文档内容
专题 02 判定两个三角形全等的常用思路（举一反三专项训练）
【人教版2024】
【题型1 已知两边找第三边SSS】..........................................................................................................................1
【题型2 已知两边找夹角SAS】..............................................................................................................................5
【题型3 已知一角与邻边找这边的另一个邻角ASA】.........................................................................................9
【题型4 已知一角与邻边找这个角的另一个邻边SAS】...................................................................................13
【题型5 已知一角与邻边找这边的对角AAS】...................................................................................................16
【题型6 已知一角与对边找一角AAS】...............................................................................................................19
【题型7 已知两角找夹边ASA】...........................................................................................................................22
【题型8 已知直角与邻边找对边HL】.................................................................................................................24
【题型9 已知直角与对边找对边HL】.................................................................................................................27
【题型10 已知两边找直角HL】............................................................................................................................30
知识点 判定两个三角形全等的常用思路
（1）找第三边——利用“SSS”；
已知两边 （2）找夹角——利用“SAS”；
（3）找直角——利用“HL”
（1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”；
已知一角与 （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”；
邻边 （3）找这边的对角——利用“AAS”；
已知一边一角
（4）若是直角找对边——利用“HL”
已知一角与 （1）找一角——利用“AAS”；
对边 （2）若是直角找一边——利用“HL”
（1）找夹边——利用“ASA”；
已知两角
（2）找夹边外任意一边——利用“AAS”
【题型1 已知两边找第三边SSS】
【例1】（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，E为边BA上一点，且
AE=CD，连接AD，F为AD的中点．连接EF并延长，交AC于点G，在FG上截取点H，使FH=FE，
连接GD，若HG=CG．(1)求证：△AEF≌△DHF；
(2)求证：∠B=2∠GDC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，
（1）利用SAS证明即可；
（2）利用全等的性质和平行线的性质得出∠B=∠HDC，再利用SSS来证明△HGD≌△CGD，利用等
量代换即可证明．
【详解】（1）∵点F是AD的中点，
∴AF=DF，
{
AF=DF
)
在△AEF和△DHF中， ∠AFE=∠DFH ，
FE=FH
∴△AEF≌△DHF(SAS)．
（2）∵△AEF≌△DHF，
∴AE=DH，∠AEF=∠DHF，
∴AB∥DH，
∴∠B=∠HDC，
∵AE=CD，
∴DH=CD．
{DH=CD
)
在△HGD和△CGD中， HG=CG ，
DG=DG
∴△HGD≌△CGD(SSS)，
∴∠HDG=∠CDG，
∴∠HDC=2∠GDC，
∴∠B=2∠GDC．
【变式1-1】如图，点D在△ABC内部，AB=AC，∠CBD=∠BCD．求证：△ABD≌△ACD．【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的判定，由∠CBD=∠BCD，可知BD=CD，再利用
SSS即可证明结论，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键．
【详解】证明：∵∠CBD=∠BCD，
∴BD=CD，
在△ABD与△ACD中，
{AB=AC
)
BD=CD ，
AD=AD
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
【变式1-2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，四边形ABCD中，AB=CD，AE=CF，BF=DE
，
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：∠DAE=∠BCF；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解
