第25 章 一元二次方程·拔尖卷
【新教材人教版】
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（25-26 九年级上·广东中山·期中）若关于x 的方程(𝑚+ 1)𝑥|2𝑚| +2𝑚𝑥−3 = 0是关于x 的一元二次方程，
则m 的取值是（ ）
A．任意实数
B．1 或−1
C．1
D．−1
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程需满足条件，未知数最高次数为2，且二次项系数不
为0，据此计算m 的取值即可
【详解】解：∵关于x 的方程(𝑚+ 1)𝑥|2𝑚| +2𝑚𝑥−3 = 0是关于x 的一元二次方程，
∴{ |2𝑚|= 2
𝑚+ 1 ≠0，
解|2𝑚| = 2得𝑚= 1或𝑚= −1，
∵𝑚+ 1 ≠0
∴𝑚≠−1，
∴𝑚= 1．
2．（25-26 八年级上·福建福州·期末）已知代数式𝑥2 +𝑘𝑥−20的值如下表，则关于𝑥的一元二次方程𝑥2
+𝑘𝑥−20 = 0的根为( )
𝑥
−3
−2
−1
…
9
10
11
𝑥2 + 𝑘𝑥−20
13
0
−11
…
−11
0
13
A．−2
B．10
C．−2或10
D．−3或11
【答案】C
【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为0时对应的𝑥值，即为方程的根．
【详解】解：∵当𝑥= −2时，代数式的值为0；当𝑥= 10时，代数式的值也为0，
∴方程𝑥2 +𝑘𝑥−20 = 0的根为𝑥= −2或𝑥= 10．
故选：C．
3．（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x 的方程(1−𝑘)𝑥2−2𝑥−1 = 0有实数根，则k 的取值范围是
（ ）
A．𝑘≤2且𝑘≠1
B．𝑘≤2
C．𝑘< 2且𝑘≠1
D．𝑘< 2
【答案】B
【分析】分类讨论：方程为一元一次方程或一元二次方程，结合一元一次方程根的性质和一元二次方程根
的判别式求解即可．
【详解】解：当方程为一元二次方程时，
1−𝑘≠0，即𝑘≠1，
∵方程有实数根，
∴𝛥= 𝑏2−4𝑎𝑐= (−2)2−4 × (1−𝑘) × (−1) ≥0，
化简得4 + 4(1−𝑘) ≥0，
解得𝑘≤2，
即此时𝑘≤2且𝑘≠1；
当方程是一元一次方程时，
1−𝑘= 0，即𝑘= 1，
方程为−2𝑥−1 = 0，
解得𝑥= −
1
2，方程有实数根，符合题意；
综上，𝑘的取值范围是𝑘≤2．
4．（25-26 九年级上·贵州六盘水·期中）老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，
规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如
图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（ ）
A．只有甲
B．甲和乙
C．甲和丙
D．丙和丁
【答案】C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．
根据配方法解一元二次方程判断作答即可．
【详解】解：甲：𝑥2−2𝑥= 3应化为𝑥2−2𝑥+ 1 = 3 + 1，甲错误；
乙：𝑥2−2𝑥+ 1 = 3−1应化为(𝑥−1)2 = 2，乙正确；
丙：(𝑥−1)2 = 2应化为𝑥−1 =±
2，丙错误；
丁：𝑥−1 =
2应化为𝑥=
2 +1，丁正确；
可知，接力中，自己负责的计算出现错误的是甲和丙．
故选：C．
5．（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）若实数𝑚、𝑛满足𝑚2−3𝑚+ 1 = 0，𝑛2 = 3𝑛−1且𝑚≠𝑛，则
1
𝑚+
1
𝑛的值
是（ ）
A．−3
B．3
C．1
D．−1
【答案】B
【分析】整理等式确定𝑚,𝑛是同一个一元二次方程的两个不相等的实根，再利用根与系数的关系求出𝑚+ 𝑛
和𝑚𝑛，最后通分计算目标代数式即可．
【详解】解：∵实数𝑚，𝑛满足𝑚2−3𝑚+ 1 = 0，𝑛2 = 3𝑛−1 ，且𝑚≠𝑛，
整理第二个等式得𝑛2−3𝑛+ 1 = 0，
∴ 𝑚和𝑛是一元二次方程𝑥2−3𝑥+ 1 = 0的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，可得𝑚+ 𝑛= 3，𝑚𝑛= 1，
∴
1
𝑚+
1
𝑛=
𝑚+𝑛
𝑚𝑛=
3
1 = 3．
6．（25-26 九年级上·广东惠州·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1 个点，
第二行有2 个点，……，第n 行有n 个点，前n 行的点数之和不能是以下哪个结果（ ）
A．28
B．44
C．55
D．66
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，求出前n 行的点数之和是解题的关键．
先求出前n 行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为28、44、55、66 时n 的值，再进行判断即可解
答．
【详解】解：由题意可得：前n 行的点数之和为1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛=
1
2𝑛(𝑛+ 1)，
A．当前n 行的点数之和为28，则
1
2𝑛(𝑛+ 1) = 28，解得：𝑛= 7或−8（不合题意舍去），故A 不符合题意；
B．当前n 行的点数之和为44，则
1
2𝑛(𝑛+ 1) = 44，解得：𝑛=
−1± 353
2
都不是整数，不可能，故B 符合题意；
C．当前n 行的点数之和为55，则
1
2𝑛(𝑛+ 1) = 55，解得：𝑛= 10或−11（不合题意舍去），故C 不符合题
意；
D．当前n 行的点数之和为66，则
1
2𝑛(𝑛+ 1) = 66，解得：𝑛= 11或−12（不合题意舍去），故D 不符合题
意．
故选：B．
