文档内容
专题05 矩形的重难点题型归纳（十二大题型）
重难点题型归纳
【题型1 利用矩形的性质求角度】
【题型2 利用矩形的性质求线段长度】
【题型3 利用矩形的性质求面积】
【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】
【题型5 矩形与折叠综合应用】
【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】
【题型7 添加条件对矩形的判定】
【题型8 矩形的判定-证明题】
【题型9 矩形的性质与判定综合】
【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】
【题型11 求矩形中最小值问题】
【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】
【题型1 利用矩形的性质求角度】
1．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，将两个矩形叠合放置，如果∠1=115°，那么
∠2等于（ ）
A．25° B．45° C．65° D．85°
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余，因为两个矩形叠合放置，
所以∠4=90°,∠2+∠5=90°，因为∠1=115°，则∠5=90°−65°=25°，即可作
答．
【详解】解：如图：∵两个矩形叠合放置，
∴∠4=90°,∠2+∠5=90°，
∵∠1=115°，
∴∠3=65°，
∴∠5=90°−65°=25°，
∴∠2=90°−25°=65°，
故选：C．
2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，
∠BAE:∠EAD=3:2，则∠CAE的度数是（ ）
A．36° B．54° C．18° D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由四边形
ABCD是矩形，则∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC，OD=OB，根据
∠BAE:∠EAD=3:2，得∠BAE=54°，∠EAD=36°，又AE⊥BD，则
∠BEA=∠DEA=90°，然后由三角形内角和定理得∠ABE=∠OAB=36°，最后由
角度和差即可求解，熟练掌握矩形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC，OD=OB，
∴OA=OB，
∴∠ABE=∠OAB，
∵∠BAE:∠EAD=3:2，
∴∠BAE=54°，∠EAD=36°，
∵AE⊥BD，∴∠BEA=∠DEA=90°，
∴∠ABE=90°−∠EAB=∠OAB=36°，
∴∠CAE=∠BAE−∠OAB=54°−36°=18°，
故选：C．
3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两
点，AE=AD，AF=CE，连接DE、BF，若∠CAD=40°，则∠BFE的度数为
（ ）
A．75° B．70° C．55° D．40°
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用
数形结合的思想解答．先得出CF=AE，根据矩形的性质得出AD=BC，AD∥BC，
再得出∠CFB=∠CBF，进而求出∠CAD=∠FCB=40°，进一步可得出答案．
【详解】解：∵AE=AF+EF，AF=CE，
∴CF=CE+EF=AF+EF=AE，
即CF=AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AE=AD，
∴CF=BC，
∴∠CFB=∠CBF，
∵∠CAD=40°，AD∥BC，
∴∠CAD=∠FCB=40°，
1 1
∴∠CFB=∠CBF= (180°−∠FCB)= (180°−40°)=70°，
2 2
故选：B．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分
∠BAD交BC于点E．若∠ODA=30°，则∠BOE的度数为( )A．45° B．60° C．65° D．75°
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定与性质、三角形的内
角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据矩形的性质及AE平
分∠BAD分别判定BE=BA及△AOB为等边三角形，然后求得∠OBE=30°，则可在
△BOE中求得∠BOE的度数．
【详解】解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，AD∥BC，OA=OB=OD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45°，
∴∠AEB=∠EAD=45°，
∴∠AEB=∠BAE=45°，
∴BE=BA．
∵∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠BAC=60°，又OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴BO=BA，
∴BO=BE，
∵AD∥BC，
∴∠OBE=∠ADO=30°，
∴∠BOE=(180°−30°)÷2=75°．
故选：D．
5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，且AE平
分∠BAC，若AE=CE，则∠AEB的度数为 ．【答案】60°/60度
【分析】先证明∠BAE=∠CAE=∠ACE，再进一步的利用三角形的内角和定理可
得答案．本题考查的是等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形的内角和定理
的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【详解】解：∵矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∵AE=CE，
∴∠CAE=∠ACE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠BAE=∠CAE=∠ACE，
∴3∠BAE=90°，
∴∠BAE=30°，
∴∠AEB=90°−30°=60°；
故答案为：60°．
6．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交
于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=10°，则∠ACB的度数为 ．
【答案】35°
【分析】此题考查了矩形的性质，三角形外角性质，根据矩形的性质得到
1
∠ABC=∠BAD=90°，根据角平分线求出∠BAE= ∠BAD=45°，由此得到
2
∠AEB=45°，再根据三角形外角性质求出答案．
【详解】解：在矩形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，∵AE平分∠BAD，
1
∴∠BAE= ∠BAD=45°，
2
∴∠AEB=45°，
∵∠CAE=10°，∠AEB=∠CAE+∠ACB，
∴∠ACB=∠AEB−∠CAE=45°−10°=35°，
故答案为35°．
【题型2 利用矩形的性质求线段长度】
7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，E是矩形ABCD的对角线BD的中点，F是
AB边的中点，若AB=10，EF=3，则线段CE的长为（ ）
A．7 B．4 C．2 D．❑√34
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、中位线定理、勾股定理，解题关键是熟练掌
握矩形的性质．
结合矩形性质可知BE=CE=DE，再由中位线定理得到AD的长，由勾股定理求出BD
后即可得到CE．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AC=BD且AC和BD互相平分，
∴BE=CE=DE，
∵E是BD的中点，F是AB边的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴AD=2EF=6，
∵矩形ABCD中，∠A=90°，
∴BD=❑√AD2+AB2=2❑√34，
1
∴CE=BE=DE= BD=❑√34．
2
故选：D．
