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专题2.3 有理数的乘方（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 有理数乘方的概念理解】........................................................................................................................2
【题型2 有理数乘方的基本运算与符号规律】....................................................................................................3
【题型3 乘方中的程序流程图问题】....................................................................................................................4
【题型4 乘方中的整除与进制问题】....................................................................................................................7
【题型5 乘方中的末尾数字与规律探究】............................................................................................................9
【题型6 偶次乘方的非负性应用】......................................................................................................................11
【题型7 乘方中的新定义问题】..........................................................................................................................13
【题型8 含乘方的有理数四则混合运算】..........................................................................................................15
【题型9 算“24”点游戏】.......................................................................................................................................17
【题型10 程序流程图与有理数的混合计算】......................................................................................................20
【题型11 用科学记数法表示绝对值大于1 的数】..............................................................................................23
【题型12 将用科学记数法表示的数还原为原数】..............................................................................................24
【题型13 科学记数法与乘方、乘除法的综合计算】..........................................................................................25
【题型14 求一个数的近似数】..............................................................................................................................27
【题型15 判断近似数的精确度】..........................................................................................................................28
【题型16 确定近似数的有效数字】......................................................................................................................30
【题型17 由近似数推断准确数的取值范围】......................................................................................................31
【题型18 近似数与科学记数法的综合运用】......................................................................................................33
知识点1 有理数的乘方
1. 一般地，n 个相同的乘数ɑ 相乘，即𝑎⋅𝑎·⋯·𝑎
𝑛个
，记作𝑎𝑛．求n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方
的结果叫作幂．
2. 𝑎𝑛中，a 叫作底数，n 叫作指数，𝑎𝑛读作a 的n 次方（或a 的n 次幂）．
3. 乘方运算的结果及符号的规律
考点1
有理数的乘方
题型归纳
𝑎𝑛
幂
底
指数
正数：正数的任何次幂都是正数
负数：负数的奇次幂是负数
负数的偶次幂是正数
0：0 的任何正整数次幂都是0
【题型1 有理数乘方的概念理解】
【例1】（25-26 七年级上·四川成都·期末）下列关于23的说法中，正确的是（ ）
A．底数是3，指数是2
B．表示2 × 2 × 2
C．表示3 + 3 + 3
D．表示2 × 3
【答案】B
【分析】本题考查乘方的基本概念，需明确乘方中底数、指数的定义及乘方的意义，即𝑎𝑛表示𝑛个𝑎相乘，
据此逐一判断选项即可．
【详解】解：∵乘方𝑎𝑛中，𝑎是底数，𝑛是指数，表示𝑛个𝑎相乘，
∴对于23，底数是2，指数是3，它表示3 个2 相乘，即2 × 2 × 2，
∴选项A、C、D 均错误，选项B 正确．
故选：B．
【变式1-1】与算式32 + 32 + 32的运算结果相等的是（ ）
A．33
B．23
C．35
D．36
【答案】A
【分析】根据有理数的运算法则进行判断即可．
【详解】解：32 + 32 + 32 = 3 × 32 = 33，故A 正确．
故选A．
【点睛】本题主要考查了有理数的运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的意义和乘方的意义．
【变式1-2】（24-25 七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）把“8”写成𝑎𝑛（a，n 均为正整数）的形式是
__________．
【答案】81或23
【分析】本题考查了有理数的乘方幂的概念理解，根据乘方的定义，底数是相同的因数，指数是相同因数
的个数，即可求解．
【详解】解：8 = 81 = 23，
故答案为：81或23．
【变式1-3】（25-26 七年级上·湖南岳阳·期末）下列等式成立的是（ ）
A．
3
4
3
=
33
4
B．(−2)3 = (−3)2
C．32 = 3 × 2
D．−32025 = (−3)2025
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘方运算．
按照运算法则，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A．
3
4
3
=
33
43 ≠
33
4 ，原等式不成立，不符合题意；
B．(−2)3 = −23 = −8，(−3)2 = 9原等式不成立，不符合题意；
C．32 = 3 × 3 = 9，3 × 2 = 6，原等式不成立，不符合题意；
D．−32025 = (−3)2025，原等式成立，符合题意．
故选：D．
【题型2 有理数乘方的基本运算与符号规律】
【例2】（25-26 八年级上·四川乐山·期末）计算：−62025 × −
1
6
2026
的值为（ ）
A．−6
B．6
C．−
1
6
D．
1
6
【答案】C
【分析】本题考查积的乘方逆运算，解题的关键是逆用积的乘方公式，根据积的乘方公式，将原式转化为
−6 × −
1
6
2025
× −
1
6 进行计算．
【详解】解：−62025 × −
1
6
2026
= −62025 × −
1
6
2025
× −
1
6
= −6 × −
1
6
2025
× −
1
6
= −(−1)2025 × −
1
6
= −
1
6，
故选：C．
【变式2-1】（25-26 七年级上·江西上饶·期末）计算：−−(−2)
3
= _______．
【答案】−8
