专题26.3 二次函数的图象和性质（提高篇）（举一反三讲义）
【新教材人教版】
【题型1 二次函数y=ax²+bx+c 图象上点的坐标特征】......................................................................................2
【题型2 二次函数y=ax²+bx+c 的性质】..............................................................................................................2
【题型3 二次函数y=ax²+bx+c 的图象】..............................................................................................................3
【题型4 二次函数图象与各项系数符号】............................................................................................................5
【题型5 一次函数的图象综合判断】....................................................................................................................6
【题型6 两个二次函数图象的综合判断】............................................................................................................7
【题型7 用“一般式”求二次函数解析式】...........................................................................................................10
【题型8 用“顶点式”求二次函数解析式】...........................................................................................................11
【题型9 用“交点式”求二次函数解析式】...........................................................................................................12
【题型10 二次函数关于点或直线对称的解析式】..............................................................................................12
【题型11 二次函数图象的平移】..........................................................................................................................13
【题型12 二次函数的对称性】..............................................................................................................................14
【题型13 二次函数的最值】..................................................................................................................................14
【题型14 二次函数的取值范围】..........................................................................................................................15
【题型15 利用二次函数的对称性求最短路径】..................................................................................................15
知识点1 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质
1. 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)转化成顶点式𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌，其中𝒉= −
𝒃
𝟐𝒂，𝒌=
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
，所以二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐图象的对称轴是直线𝒙= −
𝒃
𝟐𝒂，顶点坐标为−𝒃
𝟐𝒂，
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
．
2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质
符号
𝑎> 0
𝑎< 0
函数图像
题型归纳
考点1
二次函数y＝ax2+bx+c 的图象和性质
开口方向
向上
向下
对称轴
𝒙= −𝒃
𝟐𝒂
顶点坐标
−
𝒃
𝟐𝒂，
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
