文档内容
七年级下册数学《第六章 实数》
6.3 实 数
无理数的概念
知识点一
◆1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数.
◆2、常见的无理数的三种形式：
π
(1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3， ；
2
√2 √ 3 3
(2)开方开不尽的数，如： ， 等；
(3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等.
实数的概念和分类
知识点二
◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
◆2、实数的分类：
（1）按定义分类．
（2）按性质分类.实数与数轴的关系
知识点三
◆1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上
的每一个点都表示一个实数.
◆2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数
大.
◆3、实数的大小比较
①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；
②两个正实数，绝对值大的数较大；
③两个负实数，绝对值大的数反而小.
实数的性质
知识点四
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一
样．
◆1、 数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
◆2、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
{ a(a＞0)
即设a表示任意一个实数，则 |a| = 0(a=0)
−a(a＜0)
实数的运算
知识点五
◆1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，
而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
◆2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘
方、
开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号
里的.
◆3、实数的运算律.
①加法交换律： a＋b＝b＋a；
②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)③乘法交换律： ab＝ba；
④乘法结合律：(ab)c＝a(bc)
⑤分配律： a(b＋c)＝ab＋ac.
题型一 无理数的识别
【例题1】（2022秋•皇姑区校级期末）下列各数中，无理数是（ ）
π
A． B．√16
2
C．0.25 D．0.1010010001
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整
数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．π
【解答】解：A． 是无理数，故此选项符合题意；
2
B．√16=4，4是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C．0.25是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D．0.1010010001是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，掌握带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理
数是解题的关键．
解题技巧提炼
（1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结
果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数；
（2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓
住两点：一是无限小数；二是其形式不循环.
11
【变式1-1】（2022秋•碑林区校级期末）在实数﹣2， ，√9，√3−27，√11中的无理数是 ．
7
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整
数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：﹣2，√9=3，√3−27=−3，是整数，属于有理数；
11
是分数，属于有理数；
7
无理数是√11．
故答案为：√11．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理
数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【变式1-2】下列实数中，不是无理数的是（ ）
A．√2 B．π C．√33 D．﹣2
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整
数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A.√2是无理数；
B．π是无理数；
C.√33是无理数；
D．﹣2是整数，属于有理数．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；
以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
【变式1-3】下列说法错误的有（ ）
①无限小数是无理数；
②无理数都是带根号的数；
③只有正数才有平方根；
④3的平方根是√3；
⑤﹣2是（﹣2）2的平方根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得无理数，可判断①②；根据平方根，可判断③④⑤．
【解答】解：①无限循环小数是有理数，故①错误；
②无限不循环小数是无理数，故②错误；
③0的平方根是0，故③错误；
④3的平方根是±√3，故④错误；
⑤±√(−2) 2=±2，故⑤正确，
故选：D．
【点评】本题考查了无理数，注意无理数是无限不循环小数．
【变式1-4】（2022春•杜尔伯特县期中）下列语句正确的是（ ）
A．3.78788788878888是无理数
B．无理数分正无理数、零、负无理数
C．无限小数不能化成分数
D．无限不循环小数是无理数【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整
数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选
择项．
【解答】解：A、3.78788788878888是有限小数，是有理数，故选项错误；
B、0是整数，是有理数，故选项错误；
C、无限小数中的循环小数是分数，是有理数，无限不循环小数是无理数，不能写成分数，故选项错误；
D、正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；
以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
23 π
【变式 1-5】（2022 秋•高邮市期中）下列一组数：﹣8，2.7， ， ，0.66666…，0，2，
7 2
0.080080008…，其中是无理数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整
数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选
择项．
π
【解答】解： ，0.080080008…是无理数，
2
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；
以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
题型二 实数的分类
【例题2】（2022秋•丽水期中）把下列各数的序号填在相应的横线上：1 22
①﹣3.14，② 2π，③− ，④ 0.618，⑤−√16，⑥ 0，⑦﹣1，⑧+3，⑨ ，⑩﹣
3 7
0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）．
整数集合：{ ……}；
分数集合：{ ……}；
无理数集合：{ ……}．
【分析】利用整数、分数、无理数的定义分类填空．
【解答】解：整数有：⑤−√16=−4，⑥0，⑦﹣1，⑧+3；
1 22
分数有：①﹣3.14，③− ，④0.618，⑨ ；
3 7
无理数有：②2π，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1），
故答案为：⑤⑥⑦⑧；
①③④⑨；
②2⑩．
【点评】本题考查了实数的定义，解题的关键是掌握整数、分数、无理数的定义．
解题技巧提炼
本题采用分类法解答，可先把题目中所列各数分成有理数和无理数两类，再从有
理数中找整数及分数.