【分析】本题考查有理数的乘方运算与多重符号的化简，关键是遵循“从内到外”的运算顺序，先化简内层括
号的符号，再计算乘方，最后处理外层的符号．
【详解】解：−−(−2)
3
= −[2]3 = −8；
故答案为：−8．
【变式2-2】（25-26 七年级上·海南三亚·期末）计算(−2)2，22，(−2)3，23，联系这类具体的数的乘方，
你认为当𝑎< 0时，下列各式成立的是（ ）
A．𝑎2 < 0
B．𝑎2 = (−𝑎)2
C．𝑎2 = −𝑎2
D．𝑎3 = −𝑎3
【答案】B
【分析】本题考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键．
根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可．
【详解】解：当𝑎< 0时，∴𝑎2 > 0，故A 选项错误；
根据有理数乘方法则，互为相反数的两个数的偶次幂相等，𝑎2 = (−𝑎)2，故B 选项正确；
当𝑎< 0时，𝑎2 > 0，而−𝑎2 < 0，故C 选项错误；
当𝑎< 0时，𝑎3 < 0，而−𝑎3 > 0，故D 选项错误．
故选B．
【变式2-3】（25-26 七年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若|𝑏−2025|与(𝑎+ 2024)2互为相反数，则
(𝑎+ 𝑏)2025 = ______．
【答案】1
【分析】本题考查了相反数，非负数的性质，代数式求值，掌握非负数的性质是解题的关键．根据相反数
的定义列式，再根据绝对值和平方的非负性，求出𝑎、𝑏的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵|𝑏−2025|与(𝑎+ 2024)2互为相反数，
∴|𝑏−2025| + (𝑎+ 2024)2 = 0，
∴|𝑏−2025| = 0，(𝑎+ 2024)2 = 0，
∴𝑏−2025 = 0，𝑎+ 2024 = 0，
∴𝑏= 2025，𝑎= −2024，
∴(𝑎+ 𝑏)2025 = (2025−2024)2025 = 12025 = 1，
故答案为：1．
【题型3 乘方中的程序流程图问题】
【例3】按如图所示的运算程序，能使输出的结果为36 的是（ ）
A．𝑥= 8,𝑦= 2
B．𝑥= −1,𝑦= 7
C．𝑥= 4,𝑦= 2
D．𝑥= 1,𝑦= 5
【答案】C
【分析】先比较x，y 的大小，然后选择计算途径中的代数式，代入求值即可．
【详解】解：A 选项中，𝑥> 𝑦，输出结果= (𝑥+ 𝑦)2 = (8 + 2)2 = 100 ≠36，不合题意；
B 选项中，𝑥< 𝑦，输出结果= (𝑥−𝑦)2 = (−1−7)2 = 64 ≠36，不合题意；
C 选项中，𝑥> 𝑦，输出结果= (𝑥+ 𝑦)2 = (4 + 2)2 = 36，符合题意；
D 选项中，𝑥< 𝑦，输出结果= (𝑥−𝑦)2 = (1−5)2 = 16 ≠36，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查代数式的程序型计算，准确理解程序的意义是解题的关键．
【变式3-1】（25-26 七年级上·吉林长春·阶段检测）小贤设计如图所示的程序，若𝑎= −𝑏= −3，则输出的
结果为________．
【答案】−27
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较和乘方运算，熟练掌握有理数大小比较的方法及乘方的计算规
则是解题的关键．
先根据条件确定a、b 的值，再比较a 与b 的大小，最后代入对应表达式计算．
【详解】解：∵ 𝑎= −𝑏= −3，
∴ 𝑎= −3，𝑏= 3，
∵ 𝑎= −3，𝑏= 3，
∴ 𝑎< 𝑏，
∴𝑎𝑏= (−3)3 = −27，
故答案为：−27．
【变式3-2】按如图所示的程序进行运算，若要使输出的结果为40.5，则输入的x 值可以是（ ）
A．2
B．3
C．−3
D．± 3
【答案】D
【分析】根据题意可得
1
2𝑥4 = 40.5，进而即可求解．
【详解】解：∵输出结果为40.5，则前一步计算为
1
2𝑥4 = 40.5
即𝑥4 = 81
∵[( ± 3)2]2 = 92 = 81
解得𝑥=± 3，
故选：D．
【点睛】此题考查了代数式求值，以及有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3-3】（24-25 七年级上·全国·单元测试）【学习情境·数值转换机】下图是一数值转换机，输入数值后
按两个方框中的程序运算，若运算结果大于100，可以输出结果；若运算结果不大于100，则将得到的结果
重新输入，进行运算，直到运算结果大于100时输出运算结果．当输入数为20时，最终输出的结果是
__________．
【答案】320
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据流程图，输入值进行计算，直到满足程序流程图
的输出，即可．
【详解】由题意得，当输入20时，可得20 ×
1
2 ÷ −
1
4 = −40 < 100，
故继续输入−40，可得−40 ×
1
2 ÷ −
1
4 = 80 < 100，
故继续输入80，80 ×
1
2 ÷ −
1
4 = −160 < 100，
故继续输入−160，−160 ×
1
2 ÷ −
1
4 = 320 > 100，
∴输出结果为320．
故答案为：320．
【题型4 乘方中的整除与进制问题】
【例4】（25-26 七年级上·重庆荣昌·期末）我们知道，在三进制中，数(𝑎𝑛𝑎𝑛−1⋯𝑎3𝑎2𝑎1)3 = 𝑎1 + 𝑎2 × 3 +
𝑎3 × 32 +⋯+ 𝑎𝑛× 3𝑛−1，比如(2210)3 = 0 + 1 × 3 + 2 × 32 +2 × 33，即(2210)3 = 75，则(1122)3
__________．
【答案】44
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算，十进制整数及表示方法，解题关键是
掌握上述知识点并能熟练运用求解．
将三进制数转换为十进制数，再计算即可．
【详解】解：(1122)3 = 2 + 2 × 3 + 1 × 32 +1 × 33 = 2 + 6 + 9 + 27 = 44，
故答案为：44．
【变式4-1】(−8)2024 + (−8)2023能被下列哪个数整除？（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】C
【分析】本题考查了数的整除、有理数的乘方的运算，先计算出(−8)2024 + (−8)2023 = 7 × 82023，即可得
出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：(−8)2024 + (−8)2023
= (−8)2023 × (−8) + (−8)2023
= (−8)2023 × (−8 + 1)
= 7 × 82023，
∴能被7整除，
故选：C．
【变式4-2】（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，
其各数位上的数字为0 或1，并利用下标表示二进制数，例如，(1011)2就是二进制数1011 的简单写法．在
学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二
进制与十进制之间的转换．
以98 为例：
方法一：因为98 = 64 + 32 + 2
= 1 × 26 + 1 × 25 + 0 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20
所以98 = (1100010)2．
方法二：用如图的短除法算式表示：
根据以上材料，把234 转换为五进制数是（ ）
A．(1111011)5
B．(123)5
C．(1414)5
D．(1314)5
【答案】C
【分析】本题考查有理数的混合运算．
根据十进制数转化为五进制数的方法可以将234 转换为五进制数．
【详解】解：∵234 = 125 + 100 + 5 + 4 = 1 × 53 +4 × 52 +1 × 51 +4 × 50，
∴234 = (1414)5，
故选：C．
【变式4-3】当自然数𝑛的个位数分别为0，1，2，…，9 时，𝑛2,𝑛3,𝑛4的个位数如表所示：
𝑛个位数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
𝑛2个位数
0
1
4
9
6
5
6
9
4
1
𝑛3个位数
0
1
8
7
4
5
6
3
2
9
𝑛4个位数
0
1
6
1
6
5
6
1
6
1
······
在10，11，12，13 这四个数中，当𝑛= ____________时，和数2001𝑛+ 2002𝑛+ 2003𝑛+ 2004𝑛能被5 整
除．
【答案】10、11、13
【分析】根据表格中的规律，分别求出2001、2002、2003、2004 这几个数的个位在n=10、11、12、13 时
的值，通过判断这4 个数字的个位数字和是否是0 或5 来判断是否能被5 整除
【详解】根据表格中的规律，可得下表：
n 个位数
10
11
12
13
2001𝑛个位数
1
1
1
1
2002𝑛个位数
4
8
6
2
2003𝑛个位数
9
7
1
3
2004𝑛个位数
6
4
6
4
个位数的和的个位数
0
0
4
0
由表格知道，当n=10、11、13 时，2001𝑛+ 2002𝑛+ 2003𝑛+ 2004𝑛的个位数字都是0，能够被5 整除
故答案为：10、11、13
【点睛】本题考查了归纳总结的能力，解题关键是利用乘方的规律来确定个位数字，求出结果的个位数字
之和判断是否能够被5 整除.