7．（24-25 九年级下·江西·期末）满足方程𝑥2 + 𝑦2 = 2(𝑥+ 𝑦) +𝑥𝑦的所有正整数解有：（ ）
A．一组
B．二组
C．三组
D．四组
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的应用，二元一次方程的正整数解，将原方程变形为关于x 的
一元二次方程，通过求根公式和判别式分析可能的正整数解，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：原方程变形为：𝑥2−(𝑦+ 2)𝑥+ 𝑦2−2𝑦= 0
将其视为关于x 的一元二次方程，判别式为：
Δ = (𝑦+ 2)2−4(𝑦2−2𝑦)
= −3𝑦2 + 12𝑦+ 4
= −3(𝑦2−4𝑦+ 4−4) + 4
= −3(𝑦−2)2 +16，
∵方程𝑥2 + 𝑦2 = 2(𝑥+ 𝑦) +𝑥𝑦有正整数解，
即判别式为非负完全平方数，
即−3(𝑦−2)2 +16 ≥0，且y 为正整数，
解得y 的可能取值为1,2,3,4：
当𝑦= 1时，则−3 × (1−2)2 +16 = 13，
此时𝑥=
1+2± 13
2
= 3 ±
13，不是正整数，不符合题意，故舍去；
当𝑦= 2时，则−3 × (2−2)2 +16 = 16，
此时𝑥=
2+2± 16
2
= 2 ± 2，
∴𝑥1 = 4, 𝑥2 = 0（舍去），
即方程组的正整数解为𝑥= 4 𝑦= 2；
当𝑦= 3时，则−3 × (3−2)2 +16 = 13，
此时𝑥=
3+2± 13
2
=
5± 13
2
，不是正整数，不符合题意，故舍去；
当𝑦= 4时，则−3 × (4−2)2 +16 = 4，
此时𝑥=
4+2± 4
2
= 3 ± 1，
∴𝑥1 = 4, 𝑥2 = 2，
即方程组的正整数解为𝑥= 4 𝑦= 4或𝑥= 2 𝑦= 4；
综上，共有三组正整数解，
故选：C
8．（25-26 九年级上·河南南阳·月考）已知a 是方程𝑥2−2025𝑥+ 1 = 0的一个根，则代数式𝑎2−2024𝑎+
2025
𝑎2+1
的值为（ ）
A．−
1
2
B．
1
2025
C．−2025
D．2024
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，整体代入法求代数式的值，掌握一元二次方程根的概念是关
键；由题意得𝑎2−2025𝑎+ 1 = 0，则有𝑎2−2025𝑎= −1，𝑎2 +1 = 2025𝑎，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵a 是方程𝑥2−2025𝑥+ 1 = 0的一个根，
∴𝑎2−2025𝑎+ 1 = 0，
∴𝑎2−2025𝑎= −1，𝑎2 +1 = 2025𝑎，
∴𝑎2−2024𝑎+
2025
𝑎2+1
= 𝑎2−2024𝑎+ 2025
2025𝑎
= 𝑎2−2025𝑎+ 𝑎+ 1
𝑎
= −1 + 𝑎+ 1
𝑎
= −1 + 𝑎2 + 1
𝑎
= −1 + 2025𝑎
𝑎
= −1 + 2025
= 2024．
故选：D．
9．（25-26 九年级上·江苏泰州·月考）阅读理解：把数用大括号围起来，如：{2}、{−1.5,0}，我们称之为
“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得𝑎2 +𝑎还是这
个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”{2,𝑛}是“回归集”，则n 的值个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题考查新定义下的运算，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．
根据新定义下的运算，分类讨论计算即可．
【详解】解：①当𝑎= 2时，22 +2 = 6，
∴6 是集合中的元素，则𝑛= 6，
②当𝑎2 +𝑎= 2，且𝑛= 𝑎时，
𝑛2 +𝑛= 2，
即𝑛2 +𝑛−2 = 0，
(𝑛−1)(𝑛+ 2) = 0，
解得𝑛= −2或𝑛= 1，
③当𝑎2 +𝑎= 𝑛，且𝑛= 𝑎时，
𝑛2 +𝑛= 𝑛，
即𝑛2 = 0，
解得𝑛= 0，
综上所述，n 的值为6，1，−2，0．
故选D．
10．（25-26 九年级上·甘肃陇南·月考）三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程𝑥2−16𝑥+ 60 = 0
的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24
B．24或8 5
C．48或8 5
D．8 5
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题
的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解．
由𝑥2−16𝑥+ 60 = 0，可利用因式分解法求得𝑥的值，然后分别从𝑥= 6时，是等腰三角形；与𝑥= 10时，是
直角三角形去分析求解即可求得答案．
【详解】∵𝑥2−16𝑥+ 60 = 0，
∴(𝑥−6) (𝑥−10) = 0
解得：𝑥1 = 6，𝑥2 = 10，
当𝑥= 6时，则三角形是等腰三角形，如图①：𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐷是高，
∴𝐵𝐷= 4，𝐴𝐷=
𝐴𝐵2−𝐵𝐷2 = 2 5，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐵𝐶⋅𝐴𝐷=
1
2 × 8 × 2 5 = 8 5，
当𝑥= 10时，如图②，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵= 10，
∵𝐴𝐶2 +𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐶= 90°，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐵𝐶⋅𝐴𝐶=
