目 录
第一部分 中档题专题提优
第二十五章 一元二次方程 1
专题一 一元二次方程的定义和根 1
专题二 解一元二次方程 3
专题三 可化为一元二次方程的方程 4
专题四 配方法求代数式最值 5
专题五 配方法求几何最值 6
专题六 根的判别式 7
专题七 根与系数的关系(1)——化简求值 9
专题八 根与系数的关系 (2)——讨论求参 10
专题九 根与系数的关系 (3)——去绝对值 11
专题十 根与系数的关系 (4)——构造方程 12
专题十一 一元二次方程的实际应用(1)——面积问题 13
专题十二 一元二次方程的实际应用(2)——循环、传染、分叉问题 15
专题十三 一元二次方程的实际应用(3)——增长率、下降率问题 16
专题十四 一元二次方程的实际应用 (4)——利润与商品销售问题 17
专题十五 一元二次方程的几何应用(1)——动点形成的线段和面积 18
专题十六 一元二次方程的几何应用(2)——黄金分割点 19
专题十七 含参一元二次方程多结论问题 20
综合与实践(1)——探究特殊根与韦达定理 21
综合与实践(2)——数形结合与图形的剪拼 22
第二十六章 二次函数 23
专题一 抛物线的开口大小和方向 23
专题二 抛物线的对称性 24
专题三 抛物线的对称轴与增减性 25
专题四 抛物线与平移 26
专题五 抛物线与方程 27
专题六 抛物线与不等式 28专题七 二次函数的图象与参系数处理 29
专题八 二次函数与判别式 ( 1)——代数求参 30
专题九 二次函数与判别式 (2)——几何求参 31
专题十 二次函数与韦达定理 32
专题十一 二次函数与平移、公共点(2026 武汉四调热点) 33
专题十二 二次函数与对称、公共点 34
专题十三 二次函数应用题(1)——面积最值 35
专题十四 二次函数应用题 (2)——面积与费用最值 36
专题十五 二次函数应用题 (3)——路径与边界问题 37
专题十六 二次函数应用题(4)——过桥与边界问题 39
专题十七 二次函数应用题 (5)——利润与顶点最值、取整最值 41
专题十八 二次函数应用题(6)——利润与区间最值(含参对称轴) 42
专题十九 二次函数应用题 (7)——利润总分问题 43
专题二十 二次函数应用题(8)——排队问题与含参对称轴 44
专题二十一 二次函数应用题(9)——点的运动与变速滑行 45
专题二十二 二次函数应用题(10)——分段函数 47
专题二十三 含参抛物线与数形结合(1)——根的分布 49
专题二十四 含参抛物线与数形结合(2)——参变分离法 50
专题二十五 二次函数与区间最值(1)——定轴定区间 51
专题二十六 二次函数与区间最值 (2)——定轴动区间 52
专题二十七 二次函数与区间最值 (3)——动轴定区间 53
专题二十八 含参抛物线与坐标轴的公共点问题 54
专题二十九 利用含参抛物线与直线的公共点求值 55
专题三 十 含参抛物线的增减性和取值范围 56
专题三十一 含参抛物线与消元法 57
专题三十二 含参抛物线与隐含条件 58
专题三十三 二次函数与多结论 59
专题三十四 二次函数与线段(1)—— 横 竖 线 60
专题三十五 二次函数与线段 (2)—— 斜 线 段 61
专题三十六 二次函数与线段 (3)—— 等 线 段 62
专题三十七 二次函数与线段 (4)—— 倍 线 段 63
专题三十八 二次函数与线段(5)——转化思想 64专题三十九 二次函数与面积处理 (1)—— 割 补 法 65
专题四 十 二次函数与面积处理 (2)—— 铅 垂 法 66
专题四十一 二次函数与面积处理 (3)——平行转化法 67
专题四十二 二次函数与面积处理(4)——面积转化 68
专题四十三 二次函数与等角 ( 1)—— 构 等 腰 69
专题四十四 二次函数与等角 (2)—— 构 全 等 70
专题四十五 二次函数与特殊角(1)—— 45°角 71
专题四十六 二次函数与特殊角(2)——角的和差 72
专题四十七 二次函数与二倍角的处理策略 73
专题四十八 二次函数与等腰三角形、平行转化 74
专题四十九 二次函数与平行四边形(2026 武汉四调热点) 75
专题五 十 二次函数与最值(1)——线段最值 77
专题五十一 二次函数与最值 (2)——面积最值 78
专题五十二 二次函数与最值(3)——将军饮马、建桥选址、胡不归 79
专题五十三 二次函数与最值 (4)——抛物线与焦点、准线 80
专题五十四 二次函数与参数计算 ( 1)——点参法与线参法 81
专题五十五 二次函数与参数计算 (2)—— 平 行 弦 83
专题五十六 二次函数与参数计算 (3)—— 相 交 弦 84
专题五十七 二次函数与参数计算 (4)—— 垂 直 85
专题五十八 二次函数与参数计算 (5)——过定点①——双切线 86
专题五十九 二次函数与参数计算 (6)——过定点②——线束与中点 87
专题六 十 二次函数与参数计算 (7)——过定点③——特殊四边形 88
专题六十一 二次函数与参数计算 (8)——定直线上的动点 89
专题六十二 二次函数与参数计算(9)——阿基米德三角形 91
专题六十三 二次函数与参数计算(10)——线段定值 92
专题六十四 二次函数与参数计算(11)——和差定值 93
专题六十五 二次函数与参数计算(12)——积为定值 94
专题六十六 二次函数与参数计算 ( 13)——商为定值 95
专题六十七 二次函数与参数计算(14)——斜率关系定值 96
第二十七章 反比例函数 97
专题一 反比例函数的定义与图象 97
专题二 比较坐标的大小 98专题五 圆的计算和证明(1)——角平分线、内心和鸡爪定理 163
专题六 圆的计算和证明(2)——弧的中点与等腰三角形 164
专题七 圆的计算和证明(3)——切线与勾股 165
专题八 圆的计算和证明(4)——弧的中点与特殊四边形 166
专题九 圆的计算和证明 (5)——弧的中点或角平分线与矩形构造 167
专题十 圆的计算和证明(6)——等腰三角形 168
专题十一 圆的计算和证明 (7)—— 双 切 线 169
专题十二 圆的计算和证明(8)—— 多 切 线 170
专题十三 圆和无刻度直尺作图(1)——不含网格基本方法 171
专题十四 圆和无刻度直尺作图(2)——网格作图基本方法 173
专题十五 圆和无刻度直尺作图(3)——整体旋转 175
专题十六 圆和无刻度直尺作图(4)——巧用对称 176
专题十七 圆和无刻度直尺作图(5)——中心对称 177
专题十八 圆和无刻度直尺作图(6)——转化思想与切线 178
专题十九 圆和抛物线 179
第二部分 热点题专题进阶
专题一 动点与图象、轨迹与路径 181
专题二 旋转与分类讨论 182
专题三 利用旋转的性质构造全等 183
专题四 圆的性质相关的计算与求值 184
专题五 隐切线最值(1)——千斤顶问题 185
专题六 隐切线最值 (2)—— 转 化 思 想(2026 武汉四调热点) 186
专题七 三角形的外心和内心 187
专题八 巧用辅助圆初步( 新 热 点 ) 188
第三部分 压轴题专题突破
第一模块 选填题压轴题 189
专题一 规律探究 189
专题二 二次函数多结论问题(1)——图象信息与分析临界点 190
专题三 二次函数多结论问题(2)——文字信息与分析特殊点 191专题四 二次函数多结论问题 (3)——表格信息与分析对称轴 192
专题五 路径与最值(1)——垂线段最短 193
专题六 路径与最值(2)——两点之间，线段最短与线段拼接( 新 热 点 ) 194
专题七 路径与最值(3)——到定点距离等于定长(隐圆) 195
专题八 路径与最值 (4)——构造手拉手得定点距离等于定长(瓜豆原理) 197
专题九 路径与最值(5)——定角对定弦(隐圆) 198
专题十 路径与最值(6)—— 最 长 的 弦( 新 热 点 ) 199
专题十一 路径与最值(7)——切线最值与米勒问题、千斤顶最值( 新 热 点 ) 200
第二模块 几何证明与计算综合题 201
专题一 直线型证明与计算 ( 1)—— 旋 转90°与三垂直 201
专题二 直线型证明与计算 (2)——手拉手与解三角形 202
专题三 直线型证明与计算 (3)——手拉手与证中点 203
专题四 直线型证明与计算 (4)——手拉手与隐切线(千斤顶)最值 205
专题五 直线型证明与计算 (5)——手拉手与定角定直线最值 206
专题六 直线型证明与计算(6)——手拉手与双中点、路径长 207
专题七 直线型证明与计算(7)——旋转与等腰对补角 208
专题八 直线型证明与计算 (8)——旋转与平行四边形 209
专题九 直线型证明与计算 (9)——旋转与夹半角 211
专题十 直线型证明与计算(10)——中心对称与解三角形 212
专题十一 直线型证明与计算(11)——旋转与千斤顶最值 213
专题十二 直线型证明与计算 ( 12)——旋转与定角夹定高之探照灯问题 214
第三模块 抛物线综合题 215
专题一 抛物线综合题 ( 1)——抛物线与等边三角形、定点 215
专题二 抛物线综合题 (2)——抛物线与等线段 216
专题三 抛物线综合题 (3)——抛物线与等角、定值 217
专题四 抛物线综合题 (4)——抛物线与面积、定点 218
专题五 抛物线综合题 (5)——抛物线与公共点、平行四边形 219
专题六 抛物线综合题(6)——抛物线与对称点、定点 220
专题七 抛物线综合题 (7)——抛物线与线段最值、定直线上的动点 221
专题八 抛物线综合题(8)——抛物线与等面积、图形的唯一存在性 222
专题九 抛物线综合题 (9)——抛物线与等角、圆 223第一部分 中档题专题提优
第二十五章 一元二次方程
专题一 一元二次方程的定义和根
核心考点一 一元二次方程的定义——二次、整式方程
01.(2026 武 汉 二 中 月 考 )下列是一元二次方程的是 ( )
B. 2x+y=5 D. x+ 1= 0
02.(2026 汉 阳 期 中 )下列方程不是一元二次方程的是 ( )
D. 3x(x-1)=5( x+2)
核心考点二 一元二次方程根的定义——逢根必代
03. 若关于x的一元二次方程( 有一个根为-1, 则 k= .
04.(2026 武 昌 月 考 )若x=a 是关于x的一元二次方程( 的根, 则 a= .
核心考点三 由一元二次方程的根与变形代换①——降次代换
05. 已知m为方程 的一个根，则代数式
06. 已知a, b是方程 的两个根，则代数式
核心考点四 由一元二次方程的根与变形代换②——整体代换
07. 已知m, n是方程. 的两个根，且 则a = .
08. 已知m, n是方程 的两个根，则代数式
核心考点五 由一元二次方程的根与变形代换③——分式化整
09. 若 m是方程 的一个根，则
10. (2026福州期中) 若m是方程. 的一个实数根，则
11. (2025人大附中月考) 设α是方程. 的一个实根，则
核心考点六 一元二次方程的根与变形代换④——换元法
12.(2025 武汉外校月考)若关于x的一元二次方程 的两根分别为 x₁=-2, x₂=3, 则方
程 的两根分别为 .
第 1 页13.(2025东西湖月考) 若 的两个实数根为l和-2，那么关于x的一元二次方
程 的解为 .
14. 已知关于x的方程 的解是x₁=-3, x₂=1, 则关于x的方程 的解
是 .
15.(2025 长 郡 中 学 月 考 )关于x的一元二次方程 的两根为x₁=3和. x₂=-2, 则关于x的
方程 的两根为 .
核心考点七 一元二次方程中的含参定根①——特征根
16. 关于x的一元二次方程 当4a +c=2b 时，该方程一定有一根为 .
17. 已 知a-2b+4c=0, 则关于x的一元二次方程( 必有一根为 .
核心考点八 一元二次方程中的含参定根②——与参数无关
18.(2025 武珞路中学月考)关于x的一元二次方程 必有一根为 .
19.(2026 七 一 中 学 月 考 )无论m，n为何值，关于x的一元二次方程 总有
一个不变的根，则这个不变的根为 .
20.(2026 长 沙 一 中 月 考 )若关于x的一元二次方程 有一根为x=m，则关于x
的一元二次方程 必有一根为 .
核心考点九 一元二次方程中的特殊根①——公共根
21. 关于x的两个不同的方程 有且只有一个公共根，则m= .
22.(2026 湖 南 师 大 附 中 月 考 )已知关于x的两个一元二次方程. 和
有且仅有一个相同的根，求m的值.
核心考点十 一元二次方程中的特殊根②——倍根
23.(2025 武汉二中月考)已知关于x的两个方程. 若前一个方程中有
一个根是后一个方程中某个根的3 倍，则m= .
24.(2025 成 都 七 中 月 考 )已知关于x的两个方程 若前一个方
程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则c=
.
4
第 2 页专题二 解一元二次方程
核心考点一 用指定的方法解一元二次方程
01.用指定的方法解下列方程：
(直接开平方法) (配方法)
(公式法) (因式分解法)
核心考点二 解含参数的一元二次方程
02.解下列关于x的一元二次方程：
03.已知关于x的一元二次方程 的一个根为m.若2<m<3，求a的取值范围.
04.(2025 武珞路中学月考)已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值；
(2)若直角三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值.
第3 页专题三 可化为一元二次方程的方程
方法解读：换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把
其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化.
核心考点一 换元法①——换整式
01.解下列方程：
02. 若实数x, y满足 则
核心考点二 换元法②——换分式
03.(2025 七 一 中 学 周 练 )已知实数x满足 则
核心考点三 换元法③——换根式或绝对值
04. 提出问题：解方程： 提示：可以用“换元法”解方程.
解：设 则原方程可化为
解得 l₁=l, l₂=-3 (舍去) ,
解决问题：解方程：
核心考点四 消元法
05.(2025 武汉外校月考)已知实数x,y满足 且 则 x= .
核心考点五 分类讨论法——解含绝对值的一元二次方程的方程
06.已知方程 求满足该方程的所有根之和.
第 4 页专题四 配方法求代数式最值
核心考点一 单配方
01.将一元二次方程 化.成 (a, b为常数) 的形式, 则 a+b= .
02.(2025 武汉二中月考)已知代数式. 先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的
值总是正数：再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少?
核心考点二 双配方
03. (2025 七一中学月考) 已知 则
04. 若 则 A ， B 的 大 小 关 系 为()
A. A>B B. A<B C. A≥B D. A≤B
核心考点三 消元与配方
05. (2025长郡中学月考) 已知 则 的最大值为 .
06. 已知实数x, y满足. 若 t=x+y, 则t的最大值为 .
07.(2026 长 沙 一 中 月 考 )已知x，y为实数，且满足 记 的最大值为M，最
小值为m, 则 M+m= .
核心考点四 隐含的配方
08.(2025 深 圳 中 学 月 考 )两个数的和为13，则这两个数的积的最大值为 .
09.(2025 武 珞 路 中 学 月 考 )已知实数m，n满足( 则2m+3n= .
核心考点五 多变量多次配方求最值
10.已知a，b为实数，求代数式 的最小值.
11. 当 x= , y= 时, 代数式 的最小值为 .
12.已知x，y都为实数，则式子. 的最大值是 .
13. 若 (x, y 为实数)，则w的最小值为 .
第5 页专题五 配方法求几何最值
核心考点一 利用配方法求面积最值
01.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直， 当AC，BD的长分别是多少
时，四边形ABCD的面积最大?
A B
02.(2025武汉一初月考)如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD所成的锐角为(
则四边形ABCD的面积的最大值为 .
A B
03. 如图, 在 △ ABC 中 ,AB=AC, ∠BAC=120°, 点D为AB边上一点(不与点B重合), 连 接 CD,
将线段CD绕点D 逆时针旋转90°,点 C 的对应点为E,连接BE.若AB=6,则 的面积的
最大值为 .
C
核心考点二 利用配方法求线段最值
04.(2026 江 夏 期 中 ) 如 图 , 在 正 方 形 ABCD 中 ,AB=4, 点H, F分别在边AB, CD上, 若 BH=DF,
将线段HF绕点 F 顺时针旋转90°至线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为 .
第 6 页专题六 根的判别式
核心考点一 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况①——Δ=a²+正数或 正数
01.不解方程，判断方程. 的根的情况是 ( )
A.无实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有两个实数根 D.随k值的变化而变化，不能判定
核心考点二 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况②——Δ=a²或
02.已知关于x的方程 该方程根的情况为( )
A.方程没有实数根 B.方程有两个实数根
C.方程有两个相等的实数根 D.不能确定
核心考点三 利用根的判别式确定一元二次方程中参数的取值范围
03.(2026 汉 阳 期 中 )关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是 .
04.如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是
.
05.关于x的方程( 有实数根，则a的取值范围是 .
核心考点四 将二次等式理解为二次方程，利用判别式求字母的取值范围
06. 若实数a, b满足 则实数a的取值范围是 .
核心考点五 设参将二次式转化为二次方程，利用判别式求式子的最值
07.已知实数a，b满足 求a+b的最小值.
08.(2026湖南师大附中月考)已知x，y为实数，且满足 记 的最大值为
M，最小值为m，则
第7页核心考点六 分类讨论
09.已知关于x的方程.
(1)求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根；
(2)求证：无论k取何值，方程总有一定根；
(3)若等腰△ABC的边长α=3，另两边长b，c恰好是这个方程的根，求 的周长.
10. 已知实数a, b, c满足 求a的最大值.
11.已知关于x的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数a的取值
范围为 .
核心考点七 利用判别式求几何图形的存在性
12. 如图, 矩 形 ABCD 中 , AB=a, AD=b(a>b).
(1) 若 a=6, b=2,P 为 DC 上 一 动 点 (异于C, D两点) , 当P在什么位置时, 为直角三
角形；
(2)P为DC上一点(异于C，D两点)，当a，b满足什么条件时，使 为直角三角形的P
点有且只有一个?
第 8 页专题七 根与系数的关系(1)——化简求值
核心考点一 利用根与系数的关系直接求值
01. (2026 硚口期中) 已知m, n是方程. 的两个实数根, 若 m+n-2mn=c, 则 c= .
02. (2026江岸期中) △ABC中,∠C=90°, AC, BC的长是方程. 的两根, 则 AB= .
03.已知m，n是关于x的方程： 的两个根，则(
核心考点二 结合完全平方公式和公式 利用根与系数的关系求值
04. 若 x₁, x₂是方程. 的两个根，试求下列各式的值：
核心考点三 根的定义结合根与系数关系①——整体代换与降次代换
05. 设a, b是方程 的两个实数根，则
06. m, n是方程 的两根，则(
07. (2026东西湖期中) 已知a, b是方程 的两根，则
08. (2026江夏月考) 已知m, n是方程 的两根，则
核心考点四 根的定义结合根与系数关系②——对称式
09.(2024武昌期中)已知a，b是一元二次方程. 的两根，则
核心考点五 根的定义结合根与系数关系③——参数讨论
10.已知关于x的一元二次方程. 有两根α，β.若 则 m= .
核心考点六 根的定义结合根与系数关系④——含参最值
11.关于x的一元二次方程. 的两个实数根分别是x₁，x₂，则 的最大值是
.
12.关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是m，n，则( 的最大值为
.
第9页专题八 根与系数的关系(2)——讨论求参
核心考点一 先利用判别式求参数范围，再根据参数范围取舍参数的值
01.(2025七一中学月考)关于x的方程
(1)若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
(2) 若 x₁, x₂是方程的两根, 且(x₁+1)(x₂+1)=5, 求a的值.
02.(2025 武汉二中月考)关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2) 若 x₁,x₂ 是方程的两根, 且 求m的值.
核心考点二 先利用根与系数的关系求参数，再利用判别式取舍参数的值 (易错点)
03.关于x的方程 的两个实数根分别为x₁，x₂，且x₁+x₂>0, x₁x₂>0, 则m的取
值范围是 .
04.关于x的一元二次方程 的两个实数根为x₁，x₂，且有 则实数k
的取值范围为 .
05.(2026洪山期中)关于x的一元二次方程 有两个正实数根，则k的取值范围为 .
06.已知方程 有一个正根，一个负根，那么m的取值范围是 .
的两个实数根的平方和为 ，求k的值.
07.已知方程
第 10 页专题九 根与系数的关系(3)——去绝对值
核心考点一 先利用判别式求参数范围，再利用该范围去掉绝对值
01.(2025 武汉三初月考)已知：关于x 的一元二次方程 有两个实数根x₁，x₂.
(1) 求k 的取值范围；
(2) 若 求k 的值.
核心考点二 利用根与系数的关系中的隐藏条件去掉绝对值，先移项再平方处理
02.(2025 武汉外校月考)关于x 的方程. 有两个实数根x₁，x₂.
(1) 求 实 数k 的取值范围；
(2) 若x₁, x₂满足 求k 的值.
03.(2025 武珞路中学月考)已知关于x 的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两实根分别为x₁，x₂，且| 求m 的值及方程的根.
第11页专题十 根与系数的关系(4)——构造方程
材料1：一元二次方程 的两根x₁，x₂有如下的关系 (韦达定理)：
材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用
一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造
例如，如果实数m，n满足 且m≠n，则可将m，n看作是方程
的两个不相等的实数根.
方法2：利用韦达定理逆向构造
例如, 如 果 实 数 a, b 满 足 a+b=99, ab=100, 则可以将a, b看作是方程. 的两
实数根.
核心考点一 满足一元二次方程定义的等式，构造方程利用根与系数的关系求值
01. (1) 若实数a, b满足: 则(a+b= . , ab= ;
(2)已知实数m，n满足 且m≠n, 求 的值；
(3)已知实数s，t分别满足 6s²+6s+1=0, t²+6t+6=0, 且st≠1, 求 的值.
02. 若a, b, m, n为互不相等的实数, 且 (a+m)(a+n)=2, (b+m)(b+n)=2, 则 ab-mn= .
核心考点二 已知根与系数的关系结构构造方程，利用判别式求参数最值
03.(1) 已 知 a, b, c 满 足 a+b+c=0, abc=16, 则正数c的最小值为 .
(2) 已知实数a, b, c满足 且c<6，求c的最大值.
第 12 页专题十一 一元二次方程的实际应用 (1)—— 面 积 问 题
核心考点一 边框设计问题
01.在一幅长60dm，宽40dm的宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图.要使整
个挂图的面积为2800 dm²，设纸边的宽为 xdm，则可列出方程为( )
核心考点二 甬路问题与平移
02.(2026 青 山 期 中 )如图，为改善小区环境，争创文明家园.某社区决定在一块长(AD)16m，宽
(AB)9m的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB 平行另一条与AD 平行，
其余部分种草，且草坪部分的总面积为112m².求小路的宽为多少米?
03.(2026 江 夏 一 中 月 考 )某校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，自行车车棚为矩形，其中
一面靠墙，这堵墙的长度为12m，另三面用现有的木板材料围成，总长为26m，且计划建造车
棚的面积为80m².
(1)如图1，为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2m宽的门，那么这个车棚
与墙垂直及与墙平行的面各有多长?
(2)如图2，为了方便学生取车，施工单位又决定在车棚内修建三条等宽的小路(小路垂直或平
行于墙)，使得停放自行车的面积为54m ²，那么小路的宽是多少?
第 13页核心考点三 靠墙围栏问题——注意自变量的取值范围
04.(2026 武 珞 路 中 学 期 中 )一面墙长18m，借助这面墙用长度为32m的篱笆围成面积为 的
矩形花园ABCD(墙的长度要大于花园的长BC的长)，求矩形花园的宽AB 的长.
B C
05.(2026 黄 陂 七 校 月 考 )用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为 am的墙，另三边
用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为 xm.
(1)当a=41时，矩形菜园面积是 求x;
(2)当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到
(3)若矩形菜园的面积是 x的值只能取一个，试写出a的取值范围.
核心考点四 折叠纸盒问题
06.(2026 江 汉 期 中 联 考 )综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒.
如图1，有一张长30cm，宽 16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，
折成图2所示的无盖纸盒.(硬纸片厚度忽略不计)
(1)若纸盒的底面积为 请计算剪去的正方形的边长；
(2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)，经过
思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有
盖长方体纸盒的表面积为 请计算剪去的正方形的边长.
图3
第 14 页专题十二 一元二次方程的实际应用(2 )——循环、传染、分叉问题
核心考点一 循环比赛问题
01. 参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45 场，共有多少个队参加比赛?
02. (2026 江汉期中)今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆.某家庭微信群规定，群内的每个人都
要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到(自己不能抢自己发的)红包.此次活动结束，群内
所有人共收到56个红包，则该群一共有 人.
核心考点二 传染问题
03. (2026 洪山期中)秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加
强防范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染
后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x 个人，那么x 满足的方程为( )
B. x(1+x)=100
C. 1+x+x(1+x)=100
04. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感.
(1)每轮传染中平均一个人传染几个人?
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有 个人患流感.
05. 有3 人患有流感，经过两轮传染后，有192人患流感，若开始有5人患流感，则经过一轮传染后，
共有 个人患有流感.
核心考点三 树枝分叉问题
06. (2026 硚口期中)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主
干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支?
07. 有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次，经过两轮转发后，共有133 人收
到短信，问每轮转发中平均一个人转发给多少人?
第15 页专题十三 一元二次方程的实际应用(3 )——增长率、下降率问题
核心考点一 增长率问题
01.(2026 武 珞 路 中 学 期 中 )某公司10月份的利润为100 万元，要使12月份的利润为144 万元，则
平均每月增长的百分率是 ( )
A. 15% B. 20% C. 25% D. 30%
02.(2026 江 夏 月 考 )2016年我区高效课堂建设以“信息技术与课堂教学深度融合”为抓手，加强对
教师队伍建设的投入，计划从2016 年起三年共投入3640 万元，已知2016 年已投入1000 万元，
设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. 1000(1+x)²=3640
C. 1000+1000x+1000x²=3640 D. 1000+1000(1+x)+1000(1+x)²=3640
核心考点二 下降率问题
03.(2026武汉外校月考)某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25% 降低至1.98%，
设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程( )
A. 2.25% (1-2x)=1.98% B. 1.98%(1+2x)=2.25%
D. 2.25%(1-x)²=1.98%
04.(2026 江 夏 期 中 )俗语有云： “一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练
瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假
设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程( )
A. (1-x)²=50%
C. 1-2x=50% D. (1-x)(1+x)=50%
05.(2026 武 汉 二 中 月 考 )《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题， “衰分”是按比例递
减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.例如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比
为10% ，若 A 分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900 元和810 元.某科研所三位技
术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175 万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，
若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是 .
06.(2026 七 一 中 学 月 考 )某远光商场一种商品的进价为每件60 元，售价为每件80 元，每天可以销
售48 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销.
(1 )若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件64.8 元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价2 元，每天可多销售8 件，那么每天要想获得1020元的利润，每
件应降价多少元?