8．（21-22九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOB=60°，则BC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．4❑√3cm D．8cm
【答案】C
【分析】本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为
1
最简二次根式，先求解AO=BO= AC=4cm，证明△AOB是等边三角形，可得
2
AB=AO=4cm，再利用勾股定理计算即可．
1
【详解】解：在矩形ABCD中，AO=BO= AC=4cm，
2
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4cm，
∴BC=❑√AC2−AB2=4❑√3cm．
故选：C
9．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，
∠BDC=60°，BE=1，则AD的长为（ ）
A．3❑√2 B．2❑√3 C．2 D．❑√3
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、含30°的直角三角形特征、勾股定理，解题
关键是熟练掌握含30°的直角三角形特征．
结合矩形性质得到∠ADB=30°和∠BAE=30°，再由含30°的直角三角形特征得到
AB、BD的长，最后由勾股定理即可得解．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ABE=∠BDC=60°，∠ADB=30°，
∴BD=2AB，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE=30°，
∴AB=2BE=2，BD=2AB=4，
∴Rt△ABD中，AD=❑√BD2−AB2=2❑√3．
故选：B．
10．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成
如图所示的图案，已知AB=3，BC=4，则AF的长为 ．
【答案】5❑√2
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定和性质，掌握矩
形的性质，勾股定理是解题的关键．
根据矩形的性质，勾股定理得到AC=CF=5，再证明△ADC≌△CGF(SAS)，得到
△ACF是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，
∴AB=CD=CE=GF=3,BC=AD=CG=EF=4，AC=CF，
∠BAD=∠ADC=∠E=∠G=90°，
在Rt△ABC中，AC=❑√AB2+BC2=❑√42+32=5=CF，
∵AD=CG,∠ADC=∠G=90°,DC=GF，
∴△ADC≌△CGF(SAS)，
∴∠DAC=∠GCF，
∵∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠DCA+∠GCF=90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，则AF=❑√AC2+CF2=❑√52+52=5❑√2，
故答案为：5❑√2 ．11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在长方形ABCD中，
AB=3,AD=4,AC=BD=5，对角线AC,BD相交于点O且互相平分，点P是线段
AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值是
．
12
【答案】
5
【分析】本题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握
数形结合思想的应用．首先连接OP，由
1 1 1
S =S +S = OA⋅PE+ OD⋅PF= OA(PE+PF)求得答案．
△AOD △AOP △DOP 2 2 2
【详解】解：连接PO，
∵长方形ABCD中，AB=3,AD=4,AC=BD=5，
1 1 1 5
∴S = S = ×3×4=3，OA=OD= AC= ，
△AOD 4 长方形ABCD 4 2 2
∴
1 1 1 1 5
S =S +S = OA⋅PE+ OD⋅PF= OA(PE+PF)= × ×(PE+P，F)=3
△AOD △AOP △DOP 2 2 2 2 2
(1 5) 12
∴PE+PF=3÷ × = ．
2 2 5
12
故答案为： ．
5
12．（2025·陕西西安·二模）如图，在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED 的角平分线EF与DC 交于点F， 若AB=10，点 F是DC 的中点，则BC
的长为 ．
【答案】5❑√2+5/5+5❑√2
【分析】根据矩形的性质，角平分线的定义得到AB=AE=10，由勾股定理得到
BE=❑√AB2+AE2=10❑√2，如图所示，过点F作FG⊥BE于点G，连接BF，根据
角平分线的性质定理可证△FED≌△FEG(HL)，得到ED=EG，再证
Rt△BFG≌Rt△BFC(HL)，得到BC=BG，设ED=EG=x，则
AD=BC=AE+ED=10+x，BG=BE−EG=10❑√2−x，由BC=BG列式求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=10,AD=BC，AD∥BC，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∵BE是角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠CBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=10，
∴BE=❑√AB2+AE2=10❑√2，
如图所示，过点F作FG⊥BE于点G，连接BF，∵EF平分∠BED，∠D=90°，即FD⊥ED，且FG⊥BE，
∴FD=FG，且FE=FE，
∴△FED≌△FEG(HL)，
∴ED=EG，
∵点 F是DC 的中点，
1 1
∴FD=FC= CD= ×10=5，
2 2
∴FD=FG=FC=5，
在Rt△BFG和Rt△BFC中，
{BF=BF)
，
FG=FC
∴Rt△BFG≌Rt△BFC(HL)，
∴BC=BG，
设ED=EG=x，则AD=BC=AE+ED=10+x，
∴BG=BE−EG=10❑√2−x，
∴由BC=BG得，10+x=10❑√2−x，
解得，x=5❑√2−5，
∴AD=BC=10+x=10+5❑√2−5=5❑√2+5，
故答案为：5❑√2+5 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质定
理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握矩形的性质，角平
分线的性质定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【题型3 利用矩形的性质求面积】
13．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，∠AOB=60°，已知AB=1，则该矩形的面积是（ ）
❑√3
A． B．2 C．❑√3 D．3
2
【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，含30°的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知
识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
根据矩形的性质可知∠BAD=90°，OA=OB，∠AOB=60°，三角形ABO为等边三
角形，进而可求∠ADB=30°，含30°的直角三角形中BD=2AB=2，AD=❑√3，再通
过矩形面积公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知∠BAD=90°，OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OBA=60°，
∴∠ADB=30°，
∴BD=2AB=2，
∴AD=❑√22−12=❑√3，
∴矩形的面积为：AB×AD=❑√3，
故选：C．
14.（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，矩形ABCD的长是6cm，宽是4cm，O是对称
中心，过点O任意画一条直线l，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．6cm2
【答案】A
【分析】此题考查了矩形的性质，根据矩形是中心对称图形进行解答即可.