题的关键．
（1）由SSS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）由全等三角形的性质得∠ABE=∠CDF，利用SAS证明△ABD≌△CDB，根据全等三角形的性质
求出∠BAD=∠DCB，再根据角的和差得出结论．
【详解】（1）证明：∵BF=DE，
∴BF−EF=DE−EF，即BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
{AB=CD
)
AE=CF
BE=DF
∴ △ABE≌△CDF(SSS)
（2）证明：由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABD和△CDB中，
{
AB=CD
)
∠ABD=∠CDB
BD=DB
∴△ABD≌△CDB(SAS)，
∴∠BAD=∠DCB，
∴∠BAD−∠BAE=∠DCB−∠DCF，
即∠DAE=∠BCF．
【变式1-3】（24-25九年级上·云南昭通·期中）如图，在五边形ABCDE中，∠EAB=∠BCD=90°，
AB=BC，AE+CD=DE，将△ABE绕点B顺时针旋转后得到△CBM．
(1)求证：D、C、M三点在同一条直线上；
(2)求证：△EBD≌△MBD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）由旋转的性质得∠BAE=∠BCM=90°，求得∠BCM+∠BCD=180°，即可得证；
（2）利用SSS即可证明△EBD≌△MBD．
【详解】（1）证明：由旋转可得△ABE≌△CBM，
∴∠BAE=∠BCM=90°，∵∠BCD=90°，
∴∠BCM+∠BCD=180°，
∴D、C、M三点在一条直线上；
（2）证明：由旋转可得△ABE≌△CBM，
∴BM=BE，AE=CM，
∵AE+CD=DE，
∴CM+CD=DE，即DM=DE，
在△EBD和△MBD中，
{BE=BM
)
BD=BD ，
DE=DM
∴△EBD≌△MBD(SSS)．
【题型2 已知两边找夹角SAS】
【例2】（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，
AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC．
(1)求证：△ABC≌△AED．
(2)求证：∠BCD=∠EDC．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为
解题的关键．
（1）先说明∠BAC=∠EAD，再根据SAS即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACB=∠ADE，再根据等边对等角的性质可得∠ACD=∠ADC，然后
根据角的和差即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD−∠CAD=∠EAC−∠CAD．∴∠BAC=∠EAD．
在△ABC与△AED中，
{
AB=AE,
)
∠BAC=∠EAD,
AC=AD,
∴△ABC≌△AED(SAS)．
（2）解：△ABC≌△AED，
∴∠ACB=∠ADE．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC．
∴∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，
∴∠BCD=∠EDC．
【变式2-1】（2025·福建福州·三模）如图，△ABC是等边三角形，D是BC上的点，点E在△ABC外，且
CE∥AB，CE=BD．求证：△ABD≌△ACE．
【答案】见解析
【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点．
首先由等边三角形得到∠B=∠CAB=60°，AB=AC，然后证明出∠B=∠ACE=60°，进而证明出
△ABD≌△ACE(SAS)．
【详解】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC，
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠CAB=60°，
∴∠B=∠ACE=60°
在△ABD和△ACE中，
{
AB=AC
)
∠B=∠ACE
BD=CE
∴△ABD≌△ACE(SAS)．【变式2-2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠CAB=∠EAD，连接CE，BD．试说明：△AEC≌△ADB．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是
解题的关键．先证明∠CAE=∠BAD，然后根据SAS可证△AEC≌△ADB．
【详解】解：因为∠CAB=∠EAD，
所以∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
所以∠CAE=∠BAD．
{
AC=AB
)
在△AEC和△ADB中， ∠CAE=∠BAD ，
AE=AD
所以△AEC≌△ADB(SAS)．
【变式2-3】（24-25八年级下·山西大同·期中）综合与探究
如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD，BE．
(1)求证：△ACD≌△BCE．
(2)如图2，将绕点C顺时针旋转至B，E，D三点共线，F为BC的中点，连接AE，EF．
①∠ADE的度数为________．
②试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)①60°②AE=2EF，理由见详解
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，求得
∠ACD=∠BCE．根据全等三角形的判定定理得到结论；
（2）①由（1）知，△ACD≌△BCE，得到∠ADC=∠BEC，求得∠ADE=120°−60°=60°，②如图，延长EF至点G，使得FE=FG．由F为BC的中点，得到BF=CF，根据全等三角形的性质得到