第 16 页专题十四 一元二次方程的实际应用(4 )——利润与商品销售问题
01. 某商品的进价为每件30 元，现在的售价为每件50 元，每月可卖出200 件.市场调查反映：每件
商品的售价每涨1元，每月少卖5件.设每件商品的售价为x元，每月的销售利润为4500 元.根
据题意，下面所列方程中正确的是 ( )
A. (x-50)(450-5x)=4500 B. (x-30)(450-5x)=4500
C. (20+x)(200-5x)=4500 D. (10-x)(5x-50)=4500
02. 某商店从厂家以每件21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价.若每件商品售价为a元，
则可卖出(350-10 a)件.但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400
元，需要卖出多少件商品?每件商品应售多少元?
03. 某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完.第二次去采购时发现批发
价上涨了0.5 元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，问第二次采购玩具多少件?
04. (2026 江 夏 期 中 )某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件.市场调查反映：每降
价1 元，每星期可多卖出20 件.已知商品的进价为每件40 元，求降价多少元，可使每星期获得
的总利润为6120 元?
第17 页专题十五 一元二次方程的几何应用(1)——动点形成的线段和面积
01.(2026蔡甸月考)如图, 在△ABC中, ∠B=90 ° , AB=5cm, BC=7cm. 点P 从点A开始沿AB边
向点 B 以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点 C以2cm/s的速度移动.当一
个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为 xs.
(1)求几秒后，△PBQ的面积等于(
(2) 求几秒后,PQ的长度等于 5cm?
(3)运动过程中，△PBQ的面积能否等于 说明理由.
02. 如图, A, B, C, D为矩形的四个顶点, 动点P，Q分别从点A，C同时
出发，点P以3cm/s 的速度向点 B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动.
(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ 的面积为：
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q的距离是 10cm.
C
第 18 页专题十六 一元二次方程的几何应用(2)——黄金分割点
黄金分割点与黄金分割数：人们把 这个数叫作黄金分割数，如果把一条线段分为两部分，使其
中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数.
01.(2026 武 汉 外 校 月 考 )定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整
条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点.例如：如图1，点C是线段AB上一点，
AC>BC, 且. 则点 C 是线段 AB的黄金分割点.
(1) 图1中, 若线段AB=1, 求线段AC的长;
(2)如图2,线段AB=2,C,D 是线段 AB 的黄金分割点.求证:点 D 是线段AC的黄金分割点.
图1 图2
02.在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)
的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，
按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部
设计高度约是 ( )
A. 0.76m B. 1.24m
C. 1.36m D. 1.42m
03.(2025 武 昌 月 考 )“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用.如图1，
点C 把线段AB分成AC,BC两部分,如果BC:AC=AC:AB=k,那么称点 C 是线段AB的黄金
分割点，k的值为黄金分割数.在顶角为36°的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所
以我们常称这类三角形为“黄金三角形”.如图2，△DEF，△EFG，△GKF均为“黄金三角形”，
若 DE=1, 则 KF= .
D
图1 图2
第19页专题十七 含参一元二次方程多结论问题
核心考点一 一元二次方程根的定义，特征根，根系关系和根的判别式
01.对于一元二次方程 下列说法：
① 若 c=0, 则方程 必有一根为0；
②
若 (a+b+c)(a-b+c)=0, 则方程 必有两个不相等的实数根；
③若方程 有一根为 则方程必有两相等的实数根；
④若 则方程 一定有两个不等的实数根.
其中正确的有 ( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④
核心考点二 根的定义，根的判别式与求根公式
02.(2026七一中学月考)已知一元二次方程
①若方程两根为-1 和2, 则 2a +c=0;
②若b>a+c，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；
③若b=2a+3c,则一元二次方程 有两个不相等的实数根；
④若m是方程 的一个根，则一定有 成立.
其中正确的有 ( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
第 20 页综合与实践(1)——探究特殊根与韦达定理
01.(2026 武 汉 六 中 月 考 )如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一
个根为另一个根的2 倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程： 的
两个根是x₁=2 和 x₂=4, 则方程. 是“倍根方程”.
(1) 根据上述定义, 一元二次方程2x²+x-1 =0 (填“是”或“不是”)“倍根方程”;
(2)若一元二次方程： 是“倍根方程”,则c= ;
(3) 若(x-2)(mx-n)=0 (m≠0) 是“倍根方程”, 求代数式 的值.
四
02.(2026 武 汉 二 中 月 考 )材料1：法国数学家弗朗索瓦•韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出
一元二次方程 的两根x₁，x₂有如下的关系(韦达定理)：
材料2：如果实数m，n满足 且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方
程 将m，n看作是此方程的两个不相等实数根.
请根据上述材料解决下面问题：
(1)①已知一元二次方程 的两根分别为x₁，x₂，则
②已知实数a，b满足： a²+4a-3=0, b²+4b-3=0 (a≠b) , 则
(2) 已知实数m, n, t满足: , 且0< m<n, 求(m+1)(n+1)的取值范围.
D 3
第21页综合与实践(2 )——数形结合与图形的剪拼
核心考点一 图形的分割与拼接
01.如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2 的矩形，设α=1，则b的 值 为 .
图1 图2
核心考点二 几何法求一元二次方程的正根
02.(2026 武 昌 月 考 )问题背景：我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二
次方程的几何解法，以 为例：首先将方程变形为x(x+2)=35 ，然后构造如图 1所示图
形，利用面积关系得新方程( 从而求出原方程的一个正根.
拓展应用：一般地，对于形如. 的一元二次方程可以构造图2 来解.已知图2 是由四个面
积 为54 的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9，那么此方程的正根为 .
图2
核心考点三 画图法求方程的正根
03.古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问题，欧几里得的《原本》中记载了形
如 的方程的图解法是：如图，画 使
再在斜边AB 上截取 则该方程的一个正实数根等于 ( . )
A. AD的长 B. AC的长
C. BC的长 D. CD 的 长
第 22 页第二十六章 二次函数
专题一 抛物线的开口大小和方向
核心考点一 a的符号与大小比较
01.如图，四个二次函数的图象分别对应的是： y=ax²; y=bx²; y=cx²;
① ② ③
则a, b, c, d的大小关系是 ( )
A. a> b> c> d B. a> b> d> c
C. b> a> c> d D. b> a> d> c
02.已知二次函数. (m为实数，且m≠2)，当x≤0时，y随x增大而减小，则实数m的
取值范围是 ( )
A. m<0 B. m>2 C. m>0 D. m<2
核心考点二 确定a的取值范围
03. 如图, A (1, -1) , C (2, -2) , 若抛物线. 与正方形ABCD 有公共点，求a的取值范围.
04. 如图,正方形三个顶点的坐标依次为(3, 1), (1, 1), (1, 3) .若抛物线. 的图象与
正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是 ( )
05.如图，抛物线.y=a(x-h)²+k 与x轴的一个交点A在点(-2，0)和(-1，0)之间(包括这两个点)，
顶点 C 是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点，则a的取值范围是
第 23 页专题二 抛物线的对称性
核心考点一 利用抛物线的对称性求值
01.若抛物线 经 过 (m, n) 和 (m+3, n) 两点, 则 n= .
2
02. (2026江夏期中) 若抛物线 上 有 两 点 A(a, 1) 和 B(b, 1) , 则
03.(2026 江 汉 月 考 )已知二次函数. 的图象过点A(0, -m), B(1, m), C(-2,
n) , D (3, m) , 其中m, n为常数, 则
04.(2026 武 汉 三 寄 月 考 )若抛物线M: 与抛物线 M': 关于直线x=-1
对 称 , 则 m,n 的 值 为 ( )
A. m=1, n=1 B. m=1, n=-1 C. m=3, n=4 D. m=3, n=-4
核心考点二 整体思想与换元法结合对称轴和端点求最值
05.(2026 七 一 中 学 月 考 )“整体思想”在数学计算中有着很广泛的应用，用这一思想方法可求得函
数 的最大值是 .
核心考点三 利用抛物线的对称性求取值范围
06. 关 于x 的二次函数y =(x +2)(x-m), 其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m的取值范围是
.
核心考点四 利用抛物线的对称性求最值
07.(2024 光 谷 未 来 月 考 )已知二次函数 当1≤x≤2时,
y随 x 的增大而减小，则mn 的最大值为 .
第 24 页专题三 抛物线的对称轴与增减性
核心考点一 对称轴已知，利用增减性比较大小
01. (2026汉阳期中) 抛物线. 经 过 (-2, y₁) , (3, y₂) 两点, 则 y₁, y₂的大小关系正确
的是 ( )
A. y₁>y ₂ C. y₁=y₂ D. 不能确定
02. (2026武昌月考)若点A(-3, y₁), B(1-π, y₂) , C (2, y₃)在抛物线. 上, 则 y₁,
y₂, y₃的大小关系为 ( )
03.(2026 东湖期中)已知二次函数. 图象上三点 A(-1, y₁), B (2, y₂) , C (4,
y₃) , 则 y₁, y₂, y₃的大小关系为 ( )
C. y₁<y ₃<y ₂
04.(2026 江 夏 期 中 ) 已 知 点 A(-2, y₁) , B(2, y₂) , C (3, y₃) 在二次函数. 的图
象上，二次函数图象与y轴的交点在正半轴，则y₁，y₂，y₃的大小关系为( )
核心考点二 对称轴未知，已知增减性求参数
05.若二次函数 当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ( )
A. m=3 B. m>3 C. m≥3 D. m≤3
06. 二次函数y=-(x-m)²+3的图象上有两点A(1, y₁) , B(3, y₂) , 若y₁≤y₂, 则m的取值范围
为 .
07.抛物线 上 有 两 点 A(-3, y₁) , B(5, y₂) , 点 C (x₀, y₀) 为此抛物线顶
点, 且 y₁> y₂≥y₀, 则m的取值范围为 ( )
A. m>-1
08. 若 点 A(-3, y₁) , B (1, y₂) , C (m, y₃) 在抛物线. 上, 且y₁< y₃< y₂, 则 m
的取值范围是 ( )
A. - 3< m<1 B. - 5< m<-1 或 -3<m<1
C. m<-3 或m>1 D. - 5< m<-3} 或 -1<m<1
09.(2026广州三中期中) 已 知 点 P(-2,y₁) , Q(4, y₂), M(m, y₃) 均在抛物线. 上，
其 中2am+b=0. 若y₃≥y₂> y₁, 则m的取值范围是 ( )
A. m<-2 B. m>1 C. -2<m<1 D. 1<m<4
第25页专题四 抛物线与平移
核心考点一 抛物线的上下左右平移
01.将抛物线 图象向左平移3 个单位，再向上平移2 个单位，所得抛物线的解析式为
则b, c的值为 ( )
A. b=-8, c=9 B. b=-16, c=29 C. b=16, c=33 D. b=16, c=29
02.将抛物线 向左平移2 个单位，再向上平移2 个单位，所得图象的解析式为
则b,c的值分别为 ( )
A. b=6, c=-1 B. b=-18, c=23 C. b=6, c=-5 D. b=-18, c=29
03.已知抛物线. 与x轴两个交点间的距离为2，将此抛物线向右平移2 个单位，再向下平
移3 个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线与x轴两个交点间的距离是 4 .
核心考点二 抛物线的平移与参数
04. 若点 P (m, n) 在抛物线. 上，则下列各点在抛物线. 上的是 ( )
A. (m, n+1) B. (m+1, n) C. (m, n-1) D. (m-1, n)
05.若将抛物线 向上平移n个单位长度后过点P(m，4)，再将点P向右平移3 个单位
长度后得点Q，点Q恰好落在原抛物线上，则n= .
核心考点三 抛物线的顶点在斜线上的平移
06.已知二次函数 (a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”.
下图分别是当(a=-1，a=0，a=1，a=2时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条
直线的解析式是
第 26 页专题五 抛物线与方程
核心考点一 利用图象求交点坐标
01.(2024 七 一 中 学 月 考 )已知二次函数. 的部分图象如图所示，
则关于x的一元二次方程 的 解 为 ( )
A. 3 或 1 B. -3 或 1
C. 3 或-3 D. -3 或-1
核心考点二 二次函数图象平移与x 轴的交点坐标
02. 已知抛物线. 与x 轴有两个交点A(-1, 0) , B (3, 0) , 抛物线 与x
轴的一个交点是 (4, 0) , 则 m= .
03. (2026武汉三寄月考) 抛物线. 的图象经过点A(-1, 0) , B (3, 0) , 则关于x的一
元二次方程. 的解是 ( )
B. x₁=-2, x₂=2 C. x₁=0, x₂=2 D. x₁=-2, x₂=4
04. 若关于x 的一元二次方程 的两根为.x₁=-2, x₂=6, 则一元二次方程
的根为( )
A. - 1, 4 B. - 3, 5 C. - 2, 4 D. - 1, 2
核心考点三 二次函数图象与x 轴的交点个数
05. 抛物线 与x 轴只有一个公共点，则c=
06. 将抛物线 向下平移k个单位后与坐标轴仅有两个交点，则k= .
07.(2024 武钢实验月考)二次函数 的图象与x轴有交点，则m取值范围是 ( )
A. m≤3 B. m<3 C. m<3 且m≠2 D. m≤3 且 m≠2
08.(2026 江 夏 一 中 月 考 )已知函数. 的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则
a的值为 .
核心考点四 二次函数图象与x 轴的交点与利用韦达定理求值
09.(2024 武汉外校月考)若抛物线. 与直线y=-x+2 的两交点的横坐标分别是x₁，x₂ ，则
核心考点五 抛物线与斜直线的交点问题
10. 若点 P 在某一个函数的图象上，且点P的横、纵坐标相等，则称点 P为这个函数的“优级点”.
若关于x 的二次函数 有两个“优级点”，则a的取值范围为 .
11. 若抛物线 与直线y=x+1 没有公共点，则c的取值范围是 .
12. 抛物线 经 过 点 A(0, 3) , B (2, 3) , C (-1, 0) , 直 线y= mx+n(m≠0)
经过点B，C，部分图象如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)该抛物线的对称轴为直线 ；
(2)关于x的一元二次方程 的解为 ；
(3)关于x的一元二次方程 的解为 ；
(4)若关于x的一元二次方程 无实数根，则k的
取值范围是 .
第27页专题六 抛物线与不等式
核心考点一 用图象法求一元二次不等式的解集
01.(2024 武 珞 路 中 学 周 练 )二次函数 的图象如图所示，下列说法错误的是 ( )
A. a<0, b>0
B. b²-4ac>0
C. 方 程 的解是x₁=5, x₂=-1
D. 不 等 式 的解集是0<x<5
02.(2024 武 汉 三 寄 月 考 )二次函数. 的图象如图所示，若关于x的一元二次方程.
(m为实数)的解满足1<x<5，则m的取值范围是 ( )
A. m>-5 B. m<-9
C. - 9≤m<-5 D. - 9< m<-5
核心考点二 用图象法说明一元二次方程的解与不等式的解集关系
03.(2024 武 珞 路 中 学 期 中 )如图为二次函数. 的图象，试观察图象回答下列问题：
(1)写出方程 的解为 x₁= , x₂= ;
(2) 当y>0时，直接写出x 的取值范围为 ；
(3) 方程 有实数根，t 的取值范围是 ；
(4) 当 -3<x<3 时 , 直接写出y 的取值范围是 .
核心考点三 函数值的大小比较
04.已知二次函数. 和一次函数y₂=x+3 的图象如下图所示，回答下列问题：
(1) 当y₁<0时, x的取值范围是 ;
(2) 当 0<y₁<3 时 , x 的 取 值 范 围 是 v;
(3) 当 y₁> y₂时, x的取值范围是 .
05.如图，抛物线y₁=(x-1)²-4与y轴交于点A,与x轴交于 B,C两点,直线AC的解析式为.
(1) 填空: k= , b= ;
(2) 当 y₁> y₂时，直接写出x的取值范围是 ；
(3) 若 y₁=p (p≤0) 有整数根, 则p的值有 个.
06.已知：抛物线 直线y₂=2x-4, 若对于任意的x的值，y₁≥y₂↑恒成立，则m的值为
-.
第 28 页专题七 二次函数的图象与参系数处理
核心考点一 确定系数符号，特征根、对称轴、利用对称轴消去b 的基本处理法
01.二次函数. 的图象如图所示，结合图象填空：
(1) ∵a 0, b 0, c 0, ∴abc 0;
(2) ∵当x=1 时 , y 0, ∴a +b+c 0;
(3) ∵x=-2 时 , y 0, ∴4a-2b+c 0;
(4) 对称轴为直线x = , b/= 1 , ∴b -2a;
(5) ∵4a- 2b+c 0, ∴由对称轴可消b得8a+c 0, 消 a 得c-4 b 0.
02.如图，抛物线. 的对称轴是x=1.结合图象填空：
(1) abc 0; (2) b◎4-ac 0;
(3) 4a -2b+c 0; (4) 8a+c = 0.
(5) 若 点P (m, n) 在该抛物线上,
∵顶点处取最大值，
核心考点二 含同一个参数的一次函数和抛物线图象辨别
03.在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数. 的图象可能是( )
A. B. C. D.
核心考点三 顶点最值，和x 轴平行的直线与抛物线交点
04.如图是函数. 图象的一部分，图象与x 轴正半轴交于点(3，0)，对称轴为直线x=1.
则下列结论：
② 当 -1<x<3 时 ,
③无论m为何实数, a +b≥m( ma+ b);
④ 若t为方程 的一个根, 则 -1<t<3.
其中正确的结论有 ( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
第29页专题八 二次函数与判别式 (1)—— 代 数 求 参
核心考点一 根据图象与坐标轴的交点情况，利用判别式求参数范围
01. 二次函数. 的图象与x 轴有公共点，则常数k 的取值范围是 .
02. 函数 的图象与x轴只有一个公共点，则m 的值为 .
03. 已知二次函数. 对称轴是直线x=2.
(1) 求 b 的值;
(2) 若二次函数 的图象与坐标轴只有两个不同的公共点，求这两个公共点的距离.
核心考点二 根据图象与直线的交点情况，利用判别式求参数范围
04. 已知抛物线 和直线y =x-k.
(1) 当k 为何值时，抛物线和直线有两个公共点?
(2) 当k 为何值时，抛物线和直线只有一个公共点?
(3) 当k 为何值时，抛物线和直线没有公共点?
核心考点三 根据函数值恒为确定的范围，利用判别式求参数范围
05. 不论x 为何值，二次函数 的值恒大于0，则a的取值范围是
06. 无论x 为何值，二次三项式 的值恒为负数，则a的取值范围是 .
07. 若无论x 取何值，代数式(x+1-3m)( x‐m) 的值恒为非负数，则m的值为
第 30 页专题九 二次函数与判别式(2)——几何求参
核心考点一 根据图象的临界位置，利用判别式求参数范围
01. 如图，抛物线 与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作( 将
向右平移得 与x轴交于点B，D，若直线. 与 共 有3 个不同的公共点，
则m的取值范围是
核心考点二 根据图形的唯一存在性，利用判别式求参数范围
02. 如图，抛物线 与直线 1交于A，B两点，点A 在点 B的左侧，
设抛物线与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧，C，D不在直线. 上 ). 在 直 线
上存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，请求出此时k的值.
核心考点三 根据图形的恒存在性，利用判别式求参数范围
03. 如图，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线. 于A, B两点.
求证：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得 成立.
第31页专题十 二次函数与韦达定理
方法：抛物线与x轴的交点若为A(x₁，0)，B(x₂，0)，则由韦达定理推得结论：
核心考点一 抛物线与x轴交点之间的距离
01.当c为何值时，抛物线 与x轴有两个交点，且两个交点间的距离为2?
02.如图，设抛物线 与x轴的两个交点A(x₁, 0) , B (x₂, 0), 顶点为C,
显然△ABC为等腰三角形，当△ABC为等边三角形时，求 b²-4ac的值.
C
核心考点二 抛物线与直线交点之间的距离
03. (2025汉阳期中) 如图, 抛物线 交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)，不经过点
B的直线y=2x+b交抛物线于C, D两点. 若 DC=5, 求b的值.
核心考点三 抛物线与直线交点的坐标关系与线段转化
04.如图，直线y=kx-3与y轴交于点A，与抛物线 交于P，Q两个不同点，分别过P，Q两
点作y轴的垂线，垂足分别为B，C两点，当k的值在取值范围内发生变化时，求 的值.
第 32 页专题十一 二次函数与平移、公共点 (2026武汉四调热点)
核心考点一 直线的平移
01. (2026武汉四调) 如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，
交y轴于点 C.
(1) 求A, B, C三点的坐标;
(2) 线段 MN的端点坐标分别是M(m,0) , 若线段 MN与抛物线只有一个公共
点，直接写出m的取值范围.
核心考点二 抛物线在斜直线上的平移
02.(2026 武 汉 经 开 外 校 月 考 )如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 过点
且对称轴为直线x=1，直线y=kx-k与抛物线交于A，B 两点，与x轴交于点 C.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2) 当k=1时,直线AB与y轴交于点 D,与直线. 交于点E.若抛物线. 与线段DE
有公共点，求h的取值范围.
将 从 开始向右移动，
第33页专题十二 二次函数与对称、公共点
01. 将抛物线 沿x轴翻折，得到的新抛物线的解析式为 .
02. (2026 光谷未来月考改编)已知函数. 点 P(a, - a+b) 在该函数图象上，若这样的点
P 恰好有4 个，则b的取值范围为 .
03. 如图，抛物线 交x轴于A，B两点，交y轴于点C，将抛物线位于第二象限的图象
沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象.与直线 BC平行的直线. 与新
图象只有1个公共点时，求n的取值范围.
04. 已知二次函数. 及一次函数y=x+m，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下
方，图象的其余部分不变，得到一个新图象(如图所示)，当直线. 与这个新图象有四个交
点时，m的取值范围是 .
第 34 页专题十三 二次函数应用题(1)——面积最值
01.在一块矩形ABCD的空地上划一块四边形 MNPQ进行绿化.如图，四边形的顶点在矩形的边上，
且 已知矩形的边 边 ，a为大于200的常数.设四边形
MNPQ的面积为
(1)求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2) 若 ，求S的最大值，并求出此时x的值；
(3) 若 ，请直接写出S的最大值.
A N B
02.用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为 am的墙，另三边用竹栅栏围成，且在
与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m.设与墙垂直的一边长为 xm.
(1) 当 时，矩形菜园面积是 求x;
(2)当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到
(3)若矩形菜园的面积是 x的值只能取一个，试写出a的取值范围.
墙
第35页专题十四 二次函数应用题(2)——面积与费用最值
01.(2026 东 西 湖 期 中 )问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形ABCD花坛内种植
红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形(阴影部分)内种植红色花卉，正方形IJKL 内
种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉. AB的长为8m，AE=LI.红、蓝、黄三种
花卉的单价分别为40元/m², 100 元/m², 60 元/m².
建立模型：设AE的长为 xm，购买花卉的总费用为W元.
(1)用含x的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积；
(2)求W与x之间的函数表达式；
方案决策：
(3)当购买花卉的总费用最少时，求EI的长.
02.(2026汉阳期中)某公园要铺设广场地面，其图案设计如图，矩形地面ABCD的长AD=50m，宽
AB=32m，四周各角留一个矩形花坛，中心建设一个正方形景观空地，其边长等于四个角上每个
矩形花坛的宽的4倍，图中阴影处铺设地砖.已知矩形花坛的长比宽多7m，设每个矩形花坛的
宽均为 xm.
(1)用含x的式子表示：每个矩形花坛的长为 m，铺设地砖的面积为 m²；
(2)若铺设地砖的面积为1168m²，则求正方形景观空地的面积；
(3)若四个角的矩形花坛面积之和为Sm²，则求出当面积S最大时，矩形花坛的长和宽各是多
少米?
第 36 页专题十五 二次函数应用题 (3)——路径与边界问题
01.(2026硚口期中)某校组织跳长绳体育锻炼.某科技小组开展了以“摇绳中的数学”为主题的综
合实践活动.
研究背景：
当甲、乙摇绳机的手柄高度相同，绳子摇到最高处的形状近似看作某抛物线的一部分.
建立方法：
以甲、乙摇绳机所在地面直线为x轴，甲摇绳机手柄A处作垂直于地面的直线为y轴，建立如图
所示的平面直角坐标系.
收集信息：摇绳时，甲、乙摇绳机手柄A，B之间的水平距离是10m，手柄A，B离地面的高度
AO，BC都是1m.当绳子上 D点与原点O的水平距离是1m时，其离地面的高度是1.45m.学
生跳绳时，为了安全，学生正上方的绳子比其头顶至少高0.1m.
建立模型：求该抛物线的解析式：
应用模型：
(1)小明跳绳时，其头顶离地面的高度为2.2m，能否让他参加跳绳活动?请说明理由；
(2)某跳绳小组成员站成一排同时跳绳，他们跳绳时头顶离地面的高度都是1.7m，要求小组相
邻成员之间的水平距离不低于0.4m，不超过0.6m，直接写出同时跳绳人数t的取值范围.
第37页02.(2026 江 岸 期 中 )某校无人机兴趣小组开展以“无人机飞行路线”为主题的综合实践活动，在电
脑上进行模拟飞行测试.
研究背景：如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为
原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式 在此平面进行无人机模
拟飞行.
收集数据：无人机从坡底O点左侧的点B 起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似看作
抛物线的一部分，x(m)与飞行的高度y₂ (m)记录的部分数据如下：
...
x 0 10 15 30 35 50
y₂ 25 40 45
探索发现：数学小组借助计算机画图软件，发现飞行轨迹可以近似看作抛物线的一部分.
建立模型：求y₂与x的函数解析式 (不要求写自变量取值范围).
模型应用：
(1 )当无人机飞行的水平距离为35 m 时，求无人机到山坡的竖直距离d；
(2)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近.当无人机与山坡的竖直距离大于15m时，
无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次模拟飞行是否安全，并说明理由.
第 38 页专题十六 二次函数应用题 (4)——过桥与边界问题
核心考点一 给出坐标系，求高度或水平距离
01.(2026七一中学月考)某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为 当水面
宽 度 AB 为20m 时,水面与桥拱顶的高度CO= m.
02. 某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB=48m，拱桥最高处点C 到水面AB 的距离为12m，
在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯(点E，F关于y轴对称)，警示灯 F距水面AB的
高度是9m ，则这两盏灯的水平距离 EF= m.
核心考点二 建立坐标系，求高度或水平距离
03.(2026武汉二中月考)如图是抛物线型拱桥，当拱顶高离水面2m 时，水面宽4m，水面上升1.5m，
水 面 宽 度 为 m.
04.(2024 武 汉 三 寄 月 考 )如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，当水面宽
增加 时，则水面应下降的高度是 m.
第39页核心考点三 给出坐标系，分析边界值
05. 九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程.
(1) 实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面
宽为10m.隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图.建立了如图所示的直角坐
标系，请你求出抛物线的解析式；
(2) 应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m.
为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车
并列行驶时不考虑两车间的空隙)?并说明理由.
06.(2024 武 汉 元 调 )某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建
(1, ) , (7, ) 三点.