【详解】解：∵矩形ABCD的长是6cm，宽是4cm，
∴矩形ABCD的面积为6×4=24cm2，
∵矩形ABCD是中心对称图形，O是对称中心，过点O任意画一条直线l，
1
∴图中阴影部分的面积是矩形面积的一半，即24× =12cm2 ，
2
故选：A
15．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，△EFG为等腰直角三角形，且¿=GF，则四边
形BCFE的面积为（ ）
A．18 B．14 C．16 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质及等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，
解题的关键是能够利用等腰三角形的性质证得两三角形全等．
首先根据等腰直角三角形的性质证得△AEG≌△DGF，从而得到AE=DG=3，
AG=DF=5，然后根据梯形面积公式求得结论即可．
【详解】解：∵△GEF为等腰直角三角形，¿=GF，∠EGF=90°，
∴∠AGE+∠DGF=90°，
四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠AEG=∠DGF，
在△AEG和△DGF中，
{∠AEG=∠DGF
)
∠A=∠D=90° ，
¿=FG
∴△AEG≌△DGF(AAS)，
∴AE=GD，AG=DF，
∵AB=6，AD=8，E为AB的中点，
∴DG=AE=3，AG=DF=AD−DG=5，
∴CF=CD−DF=6−5=1，
1
∴S = (1+3)×8=16，
四边形BCFE 2
故选：C．
16．（23-24九年级上·四川成都·期末）在矩形ABCD中，若AB=2❑√3，对角线AC=4，
则矩形ABCD的面积是 ．【答案】4❑√3
【分析】根据矩形性质，求得BC=❑√AC2−AB2=2，利用面积公式解答即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，矩形的面积，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是
解题的关键．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∵AB=2❑√3，对角线AC=4，
∴BC=❑√AC2−AB2=2，
∴矩形ABCD的面积为：AB·BC=4❑√3，
故答案为：4❑√3．
【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】
17．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点
坐标均已标出，那么a−b的值为（ ）
A．−3 B．−1 C．3 D．1
【答案】D
【分析】本题考查代数式求值，涉及矩形性质、中点坐标公式等知识，熟练掌握矩形
性质及中点坐标公式是解决问题的关键．由矩形的对角线交于一点，且对角线相互平
分，从而由中点坐标公式求出对角线交点O的坐标，列方程求解即可得到a,b的值，
代入代数式求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：(9+a 13+2) (9+a 15)
由中点坐标公式可知AC中点O的坐标为 , ，即O , ；
2 2 2 2
(15+5 5+b) (20 15)
BD中点O的坐标为 , ，即O , ；
2 2 2 2
{a+9=20)
∴ ，
5+b=15
{a=11)
解得 ，
b=10
∴ a−b=11−10=1，
故选：D．
18．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，
C的坐标分别为(10,0),(0,4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当OP=PD时，
点P的坐标是（ ）
A．(2.5,4) B．(3,4) C．(4,4) D．(5,4)
【答案】A
【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质,矩形的性质，等腰三角形的性质，由点D
是OA的中点，可得出点D的坐标，当OP=PD，由等腰三角形的性质即可得出点P的
坐标
【详解】解：过点P作PM⊥OD于点M，∵ OABC A,C (10,0),(0,4)
矩形 的顶点 的坐标分别为 ，
点D是OA的中点，
∴点D(5,0)
∵ OP=PD，PM⊥OD，
∴OM=DM，
即点M(2.5,0)
∴点P(2.5,4)，
故选：A
19．（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A，
C分别在y轴、x轴上，且点B(4,3)，D为边BC上一点，将∠B沿AD所在直线翻折，
当点B的对应点B′恰好落在对角线AC上时，点D的坐标为(
)
( 4) ( 5) ( 9) ( 7)
A． 4, B． 4, C． 4, D． 4,
3 3 5 5
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐
标得出AB=OC=4,AO=BC=3，根据勾股定理求得AC，设BD=B′D=x，则
CD=3−x．在Rt△B′CD中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：依题意，AB=OC=4,AO=BC=3，
∴AC=5
由折叠的性质，可知BD=B′D，AB′=AB=4，
∴B′C=5−4=1．
设BD=B′D=x，则CD=3−x．在Rt△B′CD中，由勾股定理，得x2+12=(3−x) 2，
4
解得x= ．
3
4 5
∴CD=3− =
3 3
( 5)
∴点D的坐标为 4, ，
3
故选B．
20．（20-21八年级下·江苏扬州·期中）将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，
6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ．
【答案】（8，10）
【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作
BG⊥AH于G，根据矩形的性质得到HG=BE，∠EBG=90°，AB=CD，∠ABC=90°，求得
∠ABG=∠EBC，根据全等三角形的性质得到AG=DF，BG=CF，于是得到结论．
【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B
作BG⊥AH于G，
则四边形BEHG是矩形，
∴HG=BE，∠EBG=90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠EBC，
∵∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠DCF=90°，
∴∠ABG=∠DCF，
∵在 ABG与 DCF中，
{ △∠ABG＝△∠DCF )
∠AGB＝∠DFC＝90° ，
AB＝CD
∴△ABG≌△DCF（AAS），
∴AG=DF，BG=CF，
∵点B的坐标是（-4，6），点C的坐标是（-2，0），点D的坐标是（10，4），
∴BE=6，OC=2，OF=10，DF=4，
∴CF=12，
∴AH=AG+GH=6+4=10，OH=10-2=8，
∴A（8，10），
故答案为：（8，10）．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，正
确的作出辅助线是解题的关键．
【题型5 矩形与折叠综合应用】
21．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使
点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8,AB=4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股
定理，难度适中．
设DE=x，则AE=8−x．先根据折叠的性质和平行线的性质，得∠EBD=∠EDB，则BE=DE=x，然后在直角三角形ABE中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设DE=x，则AE=8−x．
根据折叠的性质，得∠EBD=∠CBD．
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE=x．
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得
x2=(8−x) 2+16，
解得x=5．
故选：C．
22．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将
△BCE沿CE折叠，使点B落在AD边上的F处，已知AD=5，AB=3，则BE的长为
（ ）
5 5 4 3
A． B． C． D．
4 3 3 2
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的边角关系以及翻折轴对称的性质．根据
翻折的性质和勾股定理可求出DF，进而求出AF，在Rt△AEF中由勾股定理可求出
BE．
【详解】解：由翻折的性质可知，BE=EF，BC=FC=AD=5，
在Rt△CDF中，CF=5，CD=AB=3，
∴DF=❑√52−32=4，
∴AF=AD−DF=5−4=1，
设BE=x，则EF=x，AE=3−x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF2+AE2=EF2，即1+(3−x) 2=x2，
5
解得x= ，
3
5
即BE= ．
3
故选B．
23．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形ABCD中，点G､E分别在边BC,DC上，
连接AG､EG､AE，将△ABG和△ECG分别沿AG､EG折叠，使点B､C恰好落在
AE上的同一个点，记为点F，若AB=4,BC=6，则DE的长度为（ ）
3 7
A．2 B． C．❑√14 D．
2 4
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的折叠、勾股定理等知识．在矩形ABCD中，
AB=CD=4,BC=AD=6， ∠D=90°，根据折叠的性质得到AF=AB=4,
CE=EF,CG=FG设DE=x，则CE=EF=4−x,由勾股定理得到，
AE2=DE2+AD2，列方程即可求出答案．
【详解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=4,BC=AD=6， ∠D=90°
根据折叠的性质得到AF=AB=4, CE=EF,CG=FG
设DE=x，则CE=EF=4−x,
由勾股定理得到，AE2=DE2+AD2，
即(4+4−x) 2=x2+62
7
解得x=
4
7
即DE的长度为 ，
4
故选：D24．（21-22八年级下·河南信阳·期末）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD
