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第2 章 有理数的运算·拔尖卷
【新教材人教版】
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（25-26 七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上的点𝐴、𝐵分别表示数𝑎、𝑏，下列结论成立的是（ ）
A．𝑎+ 𝑏> 0
B．|𝑎| < |𝑏|
C．𝑎−𝑏< 0
D．𝑎𝑏> 0
【答案】C
【详解】解：由数轴可知，𝑎< 0 < 𝑏，|𝑎| > |𝑏|，
∴𝑎+ 𝑏< 0，𝑎−𝑏< 0，𝑎𝑏< 0，
只有C 选项正确．
2．（25-26 七年级上·河南信阳·期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．若𝑎𝑏< 0，则
𝑏
𝑎< 0
B．若|𝑎| = 𝑎，则𝑎一定为正数
C．若𝑎𝑏= 1，则𝑎,𝑏互为倒数
D．若𝑎÷ 𝑏> 0，则𝑎𝑏> 0
【答案】B
【分析】本题考查倒数的定义、有理数的乘除法法则、绝对值的性质，需根据相关知识点逐一分析各选项
的正误．
【详解】解：A、因为𝑎𝑏< 0，所以a、b 异号且均不为0，根据有理数除法法则，异号两数相除得负，所以
𝑏
𝑎< 0，故A 说法正确，不符合题意；
B、因为|𝑎| = 𝑎，根据绝对值的性质可知𝑎≥0，即a 为正数或0，并非一定为正数，故B 说法错误，符合题
意；
C、根据倒数的定义，乘积为1 的两个数互为倒数，因为𝑎𝑏= 1，所以a、b 互为倒数，故C 说法正确，不
符合题意；
D、因为𝑎÷ 𝑏> 0，所以a、b 同号且均不为0，根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，所以𝑎𝑏> 0，
故D 说法正确，不符合题意；
故选：B．
3．（25-26 九年级上·河南三门峡·期末）已知A 种细菌在培养过程中，每隔半小时由1 个分裂成2 个，若培
养皿中约有30 亿个A 种细菌，经过2 个小时之后，培养皿中的A 种细菌的数量用科学记数法表示为（ ）
A．2.4 × 1010个
B．24 × 109个
C．48 × 109个
D．4.8 × 1010个
【答案】D
【分析】本题考查了有理数乘方的应用以及科学记数法，解题的关键是根据分裂次数确定细菌数量的变化
规律．
先计算2 小时内细菌的分裂次数，再根据每次分裂数量翻倍的规律算出最终细菌总数，最后将结果转化为
科学记数法的标准形式．
【详解】解：∵2 小时包含的半小时个数为2 ÷ 0.5 = 4，
∴经过2 小时后细菌数量为30 亿× 24 = 30亿× 16 = 480亿．
∵科学记数法要求表示为𝑎× 10𝑛（1 ≤|𝑎| < 10，n 为整数），
∴480 亿= 480 × 108 = 4.8 × 1010．
故选：D．
4．（24-25 七年级上·重庆大足·月考）若|𝑥| = 3,|𝑦| = 2，且𝑥< 𝑦，那么𝑥−𝑦的值是 （ ）
A．−5
B．−1
C．−5或−1
D．−5或 5
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数的加法，有理数的减法，绝对值，由绝对值的定义可得𝑥=± 3，𝑦=± 2，结
合𝑥< 𝑦，可确定x，y 的取值，再利用有理数减法法则计算可求解．
【详解】解：∵|𝑥| = 3，|𝑦| = 2，
∴𝑥=± 3，𝑦=± 2，
∵𝑥< 𝑦，
∴𝑥= −3，𝑦=± 2，
∴𝑥−𝑦= −3−2 = −5或𝑥−𝑦= −3−(−2) = −3 + 2 = −1，
故选：C．
5．（25-26 七年级上·广西河池·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天
干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以
10 所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12 所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地
支序号为12）．以2026 年为例，天干为：(2026−3) ÷ 10 = 202……3；地支为：
(2026−3) ÷ 12 = 168…….7；对照天干地支表得出，2026 年为农历丙午年．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
天
干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
地
支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
请你依据上述规律推断2035 年为（ ）
A．农历己巳年
B．农历己卯年
C．农历乙巳年
D．农历乙卯年
【答案】D
【分析】根据给出的计算方法，分别列式计算即可.
【详解】解：天干为：(2035−3) ÷ 10 = 203……2，
地支为：(2035−3) ÷ 12 = 169……4，
故2035 年为农历乙卯年.