立平面直角坐标系.已知抛物线经过 (0，3)，
(1)求抛物线的解析式(不考虑自变量的取值范围)；
(2)有一辆高5m，顶部宽4m的工程车要通过该隧道，该车能否正常通过?并说明理由；
(3)现准备在隧道上A处安装一个直角形钢架BAC，对隧道进行维修. B，C两点分别在隔离墙
和地面上，且AB 与隔离墙垂直，AC与地面垂直，求钢架BAC的最大长度.
地面
第 40 页专题十七 二次函数应用题(5)——利润与顶点最值、取整最值
核心考点一 顶点最值
01. (2026 江汉期中)某宾馆有50 个房间供游客居住.当每个房间每天的定价为180 元时，房间会全
部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.
(1)若每个房间每天定价增加m元(m是10 的倍数)，直接写出该宾馆的已居住的房间数；
(2)若游客居住房间，宾馆需对已居住的每个房间每天支出20 元的各种费用.
①若该宾馆一天利润为8640 元，求当天的定价；
②房价定为多少时，宾馆利润最大，并求出利润的最大值.
核心考点二 顶点两侧取整最值
02. (2026 武汉四调)学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动.收集信息如下：
信 息1：客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，3 辆A 型客车载客
人数和2 辆 B 型客车载客人数相同，2 辆A 型客车和3 辆B 型客车共载客260 人.
信 息2：A 型客车租车费用固定为1200 元/辆；B 型客车租一辆车的费用为2150 元，每多租一辆，
B 型客车租车单价减少 50 元.
信 息3：学校参加实践活动的师生共有950 人；租用A，B两种型号客车共20 辆，其中A 型客
车不少于9 辆.
问题解决： (1)求A，B两种型号每辆车满员时的载客人数；
(2) 设 租 用B 型客车x(单位：辆)，本次实践活动的租车总费用是W (单位：元)，求W与x
的函数关系式； (租车总费用=租 用A 型客车的费用+租用B 型客车的费用)
(3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由.
第41 页专题十八 二次函数应用题 ( 6 )——利润与区间最值(含参对称轴)
核心考点一 定区间端点最值
01. 某网店销售一种儿童玩具，每件进价20 元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于18 元.试
销售期间发现，当销售单价定为35 元时，每天可售出250 件，销售单价每上涨1元，每天销售
量减少10件，该网店决定提价销售.设每天销售量为y 件，销售单价为x 元.
(1)请直接写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围；
(2)当销售单价是多少元时，网店每天获利3840 元?
(3 )网店决定每销售1件玩具，就捐赠a 元 (0< a≤6)给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最
大利润为3300 元，求a 的值.
当销售单价是36元时，用店每天获利3840元。
核心考点二 含参区间端点最值
02. (2024 汉阳期中)某商店经营某种小商品，该商品的进价为10元/件，该商品每周的销售量y (件)
与售价x (元/件)之间满足一次函数y=-2x+30.
(1 )当每周销售的利润为8元时，求这种商品的售价；
(2)若某周该商品的销售量不少于8件，求这周该商场销售这种商品获得的最大利润；
(3 )若商品的进价每件提高m元 (m>0)，为了加大销量，商店决定亏本销售，商店发现这种
商品售价不超过进价的 时，该商店每周销售这种商品的利润会随售价的增大而增大，请直
接写出m 的取值范围.
第 42 页专题十九 二次函数应用题(7 )——利润总分问题
01. 某公司以3 万元/吨的价格收购20 吨某种农产品后，分成A，B两 类 (A 类直接销售，B 类深加工
后再销售)，并全部售出.
A 类农产品的销售价格y (单位：万元/吨)与销售数量x (单位：吨)之间的函数关系是y=- x+13.
B 类农产品深加工总费用s (单位：万元)与加工数量t (单位：吨)之间的函数关系是s=12+3t，
销售价格为9万元/吨.(注：总利润=总售价-总成本)
(1) 设 其 中A 类农产品有x 吨，用含x 的代数式表示下列各量.
①B 类农产品有 吨；②A 类农产品所获得总利润为 万元；
③B 类农产品所获得总利润为 万元.
(2)若两类农产品获得总利润和为30 万元，问A，B两类农产品各有多少吨?
(3 )直接写出两类农产品获得总利润和的最大值.
02. 年初，草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以3万元/吨的价格向农户收购后，分拣
成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售.甲类草莓的包装成本为
1万 元/吨，当甲类草莓的销售量x< 8 吨时，它的平均销售价格y=- x+ 14，当甲类草莓的销售量
x≥8 吨时，它的平均销售价格为6 万元/吨；乙类草莓深加工总费用s (单位：万元)与加工数量
t(单位：吨)之间的函数关系为s=12+3t，平均销售价格为9 万元/吨.
(1 )某次该公司收购了 20 吨的草莓，其中甲类草莓有x 吨，经营这批草莓所获得的总利润为w
万元；
① 求w与x 之间的函数关系式；
②若该公司获得了30 万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨?
(2)在某次收购中，该公司准备投入100万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大
的总利润，并求出最大的总利润.
第43页专题二十 二次函数应用题 ( 8 )——排队问题与含参对称轴
01.(2026汉阳期中)排队购餐是学校生活中常见的现象.某校数学兴趣小组开展以“就餐排队人数
与开放窗口之间的关系”为题的综合实践活动.
【问题背景】小组某天经调查发现：该校食堂每个用餐服务窗口每分钟可服务10 人(每人限购1
份，购餐后立即不再排队)，食堂用餐人数y(人)与开放窗口时间x(min)满足关系式
接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到餐后立即离开.进
餐厅排队用餐，任意时刻都满足：排队人数=用餐总人数-已买到餐人数，食堂开放服务窗口，就
有同学买餐，空场时间忽略不计.
【构建模型】
(1 )食堂先开放4 个服务窗口.
①直接写出排队人数m(人)与开放窗口时间x(min)间的函数关系式： (不需要写出x的
范围)
②求第几分钟不再有同学排队买餐.
【模型运用】
(2 )根据学校活动安排，需要在 15 min 内 ( 包 含 第15分钟)，排队用餐的人数开始减少，若开
放服务窗口为n个，直接写出n的取值范围.
第 44 页专题二十一 二次函数应用题 (9)——点的运动与变速滑行
核心考点一 竖直抛出
01.(2026 七 一 中 学 月 考 )从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h(米)与小球运动时间
t(秒)之间关系是h=30t-5i²(0≤1≤6)，则小球从抛出后运动5 秒共运动的路径长是 米.
02. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(m)与小球的运动时间t(s)之间的关系式是
若抛出小球1s钟后再抛出同样的第二个小球，则第二个小球抛出 s
时，两个小球在空中的高度相同.
核心考点二 变速滑行——行驶到最大值时停下来
03.(2026 江 汉 期 中 )飞机着陆后滑行距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数解析
式为s=-2r²+84t. 飞机着陆后滑行 秒才能停下来.
04.(2024武汉二中周练)飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解
析式是 在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m 所用的时间是 s.
第45 页05. 一个滑道由滑坡(AB 段)和缓冲带(BC 段)组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y₁
(单位：m)和滑行时间t₁ (单位：s)满足二次函数关系，并测得相关数据：
滑行时间11/s 0 1 2 3 4
滑行距离y₁/s 0 4.5 14 28.5 48
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y₂(单位：m)和在缓冲带上滑行时间t₂(单位：s)满足：
滑雪者从A 出发在缓冲带BC 上停止，一共用了23 s，则滑坡AB 的 长 度 为 m.
B
06.(2026 青 山 期 中 )某公交车刹车后的行驶速度v (单位：m/s)与刹车后的行驶时间t (单位：s)
具有一次函数关系，刹车后的行驶距离y (单位：m)与刹车后的行驶时间t (单位：s)具有二
次函数关系，测得的部分数据，整理得下表.
刹车后的行驶时间t (单位：s) … 0 1 2 3 4
刹车后的行驶速度v (单位：m/s) 16 15 14 13 12
刹车后的行驶距离y (单位：m) 0 15.5 30 43.5 56
(1 )直接写出v关 于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)①公交车刹车后行驶多长时间才能停下来?
②求当公交车刹车后行驶的路程是87.5m 时的速度；
(3 )某天公交车在公路上正常行驶，发现正前方沿同一方向行驶的电瓶车正以4m/s 的速度匀速
行驶，为避免发生交通事故，请直接写出公交车至少在距离电瓶车多少米处开始刹车.
第 46 页专题二十二 二次函数应用题(10)——分段函数
核心考点一 抛物线结合直线
01.(2025 江 夏 期 末 )小明同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行
三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段.如
图所示，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线
和直线 其中，当纸飞机飞行的水平距离为8m 时，自动进入滑行
阶段.
(1)若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.4m.
①直接写出c，n的值；
②小明的前方有一堵2.7m高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可以顺利飞过围
栏?
(2)要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过16m，直接写出c 的最大值为 .
落地点x/m
第47页核心考点二 双抛物线结合
02.(2026 洪 山 期 末 )根据背景素材，探索解决实际问题.
素材一：如 图1，排球场地规格为长18m 、 宽 9m的矩形，球网高度2.43m (男子标准).
素材二：如 图2，我方球员在中轴线与底线交点O正上方的点 P 处发球.假设我方球员发球后希
望球过网后落在位于中轴线上的点M处，球的运动轨迹是一条形状不变的抛物线.以O为原点，
中轴线所在直线为x轴建立平面直角坐标系，该抛物线解析式为： (x, y 单位：
m，y表示球离地面的高度).
素材三：如 图3，若排球在点M处落地前的一瞬间被对方球员救起，救起后球的运动轨迹仍为抛
物线.在距O点水平距离13m 时球的高度为3m ，即球过点N(13，3)；在距O 点水平距离
14m 时球达到最高点，此时球离地面的高度为 hm.
【任务一】求点 M的坐标；
【任务二】研究排球被对方球员救起后的最大高度：求h的值；
【任务三】如 图4，对方一名队员将球救起后另一名球员扣球时，球将沿直线轨迹擦网而过，即
球过点T(9，2.43).若球能落在我方场地内(压线球属于界内球)，求对方扣球球员最远扣球
点与最近扣球点之间水平距离|x₂x₁|最大值?(精确到0.01m)
(参考数据：
图2
图4
第 48 页专题二十三 含参抛物线与数形结合(1)——根的分布
核心考点一 利用平移求根的值
01. 已知抛物线 与x 轴 交 于 (-2,0),(3,0), 则 关 于x 的一元二次方程:
的解为 .
02. 已知抛物线.y=a(x‐h)²+k 经过点A(-2,0), B (3,0)两点,若关于x 的一元二次方程
的一个根是1，则m 的值为 .
核心考点二 画图分析根的位置
03. 二次函数y=(x-a)(x-b)-2, 且a<b, 若图象与x 轴的两个交点的横坐标是m和n, 且 m< n.
下列结论正确的是( )
A. m< a< n< b B. a< m< b< n C. m< a< b< n D. a< m< n< b
核心考点三 画图分析整数根
04. 已知抛物线 的对称轴为直线x=-1 ， 与x 轴的一个交点为(2，0).若关于x
的一元二次方程 有整数根，则p 的值有 ( )
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
05. 已知抛物线 经 过 (-4, 0) 与 (2, 0) 两点, 关 于x 的方程
有两个根，其中一个根是4. 若关于x 的方程ax²+bx+c+n=0( 0< n< m) 也有两个整数根, 则这
两个整数根是 ( )
A. -2 或0 B. -4 或2 C. -5 或 3 D. -6 或4
第49 页专题二十四 含参抛物线与数形结合(2)——参变分离法
核心考点一 根据含参方程根的情况，参变分离画图分析求参数范围
01. 若方程. 在-1<x≤4范围内有实数根，则t的取值范围为 ( )
A. 3<t≤8 B. - 1≤t≤3 C. - 1<t≤8 D. - 1≤t≤8
核心考点二 根据含参抛物线与直线的交点情况，参变分离画图分析求参数范围
02.(2024 江 汉 期 末 ) 若函数 的图象在-1<x<1的范围内与x轴恰好有一个公共点，则a
的取值范围是( )
A. 0<a<4 B. 0<a≤4
C. 0≤a≤4 或 a=-0.5 D. 0<a≤4 或 a=-0.5
03.(2024武珞路中学期中) 已知直线y=2x-2m与抛物线. 当-1≤x≤3时，它们有且只有
一个公共点，则m的取值范围为 .
04.已知抛物线. 与直线y=2x-10m在( 范围内有唯一公共点，则m的取值范围为
第50 页专题二十五 二次函数与区间最值(1)——定轴定区间
根据对称轴的相对位置和增减性取最值
a>0
则.y₁> y₂ h≤x₁< x₂, 则 则
a<0
x=h
则.y₁< y₂ h≤x ₁< x₂, 则 则
01.(2025 七 一 中 学 月 考 )二次函数. 当 -1<x<2 时 ,y 的取值范围是 .
02.二次函数 在-3≤x≤2的范围内有最小值-5，则c 的值是 .
03.已知关于x 的二次函数. 当x <0 时 ,y 随x 的增大而减小,并且当-1≤x≤3时,
.
y有最小值1，则a 的值为
04.已知函数 其中x 为自变量，当-1≤x≤2时，函数有最大值为4，则t 的值为 •
第51 页专题二十六 二次函数与区间最值(2)——定轴动区间
01.二次函数 当 2-a≤x≤4-a, 最小值为4，则.
02.已知二次函数 在t≤x≤t+1时的最小值是t, 则 t= .
03.已知二次函数 在 a≤x≤a+2 时 , 函数有最大值1, 则.
04. 当m≤x≤m+1时, 函数. 的最大值为2，则m满足的条件为 ( ， )
A. - 1<m≤0 B. m=-4 或 3或 -1≤m≤0
C. m=-4 或 -1<m≤0 D. m=-4 或 3
第 52 页专题二十七 二次函数与区间最值(3)——动轴定区间
01.(2026幸福路中学月考)已知二次函数 (h为常数)，在自变量x的值满足
的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为 .
02. 当 时，关于x的二次函数. 有最大值4，则实数m的值为 .
03.已知抛物线. ，当-1≤x≤2时，对应的函数值y的最大值是6，则m值是 .
04.(2024青山期中)关于x的二次函数 在-1≤x≤2时的最大值与最小值的差大
于15，则m的取值范围是 .
第53页专题二十八 含参抛物线与坐标轴的公共点问题
核心考点一 分类讨论
01. 若抛物线 与x 轴和y 轴共有2 个公共点，则m 的值是 .
2
02. 若函数. 与坐标轴至少有两个不同的交点，则k 的取值范围为 .
03. 已知关于x 的二次函数. 的图象与x 轴的一个交点的坐标为(m，0)，若2< m<
3，则α的取值范围是 .
核心考点二 根据交点情况求代数式的取值范围
04. 函数 的图象与x 轴无交点，则p+q 的取值范围是 .
05. 抛物线 与x 轴存在一个公共点的坐标为( ，则a •b 满足的条件是 .
第 54 页专题二十九 利用含参抛物线与直线的公共点求值
核心考点一 抛物线与水平线的交点
01.(2026 七 一 中 学 月 考 )已知二次函数. 的图象上有两点A (a, -1) 和 B(b, -1) , 则
02. (2026新洲月考) 已知函数 的图象上有两点A(m, 1) 和 B (n, 1) , 则 的
值为 .
核心考点二 含参抛物线与斜线的交点与韦达定理
03. 直线y=-x与抛物线 的两个公共点的横坐标分别是x₁，x₂，若 则
m= .
04.(2026 洪 山 期 中 )若抛物线 (m为常数)与直线 有两个交点A(x₁, y₁), B (x₂,
y₂ ) ,且( 则m的取值范围是 .
核心考点三 抛物线与含参直线的交点
05.已知抛物线的解析式为 关于x的一次函数. 与抛物线交点的横坐标分别为
x₁和x₂, 且 则k的取值范围为 .
第55 页专题三十 含参抛物线的增减性和取值范围
核心考点一 直接利用对称轴求参数范围
01. 若二次函数. 当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围 ( )
A. m=1 B. m>1 C. m≥1 D. m≤1
核心考点二 讨论a的符号，利用对称轴求参数范围
02. 已知函数. 当0 < x< 3 时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是
.
核心考点三 利用临界位置确定定点，求参数范围
03. (2024 武 昌 期 中 )已知二次函数. , 当x≤1时, 总 有y≥0; 当 1≤x≤2 时, 总有.
那 么c 的取值范围是 ( )
A. 0≤c≤2 B. c≥2 C. 1≤c≤2 D. c≤2
核心考点四 分类讨论确定最值
04. (2026 武汉外校月考)在“探索二次函数 的系数a，b，c与图象的关系”活动
中, 老师给出了坐标系中的四个点: A(0, 1), B (2, 1) , C(4, 1), D(3, 2) . 同学们
分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式 则
a+b+c 的最大值等于 .
第 56 页专题三十一 含参抛物线与消元法
01.抛物线 的顶点在第一象限, 且经过点(0, 1), (-1, 0) , 则 s=a+b+c 的
值的变化范围是( )
A. 0<s<1 B. 0<s<2 C. 1<s<2 D. - 1<s<1
02.抛物线 与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C.垂直于y轴的
直线l与抛物线交于点P(x₁, y₁) , Q (x₂, y₂), 与直线BC交于点N(x₃, y₃) , 若.
x₃, 记. 则s的取值范围为 ( )
A. 5<s<6 B. 6<s<7 C. 7<s<8 D. 8<s<9
03.若对于任意非零实数a，抛物线. 总不经过点 P (x₀-3, x₀²-16) , 则符合条件的点 P
( )
A.有且只有 1个 B.有且只有2个 C.至少有3个 D.有无穷多个
04.(2026武昌月考)已知二次函数 当y≥-1时,x的取值范围为x≤t-3 或 x≥1-l.
若P(m，4)在该图象上，则m的取值可以为 ( )
A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2
第57页专题三十二 含参抛物线与隐含条件
核心考点一 发现并应用隐含条件①——抛物线的对称性
01.(2024 江 岸 期 中 )已知抛物线 (c为常数) 经 过 点 (p, m), (q, m), (4, c) ,
当1 ≤q- p<8 时, 则m的取值范围为( 。 )
A. c-4≤m< c+12 C. c< m≤c +12 D. c-3≤m< c+24
核心考点二 发现并应用隐含条件②——抛物线与x轴交点间距离公式
02.(2024 七一中学月考)已知二次函数. 的图象与x轴交于A，B两点，
图象顶点的纵坐标不大于 则线段AB 长度的范围为 .
2
历
… 62 … 62 历
核心考点三 发现并应用隐含条件③——分类讨论
03.(2026 江 岸 期 中 )在平面直角坐标系中，抛物线 直线y= ax. 过点P (t, 0)
作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y=ax于点N，在点P 从原点O 运动到点Q(3a，0)的
过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，则a的取值范围为( )
且a ≠0 且a ≠0 且a ≠0 D. a≤2 且 a≠0
第 58 页专题三十三 二次函数与多结论
方法：①含有a，b，c的式子处理方法：利用对称轴和特征根处理或利用两根之积处理；
②画图分析临界位置；③分式可以用倒推法或者分离系数法.
核心考点一 消参与分离系数、方程转化
01. (2026武汉四调) 抛物线. (a, b, c是常数, 其 中c>0) 与 x 轴 交 于 (-1, 0) 和 (3,
0) 两点, 下列五个结论: ①ab<0; ②c=-3a; ③若( 且x₁≠x₂, 则. ④对
任意实数x，不等式 恒成立；⑤若一元二次方程( 两 根 为 m,n(m
< n) , 则 m<-1< n<3. 其中正确的是 .(填写序号)
核心考点二 过定点的二次函数与消参、分析整数根
02. (2026 江岸期中) 二次函数. 其图象经过点 (4，3)，则下列说法：
①该函数图象过点(0, 3) ; ②ab>0; ③ 若 点 (1+m, n) 在该函数图象上, 则 (3-m, n) 也在
该函数图象上；④当3≤x≤4时，y只有3个整数值，则 或 其中正确的是
.(填序号)
第59页专题三十四 二次函数与线段 (1)—— 横 竖 线
模型 模 型1：竖线段 模 型2：横线段
图形
结论 AB//y轴→AB=|yʌyB| AB∥x轴→AB=|xA-xB|
核心考点一 竖线段
01. (2026 东湖期中) 如图, 抛物线. 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若点D是x
轴下方抛物线上的点，过点 D作y轴的平行线交直线BC于点E，满足 求点 D 的横坐标.
核心考点二 横线段
02.(2025 武汉中考改编)如图，抛物线 与直线y=x交于A，B两点，点P在直线AB下方
的抛物线上，过点P作x轴平行线交抛物线于点 M，y轴平行线交直线AB于点N，若
求点 P 的横坐标.
4
第 60 页专题三十五 二次函数与线段 (2)—— 斜 线 段
模型 模型1：勾股转化 模型2：特殊角转化
图形
结论
核心考点一 构建直角三角形，勾股转化
01. 如图, 直线AB: y=x+4与抛物线 交于A，B两点，求线段AB的长.
核心考点二 构建直角三角形，转化特殊角
02.如图，已知抛物线. 与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C.点P
为直线BC下方抛物线上一点，PD⊥BC于点 D，若 求点 P的坐标.
第61页专题三十六 二次函数与线段 (3)—— 等 线 段
模型 模型1：等线段→勾股定理 模型2：等线段→等腰三角形
图形
结论 PA=PB→AD=BD
核心考点一 等线段处理方法①——双勾股处理
01.已知抛物线 与x轴交于 A，B两点(点A 在点B的左侧).
(1) 求点 A, 点 B的坐标;
(2)如图，过点A的直线l：y=-x-1与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，
连接PA, PC, 设点 P的纵坐标为m, 当 PA=PC 时 , 求m的值.
核心考点二 等线段处理方法②——利用等腰三角形的高与坐标轴的交点，转化为确定线段
02.(2022武汉元调改编)如图，抛物线 与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点 B，
点C在y轴右侧的抛物线上，且AC=BC，求点 C的坐标.
第 62 页专题三十七 二次函数与线段 (4)—— 倍 线 段
核心考点一 线段的倍数关系与分类讨论
01. (2024武汉元调) 如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点，且. 将抛物线 向
左平移 个单位长度得到抛物线L₂，C是抛物线 与y轴的交点，过点C作射线(
轴，交抛物线L₁于D，E两点，点D在点E的左侧.若 ，求a的值.
核心考点二 线段的倍数关系与面积法转化
02.如图，抛物线 分别交x轴于A，B两点(点A 在点B的左边)，交y轴正半轴于点 C，
过点A作CB的平行线AE交抛物线于另一点E，交y轴于点D，若 求c的值.
第63 页专题三十八 二次函数与线段 (5)—— 转 化 思 想
核心考点一 点到直线的距离相等与平行转化，再分类讨论
01. (2022 武 汉 ) 如图, 抛物线. 交x轴于A，B两点(A在B的左边)，C是第一象限抛物
线上一点，直线AC交y轴于点P.当( 时，在抛物线上存在点D (异于点B)，使B，D
两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点 D的横坐标.
核心考点二 等线段构造全等
02. (2024 武 汉 ) 如图,抛物线 交x轴于A，B两点(A在B的右侧)，交y轴于点 C.
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)连接AC，BC，第三象限抛物线上有一点 P，作 交y轴于点Q，若BC平分线段PQ，
求点 P 的坐标.
第 64 页专题三十九 二次函数与面积处理(1)——割补法
模型 割 补 法1：围栏和差 模 型2：重叠和差
图形
结论
01.如图，抛物线 的顶点M在x轴上，与y轴交于点N，在对称轴右侧的抛物线上有一
点 P,且 求点P的坐标.
02.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点M为抛物线第三象限
内的一动点，其横坐标为m，△AMC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值.
第65页专题四十 二次函数与面积处理 (2)—— 铅 垂 法
模型 结构1：铅垂线过中间顶点 结构2：铅垂线过左边顶点 结构3：铅垂线过右边顶点
D
图形
A
结论
01.(2026武汉经开期末)如图，抛物线. 与y轴交于点C，与x轴交于点A，B.直线
且k为常数)与抛物线交于点E，F，点. 在第一象限内的抛物
线上，若 求k的值.
02.如图，抛物线. 和y轴交于点A，与它的对称轴直线. 交于点B，过定点的直线
与该抛物线交于点 M，N.若 的面积等于1，求k的值.
第 66 页专题四十一 二次函数与面积处理 (3)—— 平 行 转 化 法
模型 平行转化法l：转化到x轴上 平行转化法2：转化到y轴上
PM∥AC PM∥AB
图形
结论
01.抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，P为第四象
限抛物线上一点，BQ∥CP交y轴于点Q，求 面积的最大值及此时点 P 的坐标.
02.如图，已知直线AB: 与抛物线 交于A，B两点，在直线AB下方的抛物线上
求点P，使△ABP的面积等于5.
第67页专题四十二 二次函数与面积处理(4)——面积转化
模型 模型 1：等面积转化为平行线 模 型2：面积比转化为高的比或底的比
图形
结论 AD∥BC
核心考点一 面积比转化为高的比或底的比
01.如图，经过定点A的直线 交抛物线. 于 B,C 两 点 (点C在点 B的
右侧)，D为抛物线的顶点.
(1)直接写出点 A 的坐标；
(2) 若 求k的值.
∫………²,4、.
核心考点二 平行四边形的面积转化为三角形的面积
02.如图，抛物线. 交x轴于A，B两点(A在B的左边)， 的顶点 C在y轴的正半轴
上，顶点E在y轴右侧的抛物线上，若点 D在抛物线上，且 的面积是 12，求点 E的
坐标.
第 68 页专题四十三 二次函数与等角(1)——构等腰
模型 结构1: ∠PAC=∠ACO 结构2: ∠PCA=∠CAO 结构3: ∠PCB=∠ACB
图形
结论 AE=CE AE=CE 作 BQ∥CP 得 BQ=CQ
核心考点一 等角对等边
01.(2024 江 岸 元 调 ) 如图,抛物线 与x轴交于A 和B两点，与y轴交于点 C.连接BC，
D为抛物线上一点,当∠DBC=∠BCO时,求点 D的坐标.
核心考点二 延长构等腰
02.如图，抛物线. 交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴正半轴于点C，若抛
物线上有一点 P, 使 ∠ACP=∠BAC, 求点 P的坐标.
核心考点三 作平行构等腰
03.如图，抛物线 与x轴交于 A，B两点，与y轴交于点C，在第四象限的抛物线上求点P，
使∠PCB=∠ACB,求出点P的坐标.
第69页专题四十四 二次函数与等角 (2)—— 构 全 等
模型 结 构1：等角构全等 结构2：等角延长构全等 结构3：等角构全等与分类讨论
OB=OC, CD∥x 轴 ,
条件 OA=OC, ∠OCE=∠OAD OB=OC, ∠PBA=∠ACO
BC平分∠PBD
图形
结论 △EBC≌△DBC AE=CE, △OAF≌△OCG △OBD≌△OCA
核心考点一 等角构全等
01.(2026 东西湖期中)如图,抛物线 与x轴交于 A，B两点，与y轴交于 C点.连接
BC, 点P在抛物线上, 且 ∠PAB=∠BCO, 求 P 点坐标.