【题型5 乘方中的末尾数字与规律探究】
【例5】（25-26 六年级上·山东泰安·期中）观察下列算式：21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32，
26 = 64，27 = 128，28 = 256，…，31 = 3，32 = 9，33 = 27，34 = 81，35 = 243，36 = 729，37
= 2187，38 = 6561，…，根据上述算式中的规律，211 + 311的末位数字是________．
【答案】5
【分析】本题是规律探索问题，考查了乘方的运算，发现规律是关键．
通过观察2𝑛和3𝑛的末位数字的循环规律，分别求出211和311的末位数字，然后相加得到和的末位数字．
【详解】2𝑛的末位数字循环周期为4：当指数除以4 余1 时末位为2，余2 时末位为4，
余3 时末位为8，余0 时末位为6．
3𝑛的末位数字循环周期为4：当指数除以4 余1 时末位为3，余2 时末位为9，
余3 时末位为7，余0 时末位为1．
计算211：11 ÷ 4 = 2余3，对应末位为8．
计算311：11 ÷ 4 = 2余3，对应末位为7．
8+7=15，末位数字为5．
故答案为：5．
【变式5-1】观察下列规律：3 = 3，32 = 9，33 = 27，34 = 81，35 = 243，36 = 729…用你发现的规律写
出32018个位数字为_________．
【答案】9
【分析】本题主要考查了数字类的规律，解题的关键是找出数字的个位数字规律．
根据给出的结果，得出数字的循环规律，然后求解即可．
【详解】解：通过给出的3 的乘方的结果的个位数字规律是循环的，循环部分为：3，9，7，1，循环周期
为4，
∴2018 ÷ 4 = 504⋯2，
∴32018的个位数字为9．
【变式5-2】（25-26 七年级下·浙江嘉兴·期中）代数式2(3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(316 + 1)(332 + 1)
的末尾数字是________．
【答案】0
【分析】先应用平方差公式，将算式化简，再找指数与末尾数字之间的规律，最后应用规律求出结果即可．
【详解】解：2(3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(316 + 1)(332 + 1)
= (3−1) (3 + 1) (32 + 1) (34 + 1) (38 + 1) (316 + 1) (332 + 1)
= (32−1) (32 + 1) (34 + 1) (38 + 1) (316 + 1) (332 + 1)
= …
= (332−1) (332 + 1)
= 364−1，
31的末尾数字是3，
32的末尾数字是9，
33的末尾数字是 7，
34的末尾数字是 1，
35的末尾数字是 3，
…，
∴每4 个数一循环，
∵64 ÷ 4 = 16，
∴364的末尾数字与34的末尾数字相同，即364的末尾数字为1，
∴364−1的末尾数字是0．
【变式5-3】（25-26 七年级上·全国·期中）观察算式：71 = 7，72 = 49，73 = 343，74 = 2401…，可以得
出72025的末尾两位数字是_____．
【答案】07
【分析】本题考查了尾数特征．由题意依次求出7 的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定72025
的末尾两位数．
【详解】解：71 = 7，
72 = 49，
73 = 343，
74 = 2401，
75 = 16807，
76 = 117649，
77 = 823543，
78 = 5764801，
79 = 40353607，
……
发现：74𝑘−2的末尾两位数字是49，74𝑘−1的末尾两位数字是43，74𝑘的末尾两位数字是01，74𝑘−3的末尾两
位数字是07，（𝑘= 1、2、3、4、…），
∵2025 = 507 × 4−3，
∴72025的末两位数字为07，
故答案为：07．
【题型6 偶次乘方的非负性应用】
【例6】已知(𝑎+ 1)2与|𝑏−2|互为相反数，求(𝑎+ 𝑏)2019 + 𝑎99的值．
【答案】0
【分析】根据相反数的性质得到(𝑎+ 1)2 +|𝑏−2| = 0，再根据绝对值非负性得到𝑎= −1，𝑏= 2，代入求解
即可；
【详解】因为(𝑎+ 1)2与|𝑏−2|互为相反数，所以(𝑎+ 1)2 +|𝑏−2| = 0，所以𝑎+ 1 = 0，𝑏−2 = 0，
所以𝑎= −1，𝑏= 2，
因此(𝑎+ 𝑏)2019 + 𝑎99 = (−1 + 2)2019 + (−1)99 = 1 + (−1) = 0．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用、相反数的性质和代数式求值，准确计算是解题的关键．
【变式6-1】（24-25 七年级上·四川成都·月考）若(3−𝑚)2 + |𝑛+ 2| = 0，则𝑚+ 𝑛的值为_______．
【答案】1
【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0 时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列方
程求出𝑚、𝑛的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得：3−𝑚= 0，𝑛+ 2 = 0，
解得：𝑚= 3，𝑛= −2，
所以，𝑚+ 𝑛= 3 + (−2) = 1．
故答案为：1．
【变式6-2】若
1
3|−3 + 𝑦|与(𝑥+ 2)2互为相反数，求𝑥𝑦的值．
【答案】-8
【分析】先根据绝对值和平方数的非负性求出𝑥,𝑦，代入求值即可．
【详解】解：∵
1
3|−3 + 𝑦|与(𝑥+ 2)2互为相反数，
∴
1
3|−3 + 𝑦|+(𝑥+ 2)2=0
∵
1
3|−3 + 𝑦|≥0， (𝑥+ 2)2≥0
∴−3 + 𝑦= 0，𝑥+ 2 = 0
∴𝑦= 3,𝑥= −2
∴𝑥𝑦= (−2)3 = −8
【点睛】本题考查了绝对值和平方数的非负性，及有理数的乘方运算，利用绝对值和平方数的非负性求出𝑥,𝑦
值是解题的关键．
【变式6-3】若|𝑎−2| + (𝑏+ 3)2 = 0，则𝑎−2𝑏的值为_________．
【答案】8
【详解】解：∵|𝑎−2| + (𝑏+ 3)2 = 0
且|𝑎−2| ≥0，(𝑏+ 3)2 ≥0,，
∴
𝑎−2 = 0
𝑏+ 3 = 0
，
∴
𝑎= 2
𝑏= −3
，
∴𝑎−2𝑏= 2−2 × (−3) = 8.
故答案为8.