增减性
在对称轴右侧时，y 随x 的增大
而增大；
在对称轴左侧时，y 随x 的增大
而减小
在对称轴左侧时，y 随x 的增大而
增大；
在对称轴右侧时，y 随x 的增大而
减小
最值
当𝒙= −
𝒃
𝟐𝒂时,𝑦最小值= 4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
当𝒙= −
𝒃
𝟐𝒂时,𝑦最大值= 4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
【题型1 二次函数y=ax²+bx+c 图象上点的坐标特征】
【例1】已知二次函数𝑦= 2𝑥2−𝑚𝑥+ 𝑛的顶点坐标为(1,−3)，则（1）𝑚+ 𝑛的值为________；
（2）当0 ≤𝑥≤𝑎时，若y 的最小值与最大值之和为12，则a 的值为________．
【变式1-1】（25-26 九年级上·广东清远·期末）把二次函数𝑦= 𝑥2−2𝑥+ 4变形为𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘的形式，
则ℎ+ 𝑘的值为______ ．
【变式1-2】（2025 九年级上·全国·专题练习）如果抛物线𝑦= 𝑥2−6𝑥+ 𝑐−2的顶点到𝑥轴的距离是4，那么𝑐
的值等于( )
A．7
B．15
C．7 或15
D．−7或−15
【变式1-3】（2025·江苏宿迁·三模）定义：抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−𝑚)2 +𝑘（a，m，k 为常数，𝑎> 0）中存在一点
𝑃(𝑥0,𝑦0)使得
𝑦0−𝑘
𝑥0−𝑚= 2，则称𝑦0−𝑘为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2
+2𝑎𝑥+ 1(𝑎> 0)的“相对深度”为6，则a 的值为______．
【题型2 二次函数y=ax²+bx+c 的性质】
【例2】（2026·广东广州·二模）已知抛物线𝑦= −𝑥2 +2𝑘𝑥+ 1与𝑥轴交于(𝑥1,0)，(𝑥2,0)两点，且𝑥1 < 𝑥2．若
点𝐴(𝑚,𝑛)在该抛物线上，则下列判断正确的是（ ）
A．当𝑛> 0时，𝑥1 < 𝑚< 𝑥2
B．当𝑛< 0时，𝑚< 𝑥1
C．当𝑘= 0时，该抛物线的顶点到达最高处
D．该抛物线与𝑦= −𝑥+ 1没有交点
【变式2-1】（2026·江苏南通·一模）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2−4𝑎𝑥+ 2(𝑎< 0)的图象过点𝐴(−1,𝑦1)，𝐵(2,𝑦2)，𝐶
(6,𝑦3)，若𝑦1𝑦2𝑦3 < 0，则𝑎的取值范围是（ ）
A．−
2
5 < 𝑎< −
1
4
B．−
2
5 < 𝑎< −
1
6
C．−
3
4 < 𝑎< −
2
5
D．−
1
3 < 𝑎< −
1
6
【变式2-2】（2026·江苏宿迁·二模）设二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 1（𝑎，𝑏为常数，𝑎≠0）经过点(2,0)、
(−1,𝑞)．若𝑞< 2，则𝑎的取值范围是______．
【变式2-3】（25-26 九年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 1（a，
b 为常数且𝑎≠0），已知2𝑎2 +𝑏= 0，𝐴(𝑥1,𝑦1)和𝐵(3𝑎,𝑦2)是抛物线上的两点，对于2 ≤𝑥1 ≤6都有𝑦1 <
𝑦2，则a 的取值范围是_______．
【题型3 二次函数y=ax²+bx+c 的图象】
【例3】（25-26 九年级上·重庆开州·期中）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象与𝑥轴交于(3,0)，该
函数图象的顶点坐标为(−1,4)，则该函数图象与𝑥轴的另一个交点坐标为_________．
【变式3-1】在“探索函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的系数a，b，c 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中
的四个点：𝑀(−3,1)，𝑁(−2,3)，𝑃(−1,0)，𝑄(0,2)．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，
发现这些图象对应的函数解析式各不相同，其中组成的二次函数图象a 值最小的三点为（ ）
A．M，P，Q
B．M，N，P
C．N，P，Q
D．M，N，Q
【变式3-2】如图是二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐图象的一部分，图象过𝐴−3，0 抛物线的对称轴为直线
𝑥= −1，若𝐶
5
2 ,𝑦1 、𝐷−
1
2 ,𝑦2 、𝐸
3
2 ,𝑦3 ，均为函数图象上的点，则𝑦1、𝑦2、𝑦3大小关系为______．
【变式3-3】已知二次函数𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3．
(1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象；
(2)若三点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝐶(𝑥3,𝑦3)且2 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3，则𝑦1，𝑦2，𝑦3的大小关系为
．
(3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 𝑦= 𝑥2的图象?请写出一种平移方案．
知识点2 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系