核心考点二 等角延长构全等
02.(2024 武 汉 三 调 改 编 )如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，抛物线
的顶点为D，E为第三象限内抛物线上一点，且∠OCE=∠OAD.求点E的坐标.
第 70 页专题四十五 二次函数与特殊角 (1)——45°角
模型 由特征角 角想到构造等腰直角三角形，再构造三垂直全等.
已知 构造等腰 证 得点Q坐标，求得直线
条件与方法
AQ的解析式与抛物线联立，得点P的坐标.
图形
核心考点一 直接构造—— 角顶点为抛物线与坐标轴交点
01.(武汉元调)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于A，B两点(点A在点B
的左边)，交y轴负半轴于点C，若抛物线上有一点D， 求点D 的坐标.
核心考点二 转化后构造—— 角顶点为斜交45°
02.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D，P为抛物线上一
点,连接PC交线段 BD 于点 E.若. 求点 E 的坐标.
第71页专题四十六 二次函数与特殊角 (2)—— 角 的 和 差
核心考点一 构等角用全等
01.抛物线 与x轴交于A，B两点(A在B左侧)，与y轴交于点C，点P为在第四象限
的抛物线上的一点，且. 求 P 点坐标.
核心考点二 构寺用得寺腰
02.如图，抛物线 与坐标轴分别交于A，B，C三点，M是第二象限内抛物线上的一
动点且横坐标为m.连接CM，是否存在点 M，使得 若存在，求m的值.若
不存在，请说明理由.
核心考点三 构特殊角用全等
03.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P为
第一象限内抛物线上一点，若点E的坐标为(1，0)，且. ，求点 P 的坐标.
第 72 页专题四十七 二次函数与二倍角的处理策略
(2025 江汉期中)如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C. Q为抛
物线上第一象限内一点，若 求点Q的坐标.
思路1：二倍角减半——延长
条件：
方法：延长DB交x轴于点E，
则
思路2：二倍角减半——构造 方法2：
三线合一 则点 M生
条件：
方法：作 轴，交直线BD
于点E，作. 于点H，
则
思路3：对称加倍得二倍角 方法3：过点 A作 交y轴于点N，令AQ交y轴于点M，
由题得A (-1, 0),C(0, 3) ,
条件：
方法：翻折. 得
另外：也可以直接作.
第73页专题四十八 二次函数与等腰三角形、平行转化
方法：利用坐标轴上的点作平行线，转化为可解的等腰三角形.
01. (2026 江汉期中) 如图, 一次函数. 与抛物线 交于A，B两点.
(1)直线AB经过一个定点D，直接写出点D 的坐标；
(2) 如图2, 当 时，直线AB交y轴于点G，E为抛物线的顶点，射线AE交y轴于点F，若
，求点 A 的横坐标.
02.(2025 武汉四月调考)如图，抛物线 交x轴于 A,B两点 (点A 在左边),交y
轴于点 C.点D 是抛物线第四象限上的一点，连接AD 分别交 BC，OC 于 E，F两点，若
求直线AD 的解析式.
第 74 页专题四十九 二次函数与平行四边形 (2026武汉四调热点)
核心考点一 三点确定，证明平行四边形恒存在
01. (2026武汉四调) 如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点 (点A在点B的左边)，
交y轴于点C.点D与点O关于点C中心对称，过点 D的直线交抛物线于 E，F两点，直线OE
交抛物线于另一点G.试说明y轴上总存在点 H，使四边形 DFHG 是平行四边形.
第75页核心考点二 平行四边形与分类讨论①——两定两动，一边明确
02.如图，抛物线 与x轴交于点A,B, 与y轴交于点C, 连 接 AC,BC. P 是 x 轴 上
任意一点.点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，
求点Q的坐标.
核心考点三 平行四边形与分类讨论②——两定两动，边不明确
03.如图，抛物线 与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点 C.若点D是抛物线对称
轴上的动点，点G 是抛物线上的动点，是否存在以点B，C，D，G为顶点的四边形是平行四边
形.若存在，请求出点 G的坐标；若不存在，试说明理由.
第 76 页专题五十 二次函数与最值(1)——线段最值
核心考点一 横、竖线段，设参表示再配方
01.(2025 七 一 中 学 月 考 )如图，抛物线 与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A.若
P 是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB 于点K，过点P作y轴的平
行线交x轴于点D，求 的最大值及此时点P的坐标.
核心考点二 斜线段，先转化为竖直线段，再设参表示后配方
02.(2024 青 山 期 中 )如图，已知抛物线. 与x轴交于点A，B (点A在点B的左侧)，与y
轴交于点 C.点P 为直线BC 下方抛物线上一点， 于点 D，求PD的最大值.
第77页专题五十一 二次函数与最值(2)——面积最值
核心考点一 面积最值
01. (2025 东湖期中) 抛物线 与x轴交于A，B两点，点A在点B的右边，与y轴交于点
C, 连 接 BC,AC, 点E是线段AB上的动点(不含端点A, B), 过点E作. 交AC于点
F, 连 接 CE. 求 面积的最大值.
核心考点二 面积和差最值
02.如图，抛物线 交 x 轴 于 A(-1, 0) , B (3, 0) 两点, 交y轴于点( Q
为线段BC上的动点.
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2) 过点Q作 交第四象限内的抛物线于点 P，连接PA，PB，记 与 面积分
别为S₁, S₂, 设. 当S最大时，求点 P 的坐标，并求S的最大值.
第 78 页专题五十二 二次函数与最值(3)——将军饮马、建桥选址、胡不归
核心考点一 将军饮马
01.如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴l
上的一个动点，当 的周长最小时，求点 P的坐标.
核心考点二 建桥选址
02.(2025 汉 阳 期 中 改 编 )如图，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点 B，线段 CD
在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方)，且CD=3.当四边形ABCD的周长最小时，点D
的坐标为 .
1
2
核心考点三 胡不归
03.如图，抛物线 的顶点为D，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，P
为抛物线对称轴上的动点，求 的最小值.
第79页专题五十三 二次函数与最值 (4)——抛物线与焦点、准线
定义：抛物线y=ax²，焦点 准线l： A 为抛物线上一点.
简证：
设
条件: AM⊥l于点 M.
结论: AE=AM.
01. 如 图 1, P (m, n) 是抛物线 上任意一点，l是过点 (0，-2)且与x轴平行的直线，过
点 P 作 直 线 PH⊥l, 垂足为H,PH交x轴于 Q.
(1)问题探究：
①填空: 当 m=0 时 , OP= , PH= ;
当 m=4 时 , OP= , PH= ;
②对任意m，n，猜想OP 与 PH的大小关系，并证明你的猜想.
(2)问题应用：
① 当 OP=OH, 且m≠0时, 求P点的坐标;
②如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线 上滑动，求A，B两点到直线l的
距离之和的最小值.
第 80 页专题五十四 二次函数与参数计算 (1)——点参法与线参法
核心考点一 两定点一动点
01.已知抛物线 与x轴交于点
A，B，与y轴交于 C点，若点 P 为抛物线
x 轴下方一点，直线AP交y轴于 M点，直
线BP交y轴于 N点，且
求 P 点坐标.
点参法 线参法
设点坐标→点参表示直线→ 设直线解析式→线参表示点坐标→
点参表示关联点坐标→定值 根系消参→定值
第81页核心考点二 两动点一定点
02.如图，抛物线 经过点A(3, 0).
作直线AP，AG分别交y轴正、负半轴于点
M,N, 交 抛 物 线 于 点 P,G, 设 点 M,N 的
纵坐标分别为m，n，且. 求证：直
线 PG经过一个定点.
点参法 线参法
设点坐标→点参表示直线→
点参表示关联点坐标→定值 根系消参→定值
第 82 页专题五十五 二次函数与参数计算(2)——平行弦
核心考点一 已知平行
01.(2022武汉四调改编)如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C.平
行于 BC的直线 MN交抛物线于 M，N两点，作直线MC，NB的交点P，求点 P 的横坐标.
核心考点二 证平行
02.(2026武汉经开期末)如图，点 G的坐标为( 直线 交抛物线 于 点 K,H,
直线GH与 GK 分别交抛物线于点 M，N，求证：
第83页专题五十六 二次函数与参数计算(3)——相交弦
核心考点一 蝴蝶形与面积
01.(2025 武 汉 中 考 改 编 )如图，抛物线 与直线y=x交于A，B两点，过原点的直线CD交
抛 物 线 于 CD, 连 接 AC,BD 分 别 交 x 轴 于 点 E,F, 若 求直线CD 的解析式.
核心考点二 求抛物线内接蝴蝶型交叉线的斜率
02.(2025 年 江 岸 期 中 改 编 )如图，点G的坐标为(2，0)，过点(3，2)作直线交抛物线 于
点 M,N,直线NG 与 MG 分别交抛物线于点 K,H.若直线KH与直线. 平行，求k的值.
第 84 页专题五十七 二次函数与参数计算 (4)—— 垂 直
模型 由线段垂直想到构造等腰直角三角形，再构造三垂直全等.
已知PC⊥AC. 在CP上截CQ=CA,构造等腰Rt△ACQ,得△CQH≌△ACO得
条件与方法
点Q坐标，求得直线AQ的解析式与抛物线联立，得点P的坐标.
图形
01.(2025 东湖期末改编)如图，抛物线 与x轴交于点A，B，P为第一象限内抛物线上
一点, 若 PC⊥AC, 求点 P的坐标.
02.如图，抛物线. 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，设点P是抛物线对称轴上一
点，连接PA，将线段PA绕点 P 顺时针旋转90°，点A 的对应点为D，若点 D 恰好落在该抛物线
上，求点 P的坐标.
03. 如图, 过 点 F(0, ) 的直线交抛物线. 于S, T两点，直线PS，PT与抛物线均只有一个公
共点, 求证: PF⊥ST.
第85页专题五十八 二次函数与参数计算(5)——过定点①——双切线
01. (2024黄陂五调) 如图, P 为直线. 上的一点，过点 P的直线PE，PF与抛物线 均
只有一个公共点，问直线EF是否过定点?请说明理由.
02. (2026东湖期中) 如图, 抛物线. 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C.直线
(m, n为常数, 交抛物线于 M，N两点.已知点， FM交抛物线于点Q，
FN交抛物线于点P，连接PQ.求证：直线PQ过定点，并求出这个定点的坐标.
第 86 页专题五十九 二次函数与参数计算 (6)——过定点②——线束与中点
01.(2026 江 汉 期 中 )如图,一次函数y= kx-k-1 与抛物线. 交于A,B两点. 过点B 作BC∥x
轴，交抛物线于另一点 C，求直线AC经过的定点的坐标.
02.如图，直线 与抛物线 交于点A，B，直线 与该抛物线交于
C, D 两点, 且 P，Q分别为线段AB，CD的中点，求证：直线PQ必定经过一个定点.
第87页专题六十 二次函数与参数计算 (7)——过定点③——特殊四边形
01. (2023武汉二调) 如图, 抛物线. 与x轴分别交于A，B两点(点A 在点B的左侧)，C
是AB的中点，□CDEF的顶点 D，E均在抛物线上.若点F在抛物线上，连接DF，求证：直线
DF过一定点.
02.(2025 武汉二中月考)如图，点F在抛物线 上，点 平移线段EF至HG，
使H，G分别与E，F对应，且H，G均落在抛物线上，连接FH.求证：直线FH经过一个定点.
第 88 页专题六十一 二次函数与参数计算 (8)——定直线上的动点
核心考点一 与坐标轴平行
01.如图，抛物线 与y轴交于点 C，直线. 与抛物线交于点P，D两点，过点D作
DE∥y轴交直线 PC于点E.求证：点E一定在某条确定的直线上运动，请求出这条直线的解
析式.
核心考点二 平行弦
02.(2024东西湖四调)如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点 C，连接BC.
若动直线l与抛物线交于 M，N两点(直线l与BC不重合)，连接CN，BM，直线CN与BM交
于 点 P. 当 时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由.
第89页核心考点三 抛物线的双切线三角形——阿基米德三角形
03.(2024 七 一 中 学 月 考 改 编 )如图，过点(1，4)的直线与抛物线 交于 C，D两点，直线
PC，PD与抛物线均只有一个公共点，且PC，PD与y轴不平行，问点P是否在一条定直线上?
若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由.
y
D
C
O x
P
核心考点四 相交弦
04. (2023武汉中考改编) 如图, 直线y=2x与抛物线. 交于O，G两点，过OG的中点H作直线
MN(异于直线OG)交该抛物线于 M，N两点，直线MO与直线GN交于点 P，问点P是否在一
条定直线上?若是，求该直线的解析式；若不是，说明理由.
第 90 页专题六十二 二次函数与参数计算 (9)——阿基米德三角形
01.如图,点 P 在直线 上，直线PA，PB均与抛物线 只有唯一公共点A，B，且直线
PA，PB都与y轴不平行，则直线AB必过一定点，请求出这个定点的坐标.
02.如图，抛物线： 与x轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，点P为y轴上 C点
下方一动点，PM，PN分别与抛物线交于唯一公共点 M，N，连接MN交y轴于Q，试探究PQ
与 CQ 的数量关系，并说明理由.
第91页专题六十三 二次函数与参数计算(10)——线段定值
01.如图，直线 与抛物线 相交于 A，B两点(点A 在点 B的左
侧)，顶点为点D，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，与直线BD交于点 F，求线段EF的长.
02.如图，抛物线. 与x轴交于点A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，Q
为第四象限抛物线上的一动点，直线BQ交y轴于点 M，过点 B 作直线. 交y轴于点N.当
点Q运动时，线段MN的长度是否会改变?若不变，求出其值，若变化，求出变化的范围.
第 92 页专题六十四 二次函数与参数计算(11)——和差定值
01.如图，抛物线. 与x轴交于点A，B，P为第四象限内抛物线上一动点，直线PA，PB分别
交y轴于点 M, N. 求( 的值.
02.如图，抛物线 交x轴于A，B两点，E在第四象限的抛物线上运动，点F与点E关于
y轴对称，直线 分别交直线BE,BF,x轴于P, Q, G三点, 求证: PG-QG 的值是定值.
第93页专题六十五 二次函数与参数计算(12)——积为定值
01.如图，抛物线 交y轴于点C, 经 过 点 Q(2, 2) , 过 点 A(0,4) 的直线交抛物
线于D, E, QD, QE分别交y轴于G, H. 求证: CG•CH 为定值.
02.如图，抛物线 交x轴于A，B两点(点A 在点B的左边)，交y轴负半轴于
点C，过点E(m，2)作一直线交抛物线于P，Q两点，连接AP，AQ，分别交y轴于M，N两
点,求证:OM•ON 是一个定值.
第 94 页专题六十六 二次函数与参数计算(13)——商为定值
01.(2024 武 汉 五 月 调 考 )如图，抛物线 与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点 G，点P
在点C左侧抛物线上，点Q在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴于点
H，设直线PQ 解析式为. 若 求证： 为一个定值.
02.(2024 武 汉 三 调 改 )如图,抛物线. 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，顶点为D，
过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平
行线交抛物线于点 N.若 是一个定值，求点P的坐标.
第95页专题六十七 二次函数与参数计算(14)——斜率关系定值
01. (2025汉阳期中)如图, 抛物线. 交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)，不经过点
B 的直线y=2x+b交抛物线于 C,D 两点.若直线BC 记为. 直线BD记为 求
k₁与 k₂满足的数量关系.
02.(2025 华宜寄宿期中)如图,过点 )分别作直线.EF: 交抛物线
于点E, F, 直 线 GH: 交抛物线于点G，H，点M，N分别为EF，GH的中点，
若直线 MN与直线y=-8x平行，求证： 为定值，并求出该定值.
贝 消去b',得:
∵直线 MN与直线y=-8x平行, ∴k'=-8, 即
故 为定值.
第 96 页第二十七章 反比例函数
专题一 反比例函数的定义与图象
k的符号 k>0 k<0
图象的位置
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
性质 在每一象限内，y随x的增大而减小 在每一象限内，y随x的增大而增大
核心考点一 反比例函数的概念
01.(2026 七 一 中 学 月 考 )若函数 是反比例函数，则m= .
02.对于反比例函数 当x>0时,y随x的增大而增大, 则 m= .
03.已知函数. 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m= .
核心考点二 反比例函数的表达式
04.(2026 长 郡 中 学 月 考 )已知反比例函数 的图象过点A(-1, -2) , 则k的值为 ( )
A. 1 B. 2 D. - 1
05.已知反比例函数 的图象经过 (- ,5), (a, - 3), (10, b)三点, 则 k= , a= ,
核心考点三 反比例函数的图象与性质
06. (2026武汉二中月考) 已 知 点 A(a, 2) 与 点 B(b, 3) 都在反比例函数 的图象上，则a
与b的大小关系是 ( A )
A. a<b B. a>b C. a=b D.不能确定
07.对于反比例函数 当x <0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .
08.关于反比例函数 的图象，当y>1时，x的取值范围是 .
09.(2026 长 沙 一 中 月 考 )如图是三个反比例函数
在x轴上方的图象上，由此观察得到k₁，k₂，k₃的 大 小 关 系 为 (B)
第 97 页专题二 比较坐标的大小
模 型1: (k>0) 模型2: (k<0)
条件: 0< a< b a<0< b 条件: a < b<0 a<0< b
结论: 0< yB< yA y₁<0< yB 结论：
核心考点一 知横坐标比纵坐标
01.(2026 武 汉 外 校 月 考 ) 若 点 A(-5, y₁) , B(-3, y₂) , C (2, y₃) 在反比例函数 的图象
上, 则 y₁, y₂, y₃的大小关系是 ( )
A. y₁<y ₃<y ₂ B. y₁<y ₂<y ₃
02. (2026 长 郡 中 学 月 考 ) 若 点 A(1, y₁) , B(2, y₂) , C (-3, y₃) 在双曲线 上, 则 y₁,
y₂,y₃ 的大小关系是 .( 用 “<” 连 接 )
03. 若 点 A (x₁, y₁) , B (x₂, y₂) , C (x₃, y₃) 都在反比例函数 的图象上，并且.
<0<x₃, 则 y₁, y₂, y₃的大小关系是 ( )
C. y₃>y ₂>y ₁
04. 已 知 点 A(x₁, y₁) , B (x₂, y₂) 在反比例函数. 的图象上，当. 时, y₁>y ₂, 则
m的取值范围为 ( )
核心考点二 知纵坐标比横坐标
05. 若 点 A(x₁, -2) , B(x₂, 1) , C(x₃, 2) 都在反比例函数 的图象上, 则 x₁, x₂,
x₃的大小关系是( )
06. 若点A (x₁, 2) , B (x₂, 1) , C (x₃, 4) 都在反比例函数 的图象上, 则 x₁, x₂,
x₃的大小关系是 .( 用 “<” 连 接 )
第 98 页专题三 反比例函数图象的对称性(1)——中心对称
方法总结：①关于原点对称，是中心对称图形；若点A(a，b)在图象上，则点B(-a，-b)也
在图象上.②关于直线y=x对称；若点A(a，b)在图象上，则点 C(b，a)也在图象上.③关于直
线y=-x对称: 若 点 A(a, b) 在图象上, 则 点 D(-b, -a) 也在图象上.
核心考点一 用中心对称性求坐标
01.如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=k₁x(k ₁≠0)与双曲线 相交于A，B两点，
已知点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为 ( . )
A. (-1, - 2) B. (-2, - 1)
C. (-1, - 1) D. (-2, - 2)
02.如图，以原点O为圆心的圆与反比例函数 的图象交于A，B，C，D四点，已知点A的横坐
标为1，则点 D的横坐标为 ( )
A. - 3 B. - 2
C. - 1 D. - 4
03.如图，一次函数y=2x与反比例函数 的图象相交于A，B两点，以AB 为边作等边三角形ABC，
若反比例函数 的图象过点 C，则k的值为 .
核心考点二 用中心对称性求代数式的值
04. (2026七一中学月考) 直线y= kx (k<0) 与双曲线 交于A (x₁, y₁) , B (x₂, y₂) 两点，
则 3x₁y₂8x₂y₁的值是 10 .
核心考点三 用中心对称性求面积
05.如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方
形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于 1 .
第99 页专题四 反比例函数图象的对称性(2)——轴对称
核心考点一 用轴对称性求点的坐标
01.反比例函数 与一次函数y=x+1的图象交于点A(1，2)，利用图象的对称性可知它们的另
一个交点是( )
A. (2, 1) B. (-2, - 1) C. (-1, - 2) D. (-1, 2)
02.若反比例函数 与一次函数y=x+b的图象交于点A(m，n)，利用图象的对称性可知它们的
另一个交点是 ( )
A. (n, m) B. (-n, - m) C. (-m, - n) D. (-m, n)
核心考点二 用轴对称性转特殊角
03.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与反比例函数 的图象相交于点A，B，
若∠AOB=120°, 则k的值为 .
04.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴
上，反比例函数 的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，连接
OM, ON, MN, 若 则k的值为 .
第 100 页专题五 k的几何意义 (1)——单反比例函数
模 型1：一点双垂 模 型2：一点单垂 模 型3：等积转化
核心考点一 由k值求图形的面积
01.(2026 长 沙 一 中 月 考 )如图，点A 在函数 的图象上，过点A 作AE⊥x轴，垂足为
E,过点A作AF⊥y轴,垂足为F,则矩形AEOF的面积是 6 .
02.(2026 武 汉 二 中 月 考 )如图，A，B两点在双曲线 上，分别过A，B两点向x轴、y
轴作垂线段，已知 则
核心考点二 由图形的面积求k的值
03.(2026 武 汉 外 校 月 考 )如图，A是反比例函数 图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，
垂足为B, C为y轴上的一点, 连接AC, BC. 若△ABC的面积为4, 则 k= -8 .
核心考点三 等积变形
04.如图，在平面直角坐标系中，直线y=4x，y=x分别与双曲线 在第一象限内交于点A，B，若
△AOB的面积为3, 则 k= 4 .
第 101页专题六 k的几何意义 (2)——双反比例函数
模型1：矩形 模型2：三角形
AB∥x 轴 ,
核心考点一 由模型求面积
01.如图，在函数 的图象上任取一点A，过点A 作y轴的垂线交函数 的
图象于点B, 连接OA, OB, △AOB的面积是4, 则 k= 6 .
02.(2026 武 汉 二 中 月 考 )如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，
AB∥x轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若四边形 ABCD的面积是7，
则 k= .
核心考点二 等积变形
03.(2026 雅 礼 中 学 月 考 )如图，在平面直角坐标系中，A是x轴上的任意一点，BC平行于x轴，
分别交 的图象于 B, C两点, 若△ABC的面积为2, 则 k= .
04.如图，反比例函数 的图象经过点A，反比例函数 的图象经过点 B，
AB所在直线垂直x轴于点C，M是y轴上一点，连接MA，MB，若 则
第 102 页专题七 点参法与面积
核心考点一 知面积求k
01.如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限
内，四边形OABC是矩形，反比例函数 的图象与AB 相交于点 D，与BC相交于点
E, 若 BE=4CE, 四边形ODBE 的面积是8, 则 k= 2 .
02. (2026武汉外校月考)如图, 正方形ABOC与正方形EFCD 的边OC, CD均在x轴上, 点 F 在
AC边上，反比例函数 的图象经过点A，E，且 则 k= 5 .
核心考点二 知k求面积
03.如图，函数 和 的图象分别是l₁和l₂. 设点P在l₂上, PA∥y轴交l₁
于点A, PB∥x轴交l₁于点B, △PAB的面积为 .
04.如图，在平面直角坐标系xOy中，□OABC的边OA在y轴的正半轴上，反比例函数 的图象
和 □ OABC 的 边 AB,OC 交 于 D,E 两 点 , 且 连接AE,DE,若△ADE的面积为5,
则k的值为
-
-
第103页专题八 反比例函数与方程(组)、不等式(组)
核心考点一 求代数式的值
01.(2026 七 一 中 学 月 考 )如图，在平面直角坐标系中，函数 与y=x-1 的图象交于点 P
(a, b) , 则代数式 的值为
02.反比例函数 的图象与y=2x 的图象交于点(m，n)和(s，t)，则代数式
核心考点二 求方程 (组)的解
03.如图，观察图中给出的直线y=k₁x+b 和反比例函数 的图象，可得方程组 的解为
核心考点三 求不等式 (组)的解集
04.(2026湖南师大附中月考)如图，一次函数.y₁= ax+b和反比例函数 的图象相交于 A，B两点，
则使y₁> y₂成立的x的取值范围是 .
第 104 页专题九 反比例函数与一次函数结合
核心考点一 判定反比例函数与一次函数图象的位置
01. 函数y= mx+n与 其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是 ( )
A B C D
核心考点二 反比例函数与一次函数图象的交点问题
02. 如图, 直线. 为常数，且k₁≠0)与双曲线 交 于 A(-2, 4) , B两点.
(1)求直线AB的解析式： (2)求点 B的坐标；
(3) 若直线y=k₁x+m与双曲线. 有且只有一个公共点，求m的值.
03.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于A(4, 1) , B (n, -4) 两点,
与y轴交于点 C.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)将直线y=kx+b向上平移，平移后的直线与反比例函数 在第一象限的图象交于点 P，连
接 PA,PC, 若△PAC的面积为12, 求点 P的坐标.
第105 页专题十 反比例函数与横平竖直线
核心考点一 横平线
01. 如图, 直 线 y=a(a 是 常 数 , a>0) 与双曲线 交于点A，与直线. 交于点 B，
则△OAB 面积最小值为 1 .
核心考点二 竖直线
02.(2026武汉外校月考) 如图, 点 A(m, 6) , B (n, 1) 在反比例函数的图象上, 轴于点
D, BC⊥x轴于点C, DC=5.
(1)求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
(2)连接AB，E是线段AB上的一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点F，若
AD=3EF, 求点 E的坐标.
核心考点三 横平、竖直线结合
03.在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，
点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数 的图象经过点B，D，则k的值是 .
第 106 页专题十一 反比例函数与中点问题
核心考点一 反比例函数与横平线段的中点
01.如图，矩形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数 的图象经过AD边的中点E
和点C, 若 AB=2, BC=4, 则 k= .
核心考点二 反比例函数与竖直线段的中点
02.如图，正方形ABCD 的边长为2，边AB在x轴的正半轴上，边 CD在第一象限，点 E为BC的中
点.若点 D 和点 E 在反比例函数 的图象上, 则 k= 4 .
核心考点三 反比例函数与斜线段的中点
03.如图，△OAB 的边OB落在x轴上，点C是线段AB的中点，反比例函数 的
图象经过点A 和点 C.若△OAB的面积为9,则k= .
04.如图，已知反比例函数 的图象经过Rt△OAB 斜边OB 的中点 D,与直角边 AB 相交
于点 C. 若△OBC的面积为9, 则 k= .
第 107页专题十二 反比例函数与特殊四边形
01.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的边AB 与反比例函数 (k 为 常 数 , k>0,
x>0)的图象交于A，D两点，且与y轴正半轴交于点B，点C在反比例函数 的
图象上，若点D是AB的中点，则k的值为 .