6．（25-26 七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式：(−2)1 = −2，(−2)2 = 4，(−2)3 = −8，(−2)4
= 16，(−2)5 = −32，(−2)6 = 64，(−2)7 = −128…通过观察，用你发现的规律写出(−2)2026的末位数字
是（ ）
A．2
B．6
C．4
D．8
【答案】C
【分析】本题考查了乘方运算中末位数字的周期性规律，解题的关键是找出末位数字的循环周期，再通过
指数除以周期求余数确定结果．
观察已知算式的末位数字，发现其以2、4、8、6 为一个循环周期；用指数2026 除以周期4，根据余数判断
对应的末位数字．
【详解】解：观察算式可得，(−2)𝑛的末位数字依次为2、4、8、6，以4 为循环周期；
2026 ÷ 4 = 506⋯⋯2，余数为2；
余数为2 对应循环周期中的第2 个数字4，即(−2)2026的末位数字是4；
故选：C．
7．（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛应用，计算机和依赖计算机的设备都使
用二进制来表示数字和数据，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0 或1，并利用角标表示二进制数，
例如，(1011)2就是二进制数1011 的简单写法．在学习《进位制的认识与探究》后，小明查阅了资料并进
行思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换．以98 为例：
方法一：因为98 = 64 + 32 + 2 = 1 × 26 +1 × 25 +0 × 24 +0 × 23 +0 × 22 +1 × 21 +0 × 20
所以98 = (1100010)2．
方法二：可用如图的短除法算式表示：
请你根据以上材料，把123 转换为四进制
．．．数是（ ）
A．(1323)4
B．(1313)4
C．(3231)4
D．(132)4
【答案】A
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据题意
列式计算即可．
【详解】解：123 = 1 × 43 +3 × 42 +2 × 41 +3 × 40，
则把123 转换为四进制数是(1323)4，
故选：A．
8．（25-26 七年级上·河北保定·期末）计算1−2 + 3−4 + 5−6 + ... +29−30时，嘉琪不小心把一个运算符号
写错，结果得到21，则他写错的是哪个数前面的符号（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
【答案】D
【分析】本题考查有理数的加减、解一元一次方程，通过差值分析符号改变的影响，快速定位目标数字．
计算正确算式的结果为−15，实际得到21，相差36．写错一个运算符号相当于改变某个数字的符号，只有
将偶数前的负号改为正号才能使总和增加2 倍该数值，从而求得该偶数为18．
【详解】解：1−2 + 3−4 + 5−6 + ... +29−30
= (1−2) + (3−4) + ... + (29−30)
= 15 × (−1)
= −15，
实际得到21，差值21−(−15) = 36，
设写错的数字为n，其原本符号为s（n 为奇数时𝑠= +1，n 为偶数时𝑠= −1），
改变符号后，总和变化为−2𝑠× 𝑛= 36．
若n 为奇数，𝑠= +1，则−2 × 1 × 𝑛= −2𝑛= 36，𝑛= −18（舍去）．
若n 为偶数，𝑠= −1，则−2 × (−1) × 𝑛= 2𝑛= 36，
∴𝑛= 18．
∴写错的是18 前面的符号．
故选：D．
9．（25-26 七年级上·浙江嘉兴·期末）已知|𝑥−3| + |𝑥+ 2|的最小值是𝑎，|𝑥−3|−|𝑥+ 2|的最大值是𝑏，则𝑎+ 𝑏=
（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】B
【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，化简绝对值，利用绝对值的几何意义，分别求出两个绝对值表
达式的最值，再计算𝑎+ 𝑏的值．
【详解】解：|𝑥−3|表示数轴上点x 到3 的距离，|𝑥+ 2|表示数轴上点x 到−2的距离．
∴当−2 ≤𝑥≤3时，|𝑥−3| + |𝑥+ 2|取得最小值，
∴𝑎= 3−𝑥+ 𝑥+ 2 = 5，
当𝑥≤−2时，
|𝑥−3|−|𝑥+ 2| = −(𝑥−3)−−(𝑥+ 2) = 3−𝑥+ 𝑥+ 2 = 5，
当−2 < 𝑥< 3时，
|𝑥−3|−|𝑥+ 2| = 3−𝑥−𝑥−2 = 1−2𝑥< 5，
当𝑥≥3时，
|𝑥−3|−|𝑥+ 2| = 𝑥−3−𝑥−2 = −5，
∴𝑏= 5，
∴𝑎+ 𝑏= 5 + 5 = 10．
故选：B