BE=CG，∠EBF=∠GCF，根据等边三角形的性质得到∠CDE=∠DEC=60°，ED=EC．根据全等
三角形的性质得到BE=AD，∠BEC=∠ADC，求得∠ECG=∠ADE．根据全等三角形的性质即可得
到结论．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全
等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD=∠DCE−∠ECA，∠BCE=∠ACB−∠ECA，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
{
AC=BC
)
∠ACD=∠BCE
CD=CE
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
（2）解：①与（1）同理得，△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠CED=∠EDC=60°，
∴∠BEC=120°，
∴∠ADC=120°，
∴∠ADE=120°−60°=60°，
故答案为：60°；
②AE=2EF，
理由：如图，延长EF至点G，使得FE=FG．
∵F为BC的中点，
∴BF=CF，在△BEF与△CGF中，
{
BF=CF
)
∠BFE=∠CFG
FE=FG
∴△BEF≌△CGF(SAS)，
∴BE=CG，∠EBF=∠GCF，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=∠DEC=60°，ED=EC．
∵∠EBF+∠ECF=∠DEC=60°，
∴∠GCF+∠ECF=∠ECG=60°．
由（1），得△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∴∠ADE=∠ADC−∠CDE=60°，AD=CG，
∴∠ECG=∠ADE．
在△ADE与△GCE中，
{
AD=CG
)
∠ADE=∠GCE
DE=CE
∴△ADE≌△GCE(SAS)，
∴AE=≥¿，
∵FE=FG，
∴AE=2EF．
【题型3 已知一角与邻边找这边的另一个邻角ASA】
【例3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在AB,AC上各取一点E，D，使AE=AD，连接BD，
CE相交于点O，连接AO，∠1=∠2．求证：
(1)△AOE≌△AOD
(2)∠B=∠C．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用公共边，结合SAS证明即可．
（2）利用ASA证明△BAO≌△CAO(ASA)即可得到结论．
本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
{AE=AD
)
【详解】（1）证明：∵ ∠1=∠2 ，
AO=AO
∴△AOE≌△AOD(SAS)．
（2）证明：∵△AOE≌△AOD(SAS)，
∴∠AOE=∠AOD，
∵∠BOE=∠COD，
∴∠AOE+∠BOE=∠AOD+∠COD，
∴∠AOB=∠AOC，
{
∠1=∠2
)
∵ AO=AO ，
∠AOB=∠AOC
∴△AOB≌△AOC(ASA)，
∴∠B=∠C．
【变式3-1】（24-25九年级下·云南·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一
点，且∠A=∠BEC，AD=BE．求证：△ABD≌△ECB．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题
的关键．由平行线的性质得∠ADB=∠EBC，进而证明△ABD≌△ECB．
【详解】证明：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，
∴∠ADB=∠EBC，
在△ADB和△EBC中，{
∠A=∠BEC
)
AD=BE ，
∠ADB=∠EBC
∴ △ABD≌△ECB(ASA)．
【变式3-2】（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD上一
点，点D与点C关于点E成中心对称，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F．证明：点A与点F关于
点E成中心对称．
【答案】见解析
【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．证明
△ADE≌△FCE得AE=FE，AD=CF，即可得证．
【详解】证明：∵点D与点C关于点E中心对称，
∴ E是线段CD的中点，即DE=EC，
∵ AD∥BC，
∴ ∠D=∠DCF，
在△ADE与△FCE中，
{
∠D=∠ECF
)
DE=CE ，
∠AED=∠FEC
∴ △ADE≌△FCE(ASA)，
∴ AE=FE，AD=CF，
∴点A与点F关于点E成中心对称．
【变式3-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB，AC=4，∠EDF=60°，∠EDF的两边分别交AB，AC于点E，F
，AF=1．(1)求证：△ABD是等边三角形．
(2)求AE的长．
【答案】(1)见详解
(2)3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握
等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=60°，再由AD=AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD，证出∠BDE=∠ADF，由ASA
证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF，结合已知和AE=AB−BE=AC−BE即可．
【详解】（1）证明： AB=AC，AD⊥BC，
1∵
∠BAD=∠DAC= ∠BAC．
2
∴
∠BAC=120°，
∵ 1
∠BAD=∠DAC= ×120°=60°．
2
∴
又 AD=AB，
△∵ABD是等边三角形．
∴（2）证明： △ABD是等边三角形，
∠ABD=∠∵ADB=60°，BD=AD．