【题型7 乘方中的新定义问题】
【例7】定义运算：若𝑎𝑛= 𝑏，则log𝑎𝑏= 𝑛(𝑎> 0)，例如23 = 8，则log28 = 3．运用以上定义，计算：
log464−log232 = ______．
【答案】−2
【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方，正确理解题意是解题的关键．根据新定义计算即可．
【详解】解：∵43 = 64，
∴log464 = 3，
∵25 = 32，
∴log232 = 5，
∴log464−log232 = 3−5 = −2．
故答案为：−2．
【变式7-1】（25-26 七年级上·浙江宁波·期末）对于等式𝑎𝑏= 𝑐，定义已知𝑎，𝑐求𝑏的运算为对方运算，记
为𝑏= 𝐷𝑎(𝑐)，例如已知𝑎= 2,𝑐= 8，求𝑏，因为23 = 8，所以𝑏= 𝐷2(8) = 3，则𝐷4(16) + 𝐷3(81)的值为
__________．
【答案】6
【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用；根据对方运算的定义，分别求𝐷4(16)和𝐷3(81)的值，
再计算它们的和．
【详解】解：因为42 = 16，所以𝐷4(16) = 2；
因为34 = 81，所以𝐷3(81) = 4；
因此𝐷4(16) + 𝐷3(81) = 2 + 4 = 6．
故答案为：6．
【变式7-2】（24-25 七年级下·浙江嘉兴·期中）定义运算𝑎∗𝑏= 𝑎𝑏(𝑎≤𝑏,𝑎≠0)
𝑏𝑎(𝑎> 𝑏,𝑎≠0)
，例如2 ∗3 = 23 = 8，
(−2) ∗(−3) = (−3)−2 =
1
9，若(𝑚+ 1) ∗4 = 16，则m 的值为__________．
【答案】1/−3
【分析】本题考查了新定义下有理数的乘方运算，理解题意，分情况分析是解题关键．
根据题意分两种情况分别计算讨论即可．
【详解】解：当𝑚+ 1 ≤4且𝑚+ 1 ≠0时，即𝑚≤3且𝑚≠−1，
∴(𝑚+ 1) ∗4 = (𝑚+ 1)4 = 16，
∴𝑚+ 1 = 2，或𝑚+ 1 = −2
解得：𝑚= 1或𝑚= −3；
当𝑚+ 1 > 4时，即𝑚> 3，
∴(𝑚+ 1) ∗4 = 4𝑚+1 = 16，
∴𝑚+ 1 = 2，
解得：𝑚= 1；（不符合题意），
综上可得：𝑚= −3或𝑚= 1，
故答案为：1 或−3．
【变式7-3】（24-25 九年级下·山东济宁·期中）对于正整数n，定义𝐹(𝑛) =
𝑛2,𝑛< 10
𝑓(𝑛),𝑛≥10
，其中𝑓(𝑛)表示n
的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：𝐹(6) = 62 = 36，𝐹(123) = |12−32| = 8．规定𝐹1(𝑛) = 𝐹
(𝑛)，𝐹𝑘+1(𝑛) = 𝐹𝐹𝑘(𝑛) （k 为正整数），例如，𝐹1(123) = 𝐹(123) = 8，𝐹2(123) = 𝐹𝐹1(123) = 𝐹(8)
= 64．按此定义，则𝐹2026(9) = ______．
【答案】81
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，循环体，解题的关键是通过计算前面几项，发现出循环体，利用
规律进行求解．
【详解】解：由定义得：𝐹1(9) = 81，
∴𝐹2(9) = 𝐹𝐹1(9) = 𝐹(81) = 63，𝐹3(9) = 𝐹𝐹2(9) = 𝐹(63) = 27，
𝐹4(9) = 𝐹𝐹3(9) = 𝐹(27) = 45，𝐹5(9) = 𝐹𝐹4(9) = 𝐹(45) = 9，
𝐹6(9) = 𝐹𝐹5(9) = 𝐹(9) = 81，𝐹7(9) = 𝐹𝐹6(9) = 𝐹(81) = 63，
𝐹8(9) = 𝐹𝐹7(9) = 𝐹(63) = 27，……
∴每5 次是一组循环，
∵2026 ÷ 5 = 405 ⋅⋅⋅1，
∴𝐹2026(9) = 𝐹1(9) = 81，
故答案为：81．
知识点2 含乘方的有理数的混合运算顺序
1. 先乘方，再乘除，最后加减；
2. 同级运算，从左到右进行；
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，
再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括
号内的，最后算大括号内的．
【题型8 含乘方的有理数四则混合运算】
【例8】（2026·河北张家口·三模）计算(−8) × 4−★−32的值，其中“★”表示一个有理数．
(1)若“★”表示的数为2，求(−8) × (4−2)−32的值；
(2)若算式的值为7，求“★”所表示的数．
【答案】(1)−25
(2)6
【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）设“★”所表示的数为𝑥，由题意得，(−8) × (4−𝑥)−32 = 7，解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：(−8) × (4−2)−32
= (−8) × 2−32
= −16−9
= −25；
（2）解：设“★”所表示的数为𝑥，
由题意得，
(−8) × (4−𝑥)−32 = 7，
(−8) × (4−𝑥) = 16，
4−𝑥= −2，
𝑥= 6；
考点2
含乘方的有理数的混合运算
答：“★”所表示的数为6．
【变式8-1】（25-26 七年级上·山东聊城·期末）计算(−2)3 +3 × (−4)的结果是（ ）
A．6
B．−4
C．−18
D．−20
【答案】D
【分析】本题考查有理数的混合运算，需遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序进行计算．
【详解】解：(−2)3 +3 × (−4) = −8−12 = −20，
故选：D．
【变式8-2】（25-26 七年级上·山西临汾·期末）在数学计算小竞赛中，组长发现有同学的计算出现了错误，
请你帮忙找出下列运算中结果错误的选项（ ）
A．−6 + (−2) = −8
B．3 × (−5) = −15
C．6−(−3)2 = 15
D．−4 ÷ −
1
2 = 8
【答案】C
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
通过逐一计算每个选项的运算结果，发现选项C 的计算错误，其他选项正确．
【详解】解：A、−6 + (−2) = −8，则A 不符合题意，
B、3 × (−5) = −15，则B 不符合题意，
C、6−(−3)2 = 6−9 = −3 ≠15，则C 符合题意，
D、−4 ÷ −
1
2 = −4 × (−2) = 8，则D 不符合题意，
故选：C．
【变式8-3】（25-26 九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D 四张运算卡片，每张卡片表示对前一
个数进行卡片上的运算，如按“4→𝐴→𝐵”进行运算，则所列算式为“(4−3) × (−4)”．
(1)若按“−
5
6→𝐵→𝐴→𝐶”进行计算，先列出算式，再直接写出结果；
(2)若琪琪同学按“
1
2→𝐷→𝐶→𝐵→𝐴进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果．
【答案】(1)
1
9
(2)−
28
9
【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可；
（2）根据流程图规则列式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得−
5
6 ×(−4)−3
2
=
10
3 −3
2
=
1
3
2
=
1
9；
（2）解：根据题意，得
1
2 −
2
3
2
× (−4)−3，
∴原式= −
1
6
2
× (−4)−3 =
1
36 × (−4)−3 = −
1
9−3 = −
28
9 ．
【题型9 算“24”点游戏】
【例9】（25-26 七年级上·湖南岳阳·期末）“24 点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出
四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是24或−24．其
中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一
个刚好凑成24的算式：_________．
【答案】4 +(−7) (−5−3)（答案不唯一）
【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握24点游戏的规则是解题的关键．
根据24点游戏的规则，利用给定的数字进行组合得到24即可．