10．（25-26 七年级上·广东深圳·期中）如图，已知在数轴上有一条从−4到4的线段，长度为8个单位．将这
条线段沿点𝐴折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为3 ∶1 ∶1，则点𝐴所表示的数不
可能是（ ）．
A．0
B．−1.6
C．1.6
D．−0.8
【答案】D
【分析】本题考查了数轴与线段结合的题型，解题的关键是列出这三条线段所有可能排列的顺序．首先根
据三条线段的长度之比求出三条线段的长度，列出所有可能的情况，分情况求出折痕处对应的数．
【详解】解：当三条线段其长度之比为3:1:1时，
三条线段的长度分别为：8 ×
3
5 =
24
5 、8 ×
1
5 =
8
5、8 ×
1
5 =
8
5，
折痕对应的点所表示的数为：−4 +
24
5 +
8
5 ×
1
2 = 1.6；
当三条线段其长度之比为1:3:1时，
三条线段的长度分别为：8 ×
1
5 =
8
5、8 ×
3
5 =
24
5 、8 ×
1
5 =
8
5，
折痕对应的点所表示的数为：−4 +
8
5 +
24
5 ×
1
2 = 0；
当三条线段其长度之比为1:1:3时，
三条线段的长度分别为：8 ×
1
5 =
8
5、8 ×
1
5 =
8
5：8 ×
3
5 =
24
5 ，
折痕对应的点所表示的数为：−4 +
8
5 +
8
5 ×
1
2 = −1.6；
综上所述，点𝐴所表示的数不可能是−0.8．
故选：D．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．把1 到9 这9 个数字分别填入如图所示3 × 3方格中，使得三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个
数之和都相等，则图中a 与b 的积为________．
a
8
9
5
b
【答案】24
【分析】先根据1到9的总和求出三阶幻方的幻和，再利用每行、每列、对角线的和等于幻和，依次求出𝑎与
𝑏的值，最后计算𝑎与𝑏的乘积．
【详解】解：∵1 + 2 + 3 + … + 9 = 45，三阶幻方每行三个数之和相等，
∴幻和为
45
3 = 15．
设左下角的数为𝑐，
根据右上到左下对角线的和为幻和，可得：8 + 5 + 𝑐= 15，
解得：𝑐= 2．
根据第一列的和为幻和，可得：𝑎+ 9 + 𝑐= 15，
代入𝑐= 2，得𝑎+ 9 + 2 = 15，解得𝑎= 4．
根据左上到右下对角线的和为幻和，可得：𝑎+ 5 + 𝑏= 15，
代入𝑎= 4，得4 + 5 + 𝑏= 15，解得𝑏= 6．
∴𝑎× 𝑏= 4 × 6 = 24．
12．某公园内有一矩形人行道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列
而成．如图表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有60 块．则人行道上总共使
用_____块三角形地砖．
【答案】124
【分析】观察图形，找出正方形地砖数量与三角形地砖数量之间的规律，即可求解．
【详解】解：由题意可得，三角形地砖数为：3 + 60 × 2 + 1 = 124（块），
∴人行道上总共使用124块三角形地砖．
13．（25-26 七年级上·福建漳州·期末）若规定𝑓(𝑛) = 2𝑛的个位数字，例如22 = 4，所以𝑓(2) = 4，25
= 32，所以𝑓(5) = 2，那么计算𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + 𝑓(4) + … + 𝑓(2025) = _____．
【答案】10122
【分析】首先通过计算前几个𝑓(𝑛)的值，发现其个位数字以2、4、8、6 为一个循环，每个循环的和为20；
接着计算2025中包含多少个完整循环及余下的数字个数，最后根据循环数与余下数字计算总和．
【详解】解：先计算前几个𝑓(𝑛)的值：
∵21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32，
∴𝑓(1) = 2；𝑓(2) = 4；𝑓(3) = 8；𝑓(4) = 6；𝑓(5) = 2；
……
观察可得，𝑓(𝑛)的个位数字以2、4、8、6为一个循环，每个循环内数字的和为2 + 4 + 8 + 6 = 20．
∵2025 ÷ 4 = 506⋯⋯1，
∴共有506个完整的循环，还余下1 个数字，该数字为循环节的第一个数2．
则总和为506 × 20 + 2 = 10120 + 2 = 10122．
14．（25-26 九年级上·重庆江北·期末）已知|𝑥|−𝑦= −2，且|𝑦| +𝑥= 6，则𝑥+ 𝑦的值为_____．
【答案】6
【分析】先根据绝对值的非负性由第一个方程确定y 的取值范围，进而化简第二个方程中的绝对值，再通
过代入消元结合绝对值的分类讨论求解x、y 的值，最后计算𝑥+ 𝑦．