∴∠EDF=60°，
∵∠ADB=∠EDF．
∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE，
∴∠BDE=∠ADF．
∴在△BDE与△ADF中，
{∠DBE=∠DAF=60°
)
BD=AD ，
∠BDE=∠ADF
△BDE≌△ADF(ASA)．
∴BE=AF，
∴又 AF=1，
B∵E=1，
∴AC=4，AB=AC，
∵AE=AB−BE=AC−BE=3．
∴【题型4 已知一角与邻边找这个角的另一个邻边SAS】
【例4】（24-25八年级上·湖南郴州·期中）如图，在△ABC中，AB=CB，点D是边AC上一点，点E为
△ABC外的任意一点，连接BD,BE,DE，其中BE=BC，∠ABD=∠EBD．
(1)求证：△ABD≌△EBD；
(2)若∠CAB=∠DBA，BE=6，AC=10，求△BDC的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)16
【分析】本题考查全等三角形的判定，等角对等边；
（1）先证明BE=AB，再利用SAS证明△ABD≌△EBD即可；
（2）由∠CAB=∠DBA可得DA=DB，根据CD+BD+BC=AC+BC即可求出△BDC的周长．
【详解】（1）证明：∵AB=CB，BE=BC，
∴BE=AB，
又∵∠ABD=∠EBD，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)；
（2）解：∵∠CAB=∠DBA，
∴DA=DB，
∵BE=6，
∴BE=AB=CB=6，
∵AC=10，
∴△BDC的周长为CD+BD+BC=CD+AD+BC=AC+BC=16．【变式4-1】（2025·四川泸州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，E, F分别是边AB, BC上的点，且
AE=CF．
求证：AF=CE．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到AB=BC，再由
线段的和差关系证明BE=BF，则可利用SAS证明△ABF≌△CBE，据此由全等三角形对应边相等可证明
AF=CE．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AE=CF，
∴AB−AE=BC−CF，即BE=BF，
在△ABF和△CBE中，
{
BF=BE
)
∠B=∠B ，
BA=BC
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴AF=CE．
【变式4-2】（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF=DC，
AB=DE，∠A=∠D．求证：△ABC≌△≝¿．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据AF=DC，得AC=DF，结合AB=DE，∠A=∠D，证明
△ABC≌△≝(SAS)，即可作答．
【详解】解：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，
则AC=DF，
∵AB=DE，∠A=∠D，
∴△ABC≌△≝(SAS)．
【变式4-3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点
E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE=CF，连接DE，BF．求证：DE=BF．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，
证明△DOE≌△BOF(SAS)是解题的关键．
证△DOE≌△BOF(SAS)，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
∵AE=CF
∴OA+AE=OC+CF
即OE=OF
在△DOE和△BOF中，
{
OE=OF
)
∠DOE=∠BOF
OD=OB
∴△DOE≌△BOF(SAS)
∴DE=BF
【题型5 已知一角与邻边找这边的对角AAS】
【例5】（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直
线AB的两侧，且AE=BF，∠A=∠B，∠DCE=∠CDF．(1)求证：△ACE≌△BDF；
(2)若AB=16，AC=4，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)CD的长为8．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，
（1）利用等量代换得∠ACE=∠BDF，从而利用“AAS”证明△ACE≌△BDF即可；
（2）由（1）知△ACE≌△BDF，可得BD=AC=4，再利用CD=AB−AC−BD求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠ACE+∠DCE=180°，∠BDF+∠CDF=180°，且∠DCE=∠CDF，
∴∠ACE=∠BDF，
在△ACE和△BDF中，
{
∠A=∠B
)
∠ACE=∠BDF ，
AE=BF
∴△ACE≌△BDF(AAS)；
（2）解：∵△ACE≌△BDF，
∴AC=BD=4，
∵AB=16，
∴CD=AB−AC−BD=16−4−4=8，
∴CD的长为8．
【变式5-1】（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，∠BAD=∠EAC，∠B=∠E，BC=ED，求
证：△ABC≌△AED．
【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．由题意
可求得∠BAC=∠EAD，利用AAS即可判定△BAC≌△EAD．
【详解】证明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，
∴∠BAC=∠EAD．
在△BAC与△EAD中，
{∠BAC=∠EAD
)
∵ ∠B=∠E ，
BC=ED
∴△BAC≌△EAD(AAS)．