1
【变式2-1】（2021秋•社旗县期末）实数− ，−√6，0，﹣1中，为负整数的是（ ）
3
1
A．﹣1 B．−√6 C．0 D．−
3
【分析】根据实数的分类进行解答即可．
【解答】解：这一组数中的负整数是﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查的是实数，熟知实数的分类是解题的关键．
【变式2-2】（2022秋•宁波期中）下列实数：2，√3 9，1， √9 ， π ，− 7 ，0.3 ⋅ ，分数有（ ）
4 2 3A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【分析】根据实数的分类及分数的定义进行解答即可．
√9 7 ⋅
【解答】解：这一组数中的分数有： ，− ，0.3 共3个．
4 3
故选：B．
【点评】本题考查的是实数，熟知所有的分数都是有理数是解题的关键．
【变式2-3】（2022春•宜秀区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．实数包括有理数、无理数和零
B．有理数包括正有理数和负有理数
C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D．无论是有理数还是无理数都是实数
【分析】灵活掌握实数分类以及有理数和无理数概念，注意容易混淆的知识点．
【解答】解：有理数和无理数统称为实数，0属于有理数，故A错误，
有理数包括正有理数、负无理数和0，0既不是正数也不是负数，故B错误，
无限不循环的小数是无理数，故C错误，
实数分为有理数和无理数，故D正确．
故选：D．
【点评】考查了实数的概念，以及有理数和无理数概念及分类．
【变式2-4】（2022春•夏津县期末）下列说法中错误的是（ ）
17
A．√3−27是整数 B．− 是有理数
13
√3
C． 是分数 D．√9的立方根是无理数
3
【分析】根据立方根，算术平方根，有理数，无理数的意义，即可解答．
【解答】解：A、∵√3−27=−3，
∴√3−27是整数，
故A不符合题意；
17
B、− 是有理数，故B不符合题意；
13
√3
C、 是无理数，不是分数，故C符合题意；
3D、∵√9=3，3的立方根是√33，√33是无理数，
∴√9的立方根是无理数，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数，无理数的意义是解题的关键．
【变式2-5】（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内：
√2 √4 3
√33，−√4， ， ，− ，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）
5 9 4
【分析】根据无理数以及正实数的定义，在给定实数中分别挑出无理数以及正实数，此题得解．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
【变式2-6】（2021春•个旧市校级期中）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
1 π √3
− ，√3 9， ，3.14．−√327，0，﹣5.123456…，√0.25，−
5 2 2
（1）有理数集合：{ …}；
（2）无理数集合：{ …}；
（3）正实数集合：{ …}；
（4）负实数集合：{ …}；
【分析】根据实数的分类法填写即可．1
【解答】解：（1）有理数为：3.14，−√327，0，− ，√0.25；
5
1
故答案为：3.14，−√327，0，− ，√0.25；
5
π √3
（2）无理数为：√3 9， ，﹣5.123456…，− ；
2 2
π √3
故答案为：√3 9， ，﹣5.123456…，− ；
2 2
π
（3）正实数为：√3 9， ，3.14，√327，√0.25；
2
π
故答案为：√3 9， ，3.14，√0.25；
2
1 √3
（4）负实数为：− ，−√327，﹣5.123456…，− ；
5 2
1 √3
故答案为：− ，−√327，﹣5.123456…，− ．
5 2
【点评】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类方法是解本题的关键．
题型三 实数和数轴的关系
【例题3】（2022•海淀区校级模拟）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（
）
A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否．
【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；
B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；
C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；
D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．解题技巧提炼
根据“实数与数轴上的点一一对应”及“在数轴上右边的点总比左边的点表示的
数大”，我们可以把各数在数轴上表示出来，利用数形结合思想计较实数的大小.
