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第14 章 全等三角形·培优卷
【新教材人教版】
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图，𝐴𝐵与𝐶𝐷交于点𝑂，△𝐴𝑂𝐶≌△𝐷𝑂𝐵，点𝐵，𝐶是对应点，下列
说法错误的是（ ）
A．∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐷𝑂𝐵
B．𝐴𝐶= 𝐵𝐷
C．∠𝐵= ∠𝐶
D．𝑂𝐴= 𝑂𝐵
【答案】D
【分析】根据“对顶角相等”判断A 选项，再根据全等三角形的性质判断其余三项．
【详解】解：∵𝐴𝐵与𝐶𝐷交于点𝑂，
∴∠𝐴𝑂𝐶与∠𝐷𝑂𝐵是对顶角，
∴∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐷𝑂𝐵，
故A 选项正确；
∵△𝐴𝑂𝐶≌△𝐷𝑂𝐵，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐷、∠𝐶= ∠𝐵、𝑂𝐴= 𝑂𝐷、𝑂𝐶= 𝑂𝐵，
故B、C 选项正确，D 选项错误．
2．（25-26 七年级上·山东烟台·期中）如图，两根钢条𝐴𝐴′、𝐵𝐵′的中点 O 连在一起，使𝐴𝐴′、𝐵𝐵′ 可以绕
着点 O 自由转动，就做成一个测量工具， 𝐴′𝐵′的长等于内槽宽 𝐴𝐵，那么判定△𝑂𝐴𝐵≌△𝑂𝐴′𝐵′的理由是
（ ）
A．边角边
B．角边角
C．边边边
D．角角边
【答案】A
【分析】根据线段中点的定义得到𝑂𝐴= 𝑂𝐴′,𝑂𝐵= 𝑂𝐵′，再由对顶角相等得到∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐴′𝑂𝐵′，则
△𝑂𝐴𝐵≌△𝑂𝐴′𝐵′(SAS)，可得𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′，据此可得答案．
【详解】解：∵两根钢条𝐴𝐴′,𝐵𝐵′的中点𝑂连在一起，
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐴′,𝑂𝐵= 𝑂𝐵′，
又∵∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐴′𝑂𝐵′，
∴△𝑂𝐴𝐵≌△𝑂𝐴′𝐵′(SAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′，
故判定△𝑂𝐴𝐵≌△𝑂𝐴′𝐵′的理由是边角边．
3．（25-26 八年级下·全国·课后作业）如图，∠𝐴𝑂𝐵= 80°，点𝐶是∠𝐴𝑂𝐵内一点，𝐶𝐷⊥𝑂𝐴于点𝐷，𝐶𝐸⊥𝑂𝐵
于点𝐸，且𝐶𝐷= 𝐶𝐸，则∠𝐷𝑂𝐶的度数是（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
【答案】B
【分析】根据角平分线的判定定理可得𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，再计算角度．
【详解】解：∵𝐶𝐷⊥𝑂𝐴于点𝐷，𝐶𝐸⊥𝑂𝐵于点𝐸，且𝐶𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，
∵∠𝐴𝑂𝐵= 80°，
∴∠𝐷𝑂𝐶=
1
2∠𝐴𝑂𝐵= 40° ．
4．（25-26 八年级上·山西临汾·期末）将△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐶𝐷按如图方式放置，𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝐸．若𝐴𝐶= 𝐵𝐷，
𝐴𝐵= 𝐶𝐷,∠𝐷𝐵𝐶= 40°,∠𝐴= 70°，则∠𝐷𝐶𝐴的度数为（ ）
A．20°
B．30∘
C．40°
D．50°
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和，先证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵(SSS)，得到
∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 40°,∠𝐴= ∠𝐷= 70°，再根据三角形内角和得到∠𝐷𝐶𝐵= 70°，最后根据
∠𝐷𝐶𝐴= ∠𝐷𝐶𝐵−∠𝐴𝐶𝐵计算即可．
【详解】解：∵𝐴𝐶= 𝐵𝐷，𝐴𝐵= 𝐶𝐷,𝐵𝐶= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵(SSS)，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 40°,∠𝐴= ∠𝐷= 70°，
∴∠𝐷𝐶𝐵= 180°−∠𝐷𝐵𝐶−∠𝐷= 180°−40°−70° = 70°，
∴∠𝐷𝐶𝐴= ∠𝐷𝐶𝐵−∠𝐴𝐶𝐵= 70°−40° = 30°，
故选：B．
5．（25-26 八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第