1
2 × 8 × 6 = 24．
故选：B．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．（25-26 八年级下·山东威海·期中）已知关于𝑥的一元二次方程(𝑚−2)𝑥2 +𝑥+ 𝑚2 +𝑚−6 = 0的一个根为
0，则𝑚的值为____．
【答案】−3
【分析】将𝑥= 0代入原方程得到关于𝑚的方程，结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，筛选得
到符合条件的𝑚的值．
【详解】解：把𝑥= 0代入(𝑚−2)𝑥2 +𝑥+ 𝑚2 +𝑚−6 = 0得𝑚2 +𝑚−6 = 0，
因式分解得(𝑚+ 3)(𝑚−2) = 0，
解得𝑚1 = −3，𝑚2 = 2，
∵原方程是关于𝑥的一元二次方程，
∴𝑚−2 ≠0，
即𝑚≠2，
因此𝑚= −3．
12．（25-26 九年级上·江苏镇江·期末）若𝑥−𝑦+ 4 = 0，则𝑥𝑦的最小值为______．
【答案】−4
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、配方法的应用、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识
是解题的关键．先根据已知等式用含𝑥的代数式表示𝑦，然后通过配方及非负数性质求解即可．
【详解】解：∵𝑥−𝑦+ 4 = 0，
∴𝑦= 𝑥+ 4．
则𝑥𝑦= 𝑥(𝑥+ 4) = 𝑥2 +4𝑥= (𝑥+ 2)2−4．
∵(𝑥+ 2)2 ≥0
∴(𝑥+ 2)2−4 ≥−4
∴𝑥𝑦的最小值为−4
故答案为：−4
13．（25-26 九年级上·浙江台州·期末）温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海
的矩形观景平台扩建．原平台长为30 米，宽为20 米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃
栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000 平方米，则玻璃栈道的宽度为______米．
【答案】5
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设玻璃栈道的宽度是𝑥米，则扩建后矩形的长为(30 + 2𝑥)米，
宽为(20 + 𝑥)米，可列方程𝑥2 +35𝑥−200 = 0，解方程即可求出玻璃栈道的宽度．
【详解】解：设玻璃栈道的宽度是𝑥米，
则扩建后的矩形的长为(30 + 2𝑥)米，宽为(20 + 𝑥)米，
根据题意得：(30 + 2𝑥)(20 + 𝑥) = 1000，
整理得：𝑥2 +35𝑥−200 = 0，
分解因式可得：(𝑥+ 40)(𝑥−5) = 0，
解得：𝑥1 = 5，𝑥2 = −40(不符合题意，舍去)，
答：玻璃栈道的宽度是5 米．
故答案为：5．
14．（25-26 九年级上·四川成都·期中）设𝛼、𝛽是方程𝑥2−𝑥−2025 = 0的两个实数根，则𝛼3−2027𝛼−𝛽+ 1
的值为_______．
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系．根据方程的解得到𝛼2−𝛼= 2025，根据根与
系数的关系得到𝛼+ 𝛽= 1，然后将表达式进行变形，利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：因为α 是方程𝑥2−𝑥−2025 = 0的实数根，
所以𝛼2−𝛼= 2025，
即𝛼2 = 2025 + 𝛼．
因为α，β 是方程𝑥2−𝑥−2025 = 0的两个实数根，
所以根据根与系数的关系，𝛼+ 𝛽= 1．
∴𝛼3−2027𝛼−𝛽+ 1
= 𝛼(𝛼+ 2025)−2027𝛼−𝛽+ 1
= 𝛼2 + 2025𝛼−2027𝛼−𝛽+ 1
= 𝛼2−𝛼−𝛼−𝛽+ 1
= 2025−1 + 1
= 2025
故答案为：2025．
15．（25-26 八年级上·上海·期中）已知方程(𝑥−𝑎)(𝑥+ 3) = 0和方程
1
2𝑥2−
3
2𝑥+ 𝑏= 0的根完全相同，则
𝑎+ 𝑏= _____．
【答案】−3
【分析】本题考查了解一元二次方程；由于两个方程的根完全相同，先求第一个方程的根，再代入第二个
方程求参数，最后求和．
【详解】解：解方程 (𝑥−𝑎)(𝑥+ 3) = 0，得 𝑥1 = 𝑎，𝑥2 = −3．
将 𝑥= −3 代入方程
1
2𝑥2−
3
2𝑥+ 𝑏= 0，
得
1
2 × (−3)2−
3
2 × (−3) +𝑏= 0，
即
1
2 × 9 +
9
2 +𝑏= 0，
9
2 +
9
2 +𝑏= 0，
9 + 𝑏= 0，
所以 𝑏= −9．
则第二个方程为
1
2𝑥2−
3
2𝑥−9 = 0，
两边乘以2，得 𝑥2−3𝑥−18 = 0．
解此方程，𝑥=
3± (−3)2−4×1×(−18)
2
=
3± 9+72
2
=
3±9
2 ，
所以 𝑥1 = 6，𝑥2 = −3．
因此 𝑎= 6，
故 𝑎+ 𝑏= 6 + (−9) = −3．
故答案为：−3．
16．（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）已知：𝑥2 + 𝑏2𝑥+ 𝑎= 0的两个实数根为𝑥1、𝑥2；方程𝑦2 +5𝑏𝑦+ 7 = 0
的两个实数根为𝑦1、𝑦2，且𝑥1−𝑦1 = 𝑥2−𝑦2 = 2，则𝑎−𝑏= _____．
【答案】−33
【分析】由根与系数的关系可得：𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏2①，𝑦1 + 𝑦2 = −5𝑏②，①−②得：𝑥1−𝑦1 + 𝑥2−𝑦2 = −𝑏2
+5𝑏，从而推出𝑏2−5𝑏+ 4 = 0，解得𝑏1 = 1，𝑏2 = 4，再根据Δ = (5𝑏)2−4 × 7 ≥0，解得𝑏≥
2 7
5 或𝑏≤−
2 7
5 ，可知𝑏= 1（舍去），𝑏= 4，将𝑦1 + 𝑦2 = −20和𝑦1 ⋅𝑦2 = 7联立，解得𝑦1 = −10 +
93，𝑦2 = −10−