边的B′处，若AE=2，DE=6，BF=4，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是
（ ）
A．12 B．24 C．12❑√3 D．16❑√3
【答案】D
【分析】根据折叠的性质，得到∠EFB=∠EFB′，根据矩形的性质得到AD∥BC，
根据平行线的性质得到∠B′EF=∠EFB=60°，进而得到△B′EF为等边三角形，根
据直角三角形的性质，求出B′E=2A′E=4，利用勾股定理求出AB=A′B′=2❑√3，由
此求出答案．
【详解】解：根据题意得：
把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，
∴ AB=A′B′，∠EFB=∠EFB′，A′E=AE=2，∠A′B′F=∠B=90°，
∵ ∠EFB=60°，
∴ ∠EFB=∠EFB′=60°，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠B′EF=∠EFB=60°，
在△B′EF中，
∠B′EF=∠EFB′=60°，
∴ △B′EF为等边三角形，
∴ ∠EB′F=60°，
在Rt△A′B′E中，
∠A′B′E=∠A′B′F−∠EB′F=90°−60°=30°，
∴ B′E=2A′E=4，
∴ A′B′=❑√B′E2−A′E2=❑√42−22=2❑√3，
∴ AB=A′B′=2❑√3，
∴矩形ABCD的面积为：AD×AB=(2+6)×2❑√3=16❑√3．故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，
勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
25．（24-25八年级上·天津南开·期末）如图，一块矩形纸片的宽CD为6cm，点E在AB上，
如果沿图中的EC对折，点B的对应点为B′，若点B′恰好落在AD上，此时
∠BCE=15°，则BC的长为 （cm）．
【答案】12
【分析】本题主要考查翻折变换（折叠问题），含30度角的直角三角形，矩形的性质，
熟练掌握折叠的性质是解题关键．
由折叠可知BC=B′C,∠BCE=∠B′CE=15°，进而得到
∠BCB′=∠BCE+∠B′CE=30°，由平行线的性质得∠CB′D=∠BCB′=30°，利
用含30度角的直角三角形性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°,AD∥BC，
由折叠可知，BC=B′C,∠BCE=∠B′CE=15°，
∴∠BCB′=∠BCE+∠B′CE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CB′D=∠BCB′=30°，
在Rt△B′CD中，B′C=2CD，
∵CD=6cm，
∴B′C=12cm，
∴BC=B′C=12cm，
故答案为：12．
26．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点A恰好
落在长方形对角线BD上的点A′处，已知AB=6，BC=8，线段AE的长度为 ．8
【答案】
3
【分析】本题考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴
对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股
定理列出方程求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，∠A=90°，
∴BD=❑√BC2+CD2=10，
∵将△ADE沿DE折叠，使点A恰好落在长方形对角线BD上的点A′处，
∴A′D=AD=8,由折叠可知：AE=A′E，∠A=∠DA′E=90°，
∴A′B=BD−A′D=10−8=2，
设AE=x，则BE=6−x，
在Rt△A′EB中，A′B2+A′E2=BE2，
8
∴22+x2=(6−x) 2 ,解得x= ，
3
8
∴AE= ．
3
8
故答案为： ．
3
【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】
27．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，
AB=AD，E，F分别是AC，BD的中点，若EF=3，则AC的长是 ．【答案】6
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质；
连结AF，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD，再根据直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半求得AC=2EF．
【详解】解：如图，连结AF，
∵AB=AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
又∵在Rt△ACF中，E是AC的中点，EF=3，
∴AC=2EF=6，
故答案为：6．
28．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在四边形ABCD中，
∠ABC=∠ADC=90°,E为对角线AC的中点，连接BE,ED,BD，若∠BAD=56°，
则∠EDB的度数为 度．
【答案】34
【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，
由直角三角形斜边中线的性质得到DE=BE=AE，推出∠DAE=∠ADE，∠BAE=∠ABE，得到∠ADE+∠ABE=∠BAD，由三角形外角的性质得到
∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠BEC=∠BAE+∠ABE，即可推出∠BED，然后利
用三角形内角和定理和等边对等角求解即可．
【详解】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，
1 1 1
∴DE= AC，BE= AC，AE= AC，
2 2 2
∴DE=BE=AE，
∴∠DAE=∠ADE，∠BAE=∠ABE，
∴∠ADE+∠ABE=∠DAE+∠BAE=∠BAD=56°，
∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠BEC=∠BAE+∠ABE，
∴∠DEC+∠BEC=∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABE，
∴∠BED=∠BAD+∠ADE+∠ABE=56°+56°=112°
∵DE=BE
1
∴∠EDB= (180°−∠BED)=34°．
2
故答案为：34．
29．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
AC=12，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF=3DF．若∠AFC=90°，则
BC的长度是 ．
【答案】16
【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握三角形的
中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
1
先根据直角三角形斜边中线的性质得到EF= AC=6，再根据EF=3DF求出DE，
2
最后根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵∠AFC=90°，点E为AC的中点，
1
∴EF= AC=6，
2∵EF=3DF，
1
∴DF= EF=2，
3
∴DE=DF+EF=8，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴BC=2DE=16，
故答案为：16．
30．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M
与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8km4.8km，则M、C两点间的距离为 km．
【答案】2.4
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边中线等
于斜边的一半．
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案．
【详解】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵M是AB的中点，AB=4.8km
1 1
∴CM= AB= ×4.8=2.4km
2 2
故答案为：2.4 ．
【题型7 添加条件对矩形的判定】
31．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知▱ABCD的对角线相交于点O，分别添加
下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AC=BD；④OA=OD．使得
▱ABCD是矩形的条件是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【分析】观察题目，本题主要考查矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键；对于①，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”判断即可； 对于②，根据“对
角线垂直的平行四边形是菱形”判断即可； 对于其余的条件，结合矩形的判定定理以
及平行四边形的性质判断即可．
【详解】①当∠ABC=90°时，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，故①正确；
②当AC⊥BD时，
∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，故②错误；
③当AC=BD时，
∵AC=BD，四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，故③正确；
④当OA=OD时， ．
∵OA=OD，四边形ABCD为平行四边形，
∴AC=BD，四边形ABCD是矩形，
故④正确．
综上可得平行四边形ABCD是矩形的条件的序号是①③④．
故选：D
32．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，可以添加
的条件是（ ）
A．AB=BC B．AC⊥BD C．∠1+∠2=90° D．∠1=∠2
【答案】C
【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，根据矩形的判定
方法逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、根据平行四边形中邻边相等，可证得四边形ABCD为菱形，故此项
