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第2 章 有理数的运算·拔尖卷
【新教材人教版】
时间：120 分钟
满分：120 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23 题，单选10 题，填空6 题，解答7 题，满分120 分，限时120 分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（25-26 七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上的点𝐴、𝐵分别表示数𝑎、𝑏，下列结论成立的是（ ）
A．𝑎+ 𝑏> 0
B．|𝑎| < |𝑏|
C．𝑎−𝑏< 0
D．𝑎𝑏> 0
2．（25-26 七年级上·河南信阳·期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．若𝑎𝑏< 0，则
𝑏
𝑎< 0
B．若|𝑎| = 𝑎，则𝑎一定为正数
C．若𝑎𝑏= 1，则𝑎,𝑏互为倒数
D．若𝑎÷ 𝑏> 0，则𝑎𝑏> 0
3．（25-26 九年级上·河南三门峡·期末）已知A 种细菌在培养过程中，每隔半小时由1 个分裂成2 个，若培
养皿中约有30 亿个A 种细菌，经过2 个小时之后，培养皿中的A 种细菌的数量用科学记数法表示为（ ）
A．2.4 × 1010个
B．24 × 109个
C．48 × 109个
D．4.8 × 1010个
4．（24-25 七年级上·重庆大足·月考）若|𝑥| = 3,|𝑦| = 2，且𝑥< 𝑦，那么𝑥−𝑦的值是 （ ）
A．−5
B．−1
C．−5或−1
D．−5或 5
5．（25-26 七年级上·广西河池·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天
干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以
10 所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12 所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地
支序号为12）．以2026 年为例，天干为：(2026−3) ÷ 10 = 202……3；地支为：
(2026−3) ÷ 12 = 168…….7；对照天干地支表得出，2026 年为农历丙午年．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
天
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
干
地
支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
请你依据上述规律推断2035 年为（ ）
A．农历己巳年
B．农历己卯年
C．农历乙巳年
D．农历乙卯年
6．（25-26 七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式：(−2)1 = −2，(−2)2 = 4，(−2)3 = −8，(−2)4
= 16，(−2)5 = −32，(−2)6 = 64，(−2)7 = −128…通过观察，用你发现的规律写出(−2)2026的末位数字
是（ ）
A．2
B．6
C．4
D．8
7．（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛应用，计算机和依赖计算机的设备都使
用二进制来表示数字和数据，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0 或1，并利用角标表示二进制数，
例如，(1011)2就是二进制数1011 的简单写法．在学习《进位制的认识与探究》后，小明查阅了资料并进
行思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换．以98 为例：
方法一：因为98 = 64 + 32 + 2 = 1 × 26 +1 × 25 +0 × 24 +0 × 23 +0 × 22 +1 × 21 +0 × 20
所以98 = (1100010)2．
方法二：可用如图的短除法算式表示：
请你根据以上材料，把123 转换为四进制
．．．数是（ ）
A．(1323)4
B．(1313)4
C．(3231)4
D．(132)4
8．（25-26 七年级上·河北保定·期末）计算1−2 + 3−4 + 5−6 + ... +29−30时，嘉琪不小心把一个运算符号
写错，结果得到21，则他写错的是哪个数前面的符号（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
9．（25-26 七年级上·浙江嘉兴·期末）已知|𝑥−3| + |𝑥+ 2|的最小值是𝑎，|𝑥−3|−|𝑥+ 2|的最大值是𝑏，则𝑎+ 𝑏=
（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
10．（25-26 七年级上·广东深圳·期中）如图，已知在数轴上有一条从−4到4的线段，长度为8个单位．将这
条线段沿点𝐴折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为3 ∶1 ∶1，则点𝐴所表示的数不
可能是（ ）．
A．0
B．−1.6
C．1.6
D．−0.8
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．把1 到9 这9 个数字分别填入如图所示3 × 3方格中，使得三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个
数之和都相等，则图中a 与b 的积为________．
a
8
9
5
b
12．某公园内有一矩形人行道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列
而成．如图表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有60 块．则人行道上总共使
用_____块三角形地砖．
13．（25-26 七年级上·福建漳州·期末）若规定𝑓(𝑛) = 2𝑛的个位数字，例如22 = 4，所以𝑓(2) = 4，25
= 32，所以𝑓(5) = 2，那么计算𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + 𝑓(4) + … + 𝑓(2025) = _____．
14．（25-26 九年级上·重庆江北·期末）已知|𝑥|−𝑦= −2，且|𝑦| +𝑥= 6，则𝑥+ 𝑦的值为_____．
15．（25-26 七年级上·陕西西安·期末）规定：𝑓(𝑥) = |𝑥−8|，𝑔(𝑥) = |𝑥+ 6|．例如𝑓(−2) = |−2−8| = 10，
𝑔(−2) = |−2 + 6| = 4．则𝑓(10−𝑥) +𝑔(𝑥−3)的最小值是________．
16．（25-26 七年级下·黑龙江大庆·期中）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，−2，3，−4，5，
−6，7，−8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4 个数字之和都相等，若他已经将1，−2，
−6，7这四个数填入了圆圈，则图中𝑚−𝑛的值为_____
三、解答题（本大题共7 小题，满分72 分）
17．（6 分）（25-26 七年级上·江苏南京·期末）计算：
(1)
1
3 −
1
4 −
1
2 ÷ −
1
12 ；
(2)−14−(1−0.5) × 2 ÷ (−3)2．
18．（8 分）（24-25 七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
( + 2) ∗( + 4) = + (22 + 42)；(−4) ∗(−7) = + [(−4)2 + (−7)2]；
(−2) ∗( + 4) = −[(−2)2 + ( + 4)2]；( + 5) ∗(−7) = −[( + 5)2 + (−7)2]；
0 ∗(−5) = (−5) ∗0 = (−5)2；( + 3) ∗0 = 0 ∗( + 3) = ( + 3)2．
0 ∗0 = 02 + 02 = 0．