02. 如图, 过 的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交 的图象于 B，
D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S₁，S₂，S₃，
S₄, 若 则
03.如图，已知反比例函数 的图象与菱形OABC相交于A(3, n) ,D 两 点 , 点 C 在
x轴上. 连 接 AD, OD, 则△OAD的面积为 1) .
04.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 和 的图象的四个分支上，则实数
n= .
第 108 页专题十三 反比例函数的实际应用
方法：结合反比例函数与一次函数的图象与性质解决问题，实际问题中应注意自变量的取值范围.
01.某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量
y(mg)与时间x(min)成正比例，药物燃烧后y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8min
燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题.
(1)药物燃烧时y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 ；药物
燃烧后y与x的函数关系式为 ；
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生可以进教室，那么从消毒开始，至
少多少分钟后学生才能回到教室?
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3m g且持续时间不低于 10min时，才能有效
杀灭空气中的病菌，此次消毒是否有效?为什么?
02.通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，
学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标y随
时间x(min)变化的函数图象如图所示,当0≤x<10和10≤x<20时,图象是线段;当20≤x≤45
时，图象是反比例函数的一部分.
(1)求点 A 对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17 min，他能否通过适当的安排，使学生在听这
道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36?请说明理由.
第 109页综合与实践 利用反比例函数的图象探究存在性
01.如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m²的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙(墙
足够长)，另外三边用栅栏围住，栅栏总长为 am.
【问题提出】小明提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块?
【问题探究】(1)小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为 xm, BC为 ym. 由矩形地块面积为8m², 得到 xy=8, 即 由栅栏总长为 10m ,
得到2x+y=10，即y=-2x+10.在平面直角坐标系中作出两个函数的图象.
如图2，反比例函数 的图象与直线l₁: y=-2x+10的交点坐标为(1, 8) 和 ,
因此，栅栏总长为10m时，能围出矩形地块，且. 或，
【类比探究】(2)若a=6，能否围出矩形地块?请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象
并说明理由.
【问题延伸】(3)当栅栏总长为 am时，小华建立了一次函数y=-2x+a，发现直线y=-2x+a 可以
看成是直线y=-2x通过平移得到的.在平移过程中，当直线y=-2x+a与反比例函数
的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值.
第 110 页第二十八章 旋转
专题一 旋转的性质
核心考点一 旋转的三要素
01.如图，P为等边△ABC内一点，△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置，则旋转中心是点 ，
旋转方向是 ，旋转的角度是 ° ，△BPQ的形状是 .
核心考点二 利用旋转的性质求线段长
02. 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, 将△ABC绕点A顺时针旋转90°, 得 到 △ ADE, 连 接 BD, 若
AC=3, DE=1, 则线段 BD= .
03.(2026 武 汉 二 中 月 考 )如图，将矩形ABCD 绕点 B顺时针旋转90°至矩形 EBGF的位置，连接
AC, EG, 取AC, EG的中点M, N, 连 接 MN, 若 AB=4, BC=3, 则 MN= .
第1 题图 第2 题图 第3 题图 第4 题图
核心考点三 利用旋转的性质求角度
04.(2024 东 湖 期 末 )如图,△ABC中,∠BAC=100°,将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,
这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠E= °.
05. 如图, 在正方形ABCD中, 点E, F分别在BC, CD上, 连 接 AE, AF, EF, ∠EAF=45 ° . 若
∠BAE=α, 则∠FEC一定等于 ( )
A. 2α B. 90° -2α
第5 题图 第6 题图 第7 题图 第8题图
核心考点四 利用旋转的性质找旋转中心
06.在如图所示的4×4正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，其
旋转中心是 ( )
A. 点A B. 点 B C. 点 C D. 点 D
07.如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形 CDEF重合，那么，图形所在平面内，可作为旋转中
心的点有 ( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
08.在如图网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B在格点上，将△ABC绕O点(图中未画出)
顺时针旋转一定角度后得到△DEF，点 D，E，F均在格点上，则OC= .
第 111 页核心考点五 旋转与全等、勾股
09.以原点为中心，把点A(a，b)逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标是 ( )
A. (-a, b) B. (-b, a) C. (b, - a) D. (-b, - a)
10.(2026青山期末)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,将△ABC绕点A顺时针旋转α°
(0<α<90), 得 到 △ ADE, 点C的对应点D恰好落在边AB上.
(1) 则α= ;
(2) 连 接 CE, 求 CE的长.
11. 如图, 在△ABC中, AC=BC, 将△ABC绕点A逆时针旋转60°, 得到 连接BD, BE.
(1) 判断△ABD的形状;
(2) 求证: BE平分∠ABD.
12.如图，将矩形ABCD 绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B 与点E对应，点E 恰好
落在AD边上,BH⊥CE 交CE于点H.
(1) 求证: AB=BH;
(2) 连 接 BG 交 CH 于 点 O, 已知AB=5, BC=13, 求BG的长.
第 112 页专题二 中心对称
核心考点一 两个图形关于某点中心对称寻找对称中心
01.如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A₁B₁C₁关于 E 点成中心
对称，则对称中心 E 点的坐标是 .
核心考点二 利用两个图形关于某点中心对称作图
02. 如图, 正方形 ABCD 和直角△ABE, ∠AEB=90 ° , 将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF.
(1)在图中画出点O 和△CDF，并简要说明作图过程；
(2) 若 AE=12, AB=13, 求EF的长.
核心考点三 中心对称图形与倍长类全等
03. 如图, Rt△ACB中,∠ACB=90°, O为AB的中点, 则 AB
的长为 √ .
解: 延长FO, 使得OG=OF, 连接AG, EG, 过 E 作 EH⊥FO, 设 ∠CAB=x, 则.
G
04. 在正方形ABCD中, 点F在AD延长线上, 且 DF=DC, M 为 AB 边 上 一 点 ,N 为 MD 的 中 点 ,
点 E 在线段CF上,BN=NE, 求证: BN⊥NE.
G
第113页专题三 旋转作图问题基本方法(1)——中心对称图形(2026 武汉四调热点)
核心考点一 利用过中心对称图形的对称中心的直线分割面积
01.请用直尺按要求在网格中作图，并标明字母(辅助线可用虚线作出，以下作图请勿超出网格范围).
(1 ) 作出平行四边形ABDC;
(2) 以AC为边, 作出正方形ACMN;
(3 )作出一条同时平分平行四边形ABDC与正方形ACMN面积的直线.
核心考点二 利用中心对称图形，构造8字型全等得等线段
02.(2026 武 汉 四 调 )如图，A，B，C都是格点，D是BC上一点.仅用无刻度直尺在给定网格中完
成如下两个画图任务.
(1 ) 在 图1 中，先将AB绕点 B逆时针旋转90°得到线段EB，画线段EB；再在 EB上画点F，
使 CF+DF 最小;
(2) 在 图2 中,先将BC 平移得到线段AG, 画线段AG; 再在AG上画点H, 使AH=BD.
核心考点三 利用对称中心平分面积，转化思想构造倍线段
03.(2026 硚口期末)如图，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两
个问题，每一个问题的画线不得超过四条.
(1 ) 在 图1 中,D为AC边上一点, 先画
▱
ABEC,再画直线DF交BE于点 F, 使直线DF平分
□ABEC的周长;
(2) 在 图2 中, 先画△ABC的高AH;再在AC上画点G, 使线段
图1 图2
第 114 页专题四 旋转作图问题基本方法(2)——已知旋转中心
核心考点一 旋 转90°的线段，两个端点旋转后的对应点连线即可
01.如图,△ABC中,∠B=90°,点 D为边AC的中点,请按下列要求作图,并解决问题.
(1)作点D 关于BC的对称点O;
(2) 在(1)的条件下, 将△ABC绕点O顺时针旋转90°.
①画出旋转后的△EFG (其中A，B，C三点旋转后的
对 应 点 分 别 是 点 E,F,G);
②若∠C=α, 则 ∠BGC= .(用含α的式子表示)
核心考点二 旋转 180°的线段，两个端点旋转后的对应点连线即可
02.(2025七一中学月考)如图，A，B，C是格点，仅用无刻度的直尺作图. P为AB上一点，作线
段AB关于点C成中心对称的线段EF(A与E对应)，并在 EF上找一点G，使得EG=AP.
核心考点三 旋转特定角，平行构等腰
03.(2025 江 岸 期 中 )如图，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺画图.
(1) 在射线AB 上取格点D, 使 AD=AC;
(2) 画∠CAD的角平分线AE;
(3) 在AC上取点F, 使 AF=2;
(4) 将△ABC绕点A逆时针旋转,旋转角为∠BAC, 得到△AFG.
第115页专题五 旋转作图问题基本方法(3)——寻找旋转中心
方法：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上.
01. 如图, 在边长为1的正方形网格中, A(1, 7), B(5, 5) , C (7, 5) , D(5, 1).
(1)将线段AB绕点B逆时针旋转，得到对应线段BE.当BE与CD第一次平行时，画出点 A运
动的路径，并直接写出点 A运动的路径长；
(2)线段AB 与线段 CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某
点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的
坐标.
02.如图，在边长为1的正方形网格中，点A坐标为(1，7)，点B坐标为(5，5)，点C坐标为
(7, 5) , 点 P 坐标为 (5, 4) .
(1)如图1，将线段AB绕点 P逆时针旋转90°，得到对应线段A'B'，画出线段A'B'，并直接写出
线段AB 扫过的面积；
(2)如图2，点D坐标为(5，1)，将线段AB绕着某一点旋转一个角度得到线段CD，找出这个
旋转中心并写出旋转中心的坐标.
•
03. 如图, 在平面直角坐标系中, 已 知 △ ABC 的 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A(-2,-4),B(-6,-1),
C (-2, - 1) .
(1)把△ABC向左平移2个单位，再向上平移4个单位得 试画出图形，并直接写出点
C₁的坐标；
(2) 把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得 试画出图形，并直接写出点 C₂的坐标；
(3) 若 (2)中的. 可以看作由(1)中的 绕坐标平面内某一点 P 旋转而得到，试
在图中标出点 P的位置，并直接写出旋转中心 P的坐标；
(4) 若 (1) 中的△A₁B₁C₁内 部 有 一 点 M(a, b), 经 过 (3) 中的旋转后与 中的点 N对
应，请直接写出点N的坐标(用含a，b的式子表示).
第 116 页专题六 旋转作图问题基本方法 (4)——旋转90°
核心考点一 旋转90°作45°
01.(2025 青 山 期 中 )如图，△ABC的顶点A，C 都是格点，顶点 B是网格线上的一点，点 M是边
AC与网格线的交点.
(1) 在 图1中，先将线段AC绕点A 顺时针旋转90°得到线段AD，再在线段 AB 上画点N，使得
∠AMN=45°;
(2) 在 图2 中，先画点P，使得点A绕点 P逆时针旋转90°得到点C，再画点B 关于直线PM的
对称点 Q.
图1 图2
核心考点二 利用角的和差转化等角
02.(2026 洪 山 期 中 )如图，A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图. (每
个问题的画线不得超过六条)
(1) 在 图1 中, 先画△ABC的高BD, 再
在线段AD上画点E, 使 AE=ED;
(2) 在 图2 中,先将△ABC绕点 B顺时针
旋转90°得到△EBF (E对应A,F对
应C)，连接AE，在直线AB上确定
点 P, 使∠PCB=∠EAC.(画出满足条
件的所有 P 点)
核心考点三 发现旋转变化关系
03.(2026 汉 阳 期 中 )如图，A，M，N，O是格点，点 B为格线上一点，O为平面直角坐标系的原点.
(1)在图1中，先画点A关于y轴的对称点 C，再画点B关于y轴的对称点D，连OC，OD，
DC得△COD,直接说明△AOB与△COD间的变化关系;
(2)在(1)的条件下，在图2中，将线段OC绕O点顺时针旋转90°得线段OF，画线段 OF，
画点B关于直线 MN的对称点 G,连OG,GF,得△FOG,我们发现: △FOG 与△COD 间
存在一种变化关系，直接写出这种变化关系 .
第117页专题七 旋转作图问题基本方法(5)——旋转 180°
核心考点一 绕线段上的点旋转 180°
01.(2025武汉三区期中联考)如图，△ABC三个顶点均在格点上，按要求完成下列画图，每个任务
的画线不得超过四条.
(1) 在图1中, 先画格点D, 使得 BD⊥AC于 E;
(2) 在 (1) 的基础上, 在射线BE上画一点F, 使得AF=AB;
(3)在图2中,先画点P,使点A绕点 P逆时针旋转90°得点C,连接BP交AC于 G;
(4) 在 (3)的基础上,将线段BC绕点G 旋转180°,画出对应线段 MN(点B 与点 M对应,点
C 与点 N对应).
核心考点二 利用转化思想构造旋转 180°的线段
02.(2025 东 湖 期 中 )如图，△ABC的顶点都是格点，按要求画图，每个任务的辅助线不得超过三条.
(1) 在图1中, 过点 B 作 BD⊥AC于 D;
(2) 在 (1) 的基础上, 在射线BD上取点E, 使 ∠ECA=∠ACB;
(3)在图2中，将线段BC绕点C逆时针旋转90°得线段 CF，画出线段 CF；
(4)在(3)的基础上,连接BF交 AC于点G,将线段AB绕点G旋转180°,画对应线段MN(点
A 与点M对应，点B 与点N对应).
图1 图2
核心考点三 作对称与整体平移作平行
03.(2026 江 岸 期 中 )如图，△ABC三个顶点都是格点.仅用无刻度直尺作图，每个问题的画线不得
超过五条.
(1) 在图1中, 画线段BD, 使BD平分△ABC的面积; 过点B 作射线BE⊥AC交 AC于点E;
(2) 在图2中, 作点B关于AC的对称点F, 过点F作FG∥AB交AC于点G.
第 118 页专题八 旋转作图问题基本方法(6)——作图与计算
01.如图,E 是正方形ABCD 中CD边上任意一点.
(1)以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形；
(2)在BC边上画一点F，使△CFE的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，请简要说明你取该
点的理由.
E B C E B F C
02. 如图, E为正方形ABCD外一点, 连接BE, AE, DE.
(1)画出将线段BE绕点A 逆时针旋转90°后的对应线段；
(2) 若 EA=5, ED=4, ∠AED=45°, 请直接写出线段BE的长.
C
03. 操作与思考: 如 图 1, 在 △ ABC 中 ,AB=AC, ∠BAC=α,D是异于 A,B的一点, 且∠ADB=90°.
将线段AD绕点A逆时针旋转α.画出对应线段AE，连接DE交 BC于点F，猜想BF与CF的数
量关系，并证明你的猜想；
迁移与运用: 如图2, 在△ABC和△CDE中,AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCE=90 ° , AC=
ED 的延长线交AB于点F, 且∠BDC=90°, 直接写出EF的长.
图1
图2
第 119页专题九 旋转作图问题基本方法(7)——综合训练
核心考点一 倍长与旋转180°，整体旋转90°
01. (2026 硚口期中) 如图, △ABC的顶点都在格点.
(1)在图1中,点D在边AC上,先画△ABC的中线CE,再连接BD,并画线段BD绕点 E 旋转
180°的对应线段AF;
(2)在图2中，先画△ABC的高AH，再画线段AH绕点 A逆时针旋转90°的对应线段AM.
核心考点二 整体旋转与定角旋转
02. (2026 江 汉 期 中 )如图，A，B，C，D均为格点，E是线段AD与网格线的交点，仅用无刻度的
直尺在下列给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条.
(1)在图1中，画出线段CD绕点 C 逆时针旋转90°后得到的线段CD'；
(2)在图1中，画出点E绕点 C 逆时针旋转90°后得到的点 E'；
(3)在图2中，画出点O，使点O是四边形ABCD 的对称中心，并连接CO；
(4)在图2中，令∠DCO=α，画出点O绕点C逆时针旋转α得到的点O'.
核心考点三 转化思想作垂直
03. (2026 江 夏 期 中 )如图，点A，B，C是格点，仅用无刻度直尺画图，每个任务画线不超过四条.
(1)在图1中，点P在AB 上，将线段AB 沿BC方向平移，使点B 与C重合，画出平移后的线
段 DC; 再在 DC上画点E, 使 CE=AP;
(2) 在图2中, 设∠BAC=α,将AB绕点A 逆时针旋转2α, 得到线段AM,画出线段AM;
(3) 在图3中, 点P在格线上, 在BC上画点Q, PQ⊥BC.
第 120 页专题十 旋转模型 (1)——手拉手①——遇 构造
核心考点一 构造等腰直角三角形得手拉手，利用对应角和边进行勾股计算
01. 如图, 在四边形ABCD中, 则
02.如图,点 P 是正方形ABCD 内一点,且 则正方形ABCD的面积是
.
A
核心考点二 构造等腰直角三角形得手拉手，结合共边双勾股计算
03. 如图, D 是 内一点， 则BC的长是
.
核心考点三 构造等腰直角三角形得手拉手，利用特殊角解三角形
04.如图，若点O是等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，M为BC下方一点，且
∠BMC=45°, 则 BM= .
M
第121 页专题十一 旋转模型 (2)——手拉手②——遇( 构 造
01. 如图, 已知△ABC中, 将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转60°到△AB'C'
的位置, 连 接C'B, 则 C'B 的长为 ' .
C
02. 如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90 ° , 分别以AC, AB为边, 作等边 和等边△ABE.连接
ED, 并延长交BC于点F, 连 接 BD. 若 BD⊥BC, 求. 的值.
C B
03.(2026 东 西 湖 期 中 ) 如图, 已知P是等边△ABC内一点, PA=3, PC=4, PB=5, 则△ABC的面积
为 — —.
H
04. 如图,在四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形,
则 CD 的长为 .
第 122 页专题十二 旋转模型(3)——手拉手③——遇 120°构造120°
核心考点一 构造 120°等腰求角度
01. 如图, 在△ABC 中, ∠ACB =30°, AB=AC, 点 P 是△ABC 内一点, 且
求∠APC 的度数.
核心考点二 构造 120°等腰求线段
02.(2024 七 一 中 学 周 练 )如图,在△ABC中, ∠BAC =120°, D为△ABC外且在BC上方的一点, 连
接A D, BD, CD. 当点 D 在如图所示位置时, 若 AB=AC, ∠ADC =60°, BD =10, CD =8, 求AD
的长.
C
核心考点三 构造 120°等腰求最值
03. 如图, △ABC 中, AB=AC, 点 P 为△ABC 内一点, ∠APB=∠BAC =120°. 若 AP+BP=4, 则 PC
的最小值为 .
C
04. 如图, 在△ABC 中, ∠BAC =120°, AB +AC=a (a>0), 将 CB 绕 C 顺时针旋转120°得 CD, 当
DA 的最小值为 时，a 的值为 .
第123页核心考点四 综合题
05. (2026江岸期中) 如图, 在Rt△ABC中, ，点D为边BC上的一点，点
E为AD的中点,EF⊥AD交AB于点F,将EF绕E点顺时针旋转120°得到EG,连 CG,若 BD=4,
BF=6, 则 CG 的 长 为 5 .
06. △ABC中, AB=AC, ∠BAC=α, 点D为平面内一点, 将 绕点 A 顺时针旋转α到
(1) 如图1, 若点 D不在边 BC上, 且∠ADB=90°, 连 接 DE, 请完成图形;
(2) 如 图 2, 若点 D在边 BC上, 且α=120°,连 接 DE, 交 AC 于 N, 过B作. 交ED 延长
线于 M, 求 证 : EN=DM;
(3) 在 (2)的条件下,若AB=6,点 D 在边 BC上运动过程中,当AE最小时,请直接写出MD
的长度.
图1
第 124 页专题十三 旋 转 模 型 (4) ——手拉手④——遇 180°构造180°
01.(2026 汉 阳 期 中 ) 如图, 在△ABC中, AB=5, AC=13, BC边上的中线AD=6, 则△ABD的面积
是 .
02.(2024 青 山 期 末 ) 如图, 以△ABC的边AB,AC为边向外作等腰 和等腰 其
中 ∠BAD=∠EAC=90 ° ,AB=AD,AE=AC,F, G 分 别 为 DE, BC 的 中 点 , 连 接 AF,AG, FG. 已
知AC=6, AB=8, DE=7.
(1) 求△AFG的面积;
(2) 求 BC的长.
03.(2024 武 汉 三 调 ) 如图, 在 △ ABC 中 ,∠BAC=90 ° , AB=AC, AO⊥BC 于 点 O, BF⊥BC, N 是
AF的中点, DN⊥ON交AB于点D, 连 接 CD, DF, 若 ON=DN, 求证: DC=DF.
第125页专题十四 旋转模型(5)——手拉手⑤——旋转α角
01. (2026青山期中) 在 中, ∠ACB=90°, 将 绕点 C逆时针旋转 得到 点 A的
对应点 D落在边AB上，连接BE.
(1) 如图1, 求证:
(2) 如图2,过点E作EF∥AB交AC的延长线于点 F.
若 AD=2, EF=3, 求AF的长;
①
②若 当△BDE的面积最大时，直接写出△ACD的面积.
图1 图2
第 126 页专题十五 旋转模型 (6)——夹半角与夹半角的构造
核心考点一 60°夹30°
01. 如图, 等边△ABC中, D, E为BC边上的点, BD=2CE, ∠DAE=30 ° , DE=3, 则 CE 的 长
为 ——.
H
02.(2024 新 洲 期 末 )如图,D是等边△ABC中BC边上的一点, 连接AD, 在AD的右侧作△ADE,
使∠ADE=60°, ∠AED=90 ° , 连 接 CE. 若 CE平分∠ACB, 求. 的值.
核心考点二 90°夹45°
03.(2024 七 一 中 学 月 考 )如图, 在△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, D为BC边上一动点, 以 AD
为斜边在 AD右侧构造等腰Rt△ADO，连接CO.求证：
A
D
04. 如图, ∠AOB=45 ° ,PA⊥OA,PB⊥OB, 连 OP, C 是 CP 上 一 点 , OC=PC, 连 BC 交 OA 于 点 D,
若 OD=4, AD=6, 则 PB 的 值 为 .
第127页专题十六 旋转模型(7)——等腰对补角 (2026武汉四调热点)
01.(2026武汉四调)如图, 在正方形ABCD中, E, F分别为边 CD, BC上的点,且 连接
AE, DF交于点 G.
(1) 如图1, 求证: AE⊥DF;
(2) 如图2, 连 接 CG, 若 CG 平 分 ∠EGF, 求证: CE=DE.
02. (2024硚口期中改) P是等边 内一点，连接PA，将AP绕点P顺时针旋转 得到DP,
且点 D 恰好落在射线BC上，连接PB.
(1)如图1，当点D在BC的延长线上时，求证：
(2)如图2，当点D在BC边上， (1)中的结论是否仍成立?若成立，请证明；若不成立，请说
明理由.
第 128 页专题十七 旋转模型 (8)——构造手拉手求最值
核心考点一 利用手拉手转化线段得三边关系最值
01. (2026武珞路中学期中) 如图, 在△ABC中, 分别以AC，BC为直角边，C为
直角顶点向外作等腰Rt△ACD 和等腰Rt△BCE,连接BD,AE.在△ABC的边 BC变化的过程中,
当AE最大时, BC= .
核心考点二 构造手拉手转化斜垂关系最值
02. 点 P为等边△ABC内一动点, 连接PA, PB, PC, 若∠BPC=105°,
则 的最小值是
Q
核心考点三 构造手拉手得定点轨迹，转化垂线段最短
03. 如图, △ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=30°,AC=6, D是AB上的动点, 以DC 为斜边作等腰直角
△ DCE, ∠CED=90 ° , 点E和点 A 位于 CD 的两侧, 连接BE, 则BE 的最小值为
E
核心考点四 构造手拉手转化为两点之间，线段最短
04.(2024武昌期中)如图,平行四边形ABCD中, AB=12, AD=10, ∠A=60°, E是边AD上一点,
且AE=6,F是边AB上的一个动点,将线段EF绕点 E 顺时针旋转60°,得到 EN,连接BN,CN,
则 BN+CN的最小值是 .
第 129页专题十八 坐标系中
两种常见方法：①构造手拉手旋转型全等；②构造一线三等角型全等.
核心考点一 旋 转90°
01.(2024七一中学月考)如图, 在平面直角坐标系中, △OAB为等腰三角形, OA=AB=5, 点 B 到 x
轴的距离为4,若将△OAB绕点O逆时针旋转90°,得到△OA'B',则点 B'的坐标为 .
核心考点二 旋 转60°
02.如图，点A的坐标为(0，2)，点B 是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点 A 按逆时针方向旋
转60°得到线段 AC.若点C的坐标为(m，3)，则m的值为
核心考点三 旋转 120°
03.如图,已知点A(3,0),点B在y轴正半轴上,将线段AB绕点A 顺时针旋转120°到线段 AC,
若点C的坐标为(7，h)，则
核心考点四 旋转 135°
04.(2025七一中学月考) 如图,在平面直角坐标系中, 点 A(0, 3) , B(4, 0), 将线段AB绕点
B 顺时针旋转135°，则点A 的对应点 C的坐标是 .
第 130 页专题十九 利用旋转的性质解几何综合题
01. 在Rt△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, D为BC上一点.
(1)如图，将线段AD绕点A顺时针旋转90°至AE，连接BE，直接写出BE和BC的位置关
系 ;
(2)在(1)的条件下，连接ED交AB于点G，过点C作AC的垂线，交ED延长线于点F，试
判断线段 FG 与AD 的数量关系，并证明.
02. 矩形 ABCD 中, AB=5,AD=3, 将矩形ABCD 绕点C顺时针旋转至矩形EFCG (其中A, B, D
分别与E, F, G对应).
(1)如图1，当点 G落在AB边上时，直接写出AG 的长；
(2) 如图2, 当点 G落在线段AE 上时,AB 与CG 交于点H, 求BH的长;
(3)如图3，记O为矩形 ABCD 的对角线交点，S为△OGE的面积，直接写出S的取值范围.
第131页专题二十 双中点与倍长类几何综合题
01. (2026江汉期中) 问题提出: 如图1, 和 都是等腰直角三角形，
, 连 接 AE,BC, T 是 BC 的 中 点 , 过T作 于点O，探究AO 与EO的数量关系.
问题探究：(1)先将问题特殊化，如图2，令B，D，C三点共线，连接AT，把 绕点T旋
转 得到 连接EF.请画出图形并证明：
(2) 如图1, 若B, D, C三点不共线, 求证:
问题拓展： (3) 若 . 将 绕点 D 旋转，直接写出 TO 的最大值和最小值.
第 132 页专题二十一 旋转与抛物线
01.将抛物线 绕 点 (1, 2) 旋转180°, 所得新抛物线的解析为 -3)² .
02.(2025江夏、蔡甸、黄陂、新洲期末)如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y 轴
负半轴交于点 C.若 为y轴上一点，M是直线AD上一点(不与D重合)，点N是
抛物线上一点.若线段MN与CD恰好关于平面内一点P成中心对称，求点 P的横坐标.
03.如图，抛物线 与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点 B.
(1) 求A, B两点的坐标;
(2)将△ABO绕平面内点 P顺时针旋转90°后，得到 (点A，B，O的对应点分别是点D，
E，F)，D，E两点刚好在抛物线上.
