝑂𝑀上，𝑂𝐷= 12．点P 从点O 出发，以每秒5 个单位长度的速度沿射线𝑂𝑀向右
运动，同时点Q 从点D 出发，以每秒2 个单位长度的速度也沿射线𝑂𝑀向右运动，运动时间为t 秒，点P 追
上点Q 时，两点同时停止运动，请问当P，D，Q 三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美分点”时，t
的值是多少？
【答案】（1）5 或1；（2）3；（3）
20
9 或
4
5或
18
7 或
18
5
【分析】（1）理解“五美分点”，再进行分类讨论，列式计算，即可作答．
（2）理解“五美分点”，结合𝑂𝐸< 𝑂𝐹，故𝑂𝐸=
1
6𝑂𝐷，𝑂𝐹=
5
6𝑂𝐷，因为𝑂𝐷= 12，所以𝑂𝐸= 2，𝑂𝐹= 10，
根据点G 为线段𝐷𝐸的中点，进行列式计算，即可作答．
（3）由题意得：𝑂𝑃= 5𝑡，𝑂𝑄= 12 + 2𝑡，当点P 追上点Q 时，时间为𝑡= 4；4 秒之内只存在点D 是线段
𝑃𝑄的“五美分点”或点P 是线段𝐷𝑄的“五美分点”，然后进行分类讨论且逐个情况作图，结合线段的和差关系
列方程，解方程，即可作答．
【详解】解：（1）∵点C 在线段𝐴𝐵上，
∴𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 𝐴𝐵，
∵点C 是线段𝐴𝐵的“五美分点”
∴𝐴𝐶= 5𝐵𝐶或𝐵𝐶= 5𝐴𝐶，
即𝐵𝐶=
1
5𝐴𝐶或𝐵𝐶= 5𝐴𝐶，
如答图1：
∴𝐴𝐶=
5
6𝐴𝐵或𝐴𝐶=
1
6𝐴𝐵，
又∵𝐴𝐵= 6，
∴𝐴𝐶=
5
6 × 6 = 5或𝐴𝐶=
1
6 × 6 = 1；
答：线段𝐴𝐶的长度为5 或1．
（2）解：∵点E，F 均为线段𝑂𝐷的“五美分点”，
∴𝑂𝐸=
1
6𝑂𝐷或𝑂𝐸=
5
6𝑂𝐷；𝑂𝐹=
1
6𝑂𝐷或𝑂𝐹=
5
6𝑂𝐷，
∵𝑂𝐸< 𝑂𝐹，
∴𝑂𝐸=
1
6𝑂𝐷，𝑂𝐹=
5
6𝑂𝐷，
∵𝑂𝐷= 12，
∴𝑂𝐸=
1
6 × 12 = 2，𝑂𝐹=
5
6 × 12 = 10，如答图2：
∴𝐷𝐸= 𝑂𝐷−𝑂𝐸= 10，𝐷𝐹= 𝑂𝐷−𝑂𝐹= 2，
∵G 为线段𝐷𝐸的中点，
∴𝐷𝐺=
1
2𝐷𝐸= 5，
∴𝐹𝐺= 𝐷𝐺−𝐷𝐹= 5−2 = 3；
答：线段𝐹𝐺的长度为3．
（3）由题意得：𝑂𝑃= 5𝑡，𝑂𝑄= 12 + 2𝑡，
∵当点P 追上点Q 时，𝑂𝑃= 𝑂𝑄，
∴5𝑡= 12 + 2𝑡，
解得：𝑡= 4；
∴4 秒之内只存在点D 是线段𝑃𝑄的“五美分点”或点P 是线段𝐷𝑄的“五美分点”
①如答图3，当点D 在线段𝑃𝑄上时
∵𝑂𝐷= 12，
∴𝑃𝐷= 𝑂𝐷−𝑂𝑃= 12−5𝑡，𝑃𝑄= 𝑂𝑄−𝑂𝑃= 12 + 2𝑡−5𝑡，
∵点D 是线段𝑃𝑄的“五美分点”
∴𝑃𝐷=
1
6𝑃𝑄或𝑃𝐷=
5
6𝑃𝑄，
∴12−5𝑡=
1
6(12 + 2𝑡−5𝑡)或12−5𝑡=
5
6(12 + 2𝑡−5𝑡)
解得：𝑡=
20
9 或𝑡=
4
5；
②如答图4，当点P 在线段𝐷𝑄上时
∵𝑂𝐷= 12，
则𝑃𝐷= 𝑂𝑃−𝑂𝐷= 5𝑡−12，𝐷𝑄= 𝑂𝑄−𝑂𝐷= 12 + 2𝑡−12 = 2𝑡，
∵点P 是线段𝐷𝑄的“五美分点”
∴𝐷𝑃=
1
6𝐷𝑄或𝐷𝑃=
5
