文档内容
专题 12.8 全等三角形全章专项复习【3 大考点 13 种题型】
【人教版】
【考点1 全等三角形】..............................................................................................................................................1
【题型1 利用全等三角形的性质求角】..................................................................................................................2
【题型2 利用全等三角形的性质求两线段的位置关系】.....................................................................................3
【题型3 利用全等三角形的性质求线段的长】.....................................................................................................4
【题型4 利用全等三角形的性质解决图形变换中的问题】.................................................................................5
【考点2 三角形全等的判定】..................................................................................................................................6
【题型5 添加条件判断三角形全等】......................................................................................................................7
【题型6 全等三角形的判定与性质的综合应用】.................................................................................................8
【题型7 “倍长中线法”构造全等三角形】..........................................................................................................10
【题型8 “截长补短法”证明线段和差问题】......................................................................................................11
【题型9 应用全等三角形的性质解决实际问题】...............................................................................................13
【题型10 全等三角形在探究性问题中的应用】...................................................................................................14
【考点3 角的平分线的性质】................................................................................................................................16
【题型11 角平分线性质的应用】............................................................................................................................17
【题型12 角平分线判定的应用】............................................................................................................................19
【题型13 角平分线性质与判定的综合运用】.......................................................................................................20
【考点1 全等三角形】
（1）一元二次方程的定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数就是2（二次）的方程，叫做
一1．全等形的概念
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等．
（2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关．
（3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合．
2．全等三角形的概念和表示方法
（1）全等三角形的概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（2）全等三角形的对应元素：①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全
等三角形中，能够重合的角．
（3）全等三角形的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对
应的位置上．
3．全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
【拓展】由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，
对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．
但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等．
【总结】寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：
（1）图形特征法：
最长边对最长边，最短边对最短边；
最大角对最大角，最小角对最小角．
（2）位置关系法：
①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．
②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．
（3）字母顺序法：
根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．
【题型1 利用全等三角形的性质求角】
【例1】（23-24八年级·河北邯郸·期中）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，
△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D//EB′//BC，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则
∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．100° C．110° D．115°
【变式1-1】（23-24八年级·浙江金华·期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为30°
，α，β(α>β)，另一个三角形有一个角为70°，则α−β= °．【变式1-2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，
∠1+∠2=＝ °．
【变式1-3】（23-24八年级·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，D，E分别是△ABC的边AC、BC上的
点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【题型2 利用全等三角形的性质求两线段的位置关系】
【例2】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，CA⊥BE，且 ABC≌△ADE，则BC与DE的关系是
． △
【变式2-1】（23-24八年级·河北承德·期末）如图，△ABC≌△EFD，则BC与DF的关系是（ ）
A．平行但不相等 B．相等但不平行 C．不平行也不相等 D．平行且相等
【变式2-2】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，已知△ADE≌△CFE，点D是AB上一点，DF交
AC于点E．（1）AD与CF的位置关系是 ；
（2）若AB=7，CF=4，则BD的长为 ．
【变式2-3】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD
．
(1)若BC=10，AD=7，求BD的长．
(2)试判断AB和CF的关系，并说明理由
【题型3 利用全等三角形的性质求线段的长】
【方法总结】利用全等三角形的性质求线段长的方法:(1)先确定两个三角形中边 的对应关系,再由这种对应
关系实现已知线段与所求线段的转换; (2)若所求的线段不是全等三角形的对应边,则需要用等式的 性质进行
转换求解.
【例3】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）边长都为整数的△ABC和△DEF全等,AB与DE是对
应边,AB=2,BC=4,若△DEF的周长为奇数,则DF的值为 .
【变式3-1】（23-24八年级·山西临汾·期末）如图，已知△ABC≌△A′B′C′，点B,B′,C,C′在同一条直
线上，若BC′=11,B′C=5，则BB′的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-2】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，△ABC≌△DEB，点D在AB上，BC与DE交
于点F，AD=AC．（1）若AD=5，则DE的长为 ；
（2）连接CD，若S =2，则S 的值为 ．
△ACD △DEB
【变式3-3】（23-24八年级下·河南郑州·期末）在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出
很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20 cm，
AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速
度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度
为 cm．
【题型4 利用全等三角形的性质解决图形变换中的问题】
【方法总结】三角形经过平移、旋转或翻折变换后,形状、大小没有发生变化,故变换前后两三角形全等.