【变式5-2】（2025·江苏镇江·二模）如图，∠A=∠B，点D在AC边上，AE和BD相交于点O．
(1)若∠2=36°，则∠AEB=_____°；
(2)若∠1=∠2,AE=BE，求证：△AEC≌△BED．
【答案】(1)36
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握上
述基础知识是解题的关键；
（1）根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）先根据三角形的外角性质得到∠C=∠BDE，然后即可证明△AEC≌△BED(AAS)．
【详解】（1）解：∵∠A+∠2+∠AOD=∠B+∠AEB+∠BOE=180°，∠A=∠B，
∠AOD=∠BOE，
∴∠AEB=∠2=36°；
（2）证明：∵∠ADE=∠1+∠C，即∠2+∠BDE=∠1+∠C，
而∠2=∠1，
∴∠C=∠BDE，
在△AEC和△BED中，
¿，∴△AEC≌△BED(AAS)．
【变式5-3】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，点E、F在长方形ABCD的边AD上，连接BE、CF
，BE与CF的延长线交于点P，PE=PF．求证：AE=DF．
【答案】见解析
【分析】本题考查了长方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由长方形的性
质可得∠A=∠D=90°，AB=CD，由等边对等角结合对顶角相等即可得出∠BEA=∠CFD，最后证明
△ABE≌△DCF，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD，
∵PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE，
∵∠PEF=∠BEA，∠PFE=∠CFD，
∴∠BEA=∠CFD．
在△ABE和△DCF中，
{∠BEA=∠CFD
)
∠A=∠D ，
AB=CD
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴AE=DF．
【题型6 已知一角与对边找一角AAS】
【例6】（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，
AD∥BC，∠ADC=∠ACD，∠AED=∠ABC．求证：△ABC≌△DEA．【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，平行线性质，熟练掌握全等三角形的判定方
法是解本题的关键．根据平行线性质结合三角形内角和定理得到∠BAC=∠ADE，再根据“AAS”即可
证明三角形全等．
【详解】证明：∵ ∠ADC=∠ACD，
∴ AD=AC，
∵ AD∥BC，
∴ ∠DAB+∠ABC=180°，即∠DAE+∠BAC+∠AED=180°，
∵∠DAE+∠AED+∠ADE=180°，
∴ ∠BAC=∠ADE，
在△ABC与△DEA中，
{∠ADE=∠BAC
)
∠AED=∠ABC ，
AD=AC
∴ △ABC≌DEA(AAS)．
【变式6-1】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，DE垂
直平分AB交BC于点D，AB于点E，求证：△ACD≌△AED．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质得AD=BD，
∠AED=90°，进而得∠DAE=∠B=30°，∠CAD=∠DAE=30°，通过AAS证明△ACD≌△AED即
可．
【详解】证明：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，∵DE垂直平分AB交BC于点D，
∴AD=BD，∠AED=90°，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠CAD=∠DAE=30°，
在△ACD和△AED中，
{∠ACD=∠AED
)
∠CAD=∠EAD ，
AD=AD
∴△ACD≌△AED(AAS)．
【变式6-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点C在线段AB上，
AD∥EB，AC=BE，∠ACD=∠CEB．△ADC与△BCE全等吗？请说明理由．
【答案】△ADC≌△BCE；理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出
∠A=∠B，然后利用ASA即可证明△ACD≌△BEC．
【详解】解：△ADC≌△BCE，理由如下，
∵AD∥BE，
∴∠A=∠B．
在△ACD和△BEC中，
{
∠A=∠B
)
AC=BE ，
∠ACD=∠BEC
∴△ADC≌△BCE(ASA)．
【变式6-3】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN
经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：
(1)△ADC≌△CEB；
(2)DE=AD+BE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定、全等三角形的性质等知识点，熟练掌握
全等三角形性质和判定是解题的关键．
（1）利用三角形内角和定理和等量代换得到∠ACD=∠CBE，再利用“AAS”证明三角形全等即可；
（2）利用全等三角形性质得到AD=CE、CD=BE，再结合等量代换即可证明结论．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)．
（2）解：∵△ADC≌△CEB，
∴AD=CE、CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE．
【题型7 已知两角找夹边ASA】
【例7】在△ABC中，AC=2AB，点D为直线BC上一点，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接DE交AC
于F．∠BAC=90°，F为AC中点，求证：EF=BD【分析】证明△ABD≌△AFE，得到EF=BD.