6𝐷𝑄，
∴5𝑡−12 =
1
6 × 2𝑡或5𝑡−12 =
5
6 × 2𝑡，
解得：𝑡=
18
7 或𝑡=
18
5 ，
综上所述：t 的值是
20
9 或
4
5或
18
7 或
18
5 ．
【点睛】本题考查了列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程与几何应用，新定义，线段的和差关
系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式17-3】（25-26 七年级上·福建泉州·期末）定义：若数轴上三个点𝐴，𝐵，𝐶，满足𝐶𝐴= 2𝐶𝐵，则称点𝐶
是[𝐴,𝐵]的“倍点”．例如：数轴上点𝐴表示的数是−1，点𝐵表示的数是2，点𝐶表示的数是1，此时𝐶𝐴= 2，
𝐶𝐵= 1，则𝐶𝐴= 2𝐶𝐵，则称点𝐶是[𝐴,𝐵]的“倍点”．如图，已知数轴上的点𝑀表示的数是−3，点𝑁表示的数
是6．
(1)则原点𝑂____________[𝑀,𝑁]的“倍点”；（填“是”或“不是”）
(2)若点𝐷是[𝑁,𝑀]的“倍点”，求点𝐷表示的数；
(3)已知动点𝑃从点𝑀出发，以每秒1 个单位的速度沿数轴向左匀速运动；动点𝑄从点𝑁出发，以每秒4 个单
位长度的速度向左匀速运动，若点𝑃，点𝑄同时出发，设点𝑃的运动时间为𝑡（秒）．当点𝑄是[𝑀,𝑃]的“倍点”
时，求时间𝑡的值．
【答案】(1)不是
(2)点𝐷表示的数是0 或−12
(3)当𝑡= 2.7秒或𝑡= 4.5秒时，点𝑄是[𝑀,𝑃]的“倍点”
【分析】（1）根据“倍点”的定义判断即可；
（2）根据“倍点”的定义得出𝐷𝑁= 2𝐷𝑀，然后分点𝐷在线段𝑀𝑁上或在点𝑀左侧两种情况讨论即可；
（3）分三种情况讨论：①𝑄在𝑀的右侧；②点𝑄位于𝑃，𝑀之间；③𝑄在点𝑃左侧，根据“倍点”的定义构建
关于t 的方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点𝑀表示的数是−3，点𝑁表示的数是6，原点𝑂表示的数是0，
∴𝑂𝑀= 3，𝑂𝑁= 6，
∴𝑂𝑀≠2𝑂𝑁，
∴原点𝑂不是[𝑀,𝑁]的“倍点”；
（2）解：若点𝐷是[𝑁,𝑀]的“倍点”，则𝐷𝑁= 2𝐷𝑀，所以点𝐷在线段𝑀𝑁上或在点𝑀左侧．
①当𝐷在线段𝑀𝑁上时，𝐷𝑁= 2𝐷𝑀= 3，则点𝐷与原点𝑂重合，故点𝐷表示的数是0；
②当𝐷在点𝑀左侧时，𝐷𝑁= 2𝐷𝑀，则𝐷𝑀= 𝑀𝑁= 9，故点𝐷表示的数是−12；
综上，点𝐷表示的数是0 或−12．
（3）解：依题意，得点𝑃表示的数是−3−𝑡，点𝑄表示的数是6−4𝑡
分三种情况讨论如下：
①当0 < 𝑡<
9
4时，𝑄在𝑀的右侧，此时𝑄𝑀< 𝑄𝑃，则𝑄𝑀= 2𝑄𝑃不成立，舍去；
②当
9
4 < 𝑡< 3时，点𝑄位于𝑃，𝑀之间，此时𝑄𝑀= 2𝑄𝑃，则−3−(6−4𝑡) = 2(6−4𝑡+ 3 + 𝑡)，即
−9 + 4𝑡= 18−6𝑡，求得𝑡= 2.7
③当𝑡> 3时，𝑄在点𝑃左侧，此时𝑄𝑀= 2𝑄𝑃，则−3−(6−4𝑡) = 2(−3−𝑡−6 + 4𝑡)
即−9 + 4𝑡= −18 + 6𝑡，求得𝑡= 4.5
综上，当𝑡= 2.7秒或𝑡= 4.5秒时，点𝑄是[𝑀,𝑃]的“倍点”．