【详解】解：由|𝑥|−𝑦= −2得|𝑥| = 𝑦−2，根据绝对值的非负性可知𝑦−2 ≥0，即𝑦≥2，则|𝑦| = 𝑦；
将|𝑦| = 𝑦代入|𝑦| +𝑥= 6，得𝑦+ 𝑥= 6，即𝑦= 6−𝑥；
把𝑦= 6−𝑥代入|𝑥| = 𝑦−2，得|𝑥| = 6−𝑥−2 = 4−𝑥；
分两种情况讨论：
1. 当𝑥≥0时，|𝑥| = 𝑥，则𝑥= 4−𝑥，解得𝑥= 2，
将𝑥= 2代入𝑦= 6−𝑥，得𝑦= 6−2 = 4，
验证：将𝑥= 2，𝑦= 4代入原方程，|2|−4 = 2−4 = −2，|4| +2 = 4 + 2 = 6，均成立，
此时𝑥+ 𝑦= 2 + 4 = 6；
2. 当𝑥< 0时，|𝑥| = −𝑥，则−𝑥= 4−𝑥，移项得−𝑥+ 𝑥= 4，即0 = 4，等式不成立，此情况舍去．
【点睛】注意分类讨论的思想．
15．（25-26 七年级上·陕西西安·期末）规定：𝑓(𝑥) = |𝑥−8|，𝑔(𝑥) = |𝑥+ 6|．例如𝑓(−2) = |−2−8| = 10，
𝑔(−2) = |−2 + 6| = 4．则𝑓(10−𝑥) +𝑔(𝑥−3)的最小值是________．
【答案】5
【分析】本题考查求代数式的最值问题及绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义．根
据题意将𝑓(10−𝑥) +𝑔(𝑥−3)表示出来，利用数轴上点到两点的距离和求最小值即可．
【详解】解：由定义，𝑓(10−𝑥) = |(10−𝑥)−8| = |2−𝑥|，𝑔(𝑥−3) = |(𝑥−3)+ 6| = |𝑥+ 3|，
故𝑓(10−𝑥) +𝑔(𝑥−3) = |𝑥−2| + |𝑥+ 3|．
此式表示数轴上点𝑥到点2和点−3的距离之和．
故当𝑥在−3到2之间（含端点）时，距离之和最小，最小值为2−(−3) = 5．
故答案为：5．
16．（25-26 七年级下·黑龙江大庆·期中）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，−2，3，−4，5，
−6，7，−8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4 个数字之和都相等，若他已经将1，−2，
−6，7这四个数填入了圆圈，则图中𝑚−𝑛的值为_____
【答案】7或−7
【分析】求得横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为−2，求得𝑎,𝑏的值，即可得到𝑚,𝑛的值，代入求解即可．
【详解】解：∵1 + (−2) +3 + (−4) +5 + (−6) +7 + (−8) = −4，−4 ÷ 2 = −2，
∴1 + 𝑎+ 7 + (−2) = −2,−6 + 1 + 𝑏+ (−2) = −2，
即：𝑎= −8,𝑏= 5，
∵−6 + 𝑚+ 𝑛+ 𝑏= −2，
∴𝑚+ 𝑛= −1，
当𝑚= 3,𝑛= −4时，𝑚−𝑛= 3−(−4) = 7，
当𝑚= −4,𝑛= 3时，𝑚−𝑛= −4−3 = −7，
综上：𝑚−𝑛= 7或−7．
三、解答题（本大题共7 小题，满分72 分）
17．（6 分）（25-26 七年级上·江苏南京·期末）计算：
(1)
1
3 −
1
4 −
1
2 ÷ −
1
12 ；
(2)−14−(1−0.5) × 2 ÷ (−3)2．
【答案】(1)5
(2)−
10
9
【详解】（1）解：原式=
1
3 −
1
4 −
1
2 × (−12)
= 1
3 × (−12)−1
4 × (−12)−1
2 × (−12)
= (−4)−(−3)−(−6)
= −4 + 3 + 6
= 5；
（2）解：原式= −1−
1
2 × 2 ÷ 9
= −1−1
9
= −
10
9 ．
18．（8 分）（24-25 七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
( + 2) ∗( + 4) = + (22 + 42)；(−4) ∗(−7) = + [(−4)2 + (−7)2]；
(−2) ∗( + 4) = −[(−2)2 + ( + 4)2]；( + 5) ∗(−7) = −[( + 5)2 + (−7)2]；
0 ∗(−5) = (−5) ∗0 = (−5)2；( + 3) ∗0 = 0 ∗( + 3) = ( + 3)2．
0 ∗0 = 02 + 02 = 0．
(1)(−5) ∗(−2) = ______；
(2)已知：( + 1) ∗[0 ∗𝑎] = 17，其中，a 为负数，求a 的值；
(3)是否存在有理数m，n，使得(𝑚−1) ∗(𝑛+ 2) = 0，若存在，求出m，n 的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)29
(2)𝑎= −2
(3)存在，𝑚= 1,𝑛= −2，理由见详解
【详解】（1）解：由题意得，(−5) ∗(−2) = [(−5)2 + (−2)2] = 29；