93，从而求得𝑥1 = −8 +
93，𝑥2 = −8−93，根据𝑥1 ⋅𝑥2 = 𝑎，求得𝑎= −29，即可求解．
【详解】解：由根与系数的关系可得：𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏2①，𝑦1 + 𝑦2 = −5𝑏②，
①−②得：𝑥1−𝑦1 + 𝑥2−𝑦2 = −𝑏2 +5𝑏，
又∵𝑥1−𝑦1 = 𝑥2−𝑦2 = 2，
∴𝑏2−5𝑏+ 4 = 0，解得𝑏1 = 1，𝑏2 = 4，
∵方程𝑦2 +5𝑏𝑦+ 7 = 0有两个实数根，
∴Δ = (5𝑏)2−4 × 7 ≥0，即25𝑏2 ≥28，解得𝑏≥
2 7
5 或𝑏≤−
2 7
5 ；
∴𝑏= 1（舍去），𝑏= 4，
∴𝑦2 + 20𝑦+ 7 = 0，
∴𝑦1 + 𝑦2 = −20，联立𝑦1 ⋅𝑦2 = 7，
解得𝑦1 = −10 +
93，𝑦2 = −10−93，
又∵𝑥1−𝑦1 = 𝑥2−𝑦2 = 2，
解得𝑥1 = −8 +
93，𝑥2 = −8−93，
又∵𝑥1 ⋅𝑥2 = 𝑎，
解得𝑎= −29，
∴𝑎−𝑏= −29−4 = −33．
三、解答题（本大题共9 小题，满分72 分）
17．（6 分）（24-25 八年级上·上海静安·期末）小海同学解一元二次方程4𝑥2−3 2𝑥=
1
8的过程如下：
解：𝑎= 4，𝑏= −3 2，𝑐=
1
8 ①
Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= (−3 2)
2
−4 × 4 ×
1
8 = 16 ②
𝑥=
−𝑏± Δ
2𝑎
=
−3 2± 16
8
③
𝑥=
−3 2+4
8
或𝑥=
−3 2−4
8
④
所以，原方程的根是𝑥1 =
−3 2+4
8
，𝑥2 =
−3 2−4
8
．⑤
(1)小海的求解过程从 步开始出现错误．
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根．
【答案】(1)①；
(2)𝑥1 =
3 2+2 5
8
，𝑥2 =
3 2−2 5
8
．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握解法是解题的关键．
（1）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断；
（2）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可．
【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解，
∴小海的求解过程从第①步开始出现错误，
故答案为：①；
（2）解：4𝑥2−3 2𝑥=
1
8，
4𝑥2−3 2𝑥−
1
8 = 0，
𝑎= 4，𝑏= −3 2，𝑐= −
1
8，
Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= (−3 2)
2
−4 × 4 × −
1
8 = 20，
𝑥=
−𝑏± Δ
2𝑎
=
−(−3 2)± 20
8
=
3 2±2 5
8
，
∴𝑥1 =
3 2+2 5
8
，𝑥2 =
3 2−2 5
8
．
18．（6 分）（25-26 九年级上·福建泉州·期末）已知关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥+ 5𝑐= 0(𝑎≠0)有实数
根．
(1)求证：𝑏2−20𝑎𝑐为非负数；
(2)若a，b，c 均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由．
【答案】(1)见解析
(2)该一元二次方程没有整数解，理由见解析
【分析】此题考查了根的判别式和方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)
根的判别式Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐，当方程有两个不相等的实数根时，Δ > 0；当方程有两个相等的实数根时，Δ = 0；
当方程没有实数根时，Δ < 0．
（1） 根据一元二次方程有实数根的性质，利用根的判别式即可证明结论．
（2）假设方程有整数解，将其代入方程，结合奇数与偶数的运算性质，分情况讨论推导矛盾，进而判断方
程是否有整数解．
【详解】（1）证明： ∵关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥+ 5𝑐= 0(𝑎≠0)有实数根，
∴Δ = (−𝑏)2−4 × 𝑎× 5𝑐= 𝑏2−20𝑎𝑐≥0，
∴𝑏2−20𝑎𝑐为非负数；
（2）解：该一元二次方程没有整数解，理由如下：
设关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥+ 5𝑐= 0(𝑎≠0)的整数解为𝑥= 𝑘，
则𝑎𝑘2−𝑏𝑘+ 5𝑐= 0 移项得𝑎𝑘2−𝑏𝑘= −5𝑐
∵𝑐为奇数，
∴−5𝑐为奇数，
∴𝑎𝑘2−𝑏𝑘为奇数．
①若𝑘为奇数，则𝑘2为奇数，
∵𝑎为奇数，𝑏为奇数，
∴𝑎𝑘2为奇数，𝑏𝑘为奇数，
∴𝑎𝑘2−𝑏𝑘= 奇数－奇数=偶数， 这与𝑎𝑘2−𝑏𝑘为奇数矛盾，不符合题意；
②若𝑘为偶数，则𝑘2为偶数，
∵𝑎为奇数，𝑏为奇数，
∴𝑎𝑘2为偶数，𝑏𝑘为偶数，
∴𝑎𝑘2−𝑏𝑘= 偶数－偶数=偶数， 这与𝑎𝑘2−𝑏𝑘为奇数矛盾，不符合题意．
综上，无论𝑘为奇数或偶数都矛盾，故该一元二次方程没有整数解．
19．（6 分）（25-26 八年级上·吉林长春·期中）我们通常运用“𝑎2 ± 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎± 𝑏)2”这个公式对代数式
进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式𝑥2−4𝑥+ 3的最小值时，可以这样做：𝑥2−4𝑥+ 3 = 𝑥2−4𝑥+
22−22 +3 = (𝑥−2)2−1．