③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是
（ ）
A．SSS
B．AAS
C．ASA
D．SAS
【答案】C
【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角
形的判定依据是ASA．
6．（25-26 八年级下·河北保定·期中）如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，且左边滑梯
水平方向长度𝐴𝐵与右边滑梯高度𝐷𝐸相等．若右边滑梯与地面的夹角∠𝐷𝐹𝐸= 56°，则∠𝐴𝐵𝐶的度数为（ ）
A．34°
B．44°
C．46°
D．56°
【答案】A
【分析】根据题意可证明Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐷𝐸𝐹(HL)，则∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸= 56°，因此
∠𝐴𝐵𝐶= 90°−∠𝐴𝐶𝐵= 34°．
【详解】解：根据题意可得，𝐵𝐶= 𝐸𝐹，𝐴𝐵= 𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹= 90°，
在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐷𝐸𝐹中，
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
，
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐷𝐸𝐹(HL)，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸= 56°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 90°−∠𝐴𝐶𝐵= 34°．
7．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一
个等腰直角三角板，其直角顶点𝐶在书架底部𝐷𝐸上，当顶点𝐴落在右侧书籍的上方边沿时，顶点𝐵恰好落在
左侧书籍的上方边沿，已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离𝐷𝐸为（ ）
A．20
B．22
C．24
D．26
【答案】C
【分析】根据题意得𝐵𝐶= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐶𝐴= 90°，即可证明△𝐶𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，则有𝐶𝐸= 𝐵𝐷，𝐴𝐸= 𝐷𝐶，结合
𝐷𝐸= 𝐷𝐶+ 𝐶𝐸即可求得答案．
【详解】解：∵∠𝐵𝐷𝐶= 90°，∠𝐵𝐶𝐴= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，
在△𝐶𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸
∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐶𝐸𝐴
𝐵𝐶= 𝐶𝐴
，
∴△𝐶𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(AAS)，
∴𝐷𝐶= 𝐴𝐸= 20cm，𝐶𝐸= 𝐵𝐷= 2 × 2 = 4cm，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐶+ 𝐶𝐸= 24(cm)．
8．如图，△ABC 的三边AB，BC，CA 的长分别是2，3，4，其三条角平分线交于点O，并将△ABC 分为三
个三角形，则𝑆𝛥𝐴𝐵𝑂:𝑆𝛥𝐵𝐶𝑂:𝑆𝛥𝐴𝐶𝑂等于（ ）
A．2∶3∶4
B．1∶2∶3
C．1∶1∶1
D．4∶9∶16
【答案】A
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是2，3，4，
所以面积之比就是2：3：4．
【详解】过点O 作OD⊥AC 于D，OE⊥AB 于E，OF⊥BC 于F，
∵点O 是三条角平分线的交点，
∴OE=OF=OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO
=
1
2•AB•OE：
1
2•BC•OF：
1
2•AC•OD
=AB：BC：AC
=2：3：4，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．利用角平分线
的性质得到三个三角形的高相等是解题的关键．
9．（24-25 八年级上·江西赣州·阶段检测）如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为1，𝐴𝐵、𝐴𝐷上各有一点P、Q，如