（2）解：由题意得，[0 ∗𝑎] = 𝑎2，
∴( +1) ∗𝑎2 = + [12 + (𝑎2)2] = 12 + 𝑎4，
∴1 + 𝑎4 = 17，
∴𝑎4 = 16，
解得𝑎= −2或𝑎= 2，
∵a 为负数，
∴𝑎= −2；
（3）解：存在𝑚= 1,𝑛= −2，理由如下，
(𝑚−1) ∗(𝑛+ 2) =± [(𝑚−1)2 + (𝑛+ 2)2] = 0，
∵(𝑚−1)2 ≥0，(𝑛+ 2)2 ≥0，
∴𝑚−1 = 0，𝑛+ 2 = 0，
解得，𝑚= 1，𝑛= −2．
19．（10 分）（25-26 七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于数轴上的A，B，C 三点，给出如下定义若其中
一个点与其他两个点的距离恰好满足2 倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“唯美点”例如，数轴上点
A，B，C 所表示的数分别为0，2，3，此时点B 是点A，C 的“唯美点”．
(1)若点A 表示的数为−1，点B 表示的数为3，下列各数−3，
1
3，5，7 所对应的点分别为𝐶1，𝐶2，𝐶3，𝐶4，
其中是点A，B 的“唯美点”的是 ；
(2)点A 表示的数为a（a 为整数），点B 表示的数为𝑎+ 5，点T 是数轴上的一个动点，对应的数用t 表示
若𝑡> 𝑎，且点A、B、T 中有一个点恰好是其他两个点的“唯美点”，则满足条件的t 的值有 个，其中非整数
t 的值为 （用含有a 的代数式表示）．
【答案】(1)𝐶2，𝐶4
(2)6，𝑎+
5
2或𝑎+
15
2 或𝑎+
5
3或𝑎+
10
3
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式分别求出点A 和点B 到𝐶1，𝐶2，𝐶3，𝐶4四个点的距离，再根据
“唯美点”的定义判断即可；
（2）先求出𝐴𝑇= 𝑡−𝑎，𝐵𝑇= |𝑎+ 5−𝑡|，𝐴𝐵= 5，再分三种情况：当A 是B、T 的“唯美点”时，当B 是A、
T 的“唯美点”时，当T 是A、B 的“唯美点”时，根据“唯美点”的定义建立方程分别求解，最后，得到非整数t
的值即可．
【详解】（1）解：由题意，得𝐴𝐶1 = |−1−(−3)| = 2，𝐴𝐶2 =
1
3−(−1) =
4
3，𝐴𝐶3 = 5−(−1) = 6，𝐴𝐶4
= 7−(−1) = 8，
𝐵𝐶1 = 3−(−3) = 6，𝐵𝐶2 = 3−
1
3 =
8
3，𝐵𝐶3 = 5−3 = 2，𝐵𝐶4 = 7−3 = 4，
∴𝐵𝐶2 = 2𝐴𝐶2，𝐴𝐶4 = 2𝐵𝐶4，
∴𝐶2，𝐶4是点𝐴，𝐵的“唯美点”；
（2）解：由题意，得𝐴𝑇= 𝑡−𝑎，𝐵𝑇= |𝑎+ 5−𝑡|，𝐴𝐵= 5，
当A 是B、T 的“唯美点”时，则𝐴𝐵= 2𝐴𝑇或𝐴𝑇= 2𝐴𝐵，
∴2(𝑡−𝑎) = 5或𝑡−𝑎= 10，
∴𝑡= 𝑎+
5
2或𝑡= 𝑎+ 10；
当B 是A、T 的“唯美点”时，则𝐴𝐵= 2𝐵𝑇或𝐵𝑇= 2𝐴𝐵，
∴2|𝑎+ 5−𝑡| = 5或|𝑎+ 5−𝑡| = 10，
∴𝑎+ 5−𝑡=±
5
2或𝑎+ 5−𝑡=± 10．
∴𝑡= 𝑎+
5
2或𝑡= 𝑎+
15
2 或𝑡= 𝑎+ 15或𝑡= 𝑎−5(舍去)；
当T 是A、B 的“唯美点”时，则𝐴𝑇= 2𝐵𝑇或𝐵𝑇= 2𝐴𝑇，
∴2(𝑡−𝑎) = |𝑎+ 5−𝑡|或𝑡−𝑎= 2|𝑎+ 5−𝑡|，
∴𝑎+ 5−𝑡=± 2(𝑡−𝑎)或𝑡−𝑎=± 2(𝑎+ 5−𝑡)，
∴𝑡= 𝑎+
5
3或𝑡= 𝑎−5(舍去)或𝑡= 𝑎+
10
3 或𝑡= 𝑎+ 10，
综上，𝑡= 𝑎+
5
2或𝑡= 𝑎+ 10或𝑡= 𝑎+
15
2 或𝑡= 𝑎+ 15或𝑡= 𝑎+
5
3或𝑡= 𝑎+
10
3 ，
∴t 的值一共有6 个，其中非整数t 的值为𝑎+
5
2或𝑎+
15
2 或𝑎+
5
3或𝑎+
10
3 ．
【点睛】掌握两点间的距离公式及“唯美点”的定义，能得出𝐴𝑇= 𝑡−𝑎，𝐵𝑇= |𝑎+ 5−𝑡|，𝐴𝐵= 5，再分三种
情况：当A 是B、T 的“唯美点”时，当B 是A、T 的“唯美点”时，当T 是A、B 的“唯美点”时，进行“分类讨论”
是解决问题的关键．
20．（10 分）（25-26 九年级下·湖北恩施·期中）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D
四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n 台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：
万元）与n 的对应关系如下：
𝑛= 1
𝑛= 2
𝑛= 3
𝑛= 4
𝑛= 5
𝑛= 6
…
A
40
60
/
/
/
/
/
B
30
55
75
90
100
105
/
C
20
40
60
70
80
90
…
D
14
38
62
86