【例4】（23-24八年级下·江苏连云港·期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且
A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=122°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．116° B．100° C．128° D．120°
【变式4-1】（2024八年级·江苏·专题练习）一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全
等三角形写出对应的边和角．(1)△ABC≌△CDA，对应边是 ，对应角是 ；
(2)△AOB≌△DOC，对应边是 ，对应角是 ；
(3)△AOC≌△BOD，对应边是 ，对应角是 ；
(4)△ACE≌△BDF，对应边是 ，对应角是 ．
【变式4-2】（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC沿AC方向平
移AD的长度得到△≝¿，且AD=3，BC=6，BG=2，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式4-3】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC
边翻折180°形成的．若∠1:∠2:∠3=28:5:3．则∠EFC的度数（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【考点2 三角形全等的判定】
1．判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS）
（1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．
（2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳
定性的原因．
2．判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS）（1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
（2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，
一定要注意元素的“对应”关系．
【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个
对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．
（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形
全等的条件．
3．判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA）
（1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．
（2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相
等，证明时要加强对夹边的认识．
4．判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS）
（1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．
（2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两
角和一条边对应相等，就可判定其全等．
5．直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL）
（1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．
（2）“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．
【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下：
【题型5 添加条件判断三角形全等】
【例5】（23-24八年级下·山东日照·开学考试）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件，其中不
能使△ABC≌△AED的是（ ）A．AB=AE B．BC=ED C．∠C=∠D D．∠B=∠E
【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，已知△ABC的六个元素，则根据甲、乙、丙3个
三角形中的条件能和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．只有乙 D．只有丙
【变式5-2】（23-24八年级·山东泰安·期末）给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②
AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，AC=DF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，
∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△≝¿的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【变式5-3】（2024八年级·全国·专题练习）如图，B是AD中点，∠C=∠E，请添加一个条件，使得
△ABC≌△DBE，可以添加的条件是 ．（写出一个即可）
【题型6 全等三角形的判定与性质的综合应用】
【例6】（23-24八年级·山西吕梁·期末）（1）已知AB∥CD，AD∥BC，O为AC中点，过O点的直线
分别与AD、BC相交于点M，N，如图1，那么AM与CN有什么关系？请说明理由．
（2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的AM与CN的关系还成立
吗？请说明理由．【变式6-1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长
线上的点，且CE∥BF．
(1)△ECD与△FBD全等吗？请说明你的理由；
(2)若AD=6，DF=2，△BDF的面积为3，请直接写出△AEC的面积．
【变式6-2】（23-24八年级·山东日照·期末）在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N
分别在等边△ABC的BC,CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．同学们利
用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：
(1)若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说
明理由．
(2)若将题中的点M，N分别移动到BC,CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？请你画出图形，给
出答案并说明理由．
【变式6-3】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，Rt△ABC与Rt△≝¿中，∠ABC=∠≝=90°，
BC=EF，线段AC与线段DF在一条直线上，且AF=CD，连接EC，BF，BE，BE与AD相交于点G．(1)△ABF与△DEC全等吗？为什么？
(2)试说明点G是线段BE的中点．
【题型7 “倍长中线法”构造全等三角形】
【方法总结】所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形
的有关知识来解决问题的方法.