【变式3-1】（2021春•南岸区期中）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足a＜b＜2，
则b的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
【分析】先判断b的范围，再确定符合条件的数即可．
【解答】解：∵1＜a＜2，
∴﹣2＜﹣a＜﹣1，
∵﹣a＜b＜a，
∴b只能是﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围．
【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．
【变式3-2】（2022春•鼓楼区期中）若将三个数−√2，√5，√10表示在如图所示的数轴上，则被墨迹覆
盖的数是三个数中的 ．
【分析】依据表示三个数−√2，√5，√10的点在数轴上的位置，即可得到被墨迹覆盖的数．
【解答】解：∵﹣2＜−√2＜−1，2＜√5＜3，3＜√10＜4，
∴被墨迹覆盖的数是三个数中的√5．
故答案为：√5．【点评】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一
个点都表示一个实数．
【变式3-3】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：
3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣4|，√2．
【分析】先计算﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，再利用数轴表示数的方法表示所给的6个数，然后写出
它们的大小关系．
【解答】解：﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，
用数轴表示为：
，
它们的大小关系为﹣|﹣4|＜﹣1.5＜0＜﹣（﹣1）＜√2＜3．
【变式3-4】（2022春•海安市校级月考）7、如图：数轴上表示1、√5的对应点分别为A、B，且点A为
线段BC的中点，则点C表示的数是（ ）
A．√5−1 B．1−√5 C．√5−2 D．2−√5
【分析】设C点表示的数为x，再根据中点坐标公式求出x的值即可．
【解答】解：设C点表示的数为x，则
x+√5
=1，
2
解得x＝2−√5．
故选：D．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
1
【变式3-5】（2022秋•邢台期中）如图，有一个半径为 个单位长度的圆，将圆上的点A放在原点，并
2
把圆沿数轴逆时针方向滚动一周，点A到达点A'的位置，则点A'表示的数 ；若点B表示的数是−√10，则点B在点A'的 （填“左边”、“右边”）．
【分析】因为圆从原点沿数轴向左滚动一周，可知 OA′＝π，再根据数轴的特点及π的值即可解答；比
较﹣π与−√10的大小即可求解．
1
【解答】解：∵圆的周长为π×2× =π，
2
∴OA′＝π，
故A′点表示的数是﹣π，
∵（﹣π）2≈9.8282，（−√10）2＝10，
∴﹣π＞−√10，
∴点B在点A′的左边．
故答案为：﹣π；左边．
【点评】本题考查的是实数与数轴的特点，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．
【变式3-6】（2022秋•宁波期中）如图，数轴上点A到点B的距离与点B到点C的距离相等，若点B表
示1，点C表示√7，则点A表示的数是 ．
【分析】设点A表示的数是x，根据数轴上两点间的距离的表示列出方程求解即可．
【解答】解：设点A表示的数是x，
由题意得，1﹣x=√7−1，
解得x＝2−√7．
故答案为：2−√7．
【点评】本题考查了实数与数轴，主要利用了数轴上两点间的距离的表示，是基础题．
【变式3-7】（2022秋•西安月考）如图，已知实数−√5，﹣1，√5，3，其在数轴上所对应的点分别为
点A，B，C，D．
（1）求点C与点D之间的距离；（2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值．
【分析】（1）根据数轴上两点间距离的计算方法进行计算即可得出答案；
（2）先根据数轴上两点间距离的计算方法计算出a的值，再求a﹣b即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
点C与点D之间的距离为3−√5；
（2）根据题意可得，
a＝|﹣1+√5|=√5−1，b＝3−√5，
a﹣b=√5−1﹣（3−√5）＝2√5−4．
【点评】本题主要考查了实数与数轴及数轴上两点间距离，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系
及数轴上两点间距离的计算方法进行求解是解决本题的关键．
题型四 实数的大小比较
【例题4】在﹣1，0， ，√3这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1 πB．0 C． D．√3
【分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；π ②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负
数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜√3＜π，
∴在这四个数中，最大的数是π．
故选：C．
【点评】此题考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；
②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．解题技巧提炼
1、①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对
值大的其值反而小．
2、比较实数大小比较的常用方法有：（1）取近似值法（或估算法）；（2）平方
法（或立方法）（脱去根号比较）.当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较
时，首选的方法就是把有理数还原成带根号的形式，比较被开方数，也可采用近
似值的方法来比较大小.