错误；
B、根据平行四边形中对角线垂直，可证得四边形ABCD为菱形，故此项错误；
C、根据平行四边形中一个角等于90°，可证得四边形ABCD为距形，故此项正确；D、平行四边形对角线平分一组对角，得∠1=∠2，不能证明四边形ABCD为距形，
故此项错误；
故选：C．
33．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行
四边形ABCD成为矩形，添加正确的是（ ）
A．AB=BC B．∠A+∠C=180° C．∠A+∠B=180° D．AC⊥BD
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐一判断即可，掌握
矩形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，不符合题意；
D、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，不符合题意；
故选：B．
34．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，E，F，G，H分别为四边形ABCD边
CD，DA，AB，BC的中点，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AB∥DC B．AB=DC C．AC=BD D．AC⊥BD
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，连接AC，BD，由三角形中位线定理得到
1 1
EH=FG= BD，EF=GH= AC，EH∥BD，EF∥AC，进而可证明四边形
2 2
EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH是矩形，那么EH⊥EF，则AC⊥BD，
据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接AC，BD，
∵E，F，G，H分别为四边形ABCD边CD，DA，AB，BC的中点，
∴EF，FG，GH，EH分别是△ACD，△ABD，△ABC，△BCD的中位线，
1 1
∴EH=FG= BD，EF=GH= AC，EH∥BD，EF∥AC，
2 2
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴要使四边形EFGH是矩形，那么EH⊥EF，则AC⊥BD，
故选：D．
【题型8 矩形的判定-证明题】
35．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知，如图，在▱ABCD中，M是AD边上的
中点，且MB=MC．求证：▱ABCD是矩形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了矩形的判定，即利用 “有一个角是直角的平行四边形是矩
形”是解答本题的关键，根据平行四边形的两组对边分别相等可知△ABM≌△DCM
得到∠A=∠D，又由AB∥CD可得∠A+∠D=180°，证得∠A=90°，即可证明
是矩形．
【详解】解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．
∵点M是AD的中点，
∴AM=DM．
又∵MB=MC，
∴△ABM≌△DCM(SSS)．
∴∠A=∠D．
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°．
∴∠A=90°．
∴▱ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
36．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，E，F为AD上两点，连
接BE，CF，且AF=DE，BE=CF．
(1)求证：△ABE≌△DCF．
(2)判定四边形ABCD的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)矩形；理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．
全等三角形的判定是本题的重点．
（1）根据题中的已知条件我们不难得出：AB=CD，BE=CF，又因为AF=DE，那
么两边都加上EF后，DF=AE，因此就构成了全等三角形的判定中边边边(SSS)的条
件．
（2）由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可．
【详解】（1）证明：∵AF=DE，AE=AF+EF，DF=DE+EF，
∴AE=DF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC．在△ABE和△DCF中，
∵¿
∴△ABE≌△DCF(SSS)．
（2）解：四边形ABCD为矩形．
理由如下：
∵△ABE≌△DCF，
∴∠A=∠D．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠A+∠D=180°．
1
∴∠A= ×180°=90°，
2
∴四边形ABCD是矩形．
37．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在▱ABCD中，CE⊥AB于点E，
AF⊥CD于点F，求证：四边形AECF是矩形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握三
个角是直角的四边形是矩形．
根据题意得出∠AEC=∠AFC=∠AFD=90°，再根据平行四边形的性质证出
∠FAE=∠AFD=90°，即可证明．
【详解】证明：∵CE⊥AB，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFC=∠FAE=90°，
∴四边形AECF是矩形．38．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
过点A作AE∥BC，使AE=BD，连接BE，求证四边形AEBD是矩形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质，解题的关
键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
由题意得出四边形AEBD是平行四边形，结合等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，
即可得证．
【详解】证明：∵AE∥BC，AE=BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形．
39．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为边BC上一点，
以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．
(1)求证：△ADC≌△ECD；
(2)若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、等腰三角形
的性质以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定以及矩形的判定是解题的关键．
（1）根据AB=AC得出∠B=∠ACB，再结合平行四边形的性质即可证明；
（2）先推得AE=DC，∠ADC=90°，再证得四边形ADCE是平行四边形，即可求证．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥ED，AB=ED，
∴∠ABD=∠EDC，AC=ED，
∴∠EDC=∠ACD，
∴△ADC≌△ECD(SAS)．
（2）解：若BD=CD，
又∵AB=AC，
∴AE=BD=DC，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形．
【题型9 矩形的性质与判定综合】
40．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形ABCD中，
∠ABC=∠ADC=90°,AB=CD，对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，
交BC于点F．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若CD=❑√5,AD=2❑√5，求线段OE的长．
【答案】(1)证明见解析
3
(2)
2
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
（1）先证出Rt△ABC≌Rt△CDA，根据全等三角形的性质可得BC=DA，再证出
四边形ABCD是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得证；
（2）先利用勾股定理可得AC=5，利用三角形的面积公式可得DE=2，再根据矩形
5
的性质可得OD= ，然后在Rt△DOE中，利用勾股定理求解即可得．
2
【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴△ABC和△CDA都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
{AC=CA)
，
AB=CD
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL)，
∴BC=DA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：∵∠ADC=90°，CD=❑√5,AD=2❑√5，
∴AC=❑√AD2+CD2=5，
∵DE⊥AC，
1 1
∴S = AC⋅DE= AD⋅CD，
Rt△ACD 2 2
AD⋅CD 2❑√5×❑√5
∴DE= = =2，
AC 5
由（1）已证：四边形ABCD是矩形，
1 1 5
∴OD= BD= AC= ，
2 2 2
3
∴在Rt△DOE中，OE=❑√OD2−DE2=
．
2
41．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
BE∥AD，AE⊥AD．(1)求证：四边形ADBE是矩形；
(2)作EF⊥AB于F，若BC=4，AD=3，求EF的长．
【答案】(1)见解析；
6❑√13
(2) ．
13
【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，
（1），根据等腰三角形的性质得∠ADB=90°，再根据平行线的性质得
∠DBE=90°，然后根据AE⊥AD，可得∠DAE=90°，即可得出结论；
1
（2），根据等腰三角形的性质求出BD=CD= BC=2，再根据勾股定理得AB，然
2
后根据矩形的性质得BE=AD=3，AE=BD=2，最后根据三角形的面积相等得出答
案.
【详解】（1）证明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°.