果△𝐴𝑃𝑄的周长为2，则∠𝑃𝐶𝑄的度数为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．40°
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，首先从△𝐴𝑃𝑄的周长入手求出
𝑃𝑄= 𝐷𝑄+ 𝐵𝑃，延长𝐴𝐵至𝑀，使𝐵𝑀= 𝐷𝑄，连接𝐶𝑀，然后利用全等来解．
【详解】解：如图所示，延长𝐴𝐵至𝑀，使𝐵𝑀= 𝐷𝑄，连接𝐶𝑀，
△𝐴𝑃𝑄的周长为2，即𝐴𝑃+ 𝐴𝑄+ 𝑃𝑄= 2，
∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长是1，
∴𝐴𝑄+ 𝑄𝐷= 1，𝐴𝑃+ 𝑃𝐵= 1，∠𝐶𝐷𝑄= ∠𝐶𝐵𝑀= 90°，
∴𝐴𝑃+ 𝐴𝑄+ 𝑄𝐷+ 𝑃𝐵= 2，
∴𝑃𝑄= 𝑃𝐵+ 𝑄𝐷，
在△𝐶𝐵𝑀和△𝐶𝐷𝑄中，
𝐶𝐷= 𝐶𝐵
∠𝐶𝐷𝑄= ∠𝐶𝐵𝑀
𝐷𝑄= 𝐵𝑀
，
∴△𝐶𝐵𝑀≌△𝐶𝐷𝑄(SAS)，
∴∠𝐵𝐶𝑀= ∠𝐷𝐶𝑄，𝐶𝑀= 𝐶𝑄，
∴𝑃𝑀= 𝑃𝐵+ 𝐵𝑀= 𝑃𝐵+ 𝐷𝑄= 𝑃𝑄，
∵∠𝐷𝐶𝑄+ ∠𝑄𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝑀+ ∠𝑄𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝑄𝐶𝑀= 90°，
在△𝐶𝑃𝑄与△𝐶𝑃𝑀中，𝐶𝑃= 𝐶𝑃，𝑃𝑄= 𝑃𝑀，𝐶𝑄= 𝐶𝑀，
∴△𝐶𝑃𝑄≌△𝐶𝑃𝑀(SSS)，
∴∠𝑃𝐶𝑄= ∠𝑃𝐶𝑀=
1
2∠𝑄𝐶𝑀= 45°．
故选：B．
10．（25-26 七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 7cm，𝐵𝐶= 3cm，𝐶𝐷
为𝐴𝐵边上的高，点E 从点B 出发，在直线𝐵𝐶上以2cm的速度移动，过点E 作𝐵𝐶的垂线交直线𝐶𝐷于点F，
当点E 运动（ ）s时，𝐶𝐹= 𝐴𝐵．
A．2
B．6
C．2 或6
D．2 或5
【答案】D
【分析】设点E 运动时间为𝑡s，则𝐵𝐸= 2𝑡cm，分两种情况求解：①当点𝐸从点B 出发，向点𝐵左侧移动时；
②当点𝐸从点B 出发，向点𝐵右侧移动时，利用全等三角形的性质分别求出𝐵𝐸的长，即可得解．
【详解】解：设点E 运动时间为𝑡s，则𝐵𝐸= 2𝑡cm，
①如图，当点𝐸从点B 出发，向点𝐵左侧移动时，
∵𝐶𝐷为𝐴𝐵边上的高，
∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，
∵∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐸𝐶𝐹= 90°，
∴∠𝐴= ∠𝐸𝐶𝐹，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐹𝐸中，
∠𝐴= ∠𝐸𝐶𝐹
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐹
𝐴𝐵= 𝐶𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐹𝐸(AAS) ，
∴𝐴𝐶= 𝐶𝐸= 7cm，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸−𝐵𝐶= 4(cm)，
∴2𝑡= 4，解得：𝑡= 2；
②如图，当点𝐸从点B 出发，向点𝐵右侧移动时，
同理可证，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐹𝐸(AAS)，
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐶= 7cm，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐸= 10(cm)，
∴2𝑡= 10，解得：𝑡= 5,
综上可知，当点E 运动2或5s时，𝐶𝐹= 𝐴𝐵．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．（25-26 七年级下·上海·期中）如图，点𝐵、𝐶、𝐷在同一直线上，若△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸，顶点𝐴、𝐵、𝐶分
别与顶点𝐶、𝐷、𝐸对应．若𝐴𝐵= 7，𝐵𝐷= 11，则𝐷𝐸= ______．
【答案】4
【分析】根据全等三角形的性质得到𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 7，𝐷𝐸= 𝐵𝐶，再根据线段的和差即可求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸,顶点𝐴、𝐵、𝐶分别与顶点𝐶、𝐷、𝐸对应，𝐴𝐵= 7，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 7，𝐷𝐸= 𝐵𝐶，