【变式4-1】（2022•沂源县一模）在3，−√3，0，2这四个数中，最小的一个数是（ ）
A．3 B．−√3 C．0 D．2
【分析】根据实数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小即可求解．
【解答】解：在3，−√3，0，2这四个数中，最小的一个数是−√3．
故选：B．
【点评】此题考查了实数大小比较，可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个
负数的大小．
【变式4-2】三个数﹣ ，﹣3，−√3的大小顺序是（ ）
A．﹣3＜﹣ ＜−√3πB．﹣ ＜﹣3＜−√3 C．﹣ ＜−√3＜−3D．﹣3＜−√3＜−
【分析】先对π无理数进行估算π，再比较大小即可． π π
【解答】解：﹣ ≈﹣3.14，−√3≈−1.732，
因为3.14＞3＞1.π732．
所以﹣ ＜﹣3＜−√3．
故选：πB．
【点评】本题考查了同学们对无理数大小的估算能力及比较两个负数大小的方法，即两个负数相比较，
绝对值大的反而小．
1
【变式4-3】设a为实数且0＜a＜1，则在a2，a，√a， 这四个数中（ ）
a
1 1 1 1
A． ＞a＞√a＞a2 B．a2＞a＞√a＞ C．√a＞a＞ ＞a2 D． ＞√a＞a＞a2
a a a a
【分析】根据正数比较大小的法则进行解答即可．【解答】解：∵0＜a＜1，
1
∴0＜a2＜a＜√a＜1， ＞1，
a
1
∴ ＞√a＞a＞a2．
a
故选：D．
【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．
【变式4-4】比较2，√5，√37的大小，正确的是（ ）
A．2＜√5＜√37 B．2＜√37＜√5 C．√5＜√37＜2 D．√37＜2＜√5
【分析】把2转化为√4，√38，即可比较大小．
【解答】解：∵2=√4，
∴√5＞2，
∵2=√38，
∴2＞√37，
∴√5＞2＞√37，
即√37＜2＜√5，
故选：D．
【点评】本题考查了实数大小的比较，解决本题的关键是把2转化为√4，√38．
【变式4-5】比较大小：−√3 ﹣1.5．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，
据此判断即可．
【解答】解：(−√3)
2=3，（﹣1.5）2＝2.25，
∵3＞2.25，
∴−√3＜−1.5．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞
负实数，两个负实数绝对值大的反而小，两个负数平方大的反而小．
【变式4-6】比较大小：2√11 3√5．【分析】首先将根号外的因式移到根号内部，进而利用实数比较大小方法得出即可．
【解答】解：∵2√11=√44，3√5=√45，
∴2√11＜3√5．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确将根号内的数字移到根号内部是解题关键．
√3−1 1
【变式4-7】（2021秋•新津县校级月考）比较大小： ，3√2 2√3．
2 2
【分析】（1）比较出两个数的差的正负，即可判断出它们的大小关系．
（2）首先比较出两个数的平方的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出
原来的两个数的大小关系即可．
√3−1 1 √3
【解答】解：（1）∵ − = −1＜0，
2 2 2
√3−1 1
∴ ＜ ．
2 2
（2）(3√2) 2=18，(2√3) 2=12，
∵18＞12，
∴3√2＞2√3．
故答案为：＜、＞．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞
负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．
题型五 求一个的数的相反数或绝对值
【例题5】实数−√3的绝对值是（ ）
√3 √3
A．√3 B．− C．−√3 D．
3 3
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：实数−√3的绝对值是：√3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
解题技巧提炼
1、 求一个数的相反数时，结果符号相反、绝对值不变；即数a的相反数是-a，
这里a表示任意一个实数.