【详解】解：根据题意，可知四个数分别为4、−5、3、−7，
通过观察可知4 + (−7) = −3，−5−3 = −8，
∴4 +(−7) (−5−3) = 24．
故答案为：4 +(−7) (−5−3)（答案不唯一）．
【变式9-1】“24 点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4 张牌，用上面的数字进行混合运
算，使结果为24 或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K 分别代表1，11，12，13，例如
张毅同学抽取的4 张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3
－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36 点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36 或—36，
下列方法可行的有几种：①将红桃4 换成黑桃6；②将红桃3 换成红桃6；③将梅花6 换成黑桃Q；④将
黑桃2 换成黑桃A（ ）
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
【答案】D
【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可．
【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2，
∵6 × 6 × (−3 + 2) = −36，
∴①符合题意；
②这四个数分别为-4、-6、6、2，
∵(−4) × (−6) +6 × 2 = 36，
∴②符合题意；
③这四个数分别为-4、-3、12、2，
∵(−4) × (−3) +12 × 2 = 36，
∴③符合题意；
④这四个数分别为-4、-3、6、1，
∵(−4) × (−3−6 ÷ 1) = 36，
∴④符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式9-2】（24-25 七年级上·广东佛山·期末）游戏“24 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中
任意抽取4 张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，
其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4 张牌（4 张牌颜色依次为红色、黑色、
黑色、红色），写出一个符合规则的算式________
【答案】7 +(−9) × (−3) × 4或(−3) × (−9)−(7−4)或(−3) × (−9)−7 + 4
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
根据有理数的运算法则列式即可．
【详解】解：由图可得，符合规则的算式为7 +(−9) × (−3) × 4或(−3) × (−9)−(7−4)或(−3) × (−9)
−7 + 4，
故答案为：7 +(−9) × (−3) × 4或(−3) × (−9)−(7−4)或(−3) × (−9)−7 + 4．
【变式9-3】（25-26 七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越
和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下：
越越：如果看到四个数中有一个是6，只要其余三个数能算出是4或144，18，30，−18，都可算出24，如：
6,7,8,9,可以列出8 ÷ (9−7) × 6 = 24．
兴兴：有时遇到6不能用你的方法算出，可以尝试用6除以
1
4，也能得到24哦！如：1，3，4，6，可以列出
6 ÷ (1−3 ÷ 4) = 24．
结合上面两位同学的分享，解决下列问题：
(1)现给定三个数2，3，5，请从1到10这些自然数中选一个，使四个数能算出24，要求列出算式，并简单说
一下你的思考过程．
(2)想一想，数字−1，4，5，6这四个数可以算出24吗？如果可以，请列出算式．
【答案】(1)
所选数字为6，算式：(5−3 + 2) × 6 = 24
(2)
可以，6 ÷ 5 ÷ 4 +(−1) = 24
【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解
是解题关键；
（1）根据运算结果为24和已知给定的三个数，筛选出合适的数字；
（2）根据已给数字有6，按照题干所给方法进行判断即可．
【详解】（1）解：当选6时，
∵5−3 + 2 = 4，
∴(5−3 + 2) × 6 = 24；
当选1时，
∴(2 + 1) × (3 + 5) = 24；
当选2时，
∴(5 × 2−2) × 3 = 24；
当选3时，
∴(5 + 2) × 3 + 3 = 24；
当选4时，
∴4 × (5 + 3−2) = 24；
当选5时，
∴(5 + 5−2) × 3 = 24；
当选7时，
∴3 × 5 + 7 + 2 = 24；
当选8时，
∴(5 + 3) × 2 + 8 = 24；
当选9时，
∴3 × 9−5 + 2 = 24；
当选10时，
∴(10 + 2) × (5−3) = 24；
任选其一即可；
（2）答：可以，6 ÷ 5 ÷ 4 +(−1) = 24．
【题型10 程序流程图与有理数的混合计算】
【例10】（25-26 九年级下·山东烟台·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入𝑥的值是2，第1次输出的
结果是−1，第2次输出的结果是1，依次继续下去…，第2026次输出的结果是________．
【答案】4
【分析】先求得前几次输出的结果，发现规律为从第2次开始，1，−2，4，每次3个数循环， 进而根据规
律求解即可．
【详解】解：当开始输入𝑥的值是2时，
根据运算程序可知，第1次输出的结果是−1，
第2次输出的结果是1，
第3次输出的结果是−2，
第4次输出的结果是4，
第5次输出的结果是1，
第6次输出的结果是−2，
……
发现规律：从第2次开始，1，−2，4，每次3个数循环，
∵2026 ÷ 3 = 675……1，
∴第2026次输出的结果与第4次输出的结果一样，是4．
【变式10-1】按如图所示的运算程序，若输入𝑎= 1，𝑏= −2，则输出结果为_______．
【答案】5
【分析】本题考查有理数的混合运算，正确理解程序图列出算式进行计算是解题关键．根据程序图由𝑎> 𝑏，
列出算式𝑎2 + 𝑏2 = 12 + (−2)2进行运算求解即可．
【详解】解：∵ 𝑎= 1，𝑏= −2，
∴ 𝑎> 𝑏，
∴ 𝑎2 + 𝑏2 = 12 + (−2)2 = 5，
故答案为：5．
【变式10-2】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）淇淇设计了一个运算程序，如图，输入𝑥值，由上面的一条
路线从左至右进行运算得到𝑚，由下面的一条路线从左至右进行运算得到𝑛．如输入𝑥= 1，得到(1−4) ÷ (−5)
=
3
5 = 𝑚即𝑚=
3
5．
(1)类比𝑚的求值过程，求当𝑥= 1，𝑛的值；
(2)若得到𝑛= 25，求输入的𝑥的值及相应的𝑚的值．
【答案】(1)𝑛的值为−7
(2)输入的𝑥的值为−15，𝑚的值为
19
5
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则混合运算，正确理解流程图是解题的关键；
（1）仿照题意计算求解即可；
（2）根据题意可得方程−2𝑥−5 = 25，解方程求出𝑥的值，进而求出𝑚的值即可；
【详解】（1）解：当𝑥= 1时，1 × (−2) + (−5) = −7 = 𝑛，
∴𝑛= −7，
∴𝑛的值为−7；
（2）解：由题可知，−2𝑥−5 = 𝑛，
∵𝑛= 25，
∴−2𝑥−5 = 25，
解得，𝑥= −15，
∴(−15−4) ÷ (−5) =
19
5 = 𝑚，
∴输入的𝑥的值为−15，𝑚的值为
19
5 ．
【变式10-3】（24-25 七年级上·安徽淮北·月考）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，按要求完成下
列任务：
(1)当输入𝑥的值为−3时，求输出𝑦的值；
(2)若输出𝑦的值为380，直接写出输入𝑥的值为__________；
(3)若输入𝑥的值为0，求输出𝑦的值．
【答案】(1)输出𝑦的值为124
(2)5 或−5
(3)6380
【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算：