∵𝐵𝐷= 11，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷−𝐶𝐷= 4，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐶= 4．
12．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O 为AB 上一点，那么图中共有___对全等三角形．
【答案】3
【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO 共3 对．找寻时要由易
到难，逐个验证．
【详解】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB；
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB
∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．
∴图中共有3 对全等三角形．
故答案为3．
13．（25-26 七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在4 × 6的方格中，点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷、𝐸均在格点上，那么
∠𝐶𝐷𝐸−∠𝐵𝐴𝐶= ____________度．
【答案】90
【分析】取格点F，连接𝐶𝐹，𝐷𝐹，得到△𝐶𝐷𝐹≌△𝐵𝐴𝐶(SAS)，得到∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶，进而求解即可．
【详解】解：取格点F，连接𝐶𝐹，𝐷𝐹，
∵𝐶𝐹= 𝐵𝐶= 2，𝐷𝐹= 𝐴𝐶= 4，∠𝐷𝐹𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴△𝐶𝐷𝐹≌△𝐵𝐴𝐶(SAS)，
∴∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐷𝐸−∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸−∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐸𝐷𝐹= 90°．
14．（25-26 八年级上·吉林长春·期末）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度𝐴𝐶与右边滑梯水平
方向的跨度𝐷𝐹相等．这两个滑梯的倾斜角是∠𝐶𝐵𝐴和∠𝐸𝐹𝐷．若∠𝐶𝐵𝐴= 23°，则∠𝐸𝐹𝐷= ______°．
【答案】67
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及直角三角形两锐角互余．根据题意得出𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
𝐴𝐶= 𝐷𝐹，进而利用HL定理得出Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐷𝐸𝐹，进而得出答案．
【详解】解：∵两个滑梯的长度相同，
∴𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐷𝐸𝐹中，
𝐴𝐶= 𝐷𝐹
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
，
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐷𝐸𝐹(HL)，
∴∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐵𝐶𝐴，
∵∠𝐶𝐵𝐴= 23°，
∴∠𝐵𝐶𝐴= 90°−23° = 67°，
∴∠𝐸𝐹𝐷= 67°，
故答案为：67．
15．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐶于点𝐷，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为点𝐸．若𝐷𝐸=
7
2，
𝐴𝐶= 8，则𝐴𝐷的长为___________．
【答案】
9
2
【分析】本题考查角平分线的性质定理和线段的和差计算．根据角平分线的性质定理可得𝐷𝐶= 𝐷𝐸=
7
2，继
而根据线段的和差关系得到𝐴𝐷= 𝐴𝐶−𝐷𝐶=
9
2．
【详解】解：∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐶= 90°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴𝐷𝐶= 𝐷𝐸=
7
2，
∵𝐴𝐶= 8，且𝐴𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐶，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐶−𝐷𝐶= 8−
7
2 =
9
2.