∵(𝑥−2)2 ≥0，∴(𝑥−2)2−1 ≥−1，∴𝑥2−4𝑥+ 3的最小值是−1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)代数式𝑥2 +6𝑥+ 13的最小值是______；
(2)求代数式𝑥2 + 𝑦2 +2𝑥+ 10𝑦+ 37的最小值；
(3)已知△𝐴𝐵𝐶的三边长a，b，c 都是正整数，且满足𝑎2 +2𝑏2−2𝑎𝑏= 8𝑏−16，当𝑐= 5时，△𝐴𝐵𝐶的周长
为______．
【答案】(1)4；
(2)11；
(3)13．
【分析】本题考查完全平方公式，三角形周长问题，平方的非负性等．
（1）将𝑥2 +6𝑥+ 13配方得(𝑥+ 3)2 +4，继而求出代数式的最小值；
（2）将𝑥2 + 𝑦2 +2𝑥+ 10𝑦+ 37配方得(𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 5)2 +11，继而得到本题答案；
（3）将𝑎2 +2𝑏2−2𝑎𝑏= 8𝑏−16整理成完全平方形式得(𝑎−𝑏)2 + (𝑏−4)2 = 0，利用平方非负性得𝑎= 𝑏= 4，
继而求出本题答案．
【详解】（1）解：∵𝑥2 +6𝑥+ 13 = 𝑥2 +6𝑥+ 9 + 4，
∴𝑥2 +6𝑥+ 13 = (𝑥+ 3)2 +4，
∵(𝑥+ 3)2 ≥0，
∴(𝑥+ 3)2 +4 ≥4，
∴代数式𝑥2 +6𝑥+ 13的最小值是4，
故答案为：4；
（2）解：∵𝑥2 + 𝑦2 +2𝑥+ 10𝑦+ 37 = 𝑥2 +2𝑥+ 1 + 𝑦2 +10𝑦+ 25 + 11，
∴𝑥2 +2𝑥+ 1 + 𝑦2 +10𝑦+ 25 + 11 = (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 5)2 +11，
∵(𝑥+ 1)2 ≥0，(𝑦+ 5)2 ≥0，
∴(𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 5)2 +11 ≥11，
∴𝑥2 + 𝑦2 +2𝑥+ 10𝑦+ 37的最小值11；
（3）解：∵𝑎2 +2𝑏2−2𝑎𝑏= 8𝑏−16，
∴𝑎2−2𝑎𝑏+ 𝑏2 + 𝑏2−8𝑏+ 16 = 0，即：(𝑎−𝑏)2 + (𝑏−4)2 = 0，
∵(𝑎−𝑏)2 ≥0，(𝑏−4)2 ≥0，
∴𝑎−𝑏= 0,𝑏−4 = 0，
∴𝑎= 𝑏= 4，
∵𝑐= 5，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长：4 + 4 + 5 = 13，
故答案为：13．
20．（8 分）（25-26 九年级上·福建漳州·期末）已知：𝑚是关于𝑥的方程𝑥2−2𝑏𝑥+ 3 = 0的一个根，
𝑛= 𝑏+
𝑏2−3．其中𝑚,𝑛,𝑏均为正整数，且这三个数互不相等．
(1)求证：𝑚+ 𝑛= 2𝑏；
(2)求𝑏的值．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式得到方程根的表达式，结合𝑛的表达式及𝑚≠𝑛的条件，确定𝑚
的表达式，再通过两式相加证明𝑚+ 𝑛= 2𝑏．
（2）通过将𝑚、𝑛的表达式相乘得到𝑚𝑛= 3，结合𝑚、𝑛为正整数且互不相等的条件确定𝑚、𝑛的值，最后
代入方程求出𝑏的值．
【详解】（1）证明：∵𝑛= 𝑏+
𝑏2−3，
∴𝑏2−3 ≥0，
∵𝑚是关于𝑥的方程𝑥2−2𝑏𝑥+ 3 = 0的一个根，
∴𝑚2−2𝑏𝑚+ 3 = 0，
∴𝛥= (−2𝑏)2−4 × 3 = 4(𝑏2−3) ≥0，
∴𝑚=
2𝑏± 4(𝑏2−3)
2
= 𝑏±
𝑏2−3．
∵𝑚≠𝑛,𝑛= 𝑏+
𝑏2−3①
∴𝑚= 𝑏−𝑏2−3②．
由①+②，得𝑚+ 𝑛= 𝑏−𝑏2−3 +𝑏+
𝑏2−3，
∴𝑚+ 𝑛= 2𝑏．
（2）解：由（1）得𝑛= 𝑏+
𝑏2−3，
𝑚= 𝑏−𝑏2−3，
①× ②，得𝑚𝑛= 𝑏−𝑏2−3
𝑏+
𝑏2−3 ，
∴𝑚𝑛= 3．
∵𝑚,𝑛均为正整数，𝑚< 𝑛，
∴𝑚= 1,𝑛= 3．
把𝑚= 1代入𝑚2−2𝑏𝑚+ 3 = 0，得12−2𝑏+ 3 = 0．
∴𝑏= 2．
21．（8 分）（25-26 九年级上·山西晋中·期末）当前，政策扶持大学生自主创新创业，王明大学毕业后和同
学创业，合伙开了一家网店，利用暑期销售原创设计的手绘图T 恤衫，已知每件T 恤衫的成本价为60 元，
当销售价为100 元时，每天能售出20 件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1 元时，每天就能多售
出2 件．
(1)王明希望每天获得的利润达到1050 元，同时顾客优惠最大，则每件T 恤衫的销售价应该定为多少？
(2)王明的同学想要每天获得1200 元的利润，并且保证每件T 恤衫的利润率不低于50%，请你分析能否实
现？若能实现，求出售价应定为多少；若不能，请说明理由（利润率=
利润
成本× 100%）
【答案】(1)每件T 恤衫的销售价应该定为75 元
(2)能实现，每件T 恤衫的销售价应该定为90 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，
正确列出方程和不等式是解此题的关键．
（1）设每件T 恤衫降价x 元，则每天的销售量为(20 + 2𝑥)件，根据“每天获得的利润达到1050 元”列出一
元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）设每件T 恤衫降价m 元，根据“为了保证每件T 恤衫的利润率不低于50%”列出一元一次不等式，解不
等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200 元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：设每件T 恤衫降价x 元，则每天的销售量为(20 + 2𝑥)件，
由题意得：(100−60−𝑥)(20 + 2𝑥) = 1050，
解得：𝑥= 25或𝑥= 5，
当𝑥= 25时，售价为100−25 = 75（元），
当𝑥= 5时，售价为100−5 = 95（元），
∵优惠最大，
∴𝑥= 25，