【详解】解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠FAE，
∵AC=2AB，
∴AB=AF，
在△ABD和△AFE中，
{
AB=AF
)
∠BAD=∠FAE ，
AD=AE
∴△ABD≌△AFE(SAS)，
∴EF=BD.
【变式7-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，点D，A，C在同一直线上，AB∥CE，
CD=AD+CE，∠ACB=∠E，试说明△ABC≌△CDE．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用ASA证明△ABC≌△CDE即可．
【详解】解：因为AB∥CE，
所以∠BAC=∠DCE．
因为CD=AD+CE=AD+AC，
所以AC=CE．
{
∠ACB=∠E
)
在△ABC和△CDE中， AC=CE ，
∠BAC=∠DCE
所以△ABC≌△CDE(ASA)．
【变式7-2】（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，点E，F在线段BC上，∠A=∠D，
∠B=∠C，BE=CF，AF与DE交于点M．求证：△ABF≅△DCE．
【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形的
判定进行证明即可．
【详解】证明：∵ BE=CF，
∴ BE+EF=CF+EF，
即：BF=CE．
∵ ∠A=∠D，∠B=∠C，
∴ △ABF≅△DCE(AAS)．
【变式7-3】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在7×7的网格中，点A，B，C在格点上，AC=BC，
∠A=45°，∠ACB=∠ACD=90°，CM平分∠ACD，点N是线段AC的中点，过点N作EF⊥AC分
别交AB，CM于点E，F．求证：FN=EN．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键
是通过角和边的关系证明三角形全等．
先根据已知条件求出∠NCF=45°=∠A，再利用中点CN=AN，最后通过对顶角相等∠CNF=∠ANE
证明△CNF≌△ANE（ASA），从而得出FN=EN．
【详解】证明：∵∠ACD=90°，∠A=45°，CM平分∠ACD，
∴∠NCF=45°=∠A，
∵点N是AC中点，
∴CN=AN．
∵∠CNF=∠ANE，∴△CNF≌△ANE（ASA）．
∴FN=EN．
【题型8 已知直角与邻边找对边HL】
【例8】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，
∠1=∠2．求证：AD=BE．
【答案】见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定及性质．由“等角对等边”得到DE=EC，再由
“HL”证明Rt△ADE≌Rt△BEC，由全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵∠1=∠2，
∴DE=EC，
∵∠A=∠B=90°，
∴在Rt△ADE和Rt△BEC中，
{DE=EC)
，
AE=BC
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)，
∴AD=BE．
【变式8-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC，求证：
AC=DF．
【答案】证明过程见解析
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定和性质是解题的关键．
利用“斜边、直角边”判定Rt△ABC和Rt△≝¿全等，根据三角形全等的性质即可证得结论．
【详解】证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，
即BC=EF．
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC和△≝¿是直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△≝¿中，
{BC=EF)
，
AB=DE
∴Rt△ABC≌Rt△≝¿．
∴AC=DF．
【变式8-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在△ABC中，D为BC的中点，过点D作DE⊥AB
于点E，DF⊥AC于点F，已知BE=CF，∠CDF=30°，求证：△ABC是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等角对等边，先
证明Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，则∠B=∠C，所以AB=AC，从而得到△ABC是等腰三角形，再通过
三角形内角和定理得∠C=60∘，最后由等边三角形判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
{BD=CD)
，
BE=CF
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，
∵∠CDF=30°，
∴∠C=60∘，
∴△ABC是等边三角形．
【变式8-3】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知：如图，在△ABC中，D是BC边的中点，
DE⊥AB,DF⊥AC，点E、F为垂足，且DE=DF，∠A=120°．
(1)求证；△BDE≌△CDF；