16．如图，△𝐷𝐸𝐹的3 个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在
图中再画1 个格点三角形𝐴𝐵𝐶，使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，则这样的格点三角形最多可以画______个．
【答案】7
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结
合是解决本题的关键．
【详解】解：如图所示：
使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，则这样的格点三角形最多可以画7 个，
故答案为：7
三、解答题（本大题共9 小题，满分72 分）
17．（6 分）（25-26 八年级上·四川广元·期末） 如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸；
(2)若𝐵𝐶= 8cm，求𝐷𝐸的长．
【答案】(1)见解析
(2)8cm
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
（1）先证明∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，再根据全等三角形的判定(SAS)可得结论；
（2）利用全等三角形的对应边相等求解即可．
【详解】（1）证明: ∵∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐸，
即: ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐶= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(SAS)；
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴𝐵𝐶= 𝐷𝐸，
∵𝐵𝐶= 8cm
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐶= 8cm．
18．（6 分）（25-26 八年级上·贵州黔西南·期末）如图，点A、D、B、E 在同一条直线上，𝐴𝐷= 𝐵𝐸，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，
(1)从下列条件中选择一个作为已知条件：①𝐵𝐶= 𝐸𝐹；②𝐵𝐶∥𝐸𝐹；③∠𝐴= ∠𝐸𝐷𝐹；求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹；
(2)在（1）的条件下，若∠𝐴= 55°，∠𝐸= 45°，求∠𝐹的度数．
【答案】(1)
证明：①∵𝐴𝐷= 𝐵𝐸，
∴𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 𝐵𝐸+ 𝐵𝐷，
即𝐴𝐵= 𝐷𝐸．
∵𝐴𝐶= 𝐷𝐹,𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SSS)；
③∵𝐴𝐷= 𝐵𝐸，
∴𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 𝐵𝐸+ 𝐵𝐷，
即𝐴𝐵= 𝐷𝐸．
∵𝐴𝐶= 𝐷𝐹,∠𝐴= ∠𝐸𝐷𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SAS)；
(2)80°
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，
对于（1），先证明𝐴𝐵= 𝐷𝐸，再根据“边边边”和“边角边”可得结论；
对于（2），根据全等三角形的对应角相等得出∠𝐸𝐷𝐹= 55°，再根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐴= 55°．
∵∠𝐸= 45°，
∴∠𝐹= 180°−∠𝐸𝐷𝐹−∠𝐸= 180°−55°−45° = 80°．
19．（6 分）（25-26 八年级上·河南许昌·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵边上
的高，且𝐵𝐸与𝐶𝐹交于点G．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹；
(2)若∠𝐴= 50°，求∠𝐵𝐺𝐹的度数．
【答案】(1)见解析
(2)50°
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由三角形的高的定义得到∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶= 90°，再利用AAS即可证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹；
（2）根据三角形的高的定义得到∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠𝐴𝐵𝐸的度数，
进而可求出∠𝐵𝐺𝐹的度数．
【详解】（1）证明：∵𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵边上的高，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶= 90°，
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= ∠𝐴，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(AAS)；