①求点F的坐标；②直接写出点P的坐标.
第133页04.如图，已知抛物线 的顶点为P，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左边)，
点 B 的横坐标是 1.
(1)求P点坐标及a的值；
(2) 如图1, 抛物线( 与抛物线 关于x轴对称，将抛物线( 向右平移，平移后的抛物线记为
的顶点为M，当点P，M关于点B成中心对称时，求( 的解析式；
图1
(3)如图2，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线( 绕点Q旋转 后得到抛物线 抛物线
C₄的顶点为N，与x轴相交于E，F两点(点E在点F的左边)，当以点P，N，F为顶点的
三角形是直角三角形时，求点Q的坐标.
第 134 页第二十九章 圆
专题一 利用圆的半径相等
方法：圆上的点，若没与圆心相连，连接后往往可利用半径相等.
核心考点一 连半径利用半径相等导角
01. 如图, 在△ABC中, AB为⊙O的直径, ∠B=60 ° , ∠BOD=100 ° ,
则∠C= °.
02. 如图, AB 是⊙O的弦, C是AB上的一点, 且 OC⊥OA, OC=BC. 若⊙O的半径为6, 求弦AB
的长.
核心考点二 连半径利用半径相等求线段
03. 如图, ⊙O的弦AB, CD的延长线交于点P, 连 接 OP, 且 PO 平 分 ∠APC. 求证: PA=PC.
C
04. 如图, 扇形OAB中, ∠AOB=90°. P为 上 的 一 点 , 过 点 P 作 PC⊥OA, 垂 足 为 C,PC 与 AB
交于点 D. 若 PD=2, CD=1, 则 OA= .
C A
核心考点三 连直角顶点和所对定斜边的中点得隐圆半径
05.如图,在 Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC 内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,
则线段 CP长的最小值为 .
第 135 页专题二 垂径定理与圆的对称性
核心考点一 垂径图连半径，利用勾股求线段长
01. 如图, CD经过⊙O的圆心O, 弦 AB⊥CD, AB=8, CD=6, 则⊙O的半径
为
.
了
C
核心考点二 放垂构造垂径图，结合特殊角利用垂径定理
02. 如图, 在⊙O内有折线OABC, 其 中 OA=8, AB=12, ∠A=∠B=60 ° , 则 BC 的 长 为 .
C
03. 如图, AB为圆O的直径, 弦 CD 交 AB 于 E, ∠AEC=45°.
(1) 若 CE=1, DE=5, 求 AB;
(2)当点 E在AB 上运动时,∠AEC的度数不变,求 的值.
核心考点三 利用圆的对称性、垂径定理及半径相等列方程
04.如图，多边形ABDEC是由边长为2的正△ABC和正方形BDEC组成，则过A，D，E三点的圆
的半径为 .
第 136 页专题三 垂径定理的推论及应用
核心考点一 直径过弦的中点
01.(2024武珞路中学期中)如图,点D是⊙O中弦AB的中点,CD经过圆心O交⊙O于点C,AB=24,
CD=18, 则此圆的半径OA 的长为 .
A
核心考点二 直径过弧的中点
02. 如图, C是AB的中点, 弦 AB=24, CD⊥AB, 且 CD=8, 则 所在圆的直径为 .
核心考点三 平分弦 (非直径)的直径垂直平分弦
03.下列说法正确的是 ( )
A.平分弦的直径垂直于弦 B.圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
C.等弧所对的弦相等 D.长度相等的弧是等弧
核心考点四 动圆转化为定圆
04. 如图,铁路MN 和公路PQ 在 点O 处交汇, ∠QON=30°, 公 路PQ 上A 处距离O 点240 米, 如果
火车行驶时，周围200 米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上 沿MN 方向以72 千米/
小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为 秒.
Ω
核心考点五 遇弧的中点，连圆心与弧的中点得垂直平分
05. 如图,AB,AC是⊙O的两条弦, M是 的中点，N是 的中点,弦 MN 分别交AB,AC于点
P, D.
(1) 求证: AP=AD;
(2) 连 接 PO, 若 ⊙O 的半径为5，求MP的长.
第 137 页专题四 垂径定理与等线段双勾股
核心考点一 平行弦之间的距离
01. 如图,AB, CD是⊙O的两条平行弦,且AB=4, CD=6, AB, CD之间的距离为5, 则⊙O的直
径的长度为 .
02. 已知⊙O的半径为25,AB, CD是⊙O的两条弦, , 则 AB 和 CD 之 间
的距离为 .
图1 图2
核心考点二 取弦的中点得垂直
03. 如图,AB 是半圆的直径, EF为⊙O的弦, C为⊙O内一点, ，若
∠F=∠ECO, 则 EF= .
核心考点三 设参表示与等半径双勾股
04. 如图, 在⊙O中, M为弦AB上一点, 且 AM=2BM=4, 连 接 OM, 过 M 作 交⊙O 于点
N, 则 MN= .
第 138 页专题五 圆心角和弧的旋转
核心考点一 旋转拼接圆心角与解三角形
01. 如图, AB是⊙O的直径, 点D, C在⊙O上, ∠DOC=90 ° , AC=2, BD=2 则⊙O的半径为
厂 .
E
02. 如 图 , 点 A,B,C,D 在 ⊙O 上 , 且 ∠AOB+∠COD=120 ° ,AB=2,CD=4, 则 ⊙O 的 半 径 为 3 .
核心考点二 弧的拼接与拆分
03. 如图, 四边形ABCD 内接于半径为5的⊙O, 且 AB=6, BC=7, CD=8, 则.
04.(2026江汉期中)如图,AB是⊙O的直径, 点E 是弦 CD的中点,F在 上，连接EF，若
则 CD= .
第 139 页专题六 圆周角
核心考点一 同弧所对的圆周角和圆心角的关系
01.(2026 江 汉 期 中 ) 如图, △ABD内接于⊙O, 连 OA, OB, 若∠OBA=50°, 则 ∠D= °.
核心考点二 直径所对的圆周角是90°
02.(2026 东湖期中) 如图, 在⊙O中, 直径AB 与弦 CD 相交, 连 接 BC, BD. 若∠ABD=40°, 则
∠DCB= °.
D
第1 题图 第2 题图 第3 题图
核心考点三 90°的圆周角所对的弦是直径
03.如图，小华同学设计了一个圆半径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使
它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆
的半径为 个单位.
04.(2025浙江中考)如图, 矩形ABCD 的外接圆为⊙O, 点 E 在 弧 AD 上 , BE 交 AD 于 点 F, EG=
FG=3, AF=1, 则⊙O的直径为 .
核心考点四 垂直于直径的线段，构造垂径图再利用圆周角和圆心角的关系
05. 如图,直径AB, CD的夹角为60°, P为⊙O上的一个动点(不与点A,
B, C, D重合) . PM, PN分别垂直于 CD, AB, 垂足分别为M, N.
若⊙O的半径长为2，则MN的长为 .
S
06.(2026 青 山 期 中 ) 如图, 在⊙O中, 半径OA绕圆心O 顺时针旋转90°到OC, D 为 的中点，
直径DE交弦AB 于点 F.若 OA=13, AF=5 , 则 CD= .
第 140 页专题七 点与圆
核心考点一 过三点的圆，外心的确定
01.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中，B点坐标
为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 .
02.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示.为配到与原来大小一样的圆形玻璃，
小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 ( )
A. 第①块 B. 第②块
C. 第③块 D. 第④块
03.如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A，O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交
点上另外找两点 B, C, 使得△ABC的外心为O, 则 BC= .
O
核心考点二 点共圆与辅助圆
04. 如图, 在四边形ABCD中, AD∥BC, AB=1, AD=BD=CD=2, 则 AC= / .
05. 如 图 , 四 边 形 ABCD 中 ,AB=AC=AD,E 是 CB 的 中 点 ,AE=EC,∠BAC=3∠DBC,BD=6 +6
则 AB= .
第 141 页专题八 圆内接四边形
核心考点一 圆内接四边形对角互补①——构造圆内接四边形
01. (2026 东 湖 期 末 )如 图 , 四 边 形 ABCD 内 接 于 ⊙O,AB=BC, 连 接 BD, 若 ∠ABC=72 ° , 则 ∠BDC=
54 °.
02.(2024 东 西 湖 期 中 ) 如图, A, B, C是⊙O上的三个点, 若∠AOB=140°, 则 ∠ACB= °.
03. 如图, ⊙O是△ABC的外接圆, OD⊥AB, 若∠BOD=56°, 则 ∠ACB= °.
第1题图 第2题图 第3题图
04.(2026 江 岸 期 中 ) 如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠A=29°, ∠C=33 ° , 将△ABC绕A 点顺
时针方向旋转，旋转后的三角形为△AB'C'( 点B 与点 B'对应，点C 与点 C'对应)，若点 C'落在
⊙O上, 则∠CAB'= 27 °.
核心考点二 圆内接四边形对角互补②——解三角形
05.如图，以AB为直径作半圆O，C是半圆的中点，P是 上一点， 则PC的长是
3 .
核心考点三 圆内接四边形对角互补③——全等与勾股
06.(2026 江 岸 期 中 ) 如图, 正方形ABCD内接于⊙O, 点 E 是 上一点， 连接
AE, DE, 则△ADE的面积为 .
第 142 页专题九 圆中导角
核心考点一 圆周角与导角
01. 如图,BC是⊙O的直径, 点A是⊙O外一点, 连接AC交⊙O于点E,
连接AB 并延长交⊙O于点D, 若∠A=35°, 则 ∠DOE= °.
核心考点二 圆周角与圆心角的转化
02. 如图, ⊙O是△ABC的外接圆, ∠B=60 ° , ⊙O的半径为4, 则AC的长
等于 .
核心考点三 圆心角的旋转与多解问题
03. (2024江岸期中)若⊙O的半径OA=2,弦AB,AC的长分别是2 , 2 , 则 ∠BOC= .
核心考点四 平行弦与腰高图
04.(2025东湖期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, 点D在以AB为直径的⊙O上, 连 接 AD,
CD, 过 点 B 作 BE∥AD 交 AC 的 延 长 线 于 点 E, 若 BC=2CE,∠E=∠BCD,AC=3, 则 BE= .
核心考点五 导角得直角，勾股求线段
05.(2024武珞路期中)如图,AB 是⊙O的直径,AC是弦,D 是 上一点，P是AB延长线上一点，
连接AD, DC, CP. 若∠BAC=α.
(1) 求 ∠ADC 的 度 数 (用含α的代数式表示)；
(2) 若 ∠ACP=∠ADC, ⊙O的半径为6, CP=2BP, 求AP的长.
第 143 页专题十 弧的中点
核心考点一 由弧的中点得角平分线
01. 如图, 已知AB是半圆O的直径, ∠BAC=32°, D是弧AC的中点, 则 ∠DAC= °.
B
核心考点二 连弧的中点和圆心可得垂直
02. 如图, 在半径为5的⊙O中,AB 是直径,AC是弦, D是 的中点，AC与BD交于点P，若P
是BD的中点，则AC的长是 .
核心考点三 由弧的中点得等腰三角形
03. 如图, 点B在⊙O的直径CD的延长线上,AC为弦, 连接AB 交圆于 F, 若 ∠B=27 ° ,AF=AC,
则∠A的度数为 .
核心考点四 弧的中点综合题
04. 如图,AB是⊙O的直径, C, P是 上两点, AB=13, AC=5.
(1) 如图1, 若点P是AB的中点, 求PA的长;
(2) 如图2, 若点P是BC的中点, 求PA的长.
第 144 页专题十一 垂直弦与弦心距
核心考点一 利用垂直弦得圆周角互余
01. 如图, ⊙O的两条弦AB⊥CD, 若∠AOD=130°, 则 ∠BOC= .
D
核心考点二 双弦心距与勾股
02. 如图, 在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦, OD⊥AB, OE⊥AC, 垂足分別为D, E,
若 AB=4, 则⊙O的半径是 .
核心考点三 垂直弦与构造弦心距
03. 如图, ⊙O的半径是6, 弦 AB=10, 弦 CD=8, 且 AB⊥CD 于 点 P, 则(
04. 如图, ⊙O 是 的外接圆， 于 D, 延长AD交⊙O于点E, 若 BD=4,
CD=1, 则DE的长为 — — •
E
第 145 页专题十二 垂直弦与直径的构造
核心考点一 遇垂直弦，构造直径得模型
01. 如图, 在⊙O中, 弦CD垂直直径AB 于点E. 已 知 AC=4, DB=2, 则直径AB的长为 .
02. (2026七一中学月考) 如图, ⊙O的两条弦AC与BD互相垂直, 连接AD, BC,( 于点E.
(1) 求证:
(2) 设⊙O的半径为R, 求证:
C
03. 如图,AC是⊙O的直径, 弦 BD⊥AO 于 点 E, 连 接 BC, 过点O作OF⊥BC于点 F, 若 BD=8,
AE=2, 则OF的长度是 .
C
核心考点二 从特殊到一般，应用模型
04. 如图, △ABC 内接于⊙O, AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E, AD, BE相交于点 H. 若 BC=6,
AH=4, 则⊙O的半径为 .
第 146 页专题十三 平行弦与弦的夹角处理
方法：当弦的夹角为直角时，可直接构造平行弦转化，利用直径所对的圆周角为直角；弦的夹角
为其他特殊角如45°或60°等时，同样可以构造平行弦转化，然后解三角形.
核心考点一 平行弦所夹的弧和弦都相等
01. 如图, AB是⊙O的直径, ∠ACD=∠CAB, AD=2, AC=4, 则⊙O的半径为 .
02.(2024新洲期中)如图,⊙O的半径为 ,AB与CD为⊙O的两条平行弦.若∠CDE=45°,AD=2,
则弦 BE的长为 .
E
核心考点二 构造平行弦与解三角形
03. 如图, 在⊙O中, 弦AC与弦BD相交于点 E, 且∠AEB=60°, 若 AB=4, CD=6, 则⊙O的半径
为 ---- .
T
04. 如图,四边形 BCDE 内接于⊙O,其中 分别延长BE,CD交于点 A,若∠A=30°,
则⊙O 的半径为 .
H
第 147 页专题十四 等腰对补角
核心考点一 90°对90°
01. (2023武汉二调改编)如图, 已知AB是⊙O的直径, CD平分∠ACB.
(1) 求证:
(2)若四边形ACBD的面积是S，CD=x，求S与x之间函数关系式.
02.(2024 武 汉 中 考 ) 如图, 在⊙O中, A, B, C, D在⊙O上, ∠ABC=60°, ∠DAC=∠BAC=45 ° ,
已 知 AB+AD=2, 求⊙O的半径.
核心考点二 60°对120°
03. 如图, 在 ⊙O 的 内 接 四 边 形 ABCD 中 ,AB=3,AD=5, ∠BAD=60°, 点C为弧BD的中点, 则 AC
的长是
.
3
C
04. 如图, A, C, B, D是⊙O上的四个点,∠ACD=∠BCD=60°, 若四边形ACBD的面积是S, CD
的长是x，则S与x的关系式是 ( )
C
D
第 148 页专题十五 圆心四边形
方法：一个顶点为圆心，其他三个点在圆上的四边形，可构造圆心角对应的圆周角.
01. 如图, 四边形ABCD内接于⊙O, 若∠A=110°, 则 ∠BOD= 140 °.
02. 如图, 点A, C, B都在⊙O上, 且 AC∥OB, BC∥OA.
(1) 求证: 四边形ACBO为菱形;
(2) 求∠ACB的度数.
B
03. 如图, B, C, D是半圆上的点, 且 则阴影部分面积为
A
04.如图，已知 中， ⊙O为△ABC的外接圆, 以 点 C 为 圆 心 ,BC
长为半径作弧交CA的延长线于点D，交⊙O于点E，连接BE，DE.
(1) 求 的度数；
(2)若直线DE交⊙O于点F，判断点 F在半圆AB上的位置，并证明你的结论.
第 149 页专题十六 圆的折叠与弧的旋转
方法：折叠圆即等圆，折叠出等弧，等弧对等弦，简称“折叠出等腰”.
核心考点一 折叠出等腰①——求线段
01. 如图, 在半圆O中, 将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D, 若 AD=4, DB=8, 则BC的长是
.
核心考点二 折叠出等腰②——求角度
02. 如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,先将BC沿BC翻折交AB于点D. 再将 沿AB翻折交
BC于点 E. 若 设∠ABC=α, 则α所在的范围是 ( )
A. 21.9° <α<22.3 ° B. 22.3° <α<22.7 °
C. 22.7° <α<23.1 ° D. 23.1° <α<23.5 °
核心考点三 折叠出等腰③——结合全等
03.如图，在⊙O中，点C在优弧 上，将弧 沿BC折叠后刚好经过AB 的中点D.若⊙O的
半径为 , AB=4, 则BC的长是 .
核心考点四 弧的旋转——等弧等弦与等角
04.如图，点A，B均在⊙O上，圆心角∠AOB=90°，将弧AB绕点A顺时针旋转一定角度，得到弧
AC且恰好经过圆心O，连接AC并延长交⊙O于点D，则 的值为 .
第 150 页专题十七 利用圆心是直径的中点构全等
方法：利用圆心为直径的中点构造8字型全等.
核心考点一 已知平行线，想到构造8字型全等
01. 如图,AB为⊙O的直径, CD为弦,AM⊥CD于 M, BN⊥CD于N.
(1) 求证: CM=DN;
(2) 若 AB=10, CD=8, 求 BN-AM的值.
02. 如图,AB为半圆O的直径,AB=4, C为OA的中点, D为半圆O上一点, E为弧BD的中点,
连 CD,BE, 若 CD∥BE, 则CD的长为
1
F
核心考点二 构造平行线，想到构造8字型全等
03.(2026 东西湖期中) 如图, AB是⊙O的直径, 弦AC上有一点E, 连接OE, BE, 若 AE=AO,
∠BEO=45°, OE=4, 则⊙O的半径为 .
第 151 页专题十八 圆的计算和证明(1)——垂径定理
核心考点一 直接利用垂径图和勾股求线段长
01. (2026东湖期中) 如图, 在⊙O中, 直径AB⊥弦CD 于点E,( 于点F, 交 AB 于 点 H,
连接 CA.
(1) 求证: CA=CH;
(2) 若 求⊙O的半径.
D
核心考点二 构造垂径图，得背靠背共边双勾股
02. 如图, ⊙O的弦AB 与CD相交于点E, 已 知 AE=BE, DE=3CE, 且 AB=8.
(1) 如图1, 若CD过圆心 O, 求⊙O的半径;
D
(2) 如图2, 若∠DEB=60°, 请直接写出⊙O的半径.
图2
核心考点三 角平分线与垂径图
03. 如图, 在Rt△ABC中, ∠ABC=90°, O为△ABC的角平分线的交点, 以O为圆心, OB为半径的
⊙O与△ABC的三边分别相交于点 D,E,F, G.
(1) 求证: BD=BE=GF;
(2) 若 AD=9, CF=2, 求△ABC的周长.
第 152 页专题十九 圆的计算和证明(2)——腰高图与共边双勾股
核心考点一 弧的中点与腰高图
01. (2026江汉期中) 如图,AB 是⊙O的直径, C是 的中点, 连接CA, CD, CO.
(1) 求证: OC∥DB;
(2) 若⊙O的半径是5, DB=8, 求AC的长.
核心考点二 构造垂径图，得背靠背型共边双勾股“腰高图”
02.(2023 武 汉 中 考 ) 如图, OA, OB, OC都是⊙O的半径, ∠ACB=2∠BAC.
(1) 求证: ∠AOB=2∠BOC;
(2) 若 求⊙O的半径.
核心考点三 构造垂径图，得背靠背型共边双勾股“腰高图”
03.(2024荆楚联盟期中)如图, 以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分∠BAC
和∠ABC,AE的延长线交⊙O于点D, 连接BD.
(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；
(2) 若 求 BC的长.
∵∠BED=∠BAE+∠ABE, ∠DBE=∠DBC+∠EBC, ∴∠BED=∠DBE, ∴BD=ED.
∵AB为直径, ∴∠ADB=90 ° , ∴△BDE是等腰直角三角形.
第 153 页专题二十 圆的计算和证明(3)——折弦定理(2026 武汉四调热点)
方法：利用弧的中点得等弦，结合同弧所对的圆周角相等构全等.
01.(2024 汉 阳 期 末 )阅读材料：古代数学家阿基米德曾经提出一个定理：一个圆中一条由两条长度
不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点.如图1，弦AB，
BC 是⊙O的一条折弦(BC>AB),点 D 是 的中点,过点 D 作DE⊥BC于E,则CE=AB+BE.
根据这个定理解决问题：
如图2，边长为4 的等边△MNQ 内接于⊙R,
点 P 为优弧 MQN 上的一点. ∠PMN=15 ° , 则
△PMN的周长是 .
图2
02.如图，AB是半圆O的直径，C是 的中点，过点C作弦BD的垂线，垂足为E.
(1) 求证: CE=DE;
(2) 若 AD=DE=1, 求AB 的长.
03.(2024 武 汉 元 调 ) 如图, A, B, C, D是⊙O上四点, AC=AB.
(1) 如图1, ∠BAC=60°,BD是直径,BD交AC于点 E. 若 BD=d, 先用含字母d的式子直接表
示 CD和 DE的长,再比较CD+DE 与 BE之间的大小;
(2) 如图2, 过 点 A 作 AE⊥BD, 垂足为E. 若 CD=3, DE=1, 求BE的长.
A
图1 图2
第 154 页专题二十一 圆的计算和证明(4)——弧的中点与垂径定理
01.(2025武汉外校月考) 如图,AB,AC是⊙O的两条弦, 且
(1) 求证: AO平分∠BAC;
(2) 若 求半径OA的长.
A
Rt△BOE 中, 解得x=5, ∴半径OA的长为 5.
02. 如图,AB为⊙O的直径, C是⊙O上的一点, 连接AC, BC. D 是 的中点,过D作DE⊥AB
于点E, 交BC于点 F.
(1) 求证: BC=2DE; (2) 若 AC=6, AB=10, 求DF的长.
03. (2026江岸期中) 如图,AB是⊙O的直径, 点C, D, E在⊙O上, 连 CE交直径
AB 于 点 F,BC 交 AD 于 点 G.
(1) 求证: AD⊥CE; (2) 若点 G为AD中点, AF=2, 求AD的长.
第 155 页专题二十二 求弧长
核心考点一 利用内角和或外角和求弧长
01.如图，△ABC的边长都大于2，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧(弧的端点分别在三角形
的相邻两边上)，则这三条弧的长的和为 .(结果保留π)
核心考点二 结合垂径定理、弧长公式求线段长
02.沈括的《梦溪笔谈》是我国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，
的
是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是 的中点，CD⊥AB于点D.“会圆术”给出
长l的近似值计算公式： 若 l=1.5, ∠AOB=90°, 则 CD的长为 —— .
核心考点三 结合切线长定理求弧长
03. (2024武汉元调)某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2, PA, PB分别与 所在圆相切于点
A, B. 若该圆半径是18cm, ∠P=50 ° , 则 的长是 cm.
核心考点四 弧长与滚动规律
04.(2024洪山期末)已知一个圆心角为240°，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示(A，B两
点触地放置)，向右滚动工件至点B再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长为 .( 结
果保留π).
第 156 页专题二十三 求阴影部分面积
核心考点一 和差法
01.分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形.如
图，已知等边△ABC，AB=2，则该莱洛三角形的面积为 .(结果保留π)
C
核心考点二 连线割补法求面积
02.如图，正方形 ABCD 的边长为8，分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分
的面积之和为 .
A D
核心考点三 旋转和差法求面积
03. 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90 ° , AC=3, BC=4, 将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE,
点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
B
核心考点四 平行转化法求面积
04.如图，⊙O半径为5 ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，则图中阴影部分面积为 ——
E
核心考点五 构造旋转全等结构法求面积
05.如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延
长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)
E
N
第 157 页专题二十四 圆锥的侧面展开图
核心考点一 求底面半径
01. (2024 汉 阳 期 末 )如图，从一块直径是1m的圆形铁皮上剪出一个圆心
角为90°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 12 .
核心考点二 求母线长
02. 如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm²，扇形的弧长为10πcm，则圆锥母线长是
cm.
核心考点三 求圆锥的高
03. (2024 洪 山 期 末 )如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，
则 这 个 纸 帽 的 高 是 cm.
核心考点四 求圆锥的全面积
04. 如图，已知圆锥的底面半径是1，母线长为3，则该圆锥的全面积是 .
解：
核心考点五 求圆锥的最大底面半径
05. (2024 硚 口 期 末 )如图，在正方形ABCD 铁皮上，以A为圆心剪下一个圆心角为90°的扇形，剩
余部分剪一个半径为r的圆形，使之恰好围成一个圆锥.若. 则r的最大值是 .
第 158 页第三十章 直线和圆的位置关系
专题一 切线的性质与判定
核心考点一 弦切角定理
01.如图，直线MAB为⊙O的切线，A为切点，∠PAM所夹的弧对的圆周角为∠ACP.
求证: ∠MAP=∠ACP.
A B
核心考点二 切线的性质与面积法
02.(2024武昌期末)如图, Rt△ABC中,∠C=90°, AB=5, AC=3, 点E在中线AD上, 以E为圆心
的⊙E分别与AB，BC相切，则⊙E的半径为 .
核心考点三 切线的证明①——知半径，证垂直
03.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点
E, F, 且 ∠ACB=∠DCE. 求证: CE与⊙O 相切.
核心考点四 切线的证明②——作垂线，证半径
04. 如图, Rt△ABC中, ∠ACB=90°, E是BC上一点,过点E作EF⊥BC交AB于F, 以E为圆心,
CE长为半径作⊙E, 已 知 EF=AF. 求证: AB 是⊙E的切线.
第 159 页专题二 切线长定理
核心考点一 利用切线长定理求角
01.(2024宜昌模拟)如图, PA, PB分别与⊙O相切于A, B两点, 点C为⊙O上一点, 连 接 AC,
BC, 若∠P=70°, 则∠ACB的度数为 °.
02.(2024 硚 口 区 期 末 ) 如图,PM, PN分别与⊙O相切于A, B两点, C是⊙O上异于A, B的点,
连 接 AC, BC. 若∠P=50°, 则∠ACB的大小是 .
核心考点二 利用切线长定理求线段
03.(2026汉阳期中改)如图, PA, PB, DE都是⊙O 的切线, D, E分别在PA, PB上.
(1) 若∠APB=50°, 求 ∠DOE 大 小 ;
(2) 若 PA=6, 求△PDE 的周长.
04. 如图, PM, PN分别与⊙O相切于A, B两点, C为⊙O上一点, 连 接 AC, BC. 若∠P=60°,
则⊙O的半径是 .
第 160 页专题三 三角形的内切圆
核心考点一 利用内心求角度
A
01.(2023 武 汉 二 调 ) 如图, ⊙O是△ABC的内切圆, ∠C=40 ° ,
则 ∠AOB= 110 °.
B C
02. 如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,
AO的延长线交 DE于点F, 则 ∠AFD= °.