110
134
…
(1)如果企业将5 台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1 台设备，为使5 台设备都售
出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2 台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；
(2)如果企业将6 台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6 台设备都售出后，企业可获得的
总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由．
【答案】(1)B
(2)6 台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是157 万元，理由见解析
【分析】（1）分别计算向各经销商分配2台时的总利润，比较即可得答案；
（2）分别求出分配给一家时，两家时，三家时，四家时的最大利润，比较即可得答案．
【详解】（1）解：当向经销商A分配2台设备时， 即A2B1C1D1，总利润为60 + 30 + 20 + 14 = 124万元；
当向经销商B分配2台设备时，即A1B2C1D1，总利润为40 + 55 + 20 + 14 = 129万元；
当向经销商C分配2台设备时，即A1B1C2D1，总利润为40 + 30 + 40 + 14 = 124万元；
当向经销商D分配2台设备时，即A1B1C1D2，总利润为40 + 30 + 20 + 38 = 128万元；
∵129 > 128 > 124 = 124，
∴为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商B分配2台设备；
（2）解：6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是157万元，理由如下：
当分配给一家时，总利润的最大值为D6，134万元；
当分配给两家时，总利润的最大值为A2B4，60 + 90 = 150万元；
当分配给三家时，有：
A2B2C2，利润为60 + 55 + 40 = 155万元；
A2B3C1，利润为60 + 75 + 20 = 155万元；
A1B2D3，利润为40 + 55 + 62 = 157万元；
此时，总利润的最大值为A1B2D3，157万元；
当分配四家时，总利润的最大值为A1B2C1D2，40 + 55 + 20 + 38 = 153万元；
∵157 > 153 > 150 > 134，
∴6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是157万元．
21．（12 分）（25-26 七年级上·宁夏中卫·期中）综合与探究：
【概念学习】
类比有理数的乘方运算，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如
2 ÷ 2 ÷ 2，记作2③，读作“2 的圈3 次方”， (−3) ÷ (−3) ÷ (−3) ÷ (−3)，记作(−3)④，读作“(−3)的圈4
次方”，一般地把𝑎÷ 𝑎÷ 𝑎÷ … ÷ 𝑎
𝑛个𝑎
（𝑎≠0）写作𝑎ⓝ，读作“a 的圈n 次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③= ；−
1
2
③
= ．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运
算如何转化为乘方运算呢？
除方→2④= 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 = 2 ×
1
2 ×
1
2 ×
1
2 =
1
2
2
→乘方幂的形式
（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式：(−3)⑤= ， −
1
5
⑥
= ．
（3）算一算：(−16) ÷ 2③+12 × −
1
3
④
．
（4）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”
的运算公式𝑎ⓝ（n 为正整数，𝑎≠0，𝑛≥2），要求写出推导过程，将结果写成乘方幂的形式．（结果用含
a，n 的式子表示）
【答案】（1）
1
2，−2；（2）−
1
3
3
，54；（3）76；（4）(
1
𝑎)𝑛−2
【分析】（1）由新定义列出算式计算即可；
（2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可；
（3）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可；
（4）根据新定义计算即可．