2、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
【变式5-1】√2的相反数是（ ）
1
A．−√2 B．√2 C． D．2
√2
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答
即可．
【解答】解：根据相反数的含义，可得
√2的相反数是：−√2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成
对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
【变式5-2】|−√2|的平方是（ ）
A．−√2 B．√2 C．﹣2 D．2
【分析】运用平方运算的法则运算即可．
【解答】解：|−√2|的平方是2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方运算的法则，熟练掌握法则是解答此题的关键．【变式5-3】填空：
（1）√5的相反数是 ，绝对值是 ；
（2）√3−1的相反数是 ，绝对值是 ；
（3）若|x|=√3，则x＝ ．
【分析】根据相反数和绝对值的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）√5的相反数是−√5，绝对值是√5；
（2）√3−1的相反数是1−√3，绝对值是√3−1；
（3）∵|x|=√3，
∴x=±√3．
故答案为：（1）−√5，√5；
（2）1−√3，√3−1；
（3）±√3．
【点评】本题考查了实数的性质，算术平方根，掌握绝对值等于√3的数有2个是解题的关键．
【变式5-4】（2022秋•辉县市校级月考）√5−2的相反数是 ；√81的平方根是 ．
【分析】根据算术平方根，平方根，相反数的定义求解即可．
【解答】解：√5−2的相反数是2−√5；√81=9的平方根是±3．
故答案为：2−√5；±3．
【点评】本题考查了实数的性质，算术平方根，平方根，相反数，先求出√81的值，再求它的平方根是解
题的关键．
【变式5-5】（2021•市南区模拟）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．﹣2与√(−2) 2 B．﹣2与√3−8 C．2与（−√2）2 D．|−√2|与√2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确；
B、是同一个数，故B错误；
C、是同一个数，故C错误；
D、是同一个数，故D错误；
故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，利用了只有符号不同的两个数互为相反数．
【变式5-6】（2021秋•莲湖区校级月考）已知√31−3b与√32a+1互为相反数，求3﹣6a+9b的平方根．
【分析】根据立方根和相反数的意义先求出﹣2a与3b的关系，再整体代入求出3﹣6a+9b的平方根．
【解答】解：∵√31−3b与√32a+1互为相反数，
∴√31−3b+√32a+1=0．
∴√31−3b=−√32a+1．
∴1﹣3b＝﹣（2a+1）．
∴﹣2a+3b＝2．
∴3﹣6a+9b
＝3+3（﹣2a+3b）
＝3+3×2
＝9．
∵9的平方根是±3，
∴3﹣6a+9b的平方根是±3．
【点评】本题考查了平方根的计算，掌握相反数的意义、立方根的性质是解决本题的关键．
【变式5-7】（2022春•如皋市校级月考）已知|x|=√5，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值．
【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案．
【解答】解：∵|x|=√5，
∴x＝±√5，
∵y是11的平方根，
∴y＝±√11，
∵x＞y，
∴当x=√5，则y=−√11，
故x+y=√5−√11，
当x=−√5，则y=−√11，
故x+y=−√5−√11，
综上所述：x+y的值为√5−√11或−√5−√11．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确分类讨论是解题关键．题型六 有关数轴与绝对值的化简
【例题6】（2022秋•大竹县校级期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|−√a2的结果是（
）
A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b
【分析】首先由数轴可得a＜b＜0，然后利用算术平方根与绝对值的性质，即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：a＜b＜0，
∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b|−√a2=|a﹣b|﹣|a|＝（b﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a+a＝b．
故选：C．
【点评】此题考查了数轴、算术平方根与绝对值的性质．此题难度适中，注意√a2=|a|．
解题技巧提炼
本题给出数轴上一些实数，求一些含绝对值的式子的和,方法是先去掉绝对值符
号，再进行合并计算.
【变式6-1】实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|√3−b|+|a+√3|+√a2的值 ．
【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：a＜−√3，0＜b＜√3，
故|√3−b|+|a+√3|+√a2=√3−b﹣（a+√3）﹣a
=√3−b﹣a−√3−a
＝﹣2a﹣b．
故答案为：﹣2a﹣b．
【点评】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．
【变式6-2】实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简 √(a−b) 2−|a+c|+√(c−b) 2−|b|
【分析】利用数轴首先得出各式的符号，进而化简得出答案．