【例7】（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两
个三角形叫兄弟三角形．如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°．回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．
(2)取BD的中点P，连接OP，试说明AC=2OP．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线
（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造△BPE，并证明BE=OD．
②求证：AC=2OP．
【变式7-1】（16-17八年级·浙江杭州·期中）在△ABC中，AB=3，AC=4，延长BC至D，使CD=BC，连接
AD，则AD的长的取值范围为（ ）
A．1＜AD＜7 B．2＜AD＜14 C．2.5＜AD＜5.5 D．5＜AD＜11
【变式7-2】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接
BE并延长交AC于F．若BE=AC，AF=2，CF=8，那么BF的长度为 ．【变式7-3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填
写横线中的依据）：
例4、如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E，
求证：AD=ED．
证明：∵CE∥AB（已知），
∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED．
∵D为BC边中点，∴BD=CD．
在△ABD与△ECD中，
{∠ABD=∠ECD
)
∵ ∠BAD=∠CED ，
BD=CD
∴△ABD≌△ECD（ ）
∴AD=ED（ ）
（2）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB=6，AC=4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是
．
（3）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分
线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想．
【题型8 “截长补短法”证明线段和差问题】
【方法总结】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长,指在长线段中截取一段等于已知线段;补短,指将短线段延长,延长后的线段等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词,可以
采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.
【例8】（23-24八年级·黑龙江大庆·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别
1
是边BC、CD上的点，且∠EAF= ∠BAD．求证：EF=BE+FD．
2
【变式8-1】（23-24八年级·上海静安·期末）如图，已知在ΔABC中，CD平分∠ACB，
∠A=2∠B,BC=a,AC=b，则AD= . （用含a、b的代数式表示）.
【变式8-2】（23-24八年级·山东临沂·期中）【基本模型】
（1）如图1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，请你探究BE、DF与
EF之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，请你探究
BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论．
【变式8-3】（23-24八年级下·四川成都·期中）在△ABC的高AD、BE交于点F，DF=CD．(1)如图1，求证：∠DAC=∠CBE；
(2)如图1，求∠ABC的度数；
(3)如图2，延长BA到点G，过点G作BE的垂线交BE的延长线于点H，当GH=BE时，探究线段CE、CG
、BH的数量关系，并证明你的结论．
【题型9 应用全等三角形的性质解决实际问题】
【例9】（23-24八年级下·陕西西安·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置
A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.9m高的B处接住她后用力一推，爸爸在
C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.3m和1.5m，∠BOC=90°，
∠BDO=90°，∠CEO=90°．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？
【变式9-1】（23-24八年级·山西阳泉·期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所
示，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=40°，求∠D的度数．【变式9-2】（23-24八年级·山西晋城·期末）如图1，课间，小明与小亮在操场上突然争论起来，他们都说
自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争论，其实你们一样高，瞧瞧地
上，你俩的影子一样长!”因为太阳光线是平行的，于是，小聪根据数学老师的解释，画出如图2所示的图
形，线段AB表示小明的身高，线段BC表示小明的影子，线段DE表示小亮的身高，线段EF表示小亮的影
子，BC=EF，太阳光线AC∥DF．请利用全等的原理说明小明与小亮一样高．
【变式9-3】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B
之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一
棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己
现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出
了A、B两根电线杆之间的距离．
(1)请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；
(2)如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离并简述理由．
【题型10 全等三角形在探究性问题中的应用】
【例10】（23-24八年级下·山东济南·期末）【模型呈现】
（1）如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．
求证：BC=AE．【模型应用】
（2）如图2，EA⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所
围成的图形ABCDE的面积．
【深入探究】
（3）如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE
与直线AF交于点G．
①求证DG=≥¿；
②若BC=21，AF=12，求△ADG的面积．
【变式10-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）如图所示，BD、CE是△ABC高，点P在BD的延长线
上，CA=BP，点Q在CE上，QC=AB．
(1)判断：∠1 ∠2（用“>”、“<”、“＝”填空）；
(2)探究：PA与AQ之间的关系；
(3)若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC>AB，∠A是钝角，其他条件不变，试探究PA与AQ之间
的关系，请画出图形并直接写出结论．
【变式10-2】（23-24八年级·广西南宁·期末）综合与实践：
【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，∠ACB=900，AC=BC
，AD⊥CD,BE⊥CD，垂足分别为点D,E．请证明：AD=CE．
【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，∠CDF=90°，CD=FD，点A
是DF上一动点，连接AC，作∠ACB=90°且BC=AC，连接BF交CD于点G．若DG=1,CG=3，请证
明：点A为DF的中点．
【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，∠CDF=90°，CD=FD，
点A是射线DF上一动点，连接AC，作∠ACB=90°且BC=AC，连接BF交射线CD于点G．若
FD=4AF，请直接写出DG与CG的数量关系．【变式10-3】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图1，△ABC中，AD⊥BC于点D，以A为直角顶点，
分别以AB、AC为直角边，在△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线DA的垂
线，垂足分别为H、G．
(1)试探究EH与FG之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图2，若连接EF交DA的延长线于G，由（1）中的结论能否判断EG与FG的大小关系？并说明理
由．
(3)在（2）的条件下，若△AGF面积为90，AD=20，请直接写出BC长．
【考点3 角的平分线的性质】
1．作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
2．角的平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导
其他结论．
3．证明几何命题的一般步骤
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
4．角的平分线的判定
（1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，
角的外部的点不会在角的平分线上．
【题型11 角平分线性质的应用】
【方法总结】角平分线上有一点到一条边有垂线段时,通常可作这一点到另一边的垂线段,得到两条垂线段
的长度相等.