二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+ 𝒄(𝒂≠𝟎)的图象特征与𝒂，𝒃，𝒄，𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄的符号关系
代数式（决定因素）
图像特征
符号判定
抛物线开口向上
𝑎> 0
a(开口方向)
抛物线开口向下
𝑎< 0
对称轴在y 轴右侧，即𝑥= −𝑏
2𝑎> 0
a、b 异号
b(对称轴位置、a 的正负)
对称轴在y 轴左侧，即𝑥= −𝑏
2𝑎< 0
a、b 同号
交于原点
𝑐= 0
交于y 轴正半轴
𝑐> 0
c(抛物线与y 轴交点位置)
交于y 轴负半轴
𝑐< 0
考点2
二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与系数的关系
与x 轴有两个交点
𝑏2−4𝑎𝑐> 0
与x 轴有一个交点
𝑏2−4𝑎𝑐= 0
𝑏2−4𝑎𝑐(与x 轴交点个数)
与x 轴没有交点
𝑏2−4𝑎𝑐< 0
【题型4 二次函数图象与各项系数符号】
【例4】二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的𝑎> 0，𝑏> 0，𝑐> 0，那么其图象必过（ ）
A．第二、三、四象限
B．第一、三、四象限
C．第一、二象限
D．第一、二、三象限
【变式4-1】（2026·贵州遵义·一模）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象如图所示，则点𝑃(𝑎,𝑐)所在的象限是
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式4-2】（2026·河南周口·一模）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象如图所示，对称轴为𝑥= 1，下列结论：
①𝑎𝑏𝑐> 0；②𝑏2−4𝑎𝑐> 0；③2𝑎+ 𝑏= 0；④𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0，其中正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【变式4-3】（25-26 九年级下·广东河源·阶段检测）如图，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的部分图象与𝑥轴的一
个交点𝐴位于(−2, 0)和(−1, 0)之间，顶点𝑃的坐标为(1, 𝑛)．下列结论：
①𝑎𝑏𝑐< 0；②对于任意实数𝑚，都有𝑎𝑚2 +𝑏𝑚−𝑎−𝑏≥0；③3𝑏< 2𝑐；④若该二次函数的图象与𝑥轴的
另一个交点为𝐵，则点𝐵的横坐标位于3 和4 之间．其中所有正确结论的序号是___________．
【题型5 一次函数的图象综合判断】
【例5】（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示，则函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑐
的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（25-26 九年级下·黑龙江·期中）一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏和二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎,𝑏,𝑐是常数，
且𝑎≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2026·安徽淮南·一模）若二次函数𝑦= 𝑎𝑥2与一次函数𝑦= 𝑏𝑥−𝑐(𝑎𝑏≠0)的图象如图所示，则
下列结论正确的是（ ）
A．𝑎𝑏𝑐> 0
B．𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0
C．𝑎+ 𝑐< 0
D．𝑎< 𝑏< 2𝑎
【变式5-3】（25-26 九年级上·江西鹰潭·期末）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过第一、二、四象限，则
二次函数𝑦= −𝑘𝑥2 +𝑏𝑥的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型6 两个二次函数图象的综合判断】
【例6】（2026·安徽滁州·二模）已知𝑦1与𝑦2是关于x 的二次函数，函数图象如图所示，则函数𝑦= 𝑦1−𝑦2的
图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】已知二次函数𝑦1 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐和𝑦2 = 𝑏𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑐，𝑎> 𝑏，则下列说法正确的是（ ）
A．当𝑥< 0时，𝑦1 < 𝑦2
B．当0 < 𝑥< 1时，𝑦1 < 𝑦2
C．当0 < 𝑥< 1时，𝑦1 > 𝑦2
D．当𝑥> 1时𝑦1 < 𝑦2
【变式6-2】抛物线y1＝
1
2（x-h）2＋k 与𝑦2 = 𝑎(𝑥+ 3)2−1交于点A，分别交y 轴于点P，Q，过点A 作x 轴
的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①𝑎=
1
2；②点
（2，m）、（
3 3，n）及（
5
2，p）都在y1 上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝
13
4 ．
A．②④
B．①③
C．②③
D．②③④
【变式6-3】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b 与y＝bx2＋ax 的图象可能是( )
A．
B．
C．
D．
知识点3 求二次函数的解析式
1. 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数