(2)求证：△≝¿是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解
题的关键：
（1）利用HL证明△BDE≌△CDF即可；
（2）根据全等三角形的性质，得到∠B=∠C，进而求出∠B,∠C的度数，进而求出∠BDE,∠CDF的
度数，进而求出∠EDF=60°，即可得证．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
∵D是BC边的中点，
∴BD=CD，
∵DE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)；
（2）由（1）知：△BDE≌△CDF，
∴∠B=∠C，
∵∠A=120°，
1
∴∠B=∠C= (180°−120°)=30°；
2
∴∠BDE=90°−∠B=60°,∠FDC=90°−∠C=60°，
∴∠FDF=180°−∠BDE−∠CDF=60°，∵DE=DF，
∴△≝¿是等边三角形．
【题型9 已知直角与对边找对边HL】
【例9】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD
交于点O，OB=OC．求证：∠1=∠2．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．通过
证明出△BOD≌△COE，得到OD=OE，再证明△AOD≌△AOE(HL)，即可得出结论．
【详解】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO=∠CEO．
在△BOD和△COE中，
{∠BDO=∠CEO
)
∠DOB=∠EOC ，
OB=OC
∴△BOD≌△COE(AAS)，
∴OD=OE；
在Rt△AOD和Rt△AOE中，
{OA=OA)
，
OD=OE
∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL)，
∴∠1=∠2．
【变式9-1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，
AB=A′B′，AD与A′D′分别为BC，B′C′边上的中线，且CD=C′D′，求证：△ABC≌△A′B′C′．【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明
CB=C′B′，再利用HL即可证△ABC≌△A′B′C′明．
【详解】证明：∵ AD与A′D′分别为BC，B′C′边上的中线，
∴CB=2CD，C′B′=2C′D′，
∵CD=C′D′，
∴CB=C′B′，
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
{AB=A′B′
)
，
BC=B′C′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL)．
【变式9-2】（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD
和△ACD的高．
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若AB+AC=10,S =15,∠EAF=60°，求AD的长．
△ABC
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，掌握以上知
识的综合运用是关键．
（1）先利用角平分线的性质得DE=DF，利用“HL”证明Rt△AED≌Rt△AFD得到AE=AF，然后根
据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论．
（2）先利用三角形的面积和可求得DE的长，根据（1）中的全等可得∠DAF=∠BAD=30°，可得AD的长．
【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
{AD=AD)
，
DE=DF
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
而DE=DF，
∴AD垂直平分EF．
（2）解：∵DE=DF，
1 1 1
∴S =S +S = AB·ED+ AC·DF= DE(AB+AC)=15，
△ABC △ABD △ACD 2 2 2
∵AB+AC=10，
1
∴ ×10DE=15，
2
∴DE=3，
∵∠EAF=60°，
∴∠DAF=∠EAD=30°，
∴AD=2DE=6．
【变式9-3】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图．在△ABC中，AD⊥BC于D，EC⊥BC于C，且
AB=BE=AC，CD=CE．求证：Rt△ABD≌Rt△BEC．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质．根据等腰三角形的三线合一性
质得CD=BD，继而得到BD=EC，利用HL证明全等即可．
【详解】证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=BD，∵CD=CE，
∴BD=EC，
∵AD⊥BC，EC⊥BC，
∴∠ADB=∠BCE=90°，
在Rt△ABD和Rt△BEC中，
{AB=BE)
，
BD=EC
∴Rt△ABD≌Rt△BEC(HL)．
【题型10 已知两边找直角HL】
【例10】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形ABEC中，CE⊥BE，连接BC，点D为AC
的中点，连接BD，BE=CD,∠A=∠ACB，求证：△ADB≌△BEC．