∵BE∥AD，
∴∠DBE=90°．
∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90°，
∴四边形ADBE是矩形；
（2）解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
1 1
∴BD=CD= BC= ×4=2.
2 2
∵AD=3，
∴AB=❑√BD2+AD2=❑√13.
∵四边形ADBE是矩形，∴BE=AD=3，AE=BD=2.
1 1
∵ ×AB×EF= ×BE×AE，
2 2
BE×AE 3×2 6❑√13
∴EF= = = ．
AB ❑√13 13
42．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，平行四边形ABCD中，P是AB边上的一点
（不与点A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ．
(1)若CQ平分∠DCP，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在（1）的条件下，当AP=2，CB=4时，求CD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)CD=5
【分析】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）证明△CPQ≌△CDQ，进而得到∠CDQ=90°，即可得证；
（2）设CD=x，根据矩形的性质，得到AB=CD=x，进而得到
BP=AB−AP=x−2，在Rt△CBP中，利用勾股定理求出x的值即可．
【详解】（1）证明：∵CQ平分∠DCP，
∴∠DCQ=∠PCQ，
∵CP=CD，CQ=CQ，
∴△CPQ≌△CDQ，
∴∠CDQ=∠CPQ，
∵PQ⊥CP，
∴∠CDQ=∠CPQ=90°，
∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）由（1）知平行四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°,CD=AB，
设CD=AB=x，则：CP=CD=x，BP=AB−AP=x−2，
在Rt△CBP中，由勾股定理，得：x2=(x−2) 2+4，解得：x=5，
∴CD=5．
43．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，AD⊥BD，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF⊥OE，交OE的延长线
于点F．
(1)求证：四边形OFCB是矩形；
(2)若AD=8，DC=12，求四边形OFCB的面积．
【答案】(1)见解析
(2)16❑√5
【分析】（1）证OE是△BCD的中位线，得OE∥BC，再证明OB∥CF，则四边形
OFCB是平行四边形，由CF⊥OE，即可得出结论；
（2）根据勾股定理得出DB，进而利用矩形的面积公式解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO
，
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥BC，即OE∥AD，
∵AD⊥BD，
∴OF⊥BD，
∵CF⊥OE，
∴OD∥CF，即OB∥CF，
∴四边形OFCB是平行四边形，
∵CF⊥OE，四边形OFCB是矩形；（2）解：∵AD=8，DC=12，
∴BC=8，
∵∠CBD=∠ADB=90°，
∴BD=❑√CD2−BC2=4❑√5，
1
∴OB= BD=2❑√5，
2
∴矩形OFCB的面积=OB⋅BC=8×2❑√5=16❑√5．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定
理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
44．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于
点E，延长DA至点F，使得DE=AF，连接BF，CF．
(1)求证：四边形BCEF是矩形；
(2)若AB=3，CF=4，DF=5，求EF的长．
【答案】(1)证明见解析；
16
(2)EF= ．
5
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和勾股
定理的逆定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC再由DE=AF，得EF=BC，
EF∥BC则四边形BCEF是平行四边形，再证∠CEF=90°即可得出结论；
（2）由勾股定理的逆定理证△CDF是直角三角形，∠DCF=90°，再由面积法求出
12 12
CE= ，然后由矩形的性质得∠FBC=90°，BF=CE= 最后由勾股定理求解即
5 5
可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵DE=AF，∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF=90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3，
∵CF=4，DF=5，
∴CD2+CF2=DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF=90°，
1 1
∴△CDF的面积= DF×CE= CF×CD，
2 2
CF×CD 4×3 12
∴CE= = = ，
DF 5 5
由（1）得：EF=BC，四边形BCEF是矩形，
12
∴∠FBC=90∘,BF=CE= ,
5
∴BC=❑√CF2−BF2=❑
√
42−
(12) 2
=
16
5 5
16
∴EF= ．
5
45．（21-22九年级下·山东青岛·自主招生）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，
BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．
(1)求证：四边形ADFE是矩形；
(2)连接 OF，若AD=6，EC=4，∠BAE=30°，求OF的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)❑√19
【分析】（1）由在平行四边形性质得到AB∥DC且AB=DC，由平行线的性质得到∠ABE=∠DCF，根据三角形的判定可证得△ABE≌△DCF(SAS)，由全等三角形
的性质得到AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，可得AE∥DF，根据矩形的判定即
可得到结论；（2）由矩形的性质得到EF=AD=6，进而求得BE=CF=2，BF=8，
由∠BAE=30°可求得AB=2BE=4，由勾股定理可求得∴
， ，由平
DF=AE=❑√AB2−BE2=2❑√3 BD=❑√BF2+DF2=❑√82+(2❑√3) 2=2❑√19
行四边形性质得OB=OD，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论；
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC且AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
{
AB=DC
)
∵ ∠ABE=∠DCF ，
BE=CF
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=6，
∵EC=4，
∴BE=CF=2，
∴BF=8，
在Rt△ABE中，
∵∠BAE=30°，
∴AB=2BE=4，
∴DF=AE=❑√AB2−BE2=2❑√3，
∴BD=❑√BF2+DF2=❑√82+(2❑√3) 2=2❑√19，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，1
∴OF= BD=❑√19；
2
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质及判定，平行四边形的性质、矩形的判定
与性质，熟练掌握相关几何证明方法是解决本题的关键．
【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】
46.（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，
BC=12，平面上有一点P，AP=1，连接AP，BP，取BP的中点G．连接CG，在
AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是（ ）
A．7 B．7.5 C．❑√42 D．14
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线的性质，三角形三
边的不等关系，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键；取AB的中点E，连接