的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y 的值），可设解析式为𝒚= 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+ 𝒄(𝒂≠𝟎)．
（2）顶点式：
已知抛物线顶点（ℎ，𝑘）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌(𝒂≠𝟎)，特殊地，若
抛物线顶点在原点，则ℎ= 𝑘= 0，设其解析式为𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)．
（3）交点式：
已知抛物线与x 轴的交点坐标为（𝑥1，0），（𝑥2，0），可设解析式为𝒚= 𝒂(𝒙−𝒙𝟏)(𝒙−𝒙𝟐)(𝒂≠𝟎)．
2. 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘(𝑎≠0)，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：
一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，
利用顶点式即可求出解析式．
3. 二次函数关于点或直线对称的解析式
考点3
求二次函数的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或
某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于x 轴对称的抛物线的解析式
𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)关于x 轴对称的抛物线的解析式：𝑦= −𝑎𝑥2−𝑏𝑥−𝑐；
𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘(𝑎≠0)关于x 轴对称的抛物线的解析式：𝑦= −𝑎(𝑥−ℎ)2−𝑘．
（2）关于y 轴对称的抛物线的解析式
𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)关于y 轴对称的抛物线的解析式：𝑦= 𝑎𝑥2−𝑏𝑥+ 𝑐；
𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘(𝑎≠0)关于y 轴对称的抛物线的解析式：𝑦= 𝑎(𝑥+ ℎ)2 +𝑘．
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：𝑦= −𝑎𝑥2−𝑏𝑥+ 𝑐−
𝑏2
2𝑎；
𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘(𝑎≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：𝑦= −𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘．
【题型7 用“一般式”求二次函数解析式】
【例7】（24-25 九年级下·湖南郴州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 3经过点𝐴(3,0)和点
𝐵(4,3)．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
(2)求这条抛物线的对称轴、顶点坐标．
【变式7-1】（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象经过(0,0)，(−1,−11)，
(1,9)三点，求这个二次函数的表达式．
【变式7-2】（25-26 九年级上·上海崇明·期末）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐经过
点𝐴(3,−1)、𝐵(0,−4)
(1)求抛物线的表达式；
(2)若将该抛物线向上平移𝑚(𝑚> 0)个单位长度，使得平移后的抛物线与𝑥轴只有一个公共点，求𝑚的值．
【变式7-3】（2024·山东聊城·模拟预测）如图所示，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的对称轴为直线
𝑥= −1，抛物线与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点，与𝑦轴交于𝐶点，其中𝐴(−3,0)，𝐶(0,−2)．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)已知在对称轴上存在一点𝑃，使得△𝑃𝐵𝐶的周长最小．请求出点𝑃的坐标．
【题型8 用“顶点式”求二次函数解析式】
【例8】（25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知二次函数的图象与𝑥轴的交点为𝐴(−2,0)，𝐵(4,0)，其
顶点𝑀在函数𝑦= 2𝑥的图象上．
(1)求二次函数的表达式．
(2)将二次函数的图象水平向右平移3 个单位，所得到的抛物线交𝑥轴于𝐶，𝐷两点（𝐶点在𝐷点的左边），顶
点为𝑁，求四边形𝐴𝐶𝑁𝑀的面积．
【变式8-1】（25-26 九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象上的部分点的横
坐标𝑥，纵坐标𝑦的对应值如下表：
𝑥
…
−4
−3
−2
−1
0
…
𝑦
…
1
−2
−3
𝑚
1
…
(1)二次函数图象的顶点坐标为_________，𝑚= _________；
(2)求该二次函数的表达式．
【变式8-2】（25-26 九年级上·广东广州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c 图象与y 轴交于点𝐴(0,−2)，顶点
为𝐵(1,−3)．
(1)求该二次函数解析式．
(2)当0 ≤𝑥≤6时，求y 的取值范围．