(1)(−5) ∗(−2) = ______；
(2)已知：( + 1) ∗[0 ∗𝑎] = 17，其中，a 为负数，求a 的值；
(3)是否存在有理数m，n，使得(𝑚−1) ∗(𝑛+ 2) = 0，若存在，求出m，n 的值，若不存在，说明理由．
19．（10 分）（25-26 七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于数轴上的A，B，C 三点，给出如下定义若其中
一个点与其他两个点的距离恰好满足2 倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“唯美点”例如，数轴上点
A，B，C 所表示的数分别为0，2，3，此时点B 是点A，C 的“唯美点”．
(1)若点A 表示的数为−1，点B 表示的数为3，下列各数−3，
1
3，5，7 所对应的点分别为𝐶1，𝐶2，𝐶3，𝐶4，
其中是点A，B 的“唯美点”的是 ；
(2)点A 表示的数为a（a 为整数），点B 表示的数为𝑎+ 5，点T 是数轴上的一个动点，对应的数用t 表示
若𝑡> 𝑎，且点A、B、T 中有一个点恰好是其他两个点的“唯美点”，则满足条件的t 的值有 个，其中非整数
t 的值为 （用含有a 的代数式表示）．
20．（10 分）（25-26 九年级下·湖北恩施·期中）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D
四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n 台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：
万元）与n 的对应关系如下：
𝑛= 1
𝑛= 2
𝑛= 3
𝑛= 4
𝑛= 5
𝑛= 6
…
A
40
60
/
/
/
/
/
B
30
55
75
90
100
105
/
C
20
40
60
70
80
90
…
D
14
38
62
86
110
134
…
(1)如果企业将5 台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1 台设备，为使5 台设备都售
出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2 台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；
(2)如果企业将6 台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6 台设备都售出后，企业可获得的
总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由．
21．（12 分）（25-26 七年级上·宁夏中卫·期中）综合与探究：
【概念学习】
类比有理数的乘方运算，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如
2 ÷ 2 ÷ 2，记作2③，读作“2 的圈3 次方”， (−3) ÷ (−3) ÷ (−3) ÷ (−3)，记作(−3)④，读作“(−3)的圈4
次方”，一般地把𝑎÷ 𝑎÷ 𝑎÷ … ÷ 𝑎
𝑛个𝑎
（𝑎≠0）写作𝑎ⓝ，读作“a 的圈n 次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③= ；−
1
2
③
= ．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运
算如何转化为乘方运算呢？
除方→2④= 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 = 2 ×
1
2 ×
1
2 ×
1
2 =
1
2
2
→乘方幂的形式
（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式：(−3)⑤= ， −
1
5
⑥
= ．
（3）算一算：(−16) ÷ 2③+12 × −
1
3
④
．
（4）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”
的运算公式𝑎ⓝ（n 为正整数，𝑎≠0，𝑛≥2），要求写出推导过程，将结果写成乘方幂的形式．（结果用含
a，n 的式子表示）
22．（12 分）（25-26 七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以
用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础．
【知识呈现】
新定义：我们规定：点A，B 在数轴上分别表示数𝑥𝐴，𝑥𝐵，则A，B 两点之间的距离可表示为：|𝐴𝐵| =
|𝑥𝐴−𝑥𝐵|，如式子|6−3|，它在数轴上的意义是表示6 的点与表示3 的点之间的距离；式子|6 + 3| =
|6−(−3)|，它在数轴上的意义是表示6 的点与表示−3的点之间的距离．
【初步理解】
（1）数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是________；数轴上表示−2.5和5.2 的两点之间的距离是________；
（2）已知数轴上点A 所表示的数是−1，点B 所表示的数是6，x 表示数轴上任意一点，则|𝑥+ 1| + |𝑥−6|
的最小值是________；
【深入探究】
（3）结合数轴，利用以上的新定义求式子|𝑥+ 2| + |𝑥−1| + |𝑥−4|的最小值，求出此时x 的值，并简单说明
理由．
【实际应用】
（4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图
（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800 米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一
个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小
区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由）
23．（14 分）（25-26 七年级上·广东珠海·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它揭示了数与点之间的
内在联系，是“数形结合”的基础，而平移和折叠是初中数学两种重要的图形变换．综合实践课上，老师设计
了以下两种学习活动：
（一）折叠
（1）折叠数轴，使得数轴上表示−1的点与表示5 的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如数轴上两
点之间的距离为11，按与上述同样的折叠方式能够重合，则左边这个点表示的数是 ；
（2）点A、B 表示的数分别是−2、4，若将此数轴沿A、B 两处剪开，如图，将中间的一段对折，使其左右
两端重合，这样连续对折5 次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数．
（二）平移
（3）一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C 重合，右端与点D 重合，若将木棒沿数轴向右水平
移动，则当它的左端移动到D 点时，它的右端在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则
当它的右端移动到C 点时，它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ；
（4）一个点M（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到𝑀1的位置（点𝑀1与点M 表示的数互为相反数），
点．𝑀1称为点
．．．M 的一次跳跃点
．．．．．．，紧接着从𝑀1跳到𝑀2的位置（点𝑀1与点𝑀2位于点P 的两侧，且𝑃𝑀1 = 𝑃𝑀2
≠0），则点．𝑀2称为点
．．．M 关于点
．．．P 的二次跳跃点
．．．．．．．若点M 为数轴正半轴的一个点，点P 是数轴负半轴上
一个点，点𝑀2为点M 关于点P 的二次跳跃点，若点M，点P 表示的数分别是𝑚,−3，当m 变化时，探究𝑀𝑀2
的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