（2）解：∵𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵边上的高，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°，
∵∠𝐴= 50°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 90°−∠𝐴= 40°，
∴∠𝐵𝐺𝐹= 90°−∠𝐹𝐵𝐺= 50°．
20．（8 分）（25-26 七年级下·重庆·期末）如图，在等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐶
于点D，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐷于点E，请完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规，过点D 作𝐵𝐶的垂线与𝐵𝐶交于点F，连接𝐴𝐹（不写作法，只保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，求证：𝐵𝐸= 𝐴𝐹．
证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵（①）．
又∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵=
180°−90°
2
= 45°
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 45°
∵𝐷𝐹⊥𝐵𝐶
∴∠𝐷𝐹𝐶= ②
∴∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐶= 45°
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐴𝐵𝐷=
1
2∠𝐴𝐵𝐶= 22.5°
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐷𝐴⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，
∴③
∴∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐷𝐹𝐴
又∵∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐷𝐴𝐹+ ∠𝐷𝐹𝐴
∴∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐷𝐹𝐴= 22.5°
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐴𝐹中
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹
𝐴𝐵= 𝐶𝐴
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐶𝐹
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐹（④）
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐹．
【答案】(1)
(2)等边对等角；90°；𝐷𝐴= 𝐷𝐹；ASA．
【分析】（1）根据要求作图即可；
（2）根据等边对等角、垂线的定义、角平分线的性质定理、全等三角形的判定定理作答即可．
21．（8 分）（25-26 八年级上·江苏南京·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐸𝐴𝐶的平分线与边𝐵𝐶的垂直平分线相
交于点D，过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，垂足分别为点E，F．
(1)求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
(2)若𝐴𝐵= 𝑎，𝐴𝐶= 𝑏(𝑎< 𝑏)，则𝐴𝐸= ．
【答案】(1)见解析
(2)
1
2(𝑏−𝑎)
【分析】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相
关性质定理是解题的关键．
（1）连接𝐵𝐷，𝐶𝐷，根据垂直平分线的性质得到𝐷𝐵= 𝐷𝐶，再证得Rt △𝐷𝐶𝐹≌Rt △𝐷𝐵𝐸(HL)，从而得出结
论；
（2）易证得Rt △𝐴𝐸𝐷≌Rt △𝐴𝐹𝐷(HL)，根据全等三角形的性质得到𝐴𝐸= 𝐴𝐹，再利用（1）的结论
𝐵𝐸= 𝐶𝐹，根据线段的和差关系进行解答即可．
【详解】（1）证明：连接𝐵𝐷，𝐶𝐷，如图：
∵点D 在𝐵𝐶的垂直平分线上，
∴𝐷𝐵= 𝐷𝐶，
∵点D 在∠𝐸𝐴𝐶的平分线上，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
在Rt △𝐷𝐶𝐹和Rt △𝐷𝐵𝐸中，
𝐷𝐸= 𝐷𝐹
𝐷𝐵= 𝐷𝐶
，
∴Rt △𝐷𝐶𝐹≌Rt △𝐷𝐵𝐸(HL)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹；
（2）解：∵点D 在∠𝐸𝐴𝐶的平分线上，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
在Rt △𝐴𝐸𝐷和Rt △𝐴𝐹𝐷中，
𝐷𝐸= 𝐷𝐹
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴Rt △𝐴𝐸𝐷≌Rt △𝐴𝐹𝐷(HL)，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝑎、𝐴𝐶= 𝑏、𝐶𝐹= 𝐵𝐸、𝐴𝐸= 𝐴𝐹= 𝐴𝐶−𝐶𝐹= 𝐴𝐶−𝐵𝐸，
∴𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐶= 𝑏，