1 1
EG，CE，则CE= AB，≥= AP，CG≤CE+≥¿，当C，G，E三点共线时，
2 2
CG最大，即可求得最大值．
【详解】解：如图，取AB的中点E，连接EG，CE，
∵∠ACB=90°，AC=5，BC=12，
1 1 1
∴AB=❑√AC2+BC2=13，CE= AB，≥= AP= ，
2 2 2
1 13
∴CE= AB= ；
2 2
∵CG≤CE+≥¿，
∴当C，G，E三点共线时，CG最大，最大值为¿+CE；
1 13
∵¿+CE= + =7，
2 2
∴CG的最大值为7；故选：A．
47．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，∠PAQ=90°，B、C分别是射线AP和
AQ上的两个动点，O是BC中点，AO长始终为1，延长AB至M，使BM=AC，作
∠AMN=45°交AQ于点N，连接ON，则ON的最大值为（ ）
A．1+❑√2 B．1+❑√3 C．2+❑√2 D．2+❑√3
【答案】A
【分析】过N作RN⊥AN，且使RN=AC，连接CR，取CR的中点S，连接BR，
OS，SN．先证明△ACB≌△NRC(SAS)，由全等三角形的性质得出BC=CR，
∠BCA=CRN，∠RCN=CBA由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出
1
BC=CR=2，NS= CR=1，再证明△BCR为等腰直角三角形，有勾股定理得出BR，
2
1
由三角形中位线判定和性质可得出OS= BR=❑√2，最后利用三角形三边关系即可得
2
出答案．
【详解】解：过N作RN⊥AN，且使RN=AC，连接CR，取CR的中点S，连接BR，
OS，SN．∵∠PAQ=90°，∠AMN=45°
∴∠MNA=45°，
∴AM=AN，
∵BM=AC
∴AM−BM=AN−AC
即AB=NC，
在△ACB和△NRC中，
{
AC=NR
)
BAC=∠CNR=90°
AB=NC
∴△ACB≌△NRC(SAS)，
∴BC=CR，∠BCA=∠CRN，∠RCN=CBA，
∵∠PAQ=90°，O是BC中点，AO=1，
∴BC=CR=2，
又∵∠CNR=90°，S是CR的中点，
1
∴NS= CR=1，
2
∵∠BCA+∠CBA=90°，∠CRN+∠RCN=90°，
∴∠BCA+∠RCN=90°，
∴∠BCR=90°，
∴△BCR为等腰直角三角形，
∴BR=❑√BC2+CR2=2❑√2，
∵O是BC中点，S是CR的中点，
1
∴OS= BR=❑√2，
2
在△OSN中，ON≤SO+SN≤❑√2+1，
∴ON的最大值为❑√2+1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了综合性的三角形问题，等角对等边，等腰直角三角形的判定
以及性质， 全等三角形的判定以及性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三
角形中位线的判定以及性质，三角形三边关系的应用，勾股定理等知识，综合性较强，
难度较大，正确作出辅助线是解题的关键．
48．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
AB=BC=6，D是平面上一动点，连接AD，DC，E是DC的中点，连接BE，当
AD=2，BE的最大值为（ ）
A．5 B．❑√13 C．3❑√2−1 D．3❑√2+1
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理、三角形的中位线的性质、直角三角形斜边上的中线性质
等知识，添加辅助线，利用三角形的中位线性质求解是解答的关键．取AC的中点F，
1
连接BF，EF，利用三角形的中位线性质得到EF= AD=1，再利用勾股定理和直角
2
1
三角形的中线性质求得BF= AC=3❑√2，然后利用三角形三边关系得到
2
BE≤BF+EF=3❑√2+1，当B、F、E共线时取等号，进而得到答案．
【详解】解：取AC的中点F，连接BF，EF，如图，∵E是DC的中点，点F是AC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，又AD=2，
1
∴EF= AD=1，
2
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=6，
∴AC=❑√AB2+BC2=6❑√2，
1
∴BF= AC=3❑√2，
2
∵BE≤BF+EF=3❑√2+1，当B、F、E共线时取等号，
∴BE的最大值为3❑√2+1，
故选：D．
【题型11 求矩形中最小值问题】
49．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，
AB=3，BC=5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF
的最小值为为（ ）
❑√34
A． B．4 C．❑√34 D．8
2
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，连接CP，根据矩形的性质得到EF=CP，
AP+EF的最小值即为AP+CP的最小值，当A，P，C三点共线时，AP+CP的值最小，且为AC的长度，根据勾股定理得到AC=❑√AB2+BC2=❑√32+52=❑√34，于是得
到结论．熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接CP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EF=CP，
∴AP+EF的最小值即为AP+CP的最小值，
当A，P，C三点共线时，AP+CP的值最小，且为AC的长度，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√32+52=❑√34，
∴AP+EF的最小值为❑√34，
故选：C．
50．（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）如图，边长为2的正△ABC，两顶点A、B 分
别在直角∠MON的两边上滑动，点C在∠MON的内部，则OC的长的最大值为
；
【答案】❑√3+1/1+❑√3
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线判
定出当O、D、C三点共线时，OC最长是解题的关键．取AB的中点D，连接CD，
OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OD的长度，再根据等边三角
形的性质求出CD的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD+CD>OC，
判定当O、D、C三点共线时，OC最长，然后求解即可．
【详解】解：如图，取AB的中点D，连接CD，OD，∵∠AOB=90° D AB
，点 为 的中点，
1
∴OD=AD=BD= ×2=1，
2
∵等边三角形ABC的边长为2，CD为中线，
∴CD⊥AB，
∴CD=❑√AC❑2 −AD2=❑√3，
在△ODC中，OD+CD>OC，
∴当O、D、C三点共线时，OC最长，最大值为❑√3+1，
∴OC的最大值为：❑√3+1，
故答案为：❑√3+1
51．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，
∠BAC=90°，∠C=60°，AB=6，点D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AD，
交AB于点E，则线段AE长度的最小值为 ．
【答案】4
【分析】要想求出AE长度的最小值，把AE转化成AE=2DF，只需要求出DF的最
小值即可，根据垂线段最短，当DF⊥BC时DF最小，再根据含30°的直角三角形的
性质即可解决此题．
【详解】取AE的中点F，连接DF，过点F作FG⊥BC于点G．则DF≥FG，AE=2DF．
当DF⊥BC时DF最小，AE最小，此时点D与G重合．
∵∠BAC=90°，∠C=60°，
∴∠B=30°．
设DF=x，则AF=x，
在Rt△BDF中
∴BF=2x，
∴AB=3x=6，
∴x=2，
∴AE=2x=4，
∴线段AE长度的最小值为4．
【点睛】本题主要考查了含30°的直角三角形的性质，垂线段最短，直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半等知识点，解决此题的关键是要想到把AE转化成AE=2DF．
52．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片ABCD，使AD与BC重合，
得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，
3
BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，OF=1，A′M= A′O，点Q
2
是折痕BM上的一个动点，则AQ+QE的最小值为 ．
9
【答案】
2
【分析】连接A A′，由折叠的性质及题意易得AB=A A′=A′B，则有△A A′B是等边
三角形，进而可得∠ABM=∠A′BM=∠A′BC=30°；设A′M=3x，A′O=2x，