核心考点二 利用内心求线段
03. 如图, △ABC的内切圆⊙O与AB, BC, CA分别相切于点D, E, F,
且 AD=2, △ABC 的周长为14, 则BC的长为 .
B E C
核心考点三 利用面积法求内切圆半径
04. 如图, 在△ABC中, AB=7, BC=5, AC=8, 则△ABC的内切圆的半径为 厂 .
A
05. 如图, △ABC中, ∠C=90 ° , ⊙I为△ABC的内切圆, 点O为△ABC的外心, BC=6, AC=8.
(1) 求⊙I的半径; (2) 求OI的长.
第 161 页专题四 正多边形
核心考点一 利用中心角
01.如图，若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需 7 个
五边形.
核心考点二 利用内角
02. 如图, 正六边形ABCDEF中, P是边ED的中点, 连接AP, 则
核心考点三 利用边
03.如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意
一 点 到 各 边 的 距 离 和 为 cm.
04.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形
的边心距OM的长为 .
核心考点四 利用正多边形的圆心角解三角形
05.(2024硚口期末)我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出著名的“割圆术”，即利用圆的
内接正多边形逼近圆的方法来近似估算圆周率，并指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至
于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.如图，⊙O的半径是2，运用“割圆术”，以圆内接
正十二边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值是 ( )
A. 3.1 B. 3
第 162 页专题五 圆的计算和证明(1)——角平分线、内心和鸡爪定理
核心考点一 内心和鸡爪定理
01. 如图,AB是⊙O的直径, 点E是△ABC的内心, CE的延长线交⊙O于点D, 连接AD, AE.
(1) 求证: DA=DE;
(2) 连接OE, 若∠AOE=135°, 求 的值.
核心考点二 内心、内切圆半径和鸡爪定理
02. 如图, ⊙O 为 的外接圆，BC为直径，AD平分. 交⊙O于 D,点M为 的内心.
(1) 求证: (2) 若 求OM的长.
核心考点三 逆用鸡爪定理导角、对补邻等
03.(2024汉阳期末)如图, △ABC是圆的内接三角形, 点E在弦AD上, BE平分∠ABC, BD=ED.
(1) 求证: AD平分∠BAC;
(2) 若BC为直径, 且 求AD的长.
第 163 页专题六 圆的计算和证明(2)——弧的中点与等腰三角形
核心考点一 弧的中点得等腰
01.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径， 与 互余.
(1) 求证: 连接BD(详细答案见答案册).
B
(2) 若 求AD的长.
D
核心考点二 切割图导角得等腰
02. 如图, 在⊙O中, 弦 BC⊥OA 于 点 D, 点F是CD上一点, AF交⊙O于点E, 过点E作⊙O的
切线交 BC的延长线于点 H.
(1) 求证: EH=FH; 连接OE(详细答案见答案册) .
(2) 若点C为 的中点, AD=2, OD=1, 求EH的长度.
核心考点三 共边双等腰与直径构造
03. 如图, 在等腰△ABC中,AB=AC,AD是中线,E是边AC的中点, 过 B,D,E 三 点 的 ⊙O 交 AC
于另一点F，连接BF.
(1) 求证: BF=BC; (2) 若 求⊙O的直径.
第 164 页专题七 圆的计算和证明 (3)——切线与勾股
核心考点一 直角三角形斜边上的中线与中位线
01. (2026武汉经开区期末)如图,CD是 斜边上的中线，以CD为直径作⊙O，分别交AC，
BC 于 点 M,N, 过点 M作ME⊥AB, 交AB于点 E.
(1) 求证: ME是⊙O 的切线;
(2) 若 CB=10, DE=3, 求ME的长.
核心考点二 切割线所夹圆外的特殊角转化为圆周角
02.如图,已知. ，角的一边与⊙O 相切于A点，另一边交⊙O于B，C两点，⊙O的半径为
则AB的长度为 .
核心考点三 双切线、切割线双勾股
03. (2024青山期中) 如图, 在 中， O 为BC边上一点，⊙O过点C且经过AB
边上的点 D，点D在圆上，
(1) 求证: AD为⊙O 的切线;
(2) 延长DO交⊙O于点 E, 连接AE, 若 且 BD=2, 求⊙O的半径.
E
第 165 页专题八 圆的计算和证明 (4)——弧的中点与特殊四边形
核心考点一 平行四边形与面积
01.(2026青山期末)如图, ⊙O为△ABC的外接圆,BC为⊙O的直径,且 ,四边形 ABCD为
平行四边形, ∠D=45°.
(1)求证：AD是⊙O 的切线； (2)求阴影部分的面积.
核心考点二 矩形与特殊角、勾股
02.(2024江汉期末)如图，在矩形ABCD中，⊙O经过点A，与矩形的两边相切，切点分别为E，F，
与边 AD 相交于点 G.连 CO 并延长交边 AB 于点 P.
(1) 求证: ∠BPC=45 ° ; (2) 若 CE=2BE=2, 直接写出AP的长.
核心考点三 发现平行四边形
03. 如图, 以△AOB 的顶点O为圆心, OB 为半径作⊙O, 交OA于点 E, 交AB于点D, 连 接 DE,
DE∥OB, 延长AO交⊙O于点C, 连接CB.
(1) 求证:
(2) 若 求 OC的长.
第 166 页专题九 圆的计算和证明(5)——弧的中点或角平分线与矩形构造
核心考点一 矩形构造与倍线段得特殊角
01.(2026 硚 口 期 末 )如图,AB 是⊙O的直径,C是⊙O上一点,D 是 的中点，过点D 作直线AC
的垂线EF，垂足为E，EF交AB的延长线于点 F.
(1) 求证: EF是⊙O的切线: (2) 若 AC=2CE=6, 求阴影部分图形的面积.
核心考点二 共边双勾股
02. 如图,AB为⊙O的直径, C为⊙O上的一点,AD⊥CD于点D,AC平分∠DAB.
(1) 求证: CD是⊙O的切线;
(2) 设 AD 交 ⊙O 于 E, 的面积为6，求BC的长.
核心考点三 勾股与面积法
03. 如图, 点D在⊙O的直径AB的延长线上, CD切⊙O于点C,AE⊥CD于点E.
(1) 求证: AC平分∠DAE; (2) 若 AB=6, BD=2, 求CE的长.
第 167 页专题十 圆的计算和证明 (6)——等腰三角形
核心考点一 圆心在腰上
01. 如 图 , 在 △ ABC 中 ,AB=AC, 以AB为直径的⊙O 与边 BC,AC分别交于D,E,DF是⊙O的切
线, 交AC于点 F.
(1) 求证: DF⊥AC; 连接OD (详细答案见答案册)
(2) 若 AE=4, DF=3, 求⊙O的半径.
C
核心考点二 圆心在底上
02. 如图,△ABC内接于⊙O, ∠B=60°,CD 是⊙O的直径,点 P是 CD 延长线上的一点且PA是⊙O
的切线.
(1) 求证: AP=AC; 连接OA(详细答案见答案册)
(2) 若 求⊙O的半径.
A.
B
核心考点三 圆心在“三线”上
03. 如图, △ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC, 点 P 是 的中点, 连接PA, PB, PC.
(1) 如图1, 若∠BPC=60°, 求 ∠ACP;
(2) 如图2, 若 BC=48, AB=40, 求AP的长.
图1
第 168 页专题十一 圆的计算和证明(7)——双切线
01.(2025 洪 山 期 末 )如图，AB为圆O的直径，C为圆上一点，E为弦BC的中点，过C作圆O的
切线CP交OE延长线于点P,OP交圆O于点 D.连接PB.
(1)证明：PB为圆O的切线；详细答案见答案册
(2) 过 点 D 作 DH⊥AB, DH 交 AB 于 H, DH 交 CB 于 F, DF=4, CF=8, 求圆O的半径.
02. 如图1, BD是⊙O的直径, AB, AC是⊙O的切线, B, C是切点, 连接OA, CD.
(1) 求证: AO∥CD;
(2) 如 图 2, 过 点 D 作 DF∥CA, 分别交AO, AB于E, F两点, 若AF=1, AC=4, 求⊙O的半径.
图1 图2
03. 如图, 在⊙O中, 直径CD⊥弦AB于点E, 点P是 CD延长线上一点, 连 接 PB,BD.
(1) 若BD平分∠ABP, 求证: PB是⊙O的切线;
(2) 连接AP, 延长BD交AP于点F, 若 求 OE的长度.
图2
第 169 页专题十二 圆的计算和证明 (8)—— 多 切 线
01. 如图, AB, BC, CD分别与⊙O 相切于点E, F, G, 且. 连 接 OB, OC.
(1) 求证: OB⊥OC;
(2) 若 OB=6, OC=8, 求 CG-BE的值.
02. 如图, AB是⊙O的直径,AM,BN分别切⊙O于点A, B, CD 分别交AM, BN于点D, C, DO
平分∠ADC.
(1) 求证: CD 是⊙O 的切线;
(2) 若 AD=4, BC=9, 求OD的长.
03. 如图, ⊙O为四边形 ABCD的内切圆, M, N, F, G为切点, ∠A=∠B=90 ° .
(1) 求证: AB+CD=AD+BC;
(2) 若 AD=3, BC=6, 求⊙O的半径.
第 170 页专题十三 圆和无刻度直尺作图(1)——不含网格基本方法
核心考点一 利用垂径定理作弧的中点、角平分线或弦的中点
01.如图，已知A，B，C均在⊙O上，点D是AC的中点，请用无刻度的直尺作图.
(1) 画出 的中点 M； (2)画出∠B的平分线.
A
02. 如图, △ ABC 内 接 于 ⊙O,D 是 的中点，请用无刻度的直尺作图，作△ABC的中线AE.
D
核心考点二 利用垂径定理作三角形的内心
03.如图，已知A，B，C均在⊙O上，M，N分别是BC，AC边中点，请用无刻度直尺作图，作出
△ABC的内心.
P
核心考点三 利用直径作一个角的余角
04. 如图,已知A,B, C均在⊙O上, ∠A=34°, 请用无刻度直尺作图, 作一个: 的角.
05.如图，已知A，B，C均在⊙O上，∠A=42°，点D在弦BC上，请用无刻度的直尺作图，作一个
含48°角的直角三角形.
M
第 171 页核心考点四 利用直径所对圆周角是直角，作一个三角形的垂心
06.如图，BC是⊙O的直径，A 是⊙O 内一点，请用无刻度的直尺作图，作△ABC的高AD.
核心考点五 利用圆心角和半径构成的等腰三角形的底角相等作平行弦
07.如图，⊙O是四边形 ABCD的外接圆，且AB=BC=CD，请用无刻度的直尺作图，作一条异于 BC
的直线，使其与AD平行.
方法2
核心考点六 利用圆心是直径的中点，构造全等得等弦
08.请用无刻度直尺按要求画图(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果).如图，BC为⊙O的
弦，画一条与BC长度相等的弦.
核心考点七 利用正多边形的中心作边的垂直平分线
09.如图，正六边形 ABCDEF，请用无刻度的直尺作图，在图中作一条直线，使其垂直平分AF.
H
核心考点八 利用轴对称作直径和圆心 D
10.请用无刻度直尺完成下列作图(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果).
(1)如图1，AB，AC是所在圆的两条等弦，其中点分别为M，N，画出该圆的直径AD；
(2)如图2，AB为所在圆的直径，弦CD∥AB，作出该圆的圆心O.
第 172 页专题十四 圆和无刻度直尺作图(2)——网格作图基本方法
核心考点一 根据圆周角为直角时所对的弦为直径作直径
01.如图，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点 A，B，请用无刻度的直尺作图，作
这个圆的一条直径.
第2 题图
核心考点二 利用垂径定理作弧的中点
02.(2022 武 汉 元 调 )如图，A，B，C三个格点都在圆上，请用无刻度的直尺作图，画出该圆的圆心
O，并画出劣弧AB的中点 D.
03.(2025 东 湖 期 末 )如图，⊙O过格点A，B，点C为⊙O与格线的交点.仅用无刻度的直尺在给
定网格中画图，作出圆心O，作出BC的中点 P.
核心考点三 利用平行弦所夹的弧相等，垂径定理作等弧
04.(2023 武 汉 二 调 )如图，A，B，C三点是格点，请用无刻度的直尺作图，画经过这三点的圆的圆
心O，并在该圆上画点D.使
核心考点四 利用圆周角为直角或发现三垂直作直径，利用8字全等找圆心，利用垂径定理作角平分线
05.(2021 武 汉 元 调 )如图，⊙P经过A，B，C三个格点，请用无刻度的直尺作图，画圆心P，并画
弦 BD, 使BD平分∠ABC.
方法2
核心考点五 利用格点的对称性构造对称的圆周角得等弦和等弧
06.(2021 武 汉 元 调 )如图，⊙P经过A，B，E三个格点，F是⊙P与网格线的交点，请用无刻度的
直尺作图, 画圆心P, 并画弦FG, 使 FG=FA.
图1 图3 图4
第 173 页核心考点六 利用三垂直作切线，整体平移法作平行线
07.(2022 武 汉 元 调 )如图，A，B，C三个格点都在圆上，请用无刻度的直尺作图，画出格点E，使
EA为⊙O的一条切线，并画出过点E的另一条切线EF，切点为F.
核心考点七 利用垂直平分线得等弦，利用垂径定理得角平分线或者等弧
08.如图，⊙O经过A，B，C三个格点，请用无刻度的直尺作图，在圆上找一点F，使AF平分∠CAB.
核心考点八 平行弦的对角顶点相连所得的交点，在平行弦的垂直平分线上
09.(2023 武 汉 二 调 )如图，A，E，F三点是格点，⊙I经过点 A.请用无刻度的直尺作图，先过点F
画AE的平行线交⊙I于 M，N两点，再画弦 MN的中点 G.
核心考点九 利用平行弦构等弦
10.(2026 东 西 湖 期 末 )如图，⊙P经过A，B，C三个格点，点D 是⊙P与网格线的交点，仅用无刻
度的直尺在给定网格中按要求画图.(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示)
(1)在图1中，画圆心P，并画出弧BC的中点Q；
(2) 在图2中,①在格线AB 上画出点E, 使EC+ED 最小; ②在AB 下方的半圆上, 画 弦 BF,
使 BF=2.
图2
第 174 页专题十五 圆和无刻度直尺作图 (3)—— 整 体 旋 转
核心考点一 正方形与旋转型全等
01.(2024 武 汉 外 校 )如图在 7×6 的网格中A，B，C，E，F均为格点，仅用无刻度直尺作图.
(1) 将EF 绕E逆时针旋转90°得到EG 交 PD 于 M;
(2) 画出圆心O, 计 算 EF= ;
(3) N点在 EF的延长线上且FN=MG, 画出N点.
核心考点二 构造旋转全等，利用整体旋转
02.(2024 江 汉 期 中 )如图，A，B，C三点均为格点，⊙O经过点 C，仅用无刻度的直尺画图.
(1) 如图1, 若点O是格点, 作 弦 CD, 使 CD∥AB, 再作劣弧CD的中点E;
(2)如图2，若点O不在网格线上，先将AB绕点C 顺时针旋转90°得到线段MN(点M与点A
对应) , MN与⊙O交于点P, 再在AB上画点Q, 使 BQ=NP.
核心考点三 构造直径与整体旋转
03.(2024 洪 山 名 校 月 考 )如图，⊙O经过A，B，C三个格点.仅用无刻度的直尺画图.
(1) 在 图 1 中画 的中点D；
(2) 在图1中的⊙O上画一点E, 连接BE, 使∠ABE=45°;
(3) 如图2, 延长BA 至格点F处, 连接CF.
①直接写出∠F 的度数；
②P为CF上一点，连接BP，将PB绕点B顺时针旋转90°得到QB，画出线段QB.
图2
第 175 页专题十六 圆和无刻度直尺作图 (4)—— 巧 用 对 称
核心考点一 等腰+平行→角平分线，利用等腰三角形构造对称型全等
01.如图，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，以AB为直径构造半圆O，仅用无
刻度的直尺画图.
(1) 画AC的中点 F, 连 接 OF;
(2) 画 弦 BD, 使 BD 平 分 ∠CBA;
(3) 在线段AB 上有一点E, 使得 BE=BC, 画出点 E.
核心考点二 直径构直角，垂径构对称
02.(2026洪山期末)如图，圆上三点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画
图过程用虚线表示，结果用实线表示(每一个任务画线不超过四条)，完成下列各题：
(1)在图1中，先画出圆心O，再画出劣弧 的中点 M；
(2)在图2中，先作点C关于直线AB的对称点H，再作弦BP=弦BN.
核心考点三 平行弦构等弧，垂径构对称，对称构平行
03.(2026东湖期末)如图，⊙O过格点A，B，C.仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题.
(1)如图1，先画圆心O，再在⊙O上画点 D，使
(2)如图2，点M是⊙O上一点，先画点B关于直线AC的对称点E，再在⊙O上画点N，使MN∥BE.
第 176 页专题十七 圆和无刻度直尺作图(5)——中心对称
核心考点一 正多边形与中心对称作切线
01.(2024 武 汉 元 调 )用无刻度的直尺完成下列画图.
(1) 如 图 1, △ACD的三个顶点在⊙O上, AC=AD, ∠CAD=36°, F是AC的中点. 先分别画出
CD,AD 的 中 点 G,H, 再画⊙O的内接正五边形ABCDE;
(2) 如图2,正五边形ABCDE五个顶点在⊙O上,过点A画⊙O的切线AP.
图1 图2 图3
核心考点二 同弧所对的特殊角，8字全等得平行线构等弦
02.(2026 青 山 期 末 )如图，过格点A，B 的圆与格线交于点 C.
(1)在图1中，先画直径AD，再在 上画点 M, 使得∠ADM=45°;
(2)在图2中，先画弦AC的中点 E，再在 上画点 F,使得线段CF=4.
核心考点三 直径构直角，8字全等转化构倍线段
03.(2026 汉 阳 期 末 )如图,A,B, C均为格点, 以点C为圆心, CA为半径的圆过点B, 点 D在BC
延长线上，连接AD交⊙C于点E，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
(1)在图1中,先在⊙C上画点 F,连接AF,使∠EAF=90°,再将线段AD绕点A 逆时针旋转90°
得到AG, 画线段AG;
(2)在图2中,先画(1)中线段AG的中点H,然后在线段AC上画点M,使AM=BG,再在BD
上画点 N, 使 DN=2AC.
第 177 页专题十八 圆和无刻度直尺作图(6)——转化思想与切线
核心考点一 垂径定理作弧的中点，8字平行转化垂直
01.(2026 武 汉 经 开 期 末 )如图，⊙O过A，B，D三个格点，交网格线C，E两点，用无刻度的直尺
在给定的网格中按步骤完成作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.
(1) 如图1, 先画出圆心O; 连接CA和 CB, CP平分∠ACB交⊙O于点P, 再画出线段 CP;
(2) 如 图 2, 连接AB, 将线段AB绕点A 逆时针旋转90°得线段AF, 画出线段AF; 作 EG⊥AB
于点 G,画出线段 EG.
图1 图2
核心考点二 利用格线距离构8字全等得平行，转化垂直
02.(2026蔡甸、黄陂、新洲期末联考)如图，⊙O经过格点A，格点B，与网格线相交于点 C.仅
用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图，每个画图不超过3条辅助线.
(1)在图1中，先作出⊙O的圆心O；再将半径OA 绕圆心 O顺时针旋转90°，作出旋转后的半
径 OD;
(2)在图2中，先在圆上取一点E(点E不与点B重合)，使 再过点 A 作⊙O的切线l.
核心考点三 利用格线距离得等线段，对称全等构切线
03.(2025 青 山 期 末 )如图，是由边长为1的小正方形组成的10×8的网格，每个小正方形的顶点叫作
格点，⊙O过格点A，B，且与格线交于点 C，D.仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过
程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题.
(1) 在 图 1 中,先画圆心 O,再画 的中点 M；
(2)在图2中，先画点D关于点C的中心对称点E；再过点D作⊙O的切线DG.
第 178 页专题十九 圆和抛物线
核心考点一 切圆与抛物线
01.如图，抛物线 交 x 轴 于 A(-1, 0) 和B两点, 交 y 轴 于 点 C(0, 3).
(1)请直接写出抛物线的解析式；
(2) 直线 与抛物线交于 M，N两点，若在x轴上存在唯一的一点P，使 求 m
的值.
核心考点二 参数与定值
02.如图，已知抛物线C： 过点 (2, 2).
;
(1)直接写出抛物线的解析式：
(2)点P的坐标为(0，2)，点Q为抛物线C上一动点，以PQ为直径作⊙M，直线 与⊙M
相交于 H，K两点.是否存在实数t，使得HK 的长度为定值?若存在，求出HK 的长度：
若不存在，请说明理由.
第 179 页核心考点三 半径相等的应用
03.已知抛物线. 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1) 求A, B, C三点的坐标;
(2)过A，B两点作⊙M，交抛物线于点D(点D在对称轴右侧)，若 求点M的
坐标；
(3)如图2，点Q是抛物线对称轴上，纵坐标为 的点，点E 是对称轴上抛物线下方的动点，
以点Q为圆心，QE 为半径作圆交抛物线于点F(点F在对称轴的右侧)，求证：直线EF
与抛物线有唯一公共点.
第 180 页第二部分 热点题专题进阶
专题一 动点与图象、轨迹与路径
核心考点一 动点与图象
01.(2025武汉中考)如图1,在△ABC中, D是定点, E从A 点出发, 沿 AC, CB运动, DE的长度
y与点E运动距离x的函数图象如图2，则最低点纵坐标为 —— .
02.(2026东湖期中)如图1,E为矩形ABCD 的边AD上一点, 点F从点C出发沿折线 C-E-A 运动
到点A停止，将点F运动的路程记为x，DF的长记为y，若y与x的对应函数关系如图2所示，
点P是函数图象的最低点，则a-b的值是 .
图1
核心考点二 轨迹与路径
03. (2024 武汉三调) 如图, AB 是⊙O的直径, C是上半圆 的中点，D是下半圆上的一动
点，过点A作CD的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点 B的过程中，点E 运动的路径长
是 ( )
A. π C. 2π
第 181 页专题二 旋转与分类讨论
01.(2026 青 山 期 中 )如图，在等腰直角 中， 点 D,E分别是边BC,AB的中点,
将 绕点A 顺时针旋转 连接BD，并取其中点F，连接EF，当
为直角三角形时，线段EF的长为 .
C
02. (2026 东湖期中) 在△ABC中, 点 D 是 AB 的中点,将DB 在平面
内绕点 D 逆时针方向旋转α得到. 当 恰为等腰三角形时，α的值为
.
图1 图2 图3
第 182 页专题三 利用旋转的性质构造全等
01.(2024 武 汉 一 初 月 考 ) 如图, 在△CAB 中, ∠CAB=90 ° , 将CA 边绕点 C 逆时针旋转90°得到线
段CE,将CB边绕点 B 顺时针旋转90°得到线段 BD,CD 与 AE 交于点 F.若
则AB边的长为 , .
02. 如图, 点 M是矩形ABCD 内一点, 且 AB=5,AD=8, N 为 边 BC 上 一 点 , 连 接 MA, MD, MN,
则 MA+MD+MN 的 最 小 值 为 .
B N
03. 已知等腰△ABC, AB=AC, ∠BAC=90°, D, E分别是腰AB, AC上的点, , 连 接 DE,M
为DE中点.当AM=1时，直接写出CD 的最大值为 .
04.如图，直线l绕平行四边形ABCD 的顶点A转动，分别过点B，C，D作l的垂线段，垂足分别为
M, N, P. 已知. , 则 BM+CN+DP 的 最 大 值 为 .
C
第 183 页专题四 圆的性质相关的计算与求值
核心考点一 画折叠圆的圆心
01. (2026洪山期末) 如图, 半圆O的直径AB=8, PQ为半圆O的一条弦, 将 沿弦 PQ 翻折后与
AB 相切于点M，若点 M为OB 中点，则弦PQ的长为
核心考点二 发现鸡爪图
02.如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若. ，点E 为弦
AC 的中点, 连接EI, IC, 若 IC=6, ID=5, 则IE的长为 .
A
核心考点三 切线与面积法
03. 如 图 ,⊙O 内 切 于 正 方 形 ABCD, 点 M,N 分 别 在 边 BC,CD 上 , 且 MN 是 ⊙O 的 切 线 . 当
的面积为8时，⊙O的半径是
核心考点四 最小覆盖圆
04.(2022武汉元调改)如图是一个含有3个正方形的相框，其中
EF=5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G，H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径
是 .
第 184 页专题五 隐切线最值(1)——千斤顶问题
核心考点一 定角对定弦类千斤顶问题①——发现定角对定弦
01.(2025 东湖期末) 如图,以AB 为直径的⊙O中, ,点C为AB 上一点,且.
射线BD交⊙O 于 E,则AE的最大值为 .
02.如图,正方形ABCD 的边长为4,点E是 CD边上一点,连接AE,过点B作. 于点G，
连接CG 并延长交 AD 于点 F，则AF的最大值是 .
核心考点二 定角对定弦类千斤顶问题②——构造定角对定弦
03.(2026长郡中学月考)如图, ⊙O的直径AB为4, C是⊙O上的一动点, D 是BC的中点, AD
的延长线交⊙O于点E，则当BE取最大值时，AD的长为 .
核心考点三 定点定长类千斤顶问题
04. 已知AB是⊙O的直径, AD, BC是⊙O的切线, P 是⊙O上一动点, 若 AD=3, AB=4, BC=6,
则△PCD的面积的最小值是 .
B
第 185 页专题六 隐切线最值(2 )—— 转 化 思 想 (2026 武汉四调热点)
方法：通过构造线段的和差，转化为切线最值.
核心考点一 补短构造线段和
01.如图,AB是半径为5 的⊙O的一条弦，点C在AB上，过点C作AB的垂线交⊙O于点D，
AB=14, 则AC+CD的最大值是 18 .
核心考点二 补短构造线段差
02. 如图, 在扇形OAB中, ∠AOB=90°, OA=OB=6, P是 上的一动点， 交OB于点Q,
则 PQ-BQ 的 最 大 值 为 6 .
o Q
核心考点三 补短构造特殊倍数的线段
03. 如图,∠ACB=45°,半径为2 的⊙O与CA,CB分别相切于点 D,G,P是⊙O上的一点,
于点 E,PF⊥CB于点 F. 设 则t的取值范围是 .
核心考点四 坐标系中的线段转化
04. 如图, 已 知 A(-4, 0), B(0, 2) , 以AB为直径作⊙C, P(m, n) 是第二象限圆上一点, 则
m-n的最小值为 .
第 186 页专题七 三角形的外心和内心
01. 如图, 点I和O分别是△ABC的内心和外心, 若∠AIB=125°, 则∠AOB的度数为 1 °.
A B
02. 如图, △ ABC 内 接 于 ⊙O,AB 为 ⊙O 的 直 径 ,I 为 的内心, 连接OI, AI, BI, 若 OI⊥BI,
OI=1, 则AB的长为 .
03.(2024 武 昌 期 末 ) 如图,点I是△ABC的内心,AI的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D.