【解答】解：如图所示：a﹣b＜0，a+c＜0，c﹣b＜0，b＞0，
则原式＝b﹣a+a+c+b﹣c﹣b
＝b．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确判断出各式的符号是解题关键．
【变式6-3】（2021春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：
√c2+|a+b|+√3 (a+b) 3−|b﹣c|．
【分析】直接利用数轴得出c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，再化简求解．
【解答】解：由数轴可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，
原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c）
＝b．
【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．
【 变 式 6-4 】 实 数 a ， b ， c 表 示 在 数 轴 上 如 图 所 示 ， 完 成 下 列 问 题 ， 试 化 简 ：
√(a−c) 2−|b−a|+√3 (b−c) 3．
【分析】根据题意可得：b＜0＜a＜c，从而可得a﹣c＜0，b﹣a＜0，然后利用二次根式的性质，绝对值，立方根的意义进行化简计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：
b＜0＜a＜c，
∴a﹣c＜0，b﹣a＜0，
∴√(a−c) 2−|b−a|+√3 (b−c) 3
＝c﹣a﹣（a﹣b）+b﹣c
＝c﹣a﹣a+b+b﹣c
＝2b﹣2a．
【点评】本题考查了整式的加减，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式6-5】（2022秋•保定月考）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B
表示√3，设点A所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求（m+2）2+|m+1|的值 ．
【分析】（1）根据实数与数轴上的点是一一对应关系进行计算即可得出答案；
（2）把（1）中m的值代入进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
m=√3−2；
故答案为：√3−2；
（2）m+1=√3−2+1=√3−1，
∵1＜√3＜2，
∴0＜√3−1＜1，
（m+2）2+|m+1|
＝（√3−2+2）2+|√3−1|
＝（√3）2+√3−1
＝3+√3−1
＝2+√3．
故答案为：2+√3．
【点评】本题主要考查了实数与数轴及绝对值，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及绝对值的
性质进行求解是解决本题的关键．题型七 实数非负性的应用
【例题7】（2022春•涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+√5−c=0．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）求√a−3b+c的平方根．
【分析】（1）直接利用非负数的性质结合偶次方的性质、绝对值的性质、算术平方根的性质得出 a，
b，c的值；
（2）直接利用平方根定义得出答案．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|2b+6|+√5−c=0，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，c＝5；
（2）由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，
则√a−3b+c=√2−3×(−3)+5
＝4，
故√a−3b+c的平方根为：±2．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关性质得出a，b，c的值是解题关键．
解题技巧提炼
几个非负数的和等于零，则每个非负数的值都等于零，据此得出关于字母的方
程，运用方程思想求相关字母的值.
【变式7-1】已知m，n是实数，且√2m+1+|3n−2|=0，求m2+n2的平方根．
【分析】根据算术平方根与绝对值的和为0 可得算术平方根与绝对值同时为0，可得答案．
【解答】由题意得：
2m+1＝0，3n﹣2＝0，1 2
∴m=− ，n= ，
2 3
1 2 1 4 25
∴m2+n2＝（− ）2+（ ）2= + = ，
2 3 4 9 36
5
∴m2+n2的平方根是± ．
6
【点评】本题考查非负数的性质，根据算术平方根与绝对值的和为0 可得算术平方根与绝对值同时为0．
【变式7-2】已知|a+1|+√3a−2b−1=0，求4a+5b2的算术平方根．
【分析】根据平方与绝对值的和为零，可得平方与绝对值同时为零，可得 a、b的值；将a和b的值代入
待求式，求值，并求其算术平方根即可．
【解答】解：∵|a+1|+√3a−2b−1=0，
∴a+1＝0，3a﹣2b﹣1＝0，
∴a＝﹣1，b＝﹣2，
∴4a+5b2＝4×（﹣1）+5×4＝16，
∴4a+5b2的算术平方根为4．
【点评】本题考查了算术平方根，利用了平方与绝对值的和为零，得出平方与绝对值同时为零是解题关
键．
【变式7-3】（2022秋•原阳县月考）若 √ a− 1 b+|b3﹣8|＝0，求 1 (−3ab2 ) 2 的值．
2 4
【分析】直接利用绝对值和算术平方根的非负数性质得出a，b的值，进而得出答案．
√ 1
【解答】解：∵ a− b+|b3﹣8|＝0，
2
{ 1
a− b=0
∴ 2 ，
b3−8=0
{a=1
解得 ，
b=2
1 1 1
∴ (−3ab2 ) 2= ×(−3×1×22 ) 2= ×(−12) 2= 36．
4 4 4
【点评】此题主要考查了非负数性质，正确得出a，b的值是解题关键．
【变式7-4】（2021秋•抚州期末）已知|a|+a＝0，且|a2﹣1|+（b﹣2）2+√3−c=0，求a﹣b+4c的平方