【变式8-3】（25-26 九年级上·山东滨州·期末）二次函数：已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的顶点坐标为
(−2,1)，且过点(2,7)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)请画出抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象（只画图，并标出其中三个关键点的坐标）；
(3)试说明将抛物线𝑦= 𝑎𝑥2经过怎样的平移，可以得到此抛物线的图象．
【题型9 用“交点式”求二次函数解析式】
【例9】在平面直角坐标系中，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与x 轴交于𝐴(−2,0)，𝐵(6,0)，与y 轴交于点
𝐶(0,3)，求此抛物线的解析式．
【变式9-1】（25-26 八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点𝐴(0,0)，𝐵(2,0)，𝐶
(1,−3)．求该二次函数的表达式．
【变式9-2】已知抛物线与x 轴交于𝐴(−2,0)，𝐵(6,0)两点，与y 轴交于点𝐶(0,−3)．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若在坐标平面内存在点G，使得点G 到A，B，C 三点的距离都相等，请求出点G 的坐标．
【变式9-3】（24-25 九年级上·湖北十堰·阶段检测）材料一：经过一点(𝑚,𝑡)的直线解析式总可以表示为：
𝑦= 𝑘(𝑥−𝑚) +𝑡比如过一点(2,3)的直线解析式可以表示为：𝑦= 𝑘(𝑥−2) +3．
材料二：二次函数𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象若与直线𝑦= 𝑛有两点交点(𝑥1,𝑛)，(𝑥2,𝑛)，则此二次函数可表示为：
𝑦= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2) +𝑛，我们称此形式为“广义的二次函数交点式”；
(1)由材料一：直接写出直线𝑦= 𝑘(𝑥+ 1) +8经过的定点坐标；
(2)由材料二：若二次函数𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐经过(−1,8)，(4,3)，(5,8)， 试求该二次函数的解析式．（结果写
成一般式）
(3)若一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑝与（2）中的抛物线交于点(5,8)，试用k 表示出另一交点的横坐标．
【题型10 二次函数关于点或直线对称的解析式】
【例10】抛物线𝑦= 2𝑥2−12𝑥+ 16关于原点对称的抛物线的解析式为____．
【变式10-1】在平面直角坐标系中，抛物线𝑦= −(𝑥+ 1)2 +2关于𝑦轴对称的抛物线的解析式为( )
A．𝑦= −(𝑥−1)2 +2
B．𝑦= −(𝑥+ 1)2−2
C．𝑦= (𝑥+ 1)2−2
D．𝑦= (𝑥−1)2 +2
【变式10-2】规定：两个函数𝑦1，𝑦2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数𝑦1 = 2𝑥+ 2
与𝑦2 = −2𝑥+ 2的图象关于y 轴对称，则这两个函数互为“Y 函数”．若函数𝑦= 𝑘𝑥2 +2(𝑘−1)𝑥+ 𝑘−3（k 为
常数）的“Y 函数”图象与x 轴只有一个交点，则其“Y 函数”的解析式为______．
【变式10-3】（2024·云南昆明·一模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎（𝑎为常数且𝑎≠0）的顶点在𝑥轴上方，
且到𝑥轴的距离为4．
(1)求二次函数的解析式；
(2)将二次函数𝑦= 𝑎𝑥2−2𝑎−3𝑎(𝑥≥0)的图象记为𝑇1，将𝑇1关于原点对称的图象记为𝑇2，𝑇1与𝑇2合起来得到
的图象记为𝑇，完成以下问题：
①在网格中画出函数𝑇的图象；
②若对于函数𝑇上的两点𝑃(𝑥1,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)，当𝑥1 ≤−2，𝑡≤𝑥2 ≤𝑡+ 1时，总有𝑦1 > 𝑦2，求出𝑡的取值范
围．
考点3
考点3
【题型11 二次函数图象的平移】
【例11】（2026·河南开封·二模）将二次函数𝑦= 2(𝑥−3)2 +1的图象向左平移2 个单位长度，再向下平移3
个单位长度，所得图象的函数解析式为__________．
考点4
二次函数的综合运用
【变式11-1】（2026·福建三明·三模）将抛物线𝐶: 𝑦= −(𝑥−3)2 +6进行平移得抛物线𝐶′: 𝑦= −𝑥2 +2，点
𝑃(𝑚,5)在抛物线𝐶上，对应点𝑃′在抛物线𝐶′上，则点𝑃′的横坐标可以是（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式11-2】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线𝑦= 𝑥2−(𝑎−1)𝑥+ 𝑎2−4(𝑎> 0)
向左平移2个单位长度，平移后的抛物线与𝑦轴的交点为𝐴(0,5)，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【变式11-3】（2026·宁夏银川·二模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛
物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线𝐶1:𝑦= (𝑥−2)2−4向右平移m（𝑚> 0）个单位长度后得到新
的抛物线𝐶2，若(4,𝑛)为“平衡点”，则m 的值为______．
【题型12 二次函数的对称性】
【例12】（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 𝑐（𝑐为常数），若其图像上有两点𝐴(𝑚−2,𝑛)，