（1）根据流程图可得算式−3 ×(−4)
2
−20，计算出该结果，若大于100，则输出，若不大于100，则计算
的结果作为新输入的数，再计算，如此反复，直至能输出对应的结果即可；
（2）根据输出的结果为380，得到平方后的结果为400，根据± 20的平方为400，得到x 乘以负4 的结果
为± 20，据此求解即可；
（3）同（1）求解即可．
【详解】（1）解：）当𝑥= −3时，−3 ×(−4)
2
−20 = 124 > 100，故输出𝑦的值为124．
（2）解：∵380 + 20 = 400，± 20的平方为400，
∴𝑥= 20 ÷ (−4) = −5或𝑥= (−20) ÷ (−4) = 5．
（3）解：当𝑥= 0时，0 ×(−4)
2
−20 = −20 < 100，(−20)×(−4)
2
−20 = 6380 > 100，
∴此时输出𝑦的值为6380．
知识点3 科学记数法
把一个大于10 的数表示成𝒂× 𝟏𝟎𝒏的形式（其中a 大于或等于1 且小于10，n 是正整数），这种记数方法
叫作科学记数法．对于小于−10 的数也可以类似表示．例如−370000 = −3.7 × 105．
【题型11 用科学记数法表示绝对值大于1 的数】
【例11】（2026·浙江嘉兴·一模）我国自主研发的人工智能DeepSeek 提升了我国在全球科技领域的竞争
力．截至2024 年2 月，DeepSeek 的全球下载量约为380000000 次．将数380000000 用科学记数法表示为
（ ）
A．0.38 × 109
B．0.38 × 108
C．3.8 × 108
D．3.8 × 107
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题关键是掌握科学记数法的表示规则，即表示为𝑎× 10𝑛的形
式时，满足1 ≤|𝑎| < 10，𝑛为整数，𝑛的值由原数小数点移动位数确定．
【详解】解：科学记数法要求表示为𝑎× 10𝑛，其中1 ≤|𝑎| < 10，𝑛为整数，
∵将380000000转化为满足条件的𝑎，可得𝑎= 3.8，原数的小数点向左移动了8位，
∴𝑛= 8，即380000000 = 3.8 × 108．
【变式11-1】（2026·安徽蚌埠·一模）2025 年上半年，国内生产总值660000亿元，同比增长5.3%，其中660000
亿用科学记数法表示为（ ）．
考点3
科学记数法
A．66 × 1012
B．6.6 × 1012
C．6.6 × 1013
D．0.66 × 1014
【答案】C
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，形式为𝑎× 10𝑛，其中1 ≤|𝑎| < 10，𝑛为原数的位数减一．
【详解】解：660000亿= 66000000000000 = 6.6 × 1013．
【变式11-2】（24-25 七年级上·江西上饶·期中）2024年两会这份数据，振奋人心！中国2023年GDP超126
万亿元，同比GDP增量相当于一个中等国家经济总量，连续多年保持世界第二大商品消费市场，世界第一制
造业大国，世界第一货物贸易大国地位．把数据126万亿元用科学记数法表示为_______．
【答案】1.26 × 1014元
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为𝑎× 10𝑛，其中，𝑛为整数，确定𝑛的值
时，要看把原数变成𝑎时，小数点移动了多少位，𝑛的绝对值与小数点移动的位数相同，掌握科学记数法的
定义是解答本题的关键．
根据科学记数法的定义即可解答．
【详解】解：数据126万亿元用科学记数法表示为1.26 × 1014元，
故答案为：1.26 × 1014元．
【变式11-3】（2026·河南周口·一模）据相关消息，中央广播电视总台2026 年春节联欢晚会收视数据亮眼，
截至2 月17 日8 时，晚会全国电视直播总收视份额达79.29%，创下13 年来新高，境内全媒体总触达230.63
亿次，同比增长37.3%．若数据230.63亿用科学记数法表示为2.3063 × 10𝑛，则𝑛的值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】A
【详解】解：230.63亿23063000000 = 2.3063 × 1010，
∴𝑛= 10．
【题型12 将用科学记数法表示的数还原为原数】
【例12】（2026·安徽滁州·一模）2025 年中国工业机器人市场规模将达到9.51 × 1010元，位居全球第一．数
据9.51 × 1010可表示为（ ）
A．9.51 亿
B．95.1 亿
C．951 亿
D．9510 亿
【答案】C
【分析】将科学记数法表示的数，换算为以亿为单位的数，利用1亿= 108的换算关系即可得到结果。
【详解】解：∵1亿= 108，
又9.51 × 1010 = 9.51 × 102 × 108 = 951 × 108，
∴9.51 × 1010元可表示为951 亿元．
【变式12-1】（25-26 七年级上·内蒙古赤峰·期末）7.05 × 108是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是
______．
【答案】705000000
【分析】本题考查将科学记数法表示的数还原为原数，只需把科学记数法𝑎× 10𝑛中𝑎的小数点向右移动𝑛位，
即可得到原数．
【详解】解：根据题意，得7.05 × 108 = 705000000
【变式12-2】（25-26 七年级上·河南信阳·期末）2025 年10 月31 日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交
会对接模式，发射后仅用3.5 小时与空间站成功对接，其平均速度高达用科学记数法表示为2.7648 × 107米
/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（ ）米/小时
A．2764810
B．2764800
C．27648000
D．276480000
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法还原原数，掌握科学记数法中10 的指数与小数点移动位数的关系是解题关键，
将科学记数法表示的数还原，只需把a 的小数点向右移动n 位即可（n 为10
的正指数）．
【详解】解：∵科学记数法𝑎× 10𝑛（1 ≤𝑎< 10，n 为正整数）还原原数时，需将a 的小数点向右移动n 位，
∴将2.7648 × 107中2.7648 的小数点向右移动7 位，得到27648000，
故选：C．
【变式12-3】（2025·安徽蚌埠·三模）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少
10%的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳3.12 × 106吨，把3.12 × 106写成原数为____________．
【答案】3120000
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为𝑎× 10𝑛的形式，其中1 ≤|𝑎| < 10，𝑛
为整数，确定𝑛的值时，要看把原数变成𝑎时，小数点移动了多少位，𝑛的绝对值与小数点移动的位数相同，当
原数绝对值大于等于10 时，𝑛是非负数，当原数绝对值小于1 时，𝑛是负数，表示时关键是要正确确定𝑎的
值以及𝑛的值．
【详解】解：把3.12 × 106写成原数为3120000，
故答案为：3120000．
【题型13 科学记数法与乘方、乘除法的综合计算】
【例13】我国发射的海洋Ⅰ号气象卫星，进入预定轨道后，若地球运行的速度为7.9 × 103米/秒，则运行
2 × 102秒走过的路程是_________米（用科学记数法表示）
【答案】1.58 × 106
【分析】此题考查科学记数法，有理数乘法计算，正确掌握各计算法则是解题的关键，利用路程＝速度×时
间得到答案．
【详解】解：运行2 × 102秒走过的路程是(2 × 102) × (7.9 × 103) = 15.8 × 105 = 1.58 × 106米,
故答案为1.58 × 106．
【变式13-1】（2026·河南鹤壁·一模）鹤壁市坚持“项目为王”，2022年实施重点项目“3070”工程，安排基础
设施项目30个、产业项目70个、总投资达1039.4亿元．将1039.4亿元用科学记数法表示为（ ）
A．1.0394 × 1011元
B．10.394 × 1010元
C．0.10394 × 1012元
D．1.0394 × 1012元
【答案】A
【分析】先将亿元单位换算为元，再根据科学记数法的要求写出正确形式，科学记数法表示形式为𝑎× 10𝑛，