∵𝐵𝐸−𝐴𝐸= 𝐴𝐵= 𝑎，
∴𝐵𝐸=
1
2(𝑎+ 𝑏)，
∴𝐴𝐸=
1
2(𝑏−𝑎)，
故答案为：
1
2(𝑏−𝑎)．
22．（10 分）如图，图1、图2 均为由边长为1 的小正方形组成的6 × 6的方格网络，△𝐴𝐵𝐶的顶点A、B、
C 都在小正方形的顶点之上，像△𝐴𝐵𝐶这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角
形：
(1)在图1 中画一个格点三角形与△𝐴𝐵𝐶全等且有1 个公共点；
(2)在图2 中画一个格点三角形与△𝐴𝐵𝐶全等且有1 条公共边；
【答案】(1)图见解析，答案不唯一
(2)图见解析，答案不唯一
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，明确全等三角形的判定定理是关键；
（1）如果公共点为B，取格点E、F，使𝐵𝐸= 𝐵𝐴，𝐸𝐹= 𝐴𝐶,∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐸𝐹，可得出格点三角形△𝐵𝐸𝐹即
为所求作；
（2）以𝐴𝐵为公共边，𝐴𝐶是小方格的对角线，可画出𝐴𝐷= 𝐴𝐶，连接𝐵𝐷，就可得出△𝐴𝐵𝐷即为所求作．
【详解】（1）解：△𝐵𝐸𝐹即为所求作（答案不唯一）；
（2）解：△𝐴𝐵𝐷即为所求作（答案不唯一）．
23．（10 分）（25-26 八年级上·广东潮州·期中）如图，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，点E 在线段𝐴𝐵上，𝐷𝐸、𝐶𝐸分别是∠𝐴𝐷𝐶、
∠𝐵𝐶𝐷的角平分线，
(1)线段𝐷𝐸与𝐶𝐸有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)若𝐴𝐷= 3，𝐵𝐶= 2，求𝐶𝐷的长．
【答案】(1)𝐷𝐸⊥𝐶𝐸，理由见解析
(2)5
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，
（1）先根据角平分线得2∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶,2∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，再根据𝐴𝐷∥𝐵𝐶就可得出∠𝐸𝐷𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，
即可得出结论；
（2）在𝐷𝐶上截取𝐷𝐹= 𝐴𝐷= 3，先证△𝐴𝐷𝐸≌△𝐹𝐷𝐸，再证△𝐵𝐶𝐸≌△𝐹𝐶𝐸，即可得出答案．
【详解】（1）解：𝐷𝐸⊥𝐶𝐸，理由如下：
∵𝐷𝐸、𝐶𝐸分别是∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐵𝐶𝐷的角平分线，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐸𝐷𝐶,∠𝐵𝐶𝐷= 2∠𝐷𝐶𝐸，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，
∴2∠𝐸𝐷𝐶+ 2∠𝐷𝐶𝐸= 180°，
∴∠𝐸𝐷𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐷𝐸𝐶= 90°，
∴𝐷𝐸⊥𝐶𝐸；
（2）解：如图，在𝐷𝐶上截取𝐷𝐹= 𝐴𝐷= 3，连接𝐸𝐹，
∵𝐷𝐸、𝐶𝐸分别是∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐵𝐶𝐷的角平分线，
∴∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸,∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸，
在△𝐴𝐷𝐸和△𝐹𝐷𝐸中，
𝐴𝐷= 𝐹𝐷
∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐹𝐷𝐸
𝐷𝐸= 𝐷𝐸
，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐹𝐷𝐸(SAS)，
∴∠𝐴= ∠𝐷𝐹𝐸，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 180°，
∵∠𝐷𝐹𝐸+ ∠𝐶𝐹𝐸= 180°，
∴∠𝐵= ∠𝐶𝐹𝐸，
在△𝐵𝐶𝐸和△𝐹𝐶𝐸中，
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐸
∠𝐵= ∠𝐸𝐹𝐶
𝐶𝐸= 𝐶𝐸
，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐹𝐶𝐸(AAS)，
∴𝐵𝐶= 𝐶𝐹= 2，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐹+ 𝐷𝐹= 2 + 3 = 5．
24．（12 分）（24-25 八年级上·重庆大足·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，在Rt △𝐸𝐶𝐷中，
∠𝐸𝐶𝐷= 90°,𝐵𝐶= 𝐶𝐷,∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐸𝐶．
(1)求证：𝐴𝐵= 𝐷𝐸；
(2)连接𝐴𝐷，连接𝐵𝐸交𝐴𝐶于点𝐹，若点𝐹恰好是𝐵𝐸的中点，求证：𝐴𝐷= 2𝐶𝐹．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决
问题．
（1）运用全等三角形的性质和判定，证明△𝐴𝐶𝐵和△𝐸𝐶𝐷全等，即可求得𝐴𝐵= 𝐷𝐸；
（2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明△𝐸𝐺𝐹≌△𝐵𝐶𝐹， △𝐺𝐸𝐶≌△𝐷𝐶𝐴，