∴每件T 恤衫的销售价应该定为75 元；
（2）解：能实现，理由如下：
设每件T 恤衫降价m 元，
∵为了保证每件T 恤衫的利润率不低于50%，
∴
100−60−𝑚
60
× 100% ≥50%，
解得：𝑚≤10，
由题意得：(100−60−𝑚)(20 + 2𝑚) = 1200，
解得：𝑚= 10或𝑚= 20，
∵𝑚≤10，
∴𝑚= 10符合题意，
100−10 = 90（元）
∴每件T 恤衫的销售价应该定为90 元．
22．（9 分）（25-26 八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料：
已知方程𝑥2 +𝑥−3 = 0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2 倍．
解：设所求方程的根为𝑦，则𝑦= 2𝑥，所以𝑥=
𝑦
2，
把𝑥=
𝑦
2代入已知方程，得
𝑦
2
2
+
𝑦
2−3 = 0，
化简，得𝑦2 +2𝑦−12 = 0，故所求方程为𝑦2 +2𝑦−12 = 0，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
(1)已知方程𝑥2 +𝑥−2 = 0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．
(2)关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥= 𝑐(𝑎𝑐≠0)有一个实数根为2025，则方程𝑐𝑥2 +𝑏𝑥= 𝑎一定有实数根
_______．
(3)已知关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程𝑎𝑦2−
(2𝑎−𝑏)𝑦+ 𝑎−𝑏+ 𝑐= 0的两根．
【答案】(1)𝑦2−𝑦−2 = 0
(2)−
1
2025
(3)𝑦1 = 4，𝑦2 = −1
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．
（1）利用题中解法，设所求方程的根为𝑦，则𝑦= −𝑥，即𝑥= −𝑦，把𝑥= −𝑦代入已知方程即可；
（2）根据方程根的定义得到20252𝑎+ 2025𝑏= 𝑐，则
𝑐
20252−
𝑏
2025 = 𝑎，即可求出答案；
（3）一元二次方程整理可得：𝑎(𝑦−1)2 +𝑏(𝑦−1) + 𝑐= 0，再与一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)比较
即可．
【详解】（1）解：设所求方程的根是𝑦，则𝑦= −𝑥，
所以𝑥= −𝑦，
把𝑥= −𝑦代入𝑥2 +𝑥−2 = 0，
得𝑦2−𝑦−2 = 0；
（2）解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥= 𝑐(𝑎𝑐≠0)有一个实数根为2025，
∴20252𝑎+ 2025𝑏= 𝑐，
∴𝑎+
𝑏
2025 =
𝑐
20252
∴
𝑐
20252−
𝑏
2025 = 𝑎，
∴𝑥= −
1
2025是方程𝑐𝑥2 +𝑏𝑥= 𝑎的实数根．
故答案为：−
1
2025．
（3）解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两个实数根分别为3、-2，
∴−
𝑏
𝑎= 3 + (−2) = 1，
𝑐
𝑎= 3 × (−2) = −6，
∴𝑏= −𝑎，𝑐= −6𝑎，
∴方程𝑎𝑦2−(2𝑎−𝑏)𝑦+ 𝑎−𝑏+ 𝑐= 0
化为：方程𝑎𝑦2−3𝑎𝑦−4𝑎= 0，
整理得𝑦2−3𝑦−4 = 0，
因式分解得(𝑦−4)(𝑦+ 1) = 0，
解得𝑦1 = 4，𝑦2 = −1．
23．（9 分）（25-26 九年级上·河南南阳·期末）项目学习
【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具．
【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．
【任务要求】
任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方
体收纳盒．
任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长
方体收纳盒，𝐸𝐹和𝐻𝐺两边恰好重合且无重叠部分．
【问题解决】
(1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，求剪去的正方形的边长为多少？
(2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为608cm2．
①求该收纳盒的高是多少？
②判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由．
【答案】(1)10cm
(2)① 12cm；②不能；理由见解析．
【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键．
（1）设剪去的小正方形的边长为𝑥cm，由题意得(100−2𝑥)(40−2𝑥) = 1600，然后解方程并检验即可；
（2）①根据题意，设收纳盒的高为𝑎cm，则收纳盒底面的长为
100−2𝑎
2
cm = (50−𝑎)cm，宽为(40−2𝑎)cm，
则(50−𝑎)(40−2𝑎) = 608，然后解方程并检验即可；
②求出50−𝑎= 38 > 35，12 > 10，但40−2𝑎= 16，16 < 18，从而即可判断玩具车不能完全放入该收纳盒．
【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为𝑥cm，由题意得：
(100−2𝑥)(40−2𝑥) = 1600，
解得：𝑥1 = 10，𝑥2 = 60（60 > 40不符合题意，舍去）．
答：剪去的小正方形的边长为10cm；
（2）解：①根据题意，设收纳盒的高为𝑎cm，
则收纳盒底面的长为
100−2𝑎
2
cm = (50−𝑎)cm，宽为(40−2𝑎)cm，