【答案】见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，先证明△ABC是等腰三角形，根
据等腰三角形三线合一，推出 AD=DC，BD⊥AD，再利用HL，即可证明．
【详解】证明：∵∠A=∠ACB，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵点D为AC的中点，
∴AD=DC，BD⊥AD，
∵CE⊥BE，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∵BE=CD，
∴BE=AD，
{AD=BE)
在Rt△ADB和Rt△BEC中 ，
AB=BC
∴Rt△ADB≌Rt△BEC(HL)．
【变式10-1】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与DB交于点M．求证：MB=MC．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先证明Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)得
∠ACB=∠DBC，再由等角对等边即可得证．掌握“等角对等边”是解题的关键．
【详解】证明：∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC和△DCB都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
{BC=CB)
，
AC=DB
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)，
∴∠ACB=∠DBC，
∴MB=MC．
【变式10-2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，在AB上取一点D，使得
BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接CD、BE，相交于点F．
(1)求证：DF=CF；
(2)若点D为AB中点，试判断△CDB的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，垂直平分线的判定和性质等知识
点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定是解题的关键．
（1）利用HL证明Rt△EBC≌Rt△EBD，进而可得CE=DE，然后利用垂直平分线的性质即可得出结
论；（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=BD=AD，结合已知条件即可得出△CBD的形
状．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，且DE⊥AB，
∴∠EDB=∠ACB=90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
{BD=BC)
，
BE=BE
∴Rt△EBC≌Rt△EBD(HL)，
∴CE=DE，
∵BD=BC，
BE垂直平分线段CD，
∴∴ DF=CF；
（2）解：△CBD是等边三角形，理由如下：
∵∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴CD=BD=AD，
∵BD=BC，
∴△CBD是等边三角形．
【变式10-3】（2025·山东威海·一模）已知点E为长方形ABCD边BC的中点，连接AE，将长方形沿AE折
叠，点B的对应点为点F，连接AF并延长，交直线CD于点G．
(1)如图1，点F落在长方形ABCD内部时，试判断线段AG，AB，CG之间的数量关系，直接写出结论
________________；
(2)如图2，点F落在长方形ABCD外部时，请用尺规作出图形（不写作法，保留作图痕迹），（1）中的结
论仍然成立吗？请说明理由；
【答案】(1)AG=AB+CG；
(2)作图见解析，（1）中的结论仍然成立，理由见解析；
【分析】（1）连接EG，根据长方形的性质及折叠得∠EFG=90°=∠C，EG=EG，进而证明
Rt△EFG≌Rt△ECG（HL）得CG=FG，从而得解；（2）过E作EM⊥AE于E，在BM的延长线上取一点F，使得MF=BM，连接EF，AF，延长AF交直
线CD于G，则点B的对应点为点F，
【详解】（1）解：如图，连接EG，
∵E是BC的中点，
∴AE=CE，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∵将长方形沿AE折叠，点B的对应点为点F，
∴∠AFE=∠B=90°，EF=BE=CE，AB=AF，
∴∠EFG=90°=∠C，
∵EG=EG
∴Rt△EFG≌Rt△ECG（HL）
∴CG=FG，
∴AG=AF+FG=AB+CG，
故答案为：AG=AB+CG；
（2）解：尺规作图如图所示，
（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图，连接EG，∵E是BC的中点，
∴AE=CE，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∵将长方形沿AE折叠，点B的对应点为点F，
∴∠AFE=∠ABC=90°，EF=BE=CE，AB=AF，
∴∠EFG=90°=∠ECD，
∵EG=EG
∴Rt△EFG≌Rt△ECG（HL）
∴CG=FG，
∴AG=AF+FG=AB+CG，
【点睛】本题主要考查了勾股定理，尺规作垂线，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等
三角形的判定及性质，尺规作垂线是解题的关键．