【详解】解：（1）2③= 2 ÷ 2 ÷ 2 =
1
2，−
1
2
③
= −
1
2 ÷ −
1
2 ÷ −
1
2 = −2；
（2）(−3)⑤= (−3) ÷ (−3) ÷ (−3) ÷ (−3) ÷ (−3) = (−3) × −
1
3 × −
1
3 × −
1
3 × −
1
3 = −
1
3
3
，
−
1
5
⑥
= −
1
5 ÷ −
1
5 ÷ −
1
5 ÷ −
1
5 ÷ −
1
5 ÷ −
1
5 =
1
5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 54；
（3）(−16) ÷ 2③+12 × −
1
3
④
= (−16) ÷ (2 ÷ 2 ÷ 2) +12 ×
−
1
3 ÷ −
1
3 ÷ −
1
3 ÷ −
1
3
= (−16) ÷
1
2
+12 × 9 = −32 + 108 = 76；
（4）𝑎ⓝ= 𝑎÷ 𝑎÷ … ÷ 𝑎
⏟
𝑛个𝑎
= (𝑎÷ 𝑎) ÷ 𝑎÷ … ÷ 𝑎
⏟
𝑛−2 个𝑎
= 1 ÷ 𝑎÷ … ÷ 𝑎
⏟
𝑛−2 个𝑎
= 1 ×
1
𝑎× … × 1
𝑎
⏟
𝑛−2 个
1
𝑎
=
1
𝑎
𝑛−2
22．（12 分）（25-26 七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以
用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础．
【知识呈现】
新定义：我们规定：点A，B 在数轴上分别表示数𝑥𝐴，𝑥𝐵，则A，B 两点之间的距离可表示为：|𝐴𝐵| =
|𝑥𝐴−𝑥𝐵|，如式子|6−3|，它在数轴上的意义是表示6 的点与表示3 的点之间的距离；式子|6 + 3| =
|6−(−3)|，它在数轴上的意义是表示6 的点与表示−3的点之间的距离．
【初步理解】
（1）数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是________；数轴上表示−2.5和5.2 的两点之间的距离是________；
（2）已知数轴上点A 所表示的数是−1，点B 所表示的数是6，x 表示数轴上任意一点，则|𝑥+ 1| + |𝑥−6|
的最小值是________；
【深入探究】
（3）结合数轴，利用以上的新定义求式子|𝑥+ 2| + |𝑥−1| + |𝑥−4|的最小值，求出此时x 的值，并简单说明
理由．
【实际应用】
（4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图
（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800 米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一
个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小
区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由）
【答案】（1）3，7.7；（2）7；（3）𝑥= 1时，式子|𝑥+ 2| + |𝑥−1| + |𝑥−4|有最小值为6，见解析；（4）
公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200 米
【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是
解题的关键．
（1）利用两点距离公式计算即可；
（2）根据题意知式子表示数轴上一点到表示−1、6 的点的距离之和，利用两点距离公式计算即可；
（3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到表示−2、1、4 的点的距离之和，根据数轴即可求解；
（4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得．
【详解】解：（1）由题可知，2和5两点的距离可表示为|5−2| = 3，
−2.5和5.2两点的距离可表示为|−2.5−5.2| = 7.7，
故答案为3，7.7；
（2）|𝑥+ 1| + |𝑥−6|表示数轴上表示x 的点到表示−1和6 的点的距离之和，
当−1 ≤𝑥≤6时，|𝑥+ 1| + |𝑥−6|有最小值，最小值为|−1−6| = 7，
故答案为：7；
（3）根据新定义可知，|𝑥+ 2|表示数轴上表示𝑥的点𝑃到表示−2的点𝐶之间的距离，
|𝑥−1|表示数轴上表示𝑥的点𝑃到表示1的点𝐷之间的距离，
|𝑥−4|表示数轴上表示𝑥的点𝑃到表示4 的点𝐸之间的距离，
如图，代数式|𝑥+ 2| + |𝑥−1| + |𝑥−4|存在最小值，即𝑃𝐶+ 𝑃𝐷+ 𝑃𝐸存在最小值，
所以当点𝑃与点𝐷重合，即𝑥= 1时，𝑃𝐶+ 𝑃𝐷+ 𝑃𝐸有最小值，此时最小值为6，