根．
【分析】根据非负数的性质求出a、b、c的值，代入a﹣b+4c计算求出的值，最后根据平方根的定义得出答案．
【解答】解：∵|a2﹣1|+（b﹣2）2+√3−c=0，
∴a2﹣1＝0，b﹣2＝0，3﹣c＝0，
解得a＝±1，b＝2，c＝3，
∴2A﹣B
又∵|a|+a＝0，
∴a＝﹣1，
∴a﹣b+4c＝﹣1﹣2+4×3＝9，
∴a﹣b+4c的平方根是±3．
【点评】此题主要考查了非负数的性质和平方根的的定义，解答此题的关键是能够根据非负数的性质正
确求出a、b、c的值．
【变式7-5】（2022春•孟村县期中）已知|2a+b|与√3b+12互为相反数．
（1）求2a﹣3b的平方根；
（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．
【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依据平方根的定义求
解即可；
（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．
【解答】解：由题意，得2a+b＝0，3b+12＝0，解得 b＝﹣4，a＝2．
（1）∵2a﹣3b＝2×2﹣3×（﹣4）＝16，
∴2a﹣3b的平方根为±4．
（2）把b＝﹣4，a＝2代入方程，得2x2+4×（﹣4）﹣2＝0，即x2＝9，
解得x＝±3．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解
题的关键．
题型八 实数的运算
【例题8】（2022春•海淀区校级月考）计算：（1）|√10−3|+|√10−4|+√3−27；
1
（2）|√3−2|+√3−8× +(−√3) 2 ．
2
【分析】（1）先化简绝对值，并化简立方根，加减计算出结果；
（2）先化简绝对值，化简立方根和算术平方根，和乘方，再计算乘法，最后再加减计算出结果．
【解答】解：（1）原式=√10−3+4−√10+(−3)
＝1﹣3
＝﹣2；
（2）原式=2−√3−1+3
=4−√3．
【点评】本题考查绝对值化简，开方运算，乘方运算，乘法运算，能够掌握运算顺序是解决本题的关键．
解题技巧提炼
实数的混合运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减
法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.有理数的运算律实
数同样适用，在运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照
所求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.
【变式8-1】计算|√327|+|−√16|+√4−√38的值是（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．7
【分析】原式利用立方根，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝3+4+2﹣2
＝7．
故选：D．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式8-2】计算：﹣12+√3 52+102− √ 3 1 −|− 1 |．
16 4
【分析】直接利用平方运算，算术平方根和立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
√49 1
【解答】解：原式＝﹣1+√325+100− −
16 47 1
＝﹣1+5− −
4 4
＝2．
【点评】本题主要考查了平方、立方根、算术平方根、绝对值、实数运算，正确掌握相关性质和运算法
则是解题关键．
【变式8-3】计算：﹣22+√36−√3−64−|√5−2|．
【分析】分别按照乘方、求平方根、求立方根及绝对值的化简法则化简，再合并同类项及同类二次根式
即可．
【解答】解：﹣22+√36−√3−64−|√5−2|
＝﹣4+6+4−√5+2
＝8−√5．
【点评】本题考查了乘方、求平方根、求立方根及绝对值的化简等实数运算，熟练掌握相关性质及定理
是解题的关键．
【变式8-4】（2022秋•江都区月考）计算：
（1）√(1−2) 2+√3 (−2) 3+ √ 1 7 ；
9
（2）|1−√3|+（﹣2）2−√3．
【分析】（1）利用算术平方根的定义，立方根的定义计算；
（2）利用绝对值的定义，乘方运算计算．
【解答】解：（1）√(1−2) 2+√3 (−2) 3+ √ 1 7
9
4
＝1+（﹣2）+
3
4
＝1﹣2+
3
1
= ；
3
（2）|1−√3|+（﹣2）2−√3
=√3−1+4−√3
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的定义，
乘方运算．
【变式8-5】计算：（1）−12020+√364−(−2)×√9；
（2）−12022+√(−2) 2−√327+|2−√3|．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，立方根性质，以及算术平方根的性质计算即可求出值；
（2）原式利用乘方的意义，立方根性质、算术平方根的性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+4+2×3
＝﹣1+4+6
＝9；
（2）原式＝﹣1+2﹣3+2−√3
=−√3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式8-6】（2021•淇滨区校级开学）已知a=|√3−√6|+|1−√3|−|√6−2|，求﹣2a+2的平方根．
【分析】先通过计算绝对值再计算加减求得a＝1，再将a＝1代入﹣2a+2进行计算即可．
【解答】解：∵1＜√3＜2＜√6，
∴√3−√6＜0，1−√3＜0，√6−2＞0，
∴a=|√3−√6|+|1−√3|−|√6−2|
=√6−√3+√3−1−√6+2
＝1，
∴﹣2a+2＝﹣2×1+2＝﹣2+2＝0．
【点评】此题考查了实数的性质与运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确计算．