(1) 求证: DB=DI;
(2) 若 OI⊥AD, IM⊥AB 于 M. 求证: ① BC=2AM; ②AB+AC=2BC.
D
04. 如图, △ABC内接于⊙O, I是其内心, AI⊥OI, AB=2, BC=3, 则 AC 的 长 为 I .
D
第 187 页专题八 巧用辅助圆初步 (新热点)
核心考点一 定角夹定高
01.(1) 问题背景: 如图1, 在△ABC中, AB=AC, ∠BAC=90°, D是△ABC外一点, 且 AD=AC,
求∠BDC的度数,若以点A 为圆心,AB为半径作辅助圆⊙A,则点 C,D必在⊙A 上,∠BAC
是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= .
(2) 问题解决: 如图2, 在四边形ABCD中, ∠BAD=∠BCD=90 ° , ∠BDC=25 ° , 求∠BAC的度
数.小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD 的
外接圆就是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点
为圆心， BD长为半径的圆.这样A，B，C，D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角
的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题.
(3) 问题拓展: 如图3, 在△ABC中, ∠BAC=45°, AD是BC边上的高, 且 BD=4, CD=2, 求
AD的长.
图2 图3
A
核心考点二 定角对定弦
02. 如图, 在△ABC中, BC=4, ∠A=45°, 则△ABC面积的最大值为 .
核心考点三 定角夹定高最值——探照灯问题
03. 如图, 正方形ABCD 的边长为1, M, N分别是边BC, CD上的动点. 若∠MAN=45°, 则 MN的
最小值为 .
第 188 页第三部分 压轴题专题突破
第一模块 选填题压轴题
专题一 规律探究
核心考点一 规律探究①——数式规律
01.对于每个非零自然数n，抛物线 与x轴交于 An, Bn两点, 以. 表示
这两点间的距离，则
核心考点二 规律探究②——数形规律
02.如图，放置在直线l上的扇形OAB.由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③.若半
径 OA=1, ∠AOB=90 ° , 则点 O所经过的路径长是
03. (2024武昌期中) 如 图 一 段 抛 物 线 : y=-x(x-3)(0≤x≤3) , 记 为 C₁, 它与x轴交于点O和A₁;
将 C₁绕 A₁旋转180°得到C₂, 交x轴于点A₂; 将 C₂绕 A₂旋转180°得到C₃, 交x轴于点A₃, 如
此进行下去, 直至得到C₁₀, 若 点 P(28, m) 在第10段抛物线 C₁₀上, 则 m= .
第 189 页专题二 二次函数多结论问题 (1)——图象信息与分析临界点
01.如图，抛物线 的对称轴为直线 经过点 下列结论: ① a=b; ②abc
<0; ④ 点 A (x₁, y₁) , B (x₂, y₂) 在抛物线 上，当 时, y₁
<y₂; ⑤若 且x₁≠x₂, 则. .其中正确的结论有 .( 填 序 号 )
02.(2026 东 西 湖 期 末 )如图，已知抛物线. (a，b，c为常数，且a≠0)的对称轴是直线
x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，与y轴交点坐标是(0，m)且 有
下列结论: ① abc<0: ② 9a-3b+c >0; ④关于x的一元二次方程
必有两个不相等实根; ⑤ 若点A (x₁, y₁) , B (x₂, y₂) , C (x₃, y₃) 在抛物
线 上，且 当 时，则n的取值范围为
n<0.其中正确的是 .(只用填序号即可)
第 190 页专题三 二次函数多结论问题 ( 2 )——文字信息与分析特殊点
01.(2025 武汉中考)关于二次函数 下列说法：①函数图象过点 ②若
则当 时，y随x的增大而减小；③图象与x轴有两个不同的交点；④若( 则图
象与x轴正半轴的交点横坐标小于1；⑤若( 则方程 只有一个正数根.其中
正确的是 .
02. (2026 硚口期中) 抛物线. (a, b是常数, 与x轴交于 (-2, 0) , (m, 0) 两
点，其中 下列五个结论： ②当 时，y随x的增大而减小；③关于x的
方程 其一个根是 ⑤若关于x的不等式 的整数解恰
好 有5个，则n可以取5 个整数值.其中正确的是 .(填写序号)
第 191 页专题四 二次函数多结论问题 (3)——表格信息与分析对称轴
01. (2026 江夏期中)已知二次函数. 的y 与x 的部分对应值如表，其中 下列结论：
①abc>0;②若点((m,y ₁ ), (‐m‐2,y ₂ ):均在二次函数的图象上，则. ③满足
<2t 的x 取值范围是-3<x<2; ④ 当 -4<x<1 时 ,y 的取值范围为 其中正确结论的
序号为 .
x -3 1 2
y t t 0
02. (2026 东湖期中)已知二次函数. (a, b, c 是常数且a≠0)的自变量x 与函数y 的部分
对应值如下表：
...
x 0 1 2 3 4
y m -4 n -4 k
其中 0<m<2. 以下结论: ①abc<0; ②若抛物线经过点(-1, y₁), (6, y₂), 则 .y₂> y₁; ③当
m=1, t≤x≤t +2 时, y 的最小值是1, 则 t=2 或 4; ⑤关于x 的方程[
有两个不相等的实数根.其中正确的是 .(填写序号)
第 192 页专题五 路径与最值 (1)——垂线段最短
核心考点一 先构造手拉手，再用垂线段最短
A
01.(2025 武 昌 期 中 )如图, Rt△ABC中, ∠ACB=90 ° , ∠A=30 ° , BC=4,
点D为AC边上一动点，将线段BD绕B点顺时针旋转60°，得到线
段 BE, 连 CE, 则CE 的最小值为 .
02. 如 图 , B (0,3),A 为 x 轴 上 一 动 点 , 将线段AB绕点A 顺时针旋转90°得AC, 连 OC, 则 OC
的最小值 .
核心考点二 先构造直角三角形斜边上的中线，再用垂线段最短
03. 如图, 在 △ ABC 中 , AB=5,AC=8, BC=7, 点D是BC上一动点, DE⊥AB于E, DF⊥AC于 F,
线段EF的最小值为
核心考点三 平移拼接得定直线
04. (2026 硚口期中) 如图, 在锐角等腰△ABC中, AB=AC, M, N分别是边AB, AC上的动点,连
接 MN. 若AM=CN, AB=10, S△ABC=30, 则MN的最小值是 .
第 193 页专题六 路径与最值(2)——两点之间，线段最短与线段拼接(新热点)
核心考点一 由旋转得到顶点距离等于定长，再用三边关系或者圆的穿心线
01. 如图, 在 Rt△ABC中,∠ACB=90°, 将△ABC绕顶点 C逆时针旋转得到. M 是 BC的中
点, P 是A'B'的中点, 连 接 PM. 若 BC =2, ∠BAC=30 ° , 则线段 PM的最大值是 .
02. 如图, 在锐角△ABC中, AB=4, BC=5, ∠ACB =45°,将△ABC绕点B 按逆时针方向旋转, 得到
△A₁BC ₁.点 E 为线段AB 中点,点 P 是线段 AC 上的动点,在 绕点 B 按逆时针方向旋转
过程中，点P的对应点是点 P₁，线段EP₁长度的取值范围是 .
核心考点二 先构造全等三角形转化线段，再拼接线段后利用三边关系求最值
03. (2024武汉三调) 如图, 在△ABC中, AC=BC, ∠ACB=90°. D, E, F 分别是边AB, AC, BC
上的点, CE=CF. 若 AD=2, BD=1, 则 DE+DF 的 最 小 值 是 .
1
A D B
04.如图，点E 是边长为8的正方形ABCD 的边 CD 上一动点，连接AE，将线段 AE 绕点E 逆时针
旋转90°到线段 EF,连接AF,BF,AF交边BC于点 G, 连 接 EG, 当AF+BF取最小值时, 线段
EG 的 长 为
.
B'
第 194 页专题七 路径与最值(3)——到定点距离等于定长(隐圆)
核心考点一 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半转化
01. 如图,AB 为⊙O的直径, C为⊙O上一点, 其中AB=4,∠AOC=120°, P为⊙O上的动点, 连接
AP, 取 AP 中 点 Q, 连 接 CQ, 则线段 CQ 的最大值为 .
C
02. 如图, 边长为4的正方形ABCD外有一点E, ∠AEB=90°, F为DE的中点, 连 接 CF, 则 CF的
最大值为 .
03.如图，在半径为2的⊙O内，点A为半径OP的中点，D为圆周上的动点，连接AD，过点A作
AD的垂线，交圆于点B，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，当动点D绕⊙O一周时，点C的路
程长为 .
核心考点二 利用平移转化
04. 在⊙O 中, 所对的圆心角. ,点C为⊙O上的动点,以AO,AC为边构造□AODC,
当 时，线段 BD最长.
B
第 195 页核心考点三 中位线
05. 如图, 在 Rt △ ABC 中 ,∠ACB=90 ° , AC=8, BC=6, 点D 是平面内的一个动点, 且 AD=3, M 为
BD的中点，在D 点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 ≤ ≤-2 .
06. 如图, 在平面直角坐标系中, ⊙M 交 x 轴 于 A(-1,0), B(3, 0) 两点, 交y轴于 C, D(0,
3) , 点 S 是 上一动点，N是OS的中点，则线段DN的最小值是 .
核心考点四 构造全等拼接线段
07.正方形 ABCD边长为4,点O为边AB的中点,平面内一点 P,OP=2,点E为线段 OP 的中点,
连 接 DP,BE, 则BE+DP的最小值为 .
08. 如图, ∠PAQ=90°, B, C分别是射线AP和AQ上的两个动点, O是 BC中点, AO长始终为1,
延长AB至 M, 使 BM=AC, 作∠AMN=45°交AQ于点 N, 连 接 ON, 则ON的最大值为 .
第 196 页专题八 路径与最值(4)——构造手拉手得定点距离等于定长(瓜豆原理)
01. 如 图 ,AB=2,BC=4, 点A是⊙B上任意一点, 点C为⊙B外一点, △ACD为等边三角形,则
△BCD的面积的最大值为 ( )
02.(2023 宜 宾 中 考 )如图，正方形ABCD的边长为5，O是AB边的中点，点E是正方形内一动点，
OE=2. 将线段CE绕 C 点逆时针旋转90°得CF, 连 OF, 则 OF的最小值为
2 .
03. 如图, 已 知 A(3, 0), B(0, 4) , 点P是第一象限内一动点, AP=3, 点M是点P绕点 B顺
时针旋转90°的对应点，则AM的最小值是 .
04.(2026 洪 山 期 中 ) 如图,平面直角坐标系中,已知A(4, 0), B(0, 1) , C (4, 2) , 线段
OA 上有一点 E，连 BE，且绕点 B 逆时针旋转90°得BF，则CF的最小值和最大值分别是 ( )
A. 9, 18 B. 9, 10 C. 3, 3 D. 3,
第 197 页专题九 路径与最值(5)——定角对定弦(隐圆)
核心考点一 定直角对定线段
01.(2020 江 汉 ) 如图, AB是半圆O的直径, 点C在半圆上, AB=5, AC=4, D是 上的一个动点，
连接AD. 过 点 C 作 CE⊥AD 于 E, 连 接 BE, 则BE的最小值是 .
核心考点二 寻找定角度对定线段
02.如图，已知以BC为直径的⊙O，A为 的中点，P为 上 任 意 一 点 ,AD⊥AP 交 BP 于 D, 连
CD, 若 BC=8, 则CD的最小值为 .
03. 如图, ⊙O半径为6, Rt△ABC的顶点A, B在⊙O上, ∠A=30°, ∠B=90°, 点C在⊙O内. 当
点A在圆上运动时，OC的最小值为 .
核心考点三 隐藏的定角对定弦与转化思想 B
04.(2026武汉二中月考)如图, Rt△ABC中, ∠ACB=90°, BC=4, 点D在射线AC上, 以BD 为边
作△BDE(B, D, E顺时针顺序) , 使得∠DBE=45°, 且 则点D 在运动过程中，CE
长度的最小值为 .
第 198 页专题十 路径与最值(6)一 -最长的弦(新热点)
方法：最长的弦是直径.
01. 如图,AB为⊙O的弦,AB=6,点C是⊙O上的一个动点,且. ,若点M,N分别是AB,
BC的中点，则MN长的最大值是 .
02. 如图,AB是⊙O的弦, 点C是优弧AB上的动点(C不与A, B重合), CH⊥AB, 垂足为H,
点M是BC的中点.若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是 .
C
03.如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且 ,E,F 分 别 是 AC,BC 的 中 点 , 直
线 EF 与 ⊙O 交 于 点 G,H. 若⊙O的半径为2, 则( FH的最大值为 .
04.如图，⊙O的半径为5，弦BD的长为6，延长BD至点A，使得点 D为AB的中点，在⊙O上任
取一点C, 连接AC, BC, 则 的最大值为 .
第 199 页专题十一 路径与最值(7)——切线最值与米勒问题、千斤顶最值(新热点)
核心考点一 切线最值
01. 已知Rt△ABC中, ∠ACB=90 ° ,AC=BC=6, ⊙C的半径为1, 点P 是斜边AB上一动点, 过P 点
作⊙C的切线，切点为Q，则PQ长度的最小值为 .
Ω
核心考点二 米勒问题——隐切圆
02. 如图, △ABC中, ∠C=90°, BC=5, D为BC边上一点,( ，E为边AC上一动点，
当∠BED 最大时 CE 的长为 .
03.如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB 方向行走.已知
MN=2OM=40 m, 当观景视角∠MPN最大时, 游 客 P 行 走 的 距 离 OP 是 m.
核心考点三 千斤顶问题——隐切圆
04. 在 Rt△ABC中, ∠BAC=90°, AC=AB=4, D, E 分别是AB, AC的中点, 若等腰 绕点A
逆时针旋转, 得到等腰Rt△AD₁E₁, 记直线 BD₁与( 的交点为P，则点P到AB 所在直线的距
离的最大值为 .
第 200 页第二模块 几何证明与计算综合题
专题一 直线型证明与计算 (1)—— 旋 转 与三垂直
01. (2026江岸期中) 如图, △ ABC 中 ,∠ABC=45 ° .
问题背景 如图1，将CA绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，作 于点D，求证：
问题探究 如图2，将CA绕点C逆时针旋转90°得到线段 CE，连接AE，过AE中点F作FH⊥BC
于点H, 求证: BH=CH;
问题拓展 如图3，将AC绕点A逆时针旋转90°得到线段AM，连BM，点N，P分别为BM，AC
中点，连NP，若 则 NP= .
图2
第 201 页专题二 直线型证明与计算( 2 )——手拉手与解三角形
01.(2024 江 岸 期 末 ) 操作与思考:(1) 如图1, 在△AOB中, 以AB为
边按逆时针方向作等边 连接OC，请你以AO为边按顺时针方向作等边 再连接
BD, 直接写出OC的长 ;
迁移与应用: (2) 如图2, 在△AOB 中, 以AB 为斜边按逆时针方
向作 其中 ,若D为OB 中点, 连 接 CD, 求CD 的长;
拓展与创新：(3)如图3，△ABC和△ADE均为等边三角形， M为BC中点，连
接 DM,EM 和 BD, 当, 时，直接写出BD的长 .
图2
第 202 页专题三 直线型证明与计算(3)——手拉手与证中点
01. (2026洪山期中) 点D是等边 内一点，点E是边AC的中点， 连 接 BD,
CD, DE.
(1) 如图1, 若将 绕点 C逆时针旋转( 得 (T 与 D 对 应 ) , 连 接 DT.
①直接写出 ②证明：
(2) 如图2, 若. 直接写出 的最小值为 .
x
第 203 页02. (2026 东湖期末) 在 中， 将 绕点A 逆时针旋转( 得
到 点B的对应点为点D，点C 的对应点为点E.
(1)如图1,若 BC的延长线交DE于点 F.求证:
(2) 连 接 BD, EC.
①如图2，延长EC交BD于点G，求证：点G是BD的中点；
② 如 图 3,EC 与 BD,AD 分 别 交 于 点 G,K. 若 请直接写出. 的值.
图3
第 204 页专题四 直线型证明与计算 (4)——手拉手与隐切线(千斤顶)最值
01. (2026洪山期末) 已知在 和△AEF中, 且满足.
(1) 问题提出: 如图1, 连接BE, CF, 证明:
(2) 问题探究：如图2，当( 时，连接CF，与BE的延长线交于点H，求 的度数；
(3) 拓展应用：如图3，当( 时，直线BF与直线CE交于点P，当BP
长度最小时，直接写出
图1 图2 图3
第 205 页专题五 直线型证明与计算(5)——手拉手与定角定直线最值
01.(2026青山期末)已知四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD相交于点O,E为对角线BD 上一
动点,连接CE. 将△BCE绕点 C 顺时针旋转得到△DCF,连接EF.
(1)如图1，直接写出所有与∠DEF 相等的角；
(2) 延长DF, BC相交于点G, ∠G=90°.
①如图2, 求证: OE=FG;
②如图3，M为EF的中点，若菱形ABCD的边长为n，则DM的最小值为 .( 用 含 n
的代数式表示)
图1 图2 图3
第 206 页专题六 直线型证明与计算(6)——手拉手与双中点、路径长
01. 问题背景: (1) 如图1,将△ADB绕点A逆时针旋转α得到△AEC, 此时B, E, C三点在同一
直线上, 求证: BA平分∠DBC;
尝试运用: (2) 如图2, 在 (1) 的条件下, α=120°,连 接 DE, 点F为BC的中点, 点 G 为 DE
的中点, 连 接 FG, 求证: FG⊥AB;
拓展创新: (3) 如图3, 在△ABC中, 点 D 为线段BC上一动点，在
AD 左侧作Rt△AED, ∠AED=90 ° ,∠ADE=30 ° , 当点 D从点 B运动至点 C的过程中,点 E的运
动路径长为 .
ˊ
第 207 页专题七 直线型证明与计算 (7)——旋转与等腰对补角
01. (2026武珞路中学期中)在等边△ABC中, 于D，点E为AB边上一点，点F
为线段 AD上一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EG.
(1)当点 E 与点A 重合时.
①如图1，连接GF，若GF的延长线过点 C，连接BG，则线段.
②如图2，若 连 接 BG, CF. M,N 分 别 为 BG, CF 的 中 点 , 连 接 AM,AN 和
MN, 求线段 MN的长;
(2) 如 图 3, 点E不与点A, B重合, 若 GF的延长线交AC边于点H，连接EH，
DG. 当△EGH的周长最小时, DG= .
4
图1
第 208 页专题八 直线型证明与计算 (8)——旋转与平行四边形
01.(2026 江 岸 期 末 ) 已知等边△ABC, 点E在边AC上.
问题背景: 如图1, 点 D 在 边 AB 上 ,AD=CE, 线段CD, BE交于点 F, 求证:
问题探究：如图2，将图1中线段AD绕点A 逆时针旋转 得到AD',点 G 为BC边上的点,
且 BC=3CG, 连接D'G 交BE 于点H, 0°,求 的值.
问题延伸: 如 图 3, 点 D 在 直 线 AB 上 , 且 AD=CE, 点 M,N 分 别 为 AE,CD 的 中 点 , 若 .
直接写出
第 209 页02. (2026 江 夏 期 中 ) 在等边 中，点F 是AC延长线上一点，点 D 是线段 BC 上一点，将 DF
绕点 D逆时针旋转 得到DE.
(1)如图1,若点 E 恰好落在 AB边上,点 D 是 BC的中点, 交AB 于点 G,求证:
(2) 如 图 2, 若 且 连 接 AE, AD, 求证:
(3) 如 图 3, 若( 连接CE，AE，当CE 最小时，直接写出四边形ACDE的
面积.
图1
第 210 页专题九 直线型证明与计算 (9)——旋转与夹半角
01.(1)【问题背景】如 图 1, 在 △ ABC 中 ,AB=AC,∠BAC=2α,D,E 为 BC 边 上 的 点 , 且 ∠DAE=α,
△ACE 绕点 A 顺时针旋转2α得到△ABF,连接DF,直接写出 DF 与 DE 的数量关系:
;
(2)【类比探究】如图2,在△ABC中,∠CAB=60°,AB=AC,D,E均为BC边上的点,且.
求 DE 的长;
(3)【拓展应用】如图3,E是正方形ABCD 内一点,∠AEB=90°,F是BC边上一点,且.
若AB=2,请直接写出当DE取最小值时 CF= .
图3
第 211 页专题十 直线型证明与计算 (10)——中心对称与解三角形
01.(2026 硚 口 期 末 )如图，在等边△ABC中，点E在AC边上(端点除外)，D为BC延长线上一
点, 连 接 BE, DE, 且 BE=DE.
(1) 如图1, 点F 在BC边上, 且△ECF为等边三角形.
①求证: AE=BF; ②求证: AE=CD.
(2) 连接AD, M为AD的中点.
①如图2,连接CM,探究 DE 与 CM的数量关系;
②如图3, 连 接 EM, 若 EC=EM, 直接写出 的值.
第 212 页专题十一 直线型证明与计算(11)——旋转与千斤顶最值
01.如图，两个等腰直角△ABC和 中, ∠ACB=∠DCE=90 ° .
(1) 观察猜想：如图1，点E 在 BC上，线段AE 与 BD 的数量关系是 ，位置关系
是 :
(2) 探究证明：把 绕直角顶点 C 旋转到图2的位置，(1)中的结论还成立吗?说明理由；
(3) 拓展延伸：把 绕点 C 在平面内转动一周，若 , AE, BD交于
点 P时，连接CP，直接写出 最大面积.
图1 图2 图3
第 213 页专题十二 直线型证明与计算(12)——旋转与定角夹定高之探照灯问题
01.(2026七一中学月考)已知正方形ABCD中,E为边AB上一点, ,连接EC,过 D 作
于 M.
(1) 将 绕点 D 逆时针旋转 得到 请作出图形；
(2) 在 (1) 的条件下, 连接AF, 交 DM 于 N, 求证:
(3) 如图2, P为BC上一点, 当∠EDP=60°时, 请直接写出 面积最小值为 .
第 214 页第三模块 抛物线综合题
专题一 抛物线综合题 (1)——抛物线与等边三角形、定点
01.(2026蔡甸、黄陂、新洲期末联考)将抛物线. 向右平移1个单位，再向下平移2 t (t>0)
个单位，得到抛物线
(1)直接写出抛物线( 的解析式： (用含t的式子表示)；
(2)如图1，抛物线 的顶点为M，抛物线( 与直线. 交于A, B两点, 连接MA, MB, 若
为等边三角形，求t的值；
(3)如图2，在(2)的条件下，一次函数. 与抛物线 交于 C，D两点，过点
C的直线 交抛物线于另一点 E.求证：直线DE恒过定点，并求出该定点坐标.
第 215 页专题二 抛物线综合题 (2)—— 抛 物 线 与 等 线 段
01. (2026 东湖期末) 抛物线 与x轴交于A，B两点，与直线 交于B，C两点.
(1)求点 C的坐标;
(2)如图1，若点 D 在抛物线L₁上，且满足. 求点 D 的横坐标；
(3)如图2，将抛物线 向右平移得到抛物线 使抛物线. 的顶点 E在y轴上.直线y=1
与抛物线. 交于 F，G两点，直线 分 别 交 直 线 EF,EG 于 点 M,N. 若( 试探
究m与n的数量关系.
图2
第 216 页专题三 抛物线综合题 (3)——抛物线与等角、定值
01.(2026汉阳期末)在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线 交x, y轴于A, B,
C 点.若
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，连接AC，BC，第四象限上的抛物线上存在点 D，连DA，使 请求
D 点坐标；
(3)如图2，E为抛物线上的点，直线BE交y轴于F点，过点B作AE的平行线交y轴于点G，
求 GF的长.
图2
第 217 页专题四 抛物线综合题 (4)——抛物线与面积、定点
01. (2026 江岸期末) 如图1, 抛物线 交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴
于点B, 交y轴负半轴于点C, OB=OC=2.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在线段AO 上，射线 CD交抛物线于另一点F，若 求出点 F的横坐标满
足的范围；
(3)如图2，将抛物线进行平移，使点C为平移后的抛物线的顶点，点T为平移后的抛物线第一
象限上的一动点，已知点 直线TP，TQ 分别交平移后的抛物线
于另外的点 M，N，试证明直线MN过定点，并求出该定点的坐标.
第 218 页专题五 抛物线综合题(5)——抛物线与公共点、平行四边形
01. (2026武汉四调) 如图1,抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，
交y轴于点 C.
(1) 求A, B, C三点的坐标;
(2) 线段 MN的端点坐标分别是 M(m,0) , 若线段 MN与抛物线只有一个公共
点，直接写出m的取值范围；
(3)如图2，点D 与点O关于点C中心对称，过点D的直线交抛物线于E，F两点，直线 OE交
抛物线于另一点G.试说明y轴上总存在点 H，使四边形DFHG 是平行四边形.
第 219 页专题六 抛物线综合题(6)——抛物线与对称点、定点
01. (2026 江 岸 期 中 ) 如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点， 与y轴交于
点 C (0, -3) .
(1)求抛物线的解析式；
(2) 过 点 C 的 直 线 与x轴交于点 D，点P为y轴右侧的抛物线上一点，过P作
轴交直线CD于点E.若点E'是点 E 关于直线PC的对称点，且点 E'落在y轴上，求点 P的
横坐标；
(3)如图2，将抛物线C₁向左平移2个单位得到抛物线C₂，不过原点的直线l₁与抛物线( 交于
点M，交y轴的正半轴于点F，直线 直线l₂和抛物线( 有且只有一个公共点N，若
CF=CM+4，请你证明直线 MN恒过定点，并求出这个定点的坐标.
图1
第 220 页专题七 抛物线综合题 (7)——抛物线与线段最值、定直线上的动点
01.(2025新洲期中)已知抛物线 与x轴交于点A，B(点A 在点B的左侧)，与y轴交于
点 C.
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点， 于点 D，求 PD的最大值；
(3)如图2，M，N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线
上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标.
第 221 页专题八 抛物线综合题(8)——抛物线与等面积、图形的唯一存在性
01.(2026 武 汉 二 中 月 考 )已知抛物线 与 x 轴 交 于 A(-1, 0) , B (3, 0) 两点.
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线与y轴交于点C，在抛物线上存在点 P，使 求 P 点坐标；
(3) 已知直线l: y=2x-1, 将抛物线沿. 方向平移，平移过程中与l相交于E、F两点.设
平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在一点P，使 求m 的范围.
图2-2
第 222 页专题九 抛物线综合题 (9)—— 抛 物 线 与 等 角 、 圆
01.(2025武昌三校期中联考)如图1，在平面直角坐标系xOy中，开口向上的抛物线. 与
x轴交于A, B(1, 0) 两点, 与y轴交于点C, 且(
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点 G 为抛物线上一点，当 时，直接写出点 G 的坐标；
(3)如图2，若M为线段AB的中点，N为抛物线的顶点，⊙T经过A，B，C 三点.经过圆心T
的直线交抛物线于D，E两点，直线ND交x轴于点 P，直线NE交x轴于点Q.求 MP•MQ
的值.
第 223 页