要求满足1 ≤|𝑎| < 10，𝑛为整数．
【详解】解：∵1亿元= 108元，
∴1039.4亿元= 1039.4 × 108元，
调整𝑎满足1 ≤𝑎< 10，得1039.4 × 108 = 1.0394 × 103 × 108 = 1.0394 × 1011．
【变式13-2】（2026·上海崇明·二模）在某次演习中，我国火箭军成功发射了一枚“东风−31𝐴𝐺”洲际弹道导
弹，导弹平均速度为25 马赫，马赫为速度单位，1 马赫约为340 米/秒．用科学记数法表示“东风−31𝐴𝐺”导
弹的平均速度为__________米/秒．
【答案】8.5 × 103
【详解】解：导弹的平均速度：25 × 340 = 8500，
8500 = 8.5 × 103 ．
【变式13-3】（25-26 七年级上·安徽安庆·期中）据统计，某地区平均每人每天大约产生1.5千克垃圾，垃圾
处理厂把所有垃圾压缩做成棱长为0.5米的立方体，每个这样的立方体约重100千克．
(1)若该地区共有140万人口，则该地区一天将产生多少千克垃圾？可做成多少个这样的立方体（用科学记数
法表示）？
(2)在（1）的条件下，该地区一天产生的垃圾被压缩后共有多少立方米（用科学记数法表示）？
【答案】(1)该地区一天将产生2.1 × 106千克垃圾，可做成2.1 × 104个这样的立方体
(2)该地区一天产生的垃圾被压缩后共有2.625 × 103立方米
【分析】本题考查有理数的乘法、除法、乘方运算，以及科学记数法，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）根据题意列式计算，再用科学记数法表示即可；
（2）根据题意列式计算，再用科学记数法表示即可．
【详解】（1）解：1.5 × 1400000 = 2100000 = 2.1 × 106(千克)，
2100000 ÷ 100 = 21000 = 2.1 × 104(个)，
所以该地区一天将产生2.1 × 106千克垃圾，可做成2.1 × 104个这样的立方体；
（2）解：21000 × (0.5)3 = 2625 = 2.625 × 103(立方米)，
所以该地区一天产生的垃圾被压缩后共有2.625 × 103立方米．
知识点4 近似数
1. 接近实际数值的数，叫作近似数．
2. 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示．
3. 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位．例如π ≈3.14（精确到0.01，或叫
作精确到百分位）．
【题型14 求一个数的近似数】
【例14】用四舍五入法，把2.345精确到0.01的近似数是（ ）
A．2.3
B．2.34
C．2.35
D．2.30
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到0.01即对千分位上的数字进行四舍五入，据此可得答案．
【详解】解：用四舍五入法，把2.345精确到0.01的近似数是2.35，
故选：C．
【变式14-1】（24-25 八年级上·江苏镇江·期末）用四舍五入法把6.6954精确到千分位得到的近似数是（ ）
A．6.70
B．6.696
C．6.695
D．6.69
【答案】C
【分析】本题考查了近似数和有效数字，解题的关键是掌握四舍五入法来求近似数．
找到小数的万分位，再根据四舍五入法精确到千分位即可．
【详解】解：6.6954精确到千分位得到的近似数是：6.695，
故选：C．
考点4
近似数
【变式14-2】（25-26 八年级上·江苏扬州·期末）宝应县总面积为1461.53 平方公里，用四舍五入法取近似
数精确到个位1461.53 ≈_______．
【答案】1462
【分析】本题考查求一个数的近似数，精确到个位，需看十分位数字，十分位为5，向个位进1，据此作答
即可．
【详解】解：1461.53 ≈1462．
故答案为：1462．
【变式14-3】（25-26 八年级上·江苏盐城·期末）2025 年10 月8 日，苏超联赛四分之一决赛在盐城奥体中
心体育场举行，本场比赛观众人数为34696 人，用四舍五入法将数字34696 精确到千位，所得的近似数为
________．
【答案】3.5 × 104
【分析】本题考查了近似数，使用四舍五入法精确到千位，需看百位数字，百位为6 大于5，故千位进1．
【详解】解：数字34696 精确到千位，千位为4，百位为6，6 ≥5，因此向千位进1，4 + 1 = 5，百位及以
后各位变为0，故近似数为35000 = 3.5 × 104，
故答案为：3.5 × 104．
【题型15 判断近似数的精确度】
【例15】（25-26 八年级上·江苏·期末）近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，用四舍五入法取
近似数，数据9.645（精确到0.1）≈______．近似数3 × 10精确到______位．
【答案】
9.6
十
【分析】本题考查了近似数，数的精确度，掌握相关知识点是解题的关键．
①精确到0.1即保留一位小数，需看百分位数字进行四舍五入；②近似数3 × 10表示30，需确定数字3 所在
的数位以判断精确度．
【详解】解：精确到0.1时，百分位数字为4，小于5，故舍去，
因此9.645 ≈9.6；
近似数3 × 10 = 30，数字3 位于十位，故精确到十位．
故答案为：9.6，十．
【变式15-1】（25-26 七年级上·四川凉山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．705.10万精确到百分位
B．1.609万精确到万位
C．300精确到个位
D．近似数5.300和5.30的精确度一样
【答案】C
【分析】本题主要考查了近似数的精确度，熟练掌握判断近似数精确位数的方法是解题的关键．先将以“万”
为单位的数还原，再根据末位数字所在的数位判断精确度，最后逐一分析每个选项的正误．
【详解】解：∵705.10万= 7051000，
∴最后一个有效数字0在百位，
∴705.10万精确到百位，不是百分位，故A 项错误；
∵1.609万= 16090，
∴最后一个有效数字9在十位，
∴1.609万精确到十位，不是万位，故B 项错误；
∵300的末位数字0在个位，
∴300精确到个位，故C 项正确；
∵5.300的末位数字0在千分位，5.30的末位数字0在百分位，
∴5.300和5.30的精确度不同，故D 项错误，
故选：C．
【变式15-2】将一个数用四舍五入法取近似值所得的结果是22.8045，这个近似数的精确度是（ ）
A．十分位
B．百分位
C．千分位
D．万分位
【答案】D
【分析】本题考查近似数精确到哪一位，熟练掌握近似数的规则是关键．确定近似数精确到哪一位，就是
看这个数的最后一位是什么位即可．
【详解】解：由四舍五入得到的近似数22.8045，精确到了万分位．
故选：D．
【变式15-3】（25-26 八年级上·江苏徐州·期末）下列说法错误的有______．
①近似数3.6万精确到千位 ②近似数2 百万与近似数200 万精确度不同
③近似数3.6与3.60的精确度相同 ④数495640精确到万位是5.0 × 105
【答案】③
【分析】本题考查精确度，根据近似数的精确度概念，逐一判断每个说法的正确性即可．
【详解】解：①近似数3.6万表示3.6 × 104 = 36000，数字6在千位上，所以精确到千位，说法正确；
②近似数2百万表示2 × 106，精确到百万位；近似数200万表示200 × 104 = 2 × 106，精确到万位，所以
精确度不同，说法正确；
③近似数3.6精确到十分位，3.60精确到百分位，精确度不同，说法错误；
④数495640精确到万位，万位是9，千位是5，四舍五入得500000，用科学记数法表示为5.0 × 105，说法
正确．
故说法错误的有③．
故答案为：③
【题型16 确定近似数的有效数字】
【例16】（25-26 七年级上·云南玉溪·期中）数字1999保留两个有效数字记为___________．
【答案】
2.0 × 103
【分析】本题主要考查科学记数法、有效数字 ．根据有效数字的定义，保留两个有效数字需从左起第一个
非零数字开始取两位，并观察第三位数字进行四舍五入 ．
【详解】∵数字1999从左起第一个非零数字为1，需保留两个有效数字，
∴取前两位数字19，观察第三位数字9，
∵由于9 ≥5，
根据四舍五入原则，向前一位进位，19 变为20，
故近似值为2000 ．
为了明确表示两个有效数字，采用科学记数法记为：2.0 × 103．
故答案为：2.0 × 103．
【变式16-1】（24-25 七年级上·甘肃武威·期末）近似数5.01 × 106有________个有效数字，精确到______位．
【答案】
3