【例11】（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图1，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．
BD
(1)若AB=6，AC=3，BC=5，可得到结论： =__________；
DCBD
(2)若AB=m，AC=n，BC=t，可得到结论： =__________；
DC
(3)图2中，AB=m，AC=n，BC=t，若CE是∠BCA的外角平分线，与BA的延长线交于点E，可得到
BE
结论： =__________．
AE
【变式11-1】（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若
△ABC的周长为18cm，面积为27cm2，则点P到边BC的距离是（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
【变式11-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，点P是线段AD
上的任一点（不与A、D重合），PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点F，若点D到PE的距
离为3，PF=6，则S = ．
△PDF
【变式11-3】（23-24八年级·云南红河·期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=50°，过
点D作AC的垂线，交AC于点E，∠CDE=32°．
(1)求∠ADE的度数；(2)若 ，S 3，求 的长．
AC=6 △ADC = AB
S 4
△ABD
【题型12 角平分线判定的应用】
【方法总结】证明一条射线(或线段)是角平分线,有两种方法:①利用三角形全等证两角相等;②利用到角两
边距离相等的点在角的平分线上.
【例12】（23-24八年级·重庆渝北·期末）已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条
直线上．
(1)求证：BE=AD；
(2)若AD，BE交于O点，连接OC，求证：OC平分∠BOD．
【变式12-1】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边
上的点，CE=BF，S =S ，且∠BAD=42°，则∠BAC的值是 ．
△DCE △DBF
【变式12-2】（23-24八年级·河南新乡·期中）如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一
个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 处?(阴影部分不能修建超
市)
【变式12-3】（23-24八年级·湖南衡阳·期中）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE
、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上，以上结论
正确的是 ．（填序号）【题型13 角平分线性质与判定的综合运用】
【方法总结】当遇到角平分线问题时,除了常见的作垂线的方法,还有截长法.遇到角平分线时的常见作辅助
线方法:
①作垂线:已知AP平分∠BAC,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,得PD=PE且,可△ADP≌△AEP;
②截长:已知AP平分∠BAC,在AC上截取AF=AE,连接PF,可证得△AFPP≌△AEP.
【例13】（23-24八年级·江苏泰州·期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，已知
α
∠DAC=α,∠DAB=90°− ,CE平分∠ACB交AB于点E，连接DE，则∠DEC的度数为（ ）
2
α α α
A． B． C．30°− D．45°−α
2 3 2
【变式13-1】（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线
BE，CE交于点E，且∠BEC=26°，则∠CAE= ．【变式13-2】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，
∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．
(1)求证：DE平分∠ADC；
(2)若AB=7，AD=4，CD=8，S =15，求△ABE的面积．
△ACD
【变式13-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平
分∠ABC、∠ACB交于点G．
(1)如图1，求∠BGC的度数；
(2)如图2，求证：EG=FG；
(3)如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点
M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．