所以当𝑥= 1时，式子|𝑥+ 2| + |𝑥−1| + |𝑥−4|有最小值为6；
（4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当
所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小，
故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到
四个小区距离之和的最小值为4 × 800 = 3200米．
23．（14 分）（25-26 七年级上·广东珠海·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它揭示了数与点之间的
内在联系，是“数形结合”的基础，而平移和折叠是初中数学两种重要的图形变换．综合实践课上，老师设计
了以下两种学习活动：
（一）折叠
（1）折叠数轴，使得数轴上表示−1的点与表示5 的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如数轴上两
点之间的距离为11，按与上述同样的折叠方式能够重合，则左边这个点表示的数是 ；
（2）点A、B 表示的数分别是−2、4，若将此数轴沿A、B 两处剪开，如图，将中间的一段对折，使其左右
两端重合，这样连续对折5 次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数．
（二）平移
（3）一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C 重合，右端与点D 重合，若将木棒沿数轴向右水平
移动，则当它的左端移动到D 点时，它的右端在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则
当它的右端移动到C 点时，它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ；
（4）一个点M（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到𝑀1的位置（点𝑀1与点M 表示的数互为相反数），
点．𝑀1称为点
．．．M 的一次跳跃点
．．．．．．，紧接着从𝑀1跳到𝑀2的位置（点𝑀1与点𝑀2位于点P 的两侧，且𝑃𝑀1 = 𝑃𝑀2
≠0），则点．𝑀2称为点
．．．M 关于点
．．．P 的二次跳跃点
．．．．．．．若点M 为数轴正半轴的一个点，点P 是数轴负半轴上
一个点，点𝑀2为点M 关于点P 的二次跳跃点，若点M，点P 表示的数分别是𝑚,−3，当m 变化时，探究𝑀𝑀2
的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）2；−3.5；（2）−
29
16；（3）5cm；（4）𝑀𝑀2 = 6
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的混合运算．
（1）根据折痕点的含义列式求解即可；
（2）根据折痕点的含义逐步求解最左边的折痕点对应的数即可．
（3）设木棒𝐶𝐷的长度为𝑥cm，可得：3𝑥= 20−5，进一步求解即可．
（4）由点𝑀表示的数为𝑚，可得一次跳跃点
．．．．．𝑀1表示的数为−𝑚，结合点𝑀1与点𝑀2位于点P 的两侧，且𝑃𝑀1
= 𝑃𝑀2 ≠0，可得点𝑃是𝑀1𝑀2的中点，再进一步求解即可．
【详解】解：（1）折叠数轴，使得数轴上表示−1的点与表示5 的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是
1
2
(−1 + 5) =
1
2 × 4 = 2；
如数轴上两点之间的距离为11，按与上述同样的折叠方式能够重合，则左边这个点表示的数是2−
11
2
= 2−5.5 = −3.5．
（2）∵点A、B 表示的数分别是−2、4，
∴第一次对折后折痕点对应的数为：
−2+4
2
= 1，
第二次对折后折痕点对应的数为：
−2+1
2
= −
1
2，
第三次对折后折痕点对应的数为：
−2−
1
2
2
= −
5
4，
第四次对折后折痕点对应的数为：
−2−
5
4
2
= −
13
8 ，
第五次对折后折痕点对应的数为：
−2−
13
8
2
= −
29
16，
∴这样连续对折5 次后，再将其展开，最左端的折痕与数轴的交点表示的数为：−
29
16
（3）设木棒𝐶𝐷的长度为𝑥cm，
由题意可得：3𝑥= 20−5，
解得𝑥= 5(cm)．
（4）𝑀𝑀2 = 6，理由如下：
∵点𝑀表示的数为𝑚，则一次跳跃点
．．．．．𝑀1表示的数为−𝑚，
∵点𝑀1与点𝑀2位于点P 的两侧，且𝑃𝑀1 = 𝑃𝑀2 ≠0，
∴点𝑃是𝑀1𝑀2的中点，
∵点P 表示的数分别是−3，
∴点𝑀2表示的数为：−3 × 2−(−𝑚) = 𝑚−6，
∴𝑀𝑀2 = |6−𝑚−(−𝑚)| = |6−𝑚+ 𝑚| = 6．