万
【分析】本题考查近似数的精确度和有效数字的定义，掌握知识点是解题的关键．
根据近似数的精确度和有效数字的定义求解即可．
【详解】解：∵5.01 × 106 = 5010000，
∴近似数5.01 × 106有3 个有效数字，精确到万位．
故答案为：3；万．
【变式16-2】（24-25 七年级上·浙江杭州·期中）近似数0.0070 的有效数字个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题主要考查有效数字的基本概念，熟记有效数字的概念：从一个数的左边第一个非零数字起，
到精确到的数位止，所有数字都是这个数的有效数字．
根据有效数字的定义来进行求解．
【详解】解：近似数0.0070 的有效数字是：7 和0，共2 个有效数字．
故选：B．
【变式16-3】（24-25 七年级上·甘肃武威·期末）把56.595精确到百分位得__________，此时有_______位有
效数字．
【答案】
56.60
四
【分析】本题考查了近似数和有效数字，经过四舍五入得到的数为近似数，近似数与精确数的接近程度，
可以用精确度表示．一般有精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．近似数的最后一个数字实际在什么
位上，即精确到了什么位；有效数字是从左边第一个不是0 的数字起，所有的数字．取近似数的时候，要
求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．
根据近似数和有效数字的定义作答即可．
【详解】把56.595精确到百分位得56.60，此时有四位有效数字．
故答案为：56.60，四．
【题型17 由近似数推断准确数的取值范围】
【例17】（25-26 八年级下·江西吉安·期中）已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这
个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：由题意可知：这个数在2.45和2.54之间，则符合题意的只有B 选项．
【变式17-1】（25-26 七年级上·安徽安庆·月考）某同学测量身高近似1.68米，若这位同学的身高记为𝑥米，
则𝑥的取值范围为（ ）
A．1.6 ≤𝑥≤1.7
B．1.675 < 𝑥< 1.684
C．1.675 ≤𝑥< 1.685
D．1.675 ≤𝑥≤1.684
【答案】C
【分析】本题考查了近似数推断取值范围，身高近似1.68 米是四舍五入到百分位的结果，据此即可得到𝑥的
取值范围．
【详解】解：∵身高近似1.68 米，是四舍五入到百分位的结果，
∴𝑥的取值范围为1.675 ≤𝑥< 1.685，
故选：C．
【变式17-2】由四舍五入得到的近似数83.50．精确到_______位，它表示大于或等于_______，而小于_______
的数．
【答案】
百分
83.495
83.505
【分析】根据近似数的精确度的定义、四舍五入的方法即可得．
【详解】近似数83.50的最后一位是0，在百分位上，则精确到百分位
由四舍五入的方法得：当近似数83.50的前四位是83.49时，千分位上的数字应大于或等于5；当近似数83.50
的前四位是83.50时，千分位上的数字应小于5
则它表示大于或等于83.495，而小于83.505的数
故答案为：百分，83.495，83.505．
【点睛】本题考查了近似数的精确度的定义、四舍五入的方法，掌握理解近似数的精确度是解题关键．
【变式17-3】（25-26 七年级上·海南·开学考试）一个三位小数精确到百分位是1.80，下面关于这个三位小
数说法错误的是（ ）
A．这个三位小数最小是1.795
B．这个三位小数最大是1.804
C．符合条件的三位小数一共有9个
D．符合条件的三位小数一共有10个
【答案】C
【分析】本题考查了近似数，根据精确度逐项判断即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：A、这个三位小数最小是1.795，该选项说法正确，不合题意；
B、这个三位小数最大是1.804，该选项说法正确，不合题意；
C、符合条件的三位小数有1.795，1.796，1.797，1.798，1.799，1.800，1.801，1.802，1.803，1.804，一
共有10个，该选项说法错误，符合题意；
D、符合条件的三位小数一共有10个，该选项说法正确，不合题意；
故选：C．
【题型18 近似数与科学记数法的综合运用】
【例18】第三届国际新材料产业大会于2023 年11 月23 日-26 日在蚌埠市举办．大会期间，全省共签约项
目8 个，总投资额达到880.22亿元．其中“880.22亿”用科学记数法（精确到亿位）表示为（ ）
A．8.8022 × 1010 B．8.80 × 1010
C．8.80 × 109
D．8.8 × 1010
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的近似数和科学记数法，先求出880.22亿的近似数，再根据科学记数法
的表现形式为𝑎× 10𝑛的形式，其中1 ≤|𝑎| < 10，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点
移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10 时，n 是正数，当原数绝
对值小于1 时n 是负数；进行求解即可得到答案．
【详解】解：880.22亿（精确到亿位）= 88022000000 ≈88000000000 = 8.80 × 1010，
故选B．
【变式18-1】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）DeepSeek 是中国深度求索公司研发的高性能AI 语言模型，
广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2026 年1 月，DeepSeek 全球月活跃用户数突破46200000 个，创
下行业新纪录．用科学记数法表示46200000 并精确到百万位，下列正确的是（ ）
A．46.2 × 106
B．4.62 × 107
C．46 × 106
D．4.6 × 107
【答案】D
【分析】本题主要考查科学记数法与近似数，需将数字精确到百万位并用科学记数法表示，其中科学记数
法的形式为𝑎× 10𝑛，且系数a 满足1 ≤|𝑎| < 10，然后问题可求解．
【详解】解：∵百万位为106，46200000 精确到百万位需看十万位（105），十万位数字为2 < 5，
∴舍去，得46000000，
∴46000000 = 4.6 × 107，
故选D．
【变式18-2】（25-26 八年级上·江苏南京·期中）用四舍五入法对1990520 取近似值，精确到十万位，结果
为__________（用科学记数法表示）．
【答案】2.0 × 106
【分析】本题主要考查了科学记数法与精确度．一个近似数精确到十位或十位以前的数位时，要先用科学
记数法表示出这个数，再进行四舍五入．
精确到十万位，需看万位数字，1990520的万位为9 ≥5，向十万位进位，得到2000000，再用科学记数法
表示为2.0 × 106．
【详解】解：1990520 ≈2000000 = 2.0 × 106．
故答案为2.0 × 106．
【变式18-3】（2026·山东济宁·一模）据济宁市旅游局统计，2012 年春节约有359525 人来济旅游， 将这个
旅游人数 (保留三个有效数字)用科学记数法表示为
A．3.59 × 105
B．3.60 × 105
C．3.5 × 105
D．3.6 × 105
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法和有效数字，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
科学记数法的表示形式为𝑎× 10𝑛的形式，其中1 ≤|𝑎| < 10，𝑛为整数．确定𝑛的值时，要看把原数变成𝑎时，
小数点移动了多少位，𝑛的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值> 1时，𝑛是正数；当原数的绝
对值< 1时，𝑛是负数．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0 的数字起，后面所有的数字都是有效
数字．根据科学记数法定义和有效数字的计算方法求解即可．
【详解】解：∵359525 一共6 位，
∴359525 = 3.5925 × 105，
∵保留三个有效数字，
∴3.5925 × 105 ≈3.60 × 105．
故选B．