进而求得𝐴𝐷= 2𝐶𝐹．
【详解】（1）解：证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐸𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐶𝐷，
在△𝐴𝐶𝐵和△𝐸𝐶𝐷中
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐶𝐷
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐸𝐶
𝐵𝐶= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐶𝐵≌△𝐸𝐶𝐷(AAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐷𝐸；
（2）证明：过点𝐸作𝐸𝐺∥𝐶𝐵交𝐴𝐶于点𝐺，如图所示，
∴∠𝐸𝐺𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∵𝐹是𝐵𝐸的中点，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐹，
在△𝐸𝐺𝐹和△𝐵𝐶𝐹中
∠𝐸𝐺𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵
∠𝐸𝐹𝐺= ∠𝐵𝐹𝐶
𝐸𝐹= 𝐵𝐹
，
∴△𝐸𝐺𝐹≌△𝐵𝐶𝐹(AAS)，
∴𝐸𝐺= 𝐵𝐶,𝐺𝐹= 𝐶𝐹，
∴𝐺𝐶= 2𝐶𝐹，
∵𝐷𝐶= 𝐵𝐶，
∴𝐸𝐺= 𝐶𝐷，
∵𝐸𝐺∥𝐶𝐵，
∴∠𝐺𝐸𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐸= 180°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐵= 90°，
∠𝐸𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐵+ ∠𝐸𝐶𝐷 = ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐸𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐺𝐸𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷，
∵△𝐴𝐶𝐵≌△𝐸𝐶𝐷，
∴𝐴𝐶= 𝐸𝐶，
在△𝐺𝐸𝐶和△𝐷𝐶𝐴中
𝐸𝐺= 𝐶𝐷
∠𝐺𝐸𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷
𝐸𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△𝐺𝐸𝐶≌△𝐷𝐶𝐴(SAS)，
∴𝐺𝐶= 𝐴𝐷，
∵𝐺𝐶= 2𝐶𝐹，
∴𝐴𝐷= 2𝐶𝐹．
25．（12 分）（1）如图，在△𝐷𝐸𝐹中，𝐷𝐸= 3，𝐷𝐹= 7，点G 是𝐸𝐹的中点，求中线𝐷𝐺的取值范围；
（2）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点E 是𝐵𝐶的中点．若𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐷的平分线．试探究𝐴𝐵，𝐴𝐷，𝐷𝐶
之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）2＜DG＜5（2）AD=CD+AB，证明见解析
【分析】（1）延长DG 至M，使GM=DG，连接MF，利用SAS 可证得△𝐷𝐸𝐺≌△𝑀𝐹𝐺，利用全等三角形
的对应边相等可得到DE=MF，再利用三角形的三边关系定理，可求出DG 的取值范围；
（2）延长AE，DC 相交于点F， 利用平行线的性质可知∠BAE=∠F，利用AAS 可证得△ABE≌△FCE，利用
全等三角形的性质可证得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分线的定义去证明∠F=∠DAF，利用等角对等边可
证得AD=DF，然后根据DF=DC+CF，代入可证得结论．
【详解】（1）解：延长DG 至M，使GM=DG，连接MF，
在△𝐷𝐸𝐺和△𝑀𝐹𝐺中，
𝐷𝐺= 𝑀𝐺
∠𝐸𝐺𝐷= ∠𝐹𝐺𝑀
𝐸𝐺= 𝐹𝐺
∴△𝐷𝐸𝐺≌△𝑀𝐹𝐺(SAS)，
∴DE=MF=3，
∵DF-MF＜DM＜DF+MF，
∴7-3＜DM＜7+3，
即4＜DM＜10，
∵𝐷𝑀= 2𝐷𝐺，
∴4＜2DG＜10，
∴2＜DG＜5；
（2）AD=CD+AB，理由如下：
解：延长AE，DC 相交于点F，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠BAE=∠F，
∵点E 是BC 的中点，
∴BE=CE，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐹𝐶𝐸中，
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐹𝐸
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐹𝐸𝐶
𝐵𝐸= 𝐶𝐸
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐶𝐸（AAS），
∴AB=CF，
∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，
∴∠F=∠DAF，
∴AD=FD，
∵FD=CD+CF，CF=AB，
∴AD=CD+AB．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些
知识点并添加辅助线．