𝐵(𝑚+ 2,𝑛)，则𝑚的值是________．
【变式12-1】（2026·安徽蚌埠·三模）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)的图象与𝑥轴交于𝐴(−1,0)，𝐵(𝑚,0)
两点．若2 < 𝑚< 3，则（ ）
A．−3𝑎< 𝑏< −2𝑎
B．−2𝑎< 𝑏< −𝑎
C．−𝑎< 𝑏< −
1
2𝑎D．−
1
2𝑎< 𝑏< 0
【变式12-2】（25-26 九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐关于直线𝑥= 1对称，其
部分图象如图所示，则3𝑎+ 𝑐= ________．
【变式12-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知点(−𝑚,0)和(3𝑚,0)在二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 3（𝑎，𝑏是常
数，𝑎≠0）的图象上．
(1)当𝑚= −1时，求𝑎和𝑏的值；
(2)若二次函数的图象经过点𝐴(𝑛,3)且点𝐴不在坐标轴上，当−2 < 𝑚< −1时，求𝑛的取值范围；
(3)用等式表示𝑏与𝑎之间的数量关系，并给予证明．
【题型13 二次函数的最值】
【例13】（2026·辽宁·一模）已知抛物线𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 1，当−1 ≤𝑥≤4时，函数𝑦的最大值是_____．
【变式13-1】（2026·福建福州·模拟预测）若函数𝑦= 𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑏在0 ≤𝑥≤1的最大值是𝑀，最小值是𝑚，
则𝑀−𝑚（ ）
A．与𝑎有关，且与𝑏有关
B．与𝑎有关，但与𝑏无关
C．与𝑎无关，且与𝑏无关
D．与𝑎无关，但与𝑏有关
【变式13-2】（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2−6𝑎𝑥+ 9𝑎+ 5(𝑎≠0)，当𝑥≤2时，y 随x
的增大而增大．当0 ≤𝑥< 𝑘时，函数的最大值是5，最小值是9𝑎+ 5，则k 的值可能是（ ）
A．10
B．9
C．7
D．5
【变式13-3】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线𝑦= 𝑥2−2𝑡𝑥+ 𝑡2−𝑡，点𝑃(𝑥1,𝑦1)在抛物线上，其中
𝑡−1 ≤𝑥1 ≤𝑡+ 2．若𝑦1的最小值是−2，则𝑦1的最大值是______．
【题型14 二次函数的取值范围】
【例14】（2026·江苏镇江·二模）已知二次函数𝑦= 𝑥2 +𝑥+ 3，当−2 ≤𝑥≤𝑛（n 为常数）时，二次函数
𝑦= 𝑥2 +𝑥+ 3的最大值与最小值的差为
9
4，则n 的取值范围为_________．
【变式14-1】（2026·安徽阜阳·二模）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2−4𝑥+ 1的对称轴为直线𝑥= 2，若直线𝑦= 𝑚与抛物线
𝑦= 𝑎𝑥2−4𝑥+ 1在−1 ≤𝑥≤4的范围内有交点，则m 的取值范围是（ ）
A．−3 ≤𝑚≤4
B．−3 ≤𝑚≤6
C．1 ≤𝑚≤6
D．1 ≤𝑚≤4
【变式14-2】（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点𝐴(2−𝑡,𝑘)，𝐵(𝑡,𝑘)是抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐上不同的两点，
当0 ≤𝑥≤𝑚时，y 的取值范围是𝑐−1 ≤𝑦≤𝑐，则m 的取值范围是___________．
【变式14-3】二次函数𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象经过点(1,0)，(2,3)，在𝑎≤𝑥≤6范围内有最大值为4，最小
值为−5，则a 的取值范围为______．
【题型15 利用二次函数的对称性求最短路径】
【例15】（25-26 九年级上·河南新乡·期中）如图，抛物线𝑦= −𝑥2−3𝑥+ 10与x 轴交于A，B 两点，与y 轴
交于点C，P 是抛物线的对称轴上一动点，连接𝐵𝑃，𝐶𝑃，则当𝐵𝑃+ 𝐶𝑃的值最小时，点P 的坐标为______．
【变式15-1】（25-26 九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，抛物线𝑦= 𝑥2−4𝑥+ 3与𝑥轴分别交于𝐴，𝐵两点
（点𝐴在点𝐵的左侧），与𝑦轴交于点𝐶，在其对称轴上有一动点𝑀，连接𝑀𝐴，𝑀𝐶，当𝑀𝐶+ 𝑀𝐴最小时，则
𝑀𝐶+ 𝑀𝐴= ___________．
【变式15-2】如图，二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−1)2的图像经过点𝐴(−1,4),与𝑦轴交于点𝐵,𝐶、𝐷分别为𝑥轴、直线𝑥= 1
上的动点,当四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长最小时,𝐶𝐷所在直线对应的函数表达式是( )
A．𝑦= 3𝑥−
3
2
B．𝑦= 3𝑥−1
C．𝑦=
8
5𝑥−
4
5
D．𝑦=
5
3𝑥−1
【变式15-3】（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +4𝑥−6的图象
与x 轴交于B，C 两点，与y 轴交于点D，其中点B 的坐标是(2,0)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在y 轴正半轴上是否存在点P，使得𝑃𝐶+ 𝑃𝐴的值最小？若存在，求出点P 的坐标以及这个最小值；若不
存在，请说明理由；
(3)若将线段𝐵𝐷向右平移n 个单位长度(𝑛> 0)，若线段𝐵𝐷与二次函数的图象无交点，请直接写出平移距离n
的取值范围．