∴(50−𝑎)(40−2𝑎) = 608，
解得：𝑎= 12，𝑎2 = 58（58 > 50不符合题意，舍去），
∴收纳盒的高为12cm；
②∵50−𝑎= 38 > 35，12 > 10，但40−2𝑎= 16，16 < 18，
∴玩具车不能完全放入该收纳盒．
24．（10 分）（24-25 八年级下·湖南长沙·期末）阅读下列材料：我们发现，关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0），如果Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，
但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）称为“友好方程”，代数式4𝑎𝑐−𝑏2的值为该“友
好方程”的“超强代码”，用𝑄(𝑎,𝑏,𝑐)表示，即𝑄(𝑎,𝑏,𝑐) = 4𝑎𝑐−𝑏2；若另一关于x 的一元二次方程𝑝𝑥2 +𝑞𝑥+ 𝑟= 0
（𝑝≠0）也为“友好方程”，其“超强代码”记为𝑄(𝑝,𝑞,𝑟)，当满足𝑄(𝑎,𝑏,𝑐)−𝑄(𝑝,𝑞,𝑟) = 4𝑐时，则称一元二次方
程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）是一元二次方程𝑝𝑥2 +𝑞𝑥+ 𝑟= 0（𝑝≠0）的“最佳搭子方程”．
(1)“友好方程”𝑥2−𝑥−6 = 0的“超强代码”是________；
(2)关于x 的一元二次方程𝑥2−(2𝑚−1)𝑥+ 𝑚2−2𝑚−3 = 0（m 为整数，且4 < 𝑚< 15）是“友好方程”，请求
出该方程的“超强代码”；
(3)若关于x 的一元二次方程𝑥2 + (1−𝑚)𝑥+ 𝑚−2 = 0是𝑥2 + (𝑛−1)𝑥−𝑛= 0（m，n 均为正整数，且𝑚≠𝑛）
的“最佳搭子方程”，且𝑥2 + (1−𝑚)𝑥+ 𝑚−2 = 0的一个根是𝑥2 + (𝑛−1)𝑥−𝑛= 0的一个根的2 倍，求m 和n
的值
【答案】(1)−25
(2)−49
(3)𝑚= 4，𝑛= 2
【分析】本题考查了一元二次方程的新定义运算．
（1）直接根据“超强代码”的定义作答即可；
（2）先根据“友好方程”的定义求出m 的范围，进而求出𝑚= 9，再根据“超强代码”的定义计算即可；
（3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到(𝑚+ 𝑛)(𝑛−𝑚+ 2) = 0，可知𝑚−𝑛= 2，
再根据“𝑥2 + (1−𝑚)𝑥+ 𝑚−2 = 0的一个根是𝑥2 + (𝑛−1)𝑥−𝑛= 0的一个根的2 倍”列出所有情况，判断是否
符合题意即可．
【详解】（1）解：“友好方程”𝑥2−𝑥−6 = 0的“超强代码”是：𝑄(𝑎,𝑏,𝑐) = 4 × (−6)−(−1)2 = −25，
故答案为：−25；
（2）解：∵𝑥2−(2𝑚−1)𝑥+ 𝑚2−2𝑚−3 = 0是“友好方程”，
∴𝑏2−4𝑎𝑐= (2𝑚−1)2−4(𝑚2−2𝑚−3) = 4𝑚+ 13且为完全平方数，
∵4 < 𝑚< 15，
∴29 < 4𝑚+ 13 < 73，
∴4𝑚+ 13=36 或49 或64，
∴𝑚=
23
4 或9或
51
4 ，
∵𝑚为整数，
∴𝑚= 9，
将𝑚= 9代入原方程，则𝑥2−17𝑥+ 60 = 0，
∴𝑄(𝑎,𝑏,𝑐) = 4𝑎𝑐−𝑏2 = 4 × 60−172 = −49，
∴方程𝑥2−(2𝑚−1)𝑥+ 𝑚2−2𝑚−3 = 0的“超强代码”为−49；
（3）解：方程𝑥2 + (1−𝑚)𝑥+ 𝑚−2 = 0的“超强代码”为：
𝑄(𝑎,𝑏,𝑐) = 4 × 1 × (𝑚−2)−(1−𝑚)2 = −𝑚2 +6𝑚−9，
由𝑥=
(𝑚−1)± (𝑚−3)2
2
得：𝑥1 = 𝑚−2,𝑥2 = 1
方程𝑥2 + (𝑛−1)𝑥−𝑛= 0的“超强代码”为：
𝑄(𝑝,𝑞,𝑟) = 4 × 1 × (−𝑛)−(𝑛−1)2 = −𝑛2−2𝑛−1，
由𝑥=
(1−𝑛)± (𝑛+1)2
2
得：𝑥3 = 1,𝑥4 = −𝑛
∵𝑥2 + (1−𝑚)𝑥+ 𝑚−2 = 0是𝑥2 + (𝑛−1)𝑥−𝑛= 0的“最佳搭子方程”，
∴𝑄(𝑎,𝑏,𝑐)−𝑄(𝑝,𝑞,𝑟) = 4𝑐，
即−𝑚2 +6𝑚−9−(−𝑛2−2𝑛−1) = 4(𝑚−2)，
整理得，(𝑚+ 𝑛)(𝑛−𝑚+ 2) = 0，
∵𝑚，𝑛均为正整数且𝑚≠𝑛，
∴𝑚+ 𝑛> 0，
∴𝑛−𝑚+ 2 = 0，
即𝑚−𝑛= 2，
又∵𝑥2 + (1−𝑚)𝑥+ 𝑚−2 = 0的一个根是𝑥2 + (𝑛−1)𝑥−𝑛= 0的一个根的2 倍，
∴①当𝑥1 = 2𝑥3时，𝑚−2 = 2得：𝑚= 4，𝑛= 2，
②当𝑥1 = 2𝑥4时，𝑚−2 = −2𝑛，(𝑛+ 2)−2 = −2𝑛，𝑛= 0（舍），
③当𝑥1 = 2𝑥4时，1 = −2𝑛得：𝑛= −
1
2（舍），
综上所述：𝑚= 4，𝑛= 2．
25．（10 分）（24-25 八年级上·广东深圳·期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线
段长度之间的数量关系的相关问题．我国汉代数学家赵爽（公元3~4世纪）就通过一幅“弦图”，证明出勾股
定理，后人称之“赵爽弦图”．如图1，“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形拼成的一个大正方形，记为“正
方形𝐴𝐵𝐶𝐷”，设直角三角形较短的直角边为𝑎，较长的直角边为𝑏，面积为𝑆△．
(1)小桐用这4个直角三角
形拼出图2所示的正方形𝐸𝐹𝐺𝐻，发现：若𝑎、𝑏的值确定，则正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷、正方形𝐸𝐹𝐺𝐻
的面积𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻、直角三角形的面积𝑆△的值都唯一确定，
当𝑎= 1，𝑏= 4时，𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= _________，𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻= _________；
(2)小桐进一步思考，并提出问题：已知𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷、𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻、𝑆△中的任意两个量可否求出𝑎、𝑏的值？于
是给出以下条件，并进行探索：
条件(I)
条件(II)
条件(III)
𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 256
𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻= 4
𝑆△= 24
①选择条件(I) (II)，则𝑎= _________，𝑏= _________；
②选择条件(I) (III)，请你帮小桐计算出𝑎，𝑏的值；
③【探索发现】选择条件(II) (III)，由(II)得：𝑏−𝑎= 2，由(III)得：
1
2𝑎𝑏= 24，进而得出关于𝑎的方程：
𝑎(𝑎+ 2) = 48，小桐尝试从“形”的角度来确定𝑎的值，将𝑎(𝑎+ 2) = 48看作是长为(𝑎+ 2)，宽为𝑎的长方形，
且长方形面积为48，根据“赵爽弦图”的构图思路，小桐用4个这样的长方形构造“空心”大正方形（如图3），
则图3中大正方形的面积为：48 × 4 + 4 = 196，也可以表示为：(𝑎+ 𝑏)2 = (𝑎+ 𝑎+ 2)2，于是：
(𝑎+ 𝑎+ 2)2 = 196，因此2𝑎+ 2 =± 14，所以𝑎= 6或𝑎= −8（舍去），故𝑎= 6，𝑏= 8．这正是赵爽在
《勾股圆方图注》中记载的一类方程的几何解法．
【类比迁移】小桐继续根据以上解法求解方程𝑥(𝑥−3) = 18，请将其解答过程补充完整．第一步：利用四个
全等的长方形构造“空心”大正方形；
第二步：根据大正方形的面积可得新的方程__________________，解得原方程的一个正根为_________；
【拓展应用】一般地，对于关于x 的方程𝑥(𝑥+ 𝑚) = 𝑛可以构造图4求解．已知图4是由四个面积为5的相同
矩形构成，中间围成的正方形面积为16，那么，此方程中的𝑛= _________，求得方程的正根为_________．
【答案】(1)25，9；
(2) ①7，9；
②
𝑎= 4
𝑏= 12
；
【类比迁移】(𝑥+ 𝑥−3)2 = 18 × 4 + 9，𝑥= 6；
【拓展应用】𝑛= 5，方程的正根为1或−5．
【分析】(1)当𝑎= 1，𝑏= 4时，可以求出𝑎+ 𝑏= 5，𝑏−𝑎= 3，根据正方形的面积公式分别求出大正方形
和小正方形的面积；
(2)①根据正方形的面积公式可得𝑎+ 𝑏=± 16、𝑏−𝑎=± 2，再根据正方形的边长不能是负数可得方程组
𝑎+ 𝑏= 16
𝑏−𝑎= 2
，解方程组求出𝑎、𝑏的值；
②根据三角形的面积公式和正方形的面积公式可得②，∴(𝑎+ 𝑏)2 = 256 = 162，𝑎𝑏= 48 ，利用完全平
方公式之间的关系可得：(𝑎−𝑏)2 = (𝑎+ 𝑏)2−4𝑎𝑏= 64，从而得到：𝑏−𝑎= 8、𝑎+ 𝑏= 16，解方程组求出
𝑎、𝑏的值；
③仿照i 小桐的方法构造正方形，利用正方形的面积公式可得方程(𝑥+ 𝑥−3)2 = 18 × 4 + 9，解方程求出：
𝑥1 = 6，𝑥2 = −3，因为𝑥表示的是正方形的边长，所以要把负数舍去；
【拓展应用】：仿照【类比迁移】构造正方形，利用正方形的面积公式求解．
【详解】(1)解：当𝑎= 1，𝑏= 4时，
𝑎+ 𝑏= 4 + 1 = 5，𝑏−𝑎= 4−1 = 3，
∴𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 52 = 25，𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻= 32 = 9；
(2)①解：∵𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= (𝑎+ 𝑏)2 = 256 = ( ± 16)2，𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻= (𝑏−𝑎)2 = 4 = ( ± 2)2，
∴𝑎+ 𝑏=± 16，𝑏−𝑎=± 2，
∵𝑎、𝑏表示的是三角形的边长，
∴𝑎+ 𝑏= 16，𝑏−𝑎= 2，
∴
𝑎+ 𝑏= 16
𝑏−𝑎= 2
，
解得：
𝑎= 7
𝑏= 9
，
∴𝑎= 7，𝑏= 9；
② ∵𝑆△=
1
2𝑎𝑏= 24，
∴(𝑎+ 𝑏)2 = 256 = 162，𝑎𝑏= 48 ，
∵𝑎、𝑏表示的是三角形的边长，
∴𝑎、𝑏表示的均为正数，
∴(𝑎−𝑏)2 = (𝑎+ 𝑏)2−4𝑎𝑏= 64
∵𝑏> 𝑎，
∴𝑏−𝑎= 8 ，
∵(𝑎+ 𝑏)2 = 256，𝑎、𝑏均为正数，
∴𝑎+ 𝑏= 16，
方程组
𝑎+ 𝑏= 16
𝑏−𝑎= 8
，
得：
𝑎= 4
𝑏= 12
；
③【类比迁移】：如下图所示，长方形的长为𝑥，长比宽多3，
则长方形的面积为𝑥(𝑥−3) = 18，小正方形的边长为3，
大正方形的面积可以表示为4𝑥(𝑥−3) + 32 = 4 × 18 + 9，
大正方形的面积也可以表示为(𝑥+ 𝑥−3)2 = 18 × 4 + 9，
整理得：(𝑥+ 𝑥−3)2 = 81，
∴𝑥+ 𝑥−3 =± 9，
解得：𝑥1 = 6，𝑥2 = −3(舍去)，
故答案为:(𝑥+ 𝑥−3)2 = 18 × 4 + 9，𝑥= 6；
【拓展应用】：如下图所示，已知每个矩形的面积为5，
∴𝑥(𝑥+ 𝑚) = 𝑛= 5，
∴𝑛= 5，
∵中间围成的正方形的面积为16，
∴𝑚2 = 16，
∴𝑚= 4或𝑚= −4(舍去)，
∴(𝑥+ 𝑥+ 4)2 = 5 × 4 + 16，
整理得：(2𝑥+ 4)2 = 36，
∴2𝑥+ 4 =± 6，
解得：𝑥1 = −5，𝑥2 = 1，
方程的正根为−5或1．
【点睛】本题主要考查了数形结合的思想，解决本题的关键是根据方程中未知数之间的关系构造正方形，
利用正方形的面积公式解一元二次方程．