3❑√3
然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得x=1，则求得BE= ，
2
9 9
A′B=3❑√3，进而求得A′E= ，根据对称性得到AQ+QE=A′Q+QE≥A′E=
，
2 2
当A′、Q、E共线时取等号，进而可求解．【详解】解：连接A A′，如图所示：
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
1
∴A A′=A′B，BE=CF= AB，∠BEF=∠AEF=90°，
2
∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，
∴AB=A′B，∠ABM=∠A′BM，∠BA′M=∠BAM=90°，
∴AB=A A′=A′B，即△A A′B是等边三角形，
∴∠A′ AB=∠A A′B=∠A′BA=60°，
∵∠ABC=∠BAM=90°，
∴∠ABM=∠A′BM=∠A′BC=30°，
3
∵A′M= A′O，
2
∴设A′M=3x，A′O=2x，
则在Rt△A′BM中，BM=2A′M=6x，
∴AB=A′B=❑√BM2−A′M2=3❑√3x，
3❑√3
∴BE=CF= x，
2
∵在Rt△BCO中，BO=2CO，又OF=1
(3❑√3 )
∴3❑√3x+2x=2 x+1 ，
2
解得x=1，
3❑√3
∴BE= ，A′B=3❑√3，
2
9
∴A′E=❑√A′B2−BE2=
，
2
∵点Q是折痕BM上的一个动点，点A与点A′关于BM对称，
∴连接A′Q，则A′Q=AQ，9
∴AQ+QE=A′Q+QE≥A′E= ，当A′、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处，
2
9
∴AQ+QE的最小值为 ，
2
9
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定
理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠
的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键．
53．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=8，点E、
F分别为AD、CD边上的动点，且EF=2，M为EF的中点，直线GH∥AB分别交边
AD、BC于点G、H，连接BG、HM，则BG+HM的最小值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．先推导出点M是以D为圆心，以1为半径
的圆弧上的点，得到当D，M，H，A′共线时，
BG+HM=AH+HM=H A′+HM的值最小，利用勾股定理计算，从而得出
BG+HM的最小值．
【详解】解：连接AH，
∵矩形ABCD，直线GH∥AB，
∴∠DAB=∠ABC=∠GHB=90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴AH=BG，
∵EF=2，M为EF的中点，
1
∴DM= EF=1，
2
∴点M是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，H A′，
∵H A′+HM+DM≥A′D，
∴当D，M，H，A′共线时，BG+HM=AH+HM=H A′+HM的值最小，
∵AB=3，AD=8，
∴A A′=6，
∴A′D=❑√A A′2+AD2=10，
∴BG+HM≥A′D−DM=10−1=9，
∴BG+HM的最小值为9，
故答案为：9．
54．（24-25九年级上·海南·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，M为线
段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为 ．
2❑√5 2
【答案】 / ❑√5
5 5
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知
识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．过点C作CE⊥BD于点E，连接CM，
证四边形PCQM是矩形，得PQ=CM，再由勾股定理得BD=❑√5，由△BCD面积求
2❑√5 2❑√5
得CE= ，当M运动到E位置时，CM=CE= ，CM取得最小值，得PQ的
5 52❑√5
最小值为 ．
5
【详解】解：如图，连接CM，过点C作CE⊥BD于点E，
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM=∠CQM=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ=CM，
∵BC=AD=1，CD=AB=2，
∴BD=❑√BC2+CD2=❑√5，
1 1
∵S = CE⋅BD= BC⋅DC，
△BCD 2 2
2❑√5
∴CE= ，
5
∵CM≥CE，
2❑√5
∴当M运动到E位置时，CM=CE= ，CM最小，
5
2❑√5
∴PQ的最小值为 ，
5
2❑√5
故答案为： ．
5
【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】
55．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，
AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度
向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B
点时点Q随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．(1)BP=________，DQ=________（用含t的代数式表示）；
(2)t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
(3)t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
【答案】(1)(16−3t)cm，(16−2t)cm；
(2)t为5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
8 24
(3)t为 或 秒时，点P和点Q的距离为10cm．
5 5
【分析】（1）由题意得：AP=3tcm，CQ=2tcm，再根据AB=CD=16cm，即可
列式；
（2）证明四边形PBCQ是直角梯形，再根据梯形面积公式列方程求解即可；
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则四边形AEQD是矩形，得到EQ=AD=6cm，
AE=DQ=(16−2t)cm，分两种情况求解：当点P在点E上方时；当点P在点E下方
时，利用勾股定理分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：AP=3tcm，CQ=2tcm，
∵四边形ABCD是矩形，AB=16cm，
∴AB=CD=16cm，
∴BP=(16−3t)cm，DQ=(16−2t)cm，
故答案为：(16−3t)cm，(16−2t)cm；
（2）解：四边形ABCD是矩形，AD=6cm，
∴∠B=∠C=90°，AB∥CD，BC=AD=6cm，
∴四边形PBCQ是直角梯形，
1
∴四边形PBCQ的面积= (CQ+BP)⋅BC，
2
∵四边形PBCQ的面积为33cm2，
1
∴ [2t+(16−3t))×6=33，
2
解得：t=5，答：t为5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）解：如图，过点Q作QE⊥AB于点E，
则四边形AEQD是矩形，
∴EQ=AD=6cm，AE=DQ=(16−2t)cm，
∵点P和点Q的距离为10cm，
∴PQ=10cm，
当点P在点E上方时，PE=AE−AP=16−2t−3t=(16−5t)cm，
由勾股定理得：PE=❑√PQ2−EQ2，
∴16−5t=❑√102−62=8，
8
∴t= ；
5
当点P在点E下方时，PE=AP−AE=3t−(16−2t)=(5t−16)cm，
由勾股定理得：PE=❑√PQ2−EQ2，
∴5t−16=❑√102−62=8，
24
∴t= ，
5
8 24
综上可知，t为 或 秒时，点P和点Q的距离为10cm．
5 5
【点睛】本题考查了列代数式，矩形的判定和性质，梯形的判定和性质，勾股定理，
一元一次方程的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
56．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，
∠A=90°，AB=12cm，AD=4cm，CD=15cm．点P从点A出发，以1cm/秒的
速度向点B运动；点Q从点C出发，以2cm/秒的速度向点D运动．规定其中一个点
到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒．(1)若P，Q两点同时出发．
①0
